Måling med SAXS på phospholipidmembraner perturberet med stearinsyre

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Måling med SAXS på phospholipidmembraner perturberet med stearinsyre"

Transkript

1 Efterår 2009 Bachelorprojekt: Måling med SAXS på phospholipidmembraner perturberet med stearinsyre Small Angle X Ray Scattering Af: Thor Bjørn Ottosen, Hans Otto Eriksen, Lasse Ronnenberg. Vejleder: Dorthe Posselt Efterår 2009

2 Resume Formålet med dette projekt er at undersøge fedtsyrers indvirkning på et phospholipid dobbeltlag. Specifikt: stearinsyres indvirkning på en DMPC membran. Ifølge en artikel fra MEMPHYS Center for Biomembran Fysik (Peters et al., 2009), vil tilsætning af stearinsyre og oliesyre forårsage en sammentrækning af en DMPC membran. Formålet med projektet er at eftervise artiklens resultat for stearinsyre med Small Angle X ray Scattering (SAXS). Der måltes på Multi Lamellare Vesikler (MLV) med DMPC og Stearinsyre i forskellige blandingsforhold og ved forskellige ph værdier. 21 prøver blev målt med SAXS over en tidsperiode på 2 måneder. Der ses en ændring i relation til pertuberingen med stearinsyre. Der kan ikke konkluderes nogen systematisk sammenhæng med koncentrationen, da usikkerhederne ved målingerne er større end sammenhængen. Det formodes at hovedårsagen til dette skyldes at systemet ikke er i termodynamisk ligevægt. Abstract The purpose of this project is to examine the influence of fatty acids on phospholipid bilayers. Specifically the influence of stearic acid on a DMPC membrane. According to an article from MEMPHYS center for biomembrane physics (Peters et al ) will perturbation of stearic acid and oleic acid cause a thinning of a DMPC membrane. The aim of the project is to prove the articles results for stearic acid by the use of Small Angle X ray Scattering (SAXS). Measurements are performed on multilamellar vesicles (MLV) with DMPC and stearic acid in various compositions and various ph values. 21 samples were measured with SAXS during a time period of two months. It is shown that the perturbation with stearic acid causes a change in the repeat distance of the membrane. It is not possible to show any systematic correlation to the concentration, since the uncertainties are larger than the measured differences. It is assumed that the main cause of this is that the system isn t in thermodynamic equilibrium. Side 2 af 62

3 Indholdsfortegnelse 1. Indledning Metode Model Artiklen fra Journal of Physical Chemistry B Hypotese Eksperiment SAXS Præparering af prøver Formler til opmåling af prøver Databehandling Resultater Usikkerhed Mulige fejlkilder til eksperimentet Konklusion Litteraturliste Bilag Elektromagnetiske bølger Prøvefortegnelse SAXS måling oversigt SAXS grafer Side 3 af 62

4 1. Indledning Visse steder i biologien som f.eks. i cellemembraner er det nødvendigt at tillade nogle stoffer at passere en membran mens andre stoffer holdes ude. Disse membraner består af en række molekyler herunder phospholipider, kolesterol, proteiner o.a. Hovedbestanddelen af en sådan membran vil ofte være lipider af forskellig art. I dette projekt er taget udgangspunkt i DMPC, da dette molekyle er ofte forekommende i biologiske systemer. Dimyristoylphosphatidylcholine (DMPC) (1,2 Dimyristoyl sn glycero 3 phosphocholine) er to kulstofkæder med 14 kulstofatomer i hver. Disse har dernæst fået påsat en carboxylgryppe og er derfor blevet til fedtsyrer. Et glycerolmolekyle kan dernæst esterifiseres med to fedtsyrer til et DMPC molekyle (Mouritsen, 2005). Figur 1 Model af et DMPC molekyle. DMPC er sammensat af forskellige molekyler, uden dog at have samme egenskaber som de oprindelige molekyler. Det ses desuden af modellen, at DMPC har en hydrofil hovedgruppe og en hydrofobisk hale. DMPC er zwitterionisk idet hovedgruppen både indeholder en kation (O ) og en anion (N + ); det gør molekylet internt polært. Halerne er upolære methylgrupper. Når mange DMPC molekyler flyder rundt i vand vil de organisere sig således, at de hydrofobe haler har den mindst mulige kontakt med vandfasen. For at minimere denne kontakt dannes et dobbeltlag af DMPC molekyler hvor de hydrofile hoveder vender ud mod vandet på hver side, mens halerne helt gemmes i midten (Se Figur 2). Hvis en sådan phospholipid membran krummes kan der dannes en kugleform. Figur 2 Model af et phospholipid dobbeltlag krummet til en vesikel. Modellen skal forestille en tredimensionel repræsentation, hvor phospholipiderne vil selvorganisere sig i kugleformede aggregater. (Mouritsen, 2005, s. 37) modificeret. Side 4 af 62

5 Phospholipid vesikler udgør en vigtig matrix for en række cellulære processer, der finder sted i membranen samt på membranens overflade. Fedtsyrer vil i vand danne kompakte kugler, kaldet miceller, hvor halerne fylder hele midterområdet (se Figur 3), men DMPC danner snarere vesikler, bestående af et dobbelt lag phospholipider omgivet af vand på begge sider. Hvis flere lag indkapsler hinanden kaldes de for multi lamellare vesikler (MLV) til forskel fra de uni lamellare (ULV) (se Figur 3). DMPC vil i vand danne multilamellare vesikler. Figur 3 Tegning af micelle, vesikel og multilamellar vesikel. Denne aggregering styres af en pakningsparameter defineret som følger (Israelachvili, 1992, s. 371): Hvor er halevolumen, er det optimale hovedgruppeareal og er den kritiske halelængde. Ved en pakningsparameter på dannes misceller, hvorimod en pakningsparameter på danner vesikler. Genstandsområdet for dette projekt er interaktionen af DMPC og stearinsyre, som en reduktionistisk repræsentation af et biologisk system. Side 5 af 62

6 Formålet med projektet er i tråd med (Peters et al., 2009) at afdække nogle fundamentale sammenhænge i interaktionen imellem DMPC og stearinsyre. I dette projekt undersøges ændringen i repeatafstanden i relation til koncentrationen af stearinsyre i membranen, samt stearinsyrens protonering. Ydermere er formålet med projektet at fungere som en pædagogisk introduktion til studier af phospholipider og anvendelse af Small Angle X ray Scattering (SAXS, eller småvinkelspredning på dansk). Rapporten er derfor forsøgt holdt i et simpelt sprog, og det er forsøgt ikke at anvende begreber, der forudsætter forhåndsviden ud over et basalt kendskab til fysik. Målgruppen for projektet er forskere indenfor fysisk kemi, biofysik etc. der vil have gavn af rapporten, i videre forskningsøjemed, særligt i relation til interaktionen mellem phospholipider og stearinsyre. Derudover er målgruppen nye studerende indenfor området, der kan anvende rapporten som en indføring i phospholipider og som en guide til gennemførsel af SAXS studier. Projektet er skrevet med udgangspunkt i følgende problemformulering: Ændres repeatafstanden af en DMPC multilamellar vesikel som følge af perturbering med stearinsyre? Findes der en systematisk sammenhæng imellem ændringen i repeatafstanden og koncentrationen af stearinsyre i membranen? Findes der en systematisk sammenhæng imellem ændringen i repeatafstanden og protoneringen af stearinsyren? Der indsamles i dette projekt en række empiriske data, som dernæst sammenholdes med teoretiske analyser fra literaturen. Projektet kan således karakteriseres som et internt fagligt projekt, med hovedfokus lagt på det empiriske arbejde. Det er således også projektets formål at leve op til kriterierne for opnåelse af det eksperimentelle kryds. Side 6 af 62

7 2. Metode For at besvare problemformuleringen er der foretaget et SAXS studie af DMPC perturberet med stearinsyre. Et SAXS studie består af en prøvepræparering, en serie målinger med SAXS, samt en efterfølgende databehandling. I det følgende afsnit vil der blive redegjort for valget af metode i de enkelte dele af eksperimentet, samt validiteten af den fulgte metode. De enkelte dele af eksperimentet vil blive gennemgået kort, men en redegørelse for detaljerne i den eksperimentelle metode findes i afsnittet Eksperiment (side 15). Prøvepræparering Da formålet med dette projekt er at studere samme system som i artiklen: (Peters et al., 2009), følger prøvepræpareringen i vid udstrækning den samme metode som (Peters et al., 2009). DMPC og stearinsyre blev indkøbt og anvendt uden yderligere rensning. De rette mængder blev dernæst afvejet som tørstof, hvorefter tørstoffet blev opløst i kloroform. Vægtprocenten imellem vand og tørstof valgtes til 5% da forsøg med prøver med 2% tørstof var sværere at analysere dataene fra, og for at holde vægtprocenten så lav som muligt og sikre dannelsen af phospholipid dobbeltlag. Det molbrøk interval der blev anvendt mellem DMPC og stearinsyre, var Dette følger samme interval og afstande mellem målepunkterne som i (Peters et al., 2009), udvidet med to målepunkter med lavere molbrøker, da det viste sig at dataene lettere kunne analyseres ved lavere koncentrationer af stearinsyre i membranen. Herefter blev kloroformen inddampet, og det inddampede tørstof opløst i milli q vand. Den angivne procedure adskiller sig fra (Peters et al., 2009), men følger instruktioner af postdoc. kemiker Chunhua Wang, Roskilde Universitet (personlig kommunikation). Ydermere, for at variere ph værdien i prøverne, og dermed påvirke protoneringsgraden af stearinsyren, tilføjedes NaOH. ph værdien måltes med almindeligt ph meter. SAXS Prøverne blev herefter målt med Small Angle X ray Scattering (SAXS) i 30 minutter ved en intensitet på 40kV og 40mA. Indstillinger og instruktioner i korrekt brug af SAXS blev givet af Dorthe Posselt, lektor på Roskilde Universitet ved Indsatsområdet for studiet af Matematik og Fysik samt deres funktioner i Undervisning, Forskning og Anvendelser (IMFUFA). Disse indstillinger blev valgt, ud fra en afvejning af, ikke at måle over for lange perioder, da dette risikerer at ødelægge vesiklerne, samt for at måle over lang nok tid til at få et analyserbart resultat. Som reference blev en prøve med en molbrøk på 0,05 målt i 18 timer på samme måde som (Lund, 2005) uden nævneværdigt forbedret signal støj forhold. Databehandling Dataene fra en model bestående af en lineær sammenhæng imellem q værdien og kanalnummeret på SAXS apparaturet. De enkelte repeatafstande blev herefter fundet igennem et Lorentz fit, hvorefter repeatafstanden kan beregnes. Side 7 af 62

8 Kontrol prøve For at kontrollere om der skulle forefindes frie fedtsyrer i opløsningen, blev en prøve med ren stearinsyre i vand målt efter samme procedure som beskrevet ovenfor. Prøven blev fremstillet ved afvejning af stearinsyre som tørstof, hvorefter der tilsattes milli Q vand, så der fremkom koncentration på 5% w/w. Prøven blev målt ved tre forskellige ph værdier, for at afdække SAXS spektret ved stearinsyres forskellige faser som defineret af (Cistola et al. 1988). Alle tre prøver blev endvidere målt ved samme temperatur som prøverne med DMPC. Derudover blev prøverne målt ved 70 \circ C, for at analysere spektret over faseovergangstemperaturen. Disse prøver blev herefter sammenlignet med prøverne for DMPC og stearinsyre, for at afgøre om der forefandtes frie stearinsyrer i opløsningen. Side 8 af 62

9 3. Model Projektet tager udgangspunkt i en artikel fra 2009 af Günther Peters, Flemming Hansen, Martin Møller og Peter Westh. Deres resultater bliver anvendt som model for dette projekts eksperiment. Hele afsnit 3 omhandler derfor undersøgelser og resultater beskrevet i artiklen (Peters et al., 2009). I det følgende vil artiklen blive gennemgået, og der vil senere blive gjort rede for forskelle mellem artiklen og nærværende projekt. 3.1 Artiklen fra Journal of Physical Chemistry B Formålet med Peters, Hansens, Møllers og Wesths arbejde er at undersøge fedtsyrers indvirkning på DMPC membraners tykkelse. I artiklen undersøges stearinsyres og oliesyres indvirkning på en DMPCmembran med en molbrøk i et biologisk relevant interval fra 0.05 til Herefter undersøger de hvordan main phase transition 1 ændrer sig som følge af koncentrationen, hvordan volumen af vesiklerne ændrer sig som følge af koncentrationen og hvordan phospholipiderne og fedtsyrerne ligger pakket, samt pakningens indflydelse på molekylernes struktur. Der vil i dette afsnit blive fokuseret på stearinsyrens indflydelse. For at undersøge ændringen i faseovergangstemperaturen, ved main phase transition, som funktion af koncentrationen, anvendes Differential Scanning Calorimetri (DSC). Til undersøgelse af vesiklernes volumenændring, som følge af koncentrationen af fedtsyre i membranen, anvendes densitometri. Pakningen mellem phospholipider og fedtsyrer, samt ændringerne i molekylernes struktur, undersøges ved molecular dynamics (MD) simulation. Differential Scanning Calorimetri (DSC) Figur 4 Eksperimentelle resultater fra DSC. Figuren viser sammenhængen mellem temperaturen for main phase transition og koncentrationen af fedtsyrer i membranen. (Peters et al., 2009, s. 94) 1 Membranens faseovergangstemperatur fra gel fase til flydende krystallinsk fase. Side 9 af 62

10 Som det ses af Figur 4, så stiger temperaturen for main phase transition med koncentrationen af stearinsyre i membranen. Dette skyldes at stearinsyre lettere opløses i gel fasen end i den flydende fase. Der kræves altså mere energi for at gå fra gel fase til den flydende fase ved en højere koncentration af stearinsyre i membranen. Densitometri Det densitometriske eksperiment i (Peters et al., 2009) tager udgangspunkt i begrebet partiel molær volumen. Ifølge (Atkins, 1994, s. 208) er det partielle molære volumen af et stof A i en blanding volumenændringen ved tilføjelse af 1 mol A til en stor mængde af blandingen. Dette kan matematisk defineres som følger:,, Hvor er det partielle molære volumen af kemikalie, er det totale volumen, er antallet af tilførte mol, er trykket, er temperaturen og er antallet af mol af de andre stoffer i blandingen. Ved ideel blanding vil det samlede volumen af blandingen være summen af de partielle volumener, her eksemplificeret ved en binær blanding af stofferne A og B (se Figur 5): Figur 5 Forsimplet tegning af ideel blanding af to stoffer, her har A og B har lige store partielle volumener. Den korrekte formel til beregning af partiel mol ær volumen er: Hvor og er volumen af stof A og B, og og angiver hvert stofs molbrøk af prøven, således at: 1 (Peters et al., 2009) viser at pakningen af DMPC og Stearinsyre ikke er ideel. Det vil sige at der kan forekomme små hulrum i lipidpakningen som Stearinsyren helt eller delvist udfylder (sammenlign Figur 6). Side 10 af 62

11 Figur 6 Viser hvordan et stof kan indeholde små hulrum der helt eller delvist kan udfyldes af andre stoffer. Hvis et blandet volumen ikke vokser efter den ideelle model, så kan det beregnes hvor stor en part af det nye totalvolumen som er udgjort af tilsætningsstoffet. Det kan herefter vises at de partielle molære volumener for kemikalierne A og B kan udledes til:, 1, Det kan af de to ovenstående ligninger ses, at hvis er lineær i, så pakker molekylerne ideelt. Hvis ikke er lineær i, så optræder der pakningseffekter i systemet. Ofte er det ikke muligt at måle de partielle molære volumener direkte, hvorfor man antager at den ene af den binære blandings komponenter har samme partielle molære volumen som i sin rene form. Dette kaldes det umiddelbare molære volumen og er defineret således:, Det vises herefter at det umiddelbare og det partielle molære volumen er i god overensstemmelse. Side 11 af 62

12 Figur 7 Det umiddelbare molære volumen for systemet bestående af DMPC og stearinsyre. De rette linjer er beregnet ud fra og skitserer en ideel blanding (Peters et al., 2009). Som det ses af Figur 7 ligger punkterne for DMPC og stearinsyre konsekvent over linjen for ideel blanding. Dette betyder at et af kemikalierne eller begge har et større molært volumen end i deres rene form. Desuden ses et fald i det molære volumen når molbrøken af stearinsyre overstiger 0.2. Dette skyldes at systemet er gået ind i en blandet fase med både fluid og gel elementer. På den mindre graf er de absolutte værdier for det umiddelbare volumen plottet sammen med et polynomisk fit. Afvigelsen fra linearitet, indikerer nonideelle pakningseffekter. Figur 8 (a) Det umiddelbare molære volumen af fedtsyrer i relation til sammensætningen af blandingen. Ringe indikerer stearinsyre, prikker indikerer oliesyre. (b) Partielle molære volumener for stearinsyre (SA) og DMPC, beregnet ud fra og (Peters et al., 2009, s. 96). Som det ses af Figur 8a aftager stearinsyrens molære volumen indtil molbrøken bliver større end 0.1. Herefter holder den molære volumen sig mere konstant. Dette betyder at der sker en udvidelse i Side 12 af 62

13 stearinsyre når mængder, svarende til en molbrøk på under 0.1, indsættes i en DMPC membran. Ved molbrøker over 0.1 pakkes molekylerne ideelt. På Figur 8b er det partielle molære volumen af fedtsyrerne plottet sammen med det partielle molære volumen af DMPC. Som det ses af figuren er den partielle volumen af DMPC næsten uændret uanset koncentrationen af stearinsyre i membranen. Det konkluderes herefter at stearinsyre skaber 10 15% ekstra volumen i membranen ved molbrøker mindre end 0.1, hvorefter DMPC og stearinsyre blandes ideelt. Molecular Dynamics (MD) simulation For at validere MD simulationen sammenlignes simulationen med de eksperimentelle data. Dette gøres ved at sammenligne de simulerede partielle molære volumener med de partielle molære volumener fundet i densitometri eksperimentet. Stearinsyre er et fast stof ved den simulerede temperatur (330K). Simulationen viser at stearinsyren i membranen har samme molekylære konformation som ren stearinsyre ved 385K; smeltetemperaturen for ren stearinsyre. Når simulationen valideres imod de densitometriske målinger findes der god overensstemmelse. Forklaringen på det ekstra volumen, som stearinsyre optager ved indsættelse i membranen, er at stearinsyren skifter konformation til flydende form. Overfladearealet per DMPC molekyle blev også simuleret. Ved at simulere denne parameter og sammenligne den med eksperimentelle resultater, valideredes modellen yderligere. Derudover, kan man ved sammenligning af resultaterne fra hhv. den protonerede og den deprotonerede fedtsyre se, at den deprotonerede fedtsyre giver en større sidevers 2 udvidelse. Figur 9 (a) struktur af hhv. stearinsyre, oliesyre og DMPC, med labels på enkelte atomer. (b) MD simulation af placeringen af de enkelte atomer i forhold til membranens massemidtpunkt. DMPC/HSA står for protoneret stearinsyre i DMPC, NaSA er den deprotonerede stearinsyre. (Peters et al., 2009, s. 98). Pakningen imellem stearinsyre og DMPC er yderligere blevet undersøgt via simulation af placeringen af enkelte atomer i forhold til membranens massemidtpunkt. Som det ses af Figur 9b, befinder carboxylgruppen for den protonerede form af stearinsyren sig Ångstrøm fra massemidtpunktet, hvor den deprotonerede form befinder sig 15 16Å fra massemidtpunktet. Dette betyder at den protonerede form af stearinsyren lægger sig dybere i membranen end den deprotonerede form. Dette kan ses af de 2 Kaldet en lateral udvidelse. Side 13 af 62

14 stiplede linjer på Figur 9b, som markerer gennemsnitspositionen af bestemte atomer i DMPC molekylet. Som det ses, ligger de tilsvarende atomer for DMPC/HSA konsekvent lavere end de stiplede linjer. Dette betyder at membranen ved den deprotonerede form bliver tyndere, samtidig med at den udvider sig lateralt, hvilket betyder at dens volumen bevares. Den laterale udvidelse skyldes den elektrostatiske repulsion mellem anionerne. Desuden konkluderes det ud fra en analyse af sandsynlighedsdistributionen for methylgruppen for enden af de alifatiske kæder at i kombination med at membranen bliver tyndere øges graden af uorden og graden af interdigitering Hypotese Det forventes at der vil kunne observeres en forskel i tykkelsen af membranen på 2 3Å imellem den protonerede og den deprotonerede fedtsyre. 3 Interdigitering er når halerne af modstående molekyler begynder at ligge side om side. Bemærk ved molekylerne i højre side, at deres haler er fuldstændig interdigiteret og næsten når hele vejen igennem membranen. (sammenlign billedet med cellemembranen i Figur 2, hvor DMPC halerne ikke interdigiterer). Side 14 af 62

15 4. Eksperiment Dette afsnit indeholder information og teori om SAXS apparaturet, prøvepræparering og måleresultater. 4.1 SAXS Røntgenstråling og spredning Røntgenstråling er elektromagnetisk stråling med relativt høj energi. Fotoner med bølgelængder (λ) fra 10 nm til 0,001 nm ligger inden for spektret af røntgenstråling (Ohanian, 2007, s. 1273). Sammenhængen mellem en fotons bølgelængde og dens energi ( ) er: λ Hvor er Plancks konstant ( 4,14 10 ), er fotonens frekvensen og er lysets hastighed ( 3,00 10 / ). Således har fotonerne i røntgenstråling en energivariation på 10 : λ 10 nm 124 λ 0,001 nm 1,24 Røntgenstråler kan dannes ved at elektroner rammer et metal med stor hastighed, i den benyttede SAXS bruges kobber. Elektronerne støder nogle elektroner fra kobberets atomer bort og giver anledning til at en elektron fra en skal længere ude kan springe ind på den tomme plads. Dette kvantespring skaber en foton. Figur 10 (a) En fri elektron støder en af kobber atomets elektroner væk. (b) En af elektronerne fra et højere niveau, afgiver et foton og overtager den ledige plads nærmere kernen. Side 15 af 62

16 En tom plads i K skallen giver, ved et spring fra L skallen, et K α foton. Ved et spring fra M skallen fås et K β foton. Ved en tom plads i L skallen fås, ved spring fra M skallen, et L α foton. Disse fotoner har en veldefineret bølgelængde og energi: K α : λ = nm svarende til U = 8.03 kev K β : λ = nm svarende til U = 8.90 kev L α : λ = nm svarende til U = 0.93 kev Ud over disse elektron spring vil elektronerne der opbremses undervejs igennem kobberet også udsende fotoner. Disse fotoner kan have en vilkårlig energi, fra elektronens fulde energi til næsten ingen. Spektret herfra vil være kontinuert. Figur 11 Spektret består dels af fotonerne med bølgelængden K α eller K β, og dels af de fotoner der opstår når frie elektroner opbremses i kobberet. Med et Nickel filter fjernes de bølgelængder der er mindre end K α fra spektret. (Lund, 2005). Bølgevektoren For fotonens impuls gælder: ħ Bølgevektoren ligger i udbredelsesretn ingen og længde n er givet ved: 2 2 Hvor er vinkelfrekvensen med enheden: / Side 16 af 62

17 Bemærk at enheden for bølgevektoren er m 1 (man taler om det reciprokke rum). Bølgevektoren har samme retning som impulsen : Spredningsvektoren q ħ Når røntgenstrålen (fotonerne) rammer prøven vil der ske en spredning. Nogle fotoner kan gå lige igennem prøven uden at kollidere med noget, mens andre afbøjes i forskellige vinkler. Der forekommer elastisk spredning (Thomson spredning med energibevarelse) og uelastisk spredning (Comton spredning med energitab). Det antages at den elastiske spredning er dominerende, så der kan regnes med energibevarelse, og deraf: λ λ Bølgevektoren for den indkommende stråle kaldes : Og den udgående bølgevektor er: er spredningsvektoren: k 2π λ 2 θ θ Figur 12 Viser vektorerne, og. Da λ har vi at k k Og ud fra den ligebenede trekant (se Figur 12) fås: 2 4 Side 17 af 62

18 Braggs lov giver at: 2 2 Ved at indsætte i fås: Og dermed fås formlen for repeat afstanden når spredningsvektoren er målt: 2 Bølgefunktionen I bilag: Elektromagnetiske bølger er de klassiske ligninger for beskrivelse af elektromagnetiske bølger anført med bl.a. Hvor er amplituden (maksimalværdien), er bølgetallet, er frekvensen, er vinkelfrekvensen 2 og t er tiden. Mere generelt kan bølgefunktionen skrives:,, er kompleks funktion af stedvektoren til det betragtede punkt og tiden t. A er amplituden 4. Bølgevektoren er en vektor i bølgens u dbredelsesretning med længden: er vinkelfrekvensen 2 og t er tiden Med Eulers formel: Kan bølgefunktionen skrives som: 4 Amplituden kan være kompleks, men det er der set bort fra i denne udledning. Side 18 af 62

19 , og det ses at real delen af, er proportional med E:, giver hvis x aksen ligger i s retning (bølgens udbredelsesretning): Idet det skal gælde at Intensiteten Elektrontæthed og formfaktor Elektrontætheden er en funktion, der til punktet R med stedvektoren angiver elektrontætheden. Formfaktoren er den Fouriertransformerede af elektrontætheden Fouriertransformationen af er Dvs at man til hver ny værdi a skal udregne integralet. Når elektrontætheden transformeres bliver det med et rumintegral, da er tredimentinel, og formfaktoren kan skrives: Der gælder at intensiteten ved en værdi er p roportinal med kvadratet af formfaktoren: (Pedersen, 2005) Side 19 af 62

20 Kratky kameraet Figur 13 Skematisk tegning af kratky kameraet anvendt i forsøget (Korreman, 1997, s. 47) Dette afsnit bygger på (Korreman, 1997, s ). Kratky kameraet, som er illustreret på figur 13, fungerer ved at der dannes fotoner af en bestemt bølgelængde i røntgentårnet. Dette sker ved at elektroner accelereres over et meget kraftigt elektrisk felt, hvorefter de rammer en kobberplade. Kobberelektronerne exciteres derefter, og ved henfald dannes røntgenfotoner. Disse filtreres derefter igennem et nikkelfilter, således at de fotoner der anvendes i selve røntgenspredningen har en ganske bestemt bølgelængde på 1.54Å. Kobberelektronerne udsendes i alle retninger, og der anvendes derfor en sprække, hvor fotoner med den rigtige retning får lov at passere. Denne sprække er aflang for at få en større intensitet. For at sikre at røntgenstrålingen rammer prøven anvendes et blokkollimeringssystem. Dette fungerer ved at to blyplader er placeret således at der er et plan imellem toppen af den ene plade og bunden af den anden. Dette betyder at fotoner der ikke har en retning vinkelret på prøven bliver absorberet af blypladerne. Blokkollimeringssystemet er konstrueret for at mindske parasitspredning 5. Prøveholderen består af et glasrør med diameteren 1mm. Dette er placeret således at strålingen kan interagere med hele prøven. Denne er placeret i et vakuumkammer for at forhindre at røntgenstrålingen interagerer med luften. Herefter passerer strålingen igennem endnu et filter, der frasorterer den stråling, der ikke har interageret med prøven. Denne stråling er skadelig for detektoren, og bliver derfor filtreret fra. 5 Parasitspredning er stråling der ikke interagerer vinkelret med prøven. Side 20 af 62

21 Detektoren består af en lodret placeret tråd i et gaskammer. Når strålingen interagerer med gassen ioniseres denne, og ladede partikler vil ramme tråden i forskellige positioner. Disse positioner, som afhænger af q vektoren, kan derefter aflæses, da tråden er inddelt i 1024 kanaler. Indstillinger og håndtering af SAXS apparaturet For at finde tykkelsen af en phospholipid membran ved hjælp af SAXS, undersøges måleresultatet for Bragg toppe. Når fotoner rammer en barriere bliver de spredt i forskellige vinkler, men takket være den lag delte struktur i multi lamellare vesikler vil et flertal af fotonerne blive spredt i ens vinkler. Ved at undersøge hvilke vinkler fotonerne spredes i kan man derfor regne sig frem til afstanden mellem lagene i vesiklen (d repeat ). En computer gemmer information om fotonernes energiniveauer og hvor meget de er blevet spredt. Figur 14 viser nogle forskellige måleresultater fra SAXS. Den øverste linje viser to skarpe bragg toppe for ren DMPC i vand. x aksen angiver et kanalnummer og y aksen angiver hvor mange fotoner der blev afbøjet ud til hver af kanalerne (herefter kaldet antallet af counts). Figur 14 To Bragg toppe til beregning af en DMPC membrans tykkelse. Langs x aksen står kanalnummeret og på y aksen kan antallet af fotoner, der spredtes til hver vinkel, aflæses. I SAXS apparatet kan visse systemvariable varieres for at opnå sø høje counts som muligt: Ved at øge strømstyrken, øges også antallet af frie elektroner, og det kan føre til flere røntgenpartikler og højere counts. Hvis strålingen bliver alt for intensiv kan detektoren ikke nå at registrere alle counts. Ved at justere koncentrationen og mængden af tørstof i en prøve kan man øge chancen for at fotonerne støder ind i noget og spredes. Med mere tørstof kommer flere kollisioner, og på den måde også flere afbøjede partikler. Side 21 af 62

22 Ved at øge varigheden af en måling kan der opnås højere totale counts, men ved langvarig måling kan røntgenstrålen også beskadige prøven ved at slå vesiklerne i stykker. I dette eksperiment benyttedes en strømstyrke på 40mA og en spændingsforskel på 40kV i perioder af 30 minutter. En af prøverne blev målt 18 timer i SAXS uden en mærkbar forringelse af prøveresultatet. 4.2 Præparering af prøver Dette afsnit er en omhyggelig redegørelse for fremgangsmåden for præpareringen af prøverne. Afsnittet tjener således både som dokumentation af eksperimentet, men også som en guide til nybegyndere. Fremgangsmåde for klargøring af prøver Den nødvendige mængde tørstof til en given koncentration beregnes, hvorefter den rette mængde DMPC og Stearinsyre fyldes på en 8 ml glasbeholder. En lille mængde kloroform tilsættes, nok til at alt tørstof er opløst og blandingen er helt gennemsigtig. Det fyldte glas stilles ind under en stråle af Nitrogen gas indtil kloroformen er fordampet. Bagefter stilles beholderen i vakuum i ca. 30 minutter (se Figur 15) for at sikre at den sidste kloroform fordamper, på den tid når trykket ned på ca Torr. Figur 15 Otte prøver med inddampet DMPC og stearinsyre sættes under vakuum. Side 22 af 62

23 Beholderen med inddampet tørstof påfyldes herefter milli q vand indtil den ønskede koncentration er opnået. Til sidst stilles beholderen i en Termomixer Comfort af mærket Eppendorf på 350 omdrejninger i minuttet og 40 grader Celsius nogle timer (Figur 16). Figur 16 Prøver klar til omrøring i en thermomixer med modificeret varmeelement. Ifølge Chunhua Wang (personlig kommunikation), vil molekylerne på denne måde selvorganisere sig. Måling og ændring af ph I de første prøver blev ph målt med indikatorpapir, fordi prøverne var for små til at ph meter kunne bruges. Det blev skønnet at ph lå mellem 6 og 8. De sidste 8 prøver havde så stort volumen at ph metret kunne bruges. Målingerne viste: Molbrøk i % 1% 2% 5% 10% 15% 20% 25% 30% Oprindelig ph 7,45 7,3 6,75 7,76 6,0 6,1 6,1 5,8 Ændret ph 11,7 12,0 12,1 11,85 10,8 10,8 11,5 11,0 Det ses at der, bortset fra molbrøk 10%, er en faldende tendens i ph ved større molbrøk stearinsyre. Som man kunne forvente falder ph ved øget syre mængde. Værdierne passe også med de skønnede værdier fra indiktorpapir målingerne. Det er kun disse 8 prøver, hvor ph metret kunne anvendes, der har fået ændret ph til over 9. Der er blevet tilsat ca. 1μL NaOH i en koncentration på 16%. Der blev valgt så høj en koncentration for ikke at ændre væsentligt på vand tørstof forholdet, det sker så på bekostning af præcisionen af ph. Det blev tilstræbt at titrere til ph 10 eller over, for at sikre en ph på over 9. (Mængden af prøve ved hver molbrøk, tillod ikke at dele prøven og lave yderligere prøver med forskellige ph værdier). Fremgangsmåde for klargøring af prøveholder Væsken, der skal foretages SAXS på, opvarmes til 35 grader Celsius og rystes i mindst en halv time, før brug. Side 23 af 62

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN KemiF1 laboratorieøvelser 2008 ØvelseF1-2 PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN Indledning I en binær blanding vil blandingens masse være summen af komponenternes masse; men blandingens volumen vil ikke være summen

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet V3. Marstal solvarmeanlæg a) Den samlede effekt, som solfangeren tilføres er Solskinstiden omregnet til sekunder er Den tilførte energi er så: Kun af denne er nyttiggjort, så den nyttiggjorte energi udgør

Læs mere

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2...

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... Introduktion til kvantemekanik Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... 6 Hvordan må bølgefunktionen se ud...

Læs mere

Dansk referat. Dansk Referat

Dansk referat. Dansk Referat Dansk referat Stjerner fødes når store skyer af støv og gas begynder at trække sig sammen som resultat af deres egen tyngdekraft (øverste venstre panel af Fig. 6.7). Denne sammentrækning fører til dannelsen

Læs mere

Brombærsolcellens Fysik

Brombærsolcellens Fysik Brombærsolcellens Fysik Søren Petersen En brombærsolcelle er, ligesom en almindelig solcelle, en teknologi som udnytter sollysets energi til at lave elektricitet. I brombærsolcellen bliver brombærfarvestof

Læs mere

Øvelse i kvantemekanik Elektron-spin resonans (ESR)

Øvelse i kvantemekanik Elektron-spin resonans (ESR) 14 Øvelse i kvantemekanik Elektron-spin resonans (ESR) 3.1 Spin og magnetisk moment Spin er en partikel-egenskab med dimension af angulært moment. For en elektron har spinnets projektion på en akse netop

Læs mere

A KURSUS 2014 ATTENUATION AF RØNTGENSTRÅLING. Diagnostisk Radiologi : Fysik og Radiobiologi

A KURSUS 2014 ATTENUATION AF RØNTGENSTRÅLING. Diagnostisk Radiologi : Fysik og Radiobiologi A KURSUS 2014 Diagnostisk Radiologi : Fysik og Radiobiologi ATTENUATION AF RØNTGENSTRÅLING Erik Andersen, ansvarlig fysiker CIMT Medico, Herlev, Gentofte, Glostrup Hospital Attenuation af røntgenstråling

Læs mere

Enkelt og dobbeltspalte

Enkelt og dobbeltspalte Enkelt og dobbeltsalte Jan Scholtyßek 4.09.008 Indhold 1 Indledning 1 Formål 3 Teori 3.1 Enkeltsalte.................................. 3. Dobbeltsalte................................. 3 4 Fremgangsmåde

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Titel: OPLØSELIGHEDEN AF KOBBER(II)SULFAT. Litteratur: Klasse: Dato: Ark 1 af. Helge Mygind, Kemi 2000 A-niveau 1, s. 290-292 8/9-2008/OV

Titel: OPLØSELIGHEDEN AF KOBBER(II)SULFAT. Litteratur: Klasse: Dato: Ark 1 af. Helge Mygind, Kemi 2000 A-niveau 1, s. 290-292 8/9-2008/OV Fag: KEMI Journal nr. Titel: OPLØSELIGHEDEN AF KOBBER(II)SULFAT Navn: Litteratur: Klasse: Dato: Ark 1 af Helge Mygind, Kemi 2000 A-niveau 1, s. 290-292 8/9-2008/OV Formålet er at bestemme opløseligheden

Læs mere

Intra- og intermolekylære bindinger.

Intra- og intermolekylære bindinger. Intra- og intermolekylære bindinger. Dipol-Dipol bindinger Londonbindinger ydrogen bindinger ydrofil ydrofob 1. Tilstandsformer... 1 2. Dipol-dipolbindinger... 2 3. Londonbindinger... 2 4. ydrogenbindinger....

Læs mere

Matematik og Fysik for Daves elever

Matematik og Fysik for Daves elever TEC FREDERIKSBERG www.studymentor.dk Matematik og Fysik for Daves elever MATEMATIK... 2 1. Simple isoleringer (+ og -)... 3 2. Simple isoleringer ( og )... 4 3. Isolering af ubekendt (alle former)... 6

Læs mere

Lys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision

Lys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision Lys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision Metrologidag, 18. maj, 2015, Industriens Hus Lys og Bohrs atomteori, 1913 Kvantemekanikken, 1925-26 Tilfældigheder, usikkerhedsprincippet Kampen mellem

Læs mere

Vejledende opgaver i kernestofområdet i fysik-a Elektriske og magnetiske felter

Vejledende opgaver i kernestofområdet i fysik-a Elektriske og magnetiske felter Oktober 2012 Vejledende opgaver i kernestofområdet i fysik-a Elektriske og magnetiske felter Da læreplanen for fysik på A-niveau i stx blev revideret i 2010, blev kernestoffet udvidet med emnet Elektriske

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Når enderne af en kobbertråd forbindes til en strømforsyning, bevæger elektronerne i kobbertråden sig (fortrinsvis) i samme retning.

Når enderne af en kobbertråd forbindes til en strømforsyning, bevæger elektronerne i kobbertråden sig (fortrinsvis) i samme retning. E2 Elektrodynamik 1. Strømstyrke Det meste af vores moderne teknologi bygger på virkningerne af elektriske ladninger, som bevæger sig. Elektriske ladninger i bevægelse kalder vi elektrisk strøm. Når enderne

Læs mere

Måling af ph i syrer og baser

Måling af ph i syrer og baser Kemiøvelse 1 1.1 Måling af ph i syrer og baser Øvelsens pædagogiske rammer Sammenhæng Denne øvelse er tilpasset kemiundervisningen på modul 1 ved bioanalytikeruddannelsen. Øvelsen skal betragtes som en

Læs mere

Fra spild til penge brug enzymer

Fra spild til penge brug enzymer Fra spild til penge brug enzymer Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2010 Denne projektplan er udarbejdet af Per Karlsson og Kim Knudsen, DTU Matematik, i samarbejde med Jørgen Risum, DTU Food. 1 Introduktion

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Isolering af DNA fra løg

Isolering af DNA fra løg Isolering af DNA fra løg Formål: At afprøve en metode til isolering af DNA fra et levende væv. At anvende enzymer.. Indledning: Isolering af DNA fra celler er første trin i mange molekylærbiologiske undersøgelser.

Læs mere

Kvantitativ bestemmelse af reducerende sukker (glukose)

Kvantitativ bestemmelse af reducerende sukker (glukose) Kvantitativ bestemmelse af reducerende sukker (glukose) Baggrund: Det viser sig at en del af de sukkerarter vi indtager med vores mad er hvad man i fagsproget kalder reducerende sukkerarter. Disse vil

Læs mere

Innovationsprojekt. elementer af matematik (økonomi, besparelser, lån osv) og fysik (bølgelængder og lys)

Innovationsprojekt. elementer af matematik (økonomi, besparelser, lån osv) og fysik (bølgelængder og lys) Innovationsprojekt Gruppen Emma, Frida, Isabella, Martin & Sabine Ideen Vores ide går ud på at nytænke lyskurven. Lyskurven blev opfundet for over 150 år siden og har ikke skiftet design siden, selvom

Læs mere

Læringsmål i fysik - 9. Klasse

Læringsmål i fysik - 9. Klasse Læringsmål i fysik - 9. Klasse Salte, syrer og baser Jeg ved salt er et stof der er opbygget af ioner. Jeg ved at Ioner i salt sidder i et fast mønster, et iongitter Jeg kan vise og forklare at salt, der

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

May the force be with you

May the force be with you May the force be with you Esben Thormann, Department of Chemistry, Surface Chemistry, Royal Institute of Technology, Stockholm. Adam C. Simonsen og Ole G. Mouritsen, MEMPHYS-Center for Biomembran fysik,

Læs mere

Hubble relationen Øvelsesvejledning

Hubble relationen Øvelsesvejledning Hubble relationen Øvelsesvejledning Matematik/fysik samarbejde Henning Fisker Langkjer Til øvelsen benyttes en computer med CLEA-programmet Hubble Redshift Distance Relation. Galakserne i Universet bevæger

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå?

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? Differentialregning - Rayleigh spredning - oki.wpd INDLEDNING Hvem har ikke betragtet den flotte blå himmel på en klar dag og beundret den? Men hvorfor er himlen

Læs mere

Strålingsbalance og drivhuseffekt - en afleveringsopgave

Strålingsbalance og drivhuseffekt - en afleveringsopgave LW 014 Strålingsbalance og drivhuseffekt - en afleveringsopgave FORMÅL: At undersøge den aktuelle strålingsbalance for jordoverfladen og relatere den til drivhuseffekten. MÅLING AF KORTBØLGET STRÅLING

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Av min arm! Røntgenstråling til diagnostik

Av min arm! Røntgenstråling til diagnostik Røntgenstråling til diagnostik Av min arm! K-n-æ-k! Den meget ubehagelige lyd gennemtrænger den spredte støj i idrætshallen, da Peters hånd bliver ramt af en hård bold fra modstanderens venstre back. Det

Læs mere

MODUL 3 OG 4: UDFORSKNING AF RUMMET

MODUL 3 OG 4: UDFORSKNING AF RUMMET MODUL 3 OG 4: UDFORSKNING AF RUMMET Hubble Space Telescope International Space Station MODUL 3 - ET SPEKTRALT FINGERAFTRYK EM-STRÅLINGS EGENSKABER Elektromagnetisk stråling kan betragtes som bølger og

Læs mere

Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF

Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF Den afsluttende prøve i AT består af tre dele, synopsen, det mundtlige elevoplæg og dialogen med eksaminator og censor. De

Læs mere

Brombærsolcellen - introduktion

Brombærsolcellen - introduktion #0 Brombærsolcellen - introduktion Solceller i lommeregneren, solceller på hustagene, solceller til mobiltelefonen eller solceller til den bærbare computer midt ude i regnskoven- Solcellen har i mange

Læs mere

nano-science center københavns universitet BROMBÆRSOLCELLEN Introduktion, teori og beskrivelse

nano-science center københavns universitet BROMBÆRSOLCELLEN Introduktion, teori og beskrivelse nano-science center københavns universitet BROMBÆRSOLCELLEN Introduktion, teori og beskrivelse I dette hæfte kan du læse baggrunden for udviklingen af brombærsolcellen og hvordan solcellen fungerer. I

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

A KURSUS 2014 Diagnostisk Radiologi : Fysik og Radiobiologi DANNELSE AF RØNTGENSTRÅLING

A KURSUS 2014 Diagnostisk Radiologi : Fysik og Radiobiologi DANNELSE AF RØNTGENSTRÅLING A KURSUS 2014 Diagnostisk Radiologi : Fysik og Radiobiologi DANNELSE AF RØNTGENSTRÅLING Erik Andersen, ansvarlig fysiker CIMT Medico Herlev, Gentofte, Glostrup Hospital Røntgenstråling : Røntgenstråling

Læs mere

I dagligdagen kender I alle røntgenstråler fra skadestuen eller tandlægen.

I dagligdagen kender I alle røntgenstråler fra skadestuen eller tandlægen. GAMMA Gammastråling minder om røntgenstråling men har kortere bølgelængde, der ligger i intervallet 10-11 m til 10-16 m. Gammastråling kender vi fra jorden, når der sker henfald af radioaktive stoffer

Læs mere

Væskers bevægelse i kapillarrør

Væskers bevægelse i kapillarrør Væskers bevægelse i kapillarrør Morten Christensen & Adam Cohen Simonsen Januar 2011 Indledning Denne øvelsesvejledning beskriver 1 øvelse, der er en del af det tilbud der gives til Gymnasie-, HF- og HTXklasser

Læs mere

Tilstandskontrol. ved hjælp af vibrationsanalyse

Tilstandskontrol. ved hjælp af vibrationsanalyse VIBRO CONSULT Palle Aggerholm Tilstandskontrol ved hjælp af vibrationsanalyse Et minikursus med særlig henvendelse til vindmølleejere Adresse: Balagervej 69 Telefon: 86 14 95 84 Mobil: 40 14 95 84 E-mail:

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Betydning af revision af en DS/EN ISO standard

Betydning af revision af en DS/EN ISO standard By- og Landskabsstyrelsens Referencelaboratorium Betydning af revision af en DS/EN ISO standard Bestemmelser af total cyanid og fri cyanid i vand med flow analyse By- og Landskabsstyrelsen Rapport Juni

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Et tidsmikroskop. - oplev verden på et nanosekund. Når man kigger på verden, opdager man noget

Et tidsmikroskop. - oplev verden på et nanosekund. Når man kigger på verden, opdager man noget 14 TEMA: TRE TIGERSPRING FOR MATERIALEFORSKNINGEN Hvis man skal forstå forskellen på en glas og en væske er det ikke nok at vide, hvordan atomerne sidder placeret, man skal også vide hvordan de bevæger

Læs mere

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P.

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P. M3 1. Tryk I beholderen på figur 1 er der en luftart, hvis molekyler bevæger sig rundt mellem hinanden. Med jævne mellemrum støder de sammen med hinanden og de støder ligeledes med jævne mellemrum mod

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Studenterkurset

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.

Læs mere

Vurdering af hygiejniseringseffekten af nedsivning af viral hæmorrhagisk septikæmi virus (VHSV) under eksperimentelle forhold.

Vurdering af hygiejniseringseffekten af nedsivning af viral hæmorrhagisk septikæmi virus (VHSV) under eksperimentelle forhold. Vurdering af hygiejniseringseffekten af nedsivning af viral hæmorrhagisk septikæmi virus (VHSV) under eksperimentelle forhold. Juni 2011 Helle Frank Skall og Niels Jørgen Olesen Veterinærinstituttet, Danmarks

Læs mere

Forløbet Syrer og baser ligger i fysik-kemifokus.dk 7. klasse, og det er muligt at arbejde med forløbet både i 7. og 8. klasse.

Forløbet Syrer og baser ligger i fysik-kemifokus.dk 7. klasse, og det er muligt at arbejde med forløbet både i 7. og 8. klasse. Syrer og baser Niveau: 7. klasse Varighed: 7 lektioner Præsentation: Forløbet Syrer og baser ligger i fysik-kemifokus.dk 7. klasse, og det er muligt at arbejde med forløbet både i 7. og 8. klasse. Forløbet

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 15 Institution VUC Thy-Mors Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Fysik niveau B Knud Søgaard

Læs mere

Kikkertoptik. Kikkertoptik. Kikkertteknologi. Optiske specifikationer. Kikkertegenskaber. At købe en kikkert. Rengøring af kikkerten

Kikkertoptik. Kikkertoptik. Kikkertteknologi. Optiske specifikationer. Kikkertegenskaber. At købe en kikkert. Rengøring af kikkerten Kikkertoptik Kikkertoptik Kikkertteknologi Optiske specifikationer Kikkertegenskaber At købe en kikkert Rengøring af kikkerten Kikkertoptik Generel beskrivelse: En kikkert er et optisk præcisionsinstrument,

Læs mere

Brugsanvisning IVD Matrix HCCA-portioned

Brugsanvisning IVD Matrix HCCA-portioned Brugsanvisning IVD Matrix HCCA-portioned Rendyrket matrixsubstans til matrix-assisteret-laser-desorption-ionisering time-of-flight-massespektrometri (MALDI-TOF-MS). CARE- produkterne er designet til at

Læs mere

Benjamin Franklin Prøv ikke at gentage forsøget! hvor er den passerede ladning i tiden, og enheden 1A =

Benjamin Franklin Prøv ikke at gentage forsøget! hvor er den passerede ladning i tiden, og enheden 1A = E3 Elektricitet 1. Grundlæggende Benjamin Franklin Prøv ikke at gentage forsøget! I E1 og E2 har vi set på ladning (som måles i Coulomb C), strømstyrke I (som måles i Ampere A), energien pr. ladning, også

Læs mere

Fysik A - B Aarhus Tech. Niels Junge. Bølgelærer

Fysik A - B Aarhus Tech. Niels Junge. Bølgelærer Fysik A - B Aarhus Tech Niels Junge Bølgelærer 1 Table of Contents Bølger...3 Overblik...3 Harmoniske bølger kendetegnes ved sinus form samt følgende sammenhæng...4 Udbredelseshastighed...5 Begrebet lydstyrke...6

Læs mere

Naturstyrelsens Referencelaboratorium for Kemiske og Mikrobiologiske Miljømålinger NOTAT

Naturstyrelsens Referencelaboratorium for Kemiske og Mikrobiologiske Miljømålinger NOTAT Naturstyrelsens Referencelaboratorium for Kemiske og Mikrobiologiske Miljømålinger NOTAT Til: Følgegruppen for Naturstyrelsens Referencelaboratorium cc: Fra: Maj-Britt Fruekilde Dato: 26. november 2014

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

Aflevering og udformning af rapporter fra laboratoriekurser pa VUC A rhus

Aflevering og udformning af rapporter fra laboratoriekurser pa VUC A rhus Aflevering og udformning af rapporter fra laboratoriekurser pa VUC A rhus Aflevering af rapporter Antallet af rapporter, der skal afleveres varierer fra fag til fag, så dette vil I blive informeret om

Læs mere

Na + -selektiv elektrode

Na + -selektiv elektrode C.11.1 Na + -selektiv elektrode Formål: Øvelsens formål er at kalibrere en Na + -ISE (ionselektiv elektrode) finde elektrodens linearitetsområde anvende elektroden til koncentrationsbestemmelse belyse

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Beregning af laminare flammehastigheder og selvantændelse

Beregning af laminare flammehastigheder og selvantændelse Beregning af laminare flammehastigheder og selvantændelse Projektrapport November 2013 RAPPORT Dansk Gasteknisk Center a/s Dr. Neergaards Vej 5B 2970 Hørsholm Tlf. 2016 9600 Fax 4516 1199 www.dgc.dk dgc@dgc.dk

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

1 Lysets energi undersøgt med lysdioder (LED)

1 Lysets energi undersøgt med lysdioder (LED) Solceller og Spektre Øvelsesvejledning til brug i Nanoteket Udarbejdet i Nanoteket, Institut for Fysik, DTU Rettelser sendes til Ole.Trinhammer@fysik.dtu.dk 26. august 2010 Formål Formålet med øvelsen

Læs mere

HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model

HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model Energiregnskab som matematisk model side 2 Løsning af kalorimeterligningen side 3 Artiklen her knytter sig til kapitel 3, Energi GYLDENDAL

Læs mere

Salte, Syre og Baser

Salte, Syre og Baser Salte, Syre og Baser Fysik/Kemi Rapport 4/10 2011 MO Af Lukas Rønnow Klarlund 9.y Indholdsfortegnelse: Formål s. 2 Salte og Ioner s. 3 Syrer og Baser s. 5 phværdi s. 5 Neutralisation s. 6 Kunklusion s.

Læs mere

Grundvandskemi Geokemi i vand ved lavt tryk og lav temperatur

Grundvandskemi Geokemi i vand ved lavt tryk og lav temperatur G01 1 Grundvandskemi Geokemi i vand ved lavt tryk og lav temperatur Søren Munch Kristiansen smk@geo.au.dk Geokemi i vand ved lavt tryk og lav temperatur G01 2 G01 3 Undervisningsplan G01 4 Forelæsning

Læs mere

SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER

SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER De supplerende aktiviteter er ikke nødvendige for at deltage i Masseeksperimentet, men kan bruges som et supplement til en undervisning, der knytter an til Masseeksperimentet

Læs mere

9. Øvelse: Demonstration af osmose over en cellemembran

9. Øvelse: Demonstration af osmose over en cellemembran 1. Drikkevand 9. Øvelse: Demonstration af osmose over en cellemembran Teori I spildevandsrensning er det især mikroorganismer og encellede dyr der fjerner næringssaltene. For at sådanne mikroorganismer

Læs mere

Exoterme og endoterme reaktioner (termometri)

Exoterme og endoterme reaktioner (termometri) AKTIVITET 10 (FAG: KEMI) NB! Det er i denne øvelse ikke nødvendigt at udføre alle forsøgene. Vælg selv hvilke du/i vil udføre er du i tvivl så spørg. Hvis du er interesseret i at måle varmen i et af de

Læs mere

Spørgsmål og svar om sparepærer og kviksølv

Spørgsmål og svar om sparepærer og kviksølv Spørgsmål og svar om sparepærer og kviksølv 1) Hvorfor er der kviksølv i sparepærer? En sparepære kan ikke fungere uden kviksølv. Når der sættes spænding på sparepæren frigives der frie elektroner. Når

Læs mere

Anvendt BioKemi: Blod som et kemisk system, Struktur af blod

Anvendt BioKemi: Blod som et kemisk system, Struktur af blod Anvendt BioKemi: Struktur 1) MM1 Intro: Terminologi, Enheder Math/ biokemi : Kemiske ligninger, syre, baser, buffer Små / Store molekyler: Aminosyre, proteiner 2) MM2 Anvendelse: blod som kemiske systemer

Læs mere

Elkedel Brugsanvisning

Elkedel Brugsanvisning Tillykke med købet af denne elkedel! Læs venligst brugsanvisningen omhyggeligt, inden elkedelen tages i brug, og gem brugsanvisningen til fremtidig brug. Elkedel Brugsanvisning Model: MK-17S17C Sikkerhedsforanstaltninger

Læs mere

Verniers spektrofotometer SPRT-VIS USB 650

Verniers spektrofotometer SPRT-VIS USB 650 Verniers spektrofotometer SPRT-VIS USB 650 Bølgelængdeinterval: 350 nm 1000 nm, nøjagtighed: < 1 nm. Brug Logger Pro s nyeste udgaver (3.6.0 eller 3.6.1). Hent evt. opdateringer fra Verniers hjemmeside

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Vores logaritmiske sanser

Vores logaritmiske sanser 1 Biomat I: Biologiske eksempler Vores logaritmiske sanser Magnus Wahlberg og Meike Linnenschmidt, Fjord&Bælt og SDU Mandag 6 december kl 14-16, U26 Hvad er logaritmer? Hvis y = a x så er x = log a y Nogle

Læs mere

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode 1 Måleteknisk er vi på flere måder i en ny og ændret situation. Det er forhold, som påvirker betydningen af valget af målemetoder. - Der er en stadig

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx11-mat/a-310501 Torsdag den 31. maj 01 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Måling af ledningsevne. I rent og ultrarent vand

Måling af ledningsevne. I rent og ultrarent vand Måling af ledningsevne I rent og ultrarent vand Anvendelse af ledningsevne Mest anvendt til kvalitets kontrol Overvågning af renhed på vand til processen Kontrol af vand i processen Kontrol af drikkevand

Læs mere

Bilag 4.A s MASH. Indhold

Bilag 4.A s MASH. Indhold Bilag 4.A s MASH Indhold 1.1 Indledning 1 1.1.1 Formål med undersøgelsen 1 1.1.2 Beskrivelse af smash metoden 1 1.2 s MASH målinger (omfang, placering og resultater) 1.2.1 Undersøgelsens forløb 5 5 1.2.2

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

Fysikrapport: Rapportøvelse med kalorimetri. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ulrik Stig Hansen og Jonas Broager

Fysikrapport: Rapportøvelse med kalorimetri. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ulrik Stig Hansen og Jonas Broager Fysikrapport: Rapportøvelse med kalorimetri Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide I gruppe med Ulrik Stig Hansen og Jonas Broager Afleveringsdato: 30. oktober 2007* *Ny afleveringsdato: 13. november 2007 1 Kalorimetri

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

SRO. Newtons afkølingslov og differentialligninger. Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO

SRO. Newtons afkølingslov og differentialligninger. Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO SRO Newtons afkølingslov og differentialligninger Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO 0 Abstract In this assignment I want to illuminate mathematic models and its use in the daily movement. By math

Læs mere

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014 Manual til regneark anvendt i bogen René Vitting 2014 Introduktion. Dette er en manual til de regneark, som du har downloadet sammen med bogen Ind i Gambling. Manualen beskriver, hvordan hvert regneark

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2009 juni 2010 Institution Københavns tekniske Gymnasium/Sukkertoppen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

GRUNDLÆGGENDE TEORI LIGE FRA HJERTET

GRUNDLÆGGENDE TEORI LIGE FRA HJERTET GUIDE 1 Blænde ISO Lukkertid Eksponeringsværdi. og lidt om, hvordan de hænger sammen GRUNDLÆGGENDE TEORI LIGE FRA HJERTET 2015 LÆRfoto.dk Indhold Indhold... 2 Indledning... 3 Blænde... 4 Blænde og dybdeskarphed...

Læs mere

Materiale 1. Materiale 2. FIberIntro

Materiale 1. Materiale 2. FIberIntro 1 Materiale 1 Materiale 1 FIberIntro Fiberintro Hvad er et fibersignal? I bund og grund konverterer vi et elektrisk signal til et lyssignal for at transmittere det over lange afstande. Der er flere parametre,

Læs mere