Løsninger til kapitel 5
|
|
- Rikke Ebbesen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 1 Løsninger til kapitel 5 Opgave 51 Det nemmeste er her at omskrive alle sandsynlighederne til differenser mellem kumulerede sandsynligheder, dvs af sandsynligheder af formen, og derefter beregne disse i HypoStat eller direkte i Excel Man kan også en gang for alle lave en tabel over de kumulerede sandsynligheder: k X k) Xk) X k) 0 0,1074 0,1074 1, ,3758 0,2684 0, ,6778 0,3020 0, ,8791 0,2013 0, ,9672 0,0881 0, ,9936 0,0264 0, ,9991 0,0055 0, ,9999 0,0008 0, ,0000 0,0001 0, ,0000 0,0000 0, ,0000 0,0000 0,0000 a) P ( X 0) 0, 1074 b) P ( X 2) 0, 3020 c) P ( X 7) 0, 0008 d) P ( X 0) 0, 1074 e) P ( X 2) 0, 6778 f) P ( X 7) 0, 9999 g) P ( X 0) 1, 0000 h) P ( X 2) 0, 6242 i) P ( X 7) 0, 0009 j) P ( X > 0) X 1) 0, 8926 k) P ( X > 2) X 3) 0, 3222 l) P ( X > 7) X 8) 0, 0001 m) P ( 2 < X < 7) X 6) X 2) 0,9991 0,6778 0, 3213 n) P ( 2 X < 7) X 6) X 1) 0,9991 0,3758 0, 6233 o) P ( 2 X 7) X 7) X 1) 0,9999 0,3758 0, 6241 Opgave 52 a) X, som angiver antallet af computere blandt de 7, som skal repareres inden for garantiperioden, er binomialfordelt, idet X angiver antallet af 'succeser' i en binomialproces, nemlig den, hvori basiseksperimentet er at undersøge, hvorvidt en computer skal repareres inden for garantiperioden Skal den det, betegner vi det som en 'succes', og succes-sandsynligheden er konstant p 5% Vi gentager dette basiseksperiment n 7 gange, og da de enkelte computeres tilstand er uafhængige af hinanden, har vi en binomialproces X er da binomialfordelt, X ~ bin(7;5%) k X k) Xk) X k) 0 0,7738 0,7738 1, ,9774 0,2036 0, ,9988 0,0214 0, ,0000 0,0011 0, ,0000 0,0000 0, ,0000 0,0000 0,0000 b) P ( X 0) 0, 7738 c) P ( X 1) 0, 2262 d) P ( X > 2) X 3) 0, 0012
2 Opgave 53 a) X følger en binomialfordeling,, idet kastene med de tre terninger kan opfattes som en binomialproces, hvori basiseksperimentet er at kaste med én terning og se, om det ønskede symbol opnås eller ikke Sandsynligheden for dette er 1/6 b) I HypoStat beregnes sandsynlighederne:,, og c) Middelværdien og spredningen for X bestemmes: d) Spillerens nettogevinst er -1, hvis, mens den er 1, 2 og 3, hvis X antager værdierne 1, 2 og 3, henholdsvis Derfor: e) Middelværdien og spredningen af Y udregnes direkte: og endelig Opgave 54 Indledningsvist defineres de to stokastiske variable X og Y, som angiver antal gange, en vilkårlig person ser reklamen, hvis den sendes hos henholdsvis Kanal Kedelig og TV Plat Det antages, at begge disse er binomialfordelte, idet der er tale om en binomialproces: basiseksperimentet er at sende reklamen én gang og undersøge, om personen så reklamen Dette basiseksperiment gentages en række gange, og da det antages, at seningen er uafhængig af hinanden, så er der tale om en binomialproces 2
3 Idet budgettet tillader 10 Kanal Kedelig- og 40 TV Plat-reklamer, så er de to fordelinger givet ved og a) Vi skal her beregne middelværdierne af de to stokastiske variable Resultaterne er og b) Vi skal her beregne sandsynlighederne og : og c) Frekvenserne findes som, dvs vi får frekvenserne på 2,24 for Kanal Kedeligss vedkommende og 2,29 for TV Plats vedkommende d) Excel giver: k X k) Xk) X k) 0 0,1074 0,1074 1, ,3758 0,2684 0, ,6778 0,3020 0, ,8791 0,2013 0, ,9672 0,0881 0, ,9936 0,0264 0, ,9991 0,0055 0, ,9999 0,0008 0, ,0000 0,0001 0, ,0000 0,0000 0, ,0000 0,0000 0,0000 og For TV Plats vedkommende fås i Excel: k X k) Xk) X k) 0 0,1285 0,1285 1, ,3991 0,2706 0, ,6767 0,2777 0, ,8619 0,1851 0, ,9520 0,0901 0, ,9861 0,0342 0, ,9966 0,0105 0, ,9993 0,0027 0, ,9999 0,0006 0, ,0000 0,0001 0, ,0000 0,0000 0,0000 3
4 e) Antagelsen om uafhængighed er helt sikkert ikke overholdt i virkeligheden Folk har tvvaner, og ser man feks sin yndlings-soap opera hver dag, så vil sendingen af reklameblokkene i forbindelse hermed være stærkt afhængige Endvidere er antagelsen om, at se-sandsynligheden p er den samme for alle personer i landet stærkt problematisk - i praksis varierer denne fra person til person Opgave 55 I det følgende betegner X den stokastiske variabel, som angiver antallet af pærer, som kan brænde mindst 2000 timer, iblandt de 50 pærer, som kunden køber Det vides, at X er binomialfordelt, idet vi har en binomialproces, hvori basiseksperimentet er at undersøge, om en enkelt pære kan brænde mere end 2000 timer, og dette basiseksperiment gentages 50 gange uafhængigt af hinanden Vi har derfor, at Nedenstående sandsynligheder kan alle beregnes direkte i HypoStat a) b) c) Der er altså 6,07 % chance for, at højst 35 pærer kan brænde mere end 2000 timer Der er altså 13,98% sandsynlighed for, at netop 40 pærer kan brænde mere end 2000 timer Der er altså 58,36% sandsynlighed for, at mindst 40 pærer kan brænde mere end 2000 timer d) Vi skal nu finde p, således at Det kan gøres på flere måder; man kan feks lege med p i HypoStat og beregne, indtil ovenstående sandsynlighed bliver mindst 99% Prøver man sig lidt frem, ses, at giver en sandsynlighed på 98,17%, mens giver en sandsynlighed på 99,06% Fabrikanten skal altså give en garanti på 90%, altså at mindst 90% af produktionen har en levetid på mindst 2000 timer Opgave 56 Lader vi den stokastiske variabel X betegne antallet af røde kugler blandt de 6 udtrukne, så ses, at idet der er tale om en stikprøve uden tilbagelægning, at X er hypergeometrisk fordelt med parametrene,, og stikprøvestørrelsen Altså a) I HypoStat beregnes Der er altså 12,91% sandsynlighed for, at alle 6 udtrukne kugler er røde b) Hvis der kun udtrækkes 3 røde kugler, så må de resterende automatisk være blå Derfor skal vi finde sandsynligheden for, at der udtrækkes 3 røde kugler: I HypoStat beregnes 4
5 Der er altså 11,74% sandsynlighed for, at der udtrækkes 3 røde og 3 blå kugler c) Hvis der skal udtrækkes mindst 2 kugler af hver farve, så skal der være mindst 2 røde, dvs, og mindst 2 blå, dvs højst 4 røde, dvs Vi skal derfor finde sandsynligheden Der er altså 45,31% sandsynlighed for, at der udtrækkes mindst 2 kugler af hver farve d) Det forventede antal røde kugler er: Opgave 57 X er den stokastiske variabel, som angiver antallet af defekte komponenter i partiet Idet der er tale om en stikprøve uden tilbagelægning, så er X hypergeometrisk fordelt, Partiet accepteres, hvis, og sandsynligheden for dette udregnes i HypoStat til 14,14% Opgave 58 X angiver antallet af rådne æg i stikprøven Idet der udtages en stikprøve uden tilbagelægning, så vides, at X er hypergeometrisk fordelt, a) I HypoStat beregnes Der er altså 23,95% sandsynlighed for, at stikprøven indeholder 2 rådne æg b) Det forventede antal rådne æg er Opgave 59 a) Med X betegnes antal ankomne kunder i løbet af 1 minut Det ses, at X er Poissonfordelt med parameteren λ λ time / / 60 0, 4 Vi får i HypoStat eller ved direkte udregning: 1 λ 1 0,4 λ e 0,4 e P ( X 1) 0,2681 1! 1! b) Vi har, i HypoStat eller ved direkte udregning: 0 λ 0 λ λ e λ e X 2) 1 X 0) X 1) 1 0! 0! 0 0,4 1 0,4 0,4 e 0,4 e 1 1 0,6703 0,2681 0,0616 0! 1! c) Med Y betegnes antal ankomne kunder i løbet af 5 minutter Det ses, at Y er Poissonfordelt med parameteren λ5 5λtime / / 60 2 Der ankommer ingen kunder i løbet af 5 minutter, hvis Y 0 Dette sker med sandsynligheden 5
6 P ( Y λ 0) 0 5 e 0! λ5 0 2 e 0! 0,1353 Opgave 510 Den stokastiske variabel X beregner antal børnefødsler pr døgn Det vides, at a) I HypoStat fås direkte, at Der er altså 32,33% sandsynlighed for, at der fødes mindst 3 børn i løbet af et døgn b) Y betegner antallet af børn, som fødes i løbet af en uge Idet intensiteten for børnefødsler i løbet af et døgn er på 2, så er intensiteten for børnefødsler i løbet af en uge på I HypoStat fås umiddelbart Der er altså 4,79% sandsynlighed for mindst 21 fødsler i løbet af en uge c) Vi skal finde antallet af jordemødre k, således at Dette gøres ved at eksperimentere i HypoStat: Det ses, at, så 5 jordemødre er ikke nok, mens Derfor er, og, så der skal være 6 jordemødre i kommunen Opgave 511 Vi lader X betegne antal blindtarmsbetændelser, som ankommer i løbet af en dag Det oplyses, at X po(2) a) Der sendes patienter videre, hvis X > 3 Vi finder, enten i HypoStat eller ved direkte beregning, at: 0 λ 0 λ e 2 e P ( X 0) e 0,1353 0! 0! 1 λ 1 λ e 2 e P ( X 1) 2e 0,2707 1! 1! 2 λ 2 λ e 2 e 4 P ( X 2) e 2e 0,2707 2! 2! 2 3 λ 3 λ e 2 e 8 4 P ( X 3) e e 0,1804 3! 3! 6 3 X > 3) 1 X 0) X 1) X 2) X 3) 1 0,1353 0,2707 0,2707 0,1804 0,1429 b og c) 6 Vi regner videre 4 λ e P ( X 4) 4! 5 λ e P ( X 5) 5! 6 λ e P ( X 6) 6! λ λ λ 4 2 e 4! 5 2 e 5! 6 2 e 6! 16 e e 0, e e 0, e e 0,
7 og finder: P ( X > 4) X > 3) X 4) 0,1429 0,0902 0,0527 P ( X > 5) X > 4) X 5) 0,0527 0,0361 0,0166 P ( X > 6) X > 5) X 6) 0,0166 0,0120 0,0046 Det ses, at hvis kapaciteten udvides til 5 operationer pr dag, så bliver sandsynligheden for at sende videre mindre end 0,05 Det ses endvidere, at hvis kapaciteten udvides til 6 operationer pr dag, så bliver sandsynligheden for at sende videre mindre end 0,01 d) Det forventede antal ankomne patienter pr dag er E ( X ) λ 2 e) Det mest sandsynlige antal patienter pr dag er enten 1 eller 2 - i delopgave a) har vi nemlig beregnet de første (og største) sandsynligheder for Poisson-fordelingen f) Lader vi Y betegne det antal patienter, der opereres pr dag, så er Y max(x,3), dvs P ( Y 0) X 0) 0,1353 P ( Y 1) X 1) 0,2707 P ( Y 2) X 2) 0,2707 Y 3) 1 Y 0) Y 1) Y 2) 1 0,1353 0,2707 0,2707 0,3233 Det forventede antal opererede patienter pr dag er derfor E( Y ) 0 Y 0) + 1 Y 1) + 2 Y 2) + 3 Y , , ,3233 1,7820 3) f) Lader vi Z betegne antallet af patienter, som sendes videre, så må X Y + Z og dermed E ( X ) E( Y ) + E( Z) Vi får derfor E ( Z ) E( X ) E( Y ) 2 1,7820 0,2180 Opgave 512 a) X antal returnerede skemaer Basiseksperiment udsendelse af et skema og se om dette returneres Dette sker med sandsynligheden 0,62 og gentages 2400 gange b) X antal defekte i stikprøven Der er tale om en stikprøve uden tilbagelægning Hele partiet indeholder N komponenter, hvoraf S er defekte c) X antal personer, som køber bil Basiseksperimentet se om en vilkårlig besøgende køber en bil Dette sker med 12/200 6% sandsynlighed og gentages n gange d) X antal passagerer pr busafgang Idet man antager, at buspassagerer ankommer efter en Poisson-proces, så er X Poissonfordelt (antal passagerer mellem to busafgange) e) X antal scootere som kan køre mere end 50 km/t Basiseksperiment køb en scooter og se om den kan køre mere end 50 km/t Denne basissandsynlighed er ukendt og lig med p Dette gentages 4 gange 7
8 f) X antal seje lammekoteletter i ordren Basiseksperiment køb en kotelet og se om den er sej Det er den med sandsynligheden 2% Dette gentages 1200 gange 8
Løsninger til kapitel 6
Opgave 6.1 a) 180 200 P ( X < 180) = Φ = Φ( = 0, 1587 b) 220 200 P ( X > 220) = Φ = Φ(1) = 0, 8413 c) 200 200 P ( X > 200) = 1 X < 200) = 1 Φ = ) = 1 0,5 = 0, 5 d) P ( X = 230) = 0 e) 180 200 P ( X 180)
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Hypergeometrisk fordeling, Afsnit 4.3 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Geometrisk fordeling og Negativ binomialfordeling (Inverse Sampling), Afsnit 4.4 Approksimation
Læs mereVejledende løsninger til opgaver i kapitel 6
Vejledende løsninger til opgaver i kapitel Opgave 1: a) Den stokastiske variabel, X, der angiver, om en elev består, X = 1, eller dumper, X =, sin eksamen i statistik. b) En binomialfordelt variabel fremkommer
Læs mereForelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Afsnit 4.1-4.2, 4.7: Bernoulli fordeling Binomial fordeling Store Tals Lov (Laws of Averages, Laws of Large Numbers) 1 Bernoulli fordeling Kvantitative Metoder
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereBinomialfordelingen. X ~ bin(n,p): X = antal "succeser" i n uafhængige forsøg, der alle har samme sandsynlighed p for at ende med succes.
Uge 9 Teoretisk Statistik 23. februar 24 1. Binomialfordelingen 2. Den hypergeometriske fordeling 3. Poissonfordelingen 4. Den negative binomialfordeling 5. Gammafordelingen Binomialfordelingen X ~ bin(n,p):
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte
Læs mereOversigt over nyttige fordelinger
Oversigt over nyttige fordelinger Helene Regitze Lund Wandsøe November 14, 2011 1 Bernoulli-fordelingen 1 Når et eksperiment har to mulige udfald: succes eller fiasko. X er en stokastisk variabel med følgende
Læs mereOversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereStatistik viden eller tilfældighed
MATEMATIK i perspektiv Side 1 af 9 DNA-analyser 1 Sandsynligheden for at en uskyldig anklages Følgende histogram viser, hvordan fragmentlængden for et DNA-område varierer inden for befolkningen. Der indgår
Læs mereBinomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 MS kapitel 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Definition 3.2.1 Lad X 1, X 2,..., X n være uafhængige
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereDefinition. Definitioner
Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/
Læs mereTeoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger
Uge 49 I Teoretisk Statistik, 2. december 2003 Sammenligning af poissonfordelinger o Generel teori o Sammenligning af to poissonfordelinger o Eksempel Opsummering om multinomialfordelinger Fishers eksakte
Læs mere2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:
Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte fordelinger, Afsnit 5.1-5.2: - Fordelingsfunktion - Tæthedsfunktion - Eksempel:
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereSandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Vigtigste nye emner i 2.1, 2.2 og 2.5
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 0. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6. og 6. Betingede diskrete
Læs mereJ E T T E V E S T E R G A A R D
BINOMIALT EST J E T T E V E S T E R G A A R D F I P B I O L O G I M A R S E L I S B O R G G Y M N A S I U M D. 1 3. M A R T S 2 0 1 9 K A L U N D B O R G G Y M N A S I U M D. 1 4. M A R T S 2 0 1 9 HVEM
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereModul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable 2.1 Sandsynlighedsbegrebet............................... 1 2.1.1
Læs mereSupplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136
Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 36 Det er besværligt at regne med binomialfordelingen, og man vælger derfor ofte at bruge en approksimation med normalfordeling. Man
Læs mereOversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger
Course 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske Universitet
Læs mere2 Gennemsnitligt indhold af aktivt stof i en tablet fra et glas med 200 tabletter
Ekstraopgaver uge 2-02402 Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de
Læs mere02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i kapitel 4
0202 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i kapitel Hjemmeopgaver Vejledende løsning.2 Eksperimentet kan beskrives ved binomialfordelingen, X b(x; n, p), hvor n = og p = 1 2. Dermed kan man
Læs mereEt firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen
STATISTIK Skriftlig evaluering, 3. semester, mandag den 6. januar 004 kl. 9.00-13.00. Alle hjælpemidler er tilladt. Opgaveløsningen forsynes med navn og CPR-nr. OPGAVE 1 Et firma tuner biler. Antallet
Læs mereDiskrete fordelinger. Fire vigtige diskrete fordelinger: 1. Uniform fordeling (diskret) 2. Binomial fordeling. 3. Hyper-geometrisk fordeling
Disrete fordelinger Fire vigtige disrete fordelinger: 1. Uniform fordeling (disret) 2. Binomial fordeling 3. Hyper-geometris fordeling 4. Poisson fordeling 1 Uniform fordeling Definition Esperiment med
Læs mereOversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Eksponential fordelingen
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereCIVILINGENIØREKSAMEN Side?? af?? sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2004 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side?? af?? sider Skriftlig prøve, den: 6. december 2004 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 29. maj 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. maj 05 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:
Læs mereLøsning til eksamen 16/
1 IMM - DTU 245 Probability 24-5-11 BFN/bfn Løsning til eksamen 16/12 23 Spørgsmål 1) 2 44% Man benytter formlen for skalering og positionsskift i forbindelse med varians og standardafvigelse, samt formlen
Læs mereSandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner Stokastiske variable:
Læs mere2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900.
2 -fordeling og 2 -test Generelt om 2 -fordelingen 2 -fordelingen er en kontinuert fordeling, modsat binomialfordelingen som er en diskret fordeling. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 18. august 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 8. august 06 Kursus nr : 005 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:
Læs mereSandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner Stokastiske variable: udfald
Læs mereenote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mere[PJ] QuickGuide.dfw QuickGuide
[PJ] QuickGuide.dfw 07-04-003 QuickGuide Derives resultater Husk at Derive angiver decimalbrøker uden at forhøje sidste ciffer. Så når du udregner fx /3 får du 0.66666 og ikke 0.66667. Du kan altså ikke
Læs mereBernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +
Læs mereEksempel I. Tiden mellem kundeankomster på et posthus er eksponential fordelt med middelværdi µ =2minutter.
Eksempel I Tiden mellem kundeankomster på et posthus er eksponential fordelt med middelværdi µ =2minutter. Per Bruun Brockhoff IMM DTU 02402 Eksempler 1 Eksempel I Tiden mellem kundeankomster på et posthus
Læs mereSandsynlighed. for matc i stx og hf Karsten Juul
Sandsynlighed for matc i stx og hf 209 Karsten Juul . Udfald Vi drejer den gule skive om dens centrum og ser hvilket af de fem felter der standser ud for den røde pil. Da skiven sidst blev drejet, var
Læs mereOpgave 1.1 Gennem en måned i 2007 var de daglige benzinpriser (kr/liter) i Aalborg givet ved tallene i tabel 1.1.
Kapitel 1 Deskriptiv statistik I Opgave 1.1 Gennem en måned i 2007 var de daglige benzinpriser (kr/liter) i Aalborg givet ved tallene i tabel 1.1. Tabel 1.1: Daglige benzinpriser i Aalborg gennem en måned
Læs merePersonlig stemmeafgivning
Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt
Læs mereSandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen
Vigtigste nye emner i.,. og.5 Sandsynlighedsregning. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Siene Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Binomialfordelingen
Læs mereCIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2010 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider Skriftlig prøve, den: 16. december 2010 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)
Læs mereCIVILINGENIØREKSAMEN. Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve, den: 20. december 2006 Kursus nr : 02405. Kursus navn: Sandsynlighedsregning
CIVILINGENIØREKSAMEN Side af 9 sider Skriftlig prøve, den: 0. december 006 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: navn underskrift bord
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Estimation: Kapitel 9.7-9.10 Estimationsmetoder kap 9.10 Momentestimation Maximum likelihood estimation Test Hypoteser kap. 10.1 Testprocedure kap 10.2 Teststørrelsen Testsandsynlighed 1
Læs mereSimulering af stokastiske fænomener med Excel
Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen
Læs mereHøjde af kvinder 2 / 18
Hvorfor er normalfordelingen så normal? og er den nu også det? Søren Højsgaard (updated: 2019-03-17) 1 / 18 Højde af kvinder 2 / 18 Inddeler man i mindre grupper kan man forestille sig at histogrammet
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereStatistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning
Side 1 af 6 Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning Litteratur: Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø: Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave,
Læs mereCIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: PQ. juli 200Z Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: PQ. juli 200Z Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mereNote til styrkefunktionen
Teoretisk Statistik. årsprøve Note til styrkefunktionen Først er det vigtigt at gøre sig klart, at når man laver statistiske test, så kan man begå to forskellige typer af fejl: Type fejl: At forkaste H
Læs mereNormalfordelingen. Erik Vestergaard
Normalfordelingen Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematiksider.dk Erik Vestergaard, 008. Billeder: Forside: jakobkramer.dk/jakob Kramer Side 7: istock.com/elenathewise Side 8: istock.com/jaroon
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kapitel 8.1-8.3 Tilfældig stikprøve (Random Sampling) Likelihood Eksempler på likelihood funktioner Sufficiente statistikker Eksempler på sufficiente statistikker 1 Tilfældig stikprøve Kvantitative
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: 4. juni 2013 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 8 sider Skriftlig prøve, den: 4. juni 20 Kursus nr : 0240 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/1 Hvad skal vi lave i dag? Repeterer lidt om diskrete sv. Standardfordelinger (binomial, Poisson, geometrisk) Stokastiske vektorer Diskrete stokastiske vektorer p. 2/1 Repetition Heltallige sv er
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434)
Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434) Opgave Vi kan selv vælge, om vi vil arbejde med ordnet eller uordnet udtagelse, hvis vi blot sikrer, at vi er konsekvente i vores valg,
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 30. maj 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 0. maj 206 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereStatistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics
Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics Jonas Sveistrup Hansen - stud.merc.it 22. september 2009 1 Indhold 1 Begrebsliste 3 2 Forelæsning 1 - kap. 1-3 3 2.1 Kelvin
Læs mereSandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 21. September, 2007 Lidt om binomialkoefficienter n størrelsen af en mængde/population. Vi ønsker at udtage en sub population af størrelse r. To sub populationer
Læs mereForelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2003 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: 16. december 2003 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er
Læs mereKapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller
Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol
Læs mereSandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 28. September, 2007 Stokastiske variable Betragt 3 kast med en mønt. Så er udfaldsrummet Ω = {(p, p, p), (p, p, k), (p, k, p), (p, k, k), (k, p, p), (k, p, k),
Læs mereStatistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen
Statistik Lektion etinget sandsynlighed ayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV inomialfordelingen Repetition Udfaldsrum S Hændelse S Simpel hændelse O i 1, 3 4,
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereSimulering af stokastiske fænomener med Excel
Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen
Læs mereEstimation og konfidensintervaller
Statistik og Sandsynlighedsregning STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Estimation og konfidensintervaller Antag X Bin(n,
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Rune Haubo B Christensen (based on slides by Per Bruun Brockhoff) DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning
Læs mereNanostatistik: Opgaver
Nanostatistik: Opgaver Jens Ledet Jensen, 19/01/05 Opgaver 1 Opgaver fra Indblik i Statistik 5 Eksamensopgaver fra tidligere år 11 i ii NANOSTATISTIK: OPGAVER Opgaver Opgave 1 God opgaveskik: Når I regner
Læs mereStikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader
Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af
Læs mereF I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L
F I N N H. K R I S T I A N S E N 2 KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L Faglige mål: Håndtere simple modeller til beskrivelse af sammenhænge mellem variable og kunne diskutere rækkevidde af sådanne modeller.
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variable Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse af
Læs mereRepetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable
Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne 7. undervisningsuge, mandag 1 Estimation og konfidensintervaller
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variabler Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse
Læs mereSkriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)
Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug
Læs mereFagplan for statistik, efteråret 2015
Side 1 af 7 M Fagplan for statistik, efteråret 20 Litteratur Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø (HK): Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave, ISBN 9788741256047 HypoStat
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mere