Matematikvanskeligheder. Et projekt i Lærersamarbejde i Århus

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematikvanskeligheder. Et projekt i Lærersamarbejde i Århus 2012 2013"

Transkript

1 Matematikvanskeligheder Et projekt i Lærersamarbejde i Århus

2 Lærersamarbejde Matematik gruppen Forord: Fra september 2012 til marts 2013 er der arbejdet i Lærersamarbejde i Århus I dette projekt blev der nedsat en matematik arbejdsgruppe bestående af: Thorleif Bundgaard HTX Århus midtby Anita Lauridsen Risskov Gymnasium Mette Lena Hobolth Risskov Gymnasium Jesper Plougmann Katrinebjergskolen Mette Have Langkær Gymnasium Peter Kousgaard Sølystskolen Pernille Hoveroust Viby Gymnasium Erik Anbo Skødstrup Skole Bjarne Aagaard Viby Gymnasium Gruppen besluttede at benytte dette års samarbejde til at arbejde med begrebet matematikvanskeligheder og arbejde med strategier til at hjælpe elever med matematikvanskeligheder i folkeskolens overbygning og i 1. år på ungdomsuddannelserne. Denne pjece er henvendt til matematiklærerne på ovenstående niveauer. 2

3 Indholdsfortegnelse Hvad er dyskalkuli?... 4 Matematikvanskeligheder... 4 LUUS når der skal strategier til... 5 Eksempler på anvendelse af LUUS på to opgaver... 6 Før-faglige ord Faglig læsning i matematik Huskeregler Opgaveformuleringen påvirker opgavens sværhedsgrad Eksempler på opgaver med forskellige niveauer Litteraturliste

4 Hvad er dyskalkuli? Dyskalkuli kendes også som talblindhed. Dyskalkuli betyder at man har specifikke vanskeligheder indenfor matematikken. Generelt har personer med dyskalkuli svært ved at lære og huske fundamentale principper indenfor matematik samt at udføre simple regneprocedurer. Deres niveau svinger, således at de det ene øjeblik brillerer, mens de det næste øjeblik skal tælle på fingrene for at udføre simple regneoperationer. Der er ofte tale om elever som er normalt præsterende i alle andre fag end matematik. Eksempler på pædagogiske tegn: - Forveksler ensartede cifre som fx 6 og 9 - Svært ved at læse tal med nuller i, som fx Læser og skriver tal forkert. Fx skrives 71 som Problemer med at kopiere geometriske figurer. - Problemer med at forstå vægt, rumfang, retning og tid. - Vanskeligheder med at ordne tal efter størrelse. - Manglende evne til at finde rette strategi ved problemløsning. - Svært ved automatiseringsprocesser, som fx at huske tabeller. Matematikvanskeligheder Vi har her i pjecen valgt at se lidt bredere på begrebet matematikvanskeligheder, hvor elever med dyskalkuli kun er en mindre del af gruppen af elever med matematikvanskeligheder generelt. Begrebet matematikvanskeligheder defineres meget forskelligt, alt efter hvilken didaktiker, psykolog m.m. der beskriver emnet. Vi vil definere elever med matematikvanskeligheder, som de elever, der principielt godt kan regne, men har svært ved at oversætte teksten og bruge de grundlæggende regnefærdigheder i praksis. Det betyder, at deres arbejde med matematikken strander inden de er kommet rigtigt i gang. For nogle elevers vedkomne bunder det i deres indstilling til faget og tidligere erfaringer med matematik både i skolen og hjemme. Vi vil i det følgende se på tre forskellige tilgange til at hjælpe eleverne i matematikundervisningen. Først ser vi på hjælp til at komme igennem opgaveregning, dernæst hvordan lærerne skal passe på en faldgruppe med at tage for givet at eleverne kender alle ord i underviserens almindelige daglige tale og til sidst hvordan eleverne hjælpes helskindet igennem en matematiktekst. 4

5 LUUS når der skal strategier til Mange elever har store vanskeligheder med matematik. Den største hindring for disse elever er ofte deres selvopfattelse på matematikfeltet. Mange elever har mistet troen på dem selv og giver derfor lettere og lettere op. LUUS er en problemløsningsstrategi udviklet til at give elever små sejre under problemløsning, for at bryde med den selvforstærkende dårlige faglige selvtillid elever med matematikvanskeligheder ofte kæmper med. LUUS inddeler problemløsning i fire faser; Læs opgaven, Undersøg opgaven, Udfør planen og Se tilbage. Til hver af disse faser stiller strategien nogle spørgsmål som hjælp til eleven. Ideen med strategien er en slags hjælp til selvhjælp, hvor eleverne rustes til problemløsning ved først at følge en strategi som efter en del brug bliver en naturlig del af elevens problemløsning. LUUS kan udvides til også at indbefatte en sidste fase, nemlig Udvid opgaven, hvor man anbefales at ændre begyndelsesbetingelserne for opgaven. Dette giver en bredere fornemmelse for rækkevidden af opgaven. Denne sidste del er dog ikke en nødvendighed som førstegangsbruger af strategien. 5

6 Eksempler på anvendelse af LUUS på to opgaver Opgave 1. I 2009 betalte hver forbruger i Holstebro 34,15 kr. pr. kubikmeter vand samt et fast årligt abonnement på 581,25 kr. a) Opstil en formel, der beskriver sammenhængen mellem den samlede udgift (i kr.) til vand i 2009 og vandforbruget (målt i kubikmeter) for en forbruger i Holstebro. For Hillerød beskrives den tilsvarende sammenhæng ved formlen y = 49,38x + 308,75 Hvor x er vandforbruget (målt i kubikmeter), og y er den samlede udgift (i kr.). b) Hvad skal en forbruger i hver af de to byer betale for et vandforbrug på 12 kubikmeter? Hvor stort skal vandforbruget være, for at en forbruger i Holstebro skal betale mindre end en forbruger i Hillerød? Besvarelse af Opgave 1 a) Læs Identificer vigtige informationer: 34,15 kr. per kubikmeter vand Abonnement koster 581,25kr Opskriv spørgsmålet med egne ord: Skriv en formel der viser sammenhængen mellem det vand man har brugt, det abonnement man skal have og prisen. Undersøg Gennemtænk forskellige tilgangsmåder: i) Opstil en liste/tabel der viser hvad 1, 2, 3, 4, 5, kubikmeter vand koster for at finde et mønster. ii) Opskriv en ligning med ord. iii) Opskriv ligningen med symboler og de kendte tal. Udfør planen Vælg en af tilgangsmåderne og udfør den. i) Udregning Resultat 581,25kr+34,15kr 615,40kr 581,25kr+34,15kr+34,15kr 649,55kr 581,25kr+34,15kr+34,15kr+34,15kr 683,70kr Genkend et mønster i tabellen, nemlig at vi lægger 34,15kr til prisen hver gang vi lægger en kubikmeter vand til forbruget. Så kan vi se at abonnementet ikke ændrer sig men, at prisen for selve vandet er afhængigt af hvor meget vand vi bruger. 6

7 Nu kan vi udlede udtrykket y = 34,15 x + 581,25 hvor x er antallet af kubikmeter vand, og y er prisen i kr. ii) prisen må være abonnementet plus antallet af kubikmeter vand man bruger gange med prisen pr. kubikmeter. iii) y = 34,15 x + 581,25 hvor x er antallet af kubikmeter vand, og y er prisen i kr. Se tilbage Jeg har besvaret hele mit spørgsmål. Jeg kan lave en lille test for at være sikker. b) Læs Identificer vigtige informationer: Hillerød: y = 49,36 x + 308,75 Holstebro: y = 34,15 x + 581,25 x er vandforbrug og y er pris Opskriv spørgsmålet med egne ord: Der er to spørgsmål i opgaven! Spørgsmål 1: Hvor meget koster 12 kubikmeter vand i Hillerød og hvor meget koster det i Holstebro? Spørgsmål 2: Hvor meget vand skal man bruge før det er billigere at købe det i Holstebro end i Hillerød? Undersøg Gennemtænk forskellige tilgangsformer: Spørgsmål 1: Find ud af hvilket symbol/bogstav ordet vandforbrug har i opgaven. Sæt derefter dette bogstav lig med 12 i ligningen for Holstebro og i ligningen for Hillerød. Spørgsmål 2: i) Gæt og test: vælg nogle værdier for vandforbruget og prøv dig frem. Lokaliser hvornår det er billigst i Holstebro. ii) Skriv uligheden op med ord. iii) Brug de to ligninger til at opstille en ulighed der viser prisen i Holstebro mindre end prisen i Hillerød. Isoler x. iv) Tegn en graf og aflæs på grafen hvor de skærer hinanden. Udfør planen Spørgsmål 1: x er vandforbruget. Så Holstebro y = 34, ,25 = 991,05 Hillerød y = 49, ,75 = 901,07 Prisen på et vandforbrug på 12 kubikmeter er 991,05 kr. i Holstebro og 901,07 kr. i Hillerød. Spørgsmål 2: Vælge en af tilgangsmåderne og udfør den: i) x = 20: 7

8 Holstebro y = 34, ,25 = 1264,25 Hillerød y = 49, ,75 = 1295,95 x=15 Holstebro y = 34, ,25 = 1093,50 Hillerød y = 49, ,75 = 1049,15 x=19 Holstebro y = 34, ,25 = 1230,10 Hillerød y = 49, ,75 = 1246,59 x=18 Holstebro y = 34, ,25 = 1195,95 Hillerød y = 49, ,75 = 1197,23 x=17 Holstebro y = 34, ,25 = 1161,80 Hillerød y = 49, ,75 = 1147,87 Holstebro billigst Hillerød billigst Holstebro billigst Holstebro billigst Hillerød billigst Så må svaret være at man skal købe 18 kubikmeter vand før det er billigst at købe det i Holstebro. ii) Prisen for vandforbruget i Holstebro skal være mindre end prisen for samme vandforbrug i Hillerød. Med tal og symboler svarer det til: 34,15 x + 581,25 < 49,36 x + 308,75 iii) Løs nu uligheden 34,15 x + 581,25 < 49,36 x + 308,75 272,5 < 15,23 x 272,5 15,23 < x x > 17,89 Dvs. man skal købe mere end 17,89 kubikmeter vand, som rundes op til 18 kubikmeter, fordi man kun kan købe hele kubikmeter vand, før det er billigst at købe det i Holstebro frem for Hillerød. 8

9 iv) Tegn grafen Se tilbage Forklar grafen, aflæs skæringspunktets x-koordinat til omkring 18 og konkluder på svaret. Jeg har besvaret alle spørgsmålene, men kan bruge en af de andre metoder til at lave en kontrol. Opgave 2. Efter at en person har fået en indsprøjtning af en bestemt medicin, aftager koncentrationen af medicinen i blodet. Denne sammenhæng kan beskrives ved y = 1,8 0,983 x, Hvor y er koncentrationen i blodet (målt i ng/ml), og x er antal timer efter indsprøjtningen. a) Bestem koncentrationen efter 24 timer. Med hvor mange procent pr. time aftager koncentrationen af medicinen i blodet? b) Efter hvor mange timer når koncentrationen ned på 1,0 ng/ml? Besvarelse af Opgave 2 Læs Identificer vigtige informationer: y = 1,8 0,983 x y er koncentrationen i blodet (målt i ng/ml) x er antal timer efter indsprøjtning koncentrationen aftager med tiden 9

