KAPITEL 10 flere eksempler

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "KAPITEL 10 flere eksempler"

Transkript

1 KAPITEL 10 flere eksempler Afsnit 10.3 Matematik i virksomhedsøkonomiske problemstillinger E3a GROMS og GROMK til bestemmelse af optimale afsætning, hvis salgsprisen er konstant I eksempel 3 i kapitel 10 fandt vi ud af, at det ville koste næsten at producere et stk. mere, hvis vi i forvejen havde produceret.1000 stk. Kan det så svare sig at producere stk.? Hvis vi antager, at der er tale om et produkt med en fast pris, er det ret enkelt at tage stilling til spørgsmålet. Her ville salgsprisen være afgørende for beslutningen. Hvis vi sælger produktet til f kr ,- så ville der være tale om et tab; hvorimod en salgspris på f ,- ville give en fortjeneste. Som udgangspunkt gælder, at så længe GROMS (grænseomsætningen) er større end GROMK (grænseomkostningerne), så kan det betale sig at udvide produktionen/salget; men så snart GROMK er større end GROMS bør produktionen stoppe. Den optimale produktion er derfor, netop der hvor GROMK GROMS. Hvis vi antager, at vor omsætningsfunktion er givet som O() , er der tale om en fast salgspris uafhængig af afsætningen. GROMS er her da kr. Den optimale produktionsmængde findes ved at løse ligningen: Gromk Groms 0, , , , ,69 Vi kan naturligvis bestemme løsningen ved at anvende nulpunktsformlen til andengradsligninger; men med de værdier, der indgår, er det lettere at anvende et CAS-program eller lignende. Principielt skal vi aflæse, hvor GROMK er kr.

2 f() ^ f()15 y i tusind kr GROMS GROMK() 0, , ,7 Det fremgår, at den optimale produktion vil være på stk. E3b GROMS og GROMK til bestemmelse af optimale afsætning, hvis salgsprisen varierer med afsætningen Vi har flere gange set på forløb, hvor der f er en lineær sammenhæng mellem prisen og afsætningen. Det vil derfor betyde, at omsætningen ikke kan beskrives ved en lineær funktion. Hvis: afsætning Prisen: p() a +b Omsætningen pris gange afsætning: O() (a + b) a + b Vi antager, at prisfunktionen er givet ved forskriften p() -0, Vor omsætningsfunktion er derfor givet ved O() -0, Vi kan nu bestemme GROMS: GROMS() O ' () -0,

3 Hvis GROMK har samme forskrift som i eksempel 3a, er det følgende ligning, der skal løses, når GROMS GROMK: -0, , , Det er principielt også her en andengradsligning, som løses enten ved anvendelse af nulpunktsformlen eller et CAS-program. Vi får to løsninger, hvor den ene forkastes, da den er negativ, så vi får: 841,65 y f() ^ Serie 1 f() ; R² GROMS () - 0, GROMK() 0, , Vi skal således lægge produktionen til rette, så der stoppes når der er produceret 841 stk. I praksis er der næppe tale om så simple modeller for omkostnings- og omsætningsforløb; men principielt er funktionsforskrifterne uden betydning, idet vi med CAS-programmer kan løse stort set alle ligninger, ligesom vi uden vanskeligheder kan fastlægge skæringspunkt mellem to funktioner. E4a Wilsons formel når der indkøbes til lager En virksomhed anvender i sin produktion en komponent, som koster 8 kr. pr. stk. i indkøb Forbruget er stk. pr. år. Lageromkostningerne er 0 % p.a. af lagerets gennemsnitlige værdi, og hver afgiven ordre medfører 100 kr. i omkostninger.

4 Vi lader betegne seriestørrelsen (antal komponenter pr. ordre) C l g() de samlede årlige lageromkostninger C p h() de samlede årlige forberedelsesomkostninger (dvs. her hjemtagelsesomkostningerne) C f() g() + h() de totale årlige omkostninger. Udviklingen i lagerbeholdning kan ses på følgende figur: Forbruget af komponenter foregår jævnt (som illustreret ovenfor) med som den maksimale lagerstørrelse og 0 som den minimale størrelse, dvs. er den gennemsnitlige lagerstørrelse, og dermed er idet lagerets gennemsnitlige værdi. Hermed kan vi bestemme forskriften for g, g() 0 % af 4 0,0 4 0,8 for 0 Produktionsforberedelsesomkostningerne er 100 kr. gange antal serier pr. år. Når forbruget er stk. pr. år og seriestørrelsen, er antal serier pr. år Antal serier pr. år Dvs. forskriften for h er h () 100 for > 0 Dermed er forskriften for de totale omkostninger C bestemt ved

5 , f () 0, for > 0 ' Dette er en brøkfunktion, som vi fandt f til i kapitel 5. Vi får ' (1,6) (0, ) 1 f () brøkreglen anvendes ' 0, f () tælleren reduceres Vi sætter tælleren lig 0. 0, Af monotoniforholdene (tjek selv) følger at f har globalt minimum i Dvs. der skal indkøbes stk. for at minimere de samlede indkøbs- og lageromkostninger. Graferne for funktionerne er y de samlede omkostninger f() Indkøbsomkostninger h() Lageromkostninger g() den optimale seriestørrelse Af graferne ses, at den optimale seriestørrelse stk. er skæringen mellem lageromkostningerne og indkøbsomkostningerne. Vi har løst dette trade off problem mellem voksende lageromkostninger og faldende indkøbsomkostninger ved større seriestørrelser. Omkostningerne er lige store, hvilket ses at g(1.500) 1.00 kr. og h(1.500) 1.00 kr. dvs. de samlede minimale omkostninger er.400 kr.

6 E4b Wilsons formel når der produceres til lager I det følgende vil vi udvide problemstillingen til en produktionsvirksomhed. Hvis virksomheden selv fremstiller varen, vil produktionen foregå over en periode, og varelageret vil blive gradvist opbygget i løbet af denne produktionsperiode. Forbruget/salget af varer i produktionsperioden vil betyde, at den maksimale lagerbeholdning (ved afslutning af produktion af en serie) er mindre end seriestørrelsen. En virksomhed har et årligt salg på stk. af et produkt. Produktet fremstilles i serier på et anlæg med en årlig kapacitet på stk. Produktionsforberedelsesomkostningerne er kr. pr. serie, og lagerrenten er 15 % p.a. Fremstillingsomkostningerne er 15 kr. pr. stk. Der regnes med 360 produktionsdage pr. år. Den optimale seriestørrelse produktionen p. serie bestemmes i dette tilfælde som: C l g(), C p h() og C f() være bestemt som i eksempel E4a. Vi bestemmer først forskrifterne for de tre funktioner. Der skal produceres stk. pr. serie. Da produktionsapparatet kan fremstille stk. pr. år, eller stk. pr. dag vil produktionsperioden være dage Der sælges stk. pr. år eller stk. pr. dag. I løbet af produktionsperioden vil der således blive solgt stk Det maksimale lager er da stk., og det minimale lager 0 stk. Gennemsnitslageret er 1 4 stk. 5 5 hvilket er illustreret i følgende tegning

7 Lagerets gennemsnitlige værdi er således 15 0,4 6, og derfor er g() 15 % af 6 0,15 6 0,9 for 0 Forskriften for h finder man som i eksempel E4a. Der fremstilles stk. pr. serie, og derfor skal der fremstilles serier pr. år. Hermed har vi h () og dermed er de totale omkostninger ,9 f () 0, Vi finder nu f ' og nulpunkterne for f ' (tjek selv eller anvend CAS), som giver: ' 0,9 f () f '() , ,8 idet 66.93,8 pga. definitionsmængden må forkastes som løsning. Af monotoniforholdene for f sluttes, at den optimale seriestørrelse er stk. (helt positivt tal). Grafen der viser omkostningsfunktionerne i dette eksempel ses på næste side

8 y f() / f()0.9 f() / de samlede omkostninger f() prouktionsomkostninger h() lageromkostninger g() stk Afsnit 10.4 Matematik i samfundsøkonomiske sammenhænge Ea udvidet indkomstdannelsesmodel et eksempel I den udvidede model indgår to yderligere aktører, nemlig udlandet og den offentlige sektor. Dette giver en ny avanceret udgave af Keynes cyklusmodel, illustreret i følgende figur Produktion Indkomst Eksport Import Offentlig efterspørgsel Efterspørgsel Skatter Det fremgår af figuren, at den udvidede indkomstdannelsesmodel indeholder 4 nye faktorer, som påvirker den økonomiske aktivitet: Import, eksport, offentlig efterspørgsel og skatter. Eksport og offentlig efterspørgsel er begge med til at øge aktiviteten, mens import og skatter mindsker den indenlandske aktivitet.

9 Som det fremgår af figuren, indgår det offentlige i den økonomiske cirkel, både med hensyn til skatter og i form af offentlig efterspørgsel. Fører vi det over på den samlede efterspørgsel fås D følgende: Y C+ I + G, hvor G betegner den offentlige efterspørgsel. Noget af indkomsten gik til skatter, samtidig med det offentlige betaler overførselsindkomster i form af SU, dagpenge, pension osv. Skatter betegnes med TA, og indkomstoverførsler får betegnelsen TR. Der skelnes i følgende mellem bruttoindkomsten, Y, og den disponible indkomst YD. Pr. definition er den disponible indkomst givet ved: YD Y - TA + TR Dvs. nu afhænger det private forbrug af den disponible indkomst i stedet: C C+ cyd Dette kan således skrives som: C C+ c( Y TA+ TR) For at finde frem til den samlede efterspørgsel i samfundet må vi antage nogle logiske konklusioner. Indkomstoverførelserne samt det offentlige forbrug antages til værende eksogene, altså konstante. Indkomstskatten afhænger af skatteprocenten. Vi betegner den gennemsnitlige skatteprocent med t. Dvs. TA ty Vi har derved TR TR,G G samt TA ty, hvor 0 < t < 1 Da det stadig gælder, at efterspørgslen er lig udbuddet, som er lig den samlede indkomst/produktion, kan vi sammenfatte den samlede indkomst i samfundet til følgende: Y C + c( Y ty + TR) + I + G Endnu en gang kan vi herved udlede ligevægtsindkomsten ved samling af alle endogene størrelser på sammen side. Y Y Y Y (1 c(1 t)) C + ctr + I + G Y C + c(y C + cy cy + cty ty cty C + ctr + I + G (1 c(1 t)) + TR) + I + G + ctr + I + G C + ctr + I + G Dette udtryk er ganske interessant for nu kan fortolke effekten af forskellige indgreb i økonomien. Ser vi f på en forøgelse af investeringerne i samfundet vil et sådant indgreb øge den økonomiske aktivitet med mere end forøgelsen af investeringerne. Dette ses nok en gang ved at differentiere indkomsten Y som funktion af investeringerne I dy 1 1 di 1 c(1 t) > Det matematiske argument er helt simpelt: c(1-t) giver et positivt tal der er mindre end 1 da 0 <c < 1 og 0 < 1-t < 1. Dette betyder, at 1-c(1-t) < 1 og derved bliver brøken større end 1. Så hvis vi øger

10 investeringsniveauet med f 1 milliard vil den økonomiske vækst blive større end 1 milliard. Den økonomiske forklaring af den matematiske models resultater er de såkaldte afledte effekter. Det at vi øger investeringsniveauet har nogle afledte effekter f kunne de øgede investeringer være investeringer i maskiner. Disse bliver købt i en virksomhed der derved får større indtjening, noget af denne indtjening bruger virksomheden til andre varekøb hvilket giver øget indtjening i en anden virksomhed, der så bruger lidt ekstra penge og derved at en positiv spiral i gang. Keynes brugte modellen til at argumentere for at den offentlige sektor skulle spille en aktiv rolle under forskellige konjunktur forløb f ved at øge det offentlige forbrug under lavkonjunkturer og nedsætte det offentlige forbrug under højkonjunkturer. Lad os lige se dette argument i vores model. dy 1 En forøgelse af det offentlige forbrug vil nemlig øge aktiviteten i samfundet: 1 dg 1 c(1 t) > Når indkomsten blev højere ved en forøgelse af det offentlige forbrug, vil det naturligvis medføre d( ty ) dy flere skatteindtægter: t > 0 dg dg Det ville i denne situation være nærliggende, at stille det spørgsmål om det offentlige forbrug var selvfinansieret? Her bruger man udtrykket budgetsaldoen (B), som er forskellen mellem staten indtægter og udgifter, som er givet ved: B ty G TR Herved kan ligevægtsindkomsten indsættes og effekten findes: C + ctr + I + G B t G TR 1 c(1 t) t(c + ctr + I + G) (1 c(1 t)) (G + TR) B 1 c(1 t) t(c + I) (1 c)tr + (c 1)(1 t)g B 1 c(1 t) En ændring i det offentlige forbrug vil altså have følgende effekt: db (c 1)(1 t) dg 1 c(1 y) db 1 < dg < 0

11 db Lad os først argumentere for at < 0. Tælleren er negativ da (c-1) er mindre end 0 og (1-t) er dg større end 0. produktet mellem et positivt og et negativt tal giver noget negativ. Nævneren er et positivt tal mindre end 1 som vi argumenterede for før. db (c 1)(1 t) Hvad så med >-1? Stilles ligningen op fås følgende udtryk: >-1 For at udtrykket dg 1 c(1 y) kan bevises må tælleren i alle tilfælde numerisk være større end nævneren. (c 1)(1 t) > 1 1 c(1 t) (c 1)(1 t) > c(1 t) 1 c ct 1+ t > c ct 1 t > 0 Og da det sidste udsagn er sandt, er det første udsagn sandt Nu kan vi drage to konklusioner: For det første er en stigning i det offentlige forbrug ikke selvfinansierende, da ændringen ikke er over 0. For det andet er forringelsen på budgetbalancen ikke lige så stor som stigningen i det offentlige forbrug. Den sidste effekt som vil blive analyseret, er en ændring i skattesatsen. Det virker umiddelbart indlysende, at en skattestigning vil føre til lavere aktivitet, og derved mindre indkomst i samfundet. Dette kan bekræftes ved følgende: dy dt C + ctr + I + G (1 c(1 t)) Vi kunne have udvidet modellen og inddraget eksport og import. Eksporten vil være givet udefra af den udenlandske efterspørgsel efter danske varer mens importen antages at være afhængig af indkomstniveauet. Jo større indkomst jo højere import. Vi siger M(importen) my. I konkrete tilfælde gælder det om at bestemme tallene c: forbrugskvoten, t:skatteprocenten og m:importkvoten. Hvis disse tal kendes er det ganske simpelt at udregne effekterne af et politisk indgreb på f forbruget, investeringerne, de offentlige finanser og den økonomiske vækst. Eb indkomstdannelsesmodellen et taleksempel Lad os kigge på et taleksempel på den udvidede model med offentlig sektor men uden udland. Relationerne er som følger:

12 Indkomsten: Y C + ctr + I + G (1 c(1 t)) Indkomstskatten TA t Y C + ctr + I + G t (1 c(1 t)) Forbruget: C C + cy C + ctr + I + G C + c (1 c(1 t)) Budgettet: t(c + I) (1 c)tr + (c 1)(1 t)g B 1 c(1 t) Vi antager nu at c 0,90, t 0,48. Vi vil nu se på effekten af en fremrykning af offentlige investeringer på 10 milliarder. Indkomsten: Y ' dy dg 1 1 1,88 (1 c(1 t)) (1 0,9(1 0,5)) Dette betyder at for hver milliard vi øger de offentlige udgifter vil det give en økonomisk vækst på 1,88 milliarder. Så en forøgelse på 10 milliarder vil give en økonomisk vækst på 18,8 milliarder. Hvad sker der med de forskellige størrelser: 1) Indkomstskatten: dta t 0,48 TA ' 0,90 dg (1 c(1 t)) 0,53 Så indkomstskatten stiger med 9,0 milliarder ) Det private forbrug: C ' dc dg c (1 c(1 t) 0,9 0,53 1,69 Så det private forbrug vil stige med 16,9 milliarder 3) Budgettet: B' db dg (c 1)(1 t) 0,1 0,5 (1 c(1 t)) 0,53 0,098

13 Dette betyder, at de offentlige finanser samlet forringes med knap en milliard ( kr.) Dette tal kunne vi selvfølgelig også have fundet ved at trække forøgelse i de offentlige udgifter (10 milliarder) fra de øgede indkomstskatteindtægter (9,0 milliarder). Så effekterne er meget simple at finde ud fra modellen. Igen skal vi huske, at modellen i dette tilfælde er en meget forsimplet udgave af virkeligheden, og at den bygger på nogle antagelser der kan være beskrevet for simpelt, være forkerte eller blive forkerte som tiden går. F vil lille c, forbrugstilbøjeligheden, ændre sig hvis der er krise i samfundet. Men dette får ikke anvendelsen af matematikken til at blive mindre betydningsfuld. Konklusionen synes nemlig at være forsøg på at beskrive økonomien grundigere og grundigere. F så vi, at der i DREAM modellen var mere end.000 ligninger, mens vi i vores model nærmede os ti ligninger. Afsnit 10.5 Matematik og SRP flere eksempler E1a optimering af funktioner i flere variable Vi ønsker at optimere ikke-lineære funktioner i flere variable. Metoden eller algoritmen vi vil bruge er minder om den vi gennemgik i kapitel 4. Dvs. vi vil bruge differentialregning. Når denne metoden skal bruges for funktioner i flere variable er vi nødt til at ændre lidt i algoritmen. Det er nemlig ikke muligt at bruge en fortegnsvariation af f ' for funktioner i flere variable. Derfor udvikler vi her en nu metode og vi betragter først et eksempel med en funktion i en variabel. Vi kan kort resumere metoden til at bestemme maksimum og/eller minimum for en given funktion. OPTIMERINGS ALGORITME hvordan finder vi eventuelle maksimum og minimumspunkterne for en funktion f. 1. Bestem den afledte funktion f ved at differentiere f. Løs ligningen f ()0 dvs. bestem nulpunkterne for f 3. Lav en fortegnsvariation af f omkring nulpunkterne for f 4. 3 tilfælde: 1. fortegnene skifter + 0 og der er fundet et maksimumspunkt. fortegnene skifter 0 + og der er fundet et minimumspunkt 3. fortegnene skifter 0 eller og der et hverken maksimum eller minimum Man kalder punkt. f '() 0, for en nødvendig betingelse for et ekstrema. Hvis der skal være et maksimum eller et minimum, skal der være en vandret tangent, f '() skal være lig med nul ved et eventuelt ekstrema. Men det er ikke en tilstrækkelig betingelse. Det er nemlig ikke nok, at der er en vandret tangent. Vi ser i nedenstående eksempel, at der i punktet (-1, 1) er en vandret vendetangent. Idet tangenten er vandret er f '() 0, men som vi tydeligt ser af tegningen, er punktet (-1, 1) hverken et minimums- eller maksimumspunkt.

14 y f()3^4+8^3+6^ y0+1 Serie 1 (-1, 1) er hverken et maks eller et min punkt 1. (-1,1) Det er derfor vi altid er nødt til at lave fortegnsvariation (punkt 3. og 4.) Fortegnsskiftene + 0 og 0 + kaldes også for tilstrækkelig betingelser for maksimum og minimum Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for maksimum og minimum(1.ordens- og.ordensbetingelser). A. Nødvendig betingelse 1.ordens betingelsen: f () 0 B. Tilstrækkelig betingelse.ordens betingelsen: Maksimum: Minimum: fortegnsskift + 0 for f fortegnsskift 0 + for f Med kendskabet til begreberne konveks og konkav også fra kapitel 4, kan vi bestemme.ordens betingelserne på en anden måde der også virker i flere dimensioner. Hvis en funktion er konveks i det område hvor f '() 0 har vi fundet et minimumspunkt, og hvis f er konkav i det område hvor f '() 0, er det et maksimumspunkt. Hvis funktionen har vendetangent der hvor f '() 0 er der hverken maksimum eller minimum. Sammenhængen fremgår tydeligt af følgende tegninger:

15 Minimum fordi f er konveks omkring f '()0 f'()0 1.ordens betingelsen maksimumspunkt f()^ y0+0 Serie 1 konveks.ordens betingelsen f()-^+8 y0+8 Serie 1.ordens betingelsen konkav 1.ordens betingelsen f'()0 minimumspunkt Maksimum fordi f er konkav omkring f '()0 Her er der hverken maksimum eller minimum da funktionen f skifter fra at være konveks til at blive konkav der hvor f '() 0 konveks f'()0 vandret vendetangent dette punkt er hverken et maksimumspunkt eller et minimumspunkt konkav.ordensbetingelsen er IKKE opfyldt

16 Dette betyder, at vi blot skal konstatere om f er konkav, konveks eller skifter fra konkav til konveks eller omvendt, for at bestemme om et givet punkt er et maksimum, et minimum eller intet ekstrema. Husk, hvis f () < 0 er f konkav og hvis f > 0 er f konveks Vi samler de nye 1.ordens og.ordens betingelser op i følgende skema. 1.ordensbetingelsen f () 0.ordensbetingelserne Minimum: f () 0 Maksimum: f () 0 Intet ekstrema: f skifter fortegn Lad os se metoden i følgende eksempel. Lad f () Vi ønsker, at bestemme maksimum og minimumspunkterne. 1.ordensbetingelsen f '() 0: f '() Der er to kandidater til maksimum og minimum for f nemlig (3, f(3)) og (1, f(1)) Vi kontrollerer.ordensbetingelserne f ''() 4 Først punktet (3,f(3)): Vi indsætter 3 i Punktet (1, f(1)): Indsætter 1 i f ''(): 3-4 > 0 så f er konveks og punktet (3, f(3)) er et minimums punkt f ''(): < 0 så f er konkav og punktet (1, f(1)) er et maksimumspunkt.

17 Metoden kan direkte overføres til eksempler med flere variable. E1b optimering af funktioner i flere variable ved hjælp af partielle afledede En virksomhed producerer og sælger to produkter. VUELTA og GIRO. Prisen pr stk. VUELTA kan bestemmes ved p 1 () -0, < < 700, hvor er afsætningen i stk. VUELTA Prisen pr stk. GIRO kan bestemmes ved p () -0,05y < < 500, hvor y er afsætningen i stk. GIRO De variable enhedsomkostninger ved produktionen er 15 kr. pr. stk. VUELTA og 10 kr. pr. stk. GIRO Det samlede dækningsbidrag kan beskrives med en funktion f(,y). Regneforskriften bliver: f(, y) -0, ,05y + 0y Vi husker, at dækningsbidraget er omsætningen minus de variable omkostninger. Omsætningen er pris gange afsætning så for VUELTA bliver det p 1 () 15 og tilsvarende for GIRO. Nu vil vi gerne finde den kombination af VUELTA og GIRO der giver det største samlede dækningsbidrag. Dette svarer til at finde (, y) der optimerer f(, y). Så vi skal i gang med at differentiere: 1.ordens betingelserne: f f 0, ,05y y Dette giver et simpelt ligningssystem som vi løser 0, ,05y , y 0 0, ordens betingelserne giver os altså en mulig kandidat til et maksimum eller minimum og det er punktet (500, 400) Vi kontrollerer.ordens betingelserne: f f f f 0,05 0,05 0 y y y Vi samler i matricen f 0,05 A f 0 y f 0 y f 0,05 y

18 f f f f f Da 0, 05<0 og ( DeterminantA) (-0,05) (-0,05) ,05>0 er y y y punktet (500, 400) et maksimumspunkt. Undervejs benyttede vi os af metoden til at differentiere funktioner i flere variable det hedder at finde de partielle afledede. Den måde man gør det på er at først differentiere med hensyn til den ene variabel f. Dernæst med hensyn til den anden variabel. Når man differentiere med hensyn til lader man som om alle y leddene er konstanter og tilsvarende når man differentierer med hensyn til y så er blot en konstant. Det bløde d er et lille delta og viser at det er en partiel afledet og ikke en rigtig afledet. De dobbelt afledede findes på tilsvarende vis og fordi der er to variable giver det 4 dobbelt afledede. Eksemplet kan sagtens udvides så virksomheden f.eks. står overfor et begrænset kapacitets problem. Dvs. der skal maksimeres over et begrænsningsområde som i lineær programmering. I sådanne tilfælde kan der opstilles en såkaldt Lagrange funktion, der så maksimeres som i ovennævnte tilfælde. Ea Portefølje management, Stokastiske variable og Lagrange funktionen. I eksempel E i afsnit 10.5 skrev vi Porteføljemanagement er en disciplin inden for investering i værdipapirer. Investering handler i bund og grund om at opnå det højeste afkast med den lavest mulige risiko. Man deler risikoen op i systematisk og usystematisk risiko. Den usystematiske risiko kan reduceres(bortdiversificeres) ved at investere i mange forskellige værdipapirer. Men da en stor samling (stor portefølje) af f aktier vil give store handelsomkostninger og derved sluge gevinsten(afkastet) handler porteføljemanagement primært om at vælge de rigtige aktier. De rigtige aktier er aktier der varierer godt sammen de skal variere modsat således at den usystematiske risiko minimeres. Det er her vi kan udnytte teorien om stokastiske variable. Vi kan nemlig beskrive afkastet ved at investere i en aktie ved hjælp af en stokastisk variabel. Hvis vi så laver en portefølje af forskellige aktier bliver dette til summe af stokastiske variable. De forventede værdier af disse summe af stokastiske variable kan fortolkes som det forventede afkast af en given portefølje. Variansen kan fortolkes som risikoen ved porteføljen. Så i princippet gælder det om at sammensætte sine aktier således, at det forventede afkast(den forventede værdi af summen) er størst mulig, og risikoen(variansen) mindst mulig. Lad os samle lidt op på matematikken i dette. Vi lader afkastet af en portefølje med n aktier være beskrevet ved den stokastiske variabel!. Hver aktie beskrives!!, hvor! er den! te aktie. Desuden tilføjer vi en konstant!!, som betegner den!'te akties vægt i forhold til den samlede portefølje. Her skal det nævnes at der gælder følgende sammenhæng for en konstant og den forventede værdi:!!!!!"

19 !!"!!!!!!(!! ) Dette er udtrykket for det forventede afkast. Risikoen eller variansen ved den enkelte aktie ser således ud For hele porteføljen:!!"#!!!!!"#(!)!"#(!)!!!!"#!! +!!!!"# (!!,! )!!!!!!!!!!! Det sidste led i summen cov(x i, X j ) er covariansen mellem den i te aktie og den j te aktie. Det er et udtryk for hvordan de to aktier spiller sammen. Dette udtryk kan være negativt og dette vil sige at de to aktier i gennemsnit varierer modsat de er med andre ord gode at sætte sammen i en portefølje. I praksis kan covarianserne regnes ud f i Ecel. Så ved at indlæse en række afkast tal for to aktier i Ecel kan vi få covarianserne udregnet. Det samme gælder selvfølgelig for varianserne. Hele problemstillingen kan nu reduceres til et simpelt optimeringsproblem. Vi kan nemlig opstille følgende problem: Minimer: Givet følgende betingelser Var (X) n i 1 w n n 1 var(xi ) + wi w j cov(xi,x j) i 1 j 1!!!!!!!!!! 1!!!!!!"!! 0 Og det forventede afkast skal være et givet fast niveau f 5% Vi kræver, at alle vægtene summerer til 1, at porteføljens afkast er summen af de enkelte aktiers vægtede afkast og at vi ikke kan have en negativ andel af en aktie samt at vi ønsker et forventet afkast på 5 % Problemet kan løse ved at opstille en Lagrange funktion og optimerer denne. Hvis vi har en portefølje med 3 aktier vil dette give et ligningssystem med 3 ligninger med 3 ubekendte.

20 Løsningen til et konkret problem vil ikke være statisk. Dette skyldes at afkastene på de enkelte aktier kan ændre sig over tid de er dynamiske størrelser. Dette betyder i praksis at portefølje sammensætningen skal justeres løbende. Eb beregning af forventet afkast og varians for en portefølje med 3 aktier. Vi vil nu prøve at sammensætte en portefølje af tre aktier fra det danske C0 indeks. Vi vil vælge to defensive aktier og en cyklisk aktie for at skabe noget variation i henhold til porteføljestrategien. Vi vil i dette eksempel bruge Nordea, Novo Nordisk og William Demant Holding som er opstillede med forventede afkast og risiko i følgende skema: Forventet afkast pr. måned Risiko Nordea (N) 1,11 60,7 Novo Nordisk (O) 5,19 16,9 William Demant Holding (L) 0,33 30,53 Tallene i tabellen er beregnet ud fra fortidige kurser taget fra Nasdaqomnordic.com. Risikoen er beregnet som variansen af den stokastiske variabel X Fra overstående skema ses det, at Novo Nordisk har et højt afkast og en lav risiko, en meget atypisk situation, men derudover ser vi en sammenhæng mellem risiko og afkast. Lad os nu se, på afkast og risiko af den samlede portefølje. Vi vil lave en portefølje med en vægt på 33 % af hver aktie. Herudfra vil vi udregne det forventede afkast af porteføljen med formlen 3 EX w i EX i : 0,33 1,11 + 0,33 5,19 + 0,33 0,33,19 Det forventede afkast på porteføljen er altså højere end Nordea og William Demant Holding men en del mindre end Novo Nordisk. At udregne covariansen kræver mange data, derfor nøjes vi med en udregning fra Ecel, der giver os følgende covarianser:!"#!!,!! 0,89!"#!!,!!,69!"#!!,!! 4,47 i 1

21 Vi er altså i den gunstige situation, at alle aktierne i en eller anden grad varierer modsat hinanden. Med de angivne vægte fra før vil vi nu udregne variansen med wi var(xi ) + wi w j cov(xi,x j) i 1 i 1 j 1 var( X) : Var(X) 0,33 60,7 + 0,33 16,9 + 0,33 30,5 + (0,33 0,33 (-0,89) + 0,33 0,33 (-,69) + 0,33 0,33 (-4,47) 11,4. Vi ser, at det forventede afkast er,19% (pr måned) og variansen (risikoen) er 11,4. Dette er dermed ikke umiddelbart en optimal portefølje da den vil blive slået af en portefølje kun med Novo Nordisk aktier. Ec den kritiske rand minimumsvarians porteføljer Lagrange funktion Så det må kunne gøres bedre. Vi så, at de tre covarianser alle var negative dette skal udnyttes. Første trin i at vælge den optimale portefølje er at bestemme det man kalder den kritiske rand. Den svarer til de kombinationer af de pågældende aktier der til et givet forventet afkast har den laveste risiko. Vi skal finde den bedste kombination i en portefølje, hvor der i princippet er uendeligt mange kombinationer. Det lyder tidskrævende! Imidlertid kan den optimale porteføljesammensætning udregnes med stokastiske variabler som en optimering af den kritiske rand. Den kritiske rand kan udregnes ud fra Lagrange-optimering i form af en minimering af den samlede porteføljes varians under visse forudsætninger. Optimeringsproblemet kan vi beskrive ud fra det tidligere eksempel: i wi w j cov(xi,x j) i 1 i 1 j 1 Minimer: var( X) w var(xi ) + Med følgende betingelser:! (i)!!!!! 1! (ii)!!!!!!!!!" iii)!! 0 Vi kræver altså, at den samlede vægt af porteføljen er 100 %, at det forventede afkast på alle aktier gange deres vægt er lig med det forventede afkast på porteføljen, og at vægten på en aktie ikke må være negativ. For at udregne den kritiske rand i det konkrete eksempel skal vi benytte den på følgende beskrevne fremgangsmåde. Vi tager udgangspunkt i eksemplet fra før, dog uden tal, og bruger betegnelserne

22 Nordea (N), Novo Nordisk (O) og William Demant Holding (L) for at holde dem adskilt. Vi opstiller Lagrange-funktionen således:!!!!"#!! +!!!!"#!! + 1!!!!!!"#!! +!!!!!"#!!,!! +!! 1!!!!!"#!!,!! +!! 1!!!!!"#!!,!!! (!!!!! +!!!!! +!!! 1!!!!!") Vi udnytter (i) til at skrive!! som den restvægt af porteføljen, der er tilbage, når de to andre aktiers vægte er trukket fra. Vi ser også, at vi som det sidste trækker den forventede værdi af den samlede portefølje fra, det er den værdi som vi vil minimere risikoen ud fra. Sidst med ikke mindst er! Lagrangemultiplikatoren. Derudover er det hele blot variansen af summen og den forventede værdi af porteføljen. Efter at have opstillet Lagrange-funktionen simplificerer vi den, ved at trække de ubekendte led sammen. Så laver vi en differentiering af funktionen ud fra de to porteføljevægte!! og!! samt Lagrangemultiplikatoren λ. Derefter kan de fremkommende 3 ligninger løses som 3 ligninger med 3 ubekendte. Så skulle vi gerne kunne udregne!! og!!, som vi trækker fra 1, og derved har vi også!!. Til sidst kan vi udregne variansen af porteføljen. E3a Teknisk analyse et konkret eksempel Teknisk analyse er nogle relativt simple matematiske modeller der bruges til at forudsige mønstre i aktiekursudviklingen og dermed bedre være i stand til at købe når aktierne er billige og sælge når de er dyre. Der findes mange forskellige modeller såkaldte indikatorer, men vi vil nøjes med at kigge på den mest simple af alle modellerne, nemlig et såkaldt glidende gennemsnit. I praksis bør man bruge flere modeller på samme tid og bruge modellernes fælles købs og salgssignaler. Et glidende gennemsnit er rent matematisk et gennemsnit der løbende ændrer sig ved, at man udskifter det ældste tal i gennemsnittet med et nyt. Hvis man f laver et 30 dages løbende gennemsnit vil man hver dag udskifte den 30 dage gamle kurs med dagens kurs. Nedenstående figur viser kursudviklingen af Novozymes fra den til

Opgave 1: Sommereksamen maj 2000. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet:

Opgave 1: Sommereksamen maj 2000. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Sommereksamen maj 2000 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor der

Læs mere

Hvad skal grænseomkostningerne være for at den nuværende pris er gevinstoptimal? Er den nuværende pris optimal med de nu gældende omkostningssatser?

Hvad skal grænseomkostningerne være for at den nuværende pris er gevinstoptimal? Er den nuværende pris optimal med de nu gældende omkostningssatser? Dette er et løsningsforslag til opgavesættet: Sommereksamen 1995 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor der skal findes frem

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Vil du anvende matematikken som pædagogisk/fagligt redskab her?

Vil du anvende matematikken som pædagogisk/fagligt redskab her? Vil du anvende matematikken som pædagogisk/fagligt redskab her? 1 Vil du anvende matematikken som pædagogisk/fagligt redskab her? 2 Vil du anvende matematikken som pædagogisk/fagligt redskab her? 3 Vil

Læs mere

Opgave 1: Sommereksamen 2. juni 1997. Spørgsmål 1.1: Spørgsmål 1.2: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet:

Opgave 1: Sommereksamen 2. juni 1997. Spørgsmål 1.1: Spørgsmål 1.2: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Sommereksamen 2. juni 1997 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor

Læs mere

Beregn den optimale pris- og mængdekombination og illustrer løsningen grafisk.

Beregn den optimale pris- og mængdekombination og illustrer løsningen grafisk. Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Sommereksamen juni 999 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor der

Læs mere

Svar : d(x) = s(x) <=> x + 12 = 2 6 = 2. x = 4 <=> d(4) = s(4) = 8 dvs. Ligevægtsprisen er 8. Opg 2. <=> x = 4 eller x = 1; <=> x =

Svar : d(x) = s(x) <=> x + 12 = 2 6 = 2. x = 4 <=> d(4) = s(4) = 8 dvs. Ligevægtsprisen er 8. Opg 2. <=> x = 4 eller x = 1; <=> x = MAT B GSK august 009 delprøven uden hjælpemidler Opg 1 For en vare er sammenhængen mellem pris og efterspørgsel bestemt ved funktionen d() = + 1 0 1 hvor angiver den efterspurgte mængde og d() angiver

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) Hold LTN

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Erhvervsøkonomisk Diplomuddannelse HD 1. del. Ny studieordning. Eksamen, januar 2002. Skriftlig eksamen i faget ERHVERVSØKONOMI

Erhvervsøkonomisk Diplomuddannelse HD 1. del. Ny studieordning. Eksamen, januar 2002. Skriftlig eksamen i faget ERHVERVSØKONOMI SYDDANSK UNIVERSITET HD-STUDIERNE Erhvervsøkonomisk Diplomuddannelse HD 1. del Ny studieordning Eksamen, januar 2002 Skriftlig eksamen i faget ERHVERVSØKONOMI Mandag, den 14. januar 2002 Kl. 14.00-18.00

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Opgave 1: Omprøve 11. august 2004. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet:

Opgave 1: Omprøve 11. august 2004. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Omprøve. august 04 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor der skal

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Fabrikken Eithtsde A/S fremstiller køkkenarmaturer, som den primært sælger til VVS-installatører og til store forretningskæder.

Fabrikken Eithtsde A/S fremstiller køkkenarmaturer, som den primært sælger til VVS-installatører og til store forretningskæder. Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgaverne: Stedprøve April 2000 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor der skal

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2014 IBC-Kolding

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen

Matematik A. Højere handelseksamen Matematik A Højere handelseksamen hhx141-mat/a-305014 Fredag den 3. maj 014 kl. 9.00-14.00 Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål. Besvarelsen

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 2 Institution: Projekt Vejanlæg. Matematik B-niveau Differentialregning

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 2 Institution: Projekt Vejanlæg. Matematik B-niveau Differentialregning VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 2 Institution: 333247 2015 Projekt Matematik B-niveau Differentialregning Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Kddafi, Zehra Köse og Tobias Winberg Indledning I dette

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 2009 Institution Silkeborg Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik, niveau

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Opgave 1: Stedprøve 13. maj 2002. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet:

Opgave 1: Stedprøve 13. maj 2002. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Stedprøve 3. maj 02 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor der

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 4. juni 2012. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 4. juni 2012. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh121-mat/a-04062012 Mandag den 4. juni 2012 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Løsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014

Løsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014 Vejledning til udvalgte opgave fra Matematik B, sommer 2014 Opgave 7 Størrelsen og udbudsprisen på 100 fritidshuse på Rømø er indsamlet via boligsiden.dk. a) Grafisk præsentation, der beskriver fordelingen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

Vismandsspillet og makroøkonomi

Vismandsspillet og makroøkonomi Vismandsspillet og makroøkonomi Dette notat om makroøkonomi er skrevet af Henrik Adrian, Helge Gram Christensen, Morten Gjeddebæk og Ernst Jensen på et udviklingsseminar mellem matematik og samfundsfag

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Opgave 1: Sommereksamen 29. maj 2001. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet:

Opgave 1: Sommereksamen 29. maj 2001. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Sommereksamen 29. maj 2001 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

1.1 Beregn priselasticiteten for de to produkter ved de givne priser og vis v.h.a. monopolprisformlen om priserne er optimale.

1.1 Beregn priselasticiteten for de to produkter ved de givne priser og vis v.h.a. monopolprisformlen om priserne er optimale. Opgave 1 1.1 Beregn priselasticiteten for de to produkter ved de givne priser og vis v.h.a. monopolprisformlen om priserne er optimale. Liniens ligning for strømper: p = am + b To tal på linien: Nuværende

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. Mandag den 18. august 2014 kl hhx142-mat/a

Matematik A. Højere handelseksamen. Mandag den 18. august 2014 kl hhx142-mat/a Matematik A Højere handelseksamen hhx14-mat/a-1808014 Mandag den 18. august 014 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. Mandag den 16. december 2013 kl. 9.00-14.00. hhx133-mat/a-16122013

Matematik A. Højere handelseksamen. Mandag den 16. december 2013 kl. 9.00-14.00. hhx133-mat/a-16122013 Matematik A Højere handelseksamen hhx133-mat/a-161013 Mandag den 16. december 013 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt

Læs mere

Matematik A Delprøven uden hjælpemidler

Matematik A Delprøven uden hjælpemidler Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2009 HHX092-MAA Matematik A Delprøven uden hjælpemidler Dette opgavesæt består af 5 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Øvelse 5. Tobias Markeprand. October 8, 2008

Øvelse 5. Tobias Markeprand. October 8, 2008 Øvelse 5 Tobias arkeprand October 8, 2008 Opgave 3.7 Formålet med denne øvelse er at analysere ændringen i indkomstdannelsesmodellen med investeringer der afhænger af indkomst/produktionen. Den positive

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh101-mat/a-27052010 Torsdag den 27. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

MAKROøkonomi. Kapitel 9 - Varemarkedet og finanspolitikken. Opgaver. Opgave 1. Forklar følgende figurer fra bogen:

MAKROøkonomi. Kapitel 9 - Varemarkedet og finanspolitikken. Opgaver. Opgave 1. Forklar følgende figurer fra bogen: MAKROøkonomi Kapitel 9 - Varemarkedet og finanspolitikken Opgaver Opgave 1 Forklar følgende figurer fra bogen: 1 Opgave 2 1. Forklar begreberne den marginale forbrugskvote og den gennemsnitlige forbrugskvote

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen. Mandag den 16. december 2013 kl hhx133-mat/b

Matematik B. Højere handelseksamen. Mandag den 16. december 2013 kl hhx133-mat/b Matematik B Højere handelseksamen hhx133-mat/b-161013 Mandag den 16. december 013 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2 PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl Mandag den 15. august 2011 kl hhx112-mat/b

Matematik B. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl Mandag den 15. august 2011 kl hhx112-mat/b Matematik B Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx112-mat/b-15082011 Mandag den 15. august 2011 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen

Matematik B. Højere handelseksamen Matematik B Højere handelseksamen hh11-mat/b-70501 Mandag den 7. maj 01 kl. 9.00-1.00 Matematik B Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.

Læs mere

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b stk. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013 Opagve 6 Variables a isoleres: M = S 1 + a = a + b b a b a = b 1 ( ) 1 b 1 a = b 1 a = b 1 1 b 1 a = b Hvis b = 1, så gælder ligningen

Læs mere

matx.dk Mikroøkonomi

matx.dk Mikroøkonomi matx.dk Mikroøkonomi Dennis Pipenbring 31. august 2011 Indold 1 Udbuds- og efterspørgselskurver 3 1.1 Lineær.............................. 4 1.2 Eksponentiel........................... 5 1.3 Potens..............................

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Stedprøve Marts 1999, opgave 1 (40%):

Stedprøve Marts 1999, opgave 1 (40%): Stedprøve Marts 999, samlet Stedprøve Marts 999, opgave (4%): Spørgsmål.: Giv en vurdering af de to prisfastsættelsesmetoder, man har anvendt i de foregående to år. Metoden der blev anvendt for to år siden

Læs mere

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold: Side 21 Oversigt over undervisningen i matematik - 2x 05/06 Der undervises efter: Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 Claus Jessen, Peter Møller og

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Opgave 1: Omprøve 12. august 2003. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet:

Opgave 1: Omprøve 12. august 2003. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Omprøve. august 003 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor der

Læs mere

FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i

FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i 1 af 41 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1 Voksende Voksende Konstant Aftagende ØVELSE 2 f aftagende i f aftagende i f aftagende i f aftagende i ØVELSE 3 Hældningen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2011 Institution Frederikshavn Handelsgymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HHX Matematik B Niels

Læs mere

Udledning af multiplikatoreffekten

Udledning af multiplikatoreffekten Udledning af multiplikatoreffekten Af Thomas Schausen Et tværfagligt undervisningsmateriale i matematik og samfundsfag fra Materialet er udarbejdet med støtte fra Undervisningsministeriet, og kan frit

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen

Matematik B. Højere handelseksamen Matematik B Højere handelseksamen hh141-mat/b-23052014 Fredag den 23. maj 2014 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Effekterne af en produktivitetsstigning i den offentlige sektor med et konstant serviceniveau 1

Effekterne af en produktivitetsstigning i den offentlige sektor med et konstant serviceniveau 1 Effekterne af en produktivitetsstigning i den offentlige sektor med et konstant serviceniveau 1 26. september 2013 1. Indledning Følgende notat beskriver resultaterne af marginaleksperimenter til DREAM-modellen,

Læs mere

Opgaverne, der er afleveret er rettet med den udsendte rettevejlednings vejledende vægtning af de enkelte spørgsmål.

Opgaverne, der er afleveret er rettet med den udsendte rettevejlednings vejledende vægtning af de enkelte spørgsmål. Omprøve 1997 Løsningsforslag Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Omprøve 8. august 1997 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012. MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb.

Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer e-mailadresse Hold Handelsgymnasiet Ribe HHX Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer e-mailadresse Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj/Juni,

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx111-mat/a-305011 Mandag den 3. maj 011 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

Udfra en lønsomhedsvurdering af de tre produkter bedes du opstille en produktionsplan og et dækningsbidragsbudget for det kommende år.

Udfra en lønsomhedsvurdering af de tre produkter bedes du opstille en produktionsplan og et dækningsbidragsbudget for det kommende år. Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Stedprøve 10. maj 2005 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor der

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2014 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik niveau

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 16. august 2010. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 16. august 2010. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh10-mat/a-1608010 Mandag den 16. august 010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Dette opgavesæt består af

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

2 Risikoaversion og nytteteori

2 Risikoaversion og nytteteori 2 Risikoaversion og nytteteori 2.1 Typer af risikoholdninger: Normalt foretages alle investeringskalkuler under forudsætningen om fuld sikkerhed om de fremtidige betalingsstrømme. I virkelighedens verden

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen. Mandag den 15. december 2014 kl. 9.00-13.00. hhx143-mat/b-15122014

Matematik B. Højere handelseksamen. Mandag den 15. december 2014 kl. 9.00-13.00. hhx143-mat/b-15122014 Matematik B Højere handelseksamen hhx143-mat/b-15122014 Mandag den 15. december 2014 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i

Læs mere

Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11:

Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11: Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11: Opgave a) Ligningen for tangenten bestemmes. Dog defineres funktionen. Tangent-formlen er pr. definition. (1) Altså

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Parallelle linjer En linje l går gennem punktet og er parallel med linjen m der er givet ved:

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen

Matematik B. Højere handelseksamen Matematik B Højere handelseksamen hhx132-mat/b-16082013 Fredag den 16. august 2013 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. Mandag den 15. december 2014 kl. 9.00-14.00. hhx143-mat/a-15122014

Matematik A. Højere handelseksamen. Mandag den 15. december 2014 kl. 9.00-14.00. hhx143-mat/a-15122014 Matematik A Højere handelseksamen hh143-mat/a-151014 Mandag den 15. december 014 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt

Læs mere

Opgave 1: Sommereksamen 24. maj 2004. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet:

Opgave 1: Sommereksamen 24. maj 2004. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Sommereksamen 4 Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Sommereksamen 24. maj 4 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver,

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Klasse/hold Fag og niveau Lærer at2hhcmkb11 Matematik B Birgit Paulsen Oversigt over undervisningsforløb 1 Beskrivende statistik 2 Funktioner generelt 3 Lineære funktioner 4 Andengradsfunktioner

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen

Matematik A. Højere handelseksamen Matematik A Højere handelseksamen hhx131-mat/a-705013 Mandag den 7. maj 013 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2011 juni 2012 Institution Handelsgymnasiet Tradium, Rådmands Boulevard Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 19. december 2011. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 19. december 2011. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx113-mat/a-19122011 Mandag den 19. december 2011 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er

Læs mere

Opgave 1: Sommereksamen 28. maj 2003. Spørgsmål 1.1: Dette er et løsningsforslag til opgavesættet:

Opgave 1: Sommereksamen 28. maj 2003. Spørgsmål 1.1: Dette er et løsningsforslag til opgavesættet: Dette er et løsningsforslag til opgavesættet: Sommereksamen 28. maj 2003 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor der skal findes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 2014 Institution Vid Gymnasier, Rønde Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Ann Risvang

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

6 Matematisk udledning af prisafsætningsfunktionen

6 Matematisk udledning af prisafsætningsfunktionen 6 Matematisk udledning af prisafsætningsfunktionen 6. Udledning af prisfunktionen ud fra forskellige oplysninger I sidste kapitel gennemgik vi, hvad du forståelsesmæssigt skal vide om omsætningsfunktioner.

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C PEJE (Pernille

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 IBC-Kolding

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere