Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE..."

Transkript

1 MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04

2 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE GRADSLIGNINGEN GRADSLIGNINGEN ALTERNATIVT EVIS... TOPPUNKTSFORMLEN... 4 RUMFANG AF PYRAMIDESTU... 6 SKALARPRODUKT OG VINKEL MELLEM VEKTORER... DEN RETTE LINIE... 7 EKSPONENTIALFUNKTIONEN AREALEREGNING AF N-SIDET POLYGON VED RUG AF DETERMINANT... 34

3 Michel Mndi (00) Vinkelsummen i en treknt = 80 Side 3 f 35 En treknts vinkelsum Vi ønsker t bevise, t vinkelsummen i en treknt ltså værdierne f de tre vinkler lgt smmen er 80. Eller mtemtisk skrevet: vi v v v i Dette kn ses f nedenstående figur. Husk t en fuld cirkel er defineret som 360, og derfor er vinklen i en hlvcirkel f.eks. fr det derste punkt til højre på cirklen og det derste punkt til venstre lig med 80, d mn i udgngspunktet står i cirklens centrum. Med ndre ord: Hvis mn står på en ret linie, så er der to retninger mn kn følge linien. Enten den ene eller den nden vej. Og vinklen mellem de to retninger som er modst rettede er 80. b c A c C Idet vi tegner linien gennem pkt., som er prllel med linien AC, ser vi, d vi ved t to modst rettede retninger hr vinklen 80, t: b c 80 Smtidig ved vi, t: og c c Ved simpel substitution, fås t: 3 i V V V V b c 80, i 3 hvorved sætningen er bevist! Q.E.D.

4 Michel Mndi (009) Pthgors Læresætning Side 4 f 35 Pthgors Læresætning Vi ønsker t bevise grundformlen: c b! Det ses umiddelbrt t relet f det inderste kvdrt er lig med: A c LilleKvdrt Ligeledes hr vi relet f det store kvdrt: Stor Kvdrt A b Kvdrtsætningerne AStor Kvdrt b b Der er fire treknter. En i hvert hjørne. Arelet f en enkelt treknt beregnes som: ATreknt Højde Grundlinie A Treknt b Men der er jo som sgt fire treknter, og deres smlede rel er: AAlleTreknter 4 b A AlleTreknter b Så relet f det lille kvdrt kn vel også skrives som relet f det store kvdrt minus relet f de fire treknter. Tænk blot på, t tegne det store kvdrt og klippe de fire små treknter fr. Tilbge sidder mn med det lille kvdrt. A A A LilleKvdrt StorKvdrt AlleTreknter ALilleKvdrt b b A b LilleKvdrt b Nu hr vi fundet ud f, t relet f det lille kvdrt er lig med f det lille kvdrt er lig med b. c, men vi hr også fundet ud f, t relet D det er det smme kvdrt er c b Q.E.D. Husk, t Pthgors Læresætning KUN gælder for retvinklede treknter!!! Pthgors Læresætning er igennem tiderne blevet bevist på mindst 365 forskellige måder. Det er nemt t huske Det er en n bevisførelse for hver dg i året De forskellige beviser kn læses i denne bog, hvis mn vil dedikere resten f sit liv til Pthgors Loomis, Elish Scott (968), The Pthgoren Proposition, The Ntionl Council of Techers of Mthemtics. Sinusreltionerne

5 Michel Mndi (00) Sinusreltionerne Side 5 f 35 Vi ønsker t bevise følgende sætning: Først tegnes en vilkårlig treknt. (Spidsvinklet) b c (Sinusreltionerne) Sin A Sin Sin C Højden fr indtegnes og figuren målsættes. Punkt D indføres, der hvor højden fr rmmer linien b. c h A b D C Som det ses, inddeler højden fr pkt. den vilkårlige treknt i to retvinklede treknter. Hvis vi betrgter den venstre retvinklede treknt, treknt AD, kn vi opstille følgende ligning med de sædvnlige værktøjer for den retvinklede treknt: Modstående Ktete h Sin A Hpotenusen c h c Sin A Og ser vi tilsvrende på den højre retvinklede treknt, treknt CD, fås et lignende udtrk: Sin C h Modstående Ktete h Hpotenusen Sin C Det er den smme h i de to ligninger. Der er jo ikke tegnet en n treknt i mellemtiden. Derfor kn følgende skrives: SinC c Sin A c Sin C SinA Almindelig division giver: Det er gnske vist kun en del f sinusreltionen (den hedder jo egentlig: b c ), Sin A Sin Sin C men resten kn nemt indses ved t tegne højden fr enten pkt. A eller pkt. C, og så køre beviset igen. (I princippet, kn mn blot nøjes med t ændre nvnene på trekntens hjørner og køre beviset igen. D kn mn undlde t dreje hele figuren og tegne ne højder ) Q.E.D.

