Mat1GA Minilex. Indhold. Henrik Dahl, Hold januar Definitioner 2. 2 Sætninger m.v Regneregler Kriterier 43.

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Mat1GA Minilex. Indhold. Henrik Dahl, Hold januar Definitioner 2. 2 Sætninger m.v Regneregler Kriterier 43."

Transkript

1 Mat1GA Minilex Henrik Dahl, Hold januar 2003 Indhold 1 Definitioner 2 2 Sætninger m.v Regneregler 36 4 Kriterier 43 5 Kogebog 44 Resumé ADVARSEL - dette er livsfarligt at bruge ukritisk. Der er næsten sikkert fejl, endda graverende fejl. Jeg påtager mig intet ansvar overhovedet for noget som helst. Faktisk vil jeg for en sikkerheds skyld fraråde brug af det følgende... Ved referencer til lærebøgerne bruges (P) for Poulsen og (M) for Messer. (T) står for theorem, (S) for sætning, (L) for lemma, (K) for korollar, (D) for definition. Sidste afsnit, kogebogen, er meget uformel og ment som en hurtig hjælp til at få foretaget beregninger. Der er her normalt ikke referencer. 1

2 1 DEFINITIONER 2 1 Definitioner Absolut konvergens En uendelig række n=1 a n siges at være absolut konvergent, hvis rækken n=1 a n af dens absolutte værdier er konvergent. (P.D.4.41) Afsnitsfølge Afsnitsfølgen for en talfølge {a n } n=1 er følgen (Forelæsning 7, P.D.4.31) (s n ) = n i=1 a i Hvis (s n ) er konvergent, så skriver vi i=1 a i = lim n s n arg z θ er et argument for z C, hvis der gælder, at z = r cos θ + ir sin θ = (r cos θ, r sin θ) hvor r = z. Vi skriver (selv om arg ikke er entydig), at arg z = θ hvis θ er et argument for z. Arg z Associative lov Med Arg z indikeres et hovedargument for z C, dvs. Arg z er den værdi v af arg z, der opfylder π < v π. Den associative lov siger, at der ved en regneoperation kan hæves og sættes parenteser, ex. a + (b + c) = (a + b) + c, a(bc) = (ab)c, (P Q) R P (Q R) Basis Et sæt (v 1,..., v n ) er en basis for V, hvis og kun hvis (M.D.3.6) 1. v 1,..., v n er lineært uafhængige 2. span(v 1,..., v n ) = V Begrænset delmængde En delmængde A af R siges at være opad begrænset hvis og kun hvis A har en øvre grænse, dvs. hvis og kun hvis der eksisterer et tal b R således at a A a b. A siges at være nedad begrænset hvis og kun hvis der eksisterer et tal b R således at a A a b. A siges at være begrænset hvis og kun hvis A er både opad og nedad begrænset. (P.D.3.8) (Hvis A =, er alle tal b R både øvre og nedre grænse for A).

3 1 DEFINITIONER 3 Begrænset kompleks talfølge Begrænset reel talfølge Betinget konvergens Bijektiv funktion Billede, Im T En kompleks talfølge {a n } n=1 siges at være begrænset hvis der eksisterer et positivt reelt tal M således at a n M for alle n N. (P.D.4.7.b) En reel talfølge {a n } n=1 siges at være opad begrænset, nedad begrænset eller begrænset hvis delmængden {a n n N} R har den pågældende egenskab. (P.D.4.7.a) En uendelig række n=1 a n som er konvergent, men ikke absolut konvergent, siges at være betinget konvergent. (P.D.4.41) f kaldes bijektiv hvis f både er injektiv og surjektiv. Antag at T : V W er en lineær afbildning. Billedet af T skrives imt og er defineret ved (M.D.6.19) imt = {w W w = T (v), v V } Delfølge En delfølge af følgen (a n ) er en følge (a nk ), k N, hvor n k er en strengt voksende følge af hele tal (n 1 < n 2 <...). Bemærk, at n K K. (P.D.4.26) Determinant Determinanten (M.D.7.3) af en (n n) matrix A, det A er defineret rekursivt ved 1. For en (1 1) matrix A = [a 11 ] : det A = a For n > 0, lad A ij være den (n 1) (n 1) matrix, der fremkommer, når række i og søjle j slettes i A 3. Så er det A = n j=1 ( 1)(1+j) a 1j det A 1j - udvikling efter første række Dimension Et vektorrum V har dimension n hvis og kun hvis der findes en basis for V, som indeholder præcis n vektorer. I så tilfælde siger vi, at V er n-dimensionalt og skriver (M.D.3.7) dim V = n Dimension, endelig Dimension, span Et vektorrum har endelig dimension hvis og kun hvis det har en endelig basis. Ellers er vektorrummet uendelig-dimensionalt. (M.D.3.8) Dimensionen af et underrum udspændt af af et lineært uafhængigt sæt af vektorer (v 1,..., v n ) er lig med antallet af vektorer i sættet. Vi skriver (Forel. 15) dim span(v 1,..., v n ) = n

4 1 DEFINITIONER 4 Distributive lov Den distributive lov siger, at der ved en blandet regneoperation kan hæves og sættes parenteser, ex. a(b+c) = ab+ac, P (Q R) (P Q) (P R), P (Q R) (P Q) (P R) Divergens mod Vi siger, at en reel talfølge {a n } n=1 divergerer mod, hvis der for ethvert uendelig reelt tal M gælder, at der eksisterer et n N således, at a n > M når n N: M R N N : n N a n > M I så fald skriver vi a n for n Divergens mod Vi siger, at en reel talfølge {a n } n=1 divergerer mod, hvis der for ethvert -uendelig reelt tal M gælder, at der eksisterer et n N således, at a n < M når n N: M R N N : n N a n < M I så fald skriver vi a n for n Division Hvis a og b er vilkårlige tal i et legeme L og a 0, bruges betegnelsen b/a eller b a om den entydigt bestemte løsning til ligningen ax = b. Regneoperationen / kaldes division og b/a kaldes kvotienten mellem b og a (P.def.1.8). Eksponentialfunktion, Lad z = x + iy C. Så defineres e z ved (P.D.2.25) kompleks e z = e x (cos y + i sin y) Et-element Et et-element, 1, i en ring R, opfylder (P.def.1.1) r R : 1r = r Frie variable Hale Hvis rækkeechelonformen for koefficientmatricen for et ligningssystem indeholder søjler, der ikke indeholder initialettaller, kaldes de tilsvarende variable for frie variable. Disse kan parametriseres, således at de ledende eller bundne variable i løsningen udtrykkes ved hjælp af de frie variable. (M.s.76) Hvis n=1 a n er en uendelig række og N N, kalder vi rækken for en hale af rækken. (P.L.4.37) n=n+1 a n

5 1 DEFINITIONER 5 Harmoniske række går Den harmoniske række mod nul. (P.Eks.4.18) er n=1 1 n. Rækken er divergent selv om leddene Identitetsfunktionen Identitetsmatrix Identitetsfunktionen på en vilkårlig mængde X er funktionen id X : X X defineret ved id X (x) = x (M.D.6.5) Identitetsmatricen er en kvadratisk matrix, hvor diagonalen består af ettaller og resten af matricen består af nuller. Identitetsmatricen med størrelsen n n kaldes I n og har formen (M.D.5.3) I ij = 1 for i = j, I ij = 0 ellers Im(z) Imaginærdelen af et komplekst tal, givet ved y. z = x + iy C benævnes Im(z) og er Indre produkt Et indre produkt er en afbildning, der til to vektorer v og w V knytter et tal v, w R så at 1. v, v 0 og v, v = 0 v = 0 2. v, w = w, v 3. rv, w = r v, w 4. v + w, x = v, x + w, x Et vektorrum udstyret med et indre produkt kaldes et indre produktrum. (M.D.4.1) Indre produkt, standard på R, prikprodukt På et Euklidisk rum, R n, er prikproduktet også standard-indre-produktet. Der gælder, at (M.D.4.3) n v w = v i w i i=1 Indre produkt, standard på C Infimum Initialettal, matrixrække Standard-indre-produktet på C([a, b]) = {f : [a, b] R f er kontinuert} er defineret ved f, g = for alle f, g C([a, b]). (M.D.4.4) b a f(x)g(x)dx Hvis b er den største nedre grænse for mængden A kaldes b også for A s infimum og vi skriver b = inf A. (P.D.3.14) En række har et initialettal hvis det tal, der står længst til venstre i rækken og ikke er et nul, er et ettal. (M.D.2.2)

6 1 DEFINITIONER 6 Initialindgang, matrix Injektiv funktion Isomorfi En initialindgang i en matrix er den første indgang i matricen, som ikke er nul, når matricen læses rækkevist fra venstre mod højre. (M.D.2.2) f er injektiv, hvis der gælder, at f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2. (Engelsk: one-toone ) (M.D.6.4) T : V W kaldes en isomorfi hvis 1. T er lineær 2. T er injektiv og surjektiv - dvs. T er invertibel Hvis T er en isomorfi siger vi, at V og W er isomorfe. (M.D.6.29) Kernen, Ker T Antag at T : V W er en lineær afbildning. Kernen af T skrives ker T og er defineret ved (M.D.6.19) ker T = {v V T (v) = 0} Koefficientmatrix Kommutative lov Ved koefficientmatricen for et lineært ligningssystem med n ligninger og m ubekendte, Ax = b, forstås n m-matricen, A. Den kommutative lov siger, at der ved en regneoperation kan byttes rundt på argumenterne, ex. a + b = b + a, ab = ba, P Q Q P Komplekse tal Lad u, v, x, y R.. Med (u, v) + (x, y) = (u + x, v + y) (u, v)(x, y) = (ux vy, uy + vx) (0, 0) nul-element (1, 0) et-element udstyres mængden R 2 som et legeme der kaldes legemet af komplekse tal C. (Forel. 2) Vi skriver normalt et komplekst tal på formen z = x + iy, hvor x, y R. Konjugeret, komplekst tal Den konjugerede til et komplekst tal, z = x + iy er givet ved z = x iy

7 1 DEFINITIONER 7 Konvergens, talfølge En talfølge {a n } n=1 siges at være konvergent, hvis der findes et tal a med egenskaben ε > 0 N N n N : n N a a n < ε I så fald kaldes tallet a for talfølgens grænseværdi. Vi siger, at talfølgen konvergerer mod eller går mod a og vi skriver a n a for n eller lim n a n = a En talfølge, der ikke er konvergent siges at være divergent. (P.D.4.2) Koordinatskiftematrix Lad B og C være baser for et vektorrum V. Koordinatskiftematricen fra B til C er (M.D.6.16) C B = C [id V ] B = [[u 1 ] C [u n ] C ] Koordinatsøjle Betragt et vektorrum V med en basis B = (v 1,..., v n ). Lad w = n i=1 r iv i. Da er koordinatsøjlen for w mht. B det element i R n, som er givet ved (M.D.3.16) [w] B = r 1. r n Kvotientrække, endelig En endelig kvotientrække er en sum af formen (P.K.1.15) n ar j j=0 Kvotientrække, uendelig En uendelig kvotientrække er en række af formen (P.S.4.32) ar n n=0 Legeme En ring er et legeme, L (dvs. også et talområde), hvis der til ethvert element r L findes et w L, således at (P.def.1.1.c) r L w L : rw = 1 hvor w, der afhænger af r betegnes 1/r eller r 1 og kaldes det reciprokke element til r (P.def.1.1.c).

8 1 DEFINITIONER 8 Linearkombination Lad (v 1,..., v n ) være et sæt af vektorer i et vektorrum V, og lad r 1,..., r n R være konstante koefficienter. En linearkombination er da en ny vektor af formen (M.D.3.1) n r i v i i=1 Lineær afbildning Lad V og W være vektorrum og afbildning hvis (M.D.6.1) T : V W. Vi siger, at T er en lineær 1. T (v 1 + v2) = T (v 1 ) + T (v 2 ), v 1, v 2 V 2. T (rv) = rt (v), r R, v V Vi definerer også tre hyppigt forekommende lineære afbildninger: 1. Givet A M(m, n). Definer µ A : R n R m ved µ A (x) = µ A x 1. x n = A x 1. x n = Ax 2. Givet et vektorrum V og en basis herfor B. Definer en lineær afbildning C B : V R n ved oversættelse til koordinatsøjlen mht. B C B (v) = [v] B 3. Givet et sæt B = (v 1,..., v n ) i et vektorrum V. Definer en lineær afbildning L B : R n V ved oversættelsen af koordinatsøjlen til en vektor: r 1 n L B. = r i v i r i=1 n Lineær uafhængighed Et sæt af vektorer (v 1,..., v n ) siges at være lineært uafhængige hvis og kun hvis ligningen n r i v i = 0 i=1 medfører, at r 1 = r 2 = = r n = 0. Hvis ligningen kan løses med nogle koefficienter forskelligt fra 0, er sættet lineært afhængigt. (M.D.3.4) Mere formelt er sættet lineært afhængigt, hvis (r 1,..., r n ) 0 : n r i v i = 0 i=1

9 1 DEFINITIONER 9 Lineært ligningssystem Ved et lineært ligningssystem med n ligninger og m ubekendte forstås et system af ligninger, der kan skrives n a ij x j = b j j=1 eller på matrixform, Ax = b, hvor a erne og b erne er konstante koefficienter og x erne er de ubekendte. Den tilhørende matrix A kaldes for ligningssystemets koefficientmatrix, mens den udvidede matrix [A b] kaldes for systemets totalmatrix Ligningssystem, homogent Linje og (hyper-)plan Matrix Matrix for lineær afbildning Det lineære ligningssystem, Ax = 0 kaldes for homogent. Hvis højresiden ikke er lig med nul-vektoren, kaldes systemet inhomogent. (M.s.77) Antag V er et vektorrum og at v V, v 0. Linjen gennem en vektor x V i retningen v er mængden {rv + x r R}. Hvis v, w, x V hvor hverken v eller w er et multiplum af den anden, er planet gennem x i retningerne v og w mængden {rv + sw + x r, s R}. (M.D.1.12) Lad m, n N. Mængden af alle rektangulære tabeller med m rækker og n søjler er matrixrummet M(m, n), hvis elementer kaldes m n-matricer. Tallet i række i og søjle j kaldes indgang ij. (M.D.1.9) Bemærk, at matrixrummet er et vektorrum. Lad U være et vektorrum med basen B = (u 1,..., u n ). Lad W være et vektorrum med basen B = (u 1,..., u m) (hvor m og n ikke behøver at være ens). Lad T : U W være lineær. Matricen for T mht. B og B er givet ved (M.D.6.12) A = [T (u 1 )] B [T (u 2 )] B [T (u n )] B M(m, n) Matrix, højreinvers, venstreinvers, invers Matrix, kvadratisk Matrixprodukt Lad A M(m, n) og B M(n, m). Hvis AB = I m er B en højreinvers for A. Hvis BA = I n er B en venstreinvers for A. Hvis B både er højre- og venstreinvers for A skriver vi A 1 = B og kalder B for A s inverse. Hvis A har en invers, siges A at være invertibel eller ikke-singulær (MD.5.6) En kvadratisk matrix er en matrix med lige mange rækker og søjler. (M.D.5.2) Lad A M(m, n) og B M(n, p). Matrixproduktet AB M(m, p) er givet ved AB = [c ik ] hvor c ik = n j=1 a ijb jk Matrixproduktet er kun defineret for fælles midter-dimension (her n). (M.D.5.1)

10 1 DEFINITIONER 10 Mindste øvre Lad A R og b R. b kaldes den mindste øvre grænse for A, hvis b er en grænse øvre grænse for A og der gælder, at hvis c er en øvre grænse for A, så er b c. (P.D.3.9) Modulus Modsat element Lad z C. Tallet z = (Re z) 2 + (Im z) 2 kaldes for z s modulus. Et modsat element til r R kaldes r og opfylder (P.def. 1.1) r R : r + ( r) = 0 Monoton talfølge En reel talfølge {a n } n=1 siges at være voksende hvis n N : a n a n+1 og den siges at være aftagende hvis a n a n+1 for alle n N. Hvis der overalt gælder skarpe uligheder siges den at være strengt voksende eller strengt aftagende. En talfølge siges at være monoton hvis den enten er voksende eller aftagende, og strengt monoton hvis den enten er strengt voksende eller strengt aftagende. Normaliseret vektor Norm, vektor Antag, at v 0 er element i et indre produktrum V. v er normaliseret hvis den har længden 1. Vektoren er normaliseret. v v Normen for en vektor v i et indre produktrum V skrives v og er defineret ved (M.D.4.5) v = v, v Nul-element Et nul-element, 0 i en ring R, opfylder (P.def.1.1) r R : r + 0 = r Nullitet Hvis ker T er endeligdimensional sætter vi nulliteten, (M.D.6.26) nullitett = dim(ker T ) Nulrække Omvendt funktion En række i en matrix er en nulrække, hvis den kun indeholder nuller. (Forel. 14) Vi siger, at g : Y X er en omvendt funktion til f, hvis g(f(x)) = x og f(g(y)) = y x X, y Y. (M.D.6.5)

11 1 DEFINITIONER 11 Ordnet mængde Lad M være en mængde og antag, at der om visse par af elementer x, y M gælder x < y. Mængden M siges at være ordnet hvis der om symbolet < gælder 1. For ethvert par af elementer x, y M gælder præcis een af følgende muligheder x < y, x = y, y < x 2. For alle x, y, z M gælder x < y, y < z x < z I en ordnet mængde bruges symbolerne >, og på normal vis. (P.D.3.1) Ortogonalitet To vektorer v og w i v, w = 0. (M.D.4.11) et indre produktrum er ortogonale hvis og kun hvis Ortogonalsæt Ortonormalsæt En mængde S V (indre produktrum) siges at være et ortogonalsæt, hvis (M.D.4.13) v, w S : v w v, w = 0 En mængde S V (indre produktrum) siges at være et ortonormalsæt, hvis (M.D.4.16) v, w = 0, v w v, w = 1, v = w Polarform Lad z C og lad z være skrevet på formen z = r cos v + ir sin v med r 0, v R. Da er z skrevet på polarform (i modsætning til normalform eller kanonisk form). Polynomium Ved et polynomium over legemet L forstås et udtryk af formen P (x) = n c i x i i=0 hvor c i L for alle i, mens x er en variabel, der kan tage værdier i L. Hvis alle koefficienter c i = 0 kaldes P for nulpolynomiet. I modsat fald kaldes det et egentligt polynomium. Et egentligt polynomium tillæges en grad, hvorved man forstår den højeste eksponent k, hvor c k 0. Nulpolynomiet tillægges ingen grad. (P.D.1.18)

12 1 DEFINITIONER 12 Projektion, vektorer Projektionen af en vektor v ned på vektoren u 0 er vektoren (M.D.4.12) proj u (v) = v u = v, u u, u r Bemærk, at v v u er ortogonal på u. Projektion på underrum Antag, at (e 1,..., e n ) er en ortonormal basis for et underrum S af et indre produktrum V. Projektionen af en vektor v V på underrummet S er defineret ved (M.D.4.18) n proj S (v) = v, e i e i i=1 Rang, lineær afbildning Hvis imt er endeligdimensionalt sætter vi rangen af den lineære afbildning til (M.D.6.26) rangt = dim(imt ) Rang, matrix Re(z) Reciprokt element Reduceret rækkeechelon-form Ring Rod, komplekst tal Rod i polynomium Rangen af en matrix A - ranga - er antallet af initialettaller i den reducerede rækkeechelonform for matricen. (M.D.5.10). Bemærk, at ranga min(m, n) når A M(m, n). Realdelen af et komplekst tal, z = x+iy C benævnes Re(z) og er givet ved x. Et reciprokt element til r L, w L, opfylder rw = 1. Det reciprokke element betegnes 1/r eller r 1. (P.def.1.1) En matrix er på reduceret rækkeechelonform, når den ud over at være på rækkeechelonform også opfylder, at der står nuller over alle initialettaller. (M.D.2.4) En ring R er et talområde hvori der eksisterer et tal 0 og et tal 1, således at (P.def.1.1.b) r R : r + 0 = r nul-element r R : 1r = r r R v R : r + v = 0 hvor v, der afhænger af r betegnes r. z er en n te rod af c, hvis z n = c. et-element modsatte element Hvis P er et polynomium og r L er et element i legemet L, kaldes r en rod eller et nulpunkt i P, hvis P (x) = 0. (P.Def.1.19)

13 1 DEFINITIONER 13 Rækkeechelon-form En matrix er på rækkeechelonform når (M.D.2.3) 1. Alle rækker er enten nulrækker eller har initialettal 2. Initialttaller står længere mod højre i nedre rækker 3. Alle nulrækker står nederst Rækkeoperationer på matrix Der er tre lovlige rækkeoperationer tioner) på en matrix. (M.D.2.1): (I): R i R j, i j (II): R i cr i (III): R i R i + cr j, i j (eller elementære rækkeopera- Række, uendelig Lad (a n ) være en talfølge. Ved rækken eller den uendelige række med leddene a n forstås talfølgen (s n ) defineret som afsnitsfølgen, s n = n i=1 a i Denne nye talfølge betegnes med symbolet n=1 a n. Hvis afsnitsfølgen (s n ) er konvergent siges rækken også at være konvergent og grænseværdien kaldes for rækkens sum. Hvis afsnitsfølgen er divergent, siges rækken at være divergent. Summen af en konvergent uendelig række betegnes med samme symbol som rækken, dvs. hvis s n a skriver vi n=1 a n = a. (P.D.4.31) Rækkerum Sammensat funktion Span Rækkerummet for en (m n)-matrix A er det underrum af R n som udspændes af de m rækker i A, når de opfattes som elementer i R n (M.D.6.23) Givet to funktioner, f : X Y og g : Y Z. Den sammensatte funktion af f efterfulgt af g er funktionen g f : X Z, defineret ved (g f)(x) = g(f(x)). (M.D.6.5) Lad (v 1,..., v n ) være et sæt af vektorer i et vektorrum V, og lad r 1,..., r n R være konstante koefficienter. Den delmængde af V, der udspændes af vektorerne er mængden af alle linearkombinationer af vektorerne. Denne mængde skrives (M.D.3.2) span(v 1, v 2,..., v n ) Bemærk: span = {0} Største/mindste Lad A være en delmængde af en ordnet mængde M. Et element s M siges element at være det største element i A når s A og a A : a s a < s. Begrebet mindste element defineres helt analogt. (P.D.3.2).

14 1 DEFINITIONER 14 Største nedre grænse Lad A R og b R. b kaldes en nedre grænse for A, hvis a A : b a b kaldes den største nedre grænse for A hvis b er en nedre grænse for A og der gælder, at hvis c er en nedre grænse for A, så er b c. (P.D.3.12) Subtraktion Subtraktion, vektorer Hvis a og b er vilkårlige tal i en ring,r, bruges betegnelsen b a om den entydigt bestemte løsning til ligningen x + a = b. Regneoperationen - kaldes subtraktion og b a kaldes differensen mellem b og a (P.def.1.3). Lad V være et vektorrum.. Ved subtraktion kombineres to vektorer v, w V til en ny vektor, v w, defineret ved (M.D.1.6) v w = v + ( w) Supremum Hvis b er den mindste øvre grænse for mængden A kaldes b også for A s supremum og vi skriver b = sup A. (P.D.3.14) Surjektiv funktion Søjlerum Tal Talfølge f er surjektiv, hvis der gælder, at y Y x X : f(x) = y. dvs. f rammer hele Y. (Engelsk: onto ) (M.D.6.4) Søjlerummet for en (m n)-matrix A er det underrum af R m som udspændes af de n søjler i A, når de opfattes som elementer i R m (M.D.6.21) Tal er elementer i et talområde (P. def. 1.1). En talfølge består af uendeligt mange tal, der er nummererede, a 1, a 2,..., a n,... Tallene a n kaldes følgens elementer,. Nummeret n på det n te element kaldes dets indeks. Talfølgens elementer kan være forskellige, eller der kan forekomme gentagelser, og det kan være reelle eller komplekse tal. Hvis man vil præcisere typen tales om en reel talfølge eller en kompleks talfølge. Talfølgen med elementerne a n, n = 1, 2,... betegnes {a n } n=1 eller (a n) n=1 eller endnu kortere (a n ). (P.D.4.1) Talfølge En talfølge er en samling af tal, a 1, a 2,..., a n,... givet ved en indiceret familie (I n ) n N, dvs. en uendelig samling, der er nummereret. (Forelæsning 4)

15 1 DEFINITIONER 15 Talområde Ved et talområde forstås en mængde T, hvis elementer kaldes tal, og hvori der er defineret en addition og en multiplikation, således at der for alle tal, r, s, t T gælder (P.def. 1.1.a): r + s T rs T r + s = s + r den kommutative lov rs = sr den kommutative lov r + (s + t) = (r + s) + t den associative lov r(st) = (rs)t den associative lov r(s + t) = rs + rt den distributive lov Teleskoperende række Top En sum, der kan skrives som en sum af differenser, hvor leddene ophæver hinanden to og to kaldes en teleskopsum og den tilsvarende række kaldes en teleskoperende række. (P.Eks. 4.15). Eks. 1 n=1 n(n+1) = ( ) 1 n=1 n 1 n+1 = 1 Tallet a n er en top for talfølgen (a i ), hvis der gælder (Forelæsning 7, P.L.4.28) m N : m n a n a m Totalmatrix Transponeret matrix Triviel løsning Underrum Ved totalmatricen for lineært ligningssystem, Ax = b, med n ligninger og m ubekendte forstås m (n + 1) matricen [A b]. Den transponerede af en m n matrix A = [a ij ] er en n m matrix, A T = [a ji ], hvor rækker og søjler altså er byttet om. (M.D.7.8) Et homogent lineært ligningssystem, Ax = 0, har altid den trivielle løsning x = 0. Hvis der også findes andre løsninger, forskellige fra nulvektoren, kaldes disse for ikke-trivielle løsninger. (M.s.77) Givet et vektorrum V og en delmængde S V. Vi siger, at S er et underrum af V, hvis S bliver et vektorrum, når det udstyres med operationerne fra V. (M.D.1.10)

16 1 DEFINITIONER 16 Vektorrum, aksiomer Vektorrum defineres ved en mængde V udstyret med operationerne addition og skalarmultiplikation. Lad v,w V være elementer (vektorer) i vektorrummet V og lad r R være en skalar. Addition af de to vektorer giver en ny vektor, v + w V, og skalarmultiplikation giver ligeledes en ny vektor, rv V. Disse operationer opfylder følgende 8 aksiomer for v,w,x V og r, s R: (M.D.1.1) 1. v + w = w + v - Kommutativ addition 2. (v + w) + x = v + (w + x) - Associativ addition 3. Der eksisterer en vektor 0 i V, så v + 0 = v - Nul-element 4. For hver vektor v V eksisterer en vektor -v V så v + (-v) = 0 - Omvendt element 5. r(v + w) = rv + rw - Distributiv lov 6. (r + s)v = rv + sv - Distributiv lov 7. r(sv) = (rs)v - Associativ skalarmultiplikation 8. 1v = v - Skalar et-element Bemærk, er ikke et vektorrum, hvorimod {0} er. Vinkel mellem vektorer Vinklen mellem to vektorer v, w (begge 0) i et indre produktrum er den værdi for θ [0, π], som opfylder (M.D.4.10) cos θ = v, w v w Øvre grænse Lad A R og b R. b kaldes en øvre grænse for A hvis (P.D.3.5) a A : b a

17 2 SÆTNINGER M.V Sætninger m.v. Absolut konvergens Hvis den uendelige række n=1 a n er konvergent, er rækken n=1 a n også konvergent. Der gælder, at (P.S.4.42) a n a n n=1 n=1 Lad S være et underrum af et indre produktrum V, så S har en ortonormal basis (e 1,..., e n ). Givet v V. Da findes netop een vektor w S med egenskaben, at v w er mindst muligt, når w skal ligge i S. Den søgte vektor er nemlig givet ved (M.T.4.19) w = proj S (v) = n v i, e i e i i=1 Arkimedes princip For ethvert tal r R findes der et tal n N således, at n > r. (P.S.3.16). En konsekvens her af er, at for ethvert r > 0 findes et n N således, at 1/n < r (P.K.3.17) Begrænset talfølge og konvergens Hvis en talfølge {a n } n=1 er konvergent, er den begrænset. (P.S.4.10) Approksimationssætningen Bolzano- Weierstrass I Bolzano- Weierstrass II Cauchy-Schwartz ulighed Enhver begrænset reel talfølge har en konvergent delfølge. Enhver begrænset kompleks talfølge har en konvergent delfølge. Hvis v og w er to vektorer i et indre produktrum, så gælder (M.T.4.8) v, w v w De Moivres formel For enhver vinkel v R og ethvert naturligt tal n N er (P.S.2.20) (cos v + i sin v) n = cos nv + i sin nv Determinant af matrixprodukt Determinanten af et produkt AB opfylder (M.T.7.7) det(ab) = det A det B

18 2 SÆTNINGER M.V. 18 Determinant af transponerede Determinanten af den selv: (M.T.7.10) transponerede er lig med determinanten af matricen det A = det A T Determinant, effekt af rækkeoperationer Lad A være en n n matrix. (M.T.7.4) 1. Hvis A har en nulrække (eller en nulsøjle) er det A = 0 2. Hvis to rækker byttes om er determinanten for den nye matrix = det A 3. Hvis en række ganges med en konstant skalar c er determinanten for den nye matrix = c det A 4. Hvis to rækker (eller søjler) er ens er det A = 0 5. Hvis et multiplum af en række lægges til en anden række er determinanten uændret 6. det I n = 1 Determinant, udvikling efter række r Determinanten for en kvadratisk matrix kan bestemmes ved udvikling efter en vilkårlig række r: (M.T.7.5) n det A = ( 1) r+k a rk det A rk k=1 Determinant, udvikling efter søjle s Determinanten for en kvadratisk matrix kan bestemmes ved udvikling efter en vilkårlig sølje s: (M.T.7.6) n det A = ( 1) s+k a ks det A ks k=1 Dimension og span Dimension, underrum Antag, at V er et n-dimensionalt vektorrum. Hvis span(v 1,..., v n ) = V, så er sættet lineært uafhængigt. Hvis sættet (v 1,..., v n ) er lineært uafhængigt, så udspænder det også V. (M.T.3.15) Et underrum S af et vektorrum V, hvor V har endelig dimension, er endelig dimensionalt, og dim S dim V. (M.T.3.14) Dimensionssætningen Lad T : V W være en lineær afbildning og V være endeligdimensionalt. Da gælder (M.T.6.27) rangt + nullitett = dim V dvs. dim V = dim imt + dim ker T

19 2 SÆTNINGER M.V. 19 Divergens, delfølge Divergente talfølger, regneregler Lad (a n ) være en talfølge og (a nk ) være en delfølge heraf. Hvis a n, så gælder, at a nk for k. (P.S.4.27) Lad {a n } n=1 og {b n} n=1 (n underforstået) 1. a n, b n a n for n N b n være reelle talfølger. Så gælder (P.L.4.22 og P.S.4.20) 2. a n, r > 0 ra n 3. a n, b n a n + b n 4. a n, b n begrænset a n + b n 5. a n 1/a n 0 for alle a n 0 6. a n > 0, a n 0 1/a n Eksponentialfunktion, kompleks - periode Den komplekse eksponentialfunktion er periodisk med perioden 2πi, dvs. e z+2πi = e z z C (P.S.2.26). Desuden gælder z 1, z 2 C : e z 1+z 2 = e z 1 e z 2 (P.S.2.24) Entydig dimension Lad (v 1,..., v n ) og (w 1,..., w m ) være baser for V. Så er m = n (M.T.3.10) Entydig En talfølge kan højst have een grænseværdi (P.S.4.5), dvs. grænseværdi a n a a n a a = a. Entydig invers En invertibel matrix har en entydig invers (M.T.5.7). Alternativt: Antag, at matrix både B, C M(n, m) er inverse til matricen A M(m, n). Da er B = C. (Forel. 20) Entydigt et-element og reciprokt element Hvis L er et legeme, har L præcis et et-element og et vilkårligt tal r L : r 0 har præcis et reciprokt element 1/r. (P.K.1.9). Vi har r, s L : r 0 s/r = s(1/r) 1/1 = 1 r L : r 0 1/(1/r) = r r, s L : r 0, s 0 1/(rs) = (1/r)(1/s)

20 2 SÆTNINGER M.V. 20 Entydig løsning, addition Hvis a og b er vilkårlige tal i en ring R, har ligningen x + a = b præcis en løsning i R, nemlig tallet x = b + ( a) = b a. (P.S.1.12) Entydig løsning, multiplikation Hvis a og b er vilkårlige tal i et legeme L, og a 0 har ligningen ax = b præcis en løsning i R, nemlig tallet x = b/a. (P.S.1.7) Entydigt inverst element, vektorrum Lad V være et vektorrum. For alle v V er der en og kun en vektor v V som opfylder v + ( v) = 0. (M.T.1.3) Entydigt nul-element og modsat element Hvis R er en ring, har R præcis et nul-element og et vilkårligt tal r R har præcis et modsat element r. Vi skriver r s = r + ( s) (P.K.1.4) Entydigt største/mindste element Lad A være en delmængde af en ordnet mængde M. Hvis der er et største eller et mindste element i A, er der kun et. (P.S.3.3) Eulers formler For ethvert reelt tal v er (P.S.2.28) cos v = eiv + e iv, sin v = eiv e iv 2 2i Gram-Schmidt ortonormalisering Gram-Schmidt ortonormalisering er en procedure for omdannelse af en basis (dvs. herunder også lineært uafhængigt) (u 1,..., u n ) for V (som er indre produktrum) til et ortonormalsæt (e 1,..., e n ). Den har flg. skridt: (M.T.4.17) 1. e 1 = u 1 u 1 (OK da u 1 0) 2. v 2 = u 2 u 2, e 1 e 1 fulgt af e 2 = v 2 v 2 3. v 3 = u 3 u 3, e 1 e 1 u 3, e 2 e 2 fulgt af e 3 = v 3 v v i = u i i 1 j=1 u i, e j e j fulgt af e i = v i v i 6. etc.

21 2 SÆTNINGER M.V. 21 Grænseværdier, regneregler Lad a n a og b n b (så det er konvergente talfølger). Da gælder (P.S.4.6 lettere formuleret og P.L.4.8) 1. a n a 2. ra n ra, r 3. a n + b n a + b 4. a n b n ab 5. 1 b n 1 b, b 0 6. a n bn a b, b 0 7. a n a for n a n a 0 for n Grænseværdier, vurdering 1. Hvis en reel talfølge {a n } n=1 er konvergent med grænseværdi a > 0, eksisterer der et reelt tal k > 0 således, at a n k fra et vist trin. (P.L.4.11). 2. Hvis en talfølge {b n } n=1 er konvergent med grænseværdi b 0, eksisterer der et reelt tal k > 0, således at b n k fra et vist trin. (P.K.4.12) 3. Hvis en reel talfølge {a n } n=1 er konvergent og a n 0 for alle n N, så er lim n a n 0. (P.K.4.13) 4. Hvis en reel talfølge {a n } n=1 er konvergent og der eksisterer et lukket interval [b, c] R så b a n c for alle n N, så er b lim n a n c. (P.S.4.14) Halelemmaet Homogent ligningssystem, løsninger Hvis rækken n=1 a n har en konvergent hale, er den selv konvergent. Omvendt gælder, at hvis rækken er konvergent, er enhver hale af den også konvergent. (P.L.4.37) Det homogene lineære ligningssystem med m ligninger og n ubekendte, Ax = 0, hvor n > m, har uendelig mange løsninger. (M.T.2.6, Forel. 15). Im z ulighed For ethvert tal z C er Im z z (og tilsvarende for Re z) (P.K.2.14).

22 2 SÆTNINGER M.V. 22 Indre produkt, regneregler For det indre produkt gælder flg. regneregler: (M.D.4.1, M.T.4.2) 1. v, 0 = 0, v = 0 2. v, w = w, v 3. rv, w = v, rw = r v, w 4. v + w, x = v, x + w, x 5. v, w + x = v, w + v, x Indskudsreglen I tilfælde af, at rækken n=1 a n er konvergent gælder følgende indskudsregel (P.L.4.37) N a n = a n + n=1 n=1 n=n+1 a n Infimumegenskaben Invers invers Invers, matrixprodukt Isomorfi, klassifikationssætningen Enhver ikke-tom nedad begrænset delmængde af R har en største nedre grænse. (P.S.3.13) Hvis en matrix A er invertibel, så er A 1 også invertibel og (A 1 ) 1 = A. (M.T.5.8) Hvis to matricer A og B er invertible og produktet AB eksisterer, så er AB også invertibel, med (AB) 1 = B 1 A 1 (M.T.5.9) Lad V og W være endeligdimensionale vektorrum. Så gælder (M.T.6.30) V er isomorf med W dim V = dim W Isomorfi mellem V og R Isomorfi, sammensat afbildning Kerne og billede er underrum Klemmelemma Hvis dim V = n, så er V og R n isomorfe. Hvis T : V W og S : W U er isomorfier, så er S T : V U også en isomorfi. Antag, at T : V W er lineær. Så er ker T et underrum af V og imt er et underrum af W. (M.T.6.20) Lad {a n } n=1, {b n} n=1 og {x n} n=1 være reelle talfølger, således at a n x n b n for alle n N. Hvis {a n } n=1 og {b n} n=1 begge er konvergente mod samme grænseværdi c, så er {x n } n=1 også konvergent mod c. (P.Opg. 90).

23 2 SÆTNINGER M.V. 23 Koefficientsætningen Antag, at B = (v 1,..., v n ) er en basis for et vektorrum V. For et vilkårligt w V findes der et entydigt sæt af skalarer, r 1,..., r n så w = n i=1 r iv i. (M.T.3.17). Alternativt: Hvis v 1,..., v n er lineært uafhængige og n i=1 r iv i = n i=1 s iv i, så er r 1 = s 1, r 2 = s 2,..., r n = s n. (Forel. 16) Komplekse tal, omvendt element Komplekse tal, reciprokt element I legemet af komplekse tal C er det omvendte element til et element (u, v) givet ved ( u, v) I legemet af komplekse tal C er det reciprokke element til et element (u, v) givet ved (P.s.18) ( ) u (u, v) 1 = u 2 + v 2, v u 2 + v 2 Komplekst konjugeret, regneregler Der gælder følgende regneregler for den komplekse konjugerede: Lad z = x + iy = (x, y) C. Så haves (P.S.2.11, 2.14) z = z z + z = 2x = (2x, 0) = 2Re z z z = 2iy = (0, 2y) = 2Im z zz = x 2 + y 2 = (x 2 + y 2, 0) z = zz Hvis w, z C gælder w + z = w + z wz = wz Konvergens, delfølge Konvergens, kompleks talfølge Lad (a n ) være en talfølge og (a nk ) være en delfølge heraf. Hvis a n a, så gælder, at a nk a for k. (P.S.4.27) Lad {c n } n=1 være en kompleks talfølge med elementer c n = a n +ib n. Så gælder, at følgen er konvergent hvis og kun hvis begge de to reelle talfølger {a n } n=1 og {b n } n=1 er konvergente. I tilfælde af konvergens er (P.S.4.15) lim c n = lim a n + i lim b n n n n Konvergens, konstant talfølge En konstant talfølge er konvergent: Hvis a n = r, n N gælder, at a n r for n (P.S.4.3)

24 2 SÆTNINGER M.V. 24 Konvergens mod 0 n Lad {a n } n=1 og {b n} n=1 underforstået) 1. a n 0 a n 0 være talfølger og a et tal. Så gælder (P.L.4.9) (for 2. a n 0 og b n a n b n 0 3. a n 0 og r fastholdt tal ra n 0 4. a n 0 og b n 0 a n + b n 0 5. a n 0 og {b n } n=1 er begrænset a nb n 0 Konvergens, 1/n Koordinatskiftematrix, egenskaber Talfølgen a n = 1/n er konvergent: 1/n 0 for n. (P.S.4.4) Koordinatskiftematricer har flg. egenskaber: (forudsat den omvendte afbildning eksisterer) 1. B C [v] C = [v] B 2. C B = ( B C ) 1 3. C [T ] C = C B ( B [T ] B ) B C = C B ( B [T ] B )( C B ) 1 Koordinatsøjler, addition og skalarmultiplikation Koordinatsøjler er kompatible med vektoraddition og skalarmultiplikation: (M.Opg ) [v + w] B = [v] B + [w] B [rv] B = r[v] B Koordinatsøjle og De lineære afbildninger [ ] B og L B er hinandens omvendte afbildninger, dvs. omvendt afbildning L B [ ] B = id V (eller L B ([v] B ) = v) og [ ] B L B = id R n (eller [L B (x)] B = x). (M.Opg ) Kvadratisk matrix, ækvivalenser For kvadratiske (n n) matricer er følgende ækvivalente: (M.T.7.11) 1. A er ikke singulær 2. A er invertibel, har både højre- og venstreinvers 3. ranga = n (fuld rang) 4. A kan rækkereduceres til I 5. Ligningen Ax = b har en entydig løsning 6. det A 0