10 Opskriv spørgsmålet med egne ord: Spørgsmål 1: Regn ud hvad koncentrationen når der er gået 24 timer? Spørgsmål 2: Hvor mange procent er koncentrationen blevet mindre en time efter? Undersøg Spørgsmål 1: Sæt ind i forskriften hvor x er antal timer, så x er 24. Spørgsmål 2: i) Brug det resultat man får i spørgsmål 1 og beregn hvor stor koncentrationen er i efter 25 timer, altså en time efter og find procentdelen af den er faldet med. ii) Brug fremskrivningsfaktoren til at forklare hvor meget den er faldet med hver time i procent. Udfør planen Spørgsmål 1: y = 1,8 0, = 1,193 Spørgsmål 2: i) Svaret fra spørgsmål 1 var 1, Der regnes ud at koncentrationen efter 25 timer er y = 1,8 0, = 1, ii) Så skal man finde procenten efer 24 timer efter 25timer efter 24 timer = 0,017 = 1,7% Fremskrivningsfaktoren er 0,983. Det er lig med 1+vækstraten. 0,983=1+r 0,983-1=r -0,017=r Omregnet til procent er r=-1,7%. Derfor må koncentrationen aftage med 1,7% i timen. Se tilbage Jeg har besvaret det første spørgsmål, og jeg har husket at besvare det andet spørgsmål med et procenttal som de spørger efter, samt skrevet en konklusion. b) Læs Identificer vigtige informationer: Koncentrationen skal være 1,0 ng/ml Og samme oplysninger som opgave a) nemlig: y = 1,8 0,983 x y er koncentrationen i blodet (målt i ng/ml) x er antal timer efter indsprøjtning koncentrationen aftager med tiden Opskriv spørgsmålet med egne ord: Hvor mange timer går der før koncentrationen er nede på 1,0 ng/ml? 10

11 Undersøg y er koncentrationen så y skal sættes lig med 1,0. y=1,0 og x kender vi ikke Gennemtænk forskellige tilgangsmåder: i) Gæt og test. Vi kan prøve nogle forskellige x-værdier og komme tæt på en y-værdi på 1 ng/ml. ii) Løs ligningen med CAS. iii) Løs ligningen selv. Udfør planen i) Sæt x=30 for stor y-værdi Sæt x=40 for lille y-værdi Sæt x=35 y-værdi for lille, men meget tæt på Sæt x=34 y-værdi for stor, men meget tæt på. Vi kan nu se at koncentrationen kommer under 1 ng/ml mellem 34 og 35 timer. ii) Indsæt ligningen 1,0 = 1,8 0,983 x Og løs den med CAS-værktøj Vi får resultatet til x=34,3, hvilket betyder at det først er efter 35 timer efter indsprøjtningen at koncentrationen er under 1,0 ng/ml. iii) Opstil ligningen 1,0 = 1,8 0,983 x. Løs nu ligningen 1,0 1,8 = 0,983x ln 1,0 = ln 0,983x 1,8 ln 1,0 = ln 0,983 x 1,8 ln ( 1,0 1,8 ) ln (0,983) = x x=34,3 Vi kan konkludere at der skal gå 35 timer før koncentrationen er under 1,0 ng/ml. Se tilbage Er resultatet rimeligt? Ja, for der skal i hvert fald gå mere end 24 timer hvor vi i opgave a) fandt ud af at koncentrationen er 1,193 ng/ml. Vi kan også lave kontrol og sætte 34 timer og 35 timer ind som x-værdier og se at det giver hhv. 1,0048 ng/ml og 0,9877 ng/ml. 11

12 Før-faglige ord I matematikundervisningen bruger vi en række ord, man kan betegne som før-faglige. Vi (matematiklærerne) forklarer dem ikke, da vi mere eller mindre bevidst går ud fra, at eleverne ikke blot kender disse ord, men også selv bruger ordene aktivt. Ydermere er det essentielt for elevernes udbytte af undervisningen, at de faktisk forstår disse ord. Der er tale om en hel række ord, hvor vi blot vil nævne nogle stykker, indenfor et par kategorier. Forholdsord, der angiver placering, fx under, over, på samme side som, midt i mellem. Kvantitative begreber, fx mange, mindst, netop én, højest én, omtrent. Målangivelser, fx kort, længst, let, tung. Logiske forbindelser, fx fordi, da, såfremt, og, ikke, hverken eller. Undersøgelser viser 1, at eleverne desværre ikke kender alle disse ord. Denne uoverensstemmelse mellem, hvad der for underviserne er almindeligt sprog, og hvad der er det for eleverne, kan også nemt være en medvirkende årsag til matematikvanskeligheder. For mig er matematik som ØST VEST JULEROSE TØJVASK. Jeg kan godt lære det udenad. Jeg kan også godt lære, at bagefter kommer BLÅ. Så det bliver til ØST VEST JULEROSE TØJVASK BLÅ. Men det siger mig altså ikke noget. Ida. 45 år. (Lindenskov, 2000: 197) 2 Som lærer er det vigtigt at have øje for, at det ikke nødvendigvis er matematik-ordene, men langt før at nogle af eleverne strander. Vores bevidsthed om dette vil også være en hjælp for eleverne. Opgave (STX matematik B, , Opg 8) Fra et punkt P på en 200 m høj klippe to skibe på havet. Skibene sig i A og B. Vinklen mellem vandret og fra P til A og mellem vandret og fra P til B måles til w = 32 og v = 24 a) afstanden fra A til B. 1 Johansen, Lene Østergaard, Matematiklæreren som sproglærer, Aalborg Universitet, 2007, s Johansen, Lene Østergaard, Matematikvanskeligheder Hvad er det?, Aalborg Universitet, 2006 s. 4 12

13 Eksempler på øvelser: Følgende to øvelser kan bruges til at give eleverne en forståelse for problematikken der knytter sig til faglige ord. Samtidig er det også en øvelse i at udtrykke sig matematisk præcist. 1. I par. Den ene elev får opgaveformuleringen og skal forklare den videre til den anden elev uden at læse direkte op. Den anden elev skal så ud fra denne forklaring forsøge at regne opgaven. 2. I par. En elev bygger en figur med Lego Duplo. Eleven beskriver figuren for elev nr. 2, der så selv skal bygge figuren ud fra nogle tilsvarende klodser. (Pas på figurerne ikke bliver for komplicerede) 13

14 Faglig læsning i matematik Hvorfor er det også vigtigt med faglig læsning i matematik og hvilken rolle spiller faglæreren? Det er vigtigt fordi problemer med forståelse af matematiske tekster ikke kan løses alene ved at eleverne bliver bedre læsere, men skal løses ved at eleverne får kød på de faglige begreber og tilegner sig fornuftige læsestrategier og her er det kun matematiklæreren der kan hjælpe. Selvfølgelig kræver det at eleverne kan læse, men deres mulighed for at læse og forstå en fagtekst ligger i forståelse og strategier. Man kan dele læsningen op i tre dele: før-læsning, under-læsning og efter-læsning Førlæsning: Her skal der skabes forforståelse ved at snakke om emnet og på den måde spore eleverne ind på hvad der skal arbejdes med. Det er også her læreren skal introducere nye faglige begreber, hvilket gøres bedst ved at hænge dem op på kendte begreber, så eleverne kan danne sig billeder af de nye begreber. I denne fase benyttes overblikslæsning for at danne sig et indtryk af hvilke illustrationer, grafer, diagrammer o. lign der er til rådighed. Underlæsning: I multimodale 3 fagtekster er det vigtigt at finde netop de informationer man skal bruge fra teksten og i de grafiske fremstillinger der er til rådighed og vælge hvilken metode der skal anvendes for at kunne løse opgaven. I denne fase skal eleverne benytte sig af punktlæsning for at finde netop de informationer der er relevante og sortere alt det andet fra. Det gøres ved hjælp af signalord; overskrifter, nøgleord, fremhævede ord, årstal etc. Efterlæsning: Her skal eleverne se om deres resultater kan besvare det/de stillede spørgsmål og om de har tilstrækkelig dokumentation (udregninger) for deres regnevej. I denne fase kan elevene anvende nærlæsning med det formål at forstå, huske og lære de anvendte metoder og begreber. En måde at træne metoden på kunne se ud som følgende: (Eleverne arbejder sammen to og to) 1: Opgaven læses højt. 2: Elev skiftes til at fortæller hvad opgaven handler om med egne ord. 3: Nye ord og begreber forklares/undersøges. 4: Skriv de relevante oplysninger ned, lav gerne en arbejdstegning. 5: Vælg metode til løsning af opgaven. 6: Gæt på et resultat. 7: Løs opgaven. 8: Sammenlign med punkt seks; er jeres resultat realistisk og kunne den/de valgte metoder bruges til at løse opgaven? 3 Forskellige former for visualiseringer med grafer, modeller og foto i ligestillet sammenspil med løbende tekst. 14

15 Huskeregler For mange elever med matematikvanskeligheder kan det at huske forskellige regler og formler være et stort problem. Her kan mere eller mindre skøre huskeregler være en hjælp. Regnearternes hierarki - Altid prik før streg Brøkregning - Tælleren er Toppen, Nævneren Nederst Ulighedstegn > - Krokodillen spiser det største Trigonometri - Sinus er på y-aksen, da citronerne hænger på træerne - Cosinus er på x-aksen, da koen går på jorden - Arealformlen: T = ½ a b sin C, en halv appelsin med C-vitamin - Omkreds af en cirkel: O = 2πr = 2 pi r = to piger - Formlen for cosinus til en vinkel i en retvinklet trekant cos hosliggende 15

16 Opgaveformuleringen påvirker opgavens sværhedsgrad. Vil du med rette ha ry som lærd, så tag det lette og gør det svært. Gruk/Piet Hein Opgaveformuleringer består ofte af en sproglig del og en matematisk del. Matematikken kræver regnefærdigheder, mens den sproglige kræver en afkodning af budskabet. Opgaver udformes på mange måder. Der kan være meget eller lidt tekst, men teksten udformes somme tider så den snarere hindrer løsningen end hjælper på forståelsen. Opgave 1.a - Den enkle Find arealet af den farvede del. Opgave 1.b - Lidt mere tekst Figuren viser en cirkel med radius 10. Beregn arealet af det cirkeludsnit der har vinklen 60. Opgave 1.c - Den tekstligt besværlige En gartner er ved at tilplante et cirkulært bed med farvede blomster, og et udsnit der har centervinklen 60 skal beplantes med roser. Bedets radius har gartneren sat til 10 meter. Hvor stort er rosenbedets areal? 16

17 Eksempler på opgaver med forskellige niveauer Vores kommentarer til opgaverne fremgår med rød tekst. Mon du genkender en del af problemerne? Opgave 1.a - Den enkle Et rektangel har arealet A og siderne 4x og 5x Hvis begge sider gøres 8 cm kortere bliver arealet 70% mindre. Find de to siders længder. Opgave 1.b Med besværende tekst og svære ord. Forholdet mellem sidelængderne i et rektangel er 4:5. Hvis siderne formindskes med 8 cm, mindskes rektanglets areal med 70%. Bestem sidelængderne i det oprindelige rektangel. Hvad betyder mindskes rektanglets areal med 70%?? - At det bliver 70% af det det var, eller at vi mister 70% og der nu er 30% tilbage, eller? Opgave 2.a En rektangulær Terrasse, 14,4 m 2 stor, dækkes helt af kvadratiske Fliser, der hver har et Areal på 0,16 m 2. Hvor mange Fliser anvendes hertil?. Fliserne lægges i Rækker, og Antallet af Rækker er 9 mindre end Antallet af Fliser i hver Række. Hvor mange Rækker bliver der og hvor mange Fliser i hver Række? Hvor stor er Terrassens Længde og Bredde? Besværlige og komplicerende tekster er ikke nyt. Denne opgave var fra Petrus Larsen: Opgaver i Regning, Aritmetik og Geometri for 2., 3. og 4, mellem, Opgave 2.b En terrasse er 14,4 m 2 og den er lavet af kvadratiske fliser. Arealet af hver flise er 0,16 m 2 a) Hvor mange fliser skal der bruges. Fliserne lægges så der er x fliser på den ene led og (x 9) fliser på den anden led b) Find x og beregn hvor mange fliser der er på hver led. c) Hvad er terrassens længde og bredde? Opgaven er her skrevet mere nutidig, og med hensyn til en lettere forståelse 17

18 Opgave 3.a. (STX matematik B, , Opg 8) Fra et punkt P på en 200 m høj klippe observeres to skibe på havet. Skibene befinder sig henholdsvis i positionerne A og B. Vinklen mellem vandret og sigtelinjen fra P til A og mellem vandret og sigtelinjen fra P til B måles til henholdsvis w = 32 og v = 24 a) Bestem afstanden fra A til B. Teksten er helt umulig for mange elever. Det svære ved figuren er at indse, at vinklerne w og v kan genfindes som A og B. Opgave 3.b I to retvinklede trekanter er siden PQ 200 m. Vinkel A er 32, mens vinkel B er 24. Bestem afstanden fra A til B. Både tekst og figur er nu renset for alt udover den reelle matematikopgave. Opgave 4.a. (STX matematik B, , Opg 7) I en model antages det, at længden L (målt i mm) af en gedde er en lineær funktion af længden s (målt i mm) af geddens øresten. a) Bestem en forskrift for L, når det oplyses, at grafen for L går gennem punkterne P(3, 155) og Q(10, 791), og benyt forskriften til at bestemme længden af ørestenen hos en gedde, som har længden 500 mm. Svær tekst mange elever opgiver efter de 2 første linjer. Opgave 4.b. Grafen for en lineær funktion L går gennem de to punkter (3, 155) og (10, 791). Bestem en forskrift for L. Løs ligningen L(x) = 500. Teksten er nu blevet enklere den rene matematikopgave uden indpakning. 18

19 Opgave 5.a. Antallet af medlemmer i Dansk Tennis Forbund er siden 1999 med god tilnærmelse faldet med 2100 om året. I 1999 var medlemstallet a) Benyt disse oplysninger til at opstille en lineær model, der beskriver udviklingen i medlemstallet i årene efter Indfør selv passende variable. De svage elever forstår ikke hvad der menes med at de skal opstille en model. (De laver fx et sildeben med værdier) Desuden fanger de ikke hvad der menes med passende variable. Opgave 5.b. Antallet af medlemmer i Dansk Tennis Forbund er siden 1999 med god tilnærmelse faldet med 2100 om året. I 1999 var medlemstallet a) Opstil en lineær model y = a x + b, hvor y er antal medlemmer i Dansk Tennis Forbund, og x er antal år efter Her er de passende variable indført, og man kan se hvilken model man skal bruge. 19

20 Opgave 6.a Den originale opgave I nærheden af Simons skole står en silo. Simon og Julie vil undersøge hvor høj siloen er. De bliver enige om at stille sig 50 m fra siloen. De 50 m opmåler de ved at tælle skridt. Hvert af Simons skridt er ca. 85 cm. 3.1 Hvor mange skridt går Simon for at opmåle 50 m? Julie stiller sig som vist på skitsen herunder og holder en pind, så den passer med siloens overkant fra hendes synsvinkel. På den måde opstår der to retvinklede trekanter: ABC og ADE. 3.2 Forklar, hvorfor ABC og ADE er ligedannede. 3.3 Hvor høj er siloen? Fra Julies øje (A) til hendes hånd (E) er der 60 cm. Fra Julies hånd (E) til pindens top (D) er der 30 cm. 3.4 Hvor langt er der fra Julies øje (A) til pindens top (D)? Julie og Simon diskuterer, hvordan de kan beregne vinkel A på skitsen. Julie påstår, at vinkel A er ca. 30, fordi sin(30 ) = Simon påstår, at vinkel A er ca. 27, fordi tan(26,6 ) = Har Simon eller Julie ret i sin påstand om, hvordan vinkel A kan beregnes? Begrund dit svar. Opg 3 fra fsa Folkeskolens Afgangsprøve, Matematisk problemløsning Maj

21 Opgave 6.b Den forbedrede opgave Højden af en silo I nærheden af Simons skole står en silo. Simon og Julie vil undersøge, hvor høj siloen er. De bliver enige om at stille sig 50 m fra siloen. De 50 m opmåler de ved at tælle skridt. Hvert af Simons skridt er ca. 85 cm. a. Hvor mange skridt går Simon for at opmåle 50 m. b. Hvilket forhold er der mellem trekant ADE og trekant ABC. c. Redegør for, at trekant ADE og trekant ABC er ensvinklede. d. Beregn i trekant ADE længden af siden ǀADǀ og vinkel A. e. Bestem siloens højde. Højden af en silo (FSA (9. klasse) maj 2012) 21

22 Opgave 7. Line overvejer at tage på efterskole. Hun vil undersøge, hvor meget det koster. Et ophold på den efterskole, Line vælger, koster 1830 kr. om ugen. Skoleåret varer 41 uger. 4.1 Vis, at prisen for et års ophold på efterskolen er kr. Staten giver støtte til efterskoleophold. Statsstøttens størrelse afhænger af forældrenes samlede indkomstgrundlag. Tabellen viser statsstøtten for udvalgte indkomstgrupper. Statsstøtte ved et samlet indkomstgrundlag under kr ,- Statsstøtte ved et samlet indkomstgrundlag mellem kr ,-og ,-kr. Statsstøtte ved et samlet indkomstgrundlag over kr ,- Kr. 1026,-i 41 uger = ,- Kr.768,-i 41 uger = ,- Kr. 510,-i 41 uger = ,- Kilde: Efterskoleforeningen Det beløb, som eleverne og deres forældre skal betale, kaldes for egenbetalingen. Egenbetalingen er lig med prisen på efterskoleopholdet minus statsstøtten. Lines forældre har et samlet indkomstgrundlag på kr. 4.2 Beregn Lines egenbetaling for et helt skoleår. Anna vil på samme efterskole som Line. Hendes forældre har et samlet indkomstgrundlag på kr. 4.3 Sammenlign forholdet mellem egenbetaling og indkomstgrundlag for Line og Anna. Opg 4 fra fsa Folkeskolens Afgangsprøve, Matematisk problemløsning Maj

23 På efterskole: Version 2 Et ophold på den efterskole, Line vælger, koster 1830 kr. om ugen. Skoleåret varer 41 uger. 1 Vis, at prisen for et års ophold på efterskolen er kr. Staten giver støtte til efterskoleophold. Statsstøtten afhænger af forældrenes samlede indkomstgrundlag.. Tabellen viser statsstøtten for udvalgte indkomstgrupper. Statsstøtte ved et samlet indkomstgrundlag under kr. Statsstøtte ved et samlet indkomstgrundlag mellem og kr. Statsstøtte ved et samlet indkomstgrundlag over kr kr. i 41 uger = kr. 768 kr. i 41 uger = kr. 510 kr. i 41 uger = kr. Kilde: Efterskoleforeningen Lines forældre har et samlet indkomstgrundlag på kr. 2 Beregn prisen for Lines ophold på efterskolen minus statsstøtten. Anna vil på samme efterskole som Line. Hendes forældre har et samlet indkomstgrundlag på kr. 3 Sammenlign forholdet mellem egenbetaling og indkomstgrundlag for Line og Anna, f.eks. som procent af indkomstgrundlaget. Opgaven er her omskrevet så den understøtter de svagere elever, uden at miste matematisk indhold. 23

24 Litteraturliste Adler, Björn, Dyskalkuli og matematik, Special-pædagogisk forlag, 2010 Brandt, Karen Lise S og Holm-Larsen, Signe (red): Læsning og skrivning i alle fag, Dafolo, 2012 Johansen, Lene Østergaard, Matematiklæreren som sproglærer, Aalborg Universitet, Johansen, Lene Østergaard, Matematikvanskeligheder Hvad er det?, Aalborg Universitet, 2006 Hoveroust, Pernille, Kan elever med matematikskræk hjælpes med matematisk problemløsning?, Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet, 2011 Skafte, Lena og Kamp, Anne R.: Faglig læsning i fagene. Teamhåndbog, Akademisk Forlag, 2010 Til videre arbejde med emnet kan der findes yderligere information i: "Brobygning i døgndrift": (Vælger man "Brobygningsopgaver" kan man finde et dokument med en række folkeskoleeksamens-opgaver omskrevet så de ligner gymnasieopgaver.) 24

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

fsa 1 For lidt eller for meget søvn? 2 Til sundhedsplejerske 3 Erobre flaget 4 På efterskole 5 Sammenhænge i kvadrater Matematisk problemløsning

fsa 1 For lidt eller for meget søvn? 2 Til sundhedsplejerske 3 Erobre flaget 4 På efterskole 5 Sammenhænge i kvadrater Matematisk problemløsning fsa Folkeskolens Afgangsprøve Matematisk problemløsning Maj 2011 Som bilag til dette opgavesæt er vedlagt et svarark 1 For lidt eller for meget søvn? 2 Til sundhedsplejerske 3 Erobre flaget 4 På efterskole

Læs mere

fsa 1 Simons fritidsjob 2 Simons opsparing 3 Højden af en silo 4 Simons kondital 5 Fravær i Simons klasse 6 En figur af kvarte cirkler

fsa 1 Simons fritidsjob 2 Simons opsparing 3 Højden af en silo 4 Simons kondital 5 Fravær i Simons klasse 6 En figur af kvarte cirkler fsa Folkeskolens Afgangsprøve Matematisk problemløsning Maj 2012 Et svarark er vedlagt som bilag til dette opgavesæt 1 Simons fritidsjob 2 Simons opsparing 3 Højden af en silo 4 Simons kondital 5 Fravær

Læs mere

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty Matematik Den kinesiske prøve uiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui 45 min 01 11

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Hunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal.

Hunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal. 4. oktober 9.00-15.00 Tårnby Faglig læsning Program Præsentation Hunden - en aktivitet til at vågne op på Oplæg om begrebsdannelse Aktiviteter hvor kroppen er medspiller Matematikkens særlige sprog Aktiviteter

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1.

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. a) Undersøg figur 1. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne b) Undersøg figur 2. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne c) Undersøg figur 3. Mål

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2015/2016, eksamen maj-juni 2016 Institution Kolding HF&VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2008 MATEMATIK B-NIVEAU. Onsdag den 13. august 2008. Kl. 09.00 13.00 STX082-MAB

STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2008 MATEMATIK B-NIVEAU. Onsdag den 13. august 2008. Kl. 09.00 13.00 STX082-MAB STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2008 MATEMATIK B-NIVEAU Onsdag den 13 august 2008 Kl 0900 1300 STX082-MAB Opgavesættet er delt i to dele Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5 med i alt 5 spørgsmål Delprøven

Læs mere

Lærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen

Lærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen Lærervejledning Træn matematik på computer Materialet består af 31 selvrettende emner til brug i matematikundervisningen i overbygningen. De fleste emner består af 3 sider med stigende sværhedsgrad. I

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen

Matematik B. Studentereksamen Matematik B Studentereksamen stx103-mat/b-10122010 Fredag den 10. december 2010 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Progression frem mod skriftlig eksamen

Progression frem mod skriftlig eksamen Progression frem mod skriftlig eksamen Ikke alle skal have 12 Eksamensopgavernes funktion i det daglige og til eksamen Progression i sættet progression i den enkelte opgave Hvornår inddrages eksamensopgaver

Læs mere

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januar-juni, 2013 Institution VUC Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C HUNI 2HF TmaCK13j

Læs mere

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014 Brobygningsopgaver Den foreliggende opgavesamling består af opgaver fra folkeskolens afgangsprøver samt opgaver på gymnasieniveau baseret på de samme afgangsprøveopgaver. Det er hensigten med opgavesamlingen,

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Eksamen HFC 4. juni 2012

Eksamen HFC 4. juni 2012 Sponsoreret til af en dygtig elev Eksamen HFC 4. juni 2012 Opgave 1) Ligningen løses for K_0 vha. CAS-værktøjet WordMat. Der blev indsat 50.000 kroner på kontoen. b) Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Årsplan for matematik 4. klasse 14/15

Årsplan for matematik 4. klasse 14/15 Årsplan for matematik 4. klasse 14/15 Status: 4.b er en klasse der består af ca. 20 elever. Der er en god fordeling mellem piger og drenge i klasser. Klassen har 5 matematiktimer om ugen. Vi fortsætter

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 5 Funktioner og grafer, modellering af variabelsammenhænge 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler

Læs mere

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf.

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Eksamensspørgsmål 1a sommeren 2009 (reviderede) 1. Procent- og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar renteformlen og forklar hvorledes hver

Læs mere

Evaluering af matematikundervisningen december 2014

Evaluering af matematikundervisningen december 2014 Evaluering af matematikundervisningen december 0 Evalueringen er udarbejdet på baggrund af et ønske om dokumentation for elevernes udbytte af matematikundervisningen. Af forskellige årsager er evalueringen

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

Elevbog s. 14-25 Vi opsummerer hvad vi ved i. kendskab til geometriske begreber og figurer.

Elevbog s. 14-25 Vi opsummerer hvad vi ved i. kendskab til geometriske begreber og figurer. Årsplan 5. LH. Matematik Lærer Pernille Holst Overgaard (PHO) Lærebogsmateriale. Format 5 Tid og fagligt Aktivitet område Uge 33-37 Tal Uge 38-41 (efterårsferie uge 42) Figurer Elevbog s. 1-13 Vi opsummerer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 16/17 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 2013 Institution ZBC Ringsted Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B Jacob Debel 12HTX11 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

Indhold. Indledning 7 Læsevejledning 9

Indhold. Indledning 7 Læsevejledning 9 Indhold Indledning 7 Læsevejledning 9 1 Hvad er åbne opgaver? 13 2 Hvorfor arbejde med åbne opgaver? 17 3 Udfordringer i arbejdet med åbne opgaver 19 4 En ny didaktisk kontrakt 21 5 Et par eksempler 23

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet frs101-matn/a-605010 Onsdag den 6 maj 010 kl 0900-1400 Opgavesættet er delt i to dele Delprøve 1: timer med autoriseret

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januer-maj 15 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Glenn Aarhus

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MAJ AUGUST 2007 2009 MATEMATIK B-NIVEAU. onsdag 12. august 2009. Kl. 09.00 13.00. STX092-MABx

STUDENTEREKSAMEN MAJ AUGUST 2007 2009 MATEMATIK B-NIVEAU. onsdag 12. august 2009. Kl. 09.00 13.00. STX092-MABx STUDENTEREKSAMEN MAJ AUGUST 007 009 MATEMATIK B-NIVEAU onsdag 1. august 009 Kl. 09.00 13.00 STX09-MABx Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5 med i alt 5 spørgsmål.

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx103-mat/a-101010 Fredag den 10. december 010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Baggrund: I de senere år har en del gymnasieskoler eksperimenteret med HOT-programmet i matematik og fysik, hvor HOT står for Higher

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

fsa 1 På tryk tryk på 2 På dvd 3 På tv 4 På film 5 I koordinatsystem Matematisk problemløsning Folkeskolens Afgangsprøve December 2011

fsa 1 På tryk tryk på 2 På dvd 3 På tv 4 På film 5 I koordinatsystem Matematisk problemløsning Folkeskolens Afgangsprøve December 2011 fsa Folkeskolens Afgangsprøve Matematisk problemløsning December 2011 Som bilag til dette opgavesæt er vedlagt et svarark 1 På tryk tryk på 2 På dvd 3 På tv 4 På film 5 I koordinatsystem 1 På tryk tryk

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2014/2015, eksamen maj-juni 2015 Institution Kolding HF&VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse 1 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold maj-juni 06 Marie Kruses Skole Hf matematik C Lars Petersen

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2st111-MAT/A-24052011 Tirsdag den 24. maj 2011 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen. Skriftlig prøve (4 timer)

Matematik B. Studentereksamen. Skriftlig prøve (4 timer) Matematik B Studentereksamen Skriftlig prøve (4 timer) STX093-MAB Fredag den 11. december 2009 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5 med i alt

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Skriftlig prøve (5 timer) Fredag den. december kl... STX MAA LQGG

Matematik A. Studentereksamen. Skriftlig prøve (5 timer) Fredag den. december kl... STX MAA LQGG Matematik A Studentereksamen Skriftlig prøve (5 timer) STX MAA 581710_STX093-MAA.indd 1 LQGG Fredag den. december kl... 03/11/09 10:53:00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består

Læs mere

Vejledende årsplan for matematik 4.v 2008/09

Vejledende årsplan for matematik 4.v 2008/09 Vejledende årsplan for matematik 4.v 2008/09 Uge Emne Formål Opgaver samt arbejdsområder 33-35 Kendskab og skriftligt arbejde At finde elevernes individuelle niveau samt tilegne mig kendskab til deres

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2014 - Juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Herning HF og VUC Hf Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Matematik C Nst 16A Oversigt

Læs mere

Opgavesættet består af 7 opgaver med i alt 15 spørgsmål. De 15 spørgsmål indgår med lige vægt ved bedømmelsen. Til opgavesættet hører et bilag.

Opgavesættet består af 7 opgaver med i alt 15 spørgsmål. De 15 spørgsmål indgår med lige vægt ved bedømmelsen. Til opgavesættet hører et bilag. Opgavesættet består af 7 opgaver med i alt 15 spørgsmål. De 15 spørgsmål indgår med lige vægt ved bedømmelsen. Til opgavesættet hører et bilag. I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: December 2011 HTX

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Årsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012

Årsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012 Årsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012 Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januar-maj 15 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Glenn Aarhus

Læs mere

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATION 4 2 RENTES REGNING F I NMED N H REGNEARK. K R I S T I A N S E N KUGLE 5 LANDMÅLING 3 MÅLSCORE I HÅNDBO G Y L D E N D A L Faglige mål: Anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske

Læs mere

Matematik B. Højere forberedelseseksamen

Matematik B. Højere forberedelseseksamen Matematik B Højere forberedelseseksamen hfe102-mat/b-31082010 Tirsdag den 31. august 2010 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Kasper Jønsson

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

I denne opgave arbejder vi med følgende matematiske begreber:

I denne opgave arbejder vi med følgende matematiske begreber: I denne opgave arbejder vi med følgende matematiske begreber: En meter: 1 m. En kvadratmeter: 1 m. 1 m 2 1 m. En kubikmeter: 1 m 3 Radius-beregning af træet Find omkredsen af træet, mål i brysthøjde. Ca.

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Side 1 Vejledende besvarelse 1. Skitse af et andengradspolynomium Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1) skal f(3)=-1. Begge dele er opfyldt, hvis f (x )=x 2 10, hvor en skitse ses her: Da grafen skærer

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a gl. Matematik A Studentereksamen gl-1st141-mat/a-05014 Torsdag den. maj 014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for: hf15b 0813 Matematik C, 2HF

Undervisningsbeskrivelse for: hf15b 0813 Matematik C, 2HF Undervisningsbeskrivelse for: hf15b 0813 Matematik C, 2HF Fag: Matematik C, 2HF Niveau: C Institution: HF og VUC Fredericia (607247) Hold: 1. hel hf B, 1. år af 2 Termin: Juni 2014 Uddannelse: HF Lærer(e):

Læs mere

Matematikbanken.dk WORDMAT - VEJLEDNING - TILRETTET 6. KLASSE.

Matematikbanken.dk WORDMAT - VEJLEDNING - TILRETTET 6. KLASSE. WordMat er en udvidelse til Microsoft Word, som kan køre både på Windows og Mac. Windows-versionen kræver mindst Office 2007, og mac-versionen kræver mindst Office 2011. Du downloader WordMat her: http://goo.gl/wubvvo

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Matematik C. Højere forberedelseseksamen. Skriftlig prøve (3 timer) Fredag den 11. december 2009 kl. 9.00-12.00 2HF093-MAC

Matematik C. Højere forberedelseseksamen. Skriftlig prøve (3 timer) Fredag den 11. december 2009 kl. 9.00-12.00 2HF093-MAC Matematik C Højere forberedelseseksamen Skriftlig prøve (3 timer) 2HF093-MAC Fredag den 11. december 2009 kl. 9.00-12.00 Opgavesættet består af 8 opgaver med i alt 14 spørgsmål. De 14 spørgsmål indgår

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Matematik B. Højere forberedelseseksamen

Matematik B. Højere forberedelseseksamen Matematik B Højere forberedelseseksamen hfe101-mat/b-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE.

TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. FRA FÆLLES MÅL Målsætninger for undervisningsforløbet er opsat efter kompetence, færdigheds og vidensmål samt læringsmål i lærersprog. Geometri og måling Fase 3 Geometriske

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2016 Institution HF & VUC Nordsjælland, Hillerød afdeling Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Trigonometri at beregne Trekanter

Trigonometri at beregne Trekanter Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Årsplan for matematik 4.kl 2013-2014 udarbejdet af Anne-Marie Kristiansen (RK)

Årsplan for matematik 4.kl 2013-2014 udarbejdet af Anne-Marie Kristiansen (RK) Matematikundervisningen vil i år ændre sig en del fra, hvad eleverne kender fra de tidligere år. vil få en fælles grundbog, hvor de ikke må skrive i, et kladdehæfte, som de skal skrive i, en arbejdsbog

Læs mere

Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15

Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Klasse: 4. Fag: Matematik Lærer: Ali Uzer Lektioner pr. uge: 4(mandag, tirsdag, torsdag, fredag) Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Bodil Krongaard

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere