Denne kaldes også potensmængden over Ω og betegnes ofte 2 Ω. Notationen beror på, at man via relationen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Denne kaldes også potensmængden over Ω og betegnes ofte 2 Ω. Notationen beror på, at man via relationen"

Transkript

1 Idledig. De modere sadsylighedsteori, hvis aksiomatiske basis blev formuleret af russere A.N. Kolmogorov i 1933 i boge Grudbegriffe der Wahrscheilichkeitrechug, er bygget op omkrig et tripel ofte beteget (Ω, F, P ). Her er Ω e ikke-tom mægde tit omtalt som det basale udfaldsrum, da det i mage sammehæge er relevat at tæke på de ekelte pukter i Ω som mulige udfald (elemetar udfald) af det komplekse (tilfældige) system, ma øsker at beskrive. Det eksplicitte valg af Ω varierer meget. Hvis det f.eks. drejer sig om kast med e terig, er det ærliggede at lade Ω være mægde {1,..., 6}, hvorimod det i forbidelse med kursudviklig af f.eks. obligatioer er aturligt at lade Ω være e delmægde af mægde af ikke-egative fuktioer defieret på et iterval [0, T ], hvor T er de tidshorisot, ma øsker at beytte. F, der beteges modelles hædelsessystemet, består af de samliger af elemetar udfald, vi er iteresserede i. D.v.s. et elemet A i F e såkaldt hædelse er e delmægde af Ω. F er derfor e delmægde af mægde af alle delmægder af Ω, d.v.s. mægde {A A Ω }. Dee kaldes også potesmægde over Ω og beteges ofte 2 Ω. Notatioe beror på, at ma via relatioe f {ω Ω f(ω) = 1} ka idetificere {A A Ω } og mægde af fuktioer fra Ω {0, 1}. I overesstemmelse med, at F består af de samliger af udfald, vi er iteresserede i, forlages flg. tre betigelser opfyldte 1) Ω F 2) A F A c F 3) =1 A F hvis A 1,... A,... F. Kravee 1), 2) og 3) udtrykkes kort ved at sige, at F er e σ-algebra i Ω. Triplets sidste del er det såkaldte sadsylighedsmål P, d.v.s. e fuktio fra F [0, 1]. Dets værdi P (A) på e hædelse A F kaldes sadsylighede for A eller syoymt sadsylighede for at A idtræffer. Udover kravet om, at alle sadsyligheder skal ligge mellem 0 og 1, kræves yderligere 1) P (Ω) = 1 2) P ( A ) = =1 P (A ) hvis A 1,... A,... F er parvis disjukte. =1 1) udtrykker, at de sikre hædelse idtræffer med sadsylighed 1, og 2) omtales som de tællige additivitet. Dee medfører, som vi seere skal se, det ituitivt 1

2 lettere forståelige begreb edelig additivitet, d.v.s. P (A B) = P (A) + P (B) for disjukte hædelser A, B F. Eksempler viser, at edelig additivitet ikke medfører tællelig additivitet, me 2) ka, som det let ses, erstattes med et krav om edelig additivitet samt voksede kotiuitet, d.v.s. P (A ) P (A) hvis A 1 A 2 og A = A. =1 Potesmægde over Ω er klart e σ-algebra i Ω, og ma ka med god ret udre sig over, hvorfor ma ikke altid lader 2 Ω udgøre hædelsessystemet, d.v.s. atager at ehver delmægde er e hædelse. Me for store Ω, f.eks. Ω = R, er atallet af delmægder af Ω så utroligt stort, at de tællige additivitet for alle sæt af parvis disjukte mægder ku ka være opfyldt uder meget strege krav, som udelukker mage iteressate mål. Vi er derfor tvuget til at arbejde med midre σ-algebraer. For at kue udvikle de øskede sadsylighedsteori må vi først geemgå lidt abstrakt mål og itegralteori. Dette foregår i et geerelt målrum (E, E, µ), hvor (E, E) er et såkaldt måleligt rum, d.v.s. e ikke-tom mægde udstyret med e σ-algebra, og µ er et mål på E, d.v.s. µ : E R + opfyldede µ( ) = 0 og µ( A ) = =1 µ(a ) for parvis disjukte A 1,..., A,... E. =1 Det relevate stof er ideholdt i oteres første 8 afsit. Her omtales ligeledes de såkaldte målelige fuktioer, et begreb der i e sadsylighedsteoretisk sammehæg svarer til stokastiske variable. Geemgage forvetes at strække sig over første kvarter, d.v.s. idtil efterårsferie. I adet kvarter veder vi os mod studiet af et sadsylighedsfelt (Ω, F, P ). Det vigtige begreb uafhægighed defieres, og middelværdi begrebet idføres som et itegral over Ω. Deræst diskuteres koverges af målelige fuktioer, med speciel vægt på stokastiske variable, og efteråret afsluttes med e behadlig af spørgsmålet om eksistes af specifikke målrum, d.v.s. kostruktio af mål med forudgive værdier på særligt pæe mægder. Et vigtigt eksempel er her kostruktioe af lægdemålet på de reelle akse ud fra dets værdier på edelige itervaller. 2

3 Målelige rum. De matematiske ramme for målteorie er et såkaldt måleligt rum (E, E), beståede af e ikke tom mægde E og e delmægde E af 2 E, mægde af alle delmægder af E, som opfylder (1) : E E, (2) : A E A c E og (3) : (A i ) i 1 E A i E. Elemetere i E kaldes ofte de målelige mægder. A c beteger her komplemetet til A i E, d.v.s. A c := E\A = {e E e / A}. Da A = (A c ) c ka (2) ækvivalet formuleres som : A E A c E. Et mægdesystem i E, eller syoymt mægde af delmægder af E, som opfylder (1), (2) og (3), d.v.s. ideholder hele mægde E samt er stabil uder komplemetær og tællelig foreigsmægde daelse (C-stabil og c-stabil), kaldes e σ-algebra af delmægder i E eller kort e σ-algebra i E. Et måleligt rum er altså e mægde udstyret med e σ-algebra af delmægder. Da E c = viser (1) og (2) at ehver σ-algebra ideholder de tomme mægde, og da A i = B i hvor B i = A i i 1, sikrer (3) ligeledes stabilitet uder edelig foreigsmægde daelse ( f-stabil), d.v.s. (4) : A 1,..., A E A i E. Et mægdesystem A i E, der opfylder puktere (1), (2) og (4), kaldes e algebra i E. Ehver σ-algebra er derfor specielt e algebra, hvorimod eksempler (se edefor) viser, at der fides algebraer, der ikke er σ-algebraer. Simpel iduktio viser, at (4) ækvivalet ka formuleres som A, B E A B E. Da mægdeoperatioere fællesmægde og differesmægde daelse ka daes ved hjælp af foreigsmægde og komplemetærmægde daelse via formlere A B = (A c B c ) c og A\B = A B c = (A c B) c har vi flg. resultat vedrørede algebraer og σ-algebraer. Lemma 1 Ehver algebra A er stabil uder edelig fællesmægde samt mægdedifferes daelse, d.v.s. A, B A A B A og A\B A. Yderligere er e ehver σ-algebra stabil uder tællelig fællesmægde daelse. 3

4 Bevis. Formlere A B = (A c B c ) c og A\B = (A c B) c viser, at ehver algebra er stabil uder edelig fællessmægde samt mægdedifferes daelse. D.v.s. f-stabil og \-stabil. Tilsvarede viser flg. idetitet gældede for vilkårlige mægder A 1, A 2, ( ) c A i = A c i, at σ-algebraer er stabile uder tællelig fællesmægde daelse ( c-stabil). For hvis A i ere er elemeter i e σ-algebra E, gælder dette også A c i ere og dermed de tællelige foreigsmægde A c i tillige med des komplemet. Øvelse 1. Sæt E = R. Defier B := {A R A eller A c er tællelig } og A := {A R A eller A c er edelig }. Vis at B er e σ-algebra, og at A er e algebra, me ikke e σ-algebra. Hvis grudmægde E ideholder mere ed to elemeter, fides der midst to forskellige σ-algebraer i E emlig mægdesystemere {, E} og 2 E. Disse udgør h.h.v. de midste og de største σ-algebra i E, da {, E} E 2 E. for ehver ade σ-algebra E i E. De er dog sjældet iteressate, thi de første er geerelt for lille og de ade for stor, i hvert fald hvis E er overtællelig, d.v.s. ikke tællelig. Det er ikke svært at se, at hvis E 1 og E 2 er σ-algebraer i E, så gælder dette også da (1) E E 1 E 2 da E E 1 og E E 2. E 1 E 2 := {B 2 E B E 1 og B E 2 }, (2) A E 1 E 2 A E i og dermed A c E i for i = 1, 2 A c E 1 E 2. (3) (A ) 1 E 1 E 2 (A ) 1 E i og dermed =1 A E i for i = 1, 2, d. v.s. =1 A E 1 E 2. Argumetet geeraliserer uædret til e vilkårlig familie af σ-algebraer, hvilket åber mulighed for, at defiere σ-algebraer af type midste σ-algebra der ideholder et givet sæt af mægder G. Ordet midste skal her forstås i h.h.t. iklusio. For da 2 E er e σ-algebra, som ideholder G, er der ved defiitioe σ(g) := F hvor F geemløber alle σ-algebraer, som ideholder G, d.v.s. G F, defieret e σ-algebra i E. σ(g) er de midste, der ideholder G, da de pr. defiitio er 4

5 ideholdt i ehver σ-algebra F, som ideholder G. σ(g) er derfor lig G, hvis G er e σ-algebra, d.v.s. specielt σ(σ(g)) = σ(g), og ligeledes er σ(g 1 ) σ(g 2 ) hvis G 1 G 2. σ(g) omtales aturligt ok som de af G frembragte σ-algebra. Da e σ-algebra som ævt er C -, c- og c-stabil, er G c G σ G δ σ(g) og dermed, da G er ideholdt i både G σ og G δ, hvor vi har brugt otatioe σ(g) = σ(g c ) = σ(g σ ) = σ(g δ ), G c := {G c G G}, G σ := { G i G i G i 1}, G δ := { G i G i G i 1}. Eksempler. Det overlades til læsere at eftervise de ubeviste påstade. 1) σ({a}) = {A, A c,, E}. 2) Hvis {A 1,..., A } udgør e edelig partitio af E, d.v.s. er parvis disjukte, A i A j = for i j, og E = A i, er σ({a 1,..., A }) = {B E B = i I A i, I {1,..., }}. Atallet af elemeter i σ({a 1,..., A }) er derfor højst 2, med lighedsteg hvis A i for i = 1,...,. Argumet. Lad G betege {A 1,..., A }. Da højreside etop er G σ, er de ideholdt i σ(g), og der vil derfor gælde =, hvis G σ i dee situatio udgør e σ-algebra. Me dette følger af formlere E = A i, ( A i ) c = i {1,...,} i I i I c A i og ( A i ) = A i. =1 i I i =1 I Resultatet geeraliserer med samme argumet til følgede. 3) Hvis (A i ) i 1 udgør e tællelig partitio af E, d.v.s. A i ere er parvis disjukte og E = A i, er σ((a i ) i 1 ) = {B E B = i I A i, I N}. Hvis A i for mere ed edelig mage i, er σ((a i ) i 1 ) overtællelig. 5

6 Hvis mægdere i 2) og 3) ikke er disjukte, er situatioe midre geemskuelig. Betragt f.eks. et vilkårligt edeligt sæt {A 1,..., A }. Til ehver af de 2 forskellige delmægder I af {1,..., } tilordes e mægde B I bestemt ved B I := A i A c i. i I i I c Det overlades til læsere at idse, at det herved fremkome sæt {B 1,..., B 2 } udgør e edelig partitio af E, samt at σ({a 1,..., A }) = σ({b 1,..., B 2 }). Atallet af elemeter i σ({a 1,..., A }) er derfor 2 m, hvor m er atallet af ikketomme B i er, d.v.s. m = 2, hvis ige af B i ere er tomme. Notatio. E σ-algebra E siges at være tællelig frembragt, hvis E = σ((a ) 1 ) for e følge (A ) 1 2 E. Bemærk at ehver tællelig frembragt σ-algebra E er på forme E = σ(a), hvor A er e algebra ideholdede højst tællelig mage elemeter, f.eks. A = =1 σ({a 1,..., A }), hvis E = σ((a ) 1 ). I mage teoretiske sammehæge er det give system G stabil uder edelig geemsit (syoym for fællesmægde), d.v.s. A, B G A B G. Dee situatio er speciel vigtig, fordi σ(g), som vi u skal se, her ka beskrives på e alterativ simplere måde. For lettere at kue formulere resultatet, der er kedt uder avet Dyki s Lemma, idføres flg. otatio. Notatio. D 2 E kaldes et d-system, hvis D opfylder flg. tre pukter a) E D b) A, B D og B A A\B D c) (A ) 1 D og A A +1 =1 A D. Da B c = E\B sikrer a) og b) stabilitet uder komplemetærmægde daelse. Pukt c) udtrykkes kort ved at sige, at D er -stabil, d.v.s. lukket uder tællelig voksede foreig. Da D er stabil uder komplemetærmægde daelse, er de ligeledes -stabil, d.v.s. lukket uder tællelig aftagede geemsit. I overesstemmelse med det tidligere defieres for ethvert G 2 E D(G) := D hvor D geemløber alle d-systemer, som ideholder G, d.v.s. G D. Simple argumeter viser, at D(G) er det midste d-system, som ideholder G. Med dee otatio på plads gælder. 6

7 Lemma 2 Dyki s Lemma. Hvis G 2 E er stabil uder edelig geemsit, er σ(g) = D(G). Bevis. Da ehver σ-algebra er et d-system, er iklusioe klar, og de ade følger pr. defiitio af σ(g), hvis vi viser, at D(G) er e σ-algebra, d.v.s. opfylder (1), (2) og (3) på side 3. Her er (1) og (2) allerede klaret. Hvad agår (3) viser de geerelle idetitet ( ) B = B k, =1 =1 k=1 at c-stabilitet og f-stabilitet er det samme for -stabile mægdesystemer, og da D(G) er -stabil, magler vi derfor ku at vise, at D(G) er stabil uder edelig foreigsmægde daelse. Me da D(G), som ævt, er stabil uder komplemetærmægde daelse, er dette ækvivalet med at vise stabilitet uder edelig fællesmægde daelse, d.v.s. A B D(G) for alle A, B D(G). Lad hertil G G være givet. Betragt flg. delmægde af D(G) D(G) := {B D(G) B G D(G)}. Udyttes at D(G) er et d-system, ses umiddelbart at D(G) ligeledes er et d-system, og da de pr. atagelse ideholder G, er de lig D(G). D.v.s. G B D(G) for alle G G og B D(G). Vælg deræst et A D(G) og defier tilsvarede D(A) := {B D(G) A B D(G)}. Ifølge det etop viste er G D(A) D(G), og da D(A) tilsvarede ses at være et d-system, er D(A) = D(G). Da dette gælder for ethvert A i D(G), har vi hermed vist de øskede stabilitet uder edelig fællesmægde daelse. Vi vil i det følgede møde mage miimal σ-algebraer. Et første vigtigt eksempel er de såkaldte produkt σ-algebra E F på produktrummet E F, daet ud fra to give målelige rum (E, E) og (F, F). Udtrykt i de ovefor idførte otatio er E F := σ({a B A E, B F}), d.v.s. produkt σ-algebrae er de midste σ-algebra i E F, der ideholder alle produktmægder, hvis sider er målelige. Skøt således frembragt af produktmægder er det værd at uderstrege, at E F ideholder mægder, som ikke er af produkttype. Bemærk at mægde af kasser med målelige sider er stabil uder edelig geemsit, idet (A 1 B 1 ) (A 2 B 2 ) = (A 1 A 2 ) (B 1 B 2 ). Procedure udvider umiddelbart til situatioer med edelig eller edog tællelig mage faktorer. For at spare plads bruges ofte otatio som ( E i, E i ), og hvis faktorere er es skrives f.eks. E 2 i stedet for E E. 7

8 Vigtig regel. For at vise, at alle elemeter i e σ-algebra af type σ(g) har e give egeskab p, er det ok at vise, at ethvert G G har egeskabe p, samt at E p := {A E A har egeskabe p} udgør e σ-algebra i E. Thi i så fald har vi altså, at G E p og dermed σ(g) E p, da E p er e σ-algebra. Hvis G er stabil uder edelig geemsit, er det ok at vise, at E p er et d-system. Øvelse 2. Vis at et mægdesystem E 2 E er e σ-algebra, hvis og ku hvis E er både e algebra og et d-system. Defier for ethvert G 2 E Mo(G) := M hvor M geemløber alle -stabile mægdesystemer ideholdede G. Overvej at Mo(G) er stabil og kokluder her ud fra, at Mo(G) er det midste mægdesystem, der ideholder G og er stabil. Vis deræst at Mo(A) = σ(a), hvis A er e algebra. Vik: Vis at Mo(A) er e algebra, d.v.s. C-stabil og f-stabil. Kopier bevistekikke i Dyki s lemma. 8

9 Borel σ-algebraer. Lad (S, d) betege et metrisk rum. Vigtige eksempler er som bekedt R eller mere geerelt R udstyret med de sædvalige Euklidiske metrik. Lad U betege mægde af åbe delmægder af S, d.v.s. e delmægde U S ligger i U hvis x U r > 0 : b(x, r) U, hvor b(x, r) = {y S d(x, y) < r} er de åbe kugle med cetrum x og radius r. (Overvej at b(x, r) er åbe.) Ud fra de åbe mægder defieres de såkaldte Borel σ-algebra B(S) som de midste σ-algebra, der ideholder alle åbe mægder, d.v.s. B(S) := σ(u). Da mægdesystemet U c = {G c G S åbe} pr. defiitio etop er mægde af lukkede delmægder af S, ka B(S) ækvivalet beskrives som de midste σ- algebra, der ideholder alle lukkede delmægder af S. Hvis ikke adet eksplicit siges, er det altid Borel σ-algebrae, ma beyter i et metrisk rum, og ligesom mægde af åbe mægder ædres de ikke ved skift til e ækvivalet metrik. Hvis (S, d) er separabel, d.v.s. der fides e tællelig delmægde (x i ) i 1 S, så at x S r > 0 i 1 : x i b(x, r) (ma udtrykker dette ved at sige, at (x i ) i 1 er tæt i S), ka B(S) også beskrives, som σ-algebrae frembragt af alle åbe kugler i (S, d). Thi hvis (x i ) i 1 er e tællelig tæt mægde i S, gælder for ehver åbe delmægde U i S, at U = (i,j), b(x i,j 1 ) U Bevis. (tæk på R med de sædvalige metrik) b(x i, j 1 ). Lad x U være givet. Da U er åbe, fides der et j 1, så at b(x, j 1 ) U. Vælg u x i b(x, (2j) 1 ) og betragt kugle b(x i, (2j) 1 ). De grudlæggede egeskaber ved e metrik, specielt trekatsulighede, sikrer, at hvilket viser de postulerede lighed. x b(x i, (2j) 1 ) b(x, j 1 ) U, I separable metriske rum er ehver åbe mægde altså e tællelig foreigsmægde af åbe kugler, og Borel σ-algebrae er derfor frembragt af de åbe kugler. Bemærk at argumetet mere præcist viser, at B(S) = σ({b(x i, j 1 ) i, j 1}), d.v.s. B(S) er tællelig frembragt, hvis (S, d) er separabel. 9

10 Lad os et øjeblik se på, hvad dette betyder i tilfældee R og R. Disse rum er separable, thi Q og Q, d.v.s. puktere i R med ratioale koordiater, er tællelige tætte delmægder af h.h.v. R og R. Da itervallere af forme ] a, b [ for < a < b < etop er de åbe kugler i de Euklidiske metrik, idet b(x, r) = ] x r, x + r [ og dermed ]a, b[ = b((a + b)/2, (b a)/2), fås derfor, at B(R) = σ({ ] a, b [ < a < b < }). Tilsvarede er B(R ) = σ({ ] a i, b i [ < a i < b i < i = 1,..., }), hvor ] a i, b i [ = {(x 1,..., x ) R a i < x i < b i i = 1,..., }. Det flerdimesioale tilfælde idses lettest ved at bruge metrikke d (x, y) := max 1 i x i y i for x = (x i ) 1 i, y = (y i ) 1 i R. d er ækvivalet med de Euklidiske metrik på R, og de tilhørede åbe kugler er af forme ] a i, b i [, hvor katlægde b i a i er uafhægig af i. Me der fides mage adre frembrigersystemer. F.eks. viser idetitetere ø- verst side 5 samme med lighede ] a, b [ = [ a + 1/, b 1/ ], =1 at B(R) også er frembragt af mægde af lukkede itervaller (detaljere overlades til læsere). Til seere brug fremhæves specielt flg. resultat. Bemærk at de to frembrigersystemer begge er stabile uder edelig geemsit. Lemma 3 B(R) er frembragt af mægdesystemet {(, b ] b R}, og tilsvarede er B(R ) frembragt af { (, b i ] b i R i = 1,..., }. Bevis. Vi viser ku det edimesioale tilfælde. Det geerelle går aalogt. Lad B betege σ({(, b ] b R}). Da (, b ] er e lukket mægde, er B σ({lukkede mægder}) = B(R). D.v.s. det drejer sig om at vise, at B er stor ok, f.eks. at de ideholder ethvert åbet iterval ] a, b [. Me dette fås for alle a < b af lighede ] a, b [ = (, b [\(, a ] = (, b 1/ ] (, a ] c. =1 10

11 Øvelse 3. Defier for alle i Z og k 1 Di k := ](i j 1) 2 k, i j 2 k ]. j=1 Vis at mægde af disse akseparallelle dyadiske kasser frembriger B(R ), samt at {D k i i Z, k 1} { } er stabil uder geemsit. Hvis (S, d) er et metrisk rum, er det aturligt at udstyre produktrummet S med e såkaldt produktmetrik. E metrik d på S kaldes e produktmetrik, hvis d-koverges af e puktfølge i S er ækvivalet med d-koverges af de tilhørede koordiatfølger, d.v.s. lim k x k = x i (S, d) lim k x k,i = x i i = 1,..., i (S, d). hvor x k = (x k,1,..., x k, ) og x = (x 1,..., x ). Bemærk at S er separabel i ehver produktmetrik, hvis S er separabel. F.eks. er {(x k1,..., x k ) k i 1 i = 1,..., }, tæt i S, hvis (x k ) k 1 er tæt i S. Vigtige eksempler på produktmetrikker er d (x, y) := max d(x i, y i ), d 1 (x, y) := d(x i, y i ) og d 2 (x, y) := d(x i, y i ) 2 1 i for x = (x i ) 1 i, y = (y i ) 1 i S. (Tæk over dette) Da S ka opfattes både som et produktrum og et metrisk rum, er B(S) og B(S ) begge aturlige σ-algebraer på S. Det er derfor oplagt at udersøge deres idbyrdes sammehæg. Sætig 1 edefor viser, at der altid gælder B(S) B(S ), me hvis S er separabel, gælder der, som vi u skal vise, lighedsteg. Propositio 1 For ethvert separabelt metrisk rum (S, d) er B(S) = B(S ) for 2. Specielt er B(R ) = B(R) for 2. Bevis. Af overskueligheds grude betragtes ku tilfældet = 2. Da Borel σ- algebrae er uafhægig af, hvilke produktmetrik der avedes, udstyres S S med metrikke d, d.v.s. d (x, y) := d(x 1, y 1 ) d(x 2, y 2 ) x = (x 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ) S S. Kuglere i dee metrik er produktmægder, idet b(x, r) = b(x 1, r) b(x 2, r) for r > 0, x = (x 1, x 2 ) S S. Da S er separabel, er S S, som ævt, separabel i d -metrikke. Ehver åbe mægde U S S er derfor e tællelig foreigsmægde af produktmægder og dermed elemet i B(S) B(S) = B(S) 2. D.v.s. B(S 2 ) = σ({u U S S åbe}) B(S) 2. 11

12 For at vise de ade iklusio betragtes mægdesystemet Formlere B 1 := {A B(S) A S B(S 2 )}. S S = S 2, A c S = (A S) c og ( A i ) S = (A i S). viser, at B 1 er e σ-algebra; og da U S er åbe i S 2 og dermed elemet i B(S 2 ) for ehver åbe mægde U, ideholder B 1 alle åbe mægder og udgør derfor hele B(S). Tilsvarede vises og derfor S B B(S 2 ) for alle B B(S), A B = (A S) (S B) B(S 2 ) for alle A, B B(S), hvilket pr. defiitio af B(R) 2 viser iklusioe B(R) 2 B(R 2 ). Øvelse 4. Lad (S, d) betege et metrisk rum. Vis at ehver lukket mægde F er et tælleligt geemsit af åbe mægder. Vik: Vis og udyt at F = G =1 hvor G := x F b(x, 1/). Overgag til komplemetet viser derfor, at ehver åbe mægde er e tællelig foreigsmægde af lukkede mægder. Deducer herudfra, at B(S) = Mo(G), hvor G ete er mægde af alle åbe mægder h.h.v. mægde af alle lukkede mægder. Vik: Kopier fremgagsmåde i Øvelse 2. Lad mig som afslutig bare æve, at hvis A er e ikke-tom delmægde af et metrisk rum (S, d), så er (A, d) ige et metrisk rum, og de tilhørede Borel σ-algebra B(A) opfylder B(A) = {A B B B(S)}, d.v.s. B(A) B(S) hvis A B(S). Lighede skyldes, at e delmægde U A er åbe i (A, d), hvis og ku hvis U = A Ũ hvor Ũ er åbe i (S, d). Bemærk at (A, d) er separabel, hvis (S, d) er separabel. For hvis (x ) 1 er tæt i (S, d), så er, idet y beteger et fast pukt i A, (y,k ),k 1 tæt i (A, d), hvor for give, k 1 puktet y,k er valgt i h.h.t. y,k A b(x, 1/k) hvis dee mægde er ikke-tom og y,k = y ellers. 12

13 Målelige fuktioer. I det følgede beteger (E, E) og (F, F) målelige rum. Som det er aturligt i mage matematiske sammehæge, betragtes afbildiger mellem E og F, som harmoerer med de give målelige struktur. Disse såkaldte målelige afbildiger defieres som følger. Defiitio E fuktio f : E F er målelig, mere præcist (E, F) målelig, hvis f 1 (F) := {f 1 (B) B F} E d.v.s. f 1 (B) := {e E f(e) B} E for alle B F. E fuktio er altså målelig, hvis og ku hvis urbilledet af ehver målelig mægde i F er e målelig mægde i E. I stedet for f 1 (B) skrives ofte kort {f B}. Vi skal i dette afsit udlede forskellige egeskaber ved målelige fuktioer samt i vigtige specialtilfælde udersøge, hvorda målelighed eftervises. Som bekedt bevares de gægse mægdeoperatioer ved iversbilled-daelse, specielt er f 1 ( i A i ) = i f 1 (A i ) og f 1 (A c ) = f 1 (A) c. For ehver fuktio f : E F er mægdesystemere {f 1 (B) B F} og {B F f 1 (B) E} derfor σ-algebraer i h.h.v. E og F og dermed f 1 (σ(g)) = σ(f 1 (G)). for ethvert mægdesystem G i F. For da vestreside, som ævt, er e σ-algebra i E, som omfatter f 1 (G), er iklusioe klar, og de ade følger, da {B σ(g) f 1 (B) σ(f 1 (G))} er e σ-algebra i F ideholdede G. Som kosekves heraf fås flg. vigtige regel. M1 Hvis F = σ(g) for et mægdesystem G i F, så gælder for f : E F, at f er (E, F)-målelig f 1 (G) E for alle G G. σ-algebrae {f 1 (B) B F} beteges σ(f) og omtales ofte som de af f frembragte σ-algebra. Bemærk at de afhæger af F. E simpel overvejelse viser, at σ(f) er de midste σ-algebra i E, som gør f målelig, som fuktio id i det målelige rum (F, F), d.v.s. σ(f) = B. hvor B varierer over alle σ-algebraer i E, hvor f er (B, F)-målelig. 13

14 Hvis F er tællelig frembragt, gælder dette også σ(f), thi ifølge det oveståede er F = σ((a ) 1 ) σ(f) = σ((f 1 (A )) 1 ). Tilsvarede beteger σ((f i ) i I ) de midste σ-algebra i E, som gør e familie (f i ) i I af fuktioer målelige. f i er her for ethvert i e fuktio fra E id i et måleligt rum (F i, F i ). Her gælder derfor, at σ((f i ) i I ) = σ({f 1 i (A i ) i I, A F i }). Hvis (F 1, F 1 ) er edu et måleligt rum og f : E F og g : F F 1 er give fuktioer, følger af reglere for daelse af urbillede, at (g f) 1 (B) = f 1 (g 1 (B)) for alle B F 1. Dette viser alt i alt følgede vigtige resultater agåede målelighed. M2 Målelighed bevares ved sammesætig, d.v.s. hvis f er (E, F)-målelig, og g er (F, F 1 )-målelig, så er g f (E, F 1 )-målelig. M3 f er (E, σ(g))-målelig, hvis og ku hvis g f er målelig m.h.t. (E, F 1 ). De sidste regel geeraliserer uædret til situatioer med flere afbildiger. Tilfældet (F, F) = (R, B(R)) er særligt vigtigt, og giver derfor aledig til e speciel otatio, idet mægde af målelige reelle fuktioer defieret på (E, E) beteges M(E), d.v.s. M(E) := {f : E R f er (E, B(R))-målelig}. Samme med Lemma 3 viser M1, at der for f : E R gælder f M(E) {f x} E for alle x R. Ifølge gægs otatio skrives kort {f x} i stedet for f 1 ((, x]). Beyttes adre frembrigersystemer opås ækvivalete beskrivelser af elemetere i M(E). De begræsede h.h.v. de ikke egative elemeter i M(E), bruges så ofte, at de får e selvstædig betegelse bm(e) := {f M(E) r < f(e) r for alle e E}, M(E) + := {f M(E) f(e) 0 for alle e E} og bm(e) + := bm(e) M(E) +. I edeståede Lemma 4 og 5 formuleres og vises forskellige egeskaber ved de vigtige fuktiosklasse M(E). Me for at forstå beviset for Lemma 4 må vi først studere to i sig selv iteressate problemstilliger. Det drejer sig dels om målelighed i forbidelse med produktrum og dels om samspillet mellem målelighed og kotiuitet. 14

15 Vi starter med det sidste. I har i tidligere kurser studeret kotiuerte fuktioer, så i sammehæge her er det aturligt at udersøge disse ud fra et målelighedssyspukt. Betragt derfor to målelige rum (S 1, B(S 1 )) og (S 2, B(S 2 )), hvor (S i, d i ) ere er metriske rum med tilhørede Borel σ-algebraer. De kotiuerte fuktioer fra S 1 id i S 2 er her e iteressat klasse, og da kotiuitet af e fuktio f : S 1 S 2, d.v.s. x S 1 ɛ > 0 δ > 0 : d 1 (x, y) δ d 2 (f(x), f(y)) ɛ ækvivalet ka formuleres som x S 1 ɛ > 0 δ > 0 : b(x, δ) f 1 (b(f(x), ɛ)) ses, at kotiuitet medfører, at f 1 (U) er åbe i S 1, hvis U er åbe i S 2. Som e kosekves af M1 og defiitioe på Borel σ-algebrae fås derfor. Sætig 1 Lad (S i, d i ) i = 1, 2 betege metriske rum. Da er ehver kotiuert fuktio f : S 1 S 2 Borel målelig, d.v.s. (B(S 1 ), B(S 2 ))-målelig. Øvelse 5. Lad (S, d) betege et metrisk rum. Vis at B(S) = σ(c(s)), hvor C(S) := {f : S R f kotiuert}. D.v.s. e afbildig g fra et måleligt rum (E, E) id i S er (E, B(S)) målelig, hvis og ku hvis f g M(E) for f C(S). Vik: For ehver lukket mægde F er fuktioe x d(x, F ) := if y F d(x, y) kotiuert og F = {d(, F ) = 0}. Lad deræst (E 1, E ) og (E 2, E 2 ) være målelige rum og betragt produktrummet E 1 E 2 udstyret med produkt σ-algebrae E 1 E 2. Defier projektiosafbildigere p E1 og p E2 ved Lighede p E1 (e 1, e 2 ) := e 1 og p E2 (e 1, e 2 ) := e 2 for alle (e 1, e 2 ) E 1 E 2. A B = (A E 2 ) (E 1 B) = p 1 E 1 (A) p 1 E 2 (B) hvor A E 1 og B E 2, viser, at E 1 E 2 = σ(p E1, p E2 ), d.v.s. projektiosafbildigere frembriger produkt σ-algebrae. Resultatet geeraliserer uædret til produktrum med mere ed to faktorer. Kombieres dette med Sætig 1 fås for ethvert metrisk rum (S, d), at hvis S udstyres med e produktmetrik, er B(S) B(S ), da de projektiosafbildiger fra S id i S er kotiuerte og dermed Borel målelige. Strukture af produkt σ-algebrae giver edvidere aledig til flg. resultater vedrørede produktrum. For at lette overskuelighede formuleres påstadee ku for to faktorer. (E i, E i ) og (F i, F i ) i = 1, 2 beteger her målelige rum. 15

16 M4 f = (f 1, f 2 ) : E F 1 F 2 er (E, F 1 F 2 )-målelig, hvis og ku hvis koordiatfuktioere f i : E F i er målelige m.h.t. (E, F i ) for i = 1, 2. M5 Hvis g : E 1 E 2 F er målelig m.h.t. (E 1 E 2, F), er g(, e 2 ) : e g(e, e 2 ) og g(e 1, ) : e g(e 1, e) målelige fra E 1 h.h.v. E 2 id i F for alle e 2 E 2 og e 1 E 1. Specielt er for ethvert U E 1 E 2 sektioere målelige, d.v.s. for alle e 1 E 1 og e 2 E 2 er U(e 1 ) := {e E 2 (e 1, e) U} E 2 og U(e 2 ) := {e E 1 (e, e 2 ) U} E 1. Bevis. M4 fås af M2 og M3, da f i = p Ei f for i = 1, 2. Første halvdel af M5 følger også af M2, idet g(e 1, ) = g ψ e1 for e 1 E 1 og g(, e 2 ) = g ψ e2 for e 2 E 2, hvor ψ ei ere er givet ved ψ e1 (e) = (e 1, e) for e E 2 og ψ e2 (e) = (e, e 2 ) for e E 1, og disse er ifølge M4 målelige m.h.t. (E 2, E 1 E 2 ) h.h.v. (E 1, E 1 E 2 ). Reste følger u af lighedere U(e 1 ) = ψe 1 1 (U) og U(e 2 ) = ψe 1 2 (U), da ψ e1 og ψ e2, som etop vist, er målelige fra E 2 h.h.v. E 1 id i E 1 E 2. Da B(R ) = B(R) ideholder M4 flg. vigtige kosekves. M6 Hvis f : E R har koordiatfuktioer f 1,..., f, d.v.s. f = (f 1,..., f ), gælder f er (E, B(R ))-målelig f i er (E, B(R))-målelig for i = 1,...,. Vi er u i klar til at formulere og bevise Lemma 4. Lemma 4 M(E) er et reelt vektorrum, som yderligere er stabil uder produkt og puktvis max og mi daelse. D.v.s. hvis f og g er elemeter i M(E), så gælder dette også f + g, f g, f g, f g og cf for alle c R. Bevis for Lemma 4. Da bevisere er idetiske, øjes vi med at vise målelighede af f +g. Ifølge M4 er e (f(e), g(e)) målelig m.h.t. (E, B(R 2 )), og da (x, y) x+y er e kotiuert reel fuktio på R 2 fås af Sætig 1, at sammesætige, d.v.s. e f(e) + g(e) = (f + g)(e), ligger i M(E). Stabilitete uder puktvis max og mi betyder, at M(E) = M(E) + M(E) +, thi for ethvert f M(E) defierer f + := f 0 og f := (f 0) 16

17 to elemeter i M(E) +, som opfylder f = f + f og f = f + + f. f + og f kaldes h.h.v. de positive og egative del af f. Bemærk at f + = x + (f) og f = x (f), hvor x + og x er de ikke-egative reelle kotiuerte fuktioer x + : x x 0 og x : x (x 0). C(S)-rum opfylder også Lemma 4, me som vi u skal se, bevares målelighed i modsætig til kotiuitet uder puktvis koverges af følger. M(E) har emlig yderligere flg. vigtige egeskab. Lemma 5 For ehver følge (f ) 1 i M(E) er C((f ) 1 ) := {e E lim f (e) eksisterer i R} σ((f ) 1 ) E; og fuktioe f : E R defieret ved lim f (e) hvis e C((f ) 1 ) f (e) := 0 ellers, er σ((f ) 1 )-målelig, d.v.s. specielt er f M(E). Bemærkig. Ade del gælder uædret i ethvert metrisk rum (S, d) forudsat C((f ) 1 ) E, hvorimod første del kræver, at (S, d) er fuldstædigt og separabelt. Nedeståede bevis gælder uædret i de mere geerelle situatio. Separabilitete sikrer, at e d(f(e), g(e)) M(E) for ethvert par af fuktioer f og g fra E id i S, som er målelige m.h.t. (E, B(S)). (Tæk over dette.) Bevis. Lad (f ) 1 M(E) være givet. Da R er fuldstædigt, er C((f ) 1 ) = {e E (f (e)) 1 er e Cauchy-følge i R} = {e E f (e) f m (e) < 1/k}, k=1 =1 m= hvilket viser første del. Skrives kort C i stedet for C((f ) 1 ), er det, da f 1 (B) = f 1 (B) C f 1 (B) C c B B(R), for at vise ade del ok at vise, at f 1 (F ) C E for ehver lukket mægde F i R, thi f 1 (F ) C c er ete E eller, da f er kostat lig 0 på C c. Me beteger som ovefor d(, F ) de kotiuerte fuktio d(x, F ) = if x y y F for alle x R 17

18 og d(f, F ) og d(f, F ) sammesætigere d(, F ) f og d(, F ) f, ses, da 0 d(f, F )(e) d(f, F )(e) for alle e C, at f 1 (F ) C = {d(f, F ) = 0} C = {d(f, F ) 1/k} C. k=1 =1 m= Påstade er derfor e kosekves af, at d(f, F ) ere alle er målelige. I forbidelse med itegralteorie er det bekvemt at kue betragte fuktioer med værdier i de udvidede reelle tal, d.v.s. mægde R := { } R { }. Udstyres R med σ-algebrae B(R) frembragt af mægdere { }, { } og (, x] for x R beteger M(E) mægde af E-målelige fuktioer med værdier i (R, B(R)). Notatioe B(R) idikerer, at der fides e metrik d på R, så at B(R) er de tilhørede Borel σ-algebra. d ka f.eks. vælges som d(x, y) = { x y 1 x, y R 1 ellers Udyttes M1 ses at e fuktio f : E R ligger i M(E), hvis og ku hvis f = 1 A + ( ) 1 B + h hvor A, B E er parvis disjukte og h M(E). M(E) ka derfor opfattes som e delmægde af M(E), og ved brug af de gægse udvidelser af regigsartere + og samt max og mi til R ses edvidere ved brug af Lemma 4, at f, g M(E) f g, f g og f g M(E). f + g ligger ligedes i M(E), hvis blot summe er puktvis veldefieret, d.v.s. hvis følgede geemsit er tomme {f = } {g = } og {f = } {g = }. Stabilitete uder max og mi betyder, at dekompositioe i positiv og egativ del stadig er mulig, idet vi til ethvert f M(E) tilorder to elemeter f + := f 0 og f := (f 0) i M(E) +, som ige opfylder f = f + f og f = f + + f. Det æste resultat kompletterer Lemma 5 og formuleres derfor som et korollar til dette. 18

19 Korollar Lad (f ) 1 betege e følge i M(E). Flg. fuktioer er da elemeter i M(E), d.v.s. E-målelige med værdier i de udvidede reelle tal, sup f, if f, lim sup f, lim if f, hvor lim sup f := if (sup k f k ) og lim if f := sup (if k f k ). Bevis. Det er ok at se på de to første, og disse følger af idetitere {sup f x} = samt lighedere {sup f = } = {f x} og {if f < x} = {f < x} for x R =1 =1 {f = } og {if f = } = {f = }. =1 =1 Øvelse 6. Udyt Korollaret til at give et bevis for Lemma 5 baseret på lim if f og lim sup f. Notatio. Til ethvert A E tilordes fuktioe 1 A, kaldet idikatorfuktioe for mægde A, defieret ved 1 hvis x A 1 A (x) := 0 hvis x A c. Da 1 A ku atager værdiere 0 og 1 og A = {1 A = 1} og A c = {1 A = 0}, er 1 A M(E), og forbidelse mellem e mægde og de tilhørede idikatorfuktio er eetydig. Her ud fra defieres de såkaldte simple fuktioer, beteget S(E), som uderrummet i M(E) frembragt af alle idikatorfuktioer, d.v.s. f S(E) f = (edelig) i a i 1 Ai a i R, A i E. Opskrivige er ikke etydig, og ma ka altid fide e, hvor A i ere udgør e edelig partitio. Dette er e kosekves af karakterisatioe S(E) = {f M(E) f(e) er e edelig mægde}, der tillige viser, at S(E) er stabil uder produkt samt puktvis max og mi, d.v.s. for alle f, g S(E) er f g, f g og f g S(E). Skøt S(E) er e forholdsvis lille mægde af fuktioer, spiller de e væsetlig rolle. Dette skyldes ikke midst følgede simple, me vigtige resultat. Korollaret følger umiddelbart af lemmaet ved opsplitig i positiv og egativ del. 19

20 Lemma 6 Lad f M(E) + være givet. Defier for ethvert 1 f := 2 k=1 (k 1)/2 1 { k 1 2 <f k 2 } + 1 {f>}. Da er (f ) 1 S(E) +, og f (e) f(e) for alle e E. Hvis f er begræset, d.v.s. 0 f r <, kovergerer f ere uiformt mod f, idet sup f(e) f (e) 2 for r, e E Korollar For ethvert f M(E) fides der e følge (f ) 1 S(E), så at f ere kovergerer puktvis mod f, og kovergese sker uiformt, hvis f er begræset, d.v.s. hvis 0 f r <. Bevis for Lemma 6. Følger af at f = φ (f) for 1, hvor φ : R R + er givet ved 2 φ (x) = (k 1)/2 1 ](k 1)/2, k/2 ](x) + 1 ], [ (x) x R 1. k=1 Til seere brug bemærkes, at φ (x) = k=1 1 ]k/2, [(x) for alle x R og 1. Dette beror på flg. simple omskrivig. 2 k=1 (k 1) 1 ](k 1)/2, k/2 ](x) = = 2 1 j=1 2 k=j k 1 k=2 j=1 1 ](k 1)/2, k/2 ](x) = 2 1 j=1 = 1 ]j/2, [(x) 2 1 ], [ (x). j=1 1 ](k 1)/2, k/2 ](x) 1 ]j/2, ](x) Følgede vigtige kosekves af Lemma 6 formuleres i to udgaver. 1) E delmægde V M(E) + udgør hele M(E) +, hvis a 1 ) V ideholder alle idikatorfuktioer. b 1 ) V er stabil uder sum og multiplikatio med positiv skalar. c 1 ) V er stabil uder puktvis mooto koverges, d.v.s. (f ) 1 V f f +1 for alle sup f V. 20

21 2) E delmægde V M(E) udgør hele M(E), hvis a 2 ) V ideholder alle idikatorfuktioer. b 2 ) V er et vektorrum. c 2 ) V er stabil uder puktvis mooto koverges, forudsat græsefuktioe er edelig, d.v.s. sup f V hvis (f ) 1 V, f f +1 og {sup f < } = E. For at vise at alle elemeter i M(E) har e give egeskab p, er det derfor ok at idse, at mægde {f M(E) f opfylder p} opfylder puktere a 2 ), b 2 ) og c 2 ). Metode, der er e fuktiosudgave af Dyki s Lemma og kedt uder avet Stadardbeviset, er yderst avedelig. De ka forfies på mage måder se f.eks. afsit 1.49 i Hoffma. E simplere me ofte avedelig geeralisatio er ideholdt i flg. resultat. Mootoe Klasse Lemma. Lad V betege et reelt vektorrum beståede af begræsede reelle fuktioer defieret på E. Atag at V ideholder alle kostate fuktioer samt er stabil uder mooto voksede uiformt begræset puktvis koverges, d.v.s. sup f V hvis (f ) 1 V og f f +1 M for et M <. Da er bm(σ(h)) V for ehver delmægde H V, som er stabil uder multiplikatio, d.v.s. opfylder at f g H for alle f, g H. Øvelse 7. Faktoriserigssætige. Atag at E = σ(g), d.v.s. E = g 1 (F), hvor g er e fuktio defieret på E med værdier i et måleligt rum (F, F). Vis at Vik til : Aved Stadardbeviset. M(E) = {ϕ g ϕ M(F)}. Øvelse 8. Atag E = σ({a 1,..., A }) for e partitio A 1,..., A af E. Vis ved brug af Faktoriserigssætige, at M(E) = { a i 1 Ai a i R i = 1,..., }. D.v.s. ehver E-målelig fuktio er kostat på A i ere. Dette er et specialtilfælde af et geerelt pricip, som siger, at hvis F er e σ-algebra og A F et F-atom, d.v.s. B A = A eller for alle B F, da er ehver F-målelig fuktio kostat på A. 21

22 Mål. I mage sammehæge øsker ma at størrelsesagive mægder ved hjælp af ikke-egative reelle tal. Tæk f.eks. på arealet af plae figurer, rumfag af rumlige legemer eller sadsyligheder af hædelser. Det matematiske værktøj til e såda målig er et såkaldt mål eller mere præcist et σ-additivt (syoymt tælleligt additivt) mål på e σ-algebra. Defiitio. Lad (E, E) betege et måleligt rum. E fuktio µ : E R + kaldes et mål på E, hvis µ( ) = 0 og µ er σ-additiv d.v.s. µ( A i ) = µ(a i ) for parvis disjukte A 1,..., A,... E. Mægde af mål på σ-algebrae E beteges m(e), og e simpel overvejelse viser, at m(e) er stabil uder multiplikatio med positiv skalar, edelig og tællelig sumdaelse samt uder restriktio, d.v.s. for ethvert µ m(e) og ethvert B E er µ B m(e), hvor µ B (A) := µ(a B) for alle A E. Målee iddeles efter størrelse i h.h.t. flg. otatio. a) µ er et edeligt mål (sadsylighedsmål), hvis µ(e) < (µ(e) = 1). b) µ er et σ-edeligt mål, hvis (A ) E : A = E og µ(a ) < for alle. c) µ er et sum-edeligt mål, hvis µ = i µ i, hvor µ i ere er edelige mål på E. Edelige mål er klart σ-edelige, og ethvert σ-edeligt mål er sum-edeligt, thi hvis µ er σ-edeligt og (A ) e tilhørede overdækig beståede af mægder med edeligt mål, så er µ = i 1 µ Bi e beskrivelse af µ, som e sum af edelige mål, hvor (B ) er e disjuktgerig af (A ), f.eks. B 1 := A 1 og B := A \ 1 B i 1. Udover disse operatioer idefor m(e) ka mål flyttes fra et måleligt rum til et adet ved hjælp af e målelig afbildig. Lad hertil (F, F) betege edu et måleligt rum og f : E F e målelig afbildig. Da urbilledet af e parvis disjukt foreigsmægde er de parvise disjukte foreigsmægde af de ekelte urbilleder, defierer fastsættelse µ f (B) := µ(f 1 (B)) B F for ethvert µ m(e) et mål på (F, F). µ f (mage forfattere bruger betegelse µ f 1 ) kaldes billedmålet af µ ved afbildige f. D.v.s. e målelig afbildig 22

23 f iducerer e afbildig fra m(e) id i m(f). Et edeligt mål afbildes herved klart i et edeligt mål og ligeledes for sum-edelige, hvorimod σ-edelighed ikke ødvedigvis bevares uder daelse af billedmål. Spørgsmålet om eksistes af mål med give egeskaber udsættes til et seere kapitel. Me vi vil dog straks idføre de såkaldte puktmål. I modsætig til de fleste mere iteressate mål, ka disse defieres på hele 2 E. Notatio. For alle e E beteger δ e afbildige fra 2 E id i R + givet ved δ e (A) := 1 A (e) for alle A 2 E. δ e kaldes puktmålet (Dirac målet) i puktet e. Et mål af forme i a i δ ei, hvor a i > 0 og e i E for i 1 kaldes et diskret mål. Er summe edelig, bruger ma ofte betegelse simpelt mål. (Læsere bør eftervise, at der er tale om mål på 2 E ) Det er vigtigt straks at afdække de geerelle egeskaber ved mål, der ligger gemt i oveståede defiitio. Resultatere samles i flg. lemma. Lemma 7 Lad (E, E) betege et måleligt rum. Ethvert elemet µ i m(e) har da flg. egeskaber. 1) µ er edelig additiv, d.v.s. µ( A i ) = µ(a i ) for ethvert edeligt sæt af parvis disjukte A 1,..., A i E. 2) µ er voksede, d.v.s. µ(a) µ(b) for ethvert par A B af mægder i E. 3) µ er opad kotiuert, d.v.s. µ(a ) µ( 1 A ) for ehver følge (A ) 1 i E, så at A A +1 for alle. 4) µ er edad kotiuert på µ-edelige mægder, d.v.s. µ(a ) µ( 1 A ) for ehver følge (A ) 1 i E, så at A A +1 for alle og if µ(a ) <. 5) µ er edelig - og tællelig subadditiv, d.v.s. µ( i A i ) i µ(a i ) for ehver edelig eller tællelig familie (A i ) i E. Bevis. 1) fås af de tællelige additivitet avedt på A 1,..., A,,,..., og 2) af lighede B = A (B\A), som gælder da A B. 3) Defier B 1 := A 1 og B i := A i \A i 1 for i 2, d.v.s. B i ere er parvis disjukte, og B i = og B i = A for alle. A i Ifølge de edelige og tællelige additivitet gælder derfor, at µ( A i ) = µ( B i ) = µ(b i ) = lim µ(b i ) = lim µ(a ). 4) Atag ude tab af geeralitet, at µ(a 1 ) <. Defier B := A 1 \ A 1. B ere er da voksede, og B A 1 \ 1 A. Ifølge 3) og de edelige additivitet 23

24 gælder derfor, at µ(a 1 ) µ(a ) = µ(b ) µ(a 1 \ A ) = µ(a 1 ) µ( A ), 1 1 og dermed µ(a ) µ( 1 A ). 5) Ifølge 3) er det ok at vise edelig subadditivitet, d.v.s. pr. iduktio ok at vise at µ(a 1 A 2 ) µ(a 1 ) + µ(a 2 ). Me dette følger af 1) og 2) samt lighede A 1 A 2 = A 1 (A 2 \A 1 ). Lemma 8 Det første Borel-Catelli Lemma. Lad (A ) 1 E og µ m(e) være givet. Da gælder =1 µ(a ) < µ(lim sup A ) = 0 hvor lim sup A := =1 k= A k. Bemærk at lim sup A = { =1 1 A = } = {e e A for uedelig mage }. Bevis. Sæt B := k= A k for alle 1. Da er (B ) 1 E og B +1 B for alle, og da µ(b 1 ) µ(a ) < ifølge subadditivitete, fås af de viste udgave af edad kotiuitet, at µ(lim sup =1 A ) = µ( B ) = lim µ(b ) lim µ(a k ) = 0. =1 Øvelse 9. Vis at µ(lim sup A ) lim sup µ(a ), hvis µ er et edeligt mål, eller mere geerelt hvis µ( A ) <. Præciserig af et mål µ kræver i pricippet kedskab til dets værdi på ethvert elemet i E. Me σ-additivitete bevirker, at midre ka gøre det, thi som kosekves af Dyki s Lemma gælder flg. vigtige etydighedsudsag. Propositio 2 To edelige mål µ og ν på E med samme totale masse, d.v.s. µ(e) = ν(e), er idetiske, hvis de stemmer overes på et mægdesystem G, som er stabil uder edelig geemsit og frembriger E, d.v.s. A, B G A B G og σ(g) = E. Korollar To mål µ og ν på E er idetiske, hvis de stemmer overes på et mægdesystem G, som er stabil uder edelig geemsit, frembriger E og ideholder e følge (G ) 1, så at µ(g ) < for alle 1, og G E, d.v.s. G G +1 og E = G. k= 24

25 Bevis. Ifølge atagelse om samme totale masse og egeskabere ved mål er A := {B E µ(b) = ν(b)} et d-system, og da G A er E = σ(g) A, d.v.s. µ = ν. Vedrørede korollaret viser Propositio 2, at restriktioere µ G og ν G er es for alle. Heraf fås idetitete µ = ν ved græseovergag, thi da mål er opad kotiuerte, kovergerer µ G (A) = µ(a G ) µ(a) og tilsvarede ν G (A) ν(a) for alle A E. Ved at kombiere Propositio 2 og Lemma 3 ses, at et ethvert edeligt Borel mål µ på R h.h.v. R er etydigt bestemt ved fuktioe x µ((, x ] ) h.h.v. x µ( (, x i ] ). Med baggrud i Propositio 2 har flg. defiitioer god meig. Defiitio. For ethvert beteges med λ det etydigt bestemte σ-edelige mål på (R, B(R )), som opfylder ( ) λ ]a i, b i [ = (b i a i ) for alle a i < b i i = 1,...,. λ kaldes Lebesgue målet på R, me i dimesioere 1, 2 og 3 bruges ofte betegelsere lægde -, areal - eller rumfagsmålet. Bemærk at etydighede sikrer, at λ ere er traslatiosivariate, d.v.s. λ (A) = λ (A + x) for alle x R og A B(R ). Øvelse 10. Vis at λ m 1 r = r λ, hvor m r for r > 0 er afbildige i R svarede til koordiatvis multiplikatio med r, d.v.s. m r (x) = r x for x R. Defiitio. Lad (E, E, µ) og (F, F, ν) betege σ-edelige målrum. µ ν, omtalt som produktmålet med margialer µ og ν, beteger da det etydigt bestemte σ-edelige mål på (E F, E F), som opfylder µ ν(a B) = µ(a) ν(b) A E, B F. Tilsvarede beteger µ 1 µ det etydigt bestemte σ-edelige mål på produktrummet (E 1 E, E 1 E ), som opfylder µ 1 µ (A 1 A ) = µ 1 (A 1 ) µ (A ) for alle A i E i i = 1,...,. (E i, E i, µ i ) 1 i er her give σ-edelige målrum. Øvelse 11. Vis at λ +1 = λ λ 1 = λ 1 λ 1 (= λ (+1) 1 ) for alle. Etydighede er som ævt klar, hvorimod eksistese er uafklaret. Vi skal dog seere se, at både Lebesgue målee og de idførte produktmål vitterligt eksisterer. 25

26 Som allerede atydet udyttes et mål µ til at agive størrelse af mægder, såda at forstå at jo større µ(a) er, des større er A. Det er derfor aturligt, at mægder med mål 0 ases for at være små. Dette giver aledig til flg. otatio. Notatio. Lad (E, E, µ) betege et målrum. E delmægde N E siges at være e µ-ulmægde, hvis der fides et N 0 E, så at N N 0 og µ(n 0 ) = 0. Mægde af alle µ-ulmægder beteges N µ, d.v.s. Læsere opfordres til at overveje, at N µ := {N E N er e µ-ulmægde}. N µ, N µ E = {N E µ(n) = 0} og N µ er c-stabil. Edvidere er ehver delmægde af e µ-ulmægde ige e µ-ulmægde. Med dette begreb på plads siges e egeskab p(e) afhægig af pukter e i E at holde µ-æste overalt (µ-.o.) eller syoymt for µ-æste alle (µ-.a.) e, hvis {e E p(e) ikke sad} N µ. F.eks. hvis f og g er fuktioer defieret på E, betyder f = g µ-.o. derfor, at {e E f(e) g(e)} er e µ-ulmægde, og tilsvarede betyder f g µ-.o. for reelle fuktioer f og g, at {e E f(e) > g(e)} er e µ-ulmægde. Edvidere beteges for fuktioer (f ) 1 og f defieret på E med værdier i et metrisk rum (S, d) med f f µ-.o., at {e E f (e) f(e) i d-metrikke} c N µ. Notatio a la f f µ-.o. for reelle fuktioer betyder altså, at f f µ-.o. samt at f f +1 µ-.o. for alle. Sidste del ka, da N µ er c-stabil, ækvivalet udtrykkes som, at f f +1 for alle µ-.o. Det overlades trygt til læsere at tolke adre ligede udtryk. Som vist i Lemma 5 bevares målelighed ved puktvis koverges. Dette gælder geerelt ikke for koverges.o. Me e simpel me vigtig kosekves af Lemma 5 viser, at hvis f f µ-.o. for e følge (f ) 1 M(E) og e fuktio f : E R, så gælder for det i Lemma 5 kostruerede f, at f = f µ-.o. og f f µ-.o. Skøt ulmægder i mage sammehæge ases for at være små og betydigsløse, spiller de e ikke rige rolle i målteorie. De giver bladt adet aledig til følgede relatioer mellem forskellige elemeter i m(e). 26

27 Notatio. Lad µ og ν betege elemeter i m(e). ν siges da at være µ-satureret, hvis N µ N ν, hvilket ækvivalet ka formuleres som µ(a) = 0 ν(a) = 0 for A E. Hvis N ν = N µ siges µ og ν at være ækvivalete (skrives µ ν); og µ og ν siges at være sigulære (skrives µ ν), hvis der fides et A E, så at µ(a) = ν(a c ) = 0, d.v.s. e målelig mægde A, så at A N µ og A c N ν. For σ-edelige mål er saturerig idetisk med det bedre kedte begreb absolut kotiuitet, som vi seere skal idføre. ν er specielt µ-satureret, hvis ν er µ-kotiuert, d.v.s. hvis ɛ > 0 δ > 0 : µ(a) δ ν(a) ɛ for A E eller ækvivalet lim µ(a ) = 0 lim ν(a ) = 0 for ehver følge (A ) 1 E. µ-kotiuitet er geerelt stærkere ed iklusioe N µ N ν, me esbetydede hermed, hvis ν er et edeligt mål, idet der gælder N µ N ν og ν edeligt mål ν er µ-kotiuert. Øvelse 12. Vis dette. Vik: Argumeter modsætigsvis, d.v.s. atag der fides et ɛ > 0 og mægder (A ) 1 E, så at µ(a ) 1/ 2 og ν(a ) > ɛ for alle. Betragt u lim sup A og udled e modstrid. I dee sammehæg er flg. resultat af e vis iteresse. Propositio 3 Lad µ og ν betege elemeter i m(e), så at ν er sum-edelig. Da fides der to mål ν a og ν s i m(e), så at ν = ν a + ν s, og ν a er µ-satureret, og ν s og µ er sigulære. (ν a, ν s ) kaldes Lebesgue dekompositioe af ν m.h.t. µ. Bevis. Da både {m m(e) N µ N m } og {m m(e) m µ} er stabile uder sum, ka vi ude tab af geeralitet atage, at ν er et edeligt mål. Defier r := sup{ν(a) A E, µ(a) = 0} og vælg (A ) E, så at µ(a ) = 0 for alle og sup ν(a ) = r. Defier ν a := ν A c og ν s := ν A. 27

28 hvor A := A, d.v.s. µ(a) = 0 og ν(a) = r samt ν = ν a + ν s. Da ν s (A c ) = 0, er ν s og µ sigulære. For at vise, at ν a er µ-satureret, betragtes et B E med µ(b) = 0. Vi skal vise, at ν a (B) = ν(b A c ) = 0. Me hvis ν(b A c ) > 0 er ν(a (B A c )) = ν(a) + ν(b A c ) > ν(a) = r, hvilket strider mod defiitioe på r, da µ(a (B A c )) = 0. Bemærkig. Dekompositioe ν = ν a + ν s er etydig i de forstad, at hvis ν = ν 1 + ν 2, hvor ν 1 er µ-satureret, og ν 2 og µ er sigulære, så er ν 1 = ν a og ν 2 = ν s. (eftervis dette) Øvelse 13. Lad (E, E, µ) være et målrum og A E e algebra, så at E = σ(a). Vis at ɛ > 0 B E B ɛ A : µ(b B ɛ ) < ɛ. Vik: Betragt à := {B E ɛ > 0 B ɛ A : µ(b B ɛ ) < ɛ}. Overvej at à er C -stabil samt -stabil. Slut derefter ved hjælp af Øvelse 2. Vis edvidere at σ(e 1 N µ ) = {B E B E 1 : µ(b B ) = 0} for ehver del-σ-algebra E 1 E. Øvelse 14. Lad µ være et mål på (E, E). Defier I : S(E) + R + ved I(f) := i a i µ(a i ), hvis f = i a i 1 Ai hvor summe er edelig, a i ere ikke-egative og A i ere parvis disjukte. Overvej at I er vel defieret. Vis deræst at I er positiv addiditiv, d.v.s. for alle f, g S(E) + og a, b R +. I(af + bg) = ai(f) + bi(g) 28

29 Mål på metriske rum. Lad (S, d) være et metrisk rum og B(S) de tilhørede Borel mægder. Da B(S) pr. defiitio er frembragt af mægde af åbe h.h.v. mægde af lukkede delmægder af S, er ethvert edeligt Borel mål ifølge Propositio 2 etydigt bestemt ved sie værdier på de åbe h.h.v. de lukkede mægder, da begge disse mægdesystemer er lukkede uder edelig geemsit. Dette ka præciseres, idet der gælder. Propositio 4 Lad µ betege et edeligt mål på (S, B(S)). Da gælder for ethvert A B(S) flg. ligheder sup{µ(f ) F A, F lukket} = µ(a) = if{µ(u) A U, U åbe}. Bemærk at der trivielt gælder µ(a) µ(a) µ(a), hvor for alle A B(S) µ(a) := sup{µ(f ) F A, F lukket} og µ(a) := if{µ(u) A U, U åbe}. Resultatet bekrives ofte ved at sige, at µ er idre regulær m.h.t. de lukkede mægder og ydre regulær m.h.t. de åbe mægder. Ved restriktio ses, at resultatet i tilfældet S = R gælder uædret for ethvert mål, som er edelig på ethvert edeligt iterval, d.v.s. specielt for Lebesgue målet. Bevis. Vi skal vise, at A := {A B(S) µ(a) = µ(a) = µ(a)} er e σ-algebra, der ideholder alle lukkede mægder. Bemærk at A ligger i A, hvis og ku hvis der for alle ɛ > 0 fides e åbe mægde U ɛ og e lukket mægde F ɛ så at F ɛ A U ɛ og (µ(u ɛ ) µ(a)) (µ(a) µ(f ɛ ) < ɛ. A er stabil uder komplemetærmægde daelse for hvis A A og for et givet ɛ > 0 F ɛ lukket og U ɛ åbe er valgt, så at F ɛ A U ɛ og (µ(u ɛ ) µ(a)) (µ(a) µ(f ɛ )) < ɛ, så er U c ɛ lukket og F c ɛ åbe og U c ɛ A c F c ɛ samt (µ(f c ɛ ) µ(a c )) (µ(a c ) µ(u c ɛ ) = (µ(u ɛ ) µ(a)) (µ(a) µ(f ɛ )) < ɛ, da µ(b c ) = µ(s) µ(b) for alle B B(S). A ideholder ehver lukket mægde, for er F lukket, er F et aftagede tællelig geemsit af åbe mægder, f.eks. F = {x d(x, F ) < 1/}, =1 og derfor elemet i A, da µ er edad kotiuert. Vi magler dermed ku stabilitete uder tællelig foreigsmægde daelse. Lad (A ) 1 A samt ɛ > 0 være givet. Vælg for ethvert 1 F,ɛ lukket og U,ɛ åbe, så at F,ɛ A U,ɛ og (µ(u,ɛ ) µ(a )) (µ(a ) µ(f,ɛ )) ɛ 2 (+1). 29

30 Sæt 0 U ɛ := U,ɛ og F ɛ := F,ɛ, hvor 0 1 : µ( A ) < ɛ/2. =1 =1 = 0 U ɛ er da åbe, F ɛ lukket og F ɛ =1 A U ɛ, d.v.s. resultatet da U ɛ \ A (U,ɛ \ A ) og =1 =1 A \ F ɛ A =1 = 0 0 (A \ F,ɛ ) =1 og dermed ( µ(u ɛ ) µ( A ) ) ( µ( A ) µ(f ɛ ) ) =1 =1 0 ( (µ(u,ɛ ) µ(a )) ) ( µ( A ) + (µ(a ) µ(f,ɛ )) ) < ɛ. =1 = 0 =1 Som det er bekedt fra R, siges e delmægde K af et metrisk rum (S, d) at være kompakt, hvis ehver puktfølge (x ) 1 i K ideholder e delfølge (x k ) k 1, som kovergerer mod et pukt i K. I R er de kompakte mægder etop de lukkede og begræsede mægder. Da kompakthed defieres ved hjælp af koverges af følger bevares det uder skift til e ækvivalet metrik, og e simpel overvejelse viser, at kompakte mægder geerelt er lukkede, samt opfylder og K kompakt og F lukket K F kompakt K 1 og K 2 kompakte K 1 K 2 kompakt. Hvis (S, d) er et fuldstædigt metrisk rum, gælder flg. alterative kompaktheds karakterisatio. K S er kompakt K er lukket og d-total begræset, hvor e delmægde A S siges at være d-total begræset, hvis A ka overdækkes med edelig mage kugler med vilkårlig lille radius, d.v.s. ɛ > 0 x 1,..., x A : A b(x k, ɛ). k=1 Kompakthedsbegrebet giver aledig til e skærpelse af oveståede resultat. Korollar Lad (S, d) være et polsk rum, d.v.s. et metrisk rum, hvor der fides e ækvivalet separabel fuldstædig metrik. Da er ethvert edeligt Borel mål µ idre regulær m.h.t. de kompakte mægder, d.v.s. for alle A B(S) er µ(a) = sup{µ(k) K A, K kompakt}. 30

31 Bevis. Da kompakthed, separabilitet og Borel σ-algebra bevares ved overgag til e ækvivalet metrik, ka og vil vi atage, at d er fuldstædig. Set i lyset af de ovefor viste regularitet m.h.t. lukkede mægder er det ok at vise, at µ(f ) = sup{µ(k) K F kompakt} for ehver lukket delmægde F S. Me hertil er det ok at betragte tilfældet F = S, d.v.s. vise µ(s) = sup{µ(k) K S kompakt}, thi for ehver kompakt mægde K og ehver lukket mægde F er K F kompakt og F \ (K F ) S \ K. Lad ɛ > 0 være givet og lad (x i ) i 1 betege e følge af pukter, som er tæt i S. Tæthede betyder, at S = b(x i, 1/) for ethvert, hvor b(x i, 1/) beteger de lukkede kugle med cetrum x i og radius 1/, og da µ er opad kotiuert, fides der for ethvert 1 et k 1, så at Betragt u mægde µ k K ɛ := b(x i, 1/) c ɛ 2. k =1 b(x i, 1/). K ɛ er pr. defiitio lukket og total begræset og derfor, da rummet er polsk, kompakt ifølge oveståede karakterisatio; og da µ(s) µ(k ɛ ) = µ(kɛ c k ) µ b(x i, 1/) c ɛ =1 er påstade vist. Borel σ-algebrae i et separabelt metrisk rum er, som tidligere vist, frembragt af mægde af kugler. Det er derfor aturligt at spørge om, hvorvidt et mål er etydigt bestemt ved sie værdier på kugler. Spørgsmålet er geerelt vaskeligt at besvare, da mægde af kugler er ikke stabil uder edelig geemsit. Me vi skal seere vise, at ethvert edeligt Borel mål i R er etydigt bestemt ved sie værdier på Euklidiske kugler. 31

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5. Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet

Læs mere

Sandsynlighedsteori 1.2

Sandsynlighedsteori 1.2 Forelæsigsoter til Sadsylighedsteori.2 Sved Erik Graverse Jauar 2006 Istitut for Matematiske Fag Det Naturvideskabelige Fakultet Aarhus Uiversitet. Mometproblemet. I dette afsit beteger X e stokastisk

Læs mere

cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t.

cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t. Aalyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder. og. oktober 3 Bevis for Cotiuity lemma Theorem. Geemgås af Michael Staal-Olse. Bevis for Lemma.8 Dee har vi faktisk allerede vist; se Opgave 9.5 fra Uge. Det er

Læs mere

Forelæsningsnoter til Stokastiske Processer E05. Svend-Erik Graversen Revideret af Jan Pedersen Kapitel 12 og Appendix B og G af Jan Pedersen

Forelæsningsnoter til Stokastiske Processer E05. Svend-Erik Graversen Revideret af Jan Pedersen Kapitel 12 og Appendix B og G af Jan Pedersen Forelæsigsoter til Stokastiske Processer E5 Sved-Erik Graverse Revideret af Ja Pederse Kapitel 12 og Appedix B og G af Ja Pederse 16. august 25 Forord Nærværede otesæt skal bruges i forbidelse med kurset

Læs mere

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation. De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z

Læs mere

r n E[ X n ]/n! for alle r > 0 ifølge monoton konvergens, giver potensrækketeori, at ( ) er ækvivalent med, at ρ n E[ X n ]/n!

r n E[ X n ]/n! for alle r > 0 ifølge monoton konvergens, giver potensrækketeori, at ( ) er ækvivalent med, at ρ n E[ X n ]/n! Mometproblemet. Lad i dette afsit X betege e stokastisk variabel med mometer af ehver orde. Mometfølge (E[X ]) er derfor e vel defieret reel talfølge bestemt ved fordelige, og spørgsmålet om, de omvedt

Læs mere

Supplerende noter II til MM04

Supplerende noter II til MM04 Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Elementær Matematik. Polynomier

Elementær Matematik. Polynomier Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

Den flerdimensionale normalfordeling

Den flerdimensionale normalfordeling De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj 2009

Analyse 1, Prøve maj 2009 Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK

Læs mere

Asymptotisk optimalitet af MLE

Asymptotisk optimalitet af MLE Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Indre, ydre, rand og afslutning 2.2. Åbne og afsluttede mængder 2.3. Topologiske begreber. Ækvivalente metrikker 2.4.

Indre, ydre, rand og afslutning 2.2. Åbne og afsluttede mængder 2.3. Topologiske begreber. Ækvivalente metrikker 2.4. MATEMATIK 2~ MATEMATISK ANALYSE 1984-85 Kapitel I. METRISKE RUM 1. Metriske rum. Normerede rum. 1. 1. Metrik 1.2. Normeret rum 1. 3. Kugler i et metrisk rum 1.4. Kovergete følger Opgaver til 1 r. 1.1 r.

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

Program. Middelværdi af Y = t(x ) Transformationssætningen

Program. Middelværdi af Y = t(x ) Transformationssætningen Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Trasformatio af kotiuerte fordeliger på R, flerdimesioale kotiuerte fordeliger, mere om ormalfordelige Helle Sørese Uge 7, osdag I formiddag: Opfølgig på trasformatiossætige

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder De Platoiske legemer De fem regulære polyeder Ole Witt-Hase jauar 7 Idhold. Polygoer.... Nogle topologiske betragtiger.... Eulers polyedersætig.... Typer af et på e kugleflade.... Toplasvikle i e regulær

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Deskriptiv teori: momenter

Deskriptiv teori: momenter Kapitel 13 Deskriptiv teori: mometer Vi vil i dette og det følgede kapitel idføre e række begreber der bruges til at beskrive sadsylighedsmål på (R, B). Samtlige begreber udspriger i e eller ade forstad

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ ) 3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers

Læs mere

Asymptotisk estimationsteori

Asymptotisk estimationsteori Kapitel 5 Asymptotisk estimatiosteori De fleste eksperimeter har e idbygget størrelse, som regel kaldet eller N. Dette repræseterer typisk atallet af foretage måliger, atallet af udersøgte idivider, atallet

Læs mere

Undersøgelse af numeriske modeller

Undersøgelse af numeriske modeller Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning Baggrudsote til sadsylighedsregig Kombiatorik. Multiplikatiospricippet E mægde beståede af forskellige elemeter kaldes her e -mægde. Elemetere i e m-mægde og elemetere i e -mægde ka parres på i alt m forskellige

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium KOMPLEKSE TAL x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse E kort historie om imagiært og virkeligt... Tallegemet De Komplekse Tal... Idførelse af realdel og imagiærdel samt i... 8 Subtraktio,

Læs mere

Kvantemekanik 4 Side 1 af 11 Energi og tid. Hamiltonoperatoren

Kvantemekanik 4 Side 1 af 11 Energi og tid. Hamiltonoperatoren Kvateekaik 4 Side 1 af 11 ergi og tid Hailtooperatore Af KM3 fregik det, at ehver observabel er repræseteret ved e operator, f.eks. jf. udtryk (3.1) og (3.). Ispireret af det klassiske udtryk for kietisk

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Bachelorprojekt for BSc-graden i matematik

Bachelorprojekt for BSc-graden i matematik D E T N A T U R V I D E N S K A B E L I G E F A K U L T E T K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Bachelorprojekt for BSc-grade i matematik Mikkel Abrahamse & Sue Precht Reeh Ekstremal grafteori Vejleder:

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Sadsylighedsregig E ote om sadsylighedsregig. Via basal sadsylighedsregig gøres læsere klar til forstå biomialfordelige. Herik S. Hase, Sct. Kud Versio 5.0 Opgaver til hæftet ka hetes her. PDF Facit til

Læs mere

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n.

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n. IMFUFA Carste Lude Peterse Om Følger og Ræer Nyttige Græseværdier lim = 1 lim! = x = 0! lim lim (1 + x ) = e x! lim = e 1 Nyttige Ræer 1 p < p > 1 1 log p ( + 1) < p > 1 x = = x 1 x for x < 1 og Z, diverget

Læs mere

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software

Læs mere

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1 Økoometri 1 Iferes i de lieære regressiosmodel 9. september 006 Økoometri 1: F7 1 Dages program Opsamlig af hemmeopgave om Mote Carlo eksperimeter Mere om hypotesetest: Ekelt lieær restriktio på koefficieter

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert.

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert. Alyse, Prøve. mj 9 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Klkulus 6, Tom Lidstrøm. Direkte opgvehevisiger til Klkulus er givet med TLO, ellers er lle hevisiger til steder i de overordede fsit. Hevises

Læs mere

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. 30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006 Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree

Læs mere

RESEARCH PAPER. Nr. 2, En model for lagerstørrelsen som determinant for købs- og brugsadfærden for et kortvarigt forbrugsgode.

RESEARCH PAPER. Nr. 2, En model for lagerstørrelsen som determinant for købs- og brugsadfærden for et kortvarigt forbrugsgode. RESEARCH PAPER Nr., 005 E model for lagerstørrelse som determiat for købs- og brugsadfærde for et kortvarigt forbrugsgode af Jørge Kai Olse INSTITUT FOR AFSÆTNINGSØKONOMI COPENHAGEN BUSINESS SCHOOL SOLBJERG

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset.

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset. STATISTIK Skriftlig evaluerig, 3. semester, madag de 30. auar 006 kl. 9.00-3.00. Alle hælpemidler er tilladt. Opgaveløsige forsyes med av og CPR-r. OPGAVE Ved e produktio af viduer er der mulighed for,

Læs mere

Introduktion til Statistik

Introduktion til Statistik Itroduktio til Statistik 4. udgave Susae Ditlevse og Helle Sørese Susae Ditlevse, susae@math.ku.dk Helle Sørese, helle@math.ku.dk Istitut for Matematiske Fag Købehavs Uiversitet Uiversitetsparke 5 2100

Læs mere

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse Forskigsehede for Statistik ST01: Elemetær Statistik Bet Jørgese Modul 14: Goodess-of-fit test og krydstabelaalyse 14.1 Idledig....................................... 1 14.2 χ 2 -test i e r c krydstabel.............................

Læs mere

Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen

Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen Rettevejledig til HJEMMEOPGAVE Makro, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørese Opgave... Udsaget er forkert. De omtalte skatteomlægig må atages at øge beskæftigelse p.gr.a. e positiv substitutioseffekt

Læs mere

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke

Læs mere

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft Iteretøkoomi: risfastsættelse af digitale goder Afleveret d. 9 maj 003 Af Julie ech og Malee Aja org risfastsættelse af digitale goder - Microsoft Af Julie ech og Malee Aja org.0.0 DIGITALE GODER....0.0

Læs mere

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og

Læs mere

Den grådige metode 2

Den grådige metode 2 Algoritmedesig 1 De grådige metode De grådige metode Et problem løses ved at foretage e række beslutiger Beslutigere træffes e ad gage i e eller ade rækkefølge Hver beslutig er baseret på et grådighedskriterium

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Eksempel 10.1 En autoregressiv proces af orden 1 (ofte blot kaldet en AR(1)- proces) pårhar et opdateringsskema (10.1) med funktionen. for y R.

Eksempel 10.1 En autoregressiv proces af orden 1 (ofte blot kaldet en AR(1)- proces) pårhar et opdateringsskema (10.1) med funktionen. for y R. Kapitel 0 Markovkæder Vi vil i det følgede studere processer Y 0, Y, Y 2,... med værdier irgivet på forme Y = f (Y +ǫ for =, 2,... (0. Her erǫ,ǫ 2,... e følge af iid støjvariable med middelværdi 0, alle

Læs mere

A14 4 Optiske egenskaber

A14 4 Optiske egenskaber A4 4 Optiske egeskaber Brydigsideks Når lys træffer e græseflade mellem to materialer, kastes oget af lyset tilbage (refleksio), mes oget går igeem græseflade med foradret retig (brydig eller refraktio).

Læs mere

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside : Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15 Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

Program. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger

Program. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger Faculty of Life Scieces Program Esidet variasaalyse Normalfordelige Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Esidet variasaalyse (oe-way ANOVA) Hvilke type data? Hvad er problemstillige? Variatio mellem

Læs mere

Løsninger til kapitel 7

Løsninger til kapitel 7 Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-

Læs mere

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT kapitel 4.2 4.3 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae Estimatio ved mometmetode Idimellem ka det være svært (eller

Læs mere

Bølgefunktioner Alle partikler, som har en hvilemasse, er kendetegnet ved en kompleks bølgefunktion

Bølgefunktioner Alle partikler, som har en hvilemasse, er kendetegnet ved en kompleks bølgefunktion Modere Fysik 4 Side af 7 Schrödigerligige Forrige to gage: Idførelse af kvatiserigsbegrebet (for lyseergi og for elektroers eergi) samt partikel-bølge-dualitete, hvilket førte til e helt y teori, kvatemekaikke

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS Trygve Haave1mo. INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS T E O R I (Fore1æs iger ved Aarhus Uiversitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. le INDHOLD..._..._... Grudlaget for de teoretiske Statistik. Kollektiv og ~a:dsylighed.

Læs mere

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden.

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden. Vadtrasportmodel Formål For beregig af vadtrasporte i sadkasse er der lavet e boksmodel. Formålet med boksmodelle er at beskrive vadtrasporte i sadkasse. Herover er formålet at bestemme de hydrauliske

Læs mere

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller Stikprøvefordeliger og kofidesitervaller Stikprøvefordelige for middelværdi De Cetrale Græseværdi Sætig Egeskaber Ved Estimatore Kofidesitervaller t-fordelige Estimator og estimat E stikprøve statistik

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi

Læs mere

Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,...

Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,... Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( {} 0, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion Statistik 8. gag 1 KONIDENSINTERVALLER Kofidesitervaller: kapitel 11 Valg og test af fordeligsfuktio Statistik 8. gag 11. KONIDENS INTERVALLER Et kofides iterval udtrykker itervallet hvori de rigtige værdi

Læs mere