VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri"

Transkript

1 VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner omkring cosinus, sinus og tangens i forhold til retvinklede trekanter. Derefter kan man se et bevis af cosinusrelationerne i forbindelse med vilkårlige trekanter. Man kan ligeledes også se hvordan man udregner en retvinklet trekant. Der er tale om jordens afstand til solen. Efterfølgende vil man også kunne se hvordan en enhedscirkel fungerer og man kan også se en række eksempler på, hvordan man gør brug af hhv. cosinusog sinusrelationerne, men også hvordan man kan beregne længderne ved hjælp af formlerne. Derved kan man se hvordan sinussvingninger fungerer. Endelig kan man se en række grafer og funktioner i trigonometrien.

2 2. Definition af sinus, cosinus og tangens Definition af cosinus og sinus For at give en definition af sinus og cosinus, så gøres der brug af enhedscirklen. Sinus er givet ud fra y-aksen og cosinus er givet ud fra x-aksen, de vil altid være mellem -1 og 1, da sinus og cosinus er defineret ud fra enhedscirklen med radius = 1. Vi indsætter en vinkel ind i sinus og cosinus, den kaldes for v. Vinkel v indtegnes i samme koordinatsystem som en enhedscirkel hvor den placeres med toppunktet i Origo og har sit højre vinkelben langs x-aksen. Det venstre vinkelben vil skære enhedscirklen i et punkt som vi vælger at kalde p v, det kaldes retningspunktet. Koordinatsættet til punktet p v vil være henholdsvis cos(v) og sin(v). I den ovenstående beskrivelse af hvor sinus og cosinus befinder sig på akserne i et 2- dimensionalt koordinatsystem, fik vi af vide at sinus er givet ud fra y-aksen og cosinus er givet ud fra x-aksen, således at x-koordinaten er cos (v) og y- koordinaten er sin (v). Visualisering af sin(v) og cos(v) ved hjælp af enhedscirkel:

3 Definition af tangens Tangens er ligesom sinus og cosinus en trigonometrisk funktion. Det er en funktion hvor man kommer en vinkel ind. I modsætning til sinus og cosinus hvor man kun kan få et tal ud mellem -1 og 1, så kan man få alle de reelle tal ud med tangens, dog skal man bemærke at tangens er defineret som en brøk og i en brøk må nævneren aldrig være lig med 0. Tangens er defineret som: tan(v) = sin (v) cos (v) Ligesom at som sinus og cosinus kunne visualiseres ved hjælp af enhedscirklen, så kan tangens aflæses på samme måde. Man starter med at indtegne en linje x=1, som er en lodret linje, der tangerer enhedscirklen i punktet (1, 0). Så ser man på, hvor venstre vinkelben skærer på denne lodrette linje. Skæringspunktets y- koordinat er tangens til vinklen. Visualisering af tan(v) ved hjælp af enhedscirkel:

4 3. Bevis af cosinusrelationerne cos A = b2 + c 2 a 2 2bc cos B = c2 + a 2 b 2 2ac cos A = a2 + b 2 c 2 2ab Ved omskrivning kan sidelængderne findes ved følgende formler: a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos(a) b 2 = a 2 + c 2 2 a c cos(b) c 2 = a 2 + b 2 2 a b cos(c) Til at lave et bevis af cosinusrelationerne skal der bruges Pythagoras læresætning: c 2 = a 2 + b 2 Samt cosinus til en vinkel for en retvinklet trekant: cos V = hosliggende katete hypotenusen For at lave beviset bruger man en vilkårlig trekant, som opdeles i to trekanter, så vi har de rette vinkler at arbejde med. Linjen fra A til siden a danner højden (h) Og så kan der laves et bevis af sætningen: b 2 = a 2 + c 2 2 a c cos(b) Bevis: Ved brug af Pythagoras læresætning får man af den gr/hvide trekant (a x) 2 + h 2 = b 2 b 2 (a x) 2 Og tilsvarende får man af den anden trekant: h 2 + x 2 = c 2 h 2 = c 2 x 2 Da h 2 er isoleret i begge ovenstående ligninger, kan de derfor sættes lig med hinanden: b 2 (a x) 2 = c 2 x 2 Det næste man gør er at isolere b 2 og man får således: b 2 = c 2 x 2 + (a x) 2

5 Parenteserne i ligningen udregnes og man får følgende: b 2 = c 2 x 2 + a 2 2ax + x 2 Dette bliver reduceret til: b 2 = c 2 + a 2 2ax B i den hvide/grå retvinklede trekant kan udregnes af: cos B = x c Ved at isolere x denne ligning får man: x = cos(b) c Da x = cos(b) c kan man i ligningen b 2 = c 2 + a 2 2ax erstatte x med cos(b) c Dvs. at b 2 = c 2 + a 2 2ax b 2 = c 2 + a 2 2a c cos (B) Nu er beviset færdigt og de andre varianter af cosinusrelationen bevises på tilsvarende måde. For at føre et bevis af cosinusrelationer der bestemmer cosinus til en vinkel i en vilkårlig trekant, tages der udgangspunkt i formlen cos (B) = c2 +a 2 b 2. Formlen kan bevises ved hjælp følgende formel: b 2 = c 2 + a 2 2a c cos (B) Bevis: Fremgangsmetoden er at isolere cosinus til vinkel B. Det første trin er at addere 2ac cos (B) til begge sider af lighedstegnet, da man vil isolere cos (B): b 2 = c 2 + a 2 2ac cos (B) b 2 + 2ac cos (B) = c 2 + a 2 2ac cos (B) + 2ac cos (B) Da man har adderet med 2ac cos (B) på begge sider af lighedstegnet, ser formlen således ud: b 2 + 2ac cos (B) = c 2 + a 2 Næste trin er at subtraktere med b 2 på begge sider af lighedstegnet: b 2 b 2 + 2ac cos (B) = c 2 + a 2 b 2 Da man har subtrakteret med b 2 på begge sider af lighedstegnet, ser formlen således ud: 2ac cos (B) = c 2 + a 2 b 2 I det sidste trin for at isolere cos(b), skal man dividere med 2ac på begge sider af lighedstegnet: 2ac

6 2ac cos (B) 2ac = c2 + a 2 b 2 2ac Da man har divideret med 2ac på begge sider af lighedstegnet, ser formlen således ud: cos (B) = c2 + a 2 b 2 2ac Dvs. at cosinus til vinkel B i en vilkårlig trekant, kan findes ved formlen: cos (B) = c2 +a 2 b 2 2ac Nu er beviset færdigt og de andre varianter af cosinusrelationen der bestemmer en vinkel i en vilkårlig trekant, bevises på tilsvarende måde. 4. Afstanden fra jorden til solen Da man kender alle vinklerne og længden a, som er den tid, det tager jorden at dreje en kvart omgang om solen. Det antages at afstanden er km. Længden AC kan derfor beregnes ved hjælp af denne formel: b = a SinB AC = BC SinB Derved sætter vi vores oplysninger ind, og da man ved at det er en retvinklet trekant, så kender man alle vinkler, og derfor kan finde alle siderne med den kendte længde. AC = Sin(45) = ,6 Det er afstanden AC, når jorden er på sit første punkt. (Jorden 1 ) Man kan derved også sige at længden AB må være det samme, men man kan udregne den også, ved hjælp af denne formel: c = a CosB AB = BC CosB Her sætter man sine oplysninger ind i formlen og regner på det. AB = Cos(45) = ,6 Afstanden er derfor den samme, bare et kvart år efter. (Jorden 2 ).

7 5. Omløbsretningen i enhedscirklen I den her opgave skal man finde koordinaterne efter forskellige tidspunkter. Her er der tale om 2, 3, 10 og 20 sekunder. Man antager derfor at cirklen er 360 o og omløbstiden er på 5 sekunder. Derfor tager man 360 og får resultatet til 72. Efterfølgende tager man sit resultat 72 og 5 ganger med det første, nemlig 2 sekunder. Dvs = 144. Da man gerne vil vide hvilket punkt det ligger på i enhedscirklen, tager man og sætter 144 ind i hhv. cosinus og sinus. Resultatet vil være følgende: Cos(144) = 0,809 Sin(144) = 0,587 Her kan man se, at punktet er givet på den negative side af x-aksen. Som gjort før, skal man blot tage sine 3 sekunder og regne. Altså = 216 Her tager man og sætter dem ind i cosinus og sinus og regner. Man får punkterne Cos(216) = 0,809 Sin(216) = 0,587 Her kan man se, at punkterne er på de negative sider i koordinatsystemet. Som gjort før, skal man blot tage sine 10 sekunder og regne. Altså = 720 Her tager man og sætter dem ind i cosinus og sinus og regner. Man får punkterne Cos(720) = 1 Sin(720) = 0 Her kan man se, at den ligger på x-aksen og punktet P. Som gjort før, skal man blot tage sine 20 sekunder og regne. Altså = 1440 Her tager man og sætter dem ind i cosinus og sinus og regner. Man får punkterne Cos(1440) = 1 Sin(1440) = 0 Her kan man se, at den giver de samme punkter som før.

8 6. Trigonometri a. Man kan finde vinklerne ved hjælp af cosinusrelationerne. Her er kravet om at kende alle længderne. Eksempel: a = 4 b = 5 c = 6 Nu kan man beregne vinklerne. A = Cos 1 ( b2 + c 2 a 2 ) = Cos 1 ( ) = 41,4 o 2bc B = Cos 1 ( a2 + c 2 b 2 ) = Cos 1 ( ) = 55,77 o 2ac Nu kan man finde den sidste vinkel på to metoder. Man kan vælge cosinusrelationerne eller vinkelsummen. C = 180 A C = ,4 55,77 = 82,83 Trekanten vil se sådan ud. De blå tal er resultater. Endelig er opgaven løst.

9 b. Man kan finde vinklerne og længden ved hjælp af cosinusrelationerne. Her er kravet om at man kender en vinkel og 2 længder. Eksempel: a = 8 b = 10 C = 54 o Nu har man oplysninger nok til at beregne resten af trekanten. c 2 = a 2 + b 2 2 a b cosc c = cos (54) = 8,36 Nu kender man alle længder. Endelig kan man finde resten af vinklerne. B = Cos 1 ( a2 + c 2 b 2 ) = Cos 1 ( , ) = 75,32 o 2ac 2 8 8,36 Nu kan man finde vinkel A. A = 180 C B = ,32 = 50,68 Trekanten vil se sådan ud. De blå tal er resultater. Nu er opgaven løst.

10 c. Man kan finde vinklerne og længden ved hjælp af sinusrelationerne. Her er kravet om at man kender en vinkel og to længder eller omvendt. Når man taler om sinusrelationer, så findes der to løsninger, afhængig om trekanten er stump eller spids. Eksempel: a = 20 c = 13 A = 117 o Nu har man oplysninger nok til at beregne resten af trekanten. Derfor laver man en ligning. SinA a = SinC C Sin(117) = SinC SinC 20 = Sin(117) 13 SinC 20 Sin(117) = 20 C = Sin 1 Sin(117) 13 ( ) 20 C = 35,39 o Nu kan man finde vinkel B ved at tage summen af trekanten. B = 180 A C = ,39 = 27,61 o Endelig kan man finde den sidste side ved hjælp af cosinusrelationerne. b 2 = a 2 + c 2 2 a c cosb b = cos (27,61) = 10,4 Nu er opgaven løst.

11 d. Man kan finde vinklen og længderne ved hjælp af sinusrelationerne og vinkelsummen. Her er kravet om at man kender to vinkeler og en længde. Eksempel: a = 24 A = 67 o B = 36 o For at finde den sidste vinkel kan man tage vinkelsummen som er 180 grader. C = 180 A B = = 77 o Resten af trekantens længder kan beregnes ved hjælp af sinusrelationerne. a SinA = b SinB = c SinC 24 Sin(67) = b Sin(36) b Sin(67) = 24 Sin(36) b Sin(67) Sin(67) = 24 Sin(36) Sin(67) b = Sin 1 24 Sin(36) ( ) Sin(67) b = 15,32 24 Sin(67) = c Sin(77) c Sin(67) = 24 Sin(77) c Sin(67) Sin(67) = 24 Sin(77) Sin(67) c = Sin 1 24 Sin(77) ( ) Sin(67) c = 25,40 Nu er opgaven løst.

12 e. I den her opgave kender man alle vinklerne i en trekant. Man kan derfor ikke regne siderne, da man skal have følgende for at kunne udregne dem: To vinkler og en side. En vinkel og to sider. Alle sider. Formlen for sinussvingninger: 7. Sinussvingninger * Sinussvingninger er om de funktioner, der har form som en bølge. Formlen for disse funktioner er f(x) = a sin(bx + c) + k a, b, c og k er alle konstanter, hvor man på forhånd går ud fra, at b er større en 0. Til at begynde med er k = 0. Betydning af a a kaldes svingningens amplitude, og angiver hvor meget bølgen svinger, eller hvor høj bølgen er. Er a for eksempel 1, går bølgen 1 op af y-aksen og på samme måde 1 ned af y-aksen. Betydninger af b b er defineret som 2π. Svingningstiden for f(x) = sin(x) er 2π, hvilket betyder b at fra 0 til 2π udgør 1 svingning. Som oftest regner man x for tid, som vi betegner for T. T = 2π b Betydning af c Grafen for vores formel f(x) = a sin(bx + c) + k, skærer 0 på x-aksen dvs. x = c hvilket bliver kaldet for faseforskydning, og er samtidig også formlen for b at finde c. så det kræver, at man først har fundet b.

13 Betydning af k k angiver parallelforskydning af grafen i lodret retning, dvs. at der tale om den samme funktion, som foregår forskellige steder på y-aksen, altså parallelt. Eksempel: Først aflæser man afstandene mellem bølgerne på x-aksen. 3,5 0,375 = 3,125 også kaldet perioden eller T = 3,125. b = 2π 3,125 Ligningen løses for T vha. CAS-værktøjet WordMat. b = 2, Derefter aflæser vi afstandene på y-aksen. a = Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat. a = 3 Derefter anvender vi vores ligning c b 1 = c 2,01 Ligningen løses for c vha. CAS-værktøjet WordMat. c = 2,01 Derefter aflæser vi toppunktet på bølgetoppene og dividere dem.

14 k = = 1 Funktionen ser således ud: f(x) = 3 sin(2,01x + 2,01) + ( 1) *Et andet eksempel findes som bilag. Bilaget tager udgangspunkt i tidevand. 8. Sinussvingninger med grafer I den her opgave skal man tegne en graf over de forskellige funktioner. Funktionerne har hver sin farve, og kan derfor ses på følgende tegning: Endelig kan amplituderne bestemmes, og det er blot sinuskurvens svingninger som går fra origo og til hhv. 1 og 1 på y-aksen. Man skal derfor huske på, at der er konstanter i disse svingningerne. Der er følgende konstanter: a, som angiver højden af bølgerne. a betyder derfor amplitude. b, som angiver længden af en svingning, og derfor kaldes svingningstiden. c, er angivet som faseforskydningen. k, angiver parallelforskydning af grafen i lodret retning Hvis man f.eks. skriver f(x) = 3 sin (2x 1) vil man få en helt anden tegning 2 med anderledes amplituder. Perioden i disse tre funktioner, kan derfor bestemmes ved at regne på følgende: f(x) = sin (x) Da er b=0 og derfor kan man finde ud af hvordan den svinger på x-aksen. Man kan regne på det ved at benytte denne formel: T = 2π b dividere og derfor må den svinge 1 gang per bølge. da b er 0 kan man ikke I de andre funktioner kan man regne perioden og dette gøres - ligesom før - ved hjælp af forskellige formler.

15 g(x) = sin (2x) Her skal man benytte sig af formlen T = 2π og da b er 2, kan man blot indsætte b det i formlen. T = 2π 2 3, Endelig kan man bestemme frekvensen ved hjælp af formlen: F = 1 T = b 2π man vælger selv hvilken del af formlen man vil bruge afhænger af sine værdier. F = 1 3,14 0, Da kan man runde op og få 0,32 som vil være frekvensen som svinger 0,32 gange pr. enhed på x-aksen. h(x) = sin ( 1 3 x) Her skal man benytte sig af formlen T = 2π og da b er 2, kan man blot indsætte b det i formlen. T = 2π ,84956 Endelig kan man bestemme frekvensen ved hjælp af formlen: F = 1 T = b 2π man vælger selv hvilken del af formlen man vil bruge afhænger af sine værdier. F = 1 18,84 0, Da kan man runde op og få 0,053 som vil være frekvensen som svinger 0,053 gange pr. enhed på x-aksen. 9. Afledede funktioner Den afledede af f(x) = sinx er f (x) = cosx Man gør brug af differentialkvotienter for følgende bevis. y h = f(x + h) f(x) h = sin(x + h) sin (x) h Da man kan vise, at der gælder en trigonometrisk sammenhæng for en differens mellem to sinus-værdier, sker følgende: x + y y sinx siny = 2 cos ( ) sin (x 2 2 )

16 Og benytter man denne formel, får man følgende: y h = 2 cos ( 2x + h 2 ) sin ( h 2 ) h cos (x + h 2 ) sin (h 2 ) ( h 2 ) = cos (x + h 2 ) 2 sin (h 2 ) h Her skal man lade h nærme sig 0. Dvs. når cosinus er kontinuert, så gælder følgende For h 0 cos (x + h 2 ) cosx Hermed skal grænseværdien bestemmes. Grænseværdien er sin ( h 2 ) ( h 2 ) Når h nærmer sig 0, så kan man sige, at man skal gøre følgende: 2 sink lim k 0 k = På enhedscirklen kan man se, at hvis k er et tal, som er vinkel i radianer, tæt på 0, så er sink (y-koordinaten til retningspunktet for k) og k (buelængden for radiantallet k) næste lige store, så her har man: sink k 1 for k 0 Dermed får man af foregående udregninger 1 og 2, at y h cosx 1 = cosx for h 0

17 Da grænseværdien for differentialkvotienten f(x) = sinx er sætningen endelig bevist. Den afledede af funktionen h(x) = cosx er h (x) = sinx Dette bevis bliver udført ved hjælp af enhedscirklen. cosx = sin ( π x) og sinx = cos 2 (π x) 2 I dette tilfælde kan man differentiere sammensatte funktioner. x π 2 x sin (π 2 x) y siny Den indre og ydre funktions afledede er henholdsvis -1 og cosy. Så man får: h (x) = 1 cosy = cosy = cos ( π x) = sinx 2 Endelig er sætningen bevist. Den afledede af funktionen h(x) = tanx er h (x) = 1 cos 2 x = 1 + tan 2 x For at bevise denne sætning, skal man benytte sig af brøkreglen for differentiation på funktionen.

18 h(x) = tanx = sinx cosx Samme med de aflede for sinx og cosx, fås følgende: h (x) = (sinx) cosx (cosx) sinx cos 2 x = cos2 x + sin 2 x cos 2 x = cosx cosx ( sinx) sinx cos 2 x Herved kan man benytte sig af grundrelationen for sinus og cosinus: sin 2 x + cos 2 x = 1 og her fås så h (x) = 1 Brøken kan også deles sådan op: h (x) = cos2 x + sin 2 x cos 2 x Hermed er sætningen bevist. cos 2 x = cos2 x cos 2 x + sin2 x cos 2 x = 1 + tan2 x 10. Litteraturliste Carstensen, Jens; Frandsen, Jesper; Studsgaard, Jens - MAT B HF - Systime - 1. udgave 2. oplag 2007 Carstensen, Jens; Frandsen, Jesper; Studsgaard, Jens - MAT B til A STX - Systime - 2. udgave 2. oplag 2010

19 11. Bilag 1 - Havvandsstigning I en bestemt havn er vandstanden ved lavvande 2m og ved højvande 26m. Højvande indtræffer kl. 6 og kl. 18. Vandstanden kan beskrives ved en sinuskurve. Man kan i den her opgave finde sinuskurven ved at finde alle konstanterne a, b, c og d. Forskriften ser sådan ud: f(x) = a sin(bx + c) + d Da a er amplituden, dvs. svingningerne fra top til bund, kan man beregne den ved at sige 26 2 = 24 så amplituden må være 12. d er altså 14, da der skal være 12 på den ene side altså fra 2 og den anden side, altså op til 26. Derfor ser forskriften sådan ud: f(x) = 12 sin(bx + c) + 14 Perioden med vandet kalder man for b, så b kan beregnes på følgende måde: T = 2π b Da man allerede får angivet nogle tider, kan man finde ud af hvad T er. I opgaven står der fra kl. 6 til 18. Derfor må tiden være 12 timer. Derfor har man en ligning: Derfor ser funktionen sådan ud: 12 = 2π b b = 2π 12 f(x) = 12 sin ( 2π x + c)

20 Nu kender man b og derfor mangler man kun at finde c. Når man ser på grafen og bare siger, at c=0 så vil sinuskurven starte fra nr. 14, og toppunktet vil derfor ramme kl. 3 om natten. Men da den først skal starte fra kl. 6 om morgenen så skal man beregne forskydningen og derfor kan man sige 3+3 = 6 hvilket er om morgenen. Så derfor sætter man 3 ind på T s plads. 3 = c b 3b = c 3 2π 12 = c c = 6π 12 Derfor er alle konstanterne fundet og funktionen er derfor angivet. Man kan indsætte den i GeoGebra og få en graf over svingningerne. f(x) = 12 sin ( 2π 6π x ) + 14

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

06 Formler i retvinklede trekanter del 2

06 Formler i retvinklede trekanter del 2 06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik A1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Matematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A Bind 1 B c h a A b x H x C Mike Auerbach Matematik A, bind 1 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne

Læs mere

M A T E M A T I K A 1

M A T E M A T I K A 1 M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

M I K E A U E R B A C H. c a

M I K E A U E R B A C H. c a M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 4. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

M A T E M A T I K B 1

M A T E M A T I K B 1 M A T E M A T I K B 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c h a A b x H x C Matematik B1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Trigonometri at beregne Trekanter

Trigonometri at beregne Trekanter Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

MatematikB 2011 Supplerende stof Trigonometri og trekanter

MatematikB 2011 Supplerende stof Trigonometri og trekanter Trigonometriske funktioner Dette kapitel handler om de såkaldte trigonometriske funktioner, hvilket vil sige funktionsudtryk med sin, cos og tan Ikke kernestof på B Funktionerne vil kun forekomme i forbindelse

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Matematikprojekt. Svingninger. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 17 September 2010

Matematikprojekt. Svingninger. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 17 September 2010 Matematikprojekt om Svingninger Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 17 September 2010 Del I Radianer Når man arbejder med vinkelstørrelser, kan man beskrive afstanden

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt Trigonometri Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) 0,00 0,00 30,00 0,50 60,00 0,87 1,00 0,02 31,00 0,52 61,00 0,87 2,00 0,03 32,00 0,53 62,00 0,88 3,00 0,05 33,00 0,54 63,00 0,89 4,00 0,07 34,00

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse COS, SIN, TAN og RETVINKLEDE TREKANTER... 3 Vinkler målt i radianer:... 6 Grundrelationen:... 8 Overgangsformler:...

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2013

Løsningsforslag MatB Juni 2013 Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Løsningsforslag MatB Jan 2011

Løsningsforslag MatB Jan 2011 Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Eksamen HFC 4. juni 2012

Eksamen HFC 4. juni 2012 Sponsoreret til af en dygtig elev Eksamen HFC 4. juni 2012 Opgave 1) Ligningen løses for K_0 vha. CAS-værktøjet WordMat. Der blev indsat 50.000 kroner på kontoen. b) Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Teorien. solkompasset

Teorien. solkompasset Teorien bag solkompasset Preben M. Henriksen 31. juli 2007 Indhold 1 Indledning 2 2 Koordinatsystemer 2 3 Solens deklination 4 4 Horisontalsystemet 5 5 Solkompasset 9 6 Appendiks 11 6.1 Diverse formler..............................

Læs mere

Løsning til aflevering - uge 12

Løsning til aflevering - uge 12 Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 2 Institution: Projekt Vejanlæg. Matematik B-niveau Differentialregning

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 2 Institution: Projekt Vejanlæg. Matematik B-niveau Differentialregning VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 2 Institution: 333247 2015 Projekt Matematik B-niveau Differentialregning Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Kddafi, Zehra Köse og Tobias Winberg Indledning I dette

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Svar på opgave 322 (September 2015)

Svar på opgave 322 (September 2015) Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Opgave 1 - Eksponentiel funktion/procent og renter

Opgave 1 - Eksponentiel funktion/procent og renter Alle beregninger er, hvis ikke andet angivet, udført med WordMat. Opgave 1 - Eksponentiel funktion/procent og renter Jeg vil nu finde ud af hvor stort et beløb der står på kontoen efter 1 år med en starts

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2014

Løsningsforslag MatB Juni 2014 Løsningsforslag MatB Juni 2014 Opgave 1 (5 %) a) Bestem en ligning for den rette linje l, der indeholder punkterne P( 2,4) og Q(4, 1) Løsning: Da de to punkter er givet kan vi beregne hældningen på følgende

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012. MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9b & 9c)

Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Indhold GEOMETRI, (E-OPGAVER 9B)... 1 Arealet af en er ½ højde grundlinje... 1 Vinkelsummen i en er altid 180... 1 Ensvinklede er... 1 Retvinklede er... Sinus,... FORMLER...

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge. Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne

Læs mere

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATION 4 2 RENTES REGNING F I NMED N H REGNEARK. K R I S T I A N S E N KUGLE 5 LANDMÅLING 3 MÅLSCORE I HÅNDBO G Y L D E N D A L Faglige mål: Anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Angela

Læs mere

Matematik C Noter For S15B. Af Cristina Sissee Jensen

Matematik C Noter For S15B. Af Cristina Sissee Jensen Matematik C Noter For S15B Af Cristina Sissee Jensen Indholds fortegnelse Statistik s.4-6 o Forklaring på ikke og grupperede statistik s.4 o Ikke grupperede s.4 o Grupperede s.6 Tal- og bogstavregning

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 15/16, eksamen maj-juni 2016 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold 2-årig

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 15/16, eksamen maj-juni 2016 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe

Læs mere

UNDERVISNINGSBESKRIVELSE

UNDERVISNINGSBESKRIVELSE UNDERVISNINGSBESKRIVELSE Termin Maj-juni 2014-2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF2 Matematik B Ineta Sokolowski mab2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Matematik B 2F Mundtlig eksamen Juni - 2011

Matematik B 2F Mundtlig eksamen Juni - 2011 1. Lineære funktioner Du skal vælge dele af dine emneopgave med ovenstående titel og redegøre nærmere herfor Redegør for a og b s betydning for udseendet af grafen for den lineære funktion og bestemmelse

Læs mere

1 Løsningsforslag til årsprøve 2009

1 Løsningsforslag til årsprøve 2009 1 Løsningsforslag til årsprøve 009 Opgave 1 Figur 1 viser en tegning af en person der står på en skrænt og smider en sten ud over vandet. Vandet har overflade i t-aksen. Stenen følger grafen for funktionen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2012

Løsningsforslag MatB Juni 2012 Løsningsforslag MatB Juni 2012 Opgave 1 (5 %) a) Isolér t i følgende udtryk: I = I 0 e k t t = I = I 0 e k t I I 0 = e k t ln( I I 0 ) = k t ln(e) ln( I I 0 ) k = ln(i) ln(i 0) k Opgave 2 (5 %) En funktion

Læs mere

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning.

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er

Læs mere

GL. MATEMATIK B-NIVEAU

GL. MATEMATIK B-NIVEAU GL. MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 29. maj 2013 2016 Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3 Opgave 4 Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2014/2015, eksamen maj-juni 2015 Institution Kolding HF&VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Løsningsforslag 27. januar 2011

Løsningsforslag 27. januar 2011 Løsningsforslag 27. januar 2011 Opgave 1 (5%) Isolér t i udtrykket: 3x + 4 = 2x + t t 3x + 4 = 2x + t t og t 0 t(3x + 4) = 2x + t 3tx + 4t t = 2x t(3x + 4 1) = 2x t = 2x 3x + 3 og G = R\{-1} Opgave 2 (5%)

Læs mere

TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE.

TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. FRA FÆLLES MÅL Målsætninger for undervisningsforløbet er opsat efter kompetence, færdigheds og vidensmål samt læringsmål i lærersprog. Geometri og måling Fase 3 Geometriske

Læs mere

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2017 Institution HANSENBERG Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold htx Matematik A Irina Kristensen

Læs mere

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 4 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2015 Institution Kolding HF og VUC, Kolding Åpark 16, 6000 Kolding Uddannelse Flexhold Matematik

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2014 Studenterkurset

Læs mere

Trigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsærker, hor der kræes stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og inkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Matematik B. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B Bind 1 B c h a A b x H x C Mike Auerbach Matematik B, bind 1 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår efterår 16, eksamen december 2016 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere