Monte Carlo simulering

Transkript

1 Handelshøjskolen i København / Copenhagen Business School Institut for Finansiering Cand.merc.mat studiet Kandidatafhandling Monte Carlo simulering Anvendelse af metoden samt introduktion af de variansreducerende metoder og Heston-modellen Udarbejdet af: Thomas Aamand Nielsen Afleveret d Vejleder: Martin Richter Antal anslag: (77 normalsider)

2 Indledning 2

3 Indledning Monte Carlo Simulation Practical use and introduction of variance reduction techniques and The Heston model Executive summary There are three main subjects in this master thesis, which all involves the simulation techniques of the Monte Carlo method. The first subject is to introduce the idea of the most basic variation of the Monte Carlo method. This introduction will later make it possible to model more sophisticated Monte Carlo models, known as Antithetic Variates and Control Variates, which will be the second main subject. These models are known as variance reduction methods, because the main idea is to make the estimate from simulation more precise, by minimizing the standard deviation of the estimated price. The last subject is to take a closer look at how it s possible to use the Monte Carlo techniques to price options with stochastic volatility. This is done by introducing the Heston-model, which simulates both the variance and the asset at the same time. The first model introduced in this thesis, is the most basic Monte Carlo model, known as the standard model, and its ability to price options will be shown from examples where it prices European call-options. The reason why this kind of option is chosen is that the estimated price can be evaluated against the analytical solution from the Black-Scholes formula, and it s therefore possible to test the speed in which the estimated price will converge against the analytical solution. The thing about the standard model is, that I take a lot of simulations, to make a precise estimate off the price, and this is the main reason why the variance reduction techniques are introduced. Antithetic Variates is one of the simplest techniques to minimize the standard deviation of the estimate, and the basic idea behind the model is to simulate paths of the asset by using both the random number Z and Z. The model is simple and takes only a few minutes to add to the original standard model. A more sophisticated model is therefore introduced, and it s called Control Variates. The idea behind this model is to simulate something you know the value of at the first place, with the same random numbers as you use to simulate the price of the option. By doing this, the model gives you the chance to adjust the estimated price of the option, according to the estimation error of the known value. Both these models will be tested, to see which one is best to price options, with different characteristics. A model outside the world of Black-Scholes is The Heston model, and the model gives some realism to the simulation, by introducing stochastic volatility. The variation reduction techniques will also be tested together with The Heston model, but the main subject is to investigate some of the problems that may be found, by simulating The Heston model with the Euler-scheme. This analysis will be based on the article of Leif Andersen, and the solution is to test a more robust scheme, that handles more stressed scenarios in a better way. 3

4 Indledning Indholdsfortegnelse 1 Indledning Problemformulering og disposition Problemformulering Disposition Prisfastsættelse af optioner Den underliggende proces Den Brownske bevægelse Brownsk bevægelse med drift Geometrisk Brownsk bevægelse Optionsteori Model med stokastisk volatilitet Heston-modellen Monte Carlo simulering Standardmodellen Prisfastsættelse af optioner med standardmodellen Eksempel Implementering af Heston-modellen Tilfældige tal Tilfældige tal trukket på en computer Eksempel på Congruentiel generator Box-Muller transformation Test af tilfældige tal Runs Test Test af uniformitet Optimering af standardmodellen Standardmodellen i Black-Scholes verden Standardmodellen med stokastisk volatilitet Variansreducerende metoder Antithetic Variates (AV) Test af AV vs. Standardmodellen Afsluttende bemærkninger om Antithetic Variates Kontrolvariable (KV)

5 Indledning Test af KV vs. Standardmodellen Afsluttende bemærkninger om kontrolvariable Modelsammenligning Hvad kan påvirke valget af Monte Carlo model Nuværende kurs ift. aftalekurs Renteniveauet Volatiliteten Tid til udløb Hvilken model er den bedste Optimal Monte Carlo model med stokastisk volatilitet Stress af kappa Stress af rho Stress af Theta Stress af volatilitetens volatilitet Hvilken model er den bedste i Heston-modellen Asiatiske optioner Standardmodellen og asiatiske optioner Variansreducerende metoder og asiatiske optioner Simuleringsudfordringer i Heston Bagvedliggende resultater omkring CIR-processen TG-skema for CIR-processen Forbedringer til udviklingen i aktivet Test af TG-skema vs. Euler-skema Afsluttende bemærkninger om TG-skemaet Konklusion Litteraturliste Bilag 1: SAS-kode til Standardmodellen Bilag 2: SAS-kode til model med AV Bilag 3: SAS-kode til model med KV Bilag 4: SAS-kode til Heston - Standardmodellen Bilag 5: SAS-kode til Heston - AV Bilag 6: SAS-kode til Heston - KV Bilag 7: SAS-kode til Asiatisk option - Standardmodellen

6 Indledning 20 Bilag 8: SAS-kode til Asiatisk option - AV Bilag 9: SAS-kode til Asiatisk option - KV Bilag 10: SAS-kode til opslag af værdi i TG-skema Bilag 11: SAS-kode til TG-skema Bilag 12: SAS-kode til martingale-korrigeret TG-skema

7 Indledning 1 Indledning I den finansielle verden er prisfastsættelse en del af dagligdagen, og i mange sammenhænge er størrelsen af den succes man kan opnå, proportionel med kvaliteten af den prisfastsættelsesmodel man arbejder med. Kun i nogle tilfælde er det muligt at lave en prisfastsættelse analytisk, hvilket selvfølgelig er at foretrække hvis muligheden eksisterer, men i resten af tilfældene må man benytte andre løsningsmetoder. Specielt har den stigende anvendelse af avancerede finansielle produkter medført et forøget behov for en alternativ løsningsmetode til prisfastsættelsesproblemet, der er i stand til, ud fra få informationer, at prisfastsætte et givent produkt. En mulig løsning til et sådant problem kunne være Monte Carlo simulation, da den i sin simple form er nem at implementere, nem at arbejde med og giver et intuitivt resultat, samtidig med at den er fleksibel og uden videre kan tilpasses efter behov. Helt basalt handler Monte Carlo simulering om at simulere en stokastisk proces et højt antal gange, og ved at betragte disse udfald som alle de mulige udfald for processen, kan den ønskede værdi bestemmes som gennemsnittet af alle disse udfald. Metoden kræver derfor kun at man kan opstille hvordan den stokastiske proces udvikler sig, og er af den årsag nem at implementere. Metoden bygger grundlæggende på store tals lov, som siger, at værdien af det produkt der prisfastsættes vil gå imod den sande værdi, når antallet af simuleringer går imod uendelig. Dette medfører, at Monte Carlo simulering i sin mest simple form kræver meget beregningstid, for at opnå tilfredsstillende resultater. Der er af denne årsag blevet udviklet en række teknikker, hvorved det er muligt at nedbringe variansen af simuleringerne, hvilket gør det muligt at opnå tilfredsstillende resultater på kortere tid. Selv om der findes forbedringer af Monte Carlo teorien, der forbedrer variansen, så er Monte Carlo simulering, i mange praktiske sammenhænge, ikke et alternativ der kan benyttes, simpelthen fordi metoden beslaglægger for meget tid. Blandt folk der f.eks. ikke kan anvende metoden er dealere og lign. der skal kunne stille en pris på et givent produkt på sekunder, og her må man således benytte andre metoder. Til gengæld så er Monte Carlo metoden yderst anvendelig i en række sammenhænge hvor tiden ikke er en betydende faktor, og som eksempler herpå kunne man f.eks. forestille sig daglige kørsler af Value-at-Risk (VaR) eller andre former for markedsrisikotal, der lovmæssigt skal findes hver dag. Monte Carlo simulering er således en brugbar metode hvis man skal bruge en model der er nem at sammensætte, ikke har nogen restriktioner mht. tidsforbrug og hvis det ikke analytisk er muligt at beregne et resultat. Det vil derfor ikke være helt forkert at betragte Monte Carlo simulering som enten første eller sidste udvej i virkelighedens verden. Første udvej fordi det er hurtigt at opstille en model fra bunden til et 7

8 Indledning problem, der ikke skal løses gentagende gange, og dermed komme frem til et fornuftigt resultat inden for relativ kort tid. Dette er i mange sammenhænge klart at foretrække, frem for at skulle udvikle en avanceret model, når problemet er enkeltstående og ikke skal løses igen og igen. Sidste udvej fordi man i situationer hvor analytiske metoder ikke er mulige, kan blive nødt til at benytte sig af simuleringsmetoder, hvilket ikke er sjældent når problemerne bliver komplicerede. Monte Carlo simulering er en god sidste skanse i denne sammenhæng, fordi man er sikker på at finde en korrekt pris, med vilkårlig præcision, selv om det kan tage lang tid. Af ovenstående årsager er der derfor ingen tvivl om at Monte Carlo-metoden har sin eksistensberettigelse, både i teorien såvel som i praksis, og selv om metoden i sin simple form er langsom, så er dens simple opbygning og dens store fleksibilitet med til at gøre metoden attraktiv i mange sammenhænge. Fleksibiliteten i metoden ligger i at man kan tilpasse sin model til et givent problem, og således selv vurdere fra problem til problem om det er værd at benytte tid på at raffinere modellen, eller om man bare vil sætte standardmodellen op og lade den køre til det ønskede resultat er opnået. Vælger man at bruge tid på at raffinere modellen, tager man som reel udgangspunkt i én af to ting. Enten forsøger man at forbedre modellen ved at effektivisere trækningen af tilfældige tal, som er selve motoren i Monte Carlo simuleringer, eller også forsøger man at udnytte viden om et specifikt problem, til at løse en del af resultatet analytisk, og dermed lade en mindre del af resultatet være simulationsbaseret. Der er relativ stor forskel på disse optimeringsmetoder, både mht. implementering og effektivitet, men blandt de mest kendte metoder er Antithetic Variates og Kontrolvariable. Det behagelige ved Monte Carlo simulering som metode er, at modellen uden videre kan udvikles således at der også tages højde for stokastisk volatilitet eller lign., hvilket er utrolig brugbart hvis man ønsker at operere uden for Black-Scholes verden. Som eksempel, på en model der tager højde for stokastisk volatilitet, kan nævnes Heston-modellen, som ud over at simulere udviklingen i det underliggende aktiv, også simulerer udviklingen i variansen. Monte Carlo simulering er praktisk i denne sammenhæng, fordi modellen, med få justeringer, kan ombygges så den kan håndtere en model som Hestons. 8

9 Problemformulering og disposition 2 Problemformulering og disposition 2.1 Problemformulering Jeg vil i denne afhandling beskrive de grundlæggende teknikker i Monte Carlo simulation ved at prisfastsætte forskellige finansielle derivater. Formålet med afhandlingen er således at give læseren en forståelse for hvordan Monte Carlo simulering fungerer, og samtidig opbygge en værktøjskasse der gør det muligt at forbedre metoden. Til at begynde med vil jeg beskrive Monte Carlo simulering i sin simpleste form, og ud fra dette udgangspunkt belyse de effekter der påvirker effektiviteten af Monte Carlo-metoden. For at kunne gøre dette vil der indledningsvis blive fokuseret kort på de bagvedliggende principper for optionsprisfastsættelse og stokastiske processer. Herefter vil Heston-modellen blive introduceret, som eksempel på en model der tager højde for stokastisk volatilitet, men også som eksempel på hvor fleksibel Monte Carlo simulering er som model. Med denne viden vil det herefter være muligt at belyse de faktorer der påvirker resultatet af en Monte Carlo simulation. Overordnet vil beskrivelsen af selve Monte Carlo metoden tage udgangspunkt i den simpleste udgave af en Monte Carlo simulation. Der vil senere blive refereret til denne udgave som standardmetoden, og ud fra denne model vil jeg analysere betydningen af de forskellige betydende variable ved at prisfastsætte en europæisk call-option. Analysen vil danne grundlag for de variansreducerende metoder, som vil blive introduceret senere i opgaven. Et af hovedfokusområderne i afhandlingen vil være at belyse effekten af at implementere disse såkaldte variansreducerende metoder, og forsøge at kortlægge styrker og svagheder ved hver metode, samtidig med at jeg vil sammenligne deres evne til at prisfastsætte optioner med en aktie som underliggende aktiv. Jeg har i opgaven valgt at afgrænse mit område inden for optionsprisfastsættelse til kun at se på optioner der afhænger af ét aktiv, og vil i den sammenhæng kun fokusere på europæiske og asiatiske optioner. Selve Monte Carlo modellen vil blive beskrevet gennem analysen af de europæiske optioner, mens de asiatiske optioner er medtaget for at vise ét af de steder, hvor Monte Carlo simulering er konkurrencedygtig med andre løsningsmetoder. Det andet store fokusområde vil være brugen af Monte Carlo simulering, sammen med Heston-modellen. Som tidligere nævnt har jeg valgt at introducere Hestons model, som eksempel på en model uden for Black- Scholes verden, der gør det muligt at prisfastsætte optioner med stokastisk volatilitet. Modellen implementeres i Monte Carlo simuleringen, og vil ligeledes blive forsøgt forbedret vha. de 9

10 Problemformulering og disposition variansreducerende metoder. Som et sidste element i dette speciale vil jeg, med udgangspunkt i Leif Andersens artikel, behandle de kritikpunkter Leif Andersen fremstiller om de approksimationer der benyttes sammen med Heston-modellen, og se hvordan man ifølge ham kan forbedre disse såkaldte approksimationsskemaer. Jeg vil i afhandlingen således besvare følgende spørgsmål: - Passer teorien bag Monte Carlo simulation, således at det er muligt at beregne en pris der konvergerer mod den analytiske? - Hvad er det optimale valg af antal simuleringer, set ud fra en effektivitetsbetragtning? - Hvordan fremskaffes tilfældige tal på en computer? - Hvad er effekten af at indføre variansreducerende metoder, og hvilken model giver det bedste resultat? - Er den bedste model uafhængig af problemets udseende? - Hvordan performer Monte Carlo simulering ved prisfastsættelse af sti-afhænge optioner som de asiatiske optioner? - Hvordan implementeres Heston-modellen i en Monte Carlo simulering? - Er Euler-skemaet tilstrækkeligt præcist som approksimationsmetode, i en model med stokastisk volatilitet, hvis scenarierne bliver tilstrækkeligt stressede? - Hvilke alternativer findes der til Euler-skemaet, og performer de bedre end Euler-skemaet på stressede scenarier? 10

11 Problemformulering og disposition 2.2 Disposition Kapitel 3 Kapitlet introducerer en række fundamentale og grundlæggende begreber, der er nødvendige, for at kunne arbejde med stokastiske processer og optionsprisfastsættelse. Herunder bliver den geometriske brownske bevægelse beskrevet, og optionsbegrebet bliver kort introduceret. Herudover introduceres Hestons model med stokastisk volatilitet. Kapitel 4 Kapitlet introducerer selve idéen bag Monte Carlo simulering, og standardmodellen inden for Monte Carlo simulering bliver opstillet både med og uden stokastisk volatilitet. Kapitel 5 Når der arbejdes med stokastiske processer er det nødvendigt at have adgang til tilfældige tal, for at kunne simulere udviklingen i den underliggende proces. Hele problematikken omkring frembringelsen af tilfældige tal på en computer bliver gennemgået i dette kapitel. Kapitel 6 Standardmetoden inden for Monte Carlo simulering optimeres, og bruges senere som benchmark for resten af de modeller der udvikles. Ligeledes findes det optimale valg af antal simuleringer og diskrete tidsinddelinger ved brug af et Euler-skema som approksimationsskema i Heston-modellen. Kapitel 7 De variansreducerende metoder bliver udviklet, og der ses på fordele/ulemper ved at benytte disse frem for standardmodellen. Modellerne sammenlignes med hinanden ud fra et effektivitetsbegreb, der tager højde for præcision og tidsforbrug. Kapital 8 De gennemgåede modeller testes på forskellige optioner, for at se om valget af Monte Carlo model bør afhænge af optionens karakteristika. Optioner in/at/out of the money bliver testet, ligesom de betydende variable i Black-Scholes undersøges, for at se om de påvirker valget af Monte Carlo model. Samme øvelse laves med Heston-modellen, hvor de betydende variable for udviklingen i volatiliteten stresses, for at se hvordan de forskellige Monte Carlo-modeller håndterer stressede scenarier. 11

12 Problemformulering og disposition Kapitel 9 Prisfastsættelse af asiatiske optioner bliver gennemgået som eksempel på et prisfastsættelsesproblem hvor Monte Carlo simulering er konkurrencedygtig med andre løsningsmetoder, fordi der ikke findes en analytisk formel til problemet. Kapitel 10 Simuleringsproblemerne i Heston-modellen bliver gennemgået, med udgangspunkt i Leif Andersens kritikpunkter af at benytte et Euler-skema som approksimationsskema. Som alternativ indføres et TGskema, som testes mod Euler-skemaet vha. forskellige testcases. 12

13 Prisfastsættelse af optioner 3 Prisfastsættelse af optioner Et af de mest grundlæggende elementer, i al form for prisfastsættelse, er at have en god model, for det aktiv man ønsker at modellere prisen for. I dette tilfælde er der taget udgangspunkt i en aktie, da vi senere skal bestemme prisen på en aktiebaseret option via Monte Carlo. Det er klart, at et af kriterierne for at opnå et godt simuleringsresultat er, at den model man beskriver udviklingen i aktiens værdi med, passer med den udvikling der observeres i virkeligheden. Desværre er det ikke muligt, at opstille en lukket formel for hvordan en given aktie præcis vil udvikle sig i fremtiden, og derfor beskrives en sådan udvikling som en stokastisk variabel, der over tid udvikler sig som en stokastisk proces. En sådan stokastisk proces kunne f.eks. være den Brownske bevægelse, som er en integreret del af den finansielle teori vi arbejder med i dag. Den er hjørnestenen i Black-Scholes teori om prisfastsættelse af optioner, og udvidelser af standardudgaven bliver brugt i utallige sammenhænge inden for bl.a. kreditrisiko og finansiering. Netop fordi den er så vigtig, og for at forstå dens påvirkning af de resultater vi senere skal komme frem til via Monte Carlo-teorien, har jeg i det følgende afsnit valgt at beskrive egenskaber og karakteristika ved den Brownske bevægelse. Senere vil jeg give en kort grundlæggende indledning til prisfastsættelse af optioner, som tager udgangspunkt i, at man har en viden om udviklingen i den underliggende proces. Det er således tanken, at hele dette afsnit skal give en fundamental viden om optionsprisfastsættelse af optioner med én aktie som underliggende aktiv. Afslutningsvis vil der i kapitlets sidste del blive introduceret en model uden for Black-Scholes verden. Denne model tager højde for stokastisk volatilitet, og er medtaget fordi det gennem empiriske undersøgelser er påvist, at volatiliteten over tid ikke er konstant. Modellen går under navnet Heston-modellen, og giver således et bud på hvordan man f.eks. kunne håndtere stokastisk volatilitet. 3.1 Den underliggende proces I dette afsnit vil jeg beskrive hvordan udviklingen i den underliggende proces modelleres, ud fra den Brownske bevægelse, og se på hvordan man kan udvide denne model, så den passer ind i tankegangen om prisfastsættelse af optioner. 13

14 Prisfastsættelse af optioner Den Brownske bevægelse Med en standard en-dimensional Brownsk bevægelse 1 på [0,T], forstås en stokastisk proces der modellerer en kontinuert bevægelse, som antager reelle værdier, og som opfylder følgende egenskaber: 0,,, uafhængige for alle ~0,,, 0 er en kontinuert funktion på [0,T] Sagt med ord starter processen med at antage værdien 0, og bevæger sig som tiden går, med tilvækster som, over ikke overlappende intervaller, er uafhængige og normalfordelte, med middelværdi 0 og varians svarende til længden af tidsintervallet. Derudover er den Brownske bevægelse en kontinuert og ikkedifferentiabel proces, som opfylder Markovegenskaben, da der for alle gælder at 2. Det faktum at den Brownske bevægelse opfylder Markovegenskaben betyder, at al relevant information for processens videre udvikling er givet ved dens aktuelle værdi Brownsk bevægelse med drift For at få mere dynamik ind i processens udvikling, benyttes en udvidelse af den Brownske bevægelse hvor der tilføjes et driftled, som trækker udviklingen i processen enten op eller ned. Udvidelsen kaldes for den generaliserede Wienerproces, og kan skrives som (3.1) hvor er driftled og er en Wienerproces. Den stokastiske proces kan derfor karakteriseres ved at ~,. En behagelig egenskab ved processen er, at der til alle fremtidige tidspunkter T gælder at tilvæksterne over en periode er normalfordelte med middelværdi og varians. Desuden er det interessant at pointere at er løsning til den stokastiske differentialligning (3.2) som man, hvis drift og varians afhænger af tiden, kan omskrive til nedenstående (3.3) 1 Kaldet for Wienerprocessen 2 Her angiver at der bliver betinget med al information om processen frem til tid s. 14

15 Prisfastsættelse af optioner Det er således muligt, ud fra formel (3.3), at modellere en stokastisk proces der har deterministisk og varierende drift og varians. Herunder ses et eksempel på hvordan aktiens udvikling modelleres med den Brownske bevægelse, både med og uden drift. Diagram ,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 Brownsk bevægelse Brownsk bevægelse m. drift Drift Note: Illustation af forskellen mellem en Brownsk bevægelse og en Brownsk bevægelse med drift Det er værd at bemærke at mens den Brownske bevægelse bevæger sig omkring sin startværdi, så bevæger den Brownske bevægelse med drift sig omkring sin drift. Derfor er forventningen til den brownske bevægelse, på et hvert fremtidigt tidspunkt, lig med den nuværende værdi, mens forventningen til den brownske bevægelse med drift, er lig den nuværende værdi plus driften Geometrisk Brownsk bevægelse Når det handler om at modellere udviklingen for en aktie, har den Brownske bevægelse den egenskab, at den kan antage negative værdier, hvilket er uhensigtsmæssigt, når man skal modellere en akties udvikling, da aktier ikke kan antage negative værdier. Et andet problem ved den Brownske bevægelse er, at der i modellen antages konstant drift og varians, uafhængigt af aktivets værdi. Det er derfor et ønske om at udvikle modellen, så drift og varians er afhængig af aktivets værdi. En sådan ændring passer fint ind i den måde vi normalt regner afkast på, nemlig i procent og ikke i kroner. En yderligere udvikling af Wienerprocessen er derfor påkrævet, og for undgå antagelsen om at driften er konstant, erstattes denne med antagelsen om at den forventede procentvisse ændring i aktiens værdi er konstant. Variansen ændres 15

16 Prisfastsættelse af optioner ligeledes så den afhænger af aktiens værdi, hvilket giver følgende model for udviklingen i en akties værdi, kendt som den geometriske Brownske bevægelse (3.4) (3.5) Her betegner det forventede afkast pr. tidsenhed, mens betegner aktiens volatilitet. Derudover skal der gælde at ln skal være en Brownsk bevægelse, hvilket betyder at den geometriske Brownske bevægelse, blot er eksponentialfunktionen af generaliserede Wienerprocesser. En fornuftig egenskab som gør aktiens værdi log-normalfordelt, og sørger for at aktiens pris ikke kan blive negativ. Ud fra Itô s lemma er det muligt finde værdien på tidspunkt T, af den proces der følger (3.4), og har startværdi. Denne værdi findes til at være exp (3.6) og fordi W(T) er normalfordelt med middelværdi nul og varians T, så kan formel (3.6) med fordel omskrives til følgende exp (3.7) hvor Z ~ N0,1. Formel (3.7) viser sig senere som det helt centrale element, i de Monte Carlo simuleringer der skal prisfastsætte en europæisk call-option. 3.2 Optionsteori I dette afsnit vil jeg ud fra formlerne i afsnit 3.1 vise hvordan man prisfastsætter både ikke-sti-afhængige optioner som europæiske call-optioner, og sti-afhængige optioner som asiatiske optioner. Da optioner er et centralt emne igennem hele dette speciale vil jeg kort give en definition af hvilke typer der findes, og ikke mindst hvad der forstås ved disse. Overordnet vil jeg skelne imellem tre typer af optioner, nemlig europæiske-, amerikanske- og asiatiske optioner, som alle kommer i to udgaver, nemlig en put (ret til at sælge) eller en call (ret til at købe). Generelt kan man beskrive en call-option med aftalekurs X, tid til udløb T og pris på det underliggende aktiv S 0, som en aftale mellem to parter, der giver køberen ret, men ikke pligt, til at købe det underliggende aktiv til en aftalekurs X ved udløbstidspunktet T. Der skal således altid to parter til at indgå en option, hvoraf 16

17 Prisfastsættelse af optioner køberen vil have en lang position, mens sælgeren har en kort position. Elementerne i put-optionen er identiske med dem i call-optionen, eneste forskel er, at optionen giver optionsindehaveren ret, men ikke pligt, til at sælge det underliggende aktiv til aftalekursen X ved udløbstidspunktet T. Typen af option (amerikansk, europæisk eller asiatisk), betyder noget for hvordan prisen på optionen bliver beregnet, og om der er mulighed for førtidig indfrielse 3. Amerikanske optioner ligger uden for afgrænsningen af dette speciale, men europæiske og asiatiske optioner vil i hovedtræk blive gennemgået nærmere herunder. Selve prisfastsættelsen af en europæisk call-option kan laves vha. Black-Scholes differentialligning, som også vil blive benyttet i dette speciale, hvor vi laver den simple antagelse at alle investorer er risikoneutrale. Denne antagelse betyder, at vi kan erstatte driften med den risikofrie rente r, og således prisfastsætte optionerne i den risikoneutrale verden. Det er værd at bemærke, at man ved at lave denne operation, ikke opnår resultater der kun er rigtige i den risikoneutrale verden. Hvis investorerne har risikopræferencer, ændres driften til, og den faktor man diskonterer med vil ligeledes ændres, og det viser sig at disse to ændringer ophæver hinanden 4. Dette betyder, at vi til udregningen af optionens pris, både vil benytte den risikofrie rente som aktiens drift og som diskonteringsfaktor. Black-Scholes formel til beregning af europæisk en call-option kan beskrives som,,,, exp (3.8) hvor er den standardiserede normalfordeling. Det er klart, at denne analytiske formel er simulationsbaserede estimater langt overlegen, og derfor benyttes Monte Carlo simulering heller ikke til denne type optioner. Når jeg alligevel i dette speciale vil tage udgangspunkt i Monte Carlo beregninger af europæiske call-optioner, er det fordi den Black-Scholes analytiske formel gør det muligt, at se hvor tæt Monte Carlo metoden kommer på den korrekte pris. Når en europæisk call-option skal prisfastsættes med Monte Carlo simulation, skal man være klar over, at det er en ikke-sti-afhængig option, da den kun afhænger af aktiens værdi på udløbstidspunktet T. Ved prisfastsættelse af denne type optioner er det derfor muligt, at benytte formel (3.7) til at bestemme aktiens værdi på udløbstidspunktet. Herefter kan optionens værdi findes ud fra exp max,0 (3.9) 3 Ved amerikanske optioner et det muligt at indfri optionen før tidspunkt T. 4 John C. Hull, side

18 Prisfastsættelse af optioner hvilket blot svarer til at tilbagediskontere afkastet med den risikofrie rente. Det er værd at observere, at optionen vil have en positiv værdi, hvis aktiens værdi på udløbstidspunktet er større end aftalekursen X, hvilket illustreres i diagrammet herunder. Diagram Simuleret afkast Udvikling i underliggende aktiv Aftalekurs Note: Illustration af afkast på en europæisk call-option med en aktie som underliggende aktiv, aftalekurs på 90 og tid til udløb 4. Det er klart, at (3.9) blot viser afkastet af optionen for én enkelt simulation af aktiekursen, mens selve prisfastsættelsen af optionen, via Monte Carlo simuleirng, vil blive beskrevet i kapitel 4. Er der i stedet tale om en asiatisk option, der tilhører klassen af sti-afhængige optioner, så kan slutprisen ikke findes ud fra formel (3.7), og udviklingen for prisen findes derfor ud fra formlen exp (3.10) hvor inddelingen af delintervaller tilpasses til det pågældende problem. Formel (3.10) gør det muligt, at prisfastsætte optioner der afhænger af aktiens udvikling fra tidspunkt 0 til T, fordi det er muligt at finde aktiens værdi på alle tænkelige tidspunkter, hvis blot laves tilstrækkelig lille. Når aktiens udvikling er fastlagt fra tid 0 til T, er det herefter muligt at bestemme værdien af den asiatiske option ud fra nedenstående formel exp max,0 (3.11) hvor (3.12) 18

19 Prisfastsættelse af optioner Det ses her, at den asiatiske options afkast afhænger af den gennemsnitlige værdi af det underliggende aktiv, men ellers er relativ simpel i sin opbygning, der på mange måder minder om den europæiske calloption. Den store forskel er, at man skal kende hele udviklingen for det underliggende aktiv, og dette er grunden til at man ikke kan opstille nogen lukket formel for den asiatiske option. Af samme årsag er denne type optioner nogen af de simpleste tilfælde, hvor Monte Carlo simulering vil være konkurrencedygtig med andre kendte løsningsmetoder, hvilket også er grunden til, at der i afsnit 9 vil blive lavet beregninger på denne type optioner. Asiatiske optioner findes i flere forskellige varianter, og behøver ikke nødvendigvis at afhænge af hele udviklingen i det underliggende aktiv. Det grundlæggende princip er blot at optionen afhænger af den gennemsnitlige pris af aktivet, på nogle på forhånd aftalte tidspunkter, hvilket f.eks. kunne være hver dag, uge eller måned. Når der senere i afsnit 9 bliver lavet beregninger på asiatiske optioner, har jeg derfor valgt, at gøre det på én af denne type optioner, der afhænger af den gennemsnitlige pris på det underliggende aktiv hver måned. Dette svarer til at stien opdeles i tolv diskrete inddelinger, for hvert år optionen løber, og dermed bliver. 3.3 Model med stokastisk volatilitet Når man kigger nærmere på Black-Scholes model, bliver det klart, at nogle af antagelserne i modellen ikke stemmer overens med de observationer man kan gøre sig i virkeligheden. Her tænkes der specielt på, at renten og volatiliteten antages konstant, hvilket f.eks. for rentens vedkommende er indlysende forskelligt fra virkeligheden. Ligeledes er det, gennem empiriske undersøgelser, påvist, at volatiliteten over tid ikke er konstant. Disse betragtninger er baggrunden for dette afsnit, som vil give en introduktion til, hvordan vi alligevel kan opstille en model, som er beslægtet med den geometriske Brownske bevægelse, men hvor der samtidig tages højde for stokastisk volatilitet. Der vil i kapitel 10 blive fokuseret endnu mere på Hestonmodellen, hvor det er tanken at præsentere nogle forskellige approksimationsskemaer, som kan være med til at forbedre simulationen af Heston-modellen Heston-modellen Modellen med stokastisk volatilitet går som sagt under navnet Heston-modellen, og er den mest benyttede og succesfulde model til at fange de implicitte volatilitetssmil der observeres i virkeligheden. Dermed gør modellen op med den urealistiske tanke fra Black-Scholes om, at volatiliteten er konstant. Modellen modellerer ved siden af udviklingen i det underliggende aktiv, også udviklingen i volatiliteten, ud fra en CIRproces, og kan overordnet beskrives på følgende måde 19

20 Prisfastsættelse af optioner (3.13) hvor v t modelleres ud fra (3.14) Processen for volatiliteten (CIR-processen) i (3.14) er en mean-reversion model, hvor volatiliteten trækkes mod et niveau, med en hastighed der er bestemt af (kappa). Jo større værdi kappa har, jo hurtigere vil processen trækkes mod niveauet, som middelværdien af processen forventes at gå imod, når tiden går imod uendelig. Parameteren angiver volatilitetens volatilitet. I diagrammet herunder ses hvordan volatiliteten kunne udvikle sig over tid, med følgende valgte parametre 0.1, 2, 0.1, 0.3. Det er værd at bemærke hvordan processen bevæger sig omkring det langsigtede niveau på 0.1, og bliver trukket mod dette niveau, hvis den kommer for langt væk. Diagram 3.3 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, Note: Illustation af udviklingen i volatiliteten I Heston-modellen indgår to forskellige Wienerprocesser (,, og korrelationen mellem disse er defineret som. Processen i Heston-modellen er en kontinuert proces, men i tilfælde hvor der skal prisfastsættes vha. simulering, er det nødvendigt at benytte en diskret version af modellen. Dette giver naturligvis nogle diskretionsfejl, som afhænger af størrelsen på de tidsskridt ( ) man oppererer med. Vi skal senere, i kapitel 6, se hvordan valget af tidsskridt optimeres. I flere forskellige sammenhænge er det dog praktisk at arbejde med logaritmen til processen 5, hvilket betyder at vi sætter ln. Ved brug af Ito s lemma, kan det under ovenstående antagelser for, vises, at udviklingen i kan beskrives på nedenstående måde 5 Leif Andersen, side 5 20

21 Prisfastsættelse af optioner r Vt dt VtdW (3.15) Når processen i (3.15) skal simuleres vha. Monte Carlo simulering, vil der blive benyttet et Euler-skema, som er en approksimation til processen i (3.15). Både processen for volatiliteten og processen for vil blive simuleret ud fra et Euler-skema vha. formlerne herunder. r Vt Vt Z (3.16) (3.17) Når man ud fra Euler-skemaet simulerer udviklingen i, med henblik på at prisfastsætte en option, skal man huske at det er udviklingen i ln man har simuleret, og altså ikke udviklingen i. For at finde en pris på optionen skal man derfor benytte eksponentialfunktionen til den simulerede slutværdi, når man skal bestemme om den simulerede sti vil give et afkast på optionen. Rent praktisk kræver modellen to forskellige tilfældige tal (Z 1, Z 2 ) for at lave de tilfældige tal (Z v, Z x ) som skal indgå i processerne (3.16) og (3.17). Der tages højde for korrelationen mellem de to Wienerprocesser ved at benytte Cholesky-faktorisering på følgende måde (3.18) 1 (3.19) Når man benytter Euler-skemaet fra (3.17) til at simulere variansen, skal man være opmærksom på, at der kan forekomme negative værdier af variansen, hvilket vil få programmet til at fejle, da man ikke kan tage kvadratroden af et negativ tal i formel (3.16). Der findes en række forskellige måder at løse dette problem på, men jeg har valgt en af de mere simple. Problemet løses ganske simpelt ved, at indsætte en maksbetingelse i beregningen, som sørger for at den mindste værdi der vil blive arbejdet med er nul. I praksis betyder dette at (3.17) omskrives til følgende,0,0 (3.20) På denne måde sikrer man at hvis bliver negativ, så får processen en positiv drift svarende til, indtil processen igen er positiv. Der er således sandsynlighed for, at processen i (3.20) kortvarigt vil være negativ, og derfor indsættes der også en maks-betingelse i processen for, som kommer til at se således ud r maksvt,0 maksvt,0 Z (3.21) 21

22 Prisfastsættelse af optioner Formel (3.21) sørger for at eventuelle kortvarige negative varianser ikke stopper den videre beregning af. I denne sammenhæng skal man være opmærksom på, at hvis vælges tilstrækkeligt lille, så vil variansen også kun kunne blive meget lidt negativ, og hvis er høj, vil variansen hurtigt blive positiv igen. Nu har vi således fået introduceret stokastisk volatilitet, og set hvordan det kan behandles i Monte Carlo sammenhæng, og når Heston-modellen senere skal simuleres, vil det ske ud fra formel (3.20) og (3.21). Til sidst er det værd at nævne, at der til Heston-modellen findes en analytisk løsning, hvis man ønsker at prisfastsætte en europæisk call-option. Det ligger uden for afgrænsningen i dette speciale at bevise den analytiske formel, og hver gang der henvises til den analytiske pris i en Heston model, vil prisen være beregnet via et hjælpeprogram på internettet 6. 6 Kilde: 22

23 Monte Carlo simulering 4 Monte Carlo simulering I dette afsnit vil jeg gennemgå de grundlæggende elementer og idéer bag Monte Carlo simulering, og på baggrund heraf opstille den simpleste Monte Carlo model der eksisterer. Modellen er den klassiske fremstilling af en Monte Carlo model, der findes i alle bøger om emnet, og der vil senere blive henvist til modellen som standardmodellen. Denne model vil være benchmark for resten af de modeller der vil blive opstillet, og alle videreudviklinger og forbedringer vil blive testet mod netop denne model. Set med en praktikers øjne er modellen i sin standardform dog ikke særlig anvendelig, da det ofte vil være bedre at benytte en udvikling af modellen med bedre konvergensegenskaber og kortere beregningstid. Når der alligevel er taget udgangspunkt i denne model, er det fordi de grundlæggende elementer i al form for Monte Carlo simulation bliver beskrevet i standardmodellen, og alle forbedringer af standardmodellen tager udgangspunkt i disse elementer. Efter at have introduceret standardmodellen, vil jeg vise hvordan man med relativt få ændringer, kan tilpasse sin Monte Carlo simulering, så den også kan tage højde for stokastisk volatilitet og kan benyttes til simulering af Hestons-modellen. 4.1 Standardmodellen Som nævnt i indledningen til dette speciale handler Monte Carlo simulering grundlæggende om, at simulere udviklingen i en stokastisk proces et tilstrækkeligt stort antal gange, og ved at betragte disse udfald som alle de mulige udfald, kan det ønskede resultat findes ved at tage gennemsnittet af alle disse udfald. Helt overordnet kan Monte Carlo simulering beskrives som en metode til at løse integralet (4.1) som kan udtrykkes som forventningen, hvor U er uniformt fordelt mellem 0 og 1. I dette tilfælde vil Monte Carlo estimatet af integralet i (4.1) være (4.2) hvor store tals lov sikrer at, når. Monte Carlo simuleringen bygger altså på, at trække tilstrækkeligt mange udfald fra den ønskede funktion, hvorefter det estimerede integral findes som 23

24 Monte Carlo simulering middelværdien af de fundne udfald. Det er altså en simpel model i den forstand, at den blot kræver at man kan opstille den ønskede funktion, og samtidig har adgang til en tilfældig-tals-generator 7. Det integral der skal løses, kan variere i antallet af dimensioner, og er f.eks. for en europæisk call-option éndimensionalt, mens det for sti-afhængige optioner, som de asiatiske optioner, er flerdimensionalt. Monte Carlo simulering er som metode generelt ikke konkurrencedygtig med andre løsningsmetoder, når der er tale om løsning af integraler i én dimension, men metoden kommer til sin ret i andre sammenhænge. Styrken i metoden ligger i løsningen af flerdimensionale integraler, fordi arbejdsmængden stiger lineært, og ikke eksponentielt, med antallet af dimensioner. Når jeg alligevel har valgt at beskrive metoderne gennem eksempler med europæiske call-optioner, er det fordi de grundlæggende principper er de samme, og fordi det er muligt at teste resultaterne mod Black-Scholes analytiske pris. En vigtig egenskab ved Monte Carlo simulering er, at man ud over at finde det ønskede estimat, også har mulighed for at beskrive usikkerheden på estimatet. Standardafvigelsen af estimatet kan findes som hvor ofte ikke er kendt og derfor findes ud fra nedenstående formel. (4.3) Det er altså muligt, via Monte Carlo simulering, at bestemme estimatet for det ønskede integral med en given præcision, da denne blot afhænger af antallet af simuleringer (n). Ønsker man f.eks. at halvere standardafvigelsen, kræver det blot at man hæver antallet af simuleringer med en faktor fire. Rent programmeringsmæssigt er formel (4.3) dog ikke særlig praktisk, da den kræver to gennemløb af data for at finde standardafvigelsen. Først skal estimeres, og derefter skal alle simulationer løbes igennem igen, for at finde usikkerheden på det fundne estimat. Dette kan optimeres ved at se nærmere på variansformlen, og udlede en formel der kan opdateres efter hver simulation. Dette gør det muligt, at summere data op løbende, uden at gemme sine observationer, og dermed forøge effektiviteten af modellen. Nedenstående beregninger viser kort hvordan udledningen kan foretages: Dette emne bliver nærmere gennemgået i kapitel 5. 24

25 Monte Carlo simulering (4.4) Som det ses endes der ud med et udtryk som er utrolig favorabelt at arbejde med i et programmeringssprog som SAS, da hver enkelt observation blot skal gemmes i to forskellige dummyvariable. Dette foregår i en løkke, som sørger for at den ene dummyvariabel summerer kvadratet af værdien i observationerne, mens den anden blot summerer værdierne. På denne måde er det muligt, ud fra formel (4.4), at følge hvordan variansen/standardafvigelsen udvikler sig hver gang man foretager en ny simulering, blot ved at opdatere de to dummevariable og bruge formel (4.4). Dette bliver utrolig brugbart senere, når vi skal udtale os om præcisionen i modellerne, men den største fordel ved at arbejde med formel (4.4) frem for (4.3) er, at man ikke behøver at gemme alle observationerne, for at kunne udtale sig om usikkerheden på det estimat man kommer frem til Prisfastsættelse af optioner med standardmodellen Hvis Monte Carlo simulering skal benyttes til at prisfastsætte optioner, er det muligt, at følge en simpel fremgangsmåde, som vil være identisk for alle optionsprisfastsættelsesproblemer, der løses med Monte Carlo simulering. 1) Opstil udviklingen for den underliggende proces 2) Find tilfældige normalfordelte tal ( ) med middelværdi 0 og varians 1. Her svarer n til antallet af ønskede simuleringer, mens b = optioner). i sti-afhængige optioner (b = 1 for ikke-sti-afhængige 3) Benyt de tilfældige tal til at simulere udviklingen i den underliggende proces. 4) Bestem værdien af optionen ( ) for alle n simuleringer. 5) Find den samlede optionsværdi som gennemsnittet af optionsværdierne for de n simuleringer. Eksemplificeret ved prisfastsættelse af en europæisk call-option, kan standardmodellen inden for Monte Carlo simulering således beskrives ved følgende,, max 0, (4.5) 25

26 Monte Carlo simulering hvilket kan illustreres som i diagram 4.1. Diagrammet viser udviklingen i det underliggende aktiv 100 gange (n = 100). Monte Carlo estimatet findes herefter, jf. punkt 4) og 5) i ovenstående fremgangsmåde, ved at finde optionsværdien i de 100 simuleringer, og herefter tage gennemsnittet af disse. Diagram 4.1 Note: Udviklingen i den underliggende proces simuleret 100 gange fra tid 0 til tid 1. Startværdi = 100. Modellen bygger grundlæggende på den centrale grænseværdisætning, som siger, at prisen i (4.5) vil konvergere i fordeling mod normalfordelingen, når antallet af simuleringer går mod uendelig. Dette gælder fordi betingelserne for den centrale grænseværdisætning er opfyldt, nemlig at der arbejdes med n uafhængige og identisk fordelte tilfældige tal, med kendt middelværdi og varians 0. Da der som sagt gælder at er i.i.d, så gælder der også at er i.i.d, og derfor gælder den centrale grænseværdisætning for formel (4.5). Effekten af dette er at,,,, (4.6) som giver Monte Carlo estimatet på prisen, samtidig med at det er muligt at beskrive usikkerheden via formel (4.3) eller (4.4). Usikkerheden vil med den nye notation kunne beskrives ved,, (4.7) Ud fra (4.7) er det muligt at opsætte et konfidensinterval, hvor man med en given sandsynlighed, kan beskrive hvor den sande optionsværdi vil ligge imellem. Konfidensintervallet kan illustreres på nedenstående måde,, 1 (4.8) 26

27 Monte Carlo simulering 1 angiver 1 -fraktilen i en standard normalfordeling. Således gælder der at hvis 0,05, så er , og man vil således kunne sige at med 95% sandsynlighed vil den sande pris ligge i intervallet,, 1.96 ;,, Som det ses, er det via Monte Carlo simulering muligt, at lave et estimat på en optionspris, med et vilkårligt lille konfidensinterval, da brøken vil gå imod nul, når n går mod uendelig. Det er derfor nødvendigt, at lave et effektivitetsmål, der gør det muligt, at sammenligne forskellige Monte Carlo simuleringer med hinanden, både mht. præcision og tidsforbrug. Et af de helt klassiske spørgsmål inden for Monte Carlo simulering er netop, at afgøre hvilken af to givne simuleringer man foretrækker, den langsomme med mindst varians, eller den hurtige med højst varians. Svaret på dette spørgsmål er et effektivitetsmål, hvor der fortrækkes den simulation hvor følgende udtryk minimeres. Effektivitet = (4.9) Effektivitetsmålet kan derfor både benyttes som sammenligningsgrundlag for to kørsler af samme model, med forskellige antal simulationer, men vigtigere endnu også som sammenligningsgrundlag for sammenligning af to forskellige modeller. Dette bliver praktisk når vi senere skal se på variansreducerende metoder, da disse metoders ofte længere beregningstid, kan ses i forhold til den variansforbedring de medfører Eksempel I dette afsnit vil jeg give et eksempel på hvordan man vha. standardmodellen kan prisfastsætte en europæisk call-option, og se på konvergensegenskaberne ved denne simple Monte Carlo model. Nærmere optimering af modellen vil blive gennemgået i kapitel 6, hvor også antallet af simulationer vil blive optimeret vha. effektivitetsmålet i formel (4.9). I dette eksempel vil jeg prisfastsætte en option med følgende egenskaber: S X r T ,05 0,25 1 Her kan den analytiske pris findes ud fra formel (3.8) til at være 12, , hvilket er prisen vi skal forsøge at ramme med standardmodellen. 27

28 Monte Carlo simulering Koden, der er benyttet til at beregne Monte Carlo estimatet på optionen med ovenstående karakteristika, kan ses i bilag 1. Kort fortalt er opskriften fra afsnit fulgt således: 1) Slutværdien for det underliggende aktiv er fundet ud fra formel (3.7) da vi har med en ikke-stiafhængig option at gøre. 2) Antal simulationer er sat til 10, svarende til ) Slutværdien for det underliggende aktiv er simuleret n gange 4) Værdien af optionen er fundet for alle n simuleringer 5) Den samlede optionsværdien er fundet som gennemsnittet af optionsværdierne for de n simuleringer. Der er undervejs gemt hver femtusinde simulering, for at se hvordan estimatet af optionsprisen samt konfidensbåndet 8 udvikler sig, efterhånden som antallet af simuleringer øges. Herunder ses resultatet af gennemkørslen, hvor også den analytiske pris er indtegnet (rød kurve). Diagram ,5 12,45 12,4 12,35 12,3 12,25 12, Millioner Monte Carlo estimat Analytisk pris Konfidensbånd Konfidensbånd Som det ses i diagram 4.2, så ligger den analytiske optionspris hele tiden mellem de to konfidensbånd, og afstanden mellem de to bånd indsnævres stødt og roligt, når antallet af simuleringer øges. Selve estimatet på optionsprisen ser ud til at ligge relativt stabilt allerede fra tre millioner simuleringer. Prisen efter 10 simulationer findes til 12, hvilket svarer til en afvigelse fra den analytiske pris på 0,03%. Standardafvigelsen findes i dette tilfælde til 0, Dette er altså et eksempel på, hvordan man på relativt kort tid, vha. Monte Carlo simulering, kan prisfastsætte en option ret præcist. 8 Konfidensbåndet er i dette tilfælde valgt til 95%, svarende til 1,96 gange standardafvigelsen 28

29 Monte Carlo simulering I realiteten kan man jo sætte antallet af simulationer uendeligt højt op, og derved opnå endnu større præcision, men formålet er nu at finde det optimale valg af antal simulationer, der jf. formel (4.9) giver det mest effektive simulationsresultat. Efter en række testkørsler viser det sig, at man, for antal simuleringer større end 1 mio., kan lave tusinde simuleringer på 0,00215 sek. Da beregningstiden som tidligere nævnt stiger lineært, kan det samlede tidsforbrug, for en given beregning, med forholdsvis stor nøjagtighed, findes ud fra nedenstående formel., (4.10) De 10 simuleringer i ovenstående eksempel er ud fra (4.10) gennemført på 21,5 sek. hvilket er næsten er identisk med den faktiske beregningstid på 21,47 sek. Samlet kan effektivitetsmålet fra (4.9) beregnes til at være 21,5 0, , Implementering af Heston-modellen Vi har nu set hvordan Monte Carlo simulering med relativ stor præcision, kan benyttes til at prisfastsætte call-optioner i Black-Scholes verden. I dette afsnit vil jeg derfor fokusere på hvordan man kan prisfastsætte en option med stokastisk volatilitet, vha. Heston-modellen og en standard Monte Carlo model. Når man har modellen fra forrige afsnit, er implementeringen af modellen forholdsvis simpel, og kræver blot en ekstra løkke og nogle nye variable. Det vigtige at være opmærksom på i denne sammenhæng er, at man vedsiden af simuleringen af udviklingen i det underliggende aktiv, også simulerer udviklingen i volatiliteten, vha. en mean-reversion proces. Der trækkes således to tilfældige tal for hver simuleing, og som tidligere nævnt tages der højde for korrelationen mellem disse vha. Cholesky-faktorisering. Koden til denne model kan ses i bilag 4 og vil herunder blive brugt at prisfastsætte en option med nedenstående karakteristika. Der vil senere blive refereret til dette eksempel som case 0. S X r T , Den analytiske pris, til en option med disse parametre, kan findes til at være Beregningen vha. Monte Carlo simulering er foretaget med 10 simuleringer, der hver er opdelt i 30 delintervaller (svarende til 1/10), og prisen findes til at være , med en standardafvigelse på Dette svarer til en afvigelse fra den analytiske pris på %. Tidsforbruget for beregningen er 197 sek. 9 Kilde: 29