Lektionsstudier og ipads i matematikundervisningen udviklingsprojekt på Margretheskolen i Roskilde

Transkript

1 Lektionsstudier og ipads i matematikundervisningen udviklingsprojekt på Margretheskolen i Roskilde Af: Morten Blomhøj og Kaj Østergaard, Roskilde Universitet. 1. Overordnet beskrivelse af projektet og dets rammer Denne rapport er en beskrivelse af et projekt på Margretheskolen i Roskilde Kommune om udvikling af matematikundervisning med fokus på brug af ipads og undersøgende matematikundervisning. Projektet blev gennemført i foråret 2015 og havde deltagelse af seks matematiklærere og en it vejleder fra skolen samt forfatterne til denne rapport, der medvirkende i projektet som undervisere og vejledere for lærerne. Projektet var initieret af Roskilde Kommune som led i en generel satsning på udvikling af matematikundervisningen i kommunen. Projektleder Carsten Wolfgang fra Roskilde Kommune har i samarbejde med skolens ledelse udstukket de tids og indholdsmæssige rammerne for udviklingsprojektet. Projektet har således været solidt forankreret både i skolen og kommunen. Projektet omfattede seks workshops, hvoraf den første var på tre timer og de følgende fem på hver to timer. Den overordnede metode har været en tillempet form for lektionsstudier, hvor lærerne i samarbejde har udviklet, afprøvet og reflekteret over lektioner og forløb i relation til deres egen undervisning. De seks workshops forløb således som en vekselvirkning mellem (1) fagdidaktiske oplæg fra Morten og Kaj med inspiration til forskellige typer af undersøgende forløb, anvendelse af IT samt om brug af lektionsstudier til udvikling af egen undervisningspraksis; (2) parvis planlægning af eksemplariske undervisningslektioner/ forløb; (3) tilbagemeldinger fra gennemførte lektioner oftest med udgangspunkt i elevproducerede materiale i forskellige former på ipaden; samt (4) fælles refleksioner over lektionerne med fokus på udviklingsmuligheder og diskussion af didaktiske problemstilling i tilknytning hertil. Ind imellem workshopsene videreudviklede lærerne i par undervisningsforløb til afprøvning i deres klasser. Der blev gennemført to runder med afprøvninger i løbet af projektet. Lærerne og deres klasser havde forud for projektet nogen erfaring med at bruge ipads i undervisningen også i matematikundervisning. Erfaringsniveauet var imidlertid forskelligt, og det var generelt et ønske hos lærerne om at arbejde med brug af ipads på måder, der kan støtte at eleverne bliver mere aktive og skabende i matematikundervisningen. Projektet var samtidig en lejlighed til at lærerne kunne dele deres viden om og erfaringer med at anvende ipads i matematikundervisningen. 2. Valg af didaktiske fokuspunkter for forløbene Hvad angår projektets fagdidaktisk indhold var det givet, at projektet skulle støtte lærerne i at udvikle deres matematikundervisning i forhold til og gennem inddragelse af ipads og IT i undervisningen. Metoden skulle være praksisnær og omfatte lærernes udviklede og gennemførte 1

2 forløb i egne klasser. Kommunen har omfattende erfaring med udviklingsprojekter, der betjener sig af en form for Lesson Studies eller Lektionsstudier, hvor lærerne i et projekt planlægger, gennemfører og reflekterer over enkelte lektioner eller kortere forløb i relation til deres egen undervisning. Det var derfor oplagt, at anvende denne metode. Herudover var der ingen restriktioner og begrænsninger på projektets didaktiske indhold og form. Forud for projektet var deltagerne blevet bedt om at tilkendegive deres ønsker og behov i forhold til projektet. Fra enkelte lærere blev der udtrykt ønske om, at arbejde med ipads og IT på måder der understøtter, at eleverne bliver mere aktive i forhold til matematikken. Det blev også nævnt, at man som lærer har behov for, at kunne støtte at eleverne kan anvende IT på effektive måder ved både den skriftlige prøve i problemregning og ved den mundtlige prøve. Med disse rammer for projektet havde vi gode muligheder for at skræddersy forløbet helt efter deltagenes ønsker. Ud fra deltagernes forhåndstilkendegivelser havde vi til den første workshop forberedt to korte oplæg om henholdsvis lektionsstudier og undersøgende matematikundervisning, som skulle være inspiration til en fælles drøftelse af mere konkret indhold og arbejdsform i det fremtidige forløb. Mogensen (2015) beskriver metoden i detalje og giver mange eksempler på, hvordan den kan bruges i praksis. Deltagerne vurderede at lektionsstudieformatet specielt at skulle observere i hinandens klasser var for omfattende til den afsatte tid, så de valgte i stedet at forpligte hinanden på, at de mellem workshopperne parvis skulle forberede (med brug af en lektionsplansskabelon som i lektionsstudier) og gennemføre en lektion eller et kortere forløb, som så skulle præsenteres og diskuteres på den efterfølgende workshop. Der var til gengæld flere elementer fra oplægget om undersøgende matematikundervisning som tydeligt skinnede igennem i de gennemførte undervisningsforløb, der senere i forløbet blev præsenteret ved workshopperne. Der blev ligeledes ofte henvist til eksemplerne fra dette oplæg i diskussionerne. Introduktionen og diskussion af undersøgende matematikundervisning blev støttet af to artikler, Blomhøj (2013) og Østergaard (2014), som deltagerne havde fået forud for workhoppen. Endvidere fik alle deltagerne i projekt et eksemplar af antologien Kunne det tænkes om matematiklæring (Skovsmose og Blomhøj, 2006). Flere af de lektioner og forløb, der blev gennemført og diskuteret i projektet var struktureret ud fra de tre hovedfaser i undersøgende forløb: (1) Iscenesættelse af forløbet over for eleverne; (2) Elevernes selvstændige undersøgende arbejde; og (3) Opbygning af fælles faglig læring i klassen baseret på elevernes resultater og erfaringer fra det undersøgende arbejde. Endvidere blev der i forløbene og den efterfølgende diskussion sat fokus på, hvordan man kan styre undersøgende undervisningsforløb. Følgende styringsværktøjer i undersøgende arbejde blev præsenteret og diskuteret (a) Iscenesættelsen, hvor der skabes en interesse hos eleverne og et fokus for det undersøgende arbejde; (b) Organiseringen af forløbet tidsmæssigt og i forhold til de fysiske rammer og anvendelse af hjælpemidler herunder IT; (c) Krav til de produkt(er) eleverne skal producere og evt. præsentere i forløbet; (d) Dialog og opsamlinger i klassen undervejs; (e) Vurderingen af elevernes udbytte; samt (f) Den afsluttende fælles faglige opsamling i klassen. 2

3 Ud fra disse oplæg skulle deltagerne så formulere en overordnet didaktisk problemstilling, som kunne danne udgangspunkt for det først forløb. Det væsentligste kriterie for valg af de didaktiske problemstillinger, der skulle behandles i forløbet, var, at de deltagende lærere oplevede dem som væsentlige og relevante for deres egne praksisser. Dette gav anledning til, at flere problemstillinger blev foreslået og diskuteret. Gruppen endte ud med at formulere et ønske om at arbejde med, at eleverne skulle blive bedre til at kommunikere mundtligt med og om matematik ved at bruge ipad. Mundtlig kommunikation skulle både være et middel i læreprocessen læring gennem brug af sproget, og et mål for læringen kommunikationskompetence. Dette blev derfor udgangspunktet for det første forløb. I foråret 2015 var de nye forenklede fælles mål højaktuelle. Fra august 2015 skulle de afløse de tidligere mål og flere fra gruppen havde deltaget i seminardage arrangeret af Roskilde Kommune. Det var derfor nærliggende at bruge videns og færdighedsmål fra kommunikationskompetencen som udgangspunkt for de forløb, der skulle planlægges. I forlængelse heraf blev det besluttet at det andet forløb skulle fokusere på brug af ipads og IT til at støtte specifikke læringsmål, samt på at arbejde med skriftlig kommunikation i IT baseret arbejdet med opgaver fra FSA. Diskussionen omkring forberedelsestiden ved undersøgende undervisningsforløb var oppe flere gange under forløbet. En af konklusionerne på forløbet i denne sammenhæng var, at hvis lærerne får flere konkrete erfaringer med at anvende digitale læringsmidler i den daglige undervisning, kræver det ikke nødvendigvis altid mere forberedelsestid at anvende dem i undersøgende forløb. Samtidig kan udvikling og afprøvning af et undervisningsforløb i faggruppen ses som en investering til fremtidige undervisning på de relevante klassetrin. Første forløb reformulering af undervisningsmateriale På den anden workshop indledte vi med et oplæg om mundtlighed i matematik, som skulle inspirere deltagerne til den efterfølgende forberedelse af en lektion eller et kort forløb, hvor formålet var, at eleverne i høj grad skulle bruge det mundtlige sprog i arbejdet med matematik. To af lærerne forberedte og gennemførte på den baggrund et forløb om lineære funktioner, hvor de tog udgangspunkt i en opgave fra en tidligere skriftlig afgangsprøve (opg. 4, FSA, december, 2013). Ideen var helt enkelt, at bruge noget materiale, som eleverne alligevel skulle arbejde med, og så tilføje en ekstraopgave, hvor eleverne med brug af en screencaster på ipaden skulle forklare, hvordan de havde løst opgaven og begrunde deres løsning. Formulering af opgaven krævede et absolut minimum af ekstra forberedelsestid, og var således eksemplarisk for, hvordan inddragelse af digitale hjælpemidler og bruge af mere undersøgende tilgange ikke nødvendigvis kræver megen forberedelse jf. diskussionen om forberedelsestid og arbejdspres. Ud fra konkrete videns og færdighedsmål fra Funktioner og Kommunikation formulerede lærerne to læringsmål: Eleven kan beskrive en lineær sammenhæng med tabel, graf og funktionsforskrift Eleven kan opstille en tabel, en graf og en funktionsforskrift ud fra en tekst, der beskriver en lineær sammenhæng For det første læringsmål formulerede de desuden tegn på læring 3

4 Niveau 1: Eleven angiver mindst en lineær funktion i tabel, som opfylder kravet. Niveau 2: Eleven angiver mindst en forskrift, som opfylder kravet. Niveau 3: Eleven angiver et vilkårligt antal forskrifter, som opfylder kravet. Herudover formulerede de følgende læringsaktivitet: Eleverne får udleveret opgavesættet Gustavs knallert. De skal som lektie lave opgaverne: 4.1, 4.2, 4.3 Eleverne skal i grupper arbejde i timen med opgave 4.4 og 4.6 De skal løse opgaverne og lave en video i Explain Everything, hvor de opfylder kravene til produktet. Produktkrav Minimum 2 minutters video Eleverne skal forklare hvad de skal i opgaven. Eleverne skal løse opgaven og forklare deres fremgangs metode. Eleverne skal gøre brug af grundlæggende matematiske begreber inden for området. Eleverne skal i videoen forklare opgaven så en lærer kan forstå hvad de mener. Maltes knallert Det følgende er vores (forfatternes) viderebearbejdning af lærernes forløb, formuleret på baggrund af deres undervisningsplan og de eksempler på elevsvar, som vi så ved workshoppen. Vi har valgt at ændre lidt mere i forhold til det oprindelige oplæg til den skriftlige prøve, for at gøre opgaven mere åben og undersøgende. I forhold til lærernes oplæg kræver det lidt mere forberedelse men vi er stadig meget inspireret af oplægget. Lektionen indledes med, at nedenstående oplæg til arbejdet udleveres og læses igennem på klassen, og eleverne har mulighed for at stille spørgsmål til opgaven og de to programmer, Explain Everything og GeoGebra. Eleverne får desuden udleveret GeoGebrafilen Gustavsknallert.ggb, hvorfra nedenstående skærmdump er taget. Herefter arbejder eleverne to og to med opgaven, mens læreren går rundt og taler med dem. Læreren har på forhånd formuleret følgende tre fokuspunkter, som hun ønsker at udfordre eleverne ud fra: 1) Prøv, om I kan inddrage alle tre repræsentationer 2) Prøv, om I kan forklare sammenhænge mellem to eller tre af repræsentationerne 3) Prøv, om I kan forklare, hvad de konkrete elementer i de enkelte repræsentationer udtrykker for eksempel de forskellige parametre i funktionens forskrift 4

5 Maltes knallert Maltes knallert kan køre 37,5 km på en liter benzin. En liter benzin koster 12,50 kr., og Malte har købt sin knallert for kr. (fra prøveoplægget). Nedenfor ser I tre forskellige repræsentationer af den funktion, som beskriver sammenhængen mellem det antal kilometer, Malte kører på sin knallert og Maltes samlede udgifter til knallert og benzin. 12, ,50 I skal lave en kort præsentation med programmet Explain Everything, hvor I forklarer, hvad man kan aflæse af de tre repræsentationer og sammenhængen imellem dem. Sammenlign Maltes udgifter til knallerten med andre knallerter. I kan finde priser på nettet. Vælg en af de tre repræsentationer til at sammenligne de forskellige knallerter. Den færdige optagelse lægges op på klassens kanal på SkoleTube. Figur 1 5

6 Den store fordel ved at lave oplæg til undersøgende arbejde med brug af digitale hjælpemidler ved at bruge eksisterende undervisnings eller prøvemateriale er som omtalt ovenfor, at lærerne sparer tid til forberedelse, men samtidig sikres det i dette tilfælde, at de krav der stilles til eleverne i undervisningen er i overensstemmelse med de centralt stillede krav i form af FSA. I forbindelse med reformuleringen af opgaven, er det væsentligt, at læreren analyserer og formulerer opgaveforlæggets væsentligste faglige pointe i dette tilfælde sammenhængen mellem forskellige repræsentationer af en lineær funktion, som beskriver udgifterne ved at have og køre på en knallert. Herudfra er det som det fremgår af vores opgaveoplæg ovenfor blot et spørgsmål om at formulere denne pointe som en åben problemstilling for eleverne. Inden eleverne går i gang med at optage deres præsentationer, kan læreren vælge at forlange, at de skal udforme et storyboard, som skal godkendes af læreren. Dermed kan læreren sikre sig, at hun får mulighed for at komme til at indgå i dialog med alle eleverne, mens de er i undersøgelsesfasen, så alle bliver udfordret med udgangspunkt i deres niveau i forhold til de tre fokuspunkter, som er nævnt ovenfor. Som afslutning præsenterer (udvalgte) elever deres optagelser. Tilhørerne får til opgave at vurdere præsentationerne ud fra nogle på forhånd fastsatte kriterier. Det kan for eksempel være de tre fokuspunkter ovenfor, men det kan også være gode letforståelige forklaringer, præcision i sproget og sammenhæng mellem skærmbillede og speak. Under den første afprøvning blev der endvidere gennemført et emneorienteret forløb om kombinatorik og et tematisk forløb om vandforbrug. De to forløb omtales kort i følgende: De unge har jo så mange muligheder nutildags! Med denne overskrift var oplægget til eleverne, at de i grupper skulle udvælge en situation fra deres hverdagsliv, hvor der forekommer valgmuligheder som kan undersøges og beregnes ved hjælp af kombinatorik. Forløbet blev gennemført i to forskellige 7. klasser. Rammerne for forløbet var 6 lektioner med tilhørende forberedelse og tid til dokumentation af den valgte situation uden for skoletiden. Forløbet var klart produktstyret. Hver gruppe skulle producere en video i imovie eller lignende software. Videoen skulle formidle valgsituationen klart og tydeligt, og den skulle vise og forklare eksempler på beregning ved hjælp af kombinatorik. Videoer ville blive bedømt i forhold til om: (1) hverdagssituationen var godt valgt og grundigt formidlet med billeder og speak; (2) der er en klar forbindelse/oversættelse mellem den virkelige situation og den anvendte matematik; (c) de matematisk beregninger er rigtigt udført og godt forklaret; (d) der er forskellige og relevante repræsentationer (tælletræ, systematisk optælling og beregninger); samt (e) der formidles klare faglige pointer eller resultater. Forløbet er planlagt med henblik på følgende læringsmål fra Forenklede Fælles Mål (2014): Eleven kan kommunikere mundtligt og skriftligt med faglig præcision Eleven kan anvende udfaldsrum og tællemåder til at forbinde sandsynligheder med tal Eleven har viden om udfaldsrum og tællemåder 6

7 Det faglige indhold i forløbet omfatter: Tælletræer og multiplikation til bestemmelse af udfaldsmuligheder 5 fakultet som udtryk for beregningen = 5! = 120 P(n,r) og K(n,r) Forløbet blev indledt med en introduktion til kombinatorik med fokus på ovenstående indholdsområder og regning af tilhørende opgaver på tavlen fælles i klassen. Opgaverne er udvalgt så de til sammen dækker de forskellige tilfælde inden for kombinatorik. Herefter er der en fælles brainstorm i klassen, hvor eleverne kommer med eksempler på situationer fra deres hverdag, der rummer mulighed for anvendelse af kombinatorik. Rammer for forløbet og kravene til elevernes produkter præsenteres. Eleverne har herefter tre lektioner til at arbejde med deres video. Forløbet blev diskuteret med udgangspunkt i fremlæggelse af to eksempler på videoer. Forløbet fungerede fint som produktstyret undersøgende arbejde, der var emnemæssigt fokuseret og afgrænset. Videoprodukter gav mulighed for feedback til elevernes faglige kommunikation. I nogle tilfælde fik eleverne besked på at forberede deres produkt på grundlag af lærerens feedback. Det gav anledning til refleksion hos eleverne og skærpet opmærksomhed omkring hvad der menes med en klar, præcis og faglig korrekt mundtlig formidling i matematik. Forløbet kan uden videre anvendes igen. Det kan eventuelt udvides med en 3. fase, hvor erfaring og resultater fra de forskellige kombinatoriske situationer, som eleverne har arbejdet med, bruges som grundlag for opbygning af fælles faglige viden i klassen om de forskellige typer af valgsituationer inden for kombinatorikken i skolen. Hvor meget vand bruger vi og til hvad? Med denne overskrift blev der udviklet og gennemført et tematisk forløb i to 6. klasser. I den ene klasse var der tale om et fagsamarbejde mellem matematik og hjemkundskab, hvor klassen har samme lærer. Her var det elevernes arbejde i og erfaringer fra hjemkundskabsundervisningen, der udgjorde konteksten for elevernes undersøgelser og beskrivelse af vandforbrug. I det andet var det vandforbruget i hjemmet der var udgangspunktet for elevernes undersøgende arbejde. Det var sigtet med forløbet at det skulle bidrage til at opfylder følgende færdigheds og vidensmål fra de matematiske fagområder: Eleven kan gennemføre og præsentere egne statistiske undersøgelser Eleven har viden om metoder til at behandle og præsentere data, herunder med anvendelse af digitale værktøjer Samtidig var det sigtet at bidrage til følgende færdigheds og vidensmål fra de matematiske kompetencer: Eleven kan mundtligt og skriftligt kommunikere varieret med og om matematik Eleven kan vælge hjælpemidler efter formål Lærerne formulerede følgende mål for elevernes læring i forløbet: Eleverne kan med udgangspunkt i egne undersøgelser argumentere matematisk for forskellige forhold angående vandforbrug i hverdagslivet 7

8 Scenen sættes for forløbet ved en kort introduktion til problematikken omkring vandforbrug i forhold til blandet andet rent vand som resurse og økonomien ved vandforbrug. Herefter leder læreren en samtale med hele klassen om, hvad der kan undersøges inden for teamet vand i henholdsvis hjemkundskab og i elevernes eget hjem. Eksempler på undersøgende spørgsmål i forhold til hjemkundskab: Hvor meget vand bruger vi i hjemkundskab på at vaske hænder? Hvor meget falder temperaturen, når man putter isterninger i et glas vand? Hvad bruger mest vand opvask med rindende vand eller i en balje? Eksempler på undersøgende spørgsmål i forhold til elevernes eget hjem: Hvor meget vand bruger husstanden om året? Hvordan afregnes vandforbruget og hvad koster det? Hvad bliver vandet brugt til? Hvor meget vand bruges til brusebad per gang og om året? Læreren systematiserer elevernes ideer og indleder en dialog med eleverne om hvordan (nogle af) undersøgelserne kan gennemføres. Hver gruppe af elever vælger eller (re)formulerer nogle få spørgsmål, som de vil undersøge, og de afklarer evt. med hjælp fra læreren hvordan de vil gennemføre deres undersøgelser. Grupper noterer alle resultater og laver eventuelt uddybende undersøgelser. Under elevernes undersøgende arbejde vejleder læreren og motiverer/opfordrer eleverne til at gå i dybden med deres undersøgelser, og hjælper med at være systematiske omkring målinger og notering af resultater. I den 3. fase søger læreren at binde elevernes undersøgelser op på den matematik de kender i forvejen. Forløbet er produktstyret i den forstand at eleverne gruppevis skal udarbejde en præsentation i form af en PowerPoint, plakater eller en video, der viser hvad gruppen har undersøgt og hvordan, samt præsenterer og forklarer resultaterne i form af beregninger (med enheder), diagram og grafer. I dette arbejde kan eleverne anvende IT både til formidling samt til repræsentationer og beregninger. Lærerne anførte følgende tegn på læring hos eleverne som de ville være opmærksomme på i forløbet: Udsagn der udtrykker motivation og engagement i det undersøgende arbejde, aktiv deltagelse i dialogen med de andre elever og læreren samt i selve aktiviteterne. Stillede eleverne nye spørgsmål? Hvordan håndterer eleverne uenigheder i gruppen? Faglige observationer: Elevers strategi. Fandt eleverne selv et mønster? Hvad er svært/let for eleverne? Elevproducerede løsningsmetoder? Arbejdes der med hvorfor spørgsmål? Stilles hvadnu hvis spørgsmål? Forløbet blev diskuteret med udgangspunkter i lærernes beretninger og eksempler på elevprodukter fra begge forløb. Eleverne havde engageret sig i relevant undersøgelser og brugt 8

9 matematik på egen foranledning. De anvendte søjle og cirkeldiagrammer til at repræsentere størrelsen og sammensætningen af vandforbruget i familien og i begge forløb gennemførte eleverne beregning med enheder på baggrund af egne målinger. Det var generelt en udfordring i forløbet at temaet var meget bredt, og at det derfor var svært at styre elevernes aktiviteter i retning af bestemte faglige pointer. Forløbet kan relativt let udvikles så elevernes undersøgelser bliver mere fokuseret, og dermed i højere grad brugs som grundlag en mere målrette faglig læring i klassen. Andet forløb mere fagligt fokuserede anvendelser af ipads og IT Forløbene i anden runde blev mere fokuserede på, hvordan man kan støtte elevernes begrebsdannelse gennem anvendelsen af ipads og brugen af IT. I det følgende ser vi på et forløb om Pythagoras læresætning og trigonometri i retvinklede trekanter. Den først del af forløbet blevet gennemført, fremlagt og drøftet i projektet. I forhold til den anden del af forløbet har vi skitseret, hvordan der kunne arbejdes med et dynamisk geometriprogram (DG) som GeoGebra i et induktivt forløb til støtte for elevernes dannelse af grundlæggende begreber som ligedannethed for retvinklede trekanter og måling af vinkler i retvinklede trekanter ved hjælp af sinus og cosinus. Pythagoras læresætning Det følgende er en af lærernes lektionsplan for det andet forløb. Emne: Pythagoras læresætning Matematisk kompetence område: Geometri og måling (7. 9.klasse) Geometriske egenskaber og sammenhænge (fase 3) Færdigheds og vidensmål: Eleven kan forklare sammenhænge mellem sidelængder og vinkler i retvinklede trekanter Eleven har viden om den pythagoræiske læresætning og trigonometri knyttet til retvinklede trekanter Læringsmål 1 : Eleverne skal kunne anvende Pythagoras læresætning i retvinklede trekanter Eleverne skal kunne anvende den omvendte pythagoræiske læresætning i retvinklede trekanter Eleverne skal have opnå en forståelse for læresætningens formel og den opbygning Tegn på læring: Eleven kan bruge Pythagoras læresætning til at bestemme om en trekant er retvinklet eller ej 1 Sidst i trinforløbet skal eleverne opnå viden om den pythagoræiske læresætning og om trigonometri knyttet til retvinklede trekanter. Eleverne skal kunne anvende den pythagoræiske læresætning, den omvendte pythagoræiske læresætning og definitioner af sinus, cosinus og tangens i praktiske og teoretiske sammenhænge. 9

10 Eleven kan benytte den rette Pythagoræiske læresætning til bestemte retvinklede trekanter Eleven kan sprogligt og matematisk forklare Pythagoras læresætning Evaluering: Løbende evaluering i opsamlingsloops i undervisningen. For på den måde, at kunne justere undervisningens aktiviteter til den enkelte elev. Iscenesættelse: Skærmoptagelse fra læreren, hvor Pythagoras og hans læresætning bliver præsenteret og anvendt på retvinklede trekanter. Elevaktivitet: Opgaver hvor der skal anvendes Pythagoras læresætning Opgaver hvor der skal anvendes den omvendte Pythagoræiske læresætning Opgaver hvor eleverne skal forklarer sprogligt og matematisk et bevis for Pythagoras læresætning Arbejdsform Eleverne arbejder individuelt På workshoppen blev videoen med skærmoptagelsen af lærerens gennemgang af Pythagoras sætning og dens anvendelse vist og diskuteret. Denne form for anvendelse af skærmoptagelser, hvor eleverne kan studere videoen som forberedelse til undervisningen er et eksempel på realisering af ideen om the flipped classroom. Det er en relevant didaktisk diskussion i denne sammenhæng, hvor detaljeret gennemgangen skal være, og hvordan man sikrer, at eleverne ikke ser og forstår videoen instrumentalistisk, men at den i stedet åbner op for elevernes nysgerrighed og motiverer og støtter elevernes begrebsdannelse. Udvikling af et GeoGebra baseret forløbet om retvinklede trekanter Som en mulig realisering af et undersøgende forløb, der kan støtte elevernes grundlæggende begrebsdannelse om trigonometri og nærmere bestemt om egenskaber ved ligedannede retvinklede trekanter og definitionen af sinus og cosinus til vinklerne i retvinklede trekanter, skitseres her et forløb, der bygger på brugen af GeoGebra. Det kan naturligvis også realiseres i et andet dynamisk geometriprogram. Der tages udgangspunkt i, at det er etableret som fælles erkendelse i klassen, at retvinklede trekanter, der har yderligere en vinkel på v o tilfælles, er ensvinklede og dermed ligedannede. Den anden ikke rette vinkel må jo så være 90 v o. Klassen kan inddeles i 6 8 grupper, der hver især skal undersøge, hvad der kan siges om de parvise forhold mellem siderne i retvinklede trekanter, der har en vinkel v på henholdsvis 10 o, 15 o, 20 o, 25 o, 30 o, 35 o, 40 o og 45 o altså en vinkel til hver gruppe. I GeoGebra kan grupperne lave en dynamisk figur som illustreret i figur 2. Her er der med udgangspunkt i et punkt A konstrueret to linjer. En fast (vandret) linje og en linje gennem A og et frit punkt E. Vinklen A kan så styres ved hjælp af E. C konstrueres som et frit punkt på den 10

11 vandrette linje gennem A, og B bestemmes dynamisk som skæringen mellem den vinkelrette på linjen gennem A og C i punktet C og en linje gennem A og E. En sådan dynamisk geometri figur repræsenterer i princippet en vilkårlig retvinklet trekant ABC med C som den rette vinkel. Med figuren kan grupperne så undersøge, hvad der sker med forholdene a/c, b/c og a/b i retvinklede trekanter med deres faste vinkel på v o i A, når de flytter på punktet C. Eleverne kan herved opleve, at forholdene mellem siderne i ligedannede retvinklede trekanter er konstante. Tilfældet 45 o er naturligvis specielt interessant fordi a=b, og at forholdet a/c og b/c derfor er det samme, foruden at være konstant. Det giver en oplagt mulighed for at beregne forhold ved hjælp af Pythagoras sætning for retvinklede trekanter, og se at forholdet er 2 2 0,7071 Figur 2 Figur 2. En DG repræsentation af en retvinklet trekant konstrueret i GeoGebra. Punktet C kan flyttes frit på en fast linje gennem A, og punktet E er uafhængigt. Trekanten ABC er her vist med en vinkel på 45 o, men inden for de fysiske begrænsninger af en computerskærm kan figuren repræsentere enhver retvinklet trekant. I en opsamling af gruppernes resultater er det selvfølgelig oplagt at danne en tabel over de tre forholds variation som funktion af vinklen. Herved er der mulighed for at støtte elevernes funktionsbegreb ved, at de kan opleve, at der til en bestemt værdi af vinklen svarer netop en værdi for hvert af de tre forhold. De tre forhold kan plottes i et koordinatsystem som funktion af vinklen v. Det diskuteres med eleverne, hvordan forholdene udvikler sig mellem de målte punkter og hvordan de udvikler sig for større vinkler. I denne fase kan eleverne igen anvende deres DG figur. I dette arbejde kan der etableres grundlag for, at eleverne kan erfare, at forholdet a/c for en vinkel på v o er det samme som forholdet b/c for en vinkel på 90 v o. Som kulmination på et sådan IT baseret undersøgende forløb kan funktionerne sinus, cosinus og tangens til en vinkel v tilhørende intervallet [0 o, 90 o ] (for tangens [0 o,90 o [) defineres meningsfuldt for eleverne som funktioner, der netop har værdierne af et af de tre forhold som funktionsværdier: b a b sin( v) ; cos( v) ; tg( v) c c a 11

12 Hermed er der etableret et solidt begrebsmæssigt grundlag for elevernes videre arbejde med de trigonometriske funktioner. Eleverne kan fx opleve igen støttet af undersøgelser ved hjælp af deres DG figur at funktionerne i dette interval er enentydige, således at vinklen v kan bestemmes entydigt ud fra blot et af forholdene. Selv grænseværdierne af de tre funktioner for v gående mod 90 o kan undersøges af eleverne i denne kontekst. Den begrebsforståelse og faglige intuition, der kan udvikles ved en sådan form for anvendelse af IT i trigonometri vil være særdeles værdifuld som grundlag for elevernes fortsatte matematiklæring i ungdomsuddannelserne. Under anden afprøvning blev der endvidere gennemført to andre forløb. Det ene forløb handlede om undersøgelse af lineære funktioner under inddragelse af GeoGebra. I det andet forløb skulle eleverne udarbejde eksemplariske opgavebesvarelser og producere en videoforklaring med Screencast O Matic. Udgangspunktet var selvvalgte opgave fra Geometri Fessor, som er en del af Matematik Fessor ( De to forløb omtales kort i følgende. Undersøgelse af lineære funktioner i GeoGebra formidlet med skærmoptager Dette forløb blev gennemført i to 7. klasser. Forløbet bygger på en velkendt metode til at undersøge de to parametre a og b s (i grundformen ) betydning for det grafiske billede af en lineær funktion, ved at indtaste de to som skydere og derefter få tegnet det grafiske billede af f i GeoGebra (se figur 3). For at alle elever skulle få lejlighed til at udtrykke resultaterne af deres undersøgelse, blev undersøgelsen tilføjet en yderligere dimension, idet eleverne efterfølgende parvis skulle lave en skærmoptagelse, hvor de, samtidig med at de illustrerede med brug af GeoGebra filen, besvarede følgende spørgsmål: Figur 3 Hvilken betydning har a værdien for billedet af funktionen? Hvilken betydning har b værdien for billedet af funktionen? Giv yderligere et eksempel på en undersøgelse af lineære funktioner, som I har foretaget i GeoGebra, fx parallelle linjer, vinkelrette linjer eller skæringspunkter. 12

13 Forløbet blev lavet på baggrund af følgende videns og færdighedsmål fra Fælles Mål: Eleven kan kommunikere mundtligt og skriftligt om matematik på forskellige niveauer af faglig præcision Eleven har viden om afsender og modtagerforhold i faglig kommunikation Eleven har viden om muligheder og begrænsninger ved forskellige hjælpemidler Eleven har viden om fagord og begreber samt enkelt symbolsprog Eleven kan anvende lineære funktioner til at beskrive sammenhænge og forandringer Eleven har viden om repræsentationer for lineære funktioner På baggrund af disse, formulerede lærerne følgende mål: Eleverne undersøger sammenhængen mellem funktionens billede og forskriftens hældningstal (a) og skæringspunkt på 2. aksen (b). Alle undersøger funktionens billede ved både positive og negative værdier for a og b. Nogle elever undersøger to linjers indbyrdes placering i planen, fx to parallelle linjer (samme hældningstal) eller to vinkelrette linjer (produktet af de to hældningstal er 1). Forløbet blev diskuteret med udgangspunkter i lærernes beretninger og eksempler på elevprodukter. Det er en grundlæggende problemstilling ved undersøgende arbejde i matematik at få eleverne til gå fra en undersøgende adfærd, hvor de i høj grad prøver sig frem, i dette tilfælde ved at ændre på a og b, til at skulle sætte ord på, hvad deres undersøgelse har vist, men brugen af skærmoptager tvinger alle elever til at gennemføre denne væsentlige proces. For at sikre sig, at eleverne formulerede væsentlige konklusioner, havde lærerne formuleret nogle hjælpespørgsmål: Hvad nu hvis a bliver negativ? Hvad nu hvis b er 0? Hvad nu hvis vi tegner to parallelle funktioner? Herudover havde de formuleret ekstra udfordringer for de fagligt stærke elever, som skulle undersøge specielle situationer som to parallelle eller to vinkelrette linjer. Det blev blandt andet diskuteret, hvordan man får elever til at undersøge de matematisk interessante sammenhænge og stille fagligt relevante spørgsmål, hvordan man får fagligt stærke elever til at tage ekstra udfordringer, hvordan man vejleder elever uden at give hele svaret, og hvordan man samler fælles op på ekstra undersøgelser, som kun nogle elever har gennemført. Lærerne havde specielt fokus på, at eleverne skulle lære at anvende nogle centrale fagtermer, som for eksempel hældningstal, akser, funktionsforskrift, linjer, koordinatsystem, positive og negative tal, skyder, uafhængige og afhængige variable, f(x). Brug af skærmoptager giver eleverne mulighed for at anvende disse termer i en funktionel sammenhæng og læreren får samtidig lejlighed til efterfølgende at evaluere, om dette mål blev nået. Samtidig afslører skærmoptagelserne både større og mindre misopfattelser, og giver således læreren mulighed for både at vejlede enkelte elever og at tage udbredte misforståelser op i senere undervisningssituationer. Det kan overvejes i en fremtidig gennemførelse af forløbet, at eleverne får udleveret listen med væsentlige fagord og bliver bedt om anvende dem i deres præsentation. Opgave til Geometri Fessor/Screencast O Matic: Dette forløb er gennemført i 6. klasse. Lige som den foregående er udgangspunktet en opgave med brug af it, i dette tilfælde en opgave fra Matematik Fessor.dk, hvor eleverne efterfølgende 13

14 bliver bedt om at præsentere deres svar med brug af en skærmoptager. Eleverne kunne selv vælge en opgave på 6. klasses niveau på Geometri Fessor, som de ville lave en præsentation af. Opgaven lød: Optag en Screencast O Matic, hvori du gør følgende: Fortæller hvad du bliver bedt om, i den selvvalgte opgave Løser opgaven imens du forklarer, hvordan du gør/tænker Viser andre metoder, end den første, til at løse opgaven Forløbet blev igen diskuteret med udgangspunkt i lærernes beretninger og eksempler på elevprodukter. Det gav nye synsvinkler på de allerede diskuterede temaer. Sidste workshop om brug af GeoGebra og WordMat til FSA Den sidste workshop blev afsat til at arbejde med brugen af digitale hjælpemidler til folkeskolens skriftlige afgangsprøver. Vi valgte i fællesskab programmerne GeoGebra (DP) og WordMat (et CAS program), som er de mest velegnede og, sammen med Excel, de mest benyttede til formålet. Da de fleste deltagere kun havde få erfaringer med brug af de to programmer, blev en stor del af tiden brugt på, at de fik lejlighed til at sætte sig ind i og afprøve forskellige muligheder for at løse opgaver fra årets prøvesæt til 9. klasse med brug af de to programmer. Der var således tale om en meget kort introduktion til programmerne, med fokus på fordele og ulemper for eleverne samt den måde digitale læremidler påvirker indholdet i faget, og den måde der skal undervises på. Som indledning så vi sammen uddrag af Bo Kristensen og Rikke Teglskovs webinar 2 om brugen af GeoGebra til årets (maj 2015) skriftlige prøver. Herefter fik deltagerne lejlighed til parvis at arbejde med nogle af opgaverne både med og uden brug af GeoGebra og WordMat. Deltagerne løste blandt andet opgave 5, En ydre og to indre cirkler, hvor der skal tegnes en ydre cirkel med to indre cirkler (figur 4), og efterfølgende foretages en undersøgelse af først sammenhængen mellem den ydre cirkels omkreds og summen af de to indre cirklers omkreds og efterfølgende den ydre cirkels areal og summen af de to indre cirklers areal. Figur 4 2 Se: 14

15 I spørgsmål 5.2, 5.3 og 5.4 skal eleven vælge mellem at foretage en beregning eller at bruge et digitalt værktøj. For eksempel lyder spørgsmål 5.2: 5.2 Du skal vise ved beregning eller ved hjælp af et digitalt værktøj, at Olivia har ret (i at summen af de to indre cirklers omkreds er lig den ydre cirkels omkreds, når diameteren er 6 i de to indre cirkler og 12 i den ydre cirkel). Den traditionelle færdighed, at kunne beregne omkredsen af en cirkel ud fra diameteren, kan altså her erstattes af, at eleven tegner cirklerne og får et digitalt hjælpemiddel (GeoGebra) til at angive omkredsen. I stedet er fokus i opgaven på, at elevene skal indse den generelle matematiske sammenhæng, at summen af omkredsen af de to indre cirkler altid er lig omkredsen af den ydre, men at dette ikke er tilfældet for arealet, samt til sidst at kunne bevise denne sammenhæng (spørgsmål 5.5). Eksemplet giver anledning til grundlæggende diskussioner af indholdet: Skal vi stadig lære eleverne, hvordan man beregner omkredsen af en cirkel? Hvilke færdigheder, viden og kompetencer er det væsentligt, at eleverne tilegner sig, og hvad (om noget) er ikke længere væsentligt? Hvad er matematik? Etc. Diskussionen af disse spørgsmål ledte af gode grunde ikke til nogle endegyldige svar, men åbnede i stedet op for nye spørgsmål, udfordringer og potentialer, som matematikundervisningen i folkeskolen står overfor, med indførelsen af brug af digitale læremidler. En udfordring som dermed ligger klar for lærernes videre arbejde med inddragelse af digitale læremidler i matematikundervisningen på Margretheskolen. Som en afsluttende yderligere påpegning af disse problemstillinger præsenterede vi Trekantløseren i WordMat, hvor brugeren (eleven) ved at indtaste for eksempel to vinkler og en side (figur 5) i en trekant, kan få beregnet de resterende sider og vinkler (figur 6). Figur 5 15

16 Programmet skriver samtidig en forklarende tekst, så eleven ikke skal foretage sig yderligere, ud over at sætte svaret ind i opgavens kontekst. Eksemplet er provokerende for mange lærere, idet det på mange måder sætter spørgsmålstegn ved betydningen af det indhold, som de opfatter som væsentlig i matematikundervisningen. Der var således godt gang i diskussionen på vej ud fra sidste workshop, og vejen er derfor banet for nye udfordringer i bestræbelserne på i højere grad at implementere brugen af digitale hjælpemidler i matematikundervisningen på Margretheskolen. Figur 6 Afslutning Sigtet med denne rapport har været at beskrive det gennemførte udviklingsprojekt, samt at skitsere de forsatte udviklingsmuligheder som projektet rummer i forhold til integration af ipads og IT generelt i matematikundervisningen på Margretheskolen. Det er vores vurdering, at projektet har givet deltagerne et godt grundlag for fortsat samarbejde i faggruppen om udvikling af matematikundervisning med inddragelse af IT og i retning af mere undersøgende tilgange. Referencer Blomhøj, M. (2013): Hvad er undersøgende matematikundervisning og virker den? I M. Wahl Andersen og P. Weng (red.) Håndbog om matematik i grundskolen. Læring, undervisning og vejledning, København: Dansk Psykologisk Forlag. Mogensen, A. (2015). Lektionsstudier i skolen kollegial sparring gennem fælles studier. København: Dafolo. Østergaard, K. (2014): Undersøgende arbejde i matematik. Matematik 4/