Teoretisk og numerisk prisfastsættelse og hedging af optioner

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Teoretisk og numerisk prisfastsættelse og hedging af optioner"

Transkript

1 Vejleder: Bo Vad Steensen Mads Brandt 10. maj 2015

2 Indhold 1 Introduktion Baggrund Problemfelt Problemformulering Undersøgelsesspørgsmål Metode Afgrænsning Opgavens indhold Det teoretiske grundlag Optionsbegrebet Simple optioner Barriereoptioner Quantooptioner Stokastiske processer i kontinuert tid Markovegenskaben Wienerprocesser Itôprocesser Itôs lemma Funktioner af deterministiske variable Funktioner af stokastiske variable Prisfastsættelse af aedte aktiver De underliggende aktiver kan ikke handles De underliggende aktiver kan handles Risikoneutral prisfastsættelse De grundlæggende principper Den risikoneutrale verden Kobling til Monte Carlo simulering Prisfastsættelse ved brug af Black Scholes Kompileret den 10. maj 2015 Side 1 af 83

3 2.6.1 Black-Scholes løsningsformler Hedging under Black-Scholes Den lognormale egenskab for aktiekurser Prisfastsættelse af Quantooptioner Udledning af lukkede prisformler og hedgeparametre Risikoneutrale processer til brug for simulering Simulering og numeriske metoder Monte Carlosimulering Simuleret værdi af det aedte aktiv Simulering i Praksis Simulering af Geometrisk Brownsk bevægelse Direkte simulering Box-Müller-transformationen Korrelerede stokastiske processer Numerisk undersøgelse af den lognormale egenskab Simulering af hedgeparametre Beregning af hedgeparameter for simple optioner Hedgeparameter for quantooptioner Hedgeparametre for quantooptioner med knock-out Numerisk prisfastsættelse og hedging Prisfastsættelse af simple optioner Eksempel 1: Simple optioner - call og put Eksempel 2: Simple optioner - call og put Sammenfatning Prisfastsættelse af Quanto-optioner Eksempel 1: Quantooptioner - call og put Eksempel 2: Quantooptioner - call og put Betydningen af korrelation Prisfastsættelse af Quantooptioner med stiafhængigt payo Eksempel 1: Stiafhængige quantooptioner med knock-out Eksempel 2: Stiafhængige quantooptioner med knock-out Variation af grænsen for knock-out Undersøgelse af korrelation Empirisk undersøgelse af hedgestrategi Deltahedging af simple optioner Fremgangsmåde ved hedging og rebalancering Kompileret den 10. maj 2015 Side 2 af 83

4 5.1.2 Rebalancering af call Sammenfatning Deltahedging af quantooptioner uden stiafhængighed Fremgangsmåde ved hedging og rebalancering Rebalancering af quanto call-option Sammenfatning Deltahedging af quantooptioner med stiafhængighed Fremgangsmåde ved hedging og rebalancering Rebalancering af quanto call-option med knock-out Sammenfatning Afslutning Konklusion Perspektivering A Appendix 78 A.1 VBA-kode Kompileret den 10. maj 2015 Side 3 af 83

5 Kapitel 1 Introduktion 1.1 Baggrund Det er svært at beskæftige sig med nansielle derivater uden at berøre Black-Scholes og deres resultater fra 1973 [BS73], dels for bestemmelse af den teoretiske fair value af et nansielt aedt aktiv, men i lige så høj grad for hele formuleringen af den matematiske ramme, som i dag udgør et så grundlæggende fundament for nærmest enhver bestemmelse af priser på aedte instrumenter. Der er sket meget siden 1970'erne, hvor Black-Scholes-formlen var ny, og nansielle derivater var et nyt, spændende og uudforsket emneområde. Selvom området i dag næppe kan kaldes for uudforsket, er det på ingen måde blevet mindre spændende, hvilket i høj grad kan tilskrives udviklingen af en lang række stadig mere komplekse optioner sideløbende med uviklingen af numeriske metoder til bestemmelse af priser såvel som hedgestrategier. Graden af kreativitet og nytænkning med hensyn til udviklingen af nye og stadig mere komplekse nansielle instrumenter har været stor [PM98], hvorfor der i dag eksisterer en lang række forskellige instrumenter og optioner, herunder forskellige såkaldte stiafhængige optioner, for hvilke det endelige payo og dermed værdien afhænger ikke bare af slutværdien for det underliggende aktiv, men af den faktiske sti, som dette har bevæget sig. Mange af sådanne stiafhængige optioner er af en sådan kompleksitet, at pålidelig fastsættelse af pris i praksis alene kan ske ved hjælp af numeriske metoder, som netop er omdrejningspunktet for denne opgave. Numeriske metoder eksisterer i en række afskygninger og anvendes i høj grad til bl.a. prisfastsættelse og hedging inden for den nansielle sektor. Selvom den teoretiske ramme er givet ved de berømte Black-Scholes-udtryk, er prisfastsættelsen i praksis i langt højere grad en numerisk øvelse, hvor Black-Scholes primært indtager rollen som et nyttigt sammenligningsgrundlag til undersøgelse af nøjagtigheden af de anvendte værktøjer. Kompileret den 10. maj 2015 Side 4 af 83

6 1.1.1 Problemfelt Selvom opndelsen og den oprindelige udvikling af Monte Carlosimulering tilskrives fysikerne John von Neumann og Stanislaw Ulam i forbindelse med det hemmelige arbejde i Los Alamoslaboratorierne efter anden verdenskrig, spiller Monte Carlosimulering i dag en stor rolle inden for den moderne numeriske prisfastsættelse af derivater og tillige inden for en lang række andre områder af den anvendte matematik i øvrigt. Formålet med denne opgave er at belyse og forstå denne rolle ved navnlig at anvende Monte Carlosimulering til prisfastsættelse og bestemmelse af hedgestrategi både for simple plain vanilla-optioner, men tillige for mere komplekse såkaldte quantity adjusted options, quantooptioner, hvor payo sker i én valuta, mens det underliggende aktiv er i en anden valuta. Sigtet med opgaven er således at undersøge og vise, hvorledes Monte Carlosimulering kan implementeres i praksis alene ved anvendelse af en forholdsvis simpel platform bestående af Excel og VBA. Såvel anvendelse som praktisk implementering af Monte Carlosimulering i Excel og VBA fordrer et vist matematisk og teoretisk grundlag, som derfor vil udgøre en del af opgavens omfang. I relation hertil er det tillige ønsket med opgaven, at denne kombinerede teoretiske og praktiske fremgangsmåde vil bidrage til at illustrere samspillet mellem det teoretiske grundlag og den praktiske anvendelse og implementering Problemformulering Med udgangspunkt i det beskrevne problemfelt, herunder formål og ønsker, tager opgaven afsæt i følgende problemformulering: Der ønskes en teoretisk gennemgang af baggrund og grundlag for at foretage prisfastsættelse af komplekse, stiafhængige nansielle aedte aktiver ved anvendelse af Monte Carlosimulering, herunder numerisk prisfastsættelse samt undersøgelse af hedgestrategi og øvrige egenskaber for såkaldte quantooptioner, hvor payo afregnes i indenlandsk valuta, men bestemmes på baggrund af et underliggende aktiv i en udenlandsk valuta. De for opgaven relevante undersøgelsesspørgsmål foranlediget af problemformuleringen er oplistet i følgende afsnit Undersøgelsesspørgsmål i) Hvorledes kan princippet om risikoneutral prisfastsættelse af aedter aktiver illustreres gennem en udledning i generel form af den grundlæggende partielle dierentialligning for prisen på aedte aktiver, for hvilke de underliggende aktiver kan handles? ii) Hvad er de relevante hedgeparametre til brug for hedging af quantooptioner, og hvordan kan der udledes lukkede funktionsudtryk til beregning af pris såvel som hedgeparametre for quantooptioner uden direkte stiafhængighed i form af knock-in, knock-out eller lignende barriereelementer? Kompileret den 10. maj 2015 Side 5 af 83

7 iii) Hvad er de grundlæggende principper for prisfastsættelse af optioner ved Monte Carlosimulering, og hvorledes kan en numerisk prisfastsættelse af simple optioner såvel som komplekse quantooptioner implementeres i Excel og VBA? iv) Hvad er de ved anvendelse af simulering beregnede priser for en række ktive optioner, og hvad er betydningen af de forskellige markedsvariable som eksempelvis korrelationen mellem det underliggende aktieindeks og valutakursen for optionsværdien? v) Hvorledes kan en dynamisk hedgestrategi for simple optioner såvel som quantooptioner opstilles og undersøges med udgangspunkt i en praktisk implementering i Excel og VBA? 1.2 Metode Opgaven tager metodisk afsæt i en teoretisk behandlig af emnet for derefter at bevæge sig i retning af et fokus på implementering i praksis. Denne struktur er tydeligt reekteret i opgavens kapitelinddeling. Den første del af opgaven er med andre ord fokuseret på belysning og udledning af den centrale teori, mens de øvrige dele af opgaven fokuserer først på udvikling og implementering af et numerisk simuleringsværktøj i Excel med VBA, dernæst på præsentation og fortolkning af de beregnede, numeriske resultater og endelig en undersøgelse af nøjagtigheden i disse. Fokus i kapitlerne 2 og 3 er på udledning og belysning af de for opgaven centrale, matematiske elementer, hvorfor disse kapitler i overvejende grad omfatter matematiske udledninger såvel som etablering af det matematiske grundlag, som anvendes i opgavens mere praktisk orienterede dele. I de matematiske udledninger er anvendt en detaljeringsgrad, så de enkelte skridt tydeliggøres, ligesom der fokuseres på detaljeret at redegøre for de matematiske elementer, som ligger til grund for den praktiske implementering. Kapitlerne 4 og 5 omfatter en praktisk implementering af de teoretiske begreber fra opgavens to første kapitler. Der er anvendt en implementering i Excel og VBA, således at de teoretiske begreber er omsat til numeriske værktøjer, hvormed pris og hedgeparametre for ktive optioner kan beregnes. Metodisk fokuseres på præsentation såvel som fortolkning af de beregnede resultater, og derudover fungerer særligt kapitel 5 som en undersøgelse af nøjagtigeheden i de beregnede resultater, fordi de i kapitlet gennemførte hedgestrategier i nogen grad illustrerer, hvorvidt den ønskede hedging kan tilvejebringes på baggrund af de simulerede resultater, og dermed hvorvidt den gennemførte simulering er nøjagtig. 1.3 Afgrænsning Opgaven bevæger sig ikke ud over de for Black-Scholes-verdenens sædvanlige forudsætninger om friktionsfri markeder, ingen arbitragemuligheder, tilstedeværelse af kontinuerlige handelsmuligheder, ubegrænsede kortsalgsmuligheder osv. Opgaven er afgrænset således, at den alene Kompileret den 10. maj 2015 Side 6 af 83

8 beskæftiger sig med simple europæiske call- og put-optioner samt quantooptioner henholdsvis med og uden stiafhængighed. For så vidt angår stiafhængige quantooptioner er området afgrænset således, at alene quantooptioner med knock-out element er omfattet af simuleringer og beregninger. Alle simuleringer og beregninger i opgaven er baseret på ktive data og ktive værdier for de respektive markedsvariable, og opgaven er dermed ikke i nogen form baseret på virkelige markedsdata. Al simulering og beregning er foretaget i Excel og VBA, hvorfor der således ikke er anvendt eller søgt anvendt mere kraftfulde eller specialiserede simulerings- og beregningsværktøjer. For så vidt angår valget af numeriske metoder er opgaven begrænset til alene at omfatte Monte Carlosimulering, og opgaven beskæftiger sig således ikke med andre numeriske værktøjer til optionsprisfastsættelse som eksempelvis prisfastsættelse ved brug af binomialgitter eller endelige dierencers metode. 1.4 Opgavens indhold Opgavens struktur afspejler det forhold, at opgaven beskæftiger sig med prisfastsættelse og hedging af optioner ud fra et teoretisk såvel som numerisk perspektiv. De enkelte kapitler i opgaven er derfor sammensat med sigte på at skabe en for emnet naturlig progression med en indledende etablering af den forudsatte teoretiske begrebsverden, som herefter danner udgangspunkt for tilvejebringelse, præsentation og fortolkning af de numeriske analyser. Opgavens kapitel 2 tager udgangspunkt i besvarelse af undersøgelsesspørgsmålene i) og ii), som begge er en del af grundlaget for opgavens videre behandling af numeriske elementer. I relation til undersøgelsesspørgsmål i) omfatter kapitlet en udledning i generisk form af den fundamantale partielle dierentialligning for prisfastsættelse af nansielle aedte aktiver, som danner udgangspunkt for anvendelsen af det risikoneutrale værdiansættelsesprincip, når de underliggende aktiver kan handles. I relation til undersøgelsesspørgsmål ii) udledes de lukkede matematiske udtryk til beregning af pris for en quantooption og de relevante hedgeparametre til brug for beregning af hedge for en quantooption. Endvidere redegøres for teoretisk optionsprisfastsættelse ved hjælp af Black Scholes, som udgør en vigtig referenceramme til vurdering af pålideligheden af numeriske resultater tilvejebragt ved simulering. Opgavens kapitel 3 omfatter en indføring i principperne for Monte Carlosimulering og simulering af geometrisk brownsk bevægelse. I relation til undersøgelsesspørgsmål iii) illustreres således de principper og den fremgangsmåde, som ligger til grund for de i medfør af opgaven tilvejebragte simuleringsprogrammer og den konkrete implementering i Excel, som er anvendt til at udføre det numeriske arbejde præsenteret i kapitlerne 4 og 5. Opgavens kapitler 4 og 5 relaterer sig til undersøgelsesspørgsmålene iv) og v) og omfatter således præsentation og fortolkning af de numeriske resultater for optionspriser og hedgeparamtre, herunder en empirisk undersøgelse af de beregnede hedgestrategier. Kompileret den 10. maj 2015 Side 7 af 83

9 Kapitel 2 Det teoretiske grundlag Opgavens undersøgelsesspørgsmål afspejler en tilgang til emneområdet, hvor der indledes med en indføring i de relevante teoretiske elementer og udledning af en række resultater, som senere i opgaven skal lægges til grund for beregninger og analyser. Opgavens første kapitel udgør således dels en introduktion til den nødvendige begrebs- og metodeverden med hensyn til optioner, optionstyper og stokastiske processer, men omfatter tillige en behandling af opgavens undersøgelsesspørgsmål i) og ii), hvor en række centrale resultater i relation til prisfastsættelse og hedging af aedte aktiver udledes. 2.1 Optionsbegrebet Et derivat er et nansielt instrument, for hvilket værdien er aedt af udviklingen i et andet aktiv eller ere andre aktiver, de såkaldt underliggende aktiver. Derivater anvendes i vid udstrækning til risikoafdækning, spekulation såvel som forsikring, og der eksisterer en række forskellige type med forskellige egenskaber, struktur og underliggende aktiver, bl.a. forwards, futures, renteswaps og optioner. Denne opgave beskæftiger sig alene med optioner, hvilket grundlæggende kan karakteriseres som en ret til at købe eller sælge et bestemt aktiv. Såkaldte europæiske optioner er karakteriseret ved, at udnyttelsen af købs- eller salgsretten er knyttet til et på forhånd aftalt tidspunkt, optionens udløbstidspunkt, mens såkaldte amerikanske optioner kan udnyttes på et vilkårligt tidspunkt. Optioner kan overordnet inddeles i simple optioner henholdsvis i eksotiske optioner. De simple optioner omfatter call-optionen, som er en ret til at købe et aktiv, og put-optionen, som er en ret til at sælge et aktiv, og ses ofte betegnet som plain vanilla-optioner. En eksotisk option kan deneres lidt mindre specikt som enhver option, der ikke er enten en standardiseret put- eller call-option. Fordi optionen giver indehaveren en ret til enten køb eller salg af underliggende til en bestemt kurs, repræsenterer optionen en værdi, den såkaldte optionspræmie, hvormed optionen handles i markedet. Selv prisfastsættelsen af optioner, altså bestemmelse af optionens værdi, Kompileret den 10. maj 2015 Side 8 af 83

10 er det centrale tema for denne opgave, hvor fokus vil være på de såkaldte barriereoptioner, hvilket er en type af eksotisk option, hvor optionens payo og dermed værdi afhænger ikke bare af slutværdien for det underliggende aktiv, men også specikt af hvorvidt kursen undervejs har passeret en på forhånd deneret barriere Simple optioner De grundlæggende principper og egenskaber ved optioner kan illustreres ved hjælp af eksempler med de simple optioner, call og put. Call-optionen giver optionsindehaveren en ret til at købe det underliggende aktiv til en på forhånd deneret kurs, udnyttelseskursen 1, som betegnes K. Hvis den aktuelle kurs på det underliggende aktiv, θ, ved optionens udløb er højere end udnyttelseskursen, K, kan optionsindehaveren ved at udnytte optionen købe det underliggende aktiv til kursen K og efterfølgende sælge det i markedet til kursen θ med en deraf følgende fortjeneste på P = K θ, hvilket betegnes som optionens payo. Hvis det omvendte gør sig gældende, altså at kursen på underliggende ved udløb af optionen er under udnyttelseskursen, θ < K, vil optionsindehaveren ikke udnytte sin call-option, fordi det underliggende aktiv kan købes i markedet til en lavere kurs end den, som optionen giver ret til at købe med. Situationen er illusteret på gur 2.1, som viser det såkaldte payodiagram for en call-option med udnyttelseskurs K = 55. Payodiagrammet for en option angiver optionens payo ved udløb som funktion af kursen på underliggende. Som eksempel er det illustreret, hvorledes payo for call-optionen er på P = = 15 i det tilfælde, hvor θ = 70. Man siger, at call-optionen er in the money i dette tilfælde og out of the money i tilfældet θ < K. I tilfældet θ = K er optionen at the money. Figur 2.1: Illustration payodiagram for en call-option. Figur 2.2: Illustration payodiagram for en put-option. Situationen er omvendt for put-optionen, som er en ret til at sælge det underliggende aktiv til en på forhånd deneret kurs. Hvis den aktuelle kurs på det underliggende aktiv, θ, ligger under put-optionens udnyttelseskurs, K, ved udløbstidspunktet, kan optionsindehaveren købe det underliggende aktiv i markedet til kursen θ og efterfølgende sælge det til udnyttelseskursen ved at udnytte optionen og dermed opnå en fortjeneste på P = K θ. Omvendt vil optionsindehaveren ikke udnytte sin salgsret, hvis θ > K på udløbstidspunktet. Payodiagrammet 1 Udnyttelseskursen betegnes som oftes ved strike-kurs eller exercise-kurs. Kompileret den 10. maj 2015 Side 9 af 83

11 for en put-option med udnyttelseskurs K = 55 er illusteret på gur 2.2. Som eksempel er det illustreret, hvordan put-optionen har en værdi ved udløb på P = = 15 i det tilfælde, hvor det underliggende aktiv har værdien θ = 40. Put-optionen er in the money, når θ < K, out of the money, når θ > K og at the money, når θ = K. Betragtningerne omkring payo for call- og put-optionen kan sammenfattes matematisk i udtrykkene P call = max (θ K, 0) (2.1.1) P put = max (K θ, 0), (2.1.2) som er en ofte anvendt måde at angive payo ved udløb på og netop svarer til payodiagrammerne på gurerne 2.1 og 2.2. Det skal bemærkes, at payo ved udløb for call- og put-optioner alene afhænger af værdien af det underliggende aktiv på tidspunktet for optionens udløb og dermed ikke af det underliggende aktivs bevægelse undersvejs fra udgangspunktet ved udstedelse af og til udløb af den pågældende option. Det modsatte er gældende for såkaldte stiafhængige optioner, hvor optionens payof og dermed værdien som navnet antyder afhænger af det underliggende aktivs tilbagelagte sti Barriereoptioner Barriereoptioner er en type af stiafhængige optioner, hvor payo afhænger af, om kursen på underliggende har passeret en på forhånd deneret barrie. Er der eksempelvis tale om en såkaldt up-and-out-option, er optionens payo nul, hvis kursen på underliggende på noget tidspunkt har antaget en værdi, som er højere end den på forhånd denerede barriereværdi, hvilket gælder uanset slutværdien på kursen for underliggende. For eksempelvis en up-and-out call-option beregnes payo på samme måde som en plain vanilla-call, såfremt kursen ikke har været over barieren, mens payo er nul, hvis kursen har været over barrieren. Figur 2.3 illustrerer situationen for en up-and-out call-option, som starter at the money. Kursen på underliggende udvikler sig i eksemplet således, at den holder sig under barriereværdien og samtidig ender over udnyttelseskursen. I dette tilfælde har optionen derfor et payo større end nul. Figur 2.4 illustrerer et andet eksempel for den samme option, hvor kursen på underliggende igen slutter over udnyttelseskursen, men undervejs har bevæget sig over barrieren, hvorfor optionens payo bliver nul. Figurerne 2.3 og 2.4 udgør tilsammen et eksempel på karakteristika for en up-and-out-option, som nulstilles, hvis kursen på underliggende har bevæget sig over barrieren. Tilsvarende eksisterer såkaldte down-and-out-optioner, som er karakteriseret ved at blive nulstillet, hvis kursen på underliggende undervejs bevæger sig under barrieren. Optionerne up-and-out og down-and-out er såkaldte knock-out-optioner, som nulstilles, Kompileret den 10. maj 2015 Side 10 af 83

12 Figur 2.3: Eksempel på udvikling i underliggende, som ikke rammer barrieren, hvorfor knock-out-optionen ender med et payo større end nul. Figur 2.4: Eksempel på udvikling i underliggende, som krydser barrieren, hvorfor knock-out-optionen ender med et payo på nul. hvis kursen på underliggende bevæger sig over henholdsvis under den på forhånd fastsatte barriere. I modsætning hertil er de såkaldt up-and-in og down-and-in karakteriseret ved først at blive aktiveret, når kursen på underliggende har bevæget sig over henholdsvis under den på forhånd fastsatte barriere. De re typer af barriereoptioner kan sammenfattes ved: i) Up-and-out: Spotkursen 2 starter under barrieren, og optionen bliver deaktiveret (knocked out), såfremt kursen passerer barrieren. ii) Down-and-out: Spotkursen starter over barrieren, og optionen bliver deaktiveret (knocked out), såfremt kursen passerer barrieren. iii) Up-and-in: Spotkursen starter under barrieren, og optionen bliver først aktiveret (knocked in), såfremt kursen passerer barrieren. iv) Down-and-in: Spotkursen starter over barrieren, og optionen bliver først aktiveret (knocked in), såfremt kursen passerer barrieren. Der kan deneres yderligere typer, eksempelvis en up-and-in-option, som efter at være aktiveret i kraft af kursen på underliggendes passage af barrieren (nedefra og op) atter deaktiveres, hvis kursen igen skulle passere barrieren (oppefra og ned). For så vidt angår stiafhængige optioner beskæftiger denne opgave sig alene med typerne up-and-out og down-and-out Quantooptioner En quantooption er et aedt aktiv, hvor payo er bestemt af underliggende variable knyttet til én valuta, men udbetales i en anden valuta. Quantooptioner kan være attraktive for investorer eller spekulanter, som ønsker eksponering overfor et udenlandsk aktiv uden samtidig af være eksponeret over valutakursen. Hvis eksempelvis en europæisk investor investerer direkte i det amerikanske S&P 500-indeks, er investoren eksponeret overfor både udsving i selve indekset, men også i udsving i valutakursen EUR/USD. Sitationen kan illustreres fra den europæiske investors perspektiv ved at betemme den fremtidige værdi af investeringen. 2 Spotkursen betegner den aktuelle kurs på det underliggende aktiv. Kompileret den 10. maj 2015 Side 11 af 83

13 Indekset S&P 500 antages antages at have værdien θ S&P500 0 i USD til tidspunkt t 0, og ξ 0 bestemmer valutakursen som prisen på USD udtrykt i EUR til samme tidspunkt. Den europæiske investor veksler et beløb i EUR på hvilket giver et beløb i USD på Π EUR 0 = θ S&P500 0 e qt ξ 0, (2.1.3) Π USD 0 = ΠEUR ξ 0 = θ S&P500 0 e qt, (2.1.4) hvor T er investeringshorisonten, alstå længden af den periode, som investor ønsker at holde sin investering. Bemærk, at q betegner udbytteraten på S&P-indekset. Investoren kan med beløbet i USD på Π USD 0 købe e qt andele af S&P-indekset. Indekset betaler en kontinuerlig udbytterate, som investeres kontinuerligt i indekset. Ved udløb af investeringshorisonten er der samlet udbetalt og geninvesteret udbytte svarende til e qt, og investorens position i USD er dermed Π USD Den tilsvarende position i EUR bliver derfor 0 = θt S&P500 e qt e qt = θt S&P500. (2.1.5) Π EUR T = ξ T θ S&P500 T, (2.1.6) hvor ξ T er valutakursen hørende til det pågældnede tidspunkt. Dette viser tydeligt, at investeringens payo er inueret af såvel risiko i valutakursen som risiko i S&P-indekset. Det er her en vigtig pointe, at størrelsen θt S&P500, set fra en EUR-invetors perspektiv, ikke er prisen på et aktiv, fordi der ikke for en EUR-investor er nogen simpel måde at holde risikoen i θt S&P500 uden samtidig at holde valutakursrisikoen. Dette forhold skal vise sig væsentligt for prisfastsættelsen af quantootioner i afsnit 2.7. Som i eksemplet tages der i denne opgave udgangspunkt alene i et investeringspersperspektiv set fra en EUR-investor. En typisk quantooption er struktureret således, at payo bestemmes på baggrund af variable i den udenlandske valuta og herefter omregnes til payo i indenlandsk valuta ved brug af en på forhånd aftalt omregningskurs. En typisk call-quantooption har dermed payo givet ved P = ξ max ( θ T K F ; 0 ), (2.1.7) hvor θ T er kursen i USD 3 på underliggende ved udløb, K F er exercisekurs i USD, og ξ er den med quantooptionen aftalte, faste omregningskurs. Quantooptionen kan for EUR-investoren 3 I kraft er EUR-perspektivet associeres USD med F for foreign, mens EUR associeres med D for Domestic. Kompileret den 10. maj 2015 Side 12 af 83

14 dermed opfattes som en form for skjold mod valutakursrisikoen. Det fremgår, at payo af optionen alene afhænger af den på forhånd aftalte omregningskurs ξ og forskellen mellem kursen på underliggende og strikekursen ved udløbstidspunktet. Valutakursen indgår ikke i formlen for payo og har med andre ord ingen ummidelbar betydning for værdien, hvilket imidlertid skal vise sig alligevel at være tilfældet. Forklaringen skal her henføres til det forhold, at udstederen af quantooptionen jo er eksponeret overfor valutakursen, hvorfor denne usikkerhed prises ind i optionenspræmien. Quantooptioner med payo givet ved (2.1.7) er ikke den eneste type, og således eksisterer der eksempelvis også quantooptioner, hvor ξ erstattes med valutakursen til udløbstidspunktet, ξ T, i beregningen af payo. I denne opgave fokuseres der alene på quantooptioner af typen, hvor payo er givet ved (2.1.7). 2.2 Stokastiske processer i kontinuert tid En af de grundlæggende forudsætninger for modellering af priser på nansielle aktiver er det forhold, som blev opdaget tidligt i det tyvende århundrede [Spa14], nemlig at den fremtidige kurs på et aktiv er uafhængig af den historiske kursudvikling. Med andre ord er al historisk information indbygget i den aktuelle kurs, og kursudviklingen i går kan ikke anvendes til at forudsige morgendagens kursudvikling, fordi kursudviklingen synes at omfatte et stokastisk element. Som illustreret på gur 2.5 og gur 2.6 er dette imidlertid ikke det samme som, Figur 2.5: Udviklingen i aktiekurs fra april 2013 til april 2015 på A.P. Møller Mærsk A/S, B-aktie. Egen tilvirkning pba. skærmdump fra Nordeas Netbank. Figur 2.6: Udviklingen i aktiekurs fra april 2013 til april 2015 på Novo Nordisk A/S, B-aktie. Egen tilvirkning pba. skærmdump fra Nordeas Netbank. at den historiske kursudvikling ikke bibringer nogen information overhovedet. Den historiske kursudvikling udgør nemlig en tidsserie, som kan danne grundlag for statistisk estimation af volatilitet og forventet drift for det pågældende aktiv. På baggrund af den historiske information er det således muligt at sige noget om den forventede, fremadrettede volatilitet 4 og den forventede, fremadrettede drift på længere sigt, selvom den historiske information ikke kan anvendes til et eliminere eller påvirke det stokastiske element i kursudviklingen. Sandsynlig- 4 I praksis er volatiliteten ikke konstant over tid, hvorfor den fremtidige volatilitet ikke uden videre kan antages at være lig den historiske. Ikke desto mindre kan den historiske volatilitet i et stabilt marked være en udmærket proxy for den fremtidige volatilitet. Kompileret den 10. maj 2015 Side 13 af 83

15 heden for, at morgendagens aktiekurs går op, synes med andre ord at være den samme som sandsynligheden for, at morgendagens aktiekurs går ned, hvilket gælder uanset niveauet for den aktuelle kurs og uanset aktiekursens bevægelse i går Markovegenskaben Ovenstående diskussion indikerer, at aktiekurser kan modelleres som en proces, der er sammensat af to led: Et deterministisk led, som afhænger af tiden og bibringer en konstant tilvækst i én bestemt retning, og et stokastisk led, som er uforudsigeligt og bibringer en tilvækst, som er tilfældig 5 for så vidt angår størrelse og retning. En stokastisk proces siges at have den såkaldte Markovegenskab, hvis sandsynlighedsfordelingen for fremtidige tilstande betinget af alle fortidige tilstande og den aktuelle tilstand alene afhænger af den aktuelle tilstand og altså ikke af den specikke sekvens af fortidige tilstande, som processen har gennemløbet. Med andre ord er en proces med Markovegenskaben karakteriseret ved, at enhver tilstand rummer al fortidig information, og samtidig, at det næste (fremtidige) skridt i processen ikke afhænger af denne information. Markovegenskaben kan på simpel vis illustreres med processen 6 x t+1 = x t + ε Binomial t, (2.2.1) hvor ε Binomial t er en binomialfordelt stokastisk variabel, som kan antage værdierne +1 eller 1, begge med sandsynlighed p = 1 2. Til tidspunktet t er al information om de tidligere tidspunkter indeholdt i x t, og samtidig er værdien af ε t uafhængig af denne information. Haves eksempelvis x 10 = 7, er der samme sandsynlighed, nemlig p = 1 2, for de to mulige udfald x 11 = 8 eller x 11 = 6. Med andre ord gælder det for en variabel med Markovegenskaben, at alene den aktuelle værdi er relevant for den fremtidige udvikling: Den historiske udvikling, og hvorledes den aktuelle værdi i øvrigt er fremkommet, er uden betydning for den fremadrettede udvikling. Markovegenskaben er konsistent med hypotesen om eciente markeder, der siger, at markedet er ecient, og at kursen på en aktie til enhver tid afspejler al historisk information såvel som forventninger til fremtiden. Signikante kursændringer kan således alene foranlediges af ny information, som jo netop er karakteriseret ved at blive oentliggjort efter et ikke nærmere bestemt mønster, dvs. tilfældigt Wienerprocesser En generaliseret Weinerproces er en stokastisk proces på formen dθ = α dt + β dz, (2.2.2) 5 Tilfældig, men dog bestemt af en underliggende sandsynlighedsfordeling. 6 Processen er egentlig diskret, men er medtaget af hensyn til illustration. Kompileret den 10. maj 2015 Side 14 af 83

16 hvor α angiver driften pr. tidsenhed, og β 2 er variansen pr. tidsenhed, dvs. β er standardafvigelsen (volatiliteten) pr. kvadratroden af en tidsenhed. Under ét betegnes α dt som driftsleddet, mens β dz betegnes som diusionsleddet. En generaliseret Wienerproces betegnes også som en Brownsk bevægelse med drift [Bec11]. Størrelsen dz er en Weinerproces, som er karakteriseret ved dz = ε dt, (2.2.3) og det vil i det følgende fremgå, hvorledes en sådan Weinerproces udgør grundelementet for alle processer i denne opgave. Størrelsen ε er nu en standardnormalfordelt variabel og dermed følger det, at middelværdien er nul [ E [dz] = E ε ] dt = dt E [ε] = 0. (2.2.4) Videre kan det vises, at variansen er Var [dz] = dt, (2.2.5) som det også fremgår af [Hul12a]. Dermed er endelig standardafvigelsen givet ved dt. For den generaliserede Weinerproces (2.2.2) haves dermed for henholdsvis forventningsværdi og varians E [dθ] = α dt (2.2.6) Var [dθ] = β 2 dt. (2.2.7) Figur 2.7 illustrer sammenhængen mellem en Weinerproces dz og den generaliserede Weinerproces α dt + β dz, hvor driftskomponenten fremgår. Figur 2.7: Illiustration af sammenhængen mellem en Weinproces, dz, og den generaliserede Weinerproces dx = α dt + β dz. Konstanterne er valgt med værdierne α = 0, 20 og β = 1, Itôprocesser I den generaliserede Weinerproces (2.2.2) er parametrene α og β konstante. Denne proces er således et specialtilfælde af en mere generel type af proceser, Itôprocesser, hvor parametrene Kompileret den 10. maj 2015 Side 15 af 83

17 α og β kan afhænge af såvel tiden, t, som af den underliggende variabel, θ. En Itôproces tager formen dθ = α(θ, t) dt + β(θ, t) dz. (2.2.8) I det mere generelle tilfælde haves n stokastiske variable θ 1, θ 2,, θ n, og en Itôproces kan i sin mest generelle form udtrykkes som m dθ i = α i dt + β ik dz k, (2.2.9) hvor hver enkelt af parametrene α i og β i kan være funktioner af alle parametre θ i og t, således at k=1 α i = α i (θ 1, θ 2,, θ n, t), β ik = β ik (θ 1, θ 2,, θ n, t). (2.2.10) Den generaliserede Itôproces (2.2.9) danner udgangspunkt for Itôs lemma i sektion og for udledningen i afsnit (2.4) af den fundamentale partielle dierentialligning, som beskriver udviklingen i pris for aedte aktiver. 2.3 Itôs lemma Itôs lemma er et centralt matematisk resultat, der udtrykker den innitesimale ændring dφ i en funktion φ af stokastiske variable θ 1, θ 2,, θ n som en funktion af innitesimale ændringer i de selvsamme underliggende variable. Itôs lemma kan således opfattes som en analogi til Taylors teorem for funktioner af stokastiske variable, idet Itôs lemma er for funktioner af stokastiske variable, hvad Taylors teorem er for funktioner af deterministiske variable Funktioner af deterministiske variable For en deterministisk funktion f = f(x 1, x 2,, x p ) af p variable x 1, x 2, x p er den innitesimale tilvækst i f givet som dierentialet df = f x 1 dx 1 + f x 2 dx f x p dx p, (2.3.1) hvilket blot er den sædvanlige Taylorekspansion til første orden 7. Dierentialet angiver dermed sammenhængen mellem den innitesimale ændring df i funktionen f og de respektive, inni- 7 Per denition består den fuldstændige Taylorekspansion af uendeligt mange led. Idet dierentialet er en innitesimal størrelse, bortses imidlertid fra alle led højere end første orden. Kompileret den 10. maj 2015 Side 16 af 83

18 tesimale ændringer dx 1, dx 2,, dx p i de underliggende variable. Dermed haves eksempelvis df = f f dx + dt, (2.3.2) x t for en funktion af to variable x og t, mens det simple tilfælde for funktionen f(x) af én variabel reducerer til og dermed den sædvanlige dierentialkvotient Funktioner af stokastiske variable df = f dx (2.3.3) x f (x) = df dx. (2.3.4) Taylors teorem kan anvendes på funktioner af deterministiske variable, men holder ikke på funktioner af stokastiske variable. For en funktion φ(θ 1, θ 2,, θ n ) af n stokastiske variable kan Taylors teorem (2.3.1) såldes ikke anvendes, og i stedet må den innitesimale ændring dφ udtrykkes ved Itôs lemma. Med udgangspunkt i stokastiske processer af formen (2.2.9) er Itôs lemma i sin mest generelle form [Hul12b] givet ved n dφ = φ α i + φ θ i t i=1 n n i=1 j=1 2 φ θ i θ j m k=1 l=1 m β ik β jl ρ kl dt + n i=1 φ θ i m β ik dz k, k=1 (2.3.5) hvor ρ kl er korrelationen mellem de stokastiske komponenter dz k og dz l. Det simple specialtilfælde, hvor φ alene er en funktion af én stokastisk variabel θ, svarer til n = 1 og m = 1, således at (2.3.5) reducerer til hvor dφ = [ φ θ α + φ t ] φ 2 θ 2 β2 dt + φ β dz, (2.3.6) θ α 1 α, β 11 β. (2.3.7) Udtrykket (2.3.6) svarer altså til tilfældet, hvor φ alene er en funktion af den stokastiske variabel θ, som følger den generaliserede Itôproces (2.2.8). Værdien af et aedt nansielt instrument er en funktion dels af tiden og dels af værdien af det underliggende aktiv. Værdien af et underliggende aktiv er en funktion af den eller de underliggende stokastiske processer, og dermed er værdien af det aedte nansielle instrument Kompileret den 10. maj 2015 Side 17 af 83

19 i sig selv en funktion af tiden og af de underliggende stokastiske processer. 2.4 Prisfastsættelse af aedte aktiver I det følgende gennemgås prisfastsættelse af aedte aktiver, som er et helt centralt tema for denne opgave. I henhold til undersøgelsesspørgsmål i) er formålet at udlede en generel form for den partielle dierentialligning, som bestemmer prisen på et aedt aktiv. Resultatet afhænger af den grundlæggende antagelse om, hvorvidt de underliggende aktiver kan handles eller ej. Antagelsen er af stor betydning, og udledningen foretages derfor i begge de to tilfælde, hvorved betydningen tydeliggøres De underliggende aktiver kan ikke handles Udledningen tager udgangspunkt i n stokastiske variable θ 1, θ 2,, θ n, som hver følger en proces af formen (2.2.9). Der er således i alt m stokastiske komponenter, og der tages derfor udgangspunkt i en portefølje bestående af m + 1 handlede aedte aktiver, for hvilke priserne afhænger af de underliggende stokastiske variable. Priserne på de m+1 aedte aktiver betegnes φ 1, φ 2,, φ n, φ m+1. Ved anvendelse af Itôs lemma (2.3.5) er prisen på det s'te aktiv bestemt ved n dφ s = i=1 φ s θ i α i + φ s t n i=1 j=1 n 2 φ s θ i θ j m k=1 l=1 m β ik β jl ρ kl dt + Af hensyn til at simplicere notationen kan indføres denitionerne µ s 1 φ s σ ks 1 φ s n i=1 n i=1 hvormed (2.4.1) kan udtrykkes som φ s θ i α i + φ s t n i=1 j=1 n 2 φ s θ i θ j m k=1 l=1 n i=1 φ s θ i m β ik dz k. k=1 (2.4.1) m β ik β jl ρ kl (2.4.2) φ s θ i β ik, (2.4.3) dφ s = µ s φ s dt + m σ ks φ s dz k. (2.4.4) Udgangspunktet er herefter at betragte en portefølje sammensat af de m + 1 aedte aktiver Π = m+1 s=1 k=1 γ s φ s, (2.4.5) Kompileret den 10. maj 2015 Side 18 af 83

20 hvor γ s angiver mængden af aktiv s i porteføljen. Den innitesimale ændring i porteføljen er givet ved dπ = m+1 s=1 m+1 = s=1 γ s dφ s m+1 γ s µ s φ s dt + s=1 γ s m k=1 σ ks φ s dz k. (2.4.6) Det første led er deterministisk, mens det sidste led er stokastisk, idet det omfatter de stokastiske komponenter dz 1, dz 2, dz m. Det sidste led kan skrives som m+1 s=1 γ s m k=1 σ ks φ s dz k = m k=1 m+1 dz k s=1 γ s σ ks φ s, (2.4.7) og det fremgår, hvorledes de respektive stokastiske komponenter kan elimineres uafhængigt af indeks k, såfremt de respektive γ-værdier opfylder m+1 s=1 γ s σ ks φ s = 0. (2.4.8) Udtrykket (2.4.8) skal være opfyldt uafhængigt af indeks k og udgør derfor ligningssystemet γ 1 σ 11 φ 1 + γ 2 σ 12 φ γ m σ 1m φ m + γ m+1 σ 1,m+1 φ m+1 = 0 (2.4.9) γ 1 σ 21 φ 1 + γ 2 σ 22 φ γ m σ 2m φ m + γ m+1 σ 2,m+1 φ m+1 = 0 (2.4.10) γ 1 σ m1 φ 1 + γ 2 σ m2 φ γ m σ mm φ m + γ m+1 σ m,m+1 φ m+1 = 0 (2.4.11) bestående af m ligninger. Idet de stokastiske komponenter dz k er elimineret, er den innitesimale ændring i porteføljen givet ved dπ = m+1 s=1 γ s µ s φ s dt, (2.4.12) og det fremgår, hvorledes porteføljen er risikofri. Ud fra et argument om ingen arbitrage må det procentuelle afkast af en risikofri portefølje være præcis den risikofri rente r, og det i porteføljen investerede beløb Π må derfor over det innitesimale tidinterval dt generere et afkast dπ = rπ dt. (2.4.13). Kompileret den 10. maj 2015 Side 19 af 83

21 Heraf følger det ved indsættelse af (2.4.12) og (2.4.5), at m+1 s=1 γ s µ s φ s dt = r m+1 s=1 γ s φ s dt. (2.4.14) Såfremt højresiden i (2.4.12) var større end r dπ dt, kunne en investor generere en risikofri prot ved at låne et beløb Π til den risiko rente og investere det i porteføljen, som jo i dette tilfælde giver et risikofrit afkast større end den risikofri rente, dπ > rπ dt. Tilsvarende kunne en investor, såfremt højresiden i (2.4.12) var mindre end r dπ dt, generere en risikofri prot ved at gå kort i porteføljen og indsætte Π til den risikofri rente på en bankkonto. Ud fra den grundlæggende antagelse om, at markedet er fri for arbitrage, kan den risikofri portefølje dermed ikke generere et afkast forskelligt fra en investering til den risikofri rente, og dermed må (2.4.13) være opfyldt. Fra (2.4.14) følger som kan ekspanderes til m+1 s=1 γ s φ s (µ s r) = 0, (2.4.15) γ 1 φ 1 (µ 1 r) + γ 2 φ 2 (µ 2 r) + + γ m φ m (µ m r) + γ m+1 φ m+1 (µ m+1 r) = 0. (2.4.16) Tilsammen udgør (2.4.8) og (2.4.15) således et ligningssystem med m + 1 homogene ligninger i de respektive γ s 'er. Hver af de m ligninger 8 (2.4.8) kan multipliceres med en koeecient λ k, uden at løsningen ændres, og dermed følger m+1 λ k s=1 γ s σ ks φ s = 0, (2.4.17) hvilket svarer til ligningssystemet for k = 1, 2,..., m med m ligninger λ 1 (γ 1 σ 11 φ 1 + γ 2 σ 12 φ γ m σ 1m φ m + γ m+1 σ 1,m+1 φ m+1 ) = 0 (2.4.18) λ 2 (γ 1 σ 21 φ 1 + γ 2 σ 22 φ γ m σ 2m φ m + γ m+1 σ 2,m+1 φ m+1 ) = 0 (2.4.19). λ m (γ 1 σ m1 φ 1 + γ 2 σ m2 φ γ m σ mm φ m + γ m+1 σ m,m+1 φ m+1 ) = 0. (2.4.20) Addition af ligningerne (2.4.17) med k = 1, 2,..., m giver m k=1 m+1 λ k 8 Summationsindkes k løber fra k = 1 til k = m. s=1 γ s σ ks φ s = 0 (2.4.21) Kompileret den 10. maj 2015 Side 20 af 83

22 og dermed m+1 s=1 Det følger nu af (2.4.15) og (2.4.22), at γ s φ s m k=1 λ k σ ks = 0. (2.4.22) m+1 s=1 γ s φ s m k=1 λ k σ ks = m+1 s=1 γ s φ s (µ s r), (2.4.23) og dermed m+1 s=1 [ m ] γ s φ s λ k σ ks (µ s r) = 0. (2.4.24) k=1 For at de to udtryk (2.4.8) og (2.4.15) er konsistente, må det derfor være opfyldt for ethvert s, at m µ s r = λ k σ ks. (2.4.25) Udledningen af dette resultat kan tydeliggøres ved at ekspandere venstresiden i (2.4.23) k=1 γ 1 φ 1 (λ 1 σ 11 + λ 2 σ λ m σ m1 ) + γ 2 φ 2 (λ 1 σ 12 + λ 2 σ λ m σ m2 ) + + γ m φ m (λ 1 σ 1m + λ 2 σ 2m + + λ m σ mm ) + γ m+1 φ m+1 (λ 1 σ 1,m+1 + λ 2 σ 2,m λ m σ m,m+1 ) = 0 (2.4.26) og sammenholde koecienter mellem (2.4.16) og (2.4.26), som udgør venstresiden henholdsvis højresiden af (2.4.23). Heref fremgår det, at µ 1 r = λ 1 σ 11 + λ 2 σ λ m σ m1 (2.4.27) µ 2 r = λ 1 σ 12 + λ 2 σ λ m σ m2 (2.4.28). µ m r = λ 1 σ 1m + λ 2 σ 2m + + λ m σ mm (2.4.29) µ m+1 r = λ 1 σ 1,m+1 + λ 2 σ 2,m λ m σ m,m+1, (2.4.30) hvilket er konsistent med det generelle resultat (2.4.25). Faktoren λ k betegner markedsprisen på risiko for den stokastiske komponent dz k, og re- Kompileret den 10. maj 2015 Side 21 af 83

23 sultatet (2.4.25) er centralt, idet det viser, hvorledes sammenhængen mellem det forventede afkast µ s for det aedte aktiv φ s, den risikofri rente r, standardafvigelse for alle aedte aktiver og markedsrisikopræmie for alle stokastiske komponenter er ens for alle aedte aktiver. Dette kan med udgangspunkt i (2.4.25) sammenfattes som µ 1 r = m λ k σ k1 k=1 µ 2 r = = m λ k σ k2 k=1 µ q r, (2.4.31) m λ k σ kq k=1 hvor m angiver antallet af stokastiske komponenter dz k, og q angiver antallet af aedte aktiver Den fundamentale partielle dierentialligning Den centrale relation (2.4.25) danner udgangspunktet for udledning af den fundamentale partielle dierentialligning, som værdien af alle aedte aktiver må følge, og som ligger til grund for princippet om risikoneutral prisfastsættelse af aedte aktiver. 1 φ s Ved indsættelse af (2.4.2) og (2.4.3) i (2.4.25) følger det, at n i=1 og dermed φ s θ i α i + φ s t n i=1 j=1 n 2 φ s θ i θ j m k=1 l=1 m β ik β jl ρ kl r = m k=1 λ k 1 φ s n i=1 φ s θ i β ik, (2.4.32) n i=1 φ s θ i α i + φ s t n i=1 j=1 n 2 φ s θ i θ j m m β ik β jl ρ kl rφ s = k=1 l=1 n i=1 φ s θ i m λ k β ik, (2.4.33) k=1 som endelig kan omformes til n i=1 φ s θ i ( α i + ) m λ k β ik k=1 + φ s t n i=1 j=1 n 2 φ s θ i θ j m m β ik β jl ρ kl rφ s = 0. (2.4.34) k=1 l=1 Dette er den fundamentale partielle dierentialligning, som beskriver udviklingen af prisen på ethvert handlet, aedt aktiv, når de underliggende aktiver ikke kan handles. Det bemærkes, at dierentialligningen indeholder det risikojusterede driftsled m ˆα i α i λ k β ik, (2.4.35) k=1 og at værdiansættelsen af det aedte aktiv φ s dermed afhænger af prisen på markedsrisiko for de underliggende stokastiske komponenter såvel som af de respektive driftsled α i i de underliggende processer θ i. Kompileret den 10. maj 2015 Side 22 af 83

24 Specialtilfælde med ét underliggende aktiv og én stokastisk komponent Til illustration betragtes i det følgende det simple specialtilfælde med kun ét underliggende aktiv og én stokastisk komponent, hvilket svarer til den stokastiske proces dθ = α dt + β dz. (2.4.36) Dette tilfælde svarer dermed til værdierne n = 1 og m = 1 for summationsindeks i og k i (2.4.34), og den fundamentale partialle dierentialligning reducerer således til φ s θ (α λβ) + φ s t φ 2 2 θ 2 β2 rφ s = 0. (2.4.37) Dette er konsistent med resultaterne i henholdsvis [Jon06] 9 og [Bol97] De underliggende aktiver kan handles Der tages igen udgangspunkt i n stokastiske variable θ 1, θ 2,, θ n, som hver følger en proces af formen (2.2.9), hvorfor der således er i alt m stokastiske komponenter. Idet det antages, at de underliggende aktiver kan handles, tages der nu udgangspunkt i en portefølje bestående af n + 1 aktiver, hvor de første n aktiver er de underliggende aktiver, mens aktiv nummer n + 1 er et aedt aktiv, for hvilket prisen afhænger af de underliggende stokastiske variable. Af notationshensyn anvendes igen φ s for alle aktiver, det vil sige både de underliggende og det aedte aktiv. Notationen er således, at φ s = θ s for s = 1, 2,..., n (2.4.38) φ s = φ q for s = n + 1. (2.4.39) Som ovenfor er prisen på det aedte aktiv givet ved anvendelse af Itôs lemma (2.3.5) som n dφ q = i=1 φ q θ i α i + φ q t n i=1 j=1 n 2 φ q θ i θ j m k=1 l=1 m β ik β jl ρ kl dt + n i=1 φ q θ i m β ik dz k. k=1 (2.4.40) 9 Der anvendes en anderleders denition af markedsprisen på risiko, hvorfor risikokorrektionsleddet i den fundamentale partialle dierentialligning tager en lidt anderledes form. 10 Der anvendes en anden denition af α og β, hvorfor risikokorrektionsleddet i den partielle dierentialligning tager en lidt anderledes form. Kompileret den 10. maj 2015 Side 23 af 83

25 Med anvendelse af denitionerne for s = 1, 2,..., n samt (for s = n + 1 = q) µ s µ q = 1 φ q σ ks σ kq = 1 φ q n i=1 n i=1 φ q θ i α i + φ q t µ s α s φ s (2.4.41) σ ks β sk φ s, (2.4.42) n i=1 j=1 n 2 φ q θ i θ j m k=1 l=1 m β ik β jl ρ kl (2.4.43) φ q θ i β ik, for s = n + 1, (2.4.44) kan de relevante processer for de n underliggende aktiver såvel som for det ene aedte aktiv skrives samlet under ét som dφ s = µ s φ s dt + φ s m k=1 σ ks dz k, (2.4.45) hvor det altså er vigtigt at huske notationen; at s = 1, 2,..., n repræsenterer de underliggende aktiver, mens s = n + 1 = q repræsenterer det aedte aktiv. Fremgangsmåden i udledningen svarer herefter til fremgangsmåden ovenfor for underliggende aktiver, der ikke kan handles. Der tages dermed udgangspunkt i en portefølje n+1 Π = γ s φ s, (2.4.46) s=1 hvor γ s angiver mængden af aktiv s i porteføljen. Den innitesimale ændring i porteføljen bliver ( n+1 m ) dπ = γ s µ s φ s dt + φ s σ ks dz k, (2.4.47) s=1 og de stokastiske led kan elimineres for ethvert k, såfremt γ s -faktorerne opfylder og dermed m k=1 dz k n+1 k=1 γ s φ s σ ks = 0, (2.4.48) s=1 n+1 γ s φ s σ ks = 0. (2.4.49) s=1 Kompileret den 10. maj 2015 Side 24 af 83

26 Idet de stokastiske led er eliminieret, bliver den innitesimale porteføljeændring risikofri n+1 dπ = γ s µ s φ s dt, (2.4.50) og porteføljen må opfylde s=1 dπ = rπ dt, (2.4.51) hvor de samme argumenter om ingen arbitrage er anvendt, således at en risikofri portefølje i et marked uden arbitragemuligheder nødvendigvis må generere et afkast svarende til den risikofri rente. Dermed følger det ved indsættelse af (2.4.46) og (2.4.50) i (2.4.51), at og dermed n+1 n+1 γ s µ s φ s dt = r γ s φ s dt (2.4.52) s=1 s=1 n+1 γ s φ s (µ s r) = 0. (2.4.53) I (2.4.49) haves en frihedsgrad i k-indekset, hvorfor summationen s=1 m k=1 γ s φ s σks = 0 (2.4.54) λ k k+1 kan indføres uden at ændre løsningerne til (2.4.49). Dermed må det gældet, at s=1 n+1 γ s φ s (µ s r) = m λ k n+1 s=1 k=1 s=1 s=1 k=1 γ s φ s σks, (2.4.55) og videre at ] n+1 m γ s φ s [(µ s r) λ k σ ks = 0. (2.4.56) Konsistens mellem (2.4.49) og (2.4.53) for ethvert s kræver dermed, at m µ s r = λ k σ ks. (2.4.57) k=1 Kompileret den 10. maj 2015 Side 25 af 83

27 Ved indsættelse af denitionerne (2.4.43) og (2.4.44) for s = n + 1 = q følger 1 φ q n i=1 φ q θ i α i + φ q t n i=1 j=1 n 2 φ q θ i θ j m k=1 l=1 m β ik β jl ρ kl r = m k=1 λ k 1 φ q n i=1 φ q θ i β ik, (2.4.58) og dermed n i=1 φ q θ i ( α i ) m λ k β ik k=1 + φ q t n i=1 j=1 n 2 φ q θ i θ j m m β ik β jl ρ kl rφ q = 0. (2.4.59) k=1 l=1 Denne partielle dierentialligning er umiddelbart identisk med den tilsvarende ligning (2.4.34) hørende til det tilfælde, hvor de underliggende aktiver ikke kan handles. I nærværende tilfælde, hvor de underliggende aktiver kan handles, skal dog bemærkes følgende væsentlige sammenhæng. Ved indsættelse af denitionerne (2.4.41) og (2.4.42) for s = 1, 2,..., n i (2.4.57) følger det, at og dermed α s θ s r = α s m k=1 λ k β sk θ s, (2.4.60) m λ k β sk = rθ s. (2.4.61) k=1 Indsættelse af dette resultat med indeks i i stedet for indeks s i (2.4.59) giver endelig n i=1 φ q θ i rθ i + φ q t n i=1 j=1 n 2 φ q θ i θ j m m β ik β jl ρ kl rφ q = 0. (2.4.62) k=1 l=1 Dette er den fundamentale partialle dierentialligning, som beskriver udviklingen af prisen på et aedt aktiv, når de underliggende aktiver kan handles. Dierentiallignen svarer altså til (2.4.34) i det tilfælde, hvor de underliggende aktiver kan handles. Det er centralt at bemærke, at det risikojusterede driftsled ˆα i er erstattet af rθ i, altså at forskellen mellem (2.4.34) og (2.4.62) alene er m α i λ k σ ki rθ i. (2.4.63) k=1 Det er en helt central observation, at den partielle dierentialligning ikke afhænger af driftsparametrene for de underliggende ativer. Dette betyder nemlig, at prisen på aedte aktiver, hvor de underliggende aktiver kan handles, ikke afhænger af driftsparametrene på de underliggende Kompileret den 10. maj 2015 Side 26 af 83

28 aktiver. Med andre ord har investorernes forventninger til afkast og investorernes risikopræferencer ingen betydning for prisen på aedte aktiver, hvor de underliggende aktiver kan handles. Dette er grundlæggende for princippet om risikoneutral prisfastsættelse, idet investorerne dermed kan antages at være risikoneutrale Specialtilfælde med ét underliggende aktiv og én stokastisk komponent I det simple specialtilfælde med ét underliggende aktiv og én stokastisk komponent, n = 1 og m = 1, reducerer (2.4.62) til φ q θ rθ + φ q t φ q 2 θ 2 β2 rφ q = 0. (2.4.64) Sammenholdes (2.4.64) med (2.4.37) fremgår det, at substitutionen af α λβ med rθ er den eneste ændring. Den simple dierentialligning (2.4.64) er et interessant specialtilfælde, fordi den for passende valg af koecient β er identisk med Black-Scholes-dierentialligningen, som diskuteres i afsnit 2.6. Det fremgår på denne måde, hvorleds Black-Scholes-dierentialligningen fremkommer som et simpelt specialtilfælde af den fundamentale partielle dierentialligning udledt i generisk form. 2.5 Risikoneutral prisfastsættelse Princippet om risikoneutral prisfastsættelse er centralt for bestemmelsen af den teoretiske pris, den såkaldte fair value, for et aedt aktiv og i særdeleshed for anvendelsen af Monte Carlosimulering. En grundlæggende forståelelse af risikoneutral prisfastsættelse danner dermed udgangspunt for forståelse af principperne i Monte Carlosimulering og dermed for forståelsen af fremgangsmåden i en stor del af denne opgave De grundlæggende principper Den generelle dierentialligning (2.4.62) afhænger hverken af α i, µ i eller λ i men alene af koef- cienterne på de stokastiske led, β ik, og selve værdierne af de underliggende aktiver, θ i. Dette er en central observation, som fortæller, at prisen på et aedt aktiv, for hvilket de underliggende aktiver kan handles, ikke afhænger af hverken dritsparametrene hørende til de stokastiske processer for de underliggende aktiver eller af markedsprisen på risiko. Idet driftsparameteren udtrykker det forventede afkast per tidsenhed for det underliggende aktiv, er konklusionen dermed, at værdien af et aedt aktiv ikke afhænger af det forventede afkast for det underliggende aktiv. En option kan således prisfastsættes uden hensyntagen til investorernes forventninger til afkast og navnlig uden hensyntagen til investorernes forskellige risikopræferencer. Investorernes risikopræferencer er med andre ord irrelevante for prisfastsættelsen af optioner. Som en vigtig konsekvens heraf følger det, at to investorer altid vil være enige om værdien af en Kompileret den 10. maj 2015 Side 27 af 83

29 given option, selvom de har forskellige risikopræferencer og er uenige om estimaterne for de respektive driftsled og dermed om forventningerne til afkast for de underliggende aktiver. Udledningen af (2.4.62) viser, at der altid kan etableres en risikofri portefølje, hvor risikoen på det aedte aktiv er hedget væk 11. Dette betyder, at der ikke kan eksistere risikopræmie ved investering i aedte aktiver, fordi risikoen på det aedte aktiv altid kan hedges væk ved en hensigtsmæssig sammensætning af portefølje. Princippet kan sammenlignes med systematisk henholdsvis usystematisk risiko i forbindelse med værdiansættelse af aktier ved brug af CAPM, hvor investorerne alene kompenseres med risikopræmie for den systematiske risiko, fordi den usystematiske risiko kan bortdiversiceres med den rette porteføljesammensætning. Fordi prisen på aedte aktiver ikke afhænger af investorernes risikopræferencer, kan prisen på aedte aktiver beregnes ud fra en antagelse om en risikoneutral verden, hvor alle investorer er risikoneutrale. Hvis alle investorer er risikoneutrale, er der ingen risikopræmier, og dermed har alle investeringsaktiver et afkast svarende til den risikofri rente, ligesom enhver diskontering af pengestrømme sker med den risikofri rente Den risikoneutrale verden Matematisk set fortæller (2.4.62), at prisen på aedte aktiver ikke afhænger af investorernes risikopræferencer, hvilket danner grundlag for princippet om risikoneutral prisfastsættelse. Princippet kan med fordel tillige illustreres ved brug af et simpelt eksempel, hvoraf det mere konkret fremgår, hvorledes prisfastsættelsen under de sædvanlige antagelser om et komplet og friktionsfrit marked sker uden påvirkning fra investorernes risikopræferencer. Eksemplet tager udgangspunkt i gur 2.8, som viser udviklingen i kursen på det underliggende aktiv fra det aktuelle tidspunkt t 0 til det fremtidige tidspunkt t 1. Forskellen mellem de to tidspunktet betegnes T = t 1 t 0. Den aktuelle værdi af det underliggende aktiv er θ, og værdien om én periode til tidspunkt t 1 kan enten være aθ eller bθ. Sandsynligheden for værdien aθ er p, mens sandsynligheden for bθ er 1 p. Hvis φ er en option med θ som underliggende, vil værdien af optionen om én periode tilsvarende være givet ved enten φ a eller φ b. Er eksempelvis φ en call-option, er de to mulige værdier til tidspunktet t 1 givet ved φ a = max (aθ K) (2.5.1) φ b = max (bθ K), (2.5.2) hvor K er strike-kursen. En portefølje, som replikerer optionens payo, kan konstrueres som en position bestående af andele af underliggende aktiv og en investering til den risikofri 11 Som beskrevet gælder dette alene under den forudsætning, at de underliggende aktiver kan handles. Kompileret den 10. maj 2015 Side 28 af 83

30 Figur 2.8: Udvikling i underliggende. Figur 2.9: Udvikling i optionsværdi. rente i en obligation, B. Porteføljen vil til tidspunktet t 1 have én af to mulige værdier, nemlig Π = aθ + e rt B, for den øvre tilstand (2.5.3) Π = bθ + e rt B, for den nedre tilstand (2.5.4) hvor r er den risikofri rente. Ved en passende kalibrering af parameteren kan porteføljen konstrures således, at den har samme værdi som optionen uanset udfaldet om én periode, dvs. aθ + e rt B = φ a (2.5.5) bθ + e rt B = φ b. (2.5.6) Uanset om optionen til tidspunkt t 1 antager værdien φ a eller φ b, har porteføljen altså den samme værdi som optionen. Porteføljen replikerer med andre ord optionens payo og deraf navnet. Fordi porteføljen Π replikerer optionens payo, må den have samme værdi som optionen, idet der i modsat fald ville eksistere en arbitragemulighed. Ved brug af argumentet om et arbitragefrit marked gælder om optionens værdi derfor, at den til tidspunktet t 0 må have samme værdi som den replikerende portefølje Ligningssystemet (2.5.5) og (2.5.6) har den unikke løsning hvilket ved indsættelse i (2.5.7) giver φ = θ + B. (2.5.7) = φ a φ b (a b) θ, B = aφ ert b bφ a (a b), (2.5.8) φ = φ a φ b (a b) θ θ + aφ ert b bφ a (a b) [ = e rt e rt φ a φ b + aφ b bφ a a b a b [ = e rt e rt b a e rt φ a + φ b a b a b ] ]. (2.5.9) Kompileret den 10. maj 2015 Side 29 af 83

31 Med denitionen q e rt b a b, 1 q = a e rt a b, (2.5.10) følger det direkte, at φ = e rt [qφ a + (1 q) φ b ]. (2.5.11) Dette er et vigtigt resultat, som viser, at optionens værdi er givet som det vægtede gennemsnit af de mulige, fremtidige payo diskonteret med den risikofri rente. Den anvendte vægtningsfaktor q afhænger per denition hverken af sandsynligheden p eller af investorernes risikopræferencer, og den betegnes som den risikoneutrale sandsynlighed, idet den fortolkes som sandsynligheden i en risikoneutral verden for, at det underliggende aktiv går til tilstand op. Ved at sammenholde (2.5.7) og (2.5.11) følger det vigtige udtryk θ + B = e rt [qφ a + (1 q) φ b ], (2.5.12) som fortæller, at den arbitragefri pris for at aedt aktiv på venstre side er identisk med højresidens forventede, fremtidige payo bestemt med de risikoneutrale sandsynligheder og diskonteret med den risikofri rente 12. Prisen for et aedt aktiv er med andre ord bestemt som det forventede, fremtidige payo i en risikoneutral verden tilbagediskonteret med den risikofri rente. Fremgangsmåden ved risikoneutral prisfastsættelse kan dermed i korte træk sammenfattes således: i) Det forventede afkast på det underliggende aktiv antages at være lig den risikofri rente. ii) Det forventede, fremtidige paoy beregnes. iii) Det beregnede, fremtidige payo tilbagediskonteres med den risikofri rente. Det er væsentligt at holde sig for øje, at risikoneutrale sandsynligheder ikke har noget med de virkelige sandsynligheder for bevægelse op og ned at gøre, og at investorerne i virkelighedens verden er risikoaverse og ikke risikoneutrale. Risikoneutral prisfastsættelse er således alene en hensigtsmæssig matematisk fremgangsmåde, som tillader, at den korrekte teoretiske værdi for et aedt aktiv kan beregnes under antagelsen om en risikoneutral verden Kobling til Monte Carlo simulering Risikoneutral prisfastsættelse er vigtigt for Monte Carlosimulering, fordi det tilsiger, at de relevante stokastiske processer, som simuleres, kan tilpasses således, at driftsleddet erstattes 12 Ligningen illustrerer tillige essensen af skift af sandsynlighedsmål fra det virkelige sandsynlighedsmål, P, til det risikoneutrale sandsynlighedsmål, Q, ved transformation af sandsynlighedsmassen [GS13]. Kompileret den 10. maj 2015 Side 30 af 83

32 med den risikofri rente. På den måde er det ikke nødvendigt at have kendskab til de forventede afkast. 2.6 Prisfastsættelse ved brug af Black Scholes I afsnit udledtes den generelle dierentialligning (2.4.62), som bestemmer udviklingen af prisen på et aedt nansielt aktiv, for hvilket de underliggende aktiver kan handles. Som et simpelt specialtilfælde af denne dierentialligning følger dierentialligningen (2.4.64), der svarer til et enkelt underliggende aktiv og den generelle proces dθ = α dt + β dz, (2.6.1) hvor α og β ikke er speciceret. Med anvendelse af denitionerne α = µθ, β = σθ (2.6.2) er den stokastiske proces for det underliggende aktiv givet ved dθ = µθ dt + σθ dz, (2.6.3) hvilket er en såkaldt geometrisk brownsk bevægelse. Med denne dynamik for underliggende tager dierentialligningen (2.4.64) formen φ q θ rθ + φ q t φ q 2 θ 2 σ2 θ 2 rφ q = 0. (2.6.4) Dette er netop den berømte Black-Scholes partielle dierentialligning, der, inden for rammerne af de opstillede forudsætninger, beskriver udviklingen i prisen på ethvert aedt aktiv φ q, når det underliggende aktiv kan handles. De førnævnte forudsætninger er følgende [WHD09]: i) Alle aktiver følger geometriske brownske processer som (2.6.3). ii) Den risikofri rente og volatilitetsparameteren σ er kendte og deterministiske størrelser i hele levetiden for det aedte aktiv. iii) De nansielle markeder antages at være friktionsfri, dvs. uden transaktionsomkostninger. iv) Der er ingen arbitragemuligheder, hvorfor enhver risikofri portefølje må generere et afkast svarende til den risikofri rente. v) Aktiver kan handles kontinuerligt. vi) Kortsalg er tilladt, og aktiver kan købes og sælges i enhver mængder, dvs. ikke nødvendigvis i mængder svarende til heltal. Kompileret den 10. maj 2015 Side 31 af 83

33 2.6.1 Black-Scholes løsningsformler Som enhver dierentialligning har (2.6.4) en generel løsning samt en række unikke løsninger, som svarer til de anvendte randbetingelser. Det er er de unikke løsninger, som er interessante, idet forskellige aedte nansielle aktiver, som kan deneres ud fra det underliggende aktiv θ, svarer til forskellige valg af randbetingelser. Som en simpel illustration af generelle henholdsvis unikke løsninger kan betragtes den simple dierentialligning som har den den generelle løsning df = Qf(x), (2.6.5) dx f(x) = e Qx. (2.6.6) Funktionen e Qx er altså en løsning uanset værdien af Q, hvorfor der eksisterer uendeligt mange løsninger svarende til de uendeligt mange forskellige værdier af Q. Vælges nu som eksempel randbetingelsen f(a) = P, (2.6.7) kan Q bestemmes unikt som Q = 1 a ln P. (2.6.8) Valget af randbetingelse specicerer således den unikke løsning til dierentialligningen. Som det er beskrevet i [WHD09], kan Black-Scholes-dierentialligningen (2.6.4) løses generelt, idet den kan omformes til den fra fysik kendte diusionsligning u t = 2 u x 2, (2.6.9) hvortil løsningerne er kendte. En europæisk call-option, c, henholdsvis en europæisk putoption, p, svarer til randbetingelserne c = max (θ T K, 0), for t = T (2.6.10) p = max (K θ T, 0), for t = T, (2.6.11) hvor K angiver exerciseprisen, T er udløbstidspunktet og θ T er kursen på underliggende til udløbstidspunktet. Med valget af randbetingelserne (2.6.10) og (2.6.11) kan de berømte Black- Scholes-formler for prisen på henholdsvis en europæisk call-option og en europæisk put-option Kompileret den 10. maj 2015 Side 32 af 83

34 bestemmes som c = θ 0 e qt Φ(d 1 ) Ke rt Φ(d 2 ), (2.6.12) p = Ke rt Φ( d 2 ) θ 0 e qt Φ( d 1 ), (2.6.13) hvor q angiver den kontinuerte udbytterate 13, og r er den risikofri rente. Funktionen Φ(x) betegner den akkumulerede sandsynlighedsfordelingsfunktion 14 for standardnormalfordelingen Størrelserne d 1 og d 2 er givet ved d 1 d 2 Φ(x) = 1 x e s2 /2 ds. (2.6.14) 2π ln θ 0 K + ln θ 0 K + ) (r q + σ2 T 2 σ T (r q σ2 2 σ T ) T = d 2 + σ T, (2.6.15) = d 1 σ T. (2.6.16) Værdien af en europæisk call-option og en europæisk put-option kan altså bestemmes som lukkede funktionsudtryk af de seks variable θ 0, K, r, σ, q og T. Det skal her særligt bemærkes, at de lukkede funktionsudtryk (2.6.12) og (2.6.13) og størrelserne (2.6.15) og (2.6.16) ikke afhænger af driftsparameteren µ fra den geometriske brownske bevægelse (2.6.3), hvilket er fuldstændig i tråd med udledningen af risikoneutral prisfastsættelse i afsnit 2.5. I stedet optræder størrelsen r q som driftsled, hvilket svarer til processen dθ = (r q) θ dθ + σθ dz, (2.6.17) som beskrivelse af dynamikken for udviklingen i kursen på det underliggende aktiv. Dette er netop den risikoneutrale dynamik, som anvendes ved simulering af geometrisk brownsk bevægelse til brug for Monte Carlosimulering. Prisen på call-optionen og put-optionen bestemt ved brug af de lukkede Black-Scholesformler er nyttig som et teoretisk sammenligningsgrundlag til brug for sammenligning med numeriske resultater på baggrund af simulering. I opgavens følgende dele vil de med Black- Scholes beregnede teoretiske optionspriser således blive sammenlignet med de numeriske beregingsresultater og dermed danne grundlag for vurdering af nøjagtigheden af de udførte simuleringer. 13 Formlerne kan også udledes for konstant udbyttebetaling. I denne opgave antages imidlertid kontinuert udbytte. 14 Dvs. integralet af sandsynlighedstæthedsfunktion. Kompileret den 10. maj 2015 Side 33 af 83

35 2.6.2 Hedging under Black-Scholes Begrebet hedging betyder overordnet at reducere en given porteføljes følsomhed overfor bevægelser i det underliggende aktiv ved at tage modsatrettede positioner i andre aedte instrumenter. I det simple tilfælde Black-Scholes kan en call-option eller en put-option hedges ved at etablere en portefølje bestående af en lang position i én enhed af den pågældende option og en kort position i enheder i underliggende, θ. Porteføljen er dermed Π = φ θ, (2.6.18) hvor φ angiver optionen generelt. Den innitesimale porteføljeændring er givet ved dπ = dφ dθ ( φ φ = µθ + θ θ ) φ 2 θ 2 σ2 θ 2 dt + φ σθ dz µθ dt σθ dz, (2.6.19) θ hvor Itôs lemma (2.3.6) er anvendt til at udtrykke dφ. Det stokastiske element i porteføljen kan elimineres, hvis hvilket svarer til φ σθ dz σθ dz = 0, (2.6.20) θ = φ θ. (2.6.21) Dette er netop denitionen på, som er et væsentligt element inden for hedging. I særdeleshed er det centrale element i deltahedging, som jf. undersøgelsesspørgsmål v) anvendes senere i opgaven. Som det fremgår, er den førstaedte af optionens værdi med hensyn til underliggende og således et udtryk for ændringen i optionens værdi, som foranlediges af en ændring i underliggende. Med givet ved (2.6.21) er porteføljen risikofri i det pågældende øjeblik. Det er dog væsentligt at bemærke, at er dynamisk, hvorfor der alene er tale om en risikofri portefølje i det innitesimale tidsinteval dt. For at opretholde en risikofri portefølje er det derfor nødvendigt konstant at rebalancere porteføljen ved at justere positionen i det underliggende aktiv. Det kan vises, at for henholdsvis call-optioner og put-optioner er givet ved de lukkede formler [Wik15b] [Pac13] c = c θ = e qt Φ(d 1 ), (2.6.22) p = p θ = e qt Φ( d 1 ). (2.6.23) Kompileret den 10. maj 2015 Side 34 af 83

36 Er der tale om simple optioner, er det med andre ord ikke nødvendigt at estimere numerisk, eksempelvis ved simulation. Ved hedging i praksis er det ikke tilstrækkeligt at arbejde med. Dels, fordi er en dynamisk størrelse, og dels fordi værdien af en portefølje afhænger af andre forhold end bevægelser i underliggende. En mere nuanceret tilgang til hedging kræver derfor tillige information om bl.a. følsomhedsparametrene Γ = 2 Π θ 2 = θ, Θ = Π t, V = Π σ, ρ = Π r, (2.6.24) der analogt med deneres hver især som de aedede af porteføljeværdien med hensyn til en bestemt faktor, som værdien værdi afhænger af. Det fremgår, at Γ er førnævnte hastighed, hvormed ændrer sig, mens henholdsvis Θ, V og ρ 15 angiver porteføljens følsomhed overfor henholdsvis tid til udløb, volatilitet på underliggende og den risikofri rente. I denne opgave anvendes dog alene i betragtninger omkring hedging Den lognormale egenskab for aktiekurser Den geometriske brownske bevægelse (2.6.3), hvor såvel driftskoecienten, µ, som volatiliteten, σ, antages at være konstante, er en meget anvendt proces til modellering af aktiekurser. Processen kan skrives som dθ θ = µ dt + σ dz, (2.6.25) hvor størrelsen dθ/θ er afkastet over tidsenheden dt. Det fremgår nu, at µ angiver det forventede afkast pr. tidsenhed, mens σ angiver volatiliten på afkastet. Dermed er afkastet over et kort tidsinterval på dt for et aktiv, som følger en Geometrisk Brownsk bevægelse, normalfordelt med middelværdi µ dt og spredning σ dt. Itôs lemma kan anvendes til at udlede den proces, som den naturlige logaritme til θ følger, når θ følger processen (2.6.3). Processen for den naturlige logaritme er interessant i dette tilfælde, idet den anvendes til at vise, at kursen på θ er lognormalfordelt. Af notationehensyn deneres ζ ln θ, (2.6.26) og ved almindelig dierentation følger ζ θ = θ ln θ = 1 θ, 2 θ θ 2 = 1 θ θ = 1 θ 2, ζ t = 0. (2.6.27) Ved anvendelse af α = µθ og β = σθ samt indsættelse af (2.6.27) i den simple version af Itôs 15 Bemærk, at dette ρ ikke må forveksles med ρ, som angiver korrelationen mellem stokastiske processer. Kompileret den 10. maj 2015 Side 35 af 83

37 lemma (2.3.6) følger det, at [ ζ ζ dζ = µθ + θ t = [µ σ2 2 2 ] ζ θ 2 σ2 θ 2 dt + ζ σθ dz θ ] dt + σ dz. (2.6.28) Det fremgår dermed, at ζ = ln θ følger en generealiseret Weinerproces af formen (2.2.2) med konstant drift pr. tidsenhed på ( µ σ 2 /2 ) og konstant volatilitet på σ. For ændringen i ζ fra tidspunkt t = t 0 til et senere tidspunkt t = T gælder dermed, at ζ er normalfordelt med middelværdi ζ 0 + ( µ σ 2 /2 ) og varians σ 2 T, dvs. ζ T N [ ζ 0 + ) ] (µ σ2 T, σ 2 T 2, (2.6.29) hvor ζ t = ln θ T og ζ 0 = ln θ 0. Den naturlige logaritme af θ er altså normalfordelt, og dermed er aktikursen selv lognormalfordelt. Det gælder altså for enhver aktiekurs modelleret med den Geometriske Brownske bevægelse (2.6.25), at afkastet 16 over et lille tidsinterval er normalfordelt, mens udviklingen i selve aktikursen i perioden tra t = t 0 til t = T er lognormalfordelt. Den lognormalfordelte egenskab for kursen i en Geometrisk Brownsk bevægelse kan efterprøves numerisk, som det er illustreret på gur 3.6 og gur Prisfastsættelse af Quantooptioner En quantooption er karakteriseret ved en afhængighed af to variable: Selve det underliggende aktiv og så valutakursen. Optionens afhængighed af to variable foranlediger, at også prisudtrykket for quantooptionen afhænger af både kursen på underliggende og valutakursen. Det viser sig, at der for en quantooption kan udledes et lukket matematisk udtryk for optionens værdi som i høj grad svarer til de velkendte Black-Scholes-udtryk hørende til simple optioner. De lukkede prisudtryk er nyttige til brug for kontrol af et simuleringsprogram, idet priser på quantooptioner beregnet på baggrund af simulering således kan kontrolleres mod de tilsvarende priser beregnet ved brug af de lukkede udtryk. Selve udledningen af prisformlerne for quantooptioner skal endvidere vise sig nyttig, idet den undervejs tydeliggør de hedgeparametre, som anvendes ved hedging af quantooptioner. De følgende afsnit relaterer sig direkte til besvarelsen af opgavens undersøgelsesspørgsmål ii). 16 Det procentuelle afkast dθ/θ. Kompileret den 10. maj 2015 Side 36 af 83

38 2.7.1 Udledning af lukkede prisformler og hedgeparametre Udledningen tager som en grundlæggende forudsætning, at dynamikken for såvel det underliggende aktieindeks, θ, som valutakursen, ξ, er beskrevet ved en geometrisk brownsk bevægelse dθ = µ θ θ dt + σ θ θ dz θ, (2.7.1) dξ = µ ξ ξ dt + σ ξ ξ dz ξ, (2.7.2) hvor der antages en korrelation mellem de stokastiske elementer dz θ og dz ξ på ρ θξ. Kursen på underliggende er i USD, mens valutakursen er i EUR/USD og deneret således, at ξ udtrykker værdien i EUR af én USD. Fordi optionen nu reelt afhænger af to underliggende aktiver, tager udledningen udgangspunkt i en portefølje bestående af quantooptionen selv og tilligen en position i både underliggende henholdsvis i USD. Denne fremgangsmåde følger udledningen af den fundamentale partialle dierentialligning for priser på aedte aktiver, i hvilken det jo netop er nødvendigt at etablere en portefølje bestående af det aedte aktiv og en position af hvert af de underliggende. Den beskrevne portefølje er givet ved Π = φ + USD ξ + θ θξ, (2.7.3) hvor USD angiver positionen i USD, mens θ angiver antallet af aktier i det underliggende indeks. Det skal bemærkes, at quantooptionen selv har payo i EUR, hvorfor φ er i EUR. Tilsvarende er både positionen i USD og positionen i underliggende indeks multipliceret med valutakursen og dermed udtrykt i EUR. Således er Π angivet i EUR, fordi alle leddene i (2.7.3) er udtrykt i EUR. En innitesimal ændring i portføljeværdien er givet ved dπ = dφ + USD (dξ + r F ξ dt) + θ d(θξ) + θ qθξ dt, (2.7.4) hvor r F ξ dt er rentetilskrivningen med USD-renten r F på USD-positionen i det innitesimale tidsrum dt udtrykt i EUR, mens qθξ dt er udbyttebetalingen på det underliggende indeks i samme tidsrum og ligeledes udtrykt i EUR. Anvendelse af Itôs lemma (2.3.5) på dφ giver dφ = [ φ θ µ θθ + φ ξ µ ξξ + φ t φ 2 θ 2 σ2 θ θ ] φ 2 ξ 2 σ2 ξ ξ2 + 2 φ θ ξ σ θθσ ξ ξρ θξ dt + φ θ σ θθ dz θ + φ ξ σ ξξ dz ξ. (2.7.5) Kompileret den 10. maj 2015 Side 37 af 83

39 Tilsvarende giver anvendelse af Itôs lemma, at [ (θξ) d(θξ) = θ µ θθ + (θξ) ξ µ ξ ξ + (θξ) t (θξ) θ ξ σ θθσ ξ ξρ θξ 2 (θξ) θ 2 σθ 2 θ (θξ) 2 ξ 2 σξ 2 ξ2 ] dt + (θξ) θ σ θθ dz θ + (θξ) σ ξ ξ dz ξ ξ = [µ θ θξ + µ ξ θξ + σ θ θσ ξ ξρ θξ ] dt + σ θ θξ dz θ + σ ξ θξ dz ξ. (2.7.6) Hensigten er herefter at gøre porteføljen Π risikofri over det innitesimale tidsinterval dt, hvilket svarer til at eliminere de stokastiske komponenter dz θ og dz ξ fra (2.7.4). Dette skridt afspejler den sædvanlige fremgangsmåde, som også blev anvendt ovenfor ved udledningen af den fundamentale partialle dierentialligning i det generelle tilfælde. Ved at sammenholde (2.7.4) med (2.7.5) og (2.7.6) fremgår det, at den stokastiske kompenent for underliggende aktieindeks kan elimineres, såfremt følgende sammenhæng er opfyldt φ θ σ θθ dz θ + θ σ θ ξθ dz θ = 0. (2.7.7) Heraf kan hedgeparameteren for det underliggende aktieindeks umiddelbart bestemmes som θ = 1 ξ φ θ. (2.7.8) På tilsvarende vis fremgår det af (2.7.4) med (2.7.5) og (2.7.6), at den stokastiske komponent hørende til valutakursen kan elimineres, hvis sammenhængen er opfyldt. Dette svarer til φ ξ σ ξξ dz ξ + USD σ ξ ξ dz ξ + θ σ ξ θξ dz ξ = 0 (2.7.9) USD = φ ξ θθ = φ ξ + θ ξ φ θ. (2.7.10) Dermed er de relevante parametre til hedging af en quantooption bestemt. Hedgeparametrene skal senere i opgaven nde anvendelse i forbindelse med illustration af fremgangsmåden for dynamisk hedging af en quantooption. Med kendskab til de specikke hedgeparametre kan den relevante dierentialligning og dermed prisfunktionerne for quantooptionen bestemmes på baggrund af (2.7.4). Indsættelse Kompileret den 10. maj 2015 Side 38 af 83

40 af de fundne hedgeparametre (2.7.8) og (2.7.10) giver [ φ dπ = θ µ θθ + φ ξ µ ξξ + φ t ( + φ ξ + θ ξ 1 ξ φ θ ) (µ ξ ξ dt + r F ξ dt) 2 φ θ 2 σ2 θ θ ] φ 2 ξ 2 σ2 ξ ξ2 + 2 φ θ ξ σ θθσ ξ ξρ θξ dt φ θ (µ θθξ + µ ξ θξ + σ θ θσ ξ ξρ θξ ) dt 1 ξ φ qθξ dt. (2.7.11) θ Idet de stokastiske led er elimineret, er den innitesimale porteføljeændring risikofri. i henhold til princippet om ingen arbitragemuligheder i markedet må ændringen i porteføljen netop være givet ved den risikofri rente, hvorfor dπ = r D Π dt = r D [φ + ( φ = r D ( φ φ ξ ξ ξ + θ ) φ ξ 1 ] φ ξ θ ξ θ θξ dt ) dt. (2.7.12) Det bemærkes, at r D er den risikofri rente i EUR, fordi værdien af porteføljen som tidligere beskrevet betragtes fra et EUR-synspunkt. Ved at sammenholde (2.7.11) og (2.7.12) følger det endelig, at φ t φ 2 θ 2 σ2 θ θ φ 2 ξ 2 σ2 ξ ξ2 + 2 φ θ ξ σ θθσ ξ ξρ θξ + φ ξ (r D r F ) ξ + φ θ (r F q σ θ σ ξ ρ θξ ) θ r D φ = 0. (2.7.13) Dette er den partielle dierentialligning, som beskriver udviklingen i pris for en quantooption, når quantooptionens værdi afhænger direkte af θ og ξ. For en quantooption med payo bestemt ved (2.1.7) afhænger payo ikke af valutakursudviklingen men alene af den med optionen på forhånd aftalte, faste valutakurs ξ. For en sådan quantooption er derfor φ ξ = 0, (2.7.14) hvilket simplicerer dierentialligningen (2.7.13), som nu tager formen φ t φ 2 θ 2 σ2 θ θ2 + φ θ (r F q σ θ σ ξ ρ θξ ) θ r D φ = 0. (2.7.15) Kompileret den 10. maj 2015 Side 39 af 83

41 Udtrykket ses at svare til det klassiske Black-Scholes-udtryk (2.6.4) med driftsparameter δ θ = r F q σ θ σ ξ ρ θξ. (2.7.16) Ligheden mellem dierentialligningen for quantooptionen og den klassiske Black-Scholes-differentialligning betyder, at der eksisterer et lukket funktionsudtryk for værdien af quantooptionen. Ved at sammenholde med Black-Scholes-udtrykkene (2.6.12) og (2.6.13) følger det derfor umiddelbart, at prisen for henholdvis en quanto call-option og quanto put-option er bestemt ved c Q = ξ ( ( e r DT θ 0 e δθt Φ p Q = ξ ( ( e r DT KΦ d Q 2 d Q 1 ) ( KΦ )), (2.7.17) ( )) d Q 1, (2.7.18) d Q 2 ) θ 0 e δ θt Φ hvor Φ(x) er den akkumulerede sandsynlighedsfordelingsfunktion for standardnormalfordelingen, og størrelserne d Q 1 og dq 2 quantooptionens driftsled d Q 1 = ln d Q 2 = ln svarer til (2.6.15) og (2.6.16) med tilpasning i henhold til ( ) θ 0 K + δ θ + σ2 θ T 2 = d Q 2 σ + σ θt (2.7.19) θ T ( ) θ 0 K + δ θ σ2 θ T 2 = d Q 1 σ σ θt. (2.7.20) θ T De ovenfor udledte udtryk (2.7.17), (2.7.18), (2.7.19) og (2.7.20) for værdien af en quantooption er anvendt i opgaven til beregning af værdien af quantooptioner for derved at illustrere hedgestrategi og undersøge nøjagtigheden af optionsværdier beregnet ved simulering Risikoneutrale processer til brug for simulering Som forventet afhænger de lukkede udtryk for quantooptionens værdi ikke af den aktuelle valutakurs, ξ, men alene af den faste valutakurs, ξ som er aftalt til brug for omregning af det endelige payo. Udstederen af obligationen har ikke desto mindre en eksponering overfor valutakursen svarende til størrelsen på optionens payo, hvilket afspejles i netop det forhold, at driftsleddet δ θ indeholder både volatiliteten på valutakursen, σ θ, og korrelationen, ρ θξ mellem underliggende aktieindeks og valutakursen. Ved simulering af udviklingen i underliggende aktiekurs i forbindelse med prisfastsættelse af en quantooption med payo givet ved (2.1.7) er den risikoneutrale dynamik derfor bestemt af processen dθ = ( r F q σ θ σ ξ ρ θξ ) θ dt + σθ θ dz θ. (2.7.21) Kompileret den 10. maj 2015 Side 40 af 83

42 Dette er tillige afspejlet i dierentialligningen (2.7.13), hvor det risikoneutrale driftsled er givet som koecienten til ( φ/ θ) θ. Efter samme fremgangsmåde kan det risikoneutrale driftsled for processen hørende til valutakursen bestemmes som koecienten til ( φ/ ξ) ξ i (2.7.13), og dermed er den risikoneutrale dynamik for valutakursen bestemt af processen dξ = ( r D r F) ξ dt + σ ξ ξ dz ξ. (2.7.22) I tilfældet r F < r D er driftsleddet positivt, således at forventningsværdien af den fremtidige valutakurs ligger over den aktuelle valutakurs. Modsat svarer tilfældet r F > r D til et negativt driftsled og en faldende valutakurs. Endelig er driftsleddet nul for r F = r D, hvilket svarer til en forventet uændret valutakurs. Ud fra standardargumenter om ingen arbitrage gælder det i henhold til den udækkede renteparitet, at forholdet mellem valutaspotkursen og kursen til et fremtidigt tidspunkt er lig med forholdet mellem forrentningen af en indenlandsk investering og forrentningen af en udenlandsk investering ξ 0 ξ 1 = 1 + r F 1 + r D, (2.7.23) hvor ξ 0 er spotkursen, mens ξ 1 er kursen til det fremtidige tidspunkt t = 1. Den udækkede renteparitet siger dermed, at den forventede, fremtidige valutakurs er højere end spotkursen, hvis den indenlandske rente er højere end den udenlandske, og omvendt at spotkursen er højere end den forventede, fremtidige kurs, hvis den udenlandske rente er højere end den indenlandske. Endelig er spotkursen lig med den forventede, fremtide valutakurs, hvis renterne i henholdsvis indland og udeland er ens. Det anvendte driftsled for simulering af valutakursens dynamik er dermed i overensstemmelse med den udækkede renteparitet. Processerne (2.7.21) og (2.7.22), som kan genndes i litteraturen bl.a. i [Dav06], [KW99] og [Hau10], vil udgøre grundlaget for simulering af underliggende aktieindeks og valutakurs i denne opgave. Kompileret den 10. maj 2015 Side 41 af 83

43 Kapitel 3 Simulering og numeriske metoder Den teoretiske gennemgang i kapitel 2 danner udgangspunkt for den resterende del af opgaven, i hvilken fokus er på simulering, praktisk implementering og tilvejebringelse af numeriske resultater. Dette kapitel addresserer undersøgelsesspørgsmål iii) ved dels at præsentere de grundlæggende principper for Monte Carlosimulering og dels at udlede og redegøre for, hvordan den konkrete numeriske implementering i medfør af denne opgave er foretaget. 3.1 Monte Carlosimulering Monte Carlosimulering er en udbredt numerisk metode, som anvendes på en række forskellige områder inden for bl.a. fysik, matematik, nans og risikostyring. Monte Carlosimulering er velegnet som metode i de tilfælde, hvor en matematisk analytisk løsning til en konkret problemstilling ikke eksisterer eller er for kompliceret, og løsningen derfor med fordel kan estimeres numerisk. Monte Carlosimulering er udbredt inden for derivatprisfastsættelse og velegnet til prisfastsættelse af en række aedte nansielle aktiver, for hvilke der i modsætning til de simple put- og call-optioner 1 ikke eksisterer lukkede udtryk som (2.6.12) og (2.6.13) til beregning af optionsprisen. Monte Carlosimulering er således mere udbredt til prisfastsættelse af eksotiske optioner, selvom det imidlertid kan være nyttigt at undersøge nøjagtigheden af et givent simuleringsværktøj ved at prissætte simple optioner og sammenholde de simulerede resultater med de teoretiske resultater beregnet ved brug af lukkede matematiske udtryk som eksempelvis Black-Scholes. Fremgangsmåden ved prisfastsættelse af aedte aktiver med Monte Carlosimulering kan overordnet sammenfattes i følgende skridt: i) En tilfældig sti 2 for det underliggende aktiv θ simuleres i den risikoneutrale verden på baggrund af tilfældig trækning fra en standardnormalfordeling. 1 Omtales ofte som såkaldte plain vanilla-optioner 2 Det vil sige en mulig udvikling i kursen. Kompileret den 10. maj 2015 Side 42 af 83

44 ii) Det aktuelle payo for den simulerede sti beregnes på baggrund af karakteristika for det konkrete aedte aktiv. iii) Fremgangsmåden under i) og ii) gentages et passende antal gange, hvorved der opnås et antal simulerede payos. iv) Det samlede, gennemsnitlige payo beregnes på baggrund af alle de under punkt iii) simulerede enkelte payos. v) Det beregnede, samlede gennemsnitlige payo diskonteres med den risikofri rente fra tidspunktet for payo til det aktuelle tidspunkt for prisfastsættelse. Som det fremgår, er den risikoneutrale tilgang som diskuteret i afsnit 2.5 et helt grundlæggende princip for prisfastsættelse af aedte aktiver ved brug af Monte Carlosimulering Simuleret værdi af det aedte aktiv Generelt er værdien af et aedte aktiv φ til tidspunktet t bestemt i henhold til den risikoneutrale prisfastsættelse ved 3 φ t = e r(t t) E [φ(θ T )], (3.1.1) hvor E[ ] angiver den forventede værdi ved udløb af den pågældende option, og T er udløbstidspunkt. Den grundlæggende fremgangsmåde ved Monte Carlosimulering er at tilvejebringe et numerisk estimat for den forventede værdi af optionen ved udløb på baggrund af simulering. Konkret gennemføres et stort antal simuleringer af udviklingen i pris for det underliggende aktiv, og for hver enkelt af de simulerede stier kan optionens aktuelle payo ved udløb beregnes. Det samlede, forventede estimat for optionens payo ved udløb beregnes herefter som det gennemsnitlige payo på baggrund af alle de gennemførte simuleringer. Dermed kan værdien for det aedte aktiv på baggrund af Monte Carlosimulering udtrykkes som φ t = e r(t t) 1 n n P i, (3.1.2) i=1 hvor n er antallet af simuleringer, og P i er payo af den i'te simulering. Payo afhænger af karakteristika for det pågældnede derivat samt af kursen på underliggende. For simple derivater er alene slutkursen θ T relevant for bestemmelse af prisen, mens prisen for stiafhængige derivater også afhænger af den specikke vej, som det underliggende aktiv har bevæget sig fra udgangspunktet θ 0 og til slutværdien θ T. Den grundlæggende fremgangsmåde ved Monte Carlosimulering er sammenfattet i (3.1.2), som samtidig illustrer det simple princip, der også er en af styrkerne ved metoden: Så snart 3 Fodtegnet angiver tidspunkt t og ikke som tidligere et bestemt, eksempelvis det n'te, ud af en række aktiver. Kompileret den 10. maj 2015 Side 43 af 83

45 det underliggende kan simuleres, og der kan beregnes at payo ved udløb af optionen, kan den samlede værdi for den pågældende option i princippet beregnes på baggrund af et stort antal simuleringer. Det er her værd at bemærke, at et stort antal af simuleringer ofte er nødvendigt for at sikre en tilstrækkelig grad af nøjagtighed. Dette skyldes de specikke konvergensegenskaber hørende til Monte Carlosimulering. Nøjagtigheden ved Monte Carlosimulering afhænger således af det gennemførte antal simuleringer. For et givent estimat tilvejebragt ved Monte Carlosimulering er standardfejlen givet ved[hul12a] SE = ω n, (3.1.3) hvor ω er den samlede standardafvigelse for de tilbagediskonterede, simulerede payos, og N er antallet af gennemførte simulationer. Dermed vil et et 95 %-kondensinterval omkring en beregnet optionsværdi φ være givet ved x 1, 96 ω M < φ < x + 1, 96 ω M, (3.1.4) hvor x er den samlede middelværdi for de tilbagediskonterede, simulerede payos, og 1,96 svarer 97,5 %-fraktilen i normalfordelingen. 3.2 Simulering i Praksis De følgende afsnit redegør for de grundlæggende principper for implementering af simulering i praksis. Afsnittene relaterer sig dermed direkte til besvarelse af opgavens undersøgelsesspørgsmål iii) Simulering af Geometrisk Brownsk bevægelse I den resterende del af opgaven vil udviklingen af underliggende aktiver alene være baseret på den Geometriske Brownske bevægelse (2.6.3), hvor dog µ er en generel driftsparameter, som kan have forskellige konstante værdier afhængig af den pågældende proces, som simuleres. Ved simulering erstattes de innitesimale størrelser dθ, dt og dz med tilsvarende diskrete størrelser, hvorved det kontinuerte udtryk (2.6.3) diskretiseres til θ t+ t θ t = µθ t t + σθ t ε t, (3.2.1) hvor altså θ = θ t+ t θ t, (3.2.2) Kompileret den 10. maj 2015 Side 44 af 83

46 og z = ε t (3.2.3) er den diskretiserede version af den kontinuerte Weinerproces (2.2.3). Ved Monte Carlosimulering opdeles således den samlede sti for aktivets bevægelse med længden T i N diskrete intervaller, som alle har længden t = T N. (3.2.4) Den konkrete simulering foregår som en iterativ proces, hvor aktivets værdi i det næste skridt i processen beregnes med udgangspunkt dels i aktivets værdi i det foregående skridt og dels i en tilfældig trækning fra en normalfordeling. Den konkrete fremgangsmåde er θ t+ t = θ t + µθ t t + σθ t ε t. (3.2.5) Figurerne 3.1 og 3.2 illustrerer hver 20 simulerede stier med N = 100 skridt for udvikling i det underliggende aktiv. I begge gurer er anvendt en risikofri rente på r = 0, 01 og en udbytterate på q = 0, og forskellen består alene i, at volatiliteten i gur 3.1 er på σ = 0, 25, mens den i gur 3.2 er på σ = 0, 15. Akserne på de to gurer er ens, og det fremgår, hvorledes forskellen i volatilitet som forventet giver anledning til forskellig spredning i kurserne. Den tidligere Figur 3.1: Plot af 20 simulerede kurser ved anvendelse af processen (3.2.5) med værdierne r = 0, 01, σ = 0, 25, T = 0, 50, N = 100 og t = 0, 005. Figur 3.2: Plot af 20 simulerede kurser ved anvendelse af processen (3.2.5) med værdierne r = 0, 01, σ = 0, 15, T = 0, 50, N = 100 og t = 0, 005. udledte proces (2.6.28) viser sig nyttig, idet en anden og mere nøjagtig fremgangsmåde til simulering kan udledes herfra. Ved at diskretisere (2.6.28) og huske på sammenhængen ζ = ln θ og dermed dζ = d ln θ følger det, at ln θ t+ t ln θ t = (µ 12 σ2 ) t + σε t. (3.2.6) Kompileret den 10. maj 2015 Side 45 af 83

47 Heraf følger umiddelbart, at [ θ t+ t = exp ln θ t + (µ 12 ) σ2 t + σε ] t = θ t exp [(µ 12 ) σ2 t + σε ] t. (3.2.7) Dette udtryk kan anvendes til simulering på samme måde som (3.2.5) og giver anledning til større nøjagtighed i simuleringen, idet det ikke er nødvendigt at indsætte værdien for θ t i udtrykket for θ t+ t [Bec11]. Hermed minimeres fejlen, der begås ved anvendelse af den simulerede værdi for θ t. Udtrykket (3.2.7) er udgangspunktet for simulering og numeriske beregninger i denne opgave Direkte simulering Er der tale om et aedt aktiv, for hvilket det endelige payo alene afhænger af værdien af det underliggende aktiv på et bestemt tidspunt, T, kan værdien θ T i henhold til (3.2.7) simuleres direkte ved ) θ T = θ 0 exp [(µ σ2 T + σε ] T 2. (3.2.8) Det er for et ikke-stiafhængigt aedt aktiv altså alene nødvendigt at simulere slutværdien for det underliggende aktiv, hvilket i praksis kan give anledning til en ikke ubetydelig reduktion i den nødvendige simuleringstid. Fremgangsmåden kan dog naturligvis anvendes alene i det tilfælde, hvor det aedte aktiv ikke er stiafhængigt, og hvor payo dermed ikke afhænger af den aktuelle sti, θ har bevæget sig, men udelukkende af slutværdien θ T Box-Müller-transformationen Simulering af den stokastiske dierentialligning (3.2.7) 4 er baseret på trækning af tilfældige tal, ε, som stammer fra standardnormalfordelingen ε N (0, 1). Ved implementering af simulering i Excel kan trækningen af standardnormalfordelte tal foretages ved at kombinere Excelfunktionerne NORM.S.INV(), som svarer til den inverse akkumulerede sandsynlighedsfordelingsfunktion for standardnormalfordelingen, Φ 1 (x), og RAND(), som genererer et tilfældigt tal x [1; 0] ud fra en uniform fordeling. Den sammensatte funktion NORM.S.INV(RAND()) (3.2.9) vil således generere et tilfældigt tal på baggrund af en underliggende standardnormalfordeling. Denne fremgangsmåde er nyttig ved simpel simulering direkte i Excel, eksempelvis til brug 4 Og de øvrige ligninger, hvor ε indgår. Kompileret den 10. maj 2015 Side 46 af 83

48 for illustration, hvor antallet af nødvendige simuleringer er begrænset. Til brug for praktiske formål, hvor antallet af simuleringer er væsentligt større, er fremgangsmåden i (3.2.9) dog for ressourcekrævende og dermed utilstrækklig. Det samme gør sig gældende ved simulering i VBA, hvor den tilsvarende inverse funktion til standardnormalfordelinges sandsynlighedsfordelingsfunktion i princippet kan anvendes på tilsvarende vis. Der eksisterer en række andre metoder til at generere standardnormalfordelte, tilfældige tal på, hvoraf den såkaldte Box-Müller-transformation [Wik15a], [Wik15c] er udbredt. I denne opgave er simulering baseret på Box-Müller-transformationen i polar form, som kort beskrives i det følgende. Algoritmen tager udgangspunkt i to tilfældige og uafhængige tal u og v, som begge ligger i intervallet fra 0 til 1, dvs. u, v [0; 1]. Ved anvendelse af VBA kan u og v genereres som u = 2 Rnd 1, v = 2 Rnd 1, (3.2.10) hvor Rnd er den i VBA indbyggede generator af tilfældige tal mellem 0 og 1, og fremgangsmåden sikrer, at u og v ligger i det rigtige interval. Med udgangspunkt i u og v vil de to tal z 0 = u 2 ln Q Q, z 1 = v 2 ln Q Q være standardnormalfordelte og uafhængige. Størrelsen Q er deneret ved (3.2.11) Q u 2 + v 2. (3.2.12) Algoritmen forudsætter, at Q < 1 5. Algoritmen konstrueres derfor på en sådan måde, at der i de tilfælde, hvor u 2 + v 2 1, bliver trukket et nyt sæt af u, v, indtil u 2 + v 2 < 1 er opfyldt Korrelerede stokastiske processer Simulering af værdien for en quantooption beskrevet ved dynamikken (2.7.1) og (2.7.2) for henholdsvis det underliggende aktieindeks og valutakursen EUR/USD kræver simulering af to stokastiske processer med en given korrelation. De risikoneutrale processer, som skal anvendes ved simuleringen, er givet ved (2.7.21) og (2.7.22). Den samlede simulering kræver dermed simulering af to individuelle processer ved anvendelse af (3.2.7), hvilket svarer til [( θ t+ t = θ t exp δ θ 1 ) ] 2 σ2 θ t + σ θ ε θ t [( ξ t+ t = ξ t exp δ ξ 1 ) ] 2 σ2 ξ t + σ ξ ε ξ t (3.2.13), (3.2.14) 5 Dette svarer til, at talparret u og v ligger inden for enhedscirklen i det polære koordinatsystem. Kompileret den 10. maj 2015 Side 47 af 83

49 hvor driftsparameteren δ θ hørende til den risikoneutrale dynamik for det underliggende aktieindeks er givet ved (2.7.16), og den tilsvarende driftsparameter for den risikoneutrale dynamik hørende til valutakursen er givet ved δ ξ = r D r F. (3.2.15) Fordi dz θ og dz ξ er korreleret, repræsenterer ε θ og ε ξ to trækninger fra en bivariat normalfordeling, hvor elementerne således hver især er beskrevet med en almindelig normalfordeling, men er korreleret gennem korrelationskoecienten ρ θξ. Til brug for simuleringen kan trækningen af ε θ og ε ξ fra den bivariate standardnormalfordeling foretages ved at denere ε θ = z 0, (3.2.16) ε ξ = z 0 ρ θξ + z 1 1 ρ 2 θξ, (3.2.17) hvor z 0 såvel som z 1 er en trækning fra en almindelig standardnormalfordeling. Trækningerne z 0 og z 1 kan så passende være de samme som anført i (3.2.11), og dermed kan de to standardnormalfordelte og uafhængige variable z 0 og z 1 genereret ved hjælp af Box-Müller-metoden direkte anvendes til at generere de to korrelerede og dermed afhængige standardnormalfordelte variable ε θ og ε ξ. I tilfældet uden korrelation, ρ θξ = 0, reducerer (3.2.16) og (3.2.17) til ε θ = z 0 (3.2.18) ε ξ = z 1, (3.2.19) hvilket jo netop svarer til trækning af to ukorrelerede, standardnormalfordelte variable, som det skal, når der ikke er korrelation. Figurerne 3.3, 3.4 og 3.5 illustrerer to korrelerede stokastiske Figur 3.3: Illustration af to korrelerede stokastiske processer med korrelation ρ = + 0, 09. Figur 3.4: Illustration af to stokastiske processer uden indbyrdes korrelation, dvs. ρ = 0. Figur 3.5: Illustration af to korrelerede stokastiske processer med korrelation ρ = 0, 09.. processer genereret ved anvendelse af (3.2.16) og (3.2.17) i tre forskellige tilfælde. Til brug for eksemplet anvendt den samme værdi for driftsparameter henholdsvis samme værdi for volatilitet i de to processer. De tre tilfælde svarer til tre forskellige værdier af korrelationen, henholdsvis ρ = 0, 90, ρ = 0 og ρ = + 0, 90, hvor alle øvrige parametre er fasthold. Korrelationens betydning fremgår tydeligt, idet proceserne for ρ = + 0, 90 på gur 3.3 synes at følges ad i høj grad, processerne for ρ = 0, 90 på gur 3.5 ligeleds synes at følges ad i høj grad men med modsat fortegn, mens processerne på gur 3.4 med ρ = 0 synes at foregå Kompileret den 10. maj 2015 Side 48 af 83

50 uafhængigt Numerisk undersøgelse af den lognormale egenskab Den lognormale egenskab kan undersøges ved simpelthen at foretage et antal simuleringer af aktiekurs ved anvendelse af (2.6.3) for et givent valg af værdier for parametrene µ, σ, θ 0, dt, T og N og plotte resultatet af simuleringen sammen med den teoretiske lognormalfordeling L(x) = [ 1 x σ 2π exp Det skal her bemærkes, at der er følgende sammenhæng µ ln θ 0 + ] (ln x µ)2 2 σ 2. (3.2.20) ) (µ σ2 T, σ σ T. (3.2.21) 2 mellem parametrene i (3.2.20) og parametrene i den Geometriske Brownske proces (2.6.3). Figurerne 3.6 og 3.7 illustrerer fordelingen af kursen på aktivet θ efter en periode på T = 2 i to tilfælde med forskellige valg af σ. Kursen i udgangspunktet er θ 0 = 100, og der er anvendt simuleringer. Figur 3.6: Plot af den numeriske sandsynlighedstæthedsfunktion for θ T på baggrund af simulering af kursudviklingen i forhold til den teoretiske sandsynlighedstæthedsfunktion for lognormalfordelingen. Parameterværdier er µ = 0, 05, σ = 0, 25, T = 2, N = 50 og dt = 2/50. Figur 3.7: Plot af den numeriske sandsynlighedstæthedsfunktion for θ T på baggrund af simulering af kursudviklingen i forhold til den teoretiske sandsynlighedstæthedsfunktion for lognormalfordelingen. Parameterværdier er µ = 0, 05 og σ = 0, 10, T = 2, N = 50 og dt = 2/ Simulering af hedgeparametre Hedging af optioner kræver kendskab til de relevante hedgeparametre og metoder til beregning af værdien af disse, og navnlig den dynamiske rebalancering kræver en løbende beregning af parameterværdierne. Simulering af hedgeparametre er således tæt forbundet til opgavens undersøgelsesspørgsmål v). For de simple optioner kan hedgeparametrene beregnes ved hjælp af lukkede formler givet ved henholdsvis (2.6.22) og (2.6.23), hvorfor det i udgangspunktet ikke er nødvendigt at beregne værdien af disse hedgeparametre ved hjælp af simulering. Ikke desto mindre kan det være nyttigt alligevel at beregne hedgeparametrene på baggrund af simulering for på den måde at sammenholde de teoretiske værdier med værdierne beregnet ved simulering og dermed Kompileret den 10. maj 2015 Side 49 af 83

51 undersøge nøjagtigheden af de simulererede værdier. Informationen om nøjagtighed af værdierne tilvejebragt ved simulering kan være nyttig og anvendes i de tilfælde, hvor beregning af hedgeparametrene forudsætter simulering, fordi der ikke på samme måde eksisterer lukkede funktionsudtryk til beregning af en teoretisk værdi. Dette er eksempelvis tilfældet ved replikering af quantooptioner med knock-out-element i afsnit 5.3, hvor hedgeparametrene må beregens ved anvendelse af simulering. Fordi hedgeparametrene er givet ved partielt aedede af optionsværdien, er beregning af hedgeparameterværdier på baggrund af simulering egentlig et eksempel på numerisk dierentation. Eksempelvis kan hedgeparameteren for call-optionen beregnes på baggrund af simulering som den numeriske dierentialkvotient c = c θ c θ, (3.3.1) hvor c og θ er små, men ikke innitesimale størrelser, og hvor altså tangenthældningen c/ θ approksimeres med sekanthældningen c/ θ. For at opnå en tilstrækkeligt præcis approksimation er det således nødvendigt at anvende en tilstrækkeligt lille værdi af θ, da forskellgen mellem sekanthældningen og tangenthældningen og dermed approksimationsfejlen øges, når θ øges. Ændringen i optionsværdi beregnes ved c = c(θ + θ) c(θ), (3.3.2) dvs. som optionsværdien, når underliggende har værdien θ + θ, fratrukket optionsværdien, når underliggende har værdien θ, hvor alle øvrige parameterværdier er konstante. Hedgeparameteren beregnes med andre ord på baggrund af to beregnede optionsværdier. I praksis er det vigtigt, at de to beregnede optionspriser c(θ + θ) og c(θ) beregnes ved anvendelse af de samme tilfælde trækninger fra standardnormalfordelingen. I modsat fald bliver beregningen upræcis, fordi de tilfældige udsving på de to beregnede optionsværdier vil dominere i beregningen, og θ i medfør af beskrivelsen ovenfor samtidig antager en forholdsvis lille værdi Beregning af hedgeparameter for simple optioner Med henblik på at undersøge nøjagtigheden af hedgeparameterværdier beregnet ved simulering er der foretaget beregning af hedgeparameter for en call-option for forskellige værdier af underliggende. Beregningsresultaterne er illustreret på gurerne 3.8 og 3.9, hvor de simulerede værdier er plottet sammen med de tilsvarende teoretisk beregnede værdier. Der synes at være en udmærket overensstemmelse mellem de teoretiske værdier og de simulerede værdier. Til beregningerne er anvendt følgende parameterværdier K = 100, r = 0, 015, q = 0, 10, σ = 0, 25, T = (3.3.3) Kompileret den 10. maj 2015 Side 50 af 83

52 Der er anvendt N = 100 skridt i simulering af stierne for underliggende, og dermed bliver t = 0, 010. Der er foretaget n = simuleringer. Figur 3.8: Sammenligning af teoretisk værdi for c med simulerede værdier, sim c Parameterværdier i simuleringen fremgår af (3.3.3). Figur 3.9: Sammenligning af teoretisk værdi for c med simulerede værdier, sim c. Parameterværdier i simuleringen fremgår af (3.3.3). Dog er K = Hedgeparameter for quantooptioner De lukkede udtryk (2.6.22) og (2.6.23) til beregning af hedgeparametre for simple call- og put-optioner kan danne udgangspunkt for udledning af to tilsvarende lukkede formler for hedgeparametrene hørende til quantooptioner. Disse tilsvarende udtryk for quantooptioners hedgeparametre kan umiddelbart udledes ved anvendelse af prissætningsformlerne (2.7.17) og (2.7.18) samt driftsleddet (2.7.16). Ved at denere driftsparameteren for dynamikken hørende til den simple call-option δ = r q, (3.3.4) kan hedgeparametrene for de simple call- og put-optioner udtrykkes ved hjælp af driftsparameteren som c = c θ = e (r δ)t Φ(d 1 ), (3.3.5) p = p θ = e (r δ)t Φ( d 1 ). (3.3.6) Ved i stedet at anvende det til quantooptionerne hørende driftsled (2.7.16) kan de tilsvarende hedgeparametre for quantooptionerne direkte opskrives som Q c = cq θ = ξ ( ) e (rd δ θ)t Φ d Q 1, (3.3.7) Q p = pq θ = ξ ( ) e (rd δ θ)t Φ d Q 1, (3.3.8) hvor der multipliceres med ξ for at opnå et udtryk i den korrekte valuta, dvs. EUR, og hvor r D spiller rollen som den risikofri rente, da perspektivet jo er fra EUR-investoren. Hedge- Kompileret den 10. maj 2015 Side 51 af 83

53 parametrene for quantooptionerne kan beregnes med simulering ved anvendelse af samme fremgangsmåde som angivet for de simple call- og put-optioner i (3.3.1) og (3.3.2) Hedgeparametre for quantooptioner med knock-out Hedging af quantooptioner med knock-out forudsætter beregning af de relevante hedgeparametre ved simulering, da der ikke på samme måde er udledt lukkede udtryk til beregning af den teoretiske værdi. Som det fremgår af udledningen i afsnit er hedget for en quantooption med knock-out bestemt ved hedgeparameteren for underliggende (2.7.8) og hedgeparameteren for positionen i valuta (2.7.10). Bestemmelse af hedget for en quanto call-option med knock-out kræver således igen numerisk approksimation af partielt aedede nemlig henholdsvis c/ θ og c/ ξ. Begge partielt aedede approksimeres efter fremgangsmåden som illustreret i (3.3.1) og (3.3.2), dvs. c θ c(θ + θ) c(θ) θ, c ξ c(ξ + ξ) c(ξ) ξ, (3.3.9) hvor alle øvrige parametre holdes konstante ved beregning, dvs. θ er konstant, når de to værdier af quanto call-optionen c(ξ + ξ) og c(ξ) beregnes og omvendt ved beregning af de to værdier af quanto call-optionen for varierende θ. Det er med andre ord nødvendigt at beregne re optionsværdier (to for hver partielt aedt) for at bestemme hedget. Igen er det vigtigt for nøjagtigheden i beregningerne, at de to beregnede optionsværdier er baseret på de samme trækninger fra standardnormalfordelingen. Dette gør sig gældende for de to beregnede optionsværdier i forbindelse med variation af θ såvel som for de to beregnede optionsværdier i forbindelse med variation af ξ. Endvidere er det væsentligt at holde sig for øje, at størrelserne θ og ξ ikke nødvendigvis skal være ens. Anvendes eksempelvis en værdi på θ = ξ = 0, 1 vil denne ændring udgøre en forholdsmæssig lille del af kursen på underliggende, som eksempelvis kan være af størrelsesordenen 100 eller 1.000, mens ændringen vil udgøre en forholdsmæssig stor del af valutakursen, som typisk vil være af størrelsesordenen 1. Typisk kan det derfor være hensigtsmæssigt at lade ξ være mindre end θ. Kompileret den 10. maj 2015 Side 52 af 83

54 Kapitel 4 Numerisk prisfastsættelse og hedging På baggrund af kapitlerne 2 og 3 er der udviklet et simuleringsprogram til prisfastsættelse og beregning af hedgeparametre for simple optioner og quantooptioner. Simuleringsprogrammet er sammen med en implementering i Excel anvendt til at prisfastsætte simple optioner, quntooptioner uden stiafhængighed og quantooptioner med stiafhængighed. Dette kapitel adresserer undersøgelsesspørgsmål iv) ved at præsentere og diskutere de med simulering tilvejebragte numeriske resultater for de tre ovennævnte typer af optioner. Indledningsvis præsentere først resultaterne for de simple optioner, som efterølgende leder naturligt videre til de tilsvarende resultater for de mere komplekse quantooptioner. 4.1 Prisfastsættelse af simple optioner Som beskrevet i afsnit kan nøjagtigheden af et simuleringsprogram undersøges overordnet ved at anvende programmet til prisfastsættelse af simple optioner, således at de simulerede optionsværdier kan sammenholdes med teoretiske optionsværdier beregnet ved lukkede matematiske udtryk. Som en undersøgelse af simuleringsprogrammets nøjagtighed betragtes derfor i det følgende prisfastsættelse af en simpel call-option og en simpel put-option Eksempel 1: Simple optioner - call og put Simuleringen tager udgangspunkt i følgende parameterværdier θ 0 = 100, K = 90, r = 0, 015, q = 0, 02, σ = 0, 25, T = (4.1.1) Der anvendes N = 100 skridt, og dermed bliver t = 0, Med n = simuleringer bliver de beregnede værdier for henholdsvis calloption og putoption c sim = 10, 1643, p sim = 0, (4.1.2) Kompileret den 10. maj 2015 Side 53 af 83

55 Til sammenligning er de teoretisk værdier beregnet ved hjælp af (2.6.12), (2.6.13) (2.6.15) og (2.6.16) c = 10, 1623, p = 0, (4.1.3) Der er således overensstemmelse mellem de simulerede resultater og de teoretiske resultater beregnet med de lukkede Black-Scholes-formler til og med anden decimal. På baggrund af de simulerede værdier kan følgende størrelser beregnes p + e qt θ 0 = 100, 0530, (4.1.4) c + e rt K = 100, 0534, (4.1.5) og de beregnede værdier opfylder således put-call-pariteten p sim + e qt θ 0 c sim + e rt K. (4.1.6) Ved hedging af call-optionen indgår hedgeparameteren, som er calloptionens følsomhed overfor ændringer i underliggende. Den simulerede værdi af er bestemt til sim c = 0, 9307, (4.1.7) hvilket skal sammenholdes med den teoretiske Black-Scholes-værdi c = c θ = e qt N (d 1 ) = 0, (4.1.8) Der synes således at være udmærket overensstemmelse mellem den simulerede og den teoretiske værdi Eksempel 2: Simple optioner - call og put Det andet eksempel tager udgangspunkt i følgende parameterværdier θ 0 = 80, K = 80, r = 0, 015, q = 0, 10, σ = 0, 25, T = 1. (4.1.9) Igen anvendes N = 100 skridt, og dermed bliver t = 0, 010. Med n = simuleringer bliver de beregnede værdier for calloption og putoption c sim = 4, 7360, p sim = 11, (4.1.10) Kompileret den 10. maj 2015 Side 54 af 83

56 De teoretisk Black-Scholes-værdier er c = 4, 7372, p = 11, 1592, (4.1.11) og igen er der overensstemmelse til to decimaler mellem de simulerede værdier og de teoretiske værdier. Den simulerede værdi for hedgeparameteren er sim c = 0, 3759, (4.1.12) hvilket skal sammenholdes med den teoretisk beregnede Black-Scholes-værdi c = N (d 1 ) = 0, (4.1.13) Der synes således igen at være god overensstemmelse mellem den simulerede og den teoretiske værdi for Sammenfatning På baggrund af beregningerne af optionspriser og hedgeparametre synes der at være en god overensstemmelse mellem de simulerede og de teoretiske værdier. Således kan der i alle de beregnede tilfælde konstateres en overensstemmelse til og med anden decimal mellem den toeretiske værdi og den simulerede værdi. Konklusionen er derfor umiddelbart, at simuleringsprogrammet har en tilfredsstillende grad af nøjagtighed. For at illustrere nøjagtigheden i simulering er sammenhængen mellem simuleret pris og teoretisk pris for varierende antal simuleringer anført på gurerne 4.1, 4.2 og 4.3. Det fremgår, hvorledes nøjagtigheden vokser med antallet af simuleringer. Figur 4.1: Sammenhængen mellem simuleret pris og teoretisk pris for en simpel calloption med n = 100 simuleringer. Anvendte parameterværdier svarer til (4.1.9). Figur 4.2: Sammenhængen mellem simuleret pris og teoretisk pris for en simpel calloption med n = simuleringer. Anvendte parameterværdier svarer til (4.1.9). Figur 4.3: Sammenhængen mellem simuleret pris og teoretisk pris for en simpel calloption med n = simuleringer. Anvendte parameterværdier svarer til (4.1.9). 4.2 Prisfastsættelse af Quanto-optioner I det følgende prisfastsættes en quantooption med payo givet ved (2.1.7). Idet optionens payo veksles fra USD til EUR med den på forhånd aftalte valutakurs ξ, er optionens payo Kompileret den 10. maj 2015 Side 55 af 83

57 ikke direkte afhængigt af udviklingen i valutakursen. Dette fremgår af de lukkede prisformler (2.7.17) og (2.7.18), hvori valutakursen ikke optræder direkte. Værdien afhænger dog implicit af valutakursen, idet både valutakursens volatilitet og korrelationen mellem valutakurs og aktieindeks indgår i den justerede driftsparameter, som anvendes til simulering af processen for aktieindekset. I det følgende beregnes to eksempler på simulerede værdier for henholdsvis call- og put-option, og disse sammenlignes med værdiern som beregnet med det lukkede, matematiske udtryk Eksempel 1: Quantooptioner - call og put Simuleringen tager udgangspunkt i følgende parameterværdier θ 0 = 100, K = 97, r D = 0, 010, r F = 0, 025, ξ = 0, 80, q = 0, 05, σ θ = 0, 25, σ ξ = 0, 15, ρ θξ = 0, 25, T = , (4.2.1) og der anvendes igen N = 100 skridt, hvormed t = 0, Størrelsen ξ angiver den faste, aftalte vekselkurs, som anvendes til omregning af payo fra USD til EUR. Med n = simuleringer bliver de beregnede værdier for henholdsvis calloption og putoption mens de teoretisk værdier beregnes til c Q,sim = 3, 4944, p Q,sim = 1, 3227, (4.2.2) c Q = 3, 4988, p Q = 1, (4.2.3) Call-optionens følsomhed overfor ændringer i underliggende er ved simulering beregnet til c Q θ Eksempel 2: Quantooptioner - call og put Simuleringen tager udgangspunkt i følgende parameterværdier Sim = 0, (4.2.4) θ 0 = 100, K = 97, r D = 0, 010, r F = 0, 025, ξ = 0, 80, q = 0, 05, σ θ = 0, 25, σ ξ = 0, 15, ρ θξ = 1, 00, T = (4.2.5) Bemærk, at ændringen i korrelationen til ρ θξ = 1 er den eneste ændring er i forhold til (4.2.1). Aktiekursen og valutakursen er nu sålåedes perfekt modsat korreleret. Med n = gennemførte simuleringer bliver de beregnede værdier c Q,sim = 3, 7017, p Q,sim = 1, 1221, (4.2.6) Kompileret den 10. maj 2015 Side 56 af 83

58 mens de teoretisk værdier beregnes til c Q = 3, 7059, p Q = 1, (4.2.7) Call-optionens følsomhed overfor ændringer i underliggende er beregnet til c Q θ Sim = 0, 5309 (4.2.8) på baggrund af simuleringen. Som det er tilfældet for de simple optioner, synes der på baggrund af de to eksempler ligeledes for quantooptioner at være god overensstemmelse mellem de simulerede optionsværdier og optionsværdierne beregnet ved brug af lukkede udtryk Betydningen af korrelation Som det fremgår af eksemplerne og 4.2.2, har korrelationen mellem valutakurs og aktieindeks en indydelse på prisen af en quantooption. Figurerne 4.4, 4.5 og 4.6 illustrerer sammenhængen mellem værdien af quanto call-optionen og korrelationen mellem valutakurs og aktieindeks. Sammenhængen mellem korrelation og optionsværdi er angivet på baggrund af beregninger ved hjælp af de lukkede formler såvel som på baggrund af simulerede værdier. Udover at illustrere sammenhængen mellem korrelation og optionsværdi giver gurerne således en indikation af simuleringsprogrammets nøjagtighed ved beregning af værdi for quantooptioner med payo givet ved (2.1.7). Beregning af optionsværdi er foretaget med simuleringer for hver enkelt værdi af korrelationen. Sammenhængen mellem korrelationen og værdien af en Figur 4.4: Simuleret og teoretisk sammenhæng mellem værdi af call-option og korrelation mellem valutakurs og aktieindeks. Parameterværdier anvendt: θ 0 = 100, K = 97, r D = 0, 01, r F = 0, 025, q = 0, 05, σ θ = 0, 25, σ ξ = 0, 15, T = , ξ 0 = 0, 8. Figur 4.5: Simuleret og teoretisk sammenhæng mellem værdi af calloption og korrelation mellem valutakurs og aktieindeks. Parameterværdier anvendt: θ 0 = 100, K = 97, r D = 0, 01, r F = 0, 10, q = 0, 10, σ θ = 0, 25, σ ξ = 0, 15, T = , ξ 0 = 0, 8. Figur 4.6: Simuleret og teoretisk sammenhæng mellem værdi af calloption og korrelation mellem valutakurs og aktieindeks. Parameterværdier anvendt: θ 0 = 100, K = 97, r D = 0, 01, r F = 0, 025, q = 0, 025, σ θ = 0, 30, σ ξ = 0, 30, T = , ξ 0 = 0, 8. quanto put-option er på tilsvarende vis illustrerer på gurerne 4.7, 4.8 og 4.8. Det bemærkes, at værdien for call-optionen er faldende, når korrelationen vokser, mens det modsatte gør sig gældende for put-optionen. Forklaringen på den observerede sammenhæng mellem korrelation og optionsværdi skal ndes i det forhold, at korrelationen optræder med negativt fortegn i driftsparameteren for det underliggende aktiv. Er dermed korrelationen ρ θξ = 1, svarer dette til den største værdi af driftsparameteren og dermed den størst mulige drift af underliggende. Kompileret den 10. maj 2015 Side 57 af 83

59 Dette svarer til den højest mulige kurs og dermed den størst mulige værdi for call-optionen og modsat den lavest mulige værdi af put-optionen. Det modsatte gør sig gældende for værdien ρ θξ = +1, hvilket svarer til den laveste værdi af driftsparameteren og dermed den laveste drift af underliggende. Dette svarer igen til den laveste værdi af call-optionen, men modsat til den største værdi af put-optionen. Figur 4.7: Simuleret og teoretisk sammenhæng mellem værdi af putoption og korrelation mellem valutakurs og aktieindeks. Parameterværdier anvendt: θ 0 = 100, K = 105, r D = 0, 01, r F = 0, 025, q = 0, 05, σ θ = 0, 25, σ ξ = 0, 15, T = , ξ 0 = 0, 8. Figur 4.8: Simuleret og teoretisk sammenhæng mellem værdi af putoption og korrelation mellem valutakurs og aktieindeks. Parameterværdier anvendt: θ 0 = 100, K = 105, r D = 0, 01, r F = 0, 10, q = 0, 10, σ θ = 0, 25, σ ξ = 0, 15, T = , ξ 0 = 0, 8. Figur 4.9: Simuleret og teoretisk sammenhæng mellem værdi af putoption og korrelation mellem valutakurs og aktieindeks. Parameterværdier anvendt: θ 0 = 100, K = 105, r D = 0, 01, r F = 0, 025, q = 0, 025, σ θ = 0, 30, σ ξ = 0, 30, T = , ξ 0 = 0, Prisfastsættelse af Quantooptioner med stiafhængigt payo I dette afsnit introduceres stiafhængighed direkte i payo og dermed i værdien for optionerne, idet der introduceres henholdsvis knock-in- og knock-out-elementer. Prisfastsættelsen er foretaget ved brug af det samme simuleringsprogram som anvendt for simple optioner og quantooptioner uden stiafhængighed Eksempel 1: Stiafhængige quantooptioner med knock-out Eksemplet er baseret på n = simuleringer og N = 100 skridt i hver simulering samt følgende parameterværdier θ 0 = 100, K = 95, r D = 0, 010, r F = 0, 025, ξ 0 = 0, 80, ξ = 0, 80 ξ upper = 0, 90, q = 0, 05, σ θ = 0, 30, σ ξ = 0, 20, ρ θξ = 0, T = , (4.3.1) hvor ξ 0 er valutakursen EUR/USD ved periodens start, ξ er den aftalte, faste vekselkurs til omregning af payo fra USD til EUR, mens ξ upper er den øvre barriere, som er bestemmende for optionens, knock-out-element. På baggrund af simulering bliver værdierne for henholdsvis call-optionen og put-optionen beregnet til c Q,UO,sim = 4, 8457, p Q,UO,sim = 1, 1429, (4.3.2) hvor 'UO' refererer til 'Up-and-Out', altså optionens knock-out-element. Til sammenligning er de simulerede værdier for de tilsvarende quantooptioner uden knock-out-element beregnet Kompileret den 10. maj 2015 Side 58 af 83

60 til c Q,sim = 5, 0103, p Q,sim = 1, 1781, (4.3.3) mens de teoretiske værdier for quantooptionerne kan beregnes til c Q = 5, 0125, p Q = 1, (4.3.4) Det fremgår dermed, at værdien af den stiafhængige quantooption er mindre end den ikkestiafhængige option c Q,UO,sim < c Q,sim c Q (4.3.5) p Q,UO,sim < p Q,sim p Q. (4.3.6) Dette er forventeligt, fordi den øvre barriere for optionens knock-out-element ξ upper = 0, 9 ligger i nærheden af startværdien for valutakursen ξ 0, hvorfor en del af de n = simulerede stier bevæger sig således, at valutakursen undervejs antager end større værdi end ξ upper. Sådanne stier har et payo på nul, hvorfor det samlede, akkumulerede payo er mindre end payo for den tilsvarende option uden knock-out-elementet Eksempel 2: Stiafhængige quantooptioner med knock-out Eksemplet er igen baseret på n = simuleringer og N = 100 skridt i hver simulering. Parameterværdierne er de samme som (4.3.1) bortset fra en ændring af værdien af grænsen for knock-out-elementet, som reduceres til ξ upper = 0, 85. Optionsværdierne kan på baggrund af simulering beregnes til c Q,UO,sim = 3, 7203, p Q,UO,sim = 0, (4.3.7) Som forventet har den reducerede værdi af ξ upper foranlediget lavere værdi af både call- og put-optionen i forhold til eksempel 1 ovenfor, fordi et større antal af de simulerede stier nu undervejs vil antage en værdi større end ξ upper og dermed give et bidrag på nul til det samlede, akkumulerede payo Variation af grænsen for knock-out Eksemplerne ovenfor indikerer sammenhængen mellem ξ upper og værdien af optionerne. Ved at gennemføre simuleringer, hvor parameterværdierne fastholdes, mens værdien for ξ upper varieres, kan sammenhængen illustreres yderligere. Figurerne 4.10 og 4.11 tydeliggør for henholdsvis call-option og put-option sammenhængen for varierende værdier af ξ upper og illustrerer derved, hvordan optionens værdi afhænger af barriereværdien. Som forventet er optionens værdi nul, Kompileret den 10. maj 2015 Side 59 af 83

61 når ξ upper = ξ 0, altså når barriereværdien for knock-out er sammenfaldende med valutakursen i første periode, mens optionsværdien går mod værdien af den ikke-stiafhængige quantooption, når ξ upper vokser. I grænsen, hvor ξ upper ξ 0, vil de simulerede stier for valutakursen altid antage lavere værdier end barriereværdien. I praksis vil optionen i et sådant tilfælde opføre sig, som om den ikke har stiafhængighed, og dermed vil værdien være lig med værdien for den tilsvarende quantooption uden stiafhængighed. Figurerne 4.10 og 4.11 er baseret på parameterværdierne (4.3.1), hvor dog ξ upper varieres. Figurerne 4.12 og 4.13 illustrerer udvik- Figur 4.10: Sammenhængen mellem værdien af den stiafhængige call-option og barriereværdien for knock-out, ξ upper. Hver enkelt observation er baseret på n = simuleringer med parameterværdierne givet ved (4.3.1). Figur 4.11: Sammenhængen mellem værdien af den stiafhængige put-option og barriereværdien for knock-out, ξ upper. Hver enkelt observation er baseret på n = simuleringer med parameterværdierne givet ved (4.3.1). lingen i værdi for henholdsvis call-option og put-option som funktion af både underliggende og knock-out-barrierens placering. Figur 4.12: Værdi af call-optionen som funktion af kursen på underliggende og placering af knock-out-barrieren. Figur 4.13: Værdi af put-optionen som funktion af kursen på underliggende og placering af knock-out-barrieren Undersøgelse af korrelation Figurerne 4.14 og 4.15 illustrerer for call-option henholdsvis put-option sammenhængen mellem kursen på underliggende aktieindeks og optionsværdi for de to ekstreme korrelationsværdier, henholdsvis ρ θξ = + 1 og ρ θξ = 1. Figurerne er baseret på simulering med anvendelse Kompileret den 10. maj 2015 Side 60 af 83

Kapitel Indledning Problemformulering Struktur & metode Afgrænsning...6. Kapitel 2...7

Kapitel Indledning Problemformulering Struktur & metode Afgrænsning...6. Kapitel 2...7 Indhold Kapitel 1...3 1.1 Indledning...3 1.2 Problemformulering...4 1.3 Struktur & metode...5 1.4 Afgrænsning...6 Kapitel 2...7 2.1 Black-Scholes introduktion...7 2.1.1 Optioner...7 2.1.2 Black-Scholes

Læs mere

I n f o r m a t i o n o m v a l u t a o p t i o n s f o r r e t n i n g e r

I n f o r m a t i o n o m v a l u t a o p t i o n s f o r r e t n i n g e r I n f o r m a t i o n o m v a l u t a o p t i o n s f o r r e t n i n g e r Her kan du finde generelle oplysninger om valutaoptionsforretninger, der kan handles i Danske Bank. Valutaoptioner kan indgås

Læs mere

Opgave nr. 28. Prisfastsættelse af asiatiske optioner på aktier - ved Monte Carlo-simulering foretaget i Excel

Opgave nr. 28. Prisfastsættelse af asiatiske optioner på aktier - ved Monte Carlo-simulering foretaget i Excel H.D.-studiet i Finansiering Hovedopgave forår 004 Opgaveløser: Vejleder: Carsten Holdum Peter Toftager Ejlersen Opgave nr. 8 Prisfastsættelse af asiatiske optioner på aktier - ved Monte Carlo-simulering

Læs mere

Opgave nr. 5 og 31. Værdiansættelse af stiafhængige bermuda optioner, ved Least Squares Monte Carlo simulation.

Opgave nr. 5 og 31. Værdiansættelse af stiafhængige bermuda optioner, ved Least Squares Monte Carlo simulation. H.D.-studiet i Finansiering Hovedopgave - forår 2009 ---------------- Opgaveløser: Martin Hofman Laursen Joachim Bramsen Vejleder: Niels Rom-Poulsen Opgave nr. 5 og 31 Værdiansættelse af stiafhængige bermuda

Læs mere

Hvad bør en option koste?

Hvad bør en option koste? Det Naturvidenskabelige Fakultet Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag 9. oktober 2012 Dias 1/19 Reklame først: Matematik-økonomi-uddannelsen Økonomi på et solidt matematisk/statistisk

Læs mere

FINANSIERING 1. Opgave 1

FINANSIERING 1. Opgave 1 FINANSIERING 1 3 timers skriftlig eksamen, kl. 9-1, onsdag 9/4 008. Alle sædvanlige hjælpemidler inkl. blyant er tilladt. Sættet er på 4 sider og indeholder 8 nummererede delspørgsmål, der indgår med lige

Læs mere

1.1. Introduktion. Investments-faget. til

1.1. Introduktion. Investments-faget. til Introduktion til Investments-faget 1.1 Dagens plan Goddag! Bogen & fagbeskrivelse. Hvem er jeg/hvem er I? Hold øje med fagets hjemmeside! (www.econ.au.dk/vip_htm/lochte/inv2003) Forelæsningsplan,slides,

Læs mere

Hvad bør en option koste?

Hvad bør en option koste? Det Naturvidenskabelige Fakultet Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag 19. marts 2015 Dias 1/22 Reklame først: Matematik-økonomi-uddannelsen Økonomi på et solidt matematisk/statistisk

Læs mere

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI 4 timers skriftlig eksamen, 10-14, tirsdag 1/6 2004. Ingen hjælpemidler (blyant & lommeregner dog tilladt).

Læs mere

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i

Læs mere

Aalborg universitet. P4-4. semestersprojekt. Optionsteori Optioner på valuta

Aalborg universitet. P4-4. semestersprojekt. Optionsteori Optioner på valuta Aalborg universitet P4-4. semestersprojekt Optionsteori Optioner på valuta 25. maj 2012 AAUINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG TITEL: Optioner på valuta PROJEKT PERIODE: Fra 1. februar 2012 til 25. maj 2012

Læs mere

Estimation af volatilitet på aktiemarkedet

Estimation af volatilitet på aktiemarkedet H.D. studiet i Finansiering Hovedopgave Foråret 2009 ---------------------------- Opgaveløser: Daniel Laurits Jensen Vejleder: Bo Vad Steffensen Opgave nr. 21 Estimation af volatilitet på aktiemarkedet

Læs mere

Det naturvidenskabelige fakultet Sommereksamen 1997 Matematisk-økonomisk kandidateksamen Fag: Driftsøkonomi 2

Det naturvidenskabelige fakultet Sommereksamen 1997 Matematisk-økonomisk kandidateksamen Fag: Driftsøkonomi 2 1 Det naturvidenskabelige fakultet Sommereksamen 1997 Matematisk-økonomisk kandidateksamen Fag: Driftsøkonomi 2 Opgavetekst Generelle oplysninger: Der ses i nedenstående opgaver bort fra skat, transaktionsomkostninger,

Læs mere

Obligationsbaserede futures, terminer og optioner

Obligationsbaserede futures, terminer og optioner Obligationsbaserede futures, terminer og optioner Her kan du læse om obligationsbaserede futures, terminer og optioner, og hvordan de bruges. Du finder også en række eksempler på investeringsstrategier.

Læs mere

Investerings- og finansieringsteori

Investerings- og finansieringsteori Sidste gang: Beviste hovedsætningerne & et nyttigt korollar 1. En finansiel model er arbitragefri hvis og kun den har et (ækvivalent) martingalmål, dvs. der findes et sandsynlighedsmål Q så S i t = E Q

Læs mere

I n f o r m a t i o n o m a k t i e o p t i o n e r

I n f o r m a t i o n o m a k t i e o p t i o n e r I n f o r m a t i o n o m a k t i e o p t i o n e r Her kan du læse om aktieoptioner, og hvordan de kan bruges. Du finder også eksempler på investeringsstrategier. Aktieoptioner kan være optaget til handel

Læs mere

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI. 4 timers skriftlig eksamen, 9-13 torsdag 6/

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI. 4 timers skriftlig eksamen, 9-13 torsdag 6/ NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI 4 timers skriftlig eksamen, 9-13 torsdag 6/6 2002 VEJLEDENDE BESVARELSE OG KOMMENTARER Opgave 1 Spg 1a

Læs mere

Finansiel planlægning

Finansiel planlægning Side 1 af 8 SYDDANSK UNIVERSITET Erhvervsøkonomisk Diplomuddannelse HD 2. del Regnskab og økonomistyring Reeksamen Finansiel planlægning Tirsdag den 12. juni 2007 kl. 9.00-13.00 Alle hjælpemidler er tilladte.

Læs mere

Diskret delta hedging af optionsporteføljer. Matematik-Økonomi 4. semester - Gruppe G Aalborg Universitet

Diskret delta hedging af optionsporteføljer. Matematik-Økonomi 4. semester - Gruppe G Aalborg Universitet Diskret delta hedging af optionsporteføljer Matematik-Økonomi 4. semester - Gruppe G3-110 Aalborg Universitet Aalborg University Department of Mathematics Frederik Bajers Vej 7G, DK-90 Aalborg Ø, Denmark

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X

Læs mere

Hedging af Optioner i en Udvidet Black-Scholes Økonomi med Stokastisk Rente

Hedging af Optioner i en Udvidet Black-Scholes Økonomi med Stokastisk Rente Hedging af Optioner i en Udvidet Black-Scholes Økonomi med Stokastisk Rente Økonomisk Øvelse i Finansielle Instrumenter Af Martin Brobæk Madsen og Søren Vistisen Københavns Universitet Økonomisk Institut

Læs mere

Copenhagen Business School

Copenhagen Business School Copenhagen Business School Hd. Finansiering Analyse af garanti obligationen Grøn Energi 2012-2016 Forfatter: Don Fischer Vejleder: Jesper Lund Afleveret d. 15. maj 2012 Indholdsfortegnelse Side 1. Indledning

Læs mere

Hvor: D = forventet udbytte. k = afkastkrav. G = Vækstrate i udbytte

Hvor: D = forventet udbytte. k = afkastkrav. G = Vækstrate i udbytte Dec 64 Dec 66 Dec 68 Dec 70 Dec 72 Dec 74 Dec 76 Dec 78 Dec 80 Dec 82 Dec 84 Dec 86 Dec 88 Dec 90 Dec 92 Dec 94 Dec 96 Dec 98 Dec 00 Dec 02 Dec 04 Dec 06 Dec 08 Dec 10 Dec 12 Dec 14 Er obligationer fortsat

Læs mere

Note om Monte Carlo metoden

Note om Monte Carlo metoden Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at

Læs mere

I n f o r m a t i o n o m r å v a r e o p t i o n e r

I n f o r m a t i o n o m r å v a r e o p t i o n e r I n f o r m a t i o n o m r å v a r e o p t i o n e r Her kan du finde generel information om råvareoptioner, der kan handles gennem Danske Bank. Råvarer er uforarbejdede eller delvist forarbejdede varer,

Læs mere

Planen idag. Fin1 (mandag 16/2 2009) 1

Planen idag. Fin1 (mandag 16/2 2009) 1 Planen idag Porteføljeteori; kapitel 9 Noterne Moralen: Diversificer! Algebra: Portefølje- og lineær. Nogenlunde konsistens med forventet nyttemaksimering Middelværdi/varians-analyse Fin1 (mandag 16/2

Læs mere

Hovedløs overvægt af aktier er blot investeringsdoping

Hovedløs overvægt af aktier er blot investeringsdoping Hovedløs overvægt af aktier er blot investeringsdoping Af Peter Rixen Senior Porteføljemanager peter.rixen@skandia.dk Aktier har et forventet afkast, der er højere end de fleste andre aktivklasser. Derfor

Læs mere

HD(R) 2.del Finansiel Styring 12.06.2003 Ro203 Erling Kyed ******-**** 1 af 1 sider

HD(R) 2.del Finansiel Styring 12.06.2003 Ro203 Erling Kyed ******-**** 1 af 1 sider 1 af 1 sider Opgave 1.: Generelt må det siges at ud fra opgaveteksten er der ingen overordnet plan for koncernens likviditetsstyring. Især de tilkøbte selskaber arbejder med en høj grad af selvstændighed,

Læs mere

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006 Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af

Læs mere

Bilag A. Dexia-obligationen (2002/2007 Basis)

Bilag A. Dexia-obligationen (2002/2007 Basis) Bilag A Dexia-obligationen (2002/2007 Basis) Også kaldet A.P. Møller aktieindekseret obligation (A/S 1912 B). Dette værdipapir som i teorien handles på Københavns Fondsbørs (omend med meget lille omsætning)

Læs mere

Bilag I. ~ i ~ Oversigt BILAG II MATEMATISK APPENDIKS. The Prisoner s Dilemma THE PRISONER S DILEMMA INTRODUKTION I RELATION TIL SAMORDNET PRAKSIS

Bilag I. ~ i ~ Oversigt BILAG II MATEMATISK APPENDIKS. The Prisoner s Dilemma THE PRISONER S DILEMMA INTRODUKTION I RELATION TIL SAMORDNET PRAKSIS Oversigt BILAG I I THE PRISONER S DILEMMA INTRODUKTION I RELATION TIL SAMORDNET PRAKSIS I I II BILAG II III GENNEMSIGTIGHEDENS BETYDNING III MATEMATISK APPENDIKS V GENERELT TILBAGEDISKONTERINGSFAKTOREN

Læs mere

Prisfastsættelse af rentecaps

Prisfastsættelse af rentecaps HD - FINANSIERING Copenhagen Business School Afgangsprojekt maj 2014 Prisfastsættelse af rentecaps Afleveringsdato: 12. maj 2014 Vejleder: Jesper Lund Udarbejdet af: Christian Eske Bruun Dato og underskrift

Læs mere

University of Copenhagen. Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs. Publication date: Document Version Peer-review version

University of Copenhagen. Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs. Publication date: Document Version Peer-review version university of copenhagen University of Copenhagen Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs Publication date: 2014 Document Version Peer-review version Citation for published version (APA): Larsen,

Læs mere

Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004

Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004 1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt

Læs mere

Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31

Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Statistisk model: Vi antager at sammenhængen

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,

Læs mere

Oversigt over godkendte kompetencekrav Rød certificeringsprøve Financial Training Partner A/S

Oversigt over godkendte kompetencekrav Rød certificeringsprøve Financial Training Partner A/S Oversigt over godkendte kompetencekrav Rød certificeringsprøve Financial Training Partner A/S 22. juni 2012 I:\Certificering af Investeringsrådgivere\Kompetencekrav\Kompetencekrav 9 produkter til hjemmesiden

Læs mere

Reaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan

Reaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles

Læs mere

Hjemmeprøve 1 Efterår 2013: Afkast og risiko ved investering i aktier

Hjemmeprøve 1 Efterår 2013: Afkast og risiko ved investering i aktier Hjemmeprøve 1 Efterår 2013: Afkast og risiko ved investering i aktier Udviklingen i OMXC20 aktieindekset 2008 2013 1 1 OMXC20 er et indeks over de 20 mest omsatte aktier på Nasdaq OMX Copenhagen ( Københavns

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl

Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/36 Estimation af varians/spredning Antag X 1,...,X n stokastiske

Læs mere

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Oversigt 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt 2 Korrelation 3 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af

Læs mere

Indføring i de nyeste modeller for dynamisk asset allocation

Indføring i de nyeste modeller for dynamisk asset allocation Indføring i de nyeste modeller for dynamisk asset allocation Syddansk Universitet 29. marts 2006 Den Danske Finansanalytikerforening Kvant-workshop 1 Oversigt 1 Indledning 2 3 4 5 Centrale spørgsmål En

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler

Læs mere

Aktieindekserede obligationer. Sikker investering i det nordiske opsving

Aktieindekserede obligationer. Sikker investering i det nordiske opsving Aktieindekserede obligationer Sikker investering i det nordiske opsving Norden et unikt vækstcenter I Danske Bank vurderer vi, at den positive udvikling i Norden vil fortsætte. Derfor tilbyder vi to forskellige

Læs mere

Mikroøkonomi Projektopgave: Valg Under Usikkerhed

Mikroøkonomi Projektopgave: Valg Under Usikkerhed Mikroøkonomi Projektopgave: Valg Under Usikkerhed Peter Norman Sørensen, Økonomisk Institut Forår 2003 1. Formalia [10 minutter] Denne obligatoriske projektopgave er en guide til selvstudium af kapitel

Læs mere

Risikospredning på flere forvaltere

Risikospredning på flere forvaltere Risikospredning på flere forvaltere Af Peter Rixen Senior Porteføljemanager peter.rixen@skandia.dk Risikospredning er den eneste såkaldte free lunch på de finansielle markeder. Derfor er der også meget

Læs mere

Rettevejledning til 1. obligatoriske opgave Beslutninger og strategi

Rettevejledning til 1. obligatoriske opgave Beslutninger og strategi Rettevejledning til. obligatoriske opgave Beslutninger og strategi Christian S. Liebing og Tobias N. Thygesen Forår 00. version. Opgave Betragter en agent med vnm-præferencer. Vi får oplyst, at agenten

Læs mere

Konfidensintervaller og Hypotesetest

Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller

Læs mere

Vægte motiverende eksempel. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægtet model. Vægtrelationen

Vægte motiverende eksempel. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægtet model. Vægtrelationen Vægte motiverende eksempel Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - kkb@mathaaudk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Højdeforskellen mellem punkterne P

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b2.

C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b2. C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b. 5.000 4.800 4.600 4.400 4.00 4.000 3.800 3.600 3.400 3.00 3.000 1.19% 14.9% 7.38% 40.48% 53.57% 66.67% 79.76% 9.86% 010 011

Læs mere

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI 4 timers skriftlig eksamen, 9-13, tirsdag 16/6 2003. Ingen hjælpemidler (blyant & lommeregner dog tilladt).

Læs mere

Global 2007 Tegningsperiode: 11. september - 24. september 2002

Global 2007 Tegningsperiode: 11. september - 24. september 2002 Global 2007 Tegningsperiode: 11. september - 24. september 2002 PLUS PLUS - en sikker investering Verdens investeringsmarkeder har i den seneste tid været kendetegnet af ustabilitet. PLUS Invest er en

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14 Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14 Opgave 1 a) Det første trin i opstillingen af en hypotesetest er at formulere to hypoteser, hvoraf den ene støtter den teori vi vil teste, mens den anden

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.

Teoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt

Læs mere

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske

Læs mere

Rød certificering Finanssektorens Uddannelsescenter. Kompendium om Aktieoptioner

Rød certificering Finanssektorens Uddannelsescenter. Kompendium om Aktieoptioner Rød certificering Finanssektorens Uddannelsescenter Kompendium om Aktieoptioner Version 1, opdateret den 19. marts 2015 BAGGRUND... 4 INDHOLD OG AFGRÆNSNING... 4 1. INDLEDNING... 4 2. OPBYGNING OG STRUKTUR...

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Modelusikkerhed i stokastiske volatilitets modeller

Modelusikkerhed i stokastiske volatilitets modeller Erhvervsøkonomisk institut Msc in Finance Forfattere: Jannie Tornvig Kristine Bærentzen Vejleder: David Skovmand Modelusikkerhed i stokastiske volatilitets modeller Handelshøjskolen i Aarhus, Aarhus Universitet

Læs mere

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 30. maj 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 30. maj 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 0. maj 206 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret

Læs mere

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009 DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,

Læs mere

Information om finansielle instrumenter og risiko

Information om finansielle instrumenter og risiko 1 Aktier regulerede markeder Aktiemarkederne bliver påvirket af, hvordan det går med økonomien globalt og lokalt. Hvis der er økonomisk vækst, vil virksomhedernes indtjeninger vokse, og investorerne vil

Læs mere

Statistiske modeller

Statistiske modeller Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder

Læs mere

Produkter i Alm. Brand Bank

Produkter i Alm. Brand Bank Alm Brand Bank Produkter i Alm. Brand Bank De nye regler om investorbeskyttelse træder i kraft d. 1. november 2007. Ifølge disse er Alm. Brand Bank forpligtet til at informere vore kunder om de risici,

Læs mere

Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen

Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +

Læs mere

Aktieindekserede obligationer 2 GRUNDLÆGGENDE OMKRING AKTIEINDEKSEREDE OBLIGATIONER... 7 3 MARKEDSBESKRIVELSE... 15

Aktieindekserede obligationer 2 GRUNDLÆGGENDE OMKRING AKTIEINDEKSEREDE OBLIGATIONER... 7 3 MARKEDSBESKRIVELSE... 15 1 INDLEDNING... 4 1.1 PROBLEMFORMULERING... 4 1.2 AFGRÆNSNING... 6 2 GRUNDLÆGGENDE OMKRING AKTIEINDEKSEREDE OBLIGATIONER... 7 2.1 PRODUKTET... 7 2.2 NULKUPONOBLIGATIONEN... 8 2.3 OPTIONEN... 10 2.4 DELTAGELSESGRADEN...

Læs mere

Himalayaoptioner. Brugen af himalayaoptioner i finansielle produkter og prisfastsættelse af disse

Himalayaoptioner. Brugen af himalayaoptioner i finansielle produkter og prisfastsættelse af disse Christian Kjølhede, Studienummer: CK9792 Bachelorafhandling HA Almen, 6. semester Forfatter Christian Kjølhede Vejleder Peter Løchte Jørgensen Himalayaoptioner Brugen af himalayaoptioner i finansielle

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression

Anvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression Anvendt Statistik Lektion 7 Simpel Lineær Regression 1 Er der en sammenhæng? Plot af mordraten () mod fattigdomsraten (): Scatterplot Afhænger mordraten af fattigdomsraten? 2 Scatterplot Et scatterplot

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Hvad er en option? Muligheder med en option Køb og salg af optioner kan både bruges som investeringsobjekt samt til afdækning af risiko.

Hvad er en option? Muligheder med en option Køb og salg af optioner kan både bruges som investeringsobjekt samt til afdækning af risiko. Hvad er en option? En option er relevant for dig, der f.eks. ønsker at have muligheden for at sikre prisen på et aktiv i fremtiden. En option er en kontrakt mellem to parter en køber og en sælger der giver

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Wigner s semi-cirkel lov

Wigner s semi-cirkel lov Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse

Læs mere

For nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.

For nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m. 1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer

Læs mere

Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger

Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)

Læs mere

Dagens Emner. Likelihood-metoden. MLE - fortsat MLE. Likelihood teori. Lineær regression (intro) Vi har, at

Dagens Emner. Likelihood-metoden. MLE - fortsat MLE. Likelihood teori. Lineær regression (intro) Vi har, at Likelihood teori Lineær regression (intro) Dagens Emner Likelihood-metoden M : X i N(µ,σ 2 ) hvor µ og σ 2 er ukendte Vi har, at L(µ,σ 2 1 ) = ( 2πσ 2)n/2 e 1 2 P n (xi µ)2 er tætheden som funktion af

Læs mere

Aktierne er steget i pris men er de blevet for dyre?

Aktierne er steget i pris men er de blevet for dyre? Aktierne er steget i pris men er de blevet for dyre? Af Peter Rixen Senior Porteføljemanager peter.rixen@skandia.dk Der er rigtig mange holdninger til den aktuelle værdiansættelse af aktier. Desværre bliver

Læs mere

Center for Statistik. Multipel regression med laggede responser som forklarende variable

Center for Statistik. Multipel regression med laggede responser som forklarende variable Center for Statistik Handelshøjskolen i København MPAS Tue Tjur November 2006 Multipel regression med laggede responser som forklarende variable Ved en tidsrække forstås i almindelighed et datasæt, der

Læs mere

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller

Læs mere

Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen

Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen IMM, 2002-10-10 Poul Thyregod Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen 1 Introduktion I forbindelse med inferens i normalfordelinger optræder forskellige fordelinger, der er afledt af normalfordelingen,

Læs mere

DAF ÅRHUS FEBRUAR Copyright 2011, The NASDAQ OMX Group, Inc. All rights reserved.

DAF ÅRHUS FEBRUAR Copyright 2011, The NASDAQ OMX Group, Inc. All rights reserved. DAF ÅRHUS FEBRUAR 2011 Copyright 2011, The NASDAQ OMX Group, Inc. All rights reserved. LIDT HISTORIE.. EN BØRS I FORANDRING 1648 Københavns brand 1800 Industrialisering 1919 Flytter fra den gamle børsbygning

Læs mere

Bilagsoversigt Bilag 1 CME s udbud af vejrderivater

Bilagsoversigt Bilag 1 CME s udbud af vejrderivater Bilagsoversigt Bilag CME s udbud af vejrderivater Bilag 2 Vejrudgaven af Black-Scholes modellen Bilag 3 Sammenligning af empiri og model for novembertemperatur Bilag 4 Sammenligning af empiri og model

Læs mere

02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset

02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset 02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset Vejledende løsning SPL3.3.1 Der er tale om en binomialfordeling med n =10ogp=0.6, og den angivne sandsynlighed er P (X =4) som i bogen også

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Kvantitative metoder 2 Specifikation og dataproblemer 2. maj 2007 KM2: F22 1 Program Specifikation og dataproblemer, fortsat (Wooldridge kap. 9): Betydning af målefejl Dataudvælgelse: Manglende observationer

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl

Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/1 Vægtet

Læs mere

Det naturvidenskabelige fakultet Vintereksamen 96/97 Matematisk-økonomisk kandidateksamen Fag: Driftsøkonomi 2

Det naturvidenskabelige fakultet Vintereksamen 96/97 Matematisk-økonomisk kandidateksamen Fag: Driftsøkonomi 2 1 Det naturvidenskabelige fakultet Vintereksamen 96/97 Matematisk-økonomisk kandidateksamen Fag: Driftsøkonomi 2 Opgavetekst Generelle oplysninger: Der ses i nedenstående opgaver bort fra skat, transaktionsomkostninger,

Læs mere

Øvelse 17 - Åbne økonomier

Øvelse 17 - Åbne økonomier Øvelse 17 - Åbne økonomier Tobias Markeprand 20. januar 2009 Opgave 21.2 Betragt et land, der opererer under faste valutakurser, med den samlede efterspørgsel og udbud givet ved ligninger (21.1) og (21.2)

Læs mere

Monte Carlo simulering

Monte Carlo simulering Handelshøjskolen i København / Copenhagen Business School Institut for Finansiering Cand.merc.mat studiet Kandidatafhandling Monte Carlo simulering Anvendelse af metoden samt introduktion af de variansreducerende

Læs mere

Aktieindekseret obligation knyttet til

Aktieindekseret obligation knyttet til Aktieindekseret obligation Danske Aktier Aktieindekseret obligation knyttet til kursudviklingen i 15 førende, danske aktieselskaber Notering på Københavns Fondsbørs 100 % hovedstolsgaranti Danske Aktier

Læs mere

Kapitel 12 Variansanalyse

Kapitel 12 Variansanalyse Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 / 43 Indledning Sammenligning af middelværdien i to grupper indenfor en stikprøve kan

Læs mere

Markedsindekseret obligation

Markedsindekseret obligation Markedsindekseret obligation Bedst-af-3 II - Investering med hovedstolsgaranti Det er en gylden regel inden for investering, at man ofte opnår det bedste resultat, hvis man spreder sine investeringer på

Læs mere

Besvarelser til øvelsesopgaver i uge 6

Besvarelser til øvelsesopgaver i uge 6 Besvarelser til øvelsesopgaver i uge 6 Opgave 7.46, side 228 (7ed 7.28, side 244 og 6ed: 7.28, side 240) Vi tænker os, at vi har data for emissionen {x 1, x 2,..., x n }, når det pågældende device er monteret.

Læs mere

Økonometri 1. Dagens program. Den simple regressionsmodel 15. september 2006

Økonometri 1. Dagens program. Den simple regressionsmodel 15. september 2006 Dagens program Økonometri Den simple regressionsmodel 5. september 006 Den simple lineære regressionsmodel (Wooldridge kap.4-.6) Eksemplet fortsat: Løn og uddannelse på danske data Funktionel form Statistiske

Læs mere

Finansiel planlægning

Finansiel planlægning Side 1 af 6 SYDDANSK UNIVERSITET Erhvervsøkonomisk Diplomuddannelse HD 2. del Regnskab og økonomistyring Eksamen Finansiel planlægning Torsdag den 12. juni 2008 kl. 9.00-13.00 Alle hjælpemidler er tilladt.

Læs mere