Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q"

Transkript

1 3, Note af Erik Vestergaard

2 . Kurvelægde Før vi går i gag med at behadle emet pi, skal vi tale om, hvorda ma bestemmer lægde af e kurve. Ma ka forestille sig at bestemme lægde ved at tilpasse et stykke sor lags kurve og derefter måle sores lægde med e lieal. E ade og mere teoretisk brugbar metode er at tilærme kurve med e uedelig følge af polygoer. De første polygo i følge fremkommer ved at placere e række pukter på kurve og forbide disse med rette lijestykker. Nu tilføjer vi yderligere ogle pukter og forbider alle de hidtidige pukter med lijestykker, hvorved vi får de æste polygo, etc. Jo mere fimasket vi iddeler kurve i pukter, jo tættere vil polygoes lægde være på kurves lægde. Græseværdie af polygoeres lægder vil være lig med kurves lægde. 3

3 Defiitio. (Multiplikatio omkrig et pukt) Hvis ma har e kurve α, så ka ma få e y kurve β ved at multiplicere α med e kostat k udfra et pukt S. Hermed mees følgede: For et pukt P på α teges e halvlije fra S geem P. Abrig u et pukt Q på halvlije, så Q s afstad fra S er k gage så stor som P s afstad fra S. Gør ma dette for ethvert pukt P på α, får ma e mægde af Q-pukter disse udgør kurve β. Situatioe er illustreret på figure edefor. Her er også afsat ogle eksempler: Puktet P0 på α giver aledig til puktet Q 0 på β, puktet P på α giver aledig til puktet Q på β etc. På figure er også teget polygoapproksimatioe PP 0 P til α og polygoapproksimatioe Q0Q Q til kurve β. Ved at studere esviklede trekater får ma edvidere, at polygoe Q0Q Q har e lægde, der er k gage så stor som lægde af PP 0 P. Ved hjælp af e uedelig følge af polygoapproksimatioer ka ma herefter ret emt vise, at lægde af kurve β er præcis k gage så stor som lægde af kurve α. 4

4 Defiitio.2 Tallet π er defieret som omkredse af e cirkel med diameter. Sætig.3 For ehver cirkel gælder det, at forholdet mellem e cirkels omkreds og des diameter er lig med π. Bevis : E cirkel C d med diameter d ka klart fås ved at multiplicere e cirkel med diameter udfra dets cetrum med e faktor d. Lad O d og O være omkredsee af heholdsvis C d og C. Ifølge overvejelsere med kurvelægde ovefor vil der derfor gælde: Od = d O. Me per defiitio er O = π. Heraf det øskede: C O d d = π 2. Cirkle tilærmes med polygoer Allerede meget tidligt i historie fadt ma ud af, at forholdet mellem omkredse og diametere af e cirkel altid er det samme. De første kedte værdier for dette forhold går tilbage til babyloere og ægyptere for mere ed 3500 år side. Her fadt ma 8 bladt adet værdiere heholdsvis 3 = 3,25 og 4 8 ( ) 2 = 3,6049. Vi skal dog ikke 9 komme ærmere id på dette her. De første rigtigt sobre udledig af e vurderig af pi skyldes oldtides største matematiker, grækere Archimedes (287 f.kr. 22 f.kr.), som tilærmede e cirkel idefra og udefra med regulære polygoer, og efter sedige formler og udregiger fadt frem til, at 3 < π < Med e regulær polygo mees e polygo, hvor hjørere alle ligger på e cirkel og hvor alle sidere har samme lægde. Det er forholdsvist oplagt, at cirkles omkreds er større ed omkredse af de idskreve polygo, me midre ed omkredse af de omskreve polygo. Lad betege atallet af sider i polygoe. Ved at vælge større og større vil omkredsee af de idskreve regulære polygoer og de omskreve regulære polygoer ærme sig til cirkles omkreds. For at berege omkredsee af -polygoere brugte Archimedes specielle beregiger, som vi ikke skal komme ærmere id 22 på her. Bemærk, at vi ovefor støder på tallet 3 =, som mage tror er de eksakte 7 7 værdi for π. Det er imidlertid ikke rigtigt det er ku e god tilærmelse til π. 5

5 6

6 På forrige side ses, hvorda cirkle tilærmes bedre og bedre med regulære polygoer idefra, såvel som udefra. Der er agivet formler for heholdsvis omkredse P O af de omskreve regulære -polygo og omkredse P i af de idskreve regulære -polygo. Ved hjælp af de trigoometriske fuktioer sius og tages skal vi fide e tilærmet værdi for π, og vi skal tillige aalysere, hvor godt tilærmelsere egetlig er. Archimedes havde selvfølgelig ikke de trigoometriske fuktioer til rådighed. Øvelse 2. Argumetér for formlere for P og P. O i Øvelse 2.2 a) Vi skal se på Archimedes tilfælde, hvor = 96. Beyt formlere for PO og Pi til at bestemme e øvre og edre græse for π. Bemærk, at ma ikke får Archimedes værdier, eftersom ha foretog ogle yderligere simplifikatioer udervejs i sie vurderiger! b) Udreg geemsittet af øvre og edre græse fra a) og beyt det som di tilærmede værdi for π. c) Hvor meget ka di værdi fra b) højst være forkert? d) I det følgede forestiller jeg mig, at du som e tilærmet værdi for π, vælger geemsittet af øvre og edre græse ligesom uder b). Hvor stor skal være, for at fejle på di værdi for π med sikkerhed bliver midre ed / , altså så 6 decimaler på beregige af π er korrekte: Prøv dig frem på lommeregere. Hvis du har e grafreger ka du evetuelt lave e tabel over fuktiosværdier for P og P som fuktio af. O i Idée med at tilærme e cirkel med polygoer idefra og udefra for at bestemme e tilærmet værdi for pi blev avedt helt op til 500-tallet, altså i mere ed 700 år efter Archimedes død. Herefter kom ye metoder på bae: Uedelige rækker og uedelige produkter. Bladt adet viste eglædere Joh Wallis (66 703) i 655 følgede formel, hvori pi idgår: () π = Der er tale om et uedeligt produkt. Resultatet var mere af teoretisk iteresse, idet det viser sig, at formle ikke er særlig veleget til at berege p med stor øjagtighed. 7

7 Lidt seere blev e uedelig række fudet til bestemmelse af pi: (2) π = Formle blev i 674 opdaget af de berømte tyske matematiker Gottfried Wilhelm Leibiz (646 76). Dee række er et specialtilfælde af e række, som allerede i 67 blev opdaget af eglædere James Gregory ( ). Det overlades til læsere at fide systemet i række, dvs. at gætte de led, der ligger efter /9. Gregory-Leibiz række ovefor viste sig desværre heller ikke at være så veleget til at bestemme pi med stor præcisio. Gottfried W. Leibiz (646-76) James Gregory ( ) 3. Uedelige rækker Det er på tide, at vi stopper lidt op for at studere det ye viduder: e uedelig række. Dette gøres bedst ved at overveje ogle eksempler. Det ses klart, at de edeståede række, hvor ma bliver ved med at lægge til, ikke ærmer sig til oget tal de går mod uedelig: Øvelse 3. Overvej, om edeståede rækker ærmer sig til oget tal eller ej. a) b)

8 Der fides ikke oge regel, der i alle tilfælde ka afgøre, om e uedelig række ærmer sig til et tal. Nogle metoder ka bruges i bestemte situatioer, me selv hvis ma har afgjort, at e række ærmer sig til et tal i matematisk sprog siger vi, at række kovergerer så ka det være e meget svær opgave at fide ud af, hvad det er for et tal, de ærmer sig til. I ogle tilfælde er det dog ikke så svært, bare ma ser på problemet på de rigtige måde, som edeståede. Øvelse 3.2 Afgør, hvad følgede række ærmer sig til: (3) idet du for hvert led, du yderligere tilføjer, idteger et areal svarede til tallet: Tilbage til række (2). Jo flere led, der medtages, jo mere øjagtig bliver beregige af π. Det viser sig, at for at få e øjagtighed på bare 6 decimaler, ligesom i øvelse 2, så skal der omtret e halv millio led til, så selv om ma bruger e computer, er dee formel ikke særlig god til vort formål. I 706 fadt Joh Machi ( ), professor i astroomi i Lodo, e ade formel, som består af to uedelige rækker: (4) π = ( ) (2 ) ( ) (2 ) 239 9

9 Bemærk, at jeg i hver delrække har agivet et udtryk for det te led. Formle (4) viser sig lagt mere hesigtsmæssig til at udrege π med mage decimaler, da de ekelte led i delrækkere meget hurtig bliver små. I det følgede skal du eksperimetere lidt med oveævte formler. Dertil får du brug for et regeark. Øvelse 3.3 Vi skal se lidt på, hvor lagsom række (2) egetligt kovergerer. Hvis ma i række bortskærer alle led efter det te led, får ma afsitssumme (5) s = ( ) (6) s 4 = s + ( ) 2 Ligig (6) er veleget til brug i forbidelse med regeark, idet de blot udtrykker, at ma får de ye afsitssum (de te) ved at lægge det te led til de forrige afsitssum (de ( ) te). Nedefor ses regearket. Du skal lave to søjler. De ee med overskrift og de ade med overskrift s. Du skal sørge for, at der er i første søjle står tallee fra til 00 der er ku vist til 5 på figure! I feltet B2 skriver du tallet 4, idet er lig med 4. I feltet B3 skal du så udytte ligig (6) ved at skrive formle s =B2+(-)^(A3-)*4/(2*A3-) idet A3 og B2 ideholder heholdsvis værdie af og s, for = 2. Herefter edkopierer du formle i reste af søjles felter idtil felt B0, Hvor tæt er på pi? s 00 0

10 Defiitio 3.4 For at gøre opskrivige mere hady fremover vil vi idføre e kortfattet otatio for e uedelig række ved hjælp af det store græske bogstav sigma: s = a = a + a + a + + a + i= i 2 3 s = a = a + a + a + + a i 2 3 i= Teget kaldes også for et summatiosteg. Det hetyder til, at ma skal lade i løbe fra begydelsesværdie agivet uder summatiosteget til slutværdie agivet over summatiosteget, i skridt på. Ma skal så lægge alle de fremkome a i 'er samme. I første tilfælde har vi e uedelig række, mes vi i det æste tilfælde har e edelig række. I de ederste række har vi skåret alle leddee fra i = + og opefter fra. Som tidligere atydet kalder vi det for de te afsitssum af de øverste række. Defiitioer 3.5 a) E række kaldes altererede såfremt des led skiftevis er positive og egative. b) E uedelig række, som ærmer sig til et bestemt tal, kaldes koverget. Sætig 3.6 Givet e altererede og koverget række s = ai i= hvor leddee umerisk set aldrig vokser, dvs. hvor a a2 a. Da vil forskelle på summe s og afsitssumme s højst være lig med de umeriske værdi af det først bortkastede led a+, altså: s s a + Der vil først blive givet et bevis for dee sætig uder afsluttede kommetarer. På dette sted skal vi blot se et eksempel på sætiges avedelse.

11 Eksempel 3.7 Betragt de uedelige række s = = i ( ) i= i i Dee uedelige række ka vises at være koverget ja faktisk ka ma vise, at de 2 ærmer sig til (kovergerer mod) tallet π. Dette er dog svært at vise. Hvad sætig imidlertid siger, er følgede: Da række vides at være koverget, og fordi des led hele tide skifter forteg, og fordi leddee bliver umerisk midre og midre, så vil s s4 a5 s bare for at tage et eksempel! Hvis ma smider leddee fra og med det femte led bort, så begår ma altså højst e fejl på 25. Øvelse 3.8 a) Forklar, hvorfor de uedelige række (2) adlyder kravee i sætig 3.6, og beyt derefter sætige til at vurdere de maksimale fejl ma begår, hvis ma bruger s 00 (udreget i regearket i øvelse 3.3) som e værdi for π. b) Hvor mage led skal medtages i afsitssumme s for at fejle på π bliver midre ed 0,00000? Øvelse 3.9 Aalogt til øvelse 3.3 skal du u lave et lille regeark til at berege e tilærmet værdi for pi. Dee gag skal du bruge de mere effektive formel (4), som er e differes af to uedelige rækker. Af (4) ser ma emt, at ma får de te afsitsfølge s udfra de ( )'te afsitsfølge ved at tilføje de to sidste led: s 6 4 = s + ( ) ( ) 2 2 (2 ) 5 (2 ) 239 a) Lav regearket, så du ka se afsitssummere ed til de tyvede, s 20. Bemærk, at regearket ku reger med et bestemt atal decimaler for eksempel 5 decimaler. Derfor ka der godt opstå afrudigsfejl på de sidste cifre. b) Brug sætig 3.6 på hver af de uedelige rækker i (4) til at bestemme de fejl, der begås, år ma beytter s 7 som e værdi for pi. Hvor mage decimaler er da korrekte? 2

12 4. Jagte på pi Hvad får matematikere til at ville berege π med 000 decimaler eller edda mere, år ma har rigeligt i de 8-0 decimaler, som fides på ehver lommereger med respekt for sig selv? E af forklarigere er vel, at meeskers hadliger ikke altid følger forufte der ka gå sport i det! Hvem udreger først π med millio decimaler eller i de dur? Opgave er ikke bare at sætte e computer til at rege på det i e eller flere dage, alt efter hvor mage decimaler, ma måtte øske. E tidoblig af atallet af decimaler vil emlig ofte resultere i et computerarbejde, som er lagt over det 0-dobbelte, og ma ka jo ikke have computere til at køre i årevis. Heldigvis viser det sig, at hvis ma er lidt smart, så ka ma ædre på es fremgagsmåde, heruder de avedte algoritme eller formel til bestemmelse af π, og derved edbrige køretide gaske betragteligt. Nogle af de metoder, som er blevet avedt til de seeste beregiger af pi er da også yderst raffierede, og det er e iteressat kedsgerig, at metodere bygger på ogle formler og idéer, som blev opdaget af et idisk matematikgei, som levede omkrig år 900. Både computeres hurtighed og de avedte metoder har altså e stor betydig for, hvor lag tid det tager at udrege π med e give øjagtighed. E ade tig er, at de metoder, der udvikles, ka hæde at fide avedelse adre steder. Det er matematikke i hvert fald fuld af eksempler på. I 989 passerede ma de første milliard (0 9 ) decimaler af pi. Hvis de bliver skrevet ud med decimaler på hver side hvilket er ret tæt vil det fylde 200 bøger á 500 sider! I det følgede vil jeg agive e metode til at berege pi med mage decimaler. Det skal dog æves, at metode ikke er veleget til at berege vores viduderlige kostat med for eksempel milliard decimaler det er de ikke effektiv ok til! Fremgagsmåde viser dog udmærket ogle af de problemer, der er. For det første opdager vi hurtigt, at lommeregere ikke ude videre ka beyttes, idet de ku reger med ca. 0 cifre. E måde at løse dette problem på er at iddele decimalere i blokke og så rege på é blok af gage. Lad os som eksempel sige, at vi øsker 25 decimaler af pi. Det ka gøres med 7 blokke af 5 cifre. De første blok agiver cifree fora kommaet og der er medtaget e ekstra blok til opsamlig af afrudigsfejl. Sidstævte kasseres til slut. De øskede øjagtighed på 25 decimaler ka opås ved at medtage 20 led fra første delrække og 6 led fra ade delrække (aved sætig 3.6). Vi skal altså udrege:

13 Et tal vil som sagt blive repræseteret ved 7 blokke af 5 cifre. For eksempel vil tallet 2, blive repræseteret som blokummer Vi skal u selv lære computere at rege. Bladt adet får vi brug for at lægge to tal samme, for eksempel: Fremgagsmåde: Start bagfra lægges til 82535, hvorved der fås 09822, som er sekscifret. Derfor bliver resultatet med i mete. Mete lægges til i æste blokberegig, som derfor bliver = 57838, etc... Øvelse 4. Hvilke fremgagsmåde bruger ma for at trække to tal fra hiade? Illustrer evetuelt på oveståede to tal. Vi får tillige brug for at dividere et tal med et lille tal. Med et lille tal mees et tal, som ikke behøver blive præseteret med blokke. Beregige kue for eksempel være: : 7 = Fremgagsmåde: Start fra vestre. 2 divideret med 7 er 0 med 2 til rest. Gag dee rest med og læg æste blok til, hvorved ma får Dette tal divideres med 7 og ma får 548 med 2 til rest. Dee rest gages med og æste blok lægges til, etc... 4

14 Øvelse 4.2 Hvilke fremgagsmåde bruges, hvis ma i stedet for at dividere oveståede tal med 7, skulle multiplicere med det? Nu til udregige af rækkere på side 3: Vi starter med at udrege 6/5 og får:. led: For at bestemme 2. led, altså 6 (3 5 ) ka vi bare fortsætte med at dividere. led med 25 og seere med 3. Når vi først dividerer med 25 får vi: som vi vil udæve til 2. hjælpeled. Grude er, at det ka bruges til at udrege 3. led! Hjælpeleddet divideres med 3: 2. led: Lad os straks trække 2. led fra. led, hvorved vi får et udtryk, vi ka kalde sum. Hver gag et led udreges, lægges det ete til eller trækkes fra sum: sum: Det 3. led, altså 6 (5 5 ), fides ved at dividere 2. hjælpeled med 25 (resultatet kaldet vi 3. hjælpeled) og derefter dividere resultatet med 5. På æste side ka du fide e liste over de successive opdateriger af sum, som fremkommer hver gag et led lægges til eller trækkes fra. Helt tilsvarede gøres for de ade uedelige række. Vi idfører ige e y sum, sum2, som løbede skal opsummere leddee fra de ade række. E liste over de successive opdateriger af sum2 ka du også fide på æste side. Vi slutter af med at trække de sidste opdateriger af sum og sum2 fra hiade, hvorefter vi får e tilærmet værdi for pi: Idet vi kasserer de sidste blok, hvis formål var at opsamle afrudigsfejl, får vi følgede tilærmede værdi for pi, med 25 decimalers øjagtighed: π

15 Successive opdateriger af sum: Successive opdateriger af sum2:

16 5. Afsluttede kommetarer På side lovede jeg et bevis for sætig 3.6, som vi brugte med stor succes til at vurdere fejle ved at bortkaste alle led fra og med det ( + )'te led. Her kommer det: Bevis for sætig 3.6 For simpelheds skyld vil jeg gå ud fra, at = 5. Beviset for et vilkårligt kører helt tilsvarede. Desude vil jeg atage, at de ulige led er positive og de lige led er egative. Er det omvedte tilfældet kører argumetere på ligede vis. Summe ka skrives på to måder: (a) s = a + a + a + a + ( a + a ) + ( a + a ) (b) s = a + a + a + a + a + ( a + a ) + ( a + a ) Da leddee med de ulige umre er positive og leddee med de lige umre er egative, er paretesere i række (a) alle positive eller ul, hvorimod paretesere i række (b) er egative eller ul. Det betyder, at hvis vi smider alle paretesere i række (a) væk, så smider vi oget ikke-egativt væk, hvorfor reste må være midre ed eller lig med s. Tilsvarede med række (b). Vi har altså: s a + a + a + a s a a a a a eller, hvad der er det samme: a + a + a + a s a + a + a + a + a Da forskelle på vestre og højre side er højst er. Det øskede er hermed vist. a 5 a 5, slutter vi, at forskelle på s og vestre side Bemærkig 5. Det er helt afgørede, at de betragtede række er koverget. Hvis række derimod ikke ærmer sig til oget tal for eksempel går imod uedelig så er det ikke tilladt at beytte argumeter, som ovefor. Forsøger ma alligevel fejlagtigt at argumetere på ikke- kovergete rækker, så er der eksempler på, at ma ka vise uhyrligheder, for eksempel, at 5 er lig med 0! Forklarige på, hvorfor ma må bruge argumeter som ovefor i forbidelse med kovergete rækker og ikke på divergete rækker, ligger i selve begrebet koverges, dvs. hvad det vil sige, at oget ærmer sig til oget adet. Det ligger dog udefor dee otes mål. 7

17 Historie om Ramauja Som tidligere ævt bygger ogle af de yeste metoder til beregig af π på formler opdaget af de idiske matematiker Sriviasa Ramauja ( ). Historie om Ramauja er eeståede. Ha blev født de 22. december 887 i e relativ fattig familie i e ladsby i det sydlige Idie. Has talet for matematik blev opdaget tidligt, me alligevel er det især has idsats på ege håd, der satte skub i has udviklig. Det lykkedes ham at låe e matematikbog, der var fyldt med formler, me ude beviser for disse. Dette kom sadsyligvis til at præge Ramaujas måde at dyrke matematik på. Has såkaldte otesbøger med ege opdagelser ideholder stort set ige forklariger på, hvorda ha kom frem til sie formler. Det har i øvrigt betydet et kæmpe arbejde for matematikere at lede efter beviser for Ramaujas formler. Efterhåde blev Ramaujas specielle ever opdaget af betydigsfulde idiske matematikere, og ha blev opfordret til at sede sie opdagelser til tre promiete egelske matematikere. To af dem sedte brevet tilbage ude kommetarer, hvorimod de tredje, G. H. Hardy fra Cambridge, svarede. Hardy betragtes u som de førede britiske matematiker på daværede tid. Hardy, som var vat til at få breve fra særlige, som troede at de var geiale og havde gjort store ye opdagelser, var tæt på at afvise brevet, da det akom de 6. jauar 93: me efter aftesmade satte Hardy og Joh E. Littlewood, e kollega til Hardy, sig ed for at pusle med ogle af formlere i Ramaujas brev. Nogle timer seere var de kommet til e erkedelse: De så arbejdet af et gei, og ikke e galig. Hardy omtalte seere, at ogle af Ramaujas formler fuldstædigt besejrede ham: De måtte være sade, for hvis de ikke var, ville ige have fatasi ok til at opfide dem. Hardy iviterede Ramauja til at komme til Cambridge, og de æste fem år arbejdede de to matematikere samme i et yderst givtigt samarbejde, som resulterede i flere matematiske artikler af højeste klasse. Klimaet i Eglad var imidlertid imod Ramauja, og de omstædighed, at det var krig og svært for ham at holde si vegetariske diæt gjorde, at ha blev syg. I 99 tog idere tilbage til sit hjemlad. Her døde ha stærkt svækket de 26. april 920 e død, ma u tror skyldes vitamimagel. Trods sie ku 37 leveår fik Ramauja gjort sig udødelig i matematikkes historie. Ramauja besad e æste overaturlig ituitio for tal, og det fortælles, at ha havde et forhold til ethvert tal! Som et eksempel herpå ka æves e gag, hvor Hardy besøgte Ramauja på hospitalet. Hardy, der altid var lidt kejtet, år ha skulle idlede e samtale, udbrød som oget af det første: Jeg tror ummeret på mi taxi var 729. Det forekommer mig at være et temmelig kedeligt tal!, til hvilket Ramauja svarede: Nej Hardy, Nej Hardy, det er et meget iteressat tal. Det er det midste tal, som på to måder ka skrives som e sum af 3 to kubiktal (729 = og 729 = ). Et eksempel på e af Ramaujas formler er de fatastiske formel: 8 (4 )! = π (!) 396 = 8

