Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat θˆmed en tilhørende se

Transkript

1 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag 5. februar 00 Morten Frydenberg, Institut for Biostatistik. Type og type fejl Statistisk styrke Nogle speciale metoder: Normalfordelte data : t-test eksakte sikkerhedsintervaller Binomialfordelte data : eksakte sikkehedsintervaller Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers eksakte test Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat θˆmed en tilhørende se ( θˆ for den ukendte størrelse, θ,som man er interesseret i. Et approksimativt 95% sikkerhedsinterval : θˆ±.9 se ( θˆ En specifik hypotese om at q = q 0 kan testes ved θˆ θ 0 θˆ θ 0 z = eller z = se( θˆ se( θˆ Store værdier af z (eller z er kritiske! p-værdi via standard normalfordeling eller c ( -fordeling Approksimation Den vender vi tilbage til! Nogle statistiske begreber Type fejl: At forkaste hypotesen, selvom den er sand. Type fejl: At acceptere hypotesen, selvom den er falsk. Signifikansniveau: Den grænse man sætter for den mindste p-værdi, der leder til at man accepterer hypotesen. Som regel sættes signifikansniveauet til 5%. Hvis hypotesen er sand: Sandsynligheden for type fejl =sandsynligheden for forkaste hypotesen =signifikansniveauet M.a.o. sandsynligheden for type fejl er kendt og lig signifikansniveauet (=5%. 3 Type fejl: At acceptere hypotesen, selvom den er falsk. Hvad er sandsynligheden for type fejl? Afhænger af: Hvad der så er sandt! Informationsmængden! Sandheden langt fra hypotesen fi lille ss. for type fejl Sandheden tæt på hypotesen fi stor ss. for type fejl Meget information/data fi lille ss. for type fejl Lidt information/data fi stor ss. for type fejl Statistisk styrke = - sandsynlighed for type fejl 4 Planlægning af et follow-up studie: Antagelser: KIP blandt ikke eksponerede = %. Sand relativ risiko = eksponerede og ikke eksponerede. 5 Øges deltagerantallet til *3000 bliver chancen for type fejl reduceret til % styrken er 89%. 00 Styrken som funktion af gruppe størrelsen : Two group test of equal proportions (odds ratio = (equal n's Æ = ÒÁ= 0.00 ÒÂ= 0.00 Når data er indsamlet vil man teste hypotese RR=. Sandsynligheden for at få data, der leder til accept af dette (Type fejl = 39%, dvs en styrke på %. Mao. lille chance for at få bekræftet at der en sammenhæng. Ikke besværet værd! Power Sample Size per Group

2 Afhænger af designet. Statistisk styrke Afhænger af statistisk metode. Relevant i planlægningsfasen. Når data er indsamlet er bredden af sikkerhedsintervaller udtryk for informationsmængden. 7 Simpel analyse af normalfordelte data Model/antagelse: Data er n uafhængige observationer fra en normalfordeling med ukendt middelvædi, µ, og spredning, σ. Estimaterne for disse er : n n µ ˆ = x = x ˆ ( i s i n σ = = n x x i= i= se( µ ˆ = se( x = σˆ n = s n Ofte kaldet sem,standard Error of the Mean Et eksakt CI for µ : x ± tn sem t n- findes i en tabel over t-fordelingen Fødselsvægt for børn født af 7.gangsfødende n = 4 x = 3399g s = 4g sem = s n = 4 4 = 7g Under antagelse af normalfordeling : x ±. sem Eksakt 95% CI for middelfødselsvægten: = 3399g ±. 7g Hvor kommer de. fra? = ( 307, 377 g Tabel over tosidige halesandsynligheder i t-fordelingen Bland side Uendelig %=(00-5% n-=4-=3 frihedsgrader (degrees of freedom t=. Uendelig mange frihedsgrader = Standard normalfordeling 0 Simpel analyse af normalfordelte data One sample t-test Hypotese : µ= µ 0 Test : x µ 0 z = sem p-værdi: Slå op i en t-fordeling med n- frihedsgrader (ikke i en standard normalfordeling Eksemplet : Middelfødselsvægten er 3700g z = =.75 Eksakt p-værdi=0.3% 7 Konklusion: Data strider ikke mod hypotesen. p-værdi vha. af tabel opslag z = Uendelig n-=4-=3 frihedsgrader (degrees of freedom z =.75 er lidt mindre end.77 p-værdien er derfor lidt større end 0%

3 Analyse af to sæt (uafhængige normalfordelte data Paritet n x s sem 8 35g 57g g g 4g 7g Estimat for spredningen blandt 7. gangsfødende Estimat for spredningen blandt. gangsfødende 3 Estimat for fælles spredning: Nyt bud på sem erne: sem = sf n 8 = 3g Paritet n x s sem sem (fælles 8 35g 57g 3g g g 4g 54g 7g sf sem = s n 4 = 54g 7 F 7 4 Et fælles estimat for spredningen : s F = ( n s + ( n s n + n ( ( 4 4 = se( x x = sem + sem = = 05g % eksakt CI for forskel i middelfødselsvægt, µ - µ 7 : ( x x ± t se 7 ( x x7 = ( g ±.04 05g = ( 0, 34 g Fra t-fordeling med n +n 7 - frihedsgrader Tabel over tosidige halesandsynligheder i t-fordelingen 5 Analyse af to sæt (uafhængige normalfordelte data Two sample t-test Uendelig n +n 7 -=8+4-=30 frihedsgrader 95%=(00-5% z = ( x x7 δ0 se( x x µ - µ 7 = δ 0 7 p-værdi: Slå op i en t-fordeling med n +n 7 - frihedsgrader (ikke i en standard normalfordeling Eksemplet : Forskel i middelfødselsvægten er 0g ( z = = =.05 Eksakt p-værdi=30% t=.04 Konklusion: Data strider ikke mod hypotesen. Kommentarer Hvis antagelsen om normalfordeling er rimelige : Fordelingen kan beskrive ved blot to tal : Middelværdi og spredning! Eksakte CI og p-værdier - ingen approksimationer! Også mulighed for at sammenligne spredninger (dækkes ikke på dette kursus Mere komplicerede modeller og analyse metoder : Variansanalyse (ANOVA Lineær regressionsmodeller Ikke-lineær regressionsmodeller Faktoranalyse +meget mere 7 Flere kommentarer Metoderne til analyse af en stikprøve fra en normalfordeling bruges ofte hvis man har parrede data: To målinger per patient, før/efter behandling Beregn efter-før=obs. behandlingseffekt Hvis disse kan antages at være normalfordelte så analyse som en stikprøve fra en normalfordeling Dette kaldes Parret t-test Hvordan checker man antagelsen om normalfordeling? Plot data - histogrammer, normal plots (Q-Q plots. Hvad siger erfaringen om tilsvarende data? 8 3

4 Komponenter i middelværdi og variation Altid mindst to komponenter i middelværdi og variation: Disse skyldes egenskaber ved populationen målemetoden Middelværdi = Middelværdi i populationen + Systematisk målefejl Variation = Variation i populationen + Tilfældig målefejl 9 Analyse af binomialfordelt data Data er binomialfordelt hvis : Uafhængige delforsøg Præcist to mulige udfald (dreng/pige, død/levende 3 Sandsynligheden for succes, π, er den samme for alle delforsøg. 4 Antal, n, delforsøg man betragter afhænger ikke af udfaldene. Eksempel : Antal drenge ud af 49 fødsler: ok? Enæggede tvillinger med? ok!! 0 3 ok 4 ok? Data indsamlet uden at snyde! Binomial fordelt data: x = antal succeser og n = antal observationer ukendt, men interessant π = sandsynlighed for succes x Estimation: πˆ= og se( πˆ = πˆ ( πˆ n n Approksimativt 95% CI : πˆ±.9 se( πˆ God approksimation hvis x og n-x ikke er for små Eksempel, Streptomycin, Bland Table (=n personer deraf 3 (=x fået det bedre : 3 πˆ = = 0.87, se( πˆ = ( = Approks. 95% CI: Dårlig approksimation! 0.87 ± = ( 0.95,.039 Ups! Eksakt/korrekt 95% CI ( findes vha. af tabel eller computer ( 0.594, Morale: Hvis der er få eller mange hændelser, så er approksimationerne ikke gode! En 5 tabel Bland table 3.. Boligform og for tidlig fødsel : Housing tenure Preterm Term Total Owner-occupier Council tenant Private tenant 4 75 Lives with parents 7 Other Total Ingen sammenhæng Forventet antal preterm fødsler blandt de der bor i egen bolig : = 3 Forventet under hvis hypotesen er sand: Housing tenure Preterm Term Total Owner-occupier Council tenant Private tenant Lives with parents Other Total Et mål for forskel mellem observeret og forventet: X = alle celler ( observeret forventet forventet Er stor ved dårlig overensstemmelse! X =

5 Vi har fået X =0.5 Hvor ofte vil man få noget større? Slå op i en c -fordeling! Med (5-(-=4 frihedsgrader. Resultat p=0.03! Det var ikke særligt sandsynligt at få disse data hvis hypotesen er sand! Hypotesen forkastes! Bland side 33 : tabel over c -fordelingerne. Men kun udvalgte p-værdier 0, 5, og 0. %. 5% svarer til X =9.49 % til X =3.8 Dvs %<p-værdi<5% 5 Test for ingen association i R C tabeller Ingen sammenhæng melllem de to inddelingskriterier X rækkesum søjlesum forventet = total = alle celler En stor værdi af X er kritisk. ( observeret forventet forventet p-værdi findes i en c - fordeling med (R-(C- frihedsgrader. Test for ingen association i tabeller 7 Svangerskabs- Køn længde Dreng Pige Total Total Ingen sammenhæng mellem køn og svangerskabslængde Teststørrelsen kan let beregnes i hånden som: ( X = =.40 < p-værdi >0.05 Hypotesen kan accepteres! tabeller Status Population 0 a b n c d n s s 0 N Ingen association Test: ( a d b c N X = n n s s 0 Slåes op i en c -fordeling med frihedsgrad. 8 tabeller : Fishers eksakte test Amning og tandstilling: Ingen sammenhæng Problemer med tandstilling Amning Nej Ja Sum Bryst 4 0 Flaske Sum For få data til at approksimationer kan bruges! Løsning: Fishers eksakte test (computer. Resultat (kun en p-værdi! Her: p-værdi=9% Konklusion: Data strider ikke mod : Ingen sammenhæng 9 Kommentarer til test for ingen association i tabeller Hvis der er 5 eller mindre i en af cellerne, så bør man bruge Fisher s eksakte test. Nogle anvender et kontinuitets (eller Yates korrigeret version af X - testet: ( a d b c N N X C = n n s s Det giver lidt større p-værdier. 0 Der er mange argumenter for og imod dette valg. Brug jeres tid på noget mere fornuftigt!!! 30 5