Partiel solformørkelse, fredag den 20. marts 2015, kl. 9:40-12:05

Transkript

1 Partiel solformørkelse, fredag den 0. marts 015, kl. 9:40-1:05 Nærum Gymnasium, Esbjerg gymnasium, Birkerød Gymnasium, Sønderborg Gymnasium m. fl. Vejledning: Fredag formiddag byder på en enestående oplevelse af kosmisk skyggespil. Et typisk øjebliksbillede af den delvist formørkede solskive ser sådan ud: Vi kan måde diameteren R samt afstanden mellem spidserne y. Disse størrelser kan bestemmes med stor nøjagtighed, men deres værdier afhænger naturligvis af hvilken måleenhed man bruger. R y Derimod vil forholdet f givet ved f = y R = y R være uafhængigt af målestoksforholdet. Formålet er at foretage observationer af solskiven i formørkelsesperioden så vi kan opnå følgende: A: Præcisionsmåling af tidspunkterne t 0 for 1. kontakt og t 1 sidste kontakt. B: Måling af den lineære formørkelsesgrad ved maksimum. C: Bestemmelse af afstanden til Månen (det kræver flere deltagende gymnasier)

2 Før første kontakt t < t 0 Første kontakt t = t 0 (det kan vi jo ikke se) Partiel formørkelse t 0 < t < t 1

3 Maksimal partiel formørkelse t = t maks Sidste kontakt t = t 1

4 På Nærum Gymnasium: På flisearealet uden for lærerværelset opstiller vi et spejlteleskop med projektion på en diasskærm. Du kan tage billeder af projektionen. Sikkerhed: 1. Benyt ikke kamera eller kikkert direkte mod Solen, medmindre du har et specielt autoriseret solfilter.. Benyt kun autoriserede beskyttelsesbriller. Du kan trygt kigge på Solen gennem autoriserede beskyttelsesbriller. Der vil være autoriserede briller til låns ved teleskopet. Benyt ikke sværtede glas, solbriller eller svejsebriller eller andre hjemmestrikkede løsninger. Overtrædelse kan straffes med blindhed, men du kan få et kursus i Brailleskrift. Det er alvorligt ment: Solens stråling består (selv ved maksimal formørkelse) af infrarødt (usynligt) lys, som kan brænde din nethinde af når din linse fokuserer på den gule plet. Hvis du bruger andet end autoriseret beskyttelse, har du ingen garanti for at den infrarøde varmestråling er tilstrækkeligt dæmpet. Det er smertefrit, hvis man nu skal sige noget positivt, men det er en kedelig måde at huske solformørkelsen på. Deltagelse: Du kan deltage på flere niveauer afhængig af klassetrin og studieretning: Du nyder formørkelsen, går til og fra undervisning. Du er særlig opmærksom på starten, første kontakt (Esbjerg kl. 09:38:07, Nærum kl. 09:4:4), kulminationen (Esbjerg kl. 10:45:34, Nærum kl. 10:50:3) og afslutningen, sidste kontakt (Esbjerg kl. 11:55:43, Nærum 1:00:37). Se det første link bagerst. Du bidrager med billeder af den formørkede solskive, se punkt 3. Du bidrager med beregninger, og dine dataanalyser indgår i et eksamensrelevant projekt, som er både tværfagligt (fysik, astronomi, matematik, naturgeografi) og tværgymnasialt (Nærum, Birkerød, Sønderborg, Esbjerg m.fl.)

5 Fremgangsmåde: 1)Stil op, så du har adgang til at tage nogle billeder af solskiven i hele formørkelsesperioden, fx med et spejlteleskop, hvor billedet projiceres op på en diasskærm. Sørg for at du fortsat kan følge Solen efterhånden som den flytter sig på himlen. Vær klar før første kontakt (husk, UT Universal time, CET Central European time = UT+1 time). Hvis du deltager i beregningerne, skal du også forberede et regneark til opsamling af data, se pkt. 3) ) Begynd at tage billeder lidt før første kontakt, og tag mange billeder i begyndelsen, når Månen er begyndt at skygge. Meget vigtigt: Notér navn og det nøjagtige tidspunkt (format CET HH: MM: SS,) for billedet. Notér også observationssted (fx NAG, BG eller Esbjerg etc, vi får billeder fra andre gymnasier). Hvis du ikke selv foretager beregninger, kan du give billedet videre til vores samlende dataanalyse, så kommer det med i beregningerne. 3) Indfør løbende i et regneark: Tidspunkt HH: MM: SS, soldiameter R, spidsafstand y, beregning af f, beregning af f. Lav en graf med tiden ud af den vandrette akse og f op ad den lodrette akse. Foretag en polynomisk regression af. grad f at + bt + c hvor t er tiden målt i sekunder regnet fra et passende valgt nulpunkt (starttidspunkt fx kl. 09:40:00). bestem løbende regressionskoefficienterne a, b, c samt diskriminanten d = b 4ac beregn tidspunktet t 0 for første kontakt. Bemærk at a bliver negativ. Grunden til at vi benytter en polynomisk regression af. grad skyldes at man ret teoretisk (se senere) kan vise, at man netop skal forvente at f som funktion af tiden med meget god tilnærmelse er et andengradspolynomium. 4) Man kan finde Månens fart ud fra sammenligninger af tidspunkter for fx første kontakt observeret forskellige steder. Antag først at Jorden ikke roterer, og at du er på ækvator og Solen og Månen er i Zenit. Hvordan kan du så finde Månens fart ud fra observationer af første kontakttidspunkt foretaget med nogle hundrede kilometers afstand på ækvator. Tænk over hvad vej Jorden roterer og hvad vej Månen bevæger sig på himmelkuglen. Hvilken betydning får det så, når du tager hensyn til at Jorden roterer om sin egen akse (her vil du få brug for at kende Jorden middelradius, som har været kendt siden den græske oldtid (Eratostenes). Endelig skal du tage hensyn til at vi følger Jordens rotation med en mindre radius, da vores breddegrad er ca. 56 grader N. Du kan antager at Månens skygge bevæger sig østpå. Med disse vadesten kan du nå frem til afstanden til Månen (fra Jordens centrum). Overvej om det er bedre at benytte sammenligning af tidspunkterne for sidste kontakt. Rapport/Opgave Udfør 1)-4) og giv en kort redegørelse for teorien. Besvarelsen udføres i grupper af elever. Måske vil dit gymnasium udskrive en konkurrence med præmie for bedste besvarelse.

6 Teori Vi kan måde diameteren R samt afstanden mellem spidserne y. Disse størrelser kan bestemmes med stor nøjagtighed, men deres værdier afhænger naturligvis af hvilken måleenhed man bruger. R y Derimod vil forholdet f givet ved f = y R = y R være uafhængigt af billedets målestoksforhold. Størrelsen f er et veldefineret mål for hvor fremskreden formørkelsen er. Vi vil opstille en matematisk model for, hvordan f udvikler sig som funktion af tiden. I modellen tager vi højde for at formørkelsen ikke bliver total. For at forenkle beregningerne vil vi til gengæld antage at måneskivens diameter og solskivens diameter er ens. I virkeligheden er måneskivens diameter en anelse større end solskivens diameter for denne formørkelse. (Ellers kunne vi ikke opnå en total formørkelse; en stor måneskive og en lille solskive giver totalitet af længere varighed, som kan være op til 7 min, og dette opnås når vi er længst væk fra Solen (juli!) og Månen samtidig er tættest på Jorden på formørkelsestidspunktet, samt at formørkelsen finder sted midt på dagen) Beregningerne bliver væsentlig lettere når man antager samme radius for måneskive og solskive, og da vi befinder os langt væk fra totalitetszonen kan vi med fordel benytte denne tilnærmelse. Første kontakt er det tidspunkt t 0 hvor formørkelsen begynder. Sidste kontakt er det tidspunkt t 1 hvor formørkelsen slutter. Vi skal finde en metode til at fastlægge disse tidspunkter med stor nøjagtighed. Kontakttidspunkterne afhænger af vores geografiske position. Fx vil første kontakt finde sted i Esbjerg ca. fem minutter før København. Ved at sammenligne observationer (kontakttidspunkter) fra Esbjerg med København er det muligt at bestemme afstanden til Månen. Det kræver at vi kender Jordens radius samt positionerne af observationsstederne.

7 Formålet er at finde en metode til ud fra målinger at fastlægge tidspunktet t 0 for første kontakt og tidspunktet t 1 for sidste kontakt med stor nøjagtighed. Også den maksimale formørkelse i % ønskes bestemt. Alle de følgende størrelser er målt i radianer eller et andet fast vinkelmål (det er uden betydning). Solens radius og Månens Radius sættes til den samme værdi R (fejlkilde!) Månens centrum bevæger sig mod venstre (øst) med hastighed v (hvor v > 0) på x-aksen. Så bliver xkoordinaten for Månens centrum a 0 v(t t 0 ). Solen har centrum i (0, δ). Afstanden mellem centrene kaldes s, og vi har ifølge Pytagoras (s) = δ + (a 0 v(t t 0 )) (0, δ) s (a 0 v(t t 0 ), 0) Til tidspunktet for første kontakt t = t 0 har vi så (R) = δ + a 0 og heraf findes a 0 = 4R δ (0, δ) R (a 0, 0)

8 Når formørkelsen er i gang, kan vi inddrage målinger af spidsafstanden y og diameteren R. Ifølge Pytagoras gælder y + s = R, og dermed y = R s = R 1 4 ( 4R δ v(t t 0 )) 1 4 δ Ved at dividere igennem med R og indføre hjælpestørrelsen får vi ε = 1 ( δ R ) f = ε (ε v R (t t 0)) R y s Vi skal altså forvente at f som funktion af tiden er et andengradspolynomium. f = at + bt + c Vi kan ud fra nogle få målinger efter første kontakt bestemme koefficienterne a, b og c ved polynomial regression af. grad. Herefter kan vi bestemme en meget præcis værdi af tidspunktet for første kontakt t 0 som den mindste af rødderne i ligningen at + bt + c = 0 Tilsvarende kan vi ud fra nogle få målinger lige før sidste kontakt med stor præcision bestemme tidspunktet t 1 for sidste kontakt. Det må anbefales at bestemme nye værdier af koefficienterne a, b og c ud fra målinger nær sidste kontakt tidspunkt. Grunden er, at vi ikke kan regne med at få et særlig troværdigt

9 regressionspolynomium til at dækker hele formørkelsesperioden, hvilket skyldes at modellen forudsætter at Månens vinkelradius R M og Solens vinkelradius R S er ens (Skal man tage hensyn til R S < R M får man en mere kompliceret ligning af 4. grad givet ved ( R S y + R M y ) = ( (R S + R M ) δ v(t t 0 )) + δ Størrelsen y vil her få et mere kompliceret forløb som funktion af tiden. Det kan anbefales at studere forløbet i Geogebra). Maksimum: Vi kan nu udtrykke de forskellige modelparametre ud fra regressionsparametrene a, b, c samt diskriminanten d = b 4ac Forholdet f vokser ifølge modellen til et maksimum givet ved f maks Formørkelsens varighed er ifølge modellen = ε = 1 ( δ R ) = d 4a t 1 t 0 = 4Rε v = d a (Husk a er negativ). Tidspunktet for kulmination kan forudberegnes: t maks = t 0 + Rε v = t 0 d a Den lineære formørkelsesgrad (dvs. den brøkdel af Solens diameter, som bliver dækket ved maksimum) er 1 δ R = d 4a Sammenhæng mellem den lineære formørkelsesgrad og lystabet (den brøkdel af solskivens areal som Månen skygger for, når formørkelsen er maksimal): Sæt R = 1. Lystabet er så følgende brøkdel (tegn enhedscirklen) Lystab = 4 1 π 1 x δ I Nærum er lystabet ved maksimal formørkelse forudberegnet til 80,6 %. Med CAS løser vi ligningen dx

10 1 4 π 1 x dx = 0,806 δ = 0,3059 δ hvilket giver en forudsigelse af den lineære formørkelsesgrad på 1 δ = 0,847 altså, vi forventer 84,7 % af Solens diameter bliver dækket af Månen. Omvendt vil vi ud fra observationer og regressionskoefficienterne a, b, c samt diskriminanten d = b 4ac fra begyndelsen af formørkelsen kunne beregne en forudsigelse af lystabet ved maksimum Lystab = 4 1 π 1 x 1+ d 4a Brug CAS når vi har målt værdier for regressionsparametrene til at beregne lystabet, som vi har i vente. dx Sidste kontakt: Den anden rod t 1 er tidspunktet for sidste kontakt (hvor den partielle formørkelse er forbi, sæt den anden parentes lig nul), dvs. t 1 = t 0 + 4Rε v = t 0 d a Det er på grund af fejlkilder at forudsigelsen af sidste kontakt ikke passer så godt. Men det er vigtigt at foretage en ny regression, altså bestemmelse af regressionskoefficienterne a, b og c ud fra en måleserie som ligger tæt på t 1 for derved at kunne bestemme t 1 med stor præcision. Andre muligheder for at analysere data: Man kan arbejde lidt videre med sammenhængen mellem modelparametre ε, δ, v, R og regressionsparametre a, b, c og = b 4ac. Vis, fx at ε = d 4a og v R = 4a. Ved at bestemme tangenthældningen α = d dt (f ) = v v (ε (t t R R 0)) for t = t 0 findes en teoretisk værdi d dt (f ) t=t 0 = α = vε R = d

11 Kan det bruges til noget? En anden mulighed er at videreudvikle modellen i tilfældet R S < R M ( R S y + R M y ) = ( (R S + R M ) δ v(t t 0 )) + δ hvor man med CAS løser ligningen mht. y som funktion af tiden. Sæt fx v = 1, t t 0 = x, R S = 1, δ = 0, og tegn grafen, for forskellige værdier af R M = 1; 1,1; 1,18; 1,195; 1,; 1,5, så kan man se afvigelserne fra modellen når vi er nær totalitetszonen eller inden for totalitetszonen. Links: Total solformørkelse 015, NASA, klik på kortet, zoom ind og se hvornår du rammes af Månens skygge: Animation: Formørkelser Formørkelser