INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM01 Juni 1993 marts 2006

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM01 Juni 1993 marts 2006"

Transkript

1 INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM01 Juni 1993 marts 2006

2

3 i Forord Denne opgavesamling skal bruges med den forståelse, at pensumbeskrivelsen for kurset har undergået en række mindre ændringer i perioden Det er derfor ikke alle opgaver som er direkte relevante mht pensum for 2003/04. Ligeledes kan der være formuleringer, som er lidt anderledes i det nuværende kursus. Forord til 2005 udgaven Odense, juli 2002 Hans J. Munkholm I forhold til 2003 udgaven er der tilføjet eksamenssæt fra den mellemliggende periode frem til august Kurset MM01-Matematik A kørte for sidste gang i det akademiske år 2004/2005, hvorefter det blev ersattet af de to kvartalskurser Calculus I og Calculus II. Forord til 2008 udgaven Odense, november 2005 Steen Thorbjørnsen De seneste opgaver fra MM501 Calculus I og MM502 Calculus II er blevet tilføjet samlingen. Forord til 2009 udgaven Odense, juni 2008 Andrew Swann Tidligere eksamensopgaver i kurserne Calculus I + II er nu samlet i en separat publikation. Herefter er nærværende hefte snart kun af historisk interesse Odense, august 2009 Hans J. Munkholm

4 Indhold Forord Forord til 2005 udgaven Forord til 2008 udgaven Forord til 2009 udgaven i i i i Indhold ii En typisk forside til et eksamenssæt Januar Juni August Januar Juni August Januar Juni Juni August Januar Juni August Januar Juni Besvarelse af Juni August Januar Juni August Januar Besvarelse af Januar Juni Besvarelse af Juni August Besvarelse af August Januar Juni Besvarelse af Juni ii

5 August Januar Juni Januar Facitliste, Januar Juni Facitliste, Juni August Besvarelse af August Januar Besvarelse af Januar Juni Besvarelse af Juni August Januar Juni August Juni August Marts iii

6

7 INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET Skriftlig eksamen MM01 mandag den 17. juni 2002 kl Om anvendelse af computer/symbolmanipulerende lommeregner ved eksamen Det er tilladt at anvende computer (eller lommeregner), men ikke printer. Følgende grundregel gælder: Man må gerne bruge computeren til at udføre differentiationer, bestemme integraler og løse reelle ligningssystemer. Derimod vil besvarelser som udelukkende er baseret på mere avancerede funktioner (som f.eks. løsning af differentialligninger, bestemmelse af grænseværdier, beregning af Taylorpolynomier, løsning af ligninger i komplekse tal) ikke blive accepteret. Alle skriftlige hjælpemidler er tilladt. Der lægges vægt på at besvarelserne er klart formulerede, og at argumentationen fremtræder tydeligt. Benyttes resultater fra opgivelserne, er en henvisning ønskelig. Opmærksomheden henledes på, at det i visse opgaver kan være muligt at regne senere spørgsmål, selvom man ikke har regnet de tidligere. Opgavesættet består af 6 opgaver.

8 2 Januar 1993 OPGAVE 1 (10 point) Find Taylor polynomiet P 2 (x) af grad 2 omkring punktet x = 0 for funktionen Find endvidere grænseværdien OPGAVE 2 (10 point) f(x) = log(1 + x 2 ). lim x 0 Find for 1 < x < 1 løsningen y = y(x) til OPGAVE 3 (10 point) Bestem de komplekse løsninger til ligningen log(1 + x 2 ). xsin x y (1 x) 1 y = 1 og y(0) = 1. z 2 4z + 5 = 0 og angiv disse på en figur i den komplekse plan. OPGAVE 4 (15 point) Find den fuldstændige løsning y = y(x) til Bestem dernæst den løsning, som opfylder OPGAVE 5 (10 point) Betragt funktionen af to reelle variable y 4y + 5y = x. y(0) = 0 og y (0) = 1. f(x,y) = log(1 + x 2 + y 2 ) og bestem de stationære punkter samt arten heraf. Samme spørgsmål for OPGAVE 6 (15 point) f(x,y) = log(1 + x 2 y 2 ). Med D betegner vi det plane område givet ved D = {(x,y) 0 y 2 x 2 }. Idet C betegner randen af D orienteret mod uret ønskes integralet I = xy 2 dx + xdy bestemt. C

9 Januar OPGAVE 7 (15 point) Lad S være fladestykket i R 3 med sædvanlige koordinater (x,y,z) givet ved z = 0 og x 2 +y 2 1, orienteret med positiv normal i z-aksens retning. Idet E betegner vektorfeltet skal fluxen af E gennem S beregnes, altså F = OPGAVE 8 (15 point) Beregn divergensen af vektorfeltet ( E = x E = ( 1 + y 2, zy sinx, z + x + y2 ) S E n ds. x (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2, y (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2, z (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 i R 3, fraregnet (0,0,0). Udregn dernæst fluxen af E ud gennem overfladen S af det kasseformede område V = {(x,y,z) 1 x 3, 2 y 5, 1 z 6} ). altså integralet F = E n ds. S

10 4 Juni 1993 OPGAVE 1 (10 point) Find Taylor polynomiet af grad 2 omkring punktet x = 0 for funktionen Find endvidere grænseværdien f(x) = lim x sin x. 1 1+sinx 1 sin x. OPGAVE 2 (15 point) Find den generelle løsning y = y(x) til differentialligningen Hvilken løsning til ( ) opfylder endvidere ( ) y + 2y + 10y = 0. ( ) y(0) = 1 og y (0) = 1? Find Taylor polynomiet af grad 3 omkring punktet x = 0 for den funktion f(x), som opfylder f (x) + 2f (x) + 10f(x) = x for alle x og de samme begyndelsesbetingelser som i ( ). OPGAVE 3 (10 point) Lad θ være en fast vinkel, 0 < θ < π 2, og find de komplekse løsninger z til andengradsligningen Angiv endvidere løsningerne på en figur. OPGAVE 4 (10 point) Betragt funktionen z 2 2z cos θ + 1 = 0. f(x,y) = 1 + x 2 + y 2 i R 2 ; vis, at (0,0) er det eneste stationære punkt, og find arten af dette. OPGAVE 5 (10 point) I området V = {(x,y,z) R 3 (x,y,z) (0,0,0)} (altså R 3 fraregnet nulpunktet) er givet vektorfeltet ( x E = y z ) r 3, r 3, r 3 hvor r = ( x 2 + y 2 + z 2) 1 2.

11 Juni Lad C være kurven parametriseret ved α(t) = (cos t,sin t,t), 0 t 2π Beregn kurveintegralet af E langs C: I = C E dα (Vink: Vis, at E er gradienten af r 1.) OPGAVE 6 (15 point) Lad i planen D være området D = {(x,y) x 2 + y 2 1, x 0, y 0} og C randen af D orienteret mod uret (med D til venstre). Find først planintegralet I 1 = x dxdy og dernæst kurveintegralet I 2 = C D (x 2 + y)dy + xydx. OPGAVE 7 (15 point) Beregn arealet af fladen S, siddende i det 3 dimensionale rum, givet ved: S = {(x,y,z) z = 1 + x + y 2, 0 y 1, 0 x y}. (Vink: Vis først, at arealet er 2 + 4y 2 dxdy, hvor T er trekanten 0 y 1, 0 x y.) T OPGAVE 8 (15 point) I R 3 er givet området samt vektorfeltet V = {(x,y,z) x 2 + y 2 + z 2 1, x 0, y 0, z 0} F = ( ) 1 2 x2 + sin y,y log(1 + x 2 ) + e z, e x2 z log(1 + x 2 ). Idet S betegner overfladen (randen) af V orienteret med enhedsnormal n rettet ud af V, skal fluxen af F ud gennem S bestemmes: altså I = F n ds. S

12 6 August 1993 OPGAVE 1 (10 point) Find Taylor polynomiet P 1 (x) af grad 1 for funktionen f(x) = e x. omkring punktet x = 0. Hvor stort er det tilsvarende fejlled i intervallet x < 1 10? OPGAVE 2 (15 point) Find løsningen y = y(x) til differentialligningen y sinx cos x y = 0. i intervallet π 2 < x < π 2 løsning til i samme interval. med begyndelsesbetingelse y(0) = 1. Find endvidere den generelle y sin x cos x y = x OPGAVE 3 (10 point) Løs differentialligningen y 2y + y = 0 for y = y(x) med y(0) = 1 og y (0) = 2. OPGAVE 4 (10 point) Vis, at for i den imaginære enhed, i 2 = 1, er 2i = ±(1+i). Løs dernæst andengradsligningen z 2 + 4z + 4 2i = 0 for z en kompleks variabel. OPGAVE 5 (10 point) Lad D være området i planen R 2 givet ved D = {(x,y) x 2 + y 2 1, x 0,y 0}. Beregn dobbeltintegralet I = D x 2 dxdy.

13 August OPGAVE 6 (15 point) Med A betegnes området i planen beskrevet ved 0 x π 2 og 0 y 1, altså et rektangel, og C er randen af A. Beregn kurveintegralet I = xe y dx + sin xdy hvor C gennemløbes i retning mod uret. Bestem endvidere kurveintegralet I 1 = xe y dx + sin xdy C 1 C hvor C 1 er liniestykket fra 0 til π 2 på den reelle akse. OPGAVE 7 (15 point) Betragt vektorfeltet E i R 3 givet i de sædvanlige koordinater (x,y,z) ved: ( ) y E(x,y,z) = x 2 + y 2, x x 2 + y 2, 1 for x 2 +y 2 0 (altså ikke på z-aksen). Vis, at rotationen af E er nul, altså E = 0. Beregn kurveintegralet af E langs kurven C: α(t) = (cos t,sin t,t), 0 t π altså I = C E dα. OPGAVE 8 (15 point) Lad V være området i R 3 givet ved: V = {(x,y,z) x 2 + y 2 1, 0 z x 2 + y 2 } med overflade S orienteret således, at enhedsnormalen n peger ud af V. Idet E er vektorfeltet E(x,y,z) = (x,cos x, 12 ) z2 + y 5. skal fluxen af E ud gennem S bestemmes, altså fladeintegralet I = E n ds S

14 8 Januar 1994 OPGAVE 1 (10 point) Find Taylor polynomiet P 2 (x) af grad 2 for funktionen f(x) = arctan x omkring punktet x = 0. Giv endvidere en vurdering af fejlen R 2 (x) = f(x) P 2 (x) i intervallet 0.01 x OPGAVE 2 (10 point) Udregn de to grænseværdier (a) lim x 0 xarctan x 1 cos x sin x (b) lim x 0 arcsin x OPGAVE 3 (10 point) Find den generelle løsning y = y(x) til differentialligningen y (x) y(x) = x. Hvilken af disse tilfredsstiller y(0) = 1? OPGAVE 4 (15 point) Løs differentialligningen y y = cos x for y = y(x) med begyndelsesbetingelserne y(0) = 0, y (0) = 1. Bestem for denne løsning grænseværdien y(x) lim x 0 log(1 + x) OPGAVE 5 (10 point) Vis, at (0,0) er et stationært punkt for funktionen F(x,y) = xsin y + y sin x + x 2, og afgør, om der er tale om et lokalt minimum, maximum eller sadelpunkt. OPGAVE 6 (15 point) Betragt vektorfeltet i planen givet ved E(x,y) = (2x, 2y) og vis, at dette er et gradientfelt. Bestem en stamfunktion (= potentialfunktion), og beregn endelig kurveintegralet I = C E dα hvor C er den kurve, som følger ellipsen x 2 + 4y 2 = 4, gennemløbet mod uret fra punktet (2,0) til punktet (0,1).

15 Januar OPGAVE 7 (15 point) Lad D være området i planen bestemt ved D = {(x,y) x 2 + y 2 1 og 0 x} og C randen af D orienteret mod uret. Skitsér dette område. Beregn kurveintegralet I = xy dx + xy 2 dy samt kurveintegralet I 1 = xy dx + xy 2 dy C 1 hvor C 1 er cirkelbuen x = cos t, y = sint, π 2 t π 2 C OPGAVE 8 (15 point) Med V betegner vi følgende område i R 3 : V = {(x,y,z) 0 x 1, 0 y 1, 0 z x + y 2 } og med S overfladen af V orienteret med enhedsnormal n rettet ud af V. Idet F betegner vektorfeltet F(x,y,z) = (xe y + x 2, e y + y, zxy) skal I = S F n ds bestemmes, altså fluxen af F ud gennem overfladen af V.

16 10 Juni 1994 OPGAVE 1 (10 point) Beregn følgende to grænseværdier: log x x + 1 (a) lim x 1 x 2 2x (b) lim x 0 x x t 2 dt, hvor log x som sædvanlig betegner den naturlige logaritme. OPGAVE 2 (10 point) Find den generelle løsning y = y(x) til differentialligningen y x y = x, hvor den søgte funktion y = y(x) kun behøver at være defineret for x 1. Hvilke af disse løsninger opfylder y(0) = 2? OPGAVE 3 (15 point) Find den generelle løsning y = y(x) til differentialligningen y + y = sin 2x. Beregn dernæst den løsning, som opfylder y(0) = 1 og y (0) = 1 3. OPGAVE 4 (15 point) Betragt funktionen af to reelle variable: F(x,y) = xcos(x + y). Vis, at x = 0,y = π 2 er et kritisk punkt for F(x,y), og afgør, om det er et lokalt maximum, minimum eller sadelpunkt. Find endelig samtlige kritiske punkter og arten af disse. OPGAVE 5 (10 point) Lad D være området i R 2 givet ved D = {(x,y) 1 x 1, x 2 1 y x 2 + 1} og C randen af D gennemløbet mod uret. Beregn vejintegralet I = e x y dx + (e x x3 )dy. (Altså integralet langs C af vektorfeltet (e x y, e x x3 ).) C

17 Juni OPGAVE 6 (10 point) Givet det komplekse tal z = i 3 2, hvor i er den imaginære enhed: i2 = 1. Find den polære fremstilling for z, dvs. find r og θ med 0 < r og 0 θ < 2π således at z = re iθ. Benyt dernæst dette til at beregne tallet OPGAVE 7 (15 point) ( ) 6 z = 2 + i. 2 Med S betegnes grafen af funktionen f(x,y) = 1 x 2 y 2 over den lukkede enhedscirkelskive i R 2, altså: S = { (x,y,z) z = 1 x 2 y 2, x 2 + y 2 1 }. Find overfladearealet af S. Beregn dernæst rumfanget af OPGAVE 8 (15 point) I R 3 betragtes den øvre halvkugle V = { (x,y,z) 0 z 1 x 2 y 2, x 2 + y 2 1 }. V = { (x,y,z) x 2 + y 2 + z 2 1, 0 z } samt dennes overflade S, orienteret med enhedsnormal n rettet ud af V. Beregn fluxen ud gennem S I = E n ds S af vektorfeltet i R 3 E = ( xz, x 2 + y e z, e z). Find endelig tyngdepunktet for V, når vi tænker os halvkuglen bestående af et materiale med en konstant massetæthed.

18 12 August 1994 OPGAVE 1 (10 points) Find Taylor polynomiet P 2 (x) af grad 2 for funktionen f(x) = (1 x) 2 omkring udviklingspunktet a = 0. Vis, at for 1 < x < 0 kan fejlen R 2 (x) = f(x) P 2 (x) vurderes ved: OPGAVE 2 (10 points) Beregn følgende 2 grænseværdier: a) lim x 0 log(1 + sinx) x b) lim x 0 log cos x x 2 hvor log betegner den naturlige logaritme. OPGAVE 3 (10 points) Løs den komplekse andengradsligning R 2 (x) 4 x 3. z 2 2z + 2 = 0, angiv løsningerne på en figur, og beregn deres polære form (dvs. z = re iθ ). OPGAVE 4 (10 points) Find en ligning for den generelle løsning y = y(x) til differentialligningen dy dx = og angiv den løsning som opfylder y(0) = 3. OPGAVE 5 (15 points) Betragt den lineære differentialligning ex 1 + y 2 y 4y = e x for y = y(x). Hvad er den generelle løsning, og hvilken af disse opfylder y(0) = 2 3 og y (0) = 5 3? OPGAVE 6 (15 points) Bestem de stationære punkter for funktionen F(x,y) = (x 1)(x 2 + y 2 1) af 2 reelle variable x,y. Vis, at et af disse er et sadelpunkt. Hvad kan siges om de øvrige?

19 August OPGAVE 7 (15 points) Lad D være det indre af trekanten i planen R 2 med hjørner i punkterne (0,0), (2,0) og (0,1). Med C betegnes randen af D (altså de tre sider) gennemløbet i positiv omløbsretning. Beregn integralet (kurveintegralet/vejintegralet) I = xydx + y(1 + x)dy. OPGAVE 8 (15 points) I rummet R 3 er givet keglen C V = {(x,y,z) 0 z 2 x 2 + y 2 } og dennes overflade S, orienteret med enhedsnormal n rettet ud af V. Beregn følgende to integraler: I 1 = 1dxdydz (altså rumfanget af V ) og hvor vektorfeltet (altså fluxen af F ud gennem S). I 2 = S V F nds, F(x,y,z) = (log(1 + x 2 ),y 2xy 1 + x 2,z)

20 14 Januar 1995 OPGAVE 1 (10 points) Beregn Taylor polynomiet P 2 (x) af grad 2 svarende til udviklingspunktet x = 0 for hver af følgende to funktioner: (log betegner den naturlige logaritme). OPGAVE 2 (10 points) f 1 (x) = log(1 + x 2 ) og f 2 (x) = cos x Find de følgende to grænseværdier: (b) (a) arctan x lim x 0 x lim x π 2 sinx (x π 2 )2. OPGAVE 3 (15 points) Find løsningen y = y(x) til differentialligningen y + y = x e x med begyndelsesbetingelsen y(0) = 1. Hvad er grænseværdien lim x y(x)? OPGAVE 4 (15 points) Find den fuldstændige løsning y = y(x) til differentialligningen y + 2y + 5y = sin3x. Betragt den løsning, som opfylder y(0) = 1, y (0) = 0 og vis, at denne har et lokalt maximum i x = 0. OPGAVE 5 (10 points) Med E betegnes vektorfeltet i planen R 2 givet ved ( ) 1 E(x,y) = = e 2y 1 + 2y e 2. Idet C er halvcirklen med centrum ( 1 2,0) parametriseret ved ( 1 α(t) = cos t ) 1 2 sint, π t 2π, skal integralet I af E langs med C beregnes, altså: I = E dα. (Vink: er E konservativt?) C

21 Januar OPGAVE 6 (15 points) Betragt funktionen F(x,y) = x(1 x 2 y 2 ) på R 2 og vis, at blandt de stationære punkter er punkterne (0,1) og (0, 1). Find dernæst samtlige stationære punkter samt arten af disse. OPGAVE 7 (10 point) I planen R 2 betegnes med D området {(x,y) x 2 + y 2 1 og y 0}, og C randen af D gennemløbet mod uret (altså den positive omløbsretning). Beregn kurveintegralet I = x 2 y dx + (xy + xy 2 )dy. OPGAVE 8 (15 points) C Lad V R 3 være givet ved { V = (x,y,z) x 2 + y 2 1, og 0 z 3 } x 2 + y 2 og S overfladen af V orienteret med enhedsnormal n rettet ud af V. Beregn integralerne I 1 = 1 dx dy dz (altså rumfanget af V ) og I 2 = V S F n ds, hvor vektorfeltet F(x,y,z) = ( xyz, 1 2 y2 z,e z) (altså fluxen af F ud gennem S).

22 16 9. Juni 1995 OPGAVE 1 (10 points) Beregn Taylor polynomiet P 3 (x) af grad 3 svarende til udviklingspunktet x = 0 for funktionen: f(x) = log(1 + sin x) (log betegner den naturlige logaritme). OPGAVE 2 (10 points) Find de følgende to grænseværdier: (b) (a) lim x 1 log x cos( π 2 x) xlog(1 + x) lim x 0 sin(x 2 ) OPGAVE 3 (10 points) Find den generelle løsning y = y(x) til differentialligningen y + xy = 2x. Beregn dernæst den løsning, som opfylder y(0) = 3. OPGAVE 4 (10 points) Find de komplekse løsninger til andengradsligningen z 2 z + 1 = 0. Vis, at enhver af disse opfylder z 12 = 1. OPGAVE 5 (15 points) Find den fuldstændige løsning y = y(x) til differentialligningen y 2y + 2y = 0. Find dernæst den løsning til y 2y + 2y = cos x + 2sin x, som opfylder y(0) = 1 og y (0) = 1.

23 9. Juni OPGAVE 6 (15 points) På R 2 er givet den skalare funktion F(x,y) = (1 x y)cos x. Vis, at ( π (x,y) = 2, 1 π 2) er et stationært punkt, og bestem arten heraf. Find dernæst samtlige stationære punkter samt arten af disse. OPGAVE 7 (15 point) Lad D være det plane område i R 2 givet ved D = {(x,y) 0 x 1 og 1 y e x }, og C randen af D gennemløbet mod uret (altså den sædvanlige orientering). Beregn kurveintegralet ( I = xlog y + yx 2 ) dx x3 dy. OPGAVE 8 (15 points) I rummet R 3 betegnes med V området C V = { (x,y,z) x 2 + y 2 1, og 0 z 2 + x + y } med S overfladen af V orienteret med enhedsnormal n rettet ud af V. Beregn for vektorfeltet ) F(x,y,z) = (y sin x, y2 cos x,xz 2 fluxen af F ud gennem S, altså find integralet I = F n ds, S

24 Juni 1995 OPGAVE 1 (10 points) Beregn grænseværdien lim x 0 x 2 sin(x 2 ) Find dernæst Taylor polynomiet af grad 2 for funktionen: svarende til udviklingspunktet x = 0. OPGAVE 2 (10 points) Find de komplekse tal z, som opfylder: f(x) = sinx z 2 = 4i. Løsningerne ønskes angivet på såvel formen x + iy som på polær form re iθ. OPGAVE 3 (15 points) Find de generelle løsninger y = y(x) til hver af følgende to differentialligninger (a) y 5y + 6y = e x (b) dy dx = x2 y 2 (y 0) hvor vi i (b) har brugt notationen y = dy dx. OPGAVE 4 (10 points) Betragt cirkelbuen C i planen givet ved parametriseringen x = cos t, y = sin t, π 2 t π 2. Beregn kurveintegralet hvor E er vektorfeltet I = C E dα, E(x,y) = (e x cos y, e x sin y). OPGAVE 5 (15 points) Find samtlige stationære punkter for funktionen i planen F(x,y) = x 2 y 2 x 2 y 2. Vis at F har fire sadelpunkter og et relativt maximum, og ikke andre stationære punkter.

25 15. Juni OPGAVE 6 (15 points) Lad C være randen af trekanten i planen med hjørner (0,0),(1,0) og (0,1); C orienteres som sædvanligt mod uret. Beregn kurveintegralet I = (2xye x2 y 2 )dx + e x2 dy. Find dernæst hvor C 1 er liniestykket fra (1,0) til (0,1). OPGAVE 7 (10 point) Med S betegnes den del af planen C I 1 = (2xye x2 y 2 )dx + e x2 dy, C 1 z = x + y + 1 i rummet R 3, som ligger indenfor cylinderen x 2 + y 2 = 1. Beregn arealet af S. (Altså i de sædvanlige koordinater i R 3 er S givet ved OPGAVE 8 (15 points) z = x + y + 1 og x 2 + y 2 1). Idet V betegner området i R 3 givet ved { } V = (x,y,z) 0 z 1 (x 2 + y 2 ) 1/4, x 2 + y 2 1 skal V s volumen bestemmes. Idet E betegner vektorfeltet E(x,y,z) = (xsin y,cos y + z 2, x + z) bestem dernæst fluxen af E ud gennem overfladen S af V, altså integralet I = E n ds Her er n den udadrettede enhedsnormal og ds overflademålet på S. S

26 20 August 1995 OPGAVE 1 (10 points) Find Taylorpolynomiet P 2 (x) af grad 2 for funktionen f(x) = 1 x 1 + x omkring udviklingspunktet x = 0. Giv endvidere en vurdering af det tilsvarende restled for x OPGAVE 2 (15 points) Find den generelle løsning y = y(x) til differentialligningen y + y = e x 1 + x 2. Bestem den løsning, som opfylder y(1) = 0, og find dennes grænseværdi OPGAVE 3 (10 points) Betragt det komplekse tal lim y(x). x z = 1 + i 3 + 4i, hvor i er den imaginære enhed. Find z s modulus z og angiv på en figur z s beliggenhed i den komplekse plan. OPGAVE 4 (15 points) I planen R 2 er givet vektorfeltet E(x,y) = (2xcos y, x 2 sin y + 2y). Vis, at E er konservativt, og find en potentialfunktion (stamfunktion). Beregn endelig integralet I = E dα af E langs vejen C givet ved parametriseringen { x(t) = e t cos t y(t) = e t sint, 0 t 2π. OPGAVE 5 (10 points) Vis, at funktionen C F(x,y) = e x2 2y 2 i planen R 2 har netop et stationært (= kritisk) punkt, og bestem arten af dette.

27 August OPGAVE 6 (10 points) Lad D være det plane område D = {(x,y) 0 x π, 0 y sin x}, og beregn dobbeltintegralet I = D (x + y)dx dy. OPGAVE 7 (15 point) Idet C betegner enhedscirklen i planen gennemløbet 1 gang mod uret, skal kurveintegralet I = y 3 dx + x 3 dy bestemmes. Gør rede for, at vi ved brug af Green s sætning kan udlede formlen 2π 0 C cos 4 t dt = 3π 4. OPGAVE 8 (15 points) Med V betegnes området i rummet R 3 givet ved V = { (x,y,z) x 2 + y 2 1, z 0, x 2 + y 2 + z 2 4 }. Find rumfanget af V, altså vol(v ) = V 1 dxdy dz. Find dernæst arealet af den øverste del S af overfladen af V, hvor altså { S = (x,y,z) x 2 + y 2 1, z = } 4 x 2 y 2

28 22 Januar 1996 OPGAVE 1 (10 points) (a) Find følgende grænseværdi: lim x x 3 e x. (b) Find Taylor polynomiet af grad 2 for funktionen: f(x) = log x x omkring punktet a = 1. (log betegner den naturlige logaritme). OPGAVE 2 (10 points) Løs differentialligningen dy dx = ey cos x, først generelt og dernæst med begyndelsesbetingelsen y(0) = 0. OPGAVE 3 (15 points) Løs den komplekse andengradsligning z 2 2z + 2 = 0 og angiv løsningerne på såvel formen x + iy som på polær form re iθ, og skitsér disse i den komplekse plan. Beregn z 8 for hver af disse løsninger z. OPGAVE 4 (15 points) (a) Find den generelle løsning y = y(x) til differentialligningen y 4y + 5y = 0, og find dernæst den løsning, som opfylder y(0) = 0, y (0) = 1. (b) Samme spørgsmål for ligningen y 4y + 5y = e x. OPGAVE 5 (10 points) Vis, at for funktionen F(x,y) = sin(x 2 + y 2 ) er (0, 0) et stationært punkt, og bestem arten heraf. Find endelig samtlige stationære punkter.

29 Januar OPGAVE 6 (10 points) Betragt i planen R 2 området D = { (x,y) x 2 + y 2 < 1 og 0 < y }, og lad C være randen gennemløbet mod uret. Beregn kurveintegralet ( I = y 3 + xy ) dx + x 3 dy. OPGAVE 7 (15 point) I rummet R 3 skal E betegne vektorfeltet C E(x,y,z) = (2x,3y 2, 1). (a) Vis, at E er konservativt, og find en stamfunktion, dvs. find en skalar funktion ϕ med ϕ = E. (b) Idet C betegner kurven med parametrisering r(t) = (t cos t,sin t,1 + t 2 ), 0 t π, skal integralet af E langs med C, dvs. beregnes. I = C E dα OPGAVE 8 (15 points) Lad V R 3 være området givet ved { V = (x,y,z) 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1 } 1 + xy og vektorfeltet E som følger: E(x,y,z) = ( x 2 x,y 2 y,2z xz 2yz ). (a) Idet S betegner overfladen af V orienteret med udadrettet enhedsnormal n, skal fluxen af E ud gennem S beregnes, altså integralet I = E n ds. (b) Beregn yderligere integralet hvor S 1 er fladen S 1 = S I 1 = E n ds, S 1 { (x,y,z) 0 x 1, 0 y 1, z = 1 }, 1 + xy altså den øverste, krumme del af S. [Vink: se på størrelsen E n på hver af de øvrige 5 sider i S.]

30 24 Juni 1996 OPGAVE 1 (10 point) Find følgende to grænseværdier 1 e x (a) lim x 0 sinhx. e x2 1 (b) lim x 0 sin(x 2 ). OPGAVE 2 (10 point) Beregn Taylorpolynomiet P 2 (x) af grad 2 svarende til udviklingspunktet x = 0 for funktionen f(x) = ln(2 e x ). Bestem Taylorrækken for funktionen g(x) = e x2 svarende til udviklingspunktet x = 0 og angiv konvergensradius. OPGAVE 3 (10 point) Skriv det komplekse tal 4e i π 4 på formen a + ib. Find dernæst de komplekse tal z, som opfylder og angiv facit på polær form re iθ. z 2 = 8 + i 8 OPGAVE 4 (10 point) Find den generelle løsning y = y(x) til differentialligningen dy dx + 3x2 y = 3x 2. Bestem dernæst den løsning, som opfylder y(0) = 2. OPGAVE 5 (15 point) Find den generelle løsning y = y(x) til differentialligningen y 2y 3y = 0. Bestem dernæst den generelle løsning til y 2y 3y = 6cos x + 2sin x samt den løsning som opfylder y(0) = 0 og y (0) = 1.

31 Juni OPGAVE 6 (15 point) Lad R være det indre af trekanten i planen R 2 med hjørner i punkterne (0,0), (1,0) og (0,2). Med C betegnes randen af R (altså de tre sider) gennemløbet i positiv omløbsretning (dvs. mod uret). Beregn kurveintegralet I = xy dx + y dy. OPGAVE 7 (15 point) På R 2 er givet den skalare funktion C f(x,y) = x 3 + 4xy 2y Vis, at (x,y) = (0,0) er et stationært punkt, og bestem arten heraf. Find dernæst samtlige stationære punkter samt arten af disse. OPGAVE 8 (15 point) Lad D være området i R 3 givet ved Bestem volumen af D. Med F betegnes vektorfeltet D = { (x,y,z) 0 z 4(x 2 + y 2 ) + 2, x 2 + y 2 1 }. F(x,y,z) = (xcos y,z sin y,x 2 + z). Bestem fluxen af F ud gennem overfladen S af D, dvs. bestem integralet I = F ˆNdS, hvor ˆN er den udadrettede enhedsnormal og ds er overflademålet på S. S

32 26 August 1996 OPGAVE 1 (10 point) Find følgende to grænseværdier: (a) (b) x 2 + x 2 lim x 1 x 2. 1 e x e x 2x lim x 0 sin(2x) 2x OPGAVE 2 (10 point) Beregn Taylorpolynomiet Q 2 (x) af grad 2 svarende til udviklingspunktet x = 0 for funktionen g(x) = 1 ex 1 + e x. Angiv Taylorpolynomiet P n (x) af grad n svarende til udviklingspunktet x = 0 for funktionen f(x) = e x. Vis, at restleddet R n (x) = f(x) P n (x) opfylder, at og R n (x) xn+1 (n + 1)! R n (x) xn+1 e x (n + 1)! når x 0 når x 0 OPGAVE 3 (10 point) Find den generelle løsning y = y(x) til differentialligningen dy dx + 2 x y = 6x3. Bestem dernæst den løsning, der opfylder y(1) = 0. OPGAVE 4 (10 point) Find de komplekse løsninger til andengradsligningen z 2 3z + 1 = 0 og angiv facit både på formen a + ib og på polær form re iθ. Lad z 0 være en løsning til andengradsligningen ovenfor. Vis, at z 6 0 = 1.

33 August OPGAVE 5 (15 point) Betragt funktionen F(x,y) = xsin y på R 2 og vis, at (x,y) = (0,0) er et stationært punkt. Find dernæst samtlige stationære punkter samt arten af disse. OPGAVE 6 (15 point) I planen R 2 er givet vektorfeltet F(x,y) = ( ) y cosh(xy), xcosh(xy). Vis, at F er konservativt, og find en potentialfunktion. Lad R være det indre af trekanten i planen R 2 med hjørner i punkterne (0,0), (0, 1) og (1,0). Med C betegnes randen af R (altså de tre sider) gennemløbet i positiv retning (dvs. mod uret). Beregn kurveintegralet I = OPGAVE 7 (15 point) C ( ) ( ) y cosh(xy) + y dx + xcosh(xy) + 2x dy. Find den generelle løsning y = y(x) til den homogene differentialligning y + 3y 4y = 0. Bestem dernæst den generelle løsning til den inhomogene differentialligning y + 3y 4y = x 2. Bestem endelig den løsning til den inhomogene differentialligning, som opfylder y(0) = 1 8 og y (0) = 0 og vis, at denne har et lokalt minimum i x = 0. OPGAVE 8 (15 point) Lad V betegne området i R 3 givet ved } V = {(x,y,z) x 2 + y 2 1, z 0 og z 1 + x 2. Bestem volumen af V. Med S betegnes den del af fladen z = (x2 + y 2 ) i rummet R 3, som ligger inden for cylinderen x 2 + y 2 = 1. Beregn arealet af S.

34 28 Januar 1997 OPGAVE 1 (10 point) Beregn Taylorpolynomiet P 2 (x) af grad 2 svarende til udviklingspunktet x = 0 for funktionen g(x) = (1 + x) 1/3. Angiv et udtryk for fejlen R 2 (x) ved approksimationen Vis, at restleddet R 2 (x) opfylder OPGAVE 2 (10 point) Find de komplekse tal z, som opfylder Bestem b,c R, således at 2. grads ligningen g(x) P 2 (x). R 2 (x) 5 81 x3, for x 0. z 3 = 1 + i. z 2 + bz + c = 0 har de to komplekse rødder 1 2 (1 + i) og 1 2 (1 i). OPGAVE 3 (15 point) Find for x > 0 den generelle løsning y = y(x) til differentialligningen dy dx + 1 x y = sin x. Bestem dernæst den løsning, y p, som opfylder y p (π) = 0. Vis, at lim x π y p(x) sinx = 0. OPGAVE 4 (15 point) Find den generelle løsning y = y(x) til differentialligningen y 4y + 4y = 0. Angiv dernæst en partikulær løsning til differentialligningen y 4y + 4y = e 2x. Bestem løsningen til begyndelsesværdiproblemet e x2 (y 2 1) dy dx + xy = 0 y(0) = 1.

35 Januar OPGAVE 5 (10 point) Vis, at (0,0) er et stationært punkt for funktionen Afgør arten af dette stationære punkt. OPGAVE 6 (15 point) Lad F betegne vektorfeltet i R 2 f(x,y) = xsinh2y + 2y sinhx + xy. F(x,y) = (3x 2 y 2, 2x 3 y). Vis, at F er konservativt, og find en potentialfunktion ϕ : R 2 R. Lad C være kurven med parametrisering Beregn integralet r(t) = (1 t, t 2 ), 0 t 1. I = C F dr af F langs med C. Angiv en enhedsvektor n i (1,1), der er vinkelret på niveaukurven ϕ(x,y) = 1 igennem (1,1). OPGAVE 7 (15 point) Lad V være området i R 3 givet ved Skitsér V og bestem volumen af V. Lad F betegne vektorfeltet V = { (x,y,z) 0 x 2 + y 2 4, 0 z 8 x }. F(x,y,z) = (x 2 + tanhz, xy + sin z, y) Bestem fluxen af F ud gennem overfladen S af V, dvs. bestem integralet I = F ˆN ds, hvor ˆN er den udadrettede enhedsnormal, og ds er overflademålet på S. OPGAVE 8 (10 point) Lad f : R 2 R være givet ved f(x,y) = e x2 +y 2. Find en ligning for tangentplanen i (0, 1, f(0, 1)). Lad F : R 2 R 2 betegne afbildningen, der er givet ved ( ) f f F(x,y) = (x,y), x y (x,y) Vis, at Jacobimatricen for F har formen ( a c d b ) med b = c. S.

36 30 Juni 1997 OPGAVE 1 (15 point) (a) Vis at x + 1 cos x lim = 1 x 0 sinh(2x) 2. (b) Bestem Taylor polynomiet P 2 (x) af grad 2 svarende til udviklingspunktet x = 0 for funktionen f(x) = ln(1 + cosh x). (c) Bestem konvergensradius for potensrækken x n n 2 + 3n. OPGAVE 2 (10 point) n=1 (a) Bestem løsningerne til den komplekse andengradsligning (b) Angiv z = i 1 på polær form z = re iθ. (c) Lad b, c R og antag at ligningen z 2 4z + 8 = 0. z 2 + bz + c = 0 har løsningen z 0 = 3 + i. Vis, at det konjugerede tal z 0 = 3 i også er en løsning til z 2 + bz + c = 0. OPGAVE 3 (15 point) (a) Bestem den fuldstændige løsning y = y(x) til differentialligningen y 2y + 2y = 2x. (b) Bestem dernæst den løsning, som opfylder y(0) = 0 og y (0) = 2. (c) Angiv en differentialligning af formen y + by + cy = 0 som opfylder at y 1 (x) = e 2x og y 2 (x) = e x begge er løsninger. OPGAVE 4 (10 point) Betragt funktionen f : R 2 R givet ved f(x,y) = 1 x 2 + y (a) Vis at (0,0) er det eneste stationære punkt. (b) Bestem arten af dette stationære punkt.

37 Juni OPGAVE 5 (10 point) Et område D i planen R 2 er givet ved D = { (x,y) x 0, y 0, x 2 + y 2 4 }. Beregn dobbeltintegralet I = (y 2 + 2)dxdy. D OPGAVE 6 (10 point) Betragt vektorfeltet i R 3 givet ved F(x,y,z) = (2xy,x 2,2). (a) Vis, at F er konservativt og find en potentialfunktion ϕ: R 3 R. Lad C være kurven parametriseret ved r(t) = (t 3,t 2,t), 0 t 1. (b) Beregn kurveintegralet af F langs C: I = F dr. OPGAVE 7 (15 point) I R 3 er givet området V = { (x,y,z) 0 z cosh(x 2 + y 2 ),x 2 + y 2 1 }. Der er desuden givet et vektorfelt F(x,y,z) = ( z tan y,ln(1 + x 2 ),2z ). (a) Bestem fluxen af F ud gennem overfladen S af V, dvs. bestem integralet I = F NdS hvor N er den udadrettede enhedsnormal, og ds er overflademålet på S. (b) Bestem fluxen igennem den del af fladen S som er givet ved z = 0. (c) Bestem volumen af V. S C

38 32 OPGAVE 8 (15 point) I planen R 2 er der givet et område { D = (x,y) 1 x 2, 0 y 1 x }. (a) Skitsér D og beregn kurveintegralet I 1 = 4y dx + x 2 dy C 1 hvor C 1 er randen af D gennemløbet mod uret. (b) Beregn desuden I 2 = 4y dx + x 2 dy C 2 hvor C 2 er liniestykket fra (1,0) til (2,0). (c) Bestem en funktion f : R R således at vektorfeltet F(x,y) = ( 4y,x 2 f(x) ) er konservativt for x > 0.

39 Besvarelse af Juni Besvarelse af Juni 1997 Besvarelse af eksamensopgaver i MM01 juni ved Henrik Pedersen Opgave 1 (a) Sæt f(x) = x + 1 cos x og g(x) = sinh(2x). Da f(0) = 0 = g(0) bruges l Hopital s regel: Vi udregner de afledede: f (x) = 1 + sinx såf (0) = 1 g (x) = 2cosh(2x) såg (0) = 2 Da fås lim x 0 f(x) g(x) = lim x 0 f (x) g (x) = 1 2 (b) Vi har at P 2 (x) = f(0) + f (0)x f (0)x 2 og f(x) = ln(1 + cosh x). Da er f(0) = ln 2 og f (x) = sinhx 1 + cosh x ; f (0) = 0 f (x) = cosh x(1 + cosh x) sinhx sinhx (1 + cosh x) 2 ; f (0) = 1 2 Dvs. P 2 (x) = ln x2. (c) Konvergensradius R udregnes ved Dvs. R = 1 1 R = lim n a n+1 a n = lim n n 2 + 3n = lim n n 2 + 5n + 4 = 1 n 2 + 3n (n + 1) 2 + 3(n + 1) Opgave 2 (a) z 2 4z + 8 = 0 D = = 16 z = 1 2 (4 ± 16) = 2 ± 2i Dvs. z = 2(1 + i) og z = 2(1 i) er en løsning.

40 34 (b) Da z = i 1 ses, at z = = 2 og θ = 3π 4. Altså fås z = 2 e i3π 4. (c) Da b,c R og z bz 0 + c = 0 fås: 0 = 0 = z bz 0 + c = z b z 0 + c, så den konjugerede z 0 er også en løsning - dvs. z 0 = 3 i er en løsning. Opgave 3 (a) Først løses den homogene ligning: y 2y + 2y = 0 Hjælpeligning: r 2 2r + 2 = 0. Vi får D = 4 8 = 4 og r = 1 2 (2 ± 2i) = 1 ± i. Altså er y(x) = e x (Acos x + B sin x). Gæt på y p (x) = Cx + D: y p(x) = C og y p(x) = 0 Vi indsætter og får: 2C + 2Cx + 2D = 2X Dvs. 2C = 2 og D C = 0 Altså C = 1 og D = C = 1 så y p (x) = x + 1 og den fuldstændige løsning bliver y(x) = e x (Acos x + B sin x) + x + 1. (b) Vi udregner den afledede y (x) = e x (Acos x + B sin x) e x ( Asin x + B cos x) Heraf fås (A,B) = ( 1,2) Altså fås løsningen y(x) = e x (2sin x cos x) + x + 1 y (0) = A B = 2 y(0) = A + 1 = 0 (c) y + by + cy = 0. 2 Hjælpeligning: r 2 br + c = 0. Vi ønsker at denne ligning har løsningerne r = 1 r 2 + br + C = (r 2)(r + 1) = r 2 r 2 så b = 1 og C = 2 og ligningen bliver y y 2y = 0.

41 Besvarelse af Juni Opgave 4 f(x,y) = 1 x 2 + y f x = f y = x x 2 + y y x 2 + y Dvs. gradienten er nul præcis i (x,y) = (0,0), som derfor er eneste stationære punkt. 2 f y 2 = (0,0) x 2 x 2 + y x 2 + y x 2 + y (0,0) = 2 4 = f y 2 = 1 2 (0,0) 2 f = 1 y x 2 x(x2 + y 2 + 4) 3 2 2y = 0 (0,0) (0,0) Derfor fås at A = C = 1 2 og B = 0 så AC B 2 = 1 4 > 0 og A < 0. Derfor er (0,0) et (lokalt) maksimum. Opgave 5 (0,2) D (2,0) Vi benytter polære koordinater I = 2 0 π 2 0 (r2 sin 2 θ + 2)rdr dθ 2 0 π 2 0 2rdr dθ = π r dr = π 2 [r 2] 2 0 = 2π

42 π 2 0 [ r r 3 sin 2 4 θ dr dθ = 4 ] 2 0 π 2 0 sin 2 θ dθ [ θ = ] π 2 sin 2θ 4 0 = π. Dvs. I = 2π + π = 3π. Opgave 6 F 1 y = 2x, F 2 x = 2x F 2 z = 0, F 3 y F 3 x = 0, F 1 z = 0 = 0 Dvs. krydsdifferentiationsreglen gælder, så da R 3 er konveks findes en potentialfunktion. Vi skal have at ϕ x = 2xy Dvs. ϕ(x,y,z) = 2xy dx + c(y,z) = x 2 y + c(y,z). Af Af ϕ y = x2 fås x 2 + c y = x2 så c(y,z) = k(z) ϕ z = 2 fås k = 2 så k(z) = 2z og ϕ(x,y,z) = x 2 y + 2z + konstant. Da grad ϕ = F fås I = ϕ( r (I)) ϕ( r (0)) = ϕ(1,1,1) ϕ(0,0,0) = 3 Opgave 7 (a) Af Gauss sætning fås: I = div F dv V div F = F 1 x + F 2 y + F 3 z = = 2

43 Besvarelse af Juni I = 2cosh(x 2 + y 2 )dxdy Disk 1 2π = 2 = 4π cosh(r 2 )r drdθ; cosh udu = 2π sinhu 1 = 2π sinh(1). 0 u = r 2, du = 2rdr (b) For z = 0 er F = (0,ln(1 + x 2 ),0) Da F (0,0, 1) = 0, fås at flux = nul. (c) Volumen = dxdy dz = cosh(x 2 + y 2 )dxdy V Disk = π sinh(1) i følge ovenstående. Opgave 8 (a) F = ( 4y,x 2 ); F 2 x F 1 y = 2x + 4 C D 1 2 Af Greens sætning fås ( F2 I 1 = x F ) 1 dxdy y = = D x 0 (2x + 4)dy dx (2 + 4 x )dx = 2 + 4[ln x] 2 1 = 2 + 4ln 2.

44 38 (b) C 2 parametriseres: r (t) = (t,0) 1 t 2 r (t) = (1,0) F ( r (t)) = (0,t 2 ) F ( r (t)) r (t) = (0,t 2 ) (1,0) = 0 så I 2 = 0. (c) Da området x > 0 er enkeltsammenhængende, er det nok at bestemme f så krydsdifferentiationsreglen gælder: F 2 x F 1 y = 0;giver 2xf(x) + x 2 f (x) + 4 = 0 Dvs. for x > 0 : f (x) + 2 x f(x) = 4 x 2. Vi finder en løsning til ligningen: p(x) = 2 x så µ(x) = 2ln x (x > 0). Vi løser: I = e µ(x) q(x)dx = x 2 ( 4 x 2 Dvs. f(x) = 4 x opfylder det ønskede. ) dx = 4x + C.

45 August August 1997 OPGAVE 1 (15 point) (a) Løs andengradsligningen for z en kompleks variabel. z 2 14z + 50 = 0 (b) Bestem de komplekse løsninger til ligningen z 3 = 4 + i4 3. (c) Bestem komplekse tal a,b,c således at trediegradsligningen z 3 + az 2 + bz + c = 0 har de tre rødder z = 1 + i, z = 2i og z = 3. OPGAVE 2 (10 point) (a) Vis at 2x + 2 2cosh(x) lim = 1 x 0 sin(16x) 8. (b) Lad E 3 (x) være restleddet hørende til Taylor polynomiet P 3 (x) af grad 3 svarende til udviklingspunktet x = 1 for funktionen f(x) = ln x. Vis at E 3 (x) opfylder E 3 (1,2) < 0,001. OPGAVE 3 (15 point) I R 3 er givet en flade S = { (x,y,z) R 3 x 0, y 0, z 0, 2x + 2y + z = 6 }. (a) Skitsér S på en tegning, og find arealet af S.

46 40 Lad der desuden være givet et vektorfelt F(x,y,z) = ( y 2,z,x). (b) Beregn fladeintegralet I 1 = S curlf N ds, hvor N er den opadrettede enhedsnormalvektor på fladen S. (c) Beregn desuden kurveintegralet rundt langs randen C af S, dvs. beregn I 2 = F dr hvor orienteringen af C er arvet fra fladen S. C OPGAVE 4 (15 point) Et område i planen R 2 er givet ved D = { (x,y) 1 x 2 + y 2 9, x 0, y x }. (a) Skitsér D på en tegning, og beskriv D i polære koordinater. (b) Udregn integralet y dxdy. (c) Bestem volumen af området V i R 3 givet ved V = { (x,y,z) (x,y) D, 0 z 3y }. D OPGAVE 5 (15 point) (a) Bestem den fuldstændige løsning y = y(x) til differentialligningen y 3y + 2y = e 2x. (b) Bestem dernæst den løsning y p som opfylder y p (0) = 0 og y p (0) = 1. y p (x) (c) Vis, at lim x 0 sinh(2x) = 1 2.

47 August OPGAVE 6 (10 point) (a) Find den generelle løsning y = y(t) til differentialligningen (b) Bestem løsningen som opfylder y(0) = 1. dy dt = et y. OPGAVE 7 (10 point) Lad f : R 2 R være funktionen givet ved f(x,y) = 2 + (x 2 + y 2 + 1) 1 3. (a) Bestem de afledede f f x (x,y), y (x,y), 2 f x y (x,y), 2 f (x,y) og 2 f (x,y). x 2 y 2 (b) Bestem stationære punkter for f samt arten heraf. OPGAVE 8 (10 point) 3 (a) Vis at 2 n = 6. n=0 (b) Bestem konvergensradius for potensrækken n=0 x n (2n + 2)!.

48 42 Januar 1998 OPGAVE 1 (10 point) Lad z C være givet ved z = 6 4i 5 + i. (a) Bestem modulus og argument for z. (b) Angiv på en figur z s beliggenhed i den komplekse plan. OPGAVE 2 (15 point) (a) Bestem den fuldstændige løsning y = y(t) til differentialligningen d 2 y dt 2 2dy + 5y = 0. dt (b) Bestem dernæst den fuldstændige løsning til ligningen y 2y + 5y = 4te t. (c) Bestem den løsning y p til differentialligningen i (b), som opfylder y p (0) = 0 og y p(0) = 3. (d) Vis, at lim t 0 y p (t) tanh(t) = 3. OPGAVE 3 (10 point) Betragt funktionen f : R 2 R givet ved (a) Bestem de stationære punkter for f. (b) Bestem arten af de stationære punkter. f(x,y) = 24y y3 y 4 32x 2. (c) Bestem de punkter på grafen for f, hvor tangentplanen er horisontal (dvs. parallel med XY -planen).

49 Januar OPGAVE 4 (15 point) Lad V 1 R 3 være området givet ved V 1 = {(x,y,z) x 2 + y 2 + (z 2) 2 4} og lad V 2 R 3 være området V 2 = {(x,y,z) z 0, z 2 x 2 + y 2 }. (a) Gør rede for, at V 1 kan beskrives i sfæriske koordinater ved 0 θ 2π, 0 φ π/2, 0 ρ 4cos φ. (b) Gør rede for, at V 2 kan beskrives i sfæriske koordinater ved 0 θ 2π, 0 φ π 4, 0 ρ <. (c) Bestem volumen af isvaflen V 1 V 2. OPGAVE 5 (10 point) I R 3 er der givet et vektorfelt F(x,y,z) = (2xy cosh(x 2 y),x 2 cosh(x 2 y),1). (a) Vis, at F er konservativt og find den potentialfunktion ϕ: R 3 R som opfylder ϕ(0,0,0) = 0. Lad C være kurven parametriseret ved (x(t),y(t),z(t)) = (7,9t,13t 2 ); 0 t 1. (b) Beregn kurveintegralet af F langs C: I = C F dr.

50 44 OPGAVE 6 (15 point) Lad V R 3 være området i R 3 givet ved (a) Vis, at volumen af V er lig med 4. Betragt dernæst vektorfeltet V = {(x,y,z) 0 y 3, 0 z 1 x 2 }. F (x,y,z) = (x + 7cos y,y + 9sin z,z + 13e x ). (b) Bestem fluxen af F ud gennem overfladen S af V. (c) Bestem fluxen igennem den del af fladen S, som er givet ved de to betingelser z = 0, x 0. OPGAVE 7 (15 point) Lad g: R 2 R 2 være afbildningen givet ved g(x,y) = (g 1 (x,y),g 2 (x,y)), hvor g 1 (x,y) = sinh 1 (xy) og g 2 (x,y) = xe y. (a) Bestem Jacobimatricen for g i et vilkårligt punkt (x,y). (b) Vis, at Jacobimatricen for g i punktet (1,0) er lig med ( ) og angiv Taylorpolynomiet af grad 1 omkring (1,0) for g 2. (c) Løs approximativt ligningssystemet g 1 (x,y) = 0,01 g 2 (x,y) = 1,02 for (x,y) nær ved (1,0).

51 Januar OPGAVE 8 (10 point) Betragt området D R 2 givet ved D = {(x,y) 0 x 1, 0 y x 3 }. (a) Skitsér D og bestem kurveintegralet I = y dx x2 dy, hvor C er randen af D gennemløbet mod uret. (b) Bestem kurveintegralet J = C K y dx x2 dy, hvor K er den del af parablen y = x 2, som svarer til x [0,1].

52 46 Juni 1998 OPGAVE 1 (15 point) (a) Vis, at z = 1+i 3 og z = 1 i 3 begge er løsninger til den komplekse andengradsligning z 2 2z + 4 = 0. (b) Angiv z = 1 + i 3 og z = 1 i 3 på polær form z = re iθ, og angiv på en figur de to tals beliggenhed i den komplekse plan. (c) Bestem løsningerne til den komplekse ligning og angiv løsningerne på formen a + ib. w 4 2w = 0. OPGAVE 2 (15 point) (a) Vis, at 1 (1 + x) 1 2 lim x 0 1 (1 + x) 1 3 = 3 2. (b) Bestem Taylors polynomium P 1 (x) af grad 1 svarende til udviklingspunktet x = 0 for funktionen f(x) = e x (1 + 2x) 2. (c) Vis, at 1 12 x = 1 + (x 11) + (x 11)2 + (x 11) og angiv for hvilke x R at rækken er konvergent.

53 Juni OPGAVE 3 (10 point) (a) Find den generelle løsning til differentialligningen dy + sinh(x)y = sinh(x). dx (b) Bestem den løsning, som opfylder y(0) = 1. OPGAVE 4 (10 point) Lad g : R 2 R være funktionen givet ved g(x,y) = 2x 3 3x 2 + y 2 12x (a) Vis, at ( 1,0) er et stationært punkt for g. (b) Find alle stationære punkter for g. (c) Bestem arten af det stationære punkt ( 1,0). OPGAVE 5 (10 point) Lad F(x,y) = (x 2 y 2, xy) være et vektorfelt i planen og lad C være randen, orienteret mod uret, af området M = {(x,y) x 2 y x,0 x 1}. (a) Skitsér området M. (b) Undersøg om F er et gradient felt (dvs. undersøg om F er konservativt). (c) Bestem integralet I = C F dr.

54 48 OPGAVE 6 (15 point) (a) Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen d 2 y dx 2 2dy dx + y = 0. (b) Bestem dernæst den fuldstændige løsning til differentialligningen y 2y + y = 16e x. (c) Bestem den løsning y til ligningen i (b), som opfylder begyndelsesbetingelserne y(0) = 1, y (0) = 1 OPGAVE 7 (10 point) Lad S være overfladen af det rumlige område og lad F være vektorfeltet (a) Beregn divf (x, y, z). V = {(x,y,z) x 2 + y 2 4, 1 z 1}, F(x,y,z) = ( 1 3 x3, 1 3 y3 + 7, z 3 ). (b) Bestem fluxen af F ud gennem S, dvs. bestem integralet I = F N ds, hvor N er den udadrettede enhedsnormal, og ds er overflademålet på S. S OPGAVE 8 (15 point) Lad der være givet et vektorfelt i R 3 F(x,y,z) = (xy, 4, tan 1 (x 2 )) (Bemærk at tan 1 er den inverse funktion til tan, der også kan skrives arctan)

55 Juni (a) Beregn vektorfeltet curlf. Lad D R 2 være givet ved D = {(x,y) R 2 x 2 + y 2 9}. (b) Beregn fladeintegralet hvor k = (0,0,1). Lad S R 3 være fladen I 1 = D curlf k ds S = {(x,y,z) z 0,z = 9 x 2 y 2 }. (c) Beregn fladeintegralet I 2 = S curlf N ds hvor N er den udadrettede enhedsnormalvektor på fladen S.

56 50 August 1998 OPGAVE 1 (10 point) Find de komplekse løsninger til ligningen (z 1) 4 = 1, og angiv løsningerne på formen a + ib. Illustrer endvidere løsningerne på en figur. OPGAVE 2 (15 point) (a) Bestem den løsning, y p, til differentialligningen y + y = cosh x som tilfredsstiller begyndelsesbetingelserne y p (0) = 0, y p (0) = 0. (b) Bestem for denne løsning Taylorpolynomiet P 3 (x) af grad 3 svarende til udviklingspunktet x = 0. OPGAVE 3 (10 point) Lad F(x,y) = (cos x, siny) være et vektorfelt i planen R 2. (a) Vis at F er konservativt. (b) Bestem en potentialfunktion for F. (c) Beregn kurveintegralet I = C F dr, hvor C er en kurve langs ellipsen 16x 2 + 4y 2 = 16, gennemløbet mod uret fra punktet (1,0) til punktet (0,2).

57 August OPGAVE 4 (15 point) (a) Bestem den generelle løsning til differentialligningen dy dx x 2y = x 2; x ] π 2, π [. 2 (b) Bestem dernæst den løsning, y p, som opfylder y p (0) = 0. y p (x) (c) Vis, at lim = 4. x 0 x OPGAVE 5 (10 point) Lad S betegne grafen for funktionen f(x,y) = 7 + 2xy defineret på D = { (x,y) R 2 x 2 + y 2 1 }. (a) Bestem overfladearealet af S. (b) Bestem rumfanget af området V = { (x,y,z) 0 z 7 + 2xy,x 2 + y 2 1 }. OPGAVE 6 (10 point) Lad F betegne vektorfeltet F(x,y,z) = ( xsinhz,yx y3, cosh z ). (a) Bestem rotationen curl F. Lad V være området i R 3 givet ved V = { (x,y,z) x 2 + y 2 1,1 z 3 }. (b) Bestem fluxen af F ud gennem overfladen S af V, dvs. bestem integralet I = F NdS, hvor N er den udadrettede enhedsnormal og ds er overflademålet på S. S

58 52 OPGAVE 7 (15 point) Lad f : R 3 R 3 være afbildningen givet ved f(x,y,z) = (y cosh x,ze x2,xy + z). (a) Bestem Jacobimatricen for f i et vilkårligt punkt (x,y,z) R 3. (b) Vis at Jacobimatricen for f i punktet (x, y, z) = (0, 0, 0) er givet ved A = 0 0 1, og vis at 0 er en egenværdi for A med egenvektor (1,0,0). (c) Find samtlige egenværdier for A og find de tilhørende egenvektorer. OPGAVE 8 (15 point) (a) Bestem den uendelige sum n=3 49 ( 1) n. 7 (b) Bestem konvergensradius for potensrækken n=0 (2x + 2) n 2n + 1. (c) Undersøg om rækken er konvergent. n=1 1 7n! + 9n n

59 Januar Januar 1999 OPGAVE 1 (10 point) (a) Bestem de komplekse løsninger til trediegradsligningen z 3 2iz 2 z = 0, og angiv facit på formen a + ib og på polær form re iθ. Lad z 0 = 4e i π 2. (b) Bestem de komplekse tal w C som opfylder w 2 = z 0. OPGAVE 2 (15 point) (a) Bestem grænseværdien sin x x lim x3 x 0 x 5. (b) Bestem Taylorpolynomiet P 2 (x) af grad 2 svarende til udviklingspunktet a = 8 for funktionen f(x) = 3 x. (c) Vis, at restleddet R 2 (x) = f(x) P 2 (x) opfylder at for 7 x 9. R 2 (x) /3 OPGAVE 3 (10 point) (a) Bestem en ligning for den kurve i planen, som har hældning 4x 3 y i punktet (x,y), og som går igennem punktet (0,7). (b) Bestem den generelle løsning y = y(x) til differentialligningen dy dx 1 y = xsinh(x), x > 0. x

60 54 OPGAVE 4 (15 point) I planen R 2 er givet et vektorfelt F (x,y) = (xy,sinh(x)). (a) Undersøg om F er konservativt. Lad R være det indre af trekanten med hjørnerne (0,0), (1,0) og (1,1). Lad C betegne randen af R gennemløbet i positiv retning. (b) Angiv C på en tegning. (c) Beregn kurveintegralet I = C (xy + y)dx + (sinh(x) + x)dy. OPGAVE 5 (10 point) (a) Vis at (1,1) er et stationært punkt for funktionen f(x,y) = (x y)(xy 1). (b) Afgør arten af dette stationære punkt. OPGAVE 6 (10 point) (a) Vis, at der findes en funktion f : R 2 R, således at og f x (x,y) = 2xy3 + e x sin y f y (x,y) = 3x2 y 2 + e x cos y + 1. (b) Bestem f.

61 Januar OPGAVE 7 (15 point) (a) Bestem den generelle løsning til den homogene ligning y 10y + 9y = 0. (b) Bestem dernæst den generelle løsning til den inhomogene differentialligning y 10y + 9y = 8e x. (c) Bestem den løsning til den inhomogene differentialligning som opfylder y(0) = 7 og y (0) = 1. (d) Bestem A,B R, således at differentialligningen y + Ay + By = 0 har løsningerne y 1 (x) = cos 2x, y 2 (x) = sin 2x. OPGAVE 8 (15 point) Betragt området i R 3 givet ved og lad F være vektorfeltet V = {(x,y,z) x 2 + y 2 + z 2 4, z 0} F = (xy + sinh(y),ye x7,cosh(x 2 ) ze x7 ). Randen (overfladen) af V betegnes med S og orienteres med enhedsnormal N rettet ud af V. Bestem fluxen I af F ud gennem S.

62 56 Besvarelse af Januar 1999 Besvarelse af eksamensopgaver i MM01 januar ved Henrik Pedersen Opgave 1 (a) z 3 2iz 2 z = z(z 2 2iz 1) = 0 netop når z = 0 eller z 2 2iz 1 = 0. D = = 0; z = i er dobbeltrod Dvs: z = 0 z = i = e i π 2 (b) w = 2e i π 4 eller w = 2e i5π 4 Opgave 2 (a) Rækken for sinx er givet ved sinx x+ Dvs. lim 1 6 x3 1 x 0 = lim x 5 x 0 sinx = x x3 6 + x x5 = 1 x (b) f(x) = 3 x,f (x) = 1 3 x 2/3, f (x) = 2 9 x 5 3,f (x) = x 8 3 f(8) = 2, f (8) = 1 12, f (8) = P 2 (x) = f(8) + f (8)(x 8) f (8)(x 8) 2 så P 2 (x) = (x 8) 288 (x 8)2. (c) På intervallet 7 x 9 gælder f (x) = 10 Af Lagrange Restled fås R 2 (x) x /3 3! /3 x 8 3 Opgave 3 (a) dy dx = 4x3 y så dy y = 4 x 3 dx og ln y = x 4 + konstant /3 6 = /3 3. Dvs. y = ce x4 og 7 = y(0) = c, så y(x) = 7e x4.

63 Besvarelse af Januar (b) dy dx 1 x y = xsinh(x) q(x) = xsinh(x) p(x) = 1 x, µ(x) = lnx 1 e µ(x) q(x)dx = x xsinh(x)dx = sinh(x) dx = cosh(x) + c y(x) = e µ(x) e µ(x) q(x)dx så y(x) = xcosh(x) + xc Opgave 4 (a) (F 1,F 2 ) = (xy,sinh(x)) F 2 x = cosh(x); F 1 y = x, så da F 2 2x F 1 y, ses, at F ikke er konservativt. (1,1) C (b) (1,0) (c) Ē = (y,x) = grad(xy), så C y dx + xdy = 0, da C er en lukket kurve. Af Green s sætning fås nu ( F2 I = R x F ) 1 dxdy y = (cosh x x)dxdy R 1 ( x ) = (cosh x x) dy = = (xcosh x x 2 ) dx [ xsinhx ] dx sinhx dx [ ] x = sinh1 cosh = e.

INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010

INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010 INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010 Forord Denne opgavesamling indeholder samtlige eksamensopgaver, der har været stillet

Læs mere

Prøveeksamen MR1 januar 2008

Prøveeksamen MR1 januar 2008 Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og

Læs mere

Prøveeksamen i Calculus

Prøveeksamen i Calculus Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.

Læs mere

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016

Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 2016

Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 2016 Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 216 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Reeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013

Reeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013 Reeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012

Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012 Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 212 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt

Læs mere

(Prøve)Eksamen i Calculus

(Prøve)Eksamen i Calculus (Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Matematik F Et bud på hvordan eksamenssæt løses

Matematik F Et bud på hvordan eksamenssæt løses Matematik F Et bud på hvordan eksamenssæt løses Jeppe Trøst Nielsen 11. april 21 Denne samling af ligninger og løsninger er udarbejdet efter det princip, at eksamenssættene ikke ændrer sig specielt meget

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Formelsamling til MM501 Calculus I MM502 Calculus II MM503 BioMat I MM504 BioMat II

Formelsamling til MM501 Calculus I MM502 Calculus II MM503 BioMat I MM504 BioMat II Formelsamling til MM501 Calculus I MM502 Calculus II MM503 BioMat I MM504 BioMat II Niels Kirkegaard og Peter Damkjær Senest redigeret af Hans J. Munkholm, juli 2009 Forord Denne formelsamling er oprindelig

Læs mere

MATEMATIK 3 ET,MP, FYS, NANO 29. august 2012 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 3 ET,MP, FYS, NANO 29. august 2012 Oversigt nr. 1 ET,MP, FYS, NANO 29. august 202 Oversigt nr. Litteratur: I Matematik 3 bruger vi i efteråret 202 følgende bog: E. Kreyzig: Advanced engineering mathematics, 0. udg., Wiley, 20. Beskrivelse: Kurset vil

Læs mere

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet maj Analyse, Prøve Besvarelse Opgave (3%) (a) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken ( + (x) n ) er konvergent og angiv sumfunktionen

Læs mere

Svar til eksamen i Matematik F2 d. 23. juni 2016

Svar til eksamen i Matematik F2 d. 23. juni 2016 Svar til eksamen i Matematik F d. 3. juni 06 FORBEHOLD FOR FEJL! Bemærk, i modsætning til herunder, så skal det i besvarelsen fremgå tydeligt, hvordan polerne ndes og hvordan de enkelte residuer udregnes.

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9

Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Potensrækker og opgaver Binomialformlen Binomialkoefficienter Binomialrækken Taylor polynomier Vurdering af Taylor s restled Eksponentialrækken konvereger

Læs mere

Epistel E2 Partiel differentiation

Epistel E2 Partiel differentiation Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +

Læs mere

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,

Læs mere

Opgave 1 Lad R betegne kvartcirkelskiven x 2 + y 2 4, x 0, y 0. (Tegn.) Udregn R x2 y da. Løsning y. Opgave 1 - figur. Calculus 2-2006 Uge 50.

Opgave 1 Lad R betegne kvartcirkelskiven x 2 + y 2 4, x 0, y 0. (Tegn.) Udregn R x2 y da. Løsning y. Opgave 1 - figur. Calculus 2-2006 Uge 50. Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. 3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5, 2) er 0.

Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. 3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5, 2) er 0. Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1

Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Her skal du lære om 1. Funktioner i flere variable 2. Grafen og niveaukurver 3. Grænseovergange og grænseværdier 4. Kontinuitet i flere variable 5. Polære koordinater

Læs mere

Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.

Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2. Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Kompleks Funktionsteori

Kompleks Funktionsteori Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv

Læs mere

Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål)

Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Jeg gider ikke håndregne i de simple spørgsmål! Her

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable

Læs mere

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også

Læs mere

Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns Universitet

Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns Universitet Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns Universitet af Michael Flemming Hansen Version 1.0 1. februar 2012 Indhold 1 Funktioner af en variabel 4 1.1 Komplekse tal........................... 4 1.1.1

Læs mere

MM01 (Mat A) Ugeseddel 1

MM01 (Mat A) Ugeseddel 1 Institut for Matematik og Datalogi 2. august 200 Syddansk Universitet, Odense HJM/LL MM0 (Mat A) Ugeseddel Velkommen til kurset MM0 (Matematik A). Forelæsninger: afholdes i to ugentlige timer, onsdag kl.

Læs mere

Noter om komplekse tal

Noter om komplekse tal Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at

Læs mere

Andengradsligninger i to og tre variable

Andengradsligninger i to og tre variable enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker

Læs mere

Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012

Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012 Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 202 Partiel besvarelse - har ikke inkluderet alle detaljer! Med forbehold for tastefejl. Opgave Find og bestem typen af alle singulariteter for følgende funktioner:

Læs mere

Lektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler

Lektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler Lektion 12 2. ordens lineære differentialligninger homogene inhomogene eksempler højere ordens lineære differentiallininger 1 Anden ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter A. Homogene

Læs mere

Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt

Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Oversigt [S] 5., 5.3, 5.4,.,. Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 6 Uge 39.

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Ugesedler til sommerkursus

Ugesedler til sommerkursus Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang

Læs mere

Partielle afledede og retningsafledede

Partielle afledede og retningsafledede Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen

Læs mere

Nøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August 2000, opgave 7

Nøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August 2000, opgave 7 Oversigt [S] 11.8 Nøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August 2000, opgave 7 Calculus 2-2006 Uge 47.2-1 Skitse [S] 11.8 Niveaukurver y f(x,y)=1

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 9, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael ørdam 1 Egentlige og uegentlige dobbeltintegraler: efinition (Egentlige

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt

Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Oversigt [S] 5.2, 5.3, 5.4, 2., 2.2 Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 26

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx103-mat/a-101010 Fredag den 10. december 010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

N 0 3gleord og begreber 7 0 Dobbelt integral 7 0 Fubinis s 0 3tning 7 0 Generelle omr 0 2der. 7 0 Regneregler 7 0 Nem ulighed

N 0 3gleord og begreber 7 0 Dobbelt integral 7 0 Fubinis s 0 3tning 7 0 Generelle omr 0 2der. 7 0 Regneregler 7 0 Nem ulighed 1 3Oversigt 7 4 [S] 12.1, 12.2, 12.3 N 0 3gleord og begreber 7 0 obbelt integral 7 0 Fubinis s 0 3tning 7 0 Generelle omr 0 2der 7 0 Type I 7 0 Type II 7 0 Regneregler 7 0 Nem ulighed Calculus 2-2006 Uge

Læs mere

Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30.

Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30. Opgaver Polære koordinater Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 15, 70, 60, 0. Opgave Bestem sin π Opgave. Et punkt p i xy-planen er givet ved de kartesiske koordinater,. Bestem p s polære

Læs mere

Bevægelsens Geometri

Bevægelsens Geometri Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Den todimensionale normalfordeling

Den todimensionale normalfordeling Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives

Læs mere

MM501/MM503 forelæsningsslides

MM501/MM503 forelæsningsslides MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder

Læs mere

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med

Læs mere

Formelsamling - MatF2. Therkel Zøllner og Amalie Christensen 27. juni 2009

Formelsamling - MatF2. Therkel Zøllner og Amalie Christensen 27. juni 2009 Formelsamling - MatF2 Therkel Zøllner og Amalie Christensen 27. juni 2009 1 Indhold 1 Kompleks variabel teori 3 1.1 Komplekse funktioner 825-830........................... 3 1.2 Powerserier af komplekse

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 1stx101-MAT/A-26052010 Onsdag den 26. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET

DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN INDHOLD. Lineær ligning 2 2. Lineært system 8 3. Generel ligning 6 4. Stabilitet 8 Litteratur 2 Noterne er til 4 timers forelæsninger

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b stk. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013 Opagve 6 Variables a isoleres: M = S 1 + a = a + b b a b a = b 1 ( ) 1 b 1 a = b 1 a = b 1 1 b 1 a = b Hvis b = 1, så gælder ligningen

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.

Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2. Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen

I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen S.&P. DIFFERENTIALLIGNINGER 2. februar 2006 Oversigt nr. 1 I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen [EP] Elementary differential equations with boundary

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx141-MATn/A

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx141-MATn/A Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 2stx141-MATn/A-27052014 Tirsdag den 27. maj 2014 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler

Læs mere

Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej

Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej Supplement til Matematik 1GB Jan Philip Solovej ii c 2001 Jan Philip Solovej, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet. Alle har tilladelse til at reproducere hele eller dele af dette materiale

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Opgaver i matematik. Opgaver i Modul A 2. Facits til opgaver i Modul A 10. Opgaver i Modul B 12. Facits til opgaver i Modul B 20. Opgaver i Modul C 22

Opgaver i matematik. Opgaver i Modul A 2. Facits til opgaver i Modul A 10. Opgaver i Modul B 12. Facits til opgaver i Modul B 20. Opgaver i Modul C 22 0 16 14 12 10 10 8 6 x 5 4 2 Matematik og databehandling 2014 t 10 12 2 4 6 8 Opgaver i matematik Dette opgavesæt indeholder alle de opgaver i matematik, der stilles i kurset i 2014 Vi er i gang med at

Læs mere

Note om Laplace-transformationen

Note om Laplace-transformationen Note om Laplace-transformationen Den harmoniske oscillator omskrevet til et ligningssystem I dette opgavesæt benyttes laplacetransformationen til at løse koblede differentialligninger. Fordelen ved at

Læs mere

AALBORG UNIVERSITET DET INGENIØR-, NATUR- OG SUNDHEDSVIDENSKABELIGE BASISÅR SE - KURSUS MATEMATIK

AALBORG UNIVERSITET DET INGENIØR-, NATUR- OG SUNDHEDSVIDENSKABELIGE BASISÅR SE - KURSUS MATEMATIK AALBORG UNIVERSITET DET INGENIØR-, NATUR- OG SUNDHEDSVIDENSKABELIGE BASISÅR SE - KURSUS MATEMATIK A. SEMESTER NANOTEKNOLOGI EFTERÅR 7 Indholdsfortegnelse Matematik A, Lek. 7 Opgave regning A.7 - A.8 7

Læs mere

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2008-juni 2011 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere