Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal.

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal."

Transkript

1 - 0 - Appendi. Nogle egenskaber ved reelle tal. Som bekendt består de reelle tal R (dvs. alle tal på tallinien) af de rationale tal Q og de irrationale tal I, dvs. R = Q I. De rationale tal Q er mængden af tal, der kan skrives som brøker imellem to hele tal, hvor nævneren er forskellig fra nul, og de irrationale tal I er de tal, som ikke har denne egenskab. Det første vi skal bevise i dette appendi er, at der overhovedet findes irrationale tal. Vi bemærker først, at mængden Z af hele tal er en delmængde af de rationale tal, dvs. Z Q, idet ethvert helt tal kan skrives som en brøk imellem sig selv og tallet. Endvidere gælder det, at Q er afsluttet overfor regningsarterne: addition (+), subtration ( ) og multiplikation ( ), dvs. at en sum, en differens eller et produkt af to rationale tal giver et nyt rationalt tal. Vi viser dette for addition (+), og overlader argumenterne for subtration ( ) og multiplikation ( ) til læseren. Vi skal altså vise, at hvis p og q er rationale tal, så er p + q også er rationalt tal. Da p og q er rationale, findes her hele tal m, n, s og t, så: p = m n og q = s. Ud fra dette ser vi, at: t p + q = m s m t + s + = n n t n t og da et produkt og en sum af hele tal giver hele tal ser vi, at m t + s n og n t er hele tal. p + q er derfor skrevet som en brøk mellem hele tal, dvs. p + q er et rationalt tal. Ethvert rationalt tal kan i øvrigt skrives som en uforkortelig brøk mellem to hele tal, idet vi kan forkorte brøken mellem de to hele tal indtil den er uforkortelig. Om de hele tal Z gælder, at hvis m Z er ulige, så er m også ulige. Dette bevises på følgende måde: Hvis m er ulige, så findes et helt tal n, så m = n + (overvej!), hvormed vi får, at: m = (n + ) = 4n + 4n +. Da 4n og 4n er lige tal (de er hele tal ganget med 4), så er 4n + 4n også et lige tal. Når vi så lægger til dette, får vi et ulige tal, hvormed vi ser, at m er ulige. Vi ser dermed også, at hvis der for et helt tal p gælder, at p er lige, så er p selv lige. Dette skyldes, at hvis p var ulige, så ville p også være ulige, og det er jo ikke tilfældet, idet p er forudsat at være lige. Vi er nu klar til at bevise følgende berømte sætning (som bl.a. også giver os, at der eksisterer irrationale tal): Sætning A... Q, dvs. er et irrationalt tal. Bevis: Vi beviser sætningen ved et indirekte argument. Vi antager altså, at Q, dvs. at er et rationalt tal, og vi vil så vise, at dette fører til en modstrid (dvs. noget, de er logisk forkert).

2 - - Da Q, kan skrives som en uforkortelig brøk mellem to hele tal. p Vi antager altså, at =, hvor p og q er hele tal, og hvor brøken er uforkortelig. q p p Af = ses, at ( ) = ( ) og dermed, at p = q. Da q er et helt tal, ses det, at p er lige. q q Ifølge de indledende kommentarer er p derfor selv lige. Der findes således et helt tal s, så p = s, hvilket indsat i p = q giver: (s) = q, hvoraf vi får: q = s. Dette betyder, at q er lige, og p dermed, at q selv er lige. Vi har således, at både p og q er lige. Men dette er i strid med, at brøken q er uforkortelig. Vi er hermed kommet til en modstrid, hvormed den oprindelige antagelse om at er et rationalt tal ikke kan gælde. er altså et irrationalt tal. Hermed er sætningen bevist. Om de irrationale tal I gælder bl.a. følgende: Sætning A... For ethvert rationalt tal q og ethvert helt tal n ( n 0) gælder, at q + I n Der findes derfor uendeligt mange irrationale tal, og der findes mindst lige så mange irrationale tal, som der findes rationale tal. Bevis: Vi fører et indirekte bevis: Antag altså, at q + Q. Da Q er stabil overfor +, og, og da q og n n er rationale tal, ser vi, at: q + Q giver os, at: q + q Q, dvs. Q. n n n Og dermed får vi, at: n Q, dvs. Q. Dette er imidlertid i strid med sætning A.., n hvormed første del af sætning A.. er bevist. Hvis n = ser vi specielt, at q + I. Heraf fås de to sidste påstande i sætningen: Dels ses, at da der er uendelig mange rationale tal (de rationale tal indeholder bl.a. de hele tal), er der uendeligt mange irrationale tal, og dels ses, at for ethvert rationalt tal q findes der et irrationalt tal q + Hermed er sætningen bevist. Øvelse A Opskriv de 5 irrationale tal q +, der fremkommer, når q = 5, q = 65,89 hhv. q = n 7 og n = 3, n =, n = 8, n = 54 hhv. n = 000. Udregn en tilnærmet værdi på regnemaskinen. Vi nævner uden bevis, at for ethvert primtal p gælder, at p I, samt at der findes mange andre irrationale tal end kvadratroden af et visse hele tal. Et af de berømteste er tallet π (som er fastlagt ved forholdet mellem omkredsen og diameteren i en cirkel).

3 - - Vi vil nu gå over til at se på andre særlige egenskaber ved de rationale og de irrationale tal. Der gælder nemlig om dem begge, at de ligger tæt i R, dvs. uanset hvilke to reelle tal man tager (og underforstået: uanset hvor tæt de to valgte reelle tal ligger på hinanden), så findes der både et rationalt og et irrationalt tal imellem disse to tal. Der gælder altså følgende sætning: Sætning A..4. ) De rationale tal Q ligger tæt i de reelle tal R, dvs. uanset hvor tæt to forskellige reelle tal ligger på hinanden, så findes der et rationalt tal imellem dem. ) De irrationale tal I ligger tæt i de reelle tal R, dvs. uanset hvor tæt to forskellige reelle tal ligger på hinanden, så findes der et irrationalt tal imellem dem. Bevis: Ad ): Lad r og r være to vilkårligt valgte reelle tal, hvor r < r. Vi skal da bevise, at der findes et rationalt tal q, som ligger imellem r og r, dvs. som opfylder: r < q < r Lad n N være valgt, så n >. (N er mængden af de naturlige tal, dvs. de positive hele tal). r r Dette er muligt, da N fortsætter i det uendelige. Lad herefter m være det mindste hele tal, som opfylder, at: m n r. Vi vil nu bevise, at hvis vi sætter q =, så opfylder q det ønskede. m n Da q er en brøk mellem to hele tal, er q et rationalt tal. Vi skal derfor undersøge størrelsen af q. Først bevises, at q < r : Ifølge definitionen af m har vi, at m < n r, og da n er positiv, kan vi dividere med n uden at m vende ulighedstegnet, hvormed vi får: < r. n m Dernæst bevises, at r < q. Vi benytter et indirekte bevis, og antager altså, q r, dvs. at r. n Vi vil så argumentere for, at dette fører til en modstrid, hvormed der må gælde, at r < q. m Hvis r får vi ved multiplikation med n, at m n r og dermed, at m n r + n Af n > får vi, idet r r er et positivt tal, at n (r r ) > og dermed: n r n r >, hvilket r r giver os: n r > n r +. Kombineres dette med m n r +, ser vi, at m < n r, hvilket er i strid med, at m er valgt, så m n r. Hermed er sætningens. del bevist. Ad ): Lad r og r være to vilkårligt valgte reelle tal, hvor r < r. Vi skal da bevise, at der findes et irrationalt tal s, som ligger imellem r og r, dvs. som opfylder: r < s < r Da de rationale tal Q ifølge. del af sætningen ligger tæt i R, findes et tal q Q, så r < q < r Lad n være et positivt helt tal som opfylder, at n >. Da r q er positivt, får vi hermed, at r q n ( r q) > og dermed, at: r q >. Dette giver os endeligt, at q + < r. n n Da > 0 har vi desuden, at r < q < q +. Hvis vi sætter s = q +, så ser vi altså, at n n n r < s < r, og da s ifølge sætning A.. er et irrationalt tal, er sætningen bevist.

4 - 3 - Øvelse A..5. a) Bestem et rationalt og et irrationalt tal imellem 3, og 3, b) Bestem et rationalt og et irrationalt tal imellem 5 og,36068 c) Bestem et rationalt og et irrationalt tal imellem 000, og 000 Sætning A..4 har mange konsekvenser vedrørende egenskaber ved de reelle tal. Vi vil her se på nogle få egenskaber, som der er brug for i denne bog: I enhver omegn om et tal o findes der både rationale og irrationale tal forskellig fra o Som omtalt i Kapitel er en omegn om f.eks. tallet 9 et åbent interval, der er symmetrisk omkring 9. Uanset hvor lille denne omegn er, f.eks. fra 8, til 9,00000, så findes der ifølge Sætning A..4 både rationale og irrationale tal her inde. Hvis a er venstre endepunkt i et interval I, hvor a I (dvs. intervallet er åbent hen mod a), så findes der ikke noget mindste tal i intervallet. Hvis vi f.eks. ser på intervallet I = ]4 ; 00[, så er 4 ikke med i I, og der findes ikke noget tal i I, som er det mindste (dvs. som er større end 4 men samtidig mindre end alle de andre tal i intervallet). Dette skyldes, at uanset hvor tæt på 4 vi vælger et tal t, f.eks. t = 4, , så er der ifølge sætning A..4 både et rationalt og et irrationalt (og dermed reelle) tal imellem a og t. Hvis b er højre endepunkt i et interval I, hvor b I (dvs. intervallet er åbent hen mod b), så findes der ikke noget største tal i intervallet. (Argumentet overlades til læseren som en øvelse). I forbindelse med grænseværdi (kap. mm.) taler vi om, at en variabel størrelse går imod et givet fast tal o, hvilket skrives o. Vi kan f.eks. have, at 5, hvor det faste tal o = 5. Dette betyder, at kan komme lige så tæt på o, som det skal være uden nogensinde at blive lig med o!! At noget sådant giver mening fremgår bl.a. af, at uanset hvor tæt er på o, så findes der ifølge sætning A..4 stadigvæk reelle tal imellem og o, både rationale og irrationale tal. I ethvert interval (dvs. imellem to vilkårlige reelle tal) findes der uendeligt mange rationale og uendeligt mange irrationale tal og dermed altså også uendeligt mange reelle tal. Dette kan indses på følgende måde: Betragt intervallet fra a til b, og lad c være dette intervals midtpunkt. Da a < c findes der et rationalt tal q imellem a og c, dvs. a < q < c, og tilsvarende ses, at der findes et rationalt tal q imellem c og b, dvs. c < q < b. Vi har dermed to rationale tal q og q imellem a og b, hvor q < q. (Tegn en skitse af situationen!) q q q q For ethvert m N gælder (overvej!), at a < q + q < b, og da tallet q + er m m et rationalt tal (overvej!), er der uendeligt mange rationale tal mellem a og b. Det er muligt at vælge et positivt helt tal p, så a < q + < b. Vi skal blot vælge p p > b q (overvej dette!). Hvis n N er større end p, så er a < q + n < q + < b. p Da der er uendeligt mange hele tal n større end p, er der ifølge sætning A..3 uendeligt mange irrationale tal mellem a og b.

5 - 4 - De reelle tal har mange flere interessante egenskaber. En af de vigtigste egenskaber som vi ikke kan bevise, men dog nok fornemme på baggrund af bl.a. de ovenfor omtalte egenskaber er, at de reelle tal er et kontinuum (dvs. en sammenhængende talmængde uden huller). Der er altså ingen steder på tallinien, hvor der mangler nogen tal. Intervalruser. Definition A..6. Ved en intervalruse forstås en uendelig række af ikke-tomme, lukkede, begrænsede intervaller I, I, I 3,..., I n,..., hvorom der gælder, at ethvert interval i rusen er en delmængde af det foregående interval, dvs.: I I I... I... 3 n længden af et vilkårligt interval i rusen er højst halvdelen af det foregående intervals længde dvs. for alle n N: l(i n + ) l (I n ), hvor l (I) betyder længden af intervallet I. Vi bemærker, at det i en intervalruse gælder, at l(i n ) l (I ) for alle n N (Overvej!). Hvis vi ser på fællesmængden af alle intervallerne i en intervalruse, så er det klart, at denne fællesmængde højst kan indeholde ét tal. Hvis vi nemlig har to forskellige tal p og q, så findes der et naturligt tal n, så, hvormed der gælder, at: p q l (I l(i ) l(i n ) n n ). Da p q er p q afstanden mellem p og q ser vi derfor, at p og q ikke begge kan ligge i intervallet I n +. Omvendt må det være oplagt, bl.a. når vi tænker på de egenskaber ved de reelle tal, der er beskrevet i det foregående, at der findes et tal, som ligger i alle intervaller i rusen. Dette er en af de fundamentale egenskaber ved de reelle tal, som vi ikke kan bevise, men som må anføres som et såkaldt aksiom byggende på de reelle tals opbygning og egenskaber. Aksiom A..7. (Intervalsammensnævringsaksiomet). n Enhver intervalruse fastlægger netop ét reelt tal, dvs. fællesmængden består af netop ét tal. Eksempel A..8. Betragt intervallet I = [ ] 0;. Ud fra I kan laves en intervalruse ved som det næste interval i rusen at tage skiftevis den venstre og den højre halvdel af det foregående interval. Man kan bevise, at denne intervalruse bestemmer tallet, men beviset udelades af pladshensyn. 3 Øvelse A..9. Opskriv de første otte intervaller i den intervalruse, der omtales i eksempel A..8 og argumentér for, at er indeholdt i dem alle sammen. 3 Man kan i øvrigt bevise (men beviset ligger langt udenfor rammerne af denne bog), at intervalsammensnævringsaksiomet er ensbetydende med de reelle tals kontinuumsegenskab.

6 - 5 - Appendi. Regneregler for grænseværdier. Beviser. I dette appendi bevises sætning., som nedenfor kaldes sætning A.., på baggrund af definition.3, som nedenfor kaldes definition A... Definition A... En funktion f siges at have grænseværdien a for gående mod o, hvis der for enhver omegn ω(a) om a findes en udprikket omegn ω ( o ) om o, således at hvis er indeholdt i ω ( o ), så er f() indeholdt i ω(a) (Jfr. figur A..). ω(a) Ved anvendelse af kvantorer og andre matematiske symboler kan denne definition også skrives: ω(a) ω ( o ) : ω ( o ) f() ω(a) Fig. A.. At f() har grænseværdien a for gående mod o skrives kort på en af følgende to måder: ω ( o ) eller f() a for o (hvilket læses: f() går mod a for gående mod o ) limf () o = a (hvilket læses: limes af f() for gående mod o er lig med a) Sætning A... Regneregler for grænseværdier. Lad det om funktionerne f og g være givet, at f() a for o og g() b for o hvor a og b er givne tal. Da gælder: ) f() + g() a + b for o ) f() g() a b for o 3) f() g() a b for o 4) Hvis k er en konstant gælder: k f() k a for o f () a 5) Hvis b 0 gælder: for o g() b Bevis: Ad ): Vi skal altså vise, at hvis f() a for o og g() b for o, så gælder der, at f() + g() a + b for o. Ifølge definition A.. skal vi altså bevise, at:

7 - 6 - ω(a + b) ω ( o ) : ω ( o ) f() + g() ω(a + b) At noget gælder for enhver omegn om a + b klares bevisteknisk ved at vælge en tilfældig omegn ω(a + b) om a + b, og så vise, at det ønskede gælder for denne omegn. Vi vælger altså en tilfældig omegn ω(a + b) om a + b, og vi vil så vise, at der svarende til denne findes en udprikket omegn ω ( o ) om o som har den egenskab, at hvis ω ( o ), så er f() + g() ω(a + b). Lad radius af den tilfældigt valgte omegn ω(a + b) om a + b være ε. Vi skal da vise, at der findes en udprikket omegn ω ( o ) om o som har den egenskab, at hvis ω ( o ) så er (f () + g()) (a + b) < ε, dvs. at afstanden mellem f() + g() og a + b er mindre end radius ε (Overvej!). Vi omskriver først på: (f () + g()) (a + b). Ifølge regnereglen p + q p + q får vi: (f () + g()) (a + b) = (f () a) + (g() b) f () a + g() b Betragt nu den omegn ω(a) om a, som har radius lig med ε. Da f() a for o findes der ifølge definition A.. en udprikket omegn ω ( o ) om o med den egenskab, at: ε ω ( o ) f() ω(a) dvs. ω ( o ) f () a < Betragt dernæst den omegn ω(b) om b, som har radius lig med ε. Da g() b for o findes der ifølge definition A.. en udprikket omegn ω ( o ) om o med den egenskab, at: ε ω ( o ) g() ω(b) dvs. ω ( o ) g() b < Vi sætter nu ω ( o ) = ω ( o ) ω ( o ). ω ( o ) er da en udprikket omegn om o (overvej!), og der gælder: ε ε ω ( o ) (f () + g()) (a + b) f () a + g() b < + = ε dvs. ω ( o ) (f () + g()) (a + b) < ε hvormed det ønskede er bevist. Ad ): (Beviset forløber næsten identisk med beviset for pkt. ) Vi skal altså vise, at hvis f() a for o og g() b for o, så gælder der, at f() g() a b for o. Ifølge definition A.. skal vi altså bevise, at: ω(a b) ω ( o ) : ω ( o ) f() g() ω(a b) At noget gælder for enhver omegn om a b klares bevisteknisk ved at vælge en tilfældig omegn ω(a b) om a b, og så vise, at det ønskede gælder for denne omegn. Vi vælger altså en tilfældig omegn ω(a b) om a b, og vi vil så vise, at der svarende til denne findes en udprikket omegn ω ( o ) om o som har den egenskab, at hvis ω ( o ), så er f() g() ω(a b). Lad radius af den tilfældigt valgte omegn ω(a b) om a b være ε. Vi skal da vise, at der findes en udprikket omegn ω ( o ) om o som har den egenskab, at hvis ω ( o ) så er (f () g()) (a b) < ε,

8 - 7 - dvs. at afstanden mellem f() g() og a b er mindre end radius ε (Overvej!). Vi omskriver først på: (f () g()) (a b). Ifølge regnereglen p q p + q får vi: (f () g()) (a b) = (f () a) (g() b) f () a + g() b Betragt nu den omegn ω(a) om a, som har radius lig med ε. Da f() a for o findes der ifølge definition A.. en udprikket omegn ω ( o ) om o med den egenskab, at: ε ω ( o ) f() ω(a) dvs. ω ( o ) f () a < Betragt dernæst den omegn ω(b) om b, som har radius lig med ε. Da g() b for o findes der ifølge definition A.. en udprikket omegn ω ( o ) om o med den egenskab, at: ε ω ( o ) g() ω(b) dvs. ω ( o ) g() b < Vi sætter nu ω ( o ) = ω ( o ) ω ( o ). ω ( o ) er da en udprikket omegn om o (overvej!), og der gælder: ε ε ω ( o ) (f () g()) (a b) f () a + g() b < + = ε dvs. ω ( o ) (f () g()) (a b) < ε hvormed det ønskede er bevist. Ad 3): Vi skal altså vise, at hvis f() a for o og g() b for o, så gælder der, at f() g() a b for o. Ifølge definition A.. skal vi altså bevise, at: ω(a b) ω ( o ) : ω ( o ) f() g() ω(a b) At noget gælder for enhver omegn om a b klares bevisteknisk ved at vælge en tilfældig omegn ω(a b) om a b, og så vise, at det ønskede gælder for denne omegn. Vi vælger altså en tilfældig omegn ω(a b) om a b, og vi vil så vise, at der svarende til denne findes en udprikket omegn ω ( o ) om o som har den egenskab, at hvis ω ( o ), så er f() g() ω(a b). Lad radius af den tilfældigt valgte omegn ω(a b) om a b være ε. Vi skal da vise, at der findes en udprikket omegn ω ( o ) om o som har den egenskab, at hvis ω ( o ) så er f () g() a b < ε, dvs. at afstanden mellem f() g() og a b er mindre end radius ε (Overvej!). Beviset opdeles i fire tilfælde: a) a = 0 b = 0 b) a 0 b = 0 c) a = 0 b 0 d) a 0 b 0 Ad a): Vi ser først på den situation, hvor både a og b er 0. Vi skal da vise, at der findes en udprikket omegn ω ( o ) om o som har den egenskab, at hvis ω ( o ) så er f () g() 0 < ε. Vi omskriver først på f () g() 0. Ifølge regnereglen p q = p q får vi: f () g() 0 = f () g() = f () g() = f () 0 g() 0

9 - 8 - Betragt nu den omegn ω(0) om 0, som har radius lig med ε. Da f() 0 for o findes der ifølge definition A.. en udprikket omegn ω ( o ) om o med den egenskab, at: ω ( o ) f() ω(0) dvs. ω ( o ) f () 0 < ε Betragt den (samme) omegn ω(0) om 0, som har radius lig med ε. Da g() 0 for o findes der ifølge definition A.. en udprikket omegn ω ( o ) om o med den egenskab, at: ω ( o ) g() ω(0) dvs. ω ( o ) g() 0 < ε Vi sætter nu ω ( o ) = ω ( o ) ω ( o ). ω ( o ) er da en udprikket omegn om o, og der gælder: ω ( o ) f () g() 0 = f () 0 g() 0 < ε ε = ε dvs. ω ( o ) f () g() 0 < ε hvormed det ønskede er bevist. Ad b): Vi ser herefter på den anden situation, hvor a 0 og b = 0. Vi skal da vise, at der findes en udprikket omegn ω ( o ) om o som har den egenskab, at hvis ω ( o ) så er f () g() 0 < ε. Vi omskriver først på f () g() 0. Ifølge regnereglen p q = p q får vi: f () g() 0 = f () g() = f () g() = f () g() 0 Hvis a > 0, så findes der ifølge definition A.. en udprikket omegn ω ( o ) om o med den egenskab, at hvis ω ( o ), så er f() a ; 3a (idet a 3a ; er en omegn om a). Hermed ses specielt, at 0 < a < f() < 3a 3, og dermed (idet både f() og a er positive), at: f () < Hvis a < 0, så findes der ifølge definition A.. en udprikket omegn ω ( o ) om o med den egenskab, at hvis ω ( o ), så er f() 3a ; a (idet 3a a ; er en omegn om a). Hermed ses specielt, at 0 > a > f() > 3a 3, og dermed (idet både f() og a er negavive), at: f () < (Overvej!) Uanset fortegnet for a har vi altså en udprikket omegn ω ( o ) om o med den egenskab, at: ω ( o ) f () < 3 a Betragt nu den omegn ω(0) om 0, der har radius lig med ε. Da g() 0 for 3 a o findes der ifølge definition A.. en udprikket omegn ω ( o ) om o med den egenskab, at: ε ω ( o ) g() ω(0) dvs. ω ( o ) g() 0 < Vi sætter nu ω ( o ) = ω ( o ) ω ( o ). ω ( o ) er da en udprikket omegn om o, og der gælder: ω ( o ) f () g() 0 = f () g() 0 < 3 a = ε dvs. ω ( o ) f () g() 0 < ε hvormed det ønskede er bevist. Ad c): Beviset for dette tilfælde forløber fuldstændigt på samme måde som ad b), idet f() og g() hhv. a og b optræder symmetrisk (ligeværdigt) i pkt. 3 i sætningen. Opskrivningen af beviset overlades til den ihærdige læser. ε 3 a a a 3 a

10 - 9 - Ad d): Endelig ser vi på den situation, hvor: a 0 b 0. Vi skal da vise, at der findes en udprikket omegn ω ( o ) om o som har den egenskab, at hvis ω ( o ) så er f () g() a b < ε. Vi omskriver først på f () g() a b, hvor vi dels indskyder leddene f () b + f () b, som i alt er lig med 0, dels anvender regnereglerne p q = p q og p + q p + q. Vi får da: f () g() a b = f () g() f () b + f () b a b = f () (g() b) + b (f () a) f () g() b + b f () a På samme måde som i ad b) kan vi finde en udprikket omegn ω ( o ) om o med den egenskab, at: ω ( o ) f () < 3 a ε Betragt nu den omegn ω(b) om b, der har radius lig med 3 a. Da g() b for o findes der ifølge definition A.. en udprikket omegn ω ( o ) om o med den egenskab, at: ε ω ( o ) g() ω(b) dvs. ω ( o ) g() b < ε Betragt endelig den omegn ω(a) om a, der har radius lig med b 3 a. Da f() a for o findes der ifølge definition A.. en udprikket omegn ω 3 ( o ) om o med den egenskab, at: ε ω 3 ( o ) f() ω(a) dvs. ω 3 ( o ) f () a < Vi sætter nu ω ( o ) = ω ( o ) ω ( o ) ω 3 ( o ). ω ( o ) er da en udprikket omegn om o, og der gælder: ω ( o ) f () g() a b f () g() b + b f () a < 3 a ε + b = ε dvs. ω ( o ) f () g() a b < ε hvormed det ønskede er bevist. ε 3 a b b Ad 4): Denne regel følger af det faktum, at det om funktionen h() = k gælder, at h() k for o, hvormed vi i pkt. 3) kan lade g() = h(), og det ønskede opnås. Ad 5): Vi skal altså vise, at hvis: f() a for o og g() b for o, hvor b 0, så f () a gælder der, at: for o. g() b Da f () f () =, er det imidlertid nok at vise, at for o, idet vi da får det g() g() g() b ønskede resultat v.hj.a. produktreglen i pkt. 3). (Overvej!!). Vi skal altså vise, at: for o g() b

11 Ifølge definition A.. betyder dette, at vi skal vise følgende: ω( b ) ω ( o) : ω ( o ) ω( b g() ) At noget gælder for enhver omegn om b klares bevisteknisk ved at vælge en tilfældig omegn ω( b ) om b, og så vise, at det ønskede gælder for denne omegn. Vi vælger altså en tilfældig omegn ω( b ) om, og vi vil så vise, at der svarende til denne findes en b udprikket omegn ω ( o ) om o som har den egenskab, at hvis ω ( o ), så er g() ω( b ). Lad radius af den tilfældigt valgte omegn ω( b ) om b være ε. Vi skal da vise, at der findes en udprikket omegn ω ( o ) om o som har den egenskab, at hvis ω ( o ) så er afstanden mellem g() og er mindre end radius ε (Overvej!). b Da b 0 har vi enten, at b > 0 eller b < 0. Vi antager først, at b > 0. g() b < ε, dvs. at Vi vil først sikre os, at vi kan indskrænke os til at se på positive funktionsværdier for g(): Da g() b for o og da b > 0, findes ifølge definition A.. en udprikket omegn ω ( o ), så ω ( o ) g() b ; 3b (idet b 3b ; er en omegn om b). I det følgende vil vi kun se på ω ( o ), hvormed vi får, at g() > b > 0. Da både g() og b er positive, kan g() > b > 0 omskrives til: 0 < < (kontrollér!). g() b For at finde frem til, hvordan ω ( o ) skal fastlægges, vil vi prøve at regne på. Vi har: = g() b b g() g() b = b g() g() b < b b hvor vi har brugt regnereglen p q = p q, samt at g() og b er positive, og at <. ε b Betragt nu tallet. Dette er et positivt tal, og det kan derfor bruges som radius i en omegn. Lad ω(b) være en omegn om b med denne radius. Da g() b for o, findes der ifølge definition A.. en udprikket omegn ω ( o ) om o hvorom der gælder: ω ( o ) g() ω(b). Men g() ω(b) betyder netop, at afstanden mellem b og g() er mindre end radius i omegnen, ε b hvilket er det samme som at sige, at b g() < (Overvej!!) Hvis vi derfor sætter ω ( o ) = ω ( o ) ω ( o ), så får vi (overvej!): ω ( o ) < b g() g() b b < b ε b ω ( o ) < ε g() b g() g() b g() = ε, dvs: Vi ser altså, at den udprikkede omegn ω ( o ) har de ønskede egenskaber, hvormed det ønskede er bevist, når b > 0. b

12 - 3 - Vi antager nu, at b < 0. Vi vil først sikre os, at vi kan indskrænke os til at se på negative funktionsværdier for g(): Da g() b for o og da b < 0, findes ifølge definition A.. en udprikket omegn ω ( o ), så ω ( o ) g() 3b ; b 3b b (idet ; er en omegn om b). I det følgende vil vi kun se på ω ( o ), hvormed vi får, at g() < b < 0. Da både g() og b er negative, kan g() < b < 0 omskrives til: < < 0 (kontrollér!). b g() For at finde frem til, hvordan ω ( o ) skal fastlægges, vil vi prøve at regne på. Vi har: = g() b b g() g() b = b g() g() b < b b hvor vi har brugt regnereglen p q = p q, samt at: g() b er positiv, idet g() b g() og b > < g() b b er negative,, idet b er negativ. ε b Betragt nu tallet. Dette er et positivt tal, og det kan derfor bruges som radius i en omegn. På samme måde som i tilfældet b > 0 kan vi finde en udprikket omegn ω ( o ) om o hvorom der gælder: ω ( o ) b g() < ε b Hvis vi derfor sætter ω ( o ) = ω ( o ) ω ( o ), så får vi på samme måde som ved b > 0, at: ω ( o ) < ε g() b Vi ser altså, at den udprikkede omegn ω ( o ) har de ønskede egenskaber, hvormed det ønskede er bevist, når b < 0. Hermed er pkt. 5) bevist. Hermed er sætning A.. (= Sætning.) bevist. g() g() b

13 - 3 - Appendi 3: Sammensatte og omvendte funktioner. Sammensatte funktioner: Eksempel A.3.. Hvis vi betragter en funktion som: h() = 3 + 9, så udregnes funktionsværdier for denne funktion ved først at udregne værdien af 3 + 9, og derefter tage kvadratroden af denne værdi. Vi kan altså sige, at h() er sammensat af funktionerne f() = og g() =. Hvis vi omvendt ser på funktionerne: f() = + 5 og g() = + 3, så er det muligt at sammensætte disse to funktioner på følgende måde: Uanset hvilken -værdi vi indsætter i f(), så vil resultatet, dvs. + 5, være indeholdt i Dm(g), idet denne er lig med R. Det vil derfor være muligt at udregne g af f(), dvs. g(f()). Lad os f.eks. prøve med = 9. Vi får da: f(9) = =. Da Dm(g), kan vi udregne g() = +3 = 54. Vi kan derfor skrive: 54 = g() = g(f(9)). Lad os dernæst prøve med = 7. Vi får da: f(7) = (= 0,95). Da Dm(g), kan vi udregne g( ) = ( ) + 3 ( ) = ( = 36,79). Vi kan derfor skrive: = g( ) = g(f(7)). Vi ser, at når vi først har udregnet værdien af f(), så indsættes denne værdi i stedet for den variable i funktionsforskriften for g, og der regnes ud. Funktionen g har den virkning på den variable, at den dels opløfter den variable i anden potens, dels ganger den med 3, og disse to størrelser lægges sammen. Lad os prøve generelt med et Dm(f). g(f()) kan udregnes på to (stort set ens) måder: g(f()) = (f()) + 3 f() = ( + 5) + 3 ( + 5) = eller g(f()) = g( + 5) = ( + 5) + 3 ( + 5) = Vi ser altså, at funktionsudtrykket for den sammensatte funktion er: g(f()) = Læseren opfordres til at udregne g(f(9)) og g(f(7)) og sammenligne med det ovenstående. Eksempel A.3.. Hvis vi igen ser på funktionerne: f() = og g() =, så er det muligt at udregne g(f()), idet f() = 5 0, og dermed er f() Dm(g). Vi får: g(f()) = g(5) = 5 ( = 3,873). Det er derimod ikke muligt at udregne g(f( 5)), idet f( 5) = 6 Dm(g). Vi ser, at definitionsmængden for g(f()) er mængden af Dm(f) som opfylder, at f() Dm(g), dvs. f() 0, hvilket betyder, at 3. Situationen i eksempel A.3. og A.3. kan generaliseres således: Lad f og g være to givne funktioner, og lad Dm(f). Hvis f() Dm(g), så kan vi finde g(f()): Dm(f) Dm(g) Vm(g) Fig. A.3.

14 I denne forbindelse anføres følgende definition: Definition A.3.3. Lad f og g være to givne funktioner. Hvis der findes Dm(f), så f() Dm(g), så defineres funktionen g f (læses: g sammensat med f eller blot: g bolle f ) på følgende måde (jfr. figur A..) Dm(f) Dm(g) Vm(g) Funktionen ( g f )() = g(f()) og Dm( f g f kaldes sammensætningen af f og g, og Fig. A.3. g ) = { Dm(f ) f () Dm(g) } g f siges at være en sammensat funktion Øvelse A.3.4. Lad f() = + 6 og g() = +. Vis at: ( g f )() = + 5 og ( f g)( ) = Bemærk, at g f 4 f g. Øvelse A.3.5. Undersøg i hvert af følgende tilfælde, om vi kan danne g f eller f g, og angiv i givet fald en funktionsforskrift for den/de sammensatte funktion(er). Husk definitionsmængden: a) f() = 3 og g() = + b) f() = 7 og g() = 3 c) f() = og g() = 3 d) f() = 3 e) f() = 4 og g() = + og g() = + 5 f) f() = 6 og g() = + 5 Som det fremgår af disse øvelser, gælder der almindeligvis, men ikke altid, at g f f g. I det følgende eksempel vil vi vise, hvordan mere end to funktioner kan sammensættes: Eksempel A.3.6. Lad f() = 3, g() = + og h() = 5 0. Hvis er det muligt at udregne f(g(h())): f(g(h())) = f(g(5 0)) = f( ) = ( ) 3. Resultatet betegnes: ( f g h)(), så vi har: ( f g h)() = ( ) 3,. Det overlades som en øvelse til læseren at bestemme et udtryk for: ( g f h)()

15 Øvelse A.3.7. Angiv i hvert af følgende tilfælde funktionsforskrifter for to funktioner f og g, som opfylder, at: a) ( f g )(q) = q + 7 b) ( f g )(v) = (v + 3) Angiv funktionsforskrifter for fire funktioner f, g, h og j, som opfylder, at: c) ( f g h j)() = ( + 5) 4 Øvelse A.3.8. Lad f() = + 4, g() =, h() = og j() = + Bestem funktionsforskrifterne for funktionerne: g j h, j h g og j f g h Omvendte funktioner: Lad os, inden vi overhovedet får fortalt, hvad man forstår ved en omvendt funktion, starte med at slå fast, at der intet mystisk er ved omvendte funktioner! Anvendelse af ordet omvendt er en relativ ting, idet en funktion under visse omstændigheder kan kaldes en omvendt funktion til en anden allerede givet funktion! Hvis vi ser på så fredelige funktioner som g() = + 3 og h() =, så tænker man vel ikke straks på, at de er omvendte. Men som vi skal se, er dette ikke desto mindre tilfældet: g er omvendt funktion til f() = 6, og h er omvendt funktion til f() =, 0. Vi skal først have begrebet en injektiv funktion defineret: Definition A.3.9. En funktion f siges at være injektiv, hvis der for ethvert y Vm(f) findes netop ét Dm(f), så f() = y. Det overlades til læseren at lave en figur af grafen for en funktion f, som ikke er injektiv og grafen af en funktion g, som er injektiv. Det overlades også til læseren at overveje, at en injektiv funktion f er det samme som en funktion med følgende egenskab: For alle, Dm(f): f( ) f( ). Endelig overlades det til læseren at argumentere for, at en monoton funktion er injektiv. Hvis vi et øjeblik vender opmærksomheden mod den grundlæggende definition af en funktion, så siger den som bekendt, at man har en funktion g fra en mængde A ind i en mængde B, hvis der til ethvert element i A ved g tilordnes netop ét element i B. Og hvis vi derefter vender blikket mod den ovenstående definition af en injektiv funktion, så har vi netop denne situation, idet der til ethvert element y Vm(f) (= A) svarer netop ét Dm(f) (= B). ( er bestemt ved, at f() = y). Vi kan derfor anføre følgende definition:

16 Definition A.3.0. Hvis f er en injektiv funktion, så har vi samtidig en funktion fra Vm(f) ind i Dm(f). Denne funktion kaldes den omvendte funktion til f og betegnes f. Og der gælder, at: f (y) = y = f() f Fig. A.3.3 Fig. A.3.4 Indholdet i definition A.3.0 kan illustreres som vist på figur A.3.3 og A.3.4, hvor figur A.3.4 er af mere skematisk karaktér. Vi bemærker, at: Dm( f ) = Vm(f) og Vm( f ) = Dm(f). f Selve betegnelsen er vel ikke den mest heldige, idet den måske kan forlede nogen til at tro, at i f har samme betydning som i f.eks. 5, hvilket på ingen måde er tilfældet. Betegnelsen f stammer fra en matematisk disciplin (teoretisk algebra), som vi ikke skal komme ind på hér. Det vigtige er imidlertid, at betegnelsen er knyttet til f, idet der er tale om den omvendte funktion til f, altså som omtalt ovenfor et relativt begreb til en allerede given størrelse/funktion. (Man kunne i princippet have betegnet funktionen med [ ] valget er altså af forskellige årsager faldet på betegnelsen: f, f, f eller andet, der indeholder f, men f ). Eksempel A.3.. a) Vi vil finde den omvendte funktion til f() = 6. Dette er muligt, idet f er voksende og dermed injektiv. Ifølge definition A.3.0 har vi: dvs. + f (y) = y = f() y = 6 y + 6 = = y 3 f (y) = y + 3. Som bekendt kan vi navngive de variable, som vi vil. Ofte vil man gerne have til at betegne den uafhængige variable. Hvis vi gør det, er forskriften for den omvendte funktion givet ved: f () = + 3. b) Funktionen f() =, 0, er voksende og dermed injektiv. (Bemærk, at forudsætningen 0 ikke kan undværes. (Hvorfor ikke?)). Vi vil finde dens omvendte funktion: For 0 har vi: f (y) = y = f() y = = y, altså: f (y) = y eller: f () =

17 Eksempel A.3.. Den omvendte funktion til g() =, > findes på følgende måde: For > 3 har vi: g 3y (y) = y = g() y = y (+3) = y = 3y = + 3 y dvs. g 3y (y) = y For at finde Dm( g ) bemærker vi først, at: > > Dernæst bemærkes, at for enhver værdi af y > 0 har ligningen: y = g(), dvs. y =, en løsning, nemlig (som vi lige har set): = Dm( g ) = R +. Der gælder altså: > 0 y > y. Vi ser således, at Vm(g) = R + og dermed, at y g (y) = 3y y, y R + Øvelse A.3.3. Find en funktionsforskrift for den omvendte funktion i hvert af følgende tilfælde: a) g(q) = q b) h(t) = +, t 0 c) f() =, 3 < d) ψ(λ) =, λ 0 3 λ + 3 t Øvelse A.3.4. Elværket Strømsvigt A/S opkræver af deres privatkunder en kvartalsafgift på 00 kr. plus, kr. pr. kwh (en energienhed), som kunderne forbruger. a) Opstil en forskrift for den funktion, der for en privatkunde angiver elomkostningerne pr. kvartal som funktion af kundens energiforbrug. b) Bestem det forbrug, som resulterer i en regning på 500 kr. og forklar, hvad dette har med omvendte funktioner at gøre. c) Bestem en forskrift, inkl. definitionsmængde, for den omvendte funktion. d) Løs pkt. b) igen v.hj.a. forskriften for den omvendte funktion. I forlængelse af eksempel A.3. a), Øvelse A.3.3 a) og øvelse A.3.4 anføres følgende sætning: Sætning A.3.5. Lad f() = a + b være en lineær funktion, hvor a 0. Da er f injektiv, og dvs. f (y) = a y b a, y Vm(f) f er en lineær funktion med hældningskoefficient a.

18 Bevis: At f er injektiv er allerede klargjort, idet f er monoton, når a 0. Desuden har vi, at f b (y) = y = f() y = a + b y b = a = y a a b hvoraf vi ser, at: f (y) = y. Hermed er sætningen bevist. a a Øvelse A.3.6. I visse dele af verden (f.eks. i USA) angives temperaturer i o F (grader Fahrenheit), og i andre dele af verden (f.eks. i Danmark) angives temperaturer i o C (grader Celcius). Temperaturen målt i o F er en funktion f af temperaturen målt i o C, idet der gælder: f() = a) Find en forskrift for den omvendte funktion, og udtryk i ord, hvad den beskriver. b) Hvilken temperatur i o C svarer til temperaturen 45 o F? 5 Øvelse A.3.7. Tegn i hvert af følgende tilfælde grafen for funktionen f og dens omvendte funktion f i samme koordinatsystem, idet den variable for både f og betegnes og afsættes ud af.aksen: f fra a) øvelse A.3.6 b) øvelse A.3.4 c) eksempel A.3. a) d) eksempel A.3. b). f Som det fremgår af øvelse A.3.7, er der en speciel sammenhæng mellem grafen for f og grafen for f, når de tegnes i samme koordinatsystem, nemlig følgende sætning (hvis bevis udelades hér): Sætning A.3.8. Lad f være en injektiv funktion. Hvis vi anvender et koordinatsystem med samme enhed på. og. aksen, så gælder, at: grafen for f fås ved at spejle grafen for f i linien y =. Fig. A.3.5 Som det fremgår af definition A.3.0 og figur A.3.4 gælder der følgende sætning (overvej!): Sætning A.3.9. Lad f være en injektiv funktion. Da gælder, at f (f ()) = for alle Dm(f) og f (f (y)) = y for alle y Vm(f) hvilket også kan formuleres således: (f f )() = og (f f )(y) = y for alle y Vm(f)

19 Funktionerne f og f er altså hinandens omvendte funktioner (overvej!). I forbindelse med monotoni gælder følgende sætning: Sætning A.3.0. Lad f være en given funktion. ) Hvis f er voksende, så er ) Hvis f er aftagende, så er f f også voksende også aftagende. Bevis: Vi beviser pkt. ). Pkt. ) vises på samme måde og overlades til læseren som en øvelse. Lad da y, y Vm(f) være vilkårligt valgt, så y < y. Vi skal da vise, at f (y ) < f (y ). Dette gør vi ved et såkaldt indirekte bevis. Vi antager altså, at f (y ) < f (y ) ikke gælder, og vil så argumentere for, at dette fører til en modstrid. Vi antager derfor, at f (y ) f (y ). Da f er voksende får vi hermed at f( f (y )) f( f (y )), dvs. y y. Men dette er i strid med, at vi ved, at y < y. Antagelsen f (y ) f (y ) er altså ikke holdbar, hvormed vi får det ønskede: f (y ) < f (y ). Hermed er sætningen bevist. Læseren opfordres til at efterprøve/kontrollere denne sætnings indhold ud fra de eksempler på omvendte funktioner, som har været omtalt i eksempler og øvelser i det ovenstående.

20 Appendi 4. Beviser for sætninger om kontinuerte funktioner. Vi vil i dette appendi bevise Sætning 3.9 (som her får benævnelsen: Sætning A.4.) og Sætning 3.36 (som her får benævnelsen Sætning A.4.3). Sætning A.4.. Hvis f er kontinuert i et interval [ ] så findes der mindst ét tal c ] a;b [, så f(c) = t, hvormed der specielt gælder, at t Vm(f). a;b, og hvis t er et tal imellem f(a) og f(b), Fig. A.4. Bevis: Hvis f(a) = f(b) er der ingenting at bevise. Vi forudsætter derfor, at f(a) f(b), og det betyder, at enten har vi f(a) < f(b) eller f(a) > f(b). Vi gennemfører beviset for situationen f(a) > f(b), og overlader beviset for situationen f(a) < f(b) til læseren (beviset forløber helt tilsvarende). Vi vælger et vilkårligt tal t som opfylder, at f(a) > t > f(b), og vi skal så vise, at der findes et tal c ] a;b [, der opfylder, at f(c) = t. Tallet c frembringes ved hjælp af en intervalruse (se Appendi ), som konstrueres på særlig vis: a;b for. (Se figur A.4. på næste side). Kald midtpunktet af [ ] Hvis f( ) = t er vi færdige, for vi kan da blot sætte c =. Hvis f( ) t har vi enten f( ) < t eller f( ) > t. Hvis f( ) < t, vælger vi venstre intervalhalvdel ;b, og vi [ a; ], og vi ser, at f(a) > t > f( ). Og hvis f( ) > t vælger vi højre intervalhalvdel [ ] ser, at f( ) > t > f(b). I begge tilfælde ser vi, at t er mindre end funktionsværdien i det nye intervals venstre endepunkt og større end funktionsværdien i det nye intervals højre endepunkt. På denne måde fortsættes: Vi finder midtpunktet n af det foregående interval (hvor n =, 3, 4, 5,.). Hvis f( n ) = t er vi færdige, for vi kan da blot sætte c = n. Hvis f( n ) t har vi enten f( n ) < t eller f( n ) > t. Hvis f( n ) < t, vælges venstre intervalhalvdel, og hvis f( n ) > t vælges højre intervalhalvdel. I begge tilfælde ser vi, at t er mindre end funktionsværdien i det nye intervals venstre endepunkt og større end funktionsværdien i det nye intervals højre endepunkt, idet dette gjaldt i det foregående interval.

21 På denne måde får vi enten en serie af intervaller, hvor funktionsværdien af midtpunktet i det sidst valgte interval er lig med t, hvormed det ønskede er opnået, og vi stopper halveringen. Eller også får a;b, og hvor der for hvert interval I n gælder, vi en intervalruse I, I, I 3,..., I n,..., hvor I = [ ] at t er mindre end funktionsværdien i I n s venstre endepunkt og større end funktionsværdien i I n s højre endepunkt. Ifølge Aksiom A..7 fastlægger denne intervalruse netop ét tal, som vi vil kalde c. Og vi vil nu bevise, at f(c) = t. f(a) f t f(b) a 3 b Fig. A.4. Vi fører et indirekte bevis, dvs. vi antager at f(c) t og viser derefter, at dette fører til en modstrid. Antag altså, at f(c) t. Vi har da enten, at f(c) < t eller f(c) > t. Vi antager, at f(c) > t. (Beviset for muligheden f(c) < t forløber helt tilsvarende og overlades til læseren). Lad ω(f(c)) være en omegn om f(c), som ikke indeholder t. En sådan omegn er mulig at finde, da a;b, er f specielt kontinuert i tallet c. Der findes derfor en f(c) > t. Da f er kontinuert i interval [ ] omegn ω(c) om c med den egenskab, at: ω(c) f() ω(f(c)), og dermed specielt med den egenskab, at: ω(c) f() > t. Da intervalrusen fastlægger c, findes der et m N, hvorefter der gælder, at I n ω(c), når n m p;q. Da I m ω(c) har vi specielt, at (overvej!). Lad p og q være endepunkterne af I m, dvs. I m = [ ] q ω(c), hvilket (som vi netop har set) medfører, at f(q) > t. Og her har så modstriden, idet det om ethvert interval i rusen gælder, at funktionsværdien af højre intervalendepunkt er mindre end c. Antagelsen f(c) t kan altså ikke gælde, hvormed vi får, at f(c) = t. Hermed er sætningen bevist.

22 - 4 - Inden vi kan bevise nedenstående Sætning A.4.3 (dvs. Sætning 3.36), skal vi indføre et par begreber, og bevise en hjælpesætning. En talmængde A siges at være begrænset, hvis der findes to tal k og K, så k K for alle A. Et tal som k, der er mindre end eller lig med alle tal i en talmængde A, kaldes et undertal for A, og et tal som K, der er større end eller lig med alle tal i en talmængde A, kaldes et overtal for A. En funktion f siges at være begrænset, hvis dens værdimængde Vm(f) er en begrænset talmængde. En funktion f siges at være begrænset i et interval I, hvis mængden af funktionsværdier f(), hvor I, er en begrænset talmængde. Der gælder nu følgende sætning, som skal bruges i beviset for sætning A.4.3: Sætning A.4.. Hvis f er en kontinuert funktion defineret i et lukket, begrænset interval [ a;b ], så er f begrænset. Bevis: Vi gennemfører et indirekte bevis, dvs. vi antager, at f ikke er begrænset, og skal så bevise, at denne antagelse fører til en modstrid. a;b konstruere en intervalruse på følgende måde: Til dette formål vil vi ud fra [ ] Vi sætter I = [ a;b ], deler I på midten og ser på de to delintervaller, dette giver. Da f ikke er begrænset i I, kan f ikke være begrænset i begge de to halve intervaller (overvej). Vi vælger en intervalhalvdel I, hvor f ikke er begrænset. På samme måde deles I i to halvdele, og da f ikke er begrænset i I, er der mindst én af de to halvdele, hvor f ikke er begrænset. Vi vælger en intervalhalvdel I 3, hvor f ikke er begrænset. Således fortsættes, hvormed vi får en intervalruse af intervaller, hvor f ikke er begrænset. a;b. Der er nu to muligheder: Denne intervalruse fastlægger ifølge Aksion A..7 ét tal q [ ] ) q er et indre punkt i [ a;b ] ) q er et endepunkt, dvs. q = a eller q = b. Vi ser først på mulighed ): Vi vælger en tilfældig omegn ω(f (q)) om f(q), og lader ε betegne radius i denne omegn. Da f er kontinuert i q, findes en omegn ω(q) om q, som opfylder, at: ω(q) f () ω (f (q)) og dermed, at: ω(q) f (q) ε < f () < f (q) + ε. Da intervalrusen fastlægger q, findes der et m N, hvorefter der gælder, at I n ω(q), når n m. Specielt ser vi hermed, at: I f (q) ε < f () < f (q) + ε, eller anderledes formuleret: m I m : f (q) ε < f () < f (q) + ε Men dette betyder, at f er begrænset i I m, hvilket er i strid med egenskaberne ved intervalrusen. Antagelsen om, at f ikke er begrænset, kan altså ikke være rigtig, hvormed det ønskede er bevist. Vi ser herefter på mulighed ): Vi ser på muligheden q = a, og overlader muligheden q = b til den interesserede læser.

23 - 4 - Vi vælger en tilfældig omegn kontinuert fra højre i a, findes en omegn ω(f (a)) om f(a), og lader ε betegne radius i denne omegn. Da f er ω+ (a) til højre for a, som opfylder, at: ω+ (a) = a f () ω (f (a)). Hvis vi lader s betegne længden af ω + (a), så kan dette også skrives (overvej!): a;a + s f () ω (f (a)) [ [ og dermed ser vi, at: a;a + s f (a) ε < f () < f (a) + ε. [ [ Da intervalrusen fastlægger (snævres sammen om) q = a, findes der et m N, hvorefter der gælder, a;a + s, når n m. at I n [ [ Specielt ser vi hermed, at: Im f (a) ε < f () < f (a) + ε, eller anderledes formuleret: I m : f (a) ε < f () < f (a) + ε Men dette betyder, at f er begrænset i I m, hvilket er i strid med egenskaberne ved intervalrusen. Antagelsen om, at f ikke er begrænset, kan altså ikke være rigtig, hvormed det ønskede er bevist. Vi er nu klar til at bevise følgende vigtige sætning: Sætning A.4.3. a;b. Da gælder: Lad f være en kontinuert funktion defineret i et lukket, begrænset interval [ ] a) f() antager både en mindsteværdi (minimum) og en størsteværdi (maimum) i [ a;b ]. b) Hvis f( ) er mindsteværdien og f( ) er størsteværdien, så er Vm(f) = [ f ( );f ( ) ], hvilket også kan udtrykkes således: Vm(f) = [ min f ();ma f ()] Bevis: Når først a) er bevist, følger b) umiddelbart af sætning A.4., idet et hvilket som helst tal imellem f( ) og f( ) ifølge A.4. er indeholdt i Vm(f). Da f( ) er mindsteværdien, findes der ingen funktionsværdier mindre end f( ), og da f( ) er størsteværdien, findes der ingen funktionsværdier større end f( ). I alt ses dermed, at Vm(f) = [ ] f ( );f ( ), hvormed sætningen vil være bevist. Vi skal derfor bevise a). Beviset for eksistensen af minimum og af maksimum er næsten identisk, så vi medtager kun beviset for minimum her, og overlader beviset for maksimum til læseren. a;b. Vi skal altså bevise, at hvis f er kontinuert i [ a;b ], så har f et minimum i [ ] Hvis f(a) f() for alle [ a;b ], så er f(a) minimum, hvormed det ønskede er opnået. Vi ser herefter på den situation, hvor der findes et s [ a;b ], som opfylder, at f(a) > f(s). Da f ifølge sætning A.4. er begrænset, findes et tal k, så f() > k for alle [ a;b ], dvs. at k er et undertal for Vm(f). Betragt nu intervallet I = [ ] k;f (a). Vi ser da, at venstre ( nederste ) endepunkt af intervallet er et undertal for Vm(f), hvorimod højre ( øverste ) endepunkt ikke er et undertal for Vm(f). (Ordene nederste og øverste hentyder til, at vi ser på intervaller på.aksen).

24 Betragt midtpunktet m af I. Hvis m er et undertal for Vm(f), så vælges højre (den øverste ) halvdel af I, og hvis m ikke er et undertal for Vm(f), så vælges venstre (den nederste ) halvdel af I. I begge tilfælde får vi et interval I, hvor venstre endepunkt er et undertal for Vm(f) og hvor højre endepunkt ikke er et undertal for Vm(f). Således fortsættes, og der dannes en intervalruse af intervaller med den egenskab, at venstre ( nederste ) endepunkt er et undertal for Vm(f), hvorimod højre ( øverste ) endepunkt ikke er det. Ifølge Aksiom A..7 fastlægger intervalrusen ét tal, som vi vil benævne p. Vi vil nu bevise, at p = min f (). Dette gøres i tre trin: ) Vi beviser, at p er det største undertal for Vm(f) ) Vi beviser, at hvis p Vm(f), så er p den mindste funktionsværdi (og dermed vil det ønskede være opnået) 3) Vi beviser, at p Vm(f). Ad ): Vi laver et indirekte bevis. Vi antager altså, at p ikke er det største undertal for Vm(f), dvs. at der findes et tal q > p, som er et undertal for Vm(f). Da p er fastlagt af intervalrusen, og da længden af intervallerne i rusen går mod 0, findes der et m N hvorefter der gælder, at q I n for n m. Dette betyder specielt, at q er større end alle tal i I m, hvilket specielt betyder, at q er større end højre endepunkt af I m. Men da dette højre endepunkt ikke er et undertal for Vm(f), hvorimod det større tal q er antaget at være et undertal for Vm(f), har vi fået en modstrid. Antagelsen om, at p ikke er det største undertal for Vm(f) fører altså til en modstrid, hvormed denne antagelse ikke kan være korrekt. p er altså det største undertal for Vm(f), og hermed er ) bevist. Ad ): Hvis vi kan bevise (se pkt. 3), at p Vm(f), så må p være den mindste funktionsværdi. Dette indses ved at tænke på, at da p ifølge pkt. ) er et undertal (det største, men dog stadigvæk et undertal) for Vm(f), så kan der ikke være funktionsværdier, som er mindre end p. Ad 3): For at afslutte beviset for sætning A.4.3 skal vi altså bevise, at p Vm(f). I et forsøg på at gøre beviset mere overskueligt indføres følgende notation: Hvis A [ ] a;b, så er f(a) mængden af funktionsværdier, hvor stammer fra A, altså: f(a) = {f () A}. Ifølge punkt ) er p det største undertal for f([ a;b ]). Hvis m er midtpunktet af intervallet [ a;b ], så er p største undertal for f([ a;m ] ) eller for f([ m;b ]), idet hvis der var et større undertal for begge disse mængder, så ville der også være et større undertal for f([ a;b ]), og det er ikke tilfældet. Vi vælger en intervalhalvdel, hvor p er det største undertal for funktionsværdierne. Ved at fortsætte på denne måde med successive halveringer får vi skabt en intervalruse J, J,.., a;b, og hvor det for hvert interval J n gælder, at p er det største undertal for f(j n ). hvor J = [ ] Ifølge Aksiom A..7 bestemmer denne intervalruse ét tal t [ a;b ]. Vi vil nu bevise, at f(t) = p (hvormed beviset for punkt 3) vil være tilendebragt). Vi laver et indirekte bevis. Vi antager altså, at f(t) p og skal så bevise, at denne antagelse fører til en modstrid. Da p er et undertal for Vm(f), giver forudsætningen f(t) p os, at p < f(t) (overvej!).

25 f (t) p Vi sætter ε =, dvs. ε er den halve afstand mellem p og f(t). Og vi lader ω(f(t)) være den omegn om f(t), der har radius ε. Vi ser hermed specielt (overvej!), at det om alle tal y ω(f(t)) gælder, at y > p + ε. Der er nu to muligheder: a;b ) t er et indre punkt i [ ] ) t er et endepunkt, dvs. t = a eller t = b. Vi ser først på mulighed ): Da f er kontinuert i t, findes der en omegn ω(t) om t, så der gælder, at: ω(t) f() ω(f(t)) og dermed, at: ω(t) f() > p + ε Da intervalrusen fastlægger t, findes der et m N, hvorefter der gælder, at J n ω(t), når n m. Specielt ser vi hermed, at: J f () > p + ε, eller anderledes formuleret: m m J : f () > p + ε Men dette betyder, at p + ε er et undertal for f(j m ), og da ε > 0, er p + ε > p, hvormed p ikke er det største undertal for f(j m ), hvilket er i strid med egenskaberne ved intervalrusen. Antagelsen om, at f(t) p kan altså ikke være rigtig, hvormed det ønskede er bevist. Ved mulighed ), hvor t er et af endepunkterne for intervallet [ a;b ], opnås en modstrid på samme måde, idet vi benytter at f er kontinuert fra højre i a hhv. fra venstre i b. Detaljerne overlades til den interesserede læser, som kan finde inspiration hertil i dels arbejdet med mulighed ), dels i slutningen af beviset for sætning A.4.. Hermed er sætning A.4.3 bevist.

26 Appendi 5. Lokale og globale etrema. Lad os betragte funktionen f, hvis graf ses på den følgende figur A.5.. Fig. A.5. Hvis vi f.eks. betragter intervallet ω( ) = ] [ Af denne figur ses, at hvis vi er i nærheden af, så vil f( ) være den største funktionsværdi.,5;,5 (som er en omegn om ), så vil der gælde, at f( ) f() for alle ω( ). Vi vil derfor sige, at der er lokalt maimum i. Til beskrivelse af sådanne situationer giver vi følgende definition: Definition A.5.. Lad f være en given funktion, og lad o Dm(f). Hvis der findes en omegn ω( o ) om o, så f( o ) f() for alle ω( o ) Dm(f) så siger vi, at f har lokalt maimum i o. Fig. A.5. Hvis der findes en omegn ω( o ) om o, så f( o ) f() for alle ω( o ) Dm(f) så siger vi, at f har lokalt minimum i o. Fig. A.5.3 Som en fælles betegnelse for ordene maimum og minimum anvendes ordet etremum, hvorfor vi i de ovenstående situationer kan anvende betegnelse: lokalt etremum.

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Uendelighed og kardinalitet

Uendelighed og kardinalitet Steen Bentzen Uendelighed og kardinalitet - mængder og de reelle tal. Forlaget Bentz - - Indholdsfortegnelse Forord.. s. 2 Kapitel : Ækvipotens og kardinalitet generelt... s. 3 Kapitel 2: Ækvipotens og

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Funktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012

Funktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012 Funktionsfamilier Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Regning med funktioner - TAVLENOTER

Regning med funktioner - TAVLENOTER Sammensat funktion [Elevsamtaler] Jens Thostrup, GUX Nuuk 1 FACIT b) 1 og 3 er de eneste løsninger, der optræder i tabellen Jens Thostrup, GUX Nuuk 2 Regningsarter for funktioner Sumfunktion: (f+g)(x)

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Sammenhæng mellem variable

Sammenhæng mellem variable Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 25. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

Grafregner-projekt om differentiation.

Grafregner-projekt om differentiation. Grafregner-projekt om ifferentiation. Motivation: Når nu ifferentieret giver, og e ifferentieret giver e, hvorfor får man så ikke e når man ifferentiere e? Formål: ) At opnå kenskab til, og forståelse

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54 Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er

Læs mere

Nogle grundlæggende begreber

Nogle grundlæggende begreber BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

Partielle afledede og retningsafledede

Partielle afledede og retningsafledede Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen

Læs mere

Ordbog over Symboler

Ordbog over Symboler Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Om begrebet relation

Om begrebet relation Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Eksaminanderne på hf tilvalg forventes ikke at kunne udnytte grafregnerens muligheder for regression.

Eksaminanderne på hf tilvalg forventes ikke at kunne udnytte grafregnerens muligheder for regression. Bilag 3: Uddrag af Matematik 1999. Skriftlig eksamen og større skriftlig opgave ved studentereksamen og hf. Kommentarer på baggrund af censorernes tilbagemeldinger HF-tilvalgsfag (opgavesæt HF 99-8-1)

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere