Teoretisk Statistik, 18. november Stikprøveteori: hvor er vi, og hvor skal vi hen? Proportional allokering Optimal allokering

Transkript

1 Uge 47 I Teoretisk Statistik, 8. oveber 003 Stikprøveteori: hvor er vi, og hvor skal vi he? Proportioal allokerig Optial allokerig Heruder: Saeligig af variaser og ødvedige stikprøvestørrelser for de forskellige udvalgspricipper. Sipel tilfældige udvælgelse ude tilbagelægig Populatiosstørrelse, -geesit, -varias: N, µτ,. Stikprøvestørrelse, -geesit, -varias, udvalgsbrøk:,x,s,f. τ τ ] = ( f ); σ +τ / N 0

2 Stratificeret udvælgelse geerelt Stratustørrelse, -vægt, -geesit, -varias: N, W, µ, τ Populatiosgeesit: µ= W µ = Stikprøvestørrelse, -geesit, -varias, udvalgsbrøk: Estiat for µ:,x,s,f x s = Wx = () Stratificeret udvælgelse geerelt Variasforel der gælder for alle,, ed +@@@+ = : (5.3) τ var X = W ( f ) s = = τ τ W W = N = Er der et "aturligt" valg af,,? Er der et optialt valg af,,? Er det altid godt at stratificere?

3 Teoretisk Statistik, 8. oveber 003 Stikprøveteori: hvor er vi, og hvor skal vi he? Proportioal allokerig Optial allokerig Heruder: Saeligig af variaser og ødvedige stikprøvestørrelser for de forskellige udvalgspricipper. Proportioal allokerig af stikprøve Det uveede stikprøvegeesit : x = x = x i = i= = er lig x s hvis og ku hvis / = = N W / N => f = f der kaldes proportioal allokatio, og defieres = W =,...,. er således proportioal ed stratuvægte W.

4 Udtages e proportioalt allokeret stikprøve beteges skøet over µ: x p, der o er lig x. Ved at idsætte = W i s], forel (5.3), fås f p] = W τ = Proportioal allokerig vs. siple tilfældig udvælgelse For at saelige variase på Xped de tilsvarede varias ved sipel tilfældig udvælgelse, å der foretages e kvadratsusopspaltig af de totale variatio i aterialet. De totale variatio µ µ = ) τ opspaltes i e variatio idefor strata ( ν ) (N ( µ ν µ ) og e variatio elle strata N( µ µ ) : (N ) τ = (N ) τ + N ( µ µ ) For (N ) / N =,..., og (N )/ N fås videre τ Wτ + W( µ µ ). Idsættes dette i (5.6) ka variase ved sipel tilfældig udvælgelse på skøet X over µ skrives f f = τ τ + µ µ ( ) ] W W ( )

5 Saeliges dette udtryk ed variase på det stratificerede iddeltal X s, fr. (5.3) fås f W ] ] W ( µ µ ) + W s τ Dette udtryk agiver geviste ved e vilkårlig stratifikatio set i forhold til sipel tilfældig udvælgelse. Første led på høre side er 0, es adet led ved uhesigtsæssig allokerig ka være < 0, og edog større ed første led, så stratificerige forøger usikkerhede på skøet over µ. Det er derfor vigtigt at allokere stikprøve foruftigt. Hvis stikprøve allokeres proportioalt: = W f ] p] W ( µ ) µ fås Forskel elle stratugeesittee edfører e ikke-egativ stratifikatiosgevist. Beærk at ved proportioal allokerig er de ødvedige stikprøvestørrelse for p] =σ 0 givet ved W τ = σ + W τ /N 0

6 Teoretisk Statistik, 8. oveber 003 Stikprøveteori: hvor er vi, og hvor skal vi he? Proportioal allokerig Optial allokerig Heruder: Saeligig af variaser og ødvedige stikprøvestørrelser for de forskellige udvalgspricipper. Optial allokerig af stikprøve Proble: Beste de værdier af,,, der gør s] idst ulig uder de bibetigelse at =, hvor er af give størrelse. Løsige er = W τ W τ =,,. Det optiale er proportioalt ed W. Det optiale er proportioalt ed τ, - ikke ed. Allokerig ifølge Wτ = Wτ er eigsløs, idet de dertil svarede stratifikatiosgevist er øagtig de sae so de for propor- tioal allokerig. τ

7 () Optial allokerig af stikprøve Udtages e optialt allokeret stikprøve beteges skøet over µ: x o. Ved at idsætte i s], forel (5.3), fås o = τ τ = = ] ( W ) W N og videre fås ved optial allokatio stratifikatiosgeviste ] o] ( f ) W ( µ µ ) + W ( τ W ) ( τ ) Dee stratifikatiosgevist er ikke-egativ. De afhæger af. forskel elle stratugeesittee. forskel elle stratuspredigere Uder optial allokerig er de ødvedige stikprøvestørrelse for o] =σ 0 givet so ( W τ ) = σ + τ )/N = 0 W =

8 Saeligig af stikprøveplaer Uder de atagelse at (N )/ N for =,, er ] ] ] p o Hvis alle strata er relativt så, og stratugeesittee er æste es, ka det dog vise sig at være e fordel at avede sipel tilfældig udvælgelse fre for stratifikatio. Opsalig o stratifikatio Er det altid godt at stratificere? Ofte e ikke altid. Det ka ske, år N er eget lille, at ] < p]. Ka og skal vi altid bruge optial stratificerig?. Kræver at vi keder stratuspredigere! Me år vi idsætter estiater herfor er vi ikke ødvedigvis tæt på de iiale varias.. Hvis der er flere variable i udersøgelse vil de optiale allokeriger ofte ikke være es. I praksis: Foruftigt at stratificere hvis der er forskel på strata. Ofte bruges proportioal sarere ed optial stratifikatio.