Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Togopgave

Transkript

1 Togopgae side 1 Institut for Mateatik, DTU: Gynasieopgae Togopgae Teori: Erik Øhlenschlæger, Grundlæggende Fysik 1 For dgangskursus og HTX, Gyldendal 1993,. udgae, siderne 73-75, og Grundlæggende Fysik For HTX Højnieau, Gyldendal 1993, 3. udgae, siderne Synopsis. I denne opgae il i studere nogle af de igtigste forhold i forbindelse ed freføring af tog. Vi il se på et togs beægelse ielle to stationer i de to tilfælde, hor afstanden ielle stationerne er forholdsis kort ( 5 k), og hor afstanden er lidt længere (15 k). Vi il beregne togets acceleration, hastighed og ejstrækning so funktion af tiden. Endidere il i bestee togets hastighedsprofil, so er togets hastighed so funktion af ejstrækningen. For en gien aksial hastighed af toget il i beregne køretiden ielle de to stationer, sat togets brændstofforbrug Endelig skal i, forsøge at optiere det brændstofforbrug, der skal til for at freføre toget ielle stationerne, når køretiden ielle stationerne er fastlagt ifølge køreplanen. 1. Indledning. Vi tænker os toget freført af et dieseldreet lokooti ed en gien trækeffekt og ønsker at beregne togets forbrug af dieselolie for den gine strækning. For at gøre dette opdeles togets beægelse ielle stationerne i 4 driftsfaser : 1. ccelerationsfasen, hor toget sætter i gang.. Kørefasen, hor toget holder en konstant fart 3. Friløbsfasen, hor lokootiets otor er koblet fra. 4. Bresefasen, hor toget breses ed konstant deceleration. I accelerationsfasen, å der tages hensyn til friktionskræfterne ielle drihjul og skinner. His an il undgå, at drihjulene glider ed igangsætningen, kan an derfor ikke udnytte den fulde trækeffekt ax af otoren. Den indste hastighed, ed hilken i kan udnytte den fulde trækeffekt uden at hjulene glider, kalder i in. Den aksiale friktionskraft er giet ed Coulobs lo og afhænger foruden lokootiets egenægt bl. a. af den statiske friktionskoefficient μ ielle hjul og skinner. I kørefasen er togets hastighed konstant. Motorens effekt går alene til at oerinde luft- og rulleodstanden. I en sipel odel, hor i ser bort fra luft- og rulleodstand, il togets energiforbrug derfor ære nul. Vi ser her bort fra otorens energiforbrug i togang.

2 Togopgae side I friløbsfasen er lokootiets otor koblet fra, og toget breses langsot under indflydelse af luft- og rulleodstanden. Togets energiforbrug sættes til nul, idet i igen ser bort fra otorens energiforbrug i togang. I bresefasen tilstræbes, at toget breser ed konstant deceleration -a, hor i sætter a = 1 /s af hensyn til passagerernes kofort. Vi regner ed at toget breser på alle ognhjulene. His hjulene ikke skal glide under opbresningen, stiller det kra o en indsteærdi μ in for den statiske friktionskoefficient ielle skinner og hjul. μ in afhænger af a og af togets salede ægt. Under opbresningen regner i ligeledes ed, at togets otor er koblet fra.. Fysisk odel. Figur 1. Togets ydre kræfter. I dette afsnit gennegås i korte træk den generelle fysiske odel, der lægges til grund for beregningerne. Modellen opstilles på grundlag af en effektbalance. I den siple odel edtages kun ændringen i den kinetiske energi af toget. I den ere koplicerede odel il i foruden ændringen i den kinetiske energi edtage effekten af både luft- og rulleodstand. Inden i går oer til at opstille effektbalancen, skal i først se på de ydre kræfter, der irker på en togstae..1 Ydre kræfter. Vi betragter en togstae, der kører på et andret underlag, og so har den øjeblikkelige hastighed og acceleration a, se figur 1. Ser i på togstaen so helhed, il der ære følgende ydre kræfter på toget Friktionskræfter fra skinnerne hjulene: Rulleodstand fra skinnerne på hjulene: Luftodstand på ognene: F,frik, F,frik F rul F luft å de driende hjul på lokootiet il der fra skinnerne irke en resulterende friktionskraft F,frik i kørselsretningen, se figur 1. Årsagen til denne kraft er otoren, der påirker drihjulene til drejning fread. Drihjulene il, så at sige, prøe at skubbe skinnerne bagud. Hered påirkes drihjulene ed en kraft i freadgående retning. Ruller drihjulene uden at glide il størrelsen af F,frik afhænge af togets acceleration. Glider deriod drihjulene il størrelsen af F,frik ære uafhængig af togets acceleration. F,frik il da ære proportional ed noralkræfterne på drihjulene. å passagerognene, der blier trukket af lokootiet, il friktionskraften F,frik fra skinnerne odirke hjulenes beægelse og dered påirke hjulene på ognene ed en bagudrettet kraft.

3 Togopgae side 3 Breser toget, il både F,frik og F,frik gå i sae retning og ære odsat rettet togets hastighed. Luftodstanden F luft opstår på grund af gnidningen ielle luften og toget. Dette gier anledning til turbulens i luften okring toget. Luftodstanden afhænger bl.a. af luftens iskositet og den aeroaiske udforning af togets profil. Luftodstanden er odsat rettet kørselsretningen, se figur 1. Rulleodstanden F rul frekoer ed at hjulene og skinnerne deforeres på grund af togets ægt. Rulleodstandens størrelse afhænger bl.a. af noralkræfterne på hjulene, sat de elastiske og plastiske egenskaber af hjul- og skinneateriale. Rulleodstanden er ligeledes odsat rettet kørselsretningen, se figur 1. Foretager hjulene en ren rulning uden at glide, il friktionskræfterne F,frik og F,frki ikke udføre noget arbejde, idet kræfterne ikke flytter deres angrebspunkt! ( kræfterne angriber i det punkt, hori hjulene rører skinnen, og hori hastigheden er nul ). Luftodstanden F luft og rulleodstanden F rul følger deriod togets beægelse, og kræfterne flytter dered deres angrebspunkter. Da F,frik og F,frki er odsat rettet kørselsretningen, er deres arbejde negatit. Selo drihjulene glider, il friktionskraften F,frik stadig ære freadrettet, edens drihjulenes beægelse i forhold til skinnen er bagudrettet. Derfor il F,firk nu udføre et negatit arbejde. Hordan kan toget i det hele taget beæge sig fread, når de ydre kræfter kun udfører negatit arbejde? Saret er, at toget ikke er et stift legee, en at der også å tages hensyn til de indre kræfters arbejde.. Effektbalancen. Lokootiets otor ed tilhørende beægelige dele frebringer et indre kraftoent, der udfører arbejde på de beægelige driaksler. rbejdet, so otoren udfører per tidsenhed, kaldes otorens effekt otor. Motoreffekten går dels til at øge den kinetiske energi E kin og dels til at oerinde luft- og rulleodstanden. Er togets hastighed >, blier effekterne, der afsættes af kræfterne fra rulle- og luftodstanden, henholdsis - F rul og - F luft. En opstilling af effektbalancen for toget gier (1) dekin Frul Ffuft. dt otor = Den kinetiske energi for toget kan udtrykkes () 1 E kin =, hor er den aiske asse af toget. Den aiske asse gør rede for rotationsenergien af hjulene, og er derfor større end egenassen eller den statiske asse af togstaen. Indsættes () i ligning (1), får i det generelle udtryk for otoreffekten (3) otor = a + ( F rul + F luft ). I den siple odel, so i skal se på i næste afsnit, il i se bort fra luft- og rulleodstanden.

4 Togopgae side ccelerationsfasen, sipel odel. I denne odel ser i bort fra rulle- luftodstanden. Er otorens trækeffekt otor konstant, kan i af udtrykket (3) finde accelerationen udtrykt ed hastigheden so (4) a() otor =. Heraf ser i, at togets accelerationen a blier stor, når hastigheden er lille og oendt. Der er dog grænser for, hor stor en acceleration i kan opnå. Blier kræfterne fra skinnerne på drihjulene for store, il hjulene glide. ntager i, at i har Coulob friktion på drihjulene, il den aksiale ærdi, so den salede friktionskraft F kan antage, ære μ N, hor μ er den statiske friktionskoefficient, og N er noralkraften på drihjulene. Her har i for sipelheds skyld antaget, at lokootiets ægt er ligeligt fordelt på alle hjul, og at alle hjulene glider på sae tid. Hered får i betingelsen for ren rulning F,frik μ N = μ g, Coulob friktion, hor g = 9,8 /s er tyngdeaccelerationen og er lokootiets asse. Den største acceleration a ax, so i kan opnå uden glidning, kan findes ud fra assecentersætningen. Et tilnæret udtryk for a ax fås af ligningen a ax F,frik = μ g, hor, er togets salede aiske asse. Løser i (1) ed hensyn til a ax, finder i (5) aax μ g, Kalder i den aksiale trækeffekt ax, og indsætter i udtrykket (5) for a ax (4) finder i at den indste fart in, so i kan opnå ed aksial trækeffekt, uden at hjulene på trækakslerne glider på skinnerne, er (6) ax in. μ g Saenfattet har i for accelerationsfasen i den siple odel (7) ax, < in, in a() =, in = ax, in. μ g ax hor μ er den statiske friktion elle hjul og skinner, er togets salede aiske asse og er lokootiets asse

5 Togopgae side 5 Tager i ikke hensyn til rulle- luftodstanden, og holdes otoreffekten konstant, il accelerationen giet følge (4) føre til at hastigheden okser eksponentielt ed tiden. Dette kan selfølgelig ikke ære korrekt. Efterhånden so farten stiger, il ere og ere af otoreffekten gå til at oerinde luft- og rulleodstanden, og til sidst il toget opnå en konstant hastighed. I næste afsnit skal i se på den ere koplicerede odel, hor i tager hensyn til disse forhold..3. ccelerationsfasen, kopliceret odel. Luftodstanden F luft okser ed kadratet på farten, edens rulleodstanden F rul regnes for uafhængig af farten. I litteraturen 1 finder i den epirisk forel for den resulterende gnidningskraft på toget, so funktion af farten (8) F g = F luft + F rul = ( + B ), = 14, /s, B = 38, , hor er togets salede aiske asse. Noget af otoreffekten il gå til at forøge den kinetiske energi og resten til at oerinde gnidningskræfternes arbejde. Indsættes (8) i ligning (1) for effektbalancen, finder i udtrykket for otoreffekten (9) otor = ( a + + B ). Ud fra (9) kan i nu finde et generelt udtryk for accelerationen a() (1) a() otor =. B Igen gælder der, at his trækeffekten fastholdes, il togets accelerationen blie eget stor, når hastigheden er lille. Den indste hastighed, for hilken i kan hae aksial trækeffekt uden at hjulene skrider, kalder i igen for in. For < in il i so tilnærelse i denne odel se bort fra luft- og rulleodstanden og satidig benytte det tidligere fundne udtryk (6) for in. Saenfattet har i for accelerationsfasen i den koplicerede odel (11) a() ax, < in, in ax =, in =, μ g ax B, in. hor μ er den statiske friktion elle hjul og skinner, er togets salede aiske asse, og er lokootiets asse. Konstanterne = 14, /s og B = 38, gælder for henholdsis rulleodstanden og luftodstanden. 1 Sachs : Elektrische Triebfahrzeuge, Band 1, p.35.

6 Togopgae side 6.4 Kørefasen. I kørefasen er accelerationen nul og hastigheden holdes konstant lig ed ax. Motorens trækeffekt bestees af ud fra (9) ed at sætte a = (1) otor = ( + B ) ax, a() =. ax Ser i bort fra luft- og rulleodstand, blier otorens trækeffekt nul..4 Friløbsfasen. Motoren er slået fra, og trækeffekten er derfor nul. Togets acceleration er bestet ed (13) a() = B, otor =, hor = 14, /s og B = 38, /s 4 gør rede for henholdsis rulle- og luftodstanden. Der er ingen forskel ielle kørefasen og friløbsfasen i den siple odel, hor i ser bort fra luft- og rulleodstanden..6 Bresefasen. Ved en bresning breses der på alle aksler i toget, og an tilstræber at bresningen finder sted ed konstant negati acceleration under hele breseforløbet. Ligeso ed igangsætningen il an helst undgå, at hjulene blokerer. Under bresningen er otoren koblet fra og trækeffekten er nul. Vi antager, at togets deceleration a > er konstant, og at toget breser på alle hjulene på lokooti og ogne. Vi antager endidere, at den salede ægt g af toget er ligeligt fordelt på alle togets hjul. Endelig ser i bort fra rulle- og luftodstanden under bresningen. En saenhæng ielle a og den indste friktionskoefficient, der skal til før hjulene glider, kan findes ud fra assecentersætningen. Et tilnæret udtryk for μ in fås af ligningen (14) ( -a ) F,frik + F,frik = - μ in g hor er togets salede asse, og er togets aiske asse. Skal bresningen forgå uden at hjulene glider, å den statiske friktionskoefficient μ derfor ed tilnærelse opfylde (15) μ a μin =, g hor er den salede asse af toget. Decelerationen sættes i praksis til a = 1 /s af hensyn til kørekoforten.

7 Togopgae side 7 3. Mateatisk odel. Vi så i det foregående afsnit, at his otoreffekten ar konstant, kunne i bestee accelerationen a(), so funktion af hastigheden. Dette kan i udnytte til at finde togets hastighed (t) sat den ejstrækning s(t), so toget har tilbagelagt til tiden t. Ud fra definitionen for accelerationen, kan i opstille en i differentialligning for (t) d dt = a(). I et interal for (t), hor a(), il (t) ære onoton, og der il derfor eksistere en oendt funktion t(). Ved at separere de ariable, finder i et udtrykket for differentialet dt af den oendte funktion d (16) dt =, a()., a() der efter integration gier t so funktion af (t) d (17) t = t +. a() hor (t ) =. Vejstrækningen s kan i finde ed at indføre den nye ariable s ed differentialet ds = dt. Multipliceres ligning (16) ed, finder i for differentialet ds d ds =. a() Idet s(t ) = s finder i ed integration (t) d (18) s(t) = s +. a() I første ogang besteer (18) ejstrækningen s() so funktion af hastigheden. Løser i (17) ed hensyn til (t), kan i af (18) bestee s(t), so funktion af t. Når i indsætter accelerationsudtrykket (1) fra den koplicerede odel i (17) og (18), får i brug for at udregne integralerne d a() = otor d B 3 og d a() = otor d B 3 Disse integraler kan løses analytisk ed at dekoponere den brudne rationale funktion under integraltegnet. Dette il i ikke gøre her, da de dered frekone udtryk blier ret kopliceret. I stedet il i benytte MLE til at finde de nueriske ærdier for integralerne.

8 Togopgae side 8 4. Opgaen. I opgaen tager i udgangspunkt i et standardtog, der består af et ME-lokooti og 4 passagerogne. ME-lokootiet er et diesellokooti ed elektrisk transission, et såkaldt dieselelektrisk lokooti. Dette standardtog ser an for ørigt tit so regionaltog på strækningerne til Kalundborg og Nykøbing F. Her er nogle tekniske data o ME-lokootiet: ax = kw, otorens aksiale trækeffekt = 11 tons, lokootiets statiske asse, = 1 tons, lokootiets aiske asse = 37 tons, en enkelt togogns statiske asse, = 4 tons, en enkelt togogns aiske asse μ =,, statisk friktionskoefficient ielle hjul og skinner. 1. del. Den siple odel. 1. del går ud på at beregne køretiden for et tog på en flad strækning på s = 5 k ielle to stationer. Toget accelerer til aksial fart ax = 1 k/h, der holdes, indtil toget breses ed konstant deceleration a = 1 /s. I denne del af opgaen udelades friløbsfasen. Endidere ser i i 1. del bort fra luft- og rulleodstanden, og i benytter derfor i accelerationsfasen den siple odel fra afsnit.3.1. Til at bestee (t) og s(t) benyttes forlerne giet under afsnit 3. Toget sættes i gang til tiden t =. Efter tiden t in opnår toget hastigheden in, horefter togets aksiale trækeffekt ax anendes, indtil den aksiale kørehastighed ax opnås. Den salede tid, der edgår under togets acceleration, kaldes for t. Den tid, so toget er o at brese til standsning fra den aksiale hastighed ax kaldes for t bres, og den ejstrækning, so toget genneløber i sae tidsru, kaldes for s bres. Den salede køretid, so toget bruger for at tilbagelægge de 5 k, kaldes t. De følgende spørgsål løses først i hånden. Til optegning af plottene benyttes MLE's funktioner "piecewise" og "plot". Opgae Beste t in og in, og beregn togets acceleration a() for < < in og for in < < ax. Tegn et plot af a() i MLE ( togets trækkraftkure ).. Find togets hastighed (t) og ejstrækningen s(t) for < t < t in.

9 Togopgae side 9 3. Beste togets hastighed (t) og ejstrækning s(t) i interallet t in < t < t ud fra forlerne (t) d t = t in +, in ax s(t) = (t) d s ( tin ) +. in ax Beste dernæst den salede accelerationstid t, og den kørte ejstrækning s(t ). 4. Beste bresetiden t bres og bresestrækningen s bres, og beste dered den salede køretid t. 5. Beste endelig hastigheden (t) og ejstrækningen s(t) i interallerne t < t < t - t bres og t - t bres < t < t. 6. Benyt MLE til udføre et plot af (t) og s(t) for < t < t. 7. Find togets hastighedsprofil (s), og optegn et plot af (s) ed hjælp af MLE. 8. Kontroller ed hjælp af MLE den fundne ærdi i spørgsål 5 for den salede køretid t på strækningen s = s(t ) ed forlen s 1 t = ds (s).. del. Den ere realistiske odel. I. del skal i igen beregne køretiden for et tog på en flad strækning på s = 5 k ielle to stationer. Endidere il i bestee togets salede energiforbrug ed kørslen. Vi får derfor brug for at arbejde ed den ere koplicerede odel, hori i tager hensyn til rulle- og luftodstanden. Vi antager igen, at toget accelerer til aksial fart ax = 1k/h, der holdes, indtil toget breses ed konstant deceleration a = 1 /s. Vi il i accelerations- og kørefasen benytte den ere koplicerede odel giet i afsnittet.3.. Vi udelader igen friløbsfasen.

10 Togopgae side 1 Vi regner ed, at der forbruges ca. 1 liter dieselolie for her 3,1 kwh udiklet trækenergi. Toget sættes i gang til tiden t =. Efter tiden t in opnår toget hastigheden in, horefter togets aksiale trækeffekt ax anendes, indtil den aksiale kørehastighed ax opnås. I de følgende spørgsål, opstilles først de ateatiske udtryk for de ønskede størrelser, horefter de beregnes nuerisk ed hjælp af MLE. Opgae. 1. Beste togets tophastighed top, so er den højeste hastighed, so toget kan opnå, ed den gine aksiale trækeffekt. Tegn et plot i MLE af togets acceleration a() for < < top ( trækkraftkuren).. Beste togets salede accelerationstid t og den kørte ejstrækning s(t ) ed igangsætning ud fra forlerne ax d t = t in +. in ax 3 B ax d s(t ) = s(tin ) +. in ax 3 B 3. Beste ejstrækningen s kør, hor toget har sin aksiale hastighed ax, og den salede køretid t. 4. Gør rede for at det salede trækarbejde W, so lokootiet udfører under kørslen er W = t + s ( + B ax kør ax ), idet i har tilnæret trækeffekten ed ærdien ax for < in. Find dered det salede forbrug af dieselolie, der edgår til kørslen. 3. del. Optiering af energiforbruget. Vi betragter igen en flad strækning ielle to stationer på s = 5 k, hor køretiden ielle stationerne er fastlagt ifølge køreplanen til t = 4 in. Vi antager igen, at toget accelerer til aksial fart ax under udikling af den aksiale trækeffekt ax. Den aksiale hastighed opretholdes et ist stykke tid, horefter otoren slås fra, og toget kører i friløb, indtil toget breses ed konstant deceleration a = 1 /s. Ved denne fregangsåde kan i opnå en besparelses på energiforbruget.

11 Togopgae side 11 Figur. Hastigheden so funktion af ejstrækningen. Den salede kørte ejstrækning s kan skries, se figur, s = s + s kør + s fri + s bres, hor s er ejstrækningen, hor toget accelererer til aksial hastighed ax. s kør er ejstrækningen, hor toget holder konstant hastighed ax. s fri er ejstrækning, hor toget kører friløb og hastigheden falder fra ax til bres. s bres er ejstrækningen, hor toget breser fra hastigheden bres til det stopper. De tider, so toget er o at tilbagelægge de enkelte ejstrækninger s, s kør, s fri og s bres kaldes henholdsis for t, t kør, t fri og t bres Det salede trækarbejde il i beregne ud fra forlen W = t + s ( + B ax kør ax ), idet i under beregningerne benytter den ere koplicerede odel giet i afsnittene.3. og.4, der tager hensyn til rulle- og luftodstanden. For gien aksial hastighed ax og en gien hastighed bres < ax lige før toget breser, besteer i først størrelserne

12 Togopgae side 1 1. t = t in + ax in ax d B 3. s = s(tin ) + ax in ax d B 3 bres d 3. t fri = ax B bres d 4. s fri = ax + B 5. t bres = bres d a = a bres 6. s bres = bres d a = bres a 7. s = s s s s og kør fri bres t = kør s kør ax Hered kan i sikre os at toget stopper ud for stationen efter 5 k! His i frit ælger ærdier for ax og bres, il i alindelighed den salede transporttid t + t kør + t fri + t bres ære forskellig fra t = 4 in. Opgae Benyt MLE til at udregne størelserne giet i punkterne 1-6, når den aksiale hastighed ax og hastigheden bres er gine.. rø at finde sahørende ærdier for ax og bres, således at køreplanen oerholdes, og beste for disse tilfælde togets energiforbrug. 3. rø at finde det laeste energiforbrug, so i hered kan opnå. Saenlign ed det energiforbrug, der ble fundet under opgae. Opgae 4. Gentag opgae 3 for en strækning på s = 15 k ed en salet transporttid på t = 1 in.