Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Transkript

1 3, Note af Erik Vestergaard

2 . Kurvelægde Før vi går i gag med at behadle emet pi, skal vi tale om, hvorda ma bestemmer lægde af e kurve. Ma ka forestille sig at bestemme lægde ved at tilpasse et stykke sor lags kurve og derefter måle sores lægde med e lieal. E ade og mere teoretisk brugbar metode er at tilærme kurve med e uedelig følge af polygoer. De første polygo i følge fremkommer ved at placere e række pukter på kurve og forbide disse med rette lijestykker. Nu tilføjer vi yderligere ogle pukter og forbider alle de hidtidige pukter med lijestykker, hvorved vi får de æste polygo, etc. Jo mere fimasket vi iddeler kurve i pukter, jo tættere vil polygoes lægde være på kurves lægde. Græseværdie af polygoeres lægder vil være lig med kurves lægde. 3

3 Defiitio. (Multiplikatio omkrig et pukt) Hvis ma har e kurve α, så ka ma få e y kurve β ved at multiplicere α med e kostat k udfra et pukt S. Hermed mees følgede: For et pukt P på α teges e halvlije fra S geem P. Abrig u et pukt Q på halvlije, så Q s afstad fra S er k gage så stor som P s afstad fra S. Gør ma dette for ethvert pukt P på α, får ma e mægde af Q-pukter disse udgør kurve β. Situatioe er illustreret på figure edefor. Her er også afsat ogle eksempler: Puktet P0 på α giver aledig til puktet Q 0 på β, puktet P på α giver aledig til puktet Q på β etc. På figure er også teget polygoapproksimatioe PP 0 P til α og polygoapproksimatioe Q0Q Q til kurve β. Ved at studere esviklede trekater får ma edvidere, at polygoe Q0Q Q har e lægde, der er k gage så stor som lægde af PP 0 P. Ved hjælp af e uedelig følge af polygoapproksimatioer ka ma herefter ret emt vise, at lægde af kurve β er præcis k gage så stor som lægde af kurve α. 4

4 Defiitio.2 Tallet π er defieret som omkredse af e cirkel med diameter. Sætig.3 For ehver cirkel gælder det, at forholdet mellem e cirkels omkreds og des diameter er lig med π. Bevis : E cirkel C d med diameter d ka klart fås ved at multiplicere e cirkel med diameter udfra dets cetrum med e faktor d. Lad O d og O være omkredsee af heholdsvis C d og C. Ifølge overvejelsere med kurvelægde ovefor vil der derfor gælde: Od = d O. Me per defiitio er O = π. Heraf det øskede: C O d d = π 2. Cirkle tilærmes med polygoer Allerede meget tidligt i historie fadt ma ud af, at forholdet mellem omkredse og diametere af e cirkel altid er det samme. De første kedte værdier for dette forhold går tilbage til babyloere og ægyptere for mere ed 3500 år side. Her fadt ma 8 bladt adet værdiere heholdsvis 3 = 3,25 og 4 8 ( ) 2 = 3,6049. Vi skal dog ikke 9 komme ærmere id på dette her. De første rigtigt sobre udledig af e vurderig af pi skyldes oldtides største matematiker, grækere Archimedes (287 f.kr. 22 f.kr.), som tilærmede e cirkel idefra og udefra med regulære polygoer, og efter sedige formler og udregiger fadt frem til, at 3 < π < Med e regulær polygo mees e polygo, hvor hjørere alle ligger på e cirkel og hvor alle sidere har samme lægde. Det er forholdsvist oplagt, at cirkles omkreds er større ed omkredse af de idskreve polygo, me midre ed omkredse af de omskreve polygo. Lad betege atallet af sider i polygoe. Ved at vælge større og større vil omkredsee af de idskreve regulære polygoer og de omskreve regulære polygoer ærme sig til cirkles omkreds. For at berege omkredsee af -polygoere brugte Archimedes specielle beregiger, som vi ikke skal komme ærmere id 22 på her. Bemærk, at vi ovefor støder på tallet 3 =, som mage tror er de eksakte 7 7 værdi for π. Det er imidlertid ikke rigtigt det er ku e god tilærmelse til π. 5

5 6

6 På forrige side ses, hvorda cirkle tilærmes bedre og bedre med regulære polygoer idefra, såvel som udefra. Der er agivet formler for heholdsvis omkredse P O af de omskreve regulære -polygo og omkredse P i af de idskreve regulære -polygo. Ved hjælp af de trigoometriske fuktioer sius og tages skal vi fide e tilærmet værdi for π, og vi skal tillige aalysere, hvor godt tilærmelsere egetlig er. Archimedes havde selvfølgelig ikke de trigoometriske fuktioer til rådighed. Øvelse 2. Argumetér for formlere for P og P. O i Øvelse 2.2 a) Vi skal se på Archimedes tilfælde, hvor = 96. Beyt formlere for PO og Pi til at bestemme e øvre og edre græse for π. Bemærk, at ma ikke får Archimedes værdier, eftersom ha foretog ogle yderligere simplifikatioer udervejs i sie vurderiger! b) Udreg geemsittet af øvre og edre græse fra a) og beyt det som di tilærmede værdi for π. c) Hvor meget ka di værdi fra b) højst være forkert? d) I det følgede forestiller jeg mig, at du som e tilærmet værdi for π, vælger geemsittet af øvre og edre græse ligesom uder b). Hvor stor skal være, for at fejle på di værdi for π med sikkerhed bliver midre ed / , altså så 6 decimaler på beregige af π er korrekte: Prøv dig frem på lommeregere. Hvis du har e grafreger ka du evetuelt lave e tabel over fuktiosværdier for P og P som fuktio af. O i Idée med at tilærme e cirkel med polygoer idefra og udefra for at bestemme e tilærmet værdi for pi blev avedt helt op til 500-tallet, altså i mere ed 700 år efter Archimedes død. Herefter kom ye metoder på bae: Uedelige rækker og uedelige produkter. Bladt adet viste eglædere Joh Wallis (66 703) i 655 følgede formel, hvori pi idgår: () π = Der er tale om et uedeligt produkt. Resultatet var mere af teoretisk iteresse, idet det viser sig, at formle ikke er særlig veleget til at berege p med stor øjagtighed. 7

7 Lidt seere blev e uedelig række fudet til bestemmelse af pi: (2) π = Formle blev i 674 opdaget af de berømte tyske matematiker Gottfried Wilhelm Leibiz (646 76). Dee række er et specialtilfælde af e række, som allerede i 67 blev opdaget af eglædere James Gregory ( ). Det overlades til læsere at fide systemet i række, dvs. at gætte de led, der ligger efter /9. Gregory-Leibiz række ovefor viste sig desværre heller ikke at være så veleget til at bestemme pi med stor præcisio. Gottfried W. Leibiz (646-76) James Gregory ( ) 3. Uedelige rækker Det er på tide, at vi stopper lidt op for at studere det ye viduder: e uedelig række. Dette gøres bedst ved at overveje ogle eksempler. Det ses klart, at de edeståede række, hvor ma bliver ved med at lægge til, ikke ærmer sig til oget tal de går mod uedelig: Øvelse 3. Overvej, om edeståede rækker ærmer sig til oget tal eller ej. a) b)

8 Der fides ikke oge regel, der i alle tilfælde ka afgøre, om e uedelig række ærmer sig til et tal. Nogle metoder ka bruges i bestemte situatioer, me selv hvis ma har afgjort, at e række ærmer sig til et tal i matematisk sprog siger vi, at række kovergerer så ka det være e meget svær opgave at fide ud af, hvad det er for et tal, de ærmer sig til. I ogle tilfælde er det dog ikke så svært, bare ma ser på problemet på de rigtige måde, som edeståede. Øvelse 3.2 Afgør, hvad følgede række ærmer sig til: (3) idet du for hvert led, du yderligere tilføjer, idteger et areal svarede til tallet: Tilbage til række (2). Jo flere led, der medtages, jo mere øjagtig bliver beregige af π. Det viser sig, at for at få e øjagtighed på bare 6 decimaler, ligesom i øvelse 2, så skal der omtret e halv millio led til, så selv om ma bruger e computer, er dee formel ikke særlig god til vort formål. I 706 fadt Joh Machi ( ), professor i astroomi i Lodo, e ade formel, som består af to uedelige rækker: (4) π = ( ) (2 ) ( ) (2 ) 239 9

9 Bemærk, at jeg i hver delrække har agivet et udtryk for det te led. Formle (4) viser sig lagt mere hesigtsmæssig til at udrege π med mage decimaler, da de ekelte led i delrækkere meget hurtig bliver små. I det følgede skal du eksperimetere lidt med oveævte formler. Dertil får du brug for et regeark. Øvelse 3.3 Vi skal se lidt på, hvor lagsom række (2) egetligt kovergerer. Hvis ma i række bortskærer alle led efter det te led, får ma afsitssumme (5) s = ( ) (6) s 4 = s + ( ) 2 Ligig (6) er veleget til brug i forbidelse med regeark, idet de blot udtrykker, at ma får de ye afsitssum (de te) ved at lægge det te led til de forrige afsitssum (de ( ) te). Nedefor ses regearket. Du skal lave to søjler. De ee med overskrift og de ade med overskrift s. Du skal sørge for, at der er i første søjle står tallee fra til 00 der er ku vist til 5 på figure! I feltet B2 skriver du tallet 4, idet er lig med 4. I feltet B3 skal du så udytte ligig (6) ved at skrive formle s =B2+(-)^(A3-)*4/(2*A3-) idet A3 og B2 ideholder heholdsvis værdie af og s, for = 2. Herefter edkopierer du formle i reste af søjles felter idtil felt B0, Hvor tæt er på pi? s 00 0

10 Defiitio 3.4 For at gøre opskrivige mere hady fremover vil vi idføre e kortfattet otatio for e uedelig række ved hjælp af det store græske bogstav sigma: s = a = a + a + a + + a + i= i 2 3 s = a = a + a + a + + a i 2 3 i= Teget kaldes også for et summatiosteg. Det hetyder til, at ma skal lade i løbe fra begydelsesværdie agivet uder summatiosteget til slutværdie agivet over summatiosteget, i skridt på. Ma skal så lægge alle de fremkome a i 'er samme. I første tilfælde har vi e uedelig række, mes vi i det æste tilfælde har e edelig række. I de ederste række har vi skåret alle leddee fra i = + og opefter fra. Som tidligere atydet kalder vi det for de te afsitssum af de øverste række. Defiitioer 3.5 a) E række kaldes altererede såfremt des led skiftevis er positive og egative. b) E uedelig række, som ærmer sig til et bestemt tal, kaldes koverget. Sætig 3.6 Givet e altererede og koverget række s = ai i= hvor leddee umerisk set aldrig vokser, dvs. hvor a a2 a. Da vil forskelle på summe s og afsitssumme s højst være lig med de umeriske værdi af det først bortkastede led a+, altså: s s a + Der vil først blive givet et bevis for dee sætig uder afsluttede kommetarer. På dette sted skal vi blot se et eksempel på sætiges avedelse.

11 Eksempel 3.7 Betragt de uedelige række s = = i ( ) i= i i Dee uedelige række ka vises at være koverget ja faktisk ka ma vise, at de 2 ærmer sig til (kovergerer mod) tallet π. Dette er dog svært at vise. Hvad sætig imidlertid siger, er følgede: Da række vides at være koverget, og fordi des led hele tide skifter forteg, og fordi leddee bliver umerisk midre og midre, så vil s s4 a5 s bare for at tage et eksempel! Hvis ma smider leddee fra og med det femte led bort, så begår ma altså højst e fejl på 25. Øvelse 3.8 a) Forklar, hvorfor de uedelige række (2) adlyder kravee i sætig 3.6, og beyt derefter sætige til at vurdere de maksimale fejl ma begår, hvis ma bruger s 00 (udreget i regearket i øvelse 3.3) som e værdi for π. b) Hvor mage led skal medtages i afsitssumme s for at fejle på π bliver midre ed 0,00000? Øvelse 3.9 Aalogt til øvelse 3.3 skal du u lave et lille regeark til at berege e tilærmet værdi for pi. Dee gag skal du bruge de mere effektive formel (4), som er e differes af to uedelige rækker. Af (4) ser ma emt, at ma får de te afsitsfølge s udfra de ( )'te afsitsfølge ved at tilføje de to sidste led: s 6 4 = s + ( ) ( ) 2 2 (2 ) 5 (2 ) 239 a) Lav regearket, så du ka se afsitssummere ed til de tyvede, s 20. Bemærk, at regearket ku reger med et bestemt atal decimaler for eksempel 5 decimaler. Derfor ka der godt opstå afrudigsfejl på de sidste cifre. b) Brug sætig 3.6 på hver af de uedelige rækker i (4) til at bestemme de fejl, der begås, år ma beytter s 7 som e værdi for pi. Hvor mage decimaler er da korrekte? 2

12 4. Jagte på pi Hvad får matematikere til at ville berege π med 000 decimaler eller edda mere, år ma har rigeligt i de 8-0 decimaler, som fides på ehver lommereger med respekt for sig selv? E af forklarigere er vel, at meeskers hadliger ikke altid følger forufte der ka gå sport i det! Hvem udreger først π med millio decimaler eller i de dur? Opgave er ikke bare at sætte e computer til at rege på det i e eller flere dage, alt efter hvor mage decimaler, ma måtte øske. E tidoblig af atallet af decimaler vil emlig ofte resultere i et computerarbejde, som er lagt over det 0-dobbelte, og ma ka jo ikke have computere til at køre i årevis. Heldigvis viser det sig, at hvis ma er lidt smart, så ka ma ædre på es fremgagsmåde, heruder de avedte algoritme eller formel til bestemmelse af π, og derved edbrige køretide gaske betragteligt. Nogle af de metoder, som er blevet avedt til de seeste beregiger af pi er da også yderst raffierede, og det er e iteressat kedsgerig, at metodere bygger på ogle formler og idéer, som blev opdaget af et idisk matematikgei, som levede omkrig år 900. Både computeres hurtighed og de avedte metoder har altså e stor betydig for, hvor lag tid det tager at udrege π med e give øjagtighed. E ade tig er, at de metoder, der udvikles, ka hæde at fide avedelse adre steder. Det er matematikke i hvert fald fuld af eksempler på. I 989 passerede ma de første milliard (0 9 ) decimaler af pi. Hvis de bliver skrevet ud med decimaler på hver side hvilket er ret tæt vil det fylde 200 bøger á 500 sider! I det følgede vil jeg agive e metode til at berege pi med mage decimaler. Det skal dog æves, at metode ikke er veleget til at berege vores viduderlige kostat med for eksempel milliard decimaler det er de ikke effektiv ok til! Fremgagsmåde viser dog udmærket ogle af de problemer, der er. For det første opdager vi hurtigt, at lommeregere ikke ude videre ka beyttes, idet de ku reger med ca. 0 cifre. E måde at løse dette problem på er at iddele decimalere i blokke og så rege på é blok af gage. Lad os som eksempel sige, at vi øsker 25 decimaler af pi. Det ka gøres med 7 blokke af 5 cifre. De første blok agiver cifree fora kommaet og der er medtaget e ekstra blok til opsamlig af afrudigsfejl. Sidstævte kasseres til slut. De øskede øjagtighed på 25 decimaler ka opås ved at medtage 20 led fra første delrække og 6 led fra ade delrække (aved sætig 3.6). Vi skal altså udrege:

13 Et tal vil som sagt blive repræseteret ved 7 blokke af 5 cifre. For eksempel vil tallet 2, blive repræseteret som blokummer Vi skal u selv lære computere at rege. Bladt adet får vi brug for at lægge to tal samme, for eksempel: Fremgagsmåde: Start bagfra lægges til 82535, hvorved der fås 09822, som er sekscifret. Derfor bliver resultatet med i mete. Mete lægges til i æste blokberegig, som derfor bliver = 57838, etc... Øvelse 4. Hvilke fremgagsmåde bruger ma for at trække to tal fra hiade? Illustrer evetuelt på oveståede to tal. Vi får tillige brug for at dividere et tal med et lille tal. Med et lille tal mees et tal, som ikke behøver blive præseteret med blokke. Beregige kue for eksempel være: : 7 = Fremgagsmåde: Start fra vestre. 2 divideret med 7 er 0 med 2 til rest. Gag dee rest med og læg æste blok til, hvorved ma får Dette tal divideres med 7 og ma får 548 med 2 til rest. Dee rest gages med og æste blok lægges til, etc... 4

14 Øvelse 4.2 Hvilke fremgagsmåde bruges, hvis ma i stedet for at dividere oveståede tal med 7, skulle multiplicere med det? Nu til udregige af rækkere på side 3: Vi starter med at udrege 6/5 og får:. led: For at bestemme 2. led, altså 6 (3 5 ) ka vi bare fortsætte med at dividere. led med 25 og seere med 3. Når vi først dividerer med 25 får vi: som vi vil udæve til 2. hjælpeled. Grude er, at det ka bruges til at udrege 3. led! Hjælpeleddet divideres med 3: 2. led: Lad os straks trække 2. led fra. led, hvorved vi får et udtryk, vi ka kalde sum. Hver gag et led udreges, lægges det ete til eller trækkes fra sum: sum: Det 3. led, altså 6 (5 5 ), fides ved at dividere 2. hjælpeled med 25 (resultatet kaldet vi 3. hjælpeled) og derefter dividere resultatet med 5. På æste side ka du fide e liste over de successive opdateriger af sum, som fremkommer hver gag et led lægges til eller trækkes fra. Helt tilsvarede gøres for de ade uedelige række. Vi idfører ige e y sum, sum2, som løbede skal opsummere leddee fra de ade række. E liste over de successive opdateriger af sum2 ka du også fide på æste side. Vi slutter af med at trække de sidste opdateriger af sum og sum2 fra hiade, hvorefter vi får e tilærmet værdi for pi: Idet vi kasserer de sidste blok, hvis formål var at opsamle afrudigsfejl, får vi følgede tilærmede værdi for pi, med 25 decimalers øjagtighed: π

15 Successive opdateriger af sum: Successive opdateriger af sum2:

16 5. Afsluttede kommetarer På side lovede jeg et bevis for sætig 3.6, som vi brugte med stor succes til at vurdere fejle ved at bortkaste alle led fra og med det ( + )'te led. Her kommer det: Bevis for sætig 3.6 For simpelheds skyld vil jeg gå ud fra, at = 5. Beviset for et vilkårligt kører helt tilsvarede. Desude vil jeg atage, at de ulige led er positive og de lige led er egative. Er det omvedte tilfældet kører argumetere på ligede vis. Summe ka skrives på to måder: (a) s = a + a + a + a + ( a + a ) + ( a + a ) (b) s = a + a + a + a + a + ( a + a ) + ( a + a ) Da leddee med de ulige umre er positive og leddee med de lige umre er egative, er paretesere i række (a) alle positive eller ul, hvorimod paretesere i række (b) er egative eller ul. Det betyder, at hvis vi smider alle paretesere i række (a) væk, så smider vi oget ikke-egativt væk, hvorfor reste må være midre ed eller lig med s. Tilsvarede med række (b). Vi har altså: s a + a + a + a s a a a a a eller, hvad der er det samme: a + a + a + a s a + a + a + a + a Da forskelle på vestre og højre side er højst er. Det øskede er hermed vist. a 5 a 5, slutter vi, at forskelle på s og vestre side Bemærkig 5. Det er helt afgørede, at de betragtede række er koverget. Hvis række derimod ikke ærmer sig til oget tal for eksempel går imod uedelig så er det ikke tilladt at beytte argumeter, som ovefor. Forsøger ma alligevel fejlagtigt at argumetere på ikke- kovergete rækker, så er der eksempler på, at ma ka vise uhyrligheder, for eksempel, at 5 er lig med 0! Forklarige på, hvorfor ma må bruge argumeter som ovefor i forbidelse med kovergete rækker og ikke på divergete rækker, ligger i selve begrebet koverges, dvs. hvad det vil sige, at oget ærmer sig til oget adet. Det ligger dog udefor dee otes mål. 7

17 Historie om Ramauja Som tidligere ævt bygger ogle af de yeste metoder til beregig af π på formler opdaget af de idiske matematiker Sriviasa Ramauja ( ). Historie om Ramauja er eeståede. Ha blev født de 22. december 887 i e relativ fattig familie i e ladsby i det sydlige Idie. Has talet for matematik blev opdaget tidligt, me alligevel er det især has idsats på ege håd, der satte skub i has udviklig. Det lykkedes ham at låe e matematikbog, der var fyldt med formler, me ude beviser for disse. Dette kom sadsyligvis til at præge Ramaujas måde at dyrke matematik på. Has såkaldte otesbøger med ege opdagelser ideholder stort set ige forklariger på, hvorda ha kom frem til sie formler. Det har i øvrigt betydet et kæmpe arbejde for matematikere at lede efter beviser for Ramaujas formler. Efterhåde blev Ramaujas specielle ever opdaget af betydigsfulde idiske matematikere, og ha blev opfordret til at sede sie opdagelser til tre promiete egelske matematikere. To af dem sedte brevet tilbage ude kommetarer, hvorimod de tredje, G. H. Hardy fra Cambridge, svarede. Hardy betragtes u som de førede britiske matematiker på daværede tid. Hardy, som var vat til at få breve fra særlige, som troede at de var geiale og havde gjort store ye opdagelser, var tæt på at afvise brevet, da det akom de 6. jauar 93: me efter aftesmade satte Hardy og Joh E. Littlewood, e kollega til Hardy, sig ed for at pusle med ogle af formlere i Ramaujas brev. Nogle timer seere var de kommet til e erkedelse: De så arbejdet af et gei, og ikke e galig. Hardy omtalte seere, at ogle af Ramaujas formler fuldstædigt besejrede ham: De måtte være sade, for hvis de ikke var, ville ige have fatasi ok til at opfide dem. Hardy iviterede Ramauja til at komme til Cambridge, og de æste fem år arbejdede de to matematikere samme i et yderst givtigt samarbejde, som resulterede i flere matematiske artikler af højeste klasse. Klimaet i Eglad var imidlertid imod Ramauja, og de omstædighed, at det var krig og svært for ham at holde si vegetariske diæt gjorde, at ha blev syg. I 99 tog idere tilbage til sit hjemlad. Her døde ha stærkt svækket de 26. april 920 e død, ma u tror skyldes vitamimagel. Trods sie ku 37 leveår fik Ramauja gjort sig udødelig i matematikkes historie. Ramauja besad e æste overaturlig ituitio for tal, og det fortælles, at ha havde et forhold til ethvert tal! Som et eksempel herpå ka æves e gag, hvor Hardy besøgte Ramauja på hospitalet. Hardy, der altid var lidt kejtet, år ha skulle idlede e samtale, udbrød som oget af det første: Jeg tror ummeret på mi taxi var 729. Det forekommer mig at være et temmelig kedeligt tal!, til hvilket Ramauja svarede: Nej Hardy, Nej Hardy, det er et meget iteressat tal. Det er det midste tal, som på to måder ka skrives som e sum af 3 to kubiktal (729 = og 729 = ). Et eksempel på e af Ramaujas formler er de fatastiske formel: 8 (4 )! = π (!) 396 = 8

18 I 994 beyttede Chudovsky brødree følgede Ramauja-ligede formel til bestemmelse af 4 milliarder decimaler af pi: (6 )! = 2 ( ) 3 3 π = 0 (!) (3 )! Dee formel giver midst 4 ekstra korrekte cifre i beregige af pi, for hvert ekstra led, som medtages. Iterative metoder Med e iteratio mees e procedure, hvor ma bereger e følge af tal, hvor det æste tal i følge bereges på baggrud af det forrige. I 976 opdagede Eugee Salami og Richard P. Bret, uafhægigt af hiade, e iterativ algoritme, som sjovt ok liger e algoritme, der blev opdaget af de store tyske matematiker Carl Friedrich Gauss ( ) mere ed 00 år tidligere. Derfor fik algoritme avet Gauss-Bret-Salamialgoritme. De kovergerer kvadratisk mod pi, hvormed mees, at atallet af korrekte cifre fordobles efter hvert tri i iteratioe. De ser således ud: a = a + b 2 b = a b 2 2 = c a b s = s 2 c p = 2a s 2 startede med værdiere a0 =, b0 =, s0 = 2 2 Altså e metode, hvor ma arbejder sig frem led for led for = 0,, 2, Det viser sig, at p kovergerer kvadratisk mod pi. Du ka evetuelt prøve det af på regeark, me vær opmærksom på, at allerede efter gaske få led opås øjagtighede på de maksimalt ca. 5 decimaler, som regearket ka rege med! Ka ma blot lære computere at rege med tilstrækkeligt mage decimaler, ka ma få 45 millioer decimaler med bare 25 iteratioer!... 9

19 E ade iterativ algoritme, der kovergerer firdobbelt, dvs. hvor der for hver iteratio kommer midst fire gage så mage korrekte cifre i pi, blev opdaget af brødree Borwei i 985. De ser således ud: y + = 4 4 y + y k a = a ( + y ) 2 y ( + y + y ) hvor startværdiere er givet ved a = 6 4 2, y = Da vil a kovergere mod pi. For brødree Borwei, der fadt ye iterative algoritmer af forskellige order, var det e stor hjælp at kigge i Ramaujas gamle otesbøger, idet det viste sig, at de iterative algoritmer var sævert forbudet med Ramaujas såkaldte modulære ligiger. Bestemme ekeltståede cifre I 996 kom det som oget af e sesatio, da D. Bailey, P. Borwei og S. Plouffe kue påvise e formel for pi, med hvilke ma ka udrege e vilkårlig hexadecimal af pi, ude at udrege de tidligere hexadecimaler. Hexadecimalsystemet er 6-talsystemet! Idtil da havde ma troet, at arbejdet med at bestemme e give hexadecimal var lige så stort som at udrege de pågældede hexadecimal samt alle de øvrige tidligere hexadecimaler. Oveævte persoer fadt frem til følgede formel ved hjælp af et sedigt program på e computer: 4 2 π = i i= i i i i Jeg vil ikke komme ærmere id på detaljer her, blot æve, at de ikke umiddelbart ka bruges til at bestemme ekeltståede decimaler i pi. Hvis du er iteresseret i mere om pi, ka du kosultere ogle af de bøger og artikler, som jeg har agivet på æste side. Nogle af artiklere ka du dowloade direkte fra ettet. Edelig vil jeg slutte af med et diagram, som viser hvorår hver y tipotes af decimaler af pi blev opået, samt de første decimaler af pi. God forøjelse! 20

20 Litteratur. Gert Almkvist. Att räka ut de 00:e hexadecimale av π uta att räka ut de tidligare. Tidsskriftet Normat, 2000, sidere David H. Bailey, Joatha M. Borwei, Peter B. Borwei og Simo Plouffe. The Quest for Pi. Mathematical Itelligecer, vol. 9, o., Ja 997, sidere Ka også dowloades fra ettet: 3. David Bailey, Peter Borwei ad Simo Plouffe. O the Rapid Computatio of Various Polylogaritmic Costats. Iteret artikel fra 996, som ka dowloades fra: 4. J. M. Borwei, P. B. Borwei. Ramauja, Modular Equatios, ad Approximatios tp Pi or How to Compute Oe Billio Digits of Pi. America Mathematical Mothly, 989, p Joatha M. Borwei, Peter B. Borwei. Ramauja ad Pi. Scietific America, febr Petr Beckma. A History of pi. St. Marti s Press, The Golem Press, David Blater. The Joy of Pi. Pegui Books, Moges Esrom Larse. π med e milliard decimaler. Nordisk Matematisk tidsskrift r. 3, 990, sidere Jesper Lütze. Cirkles kvadratur, Vikles tredelig, Teriges fordoblig. Fra oldtides geometri til modere algebra. Systime, Jea-Claude Martzloff. A History of Chiese Mathematics. Sprigerverlag, Simo Plouffe. O the computatio of the 'th decimal digit of various trascedetal umbers. Iteret artikel fra 996: 2. Torbe Svedse. Boge om π. Systime, Boris Sjöberg. Historie om π. Normat, 998, sidere Sta Wago. Is π Normal? Mathematical Itelligecer, 985 o. 3, sidere