Pseudospektrer for operatorer i Hilbertrum

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Pseudospektrer for operatorer i Hilbertrum"

Transkript

1 Pseudospektrer for operatorer i Hilbertrum AALBORG UNIVERSITET Institut for Matematiske Fag Gruppe G3-9 MAT5. september 9. december 8

2

3 Aalborg Universitet Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G Titel: Pseudospektrer for operatorer i Hilbertrum Semester: MAT5 Projektperiode:. september 9. december 8 Projektgruppe: G3-9 Gruppemedlemmer: Kenn E. M. Andersen Synopsis: I denne rapport introduceres og bevises sætninger og begreber om psudospektrer for begrænsede operatorer i separable Hilbertrum. Især betragtes resolventen, der ligeledes er en begrænset operator. Gennem rapporten anvendes både Gelfands kalkule og Dunfordkalkulen, hvortil der er anvendt kompleks funktionsteori. For en begrænset operator A har udviklingen af hhv. exp(ta) og A k stor interesse både for endelige t og k og asymptotisk. I denne forbindelse bevises bl.a. Kreiss' Matrixsætning. Pseudospektrer for matricer illustreres gennem rapporten i form af eksempler. Blandt andet er der eksempler på både normale og ikke-normale matricer, og på hvordan f.eks. den numeriske værdimængde udregnes for disse. Lars V. Iversen Dan V. Jensen Ove L. Sandau Vejleder: Arne Jensen Oplagstal: 7 Sidetal: 6 c Gruppe G3-9 efterår 8

4 Forord Denne rapport er skrevet som MAT5-projekt ved Aalborg Universitet. Projektet er ment som en udredning og præsentation af grundlæggende begreber og resultater angående pseudospektrer for operatorer på separable Hilbertrum. Alle vektorrum benytter C som skalarlegeme. Rapporten forudsætter kendskab til kompleks funktionsteori og Hilbertrums geometri. Vi gør læseren opmærksom på, at der benyttes to slags henvisninger. Når nummeret er i parentes, som f.eks. (.), henvises der til det matematiske udtryk med dette nummer, mens f.eks. sætning. henviser til en hel sætning med dette nummer. Sidstnævnte henvisning ndes ligeledes til lemma, eksempel, gur og korollar. Kilder anføres i begyndelsen af afsnit og kapitler med notationen [forfatter(e), udgivelsesår, placering i kilde]. Hvor intet andet nævnes, er [Jensen, 8] anvendt. Aalborg den 9/ 8 Kenn E. M. Andersen Dan V. Jensen Lars V. Iversen Ove L. Sandau IV

5 Indhold Operatorer i Hilbertrum. Dunfordkalkulen Pseudospektrum 3 Eksempler 6 3. Beregning af pseudospektrer Beregning af den numeriske værdimængde Eksempler Kontinuerte systemer 6 4. Kreiss' matrixsætning Diskrete systemer 4 6 Udvalgte matricer Toeplitzmatricer Cykliske matricer Diagonalisering af cykliske matricer Pseudospektrum for cykliske matricer Dierentiationsmatricer Smokematricer Litteratur 6 V

6

7 Kapitel Operatorer i Hilbertrum Gennem rapporten betegner H et separabelt Hilbertrum, og B(H) rummet af begrænsede lineære operatorer fra H ind i sig selv. Det indre produkt antages at være lineært i anden variabel, og hvor andet ikke er nævnt, bruges norm og metrik induceret af det indre produkt. I dette kapitel introduceres en række begreber og resultater, som anvendes senere i rapporten. Denition. (Resolvent og spektrum) Givet A B(H) siges et komplekst tal z at være i resolventmængden for A, ρ(a), hvis A zi er invertibel på H. I bekræftende fald kaldes operatoren R A (z) = (A zi) resolventen for A i z. Komplementærmængden σ(a) = C \ ρ(a) kaldes spektret for A. Bemærk, at Invers Afbildningssætningen [Reed og Simon, 98, Theorem III.] giver, at hvis A zi er invertibel, er den inverse operator R A (z) også en begrænset lineær operator. Resolventen bliver den centrale operator i forbindelse med pseudospektrum. Vi får brug for følgende formler: Sætning. (Første og Anden Resolventligning) For A B(H) og komplekse tal z, ζ ρ(a) gælder (i) R A (z) R A (ζ) = (z ζ)r A (z)r A (ζ) = (z ζ)r A (ζ)r A (z). For A, B B(H) og z ρ(a) ρ(b) gælder (ii) R B (z) R A (z) = R A (z)(b A)R B (z) = R B (z)(b A)R A (z). Hvis I + R A (z)(b A) er invertibel, gælder desuden R B (z) = (I + R A (z)(b A)) R A (z). (.) Der gælder (z ζ)i = (A ζi) (A zi) og dermed (A zi) (z ζ)(a ζi) = (A zi) (A ζi), hvilket giver Første Resolventligning. Anden lighed i (i) fås ved at gange resolventerne på fra modsatte side. Anden Resolventligning fås på samme måde ved at tage udgangspunkt i B A i stedet for z ζ. Ligning (.) bevises ud fra Anden Resolventligning, da R B (z) R A (z) = R A (z)(b A)R B (z) medfører R A (z) = (I + R A (z)(b A))R B (z), hvoraf (.) følger. Denition.3 (Spektralradius) For en operator A B(H) deneres spektralradius for A som r(a) = sup λ. λ σ(a) For en begrænset operator er spektret altid ikke-tomt og kompakt ifølge [Reed og Simon, 98, Theorem VI.5 + korollar], så supremummet er faktisk et maksimum. Sætning.4 (Spektralradiusformlen) For en operator A B(H) eksisterer grænsen lim n A n n, og der gælder Hvis A er normal, gælder tillige r(a) = A. r(a) = lim n An n = inf n An n.

8 . OPERATORER I HILBERTRUM Bemærk, at formlen generelt giver r(a) n A n. For bevis se [Lax,, Theorem 7.4]. Denition.5 (Numerisk værdimængde) For A B(H) deneres den numeriske værdimængde for A som W (A) = { u, Au u = }. Bemærk, at enhver operator A B(H) kan skrives som A = Re A + i Im A, hvor Re A og Im A er bestemt ved Re A = (A + A ) og Im A = i (A A ). Det eftervises let, at disse er selvadjungerede, så der gælder altså x, Ax = x, Re(A)x + i x, Im(A)x = Re x, Ax + i Im x, Ax. At Re A og Im A er den eneste opsplitning, der opfylder dette ses ved at antage, at A = B + ic, hvor B og C er selvadjungerede. Da gælder x, Bx = Re x, Ax = x, Re(A)x for alle x H, hvormed B = Re A, og analogt C = Im A. et for følgende sætning er baseret på beviset fra [Halmos, 967]. Sætning.6 (Toeplitz-Hausdor) For A B(H) er W (A) konveks. Hvis H er endeligdimensionalt, er W (A) kompakt. Bemærk, at O C N er konveks, hvis der for ethvert par af punkter x, y O gælder, at tx + ( t)y ligger i O for ethvert t [, ]. Antag først, at H er endeligdimensionalt. Så er W (A) kompakt, da afbildningen u u, Au er kontinuert, og mængden {u H u = } er kompakt, hvormed W (A) er kompakt. Lad nu H være et vilkårligt Hilbertrum, og f og g være enhedsvektorer i H, så f, Af = ξ og g, Ag = µ. Det skal vises, at der for ethvert t [, ] eksisterer et h H, hvor h =, så h, Ah = ( t)ξ +tµ. Dette vises først i tilfældet, hvor ξ = og µ =. Skriv A = B +ic, hvor B = (A+A ) og C = i (A A ). Da er B og C selvadjungerede, og der gælder dermed h, Bh R og h, Ch R for alle h H, så h, Ah = h, Bh + i h, Ch. Der gælder = g, Ag = g, Bg + i g, Cg, hvormed g, Cg = = f, Cf. For f, Cg = a + ib, hvor a, b R, deneres λ = b ia a, eller λ =, hvis +b a = b =. Da gælder λ =, og for a, b er λf, Cg = λ f, Cg = b + ia a + b (a + ib) = i a + b, altså gælder Re λf, Cg =. Bemærk, at f og g er lineært uafhængige, for hvis der eksisterer et c C, så f = cg, må der gælde c =, da f og g er enhedsvektorer, og dermed = f, Af = cg, Acg = c g, Ag =, hvilket er en modstrid. Altså gælder h(t) := ( t)λf + tg for alle t. At h(t), Ah(t) er reel, ses ved h(t), Ch(t) = ( t)λf + tg, C(( t)λf + tg) = ( t)λf, C(( t)λf) + ( t)λf, Ctg + tg, C(( t)λf) + tg, Ctg = ( t)t( g, Cλf + λf, Cg ) = ( t)t( Cg, λf + λf, Cg ) = ( t)t( λf, Cg + λf, Cg ) =, hvor det benyttes, at f, Cf = g, Cg =, at C er selvadjungeret, og at Re λf, Cg =. Således er funktionen t h(t) h(t), Ah(t) kontinuert og reel, hvor h() h(), A h() h() = f, Af =, og h() h(), A h() h() = g, Ag =. Således gælder ifølge Mellemværdisætningen [Wade, 4, Theorem

9 3.9], at der for ethvert τ [, ] eksisterer et t, så h(t) h(t), A h(t) h(t) = τ, hvormed linjestykket mellem ξ = og µ = ligger i W (A). Antag nu, at der ikke gælder både ξ = og µ =. Hvis ξ = µ, er der intet at vise. Ellers deneres α = ξ µ ξ og β = µ ξ, så αξ + β = og αµ + β =. Da f, (αa + β)f = α f, Af + β = og g, (αa + β)g = α g, Ag + β =, gælder ifølge det foregående, at linjestykket mellem αξ + β = og αµ + β = ligger i W (αa + β). Med andre ord eksisterer der for ethvert t [, ] et l H, hvor l =, så l, (αa + β)l = ( t)(αξ + β) + t(αµ + β), men da er følgende udsagn ækvivalente l, (αa + β)l = ( t)(αξ + β) + t(αµ + β) α l, Al + β = α(( t)ξ + tµ) + β tβ + tβ l, Al = ( t)ξ + tµ, hvorved liniestykket mellem ξ og µ ligger i W (A). Notationen O reserveres til kompleks konjugering, og derfor benyttes notationen cl(o) om aukningen af O. Sætning.7 For A B(H) gælder σ(a) cl(w (A)). For bevis, se [Kato, 995, Corollary V-3.3]. Der knyttes her en række kommentarer til resultatet. Hvis λ er en egenværdi for A B(H), så Av = λv, gælder v v, v Av = v, λv = λ, v og dermed ligger mængden af egenværdier i W (A). Således er det for endeligdimensionale Hilbertrum ikke nødvendigt at tage aukningen af den numeriske værdimængde. Lad nu H være et uendeligdimensionalt Hilbertrum, og {e n } n= være en ortonormal basis i H. Der kan da deneres en lineær operator ved Ae n = n e n. (.) For ethvert x H eksisterer en kvadratisk konvergent følge {c n }, så x = n c ne n. Da gælder c n n Ax = Ax, Ax = n x, hvormed A er begrænset med norm. Det kan også vises, at A er selvadjungeret. For operatoren A zi gælder (A zi)e n = ( n z)e n, og denne er begrænset og invertibel med (A zi) e n = n zn e n, som er deneret for alle z C, hvor z n, n N. Følgen { n } ligger i σ(a), og da spektret er lukket, må der gælde σ(a) = {} { n } n=, men ligger ikke i W (A), da der for en enhedsvektor x gælder, at x, Ax = n= n c n =, hvormed c n = for alle n N, hvilket er en modstrid. I dette tilfælde er det altså nødvendigt at tage aukningen af W (A) for at opnå inklusionen. Denition.8 (Konvekst hylster) For en mængde af punkter A = {a,..., a n } C N deneres det konvekse hylster af A som { n conv(a) = t i a i i= n i= Sætning.9 Hvis A B(C N ) er normal, gælder conv(σ(a)) = W (A). t i =, t i }. 3

10 . OPERATORER I HILBERTRUM Da A er normal, eksisterer en ortonormal basis af egenvektorer {v,..., v N }, så Av i = λ i v i. Ifølge sætning.7 gælder conv(σ(a)) W (A), idet W (A) er konveks og kompakt. Vælg nu x C N, så x = N i= v i, x v i, hvor der gælder x = N i= v i, x = ifølge Pythagoras. Da gælder N N x, Ax = v i, x v i, λ j v j, x v j = = i= j= N N λ j v j, x v i, x v i, v j j= N v j, x λ j, j= hvilket netop er i conv(σ(a)), da N j= v j, x =, og v j, x v j x =. i= Denition. (Numerisk radius) For A B(H) deneres den numeriske radius for A som µ(a) = sup z. z W (A) Denition. (Ortonormal basis) En delmængde S H kaldes ortonormal, hvis der for alle x, y S gælder x, y = { for x = y for x y. Hvis ingen anden ortonormal delmængde indeholder S som ægte delmængde, så kaldes S en ortonormal basis. Ethvert separabelt Hilbertrum har en ortonormal basis. For bevis af dette resultat, se [Reed og Simon, 98, Theorem II.5 og Theorem II.7]. Denition. (Unitær operator) En operator U B(H) kaldes unitær, hvis U er surjektiv og normbevarende. Bemærk, at på grund af Polarisationsidentiteten er U indre produkt-bevarende. Sætning.3 En operator U B(H) er unitær, hvis og kun hvis den afbilder en ortonormal basis over på en ortonormal basis. Lad {ψ j } N j= og {ϕ j} N j=, hvor N N eller N =, være ortonormale baser i H, så Uψ j = ϕ j. Operatoren U er surjektiv, da der for ethvert x = N j= ϕ j, x ϕ j gælder N N U ϕ j, x ψ j = ϕ j, x ϕ j = x. j= Operatoren U er normbevarende, da der for y = N j= ψ j, y ψ j gælder N N N N Uy = ψ j, y ϕ j, ψ j, y ϕ j = ψ j, y ψ k, y ϕ k, ϕ j = j= j= N ψ j, y = y. j= j= j= k= 4

11 Antag nu, at {ψ j } N j= er en ortonormal basis, og U er unitær. Der gælder således Uψ j, Uψ k = ψ j, ψ k = δ j,k, hvormed {Uψ j } N j= er en ortonormal delmængde. Det skal nu vises, at ingen anden ortonormal delmængde kan indeholde {Uψ j } N j= som ægte delmængde. Antag omvendt, at der eksisterer et x, så Uψ j, x = for alle j, og da U er surjektiv, eksisterer der et χ, så Uχ = x. Da {ψ j } N j= er en ortonormal basis, eksisterer der et j {,..., N}, så ψ j, χ, men så gælder Uψ j, x = Uψ j, Uχ = ψ j, χ, hvilket er en modstrid. Altså danner {Uψ j } N j= en ortonormal basis i H. Sætning.4 En operator U B(H) er unitær, hvis og kun hvis U = U. Per denition er U surjektiv, og Ux = Uy medfører = Ux Uy = x y og dermed x = y. Altså er U også injektiv og dermed invertibel. Der gælder (U U I)x, y = Ux, Uy x, y = for alle x, y H. Vælges y = (U U I)x, ses det, at U U = I, hvilket medfører U = U. Antag nu, at U = U. Da U er invertibel, er den også surjektiv, og der gælder desuden x, y = U Ux, y = Ux, Uy, hvilket viser, at U er indre produkt-bevarende. Den algebraiske multiplicitet af en egenværdi λ for en operator A er det antal gange, den optræder som rod i det karakteristiske polynomium for A, og skrives m a (λ). Den geometriske multiplicitet af en egenværdi λ for en operator A er dimensionen af det tilhørende underrum bestående af de x H, for hvilke Ax = λx, og skrives m g (λ). Dette er altså det samme som antallet af lineært uafhængige egenvektorer hørende til denne egenværdi. Som bekendt gælder der, at m g (λ) m a (λ). Enhver matrix er similær med en Jordanmatrix [Axler, 997, Theorem 8.47], og efter en sådan similaritetstransformation siges matricen at være på Jordannormalform. En Jordanmatrix er en blokdiagonalmatrix på formen J... hvor alle tomme indgange er -indgange. Hver af Jordanblokmatricerne J i, i =,..., m, har netop en egenværdi λ i, i =,..., m, gentaget på diagonalen, i indgangene umiddelbart over diagonalen og i de øvrige indgange, det vil sige, at λ i J i =. J m,... λi Det bemærkes, at λ i+ ikke nødvendigvis er forskellig fra λ i, og at en Jordanblokmatrix godt kan være en ( )-matrix. De to ekstremer er således henholdsvis, at Jordanmatricen kun består af én (N N)-Jordanblokmatrix, og at Jordanmatricen består af N ( )-Jordanblokmatricer, svarende til at Jordanmatricen er en diagonalmatrix, hvilket vil sige, at m g (λ i ) = m a (λ i ) for i =,..., N. Hver Jordanblokmatrix har netop en egenvektor, så antallet af Jordanblokmatricer hørende til en given egenværdi er lig med dennes geometriske multiplicitet. Dermed er det samlede antal Jordanblokmatricer lig med summen af egenværdiernes geometriske multiplicitet. 5

12 . OPERATORER I HILBERTRUM Summen af dimensionerne af Jordanblokmatricerne for en given egenværdi er lig med den algebraiske multiplicitet af denne egenværdi. Summen af dimensionerne af alle Jordanblokmatricerne, hvilket nødvendigvis er dimensionen af hele matricen, N, er lig med summen af egenværdiernes algebraiske multiplicitet, der, idet det karakteristiske polynomium for en (N N)-matrix ifølge Algebraens Fundamentalsætning har N rødder, også er N. Denition.5 (Singulære værdier) Lad H være et endeligdimensionalt Hilbertrum. For A B(H) kaldes mængden de singulære værdier for A. Sætning.6 Om de singulære værdier gælder (i) s(a) R + {} (ii) s max (A) = A, og hvis A er invertibel, gælder desuden (iii) (s min (A)) = A, s(a) = { λ λ σ(a A)} hvor s min (A) og s max (A) betegner hhv. den mindste og den største singulære værdi. Bemærk, at vi betragter C N med det sædvanlige indre produkt. Hvis λv = A Av, gælder v, λv = v, A Av λ v = Av og dermed λ. Da A A er selvadjungeret og dermed normal, eksisterer der ifølge Spektralsætningen en unitær operator U, så A A = U ΛU, hvor Λ = diag(λ,..., λ N ), hvor λ j v j = A Av j, og v j =. Lad λ M betegne den største af egenværdierne med tilhørende egenvektor v M. For ψ H, hvor ψ =, gælder Aψ = ψ, A Aψ = ψ, U ΛUψ = Uψ, ΛUψ. Bemærk, at der for x := Uψ gælder x =. Således er Aψ = x, Λx Λx = N λ j x j λ M N x j = λ M, j= og dermed A = sup ψ = Aψ λ M, men Av M = v M, A Av M = λ M v M, v M = λ M, og deraf fås A = s max (A). Antag nu, at A er invertibel, og v. Da gælder Av = λv λ v = A v. Således fås σ((a ) A ) = {λ λ σ(a A)}, og dermed er A = (s min (A)) ifølge punkt (ii). Denition.7 (Konditionstal) For en invertibel operator A B(H) deneres konditionstallet som cond(a) = A A. Fra sætning.6 fås følgende omskrivning i det endeligdimensionale tilfælde: j= cond(a) = s max(a) s min (A). (.3) Når andet ikke nævnes, antages det, at vi bruger den naturlige basis {e i } N i=, hvor e i = (δ,i,..., δ N,i ). 6

13 .. DUNFORDKALKULEN. Dunfordkalkulen Vi vil gennem rapporten få brug for at tage funktionen af en operator. Dette begreb tillægges mening i det følgende afsnit. Sætning.8 Givet en operator A B(H) og en analytisk funktion f, hvis potensrække f(z) = k= a kz k omkring nul har konvergensradius r > A, er rækken f(a) = k= a ka k konvergent i B(H). Da B(H) er et Banachrum, er det ifølge [Berg og Madsen,, Sætning 7.6] nok at vise, at rækken af normer er konvergent. Der gælder, at a k A k a k A k <, k= k= da rækken k= a kz k er absolut konvergent for z < r. Altså er rækken f(a) konvergent. Denne funktionalkalkule kaldes Gelfandkalkulen. Sætning.9 Lad A B(H) med A <. Så er I A invertibel, og (I A) = A k. (.4) k= Tillige gælder (I A) A. Lad S n = n k= Ak for n, og bemærk, at der for ethvert m gælder, at S n+m S n = n+m k=n+ A k n+m k=n+ A k = A n m k= A k, når n, idet A <. Det vil sige, at afsnitsfølgen S n er Cauchy, og da B(H) er et Banachrum, er rækken i (.4) dermed konvergent. Ved induktion ses det, at (I A)S n = I A n+ = S n (I A) for alle n N, og resultatet følger så af at lade n i ovenstående. Tillige gælder (I A) A k = A. Følgende korollar viser, at invertibilitet er stabil over for små perturbationer. Korollar. For A, B B(H), hvor A er invertibel, og B < A, er A + B invertibel, og k= (A + B) A A B A B. 7

14 . OPERATORER I HILBERTRUM Der gælder A + B = A(I + A B), og A B <. Ifølge sætning.9 er A + B så invertibel, da A er invertibel. Den inverse operator kan omskrives som ( ) ( ) (A + B) = (I ( A B)) A = ( A B) k A = A + ( A B) k A, k= k= så ( (A + B) A ) ( A B) k A A B k A A B A B. k= k= Lemma. Lad A B(H). Så er A zi invertibel for alle z C med z > A, og for ethvert r > A gælder z k R A (z)dz = A k πi C for k N og C = {z C z = r}. Tillige gælder R A (z) = z k A k. k= Lad z C med z > A. Så er I A/z invertibel, og (I A/z) = k= (A/z)k ifølge sætning.9, men så er z(i A/z) = A zi invertibel, og R A (z) = (A zi) = z For k N og C = {z C z = r} gælder det, at C z k (A zi) dz = C k= ( ) k A = z z k A n z n+ dz = n= n= k= A n A k. (.5) zk+ C z k n dz, hvor ombytning af rækken og integralet er tilladt, idet rækken er ligeligt konvergent på den kompakte mængde C. Kurven C kan parametriseres ved γ : [, π] C, givet ved γ(t) = re it. For n k har de kontinuerte funktioner z z k n alle stamfunktioner i domænet C \ {}, så disse integraler over den lukkede kurve C giver alle nul. Tilbage er kun hvoraf resultatet følger. C z dz = π ire it dt = πi, reit Denition. (Dunfordkalkulen) Lad A B(H), og lad Ω C være enkeltsammenhængende og åben, så σ(a) Ω. Lad C være en simpel, lukket kurve i Ω \ σ(a) med σ(a) i sit indre. For en analytisk funktion f : Ω C deneres Dunfordkalkulen ved f(a) = πi C f(z)r A (z)dz. Bemærk, at z f(z)r A (z) er kontinuert og dermed Riemannintegrabel. Da f og R A er holomorfe ifølge [Reed og Simon, 98, Theorem VI.5], er værdien af integralet uafhængigt af valg af C. Bemærk desuden analogien med Cauchys integralformel. 8

15 .. DUNFORDKALKULEN Sætning.3 Hvor begge denitioner af f(a) er mulige, stemmer de overens. For f(z) = k= a kz k gælder f(a) = f(z)r A (z)dz = πi C πi C R A (z) a k z k dz. Da rækken er ligeligt konvergent på den kompakte mængde C, kan sum og integration ombyttes, og vha. lemma. fås f(a) = a k R A (z)z k dz = a k A k. πi k= C k= k= Sætning.4 For Dunfordkalkulen gælder (i) (αf + βg)(a) = αf(a) + βg(a) (ii) (fg)(a) = f(a)g(a). Dette gælder i øvrigt også for potensrækkedenitionen af f(a). Se f.eks. [Reed og Simon, 98, Theorem VII.]. Punkt (i) gælder, da integralet er lineært. For (ii) vælges simple, lukkede kurver C og D, så C ligger inden for D. Produktet f(a)g(a) skrives som et dobbeltintegral f(a)g(a) = 4π f(z)g(ζ)r A (z)r A (ζ)dzdζ. D C Ved hjælp af første resolventligning, sætning.(i), fås f(a)g(a) = 4π f(z)g(ζ)(z ζ) (R A (z) R A (ζ))dzdζ D C = ( 4π g(ζ)r A (ζ) f(z)(z ζ) dzdζ D C ) + f(z)r A (z) g(ζ)(ζ z) dζdz. C Da f(z)(z ζ) er holomorf inden for D, er det første integral ifølge Cauchys integralsætning nul. I andet led giver Cauchys integralformel, at D g(ζ)(ζ z) dζ = πi g(z), og dermed f(a)g(a) = f(z)g(z)r A (z)dz = (fg)(a). πi C Et lemma er nødvendigt for at dierentiere potensrækker. Lemma.5 Hvis A n A i B(H), og x k x i H, gælder D lim Ax k = lim A nx. k n 9

16 . OPERATORER I HILBERTRUM Lad ε > være givet. Hvis A n A, vil der eksistere et N, så n > N medfører, at Ax A n x < ε, og da A er kontinuert, og x k x, vil der eksistere et K, så k > K medfører, at Ax k Ax < ε. Dermed er Ax k A n x Ax k Ax + Ax A n x < ε for k > K og n > N. Eksponentialfunktionen har potensrækkeudvikling exp(z) = k= k! zk, som konvergerer for alle z C. Således kan exp(a) deneres analogt for enhver operator A B(H). Sætning.6 For A B(H) og u C (R, H) er løsningen til begyndelsesværdiproblemet d u(t) = Au(t) dt u() = u givet ved Med andre ord gælder u(t) = exp(ta)u. d exp(ta) = A exp(ta). dt Det skal vises, at lim h (exp((t + h)a) exp(ta)) A exp(ta) h =. For funktionerne f(z) = e (t+h)z, g(z) = e tz og l(z) = e hz gælder f = g l, og dermed må der ifølge sætning.4 gælde exp((t + h)a) = exp(ta) exp(ha), og dermed ( (exp((t + h)a) exp(ta)) A exp(ta) = exp(ta) h h exp(ha) ) h I A. Der skal nu bruges en omskrivning af h exp(ha). For alle n gælder h n k= k! hk A k = n h I + k= k! hk A k = n h I + A k= og derved fås for n h exp(ha) = h I + A exp(ha). Dette giver sammen med lemma.5 lim h ( h exp(ha) h I A ) k! hk A k = n h I + A = lim h (A exp(ha) A) =. k= k! hk A k,

17 Kapitel Pseudospektrum Betragt en løsning u H til operatorligningen Au zu = v, hvor A B(H), v H, og z ρ(a), og en løsning u til systemet (A + E)u zu = v + v, hvor E < R A (z). Dette er ifølge korollar. tilstrækkeligt til at sikre, at z ρ(a + E). Der gælder så u u = R A (z)v R A+E (z)v R A+E (z)v R A (z) R A+E (z) v + R A+E (z) v R A(z) E R A (z) E v + R A+E(z) v hvor korollar. benyttes. En god vurdering kræver altså, at R A (z) er passende lille. Igennem rapporten undersøges, hvor resolventnormen er stor, og hvilken betydning dette har for operatorligninger. Denition. (Pseudospektrum) For A B(H) og ε > er ε-pseudospektret for A givet ved σ ε (A) = σ(a) {z ρ(a) R A (z) > ε }. (.) Sætning. Lad A B(H), og ε >. Da er følgende tre udtryk ækvivalente. (i) z σ ε (A). (ii) Der eksisterer et B B(H) med B < ε, så z σ(a + B). (iii) z σ(a), eller der eksisterer et v H med v =, så (A zi)v < ε. Det vises først, at (i) medfører (iii). Antag, at z σ ε (A), og z σ(a). Så ndes et u H, så R A (z)u > ε u. Lad v = R A (z)u. Da er (A zi)v < ε v, og (iii) følger af en normalisering af v. Det vises nu, at (iii) medfører (ii). Hvis z σ(a), vælges B =. Antag derfor, at z σ(a). Dermed eksisterer et v H med v =, så (A zi)v < ε. Dener nu operatoren B (af rang ) ved Bu = v,u (A zi)v. Dermed er og B = sup Bu = sup v,u (A zi)v = sup v,u (A zi)v < ε, u = u = u = (A + B zi)v = (A zi)v + Bv = (A zi)v v,v (A zi)v =, hvorved z σ(a + B). Vi mangler nu blot at vise, at (ii) medfører (i), hvilket vises ved modstrid. Antag, at (ii) gælder, og at z σ(a), og R A (z) ε. Bemærk, at A + B zi = (I + BR A (z))(a zi). På grund af antagelserne er BR A (z) < ε ε =. Men så er I + BR A (z) invertibel ifølge sætning.9, og da A zi er invertibel, er A + B zi det også. Men dette strider mod antagelsen om, at z σ(a + B), så enten er z σ(a), eller også er R A (z) > ε, hvilket netop er punkt (i). Punkt (iii) kan også formuleres som følgende:

18 . PSEUDOSPEKTRUM Denition.3 (Pseudospektrum) Lad A B(H), ε >, z C og u H med u =. Hvis (A zi)u < ε, kaldes z en ε-pseudoegenværdi for A, og u kaldes en tilhørende ε-pseudoegenvektor. Sætning.4 Lad A B(H), og c C. Da er σ ε (ca) = cσ ε/ c (A). Lad z σ ε (ca). Ifølge sætning. eksisterer da et B B(H) med B < ε, så z σ(ca + B). Dener D = c B. Så er σ(ca + B) = cσ(a + D). Da D = c B < ε/ c, er z c σ(a + D) ækvivalent med z c σ ε/ c (A) ifølge sætning., hvoraf resultatet følger. I det endeligdimensionale tilfælde kan pseudospektret bestemmes ud fra følgende sætning: Sætning.5 Antag, at A B(C N ), og lad ε >. Så er z σ ε (A), hvis og kun hvis s min (A zi) < ε. Resultatet følger af denitionen på pseudospektrum og af, at (s min (A zi)) = R A (z) > ε, jf. sætning.6(iii). Det følgende omhandler egenskaber vedrørende pseudospektrer. Der anvendes notationen B δ = {z C z < δ}. Addition af mængder er i betydningen M + M = {z + z z M, z M }. Sætning.6 Lad A B(H), og ε >. Så gælder følgende: (i) Ethvert σ ε (A) er en begrænset og åben delmængde af C. (ii) For < ε < ε er σ ε (A) σ ε (A). (iii) ε> σ ε(a) = σ(a). (iv) For δ > er B δ + σ ε (A) σ ε+δ (A). Lad z C med z A + ε. Da er R A (z) = z k= k+ Ak z k= ( ) k A = z z A ε. Altså ligger disse z ikke i ε-pseudospektret, som dermed er begrænset ved den åbne kugle omkring origo med radius A + ε. For at σ ε (A) er åbent, skal der til ethvert z σ ε (A) eksistere et δ >, så B δ (z) σ ε (A). For z σ ε (A) eksisterer et B B(H) med B < ε, så z σ(a + B). For z C med z (ε B )/ er B + z I B + ε B < ε = ε. Da A + B + z I (z + z )I = A + B zi ikke er invertibel, er z z σ(a + B + z I), og dermed er z + z σ ε (A). Punkt (ii) ses let, da /ε > /ε, så ethvert z σ ε (A) også ligger i σ ε (A). Omvendt vil ethvert z σ ε (A) ikke nødvendigvis ligge i σ ε (A), da resolventen er kontinuert, så der eksisterer et z C, så R A (z) (/ε,/ε ). Vi vil nu vise (iii). Antag, at z ε> σ ε(a). Da er z σ(a) eller R A (z) > ε for alle ε >. Men da R A (z) er begrænset, eksisterer et M >, så R A (z) M, hvilket er en modstrid for ε < M.

19 Vi vil nu vise (iv). Lad δ >, og antag, at z σ ε (A) \ σ(a). Da eksisterer et v H med v =, så (A zi)v < ε. Lad ζ C med ζ < δ. Da er (A (z + ζ)i)v (A zi)v + ζv < ε + δ, og z + ζ ligger dermed i σ ε+δ (A). Vi mangler at vise (iv) for z σ(a). Sætning.(ii) anvendes. Det skal vises, at der eksisterer et B B(H) med B < δ + ε, så z + ζ σ(a + B) for alle z σ(a) og ζ B δ. Vælg B = ζi, hvor ζi = ζ < δ + ε. Bemærk, at da A zi ej er invertibel, er (A + B) (z + ζ)i = A zi ej invertibel, og dermed er z + ζ σ(a + B), og dermed også indeholdt i σ δ+ε (A). Sætning.7 For A B(H) og ethvert ε > gælder σ ε (A ) = σ ε (A). Da A er invertibel, hvis og kun hvis A er invertibel, er A zi invertibel, hvis og kun hvis (A zi) = A zi er invertibel, og dermed er σ(a ) = σ(a). Antag nu, at z σ(a), og R A (z) > ε. Da gælder (A zi) = (A zi), altså R A (z) = R A ( z), hvor det anvendes, at (T ) = (T ), og T = T. Altså gælder σ ε (A ) = σ ε (A). Sætning.8 Lad A, V B(H), og V være invertibel med konditionstal cond(v ) = k. For B = V AV gælder og endvidere for ε > σ(b) = σ(a) σ ε k (A) σ ε(b) σ kε (A). Bemærk, at k, og at hvis V er unitær, gælder σ ε (A) = σ ε (B). Der gælder B zi = V AV zv V = V (A zi)v, så B zi er invertibel, hvis og kun hvis A zi er invertibel, og dermed σ(b) = σ(a). Antag nu, at z σ(a). Da gælder R B (z) = (B zi) = V (A zi) V k R A (z), så hvis R B (z) > ε, gælder R A (z) > (kε) og dermed Endvidere gælder σ ε (B) σ kε (A). R A (z) = V V (A zi) V V = V R B (z)v k R B (z), så R A (z) > k ε medfører R B(z) > ε og dermed hvorved resultatet opnås. σ ε k (A) σ ε(b), Vi får i det følgende brug for nogle resultater angående ortogonale projektioner. Følgende resultat er fra [Reed og Simon, 98, Theorem II.3]. 3

20 . PSEUDOSPEKTRUM Sætning.9 For ethvert lukket underrum M H gælder H = M M. Altså kan ethvert x H skrives entydigt som x = u + v, hvor u M og v M. Vi denerer ortogonalprojektionen på M som afbildningen P x = u, der har følgende egenskaber: Lemma. En ortogonalprojektion P opfylder følgende: (i) P B(H). (ii) P =. (iii) P er idempotent. (iv) P er selvadjungeret. Det ses umiddelbart af denitionen på P, at denne er lineær. Lad der for x, χ H gælde x = u + v og χ = µ + γ, hvor u, µ M og v, γ M. Da gælder P x = u x, men også P u = u, så P =. Endvidere gælder P P x = P u = u = P x, hvilket viser, at P er idempotent. Da der gælder P x, χ = u, µ + γ = u, µ + u, γ = u, µ + v, µ = x, µ = x, P χ, hvor det anvendes, at u, γ = = v, µ, er P selvadjungeret. I et metrisk rum (X, d) deneres for ethvert punkt x X og enhver delmængde O X afstanden dist(x, O) = inf z O d(x,z). Bemærk, at hvis O er kompakt, eksisterer et ζ O, så dist(x, O) = d(x, ζ). Sætning. (i) For A B(H) og z σ(a) gælder R A (z) dist(z, σ(a)). (ii) Hvis A er normal, gælder endvidere R A (z) = dist(z, σ(a)). Da σ(a) er kompakt, eksisterer for ethvert z σ(a) et ζ σ(a), så dist(z, σ(a)) = z ζ. Antag, at R A (z) < dist(z, σ(a)). Der gælder A ζi = (A zi)(i +(z ζ)r A (z)), og da A zi er invertibel per antagelse, og I +(z ζ)r A (z) er invertibel ifølge sætning.9, må A ζi være invertibel, hvilket er en modstrid. Punkt (ii) vises i det endeligdimensionale tilfælde. Fra Spektralsætningen fås, at der eksisterer ortogonale projektioner P j, m j= P j = I, så A = m j= λ jp j, og P j P k = δ j,k P j. Da gælder A zi = m j= (λ j z)p j for z ρ(a). Det ses, at R A (z) = m j= (λ j z) P j, ved m m λ j zp j m λ j z P j = I = m λ j z P j λ j zp j. j= j= j= j= 4

21 For u H, hvor u =, gælder således m R A (z)u = λ j z P ju, = = = j= m j= m j= m j= λ j z λ j z m k= m k= m j= λ j z P ju inf λ σ(a) λ z dist(z, σ(a)), λ j z P ju λ k z P ku, P j u λ k z P jp k u, u m P j u j= og dermed R A (z) dist(z, σ(a)), hvilket sammen med punkt (i) giver det ønskede. Korollar. For A B(H) og ε > gælder og hvis A er normal, gælder lighed. {z C dist(z, σ(a)) < ε} σ ε (A), Sætning.3 Lad A, V B(H), og V være invertibel med cond(v ) = k. Hvis B = V AV er normal, gælder σ ε (A) {z C dist(z, σ(a)) < kε}. Ved ombytning af A og B fås fra sætning.8, at σ ε (A) σ kε (B), og da B er normal, fås ifølge korollar. σ ε (A) {z C dist(z, σ(b)) < kε}, men σ(a) = σ(b) ifølge sætning.8, hvilket giver det ønskede. Følgende sætning viser, at pseudospektret ikke er særlig følsomt over for små perturbationer af operatoren. Sætning.4 Lad A B(H) og ε >. For ethvert E B(H), hvor E < ε, gælder σ ε E (A) σ ε (A + E) σ ε+ E (A). Lad z σ ε E (A). Da eksisterer en operator B B(H), hvor B < ε E, så A + B zi ikke er invertibel. Der gælder B E < ε E + E = ε, og A + E + (B E) zi = A + B zi er ikke invertibel, så z σ ε (A + E). Antag nu, at z σ ε (A + E), så eksisterer der F B(H), så A + E + F zi ikke er invertibel, og F < ε. Da gælder E +F < E +ε, og A+(E +F ) zi er ikke invertibel, så z σ ε+ E (A). 5

22 Kapitel 3 Eksempler I dette kapitel beskrives først, hvordan pseudospektrer og den numeriske værdimængde kan beregnes i praksis, og hvordan de bliver beregnet med toolboxen EigTool til MATLAB, og derefter gives ved hjælp af matricer nogle eksempler på den tidligere indførte teori om den numeriske værdimængde og pseudospektra. Det bemærkes, at EigTool denerer resolventen som (zi A) = (A zi), men dette får ingen betydning for normen af resolventen. De følgende beskrivelser er tilpasset denitionen fra denne rapport af resolventen som (A zi), selv om det som nævnt ikke er den denition, EigTool bruger. 3. Beregning af pseudospektrer Dette afsnit er baseret på [Trefethen og Embree, 5, kapitel 8 og 39], [Axler, 997, Chapter 7] og [Lay,, afsnit.5, 5.6 og 5.8]. De singulære værdier for en matrix kan udregnes numerisk ved hjælp af hurtige algoritmer, der er numerisk stabile. Ud over at MATLAB generelt anvender singulære værdier for en matrix til at udregne operatornormen af denne i overensstemmelse med sætning.6, indgår de singulære værdier også i beregningen af pseudospektra. I det endeligdimensionale tilfælde er z σ ε (A) ifølge sætning.5 nemlig ækvivalent med, at s min (A zi) < ε. Dette udnyttes ved at udregne disse singulære værdier i et gitter af punkter i en delmængde af den komplekse plan og derefter indtegne konturer baseret på, hvilke af værdierne der er lig med ε. Dette giver så et plot af pseudospektrerne for matricen. Det er muligt at gøre forskellige ting for at gøre denne udregning af pseudospektrer hurtigere, endda uden at anvende for eksempel specielle metoder til at nde egenværdier for selvadjungerede matricer. Her tages ikke hensyn til matricer med en stor andel af -indgange, såkaldte tyndt besatte matricer, hvortil der ndes ere muligheder. I stedet for at udregne alle singulære værdier og derefter bestemme den mindste, hvilket er en realistisk mulighed, når matricen ikke er for stor, kan der spares tid ved kun at beregne den mindste singulære værdi. Dette kan gøres iterativt for eksempel ved nogle af de nedenfor beskrevne metoder. Som et første trin i beskrivelsen af iterativ udregning af singulære værdier for en matrix A betragtes den såkaldte potensmetode, der er en metode til at bestemme den største egenværdi for en matrix iterativt. Antag, at matricen A er diagonaliserbar med egenværdier {λ,..., λ N } med tilhørende egenvektorer {v,..., v N }. Det antages endvidere, at en af egenværdierne har strengt større modulus end de øvrige, og at egenværdierne er ordnet, så λ > λ λ 3 λ N. En startvektor kan opskrives entydigt ved hjælp af basen af egenvektorer som u = c v + c v + + c N v N, og det antages her, at c, det vil sige, at denne startvektor har en komponent i retning af v, som er den egenvektor, der ønskes approksimeret. I modsat fald, altså hvis startvektoren er ortogonal på v, ville algoritmen ikke nde v. Afrundingsfejl på computeren vil dog ofte gøre, at c ikke er eksakt. Den næste iteration bliver u = Au = c Av +c Av + +c N Av N = c λ v +c λ v + +c N λ N v N, og iteration k+ bliver u k+ = A k u = A k (c v +c v + +c N v N ) = c A k v +c A k v + +c N A k v N = c λ k v + c λ k v + + c N λ k N v N. Derved fås ( ( ) k ( ) ) k A k u = λ k λ λn c v + c v + + c N v N. λ λ På grund af ordningen af egenværdierne er brøkerne med λ i nævneren mindre end en, og dermed går den k'te potens af disse brøker mod nul for k. Det følger heraf, at λ k Ak u c v for k. For denne metode afhænger konvergenshastigheden altså blandt andet af forholdet mellem modulus af den største og næststørste egenværdi, og hvor stor en komponent startvektoren har i retning af v, angivet ved c. Generelt er det ikke muligt at skalere A k u med λ k, da det netop er λ, der skal bestemmes, men i stedet skaleres, så den største indgang i hver A k u er. Invers iteration går ud på at anvende potensmetoden på den inverse af operatoren, hvis den inverse eksisterer, og dermed bestemme den største egenværdi af den inverse. Dette svarer til den mindste egenværdi af 6

23 3.. BEREGNING AF DEN NUMERISKE VÆRDIMÆNGDE den oprindelige operator, da der for en generel operator A gælder, at Ax = λx A x = λ x, og at λ > λ λ N λ < λ λ N. Hvis operatoren ikke er invertibel, har operatoren egenværdien, som dermed er den egenværdi, der har mindst modulus. For at bestemme resolventnormen vil der være tale om at anvende invers iteration på (A zi) (A zi) svarende til at anvende potensmetoden på ((A zi) (A zi)). Denne inverse iteration kræver, at man ganger med ((A zi) ) og (A zi). For at lette disse udregninger foretages en LU-faktorisering af A zi, hvilket vil sige, at denne matrix omskrives til produktet af en nedre trekantsmatrix og en øvre trekantsmatrix, hvor rækkerne i den nedre trekantsmatrix kan være permuterede. Denne faktorisering skal udføres i hvert gitterpunkt, hvilket tager en del tid. Som bekendt gælder der ifølge Schurs Lemma [Axler, 997, Corollary 6.8], at enhver matrix ved en unitær similaritetstransformation kan omdannes til en øvre trekantsmatrix A = V SV. Da matricen V er unitær, følger det af sætning.8 og bemærkningerne umiddelbart efter denne, at σ ε (S) = σ ε (A). Denne Schur-dekomposition, som transformerer A om til en øvre trekantsmatrix S, udføres først en gang for alle, og derefter udregnes s min (S zi) i hvert af gitterpunkterne, hvor det nu ikke er nødvendigt at udføre en LU-faktorisering, da matricen S zi også er en øvre trekantsmatrix. Selve den iterative beregning af s min (A zi) kan også gøres hurtigere ved at anvende for eksempel invers Lanczos-iteration, som anvender linearkombinationer af itererede delresultater fra invers iteration til at danne en approksimation af s min (A zi). Det er denne fremgangsmåde med Schur-dekomposition og invers Lanczos-iteration, som danner grundlag for EigTools udregninger af pseudospektra. Hvis det største relevante ε er kendt, inden beregningerne udføres, kan det være en fordel ved hjælp af forskellige metoder at undgå at udføre beregninger for punkter, der falder uden for det yderste pseudospektrum. Med EigTools graske brugergrænseade er det muligt at vælge andre værdier for ε uden at skulle udføre beregningerne igen. For små matricer vil denne mulighed ofte være mere værd end en forøgelse af beregningshastigheden, men for store matricer kan det godt være særdeles attraktivt at spare nogle af de tunge beregninger. Ovenstående metoder tager udgangspunkt i denitionen af psedospektrum ved resolventnorm. Ækvivalensen mellem (i) og (ii) i sætning. gør imidlertid, at psedospektrer for en operator A også kan skrives som σ ε (A) = σ(a + E). E <ε Dette kan for en matrix A bruges til at afbilde et såkaldt fattigmands-pseudospektrum ved gentagne gange på samme gur at afbilde spektret for summen af matricen A og en stokastisk matrix med norm lig med ε. Resultatet af dette vil afhænge af antallet af perturbationer, det vil sige stokastiske matricer, og sandsynlighedsfordelingen for de stokastiske matricer. Som anvendt i beviset for sætning. kan den stokastiske matrix vælges til at have rang. Derved kan der spares nogle beregninger, da normaliseringen til E = ε er hurtigere for en matrix af rang end for en matrix af fuld rang. Hele denne procedure skal gentages for hvert ε, og de fremkomne gurer giver kun en grænse for, hvilke punkter pseudospektret mindst består af. De tjener altså mest som en hurtig approksimation, men efterhånden som metoder som de tidligere nævnte, der anvender gitterpunkter, bliver hurtigere, bliver denne fordel mindre. 3. Beregning af den numeriske værdimængde Dette afsnit er baseret på [Trefethen og Embree, 5, kapitel 7], [Gustafson og Rao, 997, afsnit 5.6] og [Webster, 994, Example.. og Theorem..3]. Som udnyttet i beviset for sætning.6 kan enhver matrix A skrives på formen A = B + ic, hvor B og C er selvadjungerede og er entydigt givet ved B = (A+A ) og C = i (A A ). Dette medfører, at Re u, Au = u, Re(A)u = u, (A+A )u. At højresiden er reel, ses også af, at (A + A ) er selvadjungeret. Der gælder, at {Re z z W (A)} = {Re u, Au u = } = { u, (A + A )u u = }. Da Re A = (A + A ) er selvadjungeret, gælder ifølge sætning.9, at {Re z z W (A)} = [λ min, λ max ], 7

24 3. EKSEMPLER hvor λ min og λ max er den mindste hhv. den største egenværdi for Re A. For at opnå grænser for andre retninger end langs den reelle akse, multipliceres A med e iθ for θ [, π]. At W (A) kan approksimeres på denne måde følger af følgende sætninger. Sætning 3. En lukket halvplan A i R er en konveks mængde. Det bemærkes, at en lukket halvplan er givet ved u, z u, hvor u R er fast, z R er vilkårlig, og u R er fast. Lad x, y A, og lad λ. Da x og y ligger i den lukkede halvplan, må der gælde, at u, x u og u, y u. Dermed fås, at u, λx + ( λ)y = λ u, x + ( λ) u, y λu + ( λ)u = u. Således gælder der, at λx+( λ)y A, hvilket netop vil sige, at den lukkede halvplan A er konveks. Sætning 3. Fællesmængden af konvekse mængder i R er konveks. Lad {A i i I}, hvor I = {,,... }, være en familie af konvekse mængder i R. Hvis to punkter tilhører fællesmængden af disse mængder, a, b i I A i, og λ, tilhører punkterne også hver af mængderne, altså a, b A i for alle i I. Da mængderne er konvekse, gælder der i så fald, at λa + ( λ)b A i for hvert i I, og dermed, at λa + ( λ)b i I A i, hvilket netop viser, at denne fællesmængde er konveks. Ved at identicere C med R, giver disse to sætninger, at den halvplan i den komplekse plan, der ligger til venstre for den største egenværdi for (A + A ), er konveks, og at den fællesmængde af de forskellige halvplaner, der fremkommer ved rotationen, som skal approksimere den numeriske værdimængde udefra, også er konveks. Medmindre der indtastes et andet lige antal, anvender EigTool 4 punkter til at bestemme den numeriske værdimængde. 3.3 Eksempler De grundlæggende dele af nogle af eksemplerne stammer fra [Jensen, 8, afsnit 5]. Desuden er der hentet inspiration i [Gustafson og Rao, 997, Example, s. ], og gurerne er lavet i MATLAB med toolboxen EigTool. Det udnyttes ere gange undervejs i de følgende eksempler, at indgangene i diagonalen i en øvre trekantsmatrix er matricens egenværdier. Der skelnes ikke så nøje mellem operatorer og deres matricer. Eksempel 3.3 For c C, c, betragtes matricen A = [ ] c, som ikke er normal. Spektret ses at være σ(a) = {}, og dermed er spektralradius r(a) = sup λ σ(a) λ =. For matricen A kan normen af resolventen udregnes eksplicit, hvilket ifølge sætning.6 kan gøres ved at udregne de singulære værdier. Med udgangspunkt i matricen A er det nemmest at udnytte punkt (iii) i denne sætning, som i forbindelse med resolventnormen lyder (A zi) = (s min (A zi)). Matricen A zi er givet ved [ ] z c A zi =. z For at udregne de singulære værdier for A zi udregnes i henhold til denition.5 først [ ] [ ] [ ] M = (A zi) z z c z c z (A zi) = = c z z cz c + z. 8

25 3.3. EKSEMPLER For at nde egenværdierne for M dannes matricen [ ] z M λi = λ c z cz c + z. λ Herudfra bestemmes det karakteristiske polynomium til at være hvilket giver egenværdierne det(m λi) = λ + ( c z )λ + z 4, λ = c + z ± c c + 4 z. Ved at tage kvadratroden af disse to egenværdier fås de singulære værdier for A zi, og efter at have fundet den mindste af disse og inverteret den fås R A (z) = (s min (A zi)) = c + z c. (3.) c + 4 z. Foretages en Taylorrækkeud- Det bemærkes, at c + 4 z = vikling til anden orden af + 4 z c + 4 z c + c ( + 4 z c i variablen 4 z c 4 z c 8 ) = c ( 4 z + 4 z c omkring nul, fås c ) = + z c z 4 c 4. Sammen med udtrykket for resolventnormen fra (3.), fås, at for 4 z c z i forhold til c er tæt på nul, og dermed for små R A (z) = c + z c c + 4 z = = c + z c ( + z c z 4 c ) 4 c + z c + 4 z c z 4 c = c z. (3.) Ifølge denition.5 er den numeriske værdimængde for A givet ved W (A) = { u, Au u = }. Nu betragtes et vilkårligt element i W (A). Det bemærkes, at med u = [ u u ] T bliver Au = [ cu ] T, og dermed bliver u, Au = cū u. Endvidere bemærkes, at for a, b R, er ab (a + b ), som anvendes i det følgende. Udregnes modulus af det betragtede element i W (A), fås u, Au = cū u = c ū u = c u u c ( u + u ) = c, hvilket viser, at W (A) {z z c }. Omvendt betragtes nu et vilkårligt element i {z z c }, som skrives z = reiθ = r(cos θ +i sin θ) med r c. Der vælges et u = [ cos α e i(θ θ ) sin α ] T, hvor α π 4, og sin α = c r. Den sidste relation følger af grænserne for r. Udregnes normen af u, fås u = u, u = = cos α cos α + e i(θ θ ) sin α e i(θ θ ) sin α cos α + e i(θ θ )+i(θ θ ) sin α = cos α + sin α =. 9

26 3. EKSEMPLER dim = (a) c = 3 dim = (b) c = 4 3 Figur 3.: Pseudospektrer for matricen A. Den numeriske værdimængde er angivet med en stiplet kurve. Med dette u bliver Au = [ ce i(θ θ ) sin α ] T. Dette giver for c = c e iθ u, Au = cos α ce i(θ θ ) sin α + e i(θ θ ) sin α = ce iθ cos α sin α = c c rei(θ θ ) = c eiθ re i(θ θ ) = re iθ, c idet det følger af ovenstående samt formlen for sinus til den dobbelte vinkel, at c r = cos α sin α. Dette viser, at {z z c } W (A), hvilket sammen med den omvendte inklusion ovenfor viser, at W (A) = {z z c }, altså at den numeriske værdimængde for A er den lukkede cirkelskive med centrum i origo og radius c. Den numeriske radius er således µ(a) = sup z W (A) z = sup c z z = c İfølge Toeplitz-Hausdor-Sætningen, sætning.6, er den numeriske værdimængde en konveks mængde og i dette endeligdimensionale tilfælde også en kompakt mængde. For ( )-matricen A blev det ovenfor vist, at den numeriske værdimængde er en lukket cirkelskive i den komplekse plan, og den har dermed begge disse egenskaber. Også sætning.7 kan anvendes på denne operator. Sætningen siger, at σ(a) cl(w (A)), hvilket i det endeligdimensionale tilfælde bliver σ(a) W (A). For den aktuelle operator A bliver udsagnet {} {z z c }. Pseudospektrer for A med hhv. c = og c = 4 ses på gur 3. med randen af den numeriske værdimængde indtegnet som en stiplet kurve. Randen af de forskellige pseudospektrer er angivet med farvede kurver, og sammenhængen mellem farverne og log ε er angivet i højre del af guren. Figuren viser således pseudospektrer for ε =,,5,,,5, 3. Hver egenværdi er angivet med en lille, sort, udfyldt cirkel. De følgende gurer med pseudospektrer i denne rapport er opbygget på tilsvarende måde. Ifølge denitionen på pseudospektrum, denition., samt (3.) er disse pseudospektrer for små z i forhold til c approksimativt givet ved foreningsmængden af spektret σ(a) = {} og de z i resolventmængden, der opfylder, at ε < R A (z) ε < c z z < c ε z < c ε. Pseudospektrerne er altså for små z i forhold til c approksimativt åbne cirkelskiver med centrum i origo og radius c ε, hvilket stemmer overens med guren. Ud over indholdet af de to tidligere nævnte sætninger ses også de grundlæggende egenskaber ved pseudospektra, der optræder i sætning.6, at passe med guren.

27 3.3. EKSEMPLER Som det fremgår af både ligning (3.) og gur 3., er de forskellige pseudospektrer for A spejlingssymmetriske om den imaginære akse eller med andre ord invariante under kompleks konjugering. Dermed giver sætning.7, som generelt giver σ ε (A ) = σ ε (A), i dette tilfælde σ ε (A ) = σ ε (A). På gur 3. ser pseudospektrerne ud til at være rotationssymmetriske omkring origo. For den aktuelle situation, hvor spektret kun består af et punkt, som endda er origo, bliver dist(z, σ(a)) = z. For små z i forhold til c bliver sætning.(i) således R A (z) dist(z, σ(a)) c z z c z z. For < ε <, hvilket er opfyldt for de på gur 3. afbildede pseudospektrer, og for små z i forhold til c fås fra korollar., at {z dist(z, σ(a)) < ε} σ ε (A) {z z < ε} {z z < c ε}. Eksempel 3.4 Nu betragtes en (3 3)-matrix, der ligesom den foregående har c C i indgangene umiddelbart over diagonalen. Denne matrix er givet ved c B = c, der ikke er normal og har spektrum σ(b) = {}, og dermed spektralradius r(b) = sup λ σ(b) λ =. For matricen B kan normen af resolventen ifølge sætning.6 i teorien udregnes ved at udregne de singulære værdier. Det karakteristiske polynomium for (B zi) (B zi) bliver imidlertid et tredjegradspolynomium med rødder, der er mere komplicerede end de hidtil betragtede. Ifølge følgende sætning om nilpotente matricer er det dog muligt at nde en god approksimation af udtrykket for resolventnormen. et for følgende sætning er baseret på [Trefethen og Embree, 5, Theorem 6.6]. Sætning 3.5 Lad A B(C N ). Så eksisterer der et κ N, så A κ =, hvis og kun hvis σ(a) = {}. I bekræftende fald er R A (z) = O( z κ ) for z. Først vises det, at en operator er nilpotent, hvis og kun hvis dens spektrum er {}. Antag først, at A er nilpotent, det vil sige, at der eksisterer et κ, så A κ =. Lad λ være en egenværdi for A, det vil sige, at Ax = λx. Det ses ved induktion, at A κ x = λ κ x, hvilket giver, at λ κ =, hvilket giver, at λ =, det vil sige, at σ(a) = {}. Antag dernæst, at σ(a) = {}. Ifølge Schurs Lemma eksisterer V B(C N ), så A = V T V og dermed A k = V T k V, hvor T er en øvre trekantsmatrix med σ(a) på diagonalen. Da σ(a) = {}, består diagonalen af nuller, og der må gælde, at T N =, hvormed A er nilpotent. At R A (z) = O( z κ ) for z, vil sige, at der eksisterer et M og et δ, så R A (z) M z κ for z < δ. Antag, at der eksisterer et κ, så A κ =. Dener M = sup k A k, og dener for z størrelserne r = z og γ = r. Analogt med beviset for sætning 5.4 foretages følgende udregninger. Antag, at p(γ A) = sup k γ k A k er endelig, og lad K være givet ved K = ( z γ) R A (z) for z ρ(a). Da gælder der, at rk r γ = r R A(z) = k= A k z k+ k= p(γ A) ( ) k = p(γ A) γ, r hvor det undervejs er udnyttet, at lemma 5. kan anvendes, og at γ r <. Dette giver, at ) p(γ A) rk ( γ r r γ r γ = K. (3.3)

28 3. EKSEMPLER Med de ovenfor denerede størrelser bliver K = ( z γ) R A (z) = (r r ) R A(z) = r R A(z). For r = z <, og dermed for γ <, giver (3.3), at r ( r ) k R A(z) sup γ k A k = sup γ k A k = sup A k k k k ( r ) κ ( r ) κ sup A k = M. k ( r Det er undervejs udnyttet, at <, og at den største værdi af r ) k, som ikke bliver ganget med nul, optræder for k = (κ ) = κ. Det følger af ovenstående udtryk, at R A (z) M ( ) r κ = M z κ M, hvor κ er konstanten, og δ =, i betingelsen for, at κ R A (z) = O( z κ ) for z. Pseudospektrer for B med hhv. c = og c = 4 ses på gur 3., hvor randen af den numeriske værdimængde er indtegnet som en stiplet kurve. Det fremgår af guren, at pseudospektrerne approksimativt for små z i forhold til c er cirkelskiver med centrum i origo i overensstemmelse med sætning 3.5. I det følgende beregnes den numeriske værdimængde. Lad B =, så B = cb. Lad x = (a, b, c) C 3 være en enhedsvektor. Da er B x = (b, c, ), så x, B x = āb + bc. Dermed fås, at āb + bc = a b + b c + Re(ab c) a b + b c + a b c = b ( a + c ) = ( a c )( a + c ), da a + b + c =. For at nde maksimum af dette udtryk betragtes funktionen f(x, y) = ( x y )(x + y), hvor x, y. De partielle aedede er f x = (x + y)( x y xy) og f y = (x + y)( x y xy). Det ses, at x = y = ikke er et maksimumspunkt for funktionen, derfor betragtes x y xy = og x y xy =, der har løsningen x = y =. Da f(, ) = er āb + bc. Dermed antages den maksimale værdi i x = (,, ), hvor x, B x netop er. Betragt vektoren ξ θ = ( eiθ,, e iθ ), der også er en enhedsvektor. Da er ξ θ, B ξ θ = e iθ, hvilket viser, at den numeriske værdimængde er en cirkel med centrum i og radius. Da x, Bx = c x, B x er den numeriske værdimængde for B en cirkel med centrum i og radius c. Den numeriske radius er dermed µ(b) = sup z W (B) z = c. Ifølge Toeplitz-Hausdor-Sætningen, sætning.6, er den numeriske værdimængde en konveks mængde og i dette endeligdimensionale tilfælde også en kompakt mængde. For matricen B ses i hvert fald konveksiteten af, at den numeriske værdimængde som nævnt ovenfor er en cirkelskive i den komplekse plan. Også sætning.7 kan anvendes på denne operator. Sætningen siger, at σ(b) cl(w (B)), hvilket i det endeligdimensionale tilfælde bliver σ(b) W (B). For den aktuelle operator B bliver udsagnet {} W (B). De grundlæggende egenskaber ved pseudospektra, der optræder i sætning.6, passer også med guren. Som det fremgår af gur 3., er de forskellige pseudospektrer for B spejlingssymmetriske om den imaginære akse eller med andre ord invariante under kompleks konjugering. Dermed giver sætning.7, som generelt giver σ ε (B ) = σ ε (B), i dette tilfælde σ ε (B ) = σ ε (B). Det fremgår af guren, at pseudospektrerne endvidere er rotationssymmetriske omkring origo.

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

6.1 Reelle Indre Produkter

6.1 Reelle Indre Produkter SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Om første og anden fundamentalform

Om første og anden fundamentalform Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

Kompleks Funktionsteori

Kompleks Funktionsteori Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

Pseudospektrer og normvurderinger

Pseudospektrer og normvurderinger master 2009/6/3 0:27 page I # Pseudospektrer og normvurderinger af Lars V. Iversen Dan V. Jensen Ove L. Sandau AALBORG UNIVERSITET d Institut for Matematiske Fag Gruppe G3-09 MAT6. februar 5. juni 2009

Læs mere

Analytisk perturbationsteori

Analytisk perturbationsteori master 2009/6/2 23:09 page # f Analytisk perturbationsteori for lineære operatorer JUNI 2009 Speciale af Mette Kristensen AALBORG UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG FREDRIK BAYERS VEJ 7 G, 9220 AALBORG

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005

SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005 SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005 0. maj, 2005 version nr. 8 JØRGEN VESTERSTRØM Indledende bemærkninger De foreliggende opgaver udgør et supplement til lærebogens opgaver. Afsnitsnummereringerne

Læs mere

Wigner s semi-cirkel lov

Wigner s semi-cirkel lov Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r)) GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,

Læs mere

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2 M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Noter om komplekse tal

Noter om komplekse tal Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne en mængde af opgaver, som tilsammen dækker 100 point. De små opgaver giver hver 5 point,

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum)

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum) Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Forelæsningsnote 8 NB: Noten er ikke en del af pensum Eksempel på brug af egenværdier og egenvektorer Måske er det stadig

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013 Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer.

LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer. LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER Indhold 1 Introduktion 1 2 Kanoniske programmer 2 3 Standard programmer 2 4 Svag dualitet for standard programmer 3 5 Svag dualitet for generelle lineære programmer

Læs mere

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α ) GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider

Læs mere

Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012

Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012 Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 202 Partiel besvarelse - har ikke inkluderet alle detaljer! Med forbehold for tastefejl. Opgave Find og bestem typen af alle singulariteter for følgende funktioner:

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

MATEMATIK 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 1. september 2009 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 1. september 2009 Oversigt nr. 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 1. september 2009 Oversigt nr. 1 I PE-kurset i skal vi bruge [A] Sheldon Axler: Linear algebra done right, 2nd ed., Springer. [P] Lawrence Perko: Differential equations

Læs mere

Ekstremum for funktion af flere variable

Ekstremum for funktion af flere variable Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable

Læs mere

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013 Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

Eksamensnoter til Analyse 1

Eksamensnoter til Analyse 1 ksamensnoter til Analyse 1 Martin Geisler gimpster@daimi.au.dk Sommer 23 Indledning Disse noter gennemgår de 26 spørgsmål stillet til den mundtlige eksamen i Analyse 1 ved Aarhus Universitet sommeren 23.

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Lineær Algebra, TØ, hold MA3

Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum

Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Jimi Lee Truelsen Om Noten Vi vil i denne note uddybe nogle af emnerne fra de første 3 apitler af [Ve] og komme med nogle eksempler. Det drejer sig især om begreberne

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

MATEMATIK 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 2. september 2008 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 2. september 2008 Oversigt nr. 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 2. september 2008 Oversigt nr. 1 I PE-kurset i skal vi bruge [A] Sheldon Axler: Linear algebra done right, 2nd ed., Springer. [AB] K. G. Andersson og L.-C. Böiers:

Læs mere

4.1 Lineære Transformationer

4.1 Lineære Transformationer SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

MATEMATIK 4 PROJEKT 3. marts 2006 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 4 PROJEKT 3. marts 2006 Oversigt nr. 1 PROJEKT 3. marts 2006 Oversigt nr. 1 1. og 2. møde (15/2 og 2/3). Her har vi læst og gennemgået kapitel 1 i [GKP] om mængdeteoretisk topologi. Dog er følgende kursorisk: 1.1; 1.5.10 13; 1.6.13 14. 3. gang,

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.

Læs mere

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som

Læs mere

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier

Læs mere

Matematik 2 AN. Hilbert rum. med anvendelser. Bergfinnur Durhuus

Matematik 2 AN. Hilbert rum. med anvendelser. Bergfinnur Durhuus Matematik 2 AN Hilbert rum med anvendelser Bergfinnur Durhuus 1997 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø c Matematisk Afdeling 1997 Forord Sammen med hæftet Metriske rum ved Christian

Læs mere

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Første konstruktion af Cantor mængden

Første konstruktion af Cantor mængden DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er

Læs mere

Mat10 eksamensspørgsmål

Mat10 eksamensspørgsmål Mat10 eksamensspørgsmål Martin Geisler 9. januar 2002 Resumé Dette dokument er en gennemgang af de eksamensspørgsmål der blev stillet til den mundtlige eksamen i Mat10, januar 2002

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

MATEMATIK 4 OPR. I HILBERTRUM 6. februar 2001 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 4 OPR. I HILBERTRUM 6. februar 2001 Oversigt nr. 1 OPR. I HILBERTRUM 6. februar 2001 Oversigt nr. 1 Lærebogen for kurset er [P] Functional analysis in applied mathematics and engineering, CRC Press 1999. Jeg regner med at vi gennemgår kapitel 1 6 med tillæg

Læs mere

Opgaver til f(z) = 1 z 4 1, g(z) = 1

Opgaver til f(z) = 1 z 4 1, g(z) = 1 1.17 Opgaver til 1. 1 1.1. Vis, at f(z) = er vilkårligt ofte differentiabel i C \ {, 1}, og z(1 z) find et udtryk for f (n) (z) for alle n. (Vink. Skriv f(z) = 1 z + 1 1 z ). 1.2. Beskriv billedkurverne

Læs mere

Matematik 2 AN. Matematisk Analyse. Metriske rum. Christian Berg

Matematik 2 AN. Matematisk Analyse. Metriske rum. Christian Berg Matematik 2 AN Matematisk Analyse Metriske rum Christian Berg 1997 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø c Matematisk Afdeling 1997 Forord Nærværende notehæfte er oprindelig skrevet

Læs mere

Den Brownske Bevægelse

Den Brownske Bevægelse Den Brownske Bevægelse N.J. Nielsen 1 Notation I dette notesæt vil vi generelt benytte samme notation som i det øvrige undervisningsmateriale i MM23. For ethvert n N betegner B n Borelalgebraen på R, og

Læs mere

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.

Læs mere