På disse sider findes udredninger og eksempler der er udeladt i bogen. Indhold

Transkript

1 På isse sie fies ueige og eksemple e e uelt i oge. Iol fsit Eme og lik.5.6 Pocet og pocetpoit 5.3 Omskivig f foskifte fo e pel 5.3 Ueig f toppuktsfomle fo e pel 5.4 Ueig f ulpuktsfomle fo e pel 5.4 Bevis fo iskimiteglee fo e pel Bestemmelse f ete Bestemmelse f tl temie Logitmefuktioe log() Logitmefuktioe l() Geemsitlig ete 6.1 Rete foelt på flee temie 6..3 Femtisvæi f e uitet 6..4 Nutisvæi f e uitet 6..5 Yelse 8.5 Diffeetitio f kf() (evis) 8.5 Diffeetitio f f() g() (evis) 8.5 Diffeetitio f f() g() (evis) Opg. 5.1 Uleig f et gyle fool p. 8 vceet veelse iffeetitio

2 Pocet og pocetpoit Pocet geemgås i oges fsit.5. veelse f pocetegig eles l.. i fsittet om Ieks (fsit.6). I eksempel.6.. sie 43/44 ueges ieks fo e ække omsætigstl. Nå m eege e pocetvise æig f ét å til et et, k m tække e to iekstl f ie og eve få ee stigig, såfemt et ee iekstl e 1 (ltså sisiekstllet). Pocetpoit Hvis m i eksempel.6.. sie 43/44 tække iekstllet fo 3 f iekstllet fo 4, få m 145,48 11,61, vilket give e æig på 3,87. M sige, t æige e på 3,87 pocetpoits. Pocet og pocetpoits e ikke et smme. f oveævte lille eksempel ses, t æige i pocet e 3,87 1 % 9,19 %. 11,61 - ltså ikke et smme som æige i pocetpoit. Eksempel Et pti e gået f % vælgetilslutig til 4 % vælgetilslutig i to på ie følgee meigsmålige. Stigige omtles ofte i pesse som e femgg på pocetpoits. Rege vi eimo i pocete, live femgge 1 %, iet 4 e e foolig f. Et et pti e gået 3 pocetpoits fem f 1 % til 15 %. (15 1) De pocetvise stigig fo ette pti e 1 % 5 %. 1 Til toppe

3 Omskivig f foskifte fo e pel. c c c c c c c - c smme le lægges til og tækkes stks f ige sættes ue fo petes i e føste te le e føste øk folæges me e e øk omskives (potesegle) egle kvtet på e to-leet støelse e vet e siste to le e st ie fo e mius petes e siste to le sættes på fællesæve så uges økegeeglee Til toppe

4 Ueig toppuktsfomel fo e pel. c c () c c fås :. e til - kooite t etye ige, Det toppuktet. i etop opås væi y - miste/støste ee Og væie etop å fås, væi y - egtiv) e vis støste e (elle miste e t Dvs. fås : le s kl væe ette å Og. e le, ette f komme k ltså e ig, miste egtive give k lig leet t Dvs. potes). e i (st kveet e leet t ses, Eviee. e, f fæge e le, eeste et t utykket f c ses, væie. Det toppuktet Hef y Dvs. t kooitee fo toppuktet fo e pel e vet. e c omskivige vo, c, T kles iskimite. Til toppe

5 Ueig ulpuktsfomel fo e pel. Ueige tge uggspukt i utykket Nå m søge ulpukte, skl ette utyk sættes lig me (å y vil vi jo etop væe på -kse). ± ± ± ± ± De iviees me på egge sie Ligige tl to løsige : ± Potesegeegle fo øke og øe Potesegeegle fo øe Bøke på fælles øksteg tl Til toppe

6 Bevis fo iskimitegle fo e pel. Ige tges uggspukt i utykket. Vi uesøge æmee, v e skl væe opfylt, vis ette utyk skl give ul, ltså t e e et ulpukt til stee. Diviee me. Utykket på veste sie e st i e. Det etye, t veste sie lig k live egtiv. På øjesie optæe i e potes. Det etye t ette tl elle ikke k væe egtivt. lt i lt etige et, t fo t e e e løsig på ligige, må øveigvis ikke væe egtiv. Hef fås e ee el f egle. Nå e lig me, vil e ku væe ét ulpukt, iet m i ulpuktsfomle åe lægge kvto til og tække kvto f. Me kvtoe f e. Så uset, om m lægge til elle tække f, få m smme esultt (ltså ét ulpukt). E støe e, vil e kvtoe f også væe støe e. Og så give et to foskelloige esultte, å m eolsvis lægge til elle tække f. Til toppe

7 Ueig f fomel fo eteeegig Vi k tge uggspukt i kpitlfemskivigsfomle : ) (1 ) (1 ) 1 Til toppe

8 Beegig f tl temie. Me uggspukt i pitlfemskivigsfomle fås : log log ) log log log(1 ) (1 ) ((1 ) ) log(1 ) D log() og l() smme egeske me esy til løsig f ligige som oveståee fås også l l ) l l(1 ) ( ) ) l (1 l(1 ) (1 ) Til toppe

9 Logtimefuktioe log(). Gfe fo log() ses på oveståee illee. Det ses, t efiitiosmæge fo log() e lle tl støe e. Dvs. vis m pøve t tste log til et egtivt tl elle på lommeegee, få m e fejlmelig. Hv m ikke k se på gfe e, t log() e e omvet fuktio til 1. Dette k m uytte i evisee fo eeståee egeske ve log(). Egeske fo log() (1) log( y) log() log( y) () log log() log( y) y (3) log ( ) log() Det e egesk (3), som e vet i uleige f fomle fo tl temie, som e vist etstes på jemmesie. Til toppe

10 Logitmefuktioe l(). Gfe fo l() ses på oveståee illee. Gfe mie meget om gfe fo log(). Dog e gfe fo l() kp så stejl som gfe fo log(). Dette æge smme me, t l() e e omvet fuktio til e, vo e e omkig,7183. Det ses, t efiitiosmæge fo l() e lle tl støe e. Dvs. vis m pøve t tste log til et egtivt tl elle på lommeegee, få m e fejlmelig. Egeske fo l() (1) l( y) l() l(y) () l l() l(y) y (3) l ( ) l() Det e egesk (3), som e vet i uleige f fomle fo tl temie, som e vist etstes på jemmesie. Til toppe

11 Geemsitlig ete. Nå e kpitl i løet f e peioe på temie foetes me etestsee 1,,,, så vokse kpitle i løet f e temie til 1 ) )... ). Hvis e smme kpitl få e geemsitlig ete i smme temie, vil kpitle vokse til ) )... ) ) Disse to slutkpitle må øveigvis væe e smme. ltså må e gæle : (1 ) )... ) 1 1 (1 ) )... ) (1 ) )... ) (1 ) )... ) (1 ) ) (1 ). Til toppe

12 Rete elt op på flee temie I kpitel 6 i oge eles emet Retesegig. I eksempel på sie 87 geemgås e situtio, vo e e opgivet e ete p. måe, og vo et øskes t fie e effektive ete p. å. He skl e omvete situtio eles, emlig vo m få opgivet ete fo e peioe, me vo e e flee temie ie fo ee peioe. Regel : Rete fo ele peioe : tl temie i løet f ele peioe : De ete m skl uge p. temi : Eksempel Eksempel Fo fulstæigees skyl skl æves, t m i kveee ege me 36 ge i løet f et å (vs. 3 ge p. måe) og me 5 uge i løet f et å. E peso skyle 1. k. på e fougskoto. Rete e st til 6 % p.. me måelige etetilskivige. 6 De måelige ete eeges til %,5 %. 1 Efte 5 måee vil gæle eefte væe vokset til 1 1, ,. Det emækes, t ve ee metoe vil e ålige effektive ete væe øjee e e opielige 6 %, iet 1,5 1 1,617 6,17 %. E koto foetes me 8 % p.. De tilskives ete vet kvtl. 8 vtlsete eeges til % %, iet e e 4 kvtle på et å. 4 Efte et elt å vil et elø på 5. k eme vokse til : 5 1, ,61. Dette sve til e ållig effektiv ete på : 1, 4 1,84 8,4 %. Til toppe

13 Femtisvæi f e uitet. E uitet e keeteget ve, t e i e peioe ietles smme yelse ve temi, smt t ete i isse temie e e smme. Nå m tælle et tl temie, som føste yelse skl ve ete, k m se, t e føste yelse få tilskevet ete 1 gge. Næste yelse gge. Osv. Hef få vi 1 (1) ) )... ) Bemæk t e siste yelse ikke få tilskevet ete. y Hvis m gge oveståee me (1 ), få vi (ve jælp f potesegeeglee) () ) ) ) ) 1 ) ) ) 1 ) ) ) ) ) ) Nu tække vi (1) f () Vestesiee ftukket ie : (1 ) Højesiee ftukket ie følge eue ) ) ) ) ) ) ) ) y ) y Heefte e eegigee som følge : ) y y ((1 ) 1) (1 y ) 1 Til toppe

14 Nutisvæi f e uitet. Dee fomel ulees f fomle fo femtisvæie smme me e kesgeig, t femkomme ve t tilgeskive me ete i temie. (1 ) 1 y (1 ) 1 ) ) (1 ) 1 ) (1 ) ) 1 ) y (1 ) (1 ) y (1 ) (1 ) y 1 (1 ) y De gges på egge sie me (1 ) - e tilgeskevet temie (1 ) gges i på leee i økes tælle ifølge potesegeeglee Til toppe

15 Yelse i e uitet. Dee fomel ulees f fomle fo ve omskivig. 1 (1 ) y 1 (1 ) y y(1 (1 ) (1 (1 ) 1 (1 ) ) y y ) De gges me på egge sie i åe tælle og æve k fokotes væk De iviees me petese på egge sie Til toppe

16 Bevis fo iffeetitio f kf(). k e et tl og f() e e fuktio. Vi skl evise, t ( k f())' k f '(). Dette gøes me uggspukt i iffeeskvotiete (sektælige), som jo vil gå mo iffeetilkvotiete, å gå mo ul. L D() k f( ). D( ) D() k f( ) k f() k (f( ) f()) f( ) f() k k f '() å k sættes ue fo petes k k sættes fo øke Til toppe

17 Bevis fo iffeetitio f f() g(). f() og g() e fuktioe. Vi skl evise, t ( f() g())' f '() g '(). Dette gøes me uggspukt i iffeeskvotiete (sektælige), som jo vil gå mo iffeetilkvotiete, å gå mo ul. L D() f() g() D( ) D() f( ) g( ) (f() g()) f( ) g( ) f() g() f( ) f() g( ) g() f( ) f() g( ) g() f '() g '() mius-petese æves De yttes om på leee De splittes op i to øke me smme æve å Til toppe

18 Bevis iffeetitio f f() g(). f() og g() e fuktioe. Vi skl evise, t ( f() g())' f '() g '(). Dette gøes me uggspukt i iffeeskvotiete (sektælige), som jo vil gå mo iffeetilkvotiete, å gå mo ul. L D() f() g( ) D( ) D() f( ) g( ) (f() g()) f( ) g( ) f() g() f( ) f() g( ) g() f( ) f() (g( ) g()) f( ) f() g( ) g() f '() g '() å mius-petese æves e yttes om på leee e sættes e mius-petes e splittes op i to øke me smme æve Til toppe

19 Uleig f foolet i et gyle sit. Det gyle sit opstå i et ektgel, såfemt e kote sie smme fool til e lge sie, som e lge sie til summe f e to sie. Dette k illustees sålees : ( ) Dette utyk k m ege lit på. ( ) ( ) ( ) ± 5 1 5, m 5 4 ( 1) (1 ± 5 ) 5 Dette e et.gs polyomium i. M k foestille sig i steet, t et ee. Mius-ele i løsigee e ksseet, iet kvtoe f 5 e støe e 1, vofo ee løsig live egtiv, og e e i polemstillige tle om sielæge Til toppe

20 vceet veelse f iffeetilegig. Oet vceet skl fostås i smmeæg me iveuet i oge. Neeståee eksempel e ikke spo vceet set i iffetilegige geeelt. Eksemplet fousætte kesk til iffeetitio f e øk. Dee egel vil ku llive ævt og vet e ekelt gg. Regle ligge ue fo oges mme. Eksemplet e tget me, foi et e et got eksempel på veelse f iffeetilegig i foielse me økoomi og pouktio. Polemstillig E viksome femstille koseves, e emllees i åse f metl. Dåsee skl ieole e lv lite (vilket e et smme som 5 cm 3 ). Øsket e t give åsee såe mål, t ovefle live så lille som muligt (vove e spes mteile til emllge). Diffeetitio f e øk (egel) tælle æve ' (tælle)' æve tælle (æve)' (æve) Løsig f polem L væe ius i låg (og u), og l væe øje. Vi vil føst utykke øje v.. Dette k vi, vi ve, t et øskee umfg skl væe 5 cm 3. Rumfget fies ve t fie elet f låget og gge ette me øje. el f låg : π Rumfg : π Hef fås : π 5 5 π Nu e lle målee i åse utykt v., og eve vil ovefles støelse kue utykkes v.. De e et låg og e u. Det smlee el f isse to elemete e π Cyliee ee (som vi utykt me ) og læge sve til omkese f låget. Omkese f låget e π Heefte k vi fie e smlee ovefle (utykt ve fuktioe f()). Dee fuktio iffeetiees, og vi fie miste væie fo f() π 1 f() π π π π π π π ( π 1) 1 6π π 1 4π 1 f '() f '() 4π 1 4π 1 3 4π 4π 4,3

21 4,3 f '() f '(5) 449,7 114,16 Dvs. t f() et glolt miimum i 4,3. Dvs. t ius i låget skl væe 4,3 cm. Deme live øje 5 8,61 π 4,3 Målee live ltså Dimete i låget : 8,6 cm Høje : 8,61 cm. Til toppe