Program. 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. 1/12

Transkript

1 Program 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. 1/12

2 Ensidet variansanalyse: analyse af grupperede data Nedbrydningsrate for tre typer af opløsningsmidler (opgave 13.8 side 523) Sorption rate Solvents A A... C C... E E... Boxplot af observationer for de tre grupper: Ens middelværdi i grupper? (Ens varianser?) A C E 2/12

3 Model Bruger nu to indices: i = 1,...,k for gruppenr. og j = 1,...,n i for observation indenfor gruppe. Hvis alle n i ens kaldes forsøget balanceret, ellers ubalanceret. Model: Y ij = µ i + ǫ ij hvor ǫ ij N(0, σ 2 ) uafhængige og har ens varians σ 2 (varianshomogenitet). Alternativ formulering, hvor µ i = µ + α i : Y ij = µ + α i + ǫ ij Her er en parameter for meget, så derfor indføres restriktionen i α i = 0. 3/12

4 Test for ens middelværdi Hypoteser: H 0 : µ 1 = = µ k = µ (eller α 1 = = α k = 0) H 1 : ikke alle µ i ens (eller ikke alle α i = 0). Estimater for middelværdier: ˆµ i = ȳ i = 1 n i y ij, n i j=1 ˆµ = ȳ = 1 N k n i y ij, i=1 j=1 hvor N = n n k er antallet af observationer. 4/12

5 Test for ens middelværdi Nogle kvadrat-summer (med frihedsgrader): SSA = SSE = SST = k n i (ȳ i ȳ ) 2 (df = k 1) i=1 k n i (y ij ȳ i ) 2 (df = k(n 1)) i=1 j=1 k n i (y ij ȳ ) 2 = SSE + SSA (df = kn 1) i=1 j=1 Under H 0 gælder F = SSA/(k 1) F(k 1, n(k 1)) SSE/(k(n 1)) under forudsætning af varianshomogenitet (afvigelser fra ens varians mindre vigtigt for balanceret tilfælde). 5/12

6 Test for ens middelværdi ANOVA-tabel: Model SS df MS F Sig Treatment SSA k 1 MSA = SSA k 1 F = MSA MSE p-værdi Error SSE k(n 1) MSE = SSE k(n 1) Total SST kn 1 Hvis p < α forkastes H 0, altså er der signifikant forskel på middelværdierne i grupperne. 6/12

7 Test for ens varianser (varianshomogenitet) Bogen bruger Bartlett s test, men SPSS bruger Levene s test. Hypotese: Levene s teststørrelse: hvor Under H 0 gælder H 0 : alle varianser er ens H 1 : mindst en varians er anderledes W = (N k) k i=1 n i( z i z ) 2 (k 1) k ni i=1 j=1 (z ij z i ) 2 ỹ i = median for gruppe i, W F(k 1, n(k 1)) z ij = y ij ỹ i 7/12

8 Parvis sammenligning - Tukey s test k(k 1)/2 mulige sammenligner µ i vs. µ j når k grupper. Hypoteser (for hvert par af grupper (i, j)): Teststørrelser: H ij 0 : µ i = µ j H ij 1 : µ i µ j q ij = ȳ i ȳ j 2s 1/n i + 1/n j hvor s = MSE Hvis q ij er større end den kritiske værdi fra q(0.05, k, N k) i tabel A.12, så har gruppe i og j signifikant forskellig middelværdi. 8/12

9 Parret t-test Parvise målinger med 30 minutters mellemrum af androgen på samme individ (Example 10.7 side 348) efter behandling med succinylcholine. Er der nogen ændring i androgen koncentration efter de 30 minutter? Individ Første måling Anden måling Mulighed: almindelig ensidet variansanalyse med 2 grupper. Problem: potentielt set megen variation mellem dyr Y ij = µ i + B j + ǫ ij hvor B j individ specifik effekt. Løsning: t-test for µ = 0 baseret på differenser D j = Y 2j Y 1j som har middelværdi µ = µ 2 µ 1. 9/12

10 Randomisering og Blocking Antag, vi har gentagne målinger på forskellige individer (batches, cellekulturer i petri-glas etc.) og at der er stor variation mellem individer. I et medicinsk forsøg kunne man da risikere f.eks. at give behandlingen til alle de stærke patienter og placebo til alle de svage hvormed man ville estimere en for stor behandlingseffekt. Løsninger: parret t-test (men max 2 målinger pr. individ) randomisering: behandlinger tildeles tilfældigt til personer. I snit vil vi da estimere den korrekte behandlingseffekt. eksplicit hensyn til variationen mellem individer vha. blocking 10/12

11 Randomized complete blockdesign Afprøvning af fire slags gødninger: marken inddeles i 3 blokke så hver blok har homogen fertilitet. Hver blok inddeles i 4 delplot og indenfor hver blok tildeles de 4 gødninger tilfældigt til hver delplot (opgave 3 side 499): Block 1 f1 f3 f4 f2 Block 2 f3 f1 f2 f4 Block 3 f4 f2 f1 f3 Complete: alle 4 gødninger optræder indenfor hver block. Randomized: tildeling indenfor block er tilfældig. Model: Y ijk = µ + α i + β j + ǫ ijk hvor α i effekt af gødning, β j effekt af block (fertilitet) og k er index for gentagelser indenfor delplot. Ved at estimere β j kan vi nu eksplicit korrigere for variationen i fertilitet. 11/12

12 Blocking eller ej? Blocking ikke altid en fordel: reducerer residualvariation, men kan introducere mange ekstra parametre som skal deles om informationen i data. 12/12