Teknisk notat. Dansk analytisk belægningsdimensionering - kriterier og historik. Vejregel Arbejdsgruppe P.21. Godkendt på møde 13.

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Teknisk notat. Dansk analytisk belægningsdimensionering - kriterier og historik. Vejregel Arbejdsgruppe P.21. Godkendt på møde 13."

Transkript

1 Teknisk notat Granskoven Glostrup Danmark T F CVR-nr Vejregel Arbejdsgruppe P.21 Dansk analytisk belægningsdimensionering - kriterier og historik Dokumentnr Version 7 Udgivelsesdato Godkendt på møde 13. oktober 2010 Udarbejdet Kontrolleret : Christian Busch (CBU) : Ulrik Dantzer Jacobsen (UDJ) Vedlagt : Kopi til : INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Oversigt 1 2 Hovedresultater 1 3 Kirk's notater Intern Rapport nr Ækvivalente Akseltryk I, Tryk på Underbund Intern Rapport nr Udmattelsesforsøg med Asfaltbeton VII, Temperaturens indflydelse Intern Rapport nr Ækvivalente Akseltryk II, Bituminøse bærelag Tryk på underbund Tøjning i asfaltlag 9 4 Supersingle problematikken 13 5 MMOPP analytisk dimensionering Asfaltbundne materialer Ubundne materialer Beton Cementstabiliserede bærelag 16 6 Temperaturkorrektioner af faldlodsmålinger 17 7 Referencer 20 D E TN009CBU_7.doc

2 Side 1 1 OVERSIGT Dette notat sammenfatter grundlaget for analytisk-empirisk dimensionering i Danmark. Den indeholder opsummering af analyser og resultater af Kirk's notater, Intern Rapport 24, 25 og 26, som fastlagde de første dimensioneringskriterier og forudsætninger, og der nævnes, hvilke justeringer af disse kriterier, der senere gennemførtes. Der gøres herefter kort rede for de analyser, introduktionen af supersingle monterede aksler affødte. Afslutningsvis opsummeres baggrunden og udformning af de kriterier, der er indeholdt i MMOPP programmet, og som muliggør en sammenlignelig dimensionering af fleksible, halvstive og betonplade belægninger. 2 HOVEDRESULTATER Gennemgangen af Kirk's notater, Intern Rapport 24, 25 og 26, udarbejdet i 1971, fastslår entydigt, at der ved dimensionering af nye befæstelser skal anvendes en dimensioneringstemperatur på 30 C for de øverste 10 cm asfaltlag og 25 C herunder. Fastlæggelsen af disse temperaturer bunder primært i at de fører til asfalt E- moduler, der giver samme levetid for ubundne materialer, som der findes ved en analyse opdelt på 12 måneder. Når man på samme måde fastlægger et enkelt sæt dimensioneringstemperaturer over/under 10 cm's dybde, der fører til samme nedbrydningseffekt for asfalten som en årstidsopdelt analyse, vil man finde at disse to temperaturer er en smule lavere end for ubundne materialer. Dette skyldes at eksponenterne i nedbrydningsmodellerne for ubundne materialer og asfalt er forskellige. Det er imidlertid hensigtsmæssigt at operere med samme korrektionstemperatur for både asfalt og ubundne materialer, da alle kritiske påvirkninger og dimensioner derved kan fastlægges i én arbejdsgang. Kirk valgte derfor at hæve dimensioneringstemperaturen for asfalt til niveauet for ubundne materialer. Materialet beregnes derved "for blødt" i forhold til den strengt teoretiske betragtning, men dette forhold blev håndteret ved at hæve niveauet for tilladelig tøjning med 2 % i forhold til det teoretisk korrekte i henhold til laboratorieforsøg. I betragtning af at der i øvrigt ligger transfer-multiplikatorer på ca. 100 fra laboratorie- til fuldskalanedbrydning af asfaltlag må denne justering betegnes som ganske ubetydelig. Der er ikke i nogen af de grundlæggende dokumenter belæg for den referencetemperatur på 20º C, der nævnes i forstærkningsvejreglen, , og denne er da også kun begrundet i vejreglen som liggende "i det interval, hvor målinger normalt udføres". Når det samtidig foreskrives at temperaturen skal måles i 4 cm's dybde, og at der ikke bør udføres målinger ved temperaturer over 30º C, viser 1. kolonne i Tabel 2 at man i realiteten udelukker målinger i de 3 sommermåneder.

3 Side 2 Reglen og referencetemperaturen virker som værende tilpasset målinger med Benkelman bjælke, og bør ikke videreføres til nutidens målemetoder, der baserer sig på faldlodsbelastninger. Der kan dog være rimelighed i at vælge 25º C som referencetemperatur, da den eksisterende asfalt efter udlægning af nyt slidlag og forstærkningslag hovedsageligt vil komme til at ligge mere end 10 cm under belægningsoverfladen. Kirk's oprindelige kriterier blev i 1976 justeret, således at der blev tilladt 20 % højere tryk på ubundne materialer og 50 % større asfalttøjninger. I 1991 affødte den accelererede sporkøring, der forårsagedes af den nye dæktype på lastbilerne, supersingledækket, et udvalgsarbejde til vurdering af mulige justeringer af dimensioneringsmetodikken. Udvalgets rapport i 1994 medførte ingen sådanne ændringer, men definerede en omregningsprocedure, der fastslog at skadevirkningen af en supersingleaksel er 3,1 gange skadevirkningen af en tvillingmonteret aksel med samme aksellast. I 2003 initieredes et arbejde med opdatering af vejreglerne for dimensionering af nye befæstelser og forstærkningsbelægninger. Dette arbejde har resulteret i udarbejdelse af MMOPP dimensioneringsprogrammet, der løbende udvikles og opdateres. Programmet kan foretage analytisk-empirisk dimensionering af fleksible, halvstive og betonplade belægninger. De analytiske beregninger udføres med et "indbygget" lineærelastisk program, og dimensioneringen baseres på den mest realistiske repræsentation af den dimensionsgivende 10-ton aksel. 3 KIRK'S NOTATER Grundlaget for dansk analytisk-empirisk belægningsdimensionering er nedfældet 1971 i 3 (interne) rapporter fra Asfaltindustriens Vejforskningslaboratorium), skrevet af J.M. Kirk: Intern Rapport nr Ækvivalente Akseltryk I, Tryk på Underbund Intern Rapport nr Udmattelsesforsøg med Asfaltbeton VII, Temperaturens indflydelse Intern Rapport nr Ækvivalente Akseltryk II, Bituminøse bærelag Rapporternes indhold og konklusioner er sammenfattet kortfattet i det følgende. Nogle enheder er overført fra det i 1971 anvendte MKSA system til SI enheder idet 1 kg/cm 2 er sat til 0,1 MPa. 3.1 Intern Rapport nr Ækvivalente Akseltryk I, Tryk på Underbund Denne rapport undersøger først, hvorvidt elasticitetsteorien kan anvendes til bestemmelse af tryk på underbund i AASHO forsøgene. Dette bekræftes, efter at data er reduceret, således at der kun medtages resultater fra urevnede prøvestrækninger.

4 Side 3 Herefter analyseres, hvorvidt der kan etableres en sammenhæng mellem antal og størrelse af den trafikpåførte spænding på underbunden, der havde en Em på 2200 psi (15 MPa), og faldet i PSI (Present Serviceability Index). Dette startede for prøvestrækningerne typisk på ca. 4,0 og som acceptgrænse valgtes en slutværdi på 2,5 - disse værdier svarer nogenlunde til IRI-værdier på 1,25 m/km og 3,9 m/km. En korrelationsanalyse gav - med en korrelationskoefficient r 2 = 0,77 - følgende sammenhæng mellem tilladeligt antal påvirkninger, N, med et aktuelt tryk, σ N, og det tryk σ 6, der svarer til 10 6 passager inden accepttilstanden PSI=2,5 er nået: log 10 (σ N /σ 6 )=-0,307 log 10 (N) + 1,842 (I) Sammenhængen blev generaliseret til andre E-modulniveauer under anvendelse af resultater fra US Army Corps of Engineers (målinger på belægninger med en underbunds CBR på mellem 2 % og 17 %), og CBR dimensioneringsmetoden. Der anvendtes den traditionelle omregning mellem CBR og E- modul: E (kg/cm 2 ) = 100 CBR ( %) (II) Baseret på denne omregning udledtes den nedenfor gengivne (Figur 1) sammenhæng mellem E-modul og tilladeligt tryk. Den tilladelige værdi ved 1 million passager, σ 6, betegnes i denne graf som σζ(t). Knækpunktet mellem de to rette linjer ligger ved E=1.600 kg/cm 2, σ 6 =10 0. Baseret på koefficienten -0,307 i (I) anbefaler Kirk endvidere at der anvendes en eksponent på 3,26 (=1/0,307) ved omregning af vilkårlige akseltryk til ækvivalente dimensioneringsakseltryk.

5 Side 4 Figur 1 Tilladeligt tryk ved 1 million passager og E-modul for underbund Under forudsætning af den simplificerede omregning 10 kg/cm 2 = 1 MPa svarer dette til, at det tilladelige tryk for N belastninger kan bestemmes som σ N = 0,00028 MPa (E/1 MPa) 1,16 (N/10 6 ) -0,307 for E<160 MPa σ N = 0,00063 MPa (E/1 MPa) (N/10 6 ) -0,307 for E 160 MPa (IIIa) (IVa) Dette kan også udtrykkes som: σ N = 0,10 MPa (E/160 MPa) 1,16 (N/10 6 ) -0,307 for E<160 MPa σ N = 0,10 MPa (E/160 MPa) (N/10 6 ) -0,307 for E 160 MPa (IIIb) (IVb)

6 Side 5 Dette indførtes efter 1971 som dansk dimensioneringskriterium for ubundne materialer. Ved en revision i 1976 øgedes niveauet for det tilladelige tryk med 20 % til σ N = 0,00033 MPa (E/1 MPa) 1,16 (N/10 6 ) -0,307 for E<160 MPa σ N = 0,00075 MPa (E/1 MPa) (N/10 6 ) -0,307 for E 160 MPa (Va) (VIa) Ovenstående ligninger kan også udtrykkes som: σ N = 0,12 MPa (E/160 MPa) 1,16 (N/10 6 ) -0,307 for E<160 MPa σ N = 0,12 MPa (E/160 MPa) (N/10 6 ) -0,307 for E 160 MPa (Vb) (VIb) 3.2 Intern Rapport nr Udmattelsesforsøg med Asfaltbeton VII, Temperaturens indflydelse Som forberedelse til at opstille et dimensioneringskriterium for asfaltbundne materialer udførte Kirk en række udmattelsesforsøg i AOV's 4-punkts bøjemaskine på 35-cm lange prøvelegemer. Forsøgene udførtes i 10-graders temperaturspring ved temperaturer mellem 20º C og +30º C. Prøvningerne udførtes ved 50 Hz sinusformet konstant kraft-amplitude, således at prøvelegemet bøjes skiftevis op og ned 50 gange i sekundet. På grund af begrænsninger i maskinens min/maks kraftamplitude måtte prøve-legemerne til de lave temperaturer have et tværsnit på kun mm2 og mm2 ved 30º C. Ved de mellemliggende temperaturer anvendtes prøve-legemer med et tværsnit på mm2. Prøvelegemerne blev fremstillet af et stenmateriale, bestående af 85 % knust granit og 5 % kalkfiller og et bindemiddelindhold på 4,7 % (vægt). Graderingen af stenmaterialet var som angivet nedenfor. Tabel 1 Sigte (mm) Gradering af stenmateriale Gennemfald % 4 97 % 2 81 % 1 58 % 0,5 44 % 0,25 32 % 0,125 mm 24 % 0,074 mm 18 %

7 Side 6 Ved forsøgene bestemtes brudforlængelsen, dvs. den initialtøjning i prøvelegemets over- og underside, der fører til det nominelle brud, i.e. en reduktion af prøvelegemets stivhed med 50 %. Brudforlængelsen fastlagdes for 10 5 og 10 6 belastninger. Det fandtes ved forsøgene at forholdet mellem brudforlængelsen ved 10 5 og 10 6 belastninger for temperaturer 0º C var nogenlunde konstant, cirka 1,5, mens den faldt til cirka 1,3 ved de lavere temperaturer - materialet blev altså mere "sprødt". Faktoren på 1,5 ved et skift på en dekade svarer til en eksponent på -0,178 på antallet af belastninger når dimensioneringskriteriet skrives på formen ε TILLADELIG = A N B. Det er bemærkelsesværdigt, at brudforlængelsen har et minimumsniveau mellem 0º C og +20º C, mens den stiger ved temperaturer uden for dette interval, som illustreret i Figur 2. På baggrund af disse forsøg og analyser konkluderede Kirk at: Brudforlængelsen afhænger altså af temperaturen og der bør tages hensyn hertil ved en dimensionering. Figur 2 Brudforlængelse (i µstr) svarende til 50 % reduceret E-modul ved forskellige temperaturer og antal påvirkninger

8 Side Intern Rapport nr Ækvivalente Akseltryk II, Bituminøse bærelag Denne rapport indeholder fastlæggelse af karakteristiske temperaturer for bituminøse bærelag i relation til dimensionering for tryk på underbund og ubundne lag, samt dimensionering for udmattelse af asfalt bærelaget. Asfaltkriteriet kalibreres således at der kan anvendes de samme asfalt E-moduler, svarende til sommertemperaturer, som i dimensioneringen for ubundne materialer. Notatet indledes med en analyse af asfaltmaterialers E-moduler, baseret på blandt andet Van der Poels undersøgelser. Analysen munder ud i et forenklet nomogram til bestemmelse af E-moduler i dimensioneringsøjemed, se Figur 3. Figur 3 E-modul af asfaltmix som funktion af temperatur og stenindhold Det er en forudsætning for figurens anvendelse: at bindemidlets E-modul ikke er større end svarende til bitumen A100 (nu svarende nærmest til B 80/100), at belastningstiden svarer til en frekvens på 30 Hz og at penetrationsindexet er 0,5. For lave temperaturer (høje værdier af T K&R - T) ses stenindholdet, og dermed også bindemiddelindholdet, kun at have ringe effekt. På basis af en gennemgang af resultaterne fra Holsted-forsøgene vises det, at man ved sommertemperaturer og et akseltryk på 10 t finder belastningstider svarende til følgende frekvenser: f (Hz) = 1/2 V (km/h) for asfalttykkelse = 10 cm f (Hz) = 1/3 V (km/h) for asfalttykkelse = 20 cm (VII) (VIII)

9 Side 8 I notatets efterfølgende analyser anvendes så en frekvens på 30 Hz, svarende til hastigheder på 60 km/h for veje med tynde befæstelser, og 90 km/h for veje med tykke befæstelser. I disse analyser forudsættes endvidere sinusformede temperaturvariationer hen over året mellem +37º C og 1º C i 5 cm's dybde og mellem +31º C og 1º C i 15 cm's dybde, baseret på 1 års kontinuerlige målinger, rapporteret af Skjoldby [1]. På dette grundlag vælges det at simplificere beregningerne til temperaturen i de øverste 10 cm af asfaltlag svarer til variationen i 5 cm's dybde, og i dybder større end 10 cm til variationen i 15 cm's dybde. Det antages endvidere: at bindemidlet i de øverste 10 cm er 11 volumenprocent A100 (B80/100) og herunder 8 volumenprocent A60 (B40/60) at bitumenen under produktion er hærdet til TK&R-værdier på 53º C hhv. 58º C, samt at stenindholdet i de øverste 10 cm er 82,5 %, herunder 77,5 % Tryk på underbund På det ovenfor anførte grundlag kan man nu fastlægge E-modulerne i en 25- cm dybdeasfaltbefæstelse, opbygget direkte på en 40-MPa underbund. Under anvendelse af de i afsnit 3.1 udledte tilladelige tryk på underbund kan beregnes det tilladelige antal belastninger med et 6-ton tvillinghjul i hver af de 12 måneder, samt det tilsvarende antal tilladelige akseltryk i en måned for en enkelt, ækvivalent temperaturkombination. På basis heraf beregnes et relativt levetidsforbrug i hver af de 12 måneder. Den "rigtige" ækvivalente temperaturkombination er bestemt når summen af disse relative værdier er 12. Tabel 2 Temperaturer, E-moduler og levetidsforbrug Dybde 0-10 cm Dybde >10 cm T T K&R - T E-modul T T K&R - T E-modul ºC ºC MPa ºC ºC MPa Relativt levetidsforbrug v. 30 ºC/25 ºC 37,0 16, ,600 34,5 18, ,700 27,5 25, ,760 18,0 35, ,180 8,5 44, ,056 1,5 51, ,025-1,0 54, ,021 1,5 51, ,025 8,5 44, ,056 18,0 35, ,180 27,5 25, ,760 34,5 18, ,700

10 Side 9 For den aktuelle opbygning bestemtes den ækvivalente temperaturkombination at være 30º C i de øverste 10 cm, 25º C herunder. Ved at gennemregne en række tilsvarende eksempler fandtes den ækvivalente temperatur at variere mellem 28º C og 32º C i de øverste 10 cm, og mellem 24º C og 26º C i større dybder. På basis heraf konkluderedes det, at: Indtil der foreligger resultater for temperaturmålinger gennem en længere årrække samt erfaringer for hvor hurtigt hærdningen af bindemidlet i bærelagene skrider frem under vore klimatiske betingelser, vil det derfor være rimeligt at regne med en ækvivalent temperatur på 30º C for de øverste 10 cm og på 25º C for resten af lagene. Der anføres endvidere følgende afrundede værdier af E-moduler for typiske asfaltmaterialer ved de ækvivalente temperaturer: Tabel 3 Afrundede dimensionerings E-moduler Stenindhold: VS = 82,5 VS = 77,5 Bitumentype T Al00 A60 A60 30º C MPa MPa - 25º C MPa MPa MPa Tøjning i asfaltlag Indledningsvis betragtede Kirk resultaterne fra AOV's udmattelsesforsøg med asfaltblandinger og forsøg på rene bitumenprøver, udført af Heukelom [2]. Kurverne på figur 4 er optegnet med E-modulerne af hhv. de rene bitumenprøvelegemer og E-modulerne af asfaltprøvelegemerne som værdier på X- aksen, med enheden kg/cm 2. I dimensioneringsmæssig sammenhæng vil man typisk interessere sig for E-moduler større end MPa 104 kg/cm 2. I dette interval ligger kurverne for asfaltprøvelegemerne over de tilsvarende kurver baseret på ren bitumen. På dette grundlag anfører Kirk: De fuldt optrukne kurver på Figur 4 er tegnet på grundlag af de i Intern rapport nr. 25 anførte resultater. Ved sammenligning af de to kurvesæt ses, at blandingen af bitumen og stenmateriale medfører to ting. For det første, at minimum af tøjning for en bituminøs blanding nås ved en lavere E-værdi end med den rene bitumen. Dette kan forklares ved, at bitumenen i en bituminøs blanding er fordelt i tynde hinder, som klæber fast til det meget stive stenmateriale og derved opnår en effektiv E-værdi, der er større end den rene bitumens. Denne virkning synes at vokse med aftagende E-værdi, og må i øvrigt afhænge af hindetykkelsen. For det andet, at for samme effektive E-værdi er tøjningen pr. volumenprocent bitumen

11 Side 10 større i en bituminøs blanding end i den rene bitumen. Denne virkning kan forklares ved, at stenmaterialet forøger brudfladens areal, idet brudfladen praktisk taget udelukkende forløber i bindemidlet, og herved forøges den energimængde, som er nødvendig for at fremkalde brud. De på Figur 4 fuldt optrukne kurver er tegnet på grundlag af forsøg med materialer indeholdende bindemiddel af typen A100, men de indtil nu foreliggende resultater viser, at kurverne også kan anvendes for hårdere bindemidler i overensstemmelse med Heukeloms resultater med ren bitumen. I de bituminøse materialer, der anvendes til bærelag, er hulrummene i stenmaterialet normalt kun delvis udfyldt med bitumen, og i Intern rapport nr. 15 er det vist, at udfyldningsgraden, VB/(VB + VL), har indflydelse på tøjningen pr. volumenprocent bindemiddel, der vokser med aftagende udfyldningsgrad. På Figur 5 er den fundne gennemsnitskurve, svarende til 106 påvirkninger til brud gengivet, idet dog ordinaten er angivet i %, således at tøjningen pr. volumenprocent er 100 % ved fuldstændig udfyldning. Ved hjælp af Figur 4 og Figur 5 findes den tilladelige tøjning pr. volumenprocent bindemiddel svarende til 106 påvirkninger og de indtil nu foreliggende forsøgsresultater viser, at man inden for det temperaturinterval, som har interesse, med god tilnærmelse kan regne med, at den tilladelige tøjning vokser med en faktor på 1, 5 hver gang antallet af påvirkninger aftager med en faktor på 10. Herved er den tilladelige tøjning svarende til et vilkårligt antal påvirkninger bestemt. Figur 4 Udmattelsesforsøg med asfaltblandinger og ren bitumen

12 Side 11 Figur 5 Tilladelig tøjning som funktion af bindemiddelindhold og fyldningsgrad For den samme befæstelse, der dannede grundlag for opstilling af Tabel 2 beregnes nu under en 6 ton tvillinghjulsbelastning kritisk asfalttøjning i hvert af årets 12 måneder, samt for referencetemperaturkombinationen 30 C/25 C. Ud fra den i afsnit 3.2 opstillede teori fastlægges så den tilladelige tøjning, svarende til 10 6 belastninger, i hvert af de 12+1 tilfælde, hvorefter det aktuelt tilladelige antal belastninger i de enkelte perioder kan fastlægges. Til slut fastlægges en omregningsfaktor som forholdet mellem det tilladelige antal akseltryk i hver af de 12 perioder divideret med det tilladelige antal passager ved referencetemperaturkombinationen - denne faktor angiver altså den relative skadevirkning af en akselpassage i hver af de 12 perioder, og svarer til værdierne i yderste højre kolonne i Tabel 2 (relativt levetidsforbrug). Værdien ses at være forskellig fra 12, så for den aktuelle konstruktion vil det være nødvendigt at anvende en anden (lavere) referencetemperatur kombination, hvis summen af omregningsfaktorerene skal blive 12. Den samme effekt kan imidlertid også opnås ved at øge den tilladelige tøjning - i dette tilfælde vil en faktor på 1,02 være tilstrækkelig.

13 Side 12 Tabel 4 Månedlig gennemsnit stemperatur, T Tøjning tilladelig T K&R -T E BIT Tøjning 6 t tvillinghjul Tilladeligt antal akseltryk Omregningsfaktor C C MPa µstr µstr ,6 5, , , , , , , , Si , , , , ,2 Sum Ved at gennemregne et antal eksempler med forskellige tykkelses- og bindemiddelkombinationer findes, at den tilladelige tøjning pr. volumenprocent bitumen ligger mellem og , hvorfor det konkluderes, at det er rimeligt at anvende middelværdien (hvor VB indsættes som sit procenttal): ε TILLADELIG /VB = (IX) Kirk udførte sine analyser ved at beregne for tvillinghjul, men ræsonnerer at med 1971-teknologi er denne beregningsgang temmelig tidskrævende. Da det med god tilnærmelse gælder, at den tøjning, der beregnes under tvillinghjulet er 65 % af den, der beregnes under et enkelthjul med samme dæktryk og belastning, justeres kriteriet derfor ved division med 0,65 til: ε TILLADELIG /VB = (X) Påvirkningerne skal for dette kriterium beregnes for den Ækvivalente Tvillinghjulsbelastning, som altså er et enkelthjul med 6 ton last, 0,7 MPa dæktryk. For typiske danske bærelagsmaterialer er VB 10 %, hvorfor ligning (X) omformes til: ε TILLADELIG = (N/10 6 ) -0,178 (XI) Ved samme lejlighed, hvor det tilladelige tryk på ubundne materialer opjusteredes med 20 % (se slutningen af afsnit 3.1) øgedes også den tilladelige tøjning med 50 %, hvorved kriterieligningen blev til: ε TILLADELIG = (N/10 6 ) -0,178 (XII) Når tvillinghjuls/enkelthjuls faktoren på 0,65 tages i betragtning, kan man anskue (XI) som det reelle tøjningskriterium svarende til Æ10-kriteriet (XII).

14 Side 13 4 SUPERSINGLE PROBLEMATIKKEN Introduktionen af supersingle dækkene på lastvogne førte til accelereret sporkøring på det danske vejnet, og der blev derfor i 1991 nedsat en arbejdsgruppe til at afdække problematikken og komme med forslag til revision af vejreglerne for dimensionering af nye belægninger ( ) og forstærkning af eksisterende belægninger ( ). Problemet med supersingle belastningen i forhold til tvillinghjulsbelastningen er, at den tværgående træktøjning, som naturligt associeredes med asfaltbelægningers langsgående revner er ca. 50 % højere end den tøjning, der beregnes under et tilsvarende belastet tvillinghjul (Kirk's faktor 0,65 inverteret). Arbejdsgruppen fremlagde i juni 1994 en teknisk rapport (ref. 3). De dimensionsgivende (tvær)tøjninger under supersingledækkene ville under anvendelse af et reelt tøjningskriterium (XII) føre til en dramatisk forøgelse af vejsliddet: Resultatet af de teoretiske analyser er en så dramatisk vurdering af forøgelsen af nedbrydningseffekt, at den, hvis den var realistisk, burde have medført sammenbrud for mange af landets veje for længe siden - størrelsesordener på en faktor 3 til en faktor 10 for den gennemsnitlige øgning af nedbrydningseffekten ved overgang fra tvillingmontering på en 10 tons aksel til enkeltmontering på en 8 tons aksel var typiske resultater. Der er en række mulige forklaringer på at disse teoretiske betragtninger ikke stemmer overens med virkelighedens observerede effekter. En af mulighederne kan søges i forholdet mellem kontaktflade og kantzonen, hvor dæksiden må formodes at have indflydelse på kraftoverføringen. Dette forhold er lavere for normaldæk end for de brede supersingle dæk, muligvis med det resultat at sidstnævnte har et totalt set mere ensartet trykniveau over kontaktfladen, med deraf følgende mindre kritiske påvirkninger. En anden er, at supersingle dækkene i hovedsagen findes på nyere køretøjer, hvor den teknologiske udvikling har ført til bedre affjedringssystemer, hvilket også vil nedsætte stødpåvirkningerne i belægningerne. Ud fra de teoretiske vurderinger for fleksible belægninger konkluderedes det, at disse ikke umiddelbart kunne anvendes til bedømmelse af nedbrydningseffekten for supersingledæk, bl.a. på grund af det begrænsede kendskab til de reelle kraftoverføringsmekanismer mellem dæk og vejbane. I stedet anbefalede gruppen at man adopterede omregningsfaktorer mellem 8-ton singlemonterede aksler og 10-tons tvillingmonterede aksler, baseret på: EF-anbefalinger vedrørende vurdering af vejsliddet, baseret på målinger, udført ved det britiske TRRL, hvor det fastslås at en 8 tons enkeltmonteret aksel har samme effekt som 1,25 tvillingmonteret 10-tons aksel, som pr. definition er den danske standardaksel belastning. Inden for de enkelte akseltyper kan den normale 4. potensregel så anvendes. Disse medfører at ækvivalensfaktoren mellem en tvillingmonteret og en supersinglemonteret aksel med samme last fastlægges til 1,25 (10/8) 4 = 3,1 (XIII)

15 Side 14 Selv om der ikke blev fundet nogen matematisk-teoretisk forklaring på nedbrydningseffekten af supersingle dæk, resulterede gruppens arbejde i en metodik til generel fastlæggelse af belastningsfrekvenser i asfaltlag som funktion af dækkets kontaktflade og dybden i belægningen, og som er i overensstemmelse med de oprindelige antagelser og målinger (se afsnit 3.3). Kontaktarealet for et lastvognsdæk kan som regel betragtes som rektangulært. Regnes kontakttrykket konstant over hele længden, l, kan denne belastning omregnes til en ækvivalent halvsinusformet belastning med samme amplitude, som vist i Figur 6. Længden af halvsinus belastningen bliver da l π/2. Figur 6 Beregning af passagetid ned gennem en belægning ved fordeling ud fra ækvivalent halvsinusbølge på belægningsoverfladen Ned gennem asfaltlaget beregnes længden af halvsinusbølgen ud fra en 1:2 fordeling. For en kørehastighed, V, og en dybde i belægningen, z, kan belastningstiden, T, matematisk beregnes som: T(l,z,V) = (1,57 l + z)/v I denne formel indsættes input dimensionsrigtigt, f. eks. mm og mm/sek: l = Fysisk kontaktlængde (firkantbelastningen) z = Fysisk dybde under overfladen V = Hastighed For eksempel findes for det betragtede hjul med kontaktlængden 170 mm i en dybde af 150 mm og en hastighed på 60 km/h=16.7 m/sek en belastningstid på 0,025 sek, svarende godt til f.eks. den typiske belastningstid på 25 msek for faldlodsmålinger. Den i ref.3 angivne formel, svarende til (XIV) er ikke korrekt. (XIV)

16 Side 15 5 MMOPP ANALYTISK DIMENSIONERING Med initieringen af den mere ambitiøse revision af vejreglerne for dimensionering af belægninger, der har resulteret i MMOPP dimensioneringsprogrammet, kom der på ny fokus på de analytiske dimensioneringskriterier. MMOPP programmet fik indbygget et lineær-elastisk beregningsprogram, der eliminerede tidligere tiders begrænsninger på analysemetoderne - belastninger fra tvillinghjul og supersinglehjul kunne nu behandles realistisk i det omfang lineær elasticitetsteori er udtryk for virkeligheden. Den forbedrede analysekapacitet resulterede i en beslutning om at dimensionering for den danske 10-ton standard aksel fremover skulle ske ved beregninger foretaget for en belastning på 6 ton (5 ton + 20 % stødtillæg), fordelt på 2 ensformigt fordelte, cirkulære belastninger med et kontakttryk på 0,7 MPa og en afstand mellem belastningernes centrum på 350 mm. Disse specifikationer svarer i vid udstrækning til de faktiske forhold for den aktuelle akseltype. Ved endelig fastlæggelse af dimensioneringskriterier gik man ud fra, at den nye analytiske dimensionering i videst muligt omfang skulle resultere i befæstelser, der svarede til hvad man havde fået ved anvendelse af de gamle vejregler. 5.1 Asfaltbundne materialer For asfalt- og supersingle problematikken anskuedes nedbrydningseffekten nu som et udtryk for den ved hjulpassagen afsatte energi, som repræsenteres mest karakteristisk ved den største træktøjning i undersiden af asfaltlaget. Det er for et tvillinghjul ikke den tværgående, men den langsgående tøjning, mens der for supersingle dækket ikke er nogen forskel. Denne anskuelsesmåde eliminerede de dramatiske konsekvenser ved matematisk beregning af supersingle dækkenes nedbrydningseffekt, men indtil videre fastlægges dimensioneringstrafik med blandet forekomst af tvilling- og enkeltmonterede aksler på grundlag af ligning (XIII). Det kalibrerede asfaltkriterie, baseret på den største vandrette tøjning i undersiden af asfaltlaget, ε h, er fastlagt til: ε h = -0, (N Æ10 /10 6 ) -0,191 (XV) 5.2 Ubundne materialer Ved kalibreringsanalyserne fandtes det, at der ikke var behov for en differentiering mellem materialer over hhv. under 160 MPa, og den resulterende ligning blev: σ z = 0,086 MPa (E/160 MPa) 1,06 (N Æ10 /10 6 ) -0,25 (XVI) Det er værd at notere sig, at eksponenten for N nu er -0,25 - dette svarer til et af de mest brugte ubundne kriterier, udviklet af Shell.

17 Side Beton Man bemærker yderligere at konstanten 0,086 MPa er lavere end konstanterne 0,12 MPa i ligning (Vb) og (VIb). Dette skyldes, at den oprindeligt anvendte repræsentation af belastningen fra den 10 tons dimensioneringsaksel skete som en ækvivalent enkelthjulsbelastning, ikke som den reelle tvillinghjulsbelastning. Den beregnede største spænding i et givet niveau af en belægning bliver størst under den mere koncentrerede enkelthjulslast, hvorfor der for samme antal belastninger må tillades en større påvirkning under denne end under tvillinghjulsbelastningen. Lineær elastisk teori er ikke umiddelbart velegnet til beregning af påvirkninger i betonplader, men for at MMOPP programmet skal kunne erstatte vejregel blev der foretaget en analyse af beregnede træktøjninger i undersiden af betonplader, dimensioneret i henhold til vejregel Som resultat fastlagdes kriterieligningen: ε h = -0, (N Æ10 /10 6 ) -0,13 (XVII) Dette kriterium er, som sagt, et kalibreret kriterium, der ikke skal må betragtes som havende nogen reel forbindelse til "rigtige" betondimensioneringsmetoder, der baserer sig på trækspændinger og trækstyrker. 5.4 Cementstabiliserede bærelag Nedbrydningsforløbet for cementstabiliserede bærelag blev undersøgt eksperimentelt i det instrumenterede fuldskalaforsøg ved Fagerhult i 2003 (ref.[4]). Forsøget resulterede i opstilling af et modelkompleks, der for forskellige materialetyper og styrkeegenskaber fastlagde kriterier, der muliggør dimensionering af det cementstabiliserede lag med 75 % pålidelighed. Til praktisk brug indlagdes i MMOPP programmet kriterier for 3 materialer med egenskaber, der er vurderet som relevante i normal vejbygningssammenhæng. Tabel 5 Der opereres med en tilladelig største vandrette træktøjning i undersiden af laget. Denne værdi afhænger af materialets start E-modul, E INIT, samt hvilken grad af nedbrydning, der accepteres ved dimensioneringsperiodens udløb. Nedbrydningsgraden karakteriseres ved materialets slut E-modul, E TERM. De anvendte værdier og tilhørende kriterieligninger fremgår af nedenstående tabel. Materiale Kriterier for cementstabiliserede materialer Trykstyrke (MPa) E INIT (MPa) E TERM (MPa) Kriterieligning CG ε h = -0, (N Æ10 /10 6 ) -0,125 CG ε h = -0, (N Æ10 /10 6 ) -0,139 CS ε h = -0, (N Æ10 /10 6 ) -0,213 De valgte slutværdier sikrer at CG-materialet efter dimensioneringsperiodens udløb vil bevare en stivhed på mindst MPa, mens CS-materialets stivhed vil ligge mellem et skærvemacadamlag og et lag singelsmacadam.

18 Side 17 6 TEMPERATURKORREKTIONER AF FALDLODSMÅLINGER Kontrol af nye belægningers bæreevne og dimensionering af forstærkningsbelægninger udføres typisk på grundlag af faldlodsmålinger. Disse udføres kun sjældent ved en temperatur, svarende til dimensioneringstemperaturen på 30º C eller 25º C, hvorfor det er nødvendigt at korrigere asfaltens aktuelt beregnede stivhed. I de fleste tilfælde vil der for gamle belægninger være tale om, at den eksisterende asfalt bliver overlagt af både et forstærkningslag og et slidlag, hvorved det hovedsageligt kommer til at ligge i en dybde større end 10 cm. Den relevante korrektionstemperatur bliver følgelig 25º C. Nedenstående figur viser temperaturkorrektioner, anvendt i de gængse faldlodsanalyseprogrammer ELMOD og RoSy sammen med Vejdirektoratets korrektionsformel (VD model), årstemperaturkorrektionen i MMOPP og 3 sæt korrektioner, beregnet ud fra SHELL-Van der Poel metoden. MMOPP korrektionen har p.t. fikspunkt 1 ved 20º C (lufttemperatur), men en justeret kurve med fikspunkt 1 ved 25º C (asfalttemperatur) er fastlagt ved multiplikation af 20º C værdierne med 1,3. ELMOD, RoSy og VD korrektionerne ligger meget tæt på hinanden, og kan antages at svare til "gammel" asfalt. For disse er så beregnet en gennemsnitskorrektion, "Gnsn.gammel". Det samme er gjort på grundlag af de 4 øvrige kurver, og betegnet som "Gnsn.ny". Figur 7 Aktuelt anvendte og beregnede temperaturkorrektioner, lineært plot

19 Side 18 Figur 8 Aktuelt anvendte og beregnede temperaturkorrektioner, semilogaritmisk plot På grundlag af gennemsnitskurverne er endelig fastlagt nye temperaturkorrektioner for gammel hhv. ny asfalt under anvendelse af Excel funktionen "Solver" (dansk: "Problemløser"), som nedenfor angivet: Gammel asfalt (ældre end 1 år): 0,03 (T/1º C-25) k = 0,05 + 0,95 e (XVII) Ny asfalt (indtil 1 år): 0,13 (T/1º C-25) k = 0,25 + 0,75 e (XVIII) Disse faktorer er altså multiplikatorer, f.eks. skal en E-modul målt på gammel asfalt ved 30 C multipliceres med en faktor på ca. 1,7 for at kunne anvendes i dimensioneringsberegninger. Fittet af de fastlagte korrektionsformler til de målte data er illustreret i nedenstående figurer.

20 Side 19 Figur 9 Anbefalede korrektionskurver, lineært plot Figur 10 Anbefalede korrektionskurver, semilogaritmisk plot

HøjModul asfalt og dens anvendelsesmuligheder i Danmark.

HøjModul asfalt og dens anvendelsesmuligheder i Danmark. HøjModul asfalt og dens anvendelsesmuligheder i Danmark. Af Diplomingeniør Claus Thorup, Colas Danmark A/S, ct@colas.dk Egenskaberne for HøjModul asfalt er så forskellige fra traditionel asfalt at der

Læs mere

MMOPP Dimensioneringsprogram for vejbefæstelser

MMOPP Dimensioneringsprogram for vejbefæstelser Vejregel Arbejdsgruppe P.21 MMOPP Dimensioneringsprogram for vejbefæstelser Brugervejledning Marts 2007 MMOPP Brugervejledning 2007 MMOPP Brugervejledning 2007 Indholdsfortegnelse 1 Indledning 3 2 Programmets

Læs mere

MMOPP DIMENSIONERINGSPROGRAM FOR VEJBEFÆSTELSER BRUGERVEJLEDNING

MMOPP DIMENSIONERINGSPROGRAM FOR VEJBEFÆSTELSER BRUGERVEJLEDNING HÅNDBOG MMOPP DIMENSIONERINGSPROGRAM FOR VEJBEFÆSTELSER BRUGERVEJLEDNING ANLÆG OG PLANLÆGNING NOVEMBER 2013 Indholdsfortegnelse 1 Indledning 1 2 Programmets principper 3 2.1 Programmets formål 3 2.2 Analytisk

Læs mere

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER pdc/sol TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER Indledning Teknologisk Institut, byggeri har for EPS sektionen under Plastindustrien udført dette projekt vedrørende anvendelse af trykfast

Læs mere

Dilatationsfuger En nødvendighed

Dilatationsfuger En nødvendighed Dilatationsfuger En nødvendighed En bekymrende stor del af Teknologisk instituts besigtigelser handler om revner i formuren, der opstår, fordi muren ikke har tilstrækkelig mulighed for at arbejde (dilatationsrevner).

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Bilag 4.A s MASH. Indhold

Bilag 4.A s MASH. Indhold Bilag 4.A s MASH Indhold 1.1 Indledning 1 1.1.1 Formål med undersøgelsen 1 1.1.2 Beskrivelse af smash metoden 1 1.2 s MASH målinger (omfang, placering og resultater) 1.2.1 Undersøgelsens forløb 5 5 1.2.2

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

UDVIKLING AF VEJBELÆGNINGER MED MEGET STOR STØJDÆMPNING

UDVIKLING AF VEJBELÆGNINGER MED MEGET STOR STØJDÆMPNING UDVIKLING AF VEJBELÆGNINGER MED MEGET STOR STØJDÆMPNING HANS BENDTSEN, SENIORFORSKER, KOORDINATOR STØJ, VEJDIREKTORATET ERIK OLESEN, VEJDIREKTORATET HENRIK FRED LARSEN, VEJDIREKTORATET GILLES PIGASSE,

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Murprojekteringsrapport

Murprojekteringsrapport Side 1 af 6 Dato: Specifikke forudsætninger Væggen er udført af: Murværk Væggens (regningsmæssige) dimensioner: Længde = 6,000 m Højde = 2,800 m Tykkelse = 108 mm Understøtningsforhold og evt. randmomenter

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

Brug af høj tavlevogn

Brug af høj tavlevogn Brug af høj tavlevogn Evaluering af hastighed og synlighed Foreløbig udgave Poul Greibe 2. juli 2012 Scion-DTU Diplomvej 376 2800 Lyngby www.trafitec.dk Indhold 1 Sammenfatning og konklusion... 3 2 Introduktion...

Læs mere

Ubundne vejmaterialer nye regler og standarder Af afdelingschef, civilingeniør Flemming Berg Vejdirektoratet, Vejteknisk Institut, fb@vd.

Ubundne vejmaterialer nye regler og standarder Af afdelingschef, civilingeniør Flemming Berg Vejdirektoratet, Vejteknisk Institut, fb@vd. Ubundne vejmaterialer nye regler og standarder Af afdelingschef, civilingeniør Flemming Berg Vejdirektoratet, Vejteknisk Institut, fb@vd.dk Som EU-medlem er Danmark forpligtet til at følge europæiske spilleregler

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

Tilstandskontrol. ved hjælp af vibrationsanalyse

Tilstandskontrol. ved hjælp af vibrationsanalyse VIBRO CONSULT Palle Aggerholm Tilstandskontrol ved hjælp af vibrationsanalyse Et minikursus med særlig henvendelse til vindmølleejere Adresse: Balagervej 69 Telefon: 86 14 95 84 Mobil: 40 14 95 84 E-mail:

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Vores logaritmiske sanser

Vores logaritmiske sanser 1 Biomat I: Biologiske eksempler Vores logaritmiske sanser Magnus Wahlberg og Meike Linnenschmidt, Fjord&Bælt og SDU Mandag 6 december kl 14-16, U26 Hvad er logaritmer? Hvis y = a x så er x = log a y Nogle

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Måling af ledningsevne. I rent og ultrarent vand

Måling af ledningsevne. I rent og ultrarent vand Måling af ledningsevne I rent og ultrarent vand Anvendelse af ledningsevne Mest anvendt til kvalitets kontrol Overvågning af renhed på vand til processen Kontrol af vand i processen Kontrol af drikkevand

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Miljørigtige køretøjer i Aarhus. Effekter af en mere miljørigtig vognpark i Aarhus Kommune. Aarhus Kommune. Notat - kort version

Indholdsfortegnelse. Miljørigtige køretøjer i Aarhus. Effekter af en mere miljørigtig vognpark i Aarhus Kommune. Aarhus Kommune. Notat - kort version Aarhus Kommune Miljørigtige køretøjer i Aarhus Effekter af en mere miljørigtig vognpark i Aarhus Kommune COWI A/S Jens Chr Skous Vej 9 8000 Aarhus C Telefon 56 40 00 00 wwwcowidk Notat - kort version Indholdsfortegnelse

Læs mere

Beregning af SCOP for varmepumper efter En14825

Beregning af SCOP for varmepumper efter En14825 Antal timer Varmebehov [kw] Udført for Energistyrelsen af Pia Rasmussen, Teknologisk Institut 31.december 2011 Beregning af SCOP for varmepumper efter En14825 Følgende dokument giver en generel introduktion

Læs mere

Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics

Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics 1.1 Gennemsnitsfarten findes ved at dividere den kørte strækning med den forbrugte tid i decimaltal. I regnearket bliver formlen =A24/D24. Resultatet

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Taksterne i den kollektive trafik i København sammenlignes med følgende fem europæiske storbyer:

Taksterne i den kollektive trafik i København sammenlignes med følgende fem europæiske storbyer: Trafikudvalget 2008-09 B 165 Svar på Spørgsmål 1 Offentligt NOTAT DEPARTEMENTET Dato 25. juni 2009 Dok.id 837046 J. nr. 559-37 Center for Kollektiv Trafik Sammenligning af takster i den kollektive trafik

Læs mere

Der er afsat ca. 30 minutter til leverandørs disposition.

Der er afsat ca. 30 minutter til leverandørs disposition. Dagsorden - Parykker 1. Velkommen og præsentation Præsentation af KomUdbud Udbudsplan 2. Teknisk Dialog formål og afgrænsning 3. Præsentation af området - ved leverandør Der ønskes en præsentation af produktområdet

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Guldborgbroen. Guldborgsund Kommune. aafhjælpning af træk i kabler i klappille. 1 Introduktion

Indholdsfortegnelse. Guldborgbroen. Guldborgsund Kommune. aafhjælpning af træk i kabler i klappille. 1 Introduktion Guldborgsund Kommune Guldborgbroen aafhjælpning af træk i kabler i klappille COWI A/S Parallelvej 2 2800 Kongens Lyngby Telefon 45 97 22 11 Telefax 45 97 22 12 wwwcowidk Indholdsfortegnelse 1 Introduktion

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

Støjdæmpende vejbelægning på Motorring 3, samfundsøkonomisk analyse

Støjdæmpende vejbelægning på Motorring 3, samfundsøkonomisk analyse Støjdæmpende vejbelægning på Motorring 3, samfundsøkonomisk analyse Civilingeniør Henrik Nejst Jensen, Vejdirektoratet, Vej- og trafikområdet, hne@vd.dk Civilingeniør Carsten Bredahl Nielsen, Vejdirektoratet,

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

BEF Bulletin No 2 August 2013

BEF Bulletin No 2 August 2013 Betonelement- Foreningen BEF Bulletin No 2 August 2013 Wirebokse i elementsamlinger Rev. B, 2013-08-22 Udarbejdet af Civilingeniør Ph.D. Lars Z. Hansen ALECTIA A/S i samarbejde med Betonelement- Foreningen

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Dansk Sportsdykker Forbund

Dansk Sportsdykker Forbund Dansk Sportsdykker Forbund Teknisk Udvalg Sid Dykketabellen Copyright Dansk Sportsdykker Forbund Indholdsfortegnelse: 1 FORORD... 2 2 INDLEDNING... 3 3 DEFINITION AF GRUNDBEGREBER... 4 4 FORUDSÆTNINGER...

Læs mere

Strålingsbalance og drivhuseffekt - en afleveringsopgave

Strålingsbalance og drivhuseffekt - en afleveringsopgave LW 014 Strålingsbalance og drivhuseffekt - en afleveringsopgave FORMÅL: At undersøge den aktuelle strålingsbalance for jordoverfladen og relatere den til drivhuseffekten. MÅLING AF KORTBØLGET STRÅLING

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Naturlig ventilation med varmegenvinding

Naturlig ventilation med varmegenvinding Naturlig ventilation med varmegenvinding af Line Louise Overgaard og Ebbe Nørgaard, Teknologisk Institut, Energi Teknologisk Institut har udviklet en varmeveksler med lavt tryktab på luftsiden til naturlig

Læs mere

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode 1 Måleteknisk er vi på flere måder i en ny og ændret situation. Det er forhold, som påvirker betydningen af valget af målemetoder. - Der er en stadig

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

NCC Roads overfladebehandling. En hurtig, holdbar og økonomisk løsning med garanti. ob-løsninger er: Hurtige Konkurrencedygtige Fleksible

NCC Roads overfladebehandling. En hurtig, holdbar og økonomisk løsning med garanti. ob-løsninger er: Hurtige Konkurrencedygtige Fleksible NCC Roads overfladebehandling En hurtig, holdbar og økonomisk løsning med garanti ob-løsninger er: Hurtige Konkurrencedygtige Fleksible Holdbare Alternative Flotte Velegnede til både små og store opgaver

Læs mere

HUESKERr. Videnskab med geosyntetiske produkter HUESKER HUESKER HUESKER HUESKER HUESKERHUES

HUESKERr. Videnskab med geosyntetiske produkter HUESKER HUESKER HUESKER HUESKER HUESKERHUES HUESKER Videnskab med geosyntetiske produkter rhuesker HUESKER HUESKER HUESKER HUESKER HUESKERr HUESKERr SKER HUESKERHUES rhueskerasfaltarmering HUESKERr HUESKER HUESKER HUESKER HUESKER HUESKERHUES - Løsningen

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Måling af støjemission fra BONUS 2,3 MW vindmølle nr. 2300101 ved Rødby

Måling af støjemission fra BONUS 2,3 MW vindmølle nr. 2300101 ved Rødby Testrapport DANAK Reg. nr. 100 Måling af støjemission fra BONUS 2,3 MW vindmølle nr. 2300101 ved Rødby Udført for BONUS Energy A/S Sagsnr.: A 100629 Side 1 af 18 inkl. 6 måleblade og 5 bilag 2003-05-12

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Potentialeafklaring for anvendelse af de nye fritvalgsregler i Frederikssund

Potentialeafklaring for anvendelse af de nye fritvalgsregler i Frederikssund Potentialeafklaring for anvendelse af de nye fritvalgsregler i Frederikssund Kommune NOTAT 7. april 2014 Til drøftelse af de nye regler på fritvalgsområdet, har Ældre og Sundhed udarbejdet følgende analyse

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Integrationskontrakt

Integrationskontrakt Integrationskontrakt Vedrørende Cpr.nr. Grundoplysninger ved modtagelsen Dato for kommunalbestyrelsens overtagelse af integrationsansvaret: Tidspunkt for påbegyndelse af introduktionsforløb: I. Opholdsoplysninger

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Om sikkerheden af højhuse i Rødovre Jørgen Munch-Andersen, Jørgen Nielsen & Niels-Jørgen Aagaard, SBi, 21. jan. 2007

Om sikkerheden af højhuse i Rødovre Jørgen Munch-Andersen, Jørgen Nielsen & Niels-Jørgen Aagaard, SBi, 21. jan. 2007 Notat Om sikkerheden af højhuse i Rødovre Jørgen Munch-Andersen, Jørgen Nielsen & Niels-Jørgen Aagaard, SBi, 21. jan. 2007 Indledning Dette notat omhandler sikkerheden under vindpåvirkning af 2 højhuse

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler

Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler Middelværdi for grupperede observationer... Summeret frekvens og sumkurver... Indekstal... Lektion 9s Side 1 Grupperede observationer Hvis man stiller et spørgsmål,

Læs mere

Matematik C. Højere forberedelseseksamen. Skriftlig prøve (3 timer) Fredag den 11. december 2009 kl. 9.00-12.00 2HF093-MAC

Matematik C. Højere forberedelseseksamen. Skriftlig prøve (3 timer) Fredag den 11. december 2009 kl. 9.00-12.00 2HF093-MAC Matematik C Højere forberedelseseksamen Skriftlig prøve (3 timer) 2HF093-MAC Fredag den 11. december 2009 kl. 9.00-12.00 Opgavesættet består af 8 opgaver med i alt 14 spørgsmål. De 14 spørgsmål indgår

Læs mere

Fodgængeres og cyklisters serviceniveau i kryds

Fodgængeres og cyklisters serviceniveau i kryds Fodgængeres og cyklisters serviceniveau i kryds Af civilingeniør Søren Underlien Jensen Trafitec, suj@trafitec.dk Trafikanters oplevelser i trafikken er en vigtig parameter. I faglige kredse benævnes denne

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

FOTOMANUALEN BEREGNING AF FYSISK INDEKS VED TV-INSPEKTION VEJLEDNING NR. 66 juni 2005. DANVA Dansk Vand- og Spildevandsforening

FOTOMANUALEN BEREGNING AF FYSISK INDEKS VED TV-INSPEKTION VEJLEDNING NR. 66 juni 2005. DANVA Dansk Vand- og Spildevandsforening FOTOMANUALEN BEREGNING AF FYSISK INDEKS VED TV-INSPEKTION VEJLEDNING NR. 66 juni 2005 DANVA Dansk Vand- og Spildevandsforening Fotomanualen Beregning af Fysisk Indeks ved TV-inspektion 1. udgave, 1. oplag

Læs mere

Hvorfor teste saltspredere?

Hvorfor teste saltspredere? Vejdirektoratet, kommuner og Sund&Bælt har i samarbejde med Aarhus Universitet arbejdet med udvikling af en metode, til test af saltspredere. Hvorfor teste saltspredere? For at sikre fremkommelighed og

Læs mere

Bæredygtig. asfalt. Genbrug. Genbrug. Genbrug

Bæredygtig. asfalt. Genbrug. Genbrug. Genbrug Bæredygtig asfalt Genbrug Genbrug Genbrug Tendenser i samfundet I det moderne samfund tilstræber man i høj grad at spare på naturressourcerne. Genbrug af materialer og produkter er noget, der prioriteres

Læs mere

BOLIGØKONOMISK VIDENCENTER

BOLIGØKONOMISK VIDENCENTER BOLIGØKONOMISK VIDENCENTER Boligmarkedet DANSKERNES FORVENTNINGER MAJ 2014 1 Indholdsfortegnelse 1 Indholdsfortegnelse... 1 2 Tabeloversigt... 1 3 Figuroversigt... 2 4 Sammenfatning... 3 5 Undersøgelsen

Læs mere

DE BEAR TECHNOLOGY. o Processer, metoder & værktøjer. e-mail: info@dbtechnology.dk WWW.DBTECHNOLOGY.DK

DE BEAR TECHNOLOGY. o Processer, metoder & værktøjer. e-mail: info@dbtechnology.dk WWW.DBTECHNOLOGY.DK Mission Critical o Projekt Information management o Processer, metoder & værktøjer. Side 1 of 11 Projekt information Projekt information management inkluderer alle de processer, som er nødvendige for at

Læs mere

Microsoft Excel - en kort introduktion. Grundlag

Microsoft Excel - en kort introduktion. Grundlag Microsoft Excel - en kort introduktion Grundlag Udover menuer og knapper - i princippet som du kender det fra Words eller andre tekstbehandlingsprogrammer - er der to grundlæggende vigtige størrelser i

Læs mere

BRUGSANVISNING BY0011 H610 CAL

BRUGSANVISNING BY0011 H610 CAL BRUGSANVISNING BY0011 CAL H610 FUNKTIONSOVERSIGT Gang reserve indikation Overopladning sikkerheds funktion Utilstrækkelig opladnings advarsels funktion (to-sekunders interval bevægelse) Energibesparende

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh101-mat/a-27052010 Torsdag den 27. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

Beregningsopgave om bærende konstruktioner

Beregningsopgave om bærende konstruktioner OPGAVEEKSEMPEL Indledning: Beregningsopgave om bærende konstruktioner Et mindre advokatfirma, Juhl & Partner, ønsker at gennemføre ændringer i de bærende konstruktioner i forbindelse med indretningen af

Læs mere

Matematik D. Almen forberedelseseksamen. Skriftlig prøve. (4 timer)

Matematik D. Almen forberedelseseksamen. Skriftlig prøve. (4 timer) Matematik D Almen forberedelseseksamen Skriftlig prøve (4 timer) AVU111-MAT/D Mandag den 12. december 2011 kl. 9.00-13.00 Sne og is Matematik niveau D Skriftlig matematik Opgavesættet består af: Opgavehæfte

Læs mere

2/3 Akset digital tæller

2/3 Akset digital tæller SERIE Z59E 2/3 Akset digital tæller for Elgo Magnetisk målebånd og / eller Encoder ELGO - ELECTRIC Gerätebau und Steuerungstechnik GMBH D - 78239 Rielasingen, Postfach 11 30, Carl - Benz - Strafle 1 Telefon

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

Hvornår slår effekten af forskellige foranstaltninger igennem i vandmiljøet

Hvornår slår effekten af forskellige foranstaltninger igennem i vandmiljøet Side 1/7 Til: Torben Moth Iversen Fra: Hans Jørgen Henriksen Kopi til: JFR, ALS Fortroligt: Nej Dato: 17. november 2003 GEUS-NOTAT nr.: 06-VA-03-08 J.nr. GEUS: 0130-019 Emne: Hvornår slår effekten af forskellige

Læs mere

Filtyper, filformat og skabelon. Tabel. Tekstombrydning. Demo Fremstil, gem og brug en skabelon. Øvelser Fremstil, gem og brug en skabelon

Filtyper, filformat og skabelon. Tabel. Tekstombrydning. Demo Fremstil, gem og brug en skabelon. Øvelser Fremstil, gem og brug en skabelon Disposition for kursus i Word 2007 Filtyper, filformat og skabelon Demo Fremstil, gem og brug en skabelon Øvelser Fremstil, gem og brug en skabelon Tabel Demo Opret en tabel ud fra en tekst Øvelser Opret

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Kikkertoptik. Kikkertoptik. Kikkertteknologi. Optiske specifikationer. Kikkertegenskaber. At købe en kikkert. Rengøring af kikkerten

Kikkertoptik. Kikkertoptik. Kikkertteknologi. Optiske specifikationer. Kikkertegenskaber. At købe en kikkert. Rengøring af kikkerten Kikkertoptik Kikkertoptik Kikkertteknologi Optiske specifikationer Kikkertegenskaber At købe en kikkert Rengøring af kikkerten Kikkertoptik Generel beskrivelse: En kikkert er et optisk præcisionsinstrument,

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge

A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge Anvendelsesområde Denne håndbog gælder både for A2.05win og A2.06win. Med A2.05win beregner man kun system af enkelte separate vægge. Man får som resultat horisontalkraftsfordelingen

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

LÆGGEVEJLEDNINGER - CHAUSSÉSTEN.

LÆGGEVEJLEDNINGER - CHAUSSÉSTEN. LÆGGEVEJLEDNINGER - CHAUSSÉSTEN. Belægningen anvendes i dag mest til parkeringspladser, torve, overkørsler, korte vejstrækninger i bykerner og private anlæg m.v. Brolægning af chaussésten laves med retvinklede,

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE

Læs mere

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet D.29/2 2012 Udarbejdet af: Katrine Ahle Warming Nielsen Jannie Jeppesen Schmøde Sara Lorenzen A) Kritik af spørgeskema Set ud fra en kritisk vinkel af spørgeskemaet

Læs mere

Enkelt og dobbeltspalte

Enkelt og dobbeltspalte Enkelt og dobbeltsalte Jan Scholtyßek 4.09.008 Indhold 1 Indledning 1 Formål 3 Teori 3.1 Enkeltsalte.................................. 3. Dobbeltsalte................................. 3 4 Fremgangsmåde

Læs mere

MANUAL TIL BEREGNINGSPROGRAM

MANUAL TIL BEREGNINGSPROGRAM MANUAL TIL BEREGNINGSPROGRAM ALTECH GULVVARME BEREGNINGSPROGRAM Velkommen til Altechs beregningssoftware til dimensionering af gulvvarmesystemer. Opstart af softwaren Programmet er skrevet i Microsoft

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

DANISH METEOROLOGICAL INSTITUTE MINISTRY OF TRANSPORT TECHNICAL REPORT 01-19 KLIMAGRID - DANMARK

DANISH METEOROLOGICAL INSTITUTE MINISTRY OF TRANSPORT TECHNICAL REPORT 01-19 KLIMAGRID - DANMARK DANISH METEOROLOGICAL INSTITUTE MINISTRY OF TRANSPORT TECHNICAL REPORT 01-19 KLIMAGRID - DANMARK Sammenligning af potentiel fordampning beregnet ud fra Makkinks formel og den modificerede Penman formel

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Beregningsopgave 2 om bærende konstruktioner

Beregningsopgave 2 om bærende konstruktioner OPGAVEEKSEMPEL Beregningsopgave 2 om bærende konstruktioner Indledning: Familien Jensen har netop købt nyt hus. Huset skal moderniseres, og familien ønsker i den forbindelse at ændre på nogle af de bærende

Læs mere

TÆT TAG DERBIGUM. Membraner til anlægsarbejder

TÆT TAG DERBIGUM. Membraner til anlægsarbejder TÆT TAG DERBIGUM Membraner til anlægsarbejder Derbigum membraner slutter tæt og er lette at arbejde med Der skal stilles store krav til en god vandisolering. Den skal kunne tåle bevægelser i konstruktionen.

Læs mere

REDIGERING AF REGNEARK

REDIGERING AF REGNEARK REDIGERING AF REGNEARK De to første artikler af dette lille "grundkursus" i Excel, nemlig "How to do it" 8 og 9 har været forholdsvis versionsuafhængige, idet de har handlet om ting, som er helt ens i

Læs mere

Schöck Isokorb type KS

Schöck Isokorb type KS Schöck Isokorb type 20 1VV 1 Schöck Isokorb type Indhold Side Tilslutningsskitser 13-135 Dimensioner 136-137 Bæreevnetabel 138 Bemærkninger 139 Beregningseksempel/bemærkninger 10 Konstruktionsovervejelser:

Læs mere

Hyldespjældet anno 2035 BILAG. En overordnet analyse af renoveringsbehovet i Hyldespjældet i relation til den energipolitiske milepæl for 2035.

Hyldespjældet anno 2035 BILAG. En overordnet analyse af renoveringsbehovet i Hyldespjældet i relation til den energipolitiske milepæl for 2035. Hyldespjældet anno 2035 BILAG En overordnet analyse af renoveringsbehovet i Hyldespjældet i relation til den energipolitiske milepæl for 2035. Udarbejdet af DTU BYG ved Diana Lauritsen Jun nov 2012 Bilag

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Klæber til forstærkning

Klæber til forstærkning Produkt datablad Udgave 01.04.2015 Identifikation nr: 020206040010000001 Sikadur -30 Klæber til forstærkning Produkt beskrivelse Anvendelse Karakteristika / fordele Sikadur -30 er en thixotropisk, strukturel

Læs mere

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN KemiF1 laboratorieøvelser 2008 ØvelseF1-2 PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN Indledning I en binær blanding vil blandingens masse være summen af komponenternes masse; men blandingens volumen vil ikke være summen

Læs mere

Naturvidenskabeligt grundforløb 2014-15

Naturvidenskabeligt grundforløb 2014-15 Naturvidenskabeligt grundforløb 2014-15 Naturvidenskabeligt grundforløb strækker sig over hele grundforløbet for alle 1.g-klasser. NV-forløbet er et samarbejde mellem de naturvidenskabelige fag sat sammen

Læs mere

EVOFLOOR GVP GULVVARMESYSTEM

EVOFLOOR GVP GULVVARMESYSTEM EVOFLOOR GVP GULVVARMESYSTEM Manual til beregningsprogram EVOFLOOR PETTINAROLI A/S Mandal Allé 21 DK-5500 Middelfart DENMARK EVOFLOOR GULVVARME BEREGNINGSPROGRAM Velkommen til Pettinarolis beregningssoftware

Læs mere

Sparede eksterne omkostninger for luftforurening ved en geografisk udvidelse af ren-luftzone i København

Sparede eksterne omkostninger for luftforurening ved en geografisk udvidelse af ren-luftzone i København Sparede eksterne omkostninger for luftforurening ved en geografisk udvidelse af ren-luftzone i København Notat fra DCE - Nationalt Center for Miljø og Energi Dato: 11-06-2014 Forfatter: Steen Solvang Jensen

Læs mere

4.3.4. Grænsefrekvenskonstanter og materialeegenskaber. 444 Gyproc Håndbog 9. Teknik / Bygningsakustik / Gipspladers lydisolerende egenskaber

4.3.4. Grænsefrekvenskonstanter og materialeegenskaber. 444 Gyproc Håndbog 9. Teknik / Bygningsakustik / Gipspladers lydisolerende egenskaber Materialeegenskaber Gipsplader er specielt velegnede til lydadskillende bygningsdele. Dette beror på et optimalt forhold mellem vægt og stivhed, som gør, at pladen effektivt kan absorbere lydenergi. Den

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere