Fundamentalgruppen af plane mængder

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Fundamentalgruppen af plane mængder"

Transkript

1 Fundamentalgruppen af plane mængder Jesper Just Højgaard 1. juli 2004 Speciale for cand. scient. graden i matematik ved Københavns Universitet. Vejleder: Jesper Michael Møller.

2 Indhold 1 Indledning 3 2 Resume 4 3 Inverse systemer Inv- og Pro- kategorier Udvidelser Grænser Peanokontinua Separationsordenen Kontinua Peanokontinua Planemængder Peanokontinua i planen Sierpinskitæppet Simpliciale komplekser m.m Simpliciale komplekser Nerven Fundamentalgruppen af plane mængder Konsekvenser af hovedsætningen 45 2

3 1 Indledning Dette speciale handler om fundamnetalgruppen af planemængder, dvs. mængder X R 2 med delrumstopologien nedarvet fra R 2, hvor R 2 er udstyret med den sædvanlige topologi. Nærmere bestemt vil vi i specialet forsøge at indkredse hvilke grupper der kan optræde som fundamentalgruppe for en plan mængde. Det er velkendt at vi givet en gruppe G altid kan finde et CW-kompleks X G der har G som fundamentalgruppe (se [13] side 52). Det er dog på ingen måde klart og det er heller ikke rigtigt at det CW-kompleks X G man får med denne metode, er metrisk. Det kan således sagtens tænkes at X G ikke kan indlejres i f.eks. R n for noget n Z +. Det er derfor oplagt at stille spørgsmålene: Kan alle grupper optræde som fundamentalgruppe for en delmængde X af R n? Hvis ikke hvilke grupper kan i så fald optræde? Det er ganske givet svære spørgsmål at svare på. Kan de rationelle tal Q f.eks. optræde som fundamentalgruppe for noget X R n? Det er et resultat af Shelah at hvis X er et peano kontinuum, da vil π 1 (X) Q (se [14]). I dette speciale vil vi som sagt kun beskæftige os med tilfældet X R 2. Selv i dette specialtilfælde har det været meget svært at finde nogle generelle resultater. Man kender selvfølgelig fundamentalgruppen for X i en masse special tilfælde. Det er f. eks. velkendt at fundamentalgruppen af en graf er fri. Et mere eksotisk eksempel er hawaii øreringen der har en ret kompliceret fundamentalgruppe. Det eneste generelle resultat jeg kunne finde om fundamentalgruppen af planemængder, er fra et pre-print [7] fra 2003 af Hanspeter Fischer og Andreas Zastrow. Specialets hovedresultat vil være sætning 2 i dette pre-print der siger at fundamentalgruppen af en vilkårlig plan mængde indlejrer i den første čechgruppe. I dette speciale er alle omegne åbne. Specialet følger sprognævnets nye anbefalinger om ikke at sætte komma foran ledsætninger. 3

4 2 Resume This paper is a Master Thesis written at the University of Copenhagen. The subject is the fundamental group of planar subsets. The main result is that the fundamental group of a planar subset injects into the first čhech group. The first section is an introduction to the inverse systems over an abitrary category. The second section deals with the important notion of a peano space. Here we prove that a peano space is locally and globally path connected, and that the image of the unit interval into a Hausdorff space is a peano space. The third section is about planar sets especially planar peano space. When dealing with planar peano spaces the Sierpinski carpet turns out to be very important. We therefore finish this section with some results concerning the Sierpinski carpet and partially filled sierpinski carpets. In the fourth section we introduce the notion of the nerve of an open cover of a topological space, and we use this to define the čhech group. We then prove the main theorem of the thesis. The last section deals with a consequence of our main theorem. This involves a little bit of group theory. There is also an example that shows that the main theorem doesn t hold in R 3. 4

5 3 Inverse systemer 3.1 Inv- og Pro- kategorier I dette afsnit definerer vi hvad vi forstår ved inverse systemer over en vilkårlig kategori. Vi beskriver også basale egenskaber ved sådanne inverse systemer. Lad C være en vilkårlig kategori. Ved et inverst system X over C forstås en tripel X = (X λ, p λλ, Λ). Her er Λ en præordnet mængde som er opad filtrerende. X λ er et objekt i C, og der er et objekt tilknyttet hvert λ Λ. Når λ λ, er p λλ : X λ X λ en morfi i C. Hvis λ og λ ikke er sammenlignelige, vil vi ikke definere nogen morfi mellem X λ og X λ. Når vi taler om morfien p λλ : X λ X λ, er det altså underforstået at λ λ. Ydermere vil vi forlange at p λλ = id Xλ, og at sammensætning opfylder p λλ p λ λ = p λλ. Vi er nu hastigt på vej til at definere en ny kategori inv C ud fra vores gamle kategori C. I inv C er objekterne inverse systemer med objekter og morfier i C. Til en kategori skal man også bruge morfier. Vi vil derfor nu definere hvad en morfi mellem inverse systemer skal være. Lad X = (X λ, p λλ, Λ) og Y = (Y µ, q µµ, M) være inverse systemer over C. Lad ϕ : M Λ være en afbildning, og lad der til ethvert µ M være knyttet en morfi f µ : X ϕ(µ) Y µ. En morfi f : X Y mellem inverse systemmer er så givet ved f = (f µ, ϕ) når denne familie opfylder en ekstra betingelse. Den ekstra betingelse er at hvis µ µ da skal der findes λ Λ med ϕ(µ), ϕ(µ ) λ, så nedenstående diagram kommuterer: p ϕ(µ )λ X ϕ(µ ) X λ pϕ(µ)λ X ϕ(µ) f µ Y µ q µµ Y µ f µ Lad f : X Y og g : Y Z være morfier af inverse systemer med f = (f µ, ϕ) og g = (g ν, ψ). Vi indfører en komposition af f og g ved gf = (g ν f µ, ϕψ). 5

6 Kompositionen ses at være veldefineret ved at betragte følgende diagram: X λ X ϕψ(ν) X λ X ϕ(µ) X λ X ϕψ(ν ) Y ψ(ν) f ψ(ν) f µ f ψ(ν ) Y µ Y ψ(ν ) Z ν g ν g ν Z ν Alle morfierne og objekterne i diagrammet pånær X λ og morfierne gående ud fra denne, opstår naturligt udfra definitionen af en morfi af inverse systemer. X λ findes da Λ er opad filtrerende. Sammensætningen er associativ da sammensætning af afbildninger er associativ, og sammensætning af morfier (i C) også er associativ. Endelig får vi ved at sætte id X inverst system X = (X λ, p λλ, Λ). = (id Xλ, id Λ ) klart en identitets morfi for et Vi har nu en ny kategori inv C. Et objekt X i C sammen med id X er et inverst system, så C kan opfattes som en delkategori af inv C. Vi kalder et inverst system af denne type for et rudimentært system. Denne kategori er dog lidt for fint følende til vores senere behov. Vi vil derfor ændre lidt på den så vi får en ny kategori som vi kalder pro C. Til dette formål indføres en ækvivalensrelation på morfier mellem inverse systemer. Lad (f µ, ϕ) : X Y og (f µ, ϕ ) : X Y være morfier i inv C. Vi siger at (f µ, ϕ) og (f µ, ϕ ) er ækvivalente, og vi skriver (f µ, ϕ) (f µ, ϕ ) hvis der til ethvert µ findes λ ϕ(µ), ϕ (µ) så følgende diagram kommuterer p ϕ(µ)λ X ϕ(µ) X λ p ϕ (µ)λ X ϕ (µ) f µ f µ Y µ Vi vil nu vise at vores ækvivalensrelation respekterer sammensætning. For at dette ikke skal blive fuldstændig uoverskueligt, deler vi beviset op i tre stykker. Lemma 3.1 Hvis (f µ, ϕ) (f µ, ϕ ), da er (g ν, ψ)(f µ, ϕ) (g ν, ψ)(f µ, ϕ ) 6

7 følgende diagram kommuterer: p ϕψ(ν)λ X ϕψ(ν) X λ p ϕ ψ(ν)λ X ϕ ψ(ν) f ψ(ν) f ψ(ν) Y ψ(ν) g ν Z ν Her kan vi finde X λ på grund af definitionen af morfier mellem inverse systemer. Lemma 3.2 Hvis (g ν, ψ) (g ν, ψ ), da er (g ν, ψ)(f µ, ϕ) (g ν, ψ )(f µ, ϕ) følgende diagram kommuterer: X λ X ϕψ(ν) X λ X ϕ(µ) X λ X ϕψ(ν ) Y ψ(ν) f ψ(ν) f ψ (ν) f µ Y µ Y ψ g ν (ν) g ν Z ν Her kan vi finde X λ og X λ på grund af definitionen af morfier mellem inverse systemer. X λ eksisterer da Λ er opad filtrerende. Lemma 3.3 Hvis (g ν, ψ) (g ν, ψ ) og (f µ, ϕ) (f µ, ϕ ), da er (g ν, ψ)(f µ, ϕ) (g ν, ψ )(f µ, ϕ ) Lemma 3.1 giver (g ν, ψ)(f µ, ϕ) (g ν, ψ)(f µ, ϕ ). Lemma 3.2 giver (g ν, ψ)(f µ, ϕ ) (g ν, ψ )(f µ, ϕ ), og transitiviteten af giver (g ν, ψ)(f µ, ϕ) (g ν, ψ )(f µ, ϕ ) som ønsket. 7

8 Vi kan nu definere pro C. Objekterne i pro C er objekter i inv C. Morfierne er ækvivalensklasser af morfier i inv C. Kompositionen i pro C sættes til at være [f][g] = [fg]. Denne komposition er veldefineret på grund af lemma 3.3. Ved at sætte id X = [(id Xλ, id Λ )] får vi klart en identitets morfi for et inverst system X = (X λ, p λλ, Λ) i pro C. Kompositionen er klart associativ. Dermed er pro C en kategori. Hvis vi har et inverst system X = (X λ, p λλ, Λ) i pro C hvor alle p λλ erne er isomorfier, og hvis λ 0 Λ, da vil morfien i : X (X λ0 ) induceret af id Xλ0 være en isomorfi. Vi kan nemlig definere en invers j til i. Hvis λ 1 Λ, da findes λ Λ sådan at λ λ 1, λ 0. Vi definerer så j λ1 = p λ1 λp 1 λ 0 λ. Hvis λ også opfylder λ λ 1, λ 0, kan vi finde λ λ, λ, og dette giver os følgende ligheder: p λ1 λp 1 λ 0 λ = p λ 1 λ p 1 λ 0 λ = p λ1 λ p 1 λ 0 λ Dermed har vi set at j λ1 er uafhængig af valget af λ. Det er nu klart at j λ erne inducerer en morfi j : (X λ0 ) X, og at j er invers til i. Definition 3.4 En delmængde Λ af en præordnet mængde Λ er kofinal hvis der til ethvert λ Λ eksisterer et λ Λ så λ λ. Hvis Λ Λ er opad filtrerende, og (X λ, p λλ, Λ) er et inverst system, da kaldes (X λ, p λλ, Λ ) et delsystem af (X λ, p λλ, Λ). Der er en naturligt defineret morfi i inv C mellem X og X = (X λ, p λλ, Λ ), nemlig i = (i λ, i) : X X : X λ X λ for λ Λ. Denne morfi kaldes restrik- hvor i(λ) = λ og i λ = id Xλ tionsmorfien. Sætning 3.5 Hvis Λ Λ er kofinal i Λ, da inducerer restriktionsmorfien i : X X en isomorfi i pro C. Da Λ er kofinal i Λ, findes en afbildning j : Λ Λ så j(λ) λ for alle λ Λ. Definer j λ : X j(λ) X λ ved j λ = p λj(λ). Det er klart at vi givet λ 0, λ 1 Λ med λ 0 λ 1 kan finde λ Λ så nedenstående diagram kommuterer. p j(λ1 )λ X j(λ1 ) j λ1 X λ pj(λ0)λ X j(λ0 ) X λ1 pλ0 λ 1 X λ0 j λ0 8

9 Så (j λ, j) definerer en morfi j : X X i pro C. Vi har at p λj(λ) X λ X j(λ) id Xλ X λ j λ i j(λ) kommuterer, så ji = id X. Vi har også at p λ j(λ ) X λ X j(λ )j λ id Xλ X λ i λ kommuterer, så ij = id X hvilket viser at i er en isomorfi i pro C. 3.2 Udvidelser I dette afsnit er C en kategori, og P er en delkategori af C. Definition 3.6 Lad X C være et objekt. En C-udvidelse m.h.t. P er en morfi p : X X. Her er p en morfi i pro C, og X er et objekt i pro C. Ydermere skal p have følgende universelle egenskab: Hvis h : X Y er en morfi i pro C og Y er et objekt i pro P, da findes en entydig morfi f : X Y så følgende diagram kommuterer: X X f p Hvis X og f begge tilhører pro P, da kaldes p en P-udvidelse. En C-udvidelse vil vi normalt bare kalde for en udvidelse. Har vi to inverse systemer X og X i pro C, en isomorfi i : X X imellem dem og en udvidelse p : X X, da vil ip også være en udvidelse. For at indse dette behøver vi bare at betragte følgende diagram: Her er Y et objekt i pro P. Y h X i p X f fi 1 9 X Y h

10 Lemma 3.7 Lad p : X X og p : X X være to P-udvidelser af X. Der findes da en entydig isomorfi i : X X. i kaldes den naturlige isomorfi. Af den universelle egenskab for udvidelser har vi at der findes entydige morfier i og i så følgende diagrammer kommuterer: X X X X i p p X Vi har dermed at ip = p og i p = p. Heraf følger at i ip = p og ii p = p. Entydighed giver nu at ii = id X og i i = id X som ønsket. Vi har følgende resultat om hvornår en morfi p : X X er en udvidelse. Sætning 3.8 Lad p : X X, X = (X λ, p λλ, Λ) være en morfi i pro C. Da er p en udvidelse hvis og kun hvis morfierne p λ med λ Λ opfylder: 1) For ethvert objekt P P og enhver morfi h : X P i C findes et λ Λ og en morfi f : X λ P så fp λ = h. 2) Hvis f, f : X λ P er morfier i C med fp λ = f p λ, da findes λ λ og p λλ : X λ X λ så fp λλ = f p λλ. Antag først at p er en udvidelse. Lad P være et objekt i P med en morfi h : X P. Da p er en udvidelse, eksisterer der en morfi f : X P. Nu er P når man opfatter P som et inverst system, et rudimentært system, så f er givet ved en enkelt morfi i C. Vi har altså at der findes λ Λ og en morfi f λ : X λ P så f λ p = h. 1) er dermed opfyldt. Lad nu f, f : X λ P være morfier med fp λ = f p λ. Da P er et rudimentært system, bestemmer f og f morfier f, f : X P. Den universelle egenskab for udvidelser giver så at f = f, dvs. at der findes λ λ så X λ p λλ p λλ X λ X λ i p X p f P f 10

11 kommuterer. Dette giver det ønskede. Antag nu at 1) og 2) er opfyldt. Lad h : X Y være en morfi i pro C og Y = (Y µ, q µµ, M) et objekt i pro P. Da h er en morfi i pro C, er h givet ved morfier h µ : X Y µ således at h µ = q µµ h µ når µ µ. 1) giver at vi til ethvert µ kan finde λ := ϕ(µ) Λ og en morfi f µ : X ϕ(µ) Y µ så f µ p ϕ(µ) = h µ. Vi viser at dette giver os en morfi i inv C og dermed i pro C. Vi bemærker at når µ µ, så kommuterer følgende diagram: Trekanterne p ϕ(µ ) X ϕ(µ) h µ f µ p ϕ(µ) X ϕ(µ) f µ X p ϕ(µ) hµ Y µ Y µ q µµ X h µ h µ X Y µ Y µ kommuterer per konstruktion, og trekanten X h µ h µ Y µ Y µ q µµ f µ X ϕ(µ ) p ϕ(µ ) X ϕ(µ ) f µ kommuterer da h er en morfi i pro C. Vi får heraf at q µµ f µ p ϕ(µ ) = f µ p ϕ(µ). Vælg λ Λ med λ ϕ(µ), ϕ(µ ), da er p ϕ(µ )λp λ = p ϕ(µ ) og p ϕ(µ)λ p λ = p ϕ(µ). Vi får derfor q µµ f µ p ϕ(µ )λp λ = f µ p ϕ(µ)λ p λ 2) giver nu at der findes λ Λ så q µµ f µ p ϕ(µ )λ = q µµ f µ p ϕ(µ )λp λλ = f µ p ϕ(µ)λ p λλ = f µ p ϕ(µ)λ hvilket viser at f er en morfi. Vi har per konstruktion at fp = h. Vi mangler så blot at vise at f er entydig. Antag derfor at f : X Y var en anden morfi med f p = h. Lad f være givet ved (f µ, ϕ ). Da er f µp ϕ (µ) = h µ = f µ p ϕ(µ). Da Λ er opad filtrerende, findes λ Λ med λ ϕ (µ), ϕ(µ). Da p er en morfi i pro C, har vi at f µ p ϕ (µ)λp λ = f µ p ϕ(µ)λ p λ. 2) giver så at der findes λ så f µ p ϕ (µ)λ = f µ p ϕ (µ)λp λλ = f µ p ϕ(µ)λ p λλ = f µ p ϕ(µ)λ Vi har altså at (f µ, ϕ ) (f µ, ϕ), og dermed at f = f som ønsket. 11

12 3.3 Grænser Lad C være en kategori, og lad X pro C. Ved en invers grænse for X forstås et objekt X C og en morfi p : X X med følgende egenskab: Hvis g : Y X er en morfi og Y C, da findes en entydig morfi g : Y X så følgende diagram kommuterer: Y g g X p X Hvis nu (X, p ) var en anden invers grænse for X, da findes entydige morfier i : X X og i : X X så p = pi og p = p i. Dermed er p = p i i og p = p ii. Af entydigheden følger nu at i i = id X og ii = id X, så X og X er isomorfe. Inverse grænser for et givet inverst system X pro C er altså entydige op til isomorfi. Objektet X kaldes i sig selv ofte for en invers grænse for X (d.v.s. morfien p er underforstået), og man skriver. X = lim X Definition 3.9 Lad C være en kategori og lad f α, g α : X Y med α A være to familier af morfier over en indeksmængde A. Ved den multiple udligner for de to familier af morfier forstås et objekt MEq A (f α, g α ) C og en morfi µ : MEq A (f α, g α ) X så følgende er opfyldt: 1): f α µ = g α µ for alle α A 2): Hvis (Z, µ ) hvor Z er et objekt i C, og µ er en morfi i C, opfylder punkt 1), da vil µ faktoriserer igennem MEq A (f α, g α ), d.v.s der findes en morfi ν : Z MEq A (f α, g α ) så µ = µν. I tilfældet hvor vi kun har to morfier f, g : X Y, skriver vi Eq(f, g) = MEq(f, g) og, Eq(f, g) kaldes blot for udligneren for f og g. Det er ikke altid at et inverst system over en given kategori har en invers grænse. Vi vil i det følgende se på nogle tilstrækkelige betingelser for at en kategori har den egenskab at samtlige inverse systemer over denne kategori har en invers grænse. Betingelserne er: 12

13 P): For enhver familie af objekter Y α i C vil også produktet Π α Y α være et objekt i C. Eq): For ethvert par af morfier f, g : X Y findes (Eq(f, g), µ). Vi viser først følgende lemma: Lemma 3.10 Lad C være en kategori der opfylder P) og Eq). Da vil enhver familie af par af morfier f α, g α : X Y α have en multipel udligner. Vi betragter morfierne f = (f α ) : X Π α Y α og g = (g α ) : X Π α Y α. Vi ved at udligneren (Eq(f, g), µ) eksisterer per antagelse. Vi påstår nu at (Eq(f, g), µ) er den multiple udligner for f α erne og g α erne. Der gælder nemlig fµ = gµ, så f α µ = π α (fµ) = π α (gµ) = g α µ for alle α. Her er π α : Π α Y α Y α projektionen ned på Y α. Lad nu (Z, ν) være et andet par med ν : Z X så f α ν = g α ν for alle α. Da vil også fν = gν, og dermed må ν faktorisere igennem Eq(f,g) som ønsket. Sætning 3.11 Lad C være en kategori der opfylder P) og Eq). Da har ethvert inverst system over C en invers grænse. Lad X pro C med X = (X λ, p λλ, Λ). Når λ λ, betragter vi morfierne π λ, p λλ π λ : Π λ Λ X λ X λ. Lemma 3.10 giver at der findes en multipel udligner (MEq (λ,λ Λ,λ λ )(π λ, p λλ π λ ), µ). Sætter vi p λ = π λ µ : MEq (λ,λ Λ,λ λ )(π λ, p λλ π λ ) X λ, får vi at p λλ p λ = p λλ π λ µ = π λ µ = p λ. Vi har altså en morfi p : X X i pro C givet ved p = [(p λ )]. Vi påstår at (MEq (λ,λ Λ,λ λ )(π λ, p λλ π λ ), p) er en invers grænse for X. Lad derfor Y være et objekt i C, og lad g : Y X være en morfi i pro C. Lad g være givet ved g λ : Y X λ hvor λ Λ og p λλ g λ = g λ når λ λ. Sæt nu ν = (g λ ) : Y Π λ X λ, da er π λ ν = g λ. Heraf får vi π λ ν = g λ = p λλ g λ = p λλ π λ ν. Men så må ν faktorisere gennem MEq (λ,λ Λ,λ λ )(π λ, p λλ π λ ). Vi har altså at der findes en morfi µ : Y MEq (λ,λ Λ,λ λ )(π λ, p λλ π λ ) så ν = µµ. Heraf følger det ønskede. 13

14 Korollar 3.12 Inverse systemer over kategorierne Ab, Grp, Top og Cpt har en invers grænse. Ab er kategorien med abelske grupper som objekter og homomorfier som morfier, Grp er kategorien med grupper som objekter og homomorfier som morfier, Top er kategorien med topologiske rum som objekter og kontinuerte afbildninger som morfier, og Cpt er kategorien med kompakte hausdorff rum som objekter og kontinuerte afbildninger som morfier. For enhver familie af objekter i en af disse kategorier vil produktet igen være et objekt i kategorien. Hvis f, g : X Y er to morfier i en af disse kategorier, da er {x X : f(x) = g(x)} = Eq(f, g). ({x X : f(x) = g(x)}, i) hvor i er indlejringen i : {x X : f(x) = g(x)} X, er så udligneren for f og g. Hvis f : X Y er en morfi af inverse systemer i pro C, da findes en entydig morfi lim f : lim X lim Y såfremt lim X og lim Y eksisterer så X f Y p q lim X lim f lim Y kommuterer. Dette følger umiddelbart af definitionen af en invers grænse. På grund af entydigheden er det klart at lim id X = id lim X og lim fg = lim f lim g. Vi har altså at lim er en funktor fra pro C til C når C er en kategori hvor alle inverse systemer har en invers grænse. Heraf følger umiddelbart at en isomorfi mellem to inverse systemer i pro C inducerer en isomorfi mellem de to systemers grænser. 14

15 4 Peanokontinua 4.1 Separationsordenen Definition 4.1 Lad X være et sammenhængende rum, x X kaldes et skæringspunkt for X hvis X x er usammenhængende. Vi minder om at et rum X er usammenhængende hvis der findes en separation af X, dvs. X = U V hvor U og V er ikke-tomme, disjunkte og åbne mængder. Definition 4.2 Lad X være et sammenhængende T 1 rum og lad p, q X med p q. Med E(p, q) betegner vi mængden af skæringspunkter x X for X sådan at der findes en separation af X x = U x V x med p U x og q V x. Ydermere skal punkterne p og q tilhøre E(p, q). E(p, q) er altså mængden bestående af p og q samt de x X der adskiller dem. Vi indfører følgende relation på E(p, q): Definition 4.3 Lad X være et sammenhængende T 1 rum, og lad p, q X med p q. Vælg for hvert x E(p, q) {p, q} en separation af X x = U x V x. Når x, y E(p, q) og x y, siger vi at x < y såfremt p U x og y V x eller x = p. Relationen < kaldes en separationsorden på E(p, q) Det er klart at p < x for x E(p, q) p, og det er også klart at x < q for x E(p, q) q. Sætning 4.4 Lad X være et sammenhængende T 1 rum, og lad p, q X med p q. En separationsorden på E(p, q) er en totalordning. Vi starter med et par bemærkninger. Hvis x E(p, q) {p, q}, da vil U x x være sammenhængende thi afbildningen f x : X U x x givet ved f(z) = z hvis z U x x og f(z) = x ellers er kontinuert. For at se dette bemærker vi at rummet X hvori E(p, q) er defineret, er sammenhængende og T 1, specielt er X x et åbent delrum af X. Nu var U x og V x åbne delmængder af X x per antagelse, så vi konkluderer at U x og V x er åbne i X. Dermed er U x x = X V x og V x x = X U x afsluttede i X. Afbildningen f er tydeligvis kontinuert på både U x x og V x x, og f stemmer overens på deres fællesmængde, så f er kontinuert på X = (U x x) (V x x). Nu var X sammenhængende, så f(x) = U x x er sammenhængende. På samme måde ses at V x x er sammenhængende. 15

16 Lad nu x, y E(p, q) {p, q}. Hvis y V x, da vil U x x U y og V y y V x thi U x x er en sammenhængende delmængde af X y = U y V y. Dermed må U x x ligge i enten U y eller V y, men p U y U x, så U x x U y. Heraf følger at (U x x) (V y y) =, så V y y V x. På samme måde ses at hvis y U x, da vil U y y U x og V x x V y. Vi viser nu at < er en totalordning: (Ikke-refleksivitet): Dette opfylder relationen trivielt. (Sammenlignelighed): Vi har allerede bemærket at p og q kan sammenlignes med alle andre elementer. Lad derfor x y og x, y E(p, q) {p, q}. Da gælder der enten y U x eller y V x. Hvis y U x, da vil V x x V y, dvs. y adskiller p og x, så y < x. Hvis y V y fås omvendt at x < y. (Transitivitet): Antag at x < y og y < z, og antag at x p og z q, dvs. at V y y V x og V z z V y. Heraf følger at z V x, så x adskiller p og z, og dermed fås x < z. Tilfældene hvor x = p eller z = q er trivielle. Sætning 4.5 Lad X være et sammenhængende T 1 rum, og lad p, q X så E(p, q) {p, q}. Da er delrumstopologien på E(p, q) finere end separationsordenstopologien på E(p, q). Lad B være et basiselement for ordenstopologien på E(p, q). Vi viser at B er åben i delrumstopologien. Der er tre tilfælde 1): B = [p, x), 2): B = (x, q] og 3): B = (x, y) hvor x, y E(p, q). Tilfælde 1): Hvis x = q, da er [p, x) = X q E(p, q), og X q er åben i X, da X er T 1. Hvis x q, kan vi betragte separationen X x = U x V x. Da X x er åben i X, og U x er åben i X x, er U x åben i X. Det ønskede følger nu af at [p, x) = U x E(p, q). Tilfælde 2): Klares tilsvarende. Tilfælde 3): Hvis x p og y q, da er (x, y) = U y V x E(p, q), og hvis x = p og y = q, da er (x, y) = X {p, q} E(p, q). Definition 4.6 Lad der være givet to punkter x og y i et topologisk rum X. En endelig samling af åbne mængder U 1,..., U n siges at være en enkel kæde fra x til y hvis: 16

17 1): x U 1 og y U n. 2): x / U i for i > 1 og y / U i for i < n. 3): U i U j hvis og kun hvis i j 1. Sætning 4.7 Lad X være et sammenhængende rum, og lad U være en åben overdækning af X. Givet to punkter x, y X, da findes en enkel kæde fra x til y bestående af elementer fra U. Lad U være en åben overdækning af X. Givet et a X sætter vi Y = {x der findes en enkel kæde fra a til x med elementer fra U}. Bemærk at a Y, så Y. Vi viser at Y er åben og afsluttet. Y er åben: Lad x Y, og lad U 1,..., U n være en enkel kæde fra a til x med elementer fra U, og lad y U n. Hvis y U n 1 U n, da vil U 1,..., U n 1 være en enkel kæde fra a til y. Hvis y / U n 1 U n, da vil U 1,..., U n være en enkel kæde fra a til y. Vi har altså at x U n Y, så Y er åben. Y er afsluttet: Lad x Y Y, og lad U U være en omegn af x. Da vil U Y. Vælg y U Y, og vælg en enkel kæde U 1,..., U n fra a til y med elementer fra U. Hvis a U, da er U en enkel kæde fra a til x. Hvis dette ikke er tilfældet, findes et i {1,..., n}, så U i U og U j U = for j < i. Nu vil U 1,..., U i, U være en enkel kæde fra a til x. Heraf følger at Y = Y. Da X er sammenhængende, har vi at X = Y. Vi vender tilbage til enkle kæder senere, men først skal vi se nogle resultater om kontinua. 4.2 Kontinua Definition 4.8 Et topologisk rum X kaldes et kontinuum hvis X er et kompakt, sammenhængende rum. Sætning 4.9 Lad {K i } være en samling af kontinua der er totalt ordnet ved inklusion med K i X hvor X er et kompakt, hausdorff rum, da er også i K i et kontinuum. 17

18 Det er velkendt at i K i er kompakt. Vi skal så blot vise at i K i er sammenhængende. Sæt K = i K i, og antag at der findes en separation af K = A B. X er hausdorff, så K i erne er afsluttede i X, dermed er K også afsluttet i X. Da A og B er afsluttede i K, er A og B afsluttede i X. Da X er normal, findes disjunkte åbne mængder U og V i X så A U og B V. Sæt H i = K i (X (U V )), disse er ikke tomme da K i erne er sammenhængende. H i erne er afsluttede da de er fællesmængden af to afsluttede mængder. Da X er kompakt, er H i erne kompakte. Da K i erne er totalt ordnet ved inklusion, er H i erne det også. H i erne har dermed endeligt snit egenskaben, så H = i H i, men H K og H X (U V ), så K X (U V ), i modstrid med at K = A B U V. Vi konkluderer at K er sammenhængende. Sætning 4.10 Lad X være et T 1 kontinuum med cardx > 1. Da har X mindst to punkter der ikke er skæringspunkter for X. Sæt A = {x X x er ikke skæringspunkt for X}, og antag for modstrid at carda < 2. Vælg x 0 X A, og lad U V være en separation af X x 0. Da carda < 2, må A ligge i enten U eller V, antag at det er V. Dermed må U jo bestå af lutter skæringspunkter for X. Til ethvert x U findes altså en separation X x = U x V x. Vi kan gerne antage ved eventuelt at bytte om på U x og V x at x 0 V x for alle x U. Vi har at V x er åben i X x. Da X er T 1, er X x åben i X. Dermed er V x åben i X, så U x x = X V x er afsluttet i X. Dermed er U x x kompakt. Ydermere vil U x x være sammenhængende (se beviset for 4.4). Da U x x X x 0 = U V og x U, har vi at U x x U, specielt kan U x x erne ikke indeholde A. Hvis U x erne ordnes ved streng inklusion, giver maksimalitetsprincippet (se [1] side 69) at vi kan finde en maksimal total ordnet delmængde {U xi } i I af U x erne. Vi påstår nu at i I U x i = i I (U x i x i ). Antag nemlig at x j U xi, da vil V xi x i X x j = U xj V xj. Da x 0 V xj V xi og V xi x i er sammenhængende, må V xi x i V xj. Heraf følger at U xj x j U xi, og dette giver den ønskede lighed. U xi x i erne er kompakte, og de har endeligt snit egenskaben, så i I U x i. Lad p i I U x i og betragt U p. U p, da p U og U p V p er derfor en separation af X p. Ydermere må som ovenfor gælde at U p i I U x i. Lad nu q U p, da vil p / U q og U q i I U x i, men dette strider mod maksimaliteten. Vi slutter at carda 2. Sætning 4.11 Lad X være et T 1 kontinuum, og lad A være mængden af ikke skæringspunkter for X. Da findes intet kontinuum Y X der indeholder A. 18

19 Antag at Y er et sådant kontinuum, og lad x X Y. Da er x et skæringspunkt for X, så der findes en separation af X x = U V. Da Y X x og Y er sammenhængende, må Y være indeholdt i enten U eller V, antag at Y U. V x er et kontinuum med cardv > 1, så V x indeholder mindst to ikke skæringspunkter for V x hvoraf et så må være forskelligt fra x. Lad z være et sådant ikke skæringspunkt for V x, dvs. V x z er sammenhængende. Da x (V x) (U x), er X z = (U x) (V x z) sammenhængende, z var altså ikke et skæringspunkt for X, men dette strider mod at A U. Som umiddelbart korollar fås: Korollar 4.12 Lad X være et T 1 kontinuum, og lad x være et skæringspunkt for X, dvs. der findes en separation X x = U V. Da vil både U og V indeholde punkter der ikke er skæringspunkter for X. I lyset af de to ovenstående sætninger samt beviser er dette trivielt. Sætning 4.13 Lad (X, T )være et T 1 kontinuum med netop to ikke skæringspunkter p og q. Da er (E(p, q), T < ) = (X, T ). Her er T < ordenstopologien på E(p, q). Vi viser først E(p, q) = X. Givet x X med x p, q, da vil x være et skæringspunkt for X, dvs. der findes en separation af X x = U x V x. Antag at x / E(p, q), da gælder enten {p, q} U x eller {p, q} V x. Antag at {p, q} U x, ifølge korollar 4.12 må V x indeholde et ikke skæringspunkt r for X med r p, q, men dette er en modstrid. Vi konkluderer at E(p, q) = X. Sætning 4.5 giver at T < T. Vi viser at T T <. Lad U T, og lad x U være givet med x p, q, og antag at der ikke findes noget interval (r, s) med x (r, s) U. Lad {(r i, s i )} i være familien af intervaller med x (r i, s i ) for alle i. Maksimalitetsprincippet, se [3] side 25, giver at vi kan finde en maksimal delfamilie {(r j, s j )} j der er totalt ordnet ved inklusion sådan at j (r j, s j ) = {x}. x har ikke nogen umiddelbar forgænger eller efterfølger thi hvis y var en sådan, ville 19

20 enten [p, x) (y, q] eller [p, y) (x, q] være en separation af X. Vi har derfor at j [r j, s j ]. Vi har nu at [r j, s j ] (X U) for alle j, og at familen {[r j, s j ] (X U)} j har endeligt snitegenskaben. Vi har altså at j [r j, s j ] (X U). På den anden side er var j [r j, s j ] = {x} hvilket strider mod j [r j, s j ] (X U). Tilfældene hvor x = p henholdsvis x = q klares tilsvarende, men her ses på intervaller på formen [p, s) henholdsvis (r, q]. Vi konkluderer at T T <, og endelig at (X, T ) = (E(p, q), T < ). Sætning 4.14 Lad A være en tællelig totalt ordnet mængde uden mindste eller største element således at hvis a < b, da findes c så a < c < b. Da er A ordensisomorf med de dyadiske rationelle tal, dvs. tal på formen k/2 n med 0 < k < 2 n. Numerer elementerne i A = {a 1, a 2,...}, og sæt f(a 1 ) = 1/2. Lad n 1 og n 2 være de første to tal hvor a n1 < a < a n2. Sæt f(a n1 ) = 1/2 2 og f(a n2 ) = 3/2 2. Lad nu n 3, n 4, n 5 og n 6 være de første fire tal så a n3 < a n1 < a n4 < a 1 < a n5 < a n2 < a n6. Sæt f(a n3 ) = 1/2 3, f(a n4 ) = 3/2 2,f(a n5 ) = 5/2 2 og f(a n6 ) = 7/2 2. Fortsættes på denne måde, får vi en afbildning f fra A ind i de dyadisk rationelle tal, og f er den ønskede ordensisomorfi. Vi bemærker specielt at (0, 1) Q er ordensisomorf med de dyadisk rationelle tal. 4.3 Peanokontinua Definition 4.15 Et kontinuum X kaldes et peanokontinuum hvis X er metrisk og lokalt sammenhængende. Sætning 4.16 Lad X være et metrisk kontinuum. Hvis X har netop to ikke skæringspunkter, da er X homeomorf med I. Vi bemærker først at ifølge sætning 4.13 er E(p, q) = X, og ordenstopologien på E(p, q) stemmer overens med X s topologi. Da X er kompakt og metrisk, findes en tællelig tæt delmængde A X. Vi kan gerne antage p, q / A. Vi viser at A opfylder kravene i sætning

21 Antag for modstrid at a A er et mindste element. Da a E(p, q) {p, q}, findes der en separation af X a = U a V a med p U a og q V a. U a er åben i X, og X er sammenhængende og T 1, så {p} U a. Vælg derfor x U a p, da vil [p, x) A = i modstrid med at A var tæt i X. På samme måde ses det at A ikke har noget største element. Vi viser nu at for alle a, b A eksisterer der et c A så a < c < b thi antag dette ikke var tilfældet for a, b A. Da har vi at (a, b) A =, men (a, b), thi så var [p, a) (b, q] = X en separation. Der findes altså et x (a, b). Af samme grund findes y og z så a < x < z < y < b, men så er (x, y) og (x, y) A = i strid med at A var tæt i X. Sætning 4.14 giver nu at der findes en ordensisomorfi f : A (0, 1) Q. Vi viser at ordenstopologien på A stemmer overens med delrumstopologien. Lad derfor (a, b) være et åbent interval i A, da er (a, b) = (a, b) A hvor (a, b) på højresiden er intervallet (a, b) i X. Lad nu x, y X, og betragt (x, y) A. Det er klart at (ai, b i ) (x, y) A hvor a i, b i A, x < a i < b i < y og (a i, b i ) erne er åbne intervaller i A. Antag nu at c (x, y) A, da findes a (x, c) og b (c, y) med a, b A da A er tæt i X så c (a, b) A. Vi konkluderer at (a i, b i ) = (x, y) A, så delrumstopologien på A er den samme som ordenstopologien. Ordensisomorfien f er altså en homeomorfi. Givet x X {p, q}, sætter vi nu S x = {a A x < a} og definerer h : X I ved h(x) = inf{f(s x )} for x X q og h(q) = 1. Det ses let at h er en bijektiv og kontinuert afbildning. Da X er kompakt og I er hausdorff, er h en homeomorfi. Definition 4.17 Lad X være et topologisk rum, og lad C 1 = {U 1,..., U n } og C 2 = {V 1,..., V m } være enkle kæder fra x til y med x, y X. Da siges C 2 at gå lige igennem C 1 hvis følgende er opfyldt: 1): For ethvert V i C 2 findes et U j C 1 så V i U j 2): Hvis V l, V k U j, da vil V i U j for alle l < i < k. Sætning 4.18 Lad X være et sammenhængende, lokalt sammenhængende hausdorff rum, og lad C = {U 1,..., U n } være en enkel kæde af sammenhængende mængder fra x til y med x, y X. Antag at V er en samling af åbne mængder således at U i er en forening af elementer fra V for alle i {1,..., n}. Da findes en enkel kæde af elementer fra V fra x til y der går lige igennem C. Sæt x = x 0 og y = x n, og vælg for hvert i = 1,..., n 1 et x i U i U i+1. Da 21

22 hvert U i er sammenhængende, giver sætning 4.7 at der findes en enkel kæde C i = {V i1,..., V ini } med elementer fra V fra x i 1 til x i der er helt indeholdt i U i for i = 1,..., n. Der findes et første element V 1k i C 1 der møder et element fra C 2, og der findes et sidste element V 2l fra C 2 der møder V 1k. C 1 = {V 11,..., V 1k, V 2l,..., V 2n2 } er en enkel kæde fra x 0 til x 2. Det generelle skridt klares fuldstændig tilsvarende. På denne måde kan vi altså konstruere en enkel kæde fra x 0 til x n med elementer fra V som klart vil gå lige igennem C. Sætning 4.19 Lad X være et lokalt kompakt, metrisk, sammenhængende og lokalt sammenhængende rum, da er X stisammenhængende. Vi kan endda finde en sti imellem vilkårlige to punkter i X der er et homeomorft billede af I. Lad x, y X, og overdæk X med sammenhængende åbne mængder med diameter < 1. Da findes ifølge sætning 4.7 en enkel kæde C 1 = {U 11,..., U 1n1 } fra x til y med elementer fra overdækningen. For hvert i = 1,..., n 1, og for hvert z U 1i vælges en sammenhængende åben omegn U z af diameter < 1/2 så U z U 1i og U z er kompakt. Sætning 4.18 giver at vi kan finde en enkel kæde C 2 = {U 21,..., U 2n2 } fra x til y der består af disse nye elementer sådan at denne kæde går lige igennem C 2. På tilsvarende måde kan vi konstruere C 3, C 4,.... Sæt K i = U i1 U ini for i Z +. Da er alle K i erne kontinua, og de er totalt ordnet under, så sætning K i er et kontinuum. Bemærk at x, y K i for alle i, så x, y K. Betragt nu z K {x, y}, sæt E i lig med foreningen af alle de U ij der kommer efter de et eller to elementer i C i, der indeholder z. Sæt på samme måde F i lig med foreningen af de U ik der kommer før de et eller to elementer i C i der indeholder z. Sæt E = i E i K og F = i F i K. Bemærk at E og F ikke er tomme da afstanden fra z til både x og y er større en nul, så der findes et trin j så z / U j1, U jnj. Vi har nu at K z = E F, E F = og E og F er åbne i K, så z er et skæringspunkt for K. Da alle z K {x, y} er skæringspunkter, må x og y ifølge sætning 4.10 så være ikke skæringspunkter for K. K er altså et metrisk kontinuum med netop to ikke skæringspunkter, men så er K = I ifølge sætning giver at K = i som umiddelbart korollar fås: Korollar 4.20 Ethvert peanokontinuum er stisammenhængende og lokalt stisammenhængende. 22

23 Lemma 4.21 Lad X være et hausdorff rum, og lad f : I X være en surjektiv kontinuert afbildning. Da er X et peanokontinuum. Vi bemærker først at I er et peanokontinuum. Det er derfor klart at f(i) = X er kompakt og sammenhængende. Hvis A I er en afsluttet mængde, er A også kompakt da I er det. Dermed er f(a) kompakt. Da X er hausdorff, er f(a) afsluttet i X. Vi har altså at f er en afsluttet afbildning. Da f også er surjektiv, er f en kvotient afbildning. Det følger nu at X er lokalt sammenhængende da I er lokalt sammenhængende. Da X er hausdorff, er enhver etpunktsmængde afsluttet. Lad x X, da er f 1 (x) afsluttet i I da f er kontinuert, og da I er kompakt, er f 1 (x) kompakt. Vi har altså at f er en perfekt afbildning. Heraf følger at X er anden tællelig da I er det. Urysohns metrisationssætning giver så at X er metrisk. Vi konkluderer at X er et peanokontinuum. Det omvendte resultat der siger at hvis X er et peanokontinuum, da er X billedet af I under en kontinuert afbildning, gælder også. Resultatet er kendt som Hahn- Mazurkiewicz s sætning. Vi skal dog ikke bruge dette resultat, og vi vil derfor ikke vise det. 23

24 5 Planemængder 5.1 Peanokontinua i planen Vi skal bruge følgende resultat fra kompleks funktionsteori om konforme afbildninger på randen af områder. Sætning 5.1 Lad G være et område, dvs. G er åben og stisammenhængende, og lad f : int D 2 G være en konform afbildning. Da er følgende udsagn ækvivalente: 1): f har en kontinuert udvidelse til D 2. 2): Der findes en kontinuert surjektiv afbildning ϕ : S 1 G. 3): G er lokalt sammenhængende. 4): C G er lokalt sammenhængende. Vi vil ikke bevise sætningen her, men blot henvise til [2]. Vi skal også bruge begrebet svagt lokalt sammenhængende og et tilhørende lemma om dette. Definition 5.2 Lad X være et topologisk rum, og lad x X. Da siges X at være svagt lokalt sammenhængende i x såfremt følgende gælder: Hvis U er en omegn af x, da findes en sammenhængende mængde A og en omegn V af x således at x V A U. Lemma 5.3 Lad X være svagt lokalt sammenhængende i alle sine punkter. Da er X lokalt sammenhængende. Lad U være en åben delmængde af X, og lad C være en sammenhængskomponent for U, og lad x C. Da findes x V A U med A sammenhængende og V åben. Da A er sammenhængende har vi at x V A C. Da V er en omegn af x i C, slutter vi at x er et indre punkt i C. C er altså åben, så sætning 25.3 i [1] giver nu at X er lokalt sammenhængende. 24

25 Lad α : S 1 R 2 være en kontinuert afbildning. Med O noteres den ubegrænsede stikomponent af R 2 α(s 1 ). Vi kalder I(α) = R 2 O for det til α hørende indre område. Lemma 5.4 Lad Y og X være peanokontinua med Y X, og lad C være samlingen af stikomponenter af X Y, lad ydermere C C. Da gælder at Z = Y C C C er et peanokontinuum. Vi skal vise at Z er kompakt, metrisk, sammenhængende og lokalt sammenhængende. Da Z er en delmængde af et metrisk rum, er Z født metrisk. Vi viser at Z er kompakt: Vi bemærker først at X er lokalt stisammenhængende, og X Y er en åben delmængde af X. Dette gælder da Y er kompakt, og X er hausdorff. Sætning 25.4 i [1] giver at alle C C er åbne. Dermed er X C C C C = Z afsluttet i X. Da X er kompakt, er Z kompakt. Vi viser nu at Z er stisammenhængende og dermed sammenhængende. Da Y er et peanokontinuum og dermed stisammenhængende, er det nok at vise at for ethvert x C hvor C C, findes et y Y så y er forbundet med x relativt til Z. Lad derfor C C og x C være givet, og vælg y 0 Y. Da X er stisammenhængende, findes en sti α : I X fra y 0 til x. Da C er åben i X, er α 1 (X C) afsluttet i I og dermed kompakt. Da α 1 (X C) er kompakt, findes t = min{α 1 (X C)}. Hvis α(t) / X Y, ville der findes C 0 C med C 0 C og α(t) C 0. Men dette strider mod at C var en stikomponent af X Y. Vi kan derfor bruge y = α(t) Y da α : [0, t] Z er en sti der forbinder x med y. Det at vise at Z er lokalt sammenhængende, er lidt sværere. Vi viser at Z er svagt lokalt sammenhængende i alle sine punkter. Alle stikomponenterne i X Y er åbne delmængder af X. De er derfor også lokalt stisammenhængende da X er det. Heraf følger at hvis x Z Y, da er Z lokalt sammenhængende i x. Vi kan derfor nøjes med at betragte x Y. Antag altså at x Y, og lad ε > 0 være givet. Da er B(x, ε) Y en åben omegn af x i Y. Y er lokalt stisammenhængende. Vi kan derfor finde ε > η > 0 så Y B(x, η) er stisammenhængende. Da X også er lokalt stisammenhængende, kan vi finde η > δ > 0 så B(x, δ) er stisammenhængende. Lad nu y Z B(x, δ). Vi kan gerne antage at y / Y. Vi har altså et C C med y C. Vælg en sti α : I B(x, δ) fra y til x. Sæt t = min{α 1 (X C)}. Da er α [0,t] en sti fra y til α(t) Y B(x, δ). Da Y B(x, η) er stisammenhængende, findes en sti β : I Y B(x, η) fra α(t) til x. Dermed er α [0,t] β en sti fra y 25

26 til x i Y B(x, η). Vi har dermed vist at ethvert y Z B(x, δ) kan forbindes til x med en sti der løber i Z B(x, η). For hvert y Z B(x, δ) vælges en sti α y fra y til x med α y (I) Z B(x, η). Da er y Z B(x,δ) α y(i) en sammenhængende mængde. Der gælder Z B(x, δ) y Z B(x,δ) α y(i) Z B(x, η). Vi har altså at Z er svagt lokalt sammenhængende i x. Lemma 5.3 giver nu at Z er lokalt sammenhængende som ønsket. Heraf følger umiddelbart at I(α) er et peanokontinuum når vi har en sti α : I R 2. Definition 5.5 En delmængde X R n kaldes stjerneformet hvis der findes et x 0 X således at for ethvert x X vil også liniestykket [x 0, x] ligge i X. X R n kaldes lokalt stjerneformet hvis ethvert punkt i X har en stjerneformet omegn. Vi bemærker at hvis U R n er en åben delmængde, da er U lokalt stjerneformet da åbne kugler i R n er stjerneformede (endda konvekse). Lemma 5.6 Lad X være et lokalt stjerneformet rum, da vil enhver sti i X være homotop med en stykkevis lineær sti i X. Vi kan ydermere finde en homotopi relativt til endepunkterne. Lad X være lokalt stjerneformet, og lad α : I X være en sti. Til hvert t I vælger vi en stjerneformet omegn U t af α(t). Dermed er U = {U t : t I} en åben overdækning af α(i), så {α 1 (U t ) : t I} er en åben overdækning af I. Da I er kompakt og metrisk, har overdækningen et lebesguetal. Vælg N Z + så 1/N er et lebesguetal for overdækningen. Sæt α k = α [k 1/N,k/N] for 1 k N. Der findes et t I så [k 1/N, k/n] α 1 (U t ), og dermed vil billedet af α k ligge i U t. Resultatet følger nu umiddelbart når vi bemærker at der klart gælder π 1 (Y ) = 1 når Y er stjerneformet, og at vilkårlige to punkter i et stjerneformet rum er forbundet med en stykkevis lineær sti. At vi endda kan finde en homotopi relativt til endepunkterne, følger også umiddelbart af dette. Lemma 5.7 Lad X R 2 være lokalt stjerneformet. Hvis π 1 (X) 1, da findes en polygonal, essentiel, enkelt lukket kurve i X. 26

27 Lad α : I X være en løkke med [α] 1. Ifølge lemma 5.6 er α homotop med en stykkevis lineær sti γ med γ(0) = γ(1). Specielt har vi [γ] = [α] 1. Vi kan opfatte γ(i) som en endelig graf i planen. Vi sammentrækker nu alle de kanter i γ(i) hvor sammentrækningen kan forløbe helt indenfor γ(i). Det lyder måske lidt kryptisk. Ideen er at γ(i) kan have udvækster i form af træer. Disse kan vi trække sammen til et punkt i γ(i), og sammentrækningen foregår helt indenfor γ(i). Det er klart at dette ikke har nogen indflydelse på γ s homotopi klasse. Basispunktet kunne selvfølgelig tænkes at ligge på en af disse udvækster. Vi kan derfor blive nødsaget til at flytte basispunktet. Det er dog uden betydning da den nye π 1 (X) kun afviger med en isomorfi. En endelig graf hvor vi har fjernet alle sådanne udvækster, består af en endelig samling af enkelt lukkede kurver samt kanter der forbinder disse. Der må da findes en inderste enkelt lukket kurve γ 1, dvs. at alle de andre kurver snitter tomt med I(γ 1 ) - der kan godt være mange inderste kurver. Der er nu to muligheder, enten er [γ 1 ] = 1, eller også er [γ 1 ] 1. Hvis [γ 1 ] 1 er vi færdige. Hvis ikke kan vi sammentrække γ 1 til et punkt indenfor X. Vi kan så vælge en ny inderste kurve. Fortsætter vi på denne måde, må vi på et eller andet tidspunkt finde en enkelt lukket kurve γ n med [γ n ] 1, thi ellers ville [γ] = 1. Dette lemma giver anledning til vores første mindre resultat om fundamentalgruppen af plane mængder. Korollar 5.8 Lad X R 2 være lokalt stjerneformet. Hvis π 1 (X) 1, da vil der findes en injektiv homomorfi i : Z π 1 (X). Ifølge lemma 5.7 findes en essentiel enkelt lukket kurve γ i X. Da γ er essentiel, må I(γ) (I(γ) X). Lad x I(γ) (I(γ) X), da findes en retraktion r : R 2 x γ(i) og da x / X, vil r X : X γ(i) være en retraktion. Heraf følger at Z = π 1 (γ(i)) π 1 (X). Specielt kan fundamentalgruppen af en plan, lokalt stjerneformet mængde, herunder alle åbne mængder i planen, ikke være endelig. Jeg ved ikke om ovenstående resultat er kendt. Jeg er i hvertfald ikke stødt på det før. 27

28 Definition 5.9 Lad X R 2. Ved et hul i X forstås en stikomponent af R 2 X. Sætning 5.10 Lad X R 2 være et peanokontinuum med cardx > 2. Ethvert hul i X pånær et er homeomorf med int D 2. Det sidste hul som er den ubegrænsede stikomponent af R 2 X, er homeomorf med den udprikkede, åbne cirkelskive. Lad H være et hul i X. Bemærk at R 2 X er en åben delmængde af det lokalt stisammenhængende rum R 2 så sætning 25.4 i [1] giver at H er åben i R 2. Vi indlejrer R 2 i S 2. For ikke at skulle behandle det ubegrænsede hul for sig, vil vi i det tilfælde betragte H { } S 2 istedet. Vi viser at π 1 (H) = 1, thi da giver Riemanns afbildningssætning det ønskede resultat. Antag derfor at π 1 (H) 1. Lemma 5.7 giver at der findes en essentiel, polygonal, enkelt lukket kurve γ i H. Schöenflies sætning giver at γ deler S 2 i to åbne cirkelskiver U 1 og U 2, begge med rand γ. Både U 1 og U 2 må indeholde punkter fra S 2 H thi hvis en af dem ikke gjorde, kunne vi sammentrække γ til et punkt henover denne i modstrid med at γ var essentiel i H. Dermed må både U 1 og U 2 indeholde punkter fra X, antag nemlig at f.eks. U 1 X =. Da vil U 1 γ = U 1 S 2 X. Da U 1 er stisammenhængende, og U 1 H, vil U 1 U 1 H i modstrid med at U 1 indeholder punkter fra S 2 H. At både U 1 og U 2 indeholder punkter fra X, er i modstrid med at X er stisammenhængende. Sætning 5.11 Lad X R 2 være et peanokontinuum. Hvis X har uendeligt mange huller, da vil diametrene af disse huller udgøre en nulfølge. Antag at det ikke gælder. Lad (H n ) n Z+ være familien af huller i X hvor H i H j for i j, og vælg følger (P n ) n Z+ og (Q n ) n Z+ således at P i, Q i H i, og d(p i, Q i ) > ε for alle i Z +. Da alle hullerne pånær et ligger i en stor kompakt cirkelskive, vil både (P n ) og (Q n ) kunne udtyndes til delfølger der konvergerer. Udtynd først (P n ) så vi får en konvergent delfølge (P n ). Konstruer en delfølge (Q n) af (Q n ) ved hver gang P i er med i delfølgen (P n) at tage Q i med i (Q n). Vi har så to nye følger (P n ) og (Q n ). På samme måde som før udtynder vi nu (Q n) og (P n), til (Q n) og (P n ) så (Q n) er konvergent. Både (P n ) og (Q n) er så konvergente, og vi noterer deres grænser med P henholdsvis Q. Vi dropper nu erne på (P n ) og (Q n ), så notationen ikke bliver for tung da vi ikke skal bruge de oprindelige følger mere. Efter en eventuel homeomorfi af planen kan vi gerne antage at P = (0, 2) og Q = (0, 2). Vi kan også smide starten af følgerne (P n ) og (Q n ) væk så P i B((0, 2), 1) og Q i B((0, 2), 1) for alle i. Vælg nu for hvert P i en polygonal sti α i : I H i fra P i til Q i der ikke skærer sig selv. 28

29 B((0,2),1) P I+1 Pi I R I R I+1 Figur 1: i Vi kan uden tab af generalitet antage at hver kurve α i kun skærer randen af B((0, 2), 1) en gang og ligeledes med B((0, 2), 1). Dette kan opnås ved kun at betragte en del af den oprindelige kurve α i såfremt denne ikke opfylder betingelserne selv. Vi vil så være nødt til passende at omdefinere vores P i og Q i. Det er klart at vi så ikke længere kan håbe på at vores to følger konvergerer, men det betyder ikke så meget da vi ikke skal bruge konvergensen mere i beviset. Bemærk at dette afviger fra det oprindelige bevis der uden denne mindre tilføjelse er forkert. Sæt R i til at være det første skæringspunkt med x-aksen for α i. Dette giver en begrænset følge (R n ) på x-aksen. Vi kan nu udtynde ((P n ), (Q n ), (α n ), (R n )) således at (R n ) konvergerer monotont - Vi betegner delfølgerne med samme symboler som de oprindelige følger da de oprindelige alligevel ikke bruges mere i beviset. Vi sætter R = lim R n. Vi konstruerer nu nogle enkelt lukkede kurver som følger: Forbind P i med P i+1 ved hjælp af en kurve γ i der ikke skærer sig selv, og som forløber helt indenfor B((0, 2), 1). Forbind P i med R i, og P i+1 med R i+1 ved hjælp af α i henholdsvis α i+1. Forbind R i med R i+1 ved hjælp af liniestykket [R i, R i+1 ] på x-aksen. Disse kurver danner tilsammen en enkelt lukket kurve. Enkle lukkede kurver i planen omkrandser enkeltsammenhængende områder. Vi benævner disse områder i. 29

30 Vi skal for senere brug undersøge hvordan α j erne løber i forhold til hvert i. En α j kurve kan befinde sig i i på to måder. For det første kan den starte sit forløb i i, for så på et tidspunkt at forlade i ved at krydse γ i. Disse forløb er ikke interessante for os. Den anden måde hvorpå α j kan befinde sig i i, er ved at krydse liniestykket [R i, R i+1 ]. Ved at antage generel position må vi have at α j forlader i ved igen at krydse [R i, R i+1 ]. De stykker af α j der på denne måde befinder sig i i, danner altså en slags halvcirkler. Vi konstruerer nu nye enkelt lukket kurver som følger: Forbind P i med P i+1 ved hjælp af γ i. Forbind P i med Q i, og P i+1 med Q i+1 ved hjælp af α i henholdsvis α i+1. Forbind Q i med Q i+1 ved hjælp af en kurve η i der ikke skærer sig selv, γ i,α i eller α i+1 pånær i Q i og Q i+1, og som forløber helt indenfor B((0, 2), 1). Disse kurver danner tilsammen en enkelt lukket kurve for hvert i Z +. Områderne i planen der omkrandses af disse enkelt lukkede kurver, benævnes i. Vi konstruerer nu en sti ω i fra R i til R i+1 for hvert i Z + der forløber helt indenfor i. ω i konstrueres som følger: Start i R i og fortsæt ud af x-aksen mod R i+1. Lige inden den første halvcirkel stopper vi op. Sådanne halvcirkler ligger i et hul i X, og et hul er åbent. Vi kan derfor vælge en sti der løber parallelt med halvcirklen så: 1) Stien er helt indeholdt i det givne hul. 2) Stien er pånær i start- og ende-punkterne helt indeholdt i i. Fortsættes på denne måde med at rejse langs x-aksen og stier parallelle til de yderste halvcirkler, får vi en sti ω i. Da R i og R i+1 tilhører hver sit hul, må ω i skærer X. Per konstruktion af ω i vil alle disse skæringspunkter ligge på x-aksen. Vælg for hvert i Z + et punkt S i i X [R i, R i+1 ]. Følgen (S n ) konvergerer klart mod R. Da X er afsluttet, vil R X. Vi påstår nu at X ikke er lokalt stisammenhængede i R. Betragt B(R, δ) X for givet δ > 0. Da lim S n = R, findes et i Z + så S i B(R, δ) X. En sti fra R til S i må krydse randen af i. Hvis stien skal ligge i B(R, δ) X, kan den ikke krydse α i eller α i+1 da disse er indeholdt i R 2 X. Stien må så krydse enten γ i eller η i. Nu var γ i B((0, 2), 1) og η i B((0, 2), 1), og R lå på x-aksen. Hvis δ < 1, er det derfor ikke muligt at finde en sti fra R til S i i B(R, δ) X. X er altså ikke lokalt stisammenhængende i R i strid med at X er et peanokontinuum. Vi konkluderer at diam H n 0. 30

31 B((0,2),1) P I+1 Pi I R I R I+1 Qi+1 Qi B((0,-2),1) Figur 2: i 31

32 Sætning 5.12 Lad X R 2 være et delrum, og lad α : S 1 X. Hvis α : S 1 X er nulhomotop, da er α : S 1 X I(α) nulhomotop. Vi betragter R 2 S 2. Vi sætter O = S 2 I(α), dvs. O er stikomponenten af S 2 α(i) indeholdende. Sætning 5.10 giver at der findes en homeomorfi f : int D 2 O. Ved nærmere gennemgang af beviset for sætning 5.10 ser vi at vi ydermere kan vælge homeomorfien f således at f er en konform afbildning. Sætning 5.1 giver at der findes en kontinuert udvidelse ˆf : D 2 O med ˆf( D 2 ) = (O). Da D 2 er kompakt, og O er hausdorff, er ˆf en afsluttet afbildning. For at se det lader vi A D 2 være en afsluttet delmængde. Da D 2 er kompakt, er A kompakt. Dermed er ˆf(A) kompakt. Da O er hausdorff, er ˆf(A) afsluttet. Da ˆf også er surjektiv, er ˆf specielt en kvotientafbildning. Sæt d = f 1 ( ), og lad r : D 2 d D 2 være en retraktion. Da ˆf er en kvotient afbildning, inducerer r en retraktion R : O O. Vi kan udvide denne retraktion til en retraktion ˆR : R 2 I(α). Dette gøres ved at sætte ˆR(x) = x for x I(α). Kontinuiteten følger umiddelbart af tuborg lemmaet, og afbildningen ˆR er så klart en retraktion. Lad nu H : S 1 I X være en homotopi der trækker α sammen til et punkt x 0 X indenfor X. Da er ˆR H : S 1 I X I(α) en homotopi. Denne homotopi har den egenskab at ˆR H(s, 0) = α(s) og ˆR H(s, 0) = ˆR(x 0 ). Med andre ord er ˆR H en homotopi der trækker α sammen til et punkt ˆR(x 0 ) X I(α) indenfor X I(α) som ønsket. Sætning 5.13 Lad X R 2 være et peanokontinuum. Da er X en deformationsretrakt af et rum X hvor X fås ved at fjerne det indre af kvadrater i et større kvadrat i R 2. Hvis der er uendelig mange huller i X, da vil diametrene på disse kvadrater danne en nulfølge. Da X er kompakt, findes et stort kvadrat K 0 der indeholder X. Lad H 0, H 1,..., H n,... være en nummerering af hullerne i X sådan at H 0 er det ubegrænsede hul. Da hullerne er åbne, kan vi til hvert H i med i > 0 finde et lille åbent kvadrat K i indeholdt i H i. Sæt X = K 0 i>0 K i. Ifølge sætning 5.10 findes homeomorfier f i : int D 2 H i, og disse inducerer kvotient afbildninger ˆf i : D 2 H i der er udvidelser af f i erne. Vi kan nu finde deformationsretrakter F i : D 2 f 1 (K i ) I D 2 med F i (D 2 f 1 (K i ), 1) = D 2. Betragt nu ˆf i id : D 2 f 1 (K i ) I H i K i I. ˆf i id er klart kontinuert og surjektiv, og da D 2 f 1 (K i ) I er kompakt, og H i K i I er hausdorff, er ˆf i id også afsluttet. Vi har specielt at ˆf i id er en kvotient afbildning. Det følger nu at deformationsretrakterne F i på D 2 f 1 (K i ) I erne inducerer deformationsretrakter ˆF i på H i K i I med ˆF i (H i K i I, 1) = H i. Vi kan let udvide 32

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α ) GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013 Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik

Læs mere

Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)

Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet

Læs mere

Første konstruktion af Cantor mængden

Første konstruktion af Cantor mængden DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2 M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning

Læs mere

Homotopiteori for pomængden af p-undergrupper i en endelig gruppe

Homotopiteori for pomængden af p-undergrupper i en endelig gruppe D E T N A T U R V I D E N S K A B E L I G E F A K U L T E T K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Kandidatprojekt i matematik Sune Precht Reeh Homotopiteori for pomængden af p-undergrupper i en endelig

Læs mere

MASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 5 Topologi i euklidiske rum Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 5 Formålet med MASO Oversigt Åbne og afsluttede mængder Det indre, det ydre, afslutningen,

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54 Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

Konstruktion af de reelle tal

Konstruktion af de reelle tal Konstruktion af de reelle tal Rasmus Villemoes 17. oktober 2005 Indledning De fleste tager eksistensen af de reelle tal R for givet. I Matematisk Analyse-bogen Funktioner af en og flere variable af Ebbe

Læs mere

MASO Uge 6. Følger i euklidiske rum Ekstremværdisætningen. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen.

MASO Uge 6. Følger i euklidiske rum Ekstremværdisætningen. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen. MASO Uge 6 Følger i euklidiske rum Ekstremværdisætningen Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 6 Formålet med MASO Oversigt Følger i R n Konvergens, delfølger Det

Læs mere

Nogle grundlæggende begreber

Nogle grundlæggende begreber BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element

Læs mere

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,

Læs mere

Om begrebet relation

Om begrebet relation Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet

Læs mere

Matematik 2 AN. Matematisk Analyse. Metriske rum. Christian Berg

Matematik 2 AN. Matematisk Analyse. Metriske rum. Christian Berg Matematik 2 AN Matematisk Analyse Metriske rum Christian Berg 1997 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø c Matematisk Afdeling 1997 Forord Nærværende notehæfte er oprindelig skrevet

Læs mere

Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger

Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger (G, ) kaldesengruppe, når følgende aksiomer er opfyldt: 0) (G, ) er en organiseret (stabil) mængde: a, b G a b G 1) Den associative lov gælder, dvs.

Læs mere

Wigner s semi-cirkel lov

Wigner s semi-cirkel lov Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse

Læs mere

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r)) GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

N o t e r t i l G e o m e t r i

N o t e r t i l G e o m e t r i N o t e r t i l G e o m e t r i J o h a n D u p o n t o g I b M a d s e n J a n u a r 2 0 0 8 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fa g D e t N at u rv i d e n s k a b e l i g e Fa k u lt e t A a r

Læs mere

Sammenhængskomponenter i grafer

Sammenhængskomponenter i grafer Sammenhængskomponenter i grafer Ækvivalensrelationer Repetition: En relation R på en mængde S er en delmængde af S S. Når (x, y) R siges x at stå i relation til y. Ofte skrives x y, og relationen selv

Læs mere

Udvalgsaksiomet. Onsdag den 18. november 2009

Udvalgsaksiomet. Onsdag den 18. november 2009 Udvalgsaksiomet Onsdag den 18. november 2009 Eksempler Fourier udvikling af f(x)=x 4 3 5 10 2 1 1 2 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 1 2 3 4

Læs mere

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største

Læs mere

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,

Læs mere

Banach-Tarski Paradokset

Banach-Tarski Paradokset 32 Artikeltype Banach-Tarski Paradokset Uden appelsiner Andreas Hallbäck Langt de fleste af os har nok hørt om Banach og Tarskis såkaldte paradoks fra 1924. Vi har hørt diverse poppede formuleringer af

Læs mere

6.1 Reelle Indre Produkter

6.1 Reelle Indre Produkter SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Indledning. 1 Martingalerepræsentationssætningen

Indledning. 1 Martingalerepræsentationssætningen Indledning I disse noter vil uddybe nogle af Øksendals resultater i afsnittene 4 og 7 samt give andre beviser for dem. Disse resultater er gennemgået til forelæsningerne. 1 Martingalerepræsentationssætningen

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Ja! det beviste vi uge 16+17

Ja! det beviste vi uge 16+17 Ugens emner Lukketheds- og afgørlighedsegenskaber [5.3-5.5] lukkethed under,,,, * lukkethed under homomorfi og invers homomorfi pumping -lemmaet beslutningsproblemer: membership, emptiness, finiteness

Læs mere

Matematisk Metode Notesamling

Matematisk Metode Notesamling Matematisk Metode Notesamling Anders Bongo Bjerg Pedersen Stud.Scient, Matematisk Institut, KU 21. november 2005 Bemærkninger til noterne: Hosliggende noter er fra faget Matematisk Metode, afholdt i blok

Læs mere

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens

Læs mere

Om uendelighedsbegrebet

Om uendelighedsbegrebet Om uendelighedsbegrebet Henrik Stetkær 19. september 2006 I disse noter vil vi diskutere uendelighedsbegrebet, specielt egenskaber ved tællelige mængder. Vi går ud fra, at læseren har et elementært kendskab

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum

Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Jimi Lee Truelsen Om Noten Vi vil i denne note uddybe nogle af emnerne fra de første 3 apitler af [Ve] og komme med nogle eksempler. Det drejer sig især om begreberne

Læs mere

1 Punktmængdetopologi. metriske rum, fuldstændighed

1 Punktmængdetopologi. metriske rum, fuldstændighed Punktmængdetopologi, metriske rum, fuldstændighed Morten Grud Rasmussen 23. november 2015 1 Punktmængdetopologi I algebra beskæftiger man sig bl.a. med abstrakte strukturer, hvori forskellige regneoperationer

Læs mere

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Ottende forelæsning: Den aksiomatiske metode II Klaus Frovin Jørgensen 15. november, 2010 1 / 30 Fra sidste gang (1/2) Generelt har vi set, at: Et basalt element

Læs mere

Lineær Algebra, TØ, hold MA3

Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Matematik 3GT. Topologi. Christian Berg

Matematik 3GT. Topologi. Christian Berg Matematik 3GT Topologi Christian Berg 2001 Universitetsparken 5 2100 København Ø c Matematisk Afdeling 2001 FORORD Kurset 3GT er et nyt kursus i 5. semester omhandlende mængdelære, generel topologi og

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Kirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino

Kirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino 12 Formidlingsaktivitet Kirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino I denne artikel fremføres to sætninger af henholdsvis den østrigske matematiker Eduard Helly og den tyske matematiker

Læs mere

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm. Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og

Læs mere

Geom2-dispositioner (reeksamen)

Geom2-dispositioner (reeksamen) Geom2-dispositioner (reeksamen) Rasmus Sylvester Bryder 20. april 2012 1 Mangfoldigheder i R n 1. Introducér begreberne parametriseret mangfoldighed, regularitet, indlejret parametriseret mangfoldighed

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004

Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004 BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/2004 13:34 p. 1/20 Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004 Johan P. Hansen matjph@imf.au.dk

Læs mere

Optimeringsteori. Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver

Optimeringsteori. Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver Optimeringsteori Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver 20/12/2012 Institut for Matematiske Fag Matematik-Økonomi Fredrik Bajers Vej

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

MATEMATIK 4 PROJEKT 3. marts 2006 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 4 PROJEKT 3. marts 2006 Oversigt nr. 1 PROJEKT 3. marts 2006 Oversigt nr. 1 1. og 2. møde (15/2 og 2/3). Her har vi læst og gennemgået kapitel 1 i [GKP] om mængdeteoretisk topologi. Dog er følgende kursorisk: 1.1; 1.5.10 13; 1.6.13 14. 3. gang,

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Types, tokens og rationalisme i matematikkens filosofi

Types, tokens og rationalisme i matematikkens filosofi Types, tokens og rationalisme i matematikkens filosofi Klaus Frovin Jørgensen Afdelingen Filosofi og Videnskabsteori, RUC 6. marts, 2010 1 / 29 Hilbert og den aksiomatiske metode David Hilbert (1862-1943)

Læs mere

Tonelli light. Eksistensbeviset for µ ν gav målet. for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition:

Tonelli light. Eksistensbeviset for µ ν gav målet. for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition: Tonelli light Eksistensbeviset for µ ν gav målet ( ) λ(g) = G (x, y)dν(y) dµ(x) for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition: ( ) λ(g) = G (x, y)dµ(x) dν(y). Som λ(a B) = µ(a)ν(b) gælder λ(a

Læs mere

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,

Læs mere

Foldningsintegraler og Doobs martingale ulighed

Foldningsintegraler og Doobs martingale ulighed Foldningsintegraler og Doobs martingale ulighed N.J. Nielsen Indledning I dette notat vil vi vise en sætning om foldningsintegraler, som blev benyttet trin 2 i onstrutionen af Itointegralet, gennemgå esempel

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne en mængde af opgaver, som tilsammen dækker 100 point. De små opgaver giver hver 5 point,

Læs mere

Om første og anden fundamentalform

Om første og anden fundamentalform Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Kompleks Funktionsteori

Kompleks Funktionsteori Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Funktionsrum. Kapitel 1. 1.1 Funktionsrummet L = L(X, E, µ)

Funktionsrum. Kapitel 1. 1.1 Funktionsrummet L = L(X, E, µ) Kapitel Funktionsrum. Funktionsrummet L = L(X, E, µ) For et vilkårligt målrum (X,E,µ) er mængdenl=l(x,e,µ) afµ-integrable funktioner f :X R et reelt vektorrum ifølge Theorem 7.3 i [EH]. Hvis vi indfører

Læs mere

Implicit givne og inverse funktioner

Implicit givne og inverse funktioner Implicit givne og inverse funktioner Morten Grud Rasmussen 1 11. april 2016 1 Implicit givne funktioner I lineær algebra har vi lært meget om at løse lineære ligningsystemer og om strukturen af løsningsmængden.

Læs mere

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt

Læs mere

Matematik og Statistik. Rubiks terning. Symmetri. Gruppe G3-106 23. Maj 2014

Matematik og Statistik. Rubiks terning. Symmetri. Gruppe G3-106 23. Maj 2014 Matematik og Statistik Rubiks terning Symmetri Gruppe G3-106 23. Maj 2014 Aalborg Universitet Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Ø Tfl. 99409940 Institut for Matematiske Fag

Læs mere

Statistisk hypotese. Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).)

Statistisk hypotese. Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).) Statistisk hypotese Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).) En statistisk hypotese er en delmængde P 0 P.. p.1/23 Statistisk hypotese PSfrag replacements

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

Dimensionsbegreber i Topologi. Mads Kjærulf Caspersen Henning Røigaard-Petersen 17. juni 2004

Dimensionsbegreber i Topologi. Mads Kjærulf Caspersen Henning Røigaard-Petersen 17. juni 2004 Dimensionsbegreber i Topologi Mads Kjærulf Caspersen Henning Røigaard-Petersen 17. juni 2004 1 Indhold 1 Indledning 3 2 Topologisk Dimension 4 3 Hausdorff mål 10 4 Hausdorff dimension 15 4.1 Tæthederne

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal.

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal. - 0 - Appendi. Nogle egenskaber ved reelle tal. Som bekendt består de reelle tal R (dvs. alle tal på tallinien) af de rationale tal Q og de irrationale tal I, dvs. R = Q I. De rationale tal Q er mængden

Læs mere

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

4.1 Lineære Transformationer

4.1 Lineære Transformationer SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Om uendelighedsbegrebet

Om uendelighedsbegrebet Om uendelighedsbegrebet Henrik Stetkær 27. oktober 2004 I disse noter vil vi diskutere uendelighedsbegrebet, specielt egenskaber ved tællelige mængder. Vi går ud fra, at læseren har et elementært kendskab

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Statistisk hypotese. Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).)

Statistisk hypotese. Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).) Statistisk hypotese Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).) En statistisk hypotese er en delmængde P 0 P.. p.1/26 PSfrag replacements Statistisk

Læs mere

Bevægelsens Geometri

Bevægelsens Geometri Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner

Læs mere

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle 1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig

Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig Analyse : Eulers formel Sebastian rsted 9. maj 015 Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig for øje, hvor de matematiske resultater kommer fra, og hvad de baseres på;

Læs mere

LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer.

LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer. LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER Indhold 1 Introduktion 1 2 Kanoniske programmer 2 3 Standard programmer 2 4 Svag dualitet for standard programmer 3 5 Svag dualitet for generelle lineære programmer

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang

Læs mere