Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale

Transkript

1 Mateatik Højere teknisk eksaen Forberedelsesateriale htx141-mt/ Mandag den 6. aj 014

2 Forord Forberedelsesateriale til prøverne i ateatik Der er afsat 10 tier på dage til arbejdet ed forberedelsesaterialet til prøverne i ateatik. Oplægget indeholder teori, eksepler og opgaver i et ene i forlængelse af kernestoffet. lt billedateriale er opgavekoissionens ejendo. Dele af aterialet uddybes i et appendiks på side Dette appendiks indgår ikke i den skriftlige prøve. Forberedelse til den 5-tiers skriftlige prøve: Nogle af spørgsålene ved 5-tiersprøven tager udgangspunkt i det ateriale, der findes i dette oplæg. De øvrige spørgsål ohandler ener fra kernestoffet. Forberedelse til den undtlige prøve: Enet, behandlet i dette ateriale, indgår so supplerende stof. Der vil derfor være spørgsål ved den undtlige prøve i dette ene. I forberedelsesperioden er alle hjælpeidler tilladt, og det er tilladt at odtage vejledning. Side 1 af sider

3 Lineære afbildninger 1. Indledning I fil- og edieverdenen sat andre steder, hvor an arbejder ed illustrationer eller visualisering, har an behov for at kunne skalere, dreje eller spejle figurer. Dette gælder ikke indst ved aniation af figurer i coputerspil og på fil. Bag beregningerne af disse aniationer ligger et ateatisk ene kaldet lineære afbildninger. Lineære afbildninger anvendes i saenhæng ed vektorregning, so vi kender fra vektorer i planen og i ruet. lle figurer i planen og i ruet kan frestilles ved stedvektorer, hvor skalering, drejning og spejling af figurerne er lineære regneoperationer. Når vi skal arbejde ed lineære afbildninger, får vi brug for at kende til atricer. Vi vil i dette forberedelsesateriale introducere lineære afbildninger og atricer. Ordet atrix er uregelæssigt og bøjes: en atrix, atricen, flere atricer, alle atricerne. Tegningen viser en person, der slår ed en kølle. Rotationen af køllen er en lineær afbildning og den lineære afbildning udføres ved hjælp af atricer. z z. Vektorer og atricer x y x y Tegning: Hans Ole Herbst Vektorer og atricer er nært beslægtede. En vektor i planen v er givet ved to reelle tal v1 og v (se figur 1), v v1 v Figur 1 hvor v 1 og v er vektorens koordinater. Mængden af plane vektorer betegner vi ed sybolet. Side af sider

4 En vektor i ruet v er givet ved tre reelle tal v1, vog v 3 (se figur ), v1 v v v 3 Figur hvor v 1, v og v3 er vektorens koordinater. Mængden af rulige vektorer betegnes Helt generelt kan an beskrive vektorer ed n tal 3. v1 v v vn n og ængden af sådanne vektorer vil vi betegne ed. Vi vil nu definere en atrix. En atrix er en saling tal organiseret i rækker og søjler. En atrix, der består af n rækker og søjler af reelle tal, kalder an en n atrix. Hver af de søjler består af n tal, så vi kan frestille atricen so dannet af n vektorer v1, v,..., v stillet op ved siden af hinanden. I det følgende benævner vi atricer ed fed skrift. Definition af en atrix En atrix er en saling tal organiseret i rækker og søjler: = v v v 1 v1,1 v1, v1, v1,1 v1, v1, v,1 v, v, v,1 v, v, v n,1 v n, v n, vn,1 vn, vn, n Mængden af n atricer betegnes ed. Eksepel Stiller vi vektorerne v1 1 og v 5 op ved siden af hinanden, får vi en atrix, v1 v , 8 8 so består af 3 rækker og søjler (kaldet en 3 atrix). Side 3 af sider

5 a. Matrix-vektorproduktet Fra vektorregningen kender vi både skalar- og vektorproduktet. For atricer er der ligeledes defineret forskellige typer produkter, so vi skal se på her. Definition af atrix-vektorprodukt Generelt udtrykt kan en atrix Lad n ultipliceres ed en vektor v v v og 1 x1 x x x x. da definerer an produktet ved x xv 1 1xv xv Matrix-vektorproduktet er kun defineret, når antallet af søjler i er lig ed antallet af koordinater i x. Eksepel Lad os beregne atrix-vektorproduktet af atrix og vektor 8 x x Opgave 1 Beste følgende atrix-vektorprodukter elle: a) og 3 x 8 b) B og 4 x 3 Side 4 af sider

6 b. Matrix-atrixproduktet Vi får også brug for at gange atricer saen. Dette foregår efter lignende princip so ved beregning af atrix-vektorproduktet. Definition af atrix-atrixprodukt k Generelt udtrykt kan en atrix n ultipliceres ed en atrix B. Lad v v v B w w w og 1 da definerer an produktet C ved 1 k w w w w w w C B 1 k 1 hvor hver søjle i C er givet ved ultipliceret ed den tilsvarende søjle i B. Hver søjle i C er altså et atrix-vektorprodukt. Produktet C er en n k atrix. Matrix-atrixproduktet er kun defineret, når antallet af søjler i er lig antallet af rækker i B. k Eksepel 3 Lad os beregne atrix-atrixproduktet C af atricerne og B Produktet bliver CB C er en 3 atrix, B er en 3 atrix, så C B bliver en 3 3 atrix. Side 5 af sider

7 Opgave Matricerne og B er givet ved og 6 1 B a) Beste atrix-atrixproduktet B og kontroller resultatet ed dit CS-værktøj. 3. Lineære afbildninger I oderne coputeranierede fil bruges ange kræfter på at få overflader til at se realistiske ud. Én etode er ray tracing, hvor an følger ange lysstråler fra en lyskilde og siulerer, hvordan de reflekteres fra forskellige overflader. Den ateatiske teori, der skal til for at gøre ray tracing ulig, involverer bl.a. lineære afbildninger. Dette afsnit handler o, hvordan atricer leder fre til et nyt begreb nelig lineære afbildninger. Først vil vi se på, hvad en afbildning er. En afbildning f : B knytter til ethvert x i ængden et eleent f() x i ængden B. Vi kender allerede eksepler på afbildninger. For eksepel er reelle funktioner afbildninger, hvor ængderne og B er de reelle tal, og vektorfunktioner, hvor ængden er reelle tal og B er ængden af vektorer i planen. Lad os se på nogle konkrete eksepler. En reel funktion f : knytter til ethvert reelt tal x et reelt tal f() x. Figur 3a og 3b viser to repræsentationer af funktionen f. Figur 3a Figur 3b Side 6 af sider

8 xt () En vektorfunktion f : knytter til ethvert reelt tal t en vektor f() t yt () planen. Beærk at vi i dette ateriale har valgt at udelade vektorpil, selvo f() t i nogle tilfælde er en vektor. Figur 4a og 4b viser to repræsentationer af funktionen f. i Figur 4a Figur 4b En afbildning f : knytter til hvert x et f( x). Figur 5a og 5b viser to repræsentationer af funktionen f. Figur 5a fbildningen f er en spejling af vektor x i y-aksen. Figur 5b Vi vil nu se på saenhængen elle atricer og afbildninger. Givet en atrix n n definerer vi en afbildning f : ved at sætte f( x) x. En afbildning defineret på denne åde har nogle pæne egenskaber, der gør, at an kalder den lineær. Først definerer vi, hvad der forstås ved en lineær afbildning, og senere n (Sætning ) viser vi, at afbildningen f : er lineær. Definition af lineær afbildning n En afbildning f : kaldes lineær, hvis følgende to betingelser er opfyldt (L1) For alle k og alle x gælder f( kx) k f( x) (L) For alle x1, x gælder f( x1x) f( x1) f( x) L1 og L kaldes linearitetsbetingelserne Den geoetriske betydning af definitionen illustreres i følgende eksepel. Side 7 af sider

9 Eksepel 4 Vi vil nu grafisk vise, at projektionen af en vektor i planen på x-aksen opfylder linearitetsbetingelserne L1 og L givet i definitionen. fbildningen er altså lineær. Lad x1 og x være vektorer i planen og f( x 1) og f( x ) være projektionerne af x 1 og x på x-aksen. Figur 6 illustrerer, at betingelsen L1 k f( x1) f( k x1) er opfyldt for afbildningen, so projicerer en vektor i planen ned på x-aksen. fbildning af en vektor ganget ed en skalar f( k x ) er lig afbildningen af vektoren 1 ganget ed skalaren k f( x1 ). Figur 7 illustrerer, at betingelsen L f( x1 x) f( x1) f( x) er opfyldt for afbildningen, so projicerer en vektor i planen ned på x-aksen. fbildningen af suen af de to vektorer f( x1 x) er lig ed suen af afbildningen taget på vektorerne hver for sig f( x ) f( x ). 1 Figur 6 Figur 7 Side 8 af sider

10 Opgave 3 f( x) xˆ afbilder vektor x over i to gange tværvektoren. Lad x 1 og x være vektorer i planen. Den geoetriske betydning af afbildningen f er vist på figur 8. Vektorerne x 1 og x er vist ed blåt, ens f( x 1) og f( x ) er vist ed rødt. Figur 8 a) rguenter ed egne ord ud fra figur 9 og figur 10 for, at afbildningen overholder linearitetsbetingelserne L1 og L fra definitionen af en lineær afbildning. L1: k f( x) f( k x) 1 1 Figur 9 L: f( x x ) f( x ) f( x ) 1 1 Figur 10 Side 9 af sider

11 3a. fbildningsatricer So nævnt i indledningen er der en tæt saenhæng elle lineære afbildninger og atricer, idet enhver lineær afbildning kan udtrykkes so atrix-ultiplikation. Sætning 1 n ntag, at afbildningen f : er lineær. Så findes der en og kun én atrix n, så der for alle x gælder f( x) Denne atrix kaldes afbildningsatricen. x Beviset for sætning 1 findes i appendiks. f lige så stor betydning er det ovendte resultat. Hvis f er givet ved ultiplikation ed en atrix, da er f lineær. I det følgende vil vi lade f betegne en afbildning, der er defineret ved atrix-vektorultiplikation ed en atrix. Sætning Lad n være en atrix. Så opfylder den tilhørende afbildning f : n f ( x) x de to linearitetsbetingelser L1 og L. Beviset for sætning findes i appendiks. I opgave 3 arguenterede du for, at afbildningen f( x) xˆ er lineær. Sætning 1 fortæller os, at afbildningen derfor kan beskrives ved ultiplikation ed en afbildningsatrix. fbildningen f( x) xˆ er en rotation efterfulgt af en skalering. Vi påstår, at saensætningen af de to afbildninger er givet ved afbildningsatricen 0. 0 Dette vender vi tilbage til i eksepel 5. Side 10 af sider

12 Opgave 4 3 Lad to vektorer være givet ved x1 4 og 5 x. a) Tegn x 1 og x sat xˆ og 1 xˆ i sae koordinatsyste. b) Beste koordinaterne til xˆ og 1 xˆ ved at udregne atrix-vektorprodukterne: f ( x1) x1 0 og f ( x) x 4 0 c) Kontroller at koordinaterne for vektorerne xˆ og 1 xˆ på din tegning er lig koordinaterne for de beregnede vektorer f ( x1 ) ( x ). og I opgave 4 blev afbildningsatricen givet. I næste afsnit vises, hvordan an besteer afbildningsatricen for en lineær afbildning. f 3b. Besteelse af afbildningsatricer Sætning 1 fastslår, at en lineær afbildning f har netop én afbildningsatrix. Men den siger ikke noget o, hvordan an besteer den. Inden vi ser på dette, vil vi repetere begrebet basisvektorer. Fra vektorregning kender vi basisvektorerne for planen, i 0 og 0 j, og for ruet, i 0 1, j 1 og k De kendetegnes ved at have 0 stående på alle pladser på nær én, hvor der står et 1-tal. Basisvektorerne udspænder henholdsvis planen og ruet. Det vil sige, at enhver vektor v i planen kan skrives so en linearkobination af i og, v vi v j, og j 1 at enhver vektor v i ruet kan skrives so en linearkobination af i, j og k, vvi 1 v j vk 3. Figur 11 viser en vektor i ruet. Figur 11 En lineær afbildning f har so sagt netop én afbildningsatrix. Når vi vil bestee afbildningsatricen for den lineære afbildning f, behøver vi kun at se på, hvordan afbildningen virker på basisvektorerne: f( i ), f( j ) og f( k ). Sætning 3 viser, hvorledes afbildningsatricen for en lineær afbildning i ruet ( 3 ind i 3 ) bestees. Side 11 af sider

13 Sætning 3 Lad 3 3 f : være lineær, og sæt vi f( i), v f( j) og v f( k). j k Det vil sige at v i er billedet af basisvektor i osv. Så har afbildningen f afbildningsatricen vi vj v k f( i) f( j) f( k). Beviset for sætning 3 findes i appendiks. Beærk, at for at kunne anvende sætning 3, er det vigtigt, at f er lineær. Kun når f er lineær, er den givet ved en atrix. Sætning 3 viste opstillingen af afbildningsatricen for lineære afbildninger i ruet. På tilsvarende vis kan afbildningsatricen for lineære afbildninger i planen opstilles. Opgave 5 a) Opstil afbildningsatricen for en lineær afbildning f : i planen. Eksepel 5 Vi er nu klar til at opstille afbildningsatricen fra opgave 4. Vi husker, at afbildningen f( x) xˆ var saensat af en rotation efterfulgt af en skalering. Først opstilles afbildningsatricen kaldet B for den lineære afbildning g, so roterer en vektor okring (0; 0) over i dens tværvektor gx ( ) xˆ (90 i positiv oløbsretning). Figur 1 illustrerer, hvordan rotationen virker på basisvektorerne. Til venstre vises basisvektorerne i og j inden afbildningen, og til højre vises afbildningen af basisvektorerne gi () og g( j ). Figur 1 Nu da afbildningens virkning på basisvektorerne er fastlagt, kan vi opstille afbildningsatricen, so roterer en vektor i xy-planen over i vektorens tværvektor. 0 1 B gi () g() j 1 0 Side 1 af sider

14 Herefter opstilles afbildningsatricen kaldet C for den lineære afbildning h, so skalerer en vektor ed faktor, hx ( ) x. Figur 13 viser, hvordan skaleringen h virker på basisvektorerne. Til venstre vises basisvektorerne i og j inden afbildningen, og til højre vises afbildningen af basisvektorerne hi () og hj. ( ) Figur 13 Nu da afbildningens virkning på basisvektorerne er fastlagt, kan vi opstille afbildningsatricen, so skalerer en vektor ed en faktor. 0 C v1 v hi () h() j 0 Vi påstår nu, at afbildningsatricen for saensætningen af rotation okring (0; 0) og skalering af afbildningen f( x) ( h g)( x) xˆ kan findes ved atrixatrixproduktet CB : CB Eksepel 6 Vi vil vise, hvordan an kan flytte en større punktængde i én regneoperation. Vi ønsker at rotere billedet af en fisk 90 i positiv oløbsretning og derefter skalere det ed en faktor. Se figur 14. Q Tegning: Hans Ole Herbst 1 P=P y 1 Q R Figur 14 x R I stedet for at betragte alle punkter på fisken, har vi udvalgt de tre punkter P, Q og R, der er arkeret på fisken. Koordinaterne til punkterne er givet ved P (0;0), Q (,5; 1) og R(4; 3). Hvert punkt repræsenteres ved deres stedvektorer OP, OQ ogor og disse sales i en atrix 0,5 4 S Side 13 af sider

15 Vi benytter afbildningsatricen bestet i eksepel 5 til at rotere og skalere stedvektorerne ed. fbildningsatricen var givet ved 0 0 Ved at gange ed S, fås en ny atrix S 0 0,5 4 S S , Søjlerne i S består af afbildningen anvendt på stedvektorerne: S OP OQ OR. Efter rotation og skalering af stedvektorerne er punkterne P, Q og R afbildet over i punkterne P (0;0), Q( ; 5) og R (6; 8). I det foregående har vi udelukkende roteret 90 i positiv oløbsretning okring (0; 0). Nu vil vi vise, hvordan an kan opstille afbildningsatricen for rotation ed en vilkårlig vinkel i positiv oløbsretning. Eksepel 7 fbildningsatricen for den lineære afbildning f, der består af en rotation ed en vilkårlig vinkel, skal opstilles. Figur 15 illustrerer, hvordan rotationen virker på basisvektorerne. Basisvektorerne i og j er vist ed rødt, ens f() i og f( j ) er vist ed blåt. Figur 15 Nu da afbildningens virkning på basisvektorerne er fastlagt, kan vi opstille afbildningsatricen for rotation ed en vilkårlig vinkel. cos( ) sin( ) f() i f() j sin( ) cos( ) Side 14 af sider

16 Opgave 6 Figur 16 viser en trekant DEF afbildet over i trekant DEF. fbildningen roterer trekant DEF 10 i positiv oløbsretning okring (0; 0) og skalerer den ed en faktor 3. Figur 16 a) Opstil afbildningsatricen B for rotation ed 10 i positiv oløbsretning okring (0; 0) i planen og afbildningsatricen C for skalering ed en faktor 3. b) Beste afbildningsatricen CB. På figur 16 er punkterne D, E og F arkeret. Punkternes koordinater er givet ved: D (0; 0), E(;0) og F (3; ). Efter rotation og skalering er punkterne D, E og F afbildet over i punkterne D, E og F. c) Beste koordinaterne til punkterne D, E og F. Eksepel 8 I ruet kan vi rotere figurer o akserne. Vi ønsker at opstille afbildningsatricen for den lineære afbildning f, der består af en rotation o x-aksen ed rotationsvinklen i positiv oløbsretning. Positiv oløbsretning o x-aksen defineres således, at ved rotation ed vinklen 90 føres vektor j over i vektor k. Basisvektoren i i x-aksens retning forbliver uændret ved rotationen. Figur 17 viser, hvordan afbildningen virker på basisvektorerne. Figur 17 Nu da afbildningens virkning på basisvektorerne er fastlagt, kan vi opstille afbildningsatricen for rotationen f( i) f( j) f( k) 0 cos(0 ) cos(90 ) 0 sin(0 ) sin(90 ) Side 15 af sider

17 Opgave 7 Figur18 Billedet viser et søærke ved Sidselbjerg strand på vestkysten. Søærket står skævt efter utallige år i vestenvinden. Da det blev opstillet, stod det vandret i xy-planen so vist på figur 18, en er efterhånden roteret 15 i positiv oløbsretning okring y- aksen. Positiv oløbsretning o y-aksen defineres således, at ved rotation ed vinklen 90 føres vektor k over i vektor i. Koordinaterne til punkterne D, E, F, G og H inden rotationen var givet ved D(0; 0; 0), E (10;0;0), F (5; 9;0), G(5; 3,1;6) og H (3,3;4,1;8). a) Opstil afbildningsatricen for en rotation ed vinklen i positiv oløbsretning o y-aksen i ruet. b) Beste når 15, og benyt atricen til at finde den nuværende beliggenhed af punkterne D, E, F, G og H. Eksepel 9 Sætning 3 fortæller, at vi kan bestee en afbildningsatrix ved geoetrisk at se på, hvordan afbildningen virker på basisvektorerne. Ovendt kan vi, ved at se på afbildningsatricen, bestee den geoetriske betydning af afbildningen. 1 0 Givet afbildningsatricen. 0 1 Vi vil finde ud af, hvad afbildningen f : gør ved vektorer i planen. 3 Først undersøges, hvordan afbildningen f ( x ) virker på vektor x, givet ved x Vi udfører atrix-vektorproduktet f ( x ) x x. 0 1 Der tegnes to koordinatsysteer. Første koordinatsyste viser basisvektorerne i, j sat vektor x. ndet koordinatsyste viser afbildningerne f () i, f ( j ) og f ( x ). Se figur 19. Side 16 af sider

18 Figur 19 Det ses, at afbildningen er en spejling i y-aksen. Opgave 8 Givet afbildningsatricen sat vektor 3 x 4. a) Udregn atrix-vektorproduktet f ( x) x b) Tegn to koordinatsysteer. Første koordinatsyste skal vise basisvektorerne i, j sat vektor x. Det andet koordinatsyste skal vise afbildningerne f () i, f ( j) og f ( x). c) Beskriv ed dine egne ord den geoetriske betydning af afbildningen. Opgave Givet afbildningsatricen sat vektor a) Udregn atrix-vektorproduktet f ( x) x 3 x 3 3 b) Skitser de tre basisvektorer i, j, k sat vektor x i et koordinatsyste. c) Skitser afbildningen anvendt på de tre basisvektorer, f () i, f ( j), f ( k) og f ( x) i et koordinatsyste. d) Beskriv ed dine egne ord den geoetriske betydning af afbildningen. Figur 0 Side 17 af sider

19 Figur 0 viser billede og spejlbillede af en frys selv is indlagt i et koordinatsyste. Isen spejles i xz-planen. e) Beste afbildningsatricen for spejling i xz-planen. 4. Perspektivering Vi har i dette forberedelsesateriale introduceret lineære afbildninger og atricer. Lineære afbildninger er en del af et større ene lineær algebra. Lineær algebra benyttes f.eks. ved løsning af differentialligninger og ved håndtering af store ligningssysteer. Det viser sig at være hensigtsæssigt at løse ligningssysteer ved at benytte atricer. Matricer giver også her en eget sipel frestilling af ofte koplicerede fysiske problestillinger. De optræder derfor i ange saenhænge. De benyttes eksepelvis ved dynaisk freskrivning af epideiers udvikling, afstening af keiske reaktioner, beskrivelse af elektriske kredsløb, og ved beregning af brudekanik i ekaniske konstruktioner. Side 18 af sider

20 ppendiks Beviser for sætning 1, og 3 Vi starter ed at vise sætning. Sætning Lad n n. Så opfylder f : følgende to betingelser. (L1) For alle k og alle x gælder f ( kx) k f ( x) og (L) For alle x1, x gælder f ( x x ) f ( x) f ( x ). 1 1 Bevis. Først opskrives so [ ] v1 v v Vi starter ed at vise (L1), så lad k og x1 x x x være vilkårlige. På den ene side er k x kx1 kx og dered er kx På den anden side er f ( kx) ( kx) kx v kx v kx v 1 1 k f ( x) k( x) k( xv xv x ) v kx v kx v kx v Side 19 af sider

21 Vi kan se at f( kx) k f ( x) så (L1) er opfyldt. Lad nu x1 y1 x y x og y x y være vilkårlige. Kan vi vise at f( x y) f( x) f ( y) så har vi vist (L) og gjort beviset færdigt. Da x1 y1 x1 y1 x y x y x y, x y x y er hvilket beviser sætningen. f ( x y) ( x y) ( x y ) v ( x y ) v ( x y ) v f ( x) f ( y) xv yv xv yv x v y v xv xv x v yv yv y v xy Side 0 af sider

22 Vi kan slå beviset for sætning 1 og sætning 3 saen. De to sætninger følger nelig uiddelbart af nedenstående sætning, so vi kalder sætning 4. I sætning 4 viser vi, at hvis der for en givet lineær afbildning f overhovedet skal findes en atrix så f( x) x, så å den have en ganske bestet for. Matricens søjler å nelig bestå af afbildningens virkning på basisvektorerne. Der eksisterer altså højst en atrix, so kan bruges. Bagefter viser vi, at denne atrix rent faktisk virker ved at vise, at f( x) x for alle x. Tilsaen har vi derfor vist, at der findes præcis én atrix, so beskriver afbildningen, og vi har satidig fundet en opskrift på at bestee den. Sætning 4 kan foruleres ere generelt, så den gælder for enhver afbildning n f :. Her vil vi for overskuelighedens skyld begrænse os til tilfældet n 3, so vi gjorde i sætning 3. Sætning Hvis f : er lineær, da findes en og kun én atrix f( x) x. 3 3 så Matricen er givet ved vi vj v k f( i) f( j) f( k) Bevis. Først viser vi, at hvis der eksisterer en atrix, så f( x) x for alle x, så å have foren vi vj v k f( i) f( j) f( k) 3 Da f( x) x for alle x, å dette specielt gælde for de tre basisvektorer i, j og k. Vi udregner derfor 1 i vi vj v 0 1 vi 0 vj 0 v k k vi 0 så hvis f() i i å den første søjle v i i være f( i ). Noget tilsvarende gælder for j og k : Vi udregner 0 j vi vj v 1 0 vi 1 vj 0 v k k vj 0 så hvis f( j) j å den anden søjle v j i være f( j ). Side 1 af sider

23 Endelig beregnes så hvis f( k) 0 k v v v 0 0v 0v 1v v k 1 i j i j k k k å den tredje søjle v k i være f( k ). Der findes altså højst én atrix så f( x) x, og hvis den eksisterer, å den være af foren vi vj v k f( i) f( j) f( k). Vi angler nu bare at vise, at hvis er givet på denne åde, så vil f( x) x 3. x for alle x1 Lad derfor x x være en vilkårlig vektor. Da kan x opskrives vha. basisvektorerne x 3 so x x1i x j x3 k Da f er lineær fås f( x) f( x1i x j x3 k) f( x1i) f( x j) f( x3 k) x1 f() i x f() j x3 f() k x1vi x vj x3 vk x Hvilket afslutter beviset. Side af sider

24 Opgaven er produceret ed anvendelse af kvalitetsstyringssysteet ISO 9001 og iljøledelsessysteet ISO 14001