Stakke i rum, geometri

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Stakke i rum, geometri"

Transkript

1 S1 Stkke i rum, geometri 1.1 Arel, fldemål Digonl-vinklen Digonl-længden, de 3 Pythgors er Sinus-reltionerne Indyrdes vinkelrette linier Cirklens omkreds og rel Dimensioner Rumlige figurer Overførsel f rumlige figurer til plnen Geometri nedefr...7 S1 OPGAVER...8 C1 C2 A1 A2 T1 T2 S1 S2 PoMo KL GE Fr unke til undt - mngfoldighed, undtning & stkning Uforudsigelig vrition kn forudsiges f gennemsnitstl Smmenstkning f konkrete og strkte stkke Smmenlægning f per-tl Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning Stkke i tid, konstnt og forudsigelig vrition Stkke i rum, geometri Stkke i gitre, koordintgeometri Mængde-mtemtik eller mngfoldigheds-mtemtik Kvntittiv littertur, Alger: Opsmle & opdele Geometri: Jordmåling MATHeCADEMY: Mtemtik nedefr

2 En stk udgør en rumlig form, der kn udforskes, først konkret gennem flytning, siden strkt gennem eregning. 1.1 Arel, fldemål En * stk (et rektngel) kn omundtes til (*) 1ere, og hr derfor fldemålet eller relet T = * = højde*grundlinie I en stk er drejet ¼ omgng (9 grder) i forhold til. Ved t flytte en treknt kn en skæv stk (et prllelogrm) ændres til en norml stk med relet T = højde*grundlinie. En treknt udgør hlvdelen f en skæv stk, og hr derfor relet T = ½ * højde*grundlinie. Læs videre i kpitel GE5 og GE Digonl-vinklen u v Tegn digonlen i en * stk. Omundt (optæl) i er: = /* = tna* Omundt (optæl) i er: = /* = sina* Omundt (optæl) i er: = /* = osa* Bestem den ene vinkel v, dels ved måling, dels ved tilgeregning med ligningerne tn v = / sin v = / os v = / (v = (tn-1)(/)) (v = (sin-1)(/)) (v = (os-1)(/)) Bestem den nden vinkel u, dels ved måling, dels f ligningen tn u = / sin u = / os u = / (u = (tn-1)(/)). (v = (sin-1)(/)) (v = (os-1)(/)) Bevis og eftervis og evis følgende regler: u+v = 9 tn v = (sin v)/(os v) (sin v)^2 + (os v)^2 = 1 Læs videre i kpitel GE Digonl-længden, de 3 Pythgors er Mini-Pythgors: Tegn digonlen i en * stk. Drej stkken om digonlens endepunkter, så der dnnes en * stk. Bevis mini-pythgors: ^2 + ^2 = ^2 2

3 Midi-Pythgors: Tegn digonlen på 4 rk A4-ppir (en * stk). Anring de 4 rk som vist, så der dnnes en (+)*(+) stk smt en * stk. M Der findes mnge eviser for Pythgors læresætning: ^2 + ^2 = ^2 Flytteevis: Flyt først det der ligger uden for * stkken, dvs. 4*½ rk = 2 rk. Flyt i stedet de to øverste rk. Tilge er d ^2+^2 Dvs. ^2 + ^2 = ^2 Regneevis1: ^2 = M + 4*½** = (-)^2 + 2** = ^2 + ^2-2** + 2** = ^2 + ^2 p q Vrideevis: Kvdrtet ^2 vrides to gnge så højden og relet evres. Først drejes de to vndrette sider, dernæst de to lodrette, så ^2 liver, først til ^2, dernæst til p* Kvdrtet ^2 vrides to gnge så højden og relet evres. Først drejes de to lodrette sider, dernæst de to vndrette, så ^2 liver, først til ^2, dernæst til q* Dvs. ^2 + ^2 = p* + q* = (p + q)* = * = ^2 B p q C A Regneevis2: Højden fr C deler den retvinklede treknt i to retvinklede treknter. A og B s osinustl kn nu eregnes åde i den store og den lille treknt: Cos A = / = q/, dvs. ^2=*q og Cos B = / = p/, dvs. ^2=*p Dvs. ^2 + ^2 = *p+*q = *(p+q) = * = ^2 * C * ** *** B ** *** A Mxi-Pythgors: Også ved ikke-retvinklede treknter kn vi tegne de ydre kvdrter. Disse opdeles f højderne i to stykker hver, som er prvis lige store. Dette kn udtrykkes i osinus-reltionerne: ^2 = ^2 + ^2 2***osC ^2 = ^2 + ^2 2***osB ^2 = ^2 + ^2 2***osA Læs mere i kpitel GE8 og GE9. 3

4 1.4 Sinus-reltionerne C Sinus-reltionerne fremkommer f højderne: A h B h: *sinb = *sina, dvs. /sina = /sinb h: *sinc = *sina, dvs. /sina = /sinc h: *sinc = *sinb, dvs. /sinb = /sinc 1.5 Indyrde s vinkelrette linier Indyrdes vinkelrette (ortogonle) digonler D de fire digonler hr hældningstllene(stigningstllene) hhv. / og /, gælder: To linier står vinkelret på hinnden hvis deres hældningstl er indyrdes reiprokke og hr modst fortegn: Linie l linie m : hældning for l * hældning for m = Cirklens omkreds og rel En regulær firknt (et kvdrt) indpkkes i en irkel med rdius 1. Vis t længden f siden (korden) er k4 = 2* sin(18/4). Vis t firkntens omkreds er K4 = 4 * 2 sin(18/4). Vis t firkntens rel er A4 = 4 * sin(18/4) * os(18/4). Firknten forvndles til en regulær otteknt ved t sidernes midtpunkter trækkes ud på irklen. Vis t længden f siden (korden) er k8 = 2* sin(18/8). Vis t ottekntens omkreds er K8 = 8 * 2 * sin(18/8). Vis t ottekntens rel er A8 = 8 * sin (18/4) * os(18/4). Ved t forsætte får vi følgende tilnærmelsesligninger Cirklens omkreds Kn = n * 2 * sin(18/n). Cirklens rel An = n * sin (18/n) * os(18/n). For n = 1 fås: Cirklens omkreds 1 * 2 * sin(18/1) = 6,28317 Cirklens rel 1*sin (18/1)*os(18/1) = 3,14157 Vi ser her t forholdet mellem irklens omkreds og dimeter kn udtrykkes ved tllet pi = 3, , smt t pi kn eregnes som en grænseværdi (en række stdig mere nøjgtige irkværdier) n*sin(18/n) -> for n ->, eller lim (n*sin(18/n)) = hvor lim etyder grænseværdi. n-> 4

5 1.7 Dimensioner Det fysiske rum hr 3 dimensioner: Ud, Op og Hen. Et liniestykke (en linie) hr 1 dimension, og dens punkter kn derfor eskrives ved et tl, ud-tllet x. En stk (en pln) hr 2 dimensioner, og dens punkter kn derfor eskrives ved to tl, ud-tllet x og op-tllet y. En ksse (et rum) hr 3 dimensioner, og dets punkter kn derfor eskrives ved 3 tl, ud-tllet x, op-tllet y og hen-tllet z. 1.8 Rumlige figurer Ksse. En 3*4 stk fremkommer ved t stkke 3 ens 4undter. Tllet 3*4 kldes også stkkens fldetl, dækningstl eller rel A = højde*grundlinie En 3*4*5 ksse fremkommer ved t stkke 3 ens 4*5stkke. Tllet 3*4*5 kldes kssens rumfng eller volumen V = højde*grundflde Forskydes undterne i en stk, fremkommer der et trppe-prllelogrm med smme rel. Forskydes stkkene i en ksse, fremkommer der et trppe-prllelepipidum med smme rumfng. Cylinder. Stkkes n irkelskiver med flderel A fås en ylinder med rumfng V = n*flde = højde*flde. (Et præis evis fås ved t integrere omdrejningslegemet fremrgt f kurven y = r, se senere). Prisme. Stkkes n p-knter med flderel A fås et prisme med rumfng V = n*flde = højde*flde. Fld pyrmide. Formindskes undterne i en stk fremkommer en fld pyrmide, en treknt: S1=1, S2=1+2=3, S3=1+2+3=6, S4= =1, S5= =15 Er der et mønster? Vi prøver selv, og kn måske se, t S5 = 15 = ½*3 = ½*(5^2+5). Eller vi eder EXCEL om en kurve og en tendenslinie: 1 n n Sn Hypotese: Sn=½*(n^2+n) y = Sn 2 1 doeltklik og rediger Test4: S4=½*(4^2+4)=1 OK, Test6: S6=½*(6^2+6)=21 OK, osv. Alment evis I: Sn = (n-2) + (n-1) + n Sn = n +(n-1) +(n-2) *Sn = (n+1)+(n+1)+(n+1)+ +(n+1) +(n+1) +(n+1) = n*(n+1) = n^2 + n Sn = ½*(n^2+n) Alment evis II (induktionsevis): 1) vis det gælder i unden for n=1. 2) vis t det gælder for den næste, dvs. hvis det gælder for n gælder det også for n+1 (induktion) Bunden: S1 = ½*(1^2+1) = ½*2 = 1 OK 1 3 Næste: Givet t Sn = ½*(n^2+n). Bevis t S(n+1) = ½*((n+1)^2+(n+1)) y =,5x 2 +,5x - 1E x = n