6 Michel Mndi (00) Sinusreltionerne Side 6 f 35 Men hvd nu hvis treknten er stumpvinklet i stedet for spidsvinklet? Det viser sig, t beviset er fuldstændig nlogt med det llerede viste bevis for den spidsvinklede treknt: c h A b C D Som det ses, dnner højden fr pkt. den vilkårlige treknt to retvinklede treknter, AD og CD. Hvis vi betrgter den venstre retvinklede treknt, treknt AD, kn vi opstille følgende ligning med de sædvnlige værktøjer for den retvinklede treknt: Modstående Ktete h Sin A Hpotenusen c h c Sin A Og ser vi tilsvrende på den højre retvinklede treknt, treknt CD, fås et lignende udtrk: Sin C h Modstående Ktete h Hpotenusen Sin C Det er den smme h i de to ligninger. Der er jo ikke tegnet en n treknt i mellemtiden. Derfor kn følgende skrives: SinC c Sin A c Sin C SinA Almindelig division giver: Det er gnske vist kun en del f sinusreltionen (den hedder jo egentlig: b c ), Sin A Sin Sin C men resten kn nemt indses ved t tegne højden fr enten pkt. A eller pkt. C, og så køre beviset igen. (I princippet, kn mn blot nøjes med t ændre nvnene på trekntens hjørner og køre beviset igen. D kn mn undlde t dreje hele figuren og tegne ne højder ) Cosinusreltionerne Q.E.D.

7 Michel Mndi (00) Cosinusreltionerne Side 7 f 35 Vi ønsker t bevise følgende sætninger: b c bc c b c b c b b c b c Cos A Cos A b c c Cos Cos c b b Cos C Cos C, der jo tilsmmen udgør cosinusreltionerne Først tegnes en vilkårlig treknt. (Spidsvinklet) Højden fr indtegnes og figuren målsættes. Punkt D indføres, der hvor højden fr rmmer linien b. c h A D C b - Som det ses, inddeler højden fr pkt. den vilkårlige treknt i to retvinklede treknter. Hvis vi betrgter den venstre retvinklede treknt, treknt AD, kn vi opstille følgende ligning med de sædvnlige værktøjer for den retvinklede treknt i dette tilfælde: Pthgors Læresætning: b c h b Ser mn nøje efter, er det blot Pthgors' Læresætning. c h b b Derefter bruges kvdrtsætningerne til t rdde op... Prentesen hæves... c h b b Og ser vi tilsvrende på den højre retvinklede treknt, treknt CD, fås et lignende udtrk: h h

8 Michel Mndi (00) Cosinusreltionerne Side 8 f 35 Resulttet f den seneste udregning, h, indsættes i den første udregning: c h b b c c b b Udtrkket for h b b Og der rddes op... indsættes Det eneste problem er dog nu, t vi ikke kender! Men vh. de gmle regneregler for den retvinklede treknt, kn nemt findes Se blot på tegningen igen, og betrgt specielt treknten CD. Her gælder: Hosliggende Ktete Cosv Hpotenusen Cos C Cos C, hvilket indsættes i den forrige udregning... c b b c b Cos C b c b b Co Og hvis der ændres lidt på fktorernes rækkefølge... s C Det ses, t resulttet er den ene f ligningerne i det, som tidligere blev præsenteret som Cosinusreltionerne, men resten kn nemt indses som det vr tilfældet ved Sinusreltionen ved t tegne højden fr enten pkt. A eller pkt. C, og så køre beviset igen. (I princippet, kn mn blot nøjes med t ændre nvnene på trekntens hjørner og køre beviset igen. D kn mn undlde t dreje hele figuren og tegne ne højder ) Q.E.D.

9 Michel Mndi (00) Cosinusreltionerne Side 9 f 35 Men hvd nu hvis treknten er stumpvinklet i stedet for spidsvinklet? Det viser sig, t beviset er stort set nlogt med det llerede viste bevis for den spidsvinklede treknt, men dog med en lille krølle! Den beskrives senere: c h A C indre C C dre D b b + Som det ses, dnner højden fr pkt. den vilkårlige treknt to retvinklede treknter, AD og CD. Hvis vi betrgter den store retvinklede treknt, treknt AD, kn vi opstille følgende ligning med de sædvnlige værktøjer for den retvinklede treknt i dette tilfælde: Pthgors Læresætning: c h b Ser mn nøje efter, er det blot Pthgors' Læresætning. c h b b Derefter bruges kvdrtsætningerne til t rdde op... Prentesen hæves... c h b b Og ser vi tilsvrende på den lille retvinklede treknt, treknt CD, fås et lignende udtrk: h h Resulttet f den seneste udregning, h, indsættes i den første udregning: c h b b c c b b Udtrkket for h b b Og der rddes op... indsættes

10 Michel Mndi (00) Cosinusreltionerne Side 0 f 35 Det eneste problem er dog nu, t vi ikke kender! Men vh. de gmle regneregler for den retvinklede treknt, kn nemt findes Se blot på tegningen igen, og betrgt specielt treknten CD. Her gælder: Hosliggende Ktete Cos v Hpotenusen Cos C Cos C Men treknt CD er jo kun en hjælpetreknt, som ligger helt uden for den egentlige treknt AC. Og det bemærkes, t vi hr fundet dersiden f vinklen C - C dre. Vi skl jo bruge C indre. Men vinklerne C dre og C indre er jo supplementvinkler. Og det betder, t: Eller i vores tilfælde: 80 Cos v Cos v Cos C indre Cos Cdre Og nu ikke mere snk om indre og dre (Det indførte vi kun for bedre t kunne forstå problemtikken omkring vinkel C.) Det ses, t vi rent fktisk overhovedet ikke bentter C indre, og derfor klder vi blot fremover C dre for C. Altså er: Cos C Cos C, hvilket indsættes i den forrige udregning... c b b c b CosC b Og hvis prentesen hæves, og der ændres lidt på fktorernes rækkefølge... c b bcos C Det ses, t resulttet er den ene f ligningerne i det, som tidligere blev præsenteret som Cosinusreltionerne, men resten kn nemt indses som det vr tilfældet ved Sinusreltionen ved t tegne højden fr enten pkt. A eller pkt. C, og så køre beviset igen. (I princippet, kn mn blot nøjes med t ændre nvnene på trekntens hjørner og køre beviset igen. D kn mn undlde t dreje hele figuren og tegne ne højder ). Grdsligningen Q.E.D.

11 Michel Mndi (009).Grdsligningen Side f 35 eviset for t løsningerne til ² b c 0, 0 kn udregnes som: b d r, hvor d b² 4 c : ² b c 0 4 ² ² 4 b 4 c 0 4 ² ² b b² b² 4 c b² ² b² b b ² b² 4 c Gng med 4 på begge sider Læg b² 4 c til på begge sider Kvdrtsætning d b² 4 c b d Ligning ² Her hr vi indført størrelsen d b² 4 c, som også kldes for ndengrdsligningens diskriminnt. Det viser sig, t den videre løsning f ligningen fhænger f fortegnet for d. d < 0 I ligning, vil højre side d være negtiv, mens venstre side ltid er positiv (eller 0). (Noget i nden potens vil ltid være positivt eller 0). Derfor findes der ingen værdier f, der opflder ligningen. d = 0 Ligning hr i dette tilfælde udseendet: b ² d b b 0 b 0 b b - Altså hr ligningen netop løsnin. g d > 0 Ligning kn videre omskrives således: b ² d b d b d b d - Altså hr ligningen løsninger. Q.E.D.

12 Michel Mndi (00). Grdsligningen Side f 35. Grdsligningen Alterntivt bevis En nden lterntiv metode til t eftervise ndengrdsligningens løsninger, er en metode, som til dels også benttes til udledning f toppunktsfomlen. I modsætning til det forrige bevis, nskueliggøres de forskellige ntl løsninger ikke her. Udelukkende selve formlen udledes. Et ndengrdspolnomium hr forskriften: f b c Vi ønsker t bevise nulpunktsformlen: b d. Koordinterne til toppunktet kn udledes f følgende omskrivning: f b c Sætter udenfor prentesen b c b b Lægger til og trækker fr 4 4 b c b b 4 4 b b b 4 Kvdrtsætning b c b 4 De to sidste led sættes på fælles brøkstreg b 4c b 4 Der skiftes fortegn i det ndet led b 4c b 4 tter om på leddene i tælleren i det ndet led b b 4c 4 d b 4 b d 4 Det ndet led sættes udenfor prentesen b d 4 c

13 Michel Mndi (00). Grdsligningen Side 3 f 35 Eventuelle nulpunkter vil forekomme for f 0, hvilket ifølge ovenstående omskrivning er det smme som: b d 0 4 f b c b d 0 4 Fltter det ndet led over på den nden side b d 4 Dividerer med b d 4 Tger kvdrtroden på begge sider b d 4 b Isolerer ved t fltte over på den nden side og reducerer b d Sætter på fælles brøkstreg b d Q.E.D.

14 Michel Mndi (00) Toppunktsformlen Side 4 f 35 Toppunktsformlen f b c Et ndengrdspolnomium hr forskriften: Vi ønsker t bevise toppunktsformlen: TP b d ; ; 4. Koordinterne til toppunktet kn udledes f følgende omskrivning: f b c Sætter udenfor prentesen b c b b Lægger til og trækker fr 4 4 b c b b 4 4 b b b 4 Kvdrtsætning b c b 4 De to sidste led sættes på fælles brøkstreg b 4c b 4 Der skiftes fortegn i det ndet led b 4c b 4 tter om på leddene i tælleren i det ndet led b b 4c 4 d b 4 b d 4 Det ndet led sættes udenfor prentesen b d 4 c

15 Michel Mndi (00) Toppunktsformlen Side 5 f 35 Den inderste prentes i det ndet led er opløftet i. potens, så derfor vil den ltid være positiv eller mindst lig med nul. D hele udtrkket er en funktion, hvor er den ufhængige vribel, og d det sidste led ikke indeholder er det dermed det første led, som primært dikterer funktionsværdien. Men prentesen er jo positiv eller nul, og dermed er det som er den strende fktor. Så hvis er positiv, vil b Dvs. når 0, hvilket kun er muligt når På smme måde hvis er negtiv vil er lig med 0, og dermed når b, hvilket ses t være det smme, som for når er po- sitiv. f ntge sin mindste værdi når prentesen er lig med 0. f b. ntge sin største værdi når prentesen I begge tilfælde, vil det første led være lig med 0, og funktionsværdien bliver derfor: b d f, 4 hvilket vil sige, t toppunktet, TP, forekommer for b og d. 4 b d TP ; ; 4 Q.E.D.

16 Michel Mndi (00) Rumfng f prmidestub Side 6 f 35 Rumfng f prmidestub Vi ønsker t bevise t formlen: V h G g G g er snd. 3 En prmidestub Ikke nødvendigvis kvdrtisk, men rektngulær, dvs. lle vndrette vinkler er 90! Vi sætter mål på, idet vi går ud fr t bunden og toppen hr smme form, men blot er skleret med fktoren k. b h Den lodrette fstnd mellem de to vndrette plner Top og und sættes til h k k b Herf kn det ses, t: Grundflde lille b g Grundflde stor k k b k b G G g k b b k b kb G g

17 Michel Mndi (00) Rumfng f prmidestub Side 7 f 35 Prmidestubben inddeles i 3 dele:. Den store ksse i midten (Rød). De fire prismer i siderne (Grøn) 3. De fire prmider i hjørnerne (Cn) Vi begnder med den inderste ksse. Som bekendt er rumfnget f en ksse lig med grundflde gnge med højden. b h D grundflden er den smme som topflden, må rumfnget være lig med: V b h ksse Dernæst kommer de fire prismer, som sidder på hver side f prmidestubben. De sidder, som de ses på næste figur og vises med ls grøn frve. Men mn kn indse, t hvis mn tger de prismer, som sidder på bgsiderne f prmidestubben, og drejer dem 80 i forhold til lodret, så kn de lægges smmen med de prismer, som sidder på de modstte sider. Ved denne mnøvre, skl der derved blot regnes på to ksser, som ses med mørkegrøn på næste figur.

18 Michel Mndi (00) Rumfng f prmidestub Side 8 f 35 D sidelængden i bunden er lig med k, må kssernes dbde være lig med hlvdelen f forskellen mellem sidelængden i top og sidelængden i bund, d forskellen fordeles jævnt i begge sider. b k. k k (Og ligeledes for den nden side: Altså er rumfnget f de to ksser: Vsider bk h b k h V b k h sider V bh k sider

19 Michel Mndi (00) Rumfng f prmidestub Side 9 f 35 Til sidst hr vi de fire prmidehjørner. Her forestiller vi os for nemheds skld t kssen i midten og de fire sider fjernes, og de fire hjørner (tegnet op med cn frve) stødes smmen. Herved fremkommer en prmide. (tegnet op med mørk blå på efterfølgende figur.) k b k må D bredden på hver enkelt f de fire hjørner er hhv. eller grundflden f de fire prmider tilsmmen være: k bk 4 bk bk. 4 Højden er nturligvis stdig h! Og derfor er rumfnget f prmiden (iflg. formlen for en prmides rumfng): Vprmide hg h bk 3 3 Vprmide bhk 3

20 Michel Mndi (00) Rumfng f prmidestub Side 0 f 35 Ld os lige opsummere, inden det løber løbsk Vi hr nu rumfngene for lle delfigurer i prmidestubben: V ksse V bh k sider bh Vprmide bh k 3 Derfor må det totle rel være lig med summen f de tre volumener. V V V V prmidestub ksse sider prmide Vprmidestub b h b h k b h k 3 Kvdrtsætning: Vprmidestub b h b h k b h 3 k k Gnger ' b' ind i prenteserne V V prmidestub b b b b h h k b b h k b b k 3 Gnger ' h' ind i den ene prentes prmidestub b b h h k b h b h k b b k b 3 Gnger og dividerer med '3' for t sætte på fælles brøkstreg 3 3 Fktoriserer og sætter h uden for prentesen 3 h k b b k b 3 k b 3 Rdder lidt op Vprmidestub h 3 k b h k b b k b V prmidestub kb 3 Vprmidestub h k b b Vi husker fr begndelsen: k, og Vprmidestub h G g G g 3 b G b g k b G g Q.E.D.

21 Michel Mndi (009) Sklrprodukt og vinkel mellem vektorer Side f 35 Vi ønsker t bevise smmenhængen mellem sklrproduktet og vinklem mellem to givne vektorer, og b. Desuden findes c b c b b c b Vi husker, t selve sklrproduktet er defineret som: b b b. ^ A ; c b b ; b > Af figuren ses det, t: CA b C b b c A b b Cosinusreltionen (se tidligere bevis), giver f.eks.: c b b Cos C Ved t indsætte de fundne udtrk for længderne f vektorerne, b og c, som jo netop svrer til siderne, b og c i treknten, fås følgende: Sklrprodukt og vinkel mellem vektorer

22 Michel Mndi (009) Sklrprodukt og vinkel mellem vektorer Side f 35 c b bcos C Indsætter værdierne fr tegningen b b b b b Cos C Kvdrtrod i nden potens ophæver sig selv b b b b b Cos C b Kvdrtsætninger b b Reducerer Dividerer igennem med b b b b Cos C b b b Cos C b b Cos C Vi husker, t sklrproduktet er defineret som: b b b b b Cos C b Q.E.D.

23 Michel Mndi (00) Tre-trins-reglen for differentilkvotienter Side 7 f 7 rins-modellen - generelt Vi ønsker t vise, t hældningen på en funktion i et givet punkt, kn defineres som differentilkvotienten f ' lim lim f f 0 0 Det er noget f en påstnd! Ld os begnde fr begndelsen. Vi forestiller os en funktion, f, hvis kurve er beliggende i et lmindeligt koordintsstem. Se figur. Funktionen f er fbildet som den blå kurve. f f () P Figur : Grfen for funktionen f med punktet P Vi ønsker t bestemme funktionens hældning i punktet P. Ld os se lidt på det punkt. Ser mn nærmere efter, opdger mn t punktet P projiceres ned på -ksen i værdien. Således kn dette punkt være hvor som helst på funktionen. Den eneste betingelse er dog, t funktionen skl være differentibel og dermed også kontinuert i dette punkt smt i det område, som undersøges. Der er nturligvis også en funktionsværdi. Den er som normlt lig med Dette indses ved t projicere punktet P ind på -ksen. f. Hældningen i dette punkt, kn bestemmes ved en kendt geometrisk figur. Det er tngenten, t, som berører funktionen i ét og kun et punkt nemlig i punktet P. Se figur. Tngenten er den røde linie. Tngenten kendetegnes ved t hve smme hældning, som funktionen i netop røringspunktet. Hold godt fst på denne tngent! Den kommer vi tilbge til om et øjeblik t f f () P Figur : Tilføjet tngenten i punktet P (Den røde linie)

24 Michel Mndi (00) Tre-trins-reglen for differentilkvotienter Side 7 f 7 Vi indfører nu et ndet punkt, Q, som også er beliggende på funktionen. For nemheds skld ligger Q til højre for P på kurven i dette tilfælde. Den vndrette fstnd mellem P og Q sættes til. Smbolet (Det græske bogstv, store delt) er kendt fr bl.. fsikken og bruges i forbindelse med tilvækst, forndring, ændring eller udvidelse. I dette tilfælde er det forskellen på hhv. punkterne P og Q s -værdier. D punktet P s -værdi blot kendes som, og dermed ikke kn beskrives nderledes, må punktet Q s -værdi være lig med:. t f f (+Δ) f () P Q Figur 3: Tilføjet punktet Q +Δ På smme måde, som for punktet P, findes funktionsværdien til punktet Q. D er punktet Q s -værdi, må den tilhørende funktionsværdi nødvendigvis f Se figur 3. være lig med: Således hr vi nu to veldefinerede punkter, beliggende på kurven for P ; f og ; Q + f +. f, nemlig Den vndrette fstnd mellem P og Q er jo llerede givet som i -værdien. Se figur 4. ltså ændringen Men hvd med den lodrette fstnd? Af figuren ses, t den kn findes som f + - f ltså funktionsværdien i pkt. Q minus funktionsværdien i pkt. P. ltså den lodrette til- Ld os for nemheds skld klde denne lodrette fstnd for vækst (fstnd) mellem P og Q. Se figur 4.

25 Michel Mndi (00) Tre-trins-reglen for differentilkvotienter Side 7 f 7 t f f (+Δ) f () P Q Δ Figur 4: estemmer Δ og Δ +Δ Δ Vi tegner nu en streg, som går igennem de to punkter P og Q. Denne linie kldes for en seknt. (Seknt, (f ltin secns, 'skære'), i mtemtik en linje gennem to punkter på en kurve.) t s f f (+Δ) f () P Q Δ Figur 5: Indfører seknten, s (Grøn linie) +Δ Δ etrgter vi seknten mellem P og Q som hpotenusen i den retvinklede treknt der dnnes, som vist på tegningen, den lill treknt på figur 6, kn vi udregne hældningen f hpotenusen. Det er denne størrelse, som vi fremover vil referere til som differenskvotienten ltså forholdet mellem ændringen i -retningen og i -retningen for en seknt. t s f f (+Δ) f () P Q Δ Figur 6: Den retvinklede treknt +Δ Δ

26 Michel Mndi (00) Tre-trins-reglen for differentilkvotienter Side 7 f 7 Vi husker fr trigonometrien: Hældningen: modstående ktete Sin hosliggende ktete Cos Tn modstående ktete Hvis vi tger, kn vi i figuren flæse, t hpotenusens det vil i hosliggende ktete dette her tilfælde sige sekntens hældning (eller differenskvotient) må være det smme som:. Dette er et meget vigtigt punkt i beviset, så derfor opsummerer vi lige, hvd vi hr nået indtil nu Vi hr en funktion med et punkt P. Vi ønsker t finde hældningen i dette punkt, så derfor forestiller vi os funktionens tngent i punktet P. Dernæst sætter vi endnu et punkt Q på funktionen. Mellem punkterne P og Q, tegnes en seknt. Ved hjælp f en simpel trigonometrisk betrgtning, findes sekntens hældning (differenskvotient) t være lig med:. Nu er det tngentens hældning vi søger, og ikke sekntens. Derfor ser vi på hvd der sker, hvis Δ bliver mindre f.eks. hlveret. t s f (+Δ) f () P Q Δ f Δ +Δ

27 Michel Mndi (00) Tre-trins-reglen for differentilkvotienter Side 7 f 7 t s f f (+Δ) Q Δ P f () Δ +Δ Ved t indsætte de fundne: n rette linie Vi ønsker t vise, t hældningen på en ret linie mellem to punkter kn skrives som:. Ydermere ønsker vi t bevise, t b. En ret linie er lmindeligvis defineret som en funktion f b, for hvilken der for to vilkårlige punkter på funktionen gælder, t. er en konstnt, som beskriver funktionens hældning. Tænk på hældningen, som t gå et vndret skridt (som regel mod højre) og et lodret skridt (op eller ned). Afhængigt f, hvor store skridtene er, beskrives hældningen som mere eller mindre stejl. Tger mn f.eks. et meget stort skridt til højre, og et lille bitte skridt op, så er hældningen meget lille (og positiv). Tger mn et lille skridt til højre og et kæmpe skridt nedd, så er hældningen meget stor (og negtiv). Det er ltså det lodrette skridt, som bestemmer om hældningen er positiv eller negtiv. Går mn opd mod højre, er hældningen positiv. Går mn nedd mod højre er hældningen negtiv. I specielle tilfælde, kn det være en fordel t tænke på, t mn går mod venstre, og så er det hele bre omvendt. Q.E.D. Så nu er det ltså nødvendigt t finde ud f, hvor store skridtene er hend og opd. Enhver linie kn indlægges i et krtesisk (et normlt retvinklet) koordintsstem. Det vil smtidig sige, t de to punkter (som jo ligger på linien) også er i det smme koordintsstem. D det er retvinklet, må der ltså findes en vndret fstnd og en lodret fstnd mellem de to punkter.

28 Michel Mndi (0) Den rette linie Side 8 f 35 Vi kn indføre et tredje punkt, som er vribelt. Det kn i teorien ligge hvor som helst P ; og P ; er de to fste punkter, kn vi klde det vri- på linien. Hvor ble punkt for P ;. På en ret linie, må lle punkter hve en indbrdes lige stor hældning - unset, hvor punkterne ligger på linien. Det er derfor t er konstnt. D hældningen er konstnt, opstiller vi hældningen for to punktsæt. Det ene punktsæt er P og P og det ndet er P og P.

29 Michel Mndi (0) Den rette linie Side 9 f 35 Dvs. t: Vi kn derfor omskrive udtrkket til: ngentligningen". Ligningen på denne form kldes også for "T Vi gnger ind i prentesen og lægger til på begge sider. b Vi husker, t. er begge konstntled, Der er ingen ukendte vrible og kn smles under det ne nvn: b. Q.E.D.

30 Eksponentilfunkt ione n Michel Mndi (0) Eksponentilfunktionen Side 30 f 35 Vi ønsker t vise, t forskriften for en eksponentilfunktion med ligningen: f b P ; og P ;, som, 0, kn findes hvis mn hr to punkter: grfen går igennem. Definition: Ved en potensfunktion forstås en funktion f med forskriften:, hvor og f b b er tlkonstnter. Der gælder t: og b evis: D og,, begge ligge på grfen for f, må der gælde t: b og b divideres med : b b Vi husker fr tidligere: p p Vi husker fr tidligere: n p n p

31 Michel Mndi (0) Eksponentilfunktionen Side 3 f 35 Der mngler stdig formlen for b. Det er tidligere givet t: b eller b Der divideres med -fktoren. b b b eller b b b Er det i forbindelse med en opgve, hvor mn bliver bedt om t ngive funktionsforskriften, så er det vigtigt t smle og b i det smlede udtrk: f b

32 Michel Mndi (0) Fordoblings- og hlveringskonstnter Side 3 f 35 Vi ønsker t vise, t fordoblingstiden T for en voksende eksponentilfunktion f b evis: er givet ved: T log log f 0 b b b Det må være således, t 0 Funktionsværdien til tiden t 0 (hvornår det så end er), er ltså b. emærk, t det ikke er vigtigt t kende det præcise begndelsestidspunkt, d fordoblingskonstnten jo er den tid, som der til ethvert tidspunkt skl gå, før end t funktionsværdien er blevet fordoblet. Dog må det være en kendsgerning, t den dobbelte funktionsværdi f b må være b! Vi indsætter ltså funktionsværdien b i forskriften og isolerer. f b b b log log Idet vi husker, t: log log log log log log Q.E.D.

33 Michel Mndi (0) Fordoblings- og hlveringskonstnter Side 33 f 35 Vi ønsker t vise, t hlveringstiden T for en ftgende eksponentilfunktion f b er givet ved: evis: T log log f 0 b b b Det må være således, t 0 Funktionsværdien til tiden t 0 (hvornår det så end er), er ltså b. emærk, t det ikke er vigtigt t kende det præcise begndelsestidspunkt, d hlveringskonstnten jo er den tid, som der til ethvert tidspunkt skl gå, før end t funktionsværdien er blevet hlveret. Dog må det være en kendsgerning, t den hlve funktionsværdi f b må være b! Vi indsætter ltså funktionsværdien b i forskriften og isolerer. f b b b log log Idet vi husker, t: log log log log log log Q.E.D.

34 Michel Mndi (04) Arelberegning f n-sidet polgon ved brug f determinnt Side 34 f 35 Arelberegning f n-sidet polgon ved brug f determinnt A 3 3 n knt 3 3 n n 3 n 3 n n n eviset kn gennemføres som et induktionsbevis. Vi ved fr tidligere (og fr bogen), t formlen er snd for en treknt n 3. Vi ntger, t det også er sndt for ethvert n, og t det også gælder for n. Givet en polgon med n sider, som er nvngivet mod uret. A 3 3 n 3 3 n n n n Sorterer efter positive og negtive led. A n 3 n 3 n P P n P P 3 Dette er ltså relet f det grønne mrkerede område, i det omfng t punkterne er givet i rækkefølge mod uret. Nu tilføjes et ekstr punkt. Punkt nr. n. Det vil nturligvis ændre det smlede rel f polgonen, og ændringen (og den gule mrkering på næste figur), er præcis relet f den just dnnede treknt. Den ne (gule) treknt hr koordintpunkterne: P ; n n n P ; n n n P ; P n+ P n P Arelet f den ne gule treknt, A t, er givet ved den smme formel: P P 3 Induktion er en bestemt tpe mtemtisk bevis, som er meget velegnet til t bevise t en mtemtisk hpotese er snd for lle nturlige tl, eller ndre tlmængder, som er velordnet. Induktionsprincippet består f skridt: bsisskridtet (induktionsstrten, strtbetingelsen) og induktionsskridtet.. sisskridt: I bsisskridtet beviser mn t hpotesen er snd ved det mindste tl i tlmængden. Dette er tpisk, d mn ofte vil bevise sætningen for de nturlige tl.. Induktionsskridt: I induktionsskridtet beviser mn, t hvis hpotesen gælder for tllet n (denne ntgelse kldes induktionsntgelsen), så gælder den også for tllet n+. På denne måde kn mn bevise t hpotesen gælder for lle hele tl fr bsisskridtet og opefter. Hvis tilfælde er snd, så er tilfælde også snd, d tilfælde er snd. Så er 3 også snd, når er snd, osv. Dette princip kn smmenlignes med dominoeffekten. Hvis du hr en lng række dominobrikker stående efter hinnden, kn du udlede følgende:. sisskridt: Den første dominobrik vælter.. Induktionsskridt: Når en dominobrik vælter, vil den næste vælte. Derfor vil lle dominobrikker vælte. Kilde: Induktion (Mtemtik) :5

35 Michel Mndi (04) Arelberegning f n-sidet polgon ved brug f determinnt Side 35 f 35 n n A n n t n n n n n n n n n n Sorterer efter positive og negtive led. A t n n n n n n n n Det smlede rel f n -knten er ltså relet f den oprindelige n -knt, rel, A t. A A A n n t A n, dderet med det ne A n 3 n 3 n n n n n n n n n A n 3 n 3 n n n n n n n n n A n 3 n n n 3 n n n Hvilket beviser ved induktion, t formlen er rigtig! Mn kunne her indvende: Hvd nu, hvis det ne punkt vr på indersiden f den originle polgon? I det tilfælde ville den ne treknt, Pn, Pn, P blive nvngivet i rækkefølge med uret, og ikke mod uret. Så ville relet f den ne treknt, A, blive udregnet som negtivt. Den lgebriske ddition f trekntens rel til den oprindelige n -knt, n -knt, An. t A n, resulterer således i et nt og mindre rel f den ne Q.E.D. Dette bevis er væsentligt inspireret f beviset, som findes på Internetsiden: , 9:53 Dog er der tilføjet ekstr oplsninger og udregninger smt indlsende nok en oversættelse.

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen Gmnsie-Mtemtik Søren Toftegrd Olsen Søren Toftegrd Olsen Skovvænget 6-B 7080 Børkop Gmnsie-Mtemtik. udgve, revision 0 ISBN 978-87-99996-0-0 VIGTIGT: Denne og må ikke sælges eller ændres; men kn frit kopieres.

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul Bogstvregning En indledning for st og f. del 008 Krsten Juul ) )( ( ) ( ) ( Indold 0. Gnge to prenteser....,, osv... 7. Kvdrtsætninger... 0. Brøer. del... Bogstvregning. En indledning for st og f.. del.

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Integralregning. Erik Vestergaard

Integralregning. Erik Vestergaard Integrlregning Erik Vestergrd Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, Hderslev 4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse. Indledning 4. Stmfunktioner 4. Smmenhængen

Læs mere

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1 SEKTION 7 FOURIERANALYSE 7 Fouriernlyse Periodiske funktioner er vigtige i mnge smmenhænge, både videnskbeligt og teknisk Vi vil normlisere, så ntger, t perioden er π Disse funktioner er bedst nlyseret

Læs mere

Analyse 30. januar 2015

Analyse 30. januar 2015 30. jnur 2015 Større dnsk indkomstulighed skyldes i høj grd stigende kpitlindkomster Af Kristin Thor Jkosen Udgivelsen f Thoms Pikettys Kpitlen i det 21. århundrede hr fstedkommet en del diskussion f de

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning:

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning: Pythgors sætning I denne note skl i gie tre forskellige eiser for Pythgors sætning: Pythgors sætning I en retinklet treknt, hor den rette inkel etegnes med, gælder: + = eis 1 Ld os tegne et stort kdrt

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Niels Just Mikkelsen mac3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Forløb

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2 Mt1GB Minilex Henrik Dhl, Hold 8 29. mj 2003 Indhold 1 Definitioner 2 2 Sætninger m.v. 18 2.1 Begrænsethed, åben/lukket..................... 18 2.2 Differentition............................ 18 2.3 Differentilligninger.........................

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever.

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever. År Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse HF2-årigt Fag og Matematik C niveau Lærer Søren á Rógvu Hold 1b Oversigt over forløb Forløb 1 Forløb 2 Forløb 3 Forløb 4 Forløb 5 Forløb 6 Forløb

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi Stort energi- og stndby forbrug? En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Sluk for det hele......

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk Vielsesringe Designer og guldsmed Jn Jørgensen Siden 1995 hr Jn Jørgensen hft egen virksomhed, hvor nturen i det rske og åne Nordjyllnd hr givet inspirtion til det meste f designet. Smykker i de ædleste

Læs mere

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul Kot om Potenssmmenhænge 011 Ksten Juul Dette hæfte indeholde pensum i potenssmmenhænge, heunde popotionle og omvendt popotionle vible, fo gymnsiet og hf. Indhold 1. Ligning og gf fo potenssmmenhænge...

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi 2 En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Energy Efficiency Energieffektivitet hndler ikke kun

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2011 Institution Herningsholm Gymnasium, hhx i Herning Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hhx Matematik

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Sådan gør du i GeoGebra.

Sådan gør du i GeoGebra. Sådan gør du i GeoGebra. Det første vi skal prøve er at tegne matematiske figurer. Tegne: Lad os tegne en trekant. Klik på trekant knappen Klik på punktet ved (1,1), (4,1) (4,5) og til sidst igen på (1,1)

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj-juni 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Bodil Krongaard Lindeløv mac2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014 Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Handelsskolen Silkeborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Frede

Læs mere

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Spørgsmål Nr. 1. Spørgsmål Nr. 2

Spørgsmål Nr. 1. Spørgsmål Nr. 2 Spørgsmål Nr. 1 TITEL: Statistik Definition af beskrivende statistik Opdeling af beskrivende statistik i grupperede observationer og ikke grupperede observationer Deskriptorerne typetal og middelværdi

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

Lineære funktioner. Erik Vestergaard

Lineære funktioner. Erik Vestergaard Lineære funktioner Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Lineære funktioner En vigtig tpe funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner.

Læs mere

Lærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen

Lærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen Lærervejledning Træn matematik på computer Materialet består af 31 selvrettende emner til brug i matematikundervisningen i overbygningen. De fleste emner består af 3 sider med stigende sværhedsgrad. I

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2015 VUC

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg Hf

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Mundtlig eksamen Maj-Juni 2014 Institution VUF Uddannelse Fag og niveau stx (Studenterkursus) Matematik C

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Repetition og eksamensforberedelse.

Repetition og eksamensforberedelse. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) maj-juni 2014 skoleår 13/14 Herning HF og VUC Hf Matematik C

Læs mere

Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse. Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse

Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse. Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse Indhold Indledning 2 Undervisningsforløbet 3 Mål for forløbet 3 Relationsmodellen 3 Planlægningsfasen

Læs mere

CONLIT BRANDSIKRING AF VENTILATIONSKANALER

CONLIT BRANDSIKRING AF VENTILATIONSKANALER CONLIT BRANDSIKRING AF VENTILATIONSKANALER Monteringsvejledning for brndisolering iht. DS428, 4. udgve, 2011 - og lukninger med Conlit Brndskotplde, EI60 [BS60] Klsse EI 30/E 60 A2-s1, d0 1 2013 Runde

Læs mere

KIRKEBLAD. Der. var en. 14. oktober 1917-14. oktober 2007. Gud Faders Ånd! Kom til os ned med himlens ild: Guds kærlighed!

KIRKEBLAD. Der. var en. 14. oktober 1917-14. oktober 2007. Gud Faders Ånd! Kom til os ned med himlens ild: Guds kærlighed! Der KIRKEBLAD vr en FOR KJELLERUP OG OMEGNS VALGMENIGHED Nummer,sfnældksfn123k39843948 3 September 2007 22. Årgng 14. oktober 1917-14. oktober 2007 Gud Fders Ånd! Kom til os ned med himlens ild: Guds kærlighed!

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik C Angela

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere