Biologisk model: Epidemi

Transkript

1 C1.2 C.7 Se forklaring i Appendiks A 1, si. 9 Biologisk model: Epidemi af John V. Petersen 1. Biologisk model: Epidemi... si. 1 A. Appendiks A 1. Ligninger si. 1, forklaring... si. 9 A 2. Egenvektorer q 3... si. 1 A 3. Bevis for Sætning 1, si si. 11 A 4. Vise sammenhængen x t A t x... si. 12 Eksempel på model der beskriver udviklingen for en epidemi. Den kan brugeil at finde en estimeret fordeling for raske, syge, døde og helbredte i en population. Det gøres udfra en startfordeling for disse grupper. Til at løse problemet vil vi bruge matricer. Vi får igen brug for at diagonalisere en matrix. Desuden for vi brug for gentagne potensopløftninger af matricen. Og det er netop meget meget nemmere, når matricen er diagonaliseret. I en population betragtes en epidemi af en smitsom sygdom. Populationen tænkes opdelt uge for uge i 4 grupper: raske, syge, døde og helbredte (og, antager vi, dermed immune). Variable : raske i uge t : syge i uge t : døde i uge t h t : helbredte i uge t Antagelser En rask har 2 % risiko for at blive syg efter en uge En syg har 1 % risiko for at dø efter en uge En syg har 2 % chance for at være helbredt efter en uge Ligninger C1.8 C1.1 C h tc1.2 C h t Biologisk model: Epidemi af John V. Petersen side 1 / 12

2 Ligninger på matrixform C x tc1 C1 C h tc h t Kompakt notation x tc1 A x t Hvis A er diagonaliserbar, så ved vi, fra artikel a. ovenfor, at der findes en regulær matrix P så søjlerne i P netop er egenvektorerne hørende til egenværdierne for A. Matricen P diagonaliserer A, og P er netop basisskiftematricen hørende til basisskiftet fra den naturlige basiil basen bestående af egenvektorer for A. Vi finder først egenværdierne for matricen A, λ 1, λ 2, λ 3 og λ 4 q 1. Så kan vi diagonalisere A. A P D P K1 5 D P K1 A P samt de tilhørende egenvektorer Vi lader x t, og betragter modellen h t x tc1 A x t, hvor matricen A er givet ved A Modellen kan også skrives som x t A t x Biologisk model: Epidemi af John V. Petersen side 2 / 12

3 Vi skal nu bestemme egenværdier og egenvektorer for A, og diagonalisere A. Det vil vi så bruge til at forudsige, hvad der sker i det lange løb i epidemimodellen. Bestemmelse af egenværdier:.8 Kλ... det A -λ E det.2.7 Kλ Kλ Kλ Da ( A Kλ E er en nedre trekantsmatrix, gælder det A -λ E.8 Kλ) (.7 Kλ) (1. Kλ) 1. Kλ) og egenværdierne findeil λ 1.8, λ 2.7, λ 3 1. dobbeltrod Bestemmelse af egenvektorer: Vi vil finde egenvektorerne q 1 hørende til egenværdierne λ 1, λ 2, λ 3 og λ 4. Det gør vi ved at finde nulrummet for matricen AKλ I, dvs. løse AKλ I $x. x x 1, x 2, x 3, x 4 T For λ 1.8 : Vi finder nulrummet for AK.8 I K AK.8 I K Biologisk model: Epidemi af John V. Petersen side 3 / 12

4 K I den nederste række, ses det, at t$ K1 x 2 og t$1 x 4 I række 3, ses det desuden, at t$.5 x 3 Og i række 2, ses det så, at t$ K.5 x 1 Så egenvektorerne hørende til λ 1.8 e$q 1, hvor q 1 K.5, K1.,.5, 1. T Tilsvarende er egenvektorerne hørende til λ 2.7 e$q 2, hvor q 2., K1.5,.5, 1. T Egenvektorerne hørende til λ 3 1. e 1 $q 3 C t 2 $q 4, hvor q 3.,., 1.,. T.,.,., 1. T (Se udregning af q 3 i Appendiks A 2, si. 1) De fire egenvektorer q 1 er lineært uafhængige og dermed er A diagonaliserbar. Vi har A P D P K1 hvor og D P K1 A P P K.5... K1. K D Biologisk model: Epidemi af John V. Petersen side 4 / 12

5 Vi prøver lige om vi har regnet rigtigt: Vi udfører matrixmultiplikationen A P D P K1 P K1 K K K K2... P D P K1 K1. K K K K A dvs. A P D P K1 OK. Biologisk model: Epidemi af John V. Petersen side 5 / 12

6 Vi vil nu se på, hvad der sker i det lange løb i vores epidemimodel: Først vil jeg minde om følgende: Sætning 1 A t P D t P K1, fo R 1 (1) Se Bevis for sætning 1 i Appendiks A 3, si. 11 x er startfordelingen af raske, syge, døde og helbredte. Vi anvender matricen A t på x : Vi har fra tidligere x tc1 A x t. Når vi nu anvender matricen A t på x, får vi tilsvarende x t A t x. Se evt. i Appendiks A 4, si. 12 dvs. x t A t x P D t P K1 x D er en diagonalmatrix, så.8 t... D t..7 t t t lim t/n x t t/n lim A t x P 1 P K1 x, har brugt (1) 1 Dvs. x t A t x P 1 1 P K1 x fo /N Biologisk model: Epidemi af John V. Petersen side 6 / 12

7 K.5... K2... x t K1. K K x x r s d h $r C $s C1.$ d $r C $ s C1.$ h fo /N dvs.. x t $ r C $ s C1.$ d fo /N h t $ r C $ s C1.$ h Biologisk model: Epidemi af John V. Petersen side 7 / 12

8 Resultatet fra forrige side:. x t $ r C $ s C1.$ d fo /N h t $ r C $ s C1.$ h Eller: x t 1 3 $ r C s C d fo /N h t 2 3 $ r C s C h Bemærk, at efter denne model vil der efte uger (t er stor), være udelukkende helbredte (immune raske) eller døde. Der er ingen raske (ikke immune) som kan blive syge igen, og ingen der vedbliver at være syge. Dvs. alle i populationen er blevet smittet og blevet syge. Og efte uger er de enten døde eller helt helbredte (immune), ift. lige præcis denne smitsomme sygdom. En estimeret fordeling x t udfra en startfordeling x : Nu kan vi, udfra en startfordeling af raske, syge, døde og helbredte, nemt udregne hvilken fordeling af disse grupper der er, t uger efter starttidspunktet: r 1 Hvis x s d da gælder x t / 33 fo / N h h t 67 Dvs. hvis vi har en startfordeling med 1 raske, og ingen syge, døde eller helbredte, så vil der efte uger (hvo er stor) være 33 døde og 67 helbredte i denne population. Biologisk model: Epidemi af John V. Petersen side 8 / 12

9 A. Appendiks A 1. Ligninger si. 1, forklaring Ligningerne for ugen ( tc1 er er opstillet, så vi går ud fra en tilfældig uge t, og ser hvilken fordeling af raske, syge, døde og heldredte der så er en uge efter. Antagelser En rask har 2 % risiko for at blive syg efter en uge En syg har 1 % risiko for at dø efter en uge En syg har 2 % chance for at være helbredt efter en uge De helbredte, antager vi, er blevet immune. Hvis vi starter i uge, er ligningerne ret simple: r 1.8 r : s 1.2 r : d 1 : h 1 : Ved start uge, er alle i populationen raske. Ingen er syge, døde eller helbredte set ift. epidemien. Fra uge til uge 1, er der 2 % som bliver syge r 1.8 r Efter den første uge, er der kun sket det, at 2 % raske er blevet syge s 1.2 r Der er kun gået een uge fra start i uge. Alt der er sket, er at 2 % er blevet syge. Der er ikke gået en uge, hvor en syg kunne risikere at dø d 1 Som ovenfor: Der er ikke gået en uge mere, så nogen syge kan være blevet helbredt h 1 Men lad os nu se på, en tilfældig uge ( tc 1 med udgangspunkt i ugen tidligere, uge t : C1.8 : Der er 2 % risiko for at blive syg efter en uge. Dvs. der er 2 % færre raske en uge efter.8$ C1.2 C.7 : 2 % af de raske ugen før, er nu syge.2 Ud af de, som var syge i uge t, er der 2 % som er helbredt, og 1 % som er døde.7 C1.1 C De som var døde i uge t, er stadig døde Og der er 1 % af de syge i uge t, som er døde.1 h tc1.2 C h t De som var helbredt i uge t, er immune, og derfor stadig helbredt h t Og der er 2 % af de syge i uge t, som ν er helbredt /.2 Biologisk model: Epidemi af John V. Petersen side 9 / 12

10 A 2. Egenvektorer q 3 Egenvektorerne hørende til dobbeltroden λ 3 1. AK1. I.8 K K K K1. K K Det ses, umiddelbart at x 1 x 2, x x 1, x 2, x 3, x 4 T x 3 og x 4 skal blot vælges, så q 3 er lineært uafhængige. Og q 1 skal være lineært uafhængige. Så vi kan blot vælge q 3 til at være den "naturlige" basis e 3 q 3,, 1, Og vi vælgeilsvarende q 4 til at være e 4 q 4,,, 1 T. T. Egenvoktorerne q 1 er netop søjlerne i P. Så P K.5... K1. K Da P er en nedre trekantsmatrix er determinanten af P : det (P ) K.5 $ K1.5 $ s 5 at q 1 er lineært uafhængige. Så vi har fundet lineært uafhængige egenvektorer q 1 inklusiv q 3. Biologisk model: Epidemi af John V. Petersen side 1 / 12

11 A 3. Bevis for Sætning 1, si. 6 Sætning 1 Lad A være en n n matrix. Hvis A er diagonaliserbar, kan den skrives som: A P D P K1, hvor P er en regulær matrix, og D er en diagonalmatrix. Så gælder der, at A t P D t P K1, fo R 1, t 2 ;. Vi definerer forskriften: p t : A t P D t P K1, fo 2; p 1 : A 1 P D 1 P K1 (det er blot diagonaliseringen af A : A P D P K1 ) p tc1 : A tc1 P D tc1 P K1 Bevis: Hvis Beviset føres som et induktionsbevis. p 1 er sandt p t p tc1 [induktionsstarten] [induktionstrinnet] så gælder p t for alle t 2 ;. Hvis vi kan vise, at p 1 er sandt. Så antage at p t er sandt. Og derefter vise p t p tc Kan vi sluttelig konkludere, at p t er sandt for alle t 2 ;., p 1 : A 1 P D 1 P K1. Induktionsstarten. Vi ved, at p 1 er sandt. (A P D P K1 ) #, Nu antager vi: p t er sand. Vi skal så vise, at p t p t C1 Induktionsskridtet. Vi har givet: A t P D t P K1 5 P K1 A t P D t. (Vi ved også, at P K1 A P D. ) P D tc1 P K1 P D t D P K1 P P K1 A t P ( P K1 A P P K1 ( P P K1 A t P P K1 A P P K1 E A t E A E a A t A A tc1. # dvs. A tc1 P D tc1 P K1. [ Vi har vist: Givet p t p tc1 Vi konkluderer: p t er sandt for alle t 2 ;. # A a E A t E A E A t A E A t A E A t A Biologisk model: Epidemi af John V. Petersen side 11 / 12

12 A 4. Vise sammenhængen x t At x Vi har fra tidligere (si. 2, øverst): x tc1 A x t. ( 1 ) Nu starter vi med x og anvender matricen A på x : Hvis vi i ( 1 ) sætte, har vi: x 1 A x x 2 A x 1 A2 x dvs. x 2 A2 x x 3 A3 x,,, x t A t x Biologisk model: Epidemi af John V. Petersen side 12 / 12