6 Bevisksse: S(n+1) =? ½*((n+1)^2+(n+1)) Sn+ (n+1) ½*(n^2+n) + n + 1 ½*n^2 + ½*n + n + 1 ½*n^2 + 3/2 *n + 1 =? =? =! ½*(n^2 + 2*n n + 1) ½*(n^2 + 3*n + 2) ½*n^2 + 3/2 *n + 1 Induktionen medfører d, t HVIS formlen er rigtig for n SÅ er den også rigtig for n+1 Bunden medfører d, t DA formlen er rigtig for n=1 SÅ er den også rigtig for 1+1=2. Og DA formlen er rigtig for n=2 SÅ er den også rigtig for 2+1=3. Og DA formlen er rigtig for n=3 SÅ er den også rigtig for 3+1=4. Osv. Dvs. formlen er rigtig for lle n. Thi ntg t den ikke gælder for n = k. Modstrid, fordi k induktioner vil vise t den gælder for n = k. (indirekte evis: Vis t en ntgelse fører til modstrid). Alment evis III, geometrisk evis + sustitutionsevis: Af tegningen ses, t Arel f 4*4 trppe = rel f hlv 4*4stk + n * relet f en hlv 1*1stk = ½*4^2 + ½*4*1 Sustitueres 7 for 4 fås: Arel f 7*7 trppe = ½*7^2 + ½*7*1 Sustitueres n for 4 fås: Arel f n* trppe = ½*n^2 + ½*n*1 = ½*(n^2 + n) Hvis n er stor (1^6) hr kun n^2 leddet etydning: A = ½*1^6^2 + ½*1^6 ½*1^12. En trppe med mnge trin er næsten en treknt: A ½*n^2 = ½*n*n = ½*højde*grundlinie. Areler kn også eregnes som integrler, som netop er reler under kurver, her kurven y = x: n A = x dx = [½ x^2] n = ½*n^2 Rumlig pyrmide. Formindskes stkkene i en ksse fremkommer en rumlig pyrmide S1=1, S2=1+2^2=5, S3=1+2^2+3^2=14, S4=1+2^2+3^2+4^2=3, S5=1+2^2+3^2+4^2+5^2=55 Er der et mønster? Vi prøver selv, og kn måske se, t S5 = 55 = 1/3*5^3 + ½*5^2 + 1/6*5 Eller vi eder EXCEL om en kurve og en tendenslinie: 2 n n Sn y = Sn doeltklik og rediger y =,3333x 3 +,5x 2 +,1667x + 9E x = n 6

7 Hypotese: Sn= 1/3*n^3 + ½*n^2 + 1/6*n Test4: <udfør selv, Test6: <udfør selv>, osv. Alment evis II (induktionsevis): 1) vis det gælder i unden for n=1. 2) vis t det gælder for den næste, dvs. hvis det gælder for n gælder det også for n+1 (induktion) Bunden: S1 = 1/3*1^3 + ½*1^2 + 1/6*1 = 1/3 + ½ + 1/6 = 1 Næste: Givet t Sn = 1/3*n^3 + ½*n^2 + 1/6*n. Bevis t S(n+1) = 1/3*(n+1)^3 + ½*(n+1)^2 + 1/6*(n+1) Bevisksse: <udfør selv> S(n+1) =? 1/3*(n+1)^3 + ½*(n+1)^2 + 1/6*(n+1) Hvis n er stor (1^6) hr kun n^3 leddet etydning: V = 1/3*1^6^3 + ½*1^6^2+1/6*1^6 1/3*1^18. En rumlig trppe med mnge trin er næsten en pyrmide: V 1/3*n^3 = 1/3*n*n^2 = 1/3*højde*grundflde. Rumlig kegle. En kegle fremkommer ved t stkke irkelskiver med ftgende rdius. K1=π*1=π*S1, K2= π*1+ π*2^2= π*k2, osv. Dvs. Kn = π*sn Et volumen kn eregnes som et integrle f en omdrejningskurve, her kurven y = x: n V = π* x^2 dx = π*[1/3*x^3] n = π*1/3*n^3 = 1/3* n * π*n^2 = 1/3* højde * grundflde Rumlig kugle. En kugle fremkommer ved omdrejning f en hlv irkelue: Cirklen med rdius r hr ligningen x^2 + y2 = r^2, eller y2 = r^2 - x^2 r r V = 2*π* y^2 dx = 2*π* (r^2-x^2) dx = 2*π*[(r^2*x-1/3*x^3)] r = 2*π*[(r^2*r-1/3*r^3) ] = 2*π*(r^3-1/3*r^3) = 2*π*2/3*r^3 = π*4/3*r^3 = 2*(2*(1/3*r* (π*r^2))) = 2*(2*(1/3*r* grundflde)) = 2*(2*(kegle)) = 2*doelt-kegle 1.9 Overførsel f rumlige figurer til plnen Anring en terning, så den hviler på 4-siden. Terningen kn ses på tre forskellige måder: fr 1-siden (frontsyn), fr 2-siden (sidesyn) eller fr 3-siden (topsyn). Betrgtes terningen nedefr til venstre kn vi se 1-, 4- og 5-siden smtidig (isometrisk skævsyn). Betrgt en ksse fr frontsyn. Tegnes en identisk ksse og rykkes denne en smule nedd til venstre, ses kssen nu i skævsyn. Vi hr d tegnet en rumlig figur i plnen ved t evre fstndene (iso-metri, smmemål). I virkeligheden ør målet ftge d kssens gside er længere væk. Tges hensyn til dette fås en perspektivtegning. I en perspektivtegning vil prllel linier i smme fstnd til øjet forlive prllelle, hvorimod prllelle liner i voksende fstnd fr øjet vil synes t nærme sig hinnden i et forsvindingspunkt ud for øjet. Læs videre om rumlige figurer i kpitlerne GE12, GE13, GE14, GE16, GE17, GE18, GE19, og GE Geometri nedefr Gå vider til ilget GE geometri nedefr. 7

8 S1 OPGAVER Spørgsmål S11: 1) Hvordn kn vi eskrive stkkes rumlige egensker som rel og digonl? Hvordn kn vi eskrive figurers rumlige egensker? Svr: Ved den Græske geometris 3 Pythgors er, mini, midi og mxi. Svr: Ved den riske geometris 3 vinkel-side reltioner sina=/, osa=/ og tna=/. Ved rumfngsformler, smt ved forskellige typer 2-dimensionl fildning f 3-dimensionle figurer. S11.1 Fglige opgver 1. Bevis mini-, midi- og mxi-pythgors. Vis t Pythgors kn erstttes f l.. = *sin(os-1(/)) eller = *tn(os-1(/)). Find tilsvrende formler for =? og =?. 2. Bevis regel 4 og 5 i GE.5, smt regel 2 i GE Lv en rod-spirl ved t løse øvelse 13 i GE.21. Tip: Lv hele tiden en ny retvinklet treknt ved t gøre hypotenusen til ktete og tilføj en ny ktete med længden Vis formlerne for overflde og rumfng for en ylinder 5. Vis formlerne for overflde og rumfng for en kegle 6. Vis formlerne for overflde og rumfng for en keglestu 7. Lv selv tegningen f huset i GE.18 set fr forskellige synsvinkler og suppler med et skævsyn. 8. Find formlen for opsummerede kuiktl Sn = 1 + 2^3 + 3^3 + + n^3 9. Færdiggør den indlgte Exel-fil Geometri med rutineopgver. 1. (Frivillig). Geometri på en kugleoverflde (se kpitel GE14). Tegn en retvinklet treknt med den rette vinkel i Nordpolen og kteter. På en kugleoverflde hedder Pythgors (^2+^2 = k*^2). Vis t ved højderne 9, 6, 3,, -3, -6 hr k værdierne 1, 8/9, 32/27, 2, 128/27, 2/9. Tegn en irkel med entrum i Nordpolen. På en kugleoverflde gælder omkreds/dimeter = n. Vis t ved højderne 9, 6, 3,, -3, -6 hr n værdierne 3.14, 3, 2.6, 2, 1.3,.6. Hvd ved 9? S11.2 Rutineopgver 1. Gennemregn keglen og keglestuen på kryds og tværs så lle de indgående størrelser kn eregnes. 2. Gentg opgven mht. pyrmidestuen S11.3 Didktisk opgve Projekt Afskåret terning. Byg en hel 5*5*5 terning: Indtegn den på kvdreret ppir som et kors estående f 5 smmenstødende 5*5 kvdrter (husk flpper til smmenlimning). Hvd er overflde og rumfng f en terning? Efterprøv evt. rumfnget ved t hælde snd i. Byg en overskåret 5*5*5 terning: Indtegn den som et kors estående f 4 smmenstødende 5*5 kvdrter + 1 5*7 (egentlig 5 2=7.7) rektngel. To f kvdrterne skl udklippes som hlve kvdrter (husk flpper til smmenlimning). Hvd er overflde og rumfng f en overskåret terning? Efterprøv evt. rumfnget ved t hælde snd i. Byg en smmensnørret 5*5*5 terning: Indtegn den som et kors estående f 3 smmenstødende 5*5 kvdrter + 2 5*7 (egentlig 5 2=7.7) rektngler (som er noer). Alle figurer på nær den midterste skl udklippes som hlve kvdrter(husk flpper til smmenlimning). Hvd er overflde og rumfng f en smmensnørret terning? Efterprøv evt. rumfnget ved t hælde snd i. Afprøv opgven på dig selv og på en nden. Rpporter dine oservtioner f hvd forsøgspersonen gør og tænker/siger (hndling og refleksion). Vær især opmærksom på eksempler på genkendelse og ny erkendelse (ssimilering og kkommodering). Projekt Hypotetisk deduktiv metode. Også i geometrien møder vi mtemtikfgets kerne, t kunne estemme mngfoldighed åde ved tælling og ved eregning. 8

9 Tegn 3 forskellige * stkke. Digonlens længde og vinkel estemmes ved gudsigelse : Først tælling (måling), så eregning. Brug regneskemet fr fgilg 7.7 til eregningerne. Tegn 3 ndre * stkke. Digonlens længde og vinkel estemmes ved forudsigelse : Først eregning, så tælling (måling). Brug regneskemet fr fgilg 7.7 til eregningerne. I B møder du den såkldte hypotetisk-deduktive metode, som er grundlget for l nturvidensk, og dermed for det moderne smfund, som vrede. 3 år, fr oplysningstiden år 17 til det postmoderne smfund år 2. I korthed går den hypotetisk-deduktive metode ud på, t vi med en hypotese kn forudsige (deduere) hvd der vil ske under estemte omstændigheder: Hvis jeg tegner en 3*4 stk, så kn jeg ud fr hypotesen ^2+^2=^2 forudsige, t digonlens længde nødvendigvis vil live 5. Og ligeledes kn jeg ud fr hypotesen tna = / forudsige, t digonlens vinkel med vndret nødvendigvis vil live Den hypotetisk-deduktive metode viser således, t visse fysiske ting er styret f over-fysiske (metfysiske) love, som er hævet over demokrtiet. Der er indtil dto kun påvist tre typer metfysiske nedslg i den fysiske verden. Pythgors viste t toner og geometriske figurer dlyder metfysiske tl-love. Newton påviste t fysisk evægelse dlyder metfysiske tl-love. Pythgors forførte Plton til t påstå, t lt fysisk er styret f metfysiske love, som kun kendes f filosofferne (græsk for de edrevidende). Kristendommen overtog pltonismen ved t hævde, t kun den metfysiske Gud kender disse metfysiske love. Newton forførte det moderne universitet til t genoplive Plton, men klde filosofferne for forskere. Det postmoderne genopliver før-pltonisterne, sofisterne (græsk for de vidende), og deres påstnd om t det er vigtigt t skelne mellem vidensk og demokrti, mellem ntur og vedtægt, mellem informtion og det, mellem udråstegn og spørgsmålstegn. Kort sgt skelne mellem tl og ord: En sætnings grundled kn verifiere tl, men ikke ord (lyntsdilemmet: Anrgt mellem en linel og en ordog kn en lynt vise sin længde men ikke sin etegnelse). Ifølge de postmoderne sofister eller soilkonstruktivister gælder: Tl kommer f fysisk nødvendighed og fspejler nturlig korrekthed. Ord kommer f kulturel fortolkning og fspejler politisk korrekthed. Inden for tekstfortolkning kldes postmodernisme for poststrukturlisme eller dekonstruktivisme. Skriv et rev til din kusine, hvori du på. en A4 side fortæller hvordn du i B oplevede dit møde med den hypotetisk-deduktive metode. 9

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Geometriske egenskaber & sammenhæng - Fase 3

Geometriske egenskaber & sammenhæng - Fase 3 Nvn: Klsse: Geometriske egensker smmenhæng - Fse 3 Vurdering fr 1 til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer eviser og forslg til foredring 1. Jeg kender til og kn ruge Pythgors lærersætning. 2. Jeg

Læs mere

Projekt 5.7 Hovedsætninger om differentiable funktioner et opgaveforløb

Projekt 5.7 Hovedsætninger om differentiable funktioner et opgaveforløb Hvd er mtemtik?, e-og Projekter: Kpitel 5 Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner et opgveforlø Projektet er en udvidelse f fsnittet i

Læs mere

Figurer. Planere: glatte, udjævne. Linjer. EB og AI, GK og HJ, MO og NP. Linjer. Vinkler Plane figurer Flytninger. 2 Linjestykker. 1 Hvad husker I?

Figurer. Planere: glatte, udjævne. Linjer. EB og AI, GK og HJ, MO og NP. Linjer. Vinkler Plane figurer Flytninger. 2 Linjestykker. 1 Hvad husker I? Figurer Linjer Vinkler Plne figurer Flytninger Plnere: gltte, udjævne 1 Hvd husker I? 2 2 Linjestykker Fortsæt sætningerne. En linje er... Et linjestykke er... Tegn linjestykkerne: I, C, CE, F og FI. b

Læs mere

Elementær Matematik. Analytisk geometri

Elementær Matematik. Analytisk geometri Elementær Mtemtik Anltisk geometri Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. koordintsstemet.... Afstndsformlen.... Liniens ligning...4 4. Ortogonle linier...7 5. Liniers skæring. To ligninger med to uekendte....7 6.

Læs mere

K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri

K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN Mtemtik F Geometri www.if.dk Mtemtik F Geometri Forord Redktør Hgen Jørgensen År 2004 est. nr. Erhvervsskolernes Forlg Munkehtten 28 5220 Odense

Læs mere

Det dobbelttydige trekantstilfælde

Det dobbelttydige trekantstilfælde Det dobbelttydige trekntstilfælde Heine Strømdhl, Københvns Kommunes Ungdomsskoler Formålet med denne rtikel er t formulere en meget simpel grfisk løsningsmetode til det dobbelttydige trekntstilfælde med

Læs mere

Elementær Matematik. Trigonometri

Elementær Matematik. Trigonometri Elementær Mtemtik Trigonometri Ole Witt-Hnsen 11 Indhold 1. Vinkler...1. Sinus, osinus og tngens...3.1 Overgngsformler...4 3. Den retvinklede treknt...6 4. Den lmindelige treknt. Sinus og osinus reltionerne...8

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8

Læs mere

( ) Projekt 7.17 Simpsons formel A A A. Hvad er matematik? 3 ISBN

( ) Projekt 7.17 Simpsons formel A A A. Hvad er matematik? 3 ISBN Projekt 7.7 Simpsons formel Simpson vr søn f en selvlært væver, og skulle egentlig selv hve været en væver, men en solformørkelse vkte hns interesse for mtemtik og nturvidensk og mod lle odds lykkedes

Læs mere

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.

Læs mere

Linjer på skift. Figurer. Format 5. Nr. 15. a a Tegn AB, BC, AE, CD og CF, GH, GI. b Tegn de to parallelle linjestykker, der kan tegnes til GH.

Linjer på skift. Figurer. Format 5. Nr. 15. a a Tegn AB, BC, AE, CD og CF, GH, GI. b Tegn de to parallelle linjestykker, der kan tegnes til GH. Linjer på skift Nr. 15 Tegn B, BC, E, CD og CF, GH, GI. Tegn de to prllelle linjestykker, der kn tegnes til GH. c Hvd hedder de to linjestykker? d Tegn det vinkelrette linjestykke til GH, der endnu ikke

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Formelsamling til delprøve 1

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Formelsamling til delprøve 1 Mtemtik A Højere teknisk eksmen Formelsmling til delprøve Mtemtik A Højere teknisk eksmen Formelsmling til delprøve Forfttere: Jytte Melin og Ole Dlsgrd April 209 ISBN: 978-87-603-3238-8 (web udgve) Denne

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

Trigonometri FORHÅNDSVIDEN

Trigonometri FORHÅNDSVIDEN Trigonometri I dette kpitel skl du rejde med trigonometri. Ordet trigonometri stmmer fr græsk og etyder trekntsmåling. Den mtemtik, der ligger g trigonometrien, hr du llerede rejdet med. Det drejer sig

Læs mere

Integralregning. Version juni Mike Vandal Auerbach

Integralregning. Version juni Mike Vandal Auerbach Integrlregning Version.0 27. juni 209 y f x Mike Vndl Auerch www.mthemticus.dk Integrlregning Version.0, 209 Disse noter er skrevet til mtemtikundervisningen på stx A- og B-niveu efter gymnsiereformen

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD

Læs mere

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0 INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til

Læs mere

Projekt 7.3 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter

Projekt 7.3 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Hv er mtemtik? Projekt 7.3 Firkntstrigonometri og Ptolemios sætning i ykliske firknter Trigonometrien til eregning f ukente vinkler, sier og reler for treknter er stort set utømt me ulening f sinusreltionerne,

Læs mere

Projekt 10.3 Terningens fordobling

Projekt 10.3 Terningens fordobling Hvd er mtemtik? C, i-og Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deduere sig til og konstruere ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige, t l den viden, der

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

1. Eksperimenterende geometri og måling

1. Eksperimenterende geometri og måling . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold FORMELSAMLING MAT. C & B... BRØER... LIGNINGER... 3 PARENTESER... 3 RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter...

Læs mere

Elementær Matematik. Plangeometri

Elementær Matematik. Plangeometri Elementær Mtemtik Plngeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 006 Kp Indhold. Plngeometriens Aksiomer.... Vinkler.... Et pr simple geometriske sætninger...3 Kp. Trekntskonstruktion...5. Kongruenssætningerne...5.

Læs mere

Vektorer. koordinatgeometri

Vektorer. koordinatgeometri Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors

Læs mere

Projekt 10.3 Terningens fordobling

Projekt 10.3 Terningens fordobling Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 0 Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deducere sig til og konstruere sig til ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige,

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

gudmandsen.net Geometri C & B

gudmandsen.net Geometri C & B gudmndsen.net Geometri C & B Indholdsfortegnelse 1 Geometri & trigonometri...2 1.1 Område...2 2 Ensvinklede treknter...3 2.1.1 Skleringsfktoren...4 3 Retvinklede treknter...5 3.1 Pythgors lærersætning...5

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Projekt 6.5 Vektorers beskrivelseskraft

Projekt 6.5 Vektorers beskrivelseskraft Hvd er mtemtik? ISBN 978877066879 Projekt 65 Vektorers eskrivelseskrft Indhold Vektorer i gymnsiet Linjestykker og prllelogrmmer Bevis inden for den klssiske geometri Bevis med nvendelse f vektorer 3 Digonlerne

Læs mere

Oversigt. geometri exempler. areal: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m. areal: 5 5 = 25 cm 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 cm. areal: 8 5 = 40 dm 2

Oversigt. geometri exempler. areal: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m. areal: 5 5 = 25 cm 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 cm. areal: 8 5 = 40 dm 2 geometri exempler 4 m 3 m rel: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m 5 m 5 m rel: 5 5 = 25 m 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 m 8 dm 5 dm rel: 8 5 = 40 dm 2 8 dm 5 mm 4 mm 1 2 rel: 4 (5+9) = 28 mm 2 9 mm 7 km rel:

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 007 007-8-V MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Tirsdg den 18 december 007 kl 900-1000 BESVARELSEN AFLEVERES KL 1000 Der

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer.... Multipliktion f vektor med et tl... 4. Opløsning f en vektor efter

Læs mere

Analysens Fundamentalsætning

Analysens Fundamentalsætning Anlysens Fundmentlsætning Frnk Nsser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Vektorer. koordinatgeometri

Vektorer. koordinatgeometri Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 0 Krsten Juul Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet Ä 0 Krsten Juul Dette håfte kn downlodes fr mtdk/noterhtm HÅftet mç ruges i undervisningen hvis låreren med

Læs mere

Teknisk Matematik. Teknisk Matematik Formler. Preben Madsen. 8. udgave

Teknisk Matematik. Teknisk Matematik Formler. Preben Madsen. 8. udgave Teknisk Mtemtik Formler Teknisk Mtemtik Formler Preen Mdsen 8. udge Teknisk mtemtik Formler er et prktisk opslgsærk, der gier et hurtigt oerlik oer lle formler fr læreogens enkelte kpitler. Ud oer formlerne

Læs mere

Tegn fra tre synsvinkler

Tegn fra tre synsvinkler egning egn fr tre synsvinkler Nr. 50 Forfr Fr siden Fr oven Forfr Fr siden Fr oven Forfr Fr siden Fr oven - egn hver fugleksse forfr, fr siden og fr oven. Kopirk til elevog side 48 egning egn isometrisk

Læs mere

Lukkede flader med konstant krumning

Lukkede flader med konstant krumning Lukkede flder med konstnt krumning Hns Anton Slomonsen Arhus Universitet Mrch 13, 2015 En flde i rummet B A giver nledning til to mål for fstnden mellem to punkter A og B på flden: - længden f den rette

Læs mere

Matematik notater: Mængder:...5. uligheder:...5 tegn:...5 Sætning Sætning Sætning Sætning 4...6

Matematik notater: Mængder:...5. uligheder:...5 tegn:...5 Sætning Sætning Sætning Sætning 4...6 Mtemtik noter.g mtemtisk Mtemtik notter: Diverse:...4 Formlen for volumen f en pyrmide og en tetrede:...4 Formlen for volumen f en keglestu:...4 ojekter:...4 udtryk:...4 udsgn:...4 Fiunni:...4 Reiprok

Læs mere

Stamfunktion & integral

Stamfunktion & integral PeterSørensen.dk Stmfunktion & integrl Indhold Stmfunktion... Integrl (Uestemt integrl)... 2 Det estemte integrl... 2 Arel og integrl... Regneregler for estemte integrler... Integrler / stmfunktioner kn

Læs mere

Bemærkning Den dobbelte Riemannsum af en funktion f : R R er. 2 Sætning (Polært koordinatskift) For f kontinuert på det polære rektangel

Bemærkning Den dobbelte Riemannsum af en funktion f : R R er. 2 Sætning (Polært koordinatskift) For f kontinuert på det polære rektangel Oversigt [S].4,.5,.7 Pol og sigtelinje [S] Appendi H. Polr coordintes Nøgleord og egreer epetition: Polære koordinter Lgkgestkker Koordintskift Tpe II vrinten August, opgve Populære nvendelser Flv højere...

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold FORMELSAMLING MAT. C & B... 1 BRØER... PARENTESER... 3 PROCENT... 4 RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter...

Læs mere

Planintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R =

Planintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R = Plnintegrlet Preben Alsholm 5. mj 8 Plnintegrlet. Integrlet f en funktion f én vribel et bestemte integrl efinition Ld f være en funktion defineret på intervllet [ b]. Ld = x x... x n = b være en inddeling

Læs mere

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Sfærisk Geometri Ole Witt-Hansen nov. 2016

Sfærisk Geometri Ole Witt-Hansen nov. 2016 Sfærisk Geometri Ole Witt-Hnsen nov. 6 Indhold. Geometri på en kugle.... Sfæriske toknter og treknter...3. Polrtreknter...4 3. Den retvinklede sfæriske treknt...5 4. Beregning f sider og vinkler i den

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf 0 Krsten Juul Indhold Rækkefølge f + og... Smle led f smme type... Gnge ind i prentes. del... Rækkefølge f og smt f + og... Gnge ind i prentes. del... Hæve

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2 og 3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2 og 3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

1 Plan og rumintegraler

1 Plan og rumintegraler 1 PLAN OG RUMINTEGRALER 1 1 Pln og rumintegrler Ligesom for funktioner f en vribel kn mn for kontinuerte funktioner f flere vrible definere deres integrle. Vi vil her kun beskæftige os med funktioner f

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

Måling. Omkreds Areal Rumfang Enheder Regnehistorier. 1 Mål og omskriv Mål trælisterne i centimeter, og omskriv til decimeter og centimeter.

Måling. Omkreds Areal Rumfang Enheder Regnehistorier. 1 Mål og omskriv Mål trælisterne i centimeter, og omskriv til decimeter og centimeter. Måling Omkreds Arel Rumfng Enheder Regnehistorier Milli =. 000 Centi = Dei = = 0,00 00 = 0,0 0 = 0, entimeter m kvdrtentimeter m 2 kuikentimeter m I det 8. århundrede lev måleenheden meter opfundet i Frnkrig.

Læs mere

Formelsamling Mat. C LINEÆR VÆKST... 11 EKSPONENTIEL VÆKST... 11 POTENS-VÆKST... 11

Formelsamling Mat. C LINEÆR VÆKST... 11 EKSPONENTIEL VÆKST... 11 POTENS-VÆKST... 11 Formelsmling Mt. C BRØER... LIGNINGER... PARENTESER... RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... VILÅRLIG TREANT... Sinusreltionerne:... Cosinusreltionerne:...

Læs mere

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 38, 010 Produceret f Hns J. Munkholm berbejdet f Jessic Crter 1 l Hopitls regler Afsnit 4.3 l Hopitls regel I omhndler beregning f grænseværdier f formen lim x f(x) g(x), hvor

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

GEOMETRI. Generelt om vinkler. Notation for vinkler: u, A, BAC. Topvinkler er lige store, x = y

GEOMETRI. Generelt om vinkler. Notation for vinkler: u, A, BAC. Topvinkler er lige store, x = y GEOMETRI Generelt om inkler Nottion for inkler: u, A, BAC Topinkler er lige store, x y Komplementinkler er inkler, der tilsmmen er 90 u + 90 Supplementinkler er inkler, der tilsmmen er 180 (I stedet for

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i

Læs mere

Projekt 7.8 To ligninger med to ubekendte

Projekt 7.8 To ligninger med to ubekendte Projekt 78 To ligninger med to uekendte Den opgve t skulle løse to ligninger med to uekendte er vi stødt på i en række speciltilfælde under ehndlingen f vækstmodellerne: Funktionstype Ligningssystem Lineær

Læs mere

Vektorer. koordinatgeometri. for gymnasiet, udgave Karsten Juul

Vektorer. koordinatgeometri. for gymnasiet, udgave Karsten Juul Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge 5 7 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Lektion 5 Det bestemte integral

Lektion 5 Det bestemte integral f(x) dx = F (b) F () Lektion 5 Det bestemte integrl Definition Integrlregningens Middelværdisætning Integrl- og Differentilregningens Hovedsætning Bereging f bestemte integrler Regneregler Arel mellem

Læs mere

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 39, 200 Produceret f Hns J. Munkholm berbejdet f Jessic Crter Integrtion ved substitution Afsnit5.6 Ubestemte integrler s. 37-39 Reglen om differentition f en smmenst funktion

Læs mere

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden.

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden. Efterbehndlingsrk C Dæmonen Nedenfor er vist to grfer for bevægelsen i Dæmonen. Den første grf viser hvor mnge gnge du vejer mere eller mindre end din normle vægt. Den nden grf viser højden. Spørgsmål

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsmling Hvis mn ønsker mere udfordring, kn mn springe den første opgve f hvert emne over Brøkregning, prentesregneregler, kvdrtsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående tl i hånden:

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften

Læs mere

Pointen med Integration

Pointen med Integration Pointen med Integrtion Frnk Vill 3. oktober 2012 2008-2012. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Integration ved substitution og delvis (partiel) integration

Integration ved substitution og delvis (partiel) integration DEN TEKNISK-NATURVIDENSKABELIGE BASISUDDANNELSE MATEMATIK INTEGRATION EFTERÅRET Integrtion ved sustitution og delvis (prtiel) integrtion Differentil- og integrlregningens hovedsætning lyder: Hvis ƒ er

Læs mere

Pointen med Integration

Pointen med Integration Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

Fra arbejdstegning til isometrisk tegning og omvendt

Fra arbejdstegning til isometrisk tegning og omvendt Nr. 5 Fr rejdstegning til isometrisk tegning og omvendt Forfr Fr siden Fr oven Forfr Fr siden Fr oven Klssektivitet. yg en figur med -7 centikuer, og tegn en rejdstegning. Gem figuren. yt tegning med en

Læs mere

Matematikken bag perspektivet I

Matematikken bag perspektivet I Supperende mterie ti erspektiv med GeoMeter Mtemtikken bg perspektivet I Som udgngspunkt for t diskutere de vigtigste mtemtiske sætninger bg perspektivtegninger vi vi benytte noge eementære egenskber for

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning:

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning: Pythgors sætning I denne note skl i gie tre forskellige eiser for Pythgors sætning: Pythgors sætning I en retinklet treknt, hor den rette inkel etegnes med, gælder: + = eis 1 Ld os tegne et stort kdrt

Læs mere

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen Gmnsie-Mtemtik Søren Toftegrd Olsen Søren Toftegrd Olsen Skovvænget 6-B 7080 Børkop Gmnsie-Mtemtik. udgve, revision 0 ISBN 978-87-99996-0-0 VIGTIGT: Denne og må ikke sælges eller ændres; men kn frit kopieres.

Læs mere