Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353
|
|
- Marianne Frank
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi idleder dog med at se ærmere på takegagskompetece, der i praksis viser sig vaskelig at afgræse, me som det følgede afsit ka bidrage til at tydeliggøre. I KOMrapporte defieres takegagskompetece som: Dee kompetece består for det første i at være klar over, hvilke spørgsmål som er karakteristiske for matematik, i selv at stille sådae spørgsmål og i at have blik for, hvilke typer af svar som ka forvetes (KOM-rapporte 2002, s. 47). Det uddybes bl.a. ved at kue udvide et begreb ved abstraktio af egeskaber i begrebet, [og] i at forstå, hvad der ligger i geeraliserig af matematiske resultater. Vi har således ovefor abstraheret de cetrale egeskaber ved vores kedte tal til e mere abstrakt struktur, legemet. Dee proces ka således betragtes som udtryk for et væsetligt elemet i takegagskompetece. Og de resultater, vi ovefor og herefter fider for et legeme, vil selvfølgelig både gælde for de reelle tal og for de ratioale tal. Når vi i ω-boge kommer ærmere id på de komplekse tal, vil det hurtigt afsløres, at disse tal også udgør et legeme, hvorefter vi vil referere tilbage til ærværede kapitel og straks overtage alle de her udviklede begreber og resultater. Dee måde at tæke på er karakteristisk for matematik og cetral i takegagskompetece i matematik på de videregåede uddaelser, heruder også læreruddaelse. Det hører også med til takegagskompetece at kue skele mellem forskellige slags matematiske udsag og påstade, heruder betigede udsag, defiitioer, sætiger, fæomeologiske påstade om ekelttilfælde og formodiger baseret på ituitio eller erfariger med specialtilfælde (Kom-rapporte, s. 47) I starte af brøkkapitlet iddrog vi fæomeologiske påstade omkrig praktiske deligssituatioer med pizzaer og bordopstillig i restaurater. Det gav ogle idsigter og formodiger, som vi argumeterer for i kapitlet Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skole 353
2 om É faglig vej geem brøkregig. Her løftede vi os over de praktiske fæomeer til ogle mere geerelle defiitioer og sætiger, der kue udledes af dem. Nu ka vi gå et tri videre. Med kostaterige af, at de ratioale tal er et legeme, ka vi emlig opbygge de videregåede regeregler meget præcist og logisk ud fra betigelsere for et legeme. Det vil vi seere omtale som e aksiomatisk-deduktiv fremstillig, e form der allerede for mere ed år side opstod ide for geometrie, me først for alvor er slået igeem ide for e ikke-geometrisk algebra ide for de seeste århudreder. I lærebøgeres færdige fremstillig af matematisk takegag skjules ofte det meget karakteristiske, at ma i praksis ædrer på sie defiitioer, hvis ma har problemer med at bevise ogle af de sætiger, som ma ad erfariges vej har lært at tro på. Måske er det edda rimeligt at hævde, at defiitioere kommer til sidst, år ma har fået det matematiske på plads, og det væsetlige har udkrystalliseret sig, jf. defiitioe af et legeme. Det er e defiitio, der klart er udspruget af, at ma har set tilstrækkeligt mage strukturer med fælles egeskaber til, at ma til sidst har udkrystalliseret e esses. Dette mod og dee eve til at sætte spørgsmål ved defiitioer er e vigtig del af videskabsmades takegagskompetece. Me at det er videskabsmades forhidrer ikke, at ma gaske lagsomt iddrager det i skoles matematikudervisig. Hvis ma ikke gør det, syder ma elevere for e væsetlig del af matematisk virksomhed og bidrager til at uderstøtte et autoritetstro sy på matematik, der hæver matematikke over ehver diskussio. Derfor vil vi tage fat på at diskutere defiitioer i et særligt afsit Drilske spørgsmål i potesregig. Vil ma læse e rigtig god fremstillig af det gesidige forhold mellem defiitioer og sætiger, så abefales det lille værk Proofs ad refutatios (Lakatos 1976). Potesregereglere i et legeme I et legeme L ka vi defiere poteser og derefter bevise reglere for regig med poteser. 354 del iv Algebra
3 Defiitio 4 For et hvert tal a i L og ethvert aturligt tal defieres a a a a... a, altså lig med i alt faktorer a, hvis produkt så udgør a. De klassiske betegelser for dee situatio er, at a kaldes e potes, a kaldes rode og kaldes ekspoete. I yere sprog ka forekomme, at også kaldes for potese og a kaldes grudtallet. Ud fra defiitio 4 og det faktum, at vi befider os i et legeme, ka vi u bevise e række sætiger om potesopløftig. Da vi idtil u ku har to dokumeterede eksempler på legemer, emlig ( Q,+, ) og ( R,+, ), er det altså i første omgag disse legemer, vi vil tæke på. Imidlertid vil vi i bevisere udelukkede beytte de grudlæggede egeskaber for legemer for at skærpe opmærksomhede på, at det etop er disse, der er grudlaget for bevisere. Ved ku at bygge på de grudlæggede egeskaber opår vi, at alle de følgede sætiger også vil gælde for de komplekse tal, som vi skal beskæftige os med i ω-boge. Sætig 9 For alle aturlige tal og m og alle tal a i L gælder + m ( m) a a a. Bevis Vi beytter blot defiitio 4 på lov for regigsarte gage : m a a ( a a a... a) ( a a a... a) faktorer m faktorer a ogle gage samt de associative (da paretesere ka hæves pga. de associative lov) + m ( a a a... a) a. + m faktorer Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skole 355
4 Eksempel 2 Eksempler fra heholdsvis ( Q,+, ) og ( R,+, ) , , π π π 10, Sætig 10 For alle aturlige tal og alle tal a, b i legemet L gælder ( a b) a b. Bevis Ige beyttes defiitio 4 på potesopløftig og de associative lov for gage. Desude avedes de kommutative lov ogle gage: ( a b) ( a b) ( a b)... ( a b) a b a b... a b faktorer faktorer a og faktorer b ( a a... a) ( b b... b) a b. faktorer a og faktorer b Eksempel ( 2 3) 2 3, der i øvrigt er lig med Sætig 11 m m a a. For alle aturlige tal og m og alle tal a i L gælder: ( ) 356 del iv Algebra
5 Bevis Ige behøver vi blot at avede defiitio 4 og de associative lov: m ( a ) a a... a ( a a... a) ( a a... a)... ( a a... a) m faktorer m faktorer faktorer faktorer faktorer m a a... a a. m faktorer Eksempel , ( ) ( ) ( ), ( ) 3 3. Drilske spørgsmål i potesregig Vi skifter u fremstilligsform fra de strigete deduktive form med defiitio, sætig og bevis til e mere diskuterede. For etop på området med potesregeregler drejer de didaktiske problemer, ma som lærer løber id i, sig ofte om, hvorfor defiitioere er, som de er. Når ma således diskuterer regeregler omkrig poteser med lærerstuderede er de oftest forekommede spørgsmål: Hvorfor er a 0 1? og Hvorfor er det u lige, at 4 16? 2 1 I det følgede besvares disse og adre drilske spørgsmål, idet vi samtidig kommer id på, hvorda ma i matematikke tilstræber at fastholde pæe og simple sætiger samt selvfølgelig at udgå modstrid. Lad os imidlertid straks slå fast, at matematikke er e meeskelig kostruktio, og at der derfor på forhåd ikke er oget, der forhidrer matematikere i at defiere eller eller edda Det vil blot have ogle ubehagelige kosekveser. Mest markat ville det gå ud over de måske mest brugte regeregel for poteser, emlig sætig 9 ovefor: + a a m a ( m). Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skole 357
6 Vi har allerede bevist, at dee regeregel må gælde for vilkårlige reelle tal a og vilkårlige aturlige tal m og. Og hvis vi u gere vil have dee ekle regeregel til også at gælde, år og m er midre ed eller lig med 0, så bliver vi simpelthe tvuget til at defiere a 0 1 og Det vil vi vise i det følgede, bl.a. ud fra de ovefor give defiitio 4 på a for lig et aturligt tal. 2 1 Sætig 12 (alme udgave) For alle hele tal og m og alle tal a i R, + a a m a ( m). ( a 0) gælder Sætig 12 skal i første omgag betragtes som et øske, vi opstiller, og u vil vi drage kosekvesere af dette øske. Vi ka kalde dee proces for e aalyse, idet vi atager, at sætige er sad, og ser, hvor det fører os he. Vi aalyserer os frem til, hvorda vi bedst ka defiere størrelser som 0 2 a og 4. Sætig 13 Af sætig 12 følger, at der ødvedigvis gælder: a og a a. Bevis Sætig 12, som vi skal bygge på, siger, at der for alle fra 0 forskellige + reelle tal a og for alle hele tal og m gælder, at a a m a ( m). Så lad a være et vilkårligt fra 0 forskelligt reelt tal, og lad m være et 0 + aturligt tal. Så gælder ifølge sætig 12, at m (0 m) a a a, altså at 0 m m a a a, idet (0 + m) m. 358 del iv Algebra
7 m Nu ved vi, at a er forskellig fra 0, så vi ka dividere med det på hver m 0 m m 0 a side af a a a, hvilket giver a 1. Vi har således bevist m a første del af sætig 13. For at bevise ade del af sætige lader vi ige a være et vilkårligt fra 0 forskelligt reelt tal og lader være et aturligt tal. Ifølge sætig 12 (alme udgave) er: 0 1 ( + ( )) a a a a, hvor det adet lighedsteg gælder, fordi + ( ) 0, og det tredje gælder ifølge det, vi etop har vist. Vi dividerer på hver side af a a 1 med a og får a 1 a, hvilket er påstade i ade del af sætig 13. Efter at have bevist sætig 13 har vi selvfølgelig stadig frihed til at defiere 0 a og a som vi vil, me sætig 13 fortæller os, at det både for matematik som videskab og for de bør, der skal lære faget i skole, ville være hesigtsmæssigt at vælge de defiitio, der foreslås i sætig 13. Det vælger vi derfor i dee bog. Defiitio 5 For alle aturlige tal og for alle fra 0 forskellige reelle tal a defierer vi: a og a a. Ud fra dee defiitio ka ma så til gegæld bevise, at sætig 12 gælder i si almee form. Beviset overlades til læsere. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skole 359
8 Øvelse 6 Prøv selv at gå geem argumetet bag sætig 13 ige og påvis helt kokret, at de eeste foruftige betydig af er 1, og tilsvarede bør 4 være det samme som. 16 Øvelse 7 Sætig 13 udsiger, at vi ikke ka få sætig 12 til at gælde geerelt, med midre vi accepterer defiitio 5. Hvis vi u accepterer defiitio 5, så ka vi faktisk bevise sætig 12 i si almee form. Dette hedder at dae e sytese (opbygig) efter de etop geemførte aalyse ( 2) Prøv at bevise sætig 12 i følgede kokrete tilfælde: Vis det ved at tage udgagspukt i defiitio 5. Et meget specielt resterede problem De oveståede aalyse giver ikke oget svar på, hvad vi med fordel ka forstå ved 0 a og a, år a er lig med 0. 1) Hvis vi repeterer første del af beviset for sætig 13, ser vi, at det bliver 0 m svært at kokludere oget ud fra m 0, idet der blot står 0 0 0, hvilket er sadt uaset, hvilke værdi vi tillægger 0 0. Så vi må kokludere, at vi er frit stillet i defiitioe af 0 0. Det er klart, at det ikke vil skabe større problemer i et almideligt hverdagsliv, hvis vi defierer , fordi det er meget svært at fide situatioer fra hverdage, hvor e beregig af 0 0 har oge betydig. Iteratioalt er ma imidlertid blevet eige om følgede foruftige argumet: Da a 0 1 for a 0, betyder det, at fuktioe f ( x) x 0 er kostat lig med 1 for x 0. Hvis vi u sætter x 0 1, så bliver fuktioe f ( x) x 0 kostat og altså kotiuert (ude pludselige sprig) for alle reelle tal x. Hvis vi sætter f (0) 0 0 lig med oget som helst adet ed 1, bliver fuktioe diskotiuert de vil være kostat, me pludselig 360 del iv Algebra
9 hoppe ved x 0. Derfor sætter vi x 0 1 efter dee bladig af æstetiske og praktiske overvejelser. Det sikrer, at alle de elemetære fuktioer i matematik (dem ma arbejder med på B-iveau i gymasiale uddaelser, og som vi skal se på i æste kapitel), bliver kotiuerte og dermed lettere at rege med i de videregåede matematik, både itert og i avedelsere. 2) Hvad agår a 1, så bliver de rigtig grim, hvis a sættes lig med a 1 1 0, idet der vil stå 0. Da det almideligvis er forbudt at dividere med 0, syes det ikke muligt på dee måde at tillægge 0 oge 0 0 meig. Nu skal ma ige huske på, at matematik er e meeskelig kostruktio, og at der derfor ikke er oget, der på forhåd er forbudt i matematik. Det er som i livet i øvrigt et spørgsmål om, hvorvidt ma vil bære kosekvesere af det, ma gør. Vi så ovefor, at vi havde lov at defiere 0 a og a, som vi ville, me hvis ikke vi gjorde som i defiitio 5, kue vi ikke redde sætig 12. Så, da matematik er meeskeværk, ka det da godt være, at vi kue klare problemet med Matematikere har allerede opfudet symbolet for 0 uedelig. Der kue være e vis foruft i at defiere 1 0 behøver blot at se på udviklige: som. Ma x 1 ½ 1/10 1/100 1/ / /x Altså, jo midre x bliver, desto større bliver 1. Dette kue godt friste til x at sige, at år x bliver uedelig lille, så skal 1 x være uedelig stor. Eller kort sagt: år x bliver 0, så bliver 1 x til. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skole 361
10 Imidlertid løber vi id i problemer, hvis vi faktisk vil påstå, at er et tal på lige fod med de adre reelle tal. For hvis det er tilfældet, må ma rege med det på sædvalig vis og får så følgede mærkelige udregig: , hvor vi efter forkortig med 0 på vestre side får: Da det er e almidelig regeregel, at a 0 0, så bliver kosekvese, at 1 0, hvilket vil medføre, at alle tal er lig med 0. Det er e al for stor pris at betale for at få lov til at give meig til et så specielt udtryk som 1 0. Vi vælger derfor også at opgive at tillægge det edu mere geerelle udtryk 0 oge meig. Opgave 8 Ma kue prøve at redde situatioe ved at hævde, at 0 ikke slår ed i e multiplikatio, me at de er jævbyrdige på e måde, så 0 1. Me det ka heller ikke lade sig gøre ude at skabe talmæssige katastrofer. Prøv fx at udrege hver side af 2 (0 ) (2 0) eller oget ligede, og se om du har lyst til at bære kosekvesere af de seeste atagelse. Digt e dialog: Lærere: Og x opløftet til ulte sætter vi lig med 1. Mads: Jo, me 4 i ade var 16, fordi vi skulle gage 4 med sig selv to gage. Hvis vi skal gage fire med sig selv ul gage, så giver det jo slet ige tig, og det er vel det samme som ul. Altså Lærere: digt videre Rødder i et legeme som de reelle tal Geerelt ka ma ikke uddrage kvadratrødder i et legeme. Specielt er der få kvadratrødder ide for det ratioale tallegeme, idet sadsylighede for, at et ratioalt tal har e ratioal kvadratrod, er meget lille, ja ærmest 0. Det 362 del iv Algebra
Elementær Matematik. Polynomier
Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere
Læs mereog Fermats lille sætning
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage
Læs mereProjekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner
Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.
Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige
Læs mereog Fermats lille Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne sætning ..., 44, 20,4,28,52,... Hvad er matematik? 3 ISBN
Projekt 0.4 Modulo-regig, restklassegruppere sætig ( p 0, ) og Fermats lille Vi aveder moduloregig og restklasser mage gage om dage, emlig år vi taler om tid, om hvad klokke er, om hvor lag tid der er
Læs mereMeningsmålinger KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017
Meigsmåliger KLADDE Thomas Heide-Jørgese, Rosborg Gymasium & HF, 2017 Idhold 1 Meigsmåliger 2 1.1 Idledig................................. 2 1.2 Hvorda skal usikkerhede forstås?................... 3 1.3
Læs mereLøsningsforslag til skriftlig eksamen i Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Løsigsforslag til skriftlig eksame i Kombiatorik, sadsylighed og radomiserede algoritmer (DM58) Istitut for Matematik & Datalogi Syddask Uiversitet Madag de 3 Jauar 011, kl. 9 13 Alle sædvalige hjælpemidler
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter
Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag
Læs merevejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.
enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på
Læs mereBjørn Grøn. Analysens grundlag
Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til
Læs mereRenteformlen. Erik Vestergaard
Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard
Læs mereTalfølger og -rækker
Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber
Læs mereUge 37 opgaver. Opgave 1. Svar : Starter med at definere sup (M) og inf (M) :
Uge 37 opgaver Opgave Svar : a) Starter med at defiere sup (M) og if (M) : Kigge u på side 3 i kompedie og aveder aksiom (.3) Kotiuitetsaksiomet A = x i x 2 < 2 Note til mig selv : Har søgt på ordet (iequalities)
Læs mereIntroduktion til uligheder
Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og
Læs mereFUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner Rentesregning Indekstal
FUNKTIONER del Fuktiosbegrebet Lieære fuktioer Ekspoetialfuktioer Logaritmefuktioer Retesregig Idekstal -klassere Gammel Hellerup Gymasium November 08 ; Michael Szymaski ; mz@ghg.dk Idholdsfortegelse FUNKTIONSBEGREBET...
Læs mere- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog
Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Læs mereIntroduktion til uligheder
Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og det kvadratiske geemsit. Først skal vi ved fælles
Læs mereProjekt 9.1 Regneregler for stokastiske variable middelværdi, varians og spredning
Hvad er matematik? Projekter: Kaitel 9 Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Sætig : Regeregler
Læs mereKOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
KOMPLEKSE TAL x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse E kort historie om imagiært og virkeligt... Tallegemet De Komplekse Tal... Idførelse af realdel og imagiærdel samt i... 8 Subtraktio,
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til
Læs mereKOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
KOMPLEKSE TAL x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Februar 09 ; Michael Symaski ; m@ghg.dk Idholdsfortegelse E kort historie om imagiært og virkeligt... Tallegemet De Komplekse Tal... Idførelse af realdel
Læs mereBranchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros
Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig
Læs mereAnalyse 1, Prøve maj 2009
Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede
Læs mereProjekt 1.3 Brydningsloven
Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme
Læs mereFormelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6
Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Læs mere1. De karakteristiske egenskaber ved de tre mest almindelige talsystemer, og... 2
Projekt 0.3 Galois-legemere GF p - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold. De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og.... De kommutative, associative og distributive lov
Læs merehvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i
Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,
Læs mereDe reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.
De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z
Læs mereSandsynlighedsregning i biologi
Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.
Læs mereProjekt 9.10 St. Petersborg paradokset
Hvad er matematik? ISBN 978877066879 Projekt 9.0 St. Petersborg paradokset. De store tals lov & viderchacer I grudboges kapitel 9 omtales de store tals lov, som ka formuleres således: Hvis e spiller i
Læs mereMotivation. En tegning
Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget
Læs mereForslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende
Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste
Læs mereantal gange krone sker i første n kast = n
1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder
Læs mereAsymptotisk optimalitet af MLE
Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for
Læs mereMikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007
Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M
Læs mereBranchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros
Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse
Læs mereLys og gitterligningen
Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar
Læs mereProjekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene
Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder
Læs mereDagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro
Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro
Læs mereClaus Munk. kap. 1-3
Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor
Læs merecos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t.
Aalyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder. og. oktober 3 Bevis for Cotiuity lemma Theorem. Geemgås af Michael Staal-Olse. Bevis for Lemma.8 Dee har vi faktisk allerede vist; se Opgave 9.5 fra Uge. Det er
Læs mereDagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)
Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.
Læs mereGamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)
Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt
Læs mereProjekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,...
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( {} 0, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage
Læs mereCensorvejledning engelsk B, HF 2017-læreplan
Cesorvejledig egelsk B, HF 2017-lærepla December 2018 Lie Flitholm, fagkosulet lie.flitholm@stukuvm.dk 33925383 Idholdsfortegelse Cesorvejledig egelsk B, HF 2017-lærepla... 1 Det skriftlige opgavesæt HF
Læs mereSupplerende noter II til MM04
Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer
Læs mereUddannelsesparathed. Vejledning om processerne ved vurdering af uddannelsesparathed (UPV) og ansøgning til ungdomsuddannelserne
Uddaelsesparathed Vejledig om processere ved vurderig af uddaelsesparathed (UPV) og asøgig til ugdomsuddaelsere Uddaelsesparathed Vejledig om processere ved vurderig af uddaelsesparathed (UPV) og asøgig
Læs mereKompendie Komplekse tal
Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske
Læs merePraktisk info. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: kendt eller ukendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) I tirsdags.
Praktisk ifo Liste med rettelser og meigsforstyrrede trykfejl i DS på Absalo. Statistisk aalyse af e ekelt stikprøve: kedt eller ukedt varias Sadsylighedsregig og Statistik (SaSt) Helle Sørese Projekt
Læs mereGeorg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith
Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.
Læs mereFacilitering ITU 15. maj 2012
Faciliterig ITU 15. maj 2012 Facilitatio is like movig with the elemets ad sailig the sea Vejvisere Velkomst de gode idflyvig Hvad er faciliterig? Kedeteg ved rolle som facilitator Facilitatores drejebog
Læs mere1 Punkt- og intervalestimation Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens... 2
Idhold 1 Pukt- og itervalestimatio 2 1.1 Puktestimatorer: Cetralitet(bias) og efficies.................... 2 2 Kofidesiterval 3 2.1 Kofidesiterval for adel................................ 4 2.2 Kofidesiterval
Læs mereHALLO no en hjemme? Tema. + s. 28 Forstå dit barns hjerne
HALLO o e hjemme? Eksperte forklarer, hvorfor det er så svært for små ører at høre efter. Se, hvorda det går, år Elie Holm tester de gode råd på si datter Liva, og få idblik i, hvad der sker i de lille
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab
Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af
Læs mereSTATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller
STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet
Læs mereProjekt 3.7. En algebraisk tilgang til udvidelsen af potensbegrebet
Hvd er tetik? ISBN 978877879 Projekter: Kitel. Projekt.7.E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Projekt.7. E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Ld i det følgede tllet være et ositivt tl.
Læs mereProjekt 3.7. En algebraisk tilgang til udvidelsen af potensbegrebet
Hvd er tetik? C ISBN 97 887 7 79 Projekter: Kitel. Projekt.7.E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Projekt.7. E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Ld i det følgede tllet være et ositivt
Læs mereProjekt 3.2 Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen. Indhold. Hvad er matematik? 1 ISBN
Projekt 3.2 Alægsøkoomie i Storebæltsforbidelse Dette projekt hadler, hvorda økoomie var skruet samme, da ma byggede storebæltsforbidelse. Store alægsprojekter er æste altid helt eller delvist låefiasieret.
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.
Læs mereSammensætning af regnearterne - supplerende eksempler
Mtetik på AVU Ekseplet til iveu F, E og D Sesætig f regertere - supplerede eksepler Poteser... Rødder... d 0-tls-poteser... e Sesætig f regertere Side Mtetik på AVU Ekseplet til iveu F, E og D Sesætig
Læs mereDu skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.
Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,
Læs mereTermodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18
ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt
Læs mereA14 4 Optiske egenskaber
A4 4 Optiske egeskaber Brydigsideks Når lys træffer e græseflade mellem to materialer, kastes oget af lyset tilbage (refleksio), mes oget går igeem græseflade med foradret retig (brydig eller refraktio).
Læs merePsyken på overarbejde hva ka du gøre?
Psyke på overarbejde hva ka du gøre? Idhold Hvorår kommer ma uder psykisk pres? 3 Hvad ka øge det psykiske pres på dit arbejde? 4 Typiske reaktioer 6 Hvorda forløber e krise? 7 Hvad ka du selv gøre? 9
Læs mereStudyGuide til Matematik B.
StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag
Læs mereGENEREL INTRODUKTION.
Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.
Læs merex-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK
Læs mereVanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit!
Vaebryderdage 2009 Vaes magt eller magt over vae? Valget er dit! Osdag de 4. marts 2009 taastr u p Vaebrydere Torbe Wiese Meditatiosgurue Heig Davere Hjereforskere Milea Pekowa COACHEN Chris MacDoald Ulrik
Læs mereInduktionsbevis og sum af række side 1/7
Iduktosbevs og sum af række sde /7 Skrver ma,,,...,,..., =, 2, 3,... 2 3 taler ma om e talfølge, eller blot e følge. Adre eksempler på følger er, -,, -,, -,..., (-) +,..., =, 2, 3,..., 2, 3, 4,...,,...,
Læs mereBogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d
Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -
Læs mereDen Store Sekretærdag
De Store Sekretærdag Tilmeld dig ide 1. oktober og få 300 kr. i rabat! De 25. ovember 2008 Tekologisk Istitut Taastrup De 8. december 2008 Mukebjerg Hotel Vejle Nia Siegefeldt, chefsekretær Camilla Miehe-Reard,
Læs mereProjekt 3.1 Potensbegrebet og geometriske rækker
Hvd er mtemtik? ISBN 97887766879 Projekter: pitel. Projekt. Potesbegrebet og geometriske rækker Projekt. Potesbegrebet og geometriske rækker (Vi tger i det følgede udggspukt i kpitlfremskrivigsformle:
Læs mereSituationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q
3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896
Læs mereLængde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden.
Vadtrasportmodel Formål For beregig af vadtrasporte i sadkasse er der lavet e boksmodel. Formålet med boksmodelle er at beskrive vadtrasporte i sadkasse. Herover er formålet at bestemme de hydrauliske
Læs mereIMFUFA TEKST NR TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER. Jørgen Larsen
TEKST NR 435 2004 Basisstatistik 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING
Læs mereTil - donationsansvarlige nøglepersoner og afdelings- og afsnitsledelser
Til - doatiosasvarlige øglepersoer og afdeligs- og afsitsledelser Såda læser og bruger I jeres kvartalsrapport Orgadoatiosdatabase blev etableret som e atioal kliisk kvalitetsdatabase 1. april 2010. Data
Læs mereUdtrykkelige mængder og Cantorrækker
Udtrykkelige mægder og Catorrækker Expressible sets ad Cator series Matematisk speciale Simo Bruo Aderse 20303870 Vejleder: Simo Kristese Istitut for Matematik Aarhus Uiversitet 208 Abstract This thesis
Læs mereMOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære
Læs mereProjekt 9.8 Betingede sandsynligheder og paradokser i sandsynlighedsregningen
Projekt 9.8 Betigede sadsyligheder og paradokser i sadsylighedsregige Et forløb om betigede sadsyligheder ka itroduceres via et selvstædigt elevarbejde med materialet i projekt 9.7 Testet positiv? samme
Læs mereDårligt arbejdsmiljø koster dyrt
Dårligt arbejdsmiljø F O A f a g o g a r b e j d e koster dyrt Hvad koster et dårligt arbejdsmiljø, og hvad ka vi gøre for at bedre forholdee for de asatte idefor Kost- og Servicesektore? Læs her om de
Læs mereMaja Tarp AARHUS UNIVERSITET
AARHUS UNIVERSITET Maja Tarp AARHUS UNIVERSITET HVEM ER JEG? Maja Tarp, 4 år Folkeskole i Ulsted i Nordjyllad Studet år 005 fra Droiglud Gymasium Efter gymasiet: Militæret Australie Startede på matematik
Læs mere9. Binomialfordelingen
9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der
Læs mere24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.
Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software
Læs mereKapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL
Kapitel 0 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Torbe Obel Soeborg Hydrologisk afdelig, GEUS Nøglebegreber: Kalibrerigsprotokol, observatiosdata, kalibrerigskriterier, idetificerbarhed, etydighed, parameterestimatio,
Læs mereTeam Danmark tilfredshedsundersøgelse 2013
Team Damark tilfredshedsudersøgelse 2013 Baggrudsrapport Trygve Buch Laub, Rasmus K. Storm, Lau Tofft-Jørgese & Ulrik Holskov Idrættes Aalyseistitut MIND THE CUSTOMER December 2013 Titel Team Damark tilfredshedsudersøgelse
Læs mereDen flerdimensionale normalfordeling
De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y
Læs mereTEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA
TEKST NR 435 2004 Basisstatisti 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING
Læs mereEksempel 10.1 En autoregressiv proces af orden 1 (ofte blot kaldet en AR(1)- proces) pårhar et opdateringsskema (10.1) med funktionen. for y R.
Kapitel 0 Markovkæder Vi vil i det følgede studere processer Y 0, Y, Y 2,... med værdier irgivet på forme Y = f (Y +ǫ for =, 2,... (0. Her erǫ,ǫ 2,... e følge af iid støjvariable med middelværdi 0, alle
Læs mereSprednings problemer. David Pisinger
Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de
Læs mereKvantitative metoder 2
Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af
Læs mereBørn og unge med seksuelt bekymrende og krænkende adfærd
Projekt Vest for Storebælt Bør og uge med seksuelt bekymrede og krækede adfærd Hvorår er der grud til bekymrig? Hvorda hevises et bar/e ug til gruppebehadlig? Hvad hadler projektet om? Projekt Vest for
Læs mereOm Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n.
IMFUFA Carste Lude Peterse Om Følger og Ræer Nyttige Græseværdier lim = 1 lim! = x = 0! lim lim (1 + x ) = e x! lim = e 1 Nyttige Ræer 1 p < p > 1 1 log p ( + 1) < p > 1 x = = x 1 x for x < 1 og Z, diverget
Læs mereHD i Afsætningsøkonomi Efteruddannelse HDA. social sciences. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet Syddansk Universitet
HD i Afsætigsøkoomi Efteruddaelse HDA I social scieces Det Samfudsvideskabelige Fakultet Syddask Uiversitet HD i Afsætigsøkoomi ÂÂ K læsss ii: Koldig HD specialet i Afsætigsøkoomi giver dig et solidt grudlag
Læs mereGrundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit
Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige
Læs mereGiv eksempler på hvordan forskellige ligningstyper (lineære, eksponentielle eller potens) løses.
Eksamesspørgsmål matematik C, sommer 018. (Foreløbig udgave, små ædriger ka forekomme) Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler
Læs mereMatematisk trafikmodellering
- Mathematical traffic modelig Grupper.: 8 Gruppemedlemmer: Jacob Hallberg Hasema Kim Alla Hase Ria Roja Kari Vejleder: Morte Blomhøj Semester: 4. Semester, forår 2007, hus 13.1 Studieretig: Det aturvideskabelige
Læs mere