Udledning af Keplers love
|
|
- Augusta Frank
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg her gennemgå fysikken, der leder hen til Keplers første lov. Efterfølgende vil jeg udlede Keplers anden lov ud fra en overvejelse omkring det bevarede angulære moment for planetbaner. Til sidst vil jeg udlede Keplers tredje lov ud fra Keplers første og anden lov. To-legeme problemet er ofte omtalt i forbindelse med Keplers love. Her vil jeg præsentere en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. For at gøre analysen nemmere, vil jeg dog benytte mig af Lagrange-formalismen, og jeg vil ydermere benytte mig af, at analysen bliver meget nemmere, hvis den laves i massemidtpunktssystemet. Lad R angive positionen af massemidtpunktet fra et arbitrært referencepunkt, og lad r 1 og r være stedvektorerne for de to legemer, som problemet involverer. Den relative vektor r = r 1 r vil dermed være vektoren fra legeme til legeme 1 I det følgende vil en prik over et symbol angive en tidsdifferentiation, altså Ṙ d dtr, hvor det er underforstået, at alle vektorer er tidsafhængige. Det kan vises, at den totale kinetiske energi i et to-legeme system er givet ved T = 1 MṘ + 1 µṙ, (1) der netop viser, at den totale kinetiske energi kan betragtes som den kinetiske energi fra et legeme med den totale masse M = m 1 + m, der bevæger sig med den samme hastighed som massemidtpunktet, og m i er massen af det i te legeme. Det andet led angiver den kinetiske energi af et legeme med massen µ, der er bevæger sig hastigheden svarende til den relative position. µ svarer til den reducerede masse af systemet; µ = m1m M. Lad os vende tilbage til problemet omtalt i første afsnit. I massemidtpunktssystemet vil massemidtpunktet naturligvis ikke bevæge sig, hvormed det haves, at Ṙ = 0, hvormed lagrangefunktionen reducerer til L = 1 µṙ U(r), () hvor U(r) angiver centralpotentialet i Newtonsk tyngdekraft. Det er nu fordelagtigt at udtrykke lagrangefunktionen i polære koordinater, så lagrangeligningen kan opsplittes i en ligning for den radielle afstand og en ligning for vinkelafhængigheden. Ud fra bevarelse af det angulære moment kan det vises, at bevægelsen 1
2 i massemidtpunktssystemet vil foregå i et plan, så dette plan vælges som koordinatsystem. I polære koordinater kan lagrangefunktionen opskrives som L = 1 µ(ṙ + r φ ) U(r). (3) Det kan ses, at lagrangefunktionen er uafhængig af φ, hvormed lagrangeligningen for vinkelafhængigheden blot reducerer til L φ = µr φ = l, (4) og da µr φ blot er det angulære moment siger denne ligning blot, at det angulære moment er konstant. Lagrangeligningen for den radielle del, L r = d L dt ṙ vil tage formen du dr = µ r µr φ, (5) hvor højresiden blot er den radielle del af Newtons anden lov, F = µa. Opgaven består nu i at løse bevægelsesligningerne for den radielle del og vinkeldelen, altså (4) og (5). Første skridt er at eliminere vinkelhastigheden fra (4) til fordel for det angulære moment l. Den radielle ligning kan da omskrives til µ r = du dr + µr φ = du dr + F cf, (6) der netop har formen for Newtons anden lov for en partikel i én dimension med massen µ, position r, der er under påvirkning af den virkelige kræft du dr samt den fiktive centrifugalkraft F cf = µr φ = µ v φ r. Problemet med bevægelsen af de to legemer vi startede med, er nu blevet reduceret til et et-dimensionelt problem. Det kan være meget lærerigt herfra at omskrive centrifugalledet ved at eliminere vinkelhastigheden til fordel for det angulære moment, F cf = l µr 3. (7) For at gøre det hele nemmere, kan vi nu betragte centrifugalkraften ved en centrifugal potentiel energi: F cf = d ( ) l dr µr = du cf dr, (8) med den centrifugale potentielle energi defineret som U cf (r) = disse omskrivninger kan (5) skrives som l µr. Ud fra µ r = d dr [U(r) + U cf (r)] = d dr U eff (r), (9) hvor jeg har indført den effektive potentielle energi som summen af den gravitationelle potentielle energi og den centrifugelle potentielle energi: U eff (r) = U(r) + l µr. (10)
3 Ud fra denne analyse er det tydeligt, at den radielle bevægelse er præcis den samme som hvis legemet bevægede sig en én dimension under det effektive potentiale. Det er i mange tilfælde praktisk at udtrykke r som funktion af φ i stedet for som funktion af tiden. Derfor ville det være praktisk at overgå fra r(t) til r(φ). Lad mig derfor starte med at omskrive (8) til en differentialligning i en ny variabel, u = 1 r. Første skridt er at omskrive radialligningen ved at indføre F = du dr : µ r = F (r) + l µr 3. (11) Herefter bruges kædereglen til at omskrive differentialoperatoren d dt : d dt = dφ d dt dφ = φ d dφ = lu d µ dφ. (1) Via lidt omskrivning af tidsdifferentiationen af radius (i forbindelse med r og ṙ) fås da, at l u µ d u dφ = F + l u 3 µ u (φ) = u(φ) Løsning af differentialligning under centralfelt µ l F. (13) u(φ) Lad mig nu vende tilbage til det oprindelige formål med denne note: At udlede Keplers love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Det vil altså indebære, at vi skal få løst (13) under betingelsen af, at kræften, F, er Newtons version af tyngdekraften. Det vil altså derfor være gældende, at F (r) = G m 1m r = γu, (14) hvor γ = Gm 1 m og u = r 1. Ved at indsætte i (13) fås da, at u (φ) = u(φ) + l. (15) Denne differentialligning er simpel at løse, hvis vi laver substitutionen fra u(φ) til ω(φ) via ω(φ) = u(φ) l, (16) der netop giver den simple differentialligning Den generelle løsning til denne differentialligning er ω (φ) = ω(φ). (17) ω(φ) = A cos(φ δ), (18) hvor A er en positiv konstant og δ er en konstant, der kan vælges således, at den er nul, når φ = 0. Ved tilbageskift til u(φ) fås den generelle løsning til u(φ) = + A cos φ = (1 + ɛ cos φ), (19) l l 3
4 hvor ɛ blot er et nyt navn til den dimensionsløse konstant Al. Ved at indføre konstanten c, der har enhed af længde som c = l og ved at skifte tilbage til r(φ) fås løsningen til differentialligningen til r(φ) = Bundne kredsløb (Keplers første lov) c 1 + ɛ cos φ. (0) Det er tydeligt fra (0), at bevægelsen er bestemt ud fra den positive konstant ɛ. Hvis ɛ < 1 vil nævneren i (0) være forskellig fra nul og større end 1 til alle vinkler, hvorfor r(φ) er bundet for alle vinkler. Netop da nævneren svinger mellem værdierne 1 ± ɛ vil r(φ) oscillere mellem r min = c 1 + ɛ og r max = c 1 ɛ, med koordinatsystemet lagt således, at ved r = r min vil φ = 0. I solsystemet vil r min blive kaldt for perihelion og r max for aphelion - henholdsvis afstanden, når himmellegemet er tættest og længst væk fra solen. Hvis r(φ) plottes som funktion af φ, der løber fra 0 til π fås en figur, der ligning en ellipse. Det kan vises, at (0) kan omskrives til den kartesiske form for en ellipse (x + d) a + y = 1, (1) b hvis det udnyttes, at a = c(1 ɛ ) 1, b = c(1 ɛ ) 1 og med d = aɛ. (1) er standardligningen for en ellipse med den halve storakse a og halve lilleakse b med den forskel, at vi har skrevet x + d, hvor vi normalt ville have x. Denne forskel viser, at midtpunktet, i solsystemets tilfælde solen, ikke er i midten af ellipsen men derimod en afstand d fra centrum. Den positive konstant ɛ kan nu identificeres ved hjælp af a og b: b a = 1 ɛ, () der netop er definitionen på eccentriciteten af en ellipse. Denne ligning fortæller altså, at ɛ er eccentriciteten på kredsløbet. Nu hvor ɛ er blevet identificeret kan vi finde positionen af solen i forhold til centrum på ellipsen. Fra tidligere har vi kigget på størrelsen d = aɛ, der netop angav solens position i forhold til centret på ellipsen. Samme størrelse angiver netop det ene brændpunkts afstand fra centret til ellipsen, og Keplers første lov er dermed udledt. Vi har vist, at planeterne og andre bundne legemers kredsløb er elliptiske, hvor solen befinder sig i det ene brændpunkt. Keplers anden lov I forhold til hvad jeg lige har gennemgået, er udledningen af den anden lov utrolig simpel. Betragt en elliptisk bane omkring solen. Lad positionsvektoren for et legeme i kredsløb om solen være r og lad v være hastighedsvektoren for legemet. Naturligvis er begge disse vektorer afhængig af tiden. Kigger vi nu på et bestemt tidspunkt på banen og lader positionen til dette tidspunkt være r vil 4
5 positionen et stykke tid, dt efter, være r + dr, hvor dr = vdt. Gøres tidspunktet infinitisimalt víl de to vektorer r og dr udspænde en trekant, der vil have arealet da = 1 r dr = 1 r vdt. Ved nu at omskrive legemets hastighedsvektor v via impulsen p = mv og ved at dividere på hver side med dt fås da da dt = 1 1 r p = l, (3) m m hvor l = r p blot er det angulære moment for legemet. Siden en planets angulære moment omkring solen er bevaret ses det her, at da/dt er konstant og dermed er Keplers anden lov vist. Keplers tredje lov Som det blev set ovenfor, er arealhastigheden for en planet konstant. Da det totale areal af en impuls er A = πab vil perioden da være τ = A da/dt = πabµ. (4) l Kvadreres begge sider og erstattes b med b = a (1 ɛ ) fås da τ = 4π a4 (1 ɛ )µ l = 4π a3 cµ og da konstanten c fra tidligere var defineret som c = l l, (5) fås da, at τ = 4π a3 µ γ, (6) hvor vi ved indførelse af γ = Gm 1 m GµM s, hvor M s er solens masse, får der netop er Keplers tredje lov. τ = 4π GM s a 3, (7) Jeg har nu udledt Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Det er muligt at betragte de ikke-bundne baner ved at lave begrænsninger på eccentriciteten i (0). Dette vil jeg dog ikke gøre her på grund af omfanget af denne note. Det er også muligt at lave energibetragtninger, så eccentriciteten kan kobles til den totale energi af et legeme i kredsløb om solen eller en anden stjerne. Igen vil jeg ikke gøre dette her på grund af omfanget. Hvis en sådan analyse ønskes kan jeg anbefale at kigge i referencen. Litteratur REFERENCER [1] Classical Mechanics, John R. Taylor, University Science Books
Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mereFysik 2 - Den Harmoniske Oscillator
Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 22. august, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":
Læs mereKometer. Af Mie Ibsen & Marcus Guldager Nordsjællands Grundskole & Gymnasium. http://esamultimedia.esa.int/images/science/rosetta2.
Kometer Af Mie Ibsen & Marcus Guldager Nordsjællands Grundskole & Gymnasium http://esamultimedia.esa.int/images/science/rosetta2.jpg Indholdsfortegnelse side Introduktion... 2 Problemformulering... 2 Baggrund...
Læs mereKeplers love og Epicykler
Keplers love og Epicykler Jacob Nielsen Keplers love Johannes Kepler (57-60) blev i år 600 elev hos Tyge Brahe (546-60) i Pragh, og ved sidstnævntes død i 60 kejserlig astronom. Kepler stiftede således
Læs mereRækkeudvikling - Inertialsystem. John V Petersen
Rækkeudvikling - Inertialsystem John V Petersen Rækkeudvikling inertialsystem 2017 John V Petersen art-science-soul Vi vil undersøge om inertiens lov, med tilnærmelse, gælder i et koordinatsytem med centrum
Læs mereNotesæt - Eksempler på polær integration
Notesæt - Eksempler på polær integration Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument forsøger blot at forklare,
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereOpgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30.
Opgaver Polære koordinater Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 15, 70, 60, 0. Opgave Bestem sin π Opgave. Et punkt p i xy-planen er givet ved de kartesiske koordinater,. Bestem p s polære
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,
Læs mereMatematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.
2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X
Læs mere1. Bevægelse med luftmodstand
Programmering i TI nspire. Michael A. D. Møller. Marts 2018. side 1/7 1. Bevægelse med luftmodstand Formål a) At lære at programmere i Basic. b) At bestemme stedbevægelsen for et legeme, der bevæger sig
Læs mereDen todimensionale normalfordeling
Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives
Læs merePrøveeksamen MR1 januar 2008
Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereKræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter.
Kræfter og Energi Jacob Nielsen 1 Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. kraften i x-aksens retning hænger sammen med den
Læs mereVenus relative størrelse og fase
Venus relative størrelse og fase Steffen Grøndahl Planeten Venus er værd at studere i teleskop. Med blot en forstørrelse på 20-30 gange, kan man se, at Venus ikke er punktformet og at den ligesom Månen
Læs mereSkråplan. Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen. 2. december 2008
Skråplan Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen 2. december 2008 1 Indhold 1 Formål 3 2 Forsøg 3 2.1 materialer............................... 3 2.2 Opstilling...............................
Læs mereKeplers Love. Om Kinematik og Dynamik i Renæssancens Astronomi. Folkeuniversitetet 9. oktober 2007
Keplers Love Om Kinematik og Dynamik i Renæssancens Astronomi Folkeuniversitetet 9. oktober 2007 Poul Hjorth Institut for Matematik Danmarke Tekniske Universitet Middelalderens astronomi var en fortsættelse
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereTeoretiske Øvelser Mandag den 13. september 2010
Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 6. september 00 eoretiske Øvelser Mandag den 3. september 00 Computerøvelse nr. 3 Ligning (6.8) og (6.9) på side 83 i Lecture Notes angiver betingelserne for at konvektion
Læs mereFysik 2, Foreslåede løsninger til prøveeksamenssæt, januar 2007
Fysik 2 Foresåede øsninger ti prøveeksamenssæt januar 2007 Opgave a) Størresen af kraften i cirkebevægesen er Totaenergien er da F = m r 2 v = E = m r = m v2 r r + 2 mv2 = m 2r b) umskibets totaenergi
Læs mereNote om Laplace-transformationen
Note om Laplace-transformationen Den harmoniske oscillator omskrevet til et ligningssystem I dette opgavesæt benyttes laplacetransformationen til at løse koblede differentialligninger. Fordelen ved at
Læs mereNewtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen
Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser John V Petersen Newtons love 2016 John V Petersen art-science-soul Indhold 1. Indledning og Newtons love... 4 2. Integration af Newtons 2. lov og bevægelsesligningerne...
Læs mereKaotisk kuglebevægelse En dynamisk analyse
Kaotisk kuglebevægelse En dynamisk analyse Ole Witt-Hansen 08 Kaotisk kuglebevægelse Kaotisk bevægelse Kaotiske bevægelser opstår, når bevægelsesligningerne ikke er lineære. Interessen for kaotiske bevægelser
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
Læs mereElementær Matematik. Trigonometriske Funktioner
Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske
Læs mereStudieretningsopgave
Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...
Læs mereDette miniprojekt omhandler en anvendelse af Lineær Algebra til computergrafik og planeters omløbsbaner.
Lineær algebra Beskrivelse Denne dag vil bestå af to miniprojekter, hvor underviser vil give en kort præsentation af hvert emne et om formiddagen og et om eftermiddagen, og herefter være til rådighed til
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereTo-legemeproblemet Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus November 2012 Trykfejl rettet 14. oktober 2013
To-legemeproblemet Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus November 01 Trykfejl rettet 14. oktober 013 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 1/0 Indholdsfortegnelse
Læs mereKØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE
KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk Mekanik 2 Skriftlig eksamen 16. april 2009 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner Besvarelsen må
Læs mereFormelsamling i astronomi. Februar 2016
Formelsamling i astronomi. Februar 016 Formelsamlingen er ikke komplet det bliver den nok aldrig. Men måske kan alligevel være til en smule gavn. Sammenhæng mellem forskellige tidsenheder Jordens sideriske
Læs mereDen Naturvidenskabelige Bacheloreksamen Københavns Universitet. Fysik september 2006
Den Naturvidenskabelige acheloreksamen Københavns Universitet Fysik 1-14. september 006 Første skriftlige evaluering 006 Opgavesættet består af 4 opgaver med i alt 9 spørgsmål. Skriv tydeligt navn og fødselsdato
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 5.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 5. januar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereProjekt 6.5 Ellipser brændpunkter, brændstråler og praktisk anvendelse i en nyrestensknuser
Projekt 65 Ellipser brændpunkter brændstråler og praktisk anvendelse i en nyrestensknuser Ellipsens ligning undersgte vi kapitel i bog B I det flgende skal vi undersge ellipser som banekurver og vise hvorledes
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad
Læs mereFysik i billard. Erik Vestergaard
Fysik i billard Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/aviad Desuden egne illustrationer Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk
Læs mereDavid Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1
1 Pendul David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1 1.1 Hvad er et pendul? En matematiker og en ingeniør ser tit ens på mange ting, men ofte er der forskelle
Læs mereHvordan Kepler fandt sine love
Hvordan Kepler fandt sine love stronomerne forstod ikke at overmande denne krigsgud (Mars). Men den fortræffelige hærfører Tycho har under 0 års nattevågen udforsket al hans krigslist; og jeg omgik ved
Læs mereMatematikkens mysterier - på et højt niveau. Kenneth Hansen. 5. Kurver og keglesnit
Matematikkens mysterier - på et højt niveau af Kenneth Hansen 5. Kurver og keglesnit 5. Kurver og keglesnit 5.1 Kurver: Parameterfremstilling og ligning 5. Hastighed, acceleration og tangenter 7 5.3 Kurveundersøgelser
Læs mereKræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011
Kræfter og Arbejde Frank Nasser 21. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereNOGET OM ELLIPSEN. Mogens Esrom Larsen 20. april Institut for Matematiske Fag Matematisk Afdeling Københavns Universitet
Noget om ellisen NOGET OM ELLIPSEN Mogens Esrom Larsen 20. aril 2012 Institut for Matematiske Fag Matematisk Afdeling Københavns Universitet Ellisen som keglesnit. Ellisen er et af de første matematiske
Læs mereDETTE OPGAVESÆT INDEHOLDER 6 OPGAVER MED IALT 11 SPØRGSMÅL. VED BEDØMMELSEN VÆGTES DE ENKELTE
DETTE OPGAVESÆT INDEHOLDER 6 OPGAVER MED IALT 11 SPØRGSMÅL. VED BEDØMMELSEN VÆGTES DE ENKELTE SPØRGSMÅL ENS. SPØRGSMÅLENE I DE ENKELTE OPGAVER KAN LØSES UAFHÆNGIGT AF HINANDEN. 1 Opgave 1 En cylinderkapacitor
Læs mereArbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:
Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereTyngdepunkt og Masse Midtpunkt.
C.C.Tscherning, Niels Bohr Instituttet Tyngdepunkt og Masse Midtpunkt.. Masse-midtpunkt: Definitioner: Ligevægtspunkt for summen af alle masse-dele Tyngdepunkt: Punkt, hvor drejningsmomentet er nul (ligevægt
Læs mereFormelsamling i astronomi. November 2015.
Formelsamling i astronomi. November 015. Formelsamlingen er ikke komplet det bliver den nok aldrig. Men måske kan alligevel være til en smule gavn. Sammenhæng mellem forskellige tidsenheder: Jordens sideriske
Læs mereINERTIMOMENT for stive legemer
Projekt: INERTIMOMENT for stive legemer Formålet med projektet er at træne integralregning og samtidig se en ikke-triviel anvendelse i fysik. 0. Definition af inertimoment Inertimomentet angives med bogstavet
Læs mereRKS Yanis E. Bouras 21. december 2010
Indhold 0.1 Indledning.................................... 1 0.2 Løsning af 2. ordens linære differentialligninger................ 2 0.2.1 Sætning 0.2............................... 2 0.2.2 Bevis af sætning
Læs mereBevægelsens Geometri
Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.
Læs mereTillæg til partikelfysik (foreløbig)
Tillæg til partikelfysik (foreløbig) Vekselvirkninger Hvordan afgør man, hvilken vekselvirkning, som gør sig gældende i en given reaktion? Gravitationsvekselvirkningen ser vi bort fra. Reaktionen Der skabes
Læs mereKØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE
KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk mekanik 2 - ny og gammel ordning Vejledende eksamensopgaver 16. januar 2008 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 4 sider Skriftlig prøve, den 29. maj 2006 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr. 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle "Vægtning": Eksamenssættet vurderes samlet. Alle svar
Læs mereDen syvende himmel. Ib Michelsen. Ikast
Den syvende himmel Ib Michelsen Ikast 2018 Antikken Den syvende himmel Aristoteles Filosof og matematiker (384f.v.t. 322 f.v.t.), Platons elev, samler Antikkens viden op, som senere overtages af og indgår
Læs mereReaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan
Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles
Læs mereDynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.
M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger
Læs mereTallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål.
Labøvelse 2, fysik 2 Uge 47, Kalle, Max og Henriette Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. 1. Vi har to forskellige størrelser: a: en skive
Læs mereTeoretiske Øvelser Mandag den 31. august 2009
agpakke i Astronomi: Introduktion til Astronomi Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 3. august 009 Teoretiske Øvelser Mandag den 31. august 009 Øvelse nr. 1: Keplers og Newtons love Keplers 3. lov giver en sammenhæng
Læs mereTemaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010
Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereFYSIK RAPPORT. Fysiske Kræfter. Tim, Emil, Lasse & Kim
FYSIK RAPPORT Fysiske Kræfter Tim, Emil, Lasse & Kim Indhold Indledning... 2 Newtons love... 3 1. Lov: Inertiloven... 3 2. Lov: Kraftloven... 3 3. Lov: Loven om aktion/reaktion... 3 Kræfter... 4 Formler:...
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011
Matematik A Højere teknisk eksamen Forberedelsesmateriale htx112-mat/a-26082011 Fredag den 26. august 2011 Forord Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer på 2 dage til
Læs mereFormelsamling til fysik 11. Sebastian B. Simonsen, Asger B. Hansen og Lykke Pedersen
Formelsamling til fysik 11 Sebastian B. Simonsen, Asger B. Hansen og Lykke Pedersen 1 CONTENTS 2 Contents 1 Kap.1 - The foundation af Classical Mechanics (1) 4 1.1 Galileo (2).............................
Læs mereDifferentiation af Trigonometriske Funktioner
Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs merez j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z
Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Nasser. april 11 c 8-11. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereResumé fra sidst. Stjernerne i bulen er mere metalrige end i skiven
Galakser 2014 F3 1 Resumé fra sidst Mælkevejen består grundlæggende af en skive, en bule og en halo. Solen befinder sig sammen med spiralarmene i skiven i en afstand af ca. 8.0 kpc fra centrum af galaksen.
Læs mereKeplers ellipse. Perihel F' Aphel
Keplers ellipse Keplers udgangspunkt er ellipsen opfattet som en fladtrykt cirkel. Han har selfølgelig stadigæk brug for brændpunkter mm. Konstruktionen af disse er simpel ud fra ellipsens omskrene rektangel.
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereVektorfunktioner Parameterfremstillinger Parameterkurver x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner Parameterfremstillinger Parameterkurver x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium April 019 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... 1. Skæringer med koordinatakserne...
Læs mereAARHUS UNIVERSITET. Det naturvidenskabelige fakultet 3. kvarter forår OPGAVESTILLER: Allan H. Sørensen
AARHUS UNIVERSITET Det naturvidenskabelige fakultet 3. kvarter forår 2006 FAG: Elektromagnetisme OPGAVESTILLER: Allan H. Sørensen Antal sider i opgavesættet (inkl. forsiden): 5 Eksamensdag: fredag dato:
Læs mereTheory Danish (Denmark)
Q1-1 To mekanikopgaver (10 points) Læs venligst den generelle vejledning i en anden konvolut inden du går i gang. Del A. Den skjulte metalskive (3.5 points) Vi betragter et sammensat legeme bestående af
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 12. december, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 13 sider Skriftlig prøve, lørdag den 23. maj, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":
Læs mereProjekt 4.9 Bernouillis differentialligning
Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereImpuls og kinetisk energi
Impuls og kinetisk energi Peter Hoberg, Anton Bundgård, and Peter Kongstad Hold Mix 1 (Dated: 7. oktober 2015) 201405192@post.au.dk 201407987@post.au.dk 201407911@post.au.dk 2 I. INDLEDNING I denne øvelse
Læs mereLøsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård
website: link fra, kapitel 7, afsnit 2 Løsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård Bemærk: Benyt fx formelsamlingen til stxa side 10-14 til at finde de relevante formler. (Geogebra starter
Læs mereFigur 1: Kraftpåvirkning af vingeprol
0.. AERODYNAMIK 0. Aerodynamik I dette afsnit opstilles en matematisk model for de kræfter, der virker på en vingeprol. Disse kræfter kan få rotoren til at rotere og kan anvendes til at krøje nacellen,
Læs mereFormler til den specielle relativitetsteori
Formler til den specielle relativitetsteori Jeppe Willads Petersen 25. oktober 2009 Jeg har i dette dokument forsøgt at samle de fleste af de formler, vi har brugt i forbindelse med den specielle relativitetsteori,
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at
GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 9 sider Skriftlig prøve, lørdag den 13. december, 2014 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle tilladte hjælpemidler på
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen
Matematik A Højere teknisk eksamen Matematik A 215 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet, det er tilladt at skrive med blyant. Notatpapir
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 0. februar 019 Dette eksamenssæt
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 8 sider Skriftlig prøve, den 24. maj 2005 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr.: 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt. "Vægtning": Besvarelsen vægtes
Læs mere3D-grafik Karsten Juul
3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mere