Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 2)
|
|
- Lærke Jespersen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 2) Klaus Hansen 23 september 24 Indhold Elementære empiriske mål 2 Lidt sandsynlighedsregning 3 3 Fordelinger 3 3 Grundlæggende begreber 4 32 Nogle eksempler på diskrete fordelinger 5 33 Nogle eksempler på kontinuerte fordelinger 6 4 Parameterestimation 9 5 Statistiske test 9 5 -test: følger forsøgsdata den teoretiske fordeling? 52 To sæt data: er det den samme fordeling? Elementære empiriske mål Gennemsnit og varians Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians : () (2) I mange tilfælde kan man bruge som estimat for den teoretiske varians i en fordeling, og en bedre værdi fås da hvis der i udtrykket for divideres med beregnes på en bekvemmere måde som idet "! og $%"! i stedet for med kan (3) kan beregnes i samme gennemløb af data, og også bruges til at beregne Gennemsnittet tilhører ofte ikke mængden af mulige observationer, feks hvis vi måler heltalsværdier, men vi skal være forsigtige med at afrunde gennemsnittet
2 *) Median og fraktiler Har man brug for at finde den observation, der er tættest på midten, kan vi bruge medianen Vi sorterer observationerne (under brug af permutationen ) og får det sorterede sæt Det midterste element har indeks og kaldes medianen Det er ét ud af mange mulige fraktiler, som er elementer med indeks af formen Bruges % er der tale om de tre kvartiler med indices (nedre kvartil), (median) og (øvre kvartil) Hvis observationerne kan have værdierne ( er feks 256 for gråtonebilleder og ), kan vi tælle, hvor mange observationer, der har værdien Sættet af kaldes et histogram og kan vises grafisk, se figur til højre Figur : Til venstre billedet af Lena i en gråtoneudgave Til højre histogrammet for billedet De lodrette linjer er markeringer, som er irrelevante i denne sammenhæng Den vandrette akse angiver gråtoneværdierne, den lodrette de tilsvarende antal! " Gennemsnittet kan udregnes ud fra histogrammet til at være! $ Entropi Et andet statistisk mål, der kan udregnes fra histogrammet er den empiriske entropi (se side 5); man benytter som de enkelte sandsynligheder divideret med det samlede antal observationer, idet summen af sandsynlighederne jo skal være Multidimensionale data Gennemsnit og varians kan generaliseres, hvis observationerne er sæt % data ( +, af - (4) Da kan man regne forskellige gennemsnit og varianser, for rækker ( og /, er ikke potensen, men betyder række), mellem rækker, for søjler 2 ( og 2 (3 står for søjle)) og for alle ( og ): (5) 2
3 - ( (6) (7) (8) 2 2 (9) () () 2 kaldes kovariansen mellem sættene og 3 og kan opstilles i kovariansmatricen, som har dimension : ( ) ) *) 2 Lidt sandsynlighedsregning +,,, ) ) *) / Ved et eksperiment tilhører udfaldene udfaldsrummet ( universet ) Vi er interesserede i en hændelse, og specielt i sandsynligheden for at den indtræffer Et fornuftigt mål for sandsynligheder af hændelser skal opføre sig på følgende måde:,, og hvis er et sæt disjunkte hændelser (dvs har ikke udfald til fælles) er! Vi kan indføre et naturligt mål ved at tælle antallet af elementer og og sætte Hvis mængderne ikke er tællelige må vi benytte et mål baseret på arealer, dvs anvende integralregning Der gælder en lang række regneregler for sandsynligheder, her følger et par eksempler: Formel 5 kaldes Bayes formel og hændelsen 3 Fordelinger +,,, (2) (3) (4) (5) kaldes a posteriori-sandsynligheden givet a priori-sandsynligheden Vi vil nu kikke på sandsynligheder som kan beregnes ud fra en tabel eller en funktion med nogle få parametre parametriserede sandsynligheder 3
4 3 Grundlæggende begreber Vi antager at vi har en tilfældig variabel, som ved en stokastisk proces giver et tilfældigt udfald dvs det kan ikke forudsiges eksakt Vi har brug for to funktioner benævnt tæthedsfunktionen og fordelingsfunktionen Hvis er diskret, består den af en række udfald hver tilknyttet en sandsynlighed, idet! Tæthedsfunktionen er da og fordelingsfunktionen er I det ikke-diskrete tilfælde er sandsynlighederne givet ved en tæthedsfunktionen, som er en Fordelingsfunktionen er reel funktion hvorom det gælder at og Der gælder derfor at Det er muligt at lave regneregler for summer af, produkter af og kvotienter mellem statistiske variable og generelt for, når tæthedsfunktionen eller fordelingsfunktionen er kendt Momenter For statistiske variable kan man definere momenter, som er en opsummeringer svarende til gennemnit og varians Nulpunktsmomenter af k te orden har formerne (6) (7) Nulpunktmomentet af orden eller kaldes middelværdien af og svarer til fordelingens tyngdepunkt Nogle regneregler for :! " $% " (8) (9) " (2) " (2) Den sidste formel forudsætter at og " er statistisk uafhængige De centrale momenter af k te orden har formerne (22) (23) Det centrale moment af 2 orden kaldes variansen af og betegnes eller I lærebogen bruges disse begreber i afsnit 24 Images as a stochastic process I formlerne 25, 26 og 27 er notationen lidt anderledes, idet der er generaliseret til ( dimensioner, dvs at 4
5 tæthedsfunktion ( ) og fordelingsfunktion (som ikke er navngivet, men defineret som et integrale) egentlig er funktioner af ( variable benævnes idet den statistiske variabel er, en funktion af én variabel for hvert punkt i et billede I nærværende notation bliver til (her er tæthedsfunktionen, som i bogen benævnes ) og er derfor blot I Peter Johansens noter om principalkomponentanalyse bruges betegnelsen for middelværdien og betegnelsen for en retningsbestemt udgave af variansen, idet er sat til nul ved en systematisk forskydning af koordinatsystemet Entropi Et andet statistisk mål er entropien og som defineres som idet led med udelades Hvis der bruges logaritmen med grundtal 2 fås entropien i bit Hvis man kun har naturlige logaritmer eller logaritmer med grundtal kan man udnytte at / Hvis man har et histogram (et sæt af tal, se side 2), kan entropien beregnes som $ $! Entropien kan også defineres for det ikke-diskrete tilfælde 32 Nogle eksempler på diskrete fordelinger Ligefordelingen kan antage værdierne Binomialfordelingen Parameter!! " ellers Binomialfordelingen (se figur 2) benyttes ved en række ens eksperimenter til at finde sandsynligheden for det totale antal forekomster af et udfald Parametre og % ( $ *) $ ellers 5
6 7 6 Binomialfordelingen for n= p=5 p=5 p=8 sandsynlighed p(x=x) x 2 3 Figur 2: Binomialfordelingen for tre værdier af parameteren Poissonfordelingen Poissonfordelingen (se figur 3) anvendes hvis der ingen statistsik sammenhæng er mellem de enkelte hændelser Fordelingen bruges meget ofte i køteori for såvel antallet af ankommende som antal ekspederede i en given tidsperiode, feks for køen ved kasseapparater i supermarkeder Parameter " ellers 33 Nogle eksempler på kontinuerte fordelinger Den rektangulære fordeling Parametre og " ellers 6
7 sandsynlighed p(x=x) Poissonfordelingen µ= µ=5 µ= x Figur 3: Poissonfordelingen for tre parameterværdier Normalfordelingen (Gauss-fordelingen) Normalfordelingen (se figur 4) bruges meget ofte, specielt i sammenhænge hvor man ikke kender den egentlige fordeling, eller hvor et udfald skyldes en større række bidragende tilfældigheder Parametre og Gauss-fordelingen med og kaldes også den normerede normalfordeling eller u- fordelingen Det er fordelingen af en normeret statistisk normaltfordelt variabel Denne type statistiske variable optræder i en del statistiske test I MATLAB findes funktionen erf, som ligner u-fordelingen, men er defineret ved!, og ud fra den kan værdier af fordelings- Funktionen erfc har værdien funktionen for u-fordelingen beregnes:!!! 7
8 Normalfordelingen (Gauss fordelingen) med µ= Varians Varians 2 Varians 5 Varians 2 35 sandsynlighed p(x=x) x Figur 4: Normalfordelingen for fire varianser Laplace Laplacefordelingen (se figur 5) er et specialtilfælde af den generaliserede Gauss-fordeling Den benyttes til at beskrive fordelingen af pixelværdier og fordelingen af koefficientværdier i DCT (Discrete Cosine Transform, benyttes bla i JPEG) Den generaliserede Gauss-fordeling: Parametre og Gamma-funktionen heltallige gælder at! Se figur 6! -fordelingen Parametre og er den kontinuerte udgave af fakultetsfunktionen, idet der for Den matematiske definition er Anvendelse: se nedenfor i afsnit 5 8
9 Laplacefordelingen med µ= 5 b= b=2 b=5 b=2 4 sandsynlighed p(x=x) x Figur 5: Laplacefordelinegn Parameter (, ellers ) 4 Parameterestimation Har vi nogle forsøgsdata og en teoretisk fordeling med ukendte parametre, kan vi estimere hvilken værdi af parametrene, der bedst beskriver forsøgsdata Der er mange måder at estimere på, men et udmærket estimatet er den empiriske for middelværdien, og udregnet med nævneren for variansen 5 Statistiske test Statistiske test går ofte ud på at afgøre om forsøgsdata bekræfter eller afkræfter en hypotese, der er opstillet før forsøget; det er en god ide at opstille hypotesen før forsøget, idet forsøget i mange tilfælde da kan udformes, så udfaldet af den statistiske test får størst mulig sikkerhed En situation man ofte støder på er, at data følger en kendt fordeling, men parametrene til denne er ikke kendte Man kan da opstille hypotesen, at parametrene tilhører mængden, som er en delmængde af alle de mulige parameterkombinationer Hypotesen benævnes nulhypotesen og den modsatte hypotese er : at parametrene ikke tilhører Der er nu følgende muligheder: accepteres forkastes er sand OK fejl af art er falsk fejl af 2 art OK Vi er normalt interesserede i at sandsynligheden for en fejl af art er så lille som mulig Vi håber så at det også gælder for fejlen af 2 art Da der er tale om stokastiske variable kan vi ikke helt undgå at begå fejl En test med signifikansniveau er en test hvor! 9
10 Figur 6: Gammafunktionen Denne vælges ofte til at være 5, dvs højst 5% sandsynlighed for at forkaste Hvis man forkaster kan man yderligere angive noget om : -stjernet (*) imod ikke forkastet på % niveau svagt bevis for 2-stjernet (**) imod forkastet på % niveau, men ikke på % bevis for 3-stjernet (*** )imod også forkastet på % niveau stærkt bevis for 5 -test: følger forsøgsdata den teoretiske fordeling? Har vi nogle observationer og en teoretisk fordeling, kan vi teste om observationerne følger den teoretiske fordeling, hvis vi har observationer nok Vi grupperer observationerne fx ved at lave et histogram over de observerede data, dvs grupperer i ( klasser Histogrammet har antallet obeservationer i den te klasse, idet ( Vi har i alt! observationer For hver klasse har vi en teoretisk sandsynlighed For at testen kan bruges, skal hver være mindst 5, ellers er der for få observationer for klasserne med lille sandsynlighed Man kan evt slække på dette krav, hvis over 8% af klasserne opfylder kravet samtidig med at ingen klasse har et forventet antal, der er mindre end! og ( Vi udregner nu følger nu med god tilnærmelse en - fordeling med frihedsgrader -fordelingen beskriver egentlig fordelingen af summen af kvadraterne på stokastiske variable, der hver er normeret normaltfordelt: " Når er stor nok, vil man kunne tilnærme mange fordelinger med en normalfordeling (dette gælder fx Poisson-fordelingen og binomialfordelingen), og derfor kan man antage at kvadratet på normerede variable som i ovenstående formel med god tilnærmelse er $ -fordelt Vi skal nu finde signifikansniveauet for at hypotesen om overensstemmelse mellem teoretisk fordeling og observationer skal forkastes I MATLAB på DIKU mangler statistikpakken, så -testen findes ikke som standardfunktion C-programmører kan finde funktionen chsone i Numerical Recipes, som blandt andet kan findes i /usr/local/image/src/archive/numericalrecipes/ansi-c/ Funktionen kaldes således: chsone(float bins[], float ebins[], int nbins, int knstrn, float *df, float *chsq, float *prob), hvor nbins er antallet af klasser, bins er histogrammet, ebins de forventede værdier, knstrn i dette tilfælde er, df er en pointer til en variabel, der angiver antallet af frihedsgrader (denne ændres) I chsq returneres $ -testværdien og i prob andsynligheden for -værdien Er denne over hypotesen bekræftet niveauet, men heller ikke under, er
11 ) 52 To sæt data: er det den samme fordeling? (Kilde: Brøndum og Monrad: Statistik I og II (Den private ingeniørfond 993)) Vi får brug for to nye fordelinger: t-fordelingen og F-fordelingen t-fordelingen Har vi to statistiske variable (fordelt ) og (fordelt efter ) er fordelingen af den statistiske variabel!$ fordelt efter t-fordelingen med frihedsgradsantallet Tæthedsfunktionen for denne er (24) F-fordelingen Har vi to statistiske variable (T for tæller) og (N for nævner), som er fordelt henholdsvis og, vil sandsynlighedsfordelingen for den statistiske variabel være F- fordelt med tællerfrihedsgradsantal og nævnerfrihedsgradsantal Tæthedsfunktionen for denne er (25) To sæt data: er variansen den samme? Vi er i den situation at vi har to sæt normaltfordelte data med hver sine ukendte parametre og Vi ønsker nu at afgøre om de ukendte er forskellige Vi beregner først det empiriske gennemsnit og den empiriske varians for de to sæt data, dvs,, 3 og 3 Vi benytter Bartletts test med nulhypotesen imod den alternative: at de ikke er lig hinanden Forholdet er F-fordelt Frihedsgraderne for nævner og tæller vælges ud fra hvad og er ud fra frihedsgraderne og Hvis fx er mindre end, holder nulhypotesen med konfidensniveau 25% Et eksempel (hentet fra Brøndum og Monrad II side 385): To sæt observationer henholdsvis (622, 63, 69, 62, 634, 624, 625, 62) og (633, 626, 68, 638, 63, 632, 64) Vi beregner, 3,,, 3 og Af dette fås, og da er der ingen tegn på forskellig varians I Numerical Recipes kan testen på udføres ved hjælp af funktionen betai(a, b, x) (incomplete beta function), som med passende parametre vil give sandsynligheden for at ville have denne værdi, hvis den ene varians faktisk var mindre end den anden Funktionen kaldes med parametrene, og I kursets MATLAB-katalog (i /usr/local/del/datv-billed) findes i kataloget statistics m-filer for betai og hjælpefunktioner
12 To sæt data: er middelværdien den samme? Vi har nu afgjort at de to sæt normaltfordelte data har samme (men ukendte) varians Har vi samme varians, kan vi beregne et fællesestimat for denne 3 på grundlag af samtlige data Vi skal her benytte nævneren Vi tester nu nulhypotesen imod alternativet: at de er forskellige Størrelsen er t-fordelt med grund til at afvise nulhypotesen! 3 frihedsgrader Er t-værdien fx mindre end! I eksemplet fra forrige afsnit er 3 og!, er der ingen Da! og!, er der tegn på at middelværdierne er forskellige I Numerical Recipes kan testen på! også udføres ved hjælp af betai med parametrene og Resultatet skal trækkes fra for at give sandsynligheden I kursets MATLAB-katalog (i /usr/local/del/datv-billed) findes i kataloget statistics m-filer for betai og hjælpefunktioner Der findes også en m-fil variancetest, der foretager en test på to sæt data Ikke-parametriske test -testen fra afsnit 5 er ikke-parametrisk, da den ikke antager noget om fordelingstype- og parametre Der findes andre ikke-parametriske test, fx Wilcoxsons rang-test Vi har to statistiske variable og med ukendte fordelinger, og med medianer og Vi kan tage stikprøver, fx (3, 34, 29, 26, 32, 35) og (26, 24, 28, 29, 3, 29, 32, 26) (eksemplet er hentet fra Brøndum og Monrad II, side 494) Vi ønsker nu at teste nulhypotesen at de to fordelinger er ens (dvs ) Vi sorterer samtlige stikprøver efter størrelse og giver dem rangtal, idet mindste observation får rang og identiske observationer får en rang som er gennemsnittet af de range, de ville have fået: Obs () Obs (2) Rang () Rang (2) Summen af rangtallene for bliver 585 Når begge sæt observationer har tilstrækkelig mange elementer (større end 5) kan sandsynlighedsfordelingen approksimeres med normalfordelingen $ således at testet kan udføres som et almindeligt U-test Vi får i eksemplet at $ og Da er større, kan vi antage at de to fordelinger er identiske I kursets MATLAB-katalog (i /usr/local/del/datv-billed) findes i kataloget statistics m-filer for u-fordelinegn udistr M-filen ranktest laver en rangtest på to sæt data, 2
Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 2)
Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 2) Klaus Hansen 4. november 23 Indhold 1 Elementære empiriske mål 1 2 Lidt sandsynlighedsregning 3 3 Fordelinger 3 3.1 Grundlæggende
Læs mereBilledbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)
; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians
Læs mere4 Oversigt over kapitel 4
IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereNote til styrkefunktionen
Teoretisk Statistik. årsprøve Note til styrkefunktionen Først er det vigtigt at gøre sig klart, at når man laver statistiske test, så kan man begå to forskellige typer af fejl: Type fejl: At forkaste H
Læs mere2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900.
2 -fordeling og 2 -test Generelt om 2 -fordelingen 2 -fordelingen er en kontinuert fordeling, modsat binomialfordelingen som er en diskret fordeling. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske
Læs mereLøsning til eksaminen d. 29. maj 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 20-2-01 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 29. maj 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereKonfidensintervaller og Hypotesetest
Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mereLøsning til eksaminen d. 14. december 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,
Læs mereForelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs mereForelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereOm hypoteseprøvning (1)
E6 efterår 1999 Notat 16 Jørgen Larsen 11. november 1999 Om hypoteseprøvning 1) Det grundlæggende problem kan generelt formuleres sådan: Man har en statistisk model parametriseret med en parameter θ Ω;
Læs mereSandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger
Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereBinomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/
Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereDeskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,
Læs mereHypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0
Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt
Læs mereLidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen
IMM, 2002-10-10 Poul Thyregod Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen 1 Introduktion I forbindelse med inferens i normalfordelinger optræder forskellige fordelinger, der er afledt af normalfordelingen,
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereRegneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)
Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereStatistik II 1. Lektion. Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller
Statistik II 1. Lektion Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller Kursusbeskrivelse Omfang 5 kursusgange (forelæsning + opgaveregning) 5 kursusgange (mini-projekt) Emner Analyse af kontingenstabeller
Læs mereHvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereLøsning eksamen d. 15. december 2008
Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte
Læs mereStatistiske modeller
Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder
Læs mereTrin 1: Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereRepetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable
Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition
Læs mereDefinition. Definitioner
Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereTænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.
Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mere3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve
Læs mereKapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller
Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol
Læs mereModul 7: Eksempler. 7.1 Beskrivende dataanalyse. 7.1.1 Diagrammer. Bent Jørgensen. Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 7: Eksempler 7.1 Beskrivende dataanalyse............................... 1 7.1.1 Diagrammer.................................
Læs merePhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006 I dag: To stikprøver fra en normalfordeling, ikke-parametriske metoder og beregning af stikprøvestørrelse Eksempel: Fiskeolie
Læs mereSchweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.
Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske
Læs mereLøsning til eksamen d.27 Maj 2010
DTU informatic 02402 Introduktion til Statistik Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th edition]. Opgave I.1
Læs mereKapitel 7 Forskelle mellem centraltendenser
Kapitel 7 Forskelle mellem centraltendenser Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 29 Indledning 1. z-test for ukorrelerede data 2. t-test for ukorrelerede data med ens
Læs mereStatistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik
Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Introduktion Kursusholder: Kasper K. Berthelsen Opbygning: Kurset består af 5 blokke En blok består af: To normale
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet stx11-matn/a-080501 Tirsdag den 8. maj 01 Forberedelsesmateriale til stx A Net MATEMATIK Der
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik SaSt) Helle Sørensen Først lidt om de sidste uger af SaSt. Derefter statistisk analyse af en enkelt
Læs mereStatistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning
Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden
Læs mereStikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader
Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 4. Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele
Anvendt Statistik Lektion 4 Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele Hypoteser og Test Hypotese I statistik er en hypotese en påstand om en populationsparameter. Typisk en påstand om
Læs mereKapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller
Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 22 Generalisering fra stikprøve til population Idé: Opstil en model for populationen
Læs mereVejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14
Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14 Opgave 1 a) Det første trin i opstillingen af en hypotesetest er at formulere to hypoteser, hvoraf den ene støtter den teori vi vil teste, mens den anden
Læs merePersonlig stemmeafgivning
Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt
Læs mereSandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereBernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereRettevejledning til eksamen i Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 2. januar 2007
Rettevejledning til eksamen i Kvantitative metoder 1,. årsprøve. januar 007 I rettevejledningen henvises der til Berry and Lindgren "Statistics Theory and methods"(b&l) hvis ikke andet er nævnt. Opgave
Læs mereTema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.
Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller
Læs mereMaple 11 - Chi-i-anden test
Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest.
Læs mereFor nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.
1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer
Læs merePraktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser
Uge 36 Velkommen tilbage Praktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl. -2 i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser Hold -4 og 6: mandag og onsdag kl. 8-; start 3. september Hold 5: tirsdag
Læs mereOvenstående figur viser et (lidt formindsket billede) af 25 svampekolonier på en petriskål i et afgrænset felt på 10x10 cm.
Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2013 Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik B Henrik Laursen
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mereTeoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger
Uge 49 I Teoretisk Statistik, 2. december 2003 Sammenligning af poissonfordelinger o Generel teori o Sammenligning af to poissonfordelinger o Eksempel Opsummering om multinomialfordelinger Fishers eksakte
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte fordelinger, Afsnit 5.1-5.2: - Fordelingsfunktion - Tæthedsfunktion - Eksempel:
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2013 Roskilde
Læs mereStatistik. Hjemmeside: kkb. Statistik - lektion 1 p.1/22
Statistik Kursets omfang: 2 ECTS Inklusiv mini-projekt! Bog: Complete Business Statistics, AD Aczel & J. Sounderpandian Software: SPSS eller Excel?? Forelæser: Kasper K. Berthelsen E-mail: kkb@math.aau.dk
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c
INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske
Læs mereSkriftlig eksamen Science statistik- ST501
SYDDANSK UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 Torsdag den 21. januar Opgavesættet består af 5 opgaver, med i alt 13 delspørgsmål, som vægtes ligeligt.
Læs mereAfsnit E1 Konfidensinterval for middelværdi i normalfordeling med kendt standardafvigelse
Afsnit 8.3 - E1 Konfidensinterval for middelværdi i normalfordeling med kendt standardafvigelse Først skal normalfordelingen lige defineres i Maple, så vi kan benytte den i vores udregninger. Dette gøres
Læs mereOversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereProgram. 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18
Program 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18 Fordeling af X Stikprøve X 1,X 2,...,X n stokastisk X stokastisk. Ex (normalfordelt stikprøve)
Læs mereStatistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen
Statistik Lektion etinget sandsynlighed ayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV inomialfordelingen Repetition Udfaldsrum S Hændelse S Simpel hændelse O i 1, 3 4,
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mereNanostatistik: Opgavebesvarelser
Nanostatistik: Opgavebesvarelser JLJ Nanostatistik: Opgavebesvarelser p. 1/16 Pakkemaskine En producent hævder at poserne indeholder i gennemsnit 16 ounces sukker. Data: 10 pakker sukker: 16.1, 15.8, 15.8,
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs mereSandsynlighedsfordelinger for kontinuerte data på interval/ratioskala
3 5% 5% 5% 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Statistik for biologer 005-6, modul 5: Normalfordelingen opstår når mange forskellige faktorer uafhængigt af hinanden bidrager med additiv variation til. F.eks. Højde af rekrutter
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mereStatistik i basketball
En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større
Læs mere1 Sandsynlighed Sandsynlighedsbegrebet Definitioner Diskret fordeling Betinget sandsynlighed og uafhængighed...
Indhold 1 Sandsynlighed 1 1.1 Sandsynlighedsbegrebet................................. 1 1.2 Definitioner........................................ 2 1.3 Diskret fordeling.....................................
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Afsnit 4.1-4.2, 4.7: Bernoulli fordeling Binomial fordeling Store Tals Lov (Laws of Averages, Laws of Large Numbers) 1 Bernoulli fordeling Kvantitative Metoder
Læs mereEx µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4. hvor. Vha. R: Vha. tabel:
Normal fordeling Tæthedsfunktion for normalfordeling med middelværdi µ og varians σ 2 : Program (8.15-10): f() = 1 µ)2 ep( ( 2πσ 2 2σ 2 ) E µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4 1. vigtige sandsynlighedsfordelinger:
Læs mereEstimation og konfidensintervaller
Statistik og Sandsynlighedsregning STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Estimation og konfidensintervaller Antag X Bin(n,
Læs mereIndblik i statistik - for samfundsvidenskab
Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Læs mere om nye titler fra Academica på www.academica.dk Nikolaj Malchow-Møller og Allan H. Würtz Indblik i statistik for samfundsvidenskab Academica Indblik
Læs mereenote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs merePreben Blæsild og Jens Ledet Jensen
χ 2 Test Preben Blæsild og Jens Ledet Jensen Institut for Matematisk Fag Aarhus Universitet Egå Gymnasium, December 2010 Program 8.15-10.00 Forelæsning 10.15-12.00 Statlab: I arbejder, vi cirkler rundt
Læs mereStatistik i GeoGebra
Statistik i GeoGebra Peter Harremoës 13. maj 2015 Jeg vil her beskrive hvordan man kan lave forskellige statistiske analyser ved hjælp af GeoGebra 4.2.60.0. De statistiske analyser svarer til pensum Matematik
Læs mereUge 48 II Teoretisk Statistik 27. november 2003. Numerisk modelkontrol af diskrete fordelinger: intro
Uge 48 II Teoretisk Statistik 7. november 003 Numerisk modelkontrol af diskrete fordelinger: intro Eksempel: kvalitetskontrol Goodness-of-fit test: generel teori Endeligt udfaldsrum Udfaldsrum uden øvre
Læs mereMM501/MM503 forelæsningsslides
MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder
Læs mereEt eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006
Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af
Læs mere