18 I 994 beyttede Chudovsky brødree følgede Ramauja-ligede formel til bestemmelse af 4 milliarder decimaler af pi: (6 )! = 2 ( ) 3 3 π = 0 (!) (3 )! Dee formel giver midst 4 ekstra korrekte cifre i beregige af pi, for hvert ekstra led, som medtages. Iterative metoder Med e iteratio mees e procedure, hvor ma bereger e følge af tal, hvor det æste tal i følge bereges på baggrud af det forrige. I 976 opdagede Eugee Salami og Richard P. Bret, uafhægigt af hiade, e iterativ algoritme, som sjovt ok liger e algoritme, der blev opdaget af de store tyske matematiker Carl Friedrich Gauss ( ) mere ed 00 år tidligere. Derfor fik algoritme avet Gauss-Bret-Salamialgoritme. De kovergerer kvadratisk mod pi, hvormed mees, at atallet af korrekte cifre fordobles efter hvert tri i iteratioe. De ser således ud: a = a + b 2 b = a b 2 2 = c a b s = s 2 c p = 2a s 2 startede med værdiere a0 =, b0 =, s0 = 2 2 Altså e metode, hvor ma arbejder sig frem led for led for = 0,, 2, Det viser sig, at p kovergerer kvadratisk mod pi. Du ka evetuelt prøve det af på regeark, me vær opmærksom på, at allerede efter gaske få led opås øjagtighede på de maksimalt ca. 5 decimaler, som regearket ka rege med! Ka ma blot lære computere at rege med tilstrækkeligt mage decimaler, ka ma få 45 millioer decimaler med bare 25 iteratioer!... 9

19 E ade iterativ algoritme, der kovergerer firdobbelt, dvs. hvor der for hver iteratio kommer midst fire gage så mage korrekte cifre i pi, blev opdaget af brødree Borwei i 985. De ser således ud: y + = 4 4 y + y k a = a ( + y ) 2 y ( + y + y ) hvor startværdiere er givet ved a = 6 4 2, y = Da vil a kovergere mod pi. For brødree Borwei, der fadt ye iterative algoritmer af forskellige order, var det e stor hjælp at kigge i Ramaujas gamle otesbøger, idet det viste sig, at de iterative algoritmer var sævert forbudet med Ramaujas såkaldte modulære ligiger. Bestemme ekeltståede cifre I 996 kom det som oget af e sesatio, da D. Bailey, P. Borwei og S. Plouffe kue påvise e formel for pi, med hvilke ma ka udrege e vilkårlig hexadecimal af pi, ude at udrege de tidligere hexadecimaler. Hexadecimalsystemet er 6-talsystemet! Idtil da havde ma troet, at arbejdet med at bestemme e give hexadecimal var lige så stort som at udrege de pågældede hexadecimal samt alle de øvrige tidligere hexadecimaler. Oveævte persoer fadt frem til følgede formel ved hjælp af et sedigt program på e computer: 4 2 π = i i= i i i i Jeg vil ikke komme ærmere id på detaljer her, blot æve, at de ikke umiddelbart ka bruges til at bestemme ekeltståede decimaler i pi. Hvis du er iteresseret i mere om pi, ka du kosultere ogle af de bøger og artikler, som jeg har agivet på æste side. Nogle af artiklere ka du dowloade direkte fra ettet. Edelig vil jeg slutte af med et diagram, som viser hvorår hver y tipotes af decimaler af pi blev opået, samt de første decimaler af pi. God forøjelse! 20

20 Litteratur. Gert Almkvist. Att räka ut de 00:e hexadecimale av π uta att räka ut de tidligare. Tidsskriftet Normat, 2000, sidere David H. Bailey, Joatha M. Borwei, Peter B. Borwei og Simo Plouffe. The Quest for Pi. Mathematical Itelligecer, vol. 9, o., Ja 997, sidere Ka også dowloades fra ettet: 3. David Bailey, Peter Borwei ad Simo Plouffe. O the Rapid Computatio of Various Polylogaritmic Costats. Iteret artikel fra 996, som ka dowloades fra: 4. J. M. Borwei, P. B. Borwei. Ramauja, Modular Equatios, ad Approximatios tp Pi or How to Compute Oe Billio Digits of Pi. America Mathematical Mothly, 989, p Joatha M. Borwei, Peter B. Borwei. Ramauja ad Pi. Scietific America, febr Petr Beckma. A History of pi. St. Marti s Press, The Golem Press, David Blater. The Joy of Pi. Pegui Books, Moges Esrom Larse. π med e milliard decimaler. Nordisk Matematisk tidsskrift r. 3, 990, sidere Jesper Lütze. Cirkles kvadratur, Vikles tredelig, Teriges fordoblig. Fra oldtides geometri til modere algebra. Systime, Jea-Claude Martzloff. A History of Chiese Mathematics. Sprigerverlag, Simo Plouffe. O the computatio of the 'th decimal digit of various trascedetal umbers. Iteret artikel fra 996: 2. Torbe Svedse. Boge om π. Systime, Boris Sjöberg. Historie om π. Normat, 998, sidere Sta Wago. Is π Normal? Mathematical Itelligecer, 985 o. 3, sidere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet)