25 2 SÆTNINGER M.V. 25 Kvadratrod, komplekst tal Kvadratroden af et komplekst tal, z = x + iy er givet ved a a z = ± 2 + b 2 + a + isgn(b) 2 + b 2 a 2 2 hvor sgn = 1, x 0, 1, x < 0. (P.Eks.2.8) Kvotientkriteriet Antag a n > 0. Antag a n+1 /a n q for n. Hvis (Forelæsning 9, P.S.4.38) 1. q < 1 n=1 a n konvergent 2. q > 1 n=1 a n divergent 3. q = 1? Kvotientrække, konvergens Betragt kvotientrækken n=0 arn. (P.S.4.32) 1. Hvis a = 0 er kvotientrækken konvergent med summen 0 2. Hvis a 0 er kvotientrækken konvergent hvis og kun hvis r < 1 og i så fald er dens sum n=0 arn = a 1 r Lineær afbildning, egenskaber Lineære afbildninger har flg. egenskaber (M.T.6.2) 1. T (0) = 0 (omend nulvektorerne er i forskellige rum) 2. T ( v) = T (v) 3. T ( n i=1 r iv i ) = n i=1 r it (v i ) Lineær afbildning, Lad B = (v 1,..., v n ) være en basis for et vektorrum V. Givet et sæt entydighed B = (w 1,..., w n ) i vektorrummet W findes en entydig lineær afbildning, T : V W, således at T (v i ) = w i for i = 1,..., n (M.T.6.9). (Sæt nemlig T (v) = L B ([v] B ) Lineær afbildning, Lad T : R n R m være lineær. Da findes A M(m, n) som på entydig vis entydig matrix opfylder T = µ A. Lad nemlig e i være standardenhedsvektoren (1 i position i, 0 i alle andre positioner) og sæt A = [T (e 1 ) T (e 2 ) T (e n )]. (M.T.6.10) Mere generelt, for vektorrum V og W haves: Antag, at B = (u 1,..., u n ) er en basis for et vektorrum V og B = (v 1,..., v m ) er en basis for et vektorrum, W. Antag, at T : V W er lineær. Så er der en entydig (m n)-matrix A således, at [T (w)] B = A[w] B for alle w V. Denne matrix er givet som [[T (u 1 )] B [T (u 2 )] B [T (u n )] B ] (M.T.6.11) Lineær afbildning, injektiv og kerne Hvis T : V W er en lineær afbildning gælder, at T er injektiv ker T = {0}. Bemærk, at det også indebærer, at T er injektiv nullitet T = 0. (M.T.6.28)

26 2 SÆTNINGER M.V. 26 Lineær afbildning og udspændende sæt Lineær afbildning, matrix for omvendt Lineær afbildning, matrix for sammensat Lineær afbildning, omvendt er lineær Lineær afbildning, sammensat Lineær afbildning, surjektiv og billede Lineær afhængighed og linearkombination Lineært ligningssystem, løsninger Antag, at V = span(v 1,..., v n ). Antag, at T : V W og T : V W er lineære. Antag, at T (v i ) = T (v i ), i = {1,..., n} Så er T = T, dvs. T (x) = T (x) x V. (M.T.6.3) Lad B = (u 1,..., u n ) være en basis for V, og B = (u 1,..., u m) være en basis for V. Lad A være matricen for den lineære afbildning T : V V mht. B og B. Så har T en omvendt afbildning hvis og kun hvis A er invertibel. I så fald er A 1 matricen for T 1 mht. baserne B og B (M.T.6.14) Lad B = (u 1,..., u n ) være en basis for V, B = (u 1,..., u m) være en basis for V, og B = (u 1,..., u l ) være en basis for V. Lad A være matricen for den lineære afbildning T : V V mht. B og B og A være matricen for den lineære afbildning T : V V mht. B og B. Så er A A matricen for den sammensatte afbildning, T T : V V mht. baserne B og B (M.T.6.13) Antag, at den lineære afbildning T : V W på V, W vektorrum har en omvendt afbildning. Så er den omvendte afbildning, T 1 : W V også lineær. (M.T.6.8) Lad S : U V og T : V W med U, V, W vektorrum, og S, T lineære afbildninger. Da er den sammensatte afbildning T S = T (S()) også lineær. (M.T.6.7) Hvis T : V W er en lineær afbildning gælder, at T er surjektiv imt = W. (Følger af M.T.6.28) Et sæt af vektorer (v 1,..., v n ) er lineært afhængigt hvis og kun hvis en af vektorerne i sættet kan skrives som linearkombination af resten (M.T.3.5) Et lineært ligningssystem Ax = b kan have kan have 0, 1, eller uendelig mange løsninger. Antag, at totalmatricen er bragt på reduceret rækkeechelonform. Hvis der er et initialettal i sidste søjle, er der 0 løsninger. Hvis der er et initialettal i alle andre søjler, er der præcis 1 løsning. Ellers er der uendeligt mange løsninger.

27 2 SÆTNINGER M.V. 27 Matrixprodukt, egenskaber Lad A, A M(m, n), B, B M(n, p), C M(p, q), r R. Så gælder (M.T.5.4) 1. (AB)C = A(BC) - associativ lov 2. (A + A )B = AB + A B - (højre-) Distributiv lov 3. A(B + B ) = AB + AB - (venstre-) Distributiv lov 4. (ra)b = r(ab) = A(rB) - associativ lov 5. Ej kommutativ 6. 0-elm eksisterer 7. to 1-elementer: I m A = A og AI n = A Mindste øvre grænse Lad A R og b R være en øvre grænse for A. ensbetydende: (P.S.3.10) 1. b er den mindste øvre grænse for A 2. c R : (c er en øvre grænse for A) b c 3. c R : c < b (c er ikke en øvre grænse for A) 4. c R : c < b ( a A : a > c) 5. ε > 0 a A : a > b ε Så er følgende udsagn Mindste øvre grænse Lad A R. Et tal b R er den mindste øvre grænse for A hvis og kun hvis begge de to følgende betingelser er opfyldt: (P.S.3.11) 1. a A : a b 2. ε > 0 a A : a > b ε Minus-operation Hvis R er en ring, gælder (P.K.1.5) 0 = 0 r R : ( r) = r r, s R : (r + s) = ( r) + ( s) Modulus Hvis z = (x, y) = x + iy C, er z = x 2 + y 2 = zz

28 2 SÆTNINGER M.V. 28 Monoton delfølge Monotone talfølger, hovedsætning Monotone talfølger, hovedsætning Enhver reel talfølge har en monoton delfølge. (P.L.4.28) Enhver monoton og begrænset reel talfølge er konvergent. (P.S.4.17). Korollar: Hvis en voksende (aftagende) reel talfølge er opad (nedad) begrænset, så er den konvergent (Forelæsning 6) Hvis en reel talfølge, {a n } n=1, er voksende (aftagende). Så gælder en af følgende to muligheder (P.S.4.17 og P.S.4.25) 1. a n er konvergent 2. a n er divergent mod + ( ) Multiplikation af komplekse tal Lad w, z C. Så er (P.S.2.18) wz = w z arg(wz) = arg w + arg z Norm, regneregler Antag, at V er et følgende: (M.T.4.9) indre produktrum. For alle v, w V og r R gælder 1. v 0 og v = 0 v = 0 2. rv = r v 3. v + w v + w Nulkriteriet, Rækkekonvergens Nul-multiplikation En nødvendig (men ikke tilstrækkelig) betingelse for, at rækken n=1 a n kan være konvergent er, at a n 0 for n. (P.S.4.34). NB: Kan kun bruges til visning af divergens) Hvis R er en ring, gælder (P.K.1.6) r R : r0 = 0 Nullitet og frie variable Nulreglen nullitetµ A er lig med antallet af søjler uden initialettaller i den reducerede rækkeechelonform for A, dvs. lig med antallet af frie variable. Hvis L er et legeme, gælder (P.Opg.1.10) r, s L : rs = 0 r = 0 s = 0 r, s L : r 0 s 0 rs 0 r L, n N : r n = 0 r = 0

29 2 SÆTNINGER M.V. 29 Omvendt afbildning, eksistens Ortogonalsæt er lineært uafhængigt En afbildning f : X Y har en omvendt afbildning netop hvis f er injektiv og surjektiv (dvs. f er bijektiv). (M.T.6.6) Et ortogonalsæt af vektorer 0 i et indre produktrum er lineært uafhængigt. (M.T.4.14) Ortonormalsæt og Et ortonormalsæt af n vektorer i et indre produktrum V med dim V = n er en basis basis for V (Forel. 18) Polarform og normalform, sammenhæng Lad z = x + iy C være et komplekst tal med modulus r 0 og argument v R. Så er Re z = r cos v = x, Im z = r sin v = y r = x 2 + y 2 = zz og hvis z 0 er enhver værdi af arg z bestemt ved ligningerne cos v = x/r, sin v = y/r dvs. tan v = sin v cos v = y x Hvis z = 0 er ethvert reelt tal v en værdi af arg z Polynomier, identiske Polynomium, reduktion Hvis to polynomier P (x) = Q(x) = n c i x i i=0 m d j x j har samme funktionsværdi for uendeligt mange værdier af x er de identiske i den forstand, at m = n og d k = c k, k = 0, 1,..., m (P.K.1.24) Hvis P er et polynomium af grad n 1 og t L er et element i legemet L, eksisterer der et polynomium Q af grad n 1 således, at (P.L.1.20) j=0 P (x) P (t) = (x t)q(x) Hvis desuden t er en rod i P gælder (P.K.1.21) P (x) = (x t)q(x) Polynomium, rødder Et polynomium af grad n har højst n rødder. (P.S.1.22). Det eneste polynomium, der har uendeligt mange rødder er nulpolynomiet.

30 2 SÆTNINGER M.V. 30 Potensdifferense Hvis r og s er tal i en ring R og n et naturligt tal, så er n 1 r n s n = (r s) r j s n j 1 j=0 Potenser af komplekst tal Lad z = r(cos v + i sin v) hvor r 0 og v R. For ethvert naturligt tal n N er (P.S.2.21) z n = r n (cos nv + i sin nv) z n = z n, arg z n = n arg z Projektion på underrum, egenskaber Projektionen på et underrum S V har flg. egenskaber (Forel. 19): 1. Selve vektorrummet V behøver ikke have en endelig basis (med mindre S = V ). Underrummet S skal have en endelig basis 2. Projektionen er entydig, selv om der er flere ortonormalbaser for S 3. proj S (v) = v når v S 4. v proj S (v) er ortogonal på alle e 1,..., e n 5. v proj S (v) er ortogonal på alle w S Rang og højreinvers Rang og invers Re z ulighed Reduceret rækkeechelonform, entydighed Reelle tal En (n n) matrix A har en højreinvers hvis og kun hvis ranga = n. I så fald er den højreinverse entydig. (M.T.5.11) En (n n) matrix A har en invers hvis og kun hvis ranga = n. (M.T.5.12) Kald den inverse C. Da gælder CA = I n = AC. (M.T.5.13) For ethvert tal z C er Re z z (og tilsvarende for Im z) (P.K.2.14). Antag, at en sekvens af rækkeoperationer omdanner en matrix M til en matrix M på reduceret rækkeechelonform. Antag, at en anden sekvens omdanner M til M, som også er på reduceret rækkeechelonform. Da er M = M. (M.T.2.5) Der findes et entydigt bestemt matematisk objekt, R med egenskaberne: (P.D.3.4) 1. R er et legeme 2. R er ordnet 3. a < b a + c < b + c og a < b, 0 < c ca < cb 4. En delmængde af R som ikke er tom og har en øvre grænse har en MIND- STE øvre grænse (supremumsegenskaben = 0 huller) (ækvivalent med at en monoton og begrænset talfølge er konvergent).

31 2 SÆTNINGER M.V. 31 Rodkriteriet Rækker, regneregler Antag a n > 0 og antag, at (a n ) 1/n q for n. Hvis q < 1 er n=1 a n konvergent. Hvis q > 1 er n=1 a n divergent. Hvis q = 1 kan vi ikke sige noget. (Forelæsning 9, P.S.4.39) Der gælder følgende regneregler for rækker: (P.S.4.33) 1. Hvis rækken n=1 a n er konvergent, så er rækken n=1 ra n også konvergent for ethvert tal r, og n=1 ra n = r n=1 a n 2. Hvis rækkerne n=1 a n og n=1 b n er konvergente, så er rækken n=1 a n + b n også konvergent, og n=1 a n + b n = n=1 a n + n=1 b n 3. Hvis rækken n=1 c n = n=1 (a n + ib n ) er en række med de komplekse led a n + ib n, så er rækken konvergent hvis og kun hvis de reelle rækker n=1 a n og n=1 b n begge er konvergente, og i tilfælde af konvergens er n=1 c n = n=1 a n + i n=1 b n Rækkeoperationer og rækkerum Rækkerum, dimension Rødder af komplekst tal Rækkeoperationer ændrer ikke rækkerummet for en matrix. (M.T.6.24) Dimensionen af rækkerummet for en vilkårlig matrix er lig med dimensionen af matricens søjlerum. (M.T.6.25) Lad n N være et givet naturligt tal og betragt ligningen z n = c hvor c C. Hvis c = 0 har ligningen den ene løsning z = 0. Hvis c = r(cos v + i sin v) 0 har den n forskellige løsninger, givet ved ( z = r 1/n cos v + 2kπ + i sin v + 2kπ ) n n hvor k = 0, 1,... n 1. Disse n løsninger er vinkelspidser i en regulær n-kant. (P.S.2.24) Sammenligningskriteriet, rækkekonvergens Lad n=1 a n og n=1 b n være to rækker med ikke-negative relle led og antag, at der findes et tal c > 0, således at b n ca n for alle n. (P.S.4.36) 1. Hvis n=1 a n er konvergent, så er n=1 b n konvergent, og der gælder, at n=1 b n c n=1 a n 2. Hvis n=1 b n er divergent, så er n=1 a n også divergent Sammenligningskriteriet, forbedret Betragt rækker med a n, b n > 0. Antag, at der findes N N og C > 0, så n N a n Cb n. Hvis n=1 b n er konvergent så er n=1 a n konvergent.

32 2 SÆTNINGER M.V. 32 Sammenligningssætningen Span er underrum Sum, endelig kvotientrække Lad V være et vektorrum. Hvis sættet (w 1,..., w n ) udspænder V og (v 1,..., v m ) er en lineært uafhængig delmængde af V, så er n m. (M.T.3.9) Span(v 1,..., v n ) (hvor (v 1,..., v n ) V ) er et underrum af vektorrummet V. (M.T.3.3) Summen af en endelig kvotientrække er givet ved (P.K.1.15) flg. Lad r 1 være et tal i et legeme L og n et naturligt tal. Så er n j=0 r j = rn+1 1 r 1 Suppleringslemmaet, ekspansionslemmaet Antag, at sættet (v 1,..., v n ) er lineært uafhængigt, og at v n+1 / span(v 1,..., v n ) (men v n+1 V ). Så er sættet (v 1,..., v n, v n+1 ) lineært uafhængigt. (M.L.3.12) Det indebærer, at vi til det oprindelig sæt kan tilføje lineært uafhængige vektorer og således finde en basis for V (M.T.3.13) Supremumegenskaben Søjlerum og billede Transponeret matrix, egenskaber Enhver ikke-tom, opad begrænset delmængde af R har en mindste øvre grænse. (P.S.3.26) Lad A være en m n matrix. Så er imµ A lig med søjlerummet for A. (M.T.6.22) Den transponerede matrix har følgende egenskaber: (M.T.7.9) 1. (A T ) T = A 2. (ra T ) = r(a T ) 3. (A + B) T = A T + B T 4. (AB) T = B T A T 5. Hvis A er kvadratisk, er (A 1 ) T = (A T ) 1 Trekantsuligheden, komplekse tal Lad w, z C. Så er (P.S.2.16) w + z w + z w z w z Trekantsuligheden, Reelle tal Lad r, s R. Så er (P.S.3.23) r + s r + s r s r s

33 2 SÆTNINGER M.V. 33 Trigonometriske additionsformler For alle reelle tal, s, t gælder (P.S.2.17) sin(s + t) = sin s cos t + cos s sin t sin(s t) = sin s cos t cos s sin t cos(s + t) = cos s cos t sin s sin t cos(s t) = cos s cos t + sin s sin t Udtyndingslemmaet, kontraktionslemmaet Antag at sættet (v 1,..., v n ) udspænder et vektorrum V. Så er en eller anden delmængde af sættet en basis for V. (M.T.3.11). Alternativ formulering: Antag, at v i er en linearkombination af v 1,..., v i 1, v i+1,..., v n. Da er span(v 1,..., v n ) = span(v 1,..., v i 1, v i+1,..., v n ) Så hvis man har et udspændende sæt, som ikke er lineært uafhængigt, kan man smide de lineært afhængige vektorer væk og opnå en basis for V. (Forel. 16) Underrumssætningen Antag, at S er en delmængde af et vektorrum V. Hvis 1. S 2. v, w S : v + w S - lukket under addition 3. v S r R : rv S - lukket under skalarmultiplikation så er S er underrum af V (M.T.1.11) Ved (M.Opg ) er S = { i a i v i a i R, v i V } et underrum af V. Bemærk også (M.Opg og 20): Hvis S og T er underrum af V. Så er S T også et underrum af V, men S T er det ikke nødvendigvis. Vektornul og alm. nul Lad v V. Så er 0v = 0 (M.T.1.4)

34 2 SÆTNINGER M.V. 34 Vektorrum, regneregler Antag, at v, w, x V og r, s R. M.T.1.7, M.T.1.8) 1. v + v = 0 2. r0 = 0 Da gælder følgende regneregler: (M.T.1.5, 3. Hvis rv = 0 så er r = 0 eller v = 0 (Nulreglen) 4. ( 1)v = v 5. Hvis v = v så er v = 0 6. ( v) = v 7. ( r)v = (rv) 8. r( v) = (rv) 9. Hvis v 0 og rv = sv, så er r = s 10. v 0 = v v = v 12. v w = w + v 13. v w = w v 14. (v + w) = v w 15. v ( w) = v + w 16. (v w) + w = v 17. (v + w) w = v 18. v (w + x) = (v w) x 19. v (w x) = (v w) + x 20. v ( w + x) = (v + w) x 21. v (w x) = (v + w) + x 22. r(v w) = rv (rw) 23. (r s)v = rv (sv) 24. Hvis v + x = w + x, så er v = w

35 2 SÆTNINGER M.V. 35 Øvre grænse Lad A R og b R. Så er følgende udsagn ensbetydende (P.S.3.6): 1. b er en øvre grænse for A 2. a A : a b 3. A ], b] 4. r R : r A b r 5. r R : b < r r / A Negeret fås (P.S.3.7) at følgende udsagn er ensbetydende 1. b er ikke en øvre grænse for A 2. a A : a > b 3. A ]b, [ 4. r R : r A b < r

36 3 REGNEREGLER 36 3 Regneregler Addition Hvis T er et talområde, gælder (P.Opg.1) r, s, t, u T : (r + s) + (t + u) = (r + t) + (s + u) Divergente talfølger (n Lad {a n } n=1 og {b n} n=1 underforstået) være reelle talfølger. Så gælder (P.L.4.22 og P.S.4.20) 1. a n, b n a n for n N b n 2. a n, r > 0 ra n 3. a n, b n a n + b n 4. a n, b n begrænset a n + b n 5. a n 1/a n 0 for alle a n 0 6. a n > 0, a n 0 1/a n Division Hvis L er et legeme, gælder (P.K.1.9) r, s L : r 0 s/r = s(1/r) 1/1 = 1 r L : r 0 1/(1/r) = r r, s L : r 0, s 0 1/(rs) = (1/r)(1/s) r, s, t, u L : s 0, t 0, u 0 (r/s)/(t/u) = (ru)/(st) P.opg.1.11 Indre produkt For det indre produkt gælder flg. regneregler: (M.D.4.1, M.T.4.2) 1. v, 0 = 0, v = 0 2. v, w = w, v 3. rv, w = v, rw = r v, w 4. v + w, x = v, x + w, x 5. v, w + x = v, w + v, x 6. r 1 e r n e n, e i = r i, e i er enhedsvektorer (Forel. 19)

37 3 REGNEREGLER 37 Komplekse tal For z = x + iy = (x, y) C gælder følgende Hvis w, z C gælder z = z z + z = 2x = (2x, 0) = 2Re z z z = 2iy = (0, 2y) = 2Im z zz = x 2 + y 2 = (x 2 + y 2, 0) z = x 2 + y 2 = zz z n = z n, arg z n = n arg z 1 z = 1 z, z 0 P.Opg.37 z 1 z 2 = z 1 z 2, z 2 0 P.Opg.37 ( ) 1 arg = arg z, z 0 P.Opg.37 z ( ) z1 arg = arg z 1 arg z 2, z 2 0 P.Opg.37 z 2 For w = r cos v + ir sin v : 1 z = z zz z 0 P.Opg.31 1 x + iy = x iy x 2 + y 2 w + z = w + z wz = wz arg(zw) = arg z + arg w z n = r n (cos nv + i sin nv) ( z n = c( 0) z = r 1/n cos v + 2kπ + i sin v + 2kπ ) n n cos v = eiv + e iv, sin v = eiv e iv 2 2i Re z = r cos v = x, Im z = r sin v = y r = x 2 + y 2 = zz cos v = x/r, sin v = y/r, dvs. tan v = sin v cos v = y x Hvis z = 0 er ethvert reelt tal v en værdi af arg z, k = 0, 1,... n 1

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +

Læs mere

Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet

Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer

Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 12 Matrixmultiplikation Am n = [aij ], Bn

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016

Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016 Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Lidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion

Lidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion Definition : vektorrum, vektorer Et vektorrum er en mængde af elementer med operationerne sum (+) og numerisk multiplikation (), så følgende regler gælder for alle a, b, c og for alle reelle tal s, t R.

Læs mere

6.1 Reelle Indre Produkter

6.1 Reelle Indre Produkter SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Matematik for økonomer 3. semester

Matematik for økonomer 3. semester Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske

Læs mere

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal.

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal. SEKTION 11 LEGEMER 11 Legemer Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal Definition 111 Et legeme F er en mængde udstyret

Læs mere

Lineær Algebra, TØ, hold MA3

Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Hilbert rum. Chapter Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter Indre produkt rum Chapter 4 Hilbert rum 4.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016 Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.

Læs mere

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Nøgleord og begreber

Nøgleord og begreber Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første

Læs mere

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g

Læs mere

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix

Læs mere

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en

Læs mere

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Matematik og FormLineære ligningssystemer

Matematik og FormLineære ligningssystemer Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger Den lineære ligning 2x=3 kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 på begge sider, så vi får:

Læs mere

DesignMat Uge 11. Vektorrum

DesignMat Uge 11. Vektorrum DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat) Lad L betegne R eller C. Lad V være en

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

DesignMat Komplekse tal

DesignMat Komplekse tal DesignMat Komplekse tal Preben Alsholm Uge 7 Forår 010 1 Talmængder 1.1 Talmængder Talmængder N er mængden af naturlige tal, 1,, 3, 4, 5,... Z er mængden af hele tal... 5, 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, 5,....

Læs mere

Matematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer

Matematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer Matematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2016 1 / 10 Ligningssystemer og matricer Ligningssystem totalmatrix Til et ligningssystem

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær. er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).

Læs mere

Underrum - generaliserede linjer og planer

Underrum - generaliserede linjer og planer 1 Om miniprojekt 2 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer. Systematisk information om grafer/netværk (som i Dagens anvendelse kursusgang 9): Flyforbindelser. Skemalægning.

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

DesignMat Uge 11 Vektorrum

DesignMat Uge 11 Vektorrum DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation

Læs mere

1.1. n u i v i, (u, v) = i=1

1.1. n u i v i, (u, v) = i=1 1.1 1. Hilbert rum 1.1. Hilbert rum og deres geometri. Definition 1.1. Et komplekst vektor rum V kaldes et indre produkt rum (eller præ-hilbert rum), når det er forsynet med en funktion (, ): V V C, som

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer

Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer Indhold Lineære afbildninger og matricer Talrummene R n, C n Matricer 8 3 Lineære afbildninger 4 Matrix algebra 8 5 Invers matrix 6 6 Transponeret og adjungeret matrix 9 Række- og søjleoperationer Lineære

Læs mere

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme

Læs mere

Diagonalisering. Definition (diagonaliserbar)

Diagonalisering. Definition (diagonaliserbar) 1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og

Læs mere

Lineær Algebra, kursusgang

Lineær Algebra, kursusgang Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.

Læs mere

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra (Prøve)eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt bestaår af 9 nummererede sider med ialt 15 opgaver.

Læs mere

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Mat10 eksamensspørgsmål

Mat10 eksamensspørgsmål Mat10 eksamensspørgsmål Martin Geisler 9. januar 2002 Resumé Dette dokument er en gennemgang af de eksamensspørgsmål der blev stillet til den mundtlige eksamen i Mat10, januar 2002

Læs mere

To ligninger i to ubekendte

To ligninger i to ubekendte Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus

Læs mere

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen

Læs mere

4.1 Lineære Transformationer

4.1 Lineære Transformationer SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for

Læs mere

Note om endelige legemer

Note om endelige legemer Note om endelige legemer Leif K. Jørgensen 1 Legemer af primtalsorden Vi har i Lauritzen afsnit 2.1.1 set følgende: Proposition 1 Lad n være et positivt helt tal. Vi kan da definere en komposition + på

Læs mere

Oversigt [LA] 11, 12, 13

Oversigt [LA] 11, 12, 13 Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

n=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen

n=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen 2 Hilbert rum 2. Eksempler på Hilbert rum Vi skal nu først forsøge at begrunde, at de indre produkt rum af funktioner eller følger, som blev indført i Kapitel, ikke er omfattende nok til vores formål.

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Matematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.

Matematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen

Læs mere

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet

Eksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 4. januar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider

Læs mere

LinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013

LinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 LinAlg 2013 Q3 Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 1 Lineær algebra Dispositioner - Dispo 0 2013 Contents 1 Løsninger, og MKL, af lineære ligningssystemer 3 2 Vektorrum

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji

Læs mere