Geometrisk sammenligning og optimering af to krankaksel standarder

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Geometrisk sammenligning og optimering af to krankaksel standarder"

Transkript

1 Geometrisk sammenligning og optimering af to krankaksel standarder Marc N. Boesen, Morten B. Simonsen og Anders R. Jensen 8 semester Idrætsteknologi, Aalborg Universitet Vejleder: Christian Gammelgaard Olesen

2 Side 2 af 49

3 Titel: Geometrisk sammenligning og optimering af to krankaksel standarder Tema: Analysis, Design and Manufacture of sports equipment. Projektperiode: 2. februar 2014 til 3. juni 2014 Projektgruppe: 845 Synopsis: Deltagere: Marc N. Boesen Morten B. Simonsen Anders R. Jensen Vejleder: Christian Gammelgaard Olesen Oplagstal: 5 Projektet har til formål at undersøge Cannondals postulat om hvor vidt deres kranksæt standard BB30 er bedre end GXP. For at kunne teste Cannondals postulat laves analytiske beregninger ud fra målte dimensioner og godstykkelse. Der modelleres en CAD model i SolidWorks, hvor der foretages finite element simuleringer af BB30 og GXP standarderne. Metoderne sammenholdes med et eksperimentelt forsøg som udføres i en trækprøvemaskine. Alle resultater viser at BB30 præsterer bedre end GXP. Til sidst er der lavet en optimering af BB30 akslens geometriske dimensioner der øger stivheden eller reducerer vægten. Sideantal: 49s Bilag og art: 54s, beregninger og tekniske tegninger. Afsluttet den 03/ Rapportens indhold er frit tilgængeligt, men offentliggørelse (med kildeangivelse) må kun ske efter aftale med forfatterne. Side 3 af 49

4 Side 4 af 49

5 1 Forord Projektet er udarbejdet af gruppe 14gr845 på 8. semester Idrætsteknologi, ved Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet på Aalborg Universitet, i projektperioden Projekttemaet for Idrætsteknologi 8. semester er: Samspil imellem atleter og udstyr. Temaet har givet anledning til at undersøge Cannondales postulat om, at den nye kranksæt standard BB30 er bedre end den gamle GXP standard. Forskellen på de to kranksæt er dimensionerne af akslerne, hvor BB30 har en større diameter end GXP. Projektgruppen har undersøgt parametrene vægt, styrke og stivhed for at kunne vurdere Cannondales postulat. Projektgruppen har anvendt en analytisk tilgang, hvor kranksættenes opmålte dimensioner og godstykkelse er blevet brug til beregning af vægtens indflydelse på udført arbejde. Efterfølgende er dimensioner og godstykkelse brugt til beregning af akslernes stivhed i form af torsion, nedbøjning samt oplagret deformationsenergi af kranksættet under belastning. Semesterets tema har givet anledning til at arbejde i programmet SolidWorks, hvori kranksættene er blevet modelleret og simuleret under belastning for at støtte om op de analytiske beregninger. Til sidst er det lavet et eksperimentelt forsøg, hvor nedbøjningen af kranksættenes krankarme er testet med henblik på validering af de analytiske beregninger og FE simuleringen i SolidWorks. Da resultaterne for de analytiske beregninger, FE simuleringen og det eksperimentelle forsøg viste, at BB30 præsterer bedre sammenlignet med GXP. Det er forsøgt at lave en optimering på BB30. Optimeringen viste at dette kan lade sig gøre, ved at øge diameteren yderligere, samtidig med at godstykkelsen kan reduceres. Rapporten danner baggrund for den fælles fremlæggelse og eksamination af projektet d. 23/ Side 5 af 49

6 2 Læsevejledning Det er anbefalet, at læseren besidder et fagligt niveau tilsvarende rapportens forfattere. Rapporten er relevant for personer, der er interesserede i cykling og finder en sammenligning mellem GXP og BB30 brugbar, samt et bud på en optimering, for bedre performance. Det anbefales, at rapporten læses kronologisk, eftersom der i de første kapitler gennemgås teori, som er relevant for forståelsen af rapporten. Kildehenvisningerne i rapporten er angivet efter Harvard-metoden, hvor forfatterens efternavne og udgivelsesår er anført. Et eksempel på dette: [Gere & Goodno 2013] Side 6 af 49

7 3 Abstract The theme for the 2 semester master s program is: interaction between athlete and equipment. The spindle of a crankset has been one of the most overlooked components of the mountainbike. The theme has given an opportunity to investigate Cannondale s proposal that the new crankset standard BB30 is stiffer and lighter compared with the GXP standard. The difference between the two is the spindle dimension where the BB30 diameter is larger (30 mm) than the GXP (24 mm). The project group is examining and comparing the following parameters: weight versus work, the ability to withstand shear stress in the form of torsion and strength. By looking at these parameters, it will be possible to verify or falsify Cannondale s proposal. By using an analytical approach the dimensions and thickness of the crankshaft is measured and used to determine the weights influence on work performance. The dimensions and thickness will then be used to determine how effective the BB30 and GXP shaft is to withstand torsion. Furthermore, the energy wasted due to deformation will be calculated as well as how big the deformation of the crank arm is when it is loaded with a force P = 1800 N. SolidWorks will be used to make a CAD model of the two cranksets. By using SolidWorks analytical simulation function (FE analysis), the deformation and shear stress can be compared with the analytical calculations. Finally, an experiment is made in a lab by using a pull-push machine to load the crank arm, in a fixture designed by the project group, to determine the deformation in the arm. These results are compared with the analytical calculations and the FE simulations to validate the results. All three types of test showed that BB30 was better to withstand torsion as Cannondale proposed. With this conclusion and knowledge of why BB30 performed better, the project group came up with some new design concepts to optimize the crankset further with geometric changes. Side 7 af 49

8 Indholdsfortegnelse 4 Problemstilling Introduktion Kranksæt Projektets formål Afgrænsning Problemformulering Problemanalyse Eksterne egenskaber Produktegenskaber Interne egenskaber Vægt Styrke og stivhed Torsionsstivheden Deformationsenergi Von Mises Sikkerhedsfaktor Delkonklusion Metode Materiale CAD SolidWorks Numerisk metode CAD udvikling Opmåling Modellering Mesh konvergering Dokumentation af FE simulering Eksperimentelt forsøg Maskine Forsøgsprotokol Resultater Side 8 af 49

9 7.1.1 Pligtegenskaber Vægt Torsionsstivhed Nedbøjning Deformationsenergi Von Mises Sikkerhedsfaktor Optimering Diskussion Resultater Optimering Kompatibilitet Positionering Fejlkilder Analytiske beregninger CAD Eksperimentelt forsøg Materialer Konklusion Referenceliste Side 9 af 49

10 4 Problemstilling 4.1 Introduktion Cyklen som vi kender den i dag, blev introduceret i det 19 århundrede og bruges primært som transportmiddel, men anvendes også i høj grad i forskellige sportsgrene. Cyklen har løbende forandret sig for at opfylde skiftende efterspørgsler og behov, hvilket har medført, at der findes mange forskellige cykletyper. Markedets stigende efterspørgsel på komponenter med bedre ydeevne har ført til, at vægten på mange af komponenterne er reduceret samtidig med, at anvendte materialer også har ændret sig. Dette har gjort det muligt at lave racercykler som vejer ned til 2,9 kg [Bikeradar 2013]. Union Cycliste Internationale (UCI) har dog sat en grænse på 6,8 kg for landevejscykler til konkurrencebrug, men der er foreløbig ingen regler eller grænse for, hvor meget en mountainbike minimum skal veje ved konkurrence brug. Den stigende interesse for cyklen til sportsbrug [Pilgaard, Maja 2008] som f.eks. mountainbiking har medført, at cykelindustrien har oplevet en stor udvikling inden for de seneste årtier [Worland, Steve 2009], hvilket har givet anledning til et stigende markedspotentiale for producenter af cykelkomponenter. Derfor udfoldes store bestræbelser på at være førende på markedet med de bedste komponenter. Cykelfabrikanten Cannondale har i udviklingen af bedre komponenter fremstillet en ny kranksæt standard kaldet BB30, som de postulerer, har en bedre ydeevne end den gamle GXP standard Kranksæt Kranksættet er en central del af cyklen, fordi det er den del af gearsystemet, som konverterer kræfterne fra rytterens tråd i pedalerne til fremdrift, via transmission over kæde og kassetten på baghjulets narv. For bedst mulig fremdrift og minimering af energitab stilles der krav til kranksættets vægt, stivhed og styrke. Forskellen på BB30 standard og GXP standard er en forøgelse af akslens diameter på 25 %, fra 24 mm til 30 mm. Ved at gøre diameteren større fremsagde Cannondale, at vægten kunne reduceres samtidig med, at stivheden og styrken øges, hvilket vil medfører et mere effektivt tråd [Cannondale 2014]. Både BB30 og GXP betragtes i dag som industrielle standarder og integrerede systemer bestående af rammen, krankboks og kranksæt GXP GXP står for Giga X Pipe og er den standard som primært blev anvendt inden BB30 [Roadbikeaction 2014]. GXP fremstilles som en hul cylinder med en ydre diameter på 24 mm. Projektgruppen har ikke kunnet finde oplysninger om den indre diamater og har derfor målt den. Side 10 af 49

11 BB30 BB30 er den relativt nye standard, som blev lanceret af Cannondale i BB står for Bottom Bracket og 30 henviser til krankakslens diameter på 30 mm. Cannondale har offentliggjort de tekniske tegninger og derved gjort BB30 til en åben industristandard. BB30 er ligesom GXP fremstillet som en hul cylinder. Projektgruppen har for BB30 ikke kunne finde oplysninger om den indre diameter, og har derfor selv foretaget en opmåling. Den indre diameter kunne ikke måles med et mikrometer, og derfor blev akslen skåret over, hvorefter den indre diameter kunne måles med skydelære. Som følge af BB30 øgede diameter postulerer Cannondale at vægten er reduceret samtidig med at stivheden er øget i forhold til GXP standarden. [Cannondale 2014] Ifølge oplysninger fra SpeedoneBike [SpeedoneBike 2014], som ses i Tabel 1, er SRAMs XX og X0 BB30 mountainbike model op til 11 % lettere i forhold til samme mountainbike model for GXP. Der oplyses yderligere, at de to BB30 modeller er op til 10 % stivere. Tabel 1 viser vægten for GXP og BB30 samt forskellen imellem de to. GXP kranksæt (Kg) BB30 Kransæt (Kg) Reduceret vægt (Kg) Vægt i % forskel SRAM XX 0,754 0,670 0,084 11,1 SRAM X0 0,788 0,728 0,06 7,6 4.2 Projektets formål Der findes ikke nogen offentliggjorte tests eller analyser af BB30 sammenlignet med GXP, der bekræfter Cannondales postulat om, at BB30 angiveligt er en bedre standard. Dog har et tysk firma ved navn EFBE [SpeedonBike 2014] [EFBE 2014] lavet en sammenligning af GXP og BB30, men resultaterne er ikke tilgængelige. Projektet har derfor til formål at analysere og teste et GXP og BB30 kranksæt, og efterfølgende vurdere Cannondales postulat om, at BB30 er bedre end GXP i forhold til vægt og stivhed. Der anvendes i projektet to SRAM TRUVATIV X9 10-Speed kranksæt, som fås i både GXP og BB30 udgave. Begge kranksæt vil blive sammenholdt med analytiske beregninger og finite element (FE) simuleringer. Et eksperimentelt forsøg vil bagefter blive brugt til validering af de analytiske beregninger og FE simuleringer. FE simuleringerne vil også blive brugt i et forsøg på at optimere videre. 4.3 Afgrænsning I analysen af GXP og BB30 akslerne undersøges kun geometriens indflydelse i forhold til vægt og stivhed. Side 11 af 49

12 Der afgrænses fra at teste kranksættenes udholdenhed, eftersom dette ikke har været muligt at gøre eksperimentelt. Begge kranksæt sælges på det danske marked, og må derfor formodes at overholder den forskrevne danske standard for udholdenhed, jf I forbindelse med FE modelleringen af kranksættene har projektgruppen forsøgt at finde materialespecifikationer for de anvendte materialer, hvilket ikke har været muligt. Det antages derfor, at krankarmene er fremstillet i samme materiale og akslerne i samme materiale, hvilket er opgivet i Tabel Problemformulering Hvilken kranksæt standard, GXP eller BB30, er mest optimal i forhold til vægt, stivhed og styrke på baggrund af analytiske beregninger, FE simuleringer og eksperimentelt forsøg? Side 12 af 49

13 5 Problemanalyse I problemanalysen vil der blive redegjort for, hvilke eksterne og interne egenskaber projektgruppen finder relevant for at kunne lave en sammenligning af det anvendte GXP og BB30 kranksæt. For at give et overblik er rækkefølgen af projektets metodevalg listet i nedestående Flowchart 1. Pruduktegenskaber Pligtegenskaber Forventningsegenskaber Positioneringsegenskaber Kompatibilitet Analytisk beregninger Vægt Torsion Nedbøjning Deformationsenergi Von Mises Sikkerhedsfaktor Finite element analyse Vægt Nedbøjning Von Mises Eksperimentelt forsøg Nedbøjning Resultater Flowchart 1 viser valget af metoder og sammenlignings parametre 5.1 Eksterne egenskaber For at lave en sammenligning af GXP og BB30 akslerne redegøres for de eksterne egenskaber Produktegenskaber I produktudvikling er det vigtigt at klarlægge, hvilke egenskaber og behov et produkt skal opfylde for at skabe kundetilfredshed. Almindeligvis bestemmes egenskaberne ud fra industrielle standarder og behovene ud fra kundeanalyser og markedserfaring. Produktets image kan anskues i form af pligt-, forventnings- og positioneringsegenskaber, hvilket er de egenskaber og opfyldte behov produktet profileres på. [Ulrich & Eppering 2012] [Vargo, Steven L. et al. 2007] Pligtegenskab: Ifølge den danske standard DS/EN [Standard, Dansk 2005] er der visse pligtegenskaber i form af minimums- og sikkerhedskrav, som cykler skal overholde. En cykel er kun lovlig, hvis disse pligtegenskaber er overholdt. Pligtegenskaberne for et kranksæt er følgende: Side 13 af 49

14 Styrke kranksættet skal kunne holde til en vertikal belastning ved og fra horisontal plan på 1800 N på hver pedal. Belastningen skal være pålagt 65 mm ude på pedalen, set fra krankarmen, uden der sker brud eller forekommer synlige revner. [Standard, Dansk 2005] Udholdenhed kranksættet skal minimum kunne holde til cyklusser ved ovenstående belastning, med en testfrekvens på maksimalt 25 Hz. [Standard, Dansk 2005] Forventningsegenskab: Et produkts forventningsegenskab forbindes med kundernes forventning til eksempelvis funktionalitet, udseende og/eller ydeevne i forhold til pris eller andre produkter. Lever produktet op til kundernes forventninger vil det give kundetilfredshed, hvorimod det vil skabe utilfredshed, hvis forventninger ikke bliver indfriet. [Ulrich & Eppering 2012] [Vargo, Steven L. et al. 2007] Positioneringsegenskab: Cykelproducenter positionerer primært deres komponenter på vægten, hvorimod en egenskab som stivhed ikke bliver kvantificeret. Dette gør sig også gældende for GXP og BB30. Et bedre positioneringsgrundlag vil derfor kunne opnås, hvis stivhed blev kvantificeret og inddrages som indikator for produktspecifikation. [Ulrich & Eppering 2012] [Vargo, Steven L. et al. 2007] Kompatibilitet En ændring af akslens dimensioner kan have problematisk betydning for kompatibiliteten med eksisterende produkter, eftersom en ændring vil resultere i at både krankboksen og cykelstellet skal ændres, så det passer til akslen. Ønsket om at have kompatibilitet, kan højst sandsynligt også være forklaringen på at Cannondale lancerede BB30 som en åben industristandart. [Roadbikeaction 2014] 5.2 Interne egenskaber I det følgende afsnit vil der være en analytisk sammenligning af de interne egenskaber vægt og stivhed for de to kranksæt. Alle udregninger er lavet med en belastning på 1800 N, på baggrund af den danske standard DS/EN [Standard, Dansk 2005], der fremsætter, at et kranksæt skal kunne holde til denne belastning. Udregningerne findes i Appendiks A-C Vægt Indledningsvist vejes GXP og BB30 kranksættene med deres krankbokse, hvilket giver nedenstående resultater i Tabel 2. Det ses at BB30 er 43 g lettere end GXP, hvilket indikerer at akslerne er af forskelligt materiale. Da geometrien er i fokus, negligeres materialeforskellen og fra afsnit antages at akslerne er af samme materiale. Side 14 af 49

15 Tabel 2 viser vægten og vægtforskellen for de to kranksæt GXP og BB30 som senere anvendes til forsøg. GXP kranksæt (Kg) BB30 kranksæt (Kg) Vægtforskel (Kg) Procentforskel i vægt SRAM s TRUVATIV X9 0,882 0,839 0,043 4,9 % Vægten sammenlignes i forhold til, hvor stor betydning vægtforskellen har for nyttegjort arbejde, når der cykles op af en fiktiv bakke. En rytter kører op af en bakke med en stigning på 9,5 o svarende til ca. 16 % [Engineeringtoolbox 2014]. Distancen d er 60 meter med en højdeforskel h på 10 meter, hvilket er illustreret på Figur 1. Rytteren m rytter vejer 65 kg og mountainbiken m bike vejer 9 kg uden kranksæt. Figur 1 viser målende for bakken som mountainbikerytteren cykler op af. Bakken har en højdeforskel på 10 meter og en distance på 60 meter. Massen af de to kranksæt er hver især m bb30 = 0,839 kg og m GXP = 0,882 kg. Derudover opstilles to fiktive kranksæt, hvor det ene vejer det halve af BB30 og det andet vejer det dobbelte af GXP, se Tabel 3. De to fiktive kranksæt vejer følgende: BB30 Halve = m BB30 2 = 0,42 kg (Lign: 1) GXP Dobbelt = m GXP 2 = 1,764 kg (Lign: 2) Det antages at rytteren kører med en hastighed v på 3,3 m s op af distancen d, hvilket giver tiden t: t = d v (Lign: 3) Det udførte arbejde A beregnes ud fra den potentielle energi E pot i forhold til tiden t: Side 15 af 49

16 A = E pot t (Lign: 4) Hvor den potentielle energi bestemmes ud fra massen m, tyngdeaccelerationen g og højden h: E pot = m g h (Lign: 5) Det udførte arbejde i forhold til, hvilket kranksæt der anvendes, udtrykkes således: A = E pot t = m g h t = (m rytter + m bike + m kranksæt_x ) g h t (Lign: 6) I Tabel 3 ses, at den reducerede vægt har en indflydelse på det udførte arbejde, der svarer til 0,2 Watt. Tabel 3 viser resultaterne for det udførte arbejde i forhold til hvilket kranksæt der anvendes. På tabellen ses også forskellen i watt og procent i forhold til BB30. Vægt (Kg) Arbejde (Watt) Arbejde ift. BB30 (Watt) Arbejde procentforskel (%) BB30 0, ,2 - - GXP 0, ,4 0,2 0,1 BB30 halv 0,42 374,9-2,3-0,6 GXP dobbelt 1, ,1 4,9 1, Styrke og stivhed For at sammenligne GXP og BB30 akslerne, findes det nødvendigt at redegøre for begreberne som bruges i beregningerne. Styrke defineres generelt som en strukturs kapacitet til at modstå belastning. Flydegrænsen bruges ofte som indikation for et materiales styrke, og er grænsen hvor materialet begynder at få en varig deformation (Figur 2, punkt B-E). Stivhed er et udtryk for et materiales evne til at modstå deformation under kraftpåvirkning. Hooks lov udtrykkes på normaliseret form som σ = Eε, hvor σ er spænding, E er elasticitetsmodulet (E-modul) og ε er tøjning. [Gere & Goodno 2013] Måden hvorpå et materiales E-modul bestemmes, er ved eksperimentel testning. Dette gøres ved at tage en materialeprøve, i form at et kødben, og sætte det i en trækprøvemaskine. Resultatet af trækprøven bliver en arbejdskurve over sammenhængen mellem den påførte spænding og materialets tøjning indtil brud, hvilket er illustreret på Figur 2. På Figuren fra punkt 0-A ses, at materialer ved små deformationer Side 16 af 49

17 udviser en lineær elastisk sammenhæng. Hældningen på denne del af arbejdskurven giver materialets E- modul. Materialer med et højt E-modul har en stejl arbejdskurve, da der skal stor kraft til at give en relativ lille deformation og materialer med en lavere stivhed vil derfor have en fladere arbejdskurve. [Gere & Goodno 2013] Figur 2 viser en graf over forholdet imellem spænding og tøjning for stål. Hvor spænding er op af y-aksen og tøjning er hen af x Tøjning aksen. [Gere & Goodno 2013] Tøjning er den relative deformation af et materiale. For det ideelle tilfælde ved en trækstang er tøjningen udtrykt som ε = δ, hvor δ er længdeændringen og L er den oprindelige længde. Normalvis varierer tøjning L fra punkt til punkt i et materiale pga. den geometriske struktur. [Gere & Goodno 2013] Normalspænding Der findes to forskellige typer spændinger - normalspænding og tværspænding. Normalspænding σ er kraft per arealenhed og SI-enheden er derfor N m2, også kaldet Pascal (Pa). Normalspænding står altid vinkelret på frie flader eller snitflader og udtrykkes som σ = P, hvor P er kraften og A er arealet. Normalspændingerne A er et mål for, hvor meget kraften påvirker strukturen i forhold til tværsnitsarealet og er en tilstand. Ligesom tøjning varierer spændinger også fra punkt til punkt pga. geometrien. [Gere & Goodno 2013] Tværspænding Tværspændinger τ virker langs snitflader og parallelt med frie flader og giver anledning til skævvridning af et objekt, dvs. en ændring af strukturens vinkler. Tværspændinger er ligesom normalspændinger et mål for, hvor meget kraften påvirker strukturen og udtrykkes τ = Gλ, hvor λ er den tværgående deformation x. G l Side 17 af 49

18 er forskydningsmodulet (G-modulet) og beskriver materialets modstand imod forskydning og vinkelændring og er ligesom E-modulet et mål for materialets stivhed. [Gere & Goodno 2013] Ud fra ovenstående bemærkes, at E- og G-modulet er udtryksfulde karakteriseringsparametre af materialer, da de definerer stivheden og evnen til at modstå deformation. [Gere & Goodno 2013] Torsion Da projektets fokus er på akslerne, er det væsentligt at se på forskellen i torsionen de udsættes for. Torsion opstår, når krankakslen udsættes for et drejningsmoment T om sin længdeakse. T vil følgende blive defineret som længde af krankarmen L = 0,175 m ganget med belastningen P = 1800 N, hvilket giver et drejningsmoment T = 315 Nm. Drejningsmoment giver anledning til tværspændinger og er størst på ydersiden af akslen, se Figur 3. Figur 3 illustrerer tværspændingerne for en cirkulær profil. Tværspændingernes værdi er en indikator for, hvor meget drejningsmomentet påvirker akslen. En lavere værdi betyder bedre modstand imod torsion. For at bestemme den maksimale tværspænding anvendes formelen: τ max = Tr I P (Lign: 7) T er drejningsmomentet, r er radius, τ max er den maksimale tværspænding og I P er det polære arealinertimomentet for akslen. [Gere & Goodno 2013] Eftersom akslerne er hule cylindre bestemmes I p : I p = π d t (d 2 + t 2 ) (Lign: 8) 4 Den gennemsnitlige diameter d = ( d ydre+d indre ) for akslen og t er godstykkelsen. [Gere & Goodno 2013] 2 Side 18 af 49

19 Drejningsmomentet T giver yderligere anledning til en vinkelændring af akslen, som er proportional med drejningsmomentet T og krankakslens længde L og omvendt proportional med krankakslens torsionsstivhed udtrykt ved GI p (G = 78 GPa, se Tabel 6). Vinkelændringen bestemmes ud fra følgende udtryk: [Gere & Goodno 2013] φ = TL GI p (Lign: 9) hvor T er drejningsmomentet, L er længde af akslen, G er G-modulet for materialet og I P er arealinertimomentet for akslen [Gere & Goodno 2013] Torsionsstivheden Det antages at begge aksler er fremstillet af 4130, Q&T F, legeret stål [Norton, R. L. 2001] (jf. afsnit 6.1 og Tabel 6). Figur 4 viser godstykkelse, længde, indre- og ydre diameter for BB30 og GXP akslerne. For at bestemme den maksimale tværspænding for akslerne anvendes målene fra Figur 4. Målene bruges først til at udregne arealinertimomentet I P (Lign: 8) for hver af de to aksler. Herefter beregnes tværspændingerne τ max (Lign: 7) ved torsionsformlen. Tværspændingsresultaterne for GXP og BB30 bliver hhv.: τ max _BB30 = 100,6 MPa (Lign: 10) τ max _GXP = 280,4 MPa (Lign: 11) Herved ses det at BB30 akslens tværspændinger er 64,1 % mindre end GXP akslens. Herefter bestemmes vridningsvinkelen φ (Lign: 9) for de to aksler: Side 19 af 49

20 φ BB30 = 0,57 (Lign: 12) φ GXP = 2,24 (Lign: 13) Det ses, at BB30 akslen er udsat for en 74,5 % mindre vinkelændring GXP akslen. Ud fra ovenstående udregninger ses, at BB30 akslen er bedre til at modstå torsion end GXP akslen, hvilket den lavere værdi for tværspændingerne og vinkelændringen er en indikator for. Videre bestemmes nedbøjningen af krankarmen for at have et sammenligningsgrundlag med den senere eksperimentelle test. Krankarmene for begge kranksæt antages at være identiske. Først udregnes arealinertimomentet I x (Lign: 14) for krankarmen. Eftersom de fysiske krankarme har en varierende højde fra 35 mm til 45 mm, antages det, at krankarmen er en prismatisk bjælke med en gennemsnitshøjde h = 40 mm og en bredde b = 16 mm. Arealinertimomentet bliver følgende [Gere & Goodno 2013]: I x = bh3 12 (Lign: 14) Nedbøjningen δ arm (Lign: 15) af krankarmens fri ende fra horisontalplanet kan herefter bestemmes [Gere & Goodno 2013]: δ arm = PL arm 3 3EI x = 0,56 mm (Lign: 15) Videre bestemmes bøjningsvinklen θ (Lign: 16) for den frie ende [Gere & Goodno 2013]: θ = PL arm 2 2EI x = 0,28 (Lign: 16) Nu da torsionsvinklen φ (Lign: 12 og 13), krankarmens nedbøjning δ (Lign: 15) og bøjningsvinklen θ (Lign: 16) udregnet, kan superpositionsprincippet anvendes. Princippet gør det muligt at addere flere bøjnings- og torsionsbidrag, så længe deformationen er lille og indenfor det lineært elastiske område. Den totale nedbøjning bliver herved følgende for BB30 og GXP: δ total BB30 = φ L pedal + δ arm θ = 1,75 mm(lign: 17) δ total GXP = φ L pedal + δ arm θ = 6,84 mm (Lign: 18) Herved ses, at den totale kombinerede nedbøjning for BB30GXP er 74,5 % mindre end nedbøjningen for GXP. Side 20 af 49

21 5.2.4 Deformationsenergi Når en struktur belastes, giver deformation anledning til oplagret energi, som kaldes deformationsenergi U. For små deformationer, inden for materialets lineære elastiske område, vil deformationsenergien være proportional med belastningens udførte arbejde, så længde det antages, at energien ikke går tabt i form af f.eks. varme. Når belastningen fjernes, vil den oplagrede deformationsenergi medføre, at strukturen vender tilbage til sin oprindelige form. [Gere & Goodno 2013] Oplagret energi anses for at være tabt energi, der ikke giver anledning til fremdrift, så en mindre deformation vil være at foretrække. En sammenligning af deformationsenergien for den totale nedbøjning vil derfor være interessant at beregne. Deformationsenergien U kan enten bestemmes ud fra de maksimale tværspændinger τ max eller vinkelændringen φ ved brug af et af følgende udtryk, som begge giver det samme [Gere & Goodno 2013]: U τmax = T2 L (Lign: 19) U 2GI φ = GI pθ 2 (Lign: 20) p 2L Det antages stadig, at begge aksler er fremstillet af den tidligere nævnte legerede ståltype 4130, med forskydningsmodul G på 78 GPa. Akslerne belastes igen med drejningsmomentet T på 315 Nm og målene fra Figur 4 anvendes igen. Deformationsenergien for hhv. BB30 og GXP bliver således: U BB30 = 2,3 J (Lign: 21) U GXP = 8 J (Lign: 22) Der ses et 71,2 % mindre energitab for BB30 akslen i forhold til GXP akslen. Der sker ligeledes et energitab under nedbøjningen af krankarmen. Det antages at krankarmene for GXP og BB30 er identiske. Den oplagrede energi for krankarmen kan bestemmes ved brug af følgende udtryk [Gere & Goodno 2013]: U δ = Pδ arm 2 (Lign: 23) P er den påtrykte kraft på 1800 N og δ arm er nedbøjningen der bestemmes ud fra Lign: 15. Den oplagrede deformationsenergi for krankarmen bliver: U δ = 0,5 J (Lign: 24) Ved at addere hhv. deformationsenergien for akslerne (Lign: 21 og 22) og krankarmen Lign: 24 sammen ses en forskel i energitab for GXP akslen i forhold til BB30. Sammenlagt har BB30 akslen et 67,1 % mindre energitab end GXP akslen. U BB30 = 2,3 J + 0,5 J = 2,8 J (Lign: 25) U GXP = 8 J + 0,5 J = 8,5 J (Lign: 26) Side 21 af 49

22 5.2.5 Von Mises For yderligere at sammenligne GXP og BB30 akslerne bruges von Mises flydehypotese, som en indikator for den maksimale spændingstilstand, akslerne kan holde til, inden materialet begynder at flyde. Grundlæggende er von Mises et udtryk der kombinerer normal- og tværspændinger i x, y og z-retning (3D) for samme punkt og giver den effektive spændingsrepræsentation som en enkelt værdi. Von Mises kan sammenholdes med akslens reelle flydespænding for det anvendte materiale og derved give en indikation af sikkerhedsfaktoren. [Gere & Goodno 2013] Udregningerne af von Mises akslerne vil følgende blive gennemgået. Først beregnes torsionen T (Lign: 27) og bøjningsmomentet M (Lign: 28) [Gere & Goodno 2013]. Torsionen T bestemmes for kraften P = 1800 N multipliceret med afstanden b fra angrebsstedet til neutralaksen på akslen, Figur 5. Momentet M bestemmes også ud fra den påtrykte kraft P = 1800 N gange længden L af den pågældende aksel. Akslernes længde L deles med 10, da der kigges på et punkt L inde på akslen: 10 T = P b (Lign: 27) M = P L (Lign: 28) 10 Følgende anvendes arealinertimomentet I x (Lign: 14) og det polære inertimoment I p (Lign: 8). På Figur 5 er illustreret et 2D eksempel for at vise, hvor to kritiske punkter (A og B) befinder sig i forhold til hinanden. Figur 5 viser et 2D billede af akslen. På akslen ses det hvor punkt A og B ligger i forhold til hinanden. Ligeledes er afstanden "b" og afstanden "y" illustreret. Side 22 af 49

23 Først beregnes normalspændingerne σ A for punkt A. Da punkt B befinder sig på neutralaksen, er der ingen normalspændinger i dette punkt. Normalspændingen bestemmes ud fra bøjningsmomentet M (Lign: 28), arealinertimomentet I x (Lign: 14) og y, som er afstanden fra akslernes ydre diameter ind til neutralaksen. [Gere & Goodno 2013] σ A = M y I x (Lign: 31) Til beregning af tværspændingerne τ 1 i punkt A og B anvendes torsionen T (Lign: 27), afstanden y og det polære arealinertimoment I p (Lign: 8): [Gere & Goodno 2013] τ 1 = T y I p (Lign: 32) Tværspændingerne τ 2 i punkt A, som fremkommer af belastningen P, er nul. Den følgende tværspændingsberegning anvender belastningen P og tværsnitsarealet A for akslerne, samt den indre radius r i og ydre radius r y. [Gere & Goodno 2013] τ 2 = 4P 3A (r y r y r i + r i r 2 2 ) (Lign: 33) y + r i I Tabel 4 ses de beregnede normal- og tværspændinger i punkt A og B for henholdsvis BB30 og GXP akslen. Alle normalspændinger i x-retningen er 0, og normalspændinger i y-retningen for punkt B er også 0. Tabel 4 viser normalspændingerne i x- og y-retningen i punkt A og B for BB30 og GXP. Ligeledes ses også tværspændingerne i punkt A og B for BB30 og GXP. Orientering σ x = 0 σ y = Lign: 31 τ xy = Lign: 32 Punkt A BB30 0 MPa 13,8 MPa 100,6 MPa GXP 0 MPa 43,3 MPa 280,4 MPa Orientering σ x = 0 σ y = 0 τ xy = Lign: 32 + Lign: 33 Punkt B BB30 0 MPa 0 MPa 114,7 MPa GXP 0 MPa 0 MPa 314,3 MPa Hovedspændingerne σ 1 max, σ 2min (Lign: 34 a & b) og de maksimale tværspændinger τ max (Lign: 35) bestemmes i punkt A og B: [Gere & Goodno 2013] Side 23 af 49

24 σ 1max = σ x + σ y 2 + ( σ x σ y 2 ) + τ 2 xy (Lign: 34 a) σ 2max = σ x + σ y 2 ( σ x σ y 2 ) + τ 2 xy (Lign: 34 b) τ max = ( σ x σ y 2 ) + τ 2 xy (Lign: 35) Von Mises kan nu bestemmes ved brug af formlen for 2D: [Norton, R. L. 2001] σ VM = σ σ 2 2 σ 1 σ τ2 max (Lign: 36) Resultaterne af von Mises udregningerne i punkt A og B ses i Tabel 5. Tabel 5 viser den beregnede von Mises i punkt A og B for BB30 og GXP Von Mises BB30 GXP Punkt A 247,2 MPa 689,3 MPa Punkt B 280,9 MPa 769,9 MPa For GXP akslen ses, at den maksimale spændingstilstand er i punkt B og er 769,9 MPa, hvor den maksimale spændingstilstand også er i punkt B for BB30 men kun 280,9 MPa. Denne analytiske beregning er dog ikke helt realistisk, eftersom von Mises for GXP akslen er over flydegrænsen for det valgte materiale, som er på 703 MPa (se afsnit 6.1, Tabel 6 for flydespænding) Sikkerhedsfaktor Sikkerhedsfaktoren n er en indikator for, hvor meget større en belastning må være, inden det lineært elastiske område overskrides og materialet begynder at flyde. For at undgå dette, designes geometrier og vælges materialet således, at det kan holde til en større belastning end det den vil blive udsat for under normale omstændigheder. Sikkerhedsfaktoren bestemmes ved: [Gere & Goodno 2013] n = Flydespænding von Mise (Lign: 37) Sikkerhedsfaktoren for de ovenstående von Mises udregninger bliver herved: n BB30 = 702 MPa 280,9 MPa = 2,49 (Lign: 38) n 702 MPa GXP = = 0,91 (Lign: 39) 769,9 MPa Side 24 af 49

25 For BB30 ses en sikkerhedsfaktor på 2,49, hvilket betyder, at BB30 akslen kan udsættes for 2,49 gange den allerede påførte last, før akslen begynder at flyde. For GXP ses en sikkerhedsfaktor på 0,91, hvilket indikerer, at akslen har overskredet flydegrænsen og begyndt at flyde. 5.3 Delkonklusion Ud fra ovenstående analyse af de to kranksæt opsummeres følgende: - Eksterne egenskaber o Begge kranksæt skal kunne holde til 1800 N o Begge kranksæt skal kunne holde til belastninger - Interne egenskaber o Vægtforskellen resulterer kun i en forskel på 0,2 Watt i det opstillede eksempel o BB30 akslen er udsat for en 74,5 % mindre vridningsvinkel end GXP o Den totale nedbøjning δ total for BB30 er 74,5 % mindre end GXP o Den oplagrede deformationsenergi U er 67 % mindre for BB30 end GXP o Von Mises i Punkt B for GXP er 769,9 MPa og kun 280,9MPa for BB30 o GXP har en sikkerhedsfaktor på 0,91, hvor BB30 har en på 2,49 Det generelle billede indikerer herved, at dimensionerne for BB30 kranksættet giver visse fordele i forhold til GXP kranksættet, da vridningen, nedbøjningen, den oplagrede deformationsenergi og von Mises er lavere for BB30 kranksættet. I analysen skal der dog tages højde for, at alle udregninger er lavet på antagelser om en simplifikation af akslerne og krankarmene, hvor der ikke er taget højde for deres reelle varierende geometri. Side 25 af 49

26 6 Metode I det følgende vil det eksperimentelle forsøg og FE simuleringen blive gennemgået, samt udviklingen af CAD modellerne. 6.1 Materiale For både GXP og BB30 ses det, at kranksættenes aksel og krankarme er af forskelligt materiale. På grund af de manglende materialespecifikationer har projektgruppen fået kvalificeret eksperthjælp, der har vurderet de anvendte materialer til at være følgende i Tabel 6, som er opslagstal i [Norton, R. L Appendix H]. Tabel 6 viser materialeegenskaberne for legeret stål der bruges til konstruktion af akslerne og for aluminium som krankarmene er lavet af. Aksler Krankarme Materiale 4130, Q&T F, legeret stål 6061, varmebehandlet, aluminiumslegering E-modul 206,8 GPa 70 GPa G-model 80,8 GPa 27 GPa Flydespænding 703 MPa 270 MPa Ultimativ flydespænding 814 MPa 310 MPa Possion s forhold 0,33 0, CAD Computer-Aided Design (CAD) anvendes inden for mange forskellige brancher. CAD er en række forskellige programmer, som anvendes til at designe, tegne og konstruere forskellige emner. CAD software er featurebaseret, hvor der anvendes sketches til at modellere med. Udover geometrisk modellering kan CADsystemerne håndtere informationer omkring materialer, dimensioner og tolerancer. [Sarcar, M.M.M. et al. 2008] SolidWorks SolidWorks er et fuldt udrustet CAD system. Programmet er baseret på solid modellering, som er en sammensætning af matematiske principper og computermodellering af tredimensionelle objekter. Anvendelse af solid modellering giver mulighed for at automatisere processer og numeriske beregninger, som udføres i add-in produktet SolidWorks Simulation. Side 26 af 49

27 6.2.2 Numerisk metode Finite element metoden (FEM) er en simuleringsmetode, som bruges til at løse fysiske problemstillinger. Metoden anvender integraler og differentielligninger til at beskrive CAD modellen i finite elements (FE). FE er små elementstrukturer forbundet i knuder, som danner et net på strukturens overflade og kaldes mesh. Præcisionen af FE analysen afhænger af, hvilken meshtæthed der anvendes. En højere tæthed vil tilsvarende øge antallet af ligninger som simuleringen skal løse, hvorved procestiden øges. På trods af at metoden kun bidrager med approksimative løsninger, er anvendelsen fordelagtig på grund af dens alsidighed og visualisering af problemstillinger. [Cook, Robert D. et al. 2002] 6.3 CAD udvikling I afsnittet redegøres for modelleringen af CAD-modellen og den anvendte meshtæthed, som bruges til simulering af modellerne Opmåling For at kunne lave en FE-model af kranksættene er det forsøgt at finde tekniske specifikationer om dimensioner og materiale, hvilket ikke er lykkedes. Kranksættenes dimensioner er derfor opmålt manuelt ved brug af en digital skydelære. For at måle godstykkelsen af BB30 akslen blev denne skåret op. Kranksættenes forskellighed i akseldiameter bevirker, at disse dimensioner er forskellige fra hinanden. Ved opmåling af krankarmene viste det sig, at højre og venstre krankarm for BB30 ikke var helt identiske. Forskellen er en lidt større udbøjning i z-planet for venstre krankarm i forhold til højre. Da projektets fokus er på krankakslen, negligeres denne forskel, og derved antages det, at begge krankarme har samme dimensioner Modellering Til modellering af kranksættene blev krankarm og aksel adskilt. Da krankarmenes geometri er relativt kompliceret, blev højde, bredde og tykkelse målt i relevante snit, hvor strukturen har maksimum og minimum og ændringer i z-planet. Der blev i alt valgt fem snit, som synes afgørende for krankarmens geometriske udformning. For at kunne modellere snittene blev der lavet fem planer med en afstand på hhv. 25 mm, 40 mm, 49 mm, 115 mm og 217,5 mm fra udgangsplanet (0 mm), hvilket førte til en inddeling af krankarmene i fem mindre sektioner, se Figur 6. For hvert plan blev der lavet en sketchs med tilhørende dimensioner og forskydning i z-planet for snittet. For at forbinde planerne blev funktionen Boundary Boss/Base brugt, der tilføjer materiale imellem sketches og skaber en solid feature. Herefter blev funktionen Fillet brugt for at afrunde kanter, så modellen tilnærmelsesvist lignede den fysiske model. Side 27 af 49

28 Figur 6 viser modelleringen af krankarmen set ovenfra. På Figuren ses det hvor henne på krankarmen der er blevet målt højde og brede samt måling af forskydning i z-retningen. Målende er blevet foretaget i hver ende af krankarmen og henholdsvis 25-, 40, 49- og 115 mm inde på krankarmen. Efterfølgende blev afstand og dimensioner til centrum af akslernes og pedalens monteringssted opmålt og tegnet på sideplanet af krankarmen. Eftersom akslerne for de to kranksæt har forskellige dimensioner i enderne, er monteringsstedet på krankarmene modelleret efter akslernes dimensioner. For at lave hul igennem krankarmen blev funktionen Extruded Cut brugt, og for at fremhæve geometrien omkring akslernes monteringssted blev Extruded Boss/Base brugt, ansku Figur 7. Figur 7 viser modelleringen af krankarmen set fra indersiden. På Figuren ses det hvor henne på krankarmen der er blevet målt højde og brede samt måling af forskydning i z-retningen. Målende er blevet foretaget i hver ende af krankarmen og henholdsvis 25-, 40, 49- og 115 mm inde på krankarmen. Akslerne blev ligesom krankarmene opmålt i forskellige snit, hvor geometrien ændrede sig. BB30 akslen er således modelleret som en prismatisk hul cylinder med en ydre diameter på 30 mm, en indre diameter på 24 mm og en længde på 122 mm, se Figur 8. Side 28 af 49

29 Figur 8 viser en teknisktegning af BB30 akslen set fra siden. Ved opmåling af GXP akslen viste det sig, at der er relativ stor variation i dimensioner og godstykkelsen. GXP-akslen er derfor modelleret som en hul cylinder med varierende dimensioner og godstykkelse, Figur 9. For at modellere disse varierende ændringer er akslen blevet opdelt i fire mindre sektioner. Hver sektion er modelleret som sin egen part og er bagefter Bonded i en assembly som én enkelt del. Figur 9 viser en tekniske tegning af GXP akslen set fra siden. Til sidst laves to assemblys, hvor krankarmsmodellerne sættes sammen med akslemodellen for GXP og BB30. Den færdige model for GXP kranksættet kan ses på Figur 10 og BB30 kranksættet på Figur 11. Side 29 af 49

30 Figur 6 viser den samlede model af GXP kranksættet. Figur 7 viser den samlede model af BB30 kranksættet. Side 30 af 49

31 6.3.3 Mesh konvergering Når FE simuleringen skal køres, vælges global meshtæthed. For at finde den mest optimale meshtæthed testes forskellige globale meshtætheder, som ses på Figur 12 og 13. Meshtætheden beskriver afstanden i mellem hvert knudepunkt for hvert element. For at kunne vurdere hvilken meshtæthed der skal anvendes til simulering af nedbøjningen, testes forskellige tætheder. Til dette bruges fire forskellige størrelser for de globale tetrahedrale elementer, som har målene; Grov 12,8 mm, Middel (default) 6,4 mm, Fin 3,2 mm og Meget fin 2 mm. Ved hver af de fire meshtætheder testes for lineær og kvadratisk opbygning, som kan ses på Figur 14. Figur 8 viser hvordan SolidWorks inddeler krankarmen hvis der anvendes et groft mesh. Figur 9 viser hvordan SolidWorks inddeler krankarmen hvis der anvendes et meget fint mesh. Side 31 af 49

32 Figur 10 viser forskellen på et lineært (venstre) og et kvadratisk (højre) mesh. I Tabel 7 og 8 ses den procentuelle forskel af mesttæthederne i forhold til den kvadratiske meget fine, for den lineære og kvadratiske opbygning. Tabellerne viser, at den lineære meshopbygning giver en større procentuel afvigelse i forhold til den kvadratiske opbygning. Herved fravælges den lineære opbygning, da disse giver et upræcist simuleringsresultat i forhold til de kvadratiske simuleringer. Ved sammenligning af de kvadratiske meshtætheder for de to kranksæt ses en forskel på 0,2 % i mellem de fine elementstørrelser. Det vurderes på baggrund af denne forskel, at den kvadratiske meget fine meshopbygning fremadrettet skal anvendes, for bedst mulig præcision i mellem de to simuleringer. Tabel 7 viser resultaterne af en nedbøjning for GXP alt efter hvilken type mesh og finhed der anvendes. GXP Global størrelse (mm) Nedbøjning (mm) % ift. kvadr. meget fin Lineær Grov 12,8 - - Mellem (default) 6,4-0, ,4 Fin 3,2-0,9324 6,9 Meget fin 2-0,9628 3,8 Kvadr. Grov 12,8 - - Mellem (default) 6,4-0,9829 1,8 Fin 3,2-0,9956 0,5 Meget fin 2-1,001 0,0 Side 32 af 49

33 Tabel 8 viser resultaterne af en nedbøjning for BB30 alt efter hvilken type mesh og finhed der anvendes. BB30 Global størrelse (mm) Nedbøjning (mm) % ift. kvadr. meget fin Lineær Grov 12,8-0, ,4 Mellem (default) 6,4-0, ,3 Fin 3,2-0,9196 4,1 Meget fin 2-0,9379 2,2 Kvadr. Grov 12,8-0,9441 1,5 Mellem (default) 6,4-0,9496 1,0 Fin 3,2-0,9555 0,3 Meget fin 2-0,9588 0, Dokumentation af FE simulering På Figur 15 ses hvordan FE simuleringen er opsat for at være den samme som i det eksperimentelle forsøg. I det eksperimentelle forsøg fik den højre krankarm en fast indspænding, hvilket i FE simuleringen er vist i den grønne ring. Her er featuren Fixed Geometry brugt, så højre krankarm får den samme faste indspænding. I de blå ringe er featuren Cylindrical Faces anvendt, hvilket giver den samme understøtning som i det eksperimentelle forsøg. Belastningen i FE simuleringen er sat i hullet, hvor pedalen normalt monteres. Side 33 af 49

34 Figur 11 viser hvor kranksættet er indspændt, lejernes understøtning og den påtrykte kraft P er placeret. Resultatet af krankarmens nedbøjning ved lasttilfældet på 1800 N kan anskues på Figur 16. Den illustrerede deformation er skaleret med en faktor 19,6. Et punkt svarende til 175 mm fra centrum af akslen vælges på krankarmen (gul prik), hvorefter nedbøjningen aflæses til at være hhv. 1,001 mm for GXP og 0,9588mm for BB30. Figur 12 viser nedbøjingen af krankarmen med en deformationsskala på 19,6. Side 34 af 49

35 Figur 17 viser den maksimale von Mises spænding (346,9 MPa) for FE simuleringen af BB30 kranksættet, hvilket svarer til Punkt B fra de analytiske beregninger. Samme punkt for GXP viste en von Mises på 769,9 MPa. Figur 13 viser de maksimale von Mises spændinger i punkt B. Figur 18 viser, hvordan den maksimale spændingstilstand ville være fordelt, hvis simuleringen af lejer ikke var taget med, i forhold til Figur 18, som er den rigtige FE simulering. Dette viser vigtigheden af at lave den rigtige understøtning til FE simuleringen. Figur 14 viser flytningen af de maksimale von Mises spændinger, hvis ikke der er nogen understøtning på akslen. Side 35 af 49

36 6.4 Eksperimentelt forsøg Inden det eksperimentelle forsøg kunne udføres, blev der indledningsvist fremstillet en understøtningsfikstur i jern til kranksættene, se Figur 19, CAD 1 og Appendiks G for tekniske tegninger. Fiksturet er tegnet i SolidWorks, og er blevet produceret på Aalborg Universitets Mekanik & Produktions værksted. Figur 19 viser hvordan kranksættet bliver fastspændt, inden det bliver udsat for en belastning på 1800 N. Fiksturen (Figur 20) er designet således, at understøtningen tilnærmelsesvist minder om den understøtning krankakslerne har i en krankboks, hvor de understøttes af lejerne. Akslerne placeres i en skål, hvor de hviler på to forhøjninger, som er 7 mm bredde, hvilket gengiver den understøtningen, som akslerne får i krankboksen [Problemsolverbike 2014]. For at kunne teste nedbøjningen i statisk tilstand er der i fiksturen lavet et gevind, hvori kranksættene kan fikseres. Fiksturen er lavet således, at den venstre krankarm vil blive belastet 175 mm ude på krankarmen, og den højre krankarm bliver fast indspændt. Ydermere spændes der to topstykker fast oven på akslerne, med otte skruer, for at reducere tipning af akslerne når rankarmen belastes. Fiksturet er designet således, at krankarmene skal monteres i samme retning. Rationalet for dette er at reducere størrelsen af fiksturet. Alle elementer på fiksturet er blevet boltet fast. Side 36 af 49

37 Figur20 viser en CAD tegning af hvordan fiksturen er opbygget Maskine Til selve forsøget anvendes en trækprøvemaskine (Zwick, model BZ100/L3S, Tyskland) til at undersøge nedbøjningen. Begge kranksæt blev spændt op i fiksturen, som forklaret ovenfor. Maskinhovedet blev centreret over enden af venstre krankarm, hvor lasten skulle påføres. Maskinen blev sat til at trykke med 1800N i 60 sekunder. Denne belastning kommer fra de tidligere nævnte pligtegenskaber for et kranksæt, beskrevet i DS-EN [Standard, Dansk 2005]. Idet maskinen startes, sker en aftegning af arbejdskurven på en tilkoblet computer med tilhørende maskinsoftware, TestXpert II Forsøgsprotokol 1. Først opsættes indstillingerne i computerprogrammet TestXpert II, der styrer trækprøvemaskinen. I indstillingerne bestemmes lasten, varigheden og hastigheden for trykhovedet. 2. En lang skrue fastgøres i trykhovedet og er den del, som skal trykke på krankarmen. 3. Højre pedalarm spændes fast til fiksturet. 4. Akslen fastspændes i fiksturet med en momentnøgle indstillet til 10Nm. Alle skruer gennemgås en ekstra gang da fastspændingen har stor indflydelse på nedbøjningen. 5. Start positionen af trækprøve indstilles. Før start foretages en preloading på 20 N inden yderligere belastning påtrykkes. 6. De 1800N påtrykkes. Når de 1800N er opnået, holdes trykket i et minut, inden trykhovedet automatisk vender tilbage til den indstillede startpositionen. 7. Efter hvert test løsnes alle skruer, så kranksættet kan vende tilbage til udgangspositionen. Springes dette trin over, vil nedbøjningen forøges gang til gang. 8. Proceduren gentages og resultaterne noteres. Side 37 af 49

38 7 Resultater I afsnittet præsenteres resultaterne fra de analytiske beregninger, FE simuleringen og det eksperimentelle forsøg Pligtegenskaber Den danske standard DS/EN [Standard, Dansk 2005] fremsætter, at et kranksæt minimum skal kunne holde til en belastning på 1800 N. Videre skal kranksættet kunne holde til cyklusser ved de 1800N. Begge disse pligtegenskaber er også gældende for projektets to kranksæt Vægt I de analytiske udregninger blev kranksættenes vægt først sammenlignet, i forhold til udført arbejde. Det opstillede eksempel viste, at den reducerede vægt for BB30 gav en arbejdsbesparelse på 0,2 Watt, Tabel 9. Tabel 9 viser forskellen i vægt og arbejde imellem GXP og BB30. GXP BB30 Forskel Procentforskel Vægt (Kg) 0,882 0,839 0,043 4,88 % Arbejde (Watt) 377,4 377,2 0,2 0,05 % Torsionsstivhed Efterfølgende blev torsionsstivheden undersøgt i form af den vridningsvinkel φ der opstår, når krankarmen belastes og udsætter akslerne for et drejningsmoment T. Resultatet af akslernes torsionsstivhed viste sig at være en forskel på 1,67, hvilket svarer til en procentforskel på 74,5 %, Tabel 10. Tabel 10 viser forskellen i vrid forårsaget af torsion imellem GXP og BB30. GXP BB30 Forskel Procentforskel Vridningsvinkel ( ) 2,24 0,57 1,67 74,5 % Nedbøjning Den totale nedbøjning δ total af krankarmene blev analytisk udregnet og FE simuleret for at have et sammenligningsgrundlag med det eksperimentelle forsøg. Til det eksperimentelle nedbøjningsforsøg blev der lavet fem test for hver af krankarmene, hvor arbejdskurverne kan ses på Graf 1. Nedbøjningen for hver test kan ses i Tabel 11. Side 38 af 49

39 Graf 15 viser sammenhæng imellem kraft (N) og nedbøjning (mm) under det eksperimentelle forsøg for BB30 og GXP. Kraften han af x-aksen og kraft op af y-aksen. Tabel 11 viser nedbøjningen i de fem eksperimentelle forsøg for henholdsvis GXP og BB30. GXP BB30-7,17-5,84-7,3-5,77 Nedbøjning (mm) -7,46-6,29-7,17-6,08-7,15-6,4 Ved at anskue Figur 20 og Tabel 11 ses, at der for hver af kranksættene er en spredning i nedbøjningen. Derfor er der testet for normalfordeling, hvilket viste, at dataet er normalfordelt for hver af krankarmene. Efterfølgende er gennemsnittet af nedbøjningen udregnet for at kunne sammenlignes med Side 39 af 49

40 håndberegningerne og FE simuleringen. Resultaterne for de analytiske udregninger, FE simuleringen og den gennemsnitlige nedbøjning kan ses i Tabel 12, hvor den procentuelle forskel i forhold til det eksperimentelle forsøg er vist. Tabel 12 viser nedbøjningen for den analytiske beregning, FE simuleringen og det eksperimentelle forsøg for BB30 og GXP. Der viser også en procentvis forskel imellem Analytisk og eksperimentel samt Fe simulering og eksperimentel. Nødbøjning (mm) Procentforskel ift. forsøg (%) Analytisk -6,836 6,1 GXP BB30 FE simulering -1, ,3 Forsøg (gennemsnit) -7,25 - Analytisk -1, ,0 FE simulering -0, ,2 Forsøg (gennemsnit) -6,076 - Tabel 13 viser, for de analytiske beregninger for GXP sammenlignet med BB30, at BB30 klarede sig 291,5 % bedre. FE simuleringen for de to kranksæt viser, at BB30 klarede sig 4,5 % bedre og at BB30 var 19,3 % bedre end GXP for det eksperimentelle forsøg. Tabel 13 viser forskellen i nedbøjning imellem GXP og BB30 for de tre forskellige tests, analytisk, Fe simulering og Forsøg. Nødbøjning (mm) Procentforskel (%) Analytisk FE simulering Forsøg (gennemsnit) GXP -6,836 BB30-1,746 GXP -1,001 BB30-0,958 GXP -7,25 BB30-6, ,5 4,5 19, Deformationsenergi For at sammenligne kranksættenes energispild U blev disse udregnet for hvert af kranksættene. Det ses, at energispildt er 5,7J større for GXP kranksættet i forhold til BB30 kranksættet, hvilket svarer til en forskel på 67 %, Tabel 14. Side 40 af 49

Deformation af stålbjælker

Deformation af stålbjælker Deformation af stålbjælker Af Jimmy Lauridsen Indhold 1 Nedbøjning af bjælker... 1 1.1 Elasticitetsmodulet... 2 1.2 Inertimomentet... 4 2 Formelsamling for typiske systemer... 8 1 Nedbøjning af bjælker

Læs mere

Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks E Trækforsøg BM7 1 E09

Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks E Trækforsøg BM7 1 E09 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks E Trækforsøg Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks E Trækforsøg... 3 E 1. Teori...

Læs mere

11/3/2002. Statik og bygningskonstruktion Program lektion Tøjninger og spændinger. Introduktion. Tøjninger og spændinger

11/3/2002. Statik og bygningskonstruktion Program lektion Tøjninger og spændinger. Introduktion. Tøjninger og spændinger Statik og bygningskonstruktion rogram lektion 9 8.30-9.15 Tøjninger og spændinger 9.15 9.30 ause 9.30 10.15 Spændinger i plan bjælke Deformationer i plan bjælke 10.15 10.45 ause 10.45 1.00 Opgaveregning

Læs mere

Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet

Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Aalborg Universitet Titel: Virkelighedens teori eller teoriens virkelighed? Tema: Analyse og design af bærende konstruktioner Synopsis: Projektperiode: B7 2. september

Læs mere

Eftervisning af bygningens stabilitet

Eftervisning af bygningens stabilitet Bilag A Eftervisning af bygningens stabilitet I det følgende afsnit eftervises, hvorvidt bygningens bærende konstruktioner har tilstrækkelig stabilitet til at optage de laster, der påvirker bygningen.

Læs mere

Løsning, Bygningskonstruktion og Arkitektur, opgave 6

Løsning, Bygningskonstruktion og Arkitektur, opgave 6 Løsning, Bygningskonstruktion og Arkitektur, opgave 6 For en excentrisk og tværbelastet søjle skal det vises, at normalkraften i søjlen er under den kritiske værdi mht. søjlevirkning og at momentet i søjlen

Læs mere

MURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC 01.10.06 DOKUMENTATION Side 1

MURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC 01.10.06 DOKUMENTATION Side 1 DOKUMENTATION Side 1 Beregning af murbuer Indledning. Dette notat beskriver den numeriske model til beregning af stik og skjulte buer. Indhold Forkortelser Definitioner Forudsætninger Beregningsforløb

Læs mere

Centralt belastede søjler med konstant tværsnit

Centralt belastede søjler med konstant tværsnit Centralt belastede søjler med konstant tværsnit Af Jimmy Lauridsen Indhold 1 Den kritiske bærevene... 1 1.1 Elasticitetsmodulet... 2 1.2 Inertimomentet... 4 1.3 Søjlelængde... 8 1 Den kritiske bæreevne

Læs mere

Betonkonstruktioner, 4 (Deformationsberegninger og søjler)

Betonkonstruktioner, 4 (Deformationsberegninger og søjler) Christian Frier Aalborg Universitet 006 Betonkonstruktioner, 4 (Deformationsberegninger og søjler) Deformationsberegning af bjælker - Urevnet tværsnit - Revnet tværsnit - Deformationsberegninger i praksis

Læs mere

Dæmpet harmonisk oscillator

Dæmpet harmonisk oscillator FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse Dæmpet harmonisk oscillator Hold E: Hold: D1 Jacob Christiansen Afleveringsdato: 4. april 003 Morten Olesen Andreas Lyder Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Formål...3

Læs mere

10.3 E-modul. Af Jens Ole Frederiksen og Gitte Normann Munch-Petersen. Betonhåndbogen, 10 Hærdnende og hærdnet beton

10.3 E-modul. Af Jens Ole Frederiksen og Gitte Normann Munch-Petersen. Betonhåndbogen, 10 Hærdnende og hærdnet beton 10.3 E-modul Af Jens Ole Frederiksen og Gitte Normann Munch-Petersen Forskellige materialer har forskellige E-moduler. Hvis man fx placerer 15 ton (svarende til 10 typiske mellemklassebiler) oven på en

Læs mere

Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings- og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks K Analytiske

Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings- og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks K Analytiske 18. december 2009 Spændings- og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks K Analytiske overslagsberegninger Appendiks K Analytiske overslagsberegninger... 3 K-1. Airy s spændingsfunktion

Læs mere

Beslaget er lavet som en simpel extrude, der har fået rundet hjørnerne og knækket, hvorefter der er ekstruderet 4 huller til fastgørelsesbolte.

Beslaget er lavet som en simpel extrude, der har fået rundet hjørnerne og knækket, hvorefter der er ekstruderet 4 huller til fastgørelsesbolte. Bilag - Tutorials Pro/Engineer og Pro/Mechanica er grundlæggende i stand til at udføre to typer finite element-analyse: strukturel og termisk. I denne tutorial vil der blive gennemgået, hvordan man benytter

Læs mere

Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985

Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985 Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985 Opgaverne er udregnet i samarbejde med Thomas Salling, s110579 og Mikkel Seibæk, s112987. 11/12-2012

Læs mere

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING. Input Betondæk Her angives tykkelsen på dækket samt den aktuelle karakteristiske trykstyrke.

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING. Input Betondæk Her angives tykkelsen på dækket samt den aktuelle karakteristiske trykstyrke. pdc/jnk/sol TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING Indledning Teknologisk Institut, byggeri har for Plastindustrien i Danmark udført dette projekt vedrørende bestemmelse af bæreevne for tunge

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Udarbejdet af maskiningeniørstuderende Marianne Gudnor

Udarbejdet af maskiningeniørstuderende Marianne Gudnor aug. 008 Udarbejdet af maskiningeniørstuderende Indholdsfortegnelse: Indledning...3 Formål...3 Manuelle beregninger...6 The radius of circular area of contact, a...6 The maximum compressive stress, σ...7

Læs mere

Styring af revner i beton. Bent Feddersen, Rambøll

Styring af revner i beton. Bent Feddersen, Rambøll Styring af revner i beton Bent Feddersen, Rambøll 1 Årsag Statisk betingede revner dannes pga. ydre last og/eller tvangsdeformationer. Eksempler : Trækkræfter fra ydre last (fx bøjning, forskydning, vridning

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER pdc/sol TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER Indledning Teknologisk Institut, byggeri har for EPS sektionen under Plastindustrien udført dette projekt vedrørende anvendelse af trykfast

Læs mere

STÅLSØJLER Mads Bech Olesen

STÅLSØJLER Mads Bech Olesen STÅLSØJLER Mads Bech Olesen 30.03.5 Centralt belastede søjler Ved aksial trykbelastning af et slankt konstruktionselement er der en tendens til at elementet slår ud til siden. Denne form for instabilitet

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Bilag A. Tegninger af vægge V1-V5 og NØ

Bilag A. Tegninger af vægge V1-V5 og NØ SCC-Konsortiet P33 Formfyldning i DR Byen Bilag A Tegninger af vægge V1-V5 og NØ SCC-Konsortiet P33 Formfyldning i DR Byen Bilag B Støbeforløb for V1-V5 og NØ Figur B-1 viser et eksempel på temperaturudviklingen

Læs mere

Begyndermanual og introduktion til

Begyndermanual og introduktion til Begyndermanual og introduktion til Design 3D parametrisk CAD www.nettocad.dk mail@a-engineering.dk Tlf. 61337807 1 Part Workspace Zoom værktøjer De gule ikoner viser dine konstruktioner fra forskellige

Læs mere

A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge

A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge Anvendelsesområde Denne håndbog gælder både for A2.05win og A2.06win. Med A2.05win beregner man kun system af enkelte separate vægge. Man får som resultat horisontalkraftsfordelingen

Læs mere

Resonans 'modes' på en streng

Resonans 'modes' på en streng Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.

Læs mere

Lodret belastet muret væg efter EC6

Lodret belastet muret væg efter EC6 Notat Lodret belastet muret væg efter EC6 EC6 er den europæiske murværksnorm også benævnt DS/EN 1996-1-1:006 Programmodulet "Lodret belastet muret væg efter EC6" kan beregne en bærende væg som enten kan

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks F Strain gauges BM7 1 E09

Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks F Strain gauges BM7 1 E09 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks F Strain gauges Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks F Strain gauges... 3 F

Læs mere

Beregningsopgave om bærende konstruktioner

Beregningsopgave om bærende konstruktioner OPGAVEEKSEMPEL Indledning: Beregningsopgave om bærende konstruktioner Et mindre advokatfirma, Juhl & Partner, ønsker at gennemføre ændringer i de bærende konstruktioner i forbindelse med indretningen af

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

Dimensionering af statisk belastede svejste samlinger efter EUROCODE No. 9

Dimensionering af statisk belastede svejste samlinger efter EUROCODE No. 9 Dokument: SASAK-RAP-DE-AKS-FI-0003-01 Dimensionering af statisk belastede svejste samlinger efter EUROCODE No. 9 SASAK Projekt 1 - Designregler Lars Tofte Johansen FORCE Instituttet, september 2001 Dimensionering

Læs mere

Måling af turbulent strømning

Måling af turbulent strømning Måling af turbulent strømning Formål Formålet med at måle hastighedsprofiler og fluktuationer i en turbulent strømning er at opnå et tilstrækkeligt kalibreringsgrundlag til modellering af turbulent strømning

Læs mere

FORSØG MED 37 BETONELEMENTER

FORSØG MED 37 BETONELEMENTER FORSØG MED 37 BETONELEMENTER - CENTRALT, EXCENTRISK OG TVÆRBELASTEDE ELEMENTER SAMT TILHØRENDE TRYKCYLINDRE, BØJETRÆKEMNER OG ARMERINGSSTÆNGER Peter Ellegaard November Laboratoriet for Bærende Konstruktioner

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Katalog: Magnetfelt ved højspændingskabler og -luftledninger

Katalog: Magnetfelt ved højspændingskabler og -luftledninger Katalog: Magnetfelt ved højspændingskabler og -luftledninger 3. udgave. April 213 I denne udgave er fx tilføjet kabelsystemer, som er anvendt i nyere forbindelser samt en mere detaljeret beskrivelse af

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

NOTAT BEREGNING AF JORDTRYK VHA EC6DESIGN.COM. ÆKVIVALENT ENSFORDELT LAST

NOTAT BEREGNING AF JORDTRYK VHA EC6DESIGN.COM. ÆKVIVALENT ENSFORDELT LAST pdc/sol NOTAT BEREGNING AF JORDTRYK VHA EC6DESIGN.COM. ÆKVIVALENT ENSFORDELT LAST Teknologiparken Kongsvang Allé 29 8000 Aarhus C 72 20 20 00 info@teknologisk.dk www.teknologisk.dk Indledning I dette notat

Læs mere

Schöck Isokorb type KS

Schöck Isokorb type KS Schöck Isokorb type 20 1VV 1 Schöck Isokorb type Indhold Side Tilslutningsskitser 13-135 Dimensioner 136-137 Bæreevnetabel 138 Bemærkninger 139 Beregningseksempel/bemærkninger 10 Konstruktionsovervejelser:

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Jordskælvs svingninger i bygninger.

Jordskælvs svingninger i bygninger. Jordsælvssvingninger side 1 Institut for Matemati, DTU: Gymnasieopgave Jordsælvs svingninger i bygninger. Jordsælv. Figur 1. Forlaring på de tetonise bevægelser. Jordsælv udløses når de tetonise plader

Læs mere

SizeWare. Bruger Manual. JVL Industri Elektronik A/S. Skive. Tandrem. Spindel. JVL Industri Elektronik A/S - Bruger Manual - SizeWare LB0041-02GB

SizeWare. Bruger Manual. JVL Industri Elektronik A/S. Skive. Tandrem. Spindel. JVL Industri Elektronik A/S - Bruger Manual - SizeWare LB0041-02GB SizeWare Bruger Manual ä Skive ä Tandrem ä Spindel JVL Industri Elektronik A/S LB0041-02GB Revised 23-3-99 1 2 Copyright 1997, JVL Industri Elektronik A/S. Der tages forbehold for ændringer af indholdet

Læs mere

Kom godt i gang Bestem styrkeparametrene for murværket. Faneblad: Murværk Gem, Beregn Gem

Kom godt i gang Bestem styrkeparametrene for murværket. Faneblad: Murværk Gem, Beregn Gem Kom godt i gang Bestem styrkeparametrene for murværket. Faneblad: Murværk Deklarerede styrkeparametre: Enkelte producenter har deklareret styrkeparametre for bestemte kombinationer af sten og mørtel. Disse

Læs mere

Redegørelse for den statiske dokumentation Nedrivning af bærende væg - Lysbrovej 13

Redegørelse for den statiske dokumentation Nedrivning af bærende væg - Lysbrovej 13 Redegørelse for den statiske dokumentation Nedrivning af bærende væg - Lysbrovej 13 Dato: 22. Januar 2015 Byggepladsens adresse: Lysbrovej 13 Matr. nr. 6af AB Clausen A/S STATISK DUMENTATION Adresse: Lysbrovej

Læs mere

Betonkonstruktioner, 5 (Jernbetonplader)

Betonkonstruktioner, 5 (Jernbetonplader) Christian Frier Aalborg Universitet 006 Betonkonstrktioner, 5 (Jernbetonplader) Virkemåde / dformninger / nderstøtninger Enkeltspændte plader Dobbeltspændte plader Deformationsberegninger 1 Christian Frier

Læs mere

Forbedring af efterføderteknologier til energibesparelse i jernstøberier

Forbedring af efterføderteknologier til energibesparelse i jernstøberier Slutrapport for projekt: Forbedring af efterføderteknologier til energibesparelse i jernstøberier Niels Skat Tiedje DTU Mekanik 29. august 2014 Indhold Indhold... 2 Introduktion og mål... 3 Del 1: anvendelse

Læs mere

Proces Styring STF-1 til BalTec Radial Nittemaskine med RC 20 STYRING

Proces Styring STF-1 til BalTec Radial Nittemaskine med RC 20 STYRING [Skriv tekst] [Skriv tekst] Proces Styring STF-1 til BalTec Radial Nittemaskine med RC 20 STYRING Brugsanvisning Introduktion Styringen og overvågningen af processer med henblik på kvalitetssikring er

Læs mere

Dimensionering af samling

Dimensionering af samling Bilag A Dimensionering af samling I det efterfølgende afsnit redegøres for dimensioneringen af en lodret støbeskelssamling mellem to betonelementer i tværvæggen. På nedenstående gur ses, hvorledes tværvæggene

Læs mere

Titel: Synopsis: Tema: Projektperiode: Projektgruppe: Deltagere: Vejleder: Oplagstal: Sidetal: Appendiks antal: Afsluttet den

Titel: Synopsis: Tema: Projektperiode: Projektgruppe: Deltagere: Vejleder: Oplagstal: Sidetal: Appendiks antal: Afsluttet den Det Sundhedsvidenskabelige fakultet Sports Science Fredrik Bajers Vej 7 9220 Aalborg Telefon 99 40 99 40 Fax 98 15 40 08 http://hst.aau.dk Titel: Geommetetrisk optimering af et mountainbikestyr Tema: Interplay

Læs mere

6. TEST betyder; ro 2000 meter så hurtigt som muligt, for at måle dine forbedringer.

6. TEST betyder; ro 2000 meter så hurtigt som muligt, for at måle dine forbedringer. Brug Pace Guiden for at få det bedste ud af træningsprogrammer i de forskellige træningsområder. Find din aktuelle 2000 meter tid i venstre kolonne, se på tværs for at finde din Pace i hvert område. Når

Læs mere

Introduktion Gripit GI1319 Storyboard Detaljering

Introduktion Gripit GI1319 Storyboard Detaljering Produktrapport 7 8 1 16 Introduktion Gripit GI1319 Storyboard Detaljering Asbjørn Maigaard Axelsen Hans Toft Hornemann Ditte Maria Buus Nielsen Betina Røge Jensen Terkel Skou Steffensen 4 Projekttitel

Læs mere

K-522. Betjeningsvejledning

K-522. Betjeningsvejledning K-522. Betjeningsvejledning 1 Beskrivelse Maskinen er specialudviklet til afbalancering af motorcykelhjul. I modsætning til en traditionel afbalanceringsmaskine, har K-22 en fast aksel, hvor det opspændte

Læs mere

Bjælkeoptimering. Opgave #1. Afleveret: 2005.10.03 Version: 2 Revideret: 2005.11.07. 11968 Optimering, ressourcer og miljø. Anders Løvschal, s022365

Bjælkeoptimering. Opgave #1. Afleveret: 2005.10.03 Version: 2 Revideret: 2005.11.07. 11968 Optimering, ressourcer og miljø. Anders Løvschal, s022365 Bjælkeoptimering Opgave # Titel: Bjælkeoptimering Afleveret: 005.0.0 Version: Revideret: 005..07 DTU-kursus: Underviser: Studerende: 968 Optimering, ressourcer og miljø Niels-Jørgen Aagaard Teddy Olsen,

Læs mere

DTU Campus Service DTU - BYGHERRERÅDGIVNING IKT Beskrivelse af DTU LOK koordinatsystemet. Den oprindelige definition af DTU-LOK er desværre gået tabt.

DTU Campus Service DTU - BYGHERRERÅDGIVNING IKT Beskrivelse af DTU LOK koordinatsystemet. Den oprindelige definition af DTU-LOK er desværre gået tabt. Notat DTU Campus Service DTU - BYGHERRERÅDGIVNING IKT Beskrivelse af DTU LOK koordinatsystemet 17. februar 2015 Projekt nr. 210914 Dokument nr. 1212704515 Version 5 Udarbejdet af MMKS 1 INDLEDNING Da DTU

Læs mere

Bestemmelse af kroppens fysiske tilstand

Bestemmelse af kroppens fysiske tilstand Bestemmelse af kroppens fysiske tilstand Forsøg udført af Nicolaj Seistrup, Christian Starcke, Kim, mark og Henrik Breddam Rapport skrevet af Henrik Breddam den 2006-10-25 Rapport længde 7 sider Side 1

Læs mere

HTX, RTG. Rumlige Figurer. Matematik og programmering

HTX, RTG. Rumlige Figurer. Matematik og programmering HTX, RTG Rumlige Figurer Matematik og programmering Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G. Bjarnason Morten Bo Kofoed Nielsen & Michael Jokil 10-10-2011 In this assignment we have been working with

Læs mere

Dobbeltspændte plader Øvreværdiløsning Brudlinieteori

Dobbeltspændte plader Øvreværdiløsning Brudlinieteori Dobbeltspændte plader Øvreværdiløsning Brudlinieteori Per Goltermann 1 Lektionens indhold 1. Hvad er en øvreværdiløsning? 2. Bjælker og enkeltspændte dæk eller plader 3. Bjælkers bæreevne beregnet med

Læs mere

Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold.

Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold. Formål Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold. Teori Et batteri opfører sig som en model bestående af en ideel spændingskilde og en indre

Læs mere

Designguide for bestemmelse af russervinduers lydisolation

Designguide for bestemmelse af russervinduers lydisolation Designguide for bestemmelse af russervinduers lydisolation Rapport udarbejdet af Lars S. Søndergaard Henrik S. Olesen DELTA DELTA Venlighedsvej 4 2970 Hørsholm Danmark Tlf. +45 72 19 40 00 Fax +45 72 19

Læs mere

210/HR21. Servicemanual til kæde. .com. Niftylift Limited Fingle Drive Stonebridge Milton Keynes MK13 0ER England. i n f o @ n i f t y l i f t.

210/HR21. Servicemanual til kæde. .com. Niftylift Limited Fingle Drive Stonebridge Milton Keynes MK13 0ER England. i n f o @ n i f t y l i f t. 210/HR21 Servicemanual til kæde i n f o @ n i f t y l i f t. c o m.com M50286/02 Niftylift Limited Fingle Drive Stonebridge Milton Keynes MK13 0ER England www.niftylift.com e-mail: info@niftylift.com Tel:

Læs mere

Brugermanual. HAJO pladeløfter SCC050 SCC075 SCC150 SCC300 SCC600

Brugermanual. HAJO pladeløfter SCC050 SCC075 SCC150 SCC300 SCC600 Brugermanual HAJO pladeløfter SCC050 SCC075 SCC150 SCC300 SCC600 Instruktion i korrekt brug af HAJO pladeløfter. Opbevar denne manual let tilgængelig for brugeren. Det er vigtigt at brugeren forstår advarslerne

Læs mere

Implementering af Eurocode 2 i Danmark

Implementering af Eurocode 2 i Danmark Implementering af Eurocode 2 i Danmark Bjarne Chr. Jensen ingeniørdocent, lic. techn. Syddansk Universitet Eurocode 2: Betonkonstruktioner Del 1-1: 1 1: Generelle regler samt regler for bygningskonstruktioner

Læs mere

C 08 Bindende norm Side 1 af 6. Kobling

C 08 Bindende norm Side 1 af 6. Kobling Bindende norm Side 1 af 6 Denne standard gælder kun for materiel, der også i virkeligheden er udstyret med puffere. Denne standard skal ses i sammenhæng med standard C 07 Puffere og standard B 09 Afkoblingsrampe

Læs mere

Aalborg Universitet Esbjerg Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Kandidatuddannelsen 1. semester BM-sektoren

Aalborg Universitet Esbjerg Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Kandidatuddannelsen 1. semester BM-sektoren BM7-1-E09 Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Kandidatuddannelsen 1. semester BM-sektoren Tema: Titel: Projektgruppe: Gruppemedlemmer: Vejleder: Analyse af bærende konstruktioner BM7-1-E09 Christian

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

RPM-K. Gældende fra: 25/5/2013

RPM-K. Gældende fra: 25/5/2013 RPM-K Gældende fra: 25/5/2013 Volumenstrøms regulator RPM-K I. INDHOLD Nærværende tekniske specifikationer dækker flere modeller og størrelser af volumenstrøms regulatorer (herefter: regulatorer) under

Læs mere

Dansk Beton, Letbetongruppen - BIH

Dansk Beton, Letbetongruppen - BIH Dansk Beton, Letbetongruppen - BIH Notat om udtræksstrker og beregning af samlinger imellem vægelementer Sag BIH, Samlinger J.nr. GC2007_BIH_R_002B Udg. B Dato 25 oktober 2008 GOLTERMANN CONSULT Indholdsfortegnelse

Læs mere

Kræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter.

Kræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. Kræfter og Energi Jacob Nielsen 1 Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. kraften i x-aksens retning hænger sammen med den

Læs mere

Referencelaboratoriet for måling af emissioner til luften

Referencelaboratoriet for måling af emissioner til luften Referencelaboratoriet for måling af emissioner til luften Rapport nr.: 77 Titel Hvordan skal forekomsten af outliers på lugtmålinger vurderes? Undertitel - Forfatter(e) Arne Oxbøl Arbejdet udført, år 2015

Læs mere

GSY KOMPOSITBJÆLKE PRODUKTBLAD KONSTRUKTIONSFRIHED TIL KOMPLEKST BYGGERI

GSY KOMPOSITBJÆLKE PRODUKTBLAD KONSTRUKTIONSFRIHED TIL KOMPLEKST BYGGERI GSY KOMPOSITBJÆLKE PRODUKTBLAD KONSTRUKTIONSFRIHED TIL KOMPLEKST BYGGERI GIVE STÅLSPÆR A/S GSY BJÆLKEN 1 GSY BJÆLKEN 3 2 TEKNISK DATA 4 2.1 BÆREEVNE 4 2.2 KOMFORTFORHOLD 9 2.3 BRAND......................................

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Test af tryk under dæk RAPPORT. Opmåling af kontaktfladeareal under dæk og beregning af specifikt tryk i kontaktfladearealet

Test af tryk under dæk RAPPORT. Opmåling af kontaktfladeareal under dæk og beregning af specifikt tryk i kontaktfladearealet Transportudvalget 2013-14 TRU Alm.del Bilag 358 Offentligt Test af tryk under dæk Opmåling af kontaktfladeareal under dæk og beregning af specifikt tryk i kontaktfladearealet RAPPORT AF Jørgen Pedersen

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. Mandag den 15. december 2014 kl. 9.00-14.00. hhx143-mat/a-15122014

Matematik A. Højere handelseksamen. Mandag den 15. december 2014 kl. 9.00-14.00. hhx143-mat/a-15122014 Matematik A Højere handelseksamen hh143-mat/a-151014 Mandag den 15. december 014 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt

Læs mere

DGF møde, 28.11.2013 i Odense DS 1537 Jordankre Prøvning. Disposition

DGF møde, 28.11.2013 i Odense DS 1537 Jordankre Prøvning. Disposition DGF møde, 28.11.2013 i Odense DS 1537 Jordankre Prøvning Disposition Udførelse af jordankre: DS/EN 1537:2013 (indført 29/7 2013... ikke længere ny) Scope Bond type and compression type anchors Formål med

Læs mere

Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål.

Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. Labøvelse 2, fysik 2 Uge 47, Kalle, Max og Henriette Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. 1. Vi har to forskellige størrelser: a: en skive

Læs mere

Betonkonstruktioner, 1 (Formgivning af trykpåvirkede betonkonstruktioner) Hvad er beton?, kemiske og mekaniske egenskaber

Betonkonstruktioner, 1 (Formgivning af trykpåvirkede betonkonstruktioner) Hvad er beton?, kemiske og mekaniske egenskaber Betonkonstruktioner, 1 (Formgivning af trykpåvirkede betonkonstruktioner) Hvad er beton?, kemiske og mekaniske egenskaber Materialeparametre ved dimensionering Lidt historie Jernbeton (kort introduktion)

Læs mere

Bygningskonstruktion og arkitektur

Bygningskonstruktion og arkitektur Bygningskonstruktion og arkitektur Program lektion 1 8.30-9.15 Rep. Partialkoefficientmetoden, Sikkerhedsklasser. Laster og lastkombinationer. Stålmateriale. 9.15 9.30 Pause 9.30 10.15 Tværsnitsklasser.

Læs mere

Theory Danish (Denmark)

Theory Danish (Denmark) Q1-1 To mekanikopgaver (10 points) Læs venligst den generelle vejledning i en anden konvolut inden du går i gang. Del A. Den skjulte metalskive (3.5 points) Vi betragter et sammensat legeme bestående af

Læs mere

Matematik A og Informationsteknologi B

Matematik A og Informationsteknologi B Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 6. december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

HÅNDTERING AF RISIKOFAKTORER FOR SYGDOM Medicinforbrug og selvvurderet helbred

HÅNDTERING AF RISIKOFAKTORER FOR SYGDOM Medicinforbrug og selvvurderet helbred HÅNDTERING AF RISIKOFAKTORER FOR SYGDOM Medicinforbrug og selvvurderet helbred Kandidatuddannelsen i Folkesundhedsvidenskab Aalborg Universitet 1. Semester projekt Gruppe nummer: 755 Vejleder: Henrik Bøggild

Læs mere

Matematik B. Højere Teknisk Eksamen. Projektoplæg

Matematik B. Højere Teknisk Eksamen. Projektoplæg Matematik B Højere Teknisk Eksamen Projektoplæg htx113-mat/b-11011 Udleveres mandag den 1. december 011 Side 1 af 10 sider Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Gokartkørsel. Projektbeskrivelsen

Læs mere

Den todimensionale normalfordeling

Den todimensionale normalfordeling Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives

Læs mere

Brugermanual for Reck MOTOmed viva1

Brugermanual for Reck MOTOmed viva1 1. Generel information 2. Indstigning og sikring af ben 3. Betjeningsguide 4. Ben indstigningshjælp 5. Symmetritræning 6. Start/stop for bentræner 7. Hastighed 8. Motor styrke 9. Aktiv tilstand 10. Træningsperiode

Læs mere

Sag nr.: 12-0600. Matrikel nr.: Udført af: Renovering 2013-02-15

Sag nr.: 12-0600. Matrikel nr.: Udført af: Renovering 2013-02-15 STATISKE BEREGNINGER R RENOVERING AF SVALEGANG Maglegårds Allé 65 - Buddinge Sag nr.: Matrikel nr.: Udført af: 12-0600 2d Buddinge Jesper Sørensen : JSO Kontrolleret af: Finn Nielsen : FNI Renovering 2013-02-15

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Horisontalbelastet pæl

Horisontalbelastet pæl Horisontalbelastet pæl Anvendelsesområde Programmet beregner bæreevnen for enkeltpæle i lagdelt jord. Både vertikal og horisontal belastning af pælen er tilladt. Desuden kan en eventuel overbygnings stivhed

Læs mere

Vejledning til LKdaekW.exe 1. Vejledning til programmet LKdaekW.exe Kristian Hertz

Vejledning til LKdaekW.exe 1. Vejledning til programmet LKdaekW.exe Kristian Hertz Vejledning til LKdaekW.exe 1 Vejledning til programmet LKdaekW.exe Kristian Hertz Vejledning til LKdaekW.exe 2 Ansvar Programmet anvendes helt på eget ansvar, og hverken programmør eller distributør kan

Læs mere

DS/EN 15512 DK NA:2011

DS/EN 15512 DK NA:2011 DS/EN 15512 DK NA:2011 Nationalt anneks til Stationære opbevaringssystemer af stål Justerbare pallereolsystemer Principper for dimensionering. Forord Dette nationale anneks (NA) er det første danske NA

Læs mere

Murprojekteringsrapport

Murprojekteringsrapport Side 1 af 6 Dato: Specifikke forudsætninger Væggen er udført af: Murværk Væggens (regningsmæssige) dimensioner: Længde = 6,000 m Højde = 2,800 m Tykkelse = 108 mm Understøtningsforhold og evt. randmomenter

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk mekanik 2 - ny og gammel ordning Skriftlig eksamen 25. januar 2008 Tillae hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Konstruktion IIIb, gang 13 (Jernbetonplader)

Konstruktion IIIb, gang 13 (Jernbetonplader) Christian Frier Aalborg Universitet 003 Konstrktion IIIb, gang 13 (Jernbetonplader) Virkemåde / dformninger / nderstøtninger Overslagsregler fra Teknisk Ståbi Enkeltspændte plader Dobbeltspændte plader

Læs mere

Bygningskonstruktion og arkitektur

Bygningskonstruktion og arkitektur Bygningskonstruktion og arkitektur Program lektion 9 8.30-9.15 Bæreevnebestemmelse af centralt, ekscentrisk og tværbelastet stålsøjle. 9.15 9.30 Pause 9.30 10.15 Bæreevnebestemmelse af centralt, ekscentrisk

Læs mere

Hvorfor kører Michael Rasmussen så hurtigt op ad bakke? Og hvorfor vinder Tom Boonen spurterne?

Hvorfor kører Michael Rasmussen så hurtigt op ad bakke? Og hvorfor vinder Tom Boonen spurterne? Hvorfor kører Michael Rasmussen så hurtigt op ad bakke? Og hvorfor vinder Tom Boonen spurterne? - en fortælling om potensfunktioner 133 Af Seniorforsker Ken H. Andersen, DTU Aqua Tour de France søndag

Læs mere

Betonkonstruktioner, 3 (Dimensionering af bjælker)

Betonkonstruktioner, 3 (Dimensionering af bjælker) Betonkonstruktioner, 3 (Dimensionering af bjælker) Bøjningsdimensionering af bjælker - Statisk bestemte bjælker - Forankrings og stødlængder - Forankring af endearmering - Statisk ubestemte bjælker Forskydningsdimensionering

Læs mere

KRYDSBOR. Procedure for måling af indbankningslængden ses i afsnittet Praktisk anvendelse. Forsøgsresultater er vedlagt i bilag 1.

KRYDSBOR. Procedure for måling af indbankningslængden ses i afsnittet Praktisk anvendelse. Forsøgsresultater er vedlagt i bilag 1. pdc/sol KRYDSBOR Indledning I dette afsnit beskrives udviklingen af et enkelt værktøj til bestemmelse af estimerede værdier for mørtlens trykstyrke. Værktøjet er et krydsbor, som er inspireret af et vingebor,

Læs mere

Vridning hvælving og kipning. april 2014, LC

Vridning hvælving og kipning. april 2014, LC Vridning hvælving og kipning april, LC L B L P B Indhold Hvælvingsinertimoment.. Teoretisk udledning for et U-profil.. Taelværdier.3 Eksempel med et H-profil.. Eksempel med et Z-profil. Fri vridning. Massive

Læs mere

Hastighedsprofiler og forskydningsspænding

Hastighedsprofiler og forskydningsspænding Hastighedsprofiler og forskydningsspænding Formål Formålet med de gennemførte forsøg er at anvende og sammenligne 3 metoder til bestemmelse af bndforskydningsspændingen i strømningsrenden. Desden er formålet,

Læs mere