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet) Oversigt (idholdsfortegelse) Bilag 1 Bilag 2 Bilag 3 De fulde tekst Bekedtgørelse om takstædriger i offetlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jerbaevirksomheder m.v. (takststigigsloftet) I medfør

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Induktionsbevis og sum af række side 1/7

Induktionsbevis og sum af række side 1/7 Iduktosbevs og sum af række sde /7 Skrver ma,,,...,,..., =, 2, 3,... 2 3 taler ma om e talfølge, eller blot e følge. Adre eksempler på følger er, -,, -,, -,..., (-) +,..., =, 2, 3,..., 2, 3, 4,...,,...,

Læs mere

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og TIMEGLASSETS FASER: INTRO Itroe er et foto og ogle spørgsmål til hele kapitlet. Meige med itroe er, at du og di klasse skal få e ide om, hvad kapitlet hadler om, og hvad I skal lære. Prøv at svare på spørgsmålee

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

Begreber og definitioner

Begreber og definitioner Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster

Læs mere

Facilitering ITU 15. maj 2012

Facilitering ITU 15. maj 2012 Faciliterig ITU 15. maj 2012 Facilitatio is like movig with the elemets ad sailig the sea Vejvisere Velkomst de gode idflyvig Hvad er faciliterig? Kedeteg ved rolle som facilitator Facilitatores drejebog

Læs mere

Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem

Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse Asymmetric Travelig Salesma Problem David Pisiger, Efterår 2003 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Blisterpakninger i det daglige arbejde

Blisterpakninger i det daglige arbejde Bettia Carlse Marts 2013 Blisterpakiger i det daglige arbejde I paeludersøgelse 35 1 har 1.708 beskæftigede sygeplejersker besvaret e række spørgsmål om (hådterige af) blisterpakiger i det daglige arbejde.

Læs mere

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft Iteretøkoomi: risfastsættelse af digitale goder Afleveret d. 9 maj 003 Af Julie ech og Malee Aja org risfastsættelse af digitale goder - Microsoft Af Julie ech og Malee Aja org.0.0 DIGITALE GODER....0.0

Læs mere

Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi

Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi I 996 var det en sensation, da det kom frem, at det var lykkedes D. Bailey, P. Borwein og S. Plouffe at finde en formel for tallet π, med hvilken man

Læs mere

Leica Lino. Præcise, selvnivellerende punkt- og linje-lasere

Leica Lino. Præcise, selvnivellerende punkt- og linje-lasere Leica Lio Præcise, selvivellerede pukt- og lije-lasere Opsæt, tæd, klar! Med Leica Lio er alt i lod og perfekt lige Leica Lios projekterer lijer eller pukter med milimeterøjagtighed, så du har hædere fri

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Hvordan hjælper trøster vi hinanden, når livet er svært?

Hvordan hjælper trøster vi hinanden, når livet er svært? Hvorda hjælper trøster vi hiade, år livet er svært? - at være magtesløs med de magtesløse Dask Myelomatoseforeig Temadag, Hotel Scadic, Aalborg Lørdag de 2. april 2016 kl. 14.00-15.30 Ole Raakjær, præst

Læs mere

info FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lynhurtigt bredbånd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser kan ses på bagsiden.

info FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lynhurtigt bredbånd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser kan ses på bagsiden. ifo FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lyhurtigt bredbåd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser ka ses på bagside. Velkomme til SAFet - avet på vores eget lokale Bredbåd! Sæby Ateeforeig har med virkig fra 15.

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

Psyken på overarbejde hva ka du gøre?

Psyken på overarbejde hva ka du gøre? Psyke på overarbejde hva ka du gøre? Idhold Hvorår kommer ma uder psykisk pres? 3 Hvad ka øge det psykiske pres på dit arbejde? 4 Typiske reaktioer 6 Hvorda forløber e krise? 7 Hvad ka du selv gøre? 9

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

Viden Om Vind oftere, stop i tide

Viden Om Vind oftere, stop i tide Vide Om Vid oftere, stop i tide Spørgsmål og svar Idhold Risici og relevas 2 Steffe Aderse Sadsyligheder 5 Per Hedegård Spørgsmål til eksperte 7 Thomas Aderse Til 8 Rasmus Østergaard Pederse E sikker strategi

Læs mere

Sejladsbestemmelser for Faurby Yacht 2STAR CUP 2015

Sejladsbestemmelser for Faurby Yacht 2STAR CUP 2015 Sejladsbestemmelser for Faurby Yacht 2STAR CUP 2015 Lørdag de 20. jui 2015 Arr. Middelfart- og Fredericia Sejlklubber. 1 Regler 1.1 Sejladse sejles efter de i Kapsejladsreglere defierede regler ikl. Skadiavisk

Læs mere

Børn og unge med seksuelt bekymrende og krænkende adfærd

Børn og unge med seksuelt bekymrende og krænkende adfærd Projekt Vest for Storebælt Bør og uge med seksuelt bekymrede og krækede adfærd Hvorår er der grud til bekymrig? Hvorda hevises et bar/e ug til gruppebehadlig? Hvad hadler projektet om? Projekt Vest for

Læs mere

6 Populære fordelinger

6 Populære fordelinger 6 Populære fordeliger I apitel 4 itroducerede vi stoastise variabler so e åde at repræsetere udfald af et esperiet på. De stoastise variabler ue være både disrete (fx terigslag) og otiuerte (fx vareægder).

Læs mere

Information til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev!

Information til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev! Iformatio til dig, der er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Hej elev! Til dig som er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Idustri Hej elev!

Læs mere

Nanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold

Nanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer Avedelser og arbejdsmiljøforhold Dee Kort & Godt pjece heveder sig til dig, som er medlem af FOA. Pjece giver iformatio om: Hvad er et aomateriale? Eksempler

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ.

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ. χ test matematkudervsge χ - test gymasets matematkudervsg I jauar ummeret 8 af LMFK bladet havde jeg e artkel, hvor jeg harcelerede ldt over, at regresso og sær χ fordelg havde fudet dpas matematkudervsge

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

Dårligt arbejdsmiljø koster dyrt

Dårligt arbejdsmiljø koster dyrt Dårligt arbejdsmiljø F O A f a g o g a r b e j d e koster dyrt Hvad koster et dårligt arbejdsmiljø, og hvad ka vi gøre for at bedre forholdee for de asatte idefor Kost- og Servicesektore? Læs her om de

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007 Atom og kerefysik Igrid Jesperses Gymasieskole 2007 Baggrudsstrålig Mål baggrudsstrålige i 5 miutter. Udreg atallet af impulser i 10 sekuder. Alfa-strålig α Mål atallet af impulser fra e alfa-kilde ude

Læs mere

Nanomaterialer i virkeligheden F O A F A G O G A R B E J D E

Nanomaterialer i virkeligheden F O A F A G O G A R B E J D E F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer i virkelighede Arbejdsmiljøkoferece i Kost- og Servicesektore 9. september 2013 Naomaterialer i virkelighede Idhold Gå ikke i paik eller baglås. I ka sagtes

Læs mere

TILSKUDSREGLER FOR AFTENSKOLER FAABORG-MIDTFYN-ORDNINGEN

TILSKUDSREGLER FOR AFTENSKOLER FAABORG-MIDTFYN-ORDNINGEN TILSKUDSREGLER FOR AFTENSKOLER FAABORG-MIDTFYN-ORDNINGEN VELKOMMEN Tilskudsreglere beskriver hvorda Faaborg-Midtfy Kommue støtter det frivillige folkeoplysede foreigsarbejde med økoomisk tilskud og avisig

Læs mere

HD i Afsætningsøkonomi Efteruddannelse HDA. social sciences. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet Syddansk Universitet

HD i Afsætningsøkonomi Efteruddannelse HDA. social sciences. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet Syddansk Universitet HD i Afsætigsøkoomi Efteruddaelse HDA I social scieces Det Samfudsvideskabelige Fakultet Syddask Uiversitet HD i Afsætigsøkoomi ÂÂ K læsss ii: Koldig HD specialet i Afsætigsøkoomi giver dig et solidt grudlag

Læs mere

A14 4 Optiske egenskaber

A14 4 Optiske egenskaber A4 4 Optiske egeskaber Brydigsideks Når lys træffer e græseflade mellem to materialer, kastes oget af lyset tilbage (refleksio), mes oget går igeem græseflade med foradret retig (brydig eller refraktio).

Læs mere

Kommunens styringssystemer og offentlige leders krydspres eller

Kommunens styringssystemer og offentlige leders krydspres eller Kommues styrigssystemer og offetlige leders krydspres eller hvorda får du forebyggelse sat på kommues dagsorde 1 Dispositio: Præsetatio og itroduktio til emet Ledergruppes styrigsmæssige dagsorde Begreber

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde EGA og mootot arbejde 04/09/02 14:27 Side 1 Orgaisatioer repræseteret i Idustries Brachearbejdsmiljøråd: Arbejdstagerside: Arbejdsgiverside: Dask Metal Specialarbejderforbudet Kvideligt Arbejderforbud

Læs mere

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS Trygve Haave1mo. INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS T E O R I (Fore1æs iger ved Aarhus Uiversitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. le INDHOLD..._..._... Grudlaget for de teoretiske Statistik. Kollektiv og ~a:dsylighed.

Læs mere

ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H

ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H ORDEN OG UDVALG: UNSTEN AT TÆLLE OMBINATORI Edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt I et edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt ( P ) U, ka sadsylighede for e give hædelse H, hvor altså H U, som bekedt bereges

Læs mere

Den Store Sekretærdag

Den Store Sekretærdag De Store Sekretærdag Tilmeld dig ide 1. oktober og få 300 kr. i rabat! De 25. ovember 2008 Tekologisk Istitut Taastrup De 8. december 2008 Mukebjerg Hotel Vejle Nia Siegefeldt, chefsekretær Camilla Miehe-Reard,

Læs mere

Team Danmark tilfredshedsundersøgelse 2013

Team Danmark tilfredshedsundersøgelse 2013 Team Damark tilfredshedsudersøgelse 2013 Baggrudsrapport Trygve Buch Laub, Rasmus K. Storm, Lau Tofft-Jørgese & Ulrik Holskov Idrættes Aalyseistitut MIND THE CUSTOMER December 2013 Titel Team Damark tilfredshedsudersøgelse

Læs mere

Bjørn Grøn. Fra græsk geometri til moderne algebra

Bjørn Grøn. Fra græsk geometri til moderne algebra Bjør Grø Fra græsk geometri til modere algebra Fra græsk geometri til modere algebra Side af 45 Idholdsfortegelse. Opridelse... 3 a. Påvirkiger fra flodkulturere...3 b. Pythagoræere...4. De græske matematiks

Læs mere

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel Cykelfysik 1/7 Cykelfysik Om udvekslig og kaftoveføsel Idhold 2. Kaftoveføsel og abejde...2 3. Abejde ved cykelkøsel...4 4. Regeeksemple fo e acecykel...5 5. Det e hådt at køe op ad bakke...6 6. Simple

Læs mere

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA TEKST NR 435 2004 Basisstatisti 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING

Læs mere

Konfidens intervaller

Konfidens intervaller Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit!

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit! Vaebryderdage 2009 Vaes magt eller magt over vae? Valget er dit! Osdag de 4. marts 2009 taastr u p Vaebrydere Torbe Wiese Meditatiosgurue Heig Davere Hjereforskere Milea Pekowa COACHEN Chris MacDoald Ulrik

Læs mere

Matematisk trafikmodellering

Matematisk trafikmodellering - Mathematical traffic modelig Grupper.: 8 Gruppemedlemmer: Jacob Hallberg Hasema Kim Alla Hase Ria Roja Kari Vejleder: Morte Blomhøj Semester: 4. Semester, forår 2007, hus 13.1 Studieretig: Det aturvideskabelige

Læs mere

FOREBYGGELSE OG BEKÆMPELSE AF ROTTER

FOREBYGGELSE OG BEKÆMPELSE AF ROTTER Hadligspla for FOREBYGGELSE OG BEKÆMPELSE AF ROTTER 2016-2018 LYNGBY-TAARBÆK KOMMUNE 2015 Lygby-Taarbæk Kommue Trykt på Rådhustrykkeriet Grafik Layout: Ole Lud Aderse, Iter Service INDHOLD Rotte - dyret

Læs mere

ESBILAC. - modermælkserstatning til hvalpe VEJLEDNING. www.kruuse.com

ESBILAC. - modermælkserstatning til hvalpe VEJLEDNING. www.kruuse.com ESBILAC - modermælkserstatig til hvalpe VEJLEDNING De bedste start på livet, e yfødt hvalp ka få, er aturligvis at stille si sult med si mors mælk. Modermælk ideholder alt, hvad de små har brug for af

Læs mere

Januar 2011 GARANTIBEVIS. Garantibevis. DS Trapezprofiler DS Sinusprofiler DS Pandeplader DS Tagstensprofiler DS Lysplader DS Tagrendeprogram

Januar 2011 GARANTIBEVIS. Garantibevis. DS Trapezprofiler DS Sinusprofiler DS Pandeplader DS Tagstensprofiler DS Lysplader DS Tagrendeprogram Jauar 2011 Garatibevis DS Trapezprofiler DS Siusprofiler DS Padeplader DS Tagstesprofiler DS Lysplader DS Tagredeprogram GARANTIBEVIS 2 Betigelser for opfyldelse af garativilkår at produktet ikke avedes

Læs mere

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier FUNKTIONER del Retesregig Ekspoetielle udvikliger Trigoometriske fuktioer Potesfuktioer Polyomier -klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idhold RENTESREGNING... 3 Kotiuert rete... EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER...

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

optipoint 500 Oplysninger og vigtige betjeningsprocedurer

optipoint 500 Oplysninger og vigtige betjeningsprocedurer optipoit 500 Oplysiger og vigtige betjeigsprocedurer PC (USB) Kommuikatiosplatform Hovedsæt Hådsæt optipoit sidemodul (f. eks. optipoit key module) optipoit adapter D Forklariger af tilslutigsmulighedere

Læs mere

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce Projektstyrigsmetode PRINCE2 som grudlag for opfyldelse af modehedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Govermet Commerce som beskrevet i Modehed i it-baserede forretigsprojekter, Modeller til

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Illustration af arbitrage

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Illustration af arbitrage Dages forelæsig Ige-Arbirage pricippe Claus Muk kap. 4 Nulkupoobligaioer Simpel og geerel boosrappig Forwardreer Obligaiosprisfassæelse Arbirage Værdie af e obligaio Nuidsværdie af obligaioes fremidige

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

Program. Populationer og stikprøver. Praktiske oplysninger. Eksempel vaccine mod miltbrand hos får. Praktiske oplysninger

Program. Populationer og stikprøver. Praktiske oplysninger. Eksempel vaccine mod miltbrand hos får. Praktiske oplysninger Faculty of Life Scieces Program Populatioer og stikprøver Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Praktiske oplysiger Populatioer og stikprøver Data Datatyper Visualiserig Cetrum og spredig af e fordelig

Læs mere

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Kapitel 0 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Torbe Obel Soeborg Hydrologisk afdelig, GEUS Nøglebegreber: Kalibrerigsprotokol, observatiosdata, kalibrerigskriterier, idetificerbarhed, etydighed, parameterestimatio,

Læs mere

Følelsesmæssige reaktioner og MS

Følelsesmæssige reaktioner og MS Følelsesmæssige reaktioer og MS Mosedalvej 15 2500 Valby Tlf. 3646 3646 www.scleroseforeige.dk Scleroseceter Ry Klostervej 136 8680 Ry Tlf. 8689 1011 Scleroseceter Haslev Rigstedvej 106 4690 Haslev Tlf.

Læs mere

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark Matematisk Modellerig Hjælpeark Kaare B. Mikkelse 2005090 3. september 2007 Idhold Formler 2 2 Aalyse af k ormalfordelte prøver 2 2. Modelcheck............................................ 2 2.2 Test af

Læs mere