Projekt 4.6 C-14 Datering

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Projekt 4.6 C-14 Datering"

Transkript

1 Projekt 4.6 C-4 Datering Første del: Metoden I slutningen af 940 erne finder et team på University of Chicago under ledelse af Willard Libby ud af, at man kan bruge det radioaktive stof kulstof 4 ( 4 C ), der findes i atmosfæren sammen med almindeligt kulstof 2, til at bestemme alder og datere fund fra ikke så fjerne begivenheder. Opdagelsen udløste en nobelpris i kemi i 960. Levende organismer som mennesker, dyr og planter optager kulstof fra atmosfæren og føden livet igennem. Mens man lever, er der en ligevægt mellem indholdet af kulstof i kroppen og indholdet af kulstof i atmosfæren og biosfæren. Men når man dør, stopper udvekslingen af kulstof mellem kroppen og omgivelserne. Nedbrydningen af det radioaktive stof kulstof 4 betyder derfor, at mængden af kulstof 4 i kroppen ikke længere afspejler forholdene i omgivelserne, men nu aftager med tiden. Det omdannes med en halveringstid på 5730 år til ikke-radioaktivt kvælstof (nitrogen). Libbys ide var nu den enkle at antage, at andelen af radioaktivt kulstof 4 i atmosfæren og biosfæren er den samme overalt på Jorden, og at den har været nogenlunde konstant gennem de sidste år. Den samme andel i levende væv er derfor uafhængig af, hvor på Jorden vi er, og hvornår vævet var levende, fordi det levende væv er i ligevægt med omgivelserne. Hvis vi kan finde ud af, hvor meget kulstof 4 der er tilbage i et bestemt fund, må vi derfor kunne regne baglæns og finde ud af, hvornår det pågældende dyr eller menneske døde. Typisk finder man ud af, hvor meget kulstof 4 der er tilbage i fundet ved at måle på aktiviteten af den biologiske prøve med fx en geigertæller. Men målingen er tricket, for strålingen har meget kort rækkevidde i biologisk væv, og det er derfor kun stråling fra det alleryderste overfladelag, der umiddelbart har chance for at nå frem til tælleren. Det er imidlertid alt for lidt til, at man kan bruge metoden i praksis. Det kræver kemisk snilde at omdanne kulstofindholdet i prøven til en gas, man kan opsamle og måle på. Willard Libby har selv beskrevet, hvordan metoden blev udviklet i artiklen The history of radio carbon dating. Artiklen kan hentes her. Læs mere om Libby på På siden er der en række links til baggrundsartikler. I artiklen Naturens egen kalender fra Ingeniøren, som du kan hente her eller på kan du læse om kulstof 4- metodens indførelse i Danmark. Kulstof isotoper En levende organisme udveksler gennem sin levetid kulstof med omgivelserne, fx gennem indtagelse af mad og udskillelse af afføring. Når organismen dør, stopper denne udveksling. Øvelse a) Hvilke kulstofisotoper er stabile, og hvilke kulstofisotoper er ustabile dvs. henfalder? b) For hvilke typer af kulstofisotoper forbliver mængden den samme, når en organisme dør?

2 c) For hvilke typer af kulstofisotoper ændres mængden, når en organisme dør? Du kan hente information i kemibøger eller på nettet, fx en side fra Aarhus Universitet, du kan hente her, eller en side fra Science, som du kan hente her. Henfaldsloven Den lovmæssighed, som de ustabile kulstof isotoper henfalder efter, kaldes henfaldsloven, som siger: Antallet af ustabile (radioaktive) kerner af en bestemt isotop aftager eksponentielt med tiden. Den matematiske model, som så anvendes for kulstof isotoper, der henfalder, er altså den eksponentielle x vækstmodel y= ba. Se evt. projekt 4.8, Kerners henfald. På A-niveau vil vi vende tilbage med en mere detaljeret begrundelse for denne fundamentale matematiske model. Øvelse 2 a) Giv en fortolkning af konstanterne og variablene i en sådan model for henfald af isotoper? b) Vis, at formlen for halveringskonstanten kan omskrives til: ln( a) 2 ln( ) = T ½ c) Anvend den naturlige eksponentialfunktion og potensregler til at omskrive til følgende: a = T 2 d) Omskriv modellen y ½ x = ba til formlen: N= N T 2 2 Hvad står konstanterne og variablene for i denne model? 0 t Læs mere om henfaldsloven her. Øvelse 3 For kulstof-4 er halveringstiden 5730 år, og vi vælger begyndelsesværdien til 00%. a) Opstil en ligning for henfaldet af kulstof 4 som funktion af tiden. b) Hvilken af de to modeller er lettest at opstille? c) Fremstil en passende graf for henfaldet af kulstof 4 som funktion af tiden. d) Bestem tiden, der går, før der er 0%, 60% og 80% af de ustabile kerner tilbage. 2

3 Bemærkning: Afhængig af analysemetoden måler man enten antallet af radioaktive henfald i et givet tidsrum, der kaldes aktiviteten, eller forholdet mellem mængden af den radioaktive isotop og en ikke-radioaktiv isotop med en anden kernemasse. Denne metode kaldes massespektroskopi. Heldigvis er de to størrelser, aktiviteten A og antallet af radioaktive kerner N, indbyrdes proportionale: A = k N. Argument: Hvis der er dobbelt så mange radioaktive kerner, forventer vi også i gennemsnit et dobbelt så stort antal henfald i løbet af et kort tidsrum. Det sikrer derfor, at den samme eksponentielle vækstmodel kan bruges på begge størrelserne, eller sagt med andre ord: Både antallet og aktiviteten aftager eksponentielt med en fælles halveringstid. De grønlandske mumier I 972 fandt to grønlandske jægere, brødrene Hans og Jokum Grønvold, nogle yderst velbevarede grønlandske mumier i Qilakitsoq i Uummannaq-distriktet i NV-Grønland. To stendækkede grave rummede i alt seks kvinder og to børn, alle påklædte. De havde endda fået ekstra dragter med, og disse giver ny indsigt i den højt udviklede Thule-kultur. Grønlands Nationalmuseum begyndte dog først i 978 en udgravning. Fundet blev bragt til Danmark til restaurering, konservering og tværfaglige undersøgelser, som bl.a. belyste datidens levevilkår og de gravlagtes helbredstilstand. Tre kvinder og et barn, de bedst bevarede af ligene, forblev urørte i deres skinddragter. De er nu sammen med de øvrige dragter udstillet på Grønlands Nationalmuseum i Nuuk. 3

4 Kilde: Nationalmuseet. Øvelse 4 For at fastlægge det tidspunkt, hvorpå hvor de blev begravet, anvendte nationalmuseet kulstof 4- metoden. Ved måling af aktiviteten for et lille udsnit af en mumie fandt man 6,7 tællinger i minuttet. Da mumien var et levende menneske, forventede man 7,8 tællinger i minuttet. Da vi kender halveringstiden for aktiviteten, kan vi derfor regne baglæns og finde dødstidspunktet. Bestem det årstal, hvor mumierne blev begravede. Der er lavet en film om de grønlandske mumier. Du kan se lidt af filmen her. Grauballemanden I 952 fandt nogle arbejdere under tørvegravning ved Grauballe nær Silkeborg et lig. Det var en yngre mand, der havde fået struben skåret over. Det var så velbevaret, at de troede, der var begået en forbrydelse, hvorfor de tilkaldte politiet. Det viste sig at være et moselig af en person, der engang i oldtiden af en eller anden grund var blevet ofret. Det velbevarede lig blev konserveret og er i dag udstillet på Moesgård Museum ved Århus. Du kan læse mere om fundet her. 4

5 Øvelse 5 Efter fundet er Grauballemanden blevet undersøgt med kulstof 4-metoden. Aktiviteten i manden blev målt til 76% af aktiviteten af den forventede værdi, da han var i live. Læs mere om undersøgelsen her. Hvor længe siden er det, at Grauballemanden døde? Anden del: Holder vores forudsætninger I første del af projektet har vi kigget på forholdet mellem mængderne af kulstof 4- og kulstof 2-isotoper i henholdsvis levende og dødt væv. I levende væv har vi antaget, at forholdet er konstant, fordi det levende væv er i ligevægt med omgivelserne. I det døde væv, hvor der ikke længere udveksles kulstof med omgivelserne, aftager forholdet derimod eksponentielt med en halveringstid på 5730 år. Det nuværende forhold mellem de to isotoper i det døde væv kan findes ved snedige målinger. Hvis vi derfor kan sige noget om niveauet for forholdet dengang vævet var levende, kan vi derfor regne baglæns og finde dødstidspunktet (fældningstidspunktet, hvis der er tale om træ). Men kan vi sige noget om udgangsniveauet? Den simpleste antagelse er, at det har været konstant gennem tiderne! Men Libby var godt klar over, at det er en meget dristig og problematisk antagelse. I første omgang kan vi se på forholdet mellem kulstof 4- og kulstof 2-isotoperne i atmosfæren. Er dette forhold konstant? Er det det samme over alt på Jorden? Er det det samme, når vi går tilbage i tiden, hvis vi fx nøjes med at gå år tilbage i tiden (som er det tidsrum, hvor metoden kan bruges i praksis)? Den radioaktive isotop C-4 dannes højt oppe i atmosfæren som følge af den kosmiske stråling. Men den kosmiske stråling er ikke konstant. Den varierer med solaktiviteten (solpletterne) og med ændringer i Jordens magnetfelt (der skærmer for den kosmiske strålings indflydelse). Magnetfeltets afskærmning afhænger også stærkt af breddegraden, jf. det faktum at Nordlys netop optræder hyppigt ved polerne. Af samme grund dannes der meget mere radiaokativt C-4 i områderne ved polerne end ved ækvator. Endelig 5

6 dannedes den radioaktive isotop C-4 også i 960 erne som følge af atombombesprængninger i atmosfæren, jf. den følgende figur: Procentisk forøgelse i forhold til niveauet i New Zealand (efter T. A. Rafter) Niveauet for aktiviteten af atmosfærisk carbon dioxid ved China Lake i Californien (Ratner Berger og Libby W. F.) Øvelse 6 a) Hvilke variable indgår i grafen? Kilde: Figuren er gentegnet efter Libby: History of radiocarbon dating, side 2. b) Hvor mange gange større var indholdet af radioaktivt kulstof 4 i midten af 960 erne end i 890? c) Hvornår begyndte man at lave atombombesprængninger i atmosfæren? Hvornår stoppede man igen? Afspejles dette i figuren? Tilbage til Libby omkring 950. Libby vidste altså godt, at dannelsen af radioaktivt kulstof 4 varierede både i tid, og alt efter hvor man var på jorden. Atmosfæren ville formentlig hurtigt indstille sig på en ligevægt, så niveauet blev det samme overalt på jorden. Men hvis kulstofkredsløbet kun bestod af atmosfæren og biosfæren, ændres dette kredsløb kraftigt, fx når der kommer istider. Libby håbede på, at havet kunne regulere for sådanne udsving. Havet kunne rumme langt mere kulstof end atmosfæren og biosfæren, så hvis bare udvekslingen mellem atmosfæren og havene var rimelig effektiv, ville havet kunne virke som en buffer, der holdt niveauet rimelig konstant over tid. Øvelse 7 På den følgende figur kan du se en moderne gengivelse af kulstofkredsløbet, der viser hvor mange tons radioaktivt kulstof 4, der findes i de forskellige reservoirer: 6

7 Kilde: Modellen er hentet og oversat fra Physics Methods in Art & Archeology, Notre Dame University: a) Hvor mange tons radioaktivt kulstof 4 er bundet i havene? b) Hvor mange tons radioaktivt kulstof 4 er bundet i atmosfæren og den terrestriske biosfære? Bemærkning. Du kan lære mere om, hvordan man regner på sådanne kredsløb i projekt 4.0, Minamatakatastrofen et projekt om ligevægt mellem lineær og eksponentiel vækst Libby antog, at niveauet for radioaktivt kulstof 4 i levende væv har været rimelig konstant overalt på jorden over de sidste år. Selv om han ikke kunne vide, om hypotesen var korrekt, ville han kunne understøtte den med nogle forholdsvis tilgængelige data, som vi gennemgår nedenfor.. For det første kunne han måle på aktiviteten af forskellige nutidige prøver. Her er en tabel over resultaterne fra en sådan serie af målinger: Kilde Højde over havets overflade (feet) Magnetisk breddegrad (positiv på nordlig halvkugle, negativ på sydlig halvkugle) Absolut specifik aktivitet (dpm/g) Usikkerhed 7

8 Øvelse 8 White Spruce, Yukon Norwegian spruce, Sweden Elm wood, Chicago Fraximus exelcior, Switzerland Honeysuckle leaves, Oak Ridge, Tennesee Pine twigs and needles, Mount Wheeler, New Mexico Norht African Briar Oak, Sherafur, Palestine Unidentified wood, Teheran, Iran Fraximus mandshurica, Japan Unidentified wood, Panama Clorophora excelsa, Liberia Sterculia excelsa, Copacabana, Bolivia Ironwood, Majuro, Marshall Islands Unidentified wood, Ceylon Beech wood, Tiera del Fuego Eucalyptus, New South Wales, Australia Seal Oil from seal meat from Antarctic Kilde: Libby (955), History of radiocarbon dating a) Synes der at være en sammenhæng mellem den magnetiske breddegrad og aktiviteten? b) Synes der at være en sammenhæng mellem højden over havets overflade og aktiviteten? c) I hvilket omfang støtter tabellen Libbys antagelse om, at aktiviteten er den samme overalt på Jorden? 2. For det andet kunne Libby måle på aktiviteten fra forskellige rester af træ, der var gået ud ved starten af den sidste store istid: Land Sted Anslået kulstof 4-alder (fvt) Usikkerhed USA Two creeks USA Two creeks USA Two creeks USA Two creeks USA Two creeks Tyskland Allerød England Allerød England Godwin Irland Irish mud

9 Kilde: Libby, History of radiocarbon dating. Den anslåede alder er beregnet under forudsætning af hypotesen om, at aktiviteten for levende væv er den samme overalt på Jorden i de foregående år. Øvelse 9 I hvilket omfang støtter tabellen Libbys hypotese? 3. Endelig kunne han sammenholde aktiviteten af radioaktivt kulstof 4 fra fx museumsprøver med den historiske alder anslået ud fra fx historiske kilder. Både aktiviteten og den anslåede alder er behæftet med en vis usikkerhed, som vi ignorerer i den følgende tabel. Øvelse 0 Oprindelse Anslået historisk alder Aktiviteten af prøven i forhold til aktiviteten i nutidigt levende væv Træringe Træringe Pompei Bibelsk Tayinat Redwood Setl Sesostris Aha-nakht Sneferu Sneferu Hemaka Zet Hemaka Kilde: Tallene er baseret på en graf i Libby, History of radiocarbon dating a) Fremstil et diagram, der viser aktiviteten som funktion af den historiske alder. b) Hvilken sammenhæng burde der gælde mellem disse to variable, hvis Libbys hypotese var korrekt? c) Understøtter diagrammet Libbys hypotese? I dag ved vi, at Libbys hypotese skal tages med et gran salt! Der er væsentlige variationer i aktiviteten for radioaktivt kulstof 4 i levende materiale, og man er nødt til at tage højde for disse variationer. For det første må materialet ikke være forurenet. Hvis man fx måler på aktiviteten af væv fra kaniner fanget i nærheden af motorveje, er ligevægten alvorligt forrykket af udstødningsgasserne fra bilerne på motorvejen! 9

10 Øvelse a) Hvor stammer udstødningsgasserne fra? b) Er der for meget eller for lidt radioaktivt kulstof 4 i disse kaniners væv? c) Hvilken konsekvens har det for deres anslåede alder (hvor fejlen er adskillige tusinde år!)? Men selv om man ser bort fra sådanne oplagte forureningskilder, er det vigtigt dels at tage hensyn til variationer i aktiviteten, når man går tilbage i tiden, og dels at tage hensyn til, om prøven stammer fra den terrestriske biosfære eller den marine biosfære. Det gøres ved hjælp af kalibreringskurver, der bl.a. udnytter, at man for rester af træ i nogle tilfælde kan finde den eksakte alder ved tælling af årsringe (dendrokronologi). I praksis udregner man derfor den alder, prøven ville have haft, hvis aktiviteten i det levende væv havde været på 950-niveauet og halveringstiden havde været 5568 år (som er den halveringstid, Libby og hans kolleger kom frem til). Dette skøn over alderen kaldes kulstof 4-alderen. Derefter slår man den virkelige alder op i en tabel eller aflæser den på en graf som den følgende: Kilde: Aktuel videnskab nr. 4, 2008: Isotoper fortæller om fortidens kost. 0

11 Øvelse 2 a) Forklar hvilken sammenhæng, den stiplede linje illustrerer. b) Forklar hvilken sammenhæng, den terrestriske kalibreringskurve illustrerer. c) Hvilke korrigerede aldre får vi for de grønlandske mumier og Grauballemanden?

Kulstof-14 datering. Første del: Metoden. Isotoper af kulstof

Kulstof-14 datering. Første del: Metoden. Isotoper af kulstof Kulstof-14 datering Første del: Metoden I slutningen af 1940'erne finder et team på University of Chicago under ledelse af Willard Libby ud af, at man kan bruge det radioaktive stof kulstof 14 ( 14 C),

Læs mere

Projekt 4.10. Minamata-katastrofen. En modellering af ligevægt mellem lineær vækst og eksponentiel henfald

Projekt 4.10. Minamata-katastrofen. En modellering af ligevægt mellem lineær vækst og eksponentiel henfald Projekt 4.10. Minamata-katastrofen. En modellering af ligevægt mellem lineær vækst og eksponentiel henfald Der findes mange situationer, hvor en bestemt størrelse ændres som følge af vekselvirkninger med

Læs mere

Massespektrometri og kulstof-14-datering

Massespektrometri og kulstof-14-datering Massespektrometri og kulstof-14-datering Opgavehæfte AMS 14 C Daterings Center Institut for Fysik og Astronomi, Aarhus Universitet JO\ AUG 2004 BP\FEB 2010 Opgaverne 5,6 og 7 er hentet eller modificeret

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE Formelsamling... side Grundlæggende færdigheder... side 4 a Finde konstanterne a og b i en regneforskrift (og p eller r)... side 4 b

Læs mere

Nogle åbne spørgsmål (1)

Nogle åbne spørgsmål (1) Kulstof-14-datering: Nogle åbne spørgsmål (1) Af cand. polyt. Finn Lykke Nielsen Boelsmand Indledning Denne artikel bygger på mit ingeniørspeciale Radioaktive dateringsmetoder, 1985 1, hvor jeg bl.a. havde

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

er den radioaktive kildes aktivitet til tidspunktet t= 0, A( t ) er aktiviteten til tidspunktet t og k er henfaldskonstanten.

er den radioaktive kildes aktivitet til tidspunktet t= 0, A( t ) er aktiviteten til tidspunktet t og k er henfaldskonstanten. Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Radioaktive henfald Formål Formålet i denne øvelse er at eftervise henfaldsloven A( t) = A0 e kt, hvor A 0 er den radioaktive kildes aktivitet til tidspunktet

Læs mere

Kort om Eksponentielle Sammenhænge

Kort om Eksponentielle Sammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.

Læs mere

Hvad er en funktion? Funktioner og graftegning. Funktioners egenskaber. Funktioners egenskaber. f(b) y = f(x) f(a) f(a)

Hvad er en funktion? Funktioner og graftegning. Funktioners egenskaber. Funktioners egenskaber. f(b) y = f(x) f(a) f(a) Funktioner og graftegning Jeppe Revall Frisvad September 29 Hvad er en funktion? En funktion f er en regel som til hvert element i en mængde A ( A) knytter præcis ét element y i en mængde B Udtrykket f

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Indhold Definition:... Eksempel :... Begndelsesværdien b... Fremskrivningsfaktoren a... Eksempel :... Formlerne for a og b... 3 Eksempel 3:... 3 Bevis for formlen

Læs mere

Lektion 7 Eksponentialfunktioner

Lektion 7 Eksponentialfunktioner Lektion 7 Eksponentialfunktioner Den naturlige eksponentialfunktion ep) = e Andre eksponentialfunktioner a Regneregler ep0) =, ep + y) = ep) epy) Potensfunktioner r En berømt grænseværdi Uegentlige integraler

Læs mere

Salt 2. ovenfor. x = Tid (minutter) y = gram salt i vandet

Salt 2. ovenfor. x = Tid (minutter) y = gram salt i vandet Projekt om medicindosering Fra http://www.ruc.dk/imfufa/matematik/deltidsudd_mat/sidefagssupplering_mat/rap_medicinering.pdf/ Lav mindst side 1-4 t.o.m. Med 7 Ar b ejd ssed d el 0 Salt 1 Forestil Jer at

Læs mere

Sæt GM-tællererne til at tælle impulser i 10 sekunder. Sørg for at alle kendte radioaktive kilder er placeret langt væk fra målerøret.

Sæt GM-tællererne til at tælle impulser i 10 sekunder. Sørg for at alle kendte radioaktive kilder er placeret langt væk fra målerøret. Forsøge med stråling fra radioaktive stoffer Stråling fra radioaktive stoffer. Den stråling, der kommer fra radioaktive stoffer, kaldes for ioniserende stråling. Den kan måles med en Geiger-Müler-rør koblet

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Partikler med fart på Ny Prisma Fysik og kemi 9 Skole: Navn: Klasse:

Partikler med fart på Ny Prisma Fysik og kemi 9 Skole: Navn: Klasse: Partikler med fart på Ny Prisma Fysik og kemi 9 Skole: Navn: Klasse: Opgave 1 Et atom har oftest to slags partikler i atomkernen. Hvad hedder partiklerne? Der er 6 linjer. Sæt et kryds ud for hver linje.

Læs mere

Projekt 4.2. Nedbrydning af rusmidler

Projekt 4.2. Nedbrydning af rusmidler Projekt 4.2. Nedbrydning af rusmidler Dette projekt lægger op til et samarbejde med biologi eller idræt, men kan også gennemføres som et projekt i matematik, hvor fokus er at studere forskellen på lineære

Læs mere

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal.

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal. Eksponentielle funktioner Indhold Definition:... 1 Om a og b... 2 Tegning af graf for en eksponentiel funktion... 3 Enkeltlogaritmisk koordinatsstem... 4 Logaritmisk skala... 5 Fordoblings- og halveringskonstant...

Læs mere

Isotoper fortæller om fortidens kost

Isotoper fortæller om fortidens kost A k t u e l N a t u r v i d e n s k a b 4 2 0 0 Isotoper fortæller om fortidens kost Ved at analysere knogler fra fortidens mennesker for isotoper af kulstof og kvælstof, kan man afsløre, om de spiste

Læs mere

Marie og Pierre Curie

Marie og Pierre Curie N Kernefysik 1. Radioaktivitet Marie og Pierre Curie Atomer består af en kerne med en elektronsky udenom. Kernen er ganske lille i forhold til elektronskyen. Kernens størrelse i sammenligning med hele

Læs mere

Teori og opgaver med udgangspunkt i udvalgte områder i Køge Bugt regionen

Teori og opgaver med udgangspunkt i udvalgte områder i Køge Bugt regionen Modeller af befolkningsudvikling Teori og opgaver med udgangspunkt i udvalgte områder i Køge Bugt regionen Af Mikkel Rønne, Brøndby Gymnasium Forord. Data er udtrukket fra Danmarks Statistiks interaktive

Læs mere

Nr Isotoper fortæller om fortidens kost Fag: Fysik A/B, Biologi A/B Udarbejdet af: Ole Ahlgren, Rønde Gymnasium, april 2009

Nr Isotoper fortæller om fortidens kost Fag: Fysik A/B, Biologi A/B Udarbejdet af: Ole Ahlgren, Rønde Gymnasium, april 2009 Nr. 4-2008 Isotoper fortæller om fortidens kost Fag: Fysik A/B, Biologi A/B Udarbejdet af: Ole Ahlgren, Rønde Gymnasium, april 2009 Spørgsmål til artiklen 1. Stenalderen opdeles i flere aldre. Hvad hedder

Læs mere

Du sætter 2300 kr ind på en konto med en rente på 3,5 % p.a. a. Hvor meget står der efter 3 år? b. 5 år? c. 10 år?

Du sætter 2300 kr ind på en konto med en rente på 3,5 % p.a. a. Hvor meget står der efter 3 år? b. 5 år? c. 10 år? 6. 6.1 Rentesregning Du sætter 2300 kr ind på en konto med en rente på 3,5 % p.a. a. Hvor meget står der efter 3 år? b. 5 år? c. 10 år? 6.2 Vækst i antal besøgende I 1999 var det årlige besøgstal i Grønkøbing

Læs mere

Matematik A og Informationsteknologi B

Matematik A og Informationsteknologi B Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 6. december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Forløbet består 4 fagtekster, 19 opgaver og 10 aktiviteter. Derudover er der Videnstjek.

Forløbet består 4 fagtekster, 19 opgaver og 10 aktiviteter. Derudover er der Videnstjek. Radioaktivitet Niveau: 9. klasse Varighed: 11 lektioner Præsentation: I forløbet Radioaktivitet arbejdes der med den naturlige og den menneskeskabte stråling. Der arbejdes endvidere med radioaktive stoffers

Læs mere

SDU og DR. Sådan virker en atombombe... men hvorfor er den så kraftig? + + Atom-model: - -

SDU og DR. Sådan virker en atombombe... men hvorfor er den så kraftig? + + Atom-model: - - SDU og DR Sådan virker en atombombe... men hvorfor er den så kraftig? Atom-model: - - - + + - + + + + + - - - Hvad er et atom? Alt omkring dig er bygget op af atomer. Alligevel kan du ikke se et enkelt

Læs mere

Hvad er drivhusgasser

Hvad er drivhusgasser Hvad er drivhusgasser Vanddamp: Den primære drivhusgas er vanddamp (H 2 O), som står for omkring to tredjedele af den naturlige drivhuseffekt. I atmosfæren opfanger vandmolekylerne den varme, som jorden

Læs mere

Solindstråling på vandret flade Beregningsmodel

Solindstråling på vandret flade Beregningsmodel Solindstråling på vandret flade Beregningsmodel Formål Når solens stråler rammer en vandret flade på en klar dag, består indstrålingen af diffus stråling fra himlen og skyer såvel som solens direkte stråler.

Læs mere

Geovidenskab A. Vejledende opgavesæt nr. 2. Vejledende opgavesæt nr. 2

Geovidenskab A. Vejledende opgavesæt nr. 2. Vejledende opgavesæt nr. 2 Geovidenskab A Vejledende opgavesæt nr. 2 Vejledende opgavesæt nr. 2 Forår 2013 Opgavesættet består af 5 opgaver med tilsammen 16 spørgsmål. Svarene på de stillede spørgsmål indgår med samme vægt i vurderingen.

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Differensligninger og populationsstørrelser

Differensligninger og populationsstørrelser Differensligninger og populationsstørrelser Søren Højsgaard Department of Mathematical Sciences Aalborg University, Denmark October 22, 2015 Printed: October 22, 2015 File: differensligninger-slides.tex

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK NOVEMBER 008 MATEMATIK A-NIVEAU g Prøve november 008 1. delprøve: 1 time med formelsamling samt. delprøve: timer med alle hjælpemidler Alle delspørgsmål indenfor hver af

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

2. Drivhusgasser og drivhuseffekt

2. Drivhusgasser og drivhuseffekt 2. Drivhusgasser og drivhuseffekt Af Peter Bondo Christensen og Lone Als Egebo Drivhuseffekt Når Solens kortbølgede stråler går gennem atmosfæren, rammer de Jorden og varmer dens overflade op. Så bliver

Læs mere

Rækkevidde, halveringstykkelse og afstandskvadratloven

Rækkevidde, halveringstykkelse og afstandskvadratloven Rækkevidde, halveringstykkelse og afstandskvadratloven Eval Rud Møller Bioanalytikeruddannelsen VIA University College Marts 008 Program Indledende kommentarer. Rækkevidde for partikelstråling Opbremsning

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Projekt 5.3. Kropsvægt og andre biologiske størrelser hos pattedyr

Projekt 5.3. Kropsvægt og andre biologiske størrelser hos pattedyr Projekt 5.3. ropsvægt og andre biologiske størrelser hos pattedyr (Projektet er en let bearbejdelse af et materiale, der indgår i Væksthæftet, udgivet af matematiklærerforeningen, og som er stillet til

Læs mere

9 Eksponential- og logaritmefunktioner

9 Eksponential- og logaritmefunktioner 9 Eksponential- og logaritmefunktioner Hayati Balo, AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2 2. Crone og Rosenquist, Matematiske elementer

Læs mere

Eksempler på differentialligningsmodeller

Eksempler på differentialligningsmodeller 1 Indledning Matematisk modellering er et redskab, som finder anvendelse i et utal af både videnskabelige og samfundsmæssige sammenhænge. En matematisk model søger at knytte en sammenhæng mellem et ikke-matematisk

Læs mere

Afleveringsopgaver i fysik

Afleveringsopgaver i fysik Afleveringsopgaver i fysik Opgavesættet skal regnes i grupper på 2-3 personer, helst i par. Hver gruppe afleverer et sæt. Du kan finde noget af stoffet i Orbit C side 165-175. Opgave 1 Tegn atomerne af

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Klima, kold krig og iskerner

Klima, kold krig og iskerner Klima, kold krig og iskerner Klima, kold krig og iskerner a f M a i k e n L o l c k A a r h u s U n i v e r s i t e t s f o r l a g Klima, kold krig og iskerner Forfatteren og Aarhus Universitetsforlag

Læs mere

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger

Læs mere

Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet

Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet En af de mest opsigtsvækkende opdagelser inden for astronomien er, at Universet udvider sig. Det var den

Læs mere

2. Drivhusgasser og drivhuseffekt

2. Drivhusgasser og drivhuseffekt 2. Drivhusgasser og drivhuseffekt Af Peter Bondo Christensen og Lone Als Egebo Drivhuseffekt Når Solens kortbølgede stråler går gennem atmosfæren, rammer de Jorden og varmer dens overflade op. Så bliver

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Marie og Pierre Curie

Marie og Pierre Curie N Kernefysik 1. Radioaktivitet Marie og Pierre Curie Atomer består af en kerne med en elektronsky udenom. Kernen er ganske lille i forhold til elektronskyen. Kernens størrelse i sammenligning med hele

Læs mere

Brugsvejledning for Frit fald udstyr

Brugsvejledning for Frit fald udstyr Brugsvejledning for 1980.10 Frit fald udstyr 13.12.10 Aa 1980.10 1. Udløser 2. Tilslutningsbøsninger for prøveledninger 3. Trykknap for udløser 4. Kontaktplader 5. Udfræsning for placering af kugle 6.

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

Indstiksmåling af nedbrydning i marint arkæologisk træ

Indstiksmåling af nedbrydning i marint arkæologisk træ Indstiksmåling af nedbrydning i marint arkæologisk træ Moesgård Museum Jesper Frederiksen KONSERVERINGS - OG NATURVIDENSK ABELIG AFDELING Nr. 6 4 Indstiksmåling af nedbrydning i marint arkæologisk træ

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Øvelse 3 a) x ,9 1,2 1,5 2 2,6 3,4 4,4 5,7 7,4 9,7 12,6

Øvelse 3 a) x ,9 1,2 1,5 2 2,6 3,4 4,4 5,7 7,4 9,7 12,6 1 af 15 Facitliste Udskriv siden Kapitel 6 ØVELSER Øvelse 1 Efter 1 år: kr. Efter 2 år: kr. Efter 5 år: kr. Øvelse 2 Efter 10 år: kr. Efter 15 år: kr. Øvelse 3 a) x -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 0,9 1,2 1,5

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Eksamen i fysik 2016

Eksamen i fysik 2016 Eksamen i fysik 2016 NB: Jeg gør brug af DATABOG fysik kemi, 11. udgave, 4. oplag & Fysik i overblik, 1. oplag. Opgave 1 Proptrækker Vi kender vinens volumen og masse. Enheden liter omregnes til kubikmeter.

Læs mere

Matematik Grundforløbet

Matematik Grundforløbet Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

RAPPORT Karakteristik af tangtag nedbrydelighed og kemisk sammensætning

RAPPORT Karakteristik af tangtag nedbrydelighed og kemisk sammensætning RAPPORT Karakteristik af tangtag nedbrydelighed og kemisk sammensætning Forfattere: Lektor Erik Kristensen og Professor Marianne Holmer, Biologisk Institut, Syddansk Universitet, Campusvej 55, 523 Odense

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100

Læs mere

Øvelser 10. KlasseCenter Vesthimmerland Kaj Mikkelsen

Øvelser 10. KlasseCenter Vesthimmerland Kaj Mikkelsen Indhold Indhold... 1 Måling af stråling med Datastudio... 2 Måling af baggrundsstrålingens variation... 3 Måling af halveringstid... 4 Nuklidkort. (teoriopgave)... 5 Fyldning af beholdere... 6 Sådan fungerer

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN DECEMBER 2008 MATEMATIK B-NIVEAU. Fredag den 12. december 2008. Kl. 09.00 13.00 STX083-MAB

STUDENTEREKSAMEN DECEMBER 2008 MATEMATIK B-NIVEAU. Fredag den 12. december 2008. Kl. 09.00 13.00 STX083-MAB STUDENTEREKSAMEN DECEMBER 008 MATEMATIK B-NIVEAU Fredag den 1. december 008 Kl. 09.00 13.00 STX083-MAB Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5 med i alt 5 spørgsmål.

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Differensligninger og populationsstørrelser

Differensligninger og populationsstørrelser Differensligninger og populationsstørrelser Søren Højsgaard Department of Mathematical Sciences Aalborg University, Denmark October 5, 2014 Printed: October 5, 2014 File: differensligninger-slides.tex

Læs mere

Supplerende opgaver til TRIP s matematiske GRUNDBOG. Forlaget TRIP. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.

Supplerende opgaver til TRIP s matematiske GRUNDBOG. Forlaget TRIP. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. 37-43. Side 1 af 8 Eksponentiel udvikling ( 37-43) Opgaverne med svar starter på side 4, og deres numre har et s efter nummeret. Deres nummerering starter forfra. Svarene står fra side 7 med et s foran

Læs mere

Resonans 'modes' på en streng

Resonans 'modes' på en streng Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.

Læs mere

Mørteldatering og kirkearkæologi

Mørteldatering og kirkearkæologi 30 Mørteldatering og kirkearkæologi Kulstof-14-analyse bruges normalt til at datere organisk materiale som træ eller knogler. De seneste tiår er metoden blevet udviklet, så den også kan bruges på mørtel

Læs mere

Folkeskolens afgangsprøve Maj-juni 2006 Fysik / kemi - Facitliste

Folkeskolens afgangsprøve Maj-juni 2006 Fysik / kemi - Facitliste Folkeskolens afgangsprøve Maj-juni 2006 1/25 Fk5 Opgave 1 / 20 (Opgaven tæller 5 %) I den atommodel, vi anvender i skolen, er et atom normalt opbygget af 3 forskellige partikler: elektroner, neutroner

Læs mere

9. Øvelse: Demonstration af osmose over en cellemembran

9. Øvelse: Demonstration af osmose over en cellemembran 1. Drikkevand 9. Øvelse: Demonstration af osmose over en cellemembran Teori I spildevandsrensning er det især mikroorganismer og encellede dyr der fjerner næringssaltene. For at sådanne mikroorganismer

Læs mere

Lektion 9 Vækstmodeller

Lektion 9 Vækstmodeller Lektion 9 Vækstmodeller Eksponentiel vækst 1. Eksponentielt voksende funktioner 2. Eksponentielt aftagende funktioner 3. Halverings- og fordoblingstider Vækst mod asymptotisk grænse Logistisk vækst 1.

Læs mere

Læringsmål i fysik - 9. Klasse

Læringsmål i fysik - 9. Klasse Læringsmål i fysik - 9. Klasse Salte, syrer og baser Jeg ved salt er et stof der er opbygget af ioner. Jeg ved at Ioner i salt sidder i et fast mønster, et iongitter Jeg kan vise og forklare at salt, der

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Eksponentiel regression med TI-Nspire ved transformation af data

Eksponentiel regression med TI-Nspire ved transformation af data Eksponentiel regression med TI-Nspire ved transformation af data En vigtig metode til at få overblik over data er at tranformere dem, således at der fremkommer en lineær sammenhæng. Ordet transformation

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

Udledning af den barometriske højdeformel. - Beregning af højde vha. trykmåling. af Jens Lindballe, Silkeborg Gymnasium

Udledning af den barometriske højdeformel. - Beregning af højde vha. trykmåling. af Jens Lindballe, Silkeborg Gymnasium s.1/5 For at kunne bestemme cansatsondens højde må vi se på, hvorledes tryk og højde hænger sammen, når vi bevæger os opad i vores atmosfære. I flere fysikbøger kan man læse om den Barometriske højdeformel,

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 1 Introduktion... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 4 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Eksponentielle funktioner

Eksponentielle funktioner Eksponentielle funktioner http://en.wikipedia.org/wiki/rabbits_in_australia 4. udg. 2011 12-12-2011 Eksponentielle funktioner Vækst Udfyld tabellen ved: at skrive begyndelsesværdien b = f(0) = 30 under

Læs mere

Drivhuseffekten er det fænomen der søger for at jorden har en højere middeltemperatur, end afstanden til solen berettiger til.

Drivhuseffekten er det fænomen der søger for at jorden har en højere middeltemperatur, end afstanden til solen berettiger til. 1 Modul 5 Vejr og klima Drivhuseffekten gør at der er liv på jorden Drivhuseffekten er det fænomen der søger for at jorden har en højere middeltemperatur, end afstanden til solen berettiger til. Planeten

Læs mere

M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T

M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Funktioner - supplerende eksempler

Funktioner - supplerende eksempler - supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige

Læs mere

Matematik B. Anders Jørgensen

Matematik B. Anders Jørgensen Matematik B Anders Jørgensen Løste opgaver: Juni 2015 Dette opgavesæt er givet til FriViden Dette opgavesæt blev lavet til en terminsprøve d. 7. april af Anders Jørgensen, VUC Vestsjælland Syd Karakteren

Læs mere

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet V3. Marstal solvarmeanlæg a) Den samlede effekt, som solfangeren tilføres er Solskinstiden omregnet til sekunder er Den tilførte energi er så: Kun af denne er nyttiggjort, så den nyttiggjorte energi udgør

Læs mere

Strålings indvirkning på levende organismers levevilkår

Strålings indvirkning på levende organismers levevilkår Strålings indvirkning på levende organismers levevilkår Niveau: 7.-9. klasse Varighed: 8 lektioner Præsentation: I forløbet Strålingens indvirkning på levende organismer arbejdes der med, hvad bestråling

Læs mere

HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK B-NIVEAU. Mandag den 11. maj Kl HFE091-MAB

HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK B-NIVEAU. Mandag den 11. maj Kl HFE091-MAB HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK B-NIVEAU Mandag den 11. maj 2009 Kl. 09.00 13.00 HFE091-MAB Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5 med i alt 5 spørgsmål.

Læs mere

Dansk Fysikolympiade 2007 Landsprøve. Prøven afholdes en af dagene tirsdag den 9. fredag den 12. januar. Prøvetid: 3 timer

Dansk Fysikolympiade 2007 Landsprøve. Prøven afholdes en af dagene tirsdag den 9. fredag den 12. januar. Prøvetid: 3 timer Dansk Fysikolympiade 2007 Landsprøve Prøven afholdes en af dagene tirsdag den 9. fredag den 12. januar Prøvetid: 3 timer Opgavesættet består af 6 opgaver med tilsammen 17 spørgsmål. Svarene på de stillede

Læs mere

Grundvandsdatering: en oversigt over tracermetoder. Klaus Hinsby, GEUS

Grundvandsdatering: en oversigt over tracermetoder. Klaus Hinsby, GEUS Grundvandsdatering: en oversigt over tracermetoder Klaus Hinsby, GEUS GRUNDVANDSDATERING Grundvandets alder i et givet punkt = grundvandets opholdstid under jordoverfladen siden infiltrationen Fra Kazemi

Læs mere

Lineære sammenhænge, residualplot og regression

Lineære sammenhænge, residualplot og regression Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge

Læs mere

MODUL 1-2: ELEKTROMAGNETISK STRÅLING

MODUL 1-2: ELEKTROMAGNETISK STRÅLING MODUL 1-2: ELEKTROMAGNETISK STRÅLING MODUL 1 - ELEKTROMAGNETISKE BØLGER I 1. modul skal I lære noget omkring elektromagnetisk stråling (EM- stråling). I skal lære noget om synligt lys, IR- stråling, UV-

Læs mere

Elektronik og styring Kemiske metoder. Himmel og jord Energi på vej. x x x x. x x x x. x x x x. x x x x x x x x. x x x. x x

Elektronik og styring Kemiske metoder. Himmel og jord Energi på vej. x x x x. x x x x. x x x x. x x x x x x x x. x x x. x x KOSMOS C Færdigheds- og vidensmål Atomfysik Himmel og jord Energi på vej Elektronik og styring Kemiske metoder Kemisk produktion Madens kemi Kemi, menneske og samfund Naturfaglige undersøgelser Eleven

Læs mere

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer

Læs mere

1. Jordkloden 1.1. Inddelinger og betegnelser

1. Jordkloden 1.1. Inddelinger og betegnelser 1. Jordkloden 1.1 Inddelinger og betegnelser 1! Bredde Grad! [ ]! =! 10.000 / 90! =! 111 km 1! Bredde Minut! [ ]! =! 111 / 60! =! 1,850 km * 1! Bredde Sekund! [ ]! =! 1850 / 60! =! 31 m 1! Sømil *!!! =!

Læs mere