NYE MODELLER FOR RUTEVALG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "NYE MODELLER FOR RUTEVALG"

Transkript

1 NYE MODELLER FOR RUTEVALG Otto Anker Nielsen Institut for Planlægning (IFP) Danmarks Tekniske Universitet (DTU) Bygning 115, 2800 Lyngby Telefon ; Fax ; 1 INTRODUKTION Trafikmodeller består ofte to hovedtrin: Først beregnes antallet af ture (turproduktion) fordelt mellem destinationer (turfordeling) og på transportmidler (modal-split), og derefter fordeles turene på trafiknettet ved hjælp af en rutevalgsmodel (på engelsk: traffic assignment). Igennem det sidste år er forskellige problemer ved rutevalgsmodeller blevet diskuteret i forbindelse med konkrete modelarbejder (bl.a. i Ingeniøren). Her er det blandt andet blevet påpeget, at modellerne beregnede trafikmængder, der var større end vejenes kapacitet (manglende kapacitetsafhængighed) og at det var urealistisk, at alle trafikanter benytter samme rute (manglende stokastik). I denne artikel diskuteres i afsnit 2, hvordan trafikanter vælger rute, mens afsnit 3 diskuterer, hvilke eksisterende typer rutevalgsmodeller, der bedst beskriver dette. Denne diskussion bygger på Nielsen (1996), men kan også ses som en fortsættelse af et noget bredere indlæg ved sidste års trafikdage (Nielsen, 1995). Derefter præsenteres i afsnit 4 en nyudviklet rutevalgsmodel, der både tager hensyn til trafikanternes manglende kendskab til trafiknettet (den traditionelle stokastik) og til deres forskellige præferencer (f.eks. valg af korteste versus hurtigste rute). Det vises i afsnit 5, at den nye modeltype leder til en mere virkelighedsnær modellering af rutevalg, og derved til mere troværdige resultater af trafikmodelarbejder. De teoretiske diskussioner i artiklen underbygges i afsnit 6 med afprøvninger på forskellige fuldskala trafikmodeller, mens afsnit 7 peger på fremtidige forskningsbehov. 2 DISKUSSION AF RUTEVALG I BYOMRÅDER Grundlæggende bør rutevalgsmodeller afspejle 1) De faktorer, der påvirker trafikanters rutevalg, 2) Hvordan trafikanter skelner mellem forskellige ruter, og 3) at rutevalg også indeholder en række stokastiske faktorer. I det følgende skitseres dette, idet der for en nærmere gennemgang henvises til Nielsen (1994, 2). 2.1 Faktorer, der påvirker trafikanters rutevalg Et af de grundlæggende problemer i rutevalgsmodeller er at værdisætte de forskellige faktorer med betydning herfor (se figur 1). Som regel er det kun rejsemodstande (f.eks. rejselængde og tid), der værdisættes i en lineær funktion (generaliseret omkostning). Her multipliceres hver rejsemodstand med en vægtningsfaktor (Ortúzar & Willumsen, 1990, p.262 og Thomas, 1991, pp.46-47). I Danmark udregnes rejsemodstanden ofte som: 0,3 længde + 1,0 tid målt i hhv. km. og min. Det er klart, at dette er en meget stærk simplificering i forhold til de mange faktorer, der normalt påvirker rutevalg. I Nielsen (1994, 2) henvises f.eks. til undersøgelser hvor kun 12% af trafikanterne reelt minimerer rejsetid eller rejselængde.

2 Figur 1 Grundlæggende faktorer med betydning for rutevalg. 2.2 Hvordan trafikanter skelner mellem forskellige ruter Bovy & Stern (1990, pp.18-21) kategorisere rutevalg som simultane, sekventielle eller hierarkiske. I de fleste trafiknet forekommer alle tre. Ifølge det simultane rutevalg vælger trafikanten hele ruten før turens start og genovervejer ikke dette siden. Sådanne valg forekommer, hvis der ikke er forsinkelser under vejs, eller hvis trafikanterne er stærkt bundet af vane eller manglende viden om alternativer. Ifølge det sekventielle rutevalg genovervejer trafikanterne rutevalget hver eneste gang, der er en valgsituation under ruten. Det enkelte valg er uafhængigt af tidligere valg. Ifølge det hierarkiske rutevalg genovervejer trafikanten ruten, hver eneste gang, der er en valgsituation, men valget er afhængigt af tidligere valg. Dette er sandsynligvis den mest realistiske valgsituation: Normalt følges den valgte rute, men den ændres dog under visse betingelser. 2.3 Stokastik i rutevalg Ordet 'stokastik' får måske én til at tænke på noget tilfældigt. Imidlertid dækker begrebet over en lang række faktorer, hvoraf kun nogle har at gøre med tilfældigheder: 1. Trafikanter har ikke fuldt kendskab til trafiknettet, hvorfor de ikke handler rationelt i forhold til de reelle rejsemodstande, men kun i forhold til de 'oplevede' rejsemodstande. 2. Forskellige ruter vælges ofte for variationens skyld. 3. Rejsetider ad en rute varierer ofte fra dag til dag på grund af andre trafikanter, lyssignaler, kødannelser eller forskellige trafikbelastninger, vejret, etc. 4. Forskellige kørevaner kan måske medføre forskellige optimale ruter for forskellige trafikanter. 5. Forskellige trafikanter har forskellige præferencer. Det antages ofte, at forskellige rutevalg skyldes variationer i den måde trafikanter 'oplever' rejsemodstandene, c (ε)a, for forskellige strækninger, a (f.eks. Sheffi, 1985, p.272). c (ε)a antages at bestå af to komponenter, en deterministisk, c a, og en tilfældig, ε a (svarende til grundlaget for logit- og probit-modellerne):

3 c ( ε)a = c a+ ε a, (1) Endvidere antages at E[ε a ]=0, således at den gennemsnitlige oplevede og deterministiske rejsemodstand er identisk (E[c (ε)a ]=c a ). 3 FORSKELLIGE RUTEVALGSMODELLER Når trafikken stiger på en given strækning, falder trafikanternes hastigheder. En af hovedinddelingerne af rutevalgsmodeller er, hvorvidt de tager hensyn hertil (trafikafhængige modeller) eller ej (ikke-trafikafhængige modeller). En anden hovedinddeling er, hvorvidt modellerne tager hensyn til, at trafikanterne af forskellige årsager benytter forskellige ruter mellem givne lokaliteter (stokastiske modeller) eller ej (deterministiske modeller). I dette afsnit gennemgås disse fire hovedtyper af modeller, mens afsnit 4 gennemgår forskellige forbedringer heraf. 3.1 Problemer med estimering af rutevalgsmodeller, alt-eller-intet modellen Den simpleste rutevalgsmodel 'alt-eller-intet' modellen antager, at alle trafikanter mellem to punkter følger samme rute (deterministisk, ikke-trafikafhængigt rutevalg). Dette er i modstrid med den empiriske viden om trafikanters rutevalg, der ofte er fordelt på et stort antal ruter. Selv om en rutevalgsmodel rent matematisk kan estimeres, så trafikmængderne svarer til snittællingerne, er det langt fra sikkert, at modellens turmønster svarer til virkeligheden. Betragtes en trafikmodel, f(.), der modellerer trafik mellem zoner, kan denne estimeres ud fra en GA-matrix, GA ij, ved at minimere afvigelsen afv mellem denne og modelleret trafik, T ij : min afv( GA ij,t ij), T ij = f(.) ij, i, j (2) Som det ses indgår både GA ij og u.b. f(. ) 0 i, j T ij i minimeringsproblemet, og de to matricer har samme dimension. Betragtes derimod estimeringen af en rutevalgsmodel, benyttes ofte følgende estimationskriterie: ij min afv V, T, T = f(.), a τ i, j ( a a) a ( ija) (3) u.b. f(. ) 0 i, j, a ija hvor f(.) ija er rutevalgsmodellen, der modellerer trafik mellem zone i og j ad strækning a. T a og V a er hhv. modelleret og talt trafik på strækning a. Der summeres kun over strækninger a med talt trafik givet ved mængden τ. Her er trafikken for hver strækning summen af bidrag fra mange zonepar. Således kan et givet estimat af T a 'erne svare til mange forskellige kombinationer af f(.) ija 'erne, der måske endda tilsammen svarer eksakt til den talte trafikmængde. På trods af en sådan overensstemmelse kan

4 den enkelte trafikmængde f(.) ija være helt forkert, hvilket først vil give sig udslag i prognosesituationen. Dette er en naturlig konsekvens af, at der er langt færre snittællinger V a, (a τ) end modelleret trafik, f(.) ija. Det understreges, at alt-eller-intet modellen kun bør benyttes, hvis der med sikkerhed kun er én rute mellem hvert zonepar i modellen. I alle andre tilfælde er modellen utroværdig. 3.2 Stokastiske ikke-trafikafhængige modeller (logit og probit) De første stokastiske rutevalgsmodeller var logit-baserede (f.eks. Dial, 1971) og byggede således på en antagelse om, at alle ruter er uafhængige. Dette medførte store problemer i trafiknet med overlappende ruter (jvf. figur 2). Typisk vil der være et stort antal del-alternativer i bymidter, mens der f.eks. for omfartsveje kun er få. Herved giver logitmodellen et forkert overordnet turmønster, og derved i særlig høj grad utroværdige prognoser. For at undgå dette foreslog Daganzo & Sheffi (1977) i stedet at benytte probit-baserede rutevalgsmodeller, og Sheffi & Powell (1981) formulerede en operationel løsningsalgoritme. Forudsætningerne herfor er: 1. De enkelte strækninger opleves uafhængigt. 2. Strækninger med den samme deterministiske rejsemodstand har den samme fordeling af oplevede rejsemodstande. Figur 2 Sammenligning af stokastiske rutevalgsmodeller af logit- og probit-typen for forskellige simple testnet (500 iterationer). 3. Den oplevede rejsemodstand, c (ρ)a, er normal fordelt 1) med middelværdi lig den deterministiske rejsemodstand og med varians proportional hermed: ( ) ( ) c ε Φ c,err c eller c ρ = c ρ, ρ Φ 1,err, (4) ( )a a a ( )a a a a hvor Φ symboliserer normal fordelingen, c a er den deterministiske rejsemodstand og err er den såkaldte errorterm. c (ρ)a og ρ a er introduceret for at simplificere notationen i det følgende, På basis heraf viste de, at sandsynligheden for at benytte en bestemt strækning eller rute kan beskrives med en multinomial normal fordeling - eller med andre ord en probitmodel. Løsningsalgoritmen herfor er: 1) Initialisering: Sæt iterationsnummer n:=1 og sæt trafikstrømmene T a(0) :=0 for alle strækninger, a. (0)'et i T a(0) symboliserer iteration nummer nul (initialisering). 1) Normal fordelingen er ikke helt velegnet, idet den kan give negative værdier. Ved moderate err er dette dog ikke et problem. De få negative udfald bør trunkeres (se også Sheffi, 1985, p.298 for en diskussion heraf).

5 2) Opdatér rejsemodstande: Udtag c (ε)a ε Φ(c a, err c a ) for alle strækninger, a, ved at benytte en Monte Carlo simulation 1). 3) Alt eller intet rutevalg: Fordel turmatricen på trafiknettet med opdaterede c (ε)a 'er. Herved opnås nye trafikstrømme, T a(tmp), på alle strækninger, a, tmp betyder en temporær variabel. 4) Trinlængden fastlægges: ξ (n) := 1/n. 5) Opdatering: T a(n) := (1-ξ (n) ) T a(n-1) + ξ (n) T a(tmp), for alle strækninger, a. 6) Stopkriterie: Stop jvf. en mængde af stopkriterier, der alle skal opfyldes, ellers sæt n:=n+1 og gå til trin 2. Ovennævnte algoritme er blevet implementeret i forbindelse med IFP's GIS-T projekt og afprøvet på en række fuldskala cases (se afsnit 6). 3.3 Trafikafhængige modeller (UE) Når trafikken stiger på en given strækning, falder trafikanternes hastigheder. En af hovedinddelingerne af rutevalgsmodeller er, hvorvidt de tager hensyn hertil (trafikafhængige modeller) eller ej (ikke-trafikafhængige modeller). Der er udviklet en række trafikafhængige modeller, der søger at finde en ligevægts situation, hvor ingen trafikant kan reducere sin egen rejsemodstand ved at skifte rute (det såkaldte User Equilibrium, UE). Sheffi (1985) viser, at modeller, der følger Successive Gennemsnits Metode (Method of Successive Averages, MSA), er konvergente. Derimod kan det let vises, at de to hyppigt benyttede metoder 'Capacity Restraint' og 'Incremental Loading' ikke er konvergente (se f.eks. Nielsen, 1994, 2). Det frarådes derfor at benytte de to metoder. Især Capacity Restraint vil ofte 'svinge frem og tilbage' mellem forskellige løsninger som funktion af antal iterationer. Algoritmen i Successive Gennemsnits Metode, MSA, er af flere søgt optimeret, hvoraf den såkaldte Frank-Wolfe metode kan reducere beregningstiden betydeligt (1956, se også Sheffi, 1985, pp ). Imidlertid tyder noget på, at metoden er knapt så hensigtsmæssig, hvis der også tages hensyn til forsinkelser i kryds (jvf. bl.a. erfaringer fra Hovedstadstrafikmodellen hos Anders Nyvig a/s), ligesom den må give mindre fordele for store trafiknet. Rejsemodstanden i UE, c a, bør bestå af to typer komponenter; en ikke-trafikafhængig (f.eks. rejselængde) og en trafikafhængig (typisk rejsetid), f.eks.: c a = k(l) l a + k(t) t a, (5) hvor l a er længden (som regel korreleret med den direkte rejseomkostning) og t a rejsetiden. k (l) og k (t) er vægtningen heraf. Hver af de to typer komponenter kan bestå af flere variable, hver med forskellige vægtningsfaktorer. Hvis rejsemodstanden følger den såkaldte BPR-kurve 1), kan formel 5 omskrives til: 1) Nielsen (1994, 2) uddyber dette. Eventuelt kan en tilnærmelse med en Gumbel-fordeling benyttes for at øge beregningshastigheden, som vist i Ibid, afsnit ) Navnet stammer fra det amerikanske Bureau of Public Roads, der formulerede formlen i slutningen af 1950'erne. Siden er den benyttet i en række sammenhænge, herunder i Danmark.

6 T a c a = k (l) l a + k (t) t (0)a 1 + β α T (cap)a hvor T a er trafikken på stækning a, T (cap)a er den praktiske kapacitet, t (0)a er den 'frie' rejsetid (rejsetiden ved fri trafikafvikling) og α og β er parametre. BPR-formlens store udbredelse skyldes en række fordelagtige egenskaber (Nielsen, 1994, 2): 1. Den er lig den 'frie' rejsetid, når trafikbelastningen er nul. 2. Den kan omskrives til en funktion af hastigheden uafhængigt af strækningens længde. Dette gør det muligt at estimere generelle parametre for alle strækninger af samme type. 3. Den indeholder to uafhængige parametre, α og β; den første fastlægger, hvor meget hastigheden aftager ved stigende trafikbelastning, og den anden hvor hurtigt. 4. Formlen er ikke afgrænset ved den praktiske kapacitet. Dette giver en algoritmemæssig fordel i rutevalgsmodellen (Nielsen, 1996). Derudover har BPR-formlen (og formel 6) vist sig anvendelig i praksis 1). Imidlertid har det også vist sig (bl.a. jvf. Matthäi & Stanton, 1993), at det ville være bedre, hvis de to parametre estimeres separat for forskellige strækningstyper eller for de enkelte strækninger (dvs. α a 'er og β a 'er). F.eks. vil en langsom bil på en mindre vej forårsage forsinkelser selv ved lave trafikbelastninger (lille β), mens det samme ikke er tilfældet på en motorvej (stor β). Desværre har der ikke været tilstrækkeligt empirisk grundlag til at estimere separate α'er og β'er i de modelarbejder, der er udført ved IFP. Når trafikken overstiger den praktiske kapacitet, overestimerer BPR-formlen hastigheden. En simpel heuristisk måde til at undgå dette, er i stedet at benytte en meget lav hastighed, når trafikken overskrider den praktiske kapacitet. 3.4 Stokastisk bruger equilibrium (SUE) Som regel vil rutevalg både være stokastisk og trafikafhængigt. Her opnås en ligevægt (equilibrium), hvor ingen trafikant kan reducere sin 'oplevede' rejsemodstand ved ensidigt at skifte rute (det såkaldte Stochastic User Equilibrium, SUE). Sheffi (1985, pp ) viser, hvordan denne tilstand kan modelleres 1). Løsningsalgoritmen svarer til løsningen af probit modellen i afsnit 3.2 bortset for trin 2 og 3: 2) Opdatér rejsemodstande: Udregn c a(n) =f(c (0)a,T a(n-1) ) a, hvor f(.) er sammenhængen mellem trafik og rejsemodstand ('Speed-flow kurven' eller 'rejsemodstandsfunktionen'). 3) Rutevalg: Turmatricen fordeles på trafiknettet med en stokastisk rutevalgsmodel (f.eks. probitmodellen) baseret på c a(n) 'erne. Herved modelleres T a(tmp) 'erne for alle strækninger, a. Løsningsalgoritmen består således af to løkker: En ydre af trin 2-6 og en indre, der er den 1) I Danmark er den valideret ved køreforsøg (Matthäi & Stanton, 1993) og som en del af praktiske modelafprøvninger (Nielsen, 1994, 2). Bedst resultat blev opnået med værdier for α og β på hhv. 0.8 og ) SUE formuleredes først af Daganzo & Sheffi (1977) og løsningsalgoritmen herfor af Sheffi & Powell (1982)., (6)

7 stokastiske rutevalgsmodel i trin 3. Umiddelbart synes dette at resultere i en horribel beregningstid. Imidlertid viser Sheffi (1985, pp ), at antallet af iterationer kan reduceres ved at lægge hovedparten i den ydre løkke. Faktisk kan der opnås et godt resultat ved kun at have en enkelt iteration i den indre løkke. Denne tilgang benyttes i modelkørsler ved IFP. Det diskuteres ofte, hvornår probit-modellen, en trafikafhængig model (UE) eller kombinationen heraf (SUE) bør benyttes. Den probitbaserede model kan benyttes i svagt belastede trafiknet og UE i stærkt belastede trafiknet. SUE bør benyttes ved alle andre belastningssituationer (Sheffi, 1985, p ). Da alle tre tilfælde som regel optræder i forskellige dele af danske byområder, anbefales det altid at benytte SUE. 4 MODELLERING AF FORSKELLE I TRAFIKANTERS PRÆFERENCER Ovenfor blev formuleringen af rejsemodstandene, c a, ikke diskuteret nærmere. I probitmodellen (og SUE) håndteres c a 'erne som homogene variable i den enkelte Monte Carlo simulering. Afsnit 4.1 diskuterer denne tilgang, mens der i afsnit 4.2 foreslås en fremgangsmåde, der også kan håndtere forskelle i trafikanters præferencer. Figur 3 viser observeret rutevalg fra et case for biltrafikken til og fra lufthavnen, der benyttes i det følgende. Caset er særligt velegnet til test af rutevalgsmodeller, fordi Vejdirektoratet i 1990 gennemførte en grundig undersøgelse af dette rutevalg. Figur 3 Observeret rutevalg mellem Farum og Kastrup.

8 4.1 Stræknings baseret stokastik Den strækningsbaserede stokastik i den traditionelle SUE betyder, at alle trafikanter i modellen har samme vægtningsfaktorer på de enkelte rejsemodstande (har samme præferencer). Figur 4 viser på den venstre side et eksempel på brug af den strækningsbaserede SUE, hvor et rutebundt af trafik mellem Farum og Kastrup er modelleret 1). I eksemplet passerer de fleste ruter den centrale del af København, hvilket skyldes den givne vægtning mellem rejselængde og tid. Hvis errortermen øges vil trafikken blive fordelt over flere del-alternativer gennem centrum. Imidlertid vil kun få ruter blive fordelt ad den længere med noget hurtigere Motorringvej. De modellerede rutevalg svarer tydeligvis ikke til de observerede. Figur 4 Strækningsbaseret SUE. Til venstre for ε a =0.25, k l =0.4, k t =0.6, til højre for ε a =0.25, k l =0.0, k t =1.0. Hvis vægtningen fra eksemplet ovenfor ændres, kan der eksempelvis opnås et resultat som vist på figur 4's højre side. Her er de fleste ture fordelt ad motorringvejen med få del-alternativer, og for få ture er fordelt gennem byen. Ved systematisk at variere vægtene k t og k l viste det sig, at ingen kombinationer heraf kunne give en virkelighedsnær fordeling mellem de to hovedalternativer (Motorringvejen versus bundtet af ruter gennem byen). Den strækningsbaserede SUE alene er således ikke i stand til at beskrive dette rutevalg. 1) Frederiksen & Simonsen (1996) har implementeret SUE i et C-program for forfatteren. En af faciliteterne i dette program, er en mulighed for at gemme 1) Alle ruter, der starter i en bestemt zone, 2) Alle ruter, der slutter i en bestemt zone, 3) Alle ruter der passerer en bestemt strækning. De tre kriterier kan frit kombineres.

9 4.2 Præference-baseret stokastik (hele ruter) Hvis én trafikants rute betragtes, kan den oplevede rejsemodstand, c (ρ)ab, beregnes som: ( ) c ( ρ )ab = ρa c ab = ρa k(l)b l a +k(t)b t a, (7) hvor c ab = k (l)b l a + k (t)b t a er trafikant b s rejsemodstand og ρ a symboliserer den stokastiske simulering af rejsemodstanden for strækning a. Man kan nu antage, at k (l)b og k (t)b varierer for forskellige trafikanter, f.eks. fordi de har forskellige præferencer. Denne variation kan beskrives ved en stokastiske simulering af vægtene (simuleringen kan symboliseres ved ρ (l) og ρ (t) ). For en specifik rute for én trafikant, kan vægtene antages at være de samme for alle del-strækninger. Dette er ensbetydende med, at trafikanten ikke ændrer sin vægtning af længde versus tid under turen (sagt mere teoretisk, at den enkelte trafikant har en konstant præference eller nyttefunktion). Under denne antagelse kan man opstille følgende funktion for alle trafikanters oplevede rejsemodstande: ( ) c ( ρ )a = ρa ρ(l) k(l) l a + ρ(t) k(t) t a, (8) På basis heraf kan SUE ændres ved at justere trin 2 og 3: 2) Opdatér rejsemodstandene: Udtag ρ a for alle strækninger, a, og ρ (l) og ρ (t) én gang. Udregn c (ρ)a(n) ved brug af formel 8, hvor t a f.eks. følger BPR-formlen (n er iterationsnummeret). 3) Alt eller intet rutevalg: Fordel turmatricen på trafiknettet jvf. de opdaterede c (ρ)a(n) 'er. Herved modelleres nye trafikmængder, T a(tmp), for alle strækninger, a. Hvis errortermene ρ (l) og ρ (t) er lig nul, er denne model lig den traditionelle SUE. Således vil trafikanterne følge ruter givet ved samme vægtning af rejsemodstande (som i figur 3 og 4). Hvis samtidig errortermen for ρ a er forholdsvis stor, vil der være mange delalternativer til disse ruter. Hvis errortermene for ρ (l) og ρ (t) modsat er forholdsvis store, vil trafikanterne også vælge mellem forskellige hovedalternativer (i eksemplet motorringvejen versus ruterne gennem byen. Hvis errorterm for ρ a samtidig er lille vil trafikanterne ifølge modellen kun benytte få delalternativer til disse ruter. Hvis errortermen for ρ a er lig nul, vil der kun vælges optimale ruter for de forskellige vægtninger af rejsemodstandene. I eksemplet er der kun fem sådanne optimale ruter 1). Figur 5 viser rutevalgene med en fornuftig kombination af ρ a, ρ (l) og ρ (t). Som det ses svarer dette langt bedre til observationerne end den strækningsbaserede SUE. 1) Motorringvejen blev valgt med, k (l) ε [0.00; 0,07] (k (t) = 1-k (l) ), og fire forskellige ruter gennem byen over Langebro i intervaller mellem 0,08; 0,22; 0,90; 0,96 og 1,00.

10 Figur 5 Modificeret SUE: k l =0.2, k t =0.8, ρ a =0.2, ρ (l) =1.0 og ρ (t) = Konvergensproblemer Som tidligere nævnt, er successive gennemsnits metode (MSA) og varianter heraf, den eneste klasse af rutevalgsmodeller, der er påvist at være konvergente. Imidlertid kan man stadig diskutere, hvor hurtigt MSA konvergerer, og hvordan det påvises, at den har fundet en stabil løsning (se f.eks. Powell & Sheffi, 1982, Sheffi, 1985, pp og Van Vuren, 1995). Hertil benyttes typisk to hovedtyper af stop-kriterier: 1. Sammenlign resultater (f.eks. trafikmængder eller rejsetider) fra de to sidste iterationer. 2. Sammenlign resultater med snittællinger eller målte rejsetider. Det første kriterie tester til en vis grad om algoritmen er konvergeret (omend dette ikke nødvendigvis er tilfældet), mens det andet sikrer en rimelig overensstemmelse mellem model og observationer. Imidlertid er det forfatterens erfaring efter test af en række forskellige kriterier af ovennævnte type, at de ikke nødvendigvis sikrer en 'god' model. Sådanne problemer kan påvises ved at køre SUE to gange med samme forudsætninger (bortset fra nye Monte-Carlo simuleringer) og derefter sammenligne resultaterne. Selv om stopkriterierne er opfyldt, kan der nemlig være forholdsvis store marginale forskelle mellem modelkørsler. Dette vil give problemer, hvis modellen benyttes til at beskrive konsekvenserne af forskellige planforslag, f.eks. nye infrastrukturprojekter. Ofte vil det være umuligt at skelne mellem marginale forskelle og den stokastiske simulering i modellen, hvis kun de traditionelle konvergenskriterier er opfyldt. I Nielsen (1996) diskuteres denne problemstilling nærmere, og en ny metode præsenteres, der konvergerer hurtigere. Tabel 1 viser beregningstider og forskellige karakteristika for IFP's

11 version af de to metoder brugt på to danske cases. Det benyttede antal iterationer sikrer konvergens - også set ud fra en marginal betragtning. Case Karakteristika SUE Optimeret SUE Zoner Strækninger Iterationer Tid (min) Iterationer Tid (min) Næstvedtrafikmodellen ,4 40 0,6 Hovedstadstrafikmodellen Tabel 1 Beregningstider for to danske modeller med SUE. 5 FORTOLKNING OG BETYDNING AF DEN NYE MODELTYPE Den væsentligste metodeforbedring ved den præferencebaserede SUE er, at den beskriver to typer 'stokastisk adfærd'. Den første (ρ a ), beskriver trafikanters oplevelse af rejsemodstande på strækningsniveau, mens den anden (ρ (l) og ρ (t) ) beskriver forskelle i trafikanternes præferencer. Den strækningsbaserede opfattelse (ρ a ) svarer i en vis grad til det sekventielle rutevalg, der blev introduceret i afsnit 2.2. Derudover gør ρ a det muligt at håndtere overlappende ruter og derved undgå problemerne ved logit-modellerne. Dette dækker det meste af punkt 1, 2 og 3 i afsnit 2.3. Den præferencebaserede opfattelse svarer i en vis grad til det simultane rutevalg og gør det muligt at beskrive forskelle i trafikanters vægtning af rejsemodstande (deres præferencer eller nyttefunktioner) og forskelle i køreadfærd (punkt 4 og 5 i afsnit 2.3. Den stræknings- og præferencebaserede opfattelse kan da siges at dække det hierarkiske rutevalg. Dette princip dækker faktorerne i figur 1 bedre, end de to andre principper hver for sig. I eksemplet med trafikken mellem Farum og Kastrup (figur 3, 4 og 5) gjorde brugen af ρ (l) og ρ (t) det muligt at reproducere det overordnede rutevalg mellem Motorringvejen og ruterne gennem byen. Derudover var modellen i stand til at beskrive, at del-alternativer blev valgt geografisk systematisk: Trafikanter over forskellige broer til Amager havde forskellige præferencer, hvilket påvirkede graden og typen af del-ruter i de forskellige oplande til de fire broer. Dette svarede glimrende til en detailanalyse af Vejdirektoratets undersøgelse (1990). Hvis SUE derimod som tidligere ikke tager højde for forskelle i præferencer, vil det kunne give systematiske afvigelser selv ved en strategisk brug af modellen. I eksemplet ville det for den samlede model (alle zone-par) f.eks. kunne lede til en forkert overordnet vurdering af konsekvenserne af en Havnetunnel. 6 PRAKTISKE ERFARINGER Den modificerede SUE er med succes testet på en række fuld-skala trafikmodeller 1), der alle blev implementeret i et Geografisk Informationssystem. Ud over at lette arbejdet med modellerne gav dette langt bedre muligheder for kvalitetssikring af modellerne og analyse af 1) Modellen for biltrafikken til og fra Kbh. Lufthavn Kastrup (121 strækninger i det primære analyseområde, 25 zoner, Nielsen, 1994, 2), en model for Næstved med opland (versioner med 134 strækninger og 33 zoner og med 314 strækninger og 106 zoner, Nielsen, 1994, 2), en model for København (versioner med 2,422 strækninger, 97 zoner og med 2,765 strækninger og 269 zoner, Nielsen, 1994, 2), en model for lastbiltrafikken til og fra Kbh. Havn (endnu ikke offentliggjort), en model til vurdering af ombygningen af Helsingørmotorvejen (Jørgensen, 1996) og endelig en model for byen Bandung (5 mio. indb.) i Indonesien (980 strækninger og 180 zoner, Nielsen & Israelsen, 1996).

12 resultaterne end ved brug af traditionelle trafikmodelpakker 1). En væsentlig del af kvalitetssikringen bestod i at undersøge træer af ruter til eller fra forskellige zoner, bundter af ruter mellem zoner, samt neg af ruter over en bestemt strækning. Dette vil erfaringsmæssigt kunne afsløre problemer, der ikke kan findes ved blot at undersøge de totale trafikstrømme (jvf. afsnit 3.1). Faktisk viste det sig i mange af modellerne, at parameterkombinationer i temmelig store intervaller gav stort set samme gennemsnitlige afvigelser fra snittællinger (Nielsen, 1996). Således var det her essentielt at benytte mere nuancerede metoder til at estimere parametrene, såsom de nævnte træer, bundter eller neg af ruter. Den matrixestimationsmetode, der benyttes til at estimere OD-matricen, bør svare til den benyttede rutevalgsmodel. Er dette ikke tilfældet, vil matricen blive skæv-vredet. Desværre estimeres matricer alligevel ofte med metoder, der bygger på for simplificerede rutevalgsmodeller, mens der benyttes mere avancerede rutevalgsmodeller, som en del af de færdige trafikmodeller. Dette giver en klar inkonsistens mellem estimation og brug af trafikmodellerne. Nielsen (1994, 1 & 2) beskriver forskellige kendte matrixestimationsmetoder, mens Nielsen & Israelsen (1996), Jørgensen (1996) og Frederiksen (1996) benytter en ny forbedret metode, 'Multiple Path Matrix Estimation Method (MPME)', der skitseres i Nielsen (1994, 1) og operationaliseres i Nielsen (1997). Metoden er en forbedring i forhold til 'Single Path Matrix Estimation (SPME)' (Nielsen, 1994, 1), der i sig selv gav en række metodiske fordele i forhold til tidligere metoder. SPME har med succes været benyttet i en række modelarbejder i Danmark (Nielsen, 1994, 2) og i udlandet (Caliper, ) ). 7 PERSPEKTIVER FOR FREMTIDIG FORSKNING De praktiske modelafprøvninger peger på en række emner, der bør undersøges nærmere. En række af disse har en mere algoritmemæssig karakter (se Nielsen, 1996 og Van Vuren, 1995), mens følgende har en mere generel karakter: Alle afprøvningerne af SUE i København pegede på et behov for at kunne modellere forsinkelser i knudepunkter (primært vejkryds og rundkørsler, men i mindre omfang også kilestrækninger). I mange tilfælde er det forsinkelser i knudepunkter, og ikke strækningskapaciteter, der er flaske-halse i trafiknettet. Derudover er der også ved lave trafikbelastninger en forsinkelse i knudepunkter (f.eks. deceleration, venten for rødt lys, acceleration). For at tage højde herfor kan der implementeres en knudepunktsmodel som en del af trin 2 og 3 i SUE. I GIS-T projektet arbejdes for øjeblikket dels med denne videreudbygning af SUE, dels med at udvikle en GIS-baseret 'netfortolker', der ud fra vejtyper, antal kørespor, hastigheder og trafikmængder kan automatisere opbygningen af data for vejknuder. Dette er nødvendigt, da dette ellers ville kræve et uforholdsmæssigt stort arbejde. En yderligere videreudbygning af SUE kunne være at indbygge afhængigheder mellem flere 1) SUE blev implementeret i C af Frederiksen & Simonsen (1996). Selvom modellen primært tænkes benyttet sammen med et geografisk informationssystem (GIS), kan den således også benyttes uafhængigt heraf. Alt-eller-intet delen blev optimeret for at sikre en hurtigere beregningstid end i de traditionelle trafikmodelpakker. For øjeblikket programmeres en Windows-baseret brugerflade for at lette brugen. En del af denne er et slags ekspertsystem, der kan assistere brugeren med at specificere de mange parametre, der indgår i modellen (en række parametre, herunder stopkriterier og muligheder for analyser er ikke beskrevet i detaljer i denne artikel). 2) Metoden er implementeret af det amerikanske firma Caliper Corporation i GIS-T'et TransCAD på basis af Nielsen (1993) og (1994, 1).

13 strækninger og knudepunkter, f.eks. for at kunne beskrive lange køer eller grønne bølger. Sheffi (1985) giver nogle retningslinier herfor, men det vil kræve et stort arbejde at implementere sådanne metoder, indsamle det nødvendige data samt validere metoderne. Et andet forskningsemne er at bygge videre på det beskrevne koncept for også at forbedre modelleringen af rutevalg for kollektiv trafik. Her vil forskelle mellem præferencer være særligt relevant, f.eks. for at beskrive forskellige vægtninger af ventetid, køretid, forskellige transportmidler, skiftetid, antal skift, skjult ventetid, etc. Muligvis vil metoden endda kunne udvides til at behandle transportmiddelvalg. 8 KONKLUSION OG DISKUSSION I artiklen er forskellige rutevalgsmodeller præsenteret og diskuteret. Konklusionen er, at der for bytrafik altid bør benyttes modeller, der både er stokastiske og trafikafhængige. Af trafikafhængige modeller er det hidtil kun vist, at Successive Gennemsnits Metode (MSA) er konvergent. Stochastic User Equilibrium metoden (SUE) bygger på dette princip, men tager derudover hensyn til, at rutevalg rummer et stokastisk element. Dette element bør modelleres af en probit-model snarere end en logitmodel, da der ellers ikke tages hensyn til, at ruter ofte er afhængige variable. I artiklen præsenteres en forbedret udgave af SUE, der rummer to typer stokastiske faktorer - den ene beskriver trafikanters 'oplevede' rejsemodstande på strækningsniveauet (som i den traditionelle SUE), mens den anden beskriver forskelle i trafikanternes præferencer. Denne model har vist sig at give en mere realistisk beskrivelse af trafikstrømme i tilfælde, hvor både rejselængde (eller omkostning) og rejsetid har en betydning for trafikanters rutevalg. Dette er tilfældet i Danmark. Set i et bredere perspektiv kan der drages paralleller mellem diskussionen af rutevalgsmodellerne og modeller for transportmiddelvalg. Eksempelvis er ulempen ved logit-modellens forudsætning om gensidig uafhængighed mellem alternativer også gældende for transportmiddelvalg (f.eks. valg mellem bil, cykel, tog, bus og S-bus). Ved anvendelse af probitmodeller for transportmiddelvalg kan forudsætningen om gensidig uafhængighed undgås ligesom for rutevalg. Dette undersøges nærmere i IFP's GIS-T projekt i samarbejde med TetraPlan a/s. En anden parallelitet er, at den nye tilgang med modellering af forskelle mellem trafikanters præferencer (vægtning af de enkelte elementer i rejsemodstandsfunktionen) kan tolkes som, at nyttefunktionen ikke blot kan opfattes som én variabel i logit- og probitmodeller. Dette underbygger den diskussion om logitmodeller, der var i Nielsen (1995) og Gärling (1994). I rutevalgsmodeller for biltrafik, giver den præsenterede metode en væsentlig bedre overensstemmelse med, trafikanters rutevalg. For modeller for kollektiv trafik rummer den præsenterede metode et stort potentiale, hvilket vil blive undersøgt nærmere i det videre forløb af GIS-T projektet. Stud polyt Rasmus Dyhr Frederiksen og Nikolaj Simonsen takkes for hjælp til at implementere den foreslåede metode og for hjælp i nogle af case-studierne, Stud Polyt Erik Rude Nielsen & Thomas Israelsen takkes for test på Bandung-modellen og Civ.Ing. Susan Galsøe for korrekturlæsning. Transportrådet takkes for økonomisk støtte til GIS-T projektet.

14 REFERENCER Bovy, P.H.L. & Stern, E (1990). Route Choice: Wayfinding in Transport Networks. Kluwer Academic Publishers, Studies in Operational Regional Science, Vol. 9. Caliper Corporation. Travel Demand Modelling with TransCAD , Newton, Massachusetts. Daganzo, C.F. & Sheffi, Y. (1977). On Stochastic Models of Traffic Assignment. Transportation Science. No. 11(3). pp Dial, R.B. (1971). A probalistic Multipath Traffic Assignment Algorithm which obviates Path Enumeration. Transportation Research. No. 5(2). pp Frank, M & Wolfe, P (1956). An Algorithm for Quadratic Programming. Naval Research Logistics Quarterly. No. 3(1-2). pp Frederiksen, Rasmus Dyhr & Simonsen, Nikolaj (1996). GIS-Baseret modellering af rutevalg. 18-points projekt, IFP, DTU. Frederiksen, Rasmus Dyhr. (1996). Forbedrede metoder til estimation af turmatricer. 12 points kursusarbejde under afslutning, IFP, DTU. Gärling, Tommy. (1994). Behavioral assumptions overlooked in travel choice modelling. Seventh International Conference on Travel Behaviour", 1994, pp Jørgensen, Lars. (1996). Brug af GIS-baserede rutevalgsmodeller til vurdering af trafikale konsekvenser af ombygningen af Helsingørmotorvejen. 12 points opgave, IFP, DTU. Matthäi, Line L. & Stanton, Bill. (1993). Traffic Planning in Copenhagen using TransCAD. Eksamensprojekt, IVTB (nu IFP), DTU. Nielsen, Otto Anker. (1993). A new method for estimating trip matrices from traffic counts. Paper , IVTB, DTU. Nielsen, Otto Anker. (1994,1). A new method for estimating trip matrices from traffic counts. Seventh International Conference on Travel Behaviour, Chile. Preprints. pp Nielsen, Otto Anker. (1994, 2). Optimal brug af trafikmodeller - En analyse af persontrafikmodeller med henblik på dataøkonomi og validitet. Ph.D. afhandling. Rapport 76, IVTB (nu IFP), DTU. Nielsen, Otto Anker. (1995). En diskussion af dagens brug af trafikmodeller - teori og empiri. Trafikdage på AUC '95. Bind 2, pp Nielsen, Otto Anker. (1996). Do Stochastic Traffic Assignment Models Consider Differences in Road Users Utility Functions?. Paper to be presented at 24th European Transport Forum" (PTRC annual Meeting), London, UK. Seminar M. Nielsen, Otto Anker. (1997). Multiple-Path OD-Matrix estimation (MPME) based on Stochastic user Equilibrium Traffic Assignment. Paper submitted to TRB'97. Nielsen, Erik Rude & Israelsen, Thomas. (1996). Implementing a Traffic Model for Bandung using GIS. Eksamensprojekt, IFP, DTU. Ortúzar, J.de D. & Willumsen, L.G (1990). Modelling Transport. John Wiley & Sons. Powell, W.B. & Sheffi, Y. (1982). The Convergence of Equilibrium Algorithms with Predetermined Step Sizes. Transportation Science. No. 16(1). pp Sheffi, Yosef. (1985). Urban Transportation Networks. Prentice Hall, Inc, Englewood Cliffs, NJ. Sheffi, Y. & Powell, W.B. (1981). A comparison of Stochastic and Deterministic Traffic Assignment over Congested Networks. Transportation Research B. No. 15(1). pp Sheffi, Y. & Powell, W.B. (1982). An Algorithm, for the Equilibrium Assignment Problem with Random Link

15 Times. Networks 12(2). pp Thomas, R. (1991). Traffic Assignment Techniques. Avebury Technical, The Academic Publishing Group. Van Vuren, T. (1995). The trouble with SUE stochastic assignment options in practice. Proceedings PTRC Summer Annual Meeting. University of Warwick, England, Seminar H. pp Vejdirektoratet, ØSA (1990). Biltrafikken mod Københavns Lufthavn Kastrup - Analyse og vurdering af konsekvenserne af en Tårnbymotorvej. Udført af Anders Nyvig a/s.

ESTIMATION AF TURMATRICER UD FRA SNITTÆLLINGER - TO METODER

ESTIMATION AF TURMATRICER UD FRA SNITTÆLLINGER - TO METODER ESTIMATION AF TURMATRICER UD FRA SNITTÆLLINGER - TO METODER Otto Anker Nielsen, Forskningslektor, Ph.D. Institut for Planlægning (IFP) - Trafikstudier, DTU, Bygning, 28 Lyngby Telefon 2 ; Fax 9 2; Email

Læs mere

SUE - RUTEVALGSMODEL MED KRYDSMODELLERING

SUE - RUTEVALGSMODEL MED KRYDSMODELLERING SUE - RUTEVALGSMODEL MED KRYDSMODELLERING Otto Anker Nielsen Institut for Planlægning (IFP), Danmarks Tekniske Universitet (DTU) Bygning 115, 2800 Lyngby Tlf. 45 25 15 14; Fax 45 93 61 11; E-mail onielsen@ivtb.dtu.dk

Læs mere

Henrik Paag, Havnetunnelgruppen / TetraPlan A/S Henrik Nejst Jensen, Vejdirektoratet, Plan- og telematikafdelingen

Henrik Paag, Havnetunnelgruppen / TetraPlan A/S Henrik Nejst Jensen, Vejdirektoratet, Plan- og telematikafdelingen HAVNETUNNEL I KØBENHAVN Henrik Paag, Havnetunnelgruppen / TetraPlan A/S Henrik Nejst Jensen, Vejdirektoratet, Plan- og telematikafdelingen 1. Baggrund og indledning Vejdirektoratet foretager i øjeblikket

Læs mere

2 Teoretisk baggrund for rutevalgsmodeller

2 Teoretisk baggrund for rutevalgsmodeller VEJFORBINDELSE MELLEM LYNGBYVEJ OG GITTERVEJ ET EKSEMPEL PÅ BRAESS PARADOX Otto Anker Nielsen, Professor, oan@ctt.dtu.dk Alex Landex, Civilingeniør, al@ctt.dtu.dk Center for Trafik og Transport (CTT),

Læs mere

Behandling af kollektiv trafik i trafikmodeller

Behandling af kollektiv trafik i trafikmodeller Behandling af kollektiv trafik i trafikmodeller Camilla Riff Brems, Institut for Planlægning, DTU 1 Introduktion En række egenskaber ved det kollektive trafiktilbud adskiller dette fra den individuelle

Læs mere

EN DISKUSSION AF DAGENS BRUG AF TRAFIKMODELLER - TEORI OG EMPIRI

EN DISKUSSION AF DAGENS BRUG AF TRAFIKMODELLER - TEORI OG EMPIRI EN DISKUSSION AF DAGENS BRUG AF TRAFIKMODELLER - TEORI OG EMPIRI Otto Anker Nielsen Instituttet for Veje, Trafik & Byplan (IVTB) Danmarks Tekniske Universitet (DTU) Bygning 115, 2800 Lyngby Telefon 45

Læs mere

EN STOKASTISK FLERKLASSE VEJVALGSMODEL MED FORDELTE KOEFFICIENTER FOR TIDER OG OMKOSTNINGER

EN STOKASTISK FLERKLASSE VEJVALGSMODEL MED FORDELTE KOEFFICIENTER FOR TIDER OG OMKOSTNINGER EN STOKASTISK FLERKLASSE VEJVALGSMODEL MED FORDELTE KOEFFICIENTER FOR TIDER OG OMKOSTNINGER Otto Anker Nielsen. Center for Trafik og Transportforskning, DTU Rasmus Dyhr Frederiksen TetraPlan A/S 1 INDLEDNING

Læs mere

Modellering af multimodale turkæder

Modellering af multimodale turkæder Modellering af multimodale turkæder Af Camilla Riff Brems Med stigende trafikmængder og stadig større udnyttelse af trafiknettenes kapaciteter er der i de seneste år kommet fokus på turkæder, hvor forskellige

Læs mere

ET EKSPERTSYSTEM TIL ETABLERING AF KRYDSDATA

ET EKSPERTSYSTEM TIL ETABLERING AF KRYDSDATA ET EKSPERTSYSTEM TIL ETABLERING AF KRYDSDATA Otto Anker Nielsen Institut for Planlægning (IFP), Danmarks Tekniske Universitet (DTU) Bygning 115, 800 Lyngby Tlf. 45 5 15 14; Fax 45 93 61 11; Email onielsen@ivtb.dtu.dk

Læs mere

ACTUM. Path-baseret dynamisk bil-assignment. Rasmus Dyhr Frederiksen

ACTUM. Path-baseret dynamisk bil-assignment. Rasmus Dyhr Frederiksen ACTUM Path-baseret dynamisk bil-assignment Rasmus Dyhr Frederiksen rdf@rapidis.com Lidt baggrund Modellering af rutevalg for biltrafik Basis: Tur-mønstre (hvorfra, hvortil) Model af vejnet Beskrivelse

Læs mere

Køreplansbaseret rutevalgsmodel og matricer for kollektiv trafik i Landstrafikmodellen v1.1. -Otto Anker Nielsen

Køreplansbaseret rutevalgsmodel og matricer for kollektiv trafik i Landstrafikmodellen v1.1. -Otto Anker Nielsen Køreplansbaseret rutevalgsmodel og matricer for kollektiv trafik i Landstrafikmodellen v1.1 - Overblik Generel baggrund Netværk/køreplan Tællinger Tidsværdier og turformål Kalibrering af modellen Rutevalg

Læs mere

OTM 5 og dens anvendelse til VVM for udbygning af Køge Bugt motorvejen

OTM 5 og dens anvendelse til VVM for udbygning af Køge Bugt motorvejen OTM 5 og dens anvendelse til VVM for udbygning af Køge Bugt motorvejen Af Goran Vuk, Vejdirektoratet, og Henrik Paag, Tetraplan A/S Vejdirektoratet har anvendt trafikmodellen OTM til vurderinger af de

Læs mere

BRUG AF GIS TIL KOMMUNAL TRAFIKPLANLÆGNING OG BESLUTNINGS- STØTTE

BRUG AF GIS TIL KOMMUNAL TRAFIKPLANLÆGNING OG BESLUTNINGS- STØTTE BRUG AF GIS TIL KOMMUNAL TRAFIKPLANLÆGNING OG BESLUTNINGS- STØTTE Otto Anker Nielsen & Claus Rehfeld Jacobsen Instituttet for Veje, Trafik & Byplan (IVTB) Danmarks Tekniske Universitet (DTU) Bygning 115,

Læs mere

Nye turmatricer for Hovedstadsområdet

Nye turmatricer for Hovedstadsområdet Nye turmatricer for Hovedstadsområdet Otto Anker Nielsen, oan@ctt.dtu.dk Christian Overgård Hansen, coh@ctt.dtu.dk (CTT) Disposition Justering af zonestruktur Fremgangsmåde Datagrundlag Justering af bilmatricer

Læs mere

Vejtrængsel hvor, hvornår, hvor meget? Otto Anker Nielsen, Professor

Vejtrængsel hvor, hvornår, hvor meget? Otto Anker Nielsen, Professor Vejtrængsel hvor, hvornår, hvor meget? Otto Anker Nielsen, Professor Sammenhæng mellem hastighed og trafikmængde Stor uforudsigelighed Baggrundsfigur; Kilde Vejdirektoratet og Christian Overgaard Hansen

Læs mere

Rutevalg. - Otto Anker Nielsen

Rutevalg. - Otto Anker Nielsen Rutevalg - Otto Anker Nielsen Overblik Generel sammenhæng med resten af modellen Zonestruktur og modelniveauer Vejvalgsmodellen Kollektiv rutevalg Kort om cykel 2 DTU Transport Landstrafikmodellens struktur

Læs mere

Er trafikanterne tilfredse med ITS på motorveje?

Er trafikanterne tilfredse med ITS på motorveje? Denne artikel er publiceret i det elektroniske tidsskrift Artikler fra Trafikdage på Aalborg Universitet (Proceedings from the Annual Transport Conference at Aalborg University) ISSN 1603-9696 www.trafikdage.dk/artikelarkiv

Læs mere

Landstrafikmodellens struktur

Landstrafikmodellens struktur Landstrafikmodellens struktur Landstrafikmodellen set fra Jylland Onsdag d. 30. maj 2012 Indeni Landstrafikmodellen Efterspørgsel, person Efterspørgsel, gods Forudsætninger Langsigtet efterspørgsel Lokalisering

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte

Læs mere

Accelerations- og decelerationsværdier

Accelerations- og decelerationsværdier Accelerations- og decelerationsværdier for personbiler Baseret på data fra testkørsler med 20 testpersoner Poul Greibe Oktober 2009 Scion-DTU Diplomvej 376 2800 Lyngby www.trafitec.dk Indhold 1. Introduktion...

Læs mere

EN DISKUSSION AF MODELLER FOR TRANSPORTMIDDELVALG

EN DISKUSSION AF MODELLER FOR TRANSPORTMIDDELVALG EN DISKUSSION AF MODELLER FOR TRANSPORTMIDDELVALG Otto Anker Nielsen Instituttet for Planlægning (IFP) Danmarks Tekniske Universitet (DTU) Bygning 115, 2800 Lyngby Telefon 45 25 15 14; Fax 45 93 64 12;

Læs mere

Benefitmodel togpassagerers tidsgevinster ved regularitetsforbedringer

Benefitmodel togpassagerers tidsgevinster ved regularitetsforbedringer Benefitmodel togpassagerers tidsgevinster ved regularitetsforbedringer Trafikplanlægger Jane Ildensborg-Hansen, TetraPlan A/S, København (jih@tetraplan.dk) Indledning Banedanmark arbejder pt. på at tilvejebringe

Læs mere

LTM Vejvalgsmodel. - Otto Anker Nielsen

LTM Vejvalgsmodel. - Otto Anker Nielsen LTM 0.1 - Vejvalgsmodel - Otto Anker Nielsen Aggregeringsniveauer - Zonestruktur, vejnet og zoneophæng 2 DTU Transport Kommuneniveau 98 Zoner 3 DTU Transport Zoneniveau 1 - Strategisk model 176 Zoner 21000

Læs mere

LTM 1.1. Modelkørsler

LTM 1.1. Modelkørsler LTM 1.1 Modelkørsler Stephen Cochrane Januar 2016 Agenda Beregningsgang og konfigurationsmuligheder Start beregninger fra LTM Manager Opret konfigurationer Opret beregningsscenarie (main scenarie) Import

Læs mere

Intelligent signalprioritering for busser og udrykningskøretøjer i Vejle

Intelligent signalprioritering for busser og udrykningskøretøjer i Vejle Denne artikel er publiceret i det elektroniske tidsskrift Artikler fra Trafikdage på Aalborg Universitet (Proceedings from the Annual Transport Conference at Aalborg University) ISSN 1603-9696 www.trafikdage.dk/artikelarkiv

Læs mere

CYKELSUPERSTIER I HOVEDSTADSOMRÅDET - RUTEBESKRIVELSER

CYKELSUPERSTIER I HOVEDSTADSOMRÅDET - RUTEBESKRIVELSER CYKELSUPERSTIER I HOVEDSTADSOMRÅDET - RUTEBESKRIVELSER Voldruten og Søruten De to ruter er behandlet på et mere foreløbigt niveau end de øvrige ruter og det må forventes, at linjeføringerne tages op til

Læs mere

Resultater fra QUO VADIS projektet i Aalborg. 1. Indledning. 2. Baggrund. Vejdirektoratet Trafikinformatikafdelingen

Resultater fra QUO VADIS projektet i Aalborg. 1. Indledning. 2. Baggrund. Vejdirektoratet Trafikinformatikafdelingen Resultater fra QUO VADIS projektet i Aalborg. Vejdirektoratet Trafikinformatikafdelingen Charlotte Vithen Lone Dörge Peter Lund-Sørensen 1. Indledning Dette indlæg beskriver de evalueringsresultater, der

Læs mere

Simuleringsmodel for livsforløb

Simuleringsmodel for livsforløb Simuleringsmodel for livsforløb Implementering af indkomststokastik i modellen 9. november 2009 Sune Sabiers sep@dreammodel.dk Indledning I forbindelse med EPRN projektet Livsforløbsanalyse for karakteristiske

Læs mere

NOTAT. Projekt om rejsetidsvariabilitet

NOTAT. Projekt om rejsetidsvariabilitet NOTAT Dato J. nr. 15. oktober 2015 2015-1850 Projekt om rejsetidsvariabilitet Den stigende mængde trafik på vejene giver mere udbredt trængsel, som medfører dels en stigning i de gennemsnitlige rejsetider,

Læs mere

Landstrafikmodellen. - Otto Anker Nielsen

Landstrafikmodellen. - Otto Anker Nielsen Kollektiv trafik i Landstrafikmodellen - Otto Anker Nielsen Hvorfor en Landstrafikmodel? Forbedret beslutningsgrundlag Samme beslutningsgrundlag Sammenligning af projekter Fokus på projekterne Understøtter

Læs mere

De trafikale effekter af selvkørende biler Christian Juul Würtz, cjw@vd.dk Vejdirektoratet. Abstrakt

De trafikale effekter af selvkørende biler Christian Juul Würtz, cjw@vd.dk Vejdirektoratet. Abstrakt Denne artikel er publiceret i det elektroniske tidsskrift Artikler fra Trafikdage på Aalborg Universitet (Proceedings from the Annual Transport Conference at Aalborg University) ISSN 1603-9696 www.trafikdage.dk/artikelarkiv

Læs mere

Trafikdage på Aalborg Universitet 2014 ISSN 1603-9696 1

Trafikdage på Aalborg Universitet 2014 ISSN 1603-9696 1 Modellering af kø-opstuvning i en statisk rutevalgsmodel Christian Overgård Hansen, COH ApS, coh_aps@mail.dk Dorte Filges, Vejdirektoratet, dorf@vd.dk HenningSørensen, Vejdirektoratet, has@vd.dk Bjarke

Læs mere

Opdatering af model for Hovedstadsregionen

Opdatering af model for Hovedstadsregionen Opdatering af model for Hovedstadsregionen Christian Overgård Hansen Center for Trafik and Transport (CTT), DTU coh@ctt.dtu.dk Trafikdage på AUC 22-23.8.2005 Copyright CTT 2005 Disposition Baggrund Formål

Læs mere

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske

Læs mere

Strategisk planlægning af reinvesteringer i infrastrukturen

Strategisk planlægning af reinvesteringer i infrastrukturen Denne artikel er publiceret i det elektroniske tidsskrift Artikler fra Trafikdage på Aalborg Universitet (Proceedings from the Annual Transport Conference at Aalborg University) ISSN 1603-9696 www.trafikdage.dk/artikelarkiv

Læs mere

Udvikling og vurdering af en dataindsamlingsmetode for rutevalg i kollektiv trafik. Marie K. Larsen, DTU Transport,

Udvikling og vurdering af en dataindsamlingsmetode for rutevalg i kollektiv trafik. Marie K. Larsen, DTU Transport, Udvikling og vurdering af en dataindsamlingsmetode for rutevalg i kollektiv trafik Marie K. Larsen, DTU Transport, mkl@transport.dtu.dk Baggrund Ønske om at få et større indblik i rutevalget i kollektiv

Læs mere

Trafikale effekter af en ny motorvejskorridor i Ring 5

Trafikale effekter af en ny motorvejskorridor i Ring 5 DEPARTEMENTET Dato 8. april 2010 Trafikale effekter af en ny motorvejskorridor i Ring 5 Det fremgår af Aftalen om en grøn transportpolitik af 29. januar 2009, at der skal gennemføres en strategisk analyse

Læs mere

Forbedret fremkommelighed på vejnettet i Hovedstadsområdet? Otto Anker Nielsen, Professor

Forbedret fremkommelighed på vejnettet i Hovedstadsområdet? Otto Anker Nielsen, Professor Forbedret fremkommelighed på vejnettet i Hovedstadsområdet? Otto Anker Nielsen, Professor Årsager til og effekter af trængsel Definition af trængsel Trængsel er et udtryk for trafikanternes nedsatte bevægelsesfrihed

Læs mere

STORT ER POTENTIALET?

STORT ER POTENTIALET? ARBEJDSPLADSLOKALISERING - HVOR Baggrund STORT ER POTENTIALET? - En analyse af pendlertrafik i Frederiksborg Amt Af Civilingeniør Morten Agerlin, Anders Nyvig A/S Blandt de langsigtede midler til påvirkning

Læs mere

Model til fremkommelighedsprognose på veje

Model til fremkommelighedsprognose på veje Model til fremkommelighedsprognose på veje Henning Sørensen, Vejdirektoratet 1. Baggrund Ved trafikinvesteringer og i andre tilfælde hvor fremtidige forhold ønskes kortlagt, gennemføres en trafikprognose

Læs mere

Special session: Hvad er vejtrængsel? En diskussion af hvordan vejtrængsel defineres og opgøres Trafikdage 29. august 2013

Special session: Hvad er vejtrængsel? En diskussion af hvordan vejtrængsel defineres og opgøres Trafikdage 29. august 2013 Special session: Hvad er vejtrængsel? En diskussion af hvordan vejtrængsel defineres og opgøres Trafikdage 29. august 2013 Hvad er vejtrængsel? Formålet med sessionen er at præsentere den nuværende praksis

Læs mere

Maple 11 - Chi-i-anden test

Maple 11 - Chi-i-anden test Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest.

Læs mere

Konfidensintervaller og Hypotesetest

Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller

Læs mere

Introduktion til GLIMMIX

Introduktion til GLIMMIX Introduktion til GLIMMIX Af Jens Dick-Nielsen jens.dick-nielsen@haxholdt-company.com 21.08.2008 Proc GLIMMIX GLIMMIX kan bruges til modeller, hvor de enkelte observationer ikke nødvendigvis er uafhængige.

Læs mere

EN MODEL FOR PASSAGERERS RUTEVALG UNDER HENSYNTAGEN TIL KAPACITETS OG REGULARITETSPROBLEMER

EN MODEL FOR PASSAGERERS RUTEVALG UNDER HENSYNTAGEN TIL KAPACITETS OG REGULARITETSPROBLEMER EN MODEL FOR PASSAGERERS RUTEVALG UNDER HENSYNTAGEN TIL KAPACITETS OG REGULARITETSPROBLEMER Otto Anker Nielsen. Banestyrelsen Rådgivning samt Center for Trafik og Transportforskning (CTT), DTU Goran Jovicic

Læs mere

Serviceniveau for til- og frakørsler på motorveje

Serviceniveau for til- og frakørsler på motorveje Vurdering af beregningsmetode Februar 2006 Poul Greibe Scion-DTU Diplomvej, bygning 376 2800 Kgs. Lyngby www.trafitec.dk Indhold Indledning...3 Baggrund...3 Formål...3 Dataindsamling...4 Trafik- og hastighedsmålinger...4

Læs mere

Passagerforsinkelsesmodellens anvendelighed i samfundsøkonomiske analyser. Mikkel Thorhauge

Passagerforsinkelsesmodellens anvendelighed i samfundsøkonomiske analyser. Mikkel Thorhauge Passagerforsinkelsesmodellens anvendelighed i samfundsøkonomiske analyser Mikkel Thorhauge Dagsorden Formål & problemformulering Kort om passagerforsinkelsesmodellen Problemstillinger vedrørende prissættelse

Læs mere

1. Intoduktion. Undervisningsnoter til Øvelse i Paneldata

1. Intoduktion. Undervisningsnoter til Øvelse i Paneldata 1 Intoduktion Før man springer ud i en øvelse om paneldata og panelmodeller, kan det selvfølgelig være rart at have en fornemmelse af, hvorfor de er så vigtige i moderne mikro-økonometri, og hvorfor de

Læs mere

Landstrafikmodellen i anvendelse. Camilla Riff Brems cab@transport.dtu.dk

Landstrafikmodellen i anvendelse. Camilla Riff Brems cab@transport.dtu.dk Landstrafikmodellen i anvendelse Camilla Riff Brems cab@transport.dtu.dk Landstrafikmodellen i anvendelse Introduktion til Landstrafikmodellen Hvad kan LTM 1.0? Præsentation af delmodeller Andre modeller

Læs mere

Bluetooth detektorer som ny cost efffektiv sensor i vejtrafikken

Bluetooth detektorer som ny cost efffektiv sensor i vejtrafikken Bluetooth detektorer som ny cost efffektiv sensor i vejtrafikken Forfattere: Harry Lahrmann Aalborg Universitet lahrmann@plan.aau.dk Kristian Skoven Pedersen Grontmij-Carl Bro KristianSkoven.Pedersen@grontmij-carlbro.dk

Læs mere

1 Metode og modelgrundlag 1. 3 Prognoseforudsætninger 6. 4 Trafikberegninger 2025 og 2035 8. 5 Trafikarbejde og trafikantbesparelser 17

1 Metode og modelgrundlag 1. 3 Prognoseforudsætninger 6. 4 Trafikberegninger 2025 og 2035 8. 5 Trafikarbejde og trafikantbesparelser 17 VEJDIREKTORATET TRAFIKBEREGNINGER FORUNDERSØGELSE AF RUTE 22 SLAGELSE-NÆSTVED ADRESSE COWI A/S Parallelvej 2 2800 Kongens Lyngby TLF +45 56 40 00 00 FAX +45 56 40 99 99 WWW cowi.dk TEKNISK HOVEDRAPPORT

Læs mere

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009 DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,

Læs mere

Øvelse: Beregningsscenarier i LTM 1.1

Øvelse: Beregningsscenarier i LTM 1.1 24-01-2016 Øvelse: Beregningsscenarier i LTM 1.1 Et beregningsscenarie (Main Scenario) er betegnelsen for en kombination af diverse datascenarier (Sub Scenarios) og en konfiguration (Configurations). Beregningsscenariet

Læs mere

GPS data til undersøgelse af trængsel

GPS data til undersøgelse af trængsel GPS data til undersøgelse af trængsel Ove Andersen Benjamin B. Krogh Kristian Torp Institut for Datalogi, Aalborg Universitet {xcalibur, bkrogh, torp}@cs.aau.dk Introduktion GPS data fra køretøjer er i

Læs mere

Køretider, belastningsgrader og forsinkelser i kryds beregnet ud fra Floating Car Data

Køretider, belastningsgrader og forsinkelser i kryds beregnet ud fra Floating Car Data Køretider, belastningsgrader og forsinkelser i kryds beregnet ud fra Floating Car Data Kristian Torp torp@cs.aau.dk Institut for Datalogi Aalborg Universitet Harry Lahrmann lahrmann@plan.aau.dk Trafikforskningsgruppen

Læs mere

Epidemiologi og Biostatistik Opgaver i Biostatistik Uge 10: 13. april

Epidemiologi og Biostatistik Opgaver i Biostatistik Uge 10: 13. april Århus 8. april 2011 Morten Frydenberg Epidemiologi og Biostatistik Opgaver i Biostatistik Uge 10: 13. april Opgave 1 ( gruppe 1: sp 1-4, gruppe 5: sp 5-9 og gruppe 6: 10-14) I denne opgaveser vi på et

Læs mere

Evaluering af Københavns Amts adaptive styresystem MOTION i Lyngby

Evaluering af Københavns Amts adaptive styresystem MOTION i Lyngby Evaluering af Københavns Amts adaptive styresystem MOTION i Lyngby Københavns Amt har etableret flere områder med adaptiv styring inden for de seneste 3 år, heraf 3-4 områder med MOTION omfattende i alt

Læs mere

To nye S-banespor gennem København. Indledning. Projektforslaget. Linieføring. Af: Civilingeniør, Alex Landex, CTT DTU

To nye S-banespor gennem København. Indledning. Projektforslaget. Linieføring. Af: Civilingeniør, Alex Landex, CTT DTU To nye S-banespor gennem København Af: Civilingeniør, Alex Landex, CTT DTU Indledning Det overordnede kollektive transportnet i hovedstadsområdet er i dag bygget op over S-banen og Metroen. S-banens struktur

Læs mere

Test for strukturelle ændringer i investeringsadfærden

Test for strukturelle ændringer i investeringsadfærden d. 6.10.2016 De Økonomiske Råds Sekretariat Test for strukturelle ændringer i investeringsadfærden Dette notat redegør for de stabilitetstest af forskellige tidsserier vedrørende investeringsadfærden i

Læs mere

Center for Statistik. Multipel regression med laggede responser som forklarende variable

Center for Statistik. Multipel regression med laggede responser som forklarende variable Center for Statistik Handelshøjskolen i København MPAS Tue Tjur November 2006 Multipel regression med laggede responser som forklarende variable Ved en tidsrække forstås i almindelighed et datasæt, der

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

Risikofaktorudviklingen i Danmark fremskrevet til 2020

Risikofaktorudviklingen i Danmark fremskrevet til 2020 23. marts 9 Arbejdsnotat Risikofaktorudviklingen i Danmark fremskrevet til Udarbejdet af Knud Juel og Michael Davidsen Baseret på data fra Sundheds- og sygelighedsundersøgelserne er der ud fra køns- og

Læs mere

Hastighed og uheldsrisiko i kryds

Hastighed og uheldsrisiko i kryds Trafiksikkerhed og Miljø Hastighed og uheldsrisiko i kryds Trafikdage på AUC 1996 Paper af: Civ. ing. Poul Greibe og Civ. ing. Michael Aakjer Nielsen Vejdirektoratet Trafiksikkerhed og Miljø Tel: 33 93

Læs mere

Der er tidligere foretaget en tilsvarende undersøgelse med signalanlæg, og efterfølgende er minirundkørslen undersøgt.

Der er tidligere foretaget en tilsvarende undersøgelse med signalanlæg, og efterfølgende er minirundkørslen undersøgt. NOTAT Projekt Vurdering af minirundkørsel i krydset Dronning Margrethes Vej- -Kapacitetsvurdering med VISSIM-simulering Kunde Roskilde Kommune Notat nr. 01 Dato 2015-09-10 Til Fra Jesper Larsen 1. Indledning

Læs mere

Almen studieforberedelse. 3.g

Almen studieforberedelse. 3.g Almen studieforberedelse 3.g. - 2012 Videnskabsteori De tre forskellige fakulteter Humaniora Samfundsfag Naturvidenskabelige fag Fysik Kemi Naturgeografi Biologi Naturvidenskabsmetoden Definer spørgsmålet

Læs mere

Trængsel er spild af tid

Trængsel er spild af tid Trængsel er spild af tid Michael Knørr Skov Urban Planning and Transport 1 2 Projekt Trængsel Problemformulering Hvad er trængsel og med hvilke parametre kan den opgøres? Hvor stort er trængselsproblemet

Læs mere

Modellering 'State of the future'

Modellering 'State of the future' Modellering 'State of the future' Henrik Madsen DTU Informatics 26. maj, 2011 Baggrund Stigende fokus på sikker drift af afløbssystemer dvs maximal sikkerhed for overløb, slamflugt mv. Målingerne (eksempelvis

Læs mere

Serviceniveau for fodgængere og cyklister

Serviceniveau for fodgængere og cyklister VEJFORUM Serviceniveau for fodgængere og cyklister Trafikanters oplevelser i trafikken er en særdeles væsentlig parameter i trafikpolitik, både lokalt, regionalt og nationalt. I faglige kredse benævnes

Læs mere

Beskrivelse af rejsetiden

Beskrivelse af rejsetiden Forudsigelse af forsinkelse på Helsingørmotorvejen Jens Møller-Pedersen, TetraPlan ApS Vejdirektoratet har etableret et rejsetidsinformationsssystem (RIS) på Helsingørmotorvejen, der permanent døgnet rundt

Læs mere

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1) ; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians

Læs mere

Samfundsøkonomisk vurdering af ITS

Samfundsøkonomisk vurdering af ITS Denne artikel er publiceret i det elektroniske tidsskrift Artikler fra Trafikdage på Aalborg Universitet (Proceedings from the Annual Transport Conference at Aalborg University) ISSN 1603-9696 www.trafikdage.dk/artikelarkiv

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Følsomhedsberegninger - rejsetid og rejseafstand. Region Midtjylland. Teknisk notat. 1 Baggrund. 2 Grundlag for beregninger

Indholdsfortegnelse. Følsomhedsberegninger - rejsetid og rejseafstand. Region Midtjylland. Teknisk notat. 1 Baggrund. 2 Grundlag for beregninger Region Midtjylland Følsomhedsberegninger - og rejseafstand Teknisk notat COWI A/S Cimbrergaarden Thulebakken 34 9000 Aalborg Telefon 99 36 77 00 Telefax 99 36 77 01 www.cowi.dk Indholdsfortegnelse 1 Baggrund

Læs mere

Regionsstruktur á la Hovedstaden i Uffe Kousgaard. Afd. for systemanalyse. Danmarks Miljøundersøgelser

Regionsstruktur á la Hovedstaden i Uffe Kousgaard. Afd. for systemanalyse. Danmarks Miljøundersøgelser Regionsstruktur á la Hovedstaden i 1960 Uffe Kousgaard Afd. for systemanalyse Danmarks Miljøundersøgelser Trafikdage på Aalborg Universitet 2000 357 Regionsstruktur á la Hovedstaden i 1960 Indledning Et

Læs mere

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i

Læs mere

Landstrafikmodellen set fra Jylland. Onsdag d. 30. maj 2012

Landstrafikmodellen set fra Jylland. Onsdag d. 30. maj 2012 Landstrafikmodellen set fra Jylland Onsdag d. 30. maj 2012 Program Introduktion Rammer, versioner, eksempler på anvendelse Datagrundlag Fra dataindsamling til rejsemønstre Pause Modellens struktur Hovedkomponenterne

Læs mere

- projekter i Hovedstadsområdet. Alex Landex, CTT-DTU

- projekter i Hovedstadsområdet. Alex Landex, CTT-DTU Er letbaner en god forretning for samfundet? - projekter i Hovedstadsområdet Alex Landex, CTT-DTU Er letbaner en god forretning for samfundet? 5. oktober 2005 Baggrund udenlandske succeser Letbaner er

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Simulering af passagerforsinkelser på jernbaner

Simulering af passagerforsinkelser på jernbaner Simulering af passagerforsinkelser på jernbaner Alex Landex Otto Anker Nielsen Simulering af passagerforsinkelser på jernbaner Trafikdage 2006 Forskelle på passager og togforsinkelser Antal passagerer

Læs mere

Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne

Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Indledning til statistik, kap 2 i STAT Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne 5. undervisningsuge, onsdag

Læs mere

Bilag 7. SFA-modellen

Bilag 7. SFA-modellen Bilag 7 SFA-modellen November 2016 Bilag 7 Konkurrence- og Forbrugerstyrelsen Forsyningssekretariatet Carl Jacobsens Vej 35 2500 Valby Tlf.: +45 41 71 50 00 E-mail: kfst@kfst.dk Online ISBN 978-87-7029-650-2

Læs mere

Effektivisering af kollektiv trafik i Sankt Petersborg

Effektivisering af kollektiv trafik i Sankt Petersborg Effektivisering af kollektiv trafik i Sankt Petersborg Jan Kragerup, civ. ing., Ph.D., NIRAS Indledning NIRAS med franske Systra som underrådgiver løser for Udenrigsministeriet (Naboskabsprogrammet) en

Læs mere

µ = κ (θ); Kanonisk link, θ = g(µ) Poul Thyregod, 9. maj Specialkursus vid.stat. foraar 2005

µ = κ (θ); Kanonisk link, θ = g(µ) Poul Thyregod, 9. maj Specialkursus vid.stat. foraar 2005 Hierarkiske generaliserede lineære modeller Lee og Nelder, Biometrika (21) 88, pp 987-16 Dagens program: Mandag den 2. maj Hierarkiske generaliserede lineære modeller - Afslutning Hierarkisk generaliseret

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende

Læs mere

Note om Monte Carlo eksperimenter

Note om Monte Carlo eksperimenter Note om Monte Carlo eksperimenter Mette Ejrnæs og Hans Christian Kongsted Økonomisk Institut, Københavns Universitet 9. september 003 Denne note er skrevet til kurset Økonometri på. årsprøve af polit-studiet.

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Ekstremregn i Danmark

Ekstremregn i Danmark Ekstremregn i Danmark Supplement til statistisk bearbejdning af nedbørsdata fra Spildevandskomiteens regnmålersystem 1979-96 Henrik Madsen August 2002 Miljø & Ressourcer DTU Danmark Tekniske Universitet

Læs mere

OVERVURDERES TIDSBENEFIT AF VEJPROJEKTER?

OVERVURDERES TIDSBENEFIT AF VEJPROJEKTER? OVERVURDERES TIDSBENEFIT AF VEJPROJEKTER? Otto Anker Nielsen, Professor, Ph.D. Center for Trafik og Transport (CTT), Danmarks Tekniske Universitet (DTU) Bygning 115, st.tv. Bygningstorvet, 2800 Lyngby

Læs mere

Trafikmodellering* Claus Michelsen & Jan Alexis Nielsen. Syddansk Universitet

Trafikmodellering* Claus Michelsen & Jan Alexis Nielsen. Syddansk Universitet * Trafikmodellering* Claus Michelsen & Jan Alexis Nielsen Syddansk Universitet * Inspireret af Swetz, F. & Hartzler, J. S. (eds) 1991, Yellow Traffic Lights, in Mathematical Modeling in the Secondary School

Læs mere

Udbygning af den kollektive trafik i København

Udbygning af den kollektive trafik i København Denne artikel er publiceret i det elektroniske tidsskrift Artikler fra Trafikdage på Aalborg Universitet (Proceedings from the Annual Transport Conference at Aalborg University) ISSN 1603-9696 www.trafikdage.dk/artikelarkiv

Læs mere

Klasssificering af uheld i forbindelse med sortpletudpegning

Klasssificering af uheld i forbindelse med sortpletudpegning Klasssificering af uheld i forbindelse med sortpletudpegning Bo Grevy Institut for planlægning (IFP) Danmarks Tekniske Universitet (DTU) Bygning 115, 2800 Lyngby : 4525 1546, Fax : 4593 6412, Email : grevy@ivtb.dtu.dk

Læs mere

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet

Læs mere

Byens cykelgade Jernbanegade, Næstved Lárus Ágústsson, laag@cowi.dk COWI A/S

Byens cykelgade Jernbanegade, Næstved Lárus Ágústsson, laag@cowi.dk COWI A/S Denne artikel er publiceret i det elektroniske tidsskrift Artikler fra Trafikdage på Aalborg Universitet (Proceedings from the Annual Transport Conference at Aalborg University) ISSN 1603-9696 www.trafikdage.dk/artikelarkiv

Læs mere

Tidsværdi for gods i Sverige

Tidsværdi for gods i Sverige Tidsværdi for gods i Sverige Mogens Fosgerau 1 og Mikkel Birkeland, COWI 1 Indledning COWI har sammen med INREGIA i Stockholm gennemført en undersøgelse af tidsværdien for gods for SIKA, Statens Institut

Læs mere

NOTAT. Definition af trængsel. Trængselskommissionen CAB

NOTAT. Definition af trængsel. Trængselskommissionen CAB NOTAT Til Trængselskommissionen Vedr. Definition af trængsel Fra DTU Transport 7. oktober 2012 CAB En definition af trængsel skal sikre en ensartet forståelse af, hvad der menes med trængsel, hvad enten

Læs mere

Effekt af blinkende grønne fodgængersignaler

Effekt af blinkende grønne fodgængersignaler Effekt af blinkende grønne fodgængerer Af Bo Mikkelsen Aalborg Kommune Tidl. Danmarks TransportForskning Email: Bmi-teknik@aalborg.dk 1 Baggrund, formål og hypoteser Dette paper omhandler en undersøgelse

Læs mere

Statistiske modeller

Statistiske modeller Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder

Læs mere

Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31

Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Statistisk model: Vi antager at sammenhængen

Læs mere

Gate 21 - Smart mobilitet i Ringbyen Skøn over potentialer for mobilitetsplanlægning omkring letbanen

Gate 21 - Smart mobilitet i Ringbyen Skøn over potentialer for mobilitetsplanlægning omkring letbanen Gate 21 - Smart mobilitet i Ringbyen Skøn over potentialer for mobilitetsplanlægning omkring letbanen... 1 Indledning Gate 21 har udarbejdet en projektskitse: Smart mobilitet i Ringbyen, til et tværgående

Læs mere

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Læs mere om nye titler fra Academica på www.academica.dk Nikolaj Malchow-Møller og Allan H. Würtz Indblik i statistik for samfundsvidenskab Academica Indblik

Læs mere