Udvikling af prognoseværktøj til fjernvarmeforbrug

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Udvikling af prognoseværktøj til fjernvarmeforbrug"

Transkript

1 AAMS Udvikling af prognoseværktøj til fjernvarmeforbrug Med grundlag i forbrugerdata fra fjernaflæste varmemålere i Skæring forsøgsområde Lars Linnet

2 TITELBLAD Forfatter Lars Linnet Titel Udvikling af prognoseværktøj til fjernvarmeforbrug Bachelorprojekt Automation og Energi Aarhus Maskinmesterskole Vejleder Henrik Kerstens 6. juni Antal normsider á 2400 tegn Lars Linnet maskinmesterstuderende 1 S ide

3 Ordforklaring AVA, Affaldvarme Aarhus FJVV, Fjernvarmevandet Forbruger, dette udtryk dækker over en varmemåler uanset om den sidder i et parcel hus eller som indgangsmåler i et etagebyggeri. Samplingsperiode, ved dette udtryk forstås det tidsrum som måleperioden dækker over Samplingstid, forstås den tid der går imellem to indlæsninger fra processen Morgenspids, Dette begreb bliver anvendt ved AVA og karakteriser det markant fjernvarme forbrug, der opstår i morgentimerne om hverdagene, typisk fra klokken 6:00 til klokken 9:00, om weekenden forskudt et par timer imod formiddagen. Stamdata, begrebet henviser til de ubehandlede forbrugerdata som blev udleveret af AVA til brug i denne rapport Data series, En række målinger, der er samplet indenfor et vilkårligt tidsrum. Termis, et anerkendt program i branchen, der benyttes til at foretage analyser og beregninger af fjernvarmesystemer. Programmet gør det muligt for brugeren at bygge en detaljeret model af fjernvarmenettet, med rørdimensioner, pumper, ventiler osv. samt håndtere forbrugeroplysninger ved hjælp af databaser. Programmet kan beregne, hvorledes nettet reagerer i forhold til tryk, temperatur og strømningshastigheder. Dette er et værdifuldt dimensionerings- og fejlfindingsværktøj for brugeren (7- Technologies A/S, 2009). Varmtvandseffekt, begrebet dækker over det forbrug der opstår ved forbrug af varmtvand hos forbrugeren. Opvarmningseffekt, den del af fjernvarmeforbruget der bliver anvendt til opvarmningen af ejendommen og har typisk dette forbrug en flad profil i forhold til varmtvandseffekten. 2 S ide

4 3 S ide

5 ABSTRACT The subject of this thesis is the conceptual development of a forecast method, that can be used to forecast the load on a district heating distribution network. Though there is nothing new in this capability on a generel level, the innnovating feature of this forecast model is the degree of detail. Meaning that it is possible to forecast the precise load for each consumer connect to a DH network, within a 4 hour periode. The forecast model uses historic data collected from each consumer using WiFi enabled heat meters. The benefits, that could be achieved by using this forecast method a numerous, e.g improved customer support and an greater understanding of the conditions under which the DH operates. The forecast model uses different methods to makes it possible for the forecast to run with a acceptable margin of error. By using the confidence interval of the measurments, as a criteria for validation, the model is able to improve the precision of the forecast as only validated data is allowed to be included in the forecasts pool of historic data. While the model itself is not weather dependent or takes the weather into acount, while calculating the forecast, it is able to make an small adjustment to the forecast by using the degree of error on the first step of the forecast, to correct the rest. The forecast described is at its current stage still incomplete and while initial testing shows promises, there are still many unanswered questions e.g how does the forecast perform during a large scale test and how can overall accuracy be improved. 4 S ide

6 INDHOLD TitelBlad... 1 Ordforklaring... 2 Abstract... 4 Indhold... 5 Forord... 7 INDLEDNING... 7 Formål... 8 Baggrund... 8 Problemstilling... 9 Problemformulering Metode Måleperiode Klimadata Målepunkter Sortering af målepunkter Reliabilitet og validitet Reliabilitet Den grundlæggende prognose model Påvirkning af korrektionens størrelse Samplingstid Statistisk behandling Middelværdien Varians Konfidensinterval Statistisk analyse Vejledning til Excel ark Analyse af samplingstid med konfidensinterval Pooled data Samling af tidsserier Sammenligning af forbrugere på baggrund af konfidensinterval Analyse af mandagens karakteristik i forhold til andre hverdage Anvendelse af konfidensinterval som et værktøj i prognosen S ide

7 Konklusion Håndtering og validering af dataserier Prognoseberegningen Vurdering af prognosemodellen Perspektivering Bibliografi Bilag 6 S ide

8 FORORD Denne rapport er skrevet som afsluttende bachelorprojekt på Aarhus Maskinmesterskole. Rapporten er blevet udarbejdet i forlængelse af et praktikforløb hos AffaldVarme Aarhus 1 fra februar til april 2012 Jeg vil gerne takke følgende personer i AVA. Maskinmester John Helligsø og Maskinmester Kim Therkildsen for med stor faglig passion, at fortælle om den daglige drift hos AVA og om fjernvarme generelt. Ingeniør Mads Vinge Muff, for inspiration og sparring og for at fremlægge problemstillingen for mig. Ingeniør Allan Jessen, der løbende at udleveret forbrugerdata. INDLEDNING AVA er i gang med at udskifte varmemålerne i Aarhus kommune. I flere tilfælde er der tale om mere end 15 år gamle og udtjente målere, der udskiftes til såkaldte intelligente varmemålere (Hay, 2012). Forventningen er ifølge AVA, at man i 2012 vil kunne installere varmemålere hos kunderne (Affaldvarme Aarhus, 2012). Der er omtrentlig varmemålere totalt i AVA forsyningsområdet. Forslaget blev behandlet af byrådet den 1. februar, og er nu videresendt til Teknisk udvalg og Teknik og miljø rådmanden Laura Hay, der har følgende forventninger til fordelene ved at overgå til fjernaflæsning. Det nye system giver ikke blot bedre kundeservice og forbedringer for miljøet, det vil også over en årrække give en bedre varmeøkonomi for den enkelte borger. Med fjernaflæsning og lækagekontrol hos samtlige kunder forventes det også, at vandtabet i ledningsnettet kan reduceres med op til 50 procent, hvilket svarer til 360 husstandes årlige vandforbrug. Opgraderingen af målerparken til fjernaflæsning har den store fordel, at varmekunderne får mulighed for at følge deres daglige forbrug på internettet eller mobilen og kan umiddelbart ændre adfærd til gavn for varmeforbruget og en øget miljøbevidsthed. (Hay, 2012) Rådmanden redegør i sin udtalelse for de umiddelbare fordele, man ønsker at opnå ved implementeringen af fjernaflæsning, nemlig lækagekontrol og forbedret kundeservice. Forventningerne til besparelserne ved AVA selv er, at der kan opnås en reducering af administrationsomkostningerne, da AVA udfaser aflæsningskort. Derudover forventes det, at man kan opnå driftmæssige besparelser i form af reducerede udgifter til spædevand, grundet forbedret lækagekontrol og reduceret varmetab, samt opnå en forbedret kundetilfredshed. (Affaldvarme Aarhus, 2012) Som det fremgår, er der altså ingen konkrete planer for, hvordan forbrugermålinger skal eller kan anvendes mere progressivt i forhold til optimering af den daglige drift i AVA. 1 AffaldVarme Aarhus vil fremover i rapport blive benævnt med forkortelsen AVA 7 S ide

9 Formål Formålet med denne rapport er at udarbejde et forslag til en prognosemodel, som kan anvendes af AVA til at give et mere detaljeret billede af belastningsforholdende i fjernvarmenettet. Særligt belastningen hos de enkelte forbrugere søges at blive belyst mere detaljeret. Baggrund AVA etablerede i 2011 to forsøgsområder i Aarhus. Det ene område er placeret i Risskov og det andet, som denne rapport beskæftiger sig med, er placeret i Skæring. Skæring-Risskov projektets formål er at undersøge, hvorvidt der kan fortages en temperatur sænkning i vinterperioden, samt hvilke udfordringer dette måtte medføre. Den forventede gevinst er, at AVA kan opnå et overblik over omløbenes energibelastning samt mulige driftsbesparelser (Affaldvarme Aarhus, 2012). Overvejelserne omkring valg af forsøgsområderne var følgende. Begrundelse for at vælge området i Skæring var at husene alle er bygget i slutningen af 90 erne og primært har gulvarme. Modsat området i Risskov hvor bygningerne er opført i 60 erne og 70 erne og næsten udelukkende har radiatorer installeret. Så det var ud fra et ønske om at fortage en undersøgelse imellem to meget forskellige forbrugertyper. (Jessen, 2012) For at indsamle data til Skæring-Risskov projektet, installerede AVA intelligente varmemålere hos alle forbrugere i de to områder. Altså er det her værd at bemærke, at forsøgsområderne ikke oprindeligt var udlagt med henblik på test af intelligente varmemålere, men ikke desto mindre giver det adgang til en stor mængde af forbrugerdata, der danner det empiriske grundlag for analysen i denne rapport. 8 S ide

10 Problemstilling I skrivende stund er det ikke muligt at foretage en analyse af belastningen af en rørstrækning i Termis, når der er mindre end 8 huse, uden at foretage antagelser omkring belastningsforholdende forbrugerne imellem. (Muff, 2012) Dette skyldes, at man ikke har haft nogen fyldestgørende værktøjer til at bestemme eller beregne belastningen fra de enkelte huse. Samtidighedsfaktor De værktøjer, der er til rådighed, er formlerne for Samtidighed imellem flere forbrugere og Samtidighed af tillæg for brugsvand (Lauritsen, 2009), vist nedenfor. Formler for samtidighed s = 0,62 + 0,38 n s = 1,0n 0,5 (51 n) 50 s = samtidighedsfaktoren for tilslutningseffekter s Δ = Samtidighed af tillæg for brugsvand n = er antal boliger I branchen er der en igangværende diskussion omkring validiteten af disse formler, og om de kan erstattes af en bedre metode, når intelligente varmemålere bliver installeret hos forbrugerne (Muff, 2012). Fjernvarmens Udviklingscenter afholdte i samarbejde med Lean Energy Cluster og Design 2 Innovate d. 14. marts en workshop om projektidéer inden for 4. generations fjernvarme. Ved denne workshop blev der fremført følgende betragtninger. (Fjernvarmens udviklings center, 2012) Forbrugsdata anvendt i net-modeller er typisk et årsforbrug. Tidligere forsøg på anvendelse af afkølingsmodeller har ikke været succesfulde. Derfor anvendes typisk samme afkøling i alle forbrugsknuder. Eksisterende net-modeller har en meget forsimplet beskrivelse af forbrugere. Behov for forbedring af grundlaget for dimensionering af fjernvarmenet især i nye udstykninger. (Andersen, 2012) I skrivende stund forefindes der forbrugsprofiler for boliger, men der er her tale om profiler udarbejdet på baggrund af middel belastninger fra større fjernvarmeområder. I denne analyse tages derimod udgangspunkt i den enkelte forbruger, og med reelle forbrugsprofiler tilsigtes der, at udvikle et værktøj, der gør det muligt, at beregne belastningen ud til den enkelte forbruger. Fordele for AVA Fordelen for AVA vil være en forbedret kundeservice. Et mere detaljeret billede af driftsforholdende vil kunne resultere i, at man, f.eks. ved udfald, kan oplyse kunderne mere præcist om, hvornår forsyningen vil 9 S ide

11 blive genoptaget. Man vil også kunne vejlede drift og vedligeholdelsespersonalet bedre under fejlfindingssituationer. (Muff, 2012) Problemformulering Kan en prognosemodel udarbejdes, der anvender forbrugerdata fra intelligente varmemålere, og hvilke specifikationer skal en sådan prognosemodel opfylde, for at sikre et så præcist billede af belastningen som muligt. Metode I denne rapport anvendes den hypotetisk-deduktive metode som grundlag. Først formuleres en hypotese på basis af formodninger og eksisterende viden, derefter søges der at afkræfte eller bekræfte hypotesens udsagn ved at anvende empirisk data. Denne fremgangsmåde kan, i de fleste tilfælde, ikke endegyldigt bevise eller modbevise, at en hypotese er korrekt, men kan sandsynliggøre den. Hypoteserne eller antagelserne, som efterprøves, vil blive nævnt ved de respektive beregninger. Beregningerne Beregningerne udført i denne rapport bygger på en iterative arbejdsgang. Excel anvendes til at regne et forslag til prognosemodellen eller delresultatet ud, hvorefter der foretages en evaluering af resultatet. Beregningen gentages herefter med ændrede forudsætninger. Hypoteser For at strukturere analysearbejdet og udviklingen af prognosemodelen er der, med udgangspunkt i samtaler foretaget med drift personale og ingeniører ved AVA, blevet formuleret en række hypoteser. a. Varmvandseffekten er uafhængig af udetemperatur, derfor er det ikke nødvendigt at inddrage klimadata i prognosemodellen b. Det er muligt at sammenligne forbrugere og derved inddele dem i forbruger klasser. Dette vil medføre, at der kan anvendes den samme prognose til flere forbrugere c. Fjernvarmeforbruget er markant større i morgentimerne og særligt mandag morgen har en særlig stor forbrugsprofil. d. Der vil være dage, hvor forbruget er unormalt, det vil sige, at morgenspidsen er rykket eller udebliver. e. Nogle forbruger har et meget uregelmæssigt forbrug, hvilket øger risikoen for en misvisende prognose. 10 S ide

12 MÅLEPERIODE Der er blevet indhentet forbrugerdata af to omgange til dette projekt, begrundelsen for dette er beskrevet i detaljer nedenfor. Udgangspunktet var et ønske om at undersøge to yderpunkter af belastningen, en periode hvor belastningen var meget lav, altså en sommerperiode, og en periode med høj belastning, altså en vinter periode. Men senere i processen, blev det besluttet at fokusere på vinterperioden, dette grunder i flere forhold. 1. Det antages, at sommerperioden ikke er direkte sammenlignelig med vinterperioden, da sommerdrift har en markant anderledes driftskarakteristik end vinterdrift. Analyse af sommerdriften vil derfor være et studie i sig selv 2. Det blev vurderet at ved en fokusering på en periode med høj belastning, bliver prognosen mere anvendelig 3. Kvaliteten af målingerne fra sommerperioden var utilfredsstillende, se afsnittet Reliabilitet og validitet Skæring-Risskov projekt blev iværksat 2011, hvilket betyder, at der er en begrænsning på mængden af tilgængeligt historiske data til analysen. Den varmeste dag i 2011 var den 30. juli, hvilket betyder, at forbruget var på et absolut minimum den dag. Der er udvalgt dage umiddelbart efter og inden til brug i analysearbejdet, altså den 29., 30. og den 31. juli. Det er her værd bemærke sig, at der er tale om fredag, lørdag og søndag og derved adskiller den sig fra vinterperioden, hvor alle måledagene er hverdage. Disse tre sommerdage bliver ikke anvendt i analysen og vil derfor ikke blive behandlet nærmere. Forbrugerdata for vinterperioden var i første omgang 20., 21., 22. og 23. februar Dette var en periode, hvor temperaturen var over det normale for februar måned (Danmarks Meteorologiske Institut, 2012). Senere i forløbet blev der indhentet supplerende data til analysen, det gælder følgende datoer 30/1, 31/2, 6/2, 7/2, 13/2, 14/2 og 27/2. Disse supplerende datoer blev udvalgt på det grundlag, at det var ønskeligt, at undersøge ugedagen mandag separat og samtidig sammenligne den med en anden hverdag, i dette tilfælde tirsdag. 11 S ide

13 Klimadata Der anvendes klimadata til at udarbejde en produktionsprognose i AVA, denne prognose anvendes til at koordinere de varmeproducerende aktører, som AVA køber fjernvarme fra. Når klimadata kan anvendes til produktionsprognosen, hvorfor ikke anvende de samme data til en prognose hos den enkelte forbruger? Begrundelsen for ikke at indarbejde vejrdata i prognose værktøjet er sket ud fra flere overvejelser. 1. Klimaprognoser er meget komplicerede og skulle det indgå i forbrugsprognosen, foreligger risikoen at inddragelsen af flere variabler på dette tidlige stadie af prognosens tilblivelse, vil gør modellen vanskelig at evaluere korrekt 2. Den betragtning, at varmvandseffekten med rimelighed kan antages, at være uafhængig af udetemperaturen 3. Det må formodes, at en analyse om klimavariationer i et distrikt, ville skulle foretages, da f.eks. vindforhold antages at variere lokalt alt efter, om bebyggelserne ligger i læ af beplantning eller placeringen i forhold til kysten osv. Nedenfor er en opsummering af datoerne anvendt i rapporten med ugedage, temperatur og soltimer. Dette er inkluderet til trods for, at prognosen er klima uafhængig, men har det formål at give et overblik af klimaet i måleperioden. Dermed kan det bruges til at sandsynliggøre hypotesen om lige netop prognosens klimauafhængig. Se validering. Tabel 1 (Danmarks Meteorologiske Institut, 2012) Temperatur C⁰ Dato Ugedag Nat Dag Soltimer 29. juli 2011 fredag juli 2011 lørdag 15 27, juli 2011 søndag januar 2012 mandag januar 2012 tirsdag februar 2012 mandag februar 2012 tirsdag februar 2012 mandag februar 2012 tirsdag februar 2012 mandag februar 2012 tirsdag februar 2012 onsdag februar 2012 torsdag februar 2012 mandag S ide

14 Målepunkter Forbrugerdata indhentes fra følgende målere i forsøgsområdet. Blandeskabet Er placeret ved tilslutningen til området, herfra foretages der justering af fremløbstemperaturen, hvilket simuler temperaturoptimering. Omløbsskabe Er placeret for enden af rørstrækningerne. Disse er benævnt numerisk med referencerne 156, 157, 158 og 159. Omløbsskabene tjener det formål, at sikre en minimums temperatur i hovedledningen, således at forbrugeren konstant har den fornødne energi tilrådighed. Dette reguleres med en temperaturstyret ventil. Forbrugere Forsøget omfatter 33 hustande, som alle har en varmemåler installeret, der muligør en fjernaflæsning af deres forbrug. Sortering af målepunkter Forbrugere Det var opgivet følgende oplysninger ved hver husstandsmåler: 1. Kunde ID 2. Vejnavn 3. Hus Nr 4. GPRS Nr 5. Måler Nr 6. Målertype Nr 7. Beskrivelse 8. Placering (Fremløb) 9. Vandflow (m 3 /h) 10. Vandmængde (m 3 ) 11. Temperatur Fremløb(C⁰) 12. Temperatur Retur(C⁰) 13. Energi (Wh) 14. Effekt (W) 15. Datotid 16. Drifttid og Drifttid fejl. Af disse 16 målepunkter er følgende anvendt i denne rapport (vist med fed skrift foroven). Hus Nr, denne betegnelse var tilstrækkelig til at inddele forbrugerne. Vandflowmålingen er bibeholdt i time værdier. Vandmængde og Energi er fra akkumulerende tællere, og disse tællere foretager en afrunding til henholdsvis nærmeste 1000 og 100 enhed, derfor er de ikke blevet anvendt. Der anvendes, som erstatning beregnede effektværdier af Flow og differens temperaturen i analysen, se formler anvendt nedenfor. 13 S ide

15 Der er ikke tryk målinger ved de individuelle husstande. Omløbsskabene kan anvendes til at give en indikation af trykforholdende i rørstrækningen, se nedenfor. Blande og omløbsskabe De samme målinger var opgivet for blande- og omløbsskabene som for forbrugerne. Med den tilføjelse at omløbsskabene indeholder en tryk måling på fremløbssiden og blandeskabet trykmålinger på fremløb- og retursiden. Blandeskabet har to beregnede værdier, differenstryk og effekt. Blandeskabet har i denne rapport følgende målepunkter: 1. Datotid, Flow (m 3 /h) 2. Tryk Frem (Bar) 3. Tryk retur (Bar) 4. Temperatur Frem (C⁰) 5. Temperaur Retur (C⁰) 6. Difference Tryk (Bar), benævnt DP CNT 7. Effekt (kw). Der er anvendt følgende formler til disse beregninger (Aage Eriksen, 2007) Differenstryk DP CNT = P frem P Retur DP CNT = Differenstryk Central (Bar) P frem & P retur = Trykket på forholdsvis fremløb og retursiden (Bar) Effektforbrug Effekt = Vandflow ρ h Cp (T Frem T Retur ) Effekt = Varmeeffekt (kw) ρ =Massefylde (kg/m 3 ), der regnes med en konstant massefylde på 1000 kg/m 3 for FJVV Cp = Vandets varmefylde (J/(K*kg) der regnes med en konstant varmefylde på 4.19 T frem & T retur = FJVV temperatur (⁰C) for Fremløb og retursiden forholdsvis Forfatteren er bekendt med, at der er en unøjagtighed behæftet med resultatet, når der anvendes konstant Cp og massefylde i beregningerne, men det vurderes, at unøjagtigheden er tæt på ubetydelig, når der ikke er større temperaturdifferens end det er tilfældet i denne analyse. 14 S ide

16 Reliabilitet og validitet Reliabilitet De historiske målinger er foretaget med en samplingstid på 1 minut, og hver forbruger har på et døgn totalt 1440 målinger. = 0 = 2 60 For at undersøge reliabiliteten af målingerne, er der foretaget en beregning af manglende målinger i procent for hver enkelte forbruger. Formålet er at skabe et overblik over reliabilitet, særligt siden værdier på tværs af forbrugere og datoer vil blive anvendt i nogle af beregninger. Undersøgelsen afdækker ikke tidspunket for udfaldende. Den nedenstående tabel viser gennemsnittet af manglede målinger for alle huse fordelt på de enkelte dage. For den komplette tabel henvises til regnearket Afvigelse Frontend, fane afvigelse. Tabel 2 Hus # 30-jan 31-jan 06-feb 07-feb 13-feb 14-feb 20-feb 21-feb 22-feb 23-feb 29-jul 30-jul 31-jul Afv. % Ved at aflæse tabellen vurderes det, at reliabiliteten er tilfredstillende i januar og februar måned. Den 22. og 23. februar har beskedne udfald, og de vil derfor kunne blive anvendt. Juli perioden er utilfredstillende, da gennemsnitsprocenten er på 32,6 %. Her af tegner 10 huse sig for størstedelen af udfaldende med udfald på over 70 % og kun 14 huse med 0 %. Af denne grund vil juli perioden ikke blive anvendt i analyse arbejdet. Nedenstående tabel viser manglende målinger for blandeskabet, vist i procent for de enkelte dage. Tabel 3 Bl. Skb. 30-jan 31-jan 06-feb 07-feb 13-feb 14-feb 20-feb 21-feb 22-feb 23-feb 29-jul 30-jul 31-jul Afv. % Som det ses på ovenstående, er der ingen manglende data fra blandeskabet. Der er ikke udført nogen beregning for omløbsskabene, da de ikke bliver anvendt i analysen. Validitet For at måleværdier kan anvendes i beregninger, hvor der udregnes effektforbrug, middelværdier og differenstryk, opstilles følgende krav: 1. Kun positive værdier bliver accepteret (X i 0). Negative tal bliver sat til værdien 0 2. Manglende værdier erstattes med et middeltal af det forrige og næste tal, hvis fejlperioden er mindre end 10 minutter 3. Manglende stamdata over 10 minutter ignoreres og vil ikke indgår i beregningerne Validering af forbrugerdata beskrives yderligere i afsnittet Statistisk behandling 15 S ide

17 DEN GRUNDLÆGGENDE PROGNOSE MODEL Dette kapitel beskriver konceptet for prognose modellen og med udvalgte eksempler søges det, at eftervise konceptets anvendelighed. Indledningsvis anvendes værdier fra blandeskabet med en samplingstid på 30 minutter. Der henvises til regnearket Blandeskab under fanen Eksempel på effektfaktor. Grundide for prognosen Ud fra de historiske data kan en faktor beregnes, som er udtryk for tendensen af forbruget og ikke nødvendigvis belastningens numeriske størrelse. Denne Effektfaktor bygger på to værdier, den gennemsnitlige effekt for alle valide målinger i prognose perioden og den gennemsnitlige øjebliksværdi for alle valide målinger i prognose perioden. Værdierne divideres med hinanden, og resultatet er en faktor serie, som ganges på den seneste effektmåling fra forbrugeren for herved at udarbejde en prognose. Ved at tilsigte en dimensionsløs faktor, kan prognosen flyttes til andre forbrugere relativt nemt, hvis dette skulle blive aktuelt. Tabel 4 Formel for effektfaktor EF x = x i.a + x i.b + x i.c + x i.d x a + x b + x c + x d Hvor EF x = Effekfaktor x i.x = Øjebliksværdier for den pågældende dato ẋ.x = Middelværdi for den pågældende dato Index a, b, c, d = Dato a, dato b osv. Beregningseksempel for effektfaktor Dato tid X i20/2 X i21/2 X i22/2 X i23/2 Midlet kw EF x 05:00: /155 0,79 05:30: /155 0,89 06:00: /155 0,98 06:30: /155 1,18 07:00: /155 1,12 07:30: /155 1,05 08:00: /150 0,97 08:30: /155 0,88 09:00: /155 0,84 09:30: /155 0,82 10:00: /155 0,76 10:30: /155 0,79 11:00: /155 0,69 ẋ xx/ S ide

18 Der ønskes en prognose udført ved blandeskabet fra klokken 5:00 til 11:00 den 27. februar. Prognosen beregnes på følgende måde, øjebliksmålingen fra klokken 5:00 multipliceres med effektfaktoren. Prognose formel Prog X = EF X x i27/2 Tabel 5 Prog X = Effekt værdien beregnet til X klokkeslæt EF X = Effektfaktoren for pågældende X klokkeslæt X i27/2 =Målt effekt ved prognosestart Beregningseksempel for effektfaktor og prognose Dato tid X i20/2 X i21/2 X i22/2 X i23/2 ẋ EF X X i27/2 (5:00) Prog x X i27/2 afv.% 05:00: /155 0, ,1 05:30: /155 0, ,8 06:00: /155 0, ,9 06:30: /155 1, ,8 07:00: /155 1, ,6 07:30: /155 1, ,1 08:00: /150 0, ,5 08:30: /155 0, ,3 09:00: /155 0, ,8 09:30: /155 0, ,1 10:00: /155 0, ,1 10:30: /155 0, ,3 11:00: /155 0, ,2 ẋ xx/ Det ses i den yderste røde kolonne og på diagrammet nedenfor, at der er en stående afvigelse imellem prognosen og det reelle forbrug. Prognosen ligger gennemsnitligt 27,3% under det reelle forbrug, det fremgår også, at prognosen er dæmpet i forhold til det reelle forbrug. Dette tilskrives aliasfænomentet, hvilket er beskrevet i afsnit Samplingstid. Diagram Diagram over prognose eksempel :48:00 06:00:00 07:12:00 08:24:00 09:36:00 10:48:00 12:00:00 Progx Xi27/2 17 S ide

19 Det er muligt at korrigere for den stående afvigelse, under den antagelse at afvigelsen kan tilskrives en difference imellem opvarmningseffekten for real værdierne og prognosens grundlag. I eksemplet starter prognosen klokken 5:00 og på dette tidspunkt af døgnet, er det sandsynligt, at belastningen udgøres af opvarmningseffekten. På dette grundlag er følgende formel udviklet til korrigering af effektfaktoren. Metode til korrigering af effektfaktor EF k = EF x ( x i27/2 ) prog x(5:00) EF k = korrigeret effektfaktor EF x = effektfaktor X i27/2 = reelt effektforbrug, X klokkeslæt ved prognosens start Tabel 6 Prog X(5:00) = den Prognose effekten klokken 5:00 Korrigeret effektfaktor Dato tid EF X i27/2 (5:00) Prog x X i27/2 afv.% EF k Prog x(k) Afv.% 05:00:00 0, ,1 1, ,1 05:30:00 0, ,8 1, ,1 06:00:00 0, ,9 1, ,9 06:30:00 1, ,8 1, ,9 07:00:00 1, ,6 1, ,2 07:30:00 1, ,1 1, ,2 08:00:00 0, ,5 1, ,7 08:30:00 0, ,3 1, ,2 09:00:00 0, ,8 1, ,7 09:30:00 0, ,1 1, ,6 10:00:00 0, ,1 1, ,3 10:30:00 0, ,3 1, ,0 11:00:00 0, ,2 0, ,3 I yderste højre kolonne er afvigelsen for den korrigeret prognose listet med index (k), som det ses, er der opnået en væsentlig forbedring af prognosens nøjagtighed, der nu ligger 1.8 % over det reelle belastningsniveau. Grafisk er det vist nedenfor. Diagram Diagram over korregeret prognose eksempel :48:00 06:00:00 07:12:00 08:24:00 09:36:00 10:48:00 12:00:00 Progx(k) Xi27/2 18 S ide

20 Påvirkning af korrektionens størrelse Der kan justeres på afvigelsens indvirkning på prognosen ved at ændre på 1 tallets numeriske værdi. Derved er det muligt at foretage en tilpasning af korrektionsfaktoren, hvilket kunne være ønskeligt, hvis korrektionsfaktoren kontinuerligt er for aggressiv eller for dæmpet ved en individuel forbruger. Delkonklusion Ovenstående beregninger viser, at der er et potentiale i prognose modellen, men der er dog en række forhold, som ikke er taget med i denne model. 1. Der er ikke taget hensyn til validiteten af de historiske data, som effektfaktoren er beregnet udfra eller om den 27. februar i sig selv er valid 2. Modellen er beregnet på grundlag af den samlede belastning fra alle forbrugere i området. På enkelt forbruger niveau er processen meget mere dynamisk med kortvarige, markante belastningsændringer, som et resultat af varmtvandsforbruget 3. Samplingstiden er meget lav for modellen, 30 minuter kontra stamdataens samplingstid på 1 minut. Dette kan accepteres på blandeskabet, men hos de enkelte forbrugere vil dette resultere i en misvisning. 4. Det fremgår af tabellen, at forbruget mandag er højere end hos nogle af de andre dage. Er dette så udpræget, at der skal tages særligt hensyn? 19 S ide

21 SAMPLINGSTID Samplingstiden er en vigtig parameter, hvor der i traditionel forstand forstås den tid, der går imellem to indlæsninger, fra et målepunkt til en PLC f.eks. (Heilman, 1998). Samplingstiden på varmemålerne i forsøgsområdet er fastsat til 1 minut, derfor skal begrebet i denne rapport forstås således, at det er tiden der går imellem læsning af historisk data fra serveren til prognosemodellen. Dette medfører, at der maksimalt kan samples 60 gange i timen. Betydningen af samplingstid Effektmålingerne fra målepunktet har en samplingstid på 1 minut, det gør målingerne sårbare i forhold til stabilitet, hvis der er mange mindre udsving i løbet af måleperioden, eller signalet er påvirket af interferens. Hvis prognosemodellen anvender en højere samplingstid, f.eks. 5 minutter, som grundlag for effektfaktoren, kan det resultere i en afvigelse. Begrebet kaldes Aliasfænomenet eller Nedfoldning og dækker over det, der sker, når et signal bliver samplet for sjældent, og derfor bliver misfortolket som en svingning med lavere frekvens. For at undgå dette fænomen skal samplingstiden mindst være det dobbelte af den højeste frekvens, som dataopsamlingen foregår ved. (Heilman, 1998) Diagram 3 Eksempel på Aliasfænomenet Historisk Data Sampling 1,5 0,75 0-0,75-1, At bruge en samplingstid på 30 sekunder til prognosemodellen er ikke muligt, da den som nævnt er fastlåst til 1 minut. Alternativt kan de historiske data efterbehandles, inden de bliver indlæst i prognosemodellen. Dette kunne løses ved at anvende et glidende gennemsnit, på engelsk kaldet Simple moving average (SMA). Resultatet af en sådan matematisk behandling ville være en udglatning af målingerne. Tilnærmet kan man sammenligne SMA med at anvende et 1.ordens filter på signalet, som f.eks. et RC led, selvom matematikken bag ikke er identisk, så er resultatet sammenligneligt. SMA er defineret som følgende: Analyseværktøjet glidende gennemsnit beregner værdier i prognoseperioden på grundlag af variablens gennemsnitsværdi i et bestemt antal foregående perioder. Et bevægeligt gennemsnit frembringer tendensoplysninger, som ikke kan aflæses ud fra et simpelt gennemsnit af alle historiske data. (Microsoft.com, 2012) 20 S ide

22 Den udglattende egenskab vises i nedenstående Diagram 4, hvor hus nummer 21 anvendes som eksempel. Der er anvendt en samplingstid på 1 minut og SMA er beregnet med 11 samplinger (n) og 6 samplinger. Diagram 4 Eksempel på SMA 40,00 35,00 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 0,00 04:48:00 06:00:00 07:12:00 08:24:00 09:36:00 Effekt kw SMA n=11 SMA n=6 Som det fremgår af Diagram 4, opnås der en udglatning af effektmålingen, når der anvendes SMA (rød kurve) i forhold til den ubehandlede måling (blå kurve). Der sker en forskydning af den røde kurve, således at den ved måleændringer er bagefter den blå kurve. SMA beregnet med 6 samplinger (grøn kurve) nedbringer denne forskydning til omtrentlig det halve. Varmtvandseffekten, der udgør de markante og pludselige udsving, bliver delvist udglattet med SMA og når ikke samme niveau. Dette medfører, at en eventuel analyse af spidsbelastninger, foretaget på grundlag af SMA behandlet værdier, ikke vil vise et retvisende billede af spidsbelastningen. Siden det er interessant at undersøge varmtvandsbelastning i forhold til fjernvarmenettes kapacitet, er det hensigtsmæssigt at disse målinger vises med så reelle værdier som muligt. Derfor anbefales det, at SMA ikke anvendes, medmindre der kompenseres for denne misvisning på en af to måder. 1. SMA ændres til Eksponentielt vægtet glidende gennemsnit, forkortet EXMA 2. Der anvendes et filter, der lader de store værdier passere forbi SMA, et varmtvandseffekt filter forkortet VVEF. EXMA er en variation af SMA, hvor værdiernes bidrag til gennemsnittet aftager eksponentiel jo ældre værdierne bliver, dette betyder at nyere målinger har større betydning end i SMA. SMA anvender til sammenligning alle værdier ligeligt. Dette vil forbedre visningen af spidsbelastningssituationer, men vil stadig resultere i en misvisning. Den optimale løsning imellem de to muligheder vil derfor være, at lade spidsbelastningsværdier passere SMA beregningen og blive vist ubehandlet. Dette vil eliminere misvisningen fra SMA, imens den dæmpende virkning bibeholdes. 21 S ide

23 Implementeres denne løsning med det kriterium, at effekter kw > 15 med VVEF passere udenom SMA funktionen, opnås der en udglatning af signalet, uden at der opstår en misvisning af varmtvandseffekten. Dette fremgår af Diagram 5 nedenfor. De 15 kw er sat som grænse for filteret, da værdien er omtrentligt det dobbelte af opvarmningseffekten. Diagram 5 Eksempel på SMA med effekt gennemgang 40,00 35,00 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 0,00 04:48:00 06:00:00 07:12:00 08:24:00 09:36:00 Effekt kw SMA n=11 SMA n=6 Problemet ved at vælge en samplingstid der er højere end 1 minut er, at en stor del af varmtvandsbelastningen typisk har en varighed på under 10 minutter og ofte under 5 minutter. Dette varier selvfølgelig med den individuelle forbruger, men kan godt anvendes som en tommelfingerregel. Dette betyder, at for eksempel en samplingstid på 5 minutter kan overse meget markante belastninger, selvom der anvendes ovennævnt metoder. Der henvises til afsnittet Analyse af 5 minutters samplingstid og SMA behandlingens indvirkning på konfidensintervallet. for nærmere om dette fænomen. 22 S ide

24 STATISTISK BEHANDLING For at opbygge et prognose værktøj er det nødvendigt at få en forståelse for, at forbrugsmønstre afhænger af mange faktorer såsom årstid, solskin, vind, bygningstype og vigtigst, de mennesker som bor i ejendommen eller er brugere heraf. Indtil videre er der, i denne rapport blevet anvendt grafiske kurver til at sammenligne forbrugsmønstre. Dette er velegnet til hurtigt at kunne vurdere om en metodes grundlæggende koncept er brugbar, en såkaldt back off the envelope beregning. Dog kan en sådan metode ikke regnes som fyldestgørende for at danne grundlag til en endelig løsningsmodel, derfor anvendes statistiske værktøjer til behandle den store mængde data fra varmemålerne. Antagelser Den statistiske behandling bygger på en række antagelser, som vil blive gennemgået under de respektive metoder. En besvarelse på følgende spørgsmål søges igennem den statistiske beregning: Hvor stor variation forefindes der hos de forskellige forbrugere og kan man inddele døgnet i nogle belastningsscenarier ud fra disse variationer Kan man gruppere forbrugere sammen efter deres forbrugsprofil Validering af data, hvornår er afvigelsen af måledata så stor, at man kan/skal se bort fra den i relation til prognosen For at besvare disse tre spørgsmål beregnes middelværdien og variansen (eller spredningen) af data fra samme population. På grundlag af de to værdier beregnes konfidensintervallet for værdierne. Nedenfor bliver disse begreber uddybet. Middelværdien Dette er gennemsnittet af dataserien, og det antages, at der er tale om, at værdierne fordeler sig ligeligt i forhold til middelværdien, altså en normalfordeling. Normalfordelingskurven kaldes også en klokkekurve og har to parametre, nemlig middelværdien og spredningen. Jo mindre variansen er jo smallere bliver klokkekurven og modsat Normalfordeling bliver den bredere, når variansen er større. Kurven er symmetrisk omkring middelværdien, og hvis middelværdien ændres, så fører det til, at kurven bliver parallel forskudt i x aksens retning. (vestergaard, 2008) Denne antagelse har betydning i de efterfølgende beregninger af konfidensintervallet, hvor en distributionsfaktor bliver valgt efter, hvordan værdierne fordeler sig i forhold til middelværdien. Hvis kurven f. eks. er usymmetrisk, så skal en anden beregning eller tabelværdi for distributionsfaktoren anvendes. Hvis der fortages en analyse af forbruget over et døgn, er det tydeligt, at der ikke er tale om normalfordeling og en sådan antagelse vil være uforsvarlig. Derfor inddeles døgnet i mindre perioder, hvor det antages, at forbruget forløber efter normalfordeling, f. eks. i løbet af morgenspidsen. Dette åbner også for den mulighed, at når forbrug skal sammenlignes, sammenlignes det i 23 S ide

25 mindre perioder, således at hus A og B eventuelt har samme forbrugsmønster om morgenen, men om aftenen er der sammenfald imellem hus A og C. Nedenfor er formlen for beregning af middelværdien (Pharmpress, 2002): Formel for middelværdi x = n n x i i=1 Hvor n = antal samplinger x i = øjebliksværdi x = middelværdi Varians Det er interessant at undersøge, hvor stor variation der er i forhold til middelværdien, da dette kan give et overblik over stabiliteten af de målingerne, der foretages. Varians beregnes på følgende måde: Formel for varians n σ = n (x i x ) 2 i=1 Hvor n = antal samplinger x i = øjebliksværdi x = middelværdi σ = varians Konfidensinterval Konfidensintervallet angiver usikkerheden på en målt værdi og beregnes ud fra middelværdien, varians og distributionsfaktoren. Distributionsfaktoren er i denne rapport en tabelværdi, som vælges ud fra fordelingenskurven (normalfordeling) og den ønskede procentmæssige størrelse af intervallet, typisk 90, 95 eller 99 %. Intervallets størrelse repræsenter sandsynligheden for, at en måling er inden for populationens middelværdi. Det er vigtigt, at man er opmærksom på forskellen imellem populationens middelværdi og dataseriens middelværdi, for selvom de ofte numeriske vil have tilsvarende samme værdi, vil de aldrig være ens, dette faktum tilskrives variationen. (Pharmpress, 2002) 24 S ide

26 Man skal også være opmærksom på, at konfidensintervallet også vil variere i størrelse. Dette skyldes, at intervallet beregnes ud fra dataseriens variation, og derfor vil forskelle i variation også resultere i forskellige intervalstørrelser. Distributionsfaktoren afgør også størrelsen af intervallet og skal tolkes på følgende måde. Hvis 90 % vælges som en parametre, så vil 90 % af dataserierne være indenfor populationsmiddelværdien. Et eksempel på dette vises nedenfor, hvor konfidensintervallet på 10 dataserier er blevet beregnet med en distributionsfaktor svarende til 90 %. Populations middelværdien, den stiplede linje, er beregnet til 50 enheder og middelværdierne for dataserierne er vist med den sorte bjælke og de respektive konfidensintervaller er visuelt vist med en grå, lodrette linje. Dataserien med * er ikke indenfor populationsmiddelværdien, hvilket stemmer overens med en distributionsfaktoren på 90 %, altså at i en population på 10 dataserier vil en dataserie være udenfor populations middelværdien. Derfor er distributionsfaktoren en vigtig parameter i beregning af konfidensintervallet, men fastsættelse af værdien, om det skal være 80 % eller 95 %, er en beslutning, som tages af beregneren eller modeludvikleren. Der vælges, i denne analyse en distributionsfaktor på 1,96, hvilket svarer til 95 %. Det er vigtigt at pointere, at distributionsfaktoren er afhængig af antallet af samplinger (n). Ændringen sker på 3. decimal, så længe at samplingsantallet er over 30, derfor anses det i denne forbindelse at være ubetydeligt. For at undersøge påvirkningen, hvis 99 % vælges som distributionsfaktor, er der udført beregninger med den pågældende faktor. Konfidensintervallet er tosidet og giver derfor to resultater, en positive og en negative værdi benævnt Maks og min. Inden for dette interval kan de indsamlede data valideres. Intervallet beregnes på følgende måde. Formel for Konfidensinterval μ = x ± σ F n hvor x = middelværdi n = antal samplinger σ = varians F = distributionsfaktor μ = konfidensinterval 25 S ide

27 Statistisk analyse Analysen tager udgangspunkt i data fra Excel arket Klynge 1 mandag og der anvendes ovenstående formler til beregningen. Der er foretaget flere beregninger med forskellige parametre. Det er gjort for at undersøge, hvilke der er optimale. Analysen arbejder næsten udelukkende med morgenspidsperioden. Dette er valgt som fokuspunkt, da det er varmtvandseffekten, der er vanskeligt at modellere tilfredsstillende. Morgenspidsen inddeles i en 6 eller 4 timers periode. Nedenstående Diagram 6 viser forbruget fra fem mandage ved hus nr. 21 i tidsrummet kl. 5 til kl. 9. Som det fremgår, sker varmtvandsforbruget indenfor dette tidsrum. Diagram 6 40,00 30,00 "Morgenspidser" 20,00 10,00 0,00 04:48:00 06:00:00 07:12:00 08:24:00 09:36:00 Begrundelsen for at undersøge en 6 timers samplingsperiode sideløbende med en 4 timers periode er at undersøge, hvilken indvirkning det har på konfidensintervallet. Målet med rapporten er at formulere et værktøj, der kan udarbejde en prognose på 6 timer. En kortere prognoseperiode er acceptabel, hvis man derved opnår en forbedring af nøjagtigheden på prognosen. Det er nødvendigt, at knytte prognosemodellen til konfidensintervallets antal samplinger (n), for at kunne anvende intervallet, som en indikator for prognosens validitet. 26 S ide

28 Vejledning til Excel ark Beregningsgennemgangene er i vist detaljeret i Excel projektmappen klynge 1 mandage og er inddelt i to sektioner. Beregninger udført med de enkelte forbrugere er på fanerne benævnt efter deres respektive husnummer og beregninger udført for de syv huse samlet, fordelt efter datoerne, er vist under fanerne med datomærkning. Under hus fanerne, markeret med rødt foroven, er følgende beregninger. Forbrug målt med et minuts samplingstid for 30/1, 6/2, 13/2, 20/2 og 27/2. a. SMA behandlet effektmåling med gennemgang af værdier over 8 kw. Derefter er der samplet med et 5 minutters interval fra den behandlede værdi. Efterfølgende er værdierne blevet hentet til Dato fanerne b. Konfidensinterval beregnet fra kl. 5:00 til 8:59 med 1 minutters samplingstid, dette giver ƞ=240 samplinger. Distributionsfaktoren er beregnet med både 95 % og 99 % for at sammenligne c. Ovenstående beregning er gentaget med 50 % flere målinger. Fra kl. 5:00 til 10:59, hvilket er ƞ=360 samplinger. Distributionsfaktoren er regnet med 95 % værdien d. En prognose er beregnet fra kl. 5:00 og indtil kl. 8:59, der er anvendte Korrigeret effektfaktor og de historiske data, som danner grundlag for prognosen, er valideret ud fra de beregnede konfidensinterval. Kriteriet for valideringen var at de valgte dage, ud fra konfidensintervallet, skulle have samme driftsforhold. Datofanerne har alle huse listet med den pågældende dato. Der er tale om effektværdier med samplingstid på 5 minutter. Beregningerne foretaget på disse ark er: e. En beregning af konfidensinterval med en samplingstid på 5 minutter af ubehandlede kw målinger i tidsrummet kl.5:00 til kl. 10:55, hvilket giver ƞ=72 samplinger. f. Ovenstående beregning er gentaget, men med de SMA behandlede data fra punkt a. under hus fanerne 27 S ide

29 Analyse af samplingstid med konfidensinterval 4 timers samplingsperiode i forhold til 6 timers Ved beregning af konfidensintervallet har antallet af samplinger en stor betydning, der som forklaret i forrige afsnit beregner, i hvilket spænd 95 % af målingerne befinder sig. Derfor vil en forøgelse af antal målinger med værdier tæt på middel resultere i, at konfidensintervallet bliver mindre, da flere af de store varmtvandseffekter bliver frasorteret i beregningen. Som det ses på formlen, er konfidensintervallet funktionen af variansen divideret med antal samplinger, og siden variansen er et produkt af den målte værdi minus middelværdien i anden potens, så vil det fører til, at intervallet bliver mindre. Det er tydeligt ved alle beregninger udført i regnearket klynge 1. Som eksempel ses nedenfor to tabeller med hus nummer 25, hvor samplingsperioden er forskellig. Tabel 7 4 timers periode fra kl 5:00 til 8:59, 1 minuts samplingstid Konfidens 2,65 1,73 0,08 3,10 3,50 Hus # jan 06-feb 13-feb 20-feb 27-feb Maks 10,20 9,03 5,74 9,44 8,30 Middel 7,55 7,30 5,66 6,34 4,80 Min 4,90 5,57 5,58 3,24 1,30 Tabel 8 6 timers periode fra kl 5:00 til 10:59, 1 minuts samplingstid Konfidens 1,51 0,94 0,05 1,72 1,96 Hus # jan 06-feb 13-feb 20-feb 27-feb Maks 8,50 8,33 5,90 7,65 6,27 Middel 6,98 7,38 5,85 5,92 4,32 Min 5,47 6,44 5,80 4,20 2,36 Der ses en tydelig forskel på Tabel 7 og Tabel 8. Konfidensintervallet ved 4 timers perioden er omtrentlig en halv gange større end ved en 6 timers periode. Dette skyldes, den før nævnte, forøgede samplings mængde. Man kan altså derfor konkludere, at en samplingsperiode på 4 timer giver det bedste resultat og burde vælges som en standard, hvis det er muligt at have en høj samplingstid. I forhold til at anvende en højere distributionsfaktor på f.eks. 99 %, så er det blevet undersøgt med en 4 timers periode. Generelt er resultatet som ventet, nemlig at konfidensintervallet er steget sammen med forøgelsen af distributionsfaktoren, hvilket stemmer overens med det faktum, at den inkluderer 99 ud af 100 målinger, kontra 19 ud af 20 målinger ved 95 %. Der er ikke fundet belæg for at fravælge 95 % som standard, dette skyldes, at middelværdien forbliver uændret og det forøgede konfidensinterval giver ikke i sig selv en større indsigt i driftssituationen sammenlignet med 95 %. Forneden er vist et eksempel med hus nummer 25. Tabel 9 4 timers periode fra kl 5:00 til 8:59, 1 minuts samplingstid Distributions Faktor 99 % Konfidens 3,49 2,27 0,11 4,08 4,61 Hus # jan 06-feb 13-feb 20-feb 27-feb Maks 11,04 9,57 5,77 10,42 9,41 Middel 7,55 7,30 5,66 6,34 4,80 Min 4,06 5,03 5,56 2,26 0,19 28 S ide

30 Analyse af 5 minutters samplingstid og SMA behandlingens indvirkning på konfidensintervallet. At anvende glidende gennemsnit (SMA) og effekt gennemgang er forklaret i forrige afsnit, der er to formål med at gentage en analyse. Det første, ud fra et ønske om at påvise metodens anvendelighed hos specifikke forbrugere, hvor den tidligere beregning byggede på data fra blandeskabet. For det andet at afdække SMA metodens indvirkning på konfidensintervallet og derved afklare om det er en metode, som kan anbefales at anvende i prognosemodellen. Som eksempel er datoen 30. januar udvalgt. Tabel 10 med blå bjælke vises det intervallet for de syv hus beregnet uden SMA metoden. Tabel 11 med den grønne bjælke viser samme beregning udført med SMA og hvor effektværdier over 8 kw er overført direkte. 8 kw er valgt, da det var omtrentlig 1.3 gange middelværdien. Tabel 10 6 timers periode, 5 minutters samplingsfrekvens, ingen databehandling Konfidens 2,384 3,987 4,673 12,807 0,673 1,881 0, januar Maks 9,20 9,15 11,91 18,35 5,20 6,25 5,19 Middel 6,81 5,16 7,23 5,54 4,52 4,37 4,67 Min 4,43 1,18 2,56-7,27 3,85 2,49 4,16 Tabel 11 6 timers periode, 5 minutters samplingsfrekvens, SMA Effekt gennemgang >8kW Konfidens ± 2,50 4,11 5,26 6,03 0,66 2,35 6, januar Maks 9,51 9,42 12,72 11,78 5,20 6,93 11,07 Middel 7,01 5,30 7,46 5,76 4,54 4,58 4,84 Min 4,51 1,19 2,21-0,27 3,89 2,23-1,38 Det fremgår, at der ved flere forbrugere, er markant forskel på konfidensintervallet imellem de to beregninger. Det er differensen af spredningen på intervallet, der er markant, middelværdien er uden samme grad af variation. Dette billede stemmer overens med den tendens, som kunne aflæses af diagrammerne i afsnit Betydningen af samplingstid, at en høj samplingstid medfører den risiko, at kortvarige, markante varmvandseffekter kan blive overset af prognosemodellen. Denne konklusion bliver også bekræftet, når man sammenligner konfidensintervallet beregnet i ovenstående Tabel 11, med konfidensintervallet beregnet i Tabel 8 fra afsnit 4 timers samplingsperiode i forhold til 6 timers. Sammenfattet i nedenstående tabel. Tabel 12 Forbruger# 25 5 min, SMA 1 minut Δ Konfidens ± 5,26 1,51 3,74 Maks 12,72 8,50 4,22 Middel 7,46 6,98 0,48 Min 2,21 5,47-3,27 29 S ide

31 Delkonklusion Det kan konkluderes ud fra den gennemførte analyse, at højere samplingstid vil medføre forhøjet risiko for markante misvisninger af forbruget, selv når der udføres databehandling af værdierne. Pooled data Samling af tidsserier Det er muligt at sammenligne og samle dataserie fra f.eks. forskellige dage og/eller forbrugere, hvis de opfylder en række betingelser. De skal være i samme population, det vil sige, er indsamlet indenfor samme driftsforhold. Definitionen Samme driftsforhold antages i denne analyse at være opfyldt, når middelværdien A ligger indenfor intervallet af dataserie B og modsat. Dette kaldes Pooled data sampling og der beregnes en middelværdi, varians og konfidensinterval med index p for pooled. Følgende formler anvendes til pooled værdier. Det antages, at distributionsfaktoren er uændret. Middelværdien p Varians p Konfidensinterval p x p = x 1 n 1 + x 2 n 2 n 1 + n 2 σ p 2 = n 1 σ n 2 σ 2 2 n 1 + n 2 μ p = x p ± F σ n 1 + σ 2 n 2 Grafisk fortolket kan denne regel ses med et eksempel, som vist på nedenstående diagram. A & B opfylder kravet om samme driftsforhold og kan derfor samles til et konfidensinterval. De to røde og blå streger viser det interval, som Middelværdierne A og B forholdsvis skal ligge indenfor. Bemærk at C ikke opfylder kravet til at blive lagt sammen med A, men kunne teoretisk ligges sammen med B. Det betyder, at når man beslutter at anvende konfidensintervallet til dette, så er det nødvendigt at afklare, hvilken type konfidensinterval der er mest repræsentativ for driften. Alle sammenligninger af konfidensintervaller skal tage udgangspunkt i de originale grunddata, det medfører, at hvis AB var indenfor C så var det ikke tilladt at samle de to værdier. Diagram 7 30 S ide

Bedre udnyttelse af FJERNVARMEN. få skik på AFKØLINGEN i dit varmeanlæg! FJERNVARME helt sikkert

Bedre udnyttelse af FJERNVARMEN. få skik på AFKØLINGEN i dit varmeanlæg! FJERNVARME helt sikkert Bedre udnyttelse af FJERNVARMEN få skik på AFKØLINGEN i dit varmeanlæg! FJERNVARME helt sikkert Sådan er det med FJERNVARME Rød = fremløb Blå = returløb I princippet er der med fjernvarme tale om en slags

Læs mere

C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b2.

C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b2. C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b. 5.000 4.800 4.600 4.400 4.00 4.000 3.800 3.600 3.400 3.00 3.000 1.19% 14.9% 7.38% 40.48% 53.57% 66.67% 79.76% 9.86% 010 011

Læs mere

Analyse af Smart meters-data og brug af data til andet end afregning. Anders Niemann Teknologisk Institut

Analyse af Smart meters-data og brug af data til andet end afregning. Anders Niemann Teknologisk Institut Analyse af Smart meters-data og brug af data til andet end afregning Anders Niemann Teknologisk Institut SMART GRID-Definition Et Smart Grid er et moderne energinetværk, der bruger informations- og kommunikationsteknologi

Læs mere

Få mere varme ud af fjernvarmen. God afkøling gavner både miljø og økonomi

Få mere varme ud af fjernvarmen. God afkøling gavner både miljø og økonomi Få mere varme ud af fjernvarmen God afkøling gavner både miljø og økonomi U d n y t v a r m e n d e t b e t a l e r s i g Din afkøling fortæller, hvor godt du udnytter fjernvarmen Fjernvarmen er et fælles

Læs mere

Driftsoptimering af Smart Gridfjernvarmesystemer

Driftsoptimering af Smart Gridfjernvarmesystemer Driftsoptimering af Smart Gridfjernvarmesystemer for lavtemperatur DANSK FJERNVARMES 56. LANDSMØDE Aalborg 31. oktober 2014 Anders Niemann, konsulent, Teknologisk Institut SMART GRID-Definition Et Smart

Læs mere

Referencelaboratoriet for måling af emissioner til luften

Referencelaboratoriet for måling af emissioner til luften Referencelaboratoriet for måling af emissioner til luften Rapport nr.: 77 Titel Hvordan skal forekomsten af outliers på lugtmålinger vurderes? Undertitel - Forfatter(e) Arne Oxbøl Arbejdet udført, år 2015

Læs mere

Orientering om EUDP-projektet: Driftsoptimering af Smart Gridfjernvarmesystemer

Orientering om EUDP-projektet: Driftsoptimering af Smart Gridfjernvarmesystemer Orientering om EUDP-projektet: Driftsoptimering af Smart Gridfjernvarmesystemer for lavtemperatur Workshop-indlæg Teknologisk Institut 4. september 2013 v/anders Niemann Indledning EUDP-ansøgning og tilsagn

Læs mere

Lavtemperaturfjernvarme. Christian Kepser, 19. marts 2013 Energi teknolog studerende. SFO Højkær

Lavtemperaturfjernvarme. Christian Kepser, 19. marts 2013 Energi teknolog studerende. SFO Højkær SFO Højkær Lavtemperaturfjernvarme Christian Kepser, 19. marts 213 Energi teknolog studerende Indledning Lavtemperatur fjernvarme er som nævnet antyder, fjernvarme med en lavere fremløbstemperatur. Fremløbstemperaturen

Læs mere

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009 DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,

Læs mere

Mikro-kursus i statistik 1. del. 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1

Mikro-kursus i statistik 1. del. 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1 Mikro-kursus i statistik 1. del 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1 Hvad er statistik? Det systematiske studium af tilfældighedernes spil!dyrkes af biostatistikere Anvendes som redskab til vurdering

Læs mere

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet D.29/2 2012 Udarbejdet af: Katrine Ahle Warming Nielsen Jannie Jeppesen Schmøde Sara Lorenzen A) Kritik af spørgeskema Set ud fra en kritisk vinkel af spørgeskemaet

Læs mere

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

5.11 Middelværdi og varians Kugler Ydelse for byg [Obligatorisk opgave 2, 2005]... 14

5.11 Middelværdi og varians Kugler Ydelse for byg [Obligatorisk opgave 2, 2005]... 14 Module 5: Exercises 5.1 ph i blod.......................... 1 5.2 Medikamenters effektivitet............... 2 5.3 Reaktionstid........................ 3 5.4 Alkohol i blodet...................... 3 5.5

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte

Læs mere

Læring af test. Rapport for. Aarhus Analyse Skoleåret

Læring af test. Rapport for. Aarhus Analyse  Skoleåret Læring af test Rapport for Skoleåret 2016 2017 Aarhus Analyse www.aarhus-analyse.dk Introduktion Skoleledere har adgang til masser af data på deres elever. Udfordringen er derfor ikke at skaffe adgang

Læs mere

Dæmpet harmonisk oscillator

Dæmpet harmonisk oscillator FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse Dæmpet harmonisk oscillator Hold E: Hold: D1 Jacob Christiansen Afleveringsdato: 4. april 003 Morten Olesen Andreas Lyder Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Formål...3

Læs mere

10. Bestemmelse af kedelstørrelse

10. Bestemmelse af kedelstørrelse . Bestemmelse af kedelstørrelse Kapitlet beskriver metoder til bestemmelse af korrekt kedelstørrelse, der er en af de vigtigste forudsætninger for god forbrænding og god økonomi. Efter beskrivelse af forudsætninger

Læs mere

Projektforslag Udbygning af bæredygtig fjernvarme: Forsyningsområde Stenløse Nord. Udbygning af ny varmecentral ved Maglevad

Projektforslag Udbygning af bæredygtig fjernvarme: Forsyningsområde Stenløse Nord. Udbygning af ny varmecentral ved Maglevad Juli 2014 Egedal Fjernvarme Udbygning af bæredygtig fjernvarme: Forsyningsområde Stenløse Nord Udbygning af ny varmecentral ved Maglevad Notat 1 Afsluttende myndighedsbehandling efter forlængede høringsperiode

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Her er en hjælp til at få prisen på dit varmeforbrug ned.

Her er en hjælp til at få prisen på dit varmeforbrug ned. Her er en hjælp til at få prisen på dit varmeforbrug ned. Afkøling af fjernvarme Generelt Forskellen mellem fjernvarme- vandets fremløbs- og retur- løbstemperatur kaldes afkølingen. Jo koldere fjernvarme-

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Indeklimaundersøgelse i 100 danske folkeskoler

Indeklimaundersøgelse i 100 danske folkeskoler Indeklimaundersøgelse i 100 danske folkeskoler - Tilbagemelding til skolerne Udarbejdet af: Eva Maria Larsen & Henriette Ryssing Menå Danmarks Tekniske Universitet December 2009 Introduktion Tak, fordi

Læs mere

Bilagsnotat til: De nationale tests måleegenskaber

Bilagsnotat til: De nationale tests måleegenskaber Bilagsnotat til: De nationale tests måleegenskaber Baggrund Der er ti obligatoriske test á 45 minutters varighed i løbet af elevernes skoletid. Disse er fordelt på seks forskellige fag og seks forskellige

Læs mere

Bilag 2: Undersøgelse af de nationale tests reliabilitet. Sammenfatning

Bilag 2: Undersøgelse af de nationale tests reliabilitet. Sammenfatning Bilag 2: Undersøgelse af de nationale tests reliabilitet Sammenfatning I efteråret 2014 blev der i alt gennemført ca. 485.000 frivillige nationale tests. 296.000 deltog i de frivillige test, heraf deltog

Læs mere

Lars Pedersen Januar 2013

Lars Pedersen Januar 2013 MAERSK SUPPLY SERVICE Bilagsrapport Energioptimering af kølevandssystem Lars Pedersen Januar 2013 Titelblad Forfatter: Rapportens Titel: Lars Pedersen Bachelor projekt 2012 - Optimering af kølevandssystem

Læs mere

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske

Læs mere

Kapitel 12 Variansanalyse

Kapitel 12 Variansanalyse Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 / 43 Indledning Sammenligning af middelværdien i to grupper indenfor en stikprøve kan

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Statistik viden eller tilfældighed

Statistik viden eller tilfældighed MATEMATIK i perspektiv Side 1 af 9 DNA-analyser 1 Sandsynligheden for at en uskyldig anklages Følgende histogram viser, hvordan fragmentlængden for et DNA-område varierer inden for befolkningen. Der indgår

Læs mere

Kapitel 12 Variansanalyse

Kapitel 12 Variansanalyse Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 Indledning 2 Ensidet variansanalyse 3 Blokforsøg 4 Vekselvirkning 1 Indledning 2 Ensidet

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Der påvises en acceptabel kalibrering af kameraet, da det værdier kun er lidt lavere end luminansmeterets.

Der påvises en acceptabel kalibrering af kameraet, da det værdier kun er lidt lavere end luminansmeterets. Test af LMK mobile advanced Kai Sørensen, 2. juni 2015 Indledning og sammenfatning Denne test er et led i et NMF projekt om udvikling af blændingsmåling ved brug af et LMK mobile advanced. Formålet er

Læs mere

Hvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05

Hvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05 Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ

Læs mere

Bilag 2 - Følsomhedsanalyse af netvolumenmålet Bilaget indeholder en teknisk gennemgang af følsomhedsanalysen af netvolumenmålet.

Bilag 2 - Følsomhedsanalyse af netvolumenmålet Bilaget indeholder en teknisk gennemgang af følsomhedsanalysen af netvolumenmålet. Bilag 2 - Følsomhedsanalyse af netvolumenmålet Bilaget indeholder en teknisk gennemgang af følsomhedsanalysen af netvolumenmålet. FORSYNINGSSEKRETARIATET OKTOBER 2011 INDLEDNING... 3 FØLSOMHEDSANALYSEN...

Læs mere

Beregning af licens for elbybiler

Beregning af licens for elbybiler Beregning af licens for elbybiler Rapport Teknik- og Miljøforvaltningen, Københavns Kommune Indholdsfortegnelse 1 Baggrund 3 2 Resultater 3 3 Metode 3 3.1 Datagrundlag 4 3.2 Generelle antagelser 4 3.3

Læs mere

En håndbog om tælling af biblioteksbesøg i de danske folkebiblioteker

En håndbog om tælling af biblioteksbesøg i de danske folkebiblioteker En håndbog om tælling af biblioteksbesøg i de danske folkebiblioteker Udarbejdet af DIOS A/S December 2001 INDHOLDSFORTEGNELSE REGISTRERING AF ANTAL BIBLIOTEKSBESØG...1 BAGGRUNDEN FOR METODENS UDVIKLING...1

Læs mere

Ny retfærdig tarif på fjernvarmen

Ny retfærdig tarif på fjernvarmen Ny retfærdig tarif på fjernvarmen Vil betyde Mindre varmeregning til kunderne Mindre varmetab i rørene Øget effektivitet i produktionen En lav returtemperatur giver en mindre varmeregning Billig fjernvarme

Læs mere

ANALYSE FÅ FORBRUGERE FÅR FJERNVARME FRA MEGET DYRE FORSYNINGER

ANALYSE FÅ FORBRUGERE FÅR FJERNVARME FRA MEGET DYRE FORSYNINGER 33 ANALYSE FÅ FORBRUGERE FÅR FJERNVARME FRA MEGET DYRE FORSYNINGER På baggrund af Energitilsynets prisstatistik eller lignende statistikker over fjernvarmepriser vises priserne i artikler og analyser i

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,

Læs mere

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller

Læs mere

Effekt- og samtidighedsforhold ved fjernvarmeforsyning af nye boligområder

Effekt- og samtidighedsforhold ved fjernvarmeforsyning af nye boligområder Projekt nr. 2009-02 Titel: Effekt- og samtidighedsforhold ved fjernvarmeforsyning af nye boligområder Udført af: Roskilde Forsyning, Farum Fjernvarme, Høje Taastrup Fjernvarme, Guldborgsund Forsyning,

Læs mere

Fjernvarmekøling og energibesparelse ved anvendelse af selvregulerende varmekabler til temperaturvedligeholdelse af varmt brugsvand.

Fjernvarmekøling og energibesparelse ved anvendelse af selvregulerende varmekabler til temperaturvedligeholdelse af varmt brugsvand. Fjernvarmekøling og energibesparelse ved anvendelse af selvregulerende varmekabler til temperaturvedligeholdelse af varmt brugsvand. Af Arne Lund Armatec A/S EFP 2005 viser, at det er væsentligt fremover

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Løsning til eksamen d.27 Maj 2010

Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 DTU informatic 02402 Introduktion til Statistik Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th edition]. Opgave I.1

Læs mere

Beregning af SCOP for varmepumper efter En14825

Beregning af SCOP for varmepumper efter En14825 Antal timer Varmebehov [kw] Udført for Energistyrelsen af Pia Rasmussen, Teknologisk Institut 31.december 2011 Beregning af SCOP for varmepumper efter En14825 Følgende dokument giver en generel introduktion

Læs mere

Konfidensintervaller og Hypotesetest

Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller

Læs mere

Analyse og sammenligning af Hellmann og Pluvio nedbørsmålere

Analyse og sammenligning af Hellmann og Pluvio nedbørsmålere Klima- og Energiministeriet Analyse og sammenligning af Hellmann og Pluvio nedbørsmålere Data fra perioden 15. december 2009-15. oktober 2010 Peter Riddersholm Wang www.dmi.dk/dmi/tr10-16 København 2010

Læs mere

Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ 2 -test og Goodness of Fit test.

Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ 2 -test og Goodness of Fit test. Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ -test og Goodness of Fit test. Anvendelser af statistik Statistik er et levende og fascinerende emne, men at læse om det er alt

Læs mere

Eftersyn og service af fjernvarmeanlæg - modul 1

Eftersyn og service af fjernvarmeanlæg - modul 1 Brugsvandsopvarmning og fordeling Der findes to muligheder for udformning af anlæg til varmt brugsvand: Varmtvandsbeholder eller gennemstrømningsvandvarmer (ofte blot kaldet en veksler). I skemaet herunder

Læs mere

Teori og opgaver med udgangspunkt i udvalgte områder i Køge Bugt regionen

Teori og opgaver med udgangspunkt i udvalgte områder i Køge Bugt regionen Modeller af befolkningsudvikling Teori og opgaver med udgangspunkt i udvalgte områder i Køge Bugt regionen Af Mikkel Rønne, Brøndby Gymnasium Forord. Data er udtrukket fra Danmarks Statistiks interaktive

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Regressionsanalyse

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Regressionsanalyse Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression Regressionsanalyse Regressionsanalyser

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

De afkølingsmæssige udfordringer ved anvendelse af energimåling. Lars Rasmussen Afdelingsleder, Teknisk Service Fjernvarme Fyn A/S

De afkølingsmæssige udfordringer ved anvendelse af energimåling. Lars Rasmussen Afdelingsleder, Teknisk Service Fjernvarme Fyn A/S De afkølingsmæssige udfordringer ved anvendelse af energimåling Lars Rasmussen Afdelingsleder, Teknisk Service Fjernvarme Fyn A/S Organisation og omsætning Bestyrelse Direktør IT Koordinering Økonomi Distribution

Læs mere

Modelkontrol i Faktor Modeller

Modelkontrol i Faktor Modeller Modelkontrol i Faktor Modeller Julie Lyng Forman Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Statistik for Biokemikere 2003 For at konklusionerne på en ensidet, flersidet eller hierarkisk

Læs mere

Generelt er korrelationen mellem elevens samlede vurdering i forsøg 1 og forsøg 2 på 0,79.

Generelt er korrelationen mellem elevens samlede vurdering i forsøg 1 og forsøg 2 på 0,79. Olof Palmes Allé 38 8200 Aarhus N Tlf.nr.: 35 87 88 89 E-mail: stil@stil.dk www.stil.dk CVR-nr.: 13223459 Undersøgelse af de nationale tests reliabilitet 26.02.2016 Sammenfatning I efteråret 2014 blev

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Test for strukturelle ændringer i investeringsadfærden

Test for strukturelle ændringer i investeringsadfærden d. 6.10.2016 De Økonomiske Råds Sekretariat Test for strukturelle ændringer i investeringsadfærden Dette notat redegør for de stabilitetstest af forskellige tidsserier vedrørende investeringsadfærden i

Læs mere

12. september Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 4 Uge 3, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Regressionsanalyse

12. september Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 4 Uge 3, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Regressionsanalyse . september 5 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning Uge, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression

Læs mere

Målinger og analyser, D26

Målinger og analyser, D26 Målinger og analyser, D26 Jesper Simonsen, 1. jan. 2014 Projektet skal følge op på erfaringerne med energirenoveringsprojektet ved en række målinger (2014-2015) der kan give andre beboere og offentligheden

Læs mere

Introduktion til projekter

Introduktion til projekter Introduktion til projekter v. 1.0.3 Introduktion I dette materiale ser vi overordnet på, hvad projekter egentlig er, hvordan de er skruet sammen og hvilke begreber, som relaterer sig til projekter. Vi

Læs mere

Disposition for kursus i Excel2007

Disposition for kursus i Excel2007 Disposition for kursus i Excel2007 Analyse af data (1) Demo Øvelser Målsøgning o evt. opgave 11 Scenariestyring o evt. opgave 12 Datatabel o evt. opgave 13 Evt. Graf og tendens o evt. opgave 10 Subtotaler

Læs mere

Løsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014

Løsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014 Vejledning til udvalgte opgave fra Matematik B, sommer 2014 Opgave 7 Størrelsen og udbudsprisen på 100 fritidshuse på Rømø er indsamlet via boligsiden.dk. a) Grafisk præsentation, der beskriver fordelingen

Læs mere

Epidemiologi og Biostatistik Opgaver i Biostatistik Uge 10: 13. april

Epidemiologi og Biostatistik Opgaver i Biostatistik Uge 10: 13. april Århus 8. april 2011 Morten Frydenberg Epidemiologi og Biostatistik Opgaver i Biostatistik Uge 10: 13. april Opgave 1 ( gruppe 1: sp 1-4, gruppe 5: sp 5-9 og gruppe 6: 10-14) I denne opgaveser vi på et

Læs mere

Fokus på fjernvarme. Undgå ekstra regninger på grund af dårlig afkøling

Fokus på fjernvarme. Undgå ekstra regninger på grund af dårlig afkøling Fokus på fjernvarme Undgå ekstra regninger på grund af dårlig afkøling Aflæsningsspecifikation Målernr. Dato Aflæsning El 010106 36663 Varme 010106 90,514 Vand 010106 1009 Afkøling Installation Grad Enh

Læs mere

Normalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ

Normalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ Normalfordelingen Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2 2πσ 2 σ 2 Frekvensen af observationer i intervallet

Læs mere

KRITERIER FOR TILFREDSSTILLENDE PRÆSTATION I

KRITERIER FOR TILFREDSSTILLENDE PRÆSTATION I KRITERIER FOR TILFREDSSTILLENDE PRÆSTATION I PRÆSTATIONSPRØVNING - SAMMENLIGNING MELLEM BKG. 866 OG FORSLAG TIL REVIDERET BEKENDTGØRELSE 1 Baggrund Ved høring af revideret bekendtgørelse om analysekvalitet

Læs mere

Dig og din puls. 17-10-2004 Dig og din puls Side 1 af 17

Dig og din puls. 17-10-2004 Dig og din puls Side 1 af 17 Dig og din puls Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Dig og din puls Side 1 af 17

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X

Læs mere

At lave dit eget spørgeskema

At lave dit eget spørgeskema At lave dit eget spørgeskema 1 Lectio... 2 2. Spørgeskemaer i Google Docs... 2 3. Anvendelighed af din undersøgelse - målbare variable... 4 Repræsentativitet... 4 Fejlkilder: Målefejl - Systematiske fejl-

Læs mere

Indhold Grupperede observationer... 1 Ugrupperede observationer... 3 Analyse af normalfordelt observationssæt... 4

Indhold Grupperede observationer... 1 Ugrupperede observationer... 3 Analyse af normalfordelt observationssæt... 4 BH Test for normalfordeling i WordMat Indhold Grupperede observationer... 1 Ugrupperede observationer... 3 Analyse af normalfordelt observationssæt... 4 Grupperede observationer Vi tager udgangspunkt i

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode 1 Måleteknisk er vi på flere måder i en ny og ændret situation. Det er forhold, som påvirker betydningen af valget af målemetoder. - Der er en stadig

Læs mere

INDICIUM. Løbende evaluering af forvaltningernes indsats for at forbedre sagsbehandlingen og borgerbetjeningen

INDICIUM. Løbende evaluering af forvaltningernes indsats for at forbedre sagsbehandlingen og borgerbetjeningen INDICIUM Løbende evaluering af forvaltningernes indsats for at forbedre sagsbehandlingen og borgerbetjeningen Indledning På mødet i Borgerrepræsentationen den 19. juni 2013 blev det besluttet at pålægge

Læs mere

Afprøvning af rør for radiatorvarme til svinestalde

Afprøvning af rør for radiatorvarme til svinestalde Afprøvning af rør for radiatorvarme til svinestalde Institution: Afprøvning udført for Videncenter for Dansk svineprduktion Forfatter: Jesper Kirkegaard Dato: 18.06.2010 Det er afgørende for grisenes tilvækst

Læs mere

Valg af kedelstørrelse i forhold til husets dimensionerende varmetab. Notat August 2003

Valg af kedelstørrelse i forhold til husets dimensionerende varmetab. Notat August 2003 Valg af kedelstørrelse i forhold til husets dimensionerende varmetab Notat August 03 DGC-notat 1/10 Valg af kedelstørrelse i forhold til husets dimensionerende varmetab Indledning I tilbudsmaterialet for

Læs mere

Valgkampens og valgets matematik

Valgkampens og valgets matematik Ungdommens Naturvidenskabelige Forening: Valgkampens og valgets matematik Rune Stubager, ph.d., lektor, Institut for Statskundskab, Aarhus Universitet Disposition Meningsmålinger Hvorfor kan vi stole på

Læs mere

Varmemåling og varmeregnskaber I etageejendomme og tætlav med fokus på lavenergibyggeri

Varmemåling og varmeregnskaber I etageejendomme og tætlav med fokus på lavenergibyggeri Varmemåling og varmeregnskaber I etageejendomme og tætlav med fokus på lavenergibyggeri Forsyningsselskab og varmeleverandør Varmefordelingsmålere og varmeenergimålere Korrektion for udsat beliggenhed

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Maple-oversigt til matematik B-niveau: Rungsted Gymnasium Definer en funktion og funktionsværdier. Tegn grafen for en funktion.

Maple-oversigt til matematik B-niveau: Rungsted Gymnasium Definer en funktion og funktionsværdier. Tegn grafen for en funktion. Maple-oversigt til matematik B-niveau: Rungsted Gymnasium 2011 Definer en funktion og funktionsværdier (1.1) 32 (1.2) (1.3) Tegn grafen for en funktion (2.1) 250 200 150 100 50 0 5 10 8 6 4 2 0 1 2 0 y

Læs mere

Smart Grids - fjernvarme inkluderer simulering, flow- og energimåling

Smart Grids - fjernvarme inkluderer simulering, flow- og energimåling Smart Grids - fjernvarme inkluderer simulering, flow- og energimåling Gennem anvendelse af centrale og decentrale VE-energikilder samt energilagring får kendskabet til flow og energiindhold i distributionssystemet

Læs mere

Note om Monte Carlo metoden

Note om Monte Carlo metoden Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at

Læs mere

Proces Styring STF-1 til BalTec Radial Nittemaskine med RC 20 STYRING

Proces Styring STF-1 til BalTec Radial Nittemaskine med RC 20 STYRING [Skriv tekst] [Skriv tekst] Proces Styring STF-1 til BalTec Radial Nittemaskine med RC 20 STYRING Brugsanvisning Introduktion Styringen og overvågningen af processer med henblik på kvalitetssikring er

Læs mere

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm. Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske

Læs mere

Ny metode bag læsertal i Index Danmark/Gallup

Ny metode bag læsertal i Index Danmark/Gallup Ny metode bag læsertal i Index Danmark/Gallup Parterne bag Index Danmark/Gallup har med virkning fra 1. januar 2009 implementeret en række ændringer til optimering af metoden bag læsertallene i Index Danmark/Gallup.

Læs mere

Estimation og usikkerhed

Estimation og usikkerhed Estimation og usikkerhed = estimat af en eller anden ukendt størrelse, τ. ypiske ukendte størrelser Sandsynligheder eoretisk middelværdi eoretisk varians Parametre i statistiske modeller 1 Krav til gode

Læs mere

Sammendrag PSO 342-041

Sammendrag PSO 342-041 Sammendrag PSO 342-041 Kompleksiteten i projektet har været relativ stor pga. de mange indgående komponenter, optimering heraf, og deres indbyrdes indflydelse på det samlede resultat. Herunder optimering

Læs mere

Bilag 1: Afstemning af Aarhus Kommunes energiforbrug og CO 2 -udledning

Bilag 1: Afstemning af Aarhus Kommunes energiforbrug og CO 2 -udledning Bilag 1: Afstemning af Aarhus Kommunes energiforbrug og CO 2 -udledning Resume Deloitte har foretaget en afstemning mellem de officielle historiske CO 2 -rapporteringer og det nutidige energiforbrug registreret

Læs mere

Fagplan for statistik, efteråret 2015

Fagplan for statistik, efteråret 2015 Side 1 af 7 M Fagplan for statistik, efteråret 20 Litteratur Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø (HK): Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave, ISBN 9788741256047 HypoStat

Læs mere

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik. Eksempel: Systolisk blodtryk

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik. Eksempel: Systolisk blodtryk Eksempel: Systolisk blodtryk Udgangspunkt: Vi ønsker at prædiktere det systoliske blodtryk hos en gruppe af personer. Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik.

Læs mere

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i

Læs mere

HVAD ER UNDERVISNINGSEFFEKTEN

HVAD ER UNDERVISNINGSEFFEKTEN HVAD ER UNDERVISNINGSEFFEKTEN Undervisningseffekten viser, hvordan eleverne på en given skole klarer sig sammenlignet med, hvordan man skulle forvente, at de ville klare sig ud fra forældrenes baggrund.

Læs mere

Ensidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese

Ensidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet stx11-matn/a-080501 Tirsdag den 8. maj 01 Forberedelsesmateriale til stx A Net MATEMATIK Der

Læs mere

Matematik A og Informationsteknologi B

Matematik A og Informationsteknologi B Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 6. december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og

Læs mere

Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning

Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning Side 1 af 6 Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning Litteratur: Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø: Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave,

Læs mere