1 Differentialkvotient

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "1 Differentialkvotient"

Transkript

1 gudmandsen.net Ophavsret Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er tilladt i ikke-kommercielle sammenhænge, sålænge dette foregår med tydelig kildeangivelse. Al anden anvendelse kræver forfatterens skriftlige tilladelse [mailto:info@gudmandsen.net]. Indholdet stilles til rådighed under Open Content License [ Differentialkvotient Det kan være hensigtsmæssigt at kunne beregne den absolutte funktionstilvækst for en funktion for en bestemt x-værdi. Dette kan gøres ved hjælp af differentialkvotienter, beskrevet i det efterfølgende. For at udregne og bevise differentialkvotienter og disses regneregler ses der på grundlæggende forhold vedrørende funktionstilvækst og den rette linjes hældning. Nedenstående er en oversigt over grundlæggende forhold vedrørende differentialkvotienter, samt en oversigt over differentialkvotienter for de mest grundlæggende funktioner... Kontinuert, monoton og differentialbel Illustration : Grafen for en funktion, som er både kontinuert og monoton En funktion er kontinuert, ved ikke at være afbrudt ubrudt kurve. En funktion er monoton, ved at være konstant voksende eller aftagende. Det kan også være gældende inden for et interval af definitionsmængden. Er en funktion monoton, har den blandt andet en invers funktion. En funktion er differentiabel, ved at være kontinuert og monoton; være glat uden overgange. Der kan både være tale om kontinueritet og differentiabilitet for et punkt, et interval eller i hele funktionens definitionsmængde. diff_kvotient.odt Side /6 rev. Jakob Gudmandsen --7

2 .. Funktionstilvækst En funktionstilvækst er et udtryk for hvor meget funktionsværdien, f(x, ændrer sig i forhold til en ændring i den frie variable, x. Det er for visse funktioner kendt, at funktionstilvæksten kan udregnes enten som eksempelvis en relativ størrelse (eksponentielle funktioner eller absolut størrelse (lineære funktioner, men hvordan kan vi finde den absolutte størrelse for alle funktioner til en bestemt x-værdi? Illustration : Funktionstilvækst gennem to punkter på grafen for f(x Tilvæksten i mellem punktet P (x ; f(x og punktet P (x +Δx; f(x +Δx, hvor Δx er forskellen mellem x-værdierne og Δy er forskellen mellem de to funktionsværdier. Her kan der tages udgangspunkt i den rette linje, hvor hældningen mellem punkter på linjen, P (x ;y og P (x ;y er defineret som: α = = y y x x Dette kan bevises (på C-niveau at gælde uanset afstanden mellem x og x i forhold til hældningen som ændring i funktionsværdien ved en Δx-værdi på, ved ensvinklede trekanter eller ligefrem proportionalitet. Da y = f(x giver punkterne på Illustration en funktionstilvækst, svarende til den rette linjes hældning: α = = f (x + f (x = f (x + f (x ( x + x diff_kvotient.odt Side /6 rev. Jakob Gudmandsen --7

3 ..3 Sekant til tangent Den relative tilvækst i punktet (x ;y svarer til hældningen a s af den rette linje gennem de to punkter på grafen, svarende til sekantantens hældning. Illustration 3: Sekant gennem to punkter på grafen for en differentiabel funktion Som før nævnt kan sekantens hældning udtrykkes ved hældningen af en ret linje gennem to punkter: a s = = f (x + f (x Den reelle tilvækst i punktet (x ;y svarer hældningen a t af en ret linje som tangerer funktionen, differentialkvotienten for Δx. Ved at lade afvigelsen Δx blive meget lille ('uendelig lille', vil sekantens hældning nærme sig tangentens hældning. Dette udtrykkes ved at sekantens hældning a s går mod tangentens hældning a t for Δx gående mod nul: a s = a t = dx for Sekantens hældning a s kaldes også for differenskvotient, da den udtrykke differensen (forskellene i x- og y-værdierne. Tangentens hældning i x udtrykkes ved differentialkvotienten og kan skrives på mange måder: Sekant er 'lånt' fra geometrien og afspejler en ret linje gennem punkter på en cirkelperiferi. diff_kvotient.odt Side 3 /6 rev. Jakob Gudmandsen --7

4 a t = f ' ( x = dx = y ' Illustration 4: Tangenten i x for samme differentiable funktion Hermed er tangentens hældning i form af differentialkvotient defineret.. 3-trinsreglen For at udregne differentialkvotienter, ud fra ovenstående benyttes arbejde med differenskvotienten, gående mod differentialkvotienten, kaldet 3-trinsreglen. Det er måske lidt misvisende, da de to første trin er en integreret del af ovenstående udledning af differenskvotienten, men der er tradition for dette, ligesom differensen i x-værdi, Δx, i visse lærebogsystemer bliver kaldt h. Trin : Ændring i funktionsværdi = f (x + f ( x Trin : Forholdet mellem ændring i funktionsværdi og værdien af den frie variable = f ( x + f ( x = f (x + f (x (x + x Trin 3: Lade Δx gå mod nul a s = a t = dx for Udledning af differentialkvotienter for simple funktioner kan ses under.3. Udledning af differentialkvotient side 8. diff_kvotient.odt Side 4 /6 rev. Jakob Gudmandsen --7

5 . Tangentens ligning, det approksimerede.grads polynomium Ikke alle funktioner er lige lette at arbejde med algebraisk, hvorfor det kan være praktisk kun at undersøge en lille del af grafens forløb. Som udgangspunkt vil en kontinuert og monoton funktion kun have en meget lille ændring inden for et meget lille interval omkring x. Derfor tillader vi os at approksimere funktionen til et.grads polynomium / ret linje. Når både funktionsværdien og differentialkvotienten kendes for x, er det oplagt at finde en ligning for tangenten i punktet (x ; f(x. Den rette linje kan beskrives som: y y = α(x x...hvor α (alfa er udtryk for linjens hældning. I denne sammenhæng benytter vi os af følgende notationer: y = f ( x og α = f ' ( x Dette giver os en ligning for tangenten i punktet (x ; f(x på grafen for en differentiabel funktion: y f ( x = f ' (x (x x Denne kaldes Tangentens ligning eller Det approksimerede.grads polynomium og kan med fordel formuleres i anden rækkefølge: y = f (x + f ' (x ( x x...svarende til.grads- og.gradsleddene i en lineær funktion på formen y = ax+b... Eksempel på tangentens ligning Benyttes førnævnte eksempel for f(x = x kan tangentens ligning i x = findes ved: y f ( = f ' ( (x y = ( x y 4 = 4 ( x y = 4x 4 diff_kvotient.odt Side 5 /6 rev. Jakob Gudmandsen --7

6 .. Taylors approksimerede polynomier af højere orden Det approksimerede.grads polynomium kan siges at være næsten lig med funktionen i umiddelbar nærhed af punktet (x ;y. Ved at bruge polynomier af højere orden, kan approksimeringen udstrækkes til et større område væk fra punktet (x ;y..grads polynomium i (x ;y Funktionværdien.grads polynomium i (x ;y Tangentens ligning.grads polynomium i (x ;y n.grads polynomium i (x ;y y = f x y = f (x + f ' ( x (x x y = f (x + f ' (x (x x + f ' ' ( x! ( x x! y n = f ( x + f ( x ( x x! f n ( x ( x x n + f n (x (n! (x x n n! Note: Her benyttes notationen f n (x for den n te afledede (i stedet for funktionen opløftet i n te. Noter: Notationen n! dækker over fakultet, som udtrykker tallet n gange med n- gange med n- osv. ned til. n! = n (n (n... 3 Eksempelvis er! =,! = = og 3! =3 =6 osv. d n y dx n udtrykker den afledede i n te orden, dvs. funktionen differentieret n gange. Dette vil give approksimerede funktioner, udtrykt ved polynomier, som ligger lige oven i grafen for den oprindelige funktion, inden for et afgrænset område i nærheden af den ønskede værdi af x. Illustration 5: Approksimeret n.grads polynomium. Her brugt på sinusfunktion. Ved 7.grad opnås perfekt sinusform i perioden [; π]. diff_kvotient.odt Side 6 /6 rev. Jakob Gudmandsen --7

7 ..3 Eksempel på approksimeret n.gradspolynomium Tager vi en funktion, som ikke er et polynomium, kan et approksimeret polynomium af højere orden findes: f (x = e x for x = y = e y = y +e (x x y = y +e (x x x Dette.gradspolynomium følger grafen for den naturlige eksponentialfunktion noget tættere, i et større område nær x =. Illustration 6: Den naturlige eksponentialfunktion med approksimerede.grads- og.gradspolynomier. Går vi højere op i graderne, vil det approksimerede polynomium dække et endnu større interval, som illustreret ved Taylors approksimerede polynomier af højere orden side 6. diff_kvotient.odt Side 7 /6 rev. Jakob Gudmandsen --7

8 .3 Afledede funktioner Herunder vises hvordan differentialkvotienten for en simpel funktion i bestemt x -værdi udledes ved hjælp af 3-trinsreglen. Efterfølgende kan denne viden benyttes til at finde tangentens ligning (det approksimerede.gradspolynomium og polynomier af højere orden..3. Udledning af differentialkvotient Ved at betragte en simpel funktion og en given x-værdi benyttes 3-trinsreglen, som følger: f (x = x og x = Dette vil give Trin : = (x + x = x + + x x = + x Trin: = (x +Δ x x = + x = +x Ved at lade Δx gå mod nul i Trin 3, vil leddet indeholdende netop Δx gå mod, hvorfor der kun er er leddet uden Δx tilbage: x for I dette tilfælde vil det give mening af lad Δx gå mod nul, hvorved differentialkvotienten er løst uden problemer, men tit og ofte giver det ingen mening, hvorfor kreative løsninger bliver tilføjet for at nå til et fornuftigt resultat. Dette gør sig gældende for udledninger af differentialkvotienter for flere relativt simple funktioner og udledning af regnereglerne. I praksis findes et udtryk for differentialkvotienten for af alle x-værdier, kaldet den afledte funktion, f'(x. Det vil i praksis sige, at den afledede funktion bliver: f (x = x f ' (x = x Afprøves dette for alle (! potensfunktioner kan der udledes en sammenhæng: f (x = x n, n R f ' (x = n x n Se en Oversigt over afledede funktioner side 6. Indsættes en værdi for x (her x = fås at differentialkvotienten i denne x-værdi bliver: f ' (x = 4 diff_kvotient.odt Side 8 /6 rev. Jakob Gudmandsen --7

9 .3. Udledninger af udvalgte afledede funktioner Vi så før (.3. hvordan den afledede funktion for f(x = x kan udledes. Herunder skal vi se på nogle flere afledede funktioner: Reciprokfunktionen f (x = x =, x R \ { } x + x = ( f (x + f ( x = = ( x + x Her giver det ingen mening at lade Δx gå mod nul, hvorfor der arbejdes videre med udtrykket, ved at sætte på fælles nævner: = ( x x ( x + x + x ( x + = x ( x x ( x = x (x + = x ( x + Nu giver det mening af lade Δx gå mon nul: x (x + x for Da reciprokfunktionen kan omskrives, jfr. potensregnereglerne, kan denne udledning kontrolleres ved hjælp at udledning af afledet for potensfunktion,.3. side 8: f (x = x = x, x R \{ } f ' ( x = x = x = x Ergo: f (x = x f ' (x = x diff_kvotient.odt Side 9 /6 rev. Jakob Gudmandsen --7

10 Kvadratrod f (x = x, x [; ] = x + x Det giver her ingen mening at lade Δx gå mon nul, hvorfor en kreativ tilføjelse må indføres i form af skalaren ( x ++ x. = = x + x x x + ( x ++ x = = ( x ++ x ( x + x ( x ++ x ( x ++ x = x ++ x, da (a+b(a b = a b Ved at lade Δx gå mon nul, findes der kun to rødder i nævneren: = x + x x, for x Igen kan der kontrolleres ved hjælp af udledning af potensfunktion: f (x = x = x, x [; [ f ' (x = x = x = x = x Ergo: f (x = x, x [; [ f ' (x = x, x ]; [ Den naturlige logaritmefunktion Her skal der benyttes en mindre ligefrem metode til at bevise at vi har fat i den rigtige afledede funktion. Til at starte med defineres følgende: diff_kvotient.odt Side /6 rev. Jakob Gudmandsen --7

11 f (x = ln(x, x R \{}, d dx (ln(x = x og d dx (ln( = Det gælder for netop den naturlige logaritmefunktion, at hældningen i punktet (, er lig. For at undersøge om den afledede er korrekt ser vi på f(x = ln(ax som er en sammensat funktion (se.4.6 side 3: f (x = ln(a x dx = d du (ln(u d (u, hvor u = a x dx dx = ax a = x Reciprokfunktionen kan altså godt være en mulig afledet funktion for den naturlige logaritme (ikke det samme som at den er det, eller den er den eneste løsning. Indsætter vi nu x =, hvor det i øvrigt gælder at hældningen er lig med, fås: f ' ( = = Hvilket er korrekt, ergo: f (x = ln( x f ' (x = x Konstantfunktionen Konstantfunktionen y = k, kan betragtes som et.gradspolynomium og derved løses ved reglen for potensfunktioner: f ( x = k eller f ( x = k x d dx (xn = n x n d dx (k x = k x = Hvilket illustreres ved at grafen for konstantfunktionen er en vandret linje, med en konstant hældning på (nul. d dx (k = diff_kvotient.odt Side /6 rev. Jakob Gudmandsen --7

12 Sinus For at finde differentialkvotienten af den trigonometriske funktion, sinus, skal vi se på nogle trigonometriske relationer: sin( A sin(b = cos( A+ B sin ( A B Dette bevises ikke her, men godtages og benyttes i forbindelse med 3trinsreglen. 3 = = sin (x + sin (x = cos( x ++x sin ( x + x = cos( x + sin ( = cos ( x + sin ( cos( x + sin ( Ved at se på de to leds afledede fås = d dx ( ( cos x + cos( x + sin ( d dx(sin( cos( x for for = cos( x + sin( Udledningen af den grænseværdien for sinus kan argumenteres i sin( hvorved brøken bliver tæt på. Dette kan bekræftes ved at beregne brøken for værdier gående mod (nul eksempelvis, x =., x =., x =. osv. Herved kan der udledes at Ergo: sin( cos( x + cos(x = cos(x for d (sin(x = cos( x dx diff_kvotient.odt Side /6 rev. Jakob Gudmandsen --7

13 Cosinus Til udledning af differentialkvotienten for cosinus skal der benyttes følgende relation: cos(a cos(b = sin( A+ B sin ( A B Benyttes dette i forbindelse med 3trinsreglen fås = cos( x + cos( x = sin( x ++x sin ( x + x = sin( x + sin ( = sin ( x + sin ( = sin( x + sin ( = sin( x + sin ( = sin( x + sin( 3 Ved at betragte de indgående led fås sin( x + sin( x for sin( for Samlet giver det at sin (x = sin( x for Da vi allerede kender den afledede til Sinusfunktionen, kan dette bruges til alternativ udledning ved hjælp af Sammensat funktion - kædereglen side 3 og en af relationerne mellem sinus og cosinus. diff_kvotient.odt Side 3 /6 rev. Jakob Gudmandsen --7

14 (sin (x' = cos( x ( f (g( x' = f ' ( g(x g ' ( x sin( x = cos ( π x Herved kan den afledede for cosinus findes: (cos( x' = ( sin ( π x ' = cos ( π x ( π x' = sin (x ( = sin( x Ergo: d (cos( x = sin (x dx Sammenholdes differentialkvotienten for sinus og cosinus kan der opstilles en model til afledede af højere orden (differentialkvotienten flere gange: Det vil sige, at hvis sinus eller cosinus differentieres 4 gange, er den tilbage ved udgangspunktet. diff_kvotient.odt Side 4 /6 rev. Jakob Gudmandsen --7

15 Tangens Som udgangspunkt benyttes de afledede funktioner for cosinus og sinus er givet herover. Tangens er defineret som forholdet mellem sinus og cosinus, hvilket giver (jfr. Division af funktioner side 3: tan(x = sin (x cos(x d (tan( x = d dx sin dx( cos(x = cos( x cos(x sin( x ( sin( x sin ( x = cos (x+sin ( x sin ( x Grundrelationen på baggrund af Pythagoras' og enhedscirklen er givet ved cos (x+sin ( x = Hvilket medfører at tælleren er lig : d dx (tan( x = sin ( x Alternativt kan kvotientudledningen deles op i to brøker: d dx (tan( x = cos ( x+sin ( x sin ( x = cos ( x sin (x + sin ( x sin ( x ( = cos(x + = tan sin (x (x+ Ergo: d dx (tan( x = sin ( x = tan (x+ diff_kvotient.odt Side 5 /6 rev. Jakob Gudmandsen --7

16 .3.3 Oversigt over afledede funktioner Nedenstående lister er gældende differentialkvotienter for de mest grundlæggende funktioner. Potensfunktioner Funktion y = k = k x y = x = x y = x n y = k x n Eksponentielle- og logaritmefunktioner Afledet funktion dx = dx = dx = n xn dx = k n xn y = n = x x n dx = n x n = x n y = x = x dx = x = x NB: lever også op til den afledede af x n Funktion y = a x y = e x y = x y = a kx y = e kx y = log a x y = ln x y = log x = log x Afledet funktion dx = ax ln a dx = ex dx = x ln dx = k akx ln a dx = k ekx dx = log e a x = dx = x dx = log e x = ln a x ln x diff_kvotient.odt Side 6 /6 rev. Jakob Gudmandsen --7

17 Trigonometriske funktioner Funktion y = sin x y = cos x y = tan x x {, p } Afledet funktion = cos x dx = sin x dx dx = = tan x cos x y = cos x x [ ; ] y = sin x x [ ;] y = tan x tan x ] ; [ dx = x dx = x dx = x Desuden findes en lang stribe afledede for de såkaldte hyperbolske trigonometriske funktioner. Se Flere af de mest relevante trigonomestriske relationer kan ses på diff_kvotient.odt Side 7 /6 rev. Jakob Gudmandsen --7

18 .4 Regneregler for differentialkvotienter Nedenstående omfatter beviser for regneregler for differentialkvotienter; sum/differens, produkt, reciprok, division, sammensat og invers. Alle beviser er baseret på 3-trinsreglen: = f ( x + f (x = f (x + f (x x + x 3 f ' (x for Bemærk forskellige notationer for samme: y = f ( x f ' (x = y ' = dx = d dx ( y Alle notationer med index (eksempelvis x angiver en bestemt værdi. Uden index angiver det vilkårlig værdi inden for tilladte afgrænsning, definitionsmængde. Det forudsættes at de indgående (delfunktioner er differentiable. diff_kvotient.odt Side 8 /6 rev. Jakob Gudmandsen --7

19 .4. Flerleddede funktioner f g ' x = f ' x g ' x Som udgangspunkt defineres en sumfunktion: s x = f x g x...hvor f(x og g(x er begge differentiable i x, det vil sige: f (x + f (x f ' ( x for g ( x + g(x g ' (x for Det samme gør sig gældende for s(x, ved anvendelse af 3-trinsreglen: y = f x x g x x f x g x = f x x f x g x x g x y x = f x x f x g x x g x x = f x x f x g x x g x x x 3 Da grænseværdien for de to brøker er givet ved: f (x + f (x f ' ( x for og g( x + g( x Grænseværdien for sumfunktionen vil være givet ved: g ' (x for = f ( x + f (x + g (x + g( x f ' (x +g ' ( x for Da Δy/Δx har en grænseværdi for Δx er sumfunktionen s(x differentiabel med grænseværdien: s' x = f ' x g' x Samme argumentation er gældende for differens: f g ' x = f ' x g' x Ergo: ( f ± g' (x = f ' (x±g ' (x diff_kvotient.odt Side 9 /6 rev. Jakob Gudmandsen --7

20 .4. Produkt af funktioner f g ' x = f ' x g x f x g ' x Det forudsættes at både f(x og g(x er differentiable. Ved benyttelse af 3-trinsreglen fås: = ( f g( x + ( f g(x = f (x + g ( x + f ( x g(x y x = f x x g x x f x g x x Her findes ingen løsning for Δx, hvorfor der adderes i tæller med tallet (nul udformet på følgende kreative måde: = f (x g(x + f ( x g(x + Dette medfører (med det adderede -tal i rødt: = f ( x + g (x + f ( x g (x + f ( x g (x + f (x g ( x + Ved at sætte henholdsvis g(x + Δx og f(x uden for parentes og opdele i to brøker fås: y x = g x x f x x f x f x g x x g x x y x = g x x f x x f x x y x = g x x f x x f x x f x g x x g x x f x g x x g x x I dette udtryk optræder følgende differentialkvotienter: g x x g x for x f x f x for x f x x f x f ' x x for x g x x g x g ' x x for x diff_kvotient.odt Side /6 rev. Jakob Gudmandsen --7

21 Dette medfører: y x g x f ' x g ' x f x for x Ergo: ( f g' (x = g( x f ' (x+g ' ( x f ( x.4.3 Produkt med konstant k f ' x = k f ' x På baggrund af produktreglen defineres en funktion g(x = k: (k f ' (x = k ' f (x +k f ' (x Da k = k x giver dennes afledede (nul: Hermed giver udledningen: d dx (k x = k x = (k f ' ( x = f (x +k f ' ( x = k f ' ( x Ergo: (k f ' (x = k f ' ( x diff_kvotient.odt Side /6 rev. Jakob Gudmandsen --7

22 .4.4 Reciprokfunktion ( f (x ' = f ' (x f ( x Det forudsættes af f(x er differentiabel og at f(x. Vi definerer en funktion: Ved brug af 3-trins reglen fås: h(x = f ( x Δ h = h( x + h( x = f ( x + f (x Sat på fælles brøkstreg: = f ( x f ( x + f ( x + f ( x Δ h = f ( x f ( x f ( x + f (x + f (x + = ( f (x + f ( x f ( x + f ( x = f ( x Δ f f ( x + f ( x 3 Her gælder at: Δ h = Δ f f ( x + f (x = Δ f f (x + f ( x Dette medfører: Δ f f ' (x for og f (x + f (x f ( x for Δ h f ' ( x f ( x for Ergo: ( f (x ' = f ' (x f ( x diff_kvotient.odt Side /6 rev. Jakob Gudmandsen --7

23 .4.5 Division af funktioner ( f f ' (x g ' (x = g( x f (x g ' (x (g( x Det forudsættes at både f(x og g(x er differentiable og der defineres en funktion: h (x = f ( x g (x = f (x ( g (x Ved brug af regnereglerne for differentiering af både produktfunktion og reciprokfunktion fås: h' ( x = f ' ( x ( g( x + f (x ( g(x ' = f ' ( x g( x f ( x g ' ( x g ( x Sat på fælles brøkstreg fås: h ' ( x = ( f (x f ' (x g (x f ( x g ' ( x ' = g ( x g ( x.4.6 Sammensat funktion - kædereglen ( f (g ( x ' = f ' (g (x g ' ( x eller dx = du du dx Ved omskrivning af g(x = u, fås at den sammensatte funktion nu hedder f(u og 3-trinsreglen bliver benyttet på baggrund af Δy/Δu: Dette vil sige at: Δ u = g(x + g (x, = f (u +Δu f (u = Δ u Δ u = Δu Δ u = f (u +Δ u. f (u g (x + g( x g (x + g( x = f (u +Δ u f (u g ( x + g(x g(x + g (x Dette medfører følgende differentialkvotienter: diff_kvotient.odt Side 3 /6 rev. Jakob Gudmandsen --7

24 Δ u = f (u +Δ u f (u g ( x + g (x Δ u = g ( x + g (x f ' (u for Δu g ' (x for f ' (u g ' (x for Da u = g (x dx = f ' (g (x g ' ( x for Hvilket giver: ( f (g ( x ' = f ' (g ( x g ' (x eller dx = du du dx Dette kan udvides til også at gælde for funktioner med flere led end : dx = du du dv dv dw... dn dx...også kaldet kædereglen, da den kan forøges til lige så mange funktioner inden i som nødvendigt..4.7 Invers funktion ( f (x' = f ' ( f (x Er f(x monoton, har den en omvendt funktion f (x. Vi viser, at hvis f(x er differentiabel og f '(x, er den omvendte (også differentiabel. Graferne for f(x og f (x ligger symmetrisk om linien y = x (se Illustration 7, side 5. f(x-grafen har tangenter med hældningskoefficienter f'(x >. Det medfører, at den spejlede graf (for f (x også har tangenter større end, så f (x er differentiabel. Tangenthældningerne vil være hinandens reciprokke. diff_kvotient.odt Side 4 /6 rev. Jakob Gudmandsen --7

25 Illustration 7: Funktionen f(x, dens inverse f - (x samt spejlingslinjen y = x. Tangenter for både f(x og den inverse f - (xer indtegnet, med reciprokke hældninger. Definitionen på inverse funktioner lyder: y = f ( x f ( y = x f ( f (x = x eller f ( f ( x = x Ved differentiation af sammensat funktion (på venstre side og differentiation af.gradsleddet (på højre side fås: Dette medfører: ( f ( f (x' = f ' ( f ( x ( f (x' og x' = Isoleres den aflede af den inverse funktion fås: f ' ( f ( x ( f ( x ' = ( f (x' = f ' ( f ( x diff_kvotient.odt Side 5 /6 rev. Jakob Gudmandsen --7

26 .5 Oversigt over regneregler Listen herunder er regneregler for differentaition af funktioner..5. Sum, differens og kvotient f x ± g x ' = f ' x ± g ' x.5. Produkt og division f x g x = f x g x ' = f ' x g x f x g ' x (k f (x ' = k f ' (x ( f (x ' = f ' (x f (x ( f (x' = f ' x g x f x g ' x g x f ' ( f ( x.5.3 Sammensatte funktioner Kædereglen: f g x ' = f ' g x g' x dx = du du dx dx = du du... dn dv dx.5.4 Andre regler ( f ( x ' = f ( x f ' (x diff_kvotient.odt Side 6 /6 rev. Jakob Gudmandsen --7

Differentiation af sammensatte funktioner

Differentiation af sammensatte funktioner 1/7 Differentiation af sammensatte funktioner - Fra www.borgeleo.dk En sammensat funktion af den variable x er en funktion, vor x først indsættes i den såkaldte indre funktion. Resultatet fra den indre

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Mike Vandal Auerbach. Differentialregning (2) (1)

Mike Vandal Auerbach. Differentialregning (2) (1) Mike Vandal Auerbach Differentialregning f () www.mathematicus.dk Differentialregning. udgave, 208 Disse noter er skrevet til matematikundervisningen på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 207. Noterne

Læs mere

Pointen med Differentiation

Pointen med Differentiation Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Matematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010

Matematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010 Matematikprojekt om Differentialregning Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 4 Oktober 2010 Indhold I Del 1................................ 3 I Differentialregningens

Læs mere

M A T E M A T I K A 2

M A T E M A T I K A 2 M A T E M A T I K A 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f 4 () Matematik A2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

A U E R B A C H M I K E (2) (1)

A U E R B A C H M I K E (2) (1) M A T E M A T I K A 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f 4 () Matematik A2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

matx.dk Mikroøkonomi

matx.dk Mikroøkonomi matx.dk Mikroøkonomi Dennis Pipenbring 31. august 2011 Indold 1 Udbuds- og efterspørgselskurver 3 1.1 Lineær.............................. 4 1.2 Eksponentiel........................... 5 1.3 Potens..............................

Læs mere

Differentiation af Potensfunktioner

Differentiation af Potensfunktioner Differentiation af Potensfunktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Løsningsforslag MatB Jan 2011

Løsningsforslag MatB Jan 2011 Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige

Læs mere

Matematik A2. Mike Auerbach (2) (1)

Matematik A2. Mike Auerbach (2) (1) Matematik A2 Mike Auerbach (2) f () Matematik A2. udgave, 205 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2012

Løsningsforslag MatB Juni 2012 Løsningsforslag MatB Juni 2012 Opgave 1 (5 %) a) Isolér t i følgende udtryk: I = I 0 e k t t = I = I 0 e k t I I 0 = e k t ln( I I 0 ) = k t ln(e) ln( I I 0 ) k = ln(i) ln(i 0) k Opgave 2 (5 %) En funktion

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4

gudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

Mike Vandal Auerbach. Funktioner.

Mike Vandal Auerbach. Funktioner. Mike Vandal Auerbach Funktioner y f g x www.mathematicus.dk Funktioner. udgave, 208 Disse noter er skrevet til undervisning i matematik på stx A- og B-niveau. Det indledende kapitel beskriver selve funktionsbegrebet,

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2018 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik B Angela

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i

Læs mere

Differentiation i praksis

Differentiation i praksis Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2 PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

Ang. skriftlig matematik B på hf

Ang. skriftlig matematik B på hf Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 35-del 1, 2010 Redigeret af Jessica Carter efter udgave af Hans J. Munkholm 1 Nogle talmængder s. 4 N = {1,2,3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z =

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

M A T E M A T I K B 2

M A T E M A T I K B 2 M A T E M A T I K B 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f a x b () Matematik B2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014 Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik B Angela

Læs mere

A U E R B A C H. (2) f. a x b

A U E R B A C H. (2) f. a x b M A T E M A T I K B 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f a x b () Matematik B2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Elementær Matematik. Trigonometriske Funktioner

Elementær Matematik. Trigonometriske Funktioner Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske

Læs mere

Løsning MatB - januar 2013

Løsning MatB - januar 2013 Løsning MatB - januar 2013 Opgave 1 (5%) a) Løs uligheden: 2 x > 5x 6. a) 2 x > 5x 6 2 + 6 > 5x + x 8 > 4x Divideres begge sider med 4 og uligheden vendes. Dvs. 8 4 < x x > 2 Løsningsmængden bliver L =]

Læs mere

Løsningsforslag 27. januar 2011

Løsningsforslag 27. januar 2011 Løsningsforslag 27. januar 2011 Opgave 1 (5%) Isolér t i udtrykket: 3x + 4 = 2x + t t 3x + 4 = 2x + t t og t 0 t(3x + 4) = 2x + t 3tx + 4t t = 2x t(3x + 4 1) = 2x t = 2x 3x + 3 og G = R\{-1} Opgave 2 (5%)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Angela

Læs mere

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1)

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1) Matematik B2 Mike Auerbach (2) f a b () Matematik B2. udgave, 205 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 side Der undervises efter: AB Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik AB ( Forlaget HAX) B2 Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik B2 ( Forlaget HAX) EKS Knud

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skoleår efterår18, eksamen V18 Kolding HF & VUC Hfe Matematik

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Villa 11. august 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 2009 Institution Silkeborg Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik, niveau

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Villa 17. marts 2015 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2014-2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF-E Matematik B Kenneth

Læs mere

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2019, eksamen maj / juni 2019 Institution Kolding HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014, skoleår 13/14 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skoleår forår 2019, eksamen S19 Kolding HF & VUC Hfe Matematik

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik A1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Differentiation af Logaritmer

Differentiation af Logaritmer Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse & Oversigt over rapporter

Undervisningsbeskrivelse & Oversigt over rapporter Undervisningsbeskrivelse & Oversigt over rapporter Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2016 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Reducering Reducér følgende udtryk: Vi ganger dividerer med i både nævner og begge led i tælleren:

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2017 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold e-hf Matematik B Ashuak Jakob France

Læs mere

Contents. Introduktion 2

Contents. Introduktion 2 Contents Introduktion 2 Differentialregning 2 Grænseværdi................................ 2 Tid/distance................................ 2 Regler og eksempler............................ 3 Differentiering

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2014

Løsningsforslag MatB Juni 2014 Løsningsforslag MatB Juni 2014 Opgave 1 (5 %) a) Bestem en ligning for den rette linje l, der indeholder punkterne P( 2,4) og Q(4, 1) Løsning: Da de to punkter er givet kan vi beregne hældningen på følgende

Læs mere

Differentiabilitet. f(h) = f(x 0 +h) f(x 0 ). y = f(x) f(h) df(h) Figur 1: Tangent, tilvækst og differential. lim. df(h) = f (x 0 )h.

Differentiabilitet. f(h) = f(x 0 +h) f(x 0 ). y = f(x) f(h) df(h) Figur 1: Tangent, tilvækst og differential. lim. df(h) = f (x 0 )h. Differentiabilitet 1 Funktioner af én reel variabel Tilvækstfunktionen f med udgangspunkt i x 0 er en reel funktion af tilvæksten : f() = f(x 0 +) f(x 0 ). y = f(x) Tangent (x 0,f(x 0 )) df() f() x 0 x

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Analyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018

Analyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018 Analyse 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund 25. maj 2018 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Københavns

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Susanne Holmelund

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2014 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 7Bma1S14

Læs mere

gudmandsen.net Integraler

gudmandsen.net Integraler gudmandsen.net 2000-203 Jako SvH Gudmandsen Kopiering fra denne pulikation må kun finde sted i overensstemmelse aftale mellem Copy-Dan og Undervisningsministeriet. Integraler Indholdsfortegnelse Integraler...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2015 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik B Ashuak Jakob France

Læs mere

Differentialregning og integralregning

Differentialregning og integralregning Differentialregning og integralregning Ikast 207 Ib Michelsen Ib Michelsen Matematik A: Funktioner Sidst ændret: 29-8-207 Udskrevet: 7-05-7 6:2:44 C:\Users\Ib\Downloads\Differential- og integralregning

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse

Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.

Læs mere

Funktioner. 3. del Karsten Juul

Funktioner. 3. del Karsten Juul Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2013/2014 Institution Frederiksberg hf-kursus Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik B (hf-enkeltfag)

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016 Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Line Dorthe

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere