Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE..."

Transkript

1 MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04

2 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE GRADSLIGNINGEN GRADSLIGNINGEN ALTERNATIVT EVIS... TOPPUNKTSFORMLEN... 4 RUMFANG AF PYRAMIDESTU... 6 SKALARPRODUKT OG VINKEL MELLEM VEKTORER... DEN RETTE LINIE... 7 EKSPONENTIALFUNKTIONEN AREALEREGNING AF N-SIDET POLYGON VED RUG AF DETERMINANT... 34

3 Michel Mndi (00) Vinkelsummen i en treknt = 80 Side 3 f 35 En treknts vinkelsum Vi ønsker t bevise, t vinkelsummen i en treknt ltså værdierne f de tre vinkler lgt smmen er 80. Eller mtemtisk skrevet: vi v v v i Dette kn ses f nedenstående figur. Husk t en fuld cirkel er defineret som 360, og derfor er vinklen i en hlvcirkel f.eks. fr det derste punkt til højre på cirklen og det derste punkt til venstre lig med 80, d mn i udgngspunktet står i cirklens centrum. Med ndre ord: Hvis mn står på en ret linie, så er der to retninger mn kn følge linien. Enten den ene eller den nden vej. Og vinklen mellem de to retninger som er modst rettede er 80. b c A c C Idet vi tegner linien gennem pkt., som er prllel med linien AC, ser vi, d vi ved t to modst rettede retninger hr vinklen 80, t: b c 80 Smtidig ved vi, t: og c c Ved simpel substitution, fås t: 3 i V V V V b c 80, i 3 hvorved sætningen er bevist! Q.E.D.

4 Michel Mndi (009) Pthgors Læresætning Side 4 f 35 Pthgors Læresætning Vi ønsker t bevise grundformlen: c b! Det ses umiddelbrt t relet f det inderste kvdrt er lig med: A c LilleKvdrt Ligeledes hr vi relet f det store kvdrt: Stor Kvdrt A b Kvdrtsætningerne AStor Kvdrt b b Der er fire treknter. En i hvert hjørne. Arelet f en enkelt treknt beregnes som: ATreknt Højde Grundlinie A Treknt b Men der er jo som sgt fire treknter, og deres smlede rel er: AAlleTreknter 4 b A AlleTreknter b Så relet f det lille kvdrt kn vel også skrives som relet f det store kvdrt minus relet f de fire treknter. Tænk blot på, t tegne det store kvdrt og klippe de fire små treknter fr. Tilbge sidder mn med det lille kvdrt. A A A LilleKvdrt StorKvdrt AlleTreknter ALilleKvdrt b b A b LilleKvdrt b Nu hr vi fundet ud f, t relet f det lille kvdrt er lig med f det lille kvdrt er lig med b. c, men vi hr også fundet ud f, t relet D det er det smme kvdrt er c b Q.E.D. Husk, t Pthgors Læresætning KUN gælder for retvinklede treknter!!! Pthgors Læresætning er igennem tiderne blevet bevist på mindst 365 forskellige måder. Det er nemt t huske Det er en n bevisførelse for hver dg i året De forskellige beviser kn læses i denne bog, hvis mn vil dedikere resten f sit liv til Pthgors Loomis, Elish Scott (968), The Pthgoren Proposition, The Ntionl Council of Techers of Mthemtics. Sinusreltionerne

5 Michel Mndi (00) Sinusreltionerne Side 5 f 35 Vi ønsker t bevise følgende sætning: Først tegnes en vilkårlig treknt. (Spidsvinklet) b c (Sinusreltionerne) Sin A Sin Sin C Højden fr indtegnes og figuren målsættes. Punkt D indføres, der hvor højden fr rmmer linien b. c h A b D C Som det ses, inddeler højden fr pkt. den vilkårlige treknt i to retvinklede treknter. Hvis vi betrgter den venstre retvinklede treknt, treknt AD, kn vi opstille følgende ligning med de sædvnlige værktøjer for den retvinklede treknt: Modstående Ktete h Sin A Hpotenusen c h c Sin A Og ser vi tilsvrende på den højre retvinklede treknt, treknt CD, fås et lignende udtrk: Sin C h Modstående Ktete h Hpotenusen Sin C Det er den smme h i de to ligninger. Der er jo ikke tegnet en n treknt i mellemtiden. Derfor kn følgende skrives: SinC c Sin A c Sin C SinA Almindelig division giver: Det er gnske vist kun en del f sinusreltionen (den hedder jo egentlig: b c ), Sin A Sin Sin C men resten kn nemt indses ved t tegne højden fr enten pkt. A eller pkt. C, og så køre beviset igen. (I princippet, kn mn blot nøjes med t ændre nvnene på trekntens hjørner og køre beviset igen. D kn mn undlde t dreje hele figuren og tegne ne højder ) Q.E.D.

6 Michel Mndi (00) Sinusreltionerne Side 6 f 35 Men hvd nu hvis treknten er stumpvinklet i stedet for spidsvinklet? Det viser sig, t beviset er fuldstændig nlogt med det llerede viste bevis for den spidsvinklede treknt: c h A b C D Som det ses, dnner højden fr pkt. den vilkårlige treknt to retvinklede treknter, AD og CD. Hvis vi betrgter den venstre retvinklede treknt, treknt AD, kn vi opstille følgende ligning med de sædvnlige værktøjer for den retvinklede treknt: Modstående Ktete h Sin A Hpotenusen c h c Sin A Og ser vi tilsvrende på den højre retvinklede treknt, treknt CD, fås et lignende udtrk: Sin C h Modstående Ktete h Hpotenusen Sin C Det er den smme h i de to ligninger. Der er jo ikke tegnet en n treknt i mellemtiden. Derfor kn følgende skrives: SinC c Sin A c Sin C SinA Almindelig division giver: Det er gnske vist kun en del f sinusreltionen (den hedder jo egentlig: b c ), Sin A Sin Sin C men resten kn nemt indses ved t tegne højden fr enten pkt. A eller pkt. C, og så køre beviset igen. (I princippet, kn mn blot nøjes med t ændre nvnene på trekntens hjørner og køre beviset igen. D kn mn undlde t dreje hele figuren og tegne ne højder ) Cosinusreltionerne Q.E.D.

7 Michel Mndi (00) Cosinusreltionerne Side 7 f 35 Vi ønsker t bevise følgende sætninger: b c bc c b c b c b b c b c Cos A Cos A b c c Cos Cos c b b Cos C Cos C, der jo tilsmmen udgør cosinusreltionerne Først tegnes en vilkårlig treknt. (Spidsvinklet) Højden fr indtegnes og figuren målsættes. Punkt D indføres, der hvor højden fr rmmer linien b. c h A D C b - Som det ses, inddeler højden fr pkt. den vilkårlige treknt i to retvinklede treknter. Hvis vi betrgter den venstre retvinklede treknt, treknt AD, kn vi opstille følgende ligning med de sædvnlige værktøjer for den retvinklede treknt i dette tilfælde: Pthgors Læresætning: b c h b Ser mn nøje efter, er det blot Pthgors' Læresætning. c h b b Derefter bruges kvdrtsætningerne til t rdde op... Prentesen hæves... c h b b Og ser vi tilsvrende på den højre retvinklede treknt, treknt CD, fås et lignende udtrk: h h

8 Michel Mndi (00) Cosinusreltionerne Side 8 f 35 Resulttet f den seneste udregning, h, indsættes i den første udregning: c h b b c c b b Udtrkket for h b b Og der rddes op... indsættes Det eneste problem er dog nu, t vi ikke kender! Men vh. de gmle regneregler for den retvinklede treknt, kn nemt findes Se blot på tegningen igen, og betrgt specielt treknten CD. Her gælder: Hosliggende Ktete Cosv Hpotenusen Cos C Cos C, hvilket indsættes i den forrige udregning... c b b c b Cos C b c b b Co Og hvis der ændres lidt på fktorernes rækkefølge... s C Det ses, t resulttet er den ene f ligningerne i det, som tidligere blev præsenteret som Cosinusreltionerne, men resten kn nemt indses som det vr tilfældet ved Sinusreltionen ved t tegne højden fr enten pkt. A eller pkt. C, og så køre beviset igen. (I princippet, kn mn blot nøjes med t ændre nvnene på trekntens hjørner og køre beviset igen. D kn mn undlde t dreje hele figuren og tegne ne højder ) Q.E.D.

9 Michel Mndi (00) Cosinusreltionerne Side 9 f 35 Men hvd nu hvis treknten er stumpvinklet i stedet for spidsvinklet? Det viser sig, t beviset er stort set nlogt med det llerede viste bevis for den spidsvinklede treknt, men dog med en lille krølle! Den beskrives senere: c h A C indre C C dre D b b + Som det ses, dnner højden fr pkt. den vilkårlige treknt to retvinklede treknter, AD og CD. Hvis vi betrgter den store retvinklede treknt, treknt AD, kn vi opstille følgende ligning med de sædvnlige værktøjer for den retvinklede treknt i dette tilfælde: Pthgors Læresætning: c h b Ser mn nøje efter, er det blot Pthgors' Læresætning. c h b b Derefter bruges kvdrtsætningerne til t rdde op... Prentesen hæves... c h b b Og ser vi tilsvrende på den lille retvinklede treknt, treknt CD, fås et lignende udtrk: h h Resulttet f den seneste udregning, h, indsættes i den første udregning: c h b b c c b b Udtrkket for h b b Og der rddes op... indsættes

10 Michel Mndi (00) Cosinusreltionerne Side 0 f 35 Det eneste problem er dog nu, t vi ikke kender! Men vh. de gmle regneregler for den retvinklede treknt, kn nemt findes Se blot på tegningen igen, og betrgt specielt treknten CD. Her gælder: Hosliggende Ktete Cos v Hpotenusen Cos C Cos C Men treknt CD er jo kun en hjælpetreknt, som ligger helt uden for den egentlige treknt AC. Og det bemærkes, t vi hr fundet dersiden f vinklen C - C dre. Vi skl jo bruge C indre. Men vinklerne C dre og C indre er jo supplementvinkler. Og det betder, t: Eller i vores tilfælde: 80 Cos v Cos v Cos C indre Cos Cdre Og nu ikke mere snk om indre og dre (Det indførte vi kun for bedre t kunne forstå problemtikken omkring vinkel C.) Det ses, t vi rent fktisk overhovedet ikke bentter C indre, og derfor klder vi blot fremover C dre for C. Altså er: Cos C Cos C, hvilket indsættes i den forrige udregning... c b b c b CosC b Og hvis prentesen hæves, og der ændres lidt på fktorernes rækkefølge... c b bcos C Det ses, t resulttet er den ene f ligningerne i det, som tidligere blev præsenteret som Cosinusreltionerne, men resten kn nemt indses som det vr tilfældet ved Sinusreltionen ved t tegne højden fr enten pkt. A eller pkt. C, og så køre beviset igen. (I princippet, kn mn blot nøjes med t ændre nvnene på trekntens hjørner og køre beviset igen. D kn mn undlde t dreje hele figuren og tegne ne højder ). Grdsligningen Q.E.D.

11 Michel Mndi (009).Grdsligningen Side f 35 eviset for t løsningerne til ² b c 0, 0 kn udregnes som: b d r, hvor d b² 4 c : ² b c 0 4 ² ² 4 b 4 c 0 4 ² ² b b² b² 4 c b² ² b² b b ² b² 4 c Gng med 4 på begge sider Læg b² 4 c til på begge sider Kvdrtsætning d b² 4 c b d Ligning ² Her hr vi indført størrelsen d b² 4 c, som også kldes for ndengrdsligningens diskriminnt. Det viser sig, t den videre løsning f ligningen fhænger f fortegnet for d. d < 0 I ligning, vil højre side d være negtiv, mens venstre side ltid er positiv (eller 0). (Noget i nden potens vil ltid være positivt eller 0). Derfor findes der ingen værdier f, der opflder ligningen. d = 0 Ligning hr i dette tilfælde udseendet: b ² d b b 0 b 0 b b - Altså hr ligningen netop løsnin. g d > 0 Ligning kn videre omskrives således: b ² d b d b d b d - Altså hr ligningen løsninger. Q.E.D.

12 Michel Mndi (00). Grdsligningen Side f 35. Grdsligningen Alterntivt bevis En nden lterntiv metode til t eftervise ndengrdsligningens løsninger, er en metode, som til dels også benttes til udledning f toppunktsfomlen. I modsætning til det forrige bevis, nskueliggøres de forskellige ntl løsninger ikke her. Udelukkende selve formlen udledes. Et ndengrdspolnomium hr forskriften: f b c Vi ønsker t bevise nulpunktsformlen: b d. Koordinterne til toppunktet kn udledes f følgende omskrivning: f b c Sætter udenfor prentesen b c b b Lægger til og trækker fr 4 4 b c b b 4 4 b b b 4 Kvdrtsætning b c b 4 De to sidste led sættes på fælles brøkstreg b 4c b 4 Der skiftes fortegn i det ndet led b 4c b 4 tter om på leddene i tælleren i det ndet led b b 4c 4 d b 4 b d 4 Det ndet led sættes udenfor prentesen b d 4 c

13 Michel Mndi (00). Grdsligningen Side 3 f 35 Eventuelle nulpunkter vil forekomme for f 0, hvilket ifølge ovenstående omskrivning er det smme som: b d 0 4 f b c b d 0 4 Fltter det ndet led over på den nden side b d 4 Dividerer med b d 4 Tger kvdrtroden på begge sider b d 4 b Isolerer ved t fltte over på den nden side og reducerer b d Sætter på fælles brøkstreg b d Q.E.D.

14 Michel Mndi (00) Toppunktsformlen Side 4 f 35 Toppunktsformlen f b c Et ndengrdspolnomium hr forskriften: Vi ønsker t bevise toppunktsformlen: TP b d ; ; 4. Koordinterne til toppunktet kn udledes f følgende omskrivning: f b c Sætter udenfor prentesen b c b b Lægger til og trækker fr 4 4 b c b b 4 4 b b b 4 Kvdrtsætning b c b 4 De to sidste led sættes på fælles brøkstreg b 4c b 4 Der skiftes fortegn i det ndet led b 4c b 4 tter om på leddene i tælleren i det ndet led b b 4c 4 d b 4 b d 4 Det ndet led sættes udenfor prentesen b d 4 c

15 Michel Mndi (00) Toppunktsformlen Side 5 f 35 Den inderste prentes i det ndet led er opløftet i. potens, så derfor vil den ltid være positiv eller mindst lig med nul. D hele udtrkket er en funktion, hvor er den ufhængige vribel, og d det sidste led ikke indeholder er det dermed det første led, som primært dikterer funktionsværdien. Men prentesen er jo positiv eller nul, og dermed er det som er den strende fktor. Så hvis er positiv, vil b Dvs. når 0, hvilket kun er muligt når På smme måde hvis er negtiv vil er lig med 0, og dermed når b, hvilket ses t være det smme, som for når er po- sitiv. f ntge sin mindste værdi når prentesen er lig med 0. f b. ntge sin største værdi når prentesen I begge tilfælde, vil det første led være lig med 0, og funktionsværdien bliver derfor: b d f, 4 hvilket vil sige, t toppunktet, TP, forekommer for b og d. 4 b d TP ; ; 4 Q.E.D.

16 Michel Mndi (00) Rumfng f prmidestub Side 6 f 35 Rumfng f prmidestub Vi ønsker t bevise t formlen: V h G g G g er snd. 3 En prmidestub Ikke nødvendigvis kvdrtisk, men rektngulær, dvs. lle vndrette vinkler er 90! Vi sætter mål på, idet vi går ud fr t bunden og toppen hr smme form, men blot er skleret med fktoren k. b h Den lodrette fstnd mellem de to vndrette plner Top og und sættes til h k k b Herf kn det ses, t: Grundflde lille b g Grundflde stor k k b k b G G g k b b k b kb G g

17 Michel Mndi (00) Rumfng f prmidestub Side 7 f 35 Prmidestubben inddeles i 3 dele:. Den store ksse i midten (Rød). De fire prismer i siderne (Grøn) 3. De fire prmider i hjørnerne (Cn) Vi begnder med den inderste ksse. Som bekendt er rumfnget f en ksse lig med grundflde gnge med højden. b h D grundflden er den smme som topflden, må rumfnget være lig med: V b h ksse Dernæst kommer de fire prismer, som sidder på hver side f prmidestubben. De sidder, som de ses på næste figur og vises med ls grøn frve. Men mn kn indse, t hvis mn tger de prismer, som sidder på bgsiderne f prmidestubben, og drejer dem 80 i forhold til lodret, så kn de lægges smmen med de prismer, som sidder på de modstte sider. Ved denne mnøvre, skl der derved blot regnes på to ksser, som ses med mørkegrøn på næste figur.

18 Michel Mndi (00) Rumfng f prmidestub Side 8 f 35 D sidelængden i bunden er lig med k, må kssernes dbde være lig med hlvdelen f forskellen mellem sidelængden i top og sidelængden i bund, d forskellen fordeles jævnt i begge sider. b k. k k (Og ligeledes for den nden side: Altså er rumfnget f de to ksser: Vsider bk h b k h V b k h sider V bh k sider

19 Michel Mndi (00) Rumfng f prmidestub Side 9 f 35 Til sidst hr vi de fire prmidehjørner. Her forestiller vi os for nemheds skld t kssen i midten og de fire sider fjernes, og de fire hjørner (tegnet op med cn frve) stødes smmen. Herved fremkommer en prmide. (tegnet op med mørk blå på efterfølgende figur.) k b k må D bredden på hver enkelt f de fire hjørner er hhv. eller grundflden f de fire prmider tilsmmen være: k bk 4 bk bk. 4 Højden er nturligvis stdig h! Og derfor er rumfnget f prmiden (iflg. formlen for en prmides rumfng): Vprmide hg h bk 3 3 Vprmide bhk 3

20 Michel Mndi (00) Rumfng f prmidestub Side 0 f 35 Ld os lige opsummere, inden det løber løbsk Vi hr nu rumfngene for lle delfigurer i prmidestubben: V ksse V bh k sider bh Vprmide bh k 3 Derfor må det totle rel være lig med summen f de tre volumener. V V V V prmidestub ksse sider prmide Vprmidestub b h b h k b h k 3 Kvdrtsætning: Vprmidestub b h b h k b h 3 k k Gnger ' b' ind i prenteserne V V prmidestub b b b b h h k b b h k b b k 3 Gnger ' h' ind i den ene prentes prmidestub b b h h k b h b h k b b k b 3 Gnger og dividerer med '3' for t sætte på fælles brøkstreg 3 3 Fktoriserer og sætter h uden for prentesen 3 h k b b k b 3 k b 3 Rdder lidt op Vprmidestub h 3 k b h k b b k b V prmidestub kb 3 Vprmidestub h k b b Vi husker fr begndelsen: k, og Vprmidestub h G g G g 3 b G b g k b G g Q.E.D.

21 Michel Mndi (009) Sklrprodukt og vinkel mellem vektorer Side f 35 Vi ønsker t bevise smmenhængen mellem sklrproduktet og vinklem mellem to givne vektorer, og b. Desuden findes c b c b b c b Vi husker, t selve sklrproduktet er defineret som: b b b. ^ A ; c b b ; b > Af figuren ses det, t: CA b C b b c A b b Cosinusreltionen (se tidligere bevis), giver f.eks.: c b b Cos C Ved t indsætte de fundne udtrk for længderne f vektorerne, b og c, som jo netop svrer til siderne, b og c i treknten, fås følgende: Sklrprodukt og vinkel mellem vektorer

22 Michel Mndi (009) Sklrprodukt og vinkel mellem vektorer Side f 35 c b bcos C Indsætter værdierne fr tegningen b b b b b Cos C Kvdrtrod i nden potens ophæver sig selv b b b b b Cos C b Kvdrtsætninger b b Reducerer Dividerer igennem med b b b b Cos C b b b Cos C b b Cos C Vi husker, t sklrproduktet er defineret som: b b b b b Cos C b Q.E.D.

23 Michel Mndi (00) Tre-trins-reglen for differentilkvotienter Side 7 f 7 rins-modellen - generelt Vi ønsker t vise, t hældningen på en funktion i et givet punkt, kn defineres som differentilkvotienten f ' lim lim f f 0 0 Det er noget f en påstnd! Ld os begnde fr begndelsen. Vi forestiller os en funktion, f, hvis kurve er beliggende i et lmindeligt koordintsstem. Se figur. Funktionen f er fbildet som den blå kurve. f f () P Figur : Grfen for funktionen f med punktet P Vi ønsker t bestemme funktionens hældning i punktet P. Ld os se lidt på det punkt. Ser mn nærmere efter, opdger mn t punktet P projiceres ned på -ksen i værdien. Således kn dette punkt være hvor som helst på funktionen. Den eneste betingelse er dog, t funktionen skl være differentibel og dermed også kontinuert i dette punkt smt i det område, som undersøges. Der er nturligvis også en funktionsværdi. Den er som normlt lig med Dette indses ved t projicere punktet P ind på -ksen. f. Hældningen i dette punkt, kn bestemmes ved en kendt geometrisk figur. Det er tngenten, t, som berører funktionen i ét og kun et punkt nemlig i punktet P. Se figur. Tngenten er den røde linie. Tngenten kendetegnes ved t hve smme hældning, som funktionen i netop røringspunktet. Hold godt fst på denne tngent! Den kommer vi tilbge til om et øjeblik t f f () P Figur : Tilføjet tngenten i punktet P (Den røde linie)

24 Michel Mndi (00) Tre-trins-reglen for differentilkvotienter Side 7 f 7 Vi indfører nu et ndet punkt, Q, som også er beliggende på funktionen. For nemheds skld ligger Q til højre for P på kurven i dette tilfælde. Den vndrette fstnd mellem P og Q sættes til. Smbolet (Det græske bogstv, store delt) er kendt fr bl.. fsikken og bruges i forbindelse med tilvækst, forndring, ændring eller udvidelse. I dette tilfælde er det forskellen på hhv. punkterne P og Q s -værdier. D punktet P s -værdi blot kendes som, og dermed ikke kn beskrives nderledes, må punktet Q s -værdi være lig med:. t f f (+Δ) f () P Q Figur 3: Tilføjet punktet Q +Δ På smme måde, som for punktet P, findes funktionsværdien til punktet Q. D er punktet Q s -værdi, må den tilhørende funktionsværdi nødvendigvis f Se figur 3. være lig med: Således hr vi nu to veldefinerede punkter, beliggende på kurven for P ; f og ; Q + f +. f, nemlig Den vndrette fstnd mellem P og Q er jo llerede givet som i -værdien. Se figur 4. ltså ændringen Men hvd med den lodrette fstnd? Af figuren ses, t den kn findes som f + - f ltså funktionsværdien i pkt. Q minus funktionsværdien i pkt. P. ltså den lodrette til- Ld os for nemheds skld klde denne lodrette fstnd for vækst (fstnd) mellem P og Q. Se figur 4.

25 Michel Mndi (00) Tre-trins-reglen for differentilkvotienter Side 7 f 7 t f f (+Δ) f () P Q Δ Figur 4: estemmer Δ og Δ +Δ Δ Vi tegner nu en streg, som går igennem de to punkter P og Q. Denne linie kldes for en seknt. (Seknt, (f ltin secns, 'skære'), i mtemtik en linje gennem to punkter på en kurve.) t s f f (+Δ) f () P Q Δ Figur 5: Indfører seknten, s (Grøn linie) +Δ Δ etrgter vi seknten mellem P og Q som hpotenusen i den retvinklede treknt der dnnes, som vist på tegningen, den lill treknt på figur 6, kn vi udregne hældningen f hpotenusen. Det er denne størrelse, som vi fremover vil referere til som differenskvotienten ltså forholdet mellem ændringen i -retningen og i -retningen for en seknt. t s f f (+Δ) f () P Q Δ Figur 6: Den retvinklede treknt +Δ Δ

26 Michel Mndi (00) Tre-trins-reglen for differentilkvotienter Side 7 f 7 Vi husker fr trigonometrien: Hældningen: modstående ktete Sin hosliggende ktete Cos Tn modstående ktete Hvis vi tger, kn vi i figuren flæse, t hpotenusens det vil i hosliggende ktete dette her tilfælde sige sekntens hældning (eller differenskvotient) må være det smme som:. Dette er et meget vigtigt punkt i beviset, så derfor opsummerer vi lige, hvd vi hr nået indtil nu Vi hr en funktion med et punkt P. Vi ønsker t finde hældningen i dette punkt, så derfor forestiller vi os funktionens tngent i punktet P. Dernæst sætter vi endnu et punkt Q på funktionen. Mellem punkterne P og Q, tegnes en seknt. Ved hjælp f en simpel trigonometrisk betrgtning, findes sekntens hældning (differenskvotient) t være lig med:. Nu er det tngentens hældning vi søger, og ikke sekntens. Derfor ser vi på hvd der sker, hvis Δ bliver mindre f.eks. hlveret. t s f (+Δ) f () P Q Δ f Δ +Δ

27 Michel Mndi (00) Tre-trins-reglen for differentilkvotienter Side 7 f 7 t s f f (+Δ) Q Δ P f () Δ +Δ Ved t indsætte de fundne: n rette linie Vi ønsker t vise, t hældningen på en ret linie mellem to punkter kn skrives som:. Ydermere ønsker vi t bevise, t b. En ret linie er lmindeligvis defineret som en funktion f b, for hvilken der for to vilkårlige punkter på funktionen gælder, t. er en konstnt, som beskriver funktionens hældning. Tænk på hældningen, som t gå et vndret skridt (som regel mod højre) og et lodret skridt (op eller ned). Afhængigt f, hvor store skridtene er, beskrives hældningen som mere eller mindre stejl. Tger mn f.eks. et meget stort skridt til højre, og et lille bitte skridt op, så er hældningen meget lille (og positiv). Tger mn et lille skridt til højre og et kæmpe skridt nedd, så er hældningen meget stor (og negtiv). Det er ltså det lodrette skridt, som bestemmer om hældningen er positiv eller negtiv. Går mn opd mod højre, er hældningen positiv. Går mn nedd mod højre er hældningen negtiv. I specielle tilfælde, kn det være en fordel t tænke på, t mn går mod venstre, og så er det hele bre omvendt. Q.E.D. Så nu er det ltså nødvendigt t finde ud f, hvor store skridtene er hend og opd. Enhver linie kn indlægges i et krtesisk (et normlt retvinklet) koordintsstem. Det vil smtidig sige, t de to punkter (som jo ligger på linien) også er i det smme koordintsstem. D det er retvinklet, må der ltså findes en vndret fstnd og en lodret fstnd mellem de to punkter.

28 Michel Mndi (0) Den rette linie Side 8 f 35 Vi kn indføre et tredje punkt, som er vribelt. Det kn i teorien ligge hvor som helst P ; og P ; er de to fste punkter, kn vi klde det vri- på linien. Hvor ble punkt for P ;. På en ret linie, må lle punkter hve en indbrdes lige stor hældning - unset, hvor punkterne ligger på linien. Det er derfor t er konstnt. D hældningen er konstnt, opstiller vi hældningen for to punktsæt. Det ene punktsæt er P og P og det ndet er P og P.

29 Michel Mndi (0) Den rette linie Side 9 f 35 Dvs. t: Vi kn derfor omskrive udtrkket til: ngentligningen". Ligningen på denne form kldes også for "T Vi gnger ind i prentesen og lægger til på begge sider. b Vi husker, t. er begge konstntled, Der er ingen ukendte vrible og kn smles under det ne nvn: b. Q.E.D.

30 Eksponentilfunkt ione n Michel Mndi (0) Eksponentilfunktionen Side 30 f 35 Vi ønsker t vise, t forskriften for en eksponentilfunktion med ligningen: f b P ; og P ;, som, 0, kn findes hvis mn hr to punkter: grfen går igennem. Definition: Ved en potensfunktion forstås en funktion f med forskriften:, hvor og f b b er tlkonstnter. Der gælder t: og b evis: D og,, begge ligge på grfen for f, må der gælde t: b og b divideres med : b b Vi husker fr tidligere: p p Vi husker fr tidligere: n p n p

31 Michel Mndi (0) Eksponentilfunktionen Side 3 f 35 Der mngler stdig formlen for b. Det er tidligere givet t: b eller b Der divideres med -fktoren. b b b eller b b b Er det i forbindelse med en opgve, hvor mn bliver bedt om t ngive funktionsforskriften, så er det vigtigt t smle og b i det smlede udtrk: f b

32 Michel Mndi (0) Fordoblings- og hlveringskonstnter Side 3 f 35 Vi ønsker t vise, t fordoblingstiden T for en voksende eksponentilfunktion f b evis: er givet ved: T log log f 0 b b b Det må være således, t 0 Funktionsværdien til tiden t 0 (hvornår det så end er), er ltså b. emærk, t det ikke er vigtigt t kende det præcise begndelsestidspunkt, d fordoblingskonstnten jo er den tid, som der til ethvert tidspunkt skl gå, før end t funktionsværdien er blevet fordoblet. Dog må det være en kendsgerning, t den dobbelte funktionsværdi f b må være b! Vi indsætter ltså funktionsværdien b i forskriften og isolerer. f b b b log log Idet vi husker, t: log log log log log log Q.E.D.

33 Michel Mndi (0) Fordoblings- og hlveringskonstnter Side 33 f 35 Vi ønsker t vise, t hlveringstiden T for en ftgende eksponentilfunktion f b er givet ved: evis: T log log f 0 b b b Det må være således, t 0 Funktionsværdien til tiden t 0 (hvornår det så end er), er ltså b. emærk, t det ikke er vigtigt t kende det præcise begndelsestidspunkt, d hlveringskonstnten jo er den tid, som der til ethvert tidspunkt skl gå, før end t funktionsværdien er blevet hlveret. Dog må det være en kendsgerning, t den hlve funktionsværdi f b må være b! Vi indsætter ltså funktionsværdien b i forskriften og isolerer. f b b b log log Idet vi husker, t: log log log log log log Q.E.D.

34 Michel Mndi (04) Arelberegning f n-sidet polgon ved brug f determinnt Side 34 f 35 Arelberegning f n-sidet polgon ved brug f determinnt A 3 3 n knt 3 3 n n 3 n 3 n n n eviset kn gennemføres som et induktionsbevis. Vi ved fr tidligere (og fr bogen), t formlen er snd for en treknt n 3. Vi ntger, t det også er sndt for ethvert n, og t det også gælder for n. Givet en polgon med n sider, som er nvngivet mod uret. A 3 3 n 3 3 n n n n Sorterer efter positive og negtive led. A n 3 n 3 n P P n P P 3 Dette er ltså relet f det grønne mrkerede område, i det omfng t punkterne er givet i rækkefølge mod uret. Nu tilføjes et ekstr punkt. Punkt nr. n. Det vil nturligvis ændre det smlede rel f polgonen, og ændringen (og den gule mrkering på næste figur), er præcis relet f den just dnnede treknt. Den ne (gule) treknt hr koordintpunkterne: P ; n n n P ; n n n P ; P n+ P n P Arelet f den ne gule treknt, A t, er givet ved den smme formel: P P 3 Induktion er en bestemt tpe mtemtisk bevis, som er meget velegnet til t bevise t en mtemtisk hpotese er snd for lle nturlige tl, eller ndre tlmængder, som er velordnet. Induktionsprincippet består f skridt: bsisskridtet (induktionsstrten, strtbetingelsen) og induktionsskridtet.. sisskridt: I bsisskridtet beviser mn t hpotesen er snd ved det mindste tl i tlmængden. Dette er tpisk, d mn ofte vil bevise sætningen for de nturlige tl.. Induktionsskridt: I induktionsskridtet beviser mn, t hvis hpotesen gælder for tllet n (denne ntgelse kldes induktionsntgelsen), så gælder den også for tllet n+. På denne måde kn mn bevise t hpotesen gælder for lle hele tl fr bsisskridtet og opefter. Hvis tilfælde er snd, så er tilfælde også snd, d tilfælde er snd. Så er 3 også snd, når er snd, osv. Dette princip kn smmenlignes med dominoeffekten. Hvis du hr en lng række dominobrikker stående efter hinnden, kn du udlede følgende:. sisskridt: Den første dominobrik vælter.. Induktionsskridt: Når en dominobrik vælter, vil den næste vælte. Derfor vil lle dominobrikker vælte. Kilde: Induktion (Mtemtik) :5

35 Michel Mndi (04) Arelberegning f n-sidet polgon ved brug f determinnt Side 35 f 35 n n A n n t n n n n n n n n n n Sorterer efter positive og negtive led. A t n n n n n n n n Det smlede rel f n -knten er ltså relet f den oprindelige n -knt, rel, A t. A A A n n t A n, dderet med det ne A n 3 n 3 n n n n n n n n n A n 3 n 3 n n n n n n n n n A n 3 n n n 3 n n n Hvilket beviser ved induktion, t formlen er rigtig! Mn kunne her indvende: Hvd nu, hvis det ne punkt vr på indersiden f den originle polgon? I det tilfælde ville den ne treknt, Pn, Pn, P blive nvngivet i rækkefølge med uret, og ikke mod uret. Så ville relet f den ne treknt, A, blive udregnet som negtivt. Den lgebriske ddition f trekntens rel til den oprindelige n -knt, n -knt, An. t A n, resulterer således i et nt og mindre rel f den ne Q.E.D. Dette bevis er væsentligt inspireret f beviset, som findes på Internetsiden: , 9:53 Dog er der tilføjet ekstr oplsninger og udregninger smt indlsende nok en oversættelse.

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

gudmandsen.net Geometri C & B

gudmandsen.net Geometri C & B gudmndsen.net Geometri C & B Indholdsfortegnelse 1 Geometri & trigonometri...2 1.1 Område...2 2 Ensvinklede treknter...3 2.1.1 Skleringsfktoren...4 3 Retvinklede treknter...5 3.1 Pythgors lærersætning...5

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

Formelsamling Mat. C LINEÆR VÆKST... 11 EKSPONENTIEL VÆKST... 11 POTENS-VÆKST... 11

Formelsamling Mat. C LINEÆR VÆKST... 11 EKSPONENTIEL VÆKST... 11 POTENS-VÆKST... 11 Formelsmling Mt. C BRØER... LIGNINGER... PARENTESER... RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... VILÅRLIG TREANT... Sinusreltionerne:... Cosinusreltionerne:...

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD

Læs mere

MATEMATIK NOTAT 2. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX

MATEMATIK NOTAT 2. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX MATEMATIK NOTAT. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: MAJ 04 Michel Mandi (00).Gradsligningen Side af 9 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... INTRODUKTION:... 3 KOEFFICIENTER...

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen Gmnsie-Mtemtik Søren Toftegrd Olsen Søren Toftegrd Olsen Skovvænget 6-B 7080 Børkop Gmnsie-Mtemtik. udgve, revision 0 ISBN 978-87-99996-0-0 VIGTIGT: Denne og må ikke sælges eller ændres; men kn frit kopieres.

Læs mere

Elementær Matematik. Plangeometri

Elementær Matematik. Plangeometri Elementær Mtemtik Plngeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 006 Kp Indhold. Plngeometriens Aksiomer.... Vinkler.... Et pr simple geometriske sætninger...3 Kp. Trekntskonstruktion...5. Kongruenssætningerne...5.

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri

K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN Mtemtik F Geometri www.if.dk Mtemtik F Geometri Forord Redktør Hgen Jørgensen År 2004 est. nr. Erhvervsskolernes Forlg Munkehtten 28 5220 Odense

Læs mere

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

1. Eksperimenterende geometri og måling

1. Eksperimenterende geometri og måling . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t

Læs mere

Vektorer. koordinatgeometri

Vektorer. koordinatgeometri Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

Krumningsradius & superellipsen

Krumningsradius & superellipsen Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold FORMELSAMLING MAT. C & B... 1 BRØER... PARENTESER... 3 PROCENT... 4 RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter...

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................

Læs mere

Teknisk Matematik. Teknisk Matematik Formler. Preben Madsen. 8. udgave

Teknisk Matematik. Teknisk Matematik Formler. Preben Madsen. 8. udgave Teknisk Mtemtik Formler Teknisk Mtemtik Formler Preen Mdsen 8. udge Teknisk mtemtik Formler er et prktisk opslgsærk, der gier et hurtigt oerlik oer lle formler fr læreogens enkelte kpitler. Ud oer formlerne

Læs mere

Matematikken bag perspektivet I

Matematikken bag perspektivet I Supperende mterie ti erspektiv med GeoMeter Mtemtikken bg perspektivet I Som udgngspunkt for t diskutere de vigtigste mtemtiske sætninger bg perspektivtegninger vi vi benytte noge eementære egenskber for

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

KEGLESNIT OG BANEKURVER

KEGLESNIT OG BANEKURVER KEGLESNIT OG BANEKURVER x-klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... BEGREBET KEGLE... 3 KEGLESNIT... 5 Cirkel... 6 Ellipse... 8 Prbel... 15 Hyperbel... 19 Keglesnitsligninger

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsmling Hvis mn ønsker mere udfordring, kn mn springe den første opgve f hvert emne over Brøkregning, prentesregneregler, kvdrtsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående tl i hånden:

Læs mere

1 Plan og rumintegraler

1 Plan og rumintegraler 1 PLAN OG RUMINTEGRALER 1 1 Pln og rumintegrler Ligesom for funktioner f en vribel kn mn for kontinuerte funktioner f flere vrible definere deres integrle. Vi vil her kun beskæftige os med funktioner f

Læs mere

Oversigt. geometri exempler. areal: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m. areal: 5 5 = 25 cm 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 cm. areal: 8 5 = 40 dm 2

Oversigt. geometri exempler. areal: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m. areal: 5 5 = 25 cm 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 cm. areal: 8 5 = 40 dm 2 geometri exempler 4 m 3 m rel: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m 5 m 5 m rel: 5 5 = 25 m 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 m 8 dm 5 dm rel: 8 5 = 40 dm 2 8 dm 5 mm 4 mm 1 2 rel: 4 (5+9) = 28 mm 2 9 mm 7 km rel:

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Lektion 5 Det bestemte integral

Lektion 5 Det bestemte integral f(x) dx = F (b) F () Lektion 5 Det bestemte integrl Definition Integrlregningens Middelværdisætning Integrl- og Differentilregningens Hovedsætning Bereging f bestemte integrler Regneregler Arel mellem

Læs mere

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner Eksmensspørgsmål: Potens-funktioner Definition:... 1, mønt flder ned:... 1 Log y er en liner funktion f log x... 2 Regneforskrift... 2... 2 Smmenhæng mellem x og y ved potens-vækst... 3 Tegning f grf for

Læs mere

Integrationsteknikker

Integrationsteknikker Integrtionsteknikker Frnk Vill. jnur 14 Dette dokument er en del f MtBog.dk 8-1. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 Numerisk integrtion.1

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 007 007-8-V MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Tirsdg den 18 december 007 kl 900-1000 BESVARELSEN AFLEVERES KL 1000 Der

Læs mere

Implicit differentiation

Implicit differentiation Implicit differentition Implicit differentition Indhold. Implicit differentition.... Tngent til ellipse og hyperel... 3. Prisme i hovedstillingen...3 3. Teoretisk rgument for hovedstillingen...4 Ole Witt-Hnsen

Læs mere

Formelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen. Appendiks

Formelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen. Appendiks Formelsmling for mtemtik niveu B og A på højere hndelseksmen Appendiks April Mtemtik B Procentregning Procentvis vækst Værdien f en given vriel x liver ændret fr x til x 1. Den %-vise vækst eregnes ved:

Læs mere

114 Matematiske Horisonter

114 Matematiske Horisonter 114 Mtemtiske Horisonter Mtemtik i medicinudvikling Af Ph.d-studerende Ann Helg Jónsdóttir, Ph.d-studerende Søren Klim, Ph.d-studerende Stig Mortensen og Professor Henrik Mdsen, DTU Informtik Hovedpinen

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12 Mtemtisk modellering numeriske metoder Lektion 12 Morten Grud Rsmussen 21. oktober, 213 1 Prtielle differentilligninger 1.1 Løsning f vrmeligningen vh. Fourierrækker [Bens sektion 12.6 på side 558] Vi

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul Bogstvregning En indledning for st og f. del 008 Krsten Juul ) )( ( ) ( ) ( Indold 0. Gnge to prenteser....,, osv... 7. Kvdrtsætninger... 0. Brøer. del... Bogstvregning. En indledning for st og f.. del.

Læs mere

Ny skriftlighed - Matematik

Ny skriftlighed - Matematik Ny skriftlighed - Matematik Indhold Andres tanker og ideer:... 2 Andre nyttige links:... 2 Kompetencer:... 2 Eksempler på opgaver der træner forskellige kompetencer... 3 Eksempel 1: Opgaveløsning med forskellige

Læs mere