Noter til Lineær Algebra

Transkript

1 Noter til Lineær Algebra Eksamensnoter til LinAlg Martin Sparre, August 2007, Version π

2 INDHOLD 2 Indhold 0. Om disse noter Abstrakte vektorrum 4. Definition af et vektorrum Underrum En matrices nulrum Lineær uafhængighed Basis og dimension Skift af basis Rækkerum og søjlerum Lineære afbildninger 2. Definition af en lineær afbildning Matrixrepræsentation af lineære afbildninger Similære matricer Egenværdier 5 3. Egenværdier og egenvektorer Diagonalisering Ortogonalisering 7 4. Skalarproduktet i R n Indre produkt rum Ortonormale systemer Ortogonale matricer Gram-Schmidt ortogonalisering Fourieranalyse Ortonormal basis Fourierrækker Fouriertransformation

3 INDHOLD 3 0. Om disse noter Disse noter indeholder en stor del af eksamensensum til LinAlg-kurset på Københavns Universitet (2006). Dog er emnerne lineære ligningssystemer, Gauss-Elimination/Gauss-Jordan Elimination, matrixalgebra og determinanter ikke medtaget. Versionsnummeret er givet ved udkommer en ny version. k= k2p, hvor p stiger med, når der Martin Sparre

4 ABSTRAKTE VEKTORRUM 4 Abstrakte vektorrum. Definition af et vektorrum Lad mængden V være et vektorrum og lad x,y V. Da gælder αx V, α R og x + y V. For x,y,z V og α,β R opstilles følgende aksiomer: (x + y) + z = x + (y + z) y + 0 = y x + ( x) = 0 x + y = y + x α(x + y) = αx + αy (α + β)x = αx + βx (αβ)x = α(βx) x = x. Elementerne i et vektorrum kaldes for vektorer. (0 kaldes 0-elementet) Her følger nogle eksempler på vektorrum og elementer i disse: Eksempel (Vektorrummet R n ) Talrummene R n er vektorrum. Her er et eksempel på vektorer i henholdsvis R 3 og R 5 : x = 7, y = Eksempel 2 (Vektorrummet R m n ) Mængden af alle m n matricer er et vektorrum og betegnes R m n. Her er et eksempel på en vektor i R 3 2 : 42 3 A =

5 ABSTRAKTE VEKTORRUM 5 Eksempel 3 (Vektorrummet P n ) Med P n betegnes mængden af polynomier af grad strengt mindre end n. Der gælder, at P n er et vektorrum. Her ses eksempler på en vektor i P 3 : p(x) = 2x 2 4x 2. Eksempel 4 (Vektorrummet C[a, b]) Det kan vises, at mængden, som består af alle kontinuerte funktioner defineret på et interval [a; b], udgør et vektorrum. Dette vektorrum betegnes C[a, b]. Et eksempel på en vektor i C[,]: f(x) = tan(x). Eksempel 5 (Vektorrummet C n [a, b] ) Mængden af alle n gange kontinuert differentiable funktioner på et interval [a; b] udgør et vektorrum, kaldet C n [a,b]..2 Underrum Lad V være et vektorrum og lad S V. Hvis S er en ikke-tom delmængde af V, så kaldes S et underrum af V, hvis følgende gælder: αx S, for alle x S og alle α R, x + y S for alle x,y S. (i) (ii) Betingelses (i) siger, at S er lukket under skalarmultiplikation og (ii) siger, at S er lukket under addition af elementer i S. I ethvert vektorrum V gælder der, at V og {0} er underrum. Disse to vektorrum kaldes trivielle underrum. Der gælder generelt, at alle underrum i sig selv er vektorrum..3 En matrices nulrum Lad A være en m n matrix. Så betegner N(A) mængden af alle løsninger til ligningen Ax = 0. Der gælder, at N(A) = {x R n Ax = 0}.

6 ABSTRAKTE VEKTORRUM 6 Til at finde nulrummet for en matrix udføres Gauss elimination eller Gauss- Jordan elimination og herudfra bestemmes løsningsrummet N(A) til lignignen Ax = 0. Eksempel 6 (Bestemmelse af nulrum) Lad ( ) 0 A =. 2 0 Efter Gauss-Jordan elimination fås: ( ). Ligningssystemet tilsvarende denne matrix er: x = x 3 x 4 x 2 = 2x 3 + x 4. Ved at sætte x 3 = α og x 4 = β fås, at 2 N(A) = span 0, 0, hvor span angiver mængden, som udspændes af de to vektorer..4 Lineær uafhængighed Definition (Lineær uafhængighed) Vektorerne v,v 2,...,v n V er lineært uafhængige hvis udsagnet, α v + α 2 v α n v n = 0, kun er sandt, når α,α 2,...,α n er 0. Definition 2 (Lineær afhængighed) Vektorerne v,v 2,...,v n V er lineært afhængige, hvis udsagnet er sandt, α v + α 2 v α n v n = 0, selvom ikke alle α,α 2,...,α n er 0.

7 ABSTRAKTE VEKTORRUM 7 For at afgøre om n vektorer, x,x 2,...,x n i R n er lineært afhængige kan man opskrive matricen, X = (x,x 2,...,x n ). Vektorerne er lineært afhængige hvis og kun hvis det (X) = 0. En anden måde at teste, hvorvidt en samling af vektorer er lineært afhængige, er, at opskrive en matrix med de givne vektorer som søjlevektorer. Efter Gauss-elimination af matricen er der en nulrække, hvis og kun hvis de givne vektorer er lineært afhængige. Hvis man har m vektorer i R n og m > n er de m vektorer altid lineært afhængige..5 Basis og dimension Definition 3 (En basis for et vektorrum) Vektorerne v,v 2,...,v n er en basis for vektorrummet V, hvis og kun hvis (i) v,v 2,...,v n er lineært uafhængige, (ii) v,v 2,...,v n udspænder V. Definition 4 (Dimensionen af et vektorrum) Lad V være et vektorrum. Hvis V har en basis, der består af n vektorer, så har V dimension n. Specielt defineres at underrummet {0} af V har dimension 0..6 Skift af basis Den naturlige basis for R 2 er de to standardenhedsvektorer e,e 2. I stedet for disse kunne man vælge at beskrive vektorer i R 2 ud fra en anden basis; eksempelvis vektorerne, ( ) ( ) 3 u =, u 2 =, 2 som her er angivet i forhold til den naturlige basis. Ved at bruge u og u 2 som basisvektorer vil man ofte få brug for at løse følgende problemer:

8 ABSTRAKTE VEKTORRUM 8. Givet en vektor x = (x,x 2 ) T mht. e og e 2, find dennes koordinater mht. u og u Givet en vektor c u + c 2 u 2 find dennes koordinater mht. e og e 2. Først løses problem 2. Det ses, at u = 3e + 2e 2, u 2 = e + e 2. Dvs., c u + c 2 u 2 = 3c e + 2c e 2 + c 2 e + c 2 e 2 = (3c + c 2 )e + (2c + c 2 )e 2. Ved at sætte U = (u,u 2 ) og c = (c,c 2 ) T fås: x = U c. (.) Nu er problem 2 således løst. U er sammensat af lineært uafhængige basisvektorer, hvorfor U er invertibel. Det følger af (.), at løsningen til problem er c = U x. Nu betragtes et mere generelt basisskift fra [v,v 2 ] til [u,u 2 ]. For at gå fra [v,v 2 ] til [e,e 2 ] skal den oprindelige koordinatvektor multipliceres med V. For at gå fra [e,e 2 ] til [u,u 2 ] skal der multpliceres med U således, at koordinattransformationsmatricen bliver U V. Koordinattransformationen illustreres her: V [v,v 2 ] [e,e 2 ] U V U [u,u 2 ] I det netop gennemregnede eksempel optrådte, der vektorer i R 2. Proceduren mht. basisskift kan dog let oversættes til ethvert andet endelig dimensionalt vektorrum;.

9 ABSTRAKTE VEKTORRUM 9 Definition 5 Lad V være et vektorrum med den tilhørende ordnede basis E = [v,v 2,...,v n ]. Hvis v er et element i V, så kan v skrives som v = c v + c 2 v c n v n, hvor c,c 2,...,c n er skalarer. Vektoren v V kan præsenteres af vektoren c = (c,c 2,...,c n ) T i R n. Vektoren c kaldes koordinatvektoren af v mht. den ordnede base E og betegnes [v] E. c i erne er koordinaterne af v med hensyn til E..7 Rækkerum og søjlerum I dette delafsnit præsenteres en række af de vigtigste sætninger og definitioner angående rækkerum og søjlerum. Først præsenteres definitionen af rækkerum og søjlerum; Definition 6 Lad A være en m n matrix. Underrummet af R n som udspændes af matricens rækkevektorer kaldes rækkerummet for A. Underrummet af R m, som udspændes af søjlevektorerne i A, kaldes søjlerummet for A. Sætning To rækkeækvivalente matricer har samme rækkerum. Definition 7 (Rang) Rangen af en matrix A er dimensionen af rækkerummet for matricen A. Eksempel 7 Lad A = Ved at udføre Gauss-elimination fås 2 3 U = Rækkerummet for matricerne A og U er således udspændt af de to vektorer (, 2,3) T og (0,,5) T. Rangen af begge matricer er 2.

10 ABSTRAKTE VEKTORRUM 0 Sætning 2 (Konsistens af lineære systemer) Et lineært system A x = b er konsistent, hvis og kun hvis b er indeholdt i søjlerummet for A. I øvrigt gælder der, at summen af rangen og dimensionen af nulrummet altid er lig antallet af søjler i en matrix. Sætning 3 Hvis A er m n, så er dimensionen af rækkerummet lig dimensionen af søjlerummet.

11 2 LINEÆRE AFBILDNINGER 2 Lineære afbildninger 2. Definition af en lineær afbildning Definition 8 En afbildning L : V W er en lineær afbildning, hvis L(αv + βv 2 ) = αl(v ) + βl(v 2 ), for alle v,v 2 V og for alle skalarer α og β. Heraf følger, at en afbildning er lineær, hvis og kun hvis den opfylder følgende:. L(v + v 2 ) = L(v ) + L(v 2 ). 2. L(αv) = αl(v). Eksempel 8 Betragt operatoren L : R 2 R 2 defineret ved L(x) = ( x 2,x ) T. Det kan let eftervises, at L er en lineær afbildning: ( ) αx2 βy 2 L(αx + βy) = αx + βy ( ) ( αx2 βy2 = + αx βy ) = αl(x) + βl(y) Det er hermed vist, at afbildningen er lineær. Definition 9 (Kernen af en lineær afbildning) Lad L : V W være en lineær afbildning. Kernen af L er givet ved ker(l) = {v V L(v) = 0 W }.

12 2 LINEÆRE AFBILDNINGER Matrixrepræsentation af lineære afbildninger Der gælder, at enhver lineær afbildning af typen L : R n R m kan repræsenteres af en m n matrix. Dette følger af denne sætning: Sætning 4 Hvis L er en lineær afbildning fra R n ind i nymodens R m, så eksisterer der netop en m n matrix A så L(x) = Ax, for alle x R n. Den j e søjle i A er givet ved a j = L(e j ). Eksempel 9 Lad L : R 3 R 2 være defineret ved L(x) = (x + x 2,x 2 + x 3 ) T. Nu skal matricen tilsvarende denne lineære afbildning findes. Når L virker på de tre naturlige basisvektorer i R 3 fås følgende for de tre søjlevektorer i A: ( ) L(e ) = 0 ( ) L(e 2 ) = ( ) 0 L(e 3 ) = Det følger nu af sætning 4, at ( 0 A = 0 ). I den følgende sætning betragtes mere generelle lineære afbildninger fra et vektorrum V med basen E = [v,v 2,...,v n ] til et andet vektorrum W med basen F = [w,w 2,...,w m ]:

13 2 LINEÆRE AFBILDNINGER 3 Sætning 5 Lad E = [v,v 2,...,v n ] og F = [w,w 2,...,w m ] være ordnede baser for henholdsvis V og W. Til enhver lineær afbildning L : V W er der en m n matrix A således, at [L(v)] F = A[v] E for alle v V. A er her matricen, som repræsenterer L mht. de ordnede baser E og F. Der gælder, at a j = [L(v j )] F. Eksempel 0 Lad L : R 3 R 2 være defineret ved L(x) = x b + (x 2 + x 3 )b 2, hvor ( ) ( ) b = og b 2 = Nu skal matricen A, der repræsenterer den lineære afbildning mht. de ordnede baser [e,e 2,e 3 ] og [b,b 2 ], findes. Der gælder, at L(e ) = b + 0b 2 = [L(e )] F = (,0) T L(e 2 ) = 0b + b 2 = [L(e 2 )] F = (0,) T L(e 3 ) = 0b + b 2 = [L(e 3 )] F = (0,) T. Af sætning 5 følger det nu, at ( 0 0 A = ([L(e )] F,[L(e 2 )] F,[L(e 3 )] F ) = 0 ). Sætning 6 Lad E = [u,u 2,...,u n ] og F = [b,b 2,...,b m ] være baser for henholdsvis R n og R m. Hvis L : R n R m er en lineær afbildning, så er den j e søjle i matricen A, som repræsenterer L mht. E og F, givet ved a j = B L(u j ), hvor B = [b,b 2,...,b m ].

14 2 LINEÆRE AFBILDNINGER 4 Sætning 7 Hvis A repræsenterer den lineære afbildning L : R n R m mht. til baserne E = [u,u 2,...,u n ] og F = [b,b 2,...,b m ], så er den reducerede rækkeechelonform af (b,...,b m L(u ),...,L(u n )) givet ved (I A) Se eksempel 6 side 90 i Leon. 2.3 Similære matricer Sætning 8 Lad E = [v,...,v n ] og F = [w,...,w n ] være ordnede baser for et vektorrum V og lad L være en lineær operator på V. Transformationsmatricen, der repræsenterer skiftet fra F til E, kaldes S. Hvis A repræsenterer den lineære afbildning mht. basen E, så er matricen, der repræsenterer L mht. F givet ved B = S AS. Definition 0 Lad A og B være m n matricer. B er similær til A, hvis der findes en invertibel matrix S således, at B = S AS. Det skal bemærkes, at hvis B er similær til A, så følger det, at A er similær til B.

15 3 EGENVÆRDIER 5 3 Egenværdier 3. Egenværdier og egenvektorer Definition Lad A være en n n matrix. En skalar λ er en egenværdi til A, hvis der findes en egentlig vektor x 0, så Ax = λx. (3.) x er da en egenvektor, som hører til λ. (3.) kan omskrives til (A λi)x = 0. Denne ligning har en ikke triviel løsning, hvis og kun hvis A λi er singulær. Dvs., hvis det(a λi) = 0. Det karakterristiske polynomium defineres ved p(λ) = det(a λi). Rødderne til dette polynomium er egenværdierne til n n matricen A. Det karakterristiske polynomium vil altid have n komplekse rødder (talt med multiplicitet). For en n n matrix A er følgende udsagn ækvivalente:. λ er en egenværdi for A. 2. (A λi)x = 0 har en ikke-triviel løsning. 3. N(A λi) {0}. 4. A λi er singulær. 5. det(a λi) = 0. Eksempel Lad A = ( ).

16 3 EGENVÆRDIER 6 For at finde egenværdierne til A opskrives det karakterristiske polynomium: 3 λ 2 p(λ) = 3 2 λ = λ2 λ 2. Dette giver egenværdierne λ = 4 og λ 2 = 3. Enhver vektor, der er element i nulrummet N(A + 3I) er en egenvektor tilsvarende egenværdien 3. Enhver vektor, der er et element i nulrummet N(A 4I) er en egenvektor tilsvarende egenværdien Diagonalisering Definition 2 En n n matrix A er diagonaliserbar, hvis der findes en invertibel matrix X og en diagonalmatrix D så X AX = D. Man siger, at X diagonaliserer A. Sætning 9 En n n matrix A er diagonaliserbar, hvis og kun hvis A har n lineært uafhængige egenvektorer. Vigtige bemærkninger:. Hvis A er diagonaliserbar, så er søjlevektorerne i diagonaliseringsmatricen X egenvektorer for A. Diagonalelementerne af D er de til egenvektorerne tilsvarende egenværdier. 2. Diagonaliseringsmatricen X er ikke unik. Ved at ombytte søjler for diagonaliseringsmatricen eller ved at multiplicere med en skalar, der er forskellig fra 0, kan man konstruere en ny diagonaliseringsmatrix. 3. Hvis A er n n og A har n forskellige egenværdier, så kan A diagonaliseres. Hvis der er flere ækvivalente egenværdier så er A diagonaliserbar afhængigt af om, der er n lineært uafhængige egenvektorer (Se sætning 9). 4. Hvis A er diagonaliserbar, så kan A skrives som produktet X D X. 5. A k = X D k X.

17 4 ORTOGONALISERING 7 4 Ortogonalisering 4. Skalarproduktet i R n Skalarproduktet mellem to vektorer a,b R n defineres ved a T b. Dvs., a b Normen af en vektor defineres ved n a i b i. i= a a a. Projektionen af en vektor a på en vektor b er givet ved og størrelsen af projektionen er a b = a b b 2 b a b = a b b. To vektorer a og b er defineret til at være ortogonale, hvis a b = 0. Vinklen mellem a og b er 4.2 Indre produkt rum cos θ = a b a b. Definition 3 (Indre produkt) Et indre produkt på en vektor i et abstrakt vektorrum V er en operator på V, der til ethvert par af vektorer x, y V tildeler en skalar x, y, som opfylder I x,x 0, med lighed hvis og kun hvis x = 0. II x,y = y,x. III αx + βy,z = α x,z + β y,z for alle x,y,z V og alle skalarer α,β. Et vektorrum V med et indre produkt kaldes et indre produkt rum. Her følger en række eksempler på indre produkter:

18 4 ORTOGONALISERING 8 Eksempel 2 (R n ) Skalarproduktet i R n er et indre produkt; x,y = x T y. Et andet eksempel på et indre produkt i R n er x,y = n w i x i y i, i= hvor w,w 2,...,w n er skalarer. Eksempel 3 (R m n ) For A,B R m n kan man definere et indre produkt ved A,B = m n a ij b ij. i= j= Eksempel 4 (C[a, b]) Et eksempel på et indre produkt for f, g C[a, b] er f,g = b a f(x)g(x) dx. Hvis en funktion w(x) er kontinuert på [a,b] kan et indre produkt også defineres som f,g = b a f(x)g(x)w(x) dx. Eksempel 5 (P n ) Lad x,x 2,...,x n være forskellige skalarer. For ethvert par af polynomier af mindre grad end n kan man definere: n p,q = p(x i )q(x i ). i=0 Der gælder, at normen af en vektor i et indre produkt rum kan defineres ved: x = x,x. Definition 4 (Projektion) Lad u og v være vektorer i et indre produkt rum. Projektionen af u på v er u v = u,v v 2 v.

19 4 ORTOGONALISERING Ortonormale systemer Definition 5 (Ortogonalt system) Lad v,v 2,...,v n være vektorer forskellig fra nulvektoren i et indre produkt rum V. Hvis v i,v j = 0, når i j, så er basen {v,v 2,...,v n } et ortogonalt system. Definition 6 (Ortonormalt system) Et ortonormalt system af vektorer er et ortogonalt sæt af enhedsvektorer. Et system u,u 2,...,u n er således ortonormalt, hvis og kun hvis { hvis i = j u i,u j = 0 hvis i j. Hvis man har et ortogonalt system {v,v 2,...,v n } kan man definere u i = v i v i. Da udgør {u,u 2,...,u n } er ortonormalt system. Her følger tre sætninger angående ortonormale baser: Sætning 0 Lad u,u 2,...,u n være en ortonormal basis for et indre produkt rum V. Hvis så er v = n c i u i, i= c i = v,u i. Af denne sætning følger det, at hvis man ønsker at skrive en vektor, som x = c u + c 2 u c n u n, hvor u,u 2,...,u n er en ortonormal basis, så er c i givet ved c i = x,u i. Sætning Lad u,u 2,...,u n være en ortonormal basis for et indre produkt rum V. Hvis u = n i= a iu i og v = n i= b iu i, så er u,v = n a i b i. i=

20 4 ORTOGONALISERING 20 Sætning 2 (Parseval s formel) Hvis u,u 2,...,u n er en ortonormal basis for et indre produkt rum V og v = n i= c iu i, så er v 2 = n c 2 i. i= Eksempel 6 Lad {u,u 2,u 3 } være en ortonormal basis for et indre produkt rum V. Betragt de to vektorer, Ifølge sætning er Og ifølge Parseval s formel er u = u + 2u 2 + 2u 3, v = u + 7u 3. a,b = = 5. u = = 3, v = = 5 2. Om vinklen mellem de to vektorer gælder: cos θ = a,b a b = = 2. Hermed er θ = π Ortogonale matricer Definition 7 (Ortogonal matrix) En reel matrix Q er en ortogonal matrix, hvis søjlevektorerne i Q udgør et ortonormalt sæt i R n. Sætning 3 En n n matrix Q er ortogonal, hvis og kun hvis Q T Q = I. Af denne sætning følger umiddelbart, at Q T = Q. I øvrigt gælder altid, at Qx,Qy = x,y. Hvis x,y = x T y gælder desuden, at Qx = x.

21 4 ORTOGONALISERING 2 Sætning 4 Hvis A er en reel symmetrisk matrix, så findes der en ortogonal matrix U, som diagonaliserer A. Dvs., D = U T AU, hvor D er en diagonalmatrix. En symmetrisk matrix er opfylder, at A T = A. Hvis A er en reel n n matrix, så er følgende betingelser ækvivalente:. Der findes en orthonormal basis for R n bestående af egenvektorer for A. 2. Der findes en matrix U, så U T AU er diagonal med egenværdier for A i diagonalen (U kan bestemmes ved at køre Gram-Schmidt på egenvektorerne i A. Søjlevektorerne i U er da vektorerne i den ortonormale basis). 3. A er symmetrisk; dvs., A T = A. 4.5 Gram-Schmidt ortogonalisering I dette kapitel beskrives Gram-Schmidt ortogonaliseringsmetoden. Ved hjælp af denne metode kan man ud fra enhver basis, danne en ortonormal basis, som opfylder, at [x,x 2,...,x n ], [u,u 2,...,u n ], span{[u,u 2,...,u n ]} = span{[x,x 2,...,x n ]}. Den første vektor i den ortonormale basis fås ved at normere x : u = x x.

22 4 ORTOGONALISERING 22 For at konstruere den anden vektor i den ortonormale basis opskrives projektionen af x 2 på nymodens u (Denne vektor kaldes p ): p = x 2,u u Der må af geometriske årsager gælde, at (x 2 p ) u. Ved at normere x 2 p denne kan man således danne en ny vektor i den ortonormale basis: u 2 = x 2 p x 2 p. Den tredje vektor i den ortonormale basis kan konstrueres ved at definere vektoren, og så er p 2 = x 3,u u + x 3,u 2 u 2, u 3 = x 3 p 2 x 3 p 2. Følgende sætning beskriver Gram-Schmidt Ortogonaliseringsmetoden: Sætning 5 (Gram-Schmidt) Lad [x,x 2,...,x n ] være en ortogonal basis for et indre produkt rum V. Lad og definer u 2,u 3...,u n rekursivt ved hvor u = x x u k+ = x k+ p k x k+ p k, p k = x k+,u u + x k+,u 2 u x k+,u k u k er projektionen af x k+ på spannet af [u,u 2,...,u k ]. Der gælder, at [u,u 2,...,u n ] er en ortonormal basis for V. Bemærk at i udledning af Gram-Schmidt-metoden anvendte vi vores geometriske intuition om vektorer i R n. Metoden er dog ikke begrænset til vektorer i R n, men kan anvendes i alle abstrakte vektorrum.

23 5 FOURIERANALYSE 23 5 Fourieranalyse 5. Ortonormal basis I dette delafsnit forklares den teoretiske baggrund for fourierrækker. Betragte et indre produkt rum, hvor det indre produkt mellem to funktion f og g er defineret ved f,g 2 L L 0 f(x)g(x)dx. Betragt funktionerne ( ) ( ) ( ) ( ) 2πr 2πs 2πr 2πs cos L x, cos L x, sin L x, sin L x, hvor r og s er ikke-negative heltal og L er en skalar. Ved at udregne indre produkter fås: ( 2πr cos L x ) ( ) 2πs,sin L x = 2 L ( ) ( ) 2πr 2πs cos L x,cos L x ( ) ( ) 2πr 2πs sin L x,sin L x = 0, L 0 L ( ) ( ) 2πr 2πs cos L x sin L x dx ( ) ( ) 2πr 2πs cos L x cos L x dx = 2 L 0 2 for r = s = 0 = for r = s > 0 0 for r s = 2 L ( ) 2πr sin L 0 L x 0 for r = s = 0 = for r = s > 0 0 for r s ( ) 2πs sin L x dx Ud fra de netop udregnede indre produkter ses det, at enhver funktion (der er uendeligt mange gange differentiabel) kan opskrives i en ortonormal basis således f(x) = a [ ( ) ( )] 2πr 2πr a r cos L x + b r sin L x, r=

24 5 FOURIERANALYSE 24 hvor de r e koefficienter er givet ved projektionen af f på de r e basisvektorer således: a r = b r = ( 2πr f,cos f,sin ) L x = 2 L ) = 2 L ( 2πr L x x0 +L x 0 x0 +L x 0 ( 2πr f(x)cos ( 2πr f(x)sin L x ) L x dx ) dx. I det næste delafsnit opskrives dette resultat på mere stringent vis. 5.2 Fourierrækker En funktion f kan udvikles vha. fourierrækker, hvis den opfylder Dirichlets betingeler: i) f er periodisk, ii) f skal være kontinuert. Dog er det tilladt med et endeligt antal diskoninuitetspunkter, iii) f skal have et endeligt antal maksimum- og minimumpunkter inden for en enkelt periode, iv) Integralet over en periode af f(x) skal konvergere. Hvis Dirichlets betingelser er opfyldt er fourierrækken for f givet ved f(x) = a [ ( ) ( )] 2πr 2πr a r cos L x + b r sin L x, r= hvor Fourier koefficienterne er givet ved a r = 2 x0 +L ( ) 2πr f(x)cos L x 0 L x dx b r = 2 x0 +L ( ) 2πr f(x)sin L L x dx. Lige og ulige funktioner For en funktion f gælder: x 0 hvis f er lige er f( x) = f(x) hvis f er ulige er f( x) = f(x)

25 5 FOURIERANALYSE 25 Eksempelvis er f(x) = x 2 en lige funktion og f(x) = x 3 er en ulige funktion. For enhver funktion gælder: f(x) = 2 [f(x) + f( x)] + [f(x) f( x)] 2 = f lige (x) + f ulige (x) For en fourierrække repræsenterer a r de lige led (I a r indgår cosinus og cosinus er en lige funktion) og b r repræsentere de ulige led (I b r indgår sinus og sinus er en ulige funktion). For en ulige funktion er alle a-leddene således 0 og tilsvarende er alle b-leddene 0 for en lige funktion. For en maclaurin-række gælder i øvrigt det samme. 5.3 Fouriertransformation Den fouriertransformerede af en funktion f(t) er givet ved Den inverse er: f(ω) = 2π f(t) = 2π f(t)e iωt dt. f(ω)e iωt dω.