Projektopgave til Mat2SS. Espen Højsgaard (CPR xxxx) Rune Højsgaard (CPR xxxx)
|
|
|
- Lasse Mikkelsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Projektopgave til MatSS Espen Højsgaard (CPR xxxx) Rune Højsgaard (CPR xxxx) 1
2 1 Samme sandsynlighed for drengefødsel Vi har som udgangspunkt for løsning af opgaven brugt følgende tabeller, der giver et overblik over udfaldsrummet, de tilsvarende punktsandsynligheder samt de stokastiske variable N og D. Vi har brugt et nedsænket bogstav til at angive hvilken af de to strategier der er tale om (f.eks. D a ). I beskrivelsen af udfaldsrummet betegner 1 en dreng, mens 0 betegner en pige. E a p a N a D a 01 p(1 p) 1 10 p(1 p) p(1 p) p (1 p) p(1 p) p 3 (1 p) (1 p) p E b p b N b D b 1 p p(1 p) p(1 p) p(1 p) (1 p) Fordelingen af N Fordelingen af N findes ud fra ovenstående tabeller og vi får P (N a = ) = p(1 p) + p(1 p) = p p P (N a = 3) = p(1 p) + p (1 p) = p p P (N a = 4) = p(1 p) 3 + p 3 (1 p) + (1 p) 4 + p 4 = 1 3p + 3p P (N b = 1) = p P (N b = ) = p(1 p) P (N b = 3) = p(1 p) P (N b = 4) = p(1 p) 3 + (1 p) 4 1. Fordelingen af D Fordelingen af D fås på tilsvarende måde til
3 P (D a = 0) = (1 p) 4 P (D a = 1) = p(1 p) + p(1 p) + p(1 p) + p(1 p) 3 P (D a = ) = p (1 p) P (D a = 3) = p 3 (1 p) P (D a = 4) = p 4 P (D b = 0) = (1 p) 4 P (D b = 1) = p + p(1 p) + p(1 p) + p(1 p) Sandsynligheden for kun at få drenge Sandsynlighederne for hændelsen, som vi betegner A er for de to strategier a) P (A) = p 4 b) P (A) = p 1.4 Sandsynligheden for kun at få piger Sandsynlighederne for hændelsen, som vi betegner A, er for begge strategier P (A) = (1 p) Sandsynligheden for en pige givet to drenge Spørgsmålet er kun relevant for strategi a. Vi betegner hændelsen at de første to børn er drenge med A Sandsynligheden for A er jf. 1.. i [] A = {110, 1110, 1111} P (A) = p(110) + p(1110) + p(1111) = p (1 p) + p 3 (1 p) + p 4 = p Hændelsen at det tredje barn er en pige betegner vi med B Fællesmængden for de to hændelser er B = {110, 0001, 0000} A B = {110} 3
4 og sandsynligheden for denne hændelse er P (A B) = p (1 p) Definition i [] giver os så, at sandsynligheden for at tredje barn er en pige givet at de første to er drenge er P (B A) = P (A B) P (A) = p (1 p) p = 1 p 1.6 Sandsynligheden for mindst en pige givet mindst to drenge Spørgsmålet er kun relevant for strategi a. Vi betegner hændelsen at familien har mindst to drenge med A A = {110, 1110, 1111} der er identisk med hændelsen A fra sidste spørgsmål og vi har derfor P (A) = p. Hændelsen at familien har mindst en pige kalder vi B Fællesmængden for de to hændelser er og sandsynligheden for denne hændelse er B = {01, 10, 001, 110, 0001, 1110, 0000} A B = {110, 1110} P (A B) = p (1 p) + p 3 (1 p) = p p 4 Definition i [] giver os så, at sandsynligheden for at familien har mindst en pige givet at den har to drenge er P (B A) = 1.7 Middelværdien af N P (A B) P (A) = p p 4 p = 1 p Jf. definition i MS er middelværdien af N a og N b henholdsvis EN a = p(1 p) + p(1 p) + 3p(1 p) + 3p (1 p) +4p(1 p) 3 + 4p 3 (1 p) + 4(1 p) 4 + 4p 4 = 4 5p + 5p og EN b = p + p(1 p) + 3p(1 p) + 4p(1 p) 3 + 4(1 p) 4 = 4 6p + 4p p 3 4
5 1.8 Middelværdien af D Jf. definition i MS er middelværdien af D a og D b henholdsvis ED a = p(1 p) + p(1 p) + p(1 p) + p (1 p) + p(1 p) 3 + 3p 3 (1 p) + 4p 4 = 4p 5p + 5p 3 og ED b = p + p(1 p) + p(1 p) + p(1 p) 3 = 4p 6p + 4p 3 p Forholdet mellem ED og EN Fra de to foregående spørgsmål har vi ED og EN for begge strategier og forholdet ED EN for de strategier er a) b) ED a EN a = 4p 5p + 5p 3 4 5p 5p = p ED b EN b = 4p 6p + 4p 3 p 4 4 6p + 4p p 3 = p Varierende sandsynlighed for drengefødsel.1 Sandsynligheden for en dreng for en tilfældig kvinde Vi lader t i betegne en kvinde med sandsynligheden p i for at få en dreng for i = 1,. Endvidere betegner vi en dreng med 1 og en pige med 0. Udfaldsrummet er E = {t 1, t } {1, 0} Med K i betegner vi den hændelse at vi vælger en kvinde af type t i K i = {t i } {1, 0} for i = 1,. Med D betegner vi hændelsen at barnet er en dreng. Vi har fra modellen sandsynligheden for at vælge en kvinde af type t i samt denne type kvinders sandsynlighed for at få en dreng P (K 1 ) = r P (D K 1 ) = p 1 P (K ) = 1 r P (D K ) = p Sætning i [] giver os sandsynligheden for hændelsen D P (D) = P (D K 1 )P (K 1 ) + P (D K )P (K ) = p 1 r + p (1 r) 5
6 . Sandsynligheden for n børn Resultaterne fra spørgsmål (fordelingen af N b ) giver os følgende P (N b = 1 K i ) = p i P (N b = K i ) = p i (1 p i ) P (N b = 3 K i ) = p i (1 p i ) P (N b = 4 K i ) = p i (1 p i ) 3 + (1 p i ) 4 for i = 1,. Ved at bruge sætning i [] som i sidste opgave fås P (N b = 1) = p 1 r + p (1 r) P (N b = ) = p 1 (1 p 1 )r + p (1 p )(1 r) P (N b = 3) = p 1 (1 p 1 ) r + p (1 p ) (1 r) P (N b = 4) = (p 1 (1 p 1 ) 3 + (1 p 1 ) 4 )r + (p (1 p ) 3 + (1 p ) 4 )(1 r).3 Middelværdi for N og D Resultaterne fra opgave 8 og 9 giver os svaret E(N b ) = (4 6p 1 + 4p 1 p 3 1)r + (4 6p + 4p p 3 )(1 r) E(D b ) = (4p 1 6p 1 + 4p 3 1 p 4 1)r + (4p 6p + 4p 3 p 4 )(1 r).4 Sandsynlighed for dreng givet to piger Med A betegner vi hændelsen at de to første børn er piger A = {001, 0001, 0000} Fra opgave 1 har vi at sandsynligheden for A, forudsat at kvindetypen er kendt, er P (A K i ) = p i (1 p i ) + p i (1 p i ) 3 + (1 p i ) 4 = (1 p i ) for i = 1,. Sætning i [] giver os da P (A) = (1 p 1 ) r + (1 p ) (1 r) = (1 p 1) + (1 p ) hvor sidste lighedstegn gælder, da r = 1. Vi lader B betegne hændelsen at tredje barn er en dreng B = {001} 6
7 Fællesmængden for de to hændelser er A B = {001}. Opgave 1 giver os P (A B K i ) = p i (1 p i ) Ved igen at bruge sætning fra [] samt at r = 1 fås P (A B) = p 1(1 p 1 ) + p (1 p ) Jf. definition i [] er sandsynligheden for at tredje barn er en dreng forudsat at de foregående er piger så P (B A) = P (A B) P (A) = p 1(1 p 1 ) + p (1 p ) (1 p 1 ) + (1 p ).5 Opgave 15 Sandsynligheden for at få en dreng ved første fødsel når r = 1 11 p 1+p. Vi skal vise, at der for p 1 p gælder er ifølge resultatet fra opgave p 1 (1 p 1 ) + p (1 p ) < p 1 + p (1 p 1 ) + (1 p ) Vi omskriver uligheden p 1 (1 p 1 ) +p (1 p ) (1 p 1 ) +(1 p < p 1+p ) p 1 (1 p 1 ) + p (1 p ) < (p 1 + p )((1 p 1 ) + (1 p ) ) p 1 (1 p 1 ) + p (1 p ) < p 1 (1 p ) + p (1 p 1 ) (p 1 p )(1 p 1 ) < (p 1 p )(1 p ) Vi deler op for p 1 > p og p 1 < p : p 1 > p : Vi har p 1 p > 0 og vi kan derved omskrive uligheden videre til (1 p 1 ) < (1 p ) 1 p 1 < 1 p 1 p 1 < 1 p p < p 1 da vi har p i ]0, 1[ 1 p i > 0 for i = 1,. Sidste ulighed er forudsat sandt og den indledende ulighed er altså sand for p 1 > p. 7
8 p 1 < p : Vi har p 1 p < 0 og analogt til foregående tilfælde fås (1 p 1 ) > (1 p ) 1 p 1 > 1 p 1 p 1 > 1 p p > p 1 Altså er p 1(1 p 1 ) +p (1 p ) (1 p 1 ) +(1 p ) < p 1+p for p 1 p. 3 Trebørnsmødre Vores udgangshypotese er at forældre gerne vil have et barn af hver køn. Vi vil teste hypotesen ved at først undersøge om kvinder med tre børn af samme køn har samme tilbøjelighed til at få endnu et barn uanset om de tidligere børn var piger eller drenge. Er det tilfældet tester vi om også kvinder med børn af forskelligt køn har samme sandsynlighed for at få et barn til. Da vi i vores test ikke er interesserede i at differenciere mellem kvinder med piger og 1 dreng og kvinder med 1 pige og drenge, og da tilbøjeligheden til at få endnu et barn for disse to grupper kvinder er meget ens ( = 0.94 og = 0.93) vil vi betragte dem som en gruppe. Vi anvender samme notation som i eksempel 5.4. i [1]: n ppp, n ddd og n pd betegner antallet af familier med henholdsvis tre piger, tre drenge og en af hver. x ppp, x ddd og x pd er antallet af familier med den givne børnekombination, der har fået endnu et barn. Vi betragter den statistiske model hvor ( {0,..., n ppp } {0,..., n ddd } {0,..., n pd }, ( ) P (pppp,pddd,p pd ) )(p ppp,pddd,ppd ) [0,1] 3 P (pppp,p ddd,p pd ) (X ppp = x ppp, X ddd = x ddd, X pd = x pd ) = j=ppp,ddd,pd ( nj ) p j (1 p j) (n j ) Hypoteserne bliver H 1 : p ppp = p ddd = p [0, 1], p pd [0, 1] H : p pd = p [0, 1] Under modellen varierer de tre sandsynlighedsvektorer frit og likelihoodfunktione bliver L :{0,..., n ppp } {0,..., n ddd } {0,..., n pd } [0, 1] 3 [0, 1] ( ) nj L(x, (p ppp, p ddd, p pd )) = p j (1 p j) (n j ) j=ppp,ddd,pd 8
9 Maksimaliseringsestimatorerne bliver efter sætning 5..1(a) i [1] (ˆp ppp, ˆp ddd, ˆp pd ) = ( x ppp n ppp, x ddd n ddd, x pd n pd ) = (0.39, 0.316, 0.93) Under H 1 bliver likelihoodfunktionen L :{0,..., n ppp } {0,..., n ddd } {0,..., n pd } [0, 1] [0, 1] L(x, (p, p pd )) = ( ) ( ) nj p (1 p) (n npd j ) p x pd pd (1 p pd ) (n pd x pd ) j=ppp,ddd og maksimaliseringsestimatorerne er jf. 5..1(a) i [1] x pd (ˆp, ˆp pd ) = ( x ppp + x ddd n ppp + n ddd, x pd n pd ) = (0.3, 0.93) Kvotientstørrelserne Q 1 (x) for test af H 1 mod M bliver Q 1 (x) = = = L(x, (ˆp, ˆp pd )) L(x, (ˆp ppp, ˆp ddd, ˆp pd )) j=ppp,ddd ( nj x )ˆp j (1 ˆp) (n j ) (n pd x x pd )ˆp pd pd (1 ˆp pd ) (n pd x pd ) ( nj x j=ppp,ddd,pd )ˆp j j (1 ˆp j) (n j ) j=ppp,ddd ˆp (1 ˆp) (n j ) j=ppp,ddd ˆp j (1 ˆp j) (n j ) da estimatet for ˆp pd er det samme under model og hypotese. Idsættes tallene fra tabellen fås log Q 1 (x) = 4.46 Da dimθ=dim[0, 1] 3 = 3 og dimθ 1 =dim[0, 1] = kan log Q 1 vurderes i en χ -fordeling med én frihedsgrad idet antallene klart er store nok til at bruge approksimationen i sætning Den approksimative testsandsynlighed er ɛ 1 (x) 1 F χ 1 (4.46) = Tester udviser signifikans på 5%-niveau, men ikke voldsomt og vi mener derfor at det alligevel har mening at teste den anden hypotese. Under H er likelihoodfunktionen L :{0,..., n ppp } {0,..., n ddd } {0,..., n pd } [0, 1] [0, 1] ( ) nj L(x, p) = p (1 p) (n j ) j=ppp,ddd,pd 9
10 og fordelingernes fælles p estimeres til p = x ppp + x ddd + x pd n ppp + n ddd + n pd = Kvotientstørrelserne for vurdering af H mod H 1 bliver Q (x) = = = L(x, p) L(x, (ˆp, ˆp pd )) ( nj x j=ppp,ddd,pd ) p j (1 p) (n j ) ( nj j=ppp,ddd )ˆp (1 ˆp) (n j ) (n pd x x pd )ˆp pd pd (1 ˆp pd ) (n pd x pd ) p (x ppp+x ddd +x pd ) (1 p) (n ppp+n ddd +n pd x ppp x ddd x pd ) ˆp (x ppp+x ddd) (1 ˆp) (n ppp+n ddd x ppp x ddd)ˆp x pd pd (1 ˆp pd ) (n pd x pd ) Ved indsættelse af tallene fra tabellen fås log Q (x) = der kan vurderes i en χ -fordeling med én frihedsgrad da dimθ 1 =dim[0, 1] = og dimθ =dim[0, 1] = 1. Testet giver voldsom signifikans og hypotesen forkastes. Vores udgangshypotese kan altså godkendes på 3.5%-niveau. 10
11 4 Litteratur [1] Inge Henningsen. Statistik for Matematikere. Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik, Københavns Universitet, 4. udgave, 003. [] Michael Sørensen. En Introduktion til Sandsynlighedsregning. Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik, Københavns Universitet, 4. udgave,
Kønsproportion og familiemønstre.
Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Projektopgave forår 2005 Kønsproportion og familiemønstre. Matematik 2SS Inge Henningsen februar 2005 Indledning I denne opgave undersøges,
Tidlige eksempler. Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning Repetition Statistik Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne New England Journal of Medicine gav i 2000 et
Mat2SS Vejledende besvarelse uge 11
MatSS Vejledende besvarelse uge Eksamen V99/00 opg. a Kønsfordelingen 996 den samme for de tre skoler Mænd Kvinder I alt København 5 = n x 56 = x 8 = n Odense 9 = n x 06 = x 5 = n Århus 0 = n x 40 = x
Statistik og Sandsynlighedsregning 1. IH kapitel 6
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 IH kapitel 6 Overheads til forelæsninger. Uge 41/2005 1 Test i Polynomialfordelingen Forsøg: n uafhængige gentagelse af forsøg med m udfald. Vi observerer x = x 1,...,
Estimation og konfidensintervaller
Statistik og Sandsynlighedsregning STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Estimation og konfidensintervaller Antag X Bin(n,
Vejledende besvarelse af eksamen i Statistik for biokemikere, blok
Opgave 1 Vejledende besvarelse af eksamen i Statistik for biokemikere, blok 2 2006 Inge Henningsen og Niels Richard Hansen Analysevariablen i denne opgave er variablen forskel, der for hver af 10 kvinder
Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne 7. undervisningsuge, mandag 1 Estimation og konfidensintervaller
Overheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ.
Statistiske modeller (Definitioner) Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 0 og En observation er en vektor af tal x (x,..., x n ) E, der repræsenterer udfaldet af et (eller flere) eksperimenter.
Statistik i basketball
En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større
Hvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Trin 1: Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Nanostatistik: Opgavebesvarelser
Nanostatistik: Opgavebesvarelser JLJ Nanostatistik: Opgavebesvarelser p. 1/16 Pakkemaskine En producent hævder at poserne indeholder i gennemsnit 16 ounces sukker. Data: 10 pakker sukker: 16.1, 15.8, 15.8,
Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.
Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller
Lineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt
Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program
Dagens program Afsnit 1.7-1.8 Fødselsdagseksemplet, fra sidst Eksperimenterikkealleerligesandsynlige Diskrete sandsynlighedsfordelinger -Definition af sandsynligheder - Regneregler Hvad er sandsynligheder?
Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test]
![Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test]](/thumbs/54/33241327.jpg "Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test]")
Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination af
Kvantitative metoder 2
Program for i dag: Kvantitative metoder Beskrivende statistik og analyse af kvalitatitive data 1. februar 007 Test i multinomialfordelingen: Q-testet (BL.13.1-) Opsamling fra sidste gang To eksempler To-dimensionale
I dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik SaSt) Helle Sørensen Først lidt om de sidste uger af SaSt. Derefter statistisk analyse af en enkelt
Løsning til eksaminen d. 14. december 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,
Løsning eksamen d. 15. december 2008
Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Kvantitative metoder 2
Kvantitative metoder 2 Beskrivende statistik og analyse af kvalitatitive data 12. februar 2007 Kvantitative metoder 2: F3 1 Program for i dag: Test i multinomialfordelingen: Q-testet (BL.13.1-2) Opsamling
MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 4 Statistik & sandsynlighedsregning 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver
Konfidensintervaller og Hypotesetest
Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller
Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler
Dagens program Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler 1 Sandsynlighedsmodel Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Eksperiment
Dagens program. Afsnit Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder
Dagens program Afsnit 2.1-2.3 Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder 1 Stokastiske variable (diskrete) Et eksperiment med usikkerhed beskrives
Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok
Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok 2 2007. Vejledende besvarelse 22-01-2007, Niels Richard Hansen Bemærkning: Flere steder er der givet en argumentation (f.eks. baseret på konfidensintervaller)
Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression
Statikstik II 2. Lektion Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Sandsynlighedsregningsrepetition Antag at Svar kan være Ja og Nej. Sandsynligheden for at Svar Ja skrives
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2013 Roskilde
Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader
Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af
Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 MS kapitel 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Definition 3.2.1 Lad X 1, X 2,..., X n være uafhængige
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete
Statistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingens venner og bekendte Helle Sørensen Uge 9, onsdag SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 1 / 20 Program Resultaterne fra denne uge skal bruges
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
En Introduktion til SAS. Kapitel 5.
En Introduktion til SAS. Kapitel 5. Inge Henningsen Afdeling for Statistik og Operationsanalyse Københavns Universitet Marts 2005 6. udgave Kapitel 5 T-test og PROC UNIVARIATE 5.1 Indledning Dette kapitel
2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900.
2 -fordeling og 2 -test Generelt om 2 -fordelingen 2 -fordelingen er en kontinuert fordeling, modsat binomialfordelingen som er en diskret fordeling. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 0. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6. og 6. Betingede diskrete
Ikke-parametriske metoder. Repetition Wilcoxon Signed-Rank Test Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test
Ikkeparametriske metoder Repetition Wilcoxon SignedRank Test KruskalWallis Test Friedman Test Chiianden Test Run Test Er sekvensen opstået tilfældigt? PPPKKKPPPKKKPPKKKPPP Et run er en sekvens af ens elementer,
c) For, er, hvorefter. Forklar.
1 af 13 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 7 ØVELSER ØVELSE 1 c) ØVELSE 2 og. Forklar. c) For, er, hvorefter. Forklar. ØVELSE 3 c) ØVELSE 4 90 % konfidensinterval: 99 % konfidensinterval:
Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Normalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ
Normalfordelingen Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2 2πσ 2 σ 2 Frekvensen af observationer i intervallet
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1TS Teoretisk statistik Den skriftlige prøve Sommer 2005 3 timer - alle hjælpemidler tilladt Det er tilladt at skrive
Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Sandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 14. September, 2007 Betinget sandsynlighed ud fra proportioner Vi husker på definitionen IP(A B) = IP(A B). IP(B) Betragt en befolkning bestående af N personer.
Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:
SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve
Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Kapitel 12 Variansanalyse
Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 / 43 Indledning Sammenligning af middelværdien i to grupper indenfor en stikprøve kan
For nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.
1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer
Rettevejledning til eksamen i Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 2. januar 2007
Rettevejledning til eksamen i Kvantitative metoder 1,. årsprøve. januar 007 I rettevejledningen henvises der til Berry and Lindgren "Statistics Theory and methods"(b&l) hvis ikke andet er nævnt. Opgave
Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Estimation: Kapitel 9.7-9.10 Estimationsmetoder kap 9.10 Momentestimation Maximum likelihood estimation Test Hypoteser kap. 10.1 Testprocedure kap 10.2 Teststørrelsen Testsandsynlighed 1
Statistik II 1. Lektion. Analyse af kontingenstabeller
Statistik II 1. Lektion Analyse af kontingenstabeller Kursusbeskrivelse Omfang 5 kursusgange (forelæsning + opgaveregning) 5 kursusgange (mini-projekt) Emner Analyse af kontingenstabeller Logistisk regression
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Skriftlig eksamen Science statistik- ST501
SYDDANSK UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 Torsdag den 21. januar Opgavesættet består af 5 opgaver, med i alt 13 delspørgsmål, som vægtes ligeligt.
Teoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger
Uge 49 I Teoretisk Statistik, 2. december 2003 Sammenligning af poissonfordelinger o Generel teori o Sammenligning af to poissonfordelinger o Eksempel Opsummering om multinomialfordelinger Fishers eksakte
Matematik 3 SS. Københavns Universitet Naturvidenskabelig kandidateksamen, sommeren Opgaver til besvarelse i 3 timer fredag den 18. juni 1993.
Københavns Universitet Opgaver til besvarelse i 3 timer fredag den 18. juni 1993. Opgave 1 (50%) Det bemærkes, at en række af nedenstående spørgsmål kan besvares uafuængigt af de Øvrige spørgsmål (resultaterne,
Statistik Lektion 20 Ikke-parametriske metoder. Repetition Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test
Statistik Lektion 0 Ikkeparametriske metoder Repetition KruskalWallis Test Friedman Test Chiianden Test Run Test Er sekvensen opstået tilfældigt? PPPKKKPPPKKKPPKKKPPP Et run er en sekvens af ens elementer,
Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:
Uge 43 I Teoretisk Statistik, 21. oktober Forudsigelser
Uge 43 I Teoretisk Statistik,. oktober 3 Simpel lineær regressionsanalyse Forudsigelser Fortolkning af regressionsmodellen Ekstreme observationer Transformationer Sammenligning af to regressionslinier
Uge 48 II Teoretisk Statistik 27. november 2003. Numerisk modelkontrol af diskrete fordelinger: intro
Uge 48 II Teoretisk Statistik 7. november 003 Numerisk modelkontrol af diskrete fordelinger: intro Eksempel: kvalitetskontrol Goodness-of-fit test: generel teori Endeligt udfaldsrum Udfaldsrum uden øvre
4 Oversigt over kapitel 4
IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt
Personlig stemmeafgivning
Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt
Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb.
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 16/17 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer e-mailadresse Handelsgymnasiet Ribe HHX Matematik
Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Tirsdag den 8. juni 2010 kl
Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Tirsdag den 8. juni 2010 kl. 9.00 12.00 IMADA Syddansk Universitet Alle skriftlige hjælpemidler samt brug af lommeregner er tilladt. Opgavesættet består af 5
Om hypoteseprøvning (1)
E6 efterår 1999 Notat 16 Jørgen Larsen 11. november 1999 Om hypoteseprøvning 1) Det grundlæggende problem kan generelt formuleres sådan: Man har en statistisk model parametriseret med en parameter θ Ω;
Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program
Dagens program Hypoteser: kap: 10.1-10.2 Eksempler på Maximum likelihood analyser kap 9.10 Test Hypoteser kap. 10.1 Testprocedure kap 10.2 Teststørrelsen Testsandsynlighed 1 Estimationsmetoder Kvantitative
Statistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge 1 Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange
Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1TS Teoretisk statistik Den skriftlige prøve Sommer 2002 3 timer - alle hjælpemidler tilladt Det er tilladt at skrive
Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test]
![Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test]](/thumbs/30/14715329.jpg "Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test]")
Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test] 1 Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination
Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Praktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser
Uge 36 Velkommen tilbage Praktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl. -2 i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser Hold -4 og 6: mandag og onsdag kl. 8-; start 3. september Hold 5: tirsdag
Nanostatistik: Konfidensinterval
Nanostatistik: Konfidensinterval JLJ Nanostatistik: Konfidensinterval p. 1/37 Fraktilpåmindelse u p : Φ(u p ) = p, Φ( z ) = 1 Φ( z ) t p [f] : F t[f] (t p [f]) = p, F t[f] ( t ) = 1 F t[f] ( t ) F-fordeling:
Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet
Random Walk-kursus 2014 Jørgen Larsen 14. oktober 2014 Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Dette notat giver et bevis for at en symmetrisk random walk på Z eller Z 2 og
Statistik II Lektion 3. Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable
Statistik II Lektion 3 Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable Setup: To binære variable X og Y. Statistisk model: Konsekvens: Logistisk regression: 2 binære var. e e X Y P
Statistik II 1. Lektion. Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller
Statistik II 1. Lektion Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller Kursusbeskrivelse Omfang 5 kursusgange (forelæsning + opgaveregning) 5 kursusgange (mini-projekt) Emner Analyse af kontingenstabeller
Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)
; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians
Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
At træffe sine valg i en usikker verden - eller den statistiske modellerings rolle.
At træffe sine valg i en usikker verden - eller den statistiske modellerings rolle. Af E. Susanne Christensen. Lektor i statistik. Institut for Matematiske Fag. Aalborg Universitet. I mange tilfælde og
Normalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2
Normalfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige fejl på
Et statistisk test er en konfrontation af virkelighenden (data) med en teori (model).
Hypotesetests, fejltyper og p-værdier og er den nu også det? Søren Højsgaard Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet (updated: 2019-03-17) 1 / 40 Statistisk test Et statistisk test er en konfrontation
Kapitel 12 Variansanalyse
Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 Indledning 2 Ensidet variansanalyse 3 Blokforsøg 4 Vekselvirkning 1 Indledning 2 Ensidet
Nanostatistik: Test af hypotese
Nanostatistik: Test af hypotese JLJ Nanostatistik: Test af hypotese p. 1/50 Repetition n uafhængige gentagne målinger: Fordelingsundersøgelse: Pindediagram / Histogram qq-plot Parameter: egenskab ved fordeling
StatDataN: Test af hypotese
StatDataN: Test af hypotese JLJ StatDataN: Test af hypotese p. 1/69 Repetition n uafhængige gentagne målinger: Fordelingsundersøgelse: Pindediagram / Histogram qq-plot Parameter: egenskab ved fordeling
Ensidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2011/2012 Institution Silkeborg Handelsskole/Handelsskolen Silkeborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold
Normale tal. Outline. Hvad er tilfældighed? Uafhængighed. Matematiklærerdag Simon Kristensen. Aarhus Universitet, 24/03/2017
Matematiklærerdag 2017 Institut for Matematik Aarhus Universitet Aarhus Universitet, 24/03/2017 Outline 1 2 3 Hvad er tilfældighed? I statistik, sandsynlighedsteori og ikke mindst i programmering er det
Statistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Helle Sørensen Uge 6, mandag SaSt2 (Uge 6, mandag) Tætheder og kont. fordelinger 1 / 19 Program Velkommen I dag:
Fagplan for statistik, efteråret 2015
Side 1 af 7 M Fagplan for statistik, efteråret 20 Litteratur Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø (HK): Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave, ISBN 9788741256047 HypoStat
02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI)
02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI) Spørgsmål 4. En ejendomsmægler ønsker at undersøge om hans kunder får mindre end hvad de har forlangt, når de sælger deres bolig. Han har regisreret følgende:
Statistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var.
Statistik Lektion Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Repetition Stikprøve Stikprøvestørrelse n Stikprøvemiddelværdi Stikprøvevarians s Population
n r x rs x r = 1 n r s=1 (x rs x r ) 2, s=1
(a) Denne opgave bygger på resultaterne fra 2 forsøg med epo-behandling af for tidligt fødte børn, idet gruppe 1 og 3 stammer fra første forsøg, mens gruppe 2 og 4 stammer fra det andet. Det må antages,
Preben Blæsild og Jens Ledet Jensen
χ 2 Test Preben Blæsild og Jens Ledet Jensen Institut for Matematisk Fag Aarhus Universitet Egå Gymnasium, December 2010 Program 8.15-10.00 Forelæsning 10.15-12.00 Statlab: I arbejder, vi cirkler rundt
17. december 2015 RLI STATISTISK ANALYSE AF BESTANDSDØDELIGHEDEN I LÆGERNES PENSIONSKASSE Denne rapport indeholder en analyse af bestandsdødeligheden i Lægernes Pensionskasse. Det undersøges om dødeligheden
Modelselektion Permeabilitet Permeabilitet Permeabilitet
Modelselektion Permeabilitet Vi vil ud fra et eksempel diskutere de uhyggelige effekter af test-baseret modelselektion. Hvor lang tid er vand om at trænge igennem nyfremstillede byggeplader. Dag Dag Dag
Landmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Statistiske modeller
Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder
Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19
Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 For test med signifikansniveau α: p < α forkast H 0 2/19 p-værdi Betragt tilfældet med test for H 0 : µ = µ 0 (σ kendt). Idé: jo større
Test nr. 6 af centrale elementer 02402
QuizComposer 2001- Olaf Kayser & Gunnar Mohr Contact: admin@quizcomposer.dk Main site: www.quizcomposer.dk Test nr. 6 af centrale elementer 02402 Denne quiz angår forståelse af centrale elementer i kursus
Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen