Kropsliggørelse af uendelighed og lineære funktioner

Transkript

1 Kropsliggørelse af uendelighed og lineære funktioner Herunder er beskrevet tre øvelser der knytter sig til materialet om Matematik og Uendelighed. Formålet med øvelserne har været at kropsliggøre abstrakte begreber som uendelighed og egenskaber ved lineære funktioner. Altså er der skabt et fælles kropslig erfaringsgrundlag af begreber der har gjort det muligt at lave matematisk abstraktion med matematikprogrammet TI Nspire CAS. Øvelserne er gennemført med en 1.g klasse på Haslev Gymnasium og HF. Klassen er som udgangspunkt sammensat af to studieretninger: ena+sab+psc og ena+spa+sab således at alle i klassen har matematik på C niveau. Det første møde med uendelighed Udgangspunktet for øvelsen var følgende: Forestil dig at du skal gå en 32 meter hvor du hele tiden tilbagelægger den halve distance. Hele klassen var samlet på græsset på linje. Ved 32 meter stod en kegle. Samlet tilbagelagde klassen 1. etape som var halvdelen af distancen til keglen altså 16 meter. Herefter tilbagelagde klassen 2. etape på 8 meter og var dermed nået frem til 24 meter: Etape Længde af etape Tilbagelagt distance i alt Efter 5. etape blev det slået fast at de ikke ville nå den fulde distance på 32 meter (se eventuelt video). Herefter skulle eleverne forholde sig til følgende spørgsmål: Lad os sige at vi går frem med 4 meter i sekundet med jævnt tempo. Hvor lang tid tager det så for os at tilbagelægge de 32 meter? 1

2 Deler Kenny sin pose med slik? I denne øvelse kropsliggøres Zenos paradoks om Achilleus og Skildpadden. Kenny har fået en pose slik og har stukket den i baglommen. Samtidigt har Kenny fået et forspring på 16 meter i forhold til klassen der står ved start mærket. I første etape tilbagelægger klassen Kennys forspring på 16 meter. I mellemtiden er Kenny nået frem til 24 meter mærket. I anden etape når klassen frem til 24 meter mærket idet Kenny nu står ved 28 meter, osv.: Etape Kenny 16 m 24 m 28 m 30 m 31 m Klassen 0 m 16 m 24 m 28 m 30 m Det går hurtigt op for klassen at de ikke får andel i slikposen på trods af at de kan nå ham med armene men det fremgår at det er koldt og at de alle har hænderne i lommerne og dermed ikke kan bruge armene Efterfølgende gennemløbes turen idet Kenny går med 2 meter i sekundet og klasse med 4 meter i sekundet således at Kenny alligevel må dele sin pose med slik Med dette udgangspunkt blev der stillet blækregningsopgave hvor eleverne skulle kunne lave matematisk abstraktion til løsning af nedenstående opgaver: Kenny må dele sin pose med slik med klassen: Opstil to formler for hhv. Kenny og klassen idet y er distancen der tilbagelægges og x er tid. Bestem ved ligningsløsning hvornår klassen indhenter Kenny? Hvor langt er Kenny og klassen nået når klassen kan sætte tænderne i Kennys pose med slik? Tegn en graf for både Kenney og klassen der viser hvornår klassen indhenter Kenny og hvor langt Kenny er nået. Kenny deler ikke posen med slik med klassen: Lav nedenstående konstruktion i grafer applikation i TI Nspire CAS: Forklar Kennys forspring for hver etape ud fra grafen. Forklar hvorfor Kenny ikke deler sin pose med slik. 2

3 Egenskaber ved lineære funktioner Som optakt til projektet om Uendelighed og Kognition blev det klart at eleverne i 1.d havde meget forskellige matematiske forudsætninger til matematisk abstraktion. For eksempel mange elever ikke forklare hvorvidt en lineær funktion var voksende eller aftagende vurderet ud fra dens graf: Altså var grundlaget for at analysere en funktion ud fra dens graf problematisk idet der ikke var fælles begrebsapparat. Nogle elever kunne endda ikke afsætte eller aflæse punkter i et koordinatsystem. Der var altså et behov for at begrebsliggøre grafer som matematiske repræsentation. Der var fokus på kropsliggørelse som fundament til matematisk abstraktion. På asfalten ved hallen blev der aftegnet tre koordinatsystemer som vist herunder: Kassen blev inddelt i 6 grupper som konkurrerede mod hinanden idet der skulle løses en række opgaver. Hver gruppe fik udleveret 6 kegler. Der var tre typer opgaver: Opgave 1 6 med fokus på koordinater og egenskaber ved lineære funktioner Opgave 7 12 med fokus på oversættelse fra graf til formel repræsentation Opgave med fokus på oversættelse fra formel til graf repræsentation Opgave 1 blev løst i fællesskab idet der blev lagt vægt på at eleverne skulle bruge sig selv ved at stille sig på relevante koordinater og skulle gå graferne for at vurdere hvorvidt funktionerne var voksende eller aftagende. Eleverne skulle redegøre for hvorvidt det gik op/ned (y akse) samtidigt med at de gik frem/tilbage (x akse): 3

4 Som hjælp til kropsliggørelse af oversættelse fra graf til formel skulle eleverne gå graferne og bestemme startværdien som grafens skæring med y aksen til bestemmelse af funktionen b værdi. Hældningskoefficienten blev italesat og kropsliggjort som hen af gaden op/ned til bageren. Så hvis man skulle gå to enheder op efter at være gået en enhed hen ville hældningskoefficienten være 2. Herunder er vist det tre typer opgaver eleverne skulle løse: 4

5 5