Tal og regning FORHÅNDSVIDEN

Transkript

1 Tal og regning I dette kapitel skal du arbejde med tal og regning inden for tal mængderne de naturlige tal, de hele tal, de rationale tal og de reelle tal. Tal bruges i mange forskellige situationer i hverdagen, og det er ofte nødvendigt at kende tallene og at kunne regne med dem. Du kender allerede en del til tallene og deres egenskaber inden for de forskellige talmængder. Du skal i dette kapitel arbejde med, hvordan tal bruges i forskellige sammenhænge i hverdagen, og hvordan de kan bruges til at løse forskellige problemer i matematik. I kapitlet skal du også undersøge egenskaber ved potenser og rødder og finde ud af, hvordan du kan regne med den type tal. MÅL, FAGORD OG BEGREBER Målet er, at du: kan forstå opbygningen af titalssystemet samt andre talsystemer kan forstå og anvende regningsarternes hierarki kan argumentere for sammenhængen mellem forskellige repræsentationer af samme tal kan vælge en relevant måde at skrive tal på, alt efter situationen tallene bruges i kan undersøge egenskaber ved rødder og potenser kan undersøge og anvende forskellige regneregler for rødder og potenser kan kende forskel på og anvende irrationale og rationale tal. Du skal arbejde med: talsystemer brøk, decimaltal og procent potenser rødder rationale tal Q irrationale tal. FORHÅNDSVIDEN OPGAVE 1 Regn opgaverne uden brug af lommeregner. A B C 0 25 D 800 : I E F G H Tal med din makker om, hvordan I løste opgaverne. Er der fx opgaver, I har løst forskelligt? OPGAVE 2 Vis med en tegning og en beregning, hvordan du løser opgaverne. A Tag en fjerdedel af 168. B Find 8 % af 50. C Læg halvdelen af 28 til 28. D Læg 5 % af 0 til 0. E Hvor mange procent er 21 ud af 50? F Hvis 125 % er 52,5, hvad er så 100 %?

2 TAL OG REGNING 17 OPGAVE Brug overslagsregning og find ud af, hvad hvert regneudtryk bliver. A 17,58 + 2,1 B Hvad er 15 % af 17? C ,56 D 15,2 E 6,2 + 27,09 F, 10,1 G 12,56 : H 1, : 1,2 I Regn efter på lommeregner, og vurder om dit overslag er brugbart. J Tal med din makker om, hvilke metoder I bruger, når I regner overslag. OPGAVE Peter skal rette seks opgaver, som Alex har regnet, men der er fejl i besvarelserne = ( ) = = = = = = = 2 A Regn opgaverne. B Diskuter med din makker, hvad Alex kan have gjort galt, når han har regnet opgaverne. OPGAVE 5 Undersøg sammen med din makker, hvilket af tallene 1, 2, eller der skal stå på g s plads for at regne ud trykket giver det tal, der står efter lighedstegnet. g + 2 A g + 2g = 9,5 B 2 g 5(0,5 g + 1,5) = 12 C g ( 5) g + (a a) 5 27 g = OPGAVE 7 A Et kvadrat har arealet 25 cm 2, hvad er sidelængden? B En kube har rumfanget 6 cm, hvad er kantlængden? C En kube har rumfanget 512 m, hvad er kantlængden? D Et kvadrat har arealet 169 cm 2, hvad er sidelængden? E Et kvadrat har arealet 50 m 2, hvad er sidelængden? F En kube har rumfanget 00 dm, hvad er kantlængden? OPGAVE 8 Hvilken rækkefølge skal der regnes i? Find resultatet uden brug af lommeregner. A (11+) 16 B (8 + 2) C ( 8) D ( 6) + 15 : 5 ( 2 8) 25 E Regn stykkerne på en lommeregner. F Hvis der er opgaver, hvor du har fået to forskellige resultater, må du undersøge, hvor fejlen ligger. Du kan fx undersøge, om du har 1. lavet en simpel fejl. Regn stykket igen med og uden lommeregner. 2. brugt regningsarternes hierarki rigtigt. Du kan evt. diskutere dine udregninger med din makker. OPGAVE 6 Skriv tallene med eksponentiel notation. A B C D 0, E Syv hundredetusinddele F Treogfyrre millioner OPGAVE 9 A Beskriv regningsarternes hierarki med dine egne ord hvad regnes først, og hvad skal regnes sidst? B Tal med din makker om, hvordan I har beskrevet regningsarternes hierarki.

3 18 TAL OG REGNING TEORI TITALSSYSTEMET Vores talsystem er bygget op, så den position, et ciffer har i tallet, er afgørende for den værdi, cifferet har. I tallet 585,7 har de forskellige cifre følgende betydninger: Der er tusinder, 5 hundreder, 8 tiere, 5 enere, tiendedele og 7 hundrededele. Det kan vi også skrive som: 585,7 = , ,01 eller med potenser af 10: 585,7 = Tallet ti kaldes base eller grundtal. Et sådan talsystem kaldes et positionssystem. Det vil sige, at et titalssystem er et positionssystem med base eller grundtal ti. OPGAVE 10 Find resultatet af regneudtrykkene uden brug af lommeregner. A B C 15,9 + 68,59 D 7,5 + 0,06 E F 6,,9 G 56 ( 7) H ( 585) (289) OPGAVE 11 Find resultatet af regneudtrykkene uden brug af lommeregner. A 5 7 B,7 8,9 C 0,6 1,6 F 692 : G 19,05 : 5 H 185 : 10 D I 57,8 : 100 E 6, J 1,25 : 100 OPGAVE 12 Afrund til nærmeste hele tier. A 19,867 B 1,07 C 99,1 D 0,99 OPGAVE 1 Afrund til én decimal. A 56,25 B 7,95 C 62,08 D 9,9778 OPGAVE 1 Undersøg, hvilke mellemregninger der er rigtige, og hvilke der er forkerte. A 11 1 = B = C 1 17 = D 7 71 = E 2 1 = F 58 1 = OPGAVE 15 Lav regnestykker, så du får facit til at passe. Du skal bruge alle tal én gang, men må ikke sammensætte flere cifre til et flercifret tal. Du må gerne bytte om på rækkefølgen. I opgave A-D må du lægge sammen, trække fra, gange, dividere og bruge parenteser. I opgave E-H må du desuden opløfte til potens. Du skal bruge din viden om regningsarternes hierarki. A = B 1 2 = 2 C = 8 D = 9 E = 28 F = 91 G = 56 H = 11

4 TAL OG REGNING 19 OPGAVE 16 Beregn A 1 1 B C D E Gæt på, hvordan mønstret fortsætter og regn efter. F Hvad sker der, når vi kommer op til ? OPGAVE 17 At gange med 11: A Overvej, at det at gange et tal med 11 er det samme som at gange med 10 og så lægge tallet til. Giv eksempler. B Begrund, at man i nogle tilfælde kan gange et tocifret tal med 11 ved at tage summen af de to cifre og sætte ned i mellem de to cifre som fx: Det udregner vi 5 + = 8 og så er 11 5 = 58 C Overvej, hvad der sker, hvis summen af de to cifre er 10 eller derover. Fx 11 7 OPGAVE 18 11, 111, 1111 osv. er nogle gange svarene på en masse regnestykker. A Vælg to forskellige cifre, der ikke er 0 (tallene mellem 1 og 9). Lav de to forskellige tocifrede tal, man kan lave. Læg dem sammen, og divider resultatet med summen af de to cifre. B Vælg nu tre forskellige cifre. Dan de seks forskellige trecifrede tal, man kan lave med de tre cifre. Læg de seks tal sammen og divider dem med summen af de tre cifre. C Hvordan tror du det går, hvis du skal vælge fire cifre? OPGAVE 19 A Følg talopskriften: 1. Vælg et tilfældigt trecifret tal, og gentag cifrene, så du har et sekscifret tal. Som fx 57 der bliver til Divider dit sekscifrede tal med 7. Bemærk at divisionen går op. Der bliver ikke nogen rest.. Divider dit resultat med 11. Igen går divisionen op.. Tag dit sidste resultat og divider med Hvad er dit nye tal? B Beregn resultatet af C Beskriv, hvad der sker, når du ganger et trecifret tal med resultatet fra B. D Hvorfor kan man ikke lave en tilsvarende opskrift med et tocifret tal? OPGAVE 20 Tænk på et tilfældigt tal. Følg instrukserne herunder. 1. Gang dit tal med 9 og træk fra. 2. Divider resultatet med og læg 10 til.. Gang resultatet med 2 og læg 12 til.. Divider resultatet med og læg 10 til. 5. Gang med 5 og træk 100 fra. 6. Divider med Hvad er dit nye tal? A Skriv tallet, du tænkte på, og resultatet du nåede frem til. B Kald dit tal for a, og skriv alle de beregninger, du lavede for at komme frem til det nye resultat. Skriv hver beregning fra 1-6 med parenteser. C Gang parenteserne ud, og vis, at du efter trin 6 ender med 10 a. Begrund ud fra 10 a, at du efter punkt 6 ender med det tal, du først tænkte på.

5 20 TAL OG REGNING TEORI BRØK, DECIMALTAL OG PROCENT Du møder i mange sammenhænge både i hverdagen og i matematik i skolen tekster og beskrivelser, hvor der bruges brøker, decimaltal og procent. Det er ikke altid helt let og tydeligt, hvordan de forskellige tal skal læses og forstås. Det er også meget forskelligt, i hvilke sammenhænge og situationer, de forskellige skrivemåder bruges. Brøker, decimaltal og procent er tre forskellige måder at skrive samme forhold på. Man kan sige, at vi kan repræsentere fx 0, på følgende tre måder: 0, = 8 20 = 0 % OPGAVE 21 0, % 0,1 50 % ,6 0,9 0,5 25 % 90 % 75 % 0,75 60 % A Tegn en tallinje som vist herunder, og placer de 18 tal på tallinjen OPGAVE 22 Vis, hvordan du beregner. A Tag tre tiendedele af 26. B Multiplicer 26 med 0,. C Find 0 % af 26. D Lav en regnehistorie til hvert af de tre regnestykker. OPGAVE 2 Peter synes, det er svært at regne med procent. Han har regnet nogle opgaver, men ikke alle er rigtige. Regn opgaverne, og skriv en forklaring til ham om, hvorfor nogle af opgaverne er løst forkert. A Find 5 % af 17. Løsning: 0,5 17 = 5,95. B Hvor mange procent er 5 af 60? Løsning: = 75 %. 60 C Hvis 20 svarer til 0 %, hvor meget er så 100 %? Løsning: 20 0 = D Hvor mange procent er 2 af 50? Løsning: % = 6 % 50 E Læg 22 % til. Løsning: = 29, F Træk 1 % fra 108. Løsning: 0, = 76,68. OPGAVE 2 Diskuter med din makker, hvordan nedenstående udsagn kan forstås. Skriv mindst et kritisk spørgsmål til den måde, tallene er brugt på. A Publikums stemning er i anden halvleg faldet med 10 til 12 %. B Han holdt hovedet 5 % koldere end modstanderen. C Rettelse: Vi skrev i går, at % af 15 mia. er.5 mia. Det passer selvfølgelig ikke. % af 15 mia. er cirka 1,5 millioner. D I 1990 var hver syvende bil på de amerikanske veje lavet i USA i dag er det kun hver sjette. E 50 % af alle rygere dør. 0 1

6 TAL OG REGNING 21 Arbejd sammen med din makker om opgaverne på denne side. OPGAVE 25 Når en person dør, så skal arven fordeles mellem de efterladte. Fordelingen sker ud fra helt præcise regler i arveloven, og den afhænger af den afdødes familieforhold. Hvis den afdøde efterlader sig både ægtefælle og fælles børn, skal arven deles mellem dem. Ægtefællen arver halvdelen, og børnene arver tilsammen halvdelen af afdødes formue som deles lige imellem dem. Den efterlevende ægtefælle kan vælge at sidde i uskiftet bo, så fællesbørnene først arver, når den efterlevende ægtefælle dør. Kilde: borger.dk To barndomsvenner Raphael og Anders dør samme dag efter et langt liv. Raphael dør og efterlader sig en hustru og tre fælles børn. Raphael har en formue på kr. A Hvor stor en del arver hvert af børnene? Når børnene skal arve fra deres far, så skal de betale nogle af de arvede penge til staten det kaldes boafgift. B Raphaels hustru skal ikke betale boafgift. Hvor mange penge arver hun? C Hvor mange penge arver hvert barn, når de skal betale 15 % i boafgift? Anders sidder i uskiftet bo efter sin hustru Frida, der døde for flere år siden. De fik fire børn sammen: Agnete, Thomas, Siv og Maj. Siv lader sin andel af arven gå videre til ligelig fordeling mellem sine tre børn. Det synes Maj er en god ide, så hun lader også sin andel gå videre til sine to børn. Agnete og Thomas beholder selv deres arv. D Du skal lave en illustration, der viser, hvor stor en andel, hver af arvingerne får. E Anders efterlader sig kr. Beregn, hvor meget hver arving modtager. Alle arvinger skal betale 15 % i boafgift. F Beskriv en arvesituation, hvor der er mindst én arving, der får 1 18 af arven. G Hvorfor er det mere sandsynligt, at brøkdelen 1 12 dukker op i en arvesituation end 1 17? OPGAVE 26 I folketinget blev der den 16. november 1999 debatteret en ny bibliotekslov. Under debatten sagde et folketingsmedlem følgende: Og med hensyn til, hvem der kommer på bibliotekerne, og hvem der ikke kommer, er der en tabel 18 med en gruppe delt ind efter alder, og dér står, at 9 pct. af den mandlige del af befolkningen aldrig kommer på bibliotekerne, og at 0 pct. af den kvindelige del af befolkningen, altså fordelt gennemsnitligt over alder, aldrig kommer der. Og når jeg lægger mænd og kvinder sammen - det skal man være lidt forsigtig med, men på det her område tør jeg godt - så giver 9 pct. af mændene og 0 pct. af kvinderne befolkningen tilsammen, og det må være 69 pct. Tager jeg fejl? Kilde: Fra 1. behandlingen af L Aase D. Madsen MF (DF) I 1999 boede der ca. 5, millioner mennesker i Danmark, og 50,6 % var kvinder. A Hvor stor en andel af befolkningen er mænd? B Hvor mange indbyggere er 69 % af befolkningen? C Tager folketingsmedlemmet fejl? Begrund jeres svar. D Giv en beskrivelse af, hvordan tallene skulle læses. E Hvor stor en andel bruger ikke biblioteket i dag? Find de relevante tal på Danmarks Statistiks hjemmeside. F Find på en situation, hvor du bruger procentregningen lige så forkert som folketingsmedlemmet i teksten.

7 22 TAL OG REGNING TEORI POTENSER Potenser bruges som en kortere måde til at skrive en multiplikation, hvor et tal ganges med sig selv et antal gange. Fx = 6 = læses som fire opløftet i sjette potens eller fire i sjette. Hvis a er et vilkårligt tal, og n er et naturligt tal, så kan potensen a n skrives som: a n = a a a a, hvor n er et naturligt tal. n faktorer Tallet a kaldes roden, og tallet n kaldes eksponenten: Eksponent Potens a n Rod UNDERSØGELSE POTENS Undersøgelse for to personer. Materialer: regneark. I skal undersøge forskellige forhold vedrørende potenser. DEL 1 POTENSER MED NEGATIV ROD Når man ganger et negativt tal med sig selv, kan det skrives som potens med negativ rod. Fx kan regneudtrykket ( ) ( ) ( ) ( ) skrives som ( ) = 81. Potensen skrives som regneudtrykket = 81. A Omskriv potenserne til regneudtryk, hvor der bruges gangetegn, og udregn værdien. ( ) ( 7) ( 9) 9 ( 2) B Find en regel for, hvornår værdien af en potens med negativ rod er et positivt tal, og hvornår den er et negativt tal. DEL 2 POTENSER MED EKSPONENTEN NUL A Hvilken værdi har potensen med eksponenten 0? Undersøg, om det ser ud til at gælde for alle potenser med eksponenten 0. DEL POTENSER MED NEGATIV EKSPONENT A Fremstil et regneark som vist herunder, hvor I kan undersøge potenser af 2 med både positive og negative eksponenter og med eksponenten 0. B Hvilken sammenhæng kan I finde mellem kolonne B og kolonne C i regnearket? C Prøv ved hjælp af regnearket at forklare, hvorfor det giver mening at: 2 2 = 0,25 = 1 = = 0,125 = 1 = D Forklar, hvorfor følgende definition af potens med negativ eksponent ser ud til at gælde: a n = 1 = 1 a n a a... a a a og forklar, hvorfor a skal være forskellig fra nul.

8 TAL OG REGNING 2 UNDERSØGELSE REGNEREGLER FOR POTENSER Undersøgelse for to personer. I skal undersøge forskellige regneregler, der gælder for potenser. DEL 1 Undersøg hvilke af følgende udsagn, der er sande og hvilke, der er falske. A 6 6 = 6 12 B = 6 7 C = 6 7 D = 6 6 E = 6 8 F = 62 G Forklar, hvordan I undersøgte udsagnene. H Formuler en regel for, hvordan I kan gange potenser med samme rod. I Skriv reglen færdig: a n a m = DEL 2 Undersøg hvilke af følgende udsagn, der er sande og hvilke, der er falske. B 6 9 : 6 8 = 6 17 C 6 : 6 = 6 D 6 15 : 6 9 = 6 6 E 6 5 : 6 5 = 1 F Forklar, hvordan I undersøgte udsagnene. G Formuler en regel for, hvordan I kan dividere potenser med samme rod. H Skriv reglen færdig: a n : a m = DEL Undersøg hvilke af følgende udsagn, der er sande og hvilke, der er falske. A (2 ) = 8 7 B ( ) 2 = 6 C (5 2 ) = 5 8 D ( 2 ) = 16 8 E ( ) = 12 F Forklar, hvordan I undersøgte udsagnene. G Formuler en regel for, hvordan I kan opløfte en potens til ny potens. H Skriv reglen færdig: (a n ) m = A 6 7 : 6 = 6 OPGAVE 27 Omskriv regneudtrykkene til en potens, og potenserne til regneudtryk. A B D E F 75 G 210 H OPGAVE 28 Omskriv følgende til en potens A 25 : 25 5 B 0,5 0,5 2 C 7 : D E ( 2) : ( 2) 2 F (8 5 )

9 2 TAL OG REGNING TEORI RØDDER KVADRATROD Kvadratroden af et positivt tal a, er det positive tal, der opløftet til anden potens giver a. Desuden gælder specielt 0 = 0. For eksempel er 16 =, da er positiv, og 2 = 16. Hvis et kvadrat har arealet a, er kvadratets sidelængde lig med a. Dette kvadrat har arealet 9 cm 2, og sidelængden cm. Det passer med, at 9 =, fordi er positiv, og 2 = 9. KUBIKROD Kubikroden af et tal a er det tal, der opløftet til tredje potens giver a. For eksempel er 8 = 2, da 2 = 8, og 8 = 2, da ( 2) = 8. Hvis en terning (kube) har rumfanget a, er terningens kantlængde lig med a. Denne terning har rumfanget 27 cm, og kantlængden cm. Det passer med, at 27 =, fordi = 27. Rodeksponent 9 cm 2 cm cm cm 27 cm 2 cm cm 27 Rodtegn Radikant OPGAVE 29 Find værdien af A 27 B 25 C 256 D 125 E 121 F 512 OPGAVE 0 A Forklar, hvorfor 20 er større end, men mindre end 5. B Forklar, hvor det ikke er muligt at tage kvadratroden af et negativt tal, fx 9. C Hvilke to naturlige tal ligger 20 i mellem? D Hvilke tal kan man ikke tage kvadratroden af? E Forklar sammenhængen mellem 6 og. OPGAVE 1 Udregn følgende kvadrat- og kubikrødder på din lommeregner og indtegn dem på en tallinje: A 50 B 2 C 25 D 78 E π F 27 OPGAVE 2 A I en terning er rumfanget 1000 cm (en liter). Hvad er kantlængden på terningen? B Arealet af et kvadrat er 121 cm 2. Hvad er sidelængden på kvadratet? C Hvilket tal skal jeg gange med sig selv for at få 81? D Hvilket skal jeg opløfte i tredje potens, for at det giver 216? E Hvilket tal skal jeg gange med sig selv for at få 20,25? F En terning har rumfanget 27 cm. En anden terning har et rumfang, der er 8 gange så stort. Hvor mange gange så lang er siden i den store terning som siden i den lille terning?

10 TAL OG REGNING 25 UNDERSØGELSE REGNEREGLER FOR KVADRATRØDDER Undersøgelse for to personer. DEL 1 Undersøg, hvilke af følgende udsagn der er sande og hvilke, der er falske. A 2 8 = 2 8 B 9 6 = 576 C 5 7 = 5 D = E 6 8 = 6 8 F 9 25 = G Forklar, hvordan I undersøgte udsagnene. H Formuler en regel for, hvordan I kan gange kvadratrødder. I Skriv reglen færdig: a b = og a b = DEL 2 Undersøg, hvilke af følgende udsagn der er sande og hvilke, der er falske. A 8 : 2 = 8 : 2 B 81 : 9 = 9 C 27 : 12 = D 16 : = 16 : E 125 : 5 = 125 : 5 F 2 : = 2 G Forklar, hvordan I undersøgte udsagnene. H Formuler en regel for, hvordan I kan dividere kvadratrødder. I Skriv reglen færdig: a : b = og a : b = AKTIVITET AREALER OG SIDELÆNGDER Aktivitet for to personer Materialer: Digitalt værktøj I skal undersøge arealer og sidelængder i forskellige kvadrater. DEL 1 Beregn A 2 2 B C DEL 2 A Tegn med et digitalt værktøj et kvadrat med arealet 6. B Tegn som vist til højre kvadrater inde i det første kvadrat, og fortsæt til I har et kvadrat med arealet 1. DEL A Bestem areal og sidelængde for hvert af jeres kvadrater, og udfyld et skema med jeres resultater. Sidelængder, der ikke er et helt tal, skal skrives ved hjælp af kvadratrødder. Areal 6 Sidelængde B Beskriv, hvordan mønsteret i de to talrækker for areal og sidelængde udvikler sig.

11 26 TAL OG REGNING AKTIVITET REAKTIONSTID Aktivitet for seks personer. Materialer: en målepind (fx en lineal, rundstok, træliste (der ikke giver splinter i fingrene) eller lign.) der har en længde på minimum 50 cm og et digitalt værktøj. Den tid, der går, fra en eller flere af vores sanser registrerer en påvirkning, til vi reagerer, kaldes reaktionstid. I skal undersøge, hvor hurtigt en forsøgsperson reagerer ved at lave et forsøg, hvor personen skal gribe en målepind mellem to fingre. På tegningen til højre er vist, hvordan forsøget udføres. Der skal være cirka 2 cm mellem forsøgspersonens tommelfinger og pegefinger, så der ikke røres ved målepinden. Hjælperen skal slippe målepinden uden varsel, og forsøgspersonen griber den mellem fingrene. Aflæs (lineal) eller mål (rundstok, træliste eller lign.), hvor langt målepinden er faldet. I kan beregne forsøgspersonens reaktionstid med denne formel: s t =, 90 hvor s er faldlængden målt i cm, og t er reaktionstiden i sekunder. DEL 2 Hver forsøgsperson i gruppen skal gentage forsøget 10 gange. I kan fx arbejde sammen to og to. A Lav et regneark, fx som det, der er vist herunder, hvor I kan notere jeres forsøgsresultater for hver person i gruppen. Indsæt et regneudtryk, så reaktionstiden automatisk bliver udregnet, når faldlængden bliver indtastet. DEL 1 A Beskriv jeres forsøgsresultater. Er der nogen udvikling i reaktionstiderne fra 1. til 10. forsøg? Brug forskellige statistiske deskriptorer til at beskrive jeres datasæt med, fx længste og korteste reaktionstid, gennemsnitlige reaktionstid. Lav diagrammer, der illustrerer forsøget. B Fremlæg jeres beskrivelse for en anden gruppe.

12 TAL OG REGNING 27 TEORI FIGURTAL De græske matematikere havde ofte en geometrisk beskrivelse af tallene, og de brugte blandt andet småsten til at vise tallene. Nogle af tallene har fået navn efter den geometriske form, som de kan antage. Her kan du se de første tre af de tal, som kaldes trekantstal, kvadrattal og rektangeltal. Kvadrattal Rektangeltal Trekantstal OPGAVE Udfyld en tabel som vist herunder med de fem første A trekantstal. B kvadrattal. C rektangeltal. OPGAVE 5 Der findes for hver type figurtal en formel, hvor man kan beregne et tal i figurfølgen, hvis man kender det nummer n, tallet har i rækkefølgen. A Vi kalder det n te kvadrattal for K n. Forklar, hvorfor dette tal kan beskrives ved formlen K n = n 2. Nummer (n) 1 Figur Trekantstal 1 OPGAVE 6 Find formlen for det n te A rekantstal. B rektangeltal. 2 OPGAVE 7 Alle kvadrattal kan skrives som summen af tallet 1 og et eller flere af de efterfølgende ulige tal = = 9 5 A Skriv de næste fem kvadrattal på samme måde. B Forklar, hvorfor man kan finde kvadrattallene på denne måde. I kan evt. bruge jeres besvarelse fra de øvrige opgaver på siden, der handler om kvadrattal. OPGAVE Hvad er det tiende A trekantstal? B kvadrattal? C rektangeltal?

13 28 TAL OG REGNING TEORI REELLE TAL OG IRRATIONALE TAL Mængden af reelle tal R består både af de rationale tal Q og de irrationale tal. DE REELLE TAL Naturlige tal N Hele tal Z Rationale tal Q 2,7 Irrationale tal ,9, De rationale tal er alle hele tal og alle brøker, der kan beskrives med hele tal i tæller og nævner. De kan også beskrives som alle de decimaltal, der enten er endelige eller periodiske. De irrationale tal er de tal, der ikke er rationale, dvs. tal der ikke kan skrives som et helt tal eller en brøk, og hvor decimaltallet ikke er endeligt eller periodisk. Det er fx tal som 2 og. OPGAVE 8 A Tegn en figur, der viser de fire talmængder N, Z, Q og R. Placer tallene i de mængder, de hører til. 0,26 1 0, , ,62 0,9 0,28 1 B En løbebane er 1,22 m bred. Hvor langt løber man, hvis man løber helt tæt på inderkanten af løbebanen? yderkanten af løbebanen? OPGAVE 8 Vi kan ikke skrive alle decimalerne på eller eller noget andet irrationalt tal. Det betyder, at vi heller aldrig kan bruge alle decimalerne af, hvis vi skal regne med i praksis. A En 00 m løbebane på et atletikstadion måles 0 cm fra den indvendige kant. Beregn, hvor mange centimeters forskel der er på længden af en løbebane på et atletikstadion afhængig af, om længden er beregnet ved at sætte til,1 eller ved hjælp af -tasten på lommeregneren. Tag udgangspunkt i, at løberne løber langs indersiden af banen. 8,9 m d = 7 m 1,22 m På tegningen er vist et atletikstadion med fire løbebaner, der hver er 1,22 m bred. I et 00 m løb starter den inderste løber (bane 1) midt på den ene langside. C Undersøg, hvor stor afstanden er mellem løbernes startsteder i bane 2, og i forhold til bane 1, når de alle løber midt i deres bane.

14 TAL OG REGNING 29 OPGAVE 0 Johannes Kepler fandt i år 1605 ud af, at planeterne bevæger sig i ellipseformede baner omkring Solen. Den ene af ellipsens brændpunkter falder sammen med Solens centrum. Planternes afstand til Solen er derfor ikke konstant. Herunder er vist en model af en planetbane omkring Solen. A Brændpunkt (Sol) Lilleakse Planet Brændpunkt B Storakse C Beregn, hvor mange km der er fra Solen til Merkur Saturn Pluto Det sker, at Solen (S), Merkur (M) og Jupiter (J) befinder sig på samme linje. A Hvor i banen har planeten sin mindste afstand til Solen, og hvor har den sin største afstand til Solen? Når man taler om en planets afstand til Solen, så er det planetens middelafstand, der beregnes på denne måde: (mindste afstand + største afstand) Middelafstand = 2 B Jordens mindste afstand til Solen er 1, km, og den største afstand er 1, km. Beregn Jordens middelafstand til Solen. Da afstandene i solsystemet er meget store, måler man længder i en enhed, der kaldes astronomisk enhed, der forkortes til AE. En AE er middelafstanden fra Solen til Jorden. J 2 S M J 1 D Hvor mange km (svar med eksponentiel notation) er der mellem Merkur og Jupiter, når afstanden er kortest? længst? E Lyset bevæger sig med,0 108 m/sek. Hvor lang tid tager det cirka for lyset at komme fra Solen til Jorden? Solen til Merkur? Solen til Mars? Planet Merkur Venus Jorden Mars Jupiter Saturn Uranus Neptun Pluto Middelafstand til Solen i AE 0,87 0,72 1,000 1,52 5,20 9,555 19,218 0,110 9,55

15 0 TAL OG REGNING TEMA ANDRE TALSYSTEMER Tema for to personer. I dette tema skal I undersøge og regne med forskellige talsystemer. Vores talsystem har grundtallet ti, men sådan behøver det ikke at være. Det er faktisk sådan, at ethvert naturligt tal større end eller lig med to kan bruges som base for et talsystem. Eksempel I firetalssystemet er der cifrene: 0, 1, 2 og. Et tal skrevet i firetalssystemet kan fx se sådan ud 212. Basen er vist ved det lille firtal, så det er tydeligt, hvilken base tallet skrives i. Hvis tallet repræsenterer et antal enkroner, hvordan finder vi så ud af, hvor mange penge der er? I har tidligere i kapitlet set, hvordan man kan skrive tal ved hjælp af potenser af ti. På samme måde kan man skrive tallet 212 med potenser af fire: 212 = = 155 = = 155 Der ligger altså 155 enkroner på bordet. Det kan også tegnes eller bygges med fx centicubes. DEL 1 A Hvor stort er tallet, hvis det skal skrives i titalssystemet? a 1 b 102 c 12 d 12 5 e 1 5 B Tal med et andet makkerpar om, hvordan I fandt frem til, hvor stort tallet er i titalssystemet. C Undersøg, hvordan tallene fra 1 10 til kan omskrives til tretalssystemet. D Undersøg, hvordan I kan omskrive fra titals systemet til firetalssystemet. a 9 10 b c d E Tal med et andet makkerpar om, hvordan I omskrev tallet fra titalssystemet til firetalssystemet. DEL 2 Hvordan kan man regne med andre talsystemer? I denne del er det ikke meningen, at I skal oversætte til titalssystemet. I skal undersøge og forklare, hvordan man kan regne med de fire regningsarter i sekstalssystemet. I kan evt. tegne eller bygge tallene som vist herunder, hvor tallet 22 6 med er tegnet A Regn nedenstående opgaver og forklar, hvordan I har gjort. a og b og og c og På samme måde som eksemplet her, kan man regne med forskellige andre talsystemer. Det kan være en hjælp at tegne eller bruge centicubes til opgaverne. d 52 6 : 6 og 0 6 : 6 B Kan I bruge jeres sædvanlige metoder til at lægge sammen og trække fra med tal skrevet i sekstalssystemet? C Kan man på samme måde som i titalssystemet genkende lige og ulige tal i sekstals systemet? I andre talsystemer?

16 TAL OG REGNING 1 EVALUERING På denne side skal I enten bruge arket Begreber og fagord Tal og regning (EX) eller jeres egen begrebsbog. I kan bruge relevante digitale værktøjer. DEL 1 I denne evalueringsopgave skal I arbejde to til fire elever sammen. A Lav fem kort kort. Skriv et af følgende fagord eller begreber på hvert kort: IRRATIONALE TAL POTENSER RØDDER RATIONALE TAL Q POSITIONSSYSTEMER (TALSYSTEMER) B Læg kortene på bordet, så I kan se dem. C Vælg på skift et kort, som I kan forklare. Forklar begrebet for de andre i gruppen. Når alle i gruppen har forstået begrebet, så lægges kortet til side. I skiftes til at trække et kort og fortsætter til alle begreber er forklaret og forstået. Det kan være en god ide at skrive stikord til de enkelte forklaringer undervejs. D Hvis der er begreber, som I ikke kan forklare eller forstå, så hænger I kortene med disse begreber op på tavlen. E Når alle grupper har forklaret de begreber, de kan, så skal begreberne på tavlen forklares for hele klassen. Det kan være en elev eller læreren, der hjælper med at forklare begreberne. DEL 2 For hvert af de seks ord og begreber, du lige har arbejdet med, skal du A vise et eksempel med en tegning B skrive din egen forståelse af begrebet. Arbejd sammen med din makker. DEL Undersøg, hvilke regnestykker der har det rigtige resultat. Forklar, hvilke regnefejl der kan være sket. A 209, ,8 = 5,08 209, ,8 = 21,96 B 01,02 26,1 = 262,11 01,02 26,1 = 17,89 C 1 12 = = 75 D 1812 : 6 = : 6 = 2 DEL Jens, Kim og Peter skal på kanotur. De køber et telt sammen. Jens betaler 20 kr., Kim betaler 60 kr. og Peter betaler 00 kr. Forklar, hvordan I kan beregne A hvor stor en procentdel af den samlede pris, hver af drengene skal betale. B hvor stor en brøkdel af den samlede pris, hver af drengene skal betale. DEL 5 A Vis og forklar for hinanden, hvordan I finder kvadratroden og kubikroden af et tal. DEL 6 Forklar, hvordan I kan omskrive til én potens. A C 7 E ( 5 ) B D F (9 6 ) DEL 7 Beregn, og forklar, hvordan I kan regne med kvadratrødder. A 15 : B 625 : 5 C 1 D DEL 8 Skriv tre tal, A der ikke er naturlige tal. B der er rationale tal, men ikke naturlige tal. C der er irrationale.

17 2 TAL OG REGNING TRÆN 1 FÆRDIGHEDER OPGAVE 1 Beregn A B C D 006 : 6 OPGAVE 2 Beregn A 0,25 8 B 0,5 100 C 0,25 0,50 D 16,5 : 10 E 0,5 : 0,25 OPGAVE A Skriv et decimaltal, der er større end 2,5 og mindre end 2,6. B Skriv 0,88 som procent. C Skriv en brøk, der er dobbelt så stor som 2 5. D Skriv 52 % som decimaltal. E Skriv en brøk, der er større end 1 og mindre end 1 2. OPGAVE Beregn. A B : 9 C D (2 5) E + (2 6 : ) ( 6 : 9) OPGAVE 5 Lav regne stykker, så du får facit til at passe. Du må lægge sammen, trække fra, gange, dividere og sætte parenteser. Alle tal skal bruges, og du må ændre på rækkefølgen. A = B = C 2 6 = 12 OPGAVE 6 Løs ligningerne. A x + 2 = 8 B x = 7 C 2x + = 5 D x 2 = 81 OPGAVE 7 Beregn. A B C : 1 2 OPGAVE 8 A Hvad er kiloprisen, når 200 g koster 9 kr.? B Hvad er helheden, når 2 er m? C Hvad er helheden, når 10 % er 15 m? D En vare er sat ned med 25 %. Hvad er den oprindelige pris, når tilbudsprisen er 57 kr.? OPGAVE 9 Omskriv til én potens, og beregn værdien. A 9 B C D 7 E (5 ) 6 F (7 ) 5 OPGAVE 10 Beregn. A B C D OPGAVE 11 Beregn længden af en kant i en kube med rumfanget A 125 cm OPGAVE 12 Hvad er tallet, hvis det skal skrives i titalssystemet? A 15 6 B 12 6

18 TRÆN 2 FÆRDIGHEDER OPGAVE 1 Beregn A 956, ,06 B ,9 C 8,2 1,5 D 800,06 : OPGAVE 2 Skriv hvert tal som både decimaltal og brøk. A 0,2 0,5 B 0, 0,2 C 1,5 1, D 6, : 0,8 E 0,5 : 0,25 OPGAVE Skriv tallene i rækkefølge med det mindste tal først. A 2, ,2 2 B 8,1 8, C , D 2 27,9 9,89 29 OPGAVE Beregn. A 16 (2 (2 + 2 )) + 2 B ( 2 5) OPGAVE 5 Lav regnestykker, så du får facit til at passe. Du må lægge sammen, trække fra, gange, dividere og sætte parenteser. Alle tal skal bruges, og du må ikke sammensætte cifre til flercifrede tal. A = 8 B = 9 C = 8 D = 9 OPGAVE 6 Løs ligningerne. A x + 8 = 2 B 2 x = 20 x + 8 C = 5 D 5x 2 = 25 OPGAVE 7 Beregn A B C 10 : 5 6 OPGAVE 8 A Hvad er kiloprisen, når 800 g koster 0 kr.? B Hvad er helheden, når 5 8 er 0,5 m? C Mette har 1 2 kg mel i skabet. Det er 1 af, hvad hun skal bruge. Hvor meget mel skal hun bruge i alt? D Janes løn er steget med 15 %, så hun nu får 69 kr. i timen. Hvor stor var timelønnen før? OPGAVE 9 Sandt eller falsk? A 5 = 15 B (6 ) 5 = 6 15 C 9 2 = D = 12 8 E = 5 F (5 2 ) = 5 6 OPGAVE 10 Sandt eller falsk? A 9 = 1 B 25 = C = D 25 = 2 E = 2 9 F ( 7) 2 = 9 G ( 16 ) 2 = 16 OPGAVE 11 Beregn længden af en kant i en kube med rumfanget A 216 cm OPGAVE 12 Beregn. A B C D 5 : 5

19 TAL OG REGNING TRÆN 1 PROBLEMLØSNING OPGAVE 1 Tallene fra 1-5 kan placeres i figuren herunder, så summen af tallene i den vandrette og lodrette række bliver den samme. Undersøg nedenstående påstande. Vis med et eksempel eller en forklaring, om påstanden er sand eller falsk. A Der findes mere end én løsning. B Der findes en løsning, hvor det midterste tal er et lige tal. OPGAVE 2 På Danmarks Statistiks hjemmeside kan man læse en masse statistiske oplysninger om det danske samfund. Man kan bl.a. læse: I 2016 er der 000 familier, hvor der bor en enlig far med sine børn, og det er 8 procent flere end i Der er stadig mere end fire gange så mange enlige mødre som fædre, der bor sammen med sine børn. Hver anden dansker røg dagligt i 1980, det var i 2015 kun hver sjette. Det gjorde 16 procent af mændene og 17 procent af kvinderne. I 1980 var befolkningstallet i Danmark I 2015 var antallet af kvinder , og antallet af mænd A Hvor mange enlige fædre boede med sine børn i 2006? B Giv et bud på, cirka hvor mange enlige mødre der bor med sine børn i C Hvor mange danskere røg i 1980? D Hvor mange kvinder henholdsvis mænd røg i 2015? OPGAVE Jordens masse (vægt) er 5, kg. Saturns masse er 5, kg. Aysia, Emilie og Clara vil undersøge, hvor mange gange så stor Saturns masse er som Jordens masse. De er ikke enige om, hvordan de skal løse opgaven. De har løst opgaverne på denne måde: Aysia: 5, ,65 10 = , Emil: 26 5, = 5,65 5, , , Clara: = 565 5,97 9,6 A Hvem eller hvilke har løst opgaven korrekt? B Hvordan ville du have løst opgaven? Begrund dit svar. OPGAVE Victor vil lave en rangle til sin lillebror. Ranglen består af to cirkelformede træskiver, der er sat sammen af seks runde pinde. Inde i ranglen er der bjælde, der er formet som en kugle. Træskiverne har en radius på 0 mm. De runde pinde har en diameter på 8 mm. Afstanden fra pindenes centrum til kanten på træskiven er 5 mm. A Vis med en tegning, hvordan de seks pinde skal placeres på den cirkelformede træskive. B Undersøg, hvor stor diameteren i den kugleformede bjælde mindst skal være, for at den ikke falder ud mellem pindene.

20 5 TRÆN 2 PROBLEMLØSNING OPGAVE 1 A Tænk på et tal, og udfør nedenstående beregninger med lommeregner. 1. Tænk på et tal større end Gang det med og læg 6 til.. Tag cifrene i tallet og læg sammen, så du får et nyt tal.. Gang det nye tal med. 5. Tag cifrene af resultatet og læg sammen til et nyt tal. 6. Gentag trin 5 indtil du står med et ciffer $ nemlig 9. B Begrundelsen for at dette virker hver gang bygger på følgende to regneregler: Hvis går op i et tal så går op i summen af cifrene i tallet. Det samme gælder for tallet 9. Brug dem til at vise, at vi altid ender med at få 9. OPGAVE 2 På Danmarks Statistiks hjemmeside kan man læse en masse statistiske oplysninger om det danske samfund. Man kan bl.a. læse: Der er i 2016 kommet 22 procent flere personbiler på gaden siden 2006, så der nu er 2, mio. Vi er blevet flere og flere mennesker i de seneste år. Samlet var der danskere 1. januar På samme tidspunkt i 2008 var der danskere. Danskerne udgør i øvrigt 0,8 promille af Jordens befolkning. Tre ud af fire danskere handler på internettet. Billetter til teater, koncerter og biograf fyldes i flest digitale indkøbskurve, men 1 procent klikker også på dagligvarer i kurven. Brug ovenstående oplysninger til at besvare spørgsmålene. A Hvor mange personbiler var der i 2006? B Hvor mange procent er den danske befolkning steget med fra 2008 til 2016? C Hvor stor er hele Jordens befolkning? D Hvor mange danskere handler ikke på internettet? E Hvor mange danskere køber også dagligvarer på nettet? F Forklar, hvilken betydning det ville have for besvarelserne i opgave A, hvis antallet af personbiler var angivet med det eksakte antal på stk. opgave B og C, hvis antallet af danskere var opgivet med henholdsvis 5,7 mio. og 5,5 mio. OPGAVE Der findes en sammenhæng mellem planeternes omløbstid og deres middelafstand til Solen, som kan beskrives ved hjælp af Keplers. lov: T = a, hvor T er omløbstiden målt i år. a er planetens middelafstand til Solen målt i AE. AE = 19,6 mill. km. Himmellegeme Middelafstand til Solen i km Venus 1, Jorden 1, Neptun, A Beregn, hvor lang omløbstiden er for hver af de tre planeter, der er beskrevet i skemaet. OPGAVE Forestil dig, at der ligger et reb hele vejen rundt om Jorden, som har en omkreds på km. Du vil gerne gøre rebet lidt længere, så du og mange andre mennesker kan stå op og holde rebet en meter over jorden. A Tegn en skitse af situationen. B Hvor meget længere skal rebet være? Kom først med et gæt, inden du beregner. Forstil dig igen, at rebet ligger stramt omkring Jorden. Nu sætter du 1 meter mere på rebet, så det bliver hævet en lille smule hele vejen rundt. C Hvor meget bliver rebet hævet over jorden? Kom først med et gæt, inden du beregner.