Jesper Juellund Jensen

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Jesper Juellund Jensen"

Transkript

1 Jesper Jellnd Jensen Msiklske normer i poplærmsik Forsvr Min opgve er her t»redegøre for hovedresltterne i fhndlingen«på en hlv time. Det vil ske på to måder: Dels ved t give et overblik over fhndlingens indhold således som det er strktreret i kpitler dels ved t præsentere og disktere dvlgte eksempler. 1. ndledning Første kpitel er en indledning der præciserer fhndlingens emne og mål. Msiklske normer Selve emnet er ltså msiklske normer der er bgvedliggende strktrer der opleves som krkteristiske for msikken og som konkret msik høres i lyset f eller på bggrnd f. Jeg kn for eksempel synge følgende frse: Born -! holm 2 d pr - de vi - king - Jeg er overbevist om t lle tilstedeværende her opftter frsen på bggrnd f nogle msiklske normer vedrørende blndt ndet: metrik mn plcerer tonerne i en 4 -tktrt og tonlitet mn opftter tonerne inden for en (F-dr-tonlitet. Sådnne msiklske normer optræder således som forståelsesrmme når mn lytter til msikken. På den nden side kn msiklske normer forstås som træk og mønstre der opleves som typiske for noget msik ltså som en oplevet egenskb ved msikken og msiklske normer hr ltså på den måde en dobbeltkrkter. mø Repertoire Den msik som jeg så hr behndlet mht. msiklske normer hr først og fremmest været engelsk og meriknsk poplærmsik i perioden fr midten f 1950 erne til og med erne men det er klrt t denne msik på den ene side er præget f msiklske normer der er lngt mere vidtrækkende for eksempel tktrten 4 og på den nden side er krkteriseret f msiklske normer der er specifikke for en del f denne msik hvor der ltså optræder en række forskellige specifikke msiklske normer.

2 Forsvr: Msiklske normer i poplærmsik 2 Teoretisk bggrnd Med hensyn til de værktøjer eller metoder som mn kn nvende i rbejdet med t beskrive de msiklske normer er det klrt t den trditionelle msikvidenskb tilbyder en lng række nottionsformer og nlysemetoder men d disse sjældent er dviklet med poplærmsikken for øje kn de ikke ltid den videre overtges. fhndlingen inddrges en bred vifte f nlysemetoder fr forskellige msikvidenskbelige trditioner der diskteres og tilpsses den ktelle msik og ppliktionen f trditionel msikteori på poplærmsik medfører en række diskssioner f teoriernes begreber og eksplicitte og ikke mindst implicitte forståelsesrmmer. Herdover dvikles der i fhndlingen ndre metoder og begreber der direkte er rettet mod poplærmsiklske forhold eller måske mod en specifik msiklsk norm inden for en bestemt msik. de og relistion fhndlingen nvendes ndertiden et begrebspr ide og relistion som jeg kort vil introdcere d det også hr betydning for fgrænsningen f fhndlingens emne. Jeg lægger d med et eksempel The Betles A Dy n The Life hvor der i første og femte tkt f hvert f de fire vers optræder en frse der her ses i en omtrentlig trnsskription: vers 2. vers 3. vers 4. vers $ - 7 _ $ - 7 red _ He blew his $ - 7 sw red the the mind news Hm /F# Hm /F# ot Hm /F# film news to - dy oh in to - dy Hm /F# 7 Omtrentlig rytme to - dy cr oh! oh boy - - boy boy - $ $ $ $ - 7 And - A And thogh the crowd _ : of ì í news Hm /F# Hm /F# ws! : r - ther! : sd peo - ple stood nd stred Hm /F# : A crowd of peo-ple trned -wy. thogh the holes Hm /F# were : r -ther På trods f de åbenlyse forskelle i tekst tonehøjder og rytme opleves frserne som otte dgver f den smme frse eller f en fælles melodisk ide. De otte dgver kn ltså opfttes som forskellige relistioner f en bestemt frseide. Hvis mn n retter blikket mod længere forløb opftter mn for eksempel Brend Hollowys Spencer Dvies rops og Smll Fces dgver f Every Little Bit Hrts som det smme nmmer. De kn ltså nskes som tre relistioner f det smme og jeg brger her betegnelsen nmmer. De tre dgver er ltså forskellige relistioner f det smme nmmer. Afhndlingens emne er f flere årsger begrænset til nmre og i det hele tget er foks på ideer frem for individelle relistioner. Udgngspnktet er dog i lle tilfælde den indspillede msik og projektet hr indebåret et ret stort trnsskriptionsrbejde. smll

3 Forsvr: Msiklske normer i poplærmsik 3 pirisk og teoretisk grndlg Projektet er ltså præget f en omfttende empiri og f en nær tilknytning til empirien. kke desto mindre er projektet ntrligvis også præget f msikvidenskbelige trditioner hvorf den vigtigste som nævnt er msikteorien men hvor også poplærmsikforskningen må nævnes. 2. Bgvedliggende strktrer Selve fhndlingen kn groft opdeles i to dele. Første del indeholder generelle diskssioner f msikteoretiske begreber i forbindelse med nlyse f poplærmsik mens nden del omhndler et dvlg f konkrete msiklske normer. Første del indledes f en kortfttet introdktion til bgvedliggende strktrer med hovedvægt på hrmonisk/melodiske strktrer. Tnken om bgvedliggende strktrer genfindes mnge steder i msikteorien men er med størst konsekvens og dbredelse gennemført i Schenker-nlyse. Kpitlet er således først og fremmest en introdktion til denne nlysemetode selv om også ndre teorier specielt teorier med dgngspnkt i genertiv lingvistik kort nævnes og smmenholdes med Schenker-nlyse. 3. Tonehøjde Det efterfølgende kpitel 3. kpitel omhndler tonehøjde og kpitlet er delt i to: Første del omhndler toneideer mens nden del omhndler mods. Først behndles ltså tonehøjde for den enkelte tone der deles op i en toneide og en relistion f denne toneide. En toneide kn for eksempel være en f de sædvnlige toneideer såsom c g es eller dis men jeg inddrger også ndre toneideer der ikke lder sig notere med lmindelig nodenottion for eksempel toneideen en meget høj tone eller blestoner. Pointen er t når mn hører en tone er det ikke så meget den præcise tonehøjde der er vigtig men dels den opfttede toneide dels relistionen f toneideen (der for eksempel kn være krkteriseret f t der glides opd intoneres lvt eller lignende. Efter toneideer behndler jeg som sgt mods og jeg slår til lyd for et ret bredt modsbegreb der på den ene side kn være bseret på et bestemt tonemterile en skl og dets interne reltioner på den nden side på nogle bestemte melodiske formler og fremgngsmåder. Jeg kritiserer således den gængse brg f modsbegrebet i poplærmsikforskning hvor mods stort set ltid nskes som sklbseret j endd ofte i en sådn grd t en mods simpelthen blot opfttes som en bestemt skl. stedet rgmenterer jeg for t mn i højere grd må inddrge de specifikke melodiske og hrmoniske vendinger der gøres brg f i modsen. den forbindelse introdcerer jeg kort nogle modsbegreber som Peter vn der Merwe foreslår. Den konkrete brg f disse begreber sker dog først senere i fhndlingen i forbindelse med gennemgngen f konkrete msiklske normer.

4 Forsvr: Msiklske normer i poplærmsik 4 4. Tidslige forhold Efter kpitlet om tonehøjde behndles tidslige forhold dvs. blndt ndet forhold som rytme tktrt perioder osv. Overordnet opdeles de tidslige forhold i tre hierrkiske strktrer: metrisk strktr rytmisk strktr og grpperingsstrktr. Metrisk strktr omftter blndt ndet forhold som pls og tktrt. Der er ltså tle om en strktr som konkrete rytmer høres på bggrnd f. Jeg opdeler i forlængelse f gængs prksis den metriske strktr i to dele og jeg klder de to dele metrm og periodestrktr. Metrm betegner d de metriske lg fr tktlget og nedefter dvs. forhold som tktrt pls opdeling f pls-lget (f.eks. i trioliserede ottendedele mens periodestrktr omftter forhold fr tktlget og opefter dvs. opfttelsen f tkter i strktrer f 2 & 2 4 & osv. tkter. Rytmisk strktr er en hierrkisk strktr f rytmisk tryk eller betoning i en frse. frser med tekst er rytmisk betoning som regel smmenfldende med teksttryk. frsen»n nd ot my life«(the For Tops Cn t Help Myself (Sgr Pie Honey Bnch 1965 hr»in«således større tryk eller rytmisk betoning end»nd«. n nd ot my life i i i Endelig er der så grpperingsstrktr der omhndler hvordn frser smmensættes i større enheder ofte ved t én grppe dnnes f en åben og en lkket grppe. gen er der således tle om en hierrkisk strktr. Nvel der er sådn set ikke så meget nyt i en sådn opdeling selv om det måske er sædvnligt med en så skrp og konsekvent opdeling. Det interessnte sker efter min mening i særlig grd når de tre strktrer smmenholdes hvilket sker på en række forskellige måder i fhndlingen. Jeg vil her blot give nogle eksempler: En synkope kn helt generelt forstås som en overensstemmelse mellem metrisk og rytmisk betoning. Et eksempel er frsen fr 7 n i Tonen med stvelsen»in«er hr her rytmisk betoning (ngivet med i men står på et metrisk betonet sted ( 4og og der er således en synkope. Uoverensstemmelsen kn også ske i højere metriske lg men der er d ikke trdition for t nvende betegnelsen synkope og jeg indfører betegnelsen modbetoning. Et eksempel på modbetoning er melodien i de første fire tkter f omkvædet i The Bech Boys ood Vibrtions (1966: F# F# F# H /D# F# $$$$$ Rytmisk betoning: Metrisk betoning: m H /D# & pick - ú ing p good í vi - H br - ú nd tions ot i my life i she s & giv - ú ing me ex - í ci - H t - ú tions.

5 Forsvr: Msiklske normer i poplærmsik 5 Den største rytmiske betoning frsens hovedtryk ligger her på 1 slget i nden tkt dvs. en metrisk betonet tkt (i forhold til første tkt og der er således tktmodbetoning. eksemplerne overfor hr der været et tæt smspil mellem den rytmiske og den metriske strktr men i ndre tilfælde er der kn en løs forbindelse og jeg introdcerer derfor begrebet metrisk fornkring der hndler om i hvilket omfng en rytme opfttes i forhold til den metriske strktr. Nå jeg introdcerer en række ndre begreber og diskterer flere forskellige forhold vedrørende de tre tidslige strktrer i fhndlingen men her vil jeg n fortsætte med det fslttende kpitel i fhndlingens første del med generelle msiknlytiske diskssioner: 5. Formelle modeller Kpitlet er en form for fstikker fr fhndlingens overordnede opbygning. Det tger sit dgngspnkt i t teoretiske beskrivelser f msiklske fænomener som regel (i øvrigt med god grnd er kendetegnet f en vis grd f nøjgtighed og f nderforståede elementer. kpitlet her forsøger jeg derimod t opstille en formel model dvs. en tvetydig og fldstændig beskrivelse f en enkelt simpel msiklsk norm nemlig simple rytmer med tekst. Det sker ved t formlisere beskrivelsen hvilket på den ene side viser sig t være et ret møjsommeligt rbejde men som på den nden side med næsten skræmmende konsekvens fslører nøjgtigheder i ens middelbre beskrivelser. Øvelsen med t dforme en formel model hr således efter min mening især værdi i krft f det lys den kster på forholdet mellem ens beskrivelse og det fænomen mn ønsker t beskrive. Jeg hr som sgt i fhndlingen dformet en model for simple rytmer med tekst i poplærmsik. Modellen hr været dformet så præcist t reglerne hr knnet oversættes til en compterprogrm der knne tjekke om en given rytme fldt inden for normen. Netop dette rbejde hr fngeret som en sikkerhed for t beskrivelsen virkelig vr tilstrækkelig præcist og dtømmende formleret. Men lige så interessnt er det måske t der også kn dformes en compterprogrm der d fr modellen kn generere rytmer. Jeg hr således drbejdet et progrm der givet en tekstrytme kn generere mlige rytmer efter reglerne i den formelle model. Herved gives ltså endn en mlighed for t vrdere ens formelle beskrivelse f normen. Konkret hr rbejdet med formleringen f modellen og med compterprogrmmet ntrligvis formet sig som en stdig veklsen mellem dformning f modellen progrmmering vrdering f modellen omformlering ny vrdering osv. Netop dette rbejde hr været yderst værdifldt i formleringen den formelle men mere generelle beskrivelse f rytme i poplærmsik (som ltså vr i det foregående kpitel.

6 Forsvr: Msiklske normer i poplærmsik 6 Anden del: Et dvlg f vigtige msiklske normer Anden del f fhndlingen er en mere konkret gennemgng f et dvlg f vigtige msiklske normer i den britisk/meriknske poplærmsik i perioden omkring nden hlvdel f 1950 erne og første hlvdel f 1960 erne. Jeg hr kldt de tre normer for: Blesbseret rock n roll (kpitel 6 Ameriknsk pop omkring 1960 (kpitel ernes rhythm & bles (kpitel forbindelse med hver msiklsk norm hr jeg fokseret på spekter der i særlig grd ktliseres f den konkrete norm og jeg vil også her kort give nogle eksempler fr hver norm.

7 Forsvr: Msiklske normer i poplærmsik 7 6. Blesbseret rock n roll Kpitel 6 omhndler som sgt blesbseret rock n roll. Et vigtigt spekt i den forbindelse er ntrligvis blestoner og mere generelt den mods der nvendes. Det viser sig t modsen for melodikken som jeg klder rock n roll-blesmods bedst kn krkteriseres som en række specifikke melodiske formler og i lngt mindre grd d fr en bestemt skl (således som det for eksempel gælder for dr/moltonliteter. Modsen er først og fremmest kendetegnet ved to kernetoner grndtone og dominnt der fngerer som melodisk fspændte toner nset den hrmoniske bggrnd. Hertil kommer så overtertser og ndertertser til de to kernetoner. Over- og ndertertser er toner der fngerer som melodiske dissonnser dvs. som toner med en melodisk spænding mod en nden tone igen fhængigt f hrmonikken. En vigtig del f rock n roll-blesmods kn således beskrives ved kernetonerne og deres over- og ndertertser her i C- dr: Kernetone: # z3 overterts grndtone ( 1 6 nderterts # z7 overterts dominnt ( 5 3 nderterts Jeg vil her bre vise et enkelt eksempel på rock n roll-bles-mods nemlig et vers fr Chck Berrys Roll Over Beethoven 2 F7 got rol - lin (7 ver the C 7 rock - in pne - mo - r - thi - ri - tis Beet - ho - sit - tin ven nd (h ni down tell - 2 need by the Tschi - shot of rhy - thm kow - rhy - thm sky nd re - view the news. ble(s - 2 C 7-2 Det ses her hvordn dominnten (5 g optræder som kernetone. Under den optræder e som nderterts dvs. som en melodisk dissonns som står i forhold til kernetonen g. Se for eksempel de to første tkter f nden linje hvor g er kernetone dvs. en melodisk konsonnns og e er nderterts dvs. en melodisk dissonns lt smmen fhængigt f kkorden F7. J selv på C7 fngerer tonen e først og fremmest som en melodisk dissonns og ikke som en kkordtone i C7. Efter beskrivelsen f rock n roll-bles-mods beskrives typiske frseopbygninger hernder typiske rytmer opbygningen f simple frser omkring en kernetone shot-nd-fllstrktrer riffs og til sidst typiske frsesmmensætninger hernder grpperingsstrktrer og melodiske og hrmoniske bggrndsstrktrer. C 7 m Oh? roll the o-

8 Forsvr: Msiklske normer i poplærmsik 7. Ameriknsk pop o Den næste msiklske norm der behndles er en norm som jeg hr kldt meriknsk pop omrking 1960 der for eksempel omftter msik med Pl Ank Neil Sedk The Pltters The Everly Brothers Sm Cooke The Crystls og The Ronettes. gen beskrives mods først og der er i denne msik tle om to dominerende modi: Drtonlitet og en mods jeg klder popmods. Herefter behndles forskellige rytmiske fænomener i en norm der er præget f stor rytmisk vrition. Endelig beskrives opbygningen og smmensætningen f typiske formdele stykker. Jeg vil her give et enkelt eksempel på et nmmer nemlig Frnkie Lymon & The Teengers Why Do Fools Fll n Love (1956: F# D#! m #! m 7 C# D# -7 m # m C# F# D#! m # m $$ $ $$ 7 Why do birds sing so 7 F#! gy nd 7 7 lov - ers -wit the brek of dy? 7 Why C# 7 7 do they fll in love? Hvis vi ser på hrmonikken er der tydeligvis blot tle om en simpel rndgng en vmp der blot gentges. En sådn rndgng kn i et dybere strktrelt lg blot opfttes som en prolongtion eller forlængelse f. Der er således middelbrt på et dybere nive blot tle om hrmonisk stilstnd gennem hele verset. - F#! (

9 Forsvr: Msiklske normer i poplærmsik 9 Vender vi n blikket mod melodien er den i strten kendetegnet ved t 3 fngerer som kernetone dvs. som en melodisk vigtig tone fhængigt f hrmonikken. et dybere lg kn 3 dog opfttes som melodisk spænding mod grndtonen som den d også endegyldigt videreføres til i sltningen f verset. Hvordn dette mere præcist sker kn illstreres f en Schenker-nlyse f verset: F# D#! 7 m #! 7 7! m C# F# D# m # m C# D# F#! 7 m # m 7 $$ $ Why do birds $$ $ $$$ $ $$$$$ sing so gy nd lov - ers -wit the brek ' of dy? Why do they fll C# b V in 2 love? F# -! ( Mn kn her ses hvordn hovedtonen 3 i den linieære progression 3_2_1 nås gennem en opstigen i form f en kkordbrydning. Herefter følger to bevægelser mod 1 i tkt tre og fem men ingen f disse betyder et definitivt frvel til 3 der hver gng vender tilbge og det er d også kendetegnende t disse bevægelser ikke nderstøttes i særlig grd f hrmonikken eller f melodirytmen der tværtimod nderstreger tonerne på 3. det hele tget synes melodien ikke i særlig grd t tge hensyn til kkordskiftene men blot t være krkteriseret f lofttonen 3 og glvtonen 1 hvilket kn ses som et typisk popmodlt træk. Først i sjette tkt forldes 3 og her tiltrækker 7 sig opmærksomhed ved t være den første tone nder glvtonen 1. Strks derefter bevæger melodien sig til 2 og såvel 7 som 2 medfører t V fremhæves som en strktrelt vigtig kkord hvilket ltså fspejles i Schenkernlysen. Endelig bevæger melodien sig i syvende tkt mod 1 hrmonisk nderstøttet f. Bggrnden kn således nskes som en trditionel Schenker-nlytisk rsts hvilket er ret lmindeligt i dette repertoire. Melodikken betyder ltså t en enkelt kkord den fslttende V fremhæves og nsket som en Schenker-nlytisk bggrnddstrktr er der ltså lngtfr blot tle om hrmonisk stilstnd men om en melodisk/hrmonisk målrettet bevægelse. Sådnne smtidige tendenser i retning f henholdsvis stilstnd og bevægelse er meget lmindelige i denne msik (m. pop o

10 Forsvr: Msiklske normer i poplærmsik ernes r&b det sidste egentlige kpitel behndler jeg en blesbseret msik som jeg hr kldt 1960 ernes r&b og som omftter britisk og meriknsk r&b med repræsentnter som The Betles The Rolling Stones The Yrdbirds Crem The Who Jimi Hendrix Areth Frnklin Otis Redding og Wilson Pickett for t nævne nogle få. Hovedvægten er her på beskrivelsen f nye modle træk. Mest iøjnefldende er nok t blestonerne optræder i en række nye roller blndt ndet i større eller mindre grd som enhrmoniske med de dr/mol-tonle toneideer. Jeg vil her vise et enkelt eksempel nemlig et dsnit f The Betles A Hrd Dy s Night (1964: ( C! t s been hrd dy s 7 night nd ve been F 7 &! work - ing like dog. - Melodikken er her tydeligvis centreret omkring kernetonen d dominnten der fngerer som melodisk konsonnns nset den hrmoniske nderstøttelse hvilket blndt ndet ses i første tkt hvor d virker melodisk fspændt på trods f kkorden C. tredje tkt er der så en melodisk dissonns i krft f overtertsen til dominnten dvs. blesseptimen f der først og fremmest forholder sig til dominnten d som den også videreføres til. Men smtidig er der en hrmonisk fvigelse fr hvilekkorden i krft f kkorden F. Denne kkord kn i hvert fld tildels opfttes som en kkordisk melodiforstærkning f den melodiske bevægelse fr grndtonen til nderseknden og tilbge igen dvs. g_f_g. Herved optræder nderseknden z7 ltså ikke kn i en melodisk rolle men også en hrmonisk hvilket for eksempel ikke ses i blesbseret rock n roll. Umiddelbrt kn mn ltså sige t kkorder og melodi fngerer fhængigt f hinnden i tredje tkt og t den melodiske spænding i form f blesseptimen blot ledsges f en hrmonisk spænding i form f den kkordiske melodiforstærkning f grndtonens nderseknd. På den nden side er det klrt t de to toner kkordens z7 som nderseknd til grndtonen og melodiens z7 som overterts til dominnten fngerer tættere smmen og t noget f vendingens ppel netop ligger i t de to toner klinger ens og t der derfor kn være en tendens til t de opfttes som to dgver f den smme tone. Ansket således er melodiens f i tredje tkt fktisk en kkordtone. Eksemplet illstrerer ltså hvordn blestonerne i dette tilfælde z7 som henholdsvis nderseknd til grndtonen og overterts til dominnten her nvendes som toner i en smklng og således i højere grd svrer til de dr/mol-tonle toner. Afsltning Jeg vil fsltte med t nævne t der i forbindelse med projektet findes en hjemmeside med flere oplysninger og hvor mn blndt ndet kn hente progrmmet til generering f rytmer i versioner til Mc og Windows. URL en er cyrk.dk/phd

Jesper Juellund Jensen Musikalske normer i populærmusik

Jesper Juellund Jensen Musikalske normer i populærmusik Jesper Juellund Jensen Musikalske normer i populærmusik Indholdsfortegnelse Forord 11 1. Indledning 13 1.1 Musikalske normer 14 1.2 Beskrivelse af musikalske normer 17 1.3 Ide og realisation 23 1.3a Fraser

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion) Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften

Læs mere

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

KEGLESNIT OG BANEKURVER

KEGLESNIT OG BANEKURVER KEGLESNIT OG BANEKURVER x-klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... BEGREBET KEGLE... 3 KEGLESNIT... 5 Cirkel... 6 Ellipse... 8 Prbel... 15 Hyperbel... 19 Keglesnitsligninger

Læs mere

114 Matematiske Horisonter

114 Matematiske Horisonter 114 Mtemtiske Horisonter Mtemtik i medicinudvikling Af Ph.d-studerende Ann Helg Jónsdóttir, Ph.d-studerende Søren Klim, Ph.d-studerende Stig Mortensen og Professor Henrik Mdsen, DTU Informtik Hovedpinen

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Projekt 10.3 Terningens fordobling

Projekt 10.3 Terningens fordobling Hvd er mtemtik? C, i-og Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deduere sig til og konstruere ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige, t l den viden, der

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

ANALYSEOPGAVE Feelgood Bakery

ANALYSEOPGAVE Feelgood Bakery ANALYSEOPGAVE Feelgood Bkery Kommuniktion: Helene, Loiuse, Pernille og Ndi Gruppe 14 Hvem er fsenderen? - Glutenfri bgerbrød - Christine og Louise Krogh Hvem er målgruppen? - Gluten llergikere og helsefreks

Læs mere

Et liv uden styrende rusmidler. Fylder alkohol for meget?

Et liv uden styrende rusmidler. Fylder alkohol for meget? Et liv uden styrende rusmidler Fylder lkohol for meget? 2 Novvis tilbud Novvi vretger blndt ndet lkoholbehndlingen for mnge f kommunerne på Sjællnd. Foregår mbulnt uden indlæggelse, så du kn psse dine

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

At være en langtidsholdbar Herrens tjener TEOLKURSUS 2012

At være en langtidsholdbar Herrens tjener TEOLKURSUS 2012 At være en lngtidsholdbr Herrens tjener TEOLKURSUS 2012 3 tilgnge til mennesket Psyken bolig for menneskets følelsesmæssige behov Kroppen bolig for menneskets fysiske behov Sjælen bolig for menneskets

Læs mere

For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning,

For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning, 15.1. Komplekse integrler 293 læse, og hvordn gør mn det i prksis? Men den virkelige motivtion bg begrebet bliver udst til fsnit 18.5, hvor vi viser t foldning f sndsynlighedsmål lder sig udtrykke meget

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Integrationsteknikker

Integrationsteknikker Integrtionsteknikker Frnk Vill. jnur 14 Dette dokument er en del f MtBog.dk 8-1. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 Numerisk integrtion.1

Læs mere

Hygiejnepolitik. - for din og min sundhed

Hygiejnepolitik. - for din og min sundhed Hygiejnepolitik ktisk f : er Det å svært r s de hæn. ikke ske m o kl v lidt Du s nke dig u, æ de d og t å b dine liver Så b milie og syge din f r mindre e g kolle - for din og min sundhed Det er fktisk

Læs mere

Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se.

Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se. Forord. Det isoperimetriske problem går i l sin enkelhed ud på t finde den lukkede kurve i plnen, blndt en mængde f kurver lle med smme omkreds, som fgrænser det størst mulige rel. Løsningen til det isoperimetriske

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

Tolkningsrapport. Ella Explorer. October 15, 2008 FORTROLIGT

Tolkningsrapport. Ella Explorer. October 15, 2008 FORTROLIGT Tolkningsrpport Ell Explorer Otoer 1, 2 FORTROLIGT Tolkningsrpport Ell Explorer Introduktion Otoer 1, 2 Introduktion Anvendelse Denne rpport må udelukkende tolkes f kvlifierede rugere under overholdelse

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden.

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden. Efterbehndlingsrk C Dæmonen Nedenfor er vist to grfer for bevægelsen i Dæmonen. Den første grf viser hvor mnge gnge du vejer mere eller mindre end din normle vægt. Den nden grf viser højden. Spørgsmål

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

Installationsvejledning

Installationsvejledning Dikin Altherm lvtempertur monolok ekstrvrmer EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Dikin Altherm lvtempertur monolok ekstrvrmer Dnsk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Om dokumenttionen. Om dette dokument... Om kssen.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12 Mtemtisk modellering numeriske metoder Lektion 12 Morten Grud Rsmussen 21. oktober, 213 1 Prtielle differentilligninger 1.1 Løsning f vrmeligningen vh. Fourierrækker [Bens sektion 12.6 på side 558] Vi

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 3

ANALYSE 1, 2014, Uge 3 ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Krumningsradius & superellipsen

Krumningsradius & superellipsen Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi Stort energi- og stndby forbrug? En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Sluk for det hele......

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi 2 En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Energy Efficiency Energieffektivitet hndler ikke kun

Læs mere

Dette enkle påskespil er kommet i stand efter fælles arbejde omkring påskens centrale

Dette enkle påskespil er kommet i stand efter fælles arbejde omkring påskens centrale UNDERVS OM GUD en idébnk til kirkelig undervisning, Fyens Stift KONFRMANDER Påskespil med indledende undervisningsforløb Dette enkle påskespil er kommet i stnd efter fælles rbejde omkring påskens centrle

Læs mere

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk Vielsesringe Designer og guldsmed Jn Jørgensen Siden 1995 hr Jn Jørgensen hft egen virksomhed, hvor nturen i det rske og åne Nordjyllnd hr givet inspirtion til det meste f designet. Smykker i de ædleste

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

Projektstyring. Dag 5

Projektstyring. Dag 5 Akdemifget Projektstyring Dg 5 m/u PRINCE2 Foundtion certificering i smrbejde med PRINCE2 is Registered Trde Mrk of the Office of Government Commerce in the United Kingdom nd other countries. Humn fctor

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

ANALYSE 1, 2013, Uge 2

ANALYSE 1, 2013, Uge 2 ANALYSE 1, 2013, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består

Læs mere

Exitforløb for kriminalitetstruede unge

Exitforløb for kriminalitetstruede unge Exitforløb for kriminlitetstruede unge Exit Nu tilbyder et exitforløb til kriminlitetstruede unge i lderen 15-29 år. Vi rbejder indenfor lovgivningen omkring fst kontktperson, efterværn, bostøtte og mentorstøtte

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

ICF - DEN DANSKE VEJLEDNING OG EKSEMPLER FRA PRAKSIS

ICF - DEN DANSKE VEJLEDNING OG EKSEMPLER FRA PRAKSIS ICF - DEN DANSKE VEJLEDNING OG EKSEMPLER FRA PRAKSIS INTERNATIONAL KLASSIFIKATION AF FUNKTIONSEVNE, FUNKTIONSEVNENEDSÆTTELSE OG HELBREDSTILSTAND Udrbejdet f MrselisborgCentret, 2005 En spørgeskemundersøgelse

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

Søndag 11. september 2011. 10 år efter

Søndag 11. september 2011. 10 år efter Søndg 11. september 2011 Newyorkerne rbejder stdig på t genrejse sig selv og deres by efter historiens største terrorngreb. Fyens Stiftstidende hr besøgt metropolen og tlt med indbyggerne om livet før

Læs mere

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................

Læs mere

... Nh ~n ~'. ~ ~ ~. _ -H' - Fredag den 15. september 1995 kl. 18. Program:

... Nh ~n ~'. ~ ~ ~. _ -H' - Fredag den 15. september 1995 kl. 18. Program: """... '............,. ','.'. "... Nh ~n ~'. ~ ~ ~. _ -H'.-.".... - -. - -.. -....-.. -.".... ".. Vir Klub o c o Fredg den 15. september 1995 kl. 18 Progrm: Besøg i Lyngby Kirke v/præst Leif My Lyngby's

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejebog med eksempler

ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejebog med eksempler ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejeog med eksempler Lyngy Tekniske Gymnsium Introduktion Lyngy Tekniske Gymnsium, HTX, hr i smrejde med Udviklingslortoriet for pædgogisk og didktisk prksis

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

1. Eksperimenterende geometri og måling

1. Eksperimenterende geometri og måling . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t

Læs mere

Analyse 30. januar 2015

Analyse 30. januar 2015 30. jnur 2015 Større dnsk indkomstulighed skyldes i høj grd stigende kpitlindkomster Af Kristin Thor Jkosen Udgivelsen f Thoms Pikettys Kpitlen i det 21. århundrede hr fstedkommet en del diskussion f de

Læs mere

PROGRAMKATALOG. RULL-PROJEKT I OMRÅDE Skanderborgvej. Ny institution på Vestermarken. Sommer 2013 13.06.2013

PROGRAMKATALOG. RULL-PROJEKT I OMRÅDE Skanderborgvej. Ny institution på Vestermarken. Sommer 2013 13.06.2013 PROGRAMKATALOG RULL-PROJEKT I OMRÅDE Sknderborgvej Ny institution på Vestermrken Sommer 2013 136.2013 PROGRAMKATALOG Indhold Byrådsbeslutning...3 Arhus Kommunes Pædgogiske Rmmesætning...4 De 6 tænketnksprincipper...

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul Bogstvregning En indledning for st og f. del 008 Krsten Juul ) )( ( ) ( ) ( Indold 0. Gnge to prenteser....,, osv... 7. Kvdrtsætninger... 0. Brøer. del... Bogstvregning. En indledning for st og f.. del.

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Om Riemann-integralet. Noter til Matematik 1

Om Riemann-integralet. Noter til Matematik 1 Om Riemnn-integrlet. Noter til Mtemtik 1 Jon Johnsen Institut for Mtemtiske Fg, Alborg Universitet Fredrik Bjers Vej 7G, 9220 Ålborg Ø 3. december 2001 1 Indledning Integrlregning går tilbge til Newtons

Læs mere

Pust og sug Design og konstruktion af et apparat til at måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi

Pust og sug Design og konstruktion af et apparat til at måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi Pust og sug Design og konstruktion f et pprt til t måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi Ingeniørens udfordring Elevæfte Menneskekroppen, Åndedrætssystemet 1 Pust og sug Ingeniørens udfordring At

Læs mere

Udtalelse om æglæggende høner

Udtalelse om æglæggende høner Det Dyreetiske Råd Udtlelse om æglæggende høner ustitsministeriet Civilkontoret Slotsholmsgde 10 1216 Københvn K uni 2001 Udtlelse om æglæggende høner 2001 Det Dyreetiske Råd Københvn Grfisk tilrettelægning:

Læs mere

Dødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie

Dødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie Dødelighed og kræftforekomst i Avnersuq. Et registerstudie Peter Bjerregrd, Anni Brit Sternhgen Nielsen og Knud Juel Indledning Det hr været fremført f loklbefolkningen i Avnersuq og f Lndsstyret, t der

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

1 Indledning 2. 2 Komfortkriterier 2. 3 Lastmodel 4. 4 Konstruktionsmodeller 5 4.1 Generaliseret system 5 4.2 Betonelementdæk 6

1 Indledning 2. 2 Komfortkriterier 2. 3 Lastmodel 4. 4 Konstruktionsmodeller 5 4.1 Generaliseret system 5 4.2 Betonelementdæk 6 Side f Betonelementforeningen Vibrtionskomfort i dækkonstruktioner Bernt Suikknen COWI A/S,. udgve. Oktober 00. Indledning Komfortkriterier Lstmodel Konstruktionsmodeller 5. Generliseret system 5. Betonelementdæk

Læs mere

- om divisionsstykker, der ikke går op

- om divisionsstykker, der ikke går op GANGE OG DIVISION I dette kpitel skl eleverne bygge videre på deres viden om mltipliktion og division. Eleverne præsenteres for llerede kendte metoder og en enkelt ny, og tnken er, t disse metoder kn være

Læs mere

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk Vielsesringe Designer og guldsmed Jn Jørgensen Det rå mod det løde, det vrme mod det kolde - og den smukke løende forndring når tingene lndes. Det er ofte mest tydeligt, der hvor hvet møder lndet - og

Læs mere

International økonomi

International økonomi Interntionl økonomi Indhold Interntionl økonomi... 1 Bilg I1 Oversigt over smmenhæng mellem kompetencer og kernestof i 3 skriftlige eksmensopgver i Interntionl økonomi A.... 2 Bilg I2 Genrer i IØ fr oplæg

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede

Læs mere

SAMLEANVISNINGER. Multi Line 6 x10 315x193x203cm / 124 x76 x80. Danish - 68463. web site: www.jemfix.com e-mail: info@jemfix.com

SAMLEANVISNINGER. Multi Line 6 x10 315x193x203cm / 124 x76 x80. Danish - 68463. web site: www.jemfix.com e-mail: info@jemfix.com SAMLEANVISNINGER Multi Line 6 x10 315x193x203cm / 124 x76 x80 Dnish - 68463 we site: www.jemfix.com e-mil: info@jemfix.com VIGTIGT Læs instruktionerne omhyggeligt, inden du egynder t smle dette drivhus.

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner Eksmensspørgsmål: Potens-funktioner Definition:... 1, mønt flder ned:... 1 Log y er en liner funktion f log x... 2 Regneforskrift... 2... 2 Smmenhæng mellem x og y ved potens-vækst... 3 Tegning f grf for

Læs mere

Lidt Om Fibonacci tal

Lidt Om Fibonacci tal Lidt om Fioi tl Lidt Om Fioi tl Idhold. Defiitio f Fioi tllee.... Kivl... 3. Telefokæder....3 4. E formel for Fioi tllee...4 Ole Witt-Hse 008 Lidt om Fioi tl. Defiitio f Fioi tllee Fioi tllee er opkldt

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

gratis magasin Opskrifter på lækker og hurtig mad Friske frosne grøntsager & frugt hele året rundt n u m m e r 01 / 2 012

gratis magasin Opskrifter på lækker og hurtig mad Friske frosne grøntsager & frugt hele året rundt n u m m e r 01 / 2 012 minus 18 grtis mgsin o Opskrifter på lækker og hurtig md Friske frosne grøntsger & frugt hele året rundt n u m m e r 01 / 2 012 En frisk verden på frost 2 Let middgsmden med frosne grøntsger Md med mnge

Læs mere

Bilag 1. Frafaldsanalyse elever. Generelle oplysninger:

Bilag 1. Frafaldsanalyse elever. Generelle oplysninger: Bilg Frfldsnlyse elever Generelle oplysninger: Skole Frekvens AMU Center Århus Dnsk Center Jordrugsuddnnelse Den Jyske Hndværkerskole Djurslnd ES ES Års Esjerg TS EUC Midt EUC SYD Frederici-Middelfrt TS

Læs mere

ØVELSE 4. Ex_4 DATA MYSAS.SAMDATA; SET MYSAS.DATA85 MYSAS.SUPDATA;

ØVELSE 4. Ex_4 DATA MYSAS.SAMDATA; SET MYSAS.DATA85 MYSAS.SUPDATA; ØVELSE 4 I denne øvelse får du lige først et fsnit om, hvordn mn sætter dtsæt smmen. Du kn få brug for dette ved den sidste øvelse i denne uge og ellers er det generelt en nyttig ting t kunne i SAS. Desuden

Læs mere

Palestrinakontrapunkt Indledende stemmeførings- og samklangsregler 1. lektion (Jeppesen p.81-84, 95-108)

Palestrinakontrapunkt Indledende stemmeførings- og samklangsregler 1. lektion (Jeppesen p.81-84, 95-108) strkontrpunkt Indledende stemmeførgs og smklngsregler 1. lektion (Jeppesen p.8184, 9108) D kn være en vnskeg proces t blere formmelse for hvd der lyder rigtigt og hvd der lyder forkert i en musiklsk stil,

Læs mere

SoundSations! Sow[' 9arcft LtbrarY- 'M6k:::'t;q:v:,& l. l(rb af datamaskine. 2. llusikplogram. Pia overvejer at ksbe en datamaskine.

SoundSations! Sow[' 9arcft LtbrarY- 'M6k:::'t;q:v:,& l. l(rb af datamaskine. 2. llusikplogram. Pia overvejer at ksbe en datamaskine. l. l(rb f dtmskine Pi overvejer t ksbe en dtmskine. Hvor meget ville Pi komme til t betle for dtmskinen PC 386, nar der betles 295 kr. pr. maned i36 maneder? Hvor meget ville hun spre ved t kobe kontnt?

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

Forskønnelsesplanen Det Nye Furesølund

Forskønnelsesplanen Det Nye Furesølund Forskønnelsesplnen Det Nye Furesølund Furesølund er trods sine mere end 40 år stdig et ttrktivt område. Men dmen er lidt slidt. Legepldserne flder smmen. Rækværket flmer, og grønne områder står gemt og

Læs mere

Center for Kvalitet Region Syddanmark

Center for Kvalitet Region Syddanmark Version 4.0 Side 1 f 64 Forftter Udgivelsesdto 27-03-2014 Version Version 4.0 Historik Overlæge, dr.med. Ulrik Gerdes Version 1.0 fr14-06-2013: Dele f indholdet i dette nott fndtes i en version 7.0 f et

Læs mere

Det at ændre på grundfeelingen i et nummer, ved at tilføje et par 8-dele til hver takt.

Det at ændre på grundfeelingen i et nummer, ved at tilføje et par 8-dele til hver takt. Det at ændre på grundfeelingen i et nummer Ole Skou august 2012 side1 Det at ændre på grundfeelingen i et nummer, ved at tilføje et par 8-dele til hver takt. Indhold Indledning... 1 Eksempel 1, start for

Læs mere

DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND. Cross Boule

DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND. Cross Boule DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND Cross Boule 1 Forord Cross Boule når som helst og hvor som helst Dnsk Arejder Idrætsforund er glde for t kunne præsentere Cross Boule - et oldspil, hvor lle kn være med. Spillet

Læs mere