1 Videnskabens værktøj

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "1 Videnskabens værktøj"

Transkript

1 Videnskabens værktøj Videnskabens værktøj Ethvert erhverv har sine værktøjer. Det særlige værktøj, der efterhånden er blevet fælleseje for næsten alle grene af videnskab, er matematikken. I dette kapitel vil jeg forsøge at afmystificere videnskabens værktøj, således at de ligninger, der er fysikerens, astronomens og i stigende grad også neurofysiologens hammer og mejsel, ikke længere virker så utilgængelige. De matematiske udtryk har en egen skønhed, og den matematiske tankegang en stringens, der er værd at studere for sin egen skyld, og hen ad vejen, mens vi skuer ind mod universets allerinderste, vil det endda vise sig, at matematikken muligvis er andet og mere end blot et værktøj. Det første, vi kan konstatere, er, at matematikken tager sit udgangspunkt i tal. Man kan næsten sige, at tal er matematikkens elementarpartikler. Der er ikke noget særlig mystisk ved tal. De er en helt almindelig del af vores dagligdag, og vi bruger løs af dem uden at tænke nærmere over det. Derfor har du sikkert heller ikke gjort dig klart, at der findes forskellige slags tal. De simpleste er dem, vi som børn først lærte at håndtere, nemlig dem, vi bruger til at tælle med:,, 3, 4, 5, 6, 7 osv. Matematikerne kalder disse tal for naturlige tal og siger, at de tilhører en mængde med navnet N (fig. ). Efter at vi har lært at tælle, udvides vor begrebsverden hurtigt med endnu et tal, nemlig. Det er et ret specielt tal, for det kan ikke bruges til at tælle med; det angiver jo netop, at der ikke er noget at tælle. Alligevel er det nært beslægtet med de naturlige tal, og oftest henregnes det da også til mængden N. Hvis man gerne vil understrege, at et er inkluderet, kan man betegne de naturlige tal således: N. For virkelig at forstå behovet for et, er vi imidlertid nødt til at begynde at se på et andet af matematikkens grundbegreber, nemlig kompositioner. En komposition er en ting, der sætter tal i relation til hinanden, (og dermed en analogi til fysikkens kræfter). De første kompositioner, vi i skolen stiftede bekendtskab med, var addition (+) Fig.. Mængden, N, af naturlige tal. og subtraktion ( ), og lidt senere fulgte multiplikation ( ) og division (/). Det er i forbindelse med subtraktionen, at et dukker op. Hvis du har tre kasketter og forærer den ene til en ven, har du to tilbage. Det kan du skrive således: 3 =, (idet det er underforstået, at det er kasketter, det drejer sig om). Men hvis du forærer ham alle tre, har du ingen tilbage, og her får du så behov for et tal til at betegne ingenting, hvis du vil kunne skrive regnestykket på samme form som før: 3 3 =. De naturlige tal, N, kan opfylde vores behov langt hen ad vejen, men i nogle situationer kommer de til kort. Antag for eksempel, at du har tre æg, men for at kunne bage den kage, du vil traktere din kæreste med i aften, skal du bruge fire. Du går derfor ind til naboen og låner et. Når du så har bagt kagen, hvor mange æg har du så? Faktisk færre end ingen, for når du har været ud at købe nogle nye, skal du jo aflevere et af dem til naboen med tak for lån. Man kan derfor opskrive dette regnestykke: 3 4 =. Vi har nu introduceret nogle nye tal, nogle vi ikke kan bruge til at tælle ting med, nemlig negative tal. Dem grupperer vi sammen med de 5

2 Videnskabens værktøj naturlige tal i en ny og større mængde, som vi kalder heltal og giver navnet Z. Alle de tal, der findes i N, findes også i Z, men det er ikke alle tal i Z, der findes i N. Man siger, at N er en delmængde af Z (fig. ). Kan du se, at der er en forskel på N og Z? Tallene i N kan stilles op på en række og tælles fra en ende af:,,, 3, 4 osv. Dvs. de kan arrangeres sådan, at et tal altid er større end det tal, der står umiddelbart til venstre for det. Man bliver ganske vist aldrig færdig med at tælle, for der er jo uendeligt mange tal, men i det mindste har man et sted at begynde, og man har Fig.. Mængden, Z, af heltal. en veldefineret metode til at komme fra tal til tal. Det har man imidlertid ikke med tallene i Z, med mindre rækkefølgen ændres. Hvis du stiller dem op efter samme princip som N, får du denne række: 4, 3,,,,,, 3, 4, altså en række, der er uendelig på begge sider af. Men hvis du arrangerer om på dem, kan du stadig klare at tælle dem, (hvis du har uendelig stor tålmodighed):,,,,, 3, 3, 4, 4 osv. Du får en uendelig række af par samt en enkelt enlig:, (, ); (, ); (3, 3) etc. Heraf ser du også ets særstatus, for det har ingen at danne par med, (eller også må man sige, at det danner par med sig selv: (, )). Det at mængden N kom til kort, da vi begyndte at trække fra, udtrykkes i matematisk terminologi ved at sige, at N er åben med hensyn til subtraktion. Man kan tage to tal, der begge er medlemmer af N og trække dem fra hinanden på en sådan måde, at resultatet ikke er et medlem af N. Derimod er N lukket med hensyn til addition, for hvis to tal begge er medlemmer af N, vil summen også være det. På samme måde er Z lukket med hensyn til addition, subtraktion og multiplikation, men åben med hensyn til division. Hvis to tal begge ligger i Z, vil resultatet af en division som hovedregel ikke gøre det. Derfor må vi igen introducere en ny slags tal, nemlig brøkerne, som grupperes i mængden af rationelle tal, Q (fig. 3). Brøker kan noteres på to måder: dels Fig. 3. Mængden, Q, af rationelle tal. 6

3 Videnskabens værktøj som rigtig brøk (¼, ½, ¾ osv.), hvilket egentlig blot er et regnestykke, ligesom hvis man skrev som 3, dels som decimaltal (,5;,5;,75 osv.). Den decimale notation afslører nogle interessante træk ved brøker. Tag for eksempel et kig på eksemplerne nedenfor: (.) (.) (.3) (.4) (.5) (.6) ,5,5, , , , For det første: alle brøkerne kan skrives som uendelige rækker af tal, idet,5 jo er det samme som,5 og,5 er det samme som,5 Her viser et sig igen praktisk, fordi det gør det muligt at bringe noget, der umiddelbart ser forskelligt ud, på samme form. For det andet: alle brøkerne har en indbygget periodicitet forstået på den måde, at tallene efter et vist punkt efter kommaet vil begynde at gentage sig selv i et regelmæssigt mønster. I (.) og (.) kan du blive ved med at sætte er på, i (.3) og (.4) fortsætter rækken med 3-taller, (.5) fortsætter med parret 9, og (.6) bliver ved med at gentage den sekscifrede gruppe Undertiden skal der temmelig mange decimaler til, før periodiciteten dukker op, (prøv for eksempel med brøker, der har 7 i nævneren), men før eller siden skal den nok vise sig. Mængderne N og Z var, som vi så, begge tællelige, idet vi kan arrangere dem på en lang række og tælle dem et for et. At rækken er uendelig, så vores optælling aldrig bliver færdig, betyder ikke noget i denne sammenhæng. Men tag nu alle de rationelle tal, dvs. tallene i mængden Q. Kan de stilles op på en række, så du kan gå i gang med at tælle dem? Nej, det er umuligt, for hvordan skulle du opstille en regel for, hvordan man kommer fra ét tal til det næste? Men lad os prøve alligevel. Vi begynder fra og lægger så til hele tiden, som da vi talte de naturlige tal. Så har vi i hvert fald fået talt en del af elementerne i Q (,,, 3 ). Herefter kan vi gå i gang med at tælle, hvor mange tal, der er imellem hvert par af heltal. Vi tager først tallene mellem og :,;,;,3;,9. Men det er jo ikke dem alle! For mellem, og,3 for eksempel er der jo,;,;,3;,9. Og mellem,5 og,6 er der,5;,5;,53 osv. Ligegyldigt hvor lille et interval, vi udvælger os, kan vi altid finde ikke bare ét, men uendeligt mange nye tal mellem intervallets grænser. Forestiller vi os alle rationelle tal indtegnet på en linie, ser vi derfor, at linien ikke bare er uendelig i længde, men også i dybde (fig. 4). Uanset hvor på denne tallinie vi måtte finde på at kigge, finder vi et tal. Vi kan forstørre linien lige så meget, vi måtte ønske, men vi vil altid kunne udvælge et vilkårligt delinterval og finde uendeligt mange tal inden for intervallet. Betyder det så, at en linie indeholdende alle de rationelle tal er det, der i matematisk Fig. 4. De rationelle tal, Q, udgør en linie, der kan forstørres vilkårligt meget uden nogen sinde at afsløre et tomt område. 7

4 Videnskabens værktøj terminologi hedder kontinuert, dvs. helt uden huller? Overraskende nok er svaret nej! Tænk tilbage på, hvad jeg sagde om brøkerne, når de blev repræsenteret som decimaltal. Decimalerne vil altid fra et eller andet sted i rækken af tal efter kommaet kunne inddeles i grupper, der gentager sig selv ad infinitum. Men der er tal, der ikke har denne indbyggede periodicitet, og som derfor ikke kan skrives som brøker! Det berømteste eksempel er π (pi), der angiver forholdet mellem en cirkels omkreds og dens diameter. Værdien af π (3, ) er efterhånden blevet beregnet med milliarder af decimalers nøjagtighed, uden at nogen form for periodicitet er dukket op. Andre eksempler er, altså det tal, der ganget med sig selv, giver (, ), grundtallet for den naturlige logaritme, e (, ), og det gyldne snit, φ (fi), (, ). Disse tal kaldes irrationelle, og når man udvider mængden Q med dem, får man en ny og endnu større Fig. 5. Mængden, R, af reelle tal. mængde, der kaldes de reelle tal, R (fig. 5). Men hvor meget større end Q kan R være? Foreløbig har jeg jo kun nævnt fire irrationelle tal, og man skulle vel ikke tro, at der kunne være særlig mange af den slags underlige tal. Sandheden er imidlertid, at der er uendeligt mange, og det er faktisk ikke særlig vanskeligt at indse. For hvis π er et irrationelt tal, er π+ det også, og π+ og π+3 og π 7 og π ¾ osv., osv. For hvert irrationelt tal er der uendeligt mange andre irrationelle tal, for et irrationelt tal plus, minus, gange eller divideret med et rationelt tal er altid et irrationelt tal. Så den tallinie af rationelle tal, der umiddelbart så fuldstændig sammenhængende ud, er i virkeligheden hullet som en si! Flettet ind mellem alle brøkerne findes en uendelighed af irrationelle tal, og først når de for lov til at komme med, dvs. når vi betragter en tallinie bestående af de reelle tal, bliver linien kontinuert. En sammenligning mellem mængderne N, den vi begyndte med, og R, den vi indtil videre er sluttet med, vil afsløre noget ganske mærkværdigt. Det er indlysende, at der er uendeligt mange naturlige tal og uendeligt mange reelle tal, men det er lige så indlysende, at der må være mange, mange flere reelle tal end naturlige tal. Uendeligheder forekommer altså i forskellige størrelser! Matematikerne har navne for Irrationelle tal er i sandhed underlige, for hvor kommer de fra? Heltallene dukker helt naturligt op som et middel til at angive størrelse eller lignende, og brøkerne sætter størrelser i forhold til hinanden, dvs. de fremkommer ved simpel division af heltal med heltal. Men hvordan kan vi producere et irrationelt tal som f π? Ikke ved simpel heltalsdivision i hvert fald, for en sådan vil altid frembringe en brøk og dermed et rationelt tal. På trods af dette er π defineret ved netop en brøk, nemlig diameter omkreds. Dette betyder, at selv i en nok så banal cirkel som f en vielsesring, er mindst én af størrelserne omkreds og diameter selv et irrationelt tal og dermed umulig at kende med % nøjagtighed. disse forskellige størrelser. Antallet af naturlige tal kaldes א ( aleph nul ), og antallet af reelle 8

5 Videnskabens værktøj tal kaldes א ( aleph et ). Begge er eksempler på såkaldte transfinitte tal, dvs. tal, hvis størrelse er hinsides det endelige. Med ankomsten til de reelle tal har vi så nået grænsen for tallenes rige? Nej, faktisk ikke endnu! Tallinien er godt nok fyldt ud, så vi ikke længere har mulighed for at falde igennem, men skjult mellem heltallene findes en lille uskyldigt udseende drillenisse. Vi kan finde ham (eller måske snarere hende?) sådan her: Et særtilfælde af multiplikation er de situationer, hvor vi ganger et tal med sig selv: ; ;,4,4; φ φ osv. Vi har en særlig notationsform for dette, nemlig ; ;,4 ; φ, og siger, at tallet opløftes til. potens. Resultaterne af de fire eksempler på at opløfte til. potens er 4; ;, og,6794 Men vi kan selvfølgelig også gå den modsatte vej. Hvis vi har et tal, kan vi sætte os for at finde det tal, der ganget med sig selv giver tallet. Det kaldes at uddrage kvadratroden og noteres således: 4 ; ;, og, Men når vi skal finde ud af, hvad disse kvadratrødder er, støder vi på en lille finurlighed. Kvadratroden af er selvfølgelig også, for =. Men lige før så vi jo, at også er, for to negative tal giver altid et positivt, når de ganges med hinanden. Det betyder altså, at enhver kvadratrod har to løsninger: 4 = ±; = ±;, = ±,4 og, =±,68, (idet ± betyder både + og ). Og her er det, drillenissen dukker op, for hvad så med? Hvilket tal ganget med sig selv giver? Ikke for det giver +. Og heller ikke, for giver også +. Den eneste måde, hvorpå vi kan få et negative tal som resultat af en multiplikation, er at gange et positivt tal med et negativt. Det vil så sige, at der ikke findes et tal, der ganget med sig selv, giver et negativt tal, og dermed er det heller ikke muligt at finde en kvadratrod til negative tal. Om mængden af reelle tal, R, kan vi derfor konkludere, at den er lukket over for de fire almindelige regnearter, addition, subtraktion, multiplikation og division, men den er ikke lukket over for uddragning af kvadratrødder. Der findes kvadratrødder, nemlig alle dem, der skal uddrages af negative tal, der ikke har nogen løsning inden for R. Hvor skal vi så søge en løsning på? Vi må simpelthen opfinde en ny slags tal, ligesom vi gjorde, da vi havde brug for en løsning på et regnestykke som for eksempel 3 5. Det var dengang, vi gjorde tallinien uendelig i begge retninger ved at tilføje et segment til venstre for indeholdende de negative tal. Det er imidlertid umagen værd lige at reflektere over, hvad det egentlig var, vi gjorde. Det ser ud, som om vi introducerede et helt nyt sæt af tal, men strengt taget opfandt vi kun en ny egenskab ved tal ( negativitet, ), som vi derefter parrede med ét tal (), så vi fik. Alle de andre negative tal kan derefter dannes ved blot at tage et ganske almindeligt positivt tal og gange det med. Så når vi for eksempel skriver,4, mener vi i virkeligheden,4 ( ). I praksis gør dette ingen forskel, men konceptuelt er situationen forenklet betydeligt. I stedet for uendeligt mange nyskabelser (i form af uendeligt mange negative tal), har vi bare en enkelt,, der kommer til at fungere som en slags enhed for alle størrelser mindre end. א er første bogstav i det hebræiske alfabet. Normalt udelades det positive fortegn (+). Når man skriver, er det altså underforstået, at det er det positive tal +. Kun når det positive fortegn skal understreges, medtages det foran tallet. 9

6 Videnskabens værktøj Lad os derfor prøve, om ikke vi kan få hul på ved at nøjes med at opfinde en ny egenskab (lad os kalde den krydsbolle, ) og bruge den til at skabe nyt enhedstal,. Dette nye tal skal så have den egenskab, at =, således at bliver lig. Vi kan nu sammenfatte fortegnsreglerne i forbindelse med multiplikation i en lille tabel (tabel.). Ligesom det var tilfældet med, kan vi derefter skabe et helt nyt talsæt ved at tage almindelige tal og gange dem med (for eksempel,4 ()), og vi kan igen analogt med tilfældet lave en forkortet skrivemåde:. tal. tal Resultat Tabel.. Regler for fortegnet på resultatet i forbindelse med multiplikation.,4. Herefter har vi mulighed for at finde løsninger på kvadratrødder af vilkårlige negative tal således: (.7) = = Vi har nu tre talegenskaber symboliseret ved fortegnene: +, og. Og vi kan endda kombinere dem, således at vi også kan have negative krydsbolletal: 7,8. Men hvad er de egentlig for nogle fyre, disse krydsbolletal ud over et produkt af min livlige fantasi? Vi så jo tidligere, at tallinien, da vi nåede til de reelle tal, blev fyldt helt ud. Der er ikke længere nogen huller, hvor vi kan indsætte nye tal. Så hvor skal vi gøre af krydsbolletallene? Løsningen er ligetil, om end den kræver nytænkning. Hvis der ikke er mere plads på tallinien, er vi nødt til at gå uden for den. Så vi sætter dem simpelthen på en linie, der er vinkelret på de reelle tals linie (fig. 6). Herefter har vi et talsystem, hvor alle tal kan placeres på fire linier, der hver især har sit udgangspunkt i tallet. På de horisontale linier har vi de positive ( ) og negative ( ) reelle tal, og på de vertikale linier har vi reelle tal multipliceret med ( ) og med ( ). I midten fælles for alle fire linier sidder det lidt specielle tal,. Hvornår har du sidst haft brug for et krydsbolletal i din dagligdag? Med mindre du er matematiker eller fysiker, er svaret med stor sandsynlighed: Aldrig! Vi behøver ikke at kunne regne med kvadratrødder af negative tal for at lave husholdningsregnskab eller finde ud af, hvor mange liter maling, der skal bruges til at male væggene i soveværelset. Fordi disse tal er så underligt verdensfjerne og uden for vores daglige virkelighed, har de fået betegnelsen imaginære, og de angives normal ikke ved hjælp af et fortegn som, men som et almindeligt reelt tal efterfulgt af et i: i; 7,5i; πi. Fig. 6 viser således mængden, R, af reelle tal på de vandrette linier og mængden, I, af imaginære tal på de lodrette. Hvor mange imaginære tal findes der i øvrigt? Og hvor mange tal er vi nu nået op på i alt? Svarene skulle gerne ligge nogenlunde lige for. Vi dannede de imaginære tal ved at tage hvert eneste reelle tal og gange det med i (tidligere kaldet ). Der må derfor være lige så mange imaginære tal som reelle tal, dvs. א. Det samlede antal tal bliver derfor næsten dobbelt så stort:. א ( fordi ellers regnes med to gange). Fig. 6. Talsystemet efter udvidelse med krydsbolletal. De imaginære tal kan sikkert godt forekomme lidt unyttige, men det er fordi, vi endnu ikke har udnyttet deres fulde potentiale. Vi mangler nemlig den sidste, eksplosive udvidelse af talsystemet! Kast et blik på fig. 6 igen. Den virker lidt tom, ikke? Hele vores talverden findes inden for de farvede linier, men resten synes at være uudnyttet mørke. Men nej, mørket er ikke

7 Videnskabens værktøj uudnyttet. Her lurer nemlig det ultimative supertal, der bringer de reelle tal og de imaginære tal ind under en fælles hat. Tænk lige tilbage på brøkerne, der danner mængden af rationelle tal, Q. En brøk er i virkeligheden et talpar, hvis individer i den reneste form er hentet fra heltallene, Z. Det ene individ danner tælleren, det andet nævneren: ⅞. Men i virkeligheden er brøken blot et regnestykke. Syv ottendedele betyder slet og ret syv divideret med otte: 7 / 8. Resultatet er vi nødt til at forestille os inde i hovedet, for med de talsymboler, der er til rådighed (,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), er vi ikke i stand til at skrive det ned. Introduktionen af decimalsystemet løste en del af dette problem, idet en brøk som for eksempel ⅞ kan skrives som,875, men som vi så tidligere, er der mange brøker, der på decimalform kun kan skrives som en tilnærmet værdi, fordi decimalrækken er uendelig. Så notationen som talpar er i de fleste tilfælde den eneste, der er helt nøjagtig. Det nye supertal, jeg nu vil introducere, er også et talpar. Her hentes individerne imidlertid fra hver sin mængde, det ene fra de reelle tal, R, det andet fra de imaginære tal, I. Denne nye taltype kalder vi komplekse tal, og, som det var tilfældet med brøkerne, må vi notere dem som et regnestykke, for eksempel + 5i. (Med min private fortegnsnotation kunne man i stedet have skrevet 5, hvorved ligheden med brøker havde været tydeligere). Det første tal kaldes den reelle komponent (Re) og det sidste tal, det der står foran i et, den imaginære komponent (Im). Mængden af komplekse tal betegnes C, og med dem er den ultimative talmængde nået (fig. Fig. 7. Mængden, C, af komplekse tal. 7). Brøkerne udfyldte mellemrummene på tallinien mellem heltallene. Kan du se, hvor på fig. 6 de komplekse tal har deres plads? Det er dem, der udfylder mørket. Fordi de består af en komponent fra R og en komponent fra I, udfylder de hele det todimensionale plan, der udspændes af tallinierne (fig. 8). Så det var ikke nogen overdrivelse, at der var tale om en eksplosiv udvidelse af talsystemet. De reelle tal repræsenterer en kontinuert linie, de komplekse tal en kontinuert flade! De komplekse tal er endnu mere utællelige end de reelle tal. Hvis vi forsøgte at tælle alle tallene i R, ville vi aldrig kunne komme fra det ene tal til det næste, for mellem to vilkårlige tal er der altid uendeligt mange andre tal. Men i det mindste kunne vi give os til at spadsere ud ad et stykke af tallinien og vide, at vi derved passerede alle de uendeligt mange tal, der findes inden for dette stykke. Noget tilsvarende kan vi ikke gøre med tallene i C, for hvordan skulle vi nogensinde fuldstændig kunne dække bare en lille bitte mikroskopisk del af en kontinuert flade ved at passere fra punkt Fig. 8. De komplekse tals plads i det numeriske univers.

8 Videnskabens værktøj til punkt? De komplekse tal er, hvor eksotiske de end forekommer, vigtige redskaber i fysikken. Ikke fordi er hyppigt forekommende i vores omverden, men fordi komplekse tal i kraft af deres planudfyldende egenskaber danner bro til geometrien. Og netop i geometrien udspiller en meget stor del af fysikken sig. Tag for eksempel den fysiske disciplin, der hedder mekanik, og som handler om kræfter og bevægelser. En kraft har en størrelse og en retning. Tyngdekraftens størrelse er for eksempel 9,8 m/s, og dens retning er ned, dvs. mod jordens centrum. På samme måde har en bevægelse også en størrelse, nemlig hastigheden, og en retning. En flyvemaskine kan for eksempel bevæge sig med 85 km/t i retningen SSØ. Vi kan derfor repræsentere kræfter og bevægelser geometrisk ved hjælp af pile i matematikken kaldet vektorer som vist på fig. 9. Retningen af en vektor fås da ved at opløse den i Fig. 9. Fire vektorer. komponenter langs to foruddefinerede akser, der er vinkelrette på hinanden, og vektoren navngives som et talpar bestående af længden af disse to komponenter: (6;4), ( 8;6,5) osv. I fig. 9 kunne vi for eksempel vedtage, at den blå akse skal pege mod nord/syd og den grønne mod øst/vest. Herefter beregnes en vektors længde ved hjælp af den pythagoræiske læresætning, der siger, at længden af den længste side i en retvinklet trekant er lig kvadratroden af summen af kvadraterne på de to korte sider. Det vil for vektorerne i fig. 9 sige: (.8) (.9) (.) (.) Vektor A' s længde Vektor B' s længde Vektor C' s længde 8 5,5 Vektor D' s længde , 6,5 64 4,5 6,5, ,5 5 55,5 7, , Ser du nu parallellen til de komplekse tal? Hvis du sammenligner fig. 9 med fig. 8, vil du opdage, at du kan genfinde alle vektorerne i førstnævnte som komplekse tal i sidstnævnte. Fig. 9 viser de fire vektorer (6;4), ( 8;6,5), ( 5,5; 5) og (7; 6). Fig. 8 viser blandt andet de komplekse tal 6+4i, 8+6,5i, 5,5 5i og 7 6i. De eneste forskelle er, at den blå akse i fig. 9 hedder nord/syd og den grønne øst/vest, mens de i fig. 8 hedder Im og Re, samt at vektorer og komplekse tal ikke noteres på helt samme måde: (6;4) mod 6+4i. Notationsforskellen er imidlertid rent typografisk. (6;4) betyder seks skridt til højre langs øst/vest-aksen og fire skridt op langs nord/syd-aksen. 6+4i betyder seks skridt til højre langs Re-aksen og fire skridt op langs Im-aksen. Ligheden mellem vektorer og komplekse tal bliver endnu tydeligere, når jeg nu afslører, at komplekse tal har en indbygget egenskab, der hedder den numeriske værdi, der defineres som kvadratroden af den reelle komponent i anden plus den imaginære komponent i anden. Det vil for det komplekse tal 6+4i sige af et komplekst tal er således fuldstændig det samme som en vektors længde ,. Numerisk værdi Konsekvensen af alt dette er, at fysikeren i de komplekse tal har et glimrende værktøj til at arbejde med problemer, der involverer kræfter og bevægelser, og hun kan trygt forlade sig på

9 Videnskabens værktøj alle de regneregler og sammenhænge, matematikeren har afsløret om de komplekse tal 3. Dette betyder ikke, at vektorer er komplekse tal med imaginære komponenter og kvadratrødder af negative tal og alt hvad deraf følger af eotica. Kun at de kan repræsenteres eller bearbejdes ved hjælp af komplekse tal. Vi har nu skrabet lidt i overfladen af den disciplin, der hedder talteori eller algebra. Nedenunder ligger verdener af forunderlige erkendelser om tallene og deres egenskaber, som der er skrevet tykke bøger om. At jeg har valgt at begynde min tur igennem matematikken i talteorien er ikke tilfældigt. Tallene danner en nogenlunde lettilgængelig overgang fra vores dagligdag til mere abstrakte verdener. Måske er du i virkeligheden lidt skuffet, for indtil videre har vi ikke set meget til de mærkelige tegn, mange ofte forbinder med matematik. Det vil imidlertid ændre sig nu, hvor jeg vil introducere et af matematikkens stærkeste virkemidler, nemlig symbolet. Et symbol er en eller anden ting, for eksempel et bogstav eller et andet tegn, der repræsenterer noget andet end sig selv. I virkeligheden har vi allerede mødt adskillige symboler, for tallene og tegnene for regnearterne er jo også symboler. 4 betyder et antal på fire, og + betyder læg det, der står på højre side sammen med det, der står på venstre. Ord er også symboler. Dreng betyder menneske af et bestemt køn og under en vis alder. Så vi er alle sammen vant til at omgås masser af symboler. Det, der gør matematikkens anvendelse af symboler så skræmmende, er, at deres indhold ofte er meget abstrakt og meget koncentreret. Så lad os gå frem med små, forsigtige skridt. Se tilbage på gennemgangen af de komplekse tal. Jeg sagde, at de har en egenskab, der kaldes numerisk værdi, der defineres som kvadratroden af den reelle komponent i anden plus den imaginære komponent i anden, og jeg gav et konkret eksempel ved hjælp af tallet 6+4i. Dette kan imidlertid udtrykkes mere generelt, mere koncist og meget smukkere ved at indføre nogle symboler: Lad z være et vilkårligt komplekst tal, og lad Re(z) betyde den reelle komponent af z og Im(z) den imaginære komponent af z. Hvis vi betegner den numeriske værdi af z med z, gælder: (.) z Re( z) Im( z) De lange sætninger er nu erstattet af nogle få tegn, der er lette og hurtige at overskue, når man først ved, hvad de betyder. Og vi behøver ikke forklare ved hjælp af stikprøveeksempler, men kan skrive en definition (nemlig (.)), der på én gang dækker alle tænkelige eksempler. På tilsvarende måde kan vi bringe selve definitionerne af et komplekst tal og dets reelle og imaginære komponenter på kort og præcis symbolsk form: Lad z stå for et vilkårligt komplekst tal, lad a og b være reelle tal, og lad Re(z) betyde den reelle komponent af z og Im(z) den imaginære komponent af z. Idet i betegner gælder følgende definitioner: (.3) (.4) (.5) z a bi Re( z) a Im( z) b 3 De komplekse tal har andre egenskaber og repræsentationsmuligheder (såkaldte polære og eksponentielle notationer), der også gør dem meget velegnede til at lave beregninger inden for f.eks. elektronik og kvantemekanik. 3

10 Videnskabens værktøj Vi kan imidlertid koncentrere disse udtryk endnu mere, for prologerne ( Lad z stå for ) kan også bringes på symbolsk form. Se her: (.6) (.7) z C : z Re( z) Im( z z a bi; a R; b R; z C ) Her har jeg tilføjet yderligere nogle symboler til henholdsvis (.) og (.3). Det matematiske udsagn z C : i (.6) betyder: For ethvert ( ) tal z tilhørende () mængden C gælder (:) 4. Tilsvarende siger udsagnet efter det første semikolon i (.7), at a og b skal tilhøre mængden af reelle tal, R, og at z så vil tilhøre mængden af komplekse tal, C. Lad os gennemgå endnu et par eksempler fra de foregående sider som træning i at forstå den matematiske symbolverden. Husker du, at jeg nævnte, at mængden af heltal, Z, er lukket med hensyn til addition, subtraktion og multiplikation, men åben med hensyn til division? Og at lukket og åben i denne forbindelse betyder, at resultatet af beregningen selv er et heltal henholdsvis ikke et heltal? Også dette kan vi bringe på præcis symbolsk form: (.8) (.9) nz; m Z : n mz, n mz, nmz k k Z; l Z : Z l Udsagn (.8) siger, at ligegyldigt hvilke to tal, m og n, vi vælger blandt heltallene, så vil sum, differens og produkt også være heltal. Udsagn (.9) siger, at man er i stand til at udvælge heltal ( : der eksisterer ), k og l, på en sådan måde, at k / l ikke er et heltal ( Z : tilhører ikke mængden Z ). I eksemplerne ovenfor har jeg hovedsagelig brugt symbolerne til at generalisere nogle udsagn ved at lade dem træde i stedet for tal (a, b, k, l, m, n) samt ved at forkorte sproglige udsagn ( z C : for ethvert komplekst tal gælder ). Men symboler kan også bruges til at symbolisere andre symboler, så sammenhænge på tværs af forskellige situationer kan tydeliggøres. Se for eksempel på disse udsagn om de fire regnearter: (.) n n n n n n n / n Her står, at ligegyldigt hvilket tal, vi vælger, vil addition og subtraktion af ikke have nogen effekt. Ligeledes vil heller ikke multiplikation eller division med gøre nogen forskel. I algebraen udtrykker man dette ved at sige, at og er neutralelement over for henholdsvis addition/subtraktion og multiplikation/division. Betragt så disse udsagn: 4 Man ser ofte en lodret streg ( ) anvendt i stedet for :. Hvad man foretrækker, er et spørgsmål om personlig smag, og om hvad der typografisk passer bedst i sammenhængen. 4

11 Videnskabens værktøj (.) n n n n Hvis man tager et tal og lægger det tilsvarende negative tal til, får man neutralelementet,, for addition/subtraktion. Og hvis man tager et tal og ganger det med divideret med tallet, får man neutralelementet,, for multiplikation/division. Man siger, at n er inverselement i forhold til addition/subtraktion, og at n er inverselement i forhold til multiplikation/division. Vi kan nu indføre et ekstra abstraktionslag, så vi med et eneste kort udsagn kan definere, hvad neutralelement og inverselement er, uden at skulle referere til de konkrete regnearter: Lad * betegne en vilkårlig komposition (husk at regnearter under et benævnes kompositioner i algebraen), lad * være kompositionens neutralelement, og lad endvidere n betegne inverselementet. Der vil da gælde: (.) n n Det vil sige: tag et vilkårligt tal, komponér det med sit inverselement, og du får neutralelementet. På denne måde er det muligt at bringe mange forskellige instanser af et større, mere omfattende begreb ind under en fælles hat. Og det er selvfølgelig også disse lag af abstraktion på abstraktion, der gør matematikken så vanskeligt tilgængelig for den uindviede. Vi har nu set tilstrækkelig meget på anvendelsen af symboler, til at vi kan bevæge os længere ind i matematikkens verden. Lad os tage udgangspunkt i et ganske simpelt udtryk: (.3) b a Altså: tag et vilkårligt tal, a, læg til og b vil da være resultatet. Hvis a er 5, bliver b 6, hvis a er,7, bliver b,7 osv. Det kunne for eksempel være en instruks til ekspedienterne i din skobutik om, at de altid skal lægge en ekstra serviceafgift på på prisen (a), så det, kunden skal betale, er b. Jeg laver nu en lille smule om på (.3): (.4) y Umiddelbart er der kun tale om en beskeden typografisk ændring. Betydningen af udtrykket er nu bare: tag et vilkårligt tal,, læg til og y vil da være resultatet. Der kunne stadig være tale om en instruks til dine ekspedienter. Men udskiftningen af a og b med og y har alligevel en dybere konsekvens (ud over, at vi nu har fået noget, der for alvor ser ud som en matematisk ligning bør med disse lærde er og y er). Bogstaver som a, b, c, k, l, m, n og v benyttes sædvanligvis til at repræsentere et eller andet konkret en pris, en længde eller en hastighed for eksempel mens, y, z og w er rene abstraktioner, der ikke behøver at have nogen ydre repræsentation. En ligning som (.4) er et rent matematisk dyr, der kun eksisterer for sin y = + c y (c = ) Tabel.. Samhørende værdier af og y for ligningen y=+c for det til-fælde, hvor c=. 5

12 Videnskabens værktøj egen skyld. Den er så at sige prototype på alle de mere anvendelsesorienterede udtryk som (.3), der kan skrives på samme form. Man kunne også sige, at hvor a og b osv. står i stedet for konkrete tal, står og y i stedet for konkrete symboler som a og b. Vi kan nu introducere yderligere en ændring, som endnu tydeligere demonstrerer forskellen i abstraktionsniveau mellem anvendelsen af og y og de andre bogstaver: (.5) y c Her er c en konstant, (der i (.4) er sat lig ), mens og y er variabler. ( er den frie variabel (eller ubekendte), mens y er den bundne variabel, fordi dens værdi er givet, så snart har fået en). Hvis jeg fik udstukket en ligning som (.5) med besked om at karakterisere den med konkrete værdier i tabelform, kunne jeg gøre det som vist i tabel.. Jeg starter med at vælge en værdi for c (i dette tilfælde har jeg valgt ), indsætter forskellige værdier for og beregner y. Helt anderledes ville situationen have været, hvis jeg havde skrevet ligning (.5) således: (.6) y z Her er både og z ubekendte, og det at opstille en tabel bliver vanskeligt, da z nu også for hver værdi af skal gennemløbe et stort antal værdier. Heldigvis har vi en anden mulighed for at visualisere ligninger, nemlig ved hjælp af grafer, dvs. tegninger af ligninger. Fig. viser en graf for ligning (.5). På de farvede linier ligger alle de punkter, der opfylder (.5) for fire forskellige værdier af c. Tag for eksempel den røde linie, der afbilder ligningen y = 3. Den er dannet ved, at man vælger et eller andet tal på -aksen, beregner den tilhørende værdi af y, går dette antal enheder op ad y-aksen (eller ned, hvis y-værdien er negativ), og sætter en prik. Dette gentages for mange forskellige værdier af, og til sidst forbindes alle de herved opståede punkter, så der dannes en linie. Der er tre ting, du skal lægge mærke til:. Alle linierne er rette.. Alle linierne har den samme hældning. Hvis man starter fra et vilkårligt punkt på en linie og går én enhed ud ad - aksen, skal man også gå én enhed op ad y-aksen for at blive på linien. Man siger, at linierne har en hældningskvotient på. 3. En linie skærer y-aksen der, hvor denne har værdien c. Fig.. Et udsnit af en graf for ligningen y = + c for fire forskellige værdier af c. Hvad er det egentlig, der bestemmer liniens hældning? Hvordan kunne vi for eksempel ændre ligningen y = 3, så dens afbildning fik en hældningskvotient ofte symboliseret ved det græske bogstav α på, (dvs. så man kommer to enhe- Fig.. Linie med α =. 6

13 Videnskabens værktøj der op ad y-aksen, hver gang man går én enhed ud ad -aksen) (fig. )? Du kan tænke lidt over det, mens du lader dig inspirere af alle de mange linier med forskellige hældningskvotienter i billedet af Stengårdshult Kyrka i Småland (fig. ). Fandt du løsningen? Hvad skal der til set i forhold til ligningen for at hældningen bliver? Der skal det Fig.. Stengårdshult Kyrka, Småland. (Foto: Dan E. Nielsen, 8). til, at y ændrer sig dobbelt så hurtigt som. Hvis man indsætter to værdier for med en forskel på én (for eksempel = 5 og = 6), skal de tilhørende værdier for y få en forskel på to (for eksempel 7 og 9). Og det kan vi opnå ved at gange med. Det vil sige, at vi skal ændre ligningen y = 3 til y = 3. Det, der står foran et, bestemmer altså grafens hældning, mens konstanten bestemmer, hvor grafen skærer y-aksen. Vi er nu i stand til at opskrive et helt generelt udtryk for en ret linie: (.7) y a b Alle linierne i fig. kan når vi er blevet enige om, hvor - og y-aksen skal placeres skrives på denne form. Det eneste, der vil adskille dem, er værdierne for a og b. Hvordan ser for resten ligningerne for de lodrette og vandrette linier ud altså dem, der er parallelle med henholdsvis y-aksen og -aksen? Svaret står i denne fodnote 5. Men hvad blev der egentlig af ligning (.6), y = + z? Hvordan ser dens graf ud? Fordi ligning (.6) har to ubekendte, kræver dens graf tre akser: en for hver af de ubekendte ( og z) og en til y. Disse y-værdier kommer derfor ikke til at ligge på en linie, men på en hældende flade. Vi kan nu i analogi med (.7) opskrive det generelle udtryk for en sådan flade: (.8) y a bz c Som i (.7) er c det sted, hvor grafen skærer y-aksen, a er hældningen i -retningen, og b er hældningen i z-retningen. Alle fladerne i fig. kirkens tag, klokketårnets sider, græsplænen kan derfor beskrives ved ligning (.8), hvor der er valgt passende værdier for a, b og c. (Blot skal du forestille dig, at de pågældende flader fortsætter ubegrænset i alle retninger, eller at vi kun ser på grafen inden for visse værdier af og z). Måske synes du, at jeg har været inkonsekvent i mit valg af symboler. I ligning (.5) har jeg en konstant, jeg kalder c, mens jeg i (.7) benævner den b. Og jeg nævnte også en passant, at hældningskvotienten ofte betegnes med α, men alligevel fremturer jeg med at skrive a foran i ligningerne, selv om dette a er identisk med hældningskvotienten. Inkonsekvensen er imidlertid kun tilsyneladende; den opstår, fordi vi betragter de samme fænomener under forskellige synsvinkler. Hældningskvotient er et helt generelt begreb, der på den ene eller anden måde er indbygget i enhver ligning. Som sådan har den fået symbolet α. Men det er kun i ligningen 5 De lodrette linier dannes af ligninger af typen = c, dvs. har, uanset hvad y er, den samme konstante værdi. De vandrette linier har samme form blot med y i stedet for : y = c. På den generelle form i (.6) bliver det henholdsvis y = b og y = + b. 7

14 Videnskabens værktøj for den rette linie, at α er identisk med tallet foran ( koefficienten til ). Der findes en hel klasse af ligninger, de såkaldte polynomier, som vi skal stifte nærmere bekendtskab med om et øjeblik, af hvilke (.7) blot er den enkleste. I disse andre ligninger er α ikke det samme som a. Polynomierne indeholder et voksende antal led og konstanterne foran disse led benævnes blot fra en ende af a, b, c, d osv. Herved opstår også sammenstødet mellem anvendelsen af b og c for en konstant. Skal vi blot referere til en eller anden konstant, er bogstavet c et hyppigt valg. I den rette linies ligning havner konstanten så blot som andet led, og den skal derfor traditionelt betegnes med alfabetets bogstav nr. : b. Det kan virke lidt forvirrende, men er i grunden både logisk og fornuftigt. Vi skulle nu være tilstrækkeligt udrustet til at drage lidt dybere ind i matematikkens frodige have. Ligning (.7), den rette linies ligning, kaldes også et polynomium af første grad. Hvad dette med første grad betyder, kan vi anskueliggøre ved at ændre lidt på (.7): (.9) y a b ( i første ) betyder ganget med sig selv én gang, og det er jo bare det samme som, så (.9) er altså identisk med (.7). Men det lille -tal kunne måske inspirere os til at tænke i nye retninger. Vi kunne for eksempel opskrive en ligning som denne: (.3) y a b Den er ikke bare en uskyldig omformulering af (.7), for betyder jo, så (.3 producerer noget ganske andet end (.9). (.3) er et specialtilfælde af et polynomium af anden grad. Du kan måske ane, at der ligesom er plads til endnu et led, et der indeholder. Tilføjer vi det, får vi den generelle andengradsligning, (eller det generelle polynomium af anden grad): (.3) y a b c Og vi kan nu gå videre uden grænse: (.3) y a y a y a b b b 3 4 c d c c 3 d e d e f så vi får tredje-, fjerde- og femtegradspolynomier etc. Det er således den højeste potens på, der bestemmer polynomiets grad. Her skal vi kun beskæftige os med andengradspolynomiet, men jeg vil først lige benytte lejligheden til at demonstrere endnu en styrke ved de matematiske symboler. Det er nemlig muligt at opskrive ét enkelt udtryk, der på én enkelt linie indeholder alle polynomier uanset deres grad. Se her: (.33) y n i i k ; i N i Det store græske bogstav, Σ (sigma), betyder, når det anvendes i matematikken, sum. Det, der skal summeres, står til højre for sigmaet, og den øvre og nedre grænse, inden for hvilke 8

15 Videnskabens værktøj summeringen skal foregå, står henholdsvis oven over og neden under. Under sigmaet står også navnet på det indeks, her i, der styrer summeringen. Efter semikolonet er specificeret, at i skal tilhøre de naturlige tal, N, dvs. mængden af heltal større end eller lig. Hvordan summeringstegnet fungerer i praksis demonstreres bedst ved et eksempel, så nedenfor begynder jeg med at notere andengradspolynomiet på den kompakte form i (.33) og udpakker det derefter i små trin til den specifikke form i (.3). (.34) : : 3 : 4 : 5 : 6 : 7 : y ki i y k y k k y a i k k, k a, k b c k b, k I linie har vi det oprindelige, kompakte udtryk, hvor vi summerer fra i= til i=. Tegnet i linie betyder heraf følger i begge retninger eller er ensbetydende med, dvs. linie 3 er en konsekvens af linie, (men linie kunne også ses som en konsekvens af linie 3). I linie 3 er det kompakte udtryk ekspanderet til det antal led, som summeringsgrænserne tillader. k, k, og k er tre forskellige konstanter, hvis forskellighed ikke er vist ved valg af forskellige bogstaver, men ved forskellige indices (de små, sænkede tal). Linie 4 udtrykker, at vi kommer videre ved at huske på, at pr. definition er, og at kan skrives som slet og ret. Linie 5 er således blot en forenklet udgave af linie 3. c I linie 6 fortæller vi, at vi omdøber de tre konstanter, k, k, og k, til henholdsvis c, b og a, således at vi i linie 7 får ligning (.3). y = y Tabel.3. Samhørende værdier for og y for på ligningen y=. Bemærk, at udredningen i (.34) ikke involverer nogen som helst beregninger. Der er kun tale om oversættelse fra én repræsentationsform til en anden. y Vi skal nu tage et nærmere kig på, hvad andengradspolynomierne kan præstere. Tabel.3 viser en liste over samhørende værdier af og y for den simplest mulige repræsentant, nemlig, (hvor altså a er, og b og c begge er ). Allerede en hurtig skimning af listen burde afsløre, at grafen for andengradsligningen i hvert fald ikke kan være en ret linie. Når vi kommer fra negative -værdier og nærmer os, afta- Fig. 3. Graf for ligningen y=. 9

16 Videnskabens værktøj ger y-værdierne, men når så har passeret, begynder y-værdierne at vokse. Det er også let at se, at grafen må være symmetrisk omkring y-aksen, for er jo det samme som ( ). Det er da også, hvad vi ser, når vi plotter ligningen ind i et y-koordinatsystem (fig. 3). Denne figur, der i mange forskellige forklædninger er en gammel kending i fysikken, kaldes en parabel. En komet, der fra rummets dyb falder ind mod solen, vil følge en parabelbane, og det samme vil en kanonkugle, når den bevæger sig i jordens tyngdefelt. Så det er kun rimeligt, at vi ofrer lidt tid på et nærmere studium af parablerne. Fig. 4 viser grafer for endnu tre andengradsligninger, så du kan få en fornemmelse af, hvad de enkelte led i ligningen betyder for grafens udseende. Ligningens sidste led, c, forskyder grafen op og ned langs y-aksen (fig. 4a), det midterste led, b, flytter den langs -aksen (fig. 4b), og fortegnet på a bestemmer, om parablen vender opad eller nedad (fig. 4c). Læg mærke til, at jeg har introduceret en lille, diskret ændring fra fig. 4a til fig. 4c. Jeg går fra at kalde den lodrette akse den der repræsenterer det, der står på venstre side af lighedstegnet i ligningerne for y til at kalde den f(). Overfladisk set er forskellen kun rent typografisk, for jeg har jo lov til at vælge de symboler, jeg vil. Så hvis jeg synes, det ser pænere ud at skrive f() i stedet for y, er det min sag. Men ændringen er i virkeligheden langt mere end blot æstetisk. Den gør det nemlig muligt for eksempel at skrive sådan her: Fig. 4a. Graf for andengradspolynomium. (.35) : : 3 : 4 : f ( ) f () f () f ( ) 8 Symbolet f() i linie udtales funktionen f af, og i linie, 3 og 4 står henholdsvis funktionsværdien for = er, funktionsværdien for = er og funktionsværdien for = er 8, hvilket du kan se ved at indsætte, og på ets plads i linie. Men jeg behøver ikke begrænse mig til bogstavet f. Det er bare førstevalget, fordi funktion begynder med f. Hvis jeg allerede har brugt f til at definere en funktion som i (.35) linie, kan jeg vælge et andet bogstav til at definere en ny funktion: Fig. 4b. Graf for andengradspolynomium. (.36) : : 3 : 4 : g( ) g() g() 4 g( ) 3

17 Videnskabens værktøj Nu kan jeg så fremover tale om og + 3 ved blot at benytte symbolerne for de to funktioner, f() og g(). Jeg kan endda begynde at lave regnestykker med funktionerne og på den måde danne nye funktioner som for eksempel: (.37) : : 3: h( ) f ( ) g( ) i( ) f ( ) g( ) h( ) j( ) i( ) Vi ser her, hvordan matematikkens sprog tillader, at man bygger symbol på symbol og abstraktion på abstraktion. Vi startede med en ligning for eksempel y = der blot tillader os at betragte udtrykket som et sæt af konkrete værdier af y for forskellige værdier af. Så omformulerede vi det til en funktion f() = der gør det lettere for os at betragte udtrykket som en helhed. Og til sidst begyndte vi at anvende funktionerne, Fig. 4c. Graf for andengradspolynomium. som om de var tal. På den måde har vi fået mulighed for at fremstille nogle meget kompakte udtryk. Bag det uskyldigt udseende j() i (.37) linie 3 skjuler der sig således følgende (regn selv efter): (.38) j ( ) Nu hvor jeg har præsenteret funktionsbegrebet, vil jeg vende tilbage til noget, vi snakkede om i forbindelse med den rette linies ligning. Jeg introducerede dengang størrelsen α, liniens hældningskvotient. For den rette linie var denne lig koefficienten til, a, men det er tydeligvis ikke tilfældet for andengradsligninger, hvis grafer er parabler. Kan man i det hele taget tale om, at en parabel har en hældningskvotient? Nej, ikke på samme måde som den rette linie, hvor hældningskvotienten er en konstant. Parablen er jo en krum linie, der stiger og falder med forskellig hældning fra sted til sted, og derfor varierer hældningskvotienten også fra sted til sted. Det betyder, at vi er nødt til at være lidt mere nøjeregnende med, hvordan vi egentlig definerer hældningskvotient. I forbindelse med den rette linie sagde jeg, at hældningskvotienten er det stykke, vi kommer op (eller ned) ad y- aksen, hver gang vi går én enhed ud ad -aksen. Vi skal nu prøve at få dette udtrykt på en lidt mere stringent og generel form. Først slækker vi på kravet om, at vi skal gå én enhed ud ad -aksen. I stedet kan vi sige, at hældningskvotienten er det stykke, vi kommer op/ned ad y-aksen, divideret med det stykke, vi samtidig kommer ud af - aksen. Dette sætter vi nu på symbolsk form. Lad os sige, at vi på -aksen bevæger os fra til, og at der til disse -værdier svarer y-værdierne y og y (lig f( ) og f( )) (fig. 5). Nu kan vi opskrive et udtryk for hældningskvotienten: Fig. 5. Hældningskvotient af en ret linie.

18 Videnskabens værktøj (.39) y y Herefter erstatter vi y erne med vores nye funktionssymbol, så vi får et lidt mere solidt udtryk: (.4) f ( ) f ( ) Det, vi har nu, er et helt generelt udtryk for hældningskvotienten af en ret linie. Det, vi mangler, er at finde ud af, hvordan vi kan anvende dette udtryk på en kurve. Vi kan begynde med at konstatere, at eftersom hældningskvotienten for en kurve som før nævnt varierer fra sted til sted, er vi nødt til at kunne bestemme hældningskvotienten i et punkt. Dette kunne umiddelbart lyde selvmodsigende, (.4) involverer jo netop forskellen mellem to punkter, men lad os alligevel se, om ikke vi med små skridt kan arbejde os frem til en løsning. Vi begynder med en tilfældig kurve som for eksempel den på fig. 6 og vælger et punkt,. Hældningskvotienten er, som vist i (.4) forholdet mellem to intervaller. Derfor skal vi udtrykke intervaller ud fra et enkelt punkt,, i stedet for ud fra to, og. Dette er imidlertid ikke særlig svært. Vælg et eller andet lille tal, ε. Med udgangspunkt i kan vi nu danne to nye punkter således: (.4) Hvis du har brug for at sætte nogle konkrete tal på, kunne vi sige, at er, og at ε er. Så bliver lig 8 og lig. Vi har nu de to punkter, vi skal bruge for at kunne danne en brøk à la (.4), hvor α betyder hældningskvotient i punktet : (.4) : : 3 : 4 : 5 : f ( ) f ( ) ( ) ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Fig. 6. At nå frem til en kurves hældningskvotient i en punkt.

19 Videnskabens værktøj α kan repræsenteres grafisk ved hjælp af den blå linie i fig. 6. (Det, vi i virkeligheden har gjort, er at tilnærme vores kurve inden for intervallet (+ε; ε) ved en ret linie, og α er da hældningskvotienten af denne rette linie). I fig. 6a er ε valgt temmelig stor, og den rette linies pasform er derfor meget ringe. Lad os derfor prøve at skrumpe ε og se, hvad der sker. I fig. 6b er ε halvt så stor som i fig. 6a, og den blå linie er nu en betydelig bedre tilnærmelse til den orange kurve. Endnu en halvering (fig. 6c), og tilnærmelsen bliver endnu bedre. Jo mindre ε bliver, jo mere bliver hældningskvotienten af den tilnærmede rette linie lig hældningskvotienten af kurven i punktet. Så det, vi skal gøre for at nå frem til den sande α, er vel bare at lade ε skrumpe ind til ingenting. Netop men, oh ve! Hvad sker der så med brøken i (.4) linie 5? Den får i nævneren, og af alle de א tal, der står til vores rådighed, er det eneste, vi aldrig nogensinde kan dividere med! Har alle vore anstrengelser da været til ingen nytte? Nej, bestemt ikke. Vel kan vi aldrig lade ε skrumpe ind til præcis, men vi kan komme lige så tæt på, som vi måtte ønske. Vi kan derfor definere α, hældningskvotienten i punktet, som brøken i (.4) linie 5, når ε er vilkårligt tæt på. Dette skrives med matematiske symboler således: (.43) f ( ) f ( ) lim Lim er en forkortelse for det latinske limes, grænse, og ε betyder når ε går imod. Vi har nu i (.43) en helt generel definition af hældningskvotient i et punkt, som både gælder rette linier og kurver, men vi kan jo stadig ikke dividere med. Hvordan beregner vi hældningskvotienten? Vi bruger brøken i (.43) og funktionen, der beskriver den kurve, hvis hældningskvotient(er) vi er interesseret i, og så ser vi, hvad der sker, når det generelle, altomfattende f erstattes af noget konkret. Som eksempel kan vi lade det konkrete være den nydelige parabel i fig. 3, dvs. f() = : (.44) : : 3: 4 : 5 : 6 : 7 : f ( ) f ( ) lim f ( ) ( ) ( ) lim ( lim 4 lim ) lim Ser du i linie 7 vores svineheld? De farlige ε i nævneren kan forkortes væk, så det, der bliver tilbage, er det overordentlig godartede udtryk α =. Hvad dette resultat betyder ses i fig. 7. Den blå kurve er parablen, og på den røde linie kan vi aflæse parablens hældningskvotienter for forskellige værdier af, eller udtrykt i matematisk jargon: hældningskvotienten som 3

20 Videnskabens værktøj Fig. 7. En parabel (blå) og dens differentialkvotient (rød). Fig. 8. funktion af. Denne nye funktion benævner vi f (), udtalt den afledede af f eller differentialkvotienten af f. Kan du se, hvad det er, differentialkvotienten giver os? Den giver os et mål for, hvor hurtigt en funktion ændrer sig, (dvs. hvor stejl dens kurve er)! Og den fortæller os i tillæg, om funktionen er voksende, (differentialkvotienten er større end ), eller aftagende, (differentialkvotienten er mindre end ). Dette gør differentialkvotienter til et overordentlig vigtigt værktøj i fysikken, hvilket vi skal se senere. Men lad os først ofre lidt tid på at få differentialkvotienterne til at bundfælde sig lidt mere ved hjælp af nogle konkrete eksempler. Vi tager udgangspunkt i parablen og dens differentialkvotient på fig. 7. Den blå kurve kommer fra et eller andet sted uendelig langt oppe og uendelig langt ude til venstre og falder i en yndefuld bue ned mod (;). Den røde linie kommer også fra et sted uendelig langt til venstre, men nedefra. Hvorfor? Fordi parablen er aftagende, når nærmer sig fra venstre. Dermed er differentialkvotienten negativ i overensstemmelse med, at dens graf for < befinder sin under -aksen. Tag for eksempel =,5 og beregn funktionsværdien: 4

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Matematik i 5. klasse

Matematik i 5. klasse Matematik i 5. klasse Igen i år benytter vi os af Faktor i femte. Systemet indeholder en grundbog, hvortil der er supplerende materiale i form af kopiark, som er tilpasset de gennemgåede emner. Grundbogen

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15

Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Klasse: 4. Fag: Matematik Lærer: Ali Uzer Lektioner pr. uge: 4(mandag, tirsdag, torsdag, fredag) Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Mondiso matematik for 1. til 3. klasse

Mondiso matematik for 1. til 3. klasse Mondiso matematik for 1. til 3. klasse Programmet henvender sig til elever i indskoling. Det kan også benyttes af børn på højere klassetrin, som har behov for at få genopfrisket det grundlæggende i matematikken.

Læs mere

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender lagt sammen resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn efter bagved foran placering kvart fjerdedel lagkage rationale

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Matematik Delmål og slutmål

Matematik Delmål og slutmål Matematik Delmål og slutmål Ferritslev friskole 2006 SLUTMÅL efter 9. Klasse: Regning med de rationale tal, såvel som de reelle tal skal beherskes. Der skal kunne benyttes og beherskes formler i forbindelse

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Komplekse tal og Kaos

Komplekse tal og Kaos Komplekse tal og Kaos Jon Sporring Datalogisk Institut ved Københavns Universitet Universitetsparken 1, 2100 København Ø August, 2006 1 Forord Denne opgave er tiltænkt gymnasiestuderende med matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Grundliggende regning og talforståelse

Grundliggende regning og talforståelse Grundliggende regning og talforståelse De fire regnearter: Plus, minus, gange og division... 2 10-tals-systemet... 4 Afrunding af tal... 5 Regning med papir og blyant... 6 Store tal... 8 Negative tal...

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

MATEMATIK NOTAT 2. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX

MATEMATIK NOTAT 2. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX MATEMATIK NOTAT. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: MAJ 04 Michel Mandi (00).Gradsligningen Side af 9 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... INTRODUKTION:... 3 KOEFFICIENTER...

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2001 I år er det første år, hvor CAS-forsøget er et standardforsøg og alle studentereksamensopgaverne derfor foreligger

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Funktioner - supplerende eksempler

Funktioner - supplerende eksempler - supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

xxx xxx xxx Potensfunktioner Potensfunktioner... 2 Opgaver... 8 Side 1

xxx xxx xxx Potensfunktioner Potensfunktioner... 2 Opgaver... 8 Side 1 Potensfunktioner Potensfunktioner... Opgaver... 8 Side Potensfunktioner Funktioner der kan skrives på formen y a = b kaldes potensfunktioner. Her er nogle eksempler på potensfunktioner: y = y = y = - y

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring Hovedemne 1: Talsystemet og at gange kan anvende flercifrede naturlige tal til at beskrive antal og rækkefølge udvikle metoder til multiplikation og division med naturlige tal udføre beregninger med de

Læs mere

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Dette dokument er en sammenskrivning af uddrag af følgende skrifter: Undervisningsvejledning nr. 21 for matematik i HF (september 1995); findes på adressen: http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/vejledninger/undervishf/hfvej21.htm;

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere