1. IDÉHISTORISK PROLOG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "1. IDÉHISTORISK PROLOG"

Transkript

1 1. IDÉHISTORISK PROLOG JE PENSE DONC JE SUIS! RENÉ DESCARTES ( ) I dette indledende kapitel skal vi stifte bekendtskab med nogle centrale videnskabsteoretiske og idéhistoriske emner, for derved at få et godt indblik i matematikkens metode og dens filosofiske og kulturelle betydning. Ligeledes er det også af væsentlig betydning at opnå kendskab til nogle af de mest markante matematikere, som har skabt de vidtrækkende resultater, der har givet matematikken sin store styrke både som selvstændig videnskab og som anvendt forskningsområde i samspil med erfarings- og samfundsvidenskaber som fx fysik og økonomi, og derfor er der inddraget en del biografiske stof i fremstillingen. For yderligere at perspektivere den videnskabelige tankegang er der bragt nogle indlæg, som er skrevet af matematikere, fysikere eller filosoffer Den hypotetisk-deduktive metode Matematikken indtager en højst bemærkelsesværdig stilling, vel nærmest en særstilling, inden for videnskabsteorien. Ingen anden videnskab har en opbygning og en metode som matematikken. Matematik er derfor en videnskab helt for sig selv. I modsætning til fx naturvidenskaberne og samfundsvidenskaberne, så bygger matematikken ikke på iagttagelser, erfaringer eller massevis af empiriske data. Matematikken eksisterer derfor helt uafhængigt af den fysiske verden og samfundet og er således en filosofisk videnskab, hvis mål det er at opstille konsistente (dvs. logisk modsigelsesfrie) teorier, som udelukkende omhandler abstrakte begreber udtrykt i klare sætninger. Disse matematiske sætninger bevises ved brug af en række logiske slutningsregler på grundlag af nogle få selvindlysende påstande, som kaldes aksiomer. Naturvidenskaberne, altså fysik, kemi, biologi, geologi osv., har som målsætning at opstille teorier, der i reglen udtrykkes i matematiske termer som såkaldte naturlove, om forskellige lovmæssigheder i naturen, således at disse teorier er i overensstemmelse med de mange iagttagelser og målinger,

2 som har måttet gennemføres, før teorierne blev opstillet. Man siger meget beskrivende, at teorierne, som vi skal huske er menneskeskabte, skal kunne redde fænomenerne (latin: salvare apparentias), hvilket betyder, at de skal kunne give en klar og udtømmende beskrivelse af hele det bagvedliggende erfaringsmateriale. Desuden skal teorierne kunne benyttes til at forudsige udfaldet af endnu ikke indtrufne begivenheder. På denne måde opstiller man en matematisk inspireret model af virkeligheden, således at vi kan beskrive fænomenerne på en for os forståelig og i princippet enkel og overskuelig måde. De naturvidenskabelige teorier er derfor et udtryk for systematisk menneskelig erkendelse af almengyldige lovmæssigheder i den fysiske verden. En naturvidenskabelig teori er altså ikke en forklaring eller et svar på et spørgsmål, der begynder med ordet hvorfor, men derimod en model af den fysiske virkelighed, hvor der besvares spørgsmål, som begynder med ordet hvordan. Naturvidenskaberne, som vi opfatter dem i moderne videnskabsteoretisk forstand, bygger på den såkaldte hypotetisk-deduktive metode, som i renaissancen blev introduceret af den engelske filosof Francis Bacon ( ), den danske astronom og naturforsker Tycho Brahe ( ), den tyske astronom og matematiker Johannes Kepler ( ) og den italienske fysiker Galileo Galilei ( ). Denne yderst nyttige metode blev i løbet af det 17. århundrede videreudviklet og debatteret i forskellige sammenhænge af adskillige filosoffer og naturvidenskabsmænd, fx af den franske filosof og matematiker René Descartes ( ) og af den engelske filosof John Locke ( ). Deres værker Discours de la Méthode og La Géometrie fra og An Essay Concerning Human Understandig fra 1690 blev banebrydende for videnskabsteori og erkendelsesteori. Set i relation til specielt fysik og astronomi fik den hypotetisk-deduktive metode sin 1 Da Descartes gik i en jesuitterskole i byen La Flèche fra 1607 til 1614, kom han til at holde særdeles meget af matematikken, hvilket han har udtrykt således: Je me plaisais surtout aux mathématiques, à cause de la certitude et de l évidence de leurs raisons. I værket Discours de la Méthode formuledede Descartes følgende regler for den videnskabelige metode: Ne recevoir aucune chose pour vraie tant que son esprit ne l aura clairement et distinctement assimilée préalablement. Diviser chacune des difficultés afin de mieux les examiner et les résoudre. Établir un ordre de pensées, en commençant par les objets les plus simples jusqu aux plux complexes et divers, et ainsi de les retenir toutes et en ordre. Passer toutes les choses en revue afin de ne rien omettre.

3 endelige og helt klare udforming af den engelske matematiker og naturvidenskabsmand Isaac Newton ( ). I sit store og epokegørende værk Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (kort Principia, dansk: Naturfilosofiens matematiske principper) omtalte Newton den hypotetiskdeduktive metode som et ufravigeligt videnskabeligt program, som alle naturforskere skal følge nøje. På grundlag af et stort erfaringsmateriale og mange omhyggelige målinger skulle man ifølge Newton opstille de matematisk formulerede teorier (eller modeller) og gøre dem så simple som overhovedet mulig. Det afgørende spring i naturvidenskabelig teoridannelse kommer, idet man på grundlag af et endeligt og begrænset erfaringsmateriale fremsætter en naturlov, som vi indtil det modsatte er vist tillader os at betragte som universel og sand i videnskabelig forstand. Når vi på grundlag af mange omhyggeligt udførte eksperimenter og mange systematiske overvejelser opstiller en naturlov, som fx tyngdeloven, så mener vi, at denne lov gælder overalt i hele Universet, og altså ikke kun her på Jorden eller i Solsystemet, hvor vi har udledt den og set, at den stemmer overens med vore iagtagelser og erfaringer. I naturvidenskaberne tillader vi os således at generalisere ud fra et i sagens natur begrænset erfaringsmateriale. Dette er selvfølgelig ganske dristigt, men det er også yderst nyttigt og frugtbart! Dette generaliserende princip, som i videnskabsteorien kaldes induktion, blev blandt flere andre væsentlige arbejdsprincipper omtalt eksplicit af Newton i Book III i andenudgaven fra 1713 og i tredjeudgaven fra 1726 af værket Principia. I 1729 blev tredjeudgaven oversat fra latin til engelsk af den engelske matematiker Andrew Motte ( ), og fra denne oversættelse skal vi citere følgende regler, der er anført som Rules of Reasoning : Rule I: We are to admit no more causes of natural things than such as are both true and sufficient to explain their appearances. Rule II: Therefore to the same natural effects we must, as far as possible, assign the same causes. Rule III: The qualities of bodies, which admit neither intensification nor remission of degrees, and which are found to belong to all bodies within the reach of our experiments, are to be esteemed the universal qualities of all bodies whatsoever. Rule IV: In experimental philosophy we are to look upon propositions inferred by general induction from phenomena as accurately or very nearly true, notwithstanding any contrary hypotheses that may be imagined, till such time

4 as other phenomena occur, by which they may either be made more accurate, or liable to exceptions. Siden Newton nedskrev disse vigtige og helt afgørende regler for naturvidenskabelig forskning og begrundede dem nøje i Principia, har fysikken og de andre naturvidenskaber fejret store triumfer. Her skal blot nævnes Einsteins to relativitetsteorier fra henholdsvis 1905 (den specielle teori) og 1915 (den generelle teori), hans teori for fotoelektrisk effekt fra 1905, Niels Bohrs kvanteteoretiske model for hydrogenatomet fra 1913, H. C. Ørsteds teori for elektromagnetismen fra 1820, Charles Darwins evolutionsteori fra 1859, Andrei Lindes kosmologisk-inflatoriske Big Bang teori fra 1994 og den meget omfattende teori for Universets udvikling fra Alle disse naturvidenskabelige teorier er bemærkelsesværdigt stærke og har givet menneskene mulighed for dyb erkendelse uden nogen overflødige og selvopfundne religiøse forklaringer. Teorierne er strengt videnskabelige i den forstand, at de ikke postulerer at ville fortælle sandheden om noget som helst; sandheden som sådan står jo ikke til diskussion for dem, der mener, at de kender sandheden, altså den absolutte og endegyldige sandhed. De naturvidenskabelige teorier vil til enhver tid kunne diskuteres og om muligt forbedres, og det er derfor vigtigt at huske, at teorierne giver den bedst mulige beskrivelse af det erfaringsmateriale, som de bygger på, og som vi kender til. Viser det sig, at yderligere iagttagelser ikke kan indpasses i en bestemt teori, må denne teori enten revideres eller måske forkastes. Dette er udtryk for en ydmyg og ærbødig holdning, som vi desværre ikke ser i religion og politik, hvor ikke-verificerbare påstande og meninger gøres eviggyldige og indiskutabelt sande. En naturvidenskabelig teori skal således opfylde et ufravigeligt krav om mulighed for falsifikation. Dette betyder i al sin enkelhed, at det ved et passende eksperiment skal være muligt at afgøre, om teorien er mangelfuld eller direkte forkert eller vi skulle måske snarere sige falsk. Så længe alle undersøgelser og eksperimenter ikke er i modstrid med teorien, anser vi den for at være sand (skønt vi altså ikke postulerer, at den er endegyldigt eller evigt sand), men kommer vi ud for et eksperiment, som er i strid med teorien, falder den med et brag. Tyngdeloven, som Newton udledte i 1684 på grundlag af Keplers tre love for planetbevægelserne omkring Solen, er et godt eksempel på en naturvidenskabelig teori, der klart og entydigt er formuleret ved hjælp af matematiske termer. Hvis to partikler med masserne M og m befinder sig i afstanden x fra hinanden, vil de tiltrække hinanden med en kraft F, som er proportional

5 med massernes produkt og omvendt proportional med afstandens kvadrat. Der findes altså en universel naturkonstant (proportionalitetsfaktoren) G, som kaldes gravitationskonstanten, så F = G Mm x 2. Denne lov er hidtil bekræftet gang på gang ved mange iaggtagelser af fx faldende legemer i lufttomt rum eller ved at se på himmellegemernes bevægelser. Men den kan falsificeres, idet en iagttager af to massive legemer eller to partikler, som helt mod forventning ikke tiltrækker hinanden, præcist som tyngdeloven foreskriver, straks vil være tvunget til at forkaste denne. Netop muligheden for falsifikation er den risiko, som enhver forsker må løbe, når han eller hun opstiller en naturvidenskabelig teori. Den britiske biolog Thomas Henry Huxley ( ) har i sin bog Biogenesis and Abiogenesis fra 1870 udtrykt denne uomtvistelige kendsgerning på følgende måde: The great tragedy of science: The slaying of a beautiful hypothesis by an ugly fact. Dette er en risiko, men også en stor erkendelsesteoretisk styrke, som vel næppe kan betragtes som en tragedie. Der er nok snarere tale om en gave, som vi skal være glade for. Det kan nemlig gå så grueligt galt, at en naturvidenskabelig teori skal forkastes, og det er der faktisk konkrete eksempler på i videnskabshistorien. Den såkaldte Titius-Bodes lov, som blev fremsat af de tyske astronomer Johann Daniel Titius ( ) og Johann Elert Bode ( ) i henholdsvis 1766 og 1772, så umiddelbart ud til at være sand i strengt naturvidenskabelig forstand. Måske havde de to forskere opdaget en helt ny og hidtil upåagtet astronomisk naturlov, som gjaldt for alle planetsystemer. Egentlig var denne lov lidt underlig, for den kunne ikke udledes af Newtons tyngdelov og var heller ikke i umiddelbart slægtskab med Keplers tre love. Men dette betød selvfølgelig ikke, at den på forhånd skulle dømmes ude. 2 2 Middelafstanden mellem Solen og Jorden kaldes en astronomisk enhed (1 A.U.), og vi kan så udmåle middelafstandene mellem Solen og de øvrige planeter ved at benytte denne (for os!) så fundamentale enhed. Desuden vil vi betragte tallene a 1, a 2, a 3,..., a n,..., etc., som dannes således: a 1 = 0, 4; a 2 = 0, 4 + 0, 3; a 3 = 0, 4 + 0, 3 2; a 4 = 0, 4 + 0, 3 4; a 5 = 0, 4 + 0, 3 8 etc., idet vi ganger 0,3 med en potens af 2 og lægger dette produkt til 0,4.

6 Både Titius og Bode troede, at deres lov var en uomgængelig naturlov, og der var mange i samtiden, som havde den selv samme opfattelse. Titius- Bodes lov handlede om, at middelafstandene mellem Solen og planeterne kun kunne antage nogle ganske bestemte værdier, og da planeten Uranus blev opdaget af den hannoveransk-britiske astronom William Herschel ( ) i 1781, viste det sig, at loven blev yderligere bekræftet. Det så derfor ud til, at der virkelig fandtes en fjerde Keplers lov, skønt den tilsyneladende virkede så inderligt overflødig. Netop derfor var der al mulig grund til at være skeptisk, og idyllen brast da også lang tid senere. Da franskmanden Urbain Leverrier ( ) og tyskeren Johann Gottfried Galle ( ) i september 1846 opdagede planeten Neptun, passede afstanden mellem Solen og den nyopdagede planet overhovedet ikke med nogen af de muligheder, som blev forudsagt ved at benytte Titius-Bodes lov, og derfor var denne lov ikke korrekt i naturvidenskabelig forstand, og den måtte derfor straks forkastes Matematik og økonomisk teori Ligesom man inden for naturvidenskaberne efter tiden omkring år 1600 har opnået store successer ved at benytte den hypotetisk-deduktive metode, har denne metode på analog måde fundet god og udbredt anvendelse inden for andre videnskaber som fx statistik og økonomi. Både statistik og økonomi er samfundsvidenskaber, og inden for disse videnskaber arbejder man, ligesom i naturvidenskaberne, på at formulere generelle og almengyldige teorier udtrykt i matematiske termer. Disse teorier baseres naturligvis også på et indsamlet erfaringsmarteriale. Nu er dette materiale imidlertid ikke indsamlet fra den omgivne natur, men fra det omgivne samfund. I princippet er der således ingen markant forskel på naturvidenskab og samfundsvidenskab. Også inden for samfundsvidenskaberne er det nemlig vigtigt, at teorierne kan falsificeres, så de er strengt videnskabelige. Udregner vi nu disse tal et efter et og sammenligner dem med middelafstanden a (angivet i A.U.) får vi en påfaldende overensstemmelse. For Merkur er a = 0, 39 og a 1 = 0, 4, for Venus er a = 0, 72 og a 2 = 0, 7, for Jorden er a = 1, 00 og a 3 = 1, 0, for Mars er a = 1, 52 og a 4 = 1, 6, for asteroidebæltet mellem Mars og Jupiter passer afstanden fra Solen godt med tallet a 5 = 2, 8, for Jupiter er a = 5, 20 og a 6 = 5, 2, og for Saturn er a = 9, 55 og a 7 = 10, 0. Da Herschel opdagede Uranus i 1781, fandt man, at middelafstanden mellem denne planet og Solen er a = 19, 2 A.U., hvilket passer nogenlunde med tallet a 8 = 19, 6. Men da man i 1846 opdagede planeten Neptun, viste det sig, at dens middelafstand til Solen er a = 30, 1 A.U., mens tallet a 9 = 38, 8. Hermed var det godtgjort, at Titius-Bodes lov var falsk.

7 Allerede omkring år 1200 begyndte man at anvende matematik inden for datidens økonomi. Handelen blomstrede dengang i Middelhavsområdet, og rigdommen voksende støt i de italienske bystater som fx Venedig og Genoa. En systematisk matematisk behandling af økonomiske problemstillinger blev først taget op af matematikeren Leonardo Pisano Bogollo (ca ca. 1250), der kom fra Pisa i Norditalien. Han omtales derfor ofte som Leonardo fra handelsbyen Pisa, men er nok mest kendt som Fibonacci. Hans fader var en velhavende handelsmand, og Fibonacci opholdt sig i nogen tid i den daværende italienske koloni Bugia, der lå i nutidens Algeriet. Desuden kom han i tæt kontakt med datidens arabiske matematikere og videnskabsmænd og fik dermed kendskab til brugen af de såkaldte arabertal, der oprindelig kom fra Indien. Det er således en af Fibonaccis helt store fortjenester, at han indførte arabertallene i europæisk matematik. Fibonacci regnede også med decimalbrøker, men han opskrev dem på en måde, som på os virker noget bagvendt. Hvis vi fx ser på tallet x = 7, 5429, så ville Fibonacci skrive dette tal således Han skrev altså den hele del af x, som er tallet 7 bagest. Idet han konsekvent læste tallene fra højre mod venstre, kom dernæst 5 4 svarende til 0, 5, så svarende til 0, 04, hvor nævnerne i de to første brøker (underforstået) blev ganget sammen, derpå 2 svarende til 0, 002 (nu skal de tre første nævnere ganges med hinanden) og endelig svarende til 0, 0009, hvor alle nævnerne er ganget sammen. Efter samme opskrift ser vi, at Fibonacci ville have skrevet tallet som 3 10 y = 15, Generelt om brøker bemærker vi, at når Fibonacci skrev så betød det i nutidens notation b a d c, a c + b cd = ad + b cd,

8 og når han skrev ville vi i stedet skrive c f a d + b de + c def b a e d, aef + bf + c =. def Der er ingen tvivl om, at Fibonacci var en af højmiddelalderens betydeligste videnskabsmænd, og i 1202 udgav han det berømte værk Liber Abaci. I dette værk omtalte han arabertallene og deres anvendelse inden for aritmetik. Desuden indførte han klare principper for regnskabslære og bogholderi, rentesregning og valutaveksling. Det var også i dette værk, at Fibonacci omtalte den vigtige vækstmodel (for kaninavl), der i vore dage kaldes Fibonaccis talfølge: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 35, 55, 89, 144, etc., således at det n te element x n, for n 3, fremkommer ved at addere de to foregående elementer, altså x n = x n 1 + x n 2. (Se bind 5, kapitel 1, afsnit 1.4, om Fibonaccis talfølge og det gyldne snit.) Fibonaccis bog fik særdeles stor betydning for udviklingen af europæisk handel, kultur og videnskab helt frem til renaissancen, og den tjener stadig som en vigtig inspirationskilde i vore dages matematik. Forøvrigt udgav Fibonacci flere betydningsfulde matematikbøger i første halvdel af det 13. århundrede. Navnlig efter 1970 har man i bemærkelsesværdig høj grad benyttet matematik og matematisk bevisførelse inden for moderne økonomisk teori, men inden for en række økonomiske discipliner, fx finansieringsteori, er anvendelsen af matematik af langt ældre dato. Begrebet nyttefunktion, som fx beskriver, hvilken nytte en bestemt person har af sine penge, er indført allerede i 1738 af den schweiziske matematiker Daniel Bernoulli ( ) og omtalt i hans værk Specimen theoriae novae de mensura sortis. Han arbejdede i en periode ved det russiske videnskabsakademi i Sankt Petersborg, og ganske elegant løste han det såkaldte Sankt Petersborg paradoks, som dengang var en stor gåde, ved at indføre en passende nyttefunktion. 3 3 Sankt Petersborg paradokset. På et casino kan man spille følgende spil: Der

9 Daniel Bernoulli, der var fra anden generation af den berømte og matematisk højt begavede Bernoulli-familie i Basel, nåede frem til, at den marginale nytte u, dvs. tilvæksten i nytte, som en person kunne opnå ved at øge sin pengebeholdning med beløbet x fra x til x + x, er givet ved udtrykket u = x x, hvilket egentlig ikke er så overraskende. En rig person vil ikke have så stor nytte af at forøge sin formue med fx 1000 kroner, mens en fattig vil tage mod 1000 kroner med glæde. Dette betyder, at nytten u = u(x), som man har af pengemængden x kan skrives på formen u = u(x) = ln(x) + u 0, hvor u 0 er en given (individuelt bestemt) konstant, og ln betegner den naturlige logaritmefunktion. 4 kastes en ærlig mønt. Hvis den viser krone, vinder man i første kast 2 dukater, i andet kast 4 = 2 2 dukater, i tredje kast 8 = 2 3 dukater etc., i n te kast 2 n dukater etc., mens man ikke vinder nogen penge, hvis mønten viser plat. Når mønten første gang viser plat slutter spillet, og man får udbetalt gevinsten. Man bemærker straks, at hvis man er heldig, kan man vinde et vilkårligt stort beløb, thi 2 n vokser ubegrænset, idet n vokser ubegrænset. Spørgsmålet er derfor, hvad det vil være rimeligt for casinoet at kræve for at deltage i dette spil. Dette lidt drilske spørgsmål var allerede i 1713 blevet formuleret af Daniel Bernoullis storebror, matematikeren Nicolaus Bernoulli ( ), i et brev, han sendte til den franske matematiker Pierre Raymond de Montport ( ). Det umiddelbart bedste gæt ville være at forlange den gennemsnitlige gevist, eller rettere den forventede gevist, som en spiller vil opnå ved dette spil. Vi bemærker straks, at med sandsynligheden 1 2 vinder spilleren 2 dukater, med sandsynligheden 1 4 vinder han 4 dukater, med sandsynligheden vinder han 8 dukater, etc., med sandsynligheden 2 vinder han n 2 n dukater etc. Den forventede gevist er derfor E = n 2 n +... = =. Dette går jo ikke, og det er derfor, at problemet kaldes et paradoks. Da brødrene Nicolaus og Daniel Bernoulli i 1725 var blevet ansat ved zar Peter den Stores videnskabsakademi i den nye russiske hovedstad, Sankt Petersborg, blev problemet kendt som Sankt Petersborg paradokset. 4 Daniel Bernoullis løsningsforslag. Lad os se på, hvordan Daniel Bernoulli løste Sankt Petersborg paradokset. Han tog udgangspunkt i det faktum, at værdien af en vare ikke nødvendigvis er lig med prisen, men snarere er lig med den nytte, som man har af den pågældende vare. Sådan er det også med gevinsten ved det møntspil, som er beskrevet i Sankt Petersborg paradokset. Lad os med w betegne den formue, som spilleren har, før han begynder at spille. Hans nytte af denne formue er da u(w) = ln w. Hvis det koster beløbet c at deltage i spillet, har spilleren efter n spil, hvor mønten jo har vist krone n 1

10 Men i begyndelsen af det 18. århundrede stod man alligevel noget tøvende og usikker over for anvendelsen af matematik inden for økonomi. Denne usikkerhed ytrede sig tydeligt i forbindelse med datidens største økonomiske skandale, The South Sea Bubble (dansk: Sydhavsboblen), som i 1720 blev en særdeles kostbar affære for mange investorer. Det store britiske handelskompagni The South Sea Company var blevet oprettet i Det var dengang, da merkantilismen stadig var den fremherskende økonomiske filosofi, og selskabet fik monopol på handlen med de daværende spanske kolonier i Sydamerika. Dette monopol kunne først effektivt udnyttes et par år senere, da Den Spanske Arvefølgekrig sluttede. The South Sea Company beskæftigede sig i udstrakt grad med slavehandel, hvilket var en særdeles lukrativ forretning, men alligevel var selskabets stifter og leder, Lord Treasurer Robert Harley ( ), ikke helt tilfreds med de indtægtsmuligheder, som man havde opnået i forbindelse med monopolet. For Storbritanniens vedkommende havde Den Spanske Arvefølgekrig været særdeles dyr, og staten havde nu en meget stor gæld. Netop dette faktum betød, at der pludselig opstod en ny og ganske interessante mulighed for selskabet: Det kunne optræde som finaniseringsinstitut. I årene frem til 1719 overtog The South Sea Company efterhånden hele den britiske krigsgæld. Af den samlede statsgæld på pund havde selskabet hermed overtaget en gældspost på 11,7 millioner pund, og det var dengang en formidabel stor sum. Der blev så udstedt aktier med en rentegaranti på 5 procent frem til Samtidig befandt man sig i en økonomisk højkonjunktur, og det blev lidt af en mani at investere i aktier. Selskabets ledelse forstod at udnytte situationen og påstod, at forretningen gik ovenud gange og plat 1 gang, opnået formuen w(n) = w + 2 n 1 c, og hans tilvækst i nytte er derfor u = ln(w + 2 n 1 c) ln w. Den forventede nyttetilvækst bliver så givet ved formlen E( u) = n=1 ln(w + 2 n 1 c) ln w 2 n <, fordi logaritmefunktionen ln vokser langsommere (ln er af lavere størrelsesorden) end potensfunktionen 2 n. En spiller, der har formuen w, er nu villig til at betale beløbet c, hvis hans forventede nyttetilvækst, E( u), ved at deltage i spillet er positiv. Daniel Bernoullis løsning er ganske enkelt genial! Man bemærker, at beløbet c, altså indsatsen, afhænger af spillerens formue w.

11 godt. Det førte så til, at aktiekursen steg til uanede højder, fra kurs 128 i januar 1720 til kurs 550 i maj. Den britiske økonomi var nu ved at blive overophedet, og den generelle aktiespekulation udviklede sig så vanvittigt, at parlamentet i juni 1720 vedtog den såkaldte Bubble Act, hvorefter ethvert selskab skulle have en kongelig godkendelse. The South Sea Company opnåede straks den kongelige godkendelse, hvilket medførte, at kursen på aktierne straks steg til 880. Så var der nogle investorer, som følte sig fristet til at tage gevinsten hjem, hvorefter kursen begyndte at falde. Men da selskabets ledelse foranstaltede storstilede aktieopkøb, kunne kursen holdes kunstigt oppe på 750, og i løbet af sommeren steg den atter voldsomt, så den i august nåede helt op på Nu blev der panik. Mange investorer turde ikke andet end at sælge deres aktier, så de fik en stor fortjeneste, hvilket førte til et dramatisk kursfald. I september 1720 var kursen kun 150, og da mange aktieejere havde optaget lån for at kunne købe dyre aktier i The South Sea Company tidligere på året, led de nu meget store tab. Blandt dem, der mistede rigtig mange penge, var den berømte tysk-engelske barokkomponist Georg Friedrich Händel ( ), der i 1712 var flyttet til England. Boblen, The South Sea Bubble, var bristet, men det lykkedes alligevel at rekonstruere selskabet, og det fortsatte sin virksomhed i mere 100 år. Dengang i 1720 var Isaac Newton også en af de mange investorer, som pludselig mistede en formue, da boblen brast. Sandsynligvis tabte han ca pund, hvilket i nutidens penge svarer nogenlunde til 3 millioner pund. Ganske mange penge, og det fortælles, at da man skulle rekonstruerede selskabet og spurgte ham om gode råd i en vanskelig situation, svarede han blot: I can calculate the movement of stars, but not the madness of men. Denne udtalelse, hvad enten den nu er en anekdote eller ej, viser meget tydeligt en væsentlig forskel på naturvidenskab og samfundsvidenskab. Naturen følger bestemte universelle love, som vi udtrykker i matematiske termer, men hvad mennesker pludselig kan finde på, sætter kun fantasien grænser for. Alt uforudsigeligt kan ske, men selvfølgelig var det alligevel ikke komplet umuligt at anvende matematik i økonomisk teori. Det videnskabsteoretiske grundlag for i større omfang at benytte matematik inden for økonomisk teori blev skabt i midten af det 18. århundrede af den franske filosof og økonom François Quesnay ( ). Han op-

12 byggede den fysiokratiske retning inden for den videnskabelige økonomi, idet han hævdede, at værdierne i samfundet grundlæggende skabes ved at dyrke jorden. I sit berømte værk Tableau économique fra 1758 udviklede Quesnay sine teorier, og han benyttede analytiske metoder til at beskrive udviklingen inden for et (i princippet) frit økonomisk system. Hermed var vejen banet for at indføre en eksakt matematisk beskrivelse af økonomiske lovmæssigheder. Den fysiokratiske lære blev videreført af den franske filosof Anne-Robert- Jacques Turgot ( ). Han havde den grundholdning, at fremskridt inden for matematik, teknologi og naturvidenskab ville føre til forbedringer af menneskenes levevilkår, og en overgang var han Louis XVI s øverste finansiele rådgiver. Turgot var tilhænger af frihandel, hvilket førte til, at han i 1776 måtte forlade sin stilling, men han fortsatte dog sine filosofiske studier. Turgot opfattede økonomi som et system, der udviklede sig, hvilket også kom til udtryk i hans filosofiske hovedværk Réflexions sur la formation et la distribution des richesses, der var blevet udgivet allerede i november I slutningen af det 18. århundrede blev den økonomiske filosofi præget af liberalismen, som blev introduceret af den skotske filosof Adam Smith ( ). I 1776 udkom hans store og epokegørende, økonomiske manifest An Inquiry into the Nature of the Wealth of Nations. Monopolerne og alle statslige restriktioner skulle fjernes, og der skulle lægges vægt på arbejde og arbejdsdeling som økonomiske vækstfaktorer, fremførte Adam Smith. Allerede i 1759 indførte Adam Smith et noget specielt, men ganske interessant økonomisk begreb, som han kaldte The Invisible Hand, altså den usynlige hånd, som vel også kan betragtes som et sociologisk begreb, der er tidløst. Dette begreb omtalte han første gang i værket The Theory of Moral Sentiments, der blev udgivet netop i 1759, og senere også i The Wealth of Nations, hvorfra vi skal læse følgende: But the annual revenue of every society is always precisely equal to the exchangeable value of the whole annual produce of its industry, or rather is precisely the same thing with that exchangeable value. As every individual, therefore, endeavours as much as he can both to employ his capital in the support of domestic industry, and so to direct that industry that its produce may be of greatest value, every individual necessarily labours to render the annual revenue of the society as great as he can. He generally, indeed, neither intends to promote the public interest, nor knows how much he is promoting it. By preferring the support of domestic to that of foreign industry, he intends only his own security; and by directing that industry in such a manner

13 as its produce may be of the greatest value, he intends only his own gain, and he is in this, as in many other cases, led by an invisible hand to promote an end which was no part of his intention. Nor is it always the worse for the society that it was part of it. By pursuing his own interest he frequently promotes that of the society more effectually than when he really intends to promote it. I have never known much good done by those who affected to trade for the public good. It is an affection, indeed, not very common among merchants, and very few words need be employed in dissuading them from it. Nogle ganske tankevækkende synspunkter! De liberalistiske ideer om økonomisk frihed og vækst var selvfølgelig ganske interessante, men den engelske filosof og demograf Thomas Robert Malthus ( ) påpegede, at man også måtte tage hensyn til befolkningsudviklingen, når man beskrev et økonomisk systems udvikling. Og på det punkt var han sandelig ikke optimist. Mens befolkningstilvæksten ville udvikle sig eksponentielt, ville fødevareproduktionen kun udvikle sig lineært, hævdede han, og man måtte derfor regne med, at der ville opstå mangel på fødevarer. Disse tanker og andre filosofiske overvejelser udviklede Malthus i sit værk An Essay on the Principle of Population, as it Affects the Future Improvement of Society with Remarks on the Speculations of Mr. Godwin, M. Condorcet, and Other Writers. Bogen udkom i Samme år var Malthus forøvrigt en tur i København, og han konstaterede, at ejendomspriserne i den dansk-norske hovedstad var ekstremt høje. Et interessant synspunkt! Noget andet, som også er ganske interessant, er, at der i titlen på Malthus bog omtales et par herrer ved navns nævnelse. Vi skal ikke omtale Mr. Godwin her, men M. Condorcet er en person, som har haft den allerstørste betydning for anvendelsen af matematik i økonomi og samfundsvidenskab. Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat Marquis de Condorcet ( ) var, som navn og titel antyder, fransk adelsmand, men i reglen bliver han blot omtalt som Nicolas de Condorcet. Som ganske ung var han meget interesseret i naturvidenskab og matematik, og allerede i 1765 udgav han artiklen Essai sur le calcul intégral. Han blev allerede i 1769 optaget som medlem af det franske videnskabsakademi, og i 1772 mødte han Turgot, og de blev nære venner. I de følgende år modtog Condorcet den ene hædersbevisning efter den anden, og han blev varm tilhænger af Turgots økonomiske teorier. Samtidig havde han også Turgots stærke tro på, at teknologiske og videnskabelige

14 fremskridt ville blive til stor fordel for befolkningen i almindelighed, og i 1786, fem år efter Turgots død, skrev han biografien Vie de M. Turgot. Condorcet var politisk liberal og stærk præget af oplysningstidens filosofi og tankerne om individets frihed og borgerlige rettigheder. Dette medførte, at han i 1781 tog kraftigt afstand fra slavehandel og slaveri, og efter at Den Franske Revolution var brudt ud i 1789, arbejdede han aktivt for at give kvinder stemmeret. Han udsendte således i 1790 en artikel med titlen De l admission des femmes au droit de cité. Allerede i 1785 havde Condorcet opstillet en matematisk teori for stemmeafgivning, og samtidig arbejdede han helt i datidens ånd videre med differential- og integralregning. Han er uden tvivl den matematiker, som først benyttede matematikken i lige så udstrakt grad inden for økonomi og samfundsvidenskab, som man siden Newtons dage havde gjort inden for naturvidenskab. Condorcet var politisk aktiv og medlem af partiet Gironde under revolutionen, og det blev fatalt for ham. Under processen mod den afsatte franske konge, Louis XVI, gik han imod dødsdommen over den tidligere konge. Nu blev Condorcet betragtet som forræder, og han kunne, her midt i rædselsperioden (dvs. 27. juni juli 1794) blive arresteret når som helst. Han måtte derfor holde sig skjult og gå under jorden, men han bevarede sin fremskridtstro og skrev nu værket Esquisse d un tableau historique des progrès de l esprit humain. Det blev i 1795 udgivet posthumt et år efter hans død. Den 25. marts 1794 følte Condorcet sig så usikker, at han besluttede at flygte, men forsøget mislykkedes, og han blev straks arresteret. Han døde i fængselscellen tre dage senere, den 28. marts. Det vides ikke med sikkerhed, om han begik selvmord, eller om han blev myrdet. Hans hustru, Sophie de Grouchy ( ), der blev betragtet som en af datidens smukkeste kvinder, og i hvert fald den smukkeste i Paris 5, udgav alle hans værker og videnskabelige skrifter i årene For øvrigt var det hende, der tilskyndede ham til at skrive værket Esquisse d un tableau historique des progrès de l esprit humain, og hun besøgte ham jævnligt i den periode, hvor han levede skjult. I Tyskland begyndte man i slutningen af det 18. århundrede at interessere sig på akademisk niveau for Adam Smiths liberalistiske teorier. Pioneren på dette felt var historikeren Georg Friedrich Sartorius ( ), 5 En lille nok meget irrelevant bemærkning: Det fortælles, at pariserinderne er verdens smukkeste kvinder.

15 der fra 1802 var professor ved universitetet i Göttingen, der var et moderne universitet og et af Europas førende. Nogle år senere ønskede man at udvikle en ny, økonomisk teori for værdien af landbrugsproduktionen. En sådan teori blev i 1826 fremsat af den mecklenburgske økonom Heinrich von Thünen ( ), og som noget ganske interessant opstillede han en matematisk model for sin teori. Lad os se lidt på denne model. Vi lader Y betegne jordens bonitet, dvs. dens ydeevne per arealenhed. Med p betegner vi markedsprisen per produceret vareenhed af fx korn eller mælk, og med c betegner vi de tilsvarende omkostninger, der er forbundet med at producere en enhed af den pågældende vare. Lad endvidere F være transportudgifterne per kilometer, og lad m være afstanden fra en given producent til det marked, hvor varerne skal afsættes. Vi får da, at produktionsværdien R, der er den maksimale leje, som producenten kan betale per arealenhed af jorden, er givet ved von Thünens lov: R = Y (p c) Y F m. Vi ser her, at von Thünen opstillede en økonomisk lov ved hjælp af nogle få veldefinerede parametre, helt på samme måde som Newton havde formuleret gravitationsloven: Hvis to partikler har maserne M og m, og hvis deres indbyrdes afstand er x, da er massetiltrækningen F mellem dem proportional med størrelsen Mm x 2. I det 19. århundrede tog den økonomiske filosofi en helt ny drejning, da den tyske filosof Karl Marx ( ) indførte socialismen. Marx var på ingen måde matematiker, og han byggede sin samfundsteori på den opfattelse, at den historiske udvikling havde et ganske veldefineret, deterministisk forløb, der nødvendigvis måtte føre frem til proletariatets diktatur. Socialismen er således ikke en økonomisk teori, der bygger på objektive iagttagelser og fordomsfri anvendelse af matematiske modeller, så den er på ingen måde videnskabelig. Den må snarere betegnes som en utopi uden relation til virkeligheden, og denne utopi blev senere en politisk målsætning for idealistiske, men magthungrende og uvidende politikere, som krævede den opfyldt uanset midlerne og uden hensyn til ofrene. Forøvrigt var langt de fleste samfundsforskere og økonomer dengang i midten af det 19. århundrede fænomenologer, der ganske vist benyttede statistiske metoder i deres forskning, men som ikke var fristet til at anvende eksakte matematiske teorier. Først efter 1850 opstod den egentlige matematiske økonomi, hvilket skete næsten samtidig med,

16 at nye, matematiske metoder blev anvendt inden for fysik, fx inden for den kinetiske gasteori og elektrodynamikken. Vi skal her fremhæve den preussiske økonom Hermann Heinrich Gossen ( ), der udviklede en ny, matematisk teori for marginal nytte. Denne teori blev offentliggjort allerede i 1854 i værket Die Entwicklung der Gesetze des menschlichen Verkehrs und der daraus flißenden Reglen für menschliches Handeln. Den nye udvikling, hvor matematiske metoder fik en fremtrædende plads i økonomis teori, blev i høj grad fremmet af den franske økonom Marie-Esprit- Léon Walras ( ). I 1870 erne indførte han den generelle ligevægtsteori, der er en matematisk teori, som opstiller betingelser for ligevægt mellem udbud og efterspørgsel. Hovedresultatet i denne teori kaldes forøvrigt Walras lov. (Se bind 4, kapitel 7, afsnit 7.2.) Netop omkring 1870 blev der atter forsket målrettet i nytteteori inden for økonomi. Det var den engelske matematiker og økonom William Stanley Jevons ( ), der førte an i denne forskning. Han udviklede en videregående matematisk teori for marginal nytte. Denne teori blev først omtalt i bogen A General Mathematical Theory of Political Economy, der blev udgivet allerede i 1863, og senere i Jevons hovedværk The Theory of Political Economy fra For øvrigt havde Jevons opdaget et interessant fænomen vedrørende efterspørgslen på kul i England. Efter at den skotske maskiningeniør James Watt ( ) i 1765 havde forbedret dampmaskinen med opfindelsen af den såkaldte ekspansionsmaskine, hvorved kullenes brændværdi blev udnyttet langt mere effektivt end tidligere, skulle man tro, at efterspørgslen på kul ville falde, men det skete ikke. Tværtimod. Efterspørgslen steg! (Læs mere om James Watt og hans engelske samarbejdspartner, fysikeren og fabrikanten Matthew Boulton ( ), i bind 5, afsnit 8.2.) Denne iagttagelse kaldes Jevons paradoks, og den omtales i hans bog The Coal Question fra Heri skriver han således følgende: It is a confusion of ideas to suppose that the economical use of fuel is equivalent to diminished consumption. The very contrary is the truth. Men Newtons bemærkninger i 1720, hvor han så klart understregede, at det ville være vanskeligt, eller snarere umuligt, at beskrive økonomi på samme eksakte måde, som det var lykkedes for ham at beskrive den klassiske mekanik, havde hidtil stået nogenlunde uanfægtet. Grundsynspunktet var jo såre korrekt, men efterhånden var matematikkens udvikling nået så langt, at man også havde udviklet videnskabelige teorier for en lang række

17 stokastiske fænomener. The South Seas Bubble var jo både et finansielt og et psykologisk problem, og mon ikke det kunne lade sig gøre at opstille en matematisk finansieringsteori, så det alligevel blev muligt at beskrive the madness of men? Det mente den franske matematiker og økonom Louis Jean-Baptiste Alphonse Bachelier ( ) nok skulle være muligt, og den 29. marts 1900 forsvarede han sin meget berømte disputats med titlen Théorie de la spéculation på Sorbonne universitetet i Paris. Hermed var matematikkens position inden for økonomi blevet lige så central som inden for naturvidenskaberne. Ganske tankevækkende! Både naturvidenskaberne og samfundsvidenskaberne bygger på et erfaringsmateriale og nogle målinger, som relaterer sig til den omgivende natur eller det omgivende samfund. Bortset fra nogle centrale erkendelsesmæssige problemer inden for kvantemekanikken kan man sige, at naturvidenskabernes og samfundsvidenskabernes genstandsområde befinder sig uden for iagttageren. Helt tilsvarende gælder det inden for medicin, farmaci og psykologi, at de målinger, som danner erfaringsmaterialet, udføres på andre mennesker end iagttageren selv, nemlig på patienter eller udvalgte forsøgspersoner, så også inden for disse videnskaber kan forskeren, som den objektive iagttager, opstille (mere eller mindre, men dog brugbare) generelle teorier efter den hypotetisk-deduktive metode. Noget anderledes forholder det sig med de humanistiske videnskaber som fx sprogvidenskab eller historie, og derfor skal vi ikke her komme nærmere ind på humanistisk videnskabsteori. Lad os herefter koncentrere os om matematikken. Med den forholder det sig nemlig helt anderledes. Matematikken er i sit inderste væsen helt løsrevet fra alle iagttagelser og målinger, hvilket giver den en ganske enestående styrke og frihed. En matematisk teori skal ikke afpasses efter eller være i nøje overensstemmelse med den fysiske eller samfundsmæssige virkelighed. Matematikken er en abstrakt og filosofisk videnskab, hvor logisk metode er det afgørende værktøj. Man siger også, at matematik er en deduktiv videnskab. Hvad det egentlig betyder, skal vi se nærmere på i den følgende paragraf. OPGAVER TIL 1.2

18 Opskriv følgende decimaltal ved hjælp af Fibonaccis system: x = 5, 716, y = 12, 943, z = 4, 113 og u = 11, Hvilket decimaltal udtrykker følgende tal, som er opskrevet efter Fibonaccis metode: x = , y = og z = ? Betragt tallet t = a a a b b b 1 som her er opskrevet på Fibonaccis måde. Bestem tallet t skrevet som sædvanlig brøk Vi betragter von Thünens lov: R = Y (p c) Y F m, hvor Y er jordens bonitet, p er markedsprisen per produceret enhed (af en bestemt vare), c er omkostningerne ved at producere en enhed, F er transportudgifterne per kilometer, m er afstanden mellem producent og forbruger (opkøber), og R er produktionsværdien per arealenhed af jorden. Antag, at c stiger til det dobbelte, og at F stiger til det tredobbelte. Hvor meget skal p så stige, hvis man ønsker, at forholdet R skal være uændret? Y Vi antager herefter, at Y, c, F og m er konstante, og vi ønsker, at R fordobles. Hvor meget skal p i dette tilfælde stige, for at det ønskede kan opnås? 1.3. Matematikkens kulturelle og historiske udvikling MATEMATIK SOM VIDENSKAB I de ældste agrarkulturer i Ægypten, Babylon, Indien og Kina kendte man naturligvis til visse elementære, matematiske begreber. Man kunne i et vist omfang regne og gennemføre opmålinger af marker og andre landområder, men i disse tidlige agerbrugskulturer var der på ingen måde tale om, at matematikken havde nogen videnskabelig status. Man byggede sin matematiske viden på visse praktiske erfaringer fra den fysiske verden, hvorved man blev i stand til at løse nogle simple og meget konkrete opgaver.

19 Der gik adskillige århundreder, hvor man klarede sig udmærket med disse praktiske og empirisk begrundede regneregler og enkle matematiske begreber, men hvis man ville vise nogle helt generelle sætninger om fx vinkelsummen i en plan trekant, altså i enhver plan trekant, så slog den praktiske erfaring ikke til. Man manglede den afgørende abstraktion, hvor man ikke længere så på en konkret plan trekant, som man måske endda tegnede, men hvor man i stedet så på en vilkårlig plan trekant. Der var her tale om et særdeles stort spring for den menneskelige erkendelse, og derfor var der også kun et sted, hvor man i oldtiden nåede så langt, nemlig i Grækenland. Den græske naturfilosofi, som er den ældste egentlige og dybtgående filosofi, vi kender til, opstod i den arkaiske tid (dvs. i det 8., 7. og 6. århundrede før Kristi fødsel). I stedet for som hidtil at have betragtet fænomenerne i den materielle verden ud fra et (i erkendelseteoretisk forstand fuldkommen irrelevant) religiøst synspunkt, begyndte man i Grækenland at søge efter de mere dybtliggende lovmæssigheder i naturen, og man funderede over, om der eksisterede et eller flere grundlæggende stoffer, hvoraf hele den fysiske verden var opbygget. Naturligvis var der i forbindelse med disse overvejelser ikke tale om en egentlig videnskabelig metode, som vi kender den i dag. Der blev spekuleret meget, og der blev gættet meget, men de græske naturfilosoffer var yderst fordomsfrie, og helt løsrevet fra den opfattelse, at der fandtes en gudgiven sandhed. Og dette faktum er bemærkelsesværdigt! At en ikke-religiøst betinget naturerkendelse opstod netop i oldtidens Grækenland har sandsynligvis en ganske naturlig forklaring, som skyldes grækernes helt specielle kosmogoniske opfattelse. Kosmogoni er læren om Universets dannelse. Hos den arkaiske digter Hesiod, der levede engang i det 8. århundrede før Kristi fødsel, kan vi i hans værk Theogonien læse om, hvordan grækerne forestillede sig, at verden var opstået. I begyndelsen var der kun det tomme rum, eller det store Gab, som grækerne kaldte Chaos (græsk: Xαoς), og af Chaos opstod først den bredbrystede Moder Jord, som blev kaldt Gaia eller Ge. Hun var livets ophav, og hun hvilede over den golde og dybe afgrund, Tartaros. Over Gaia var den stjerneprydede himmelhvælving, Uranos, som var hendes mage. Fra Chaos udskiltes dels mørket Erebos og natten Nyx, dels den lyse luft Aither (heraf den populære betegnelse æter for luft) og dagen Hemera. Derefter opstod kærligheden og den forplantende tiltrækningskraft, Eros. Nu var der (vupti!) ud af intetheden dannet et smukt og ordnet univers, der af grækerne blev kaldt Kosmos (græsk: Koσµoς). Først derefter opstod titanerne og endnu senere Olympens guder, som ifølge den græske mytologi var såre menneskelige.

20 Den norske forfatter og dramatiker, Terje Nordby, har i sin bog Gresk mytologi fra 2010 filosoferet over, hvorfor den videnskabelige tankegang opstod i Grækenland, og herom skriver han følgende: Først ble Gapet (det greske ord er kaos) til, forteller altså Hesiod. Hans beretning om alle tings opprindelse står i motsetning til både den babyloniske og den jødisk-kristne, der verden blev gudeskapt - noe som innebar en stor kløft mellom mennesket og dets gud. Hos grekerne var de begge et produkt av urkrefternes utvikling. Slik ble også veien til et vitenskapeligt verdensbilde kortere. Det var også grekerne som oppfant den vestlige vitenskapen, til og med i god tid før de hadde gitt avkall på gudetroen. Slengt ut av Gapet tvilte guderne på seg selv og hverandre, slik at menneskene også fikk muligheter til å tvivle på dem. Så smukt og præcist kan det skrives! En af de tidligste græske naturfilosoffer var Thales fra Milet. Han levede omkring år 600 f. Kr. Nogle påstår endda, at hans årstal var f. Kr. Han mente, at vand var det urstof, hvoraf alt var dannet, og denne opfattelse var naturligvis ganske spekulativ og fuldkommen uvidenskabelig. Men i forbindelse med de lange rejser, Thales foretog til Mellemøsten og Ægypten, havde han opnået et omfattende kendskab til datidens astronomi og matematik. Han vidste, at Jorden var kugleformet, og han forbløffede sin samtid ved præcist at kunne forudsige både sol- og måneformørkelser. Thales havde således stor viden om visse astronomiske lovmæssigheder, og desuden indså han, at matematikken måtte løsrives fra alle konkrete begreber og fysiske iagttagelser. Derved kunne matematikken benyttes som et nyttigt og beskrivende hjælpemiddel i fx astronomi, og man blev så i stand til at opstille matematiske modeller for konkrete fysiske fænomener. Dette synspunkt var (og er fortsat) uhyre vigtigt! For Thales var det de generelle og abstrakte begreber, som skulle være matematikkens egentlige genstandsområde, og for ham gjaldt det så om at formulere og ad logisk vej bevise sætninger og påstande om fx vilkårlige trekanter. Hermed var den videnskabelige matematik opstået, og i hele den græske kulturs glansperiode var den abstrakte matematik den vigtigste videnskabelige disciplin. Dette blev understreget meget tydeligt af antikkens betydeligste filosof, athenienseren Platon ( før Kristi fødsel). Det var også Platon, der i sin berømte dialog Timaios, der blev skrevet omkring 360 f. Kr., omtalte de fem såkaldte platoniske legemer : Tetraederet, terningen eller hexaederet, oktaederet, dodekaederet og ikosaederet. Disse legemer er regulære, rumlige figurer med henholdsvis 4, 6, 8, 12 og 20 sideflader, der

21 alle er regulære polygoner. (Se bind 4, kapitel 3, afsnit 3.2, hvor der er en omtale af de fem platoniske legemer.) For Platon var det desuden klart, at matematikken var en idealiseret videnskab, idet alt, hvad matematikken omhandlede, tilhørte ideernes verden. Og ideernes verden var ifølge Platon den egentlige eksisterende verden, i modsætning til fænomenernes verden, der kun var en skyggeverden. (Læs herom i bog VII i Platons måske mest kendte dialog Staten.) I den græske matematiks storhedstid nåede forskerne gang på gang frem til nye, interessante og epokegørende resultater. Særlig kendt er Pythagoras (ca ca. 507 f. Kr.) og hans mange elever og tilhængere, der arbejdede med både geometri (den pythagoræiske læresætning) og talteori (opdagelsen af de irrationale tal, fx er begge tallene 2 og 5 irrationale) samt Archimedes ( f. Kr.), der uden tvivl var antikkens allerstørste geni, og som bl. a. udarbejdede en forløber for integralregningen. Desuden var Archimedes både fysiker og praktisk ingeniør, og han opdagede loven om opdrift og konstruerede sindrige maskiner. I det 5. århundrede før Kristi fødsel opdagede sofisten Antiphon den såkaldte exhautionsmetode. Hvis man fx skal finde arealet af en cirkel, kan man omskrive cirklen med regulære polygoner, altså polygoner, hvor alle siderne er lige lange, og hvor vinklerne mellem siderne er lige store. Det er let nok at finde arealet af en sådan polygon, og arealet af cirklen kan således tilnærmes finere og finere med polygonarealer. Archimedes benyttede denne metode til at bestemme en tilnærmelsesværdi for tallet π, som er forholdet mellem omkredsen og diameteren af en cirkel. Idet en cirkels areal er A = πr 2, hvor r betegner cirklens radius, får vi straks, at og Archimedes fandt så, at π = A r 2, < π < Hvis Archimedes havde udviklet grænseværdibegrebet til fuldkommenhed, havde han opdaget integralregningen, men alligevel lykkedes det ham at bestemme formler for fx rumfanget af en kegle, en kugle og en pyramide. I den klassiske tid blomstrede matematikken, og i begyndelsen af den efterfølgende lange, hellenistiske periode fortsatte den matematiske forskning med uformindsket styrke, og atter blev der fundet mange nye resultater. I denne periode levede Euklid (ca f. Kr.), og for ham gjaldt det

Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre).

Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre). Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre). Johannes Kepler (1571-1630) var på mange måder en overgangsfigur i videnskabshistorien. Han ydede et stort bidrag til at matematisere

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Den sproglige vending i filosofien

Den sproglige vending i filosofien ge til forståelsen af de begreber, med hvilke man udtrykte og talte om denne viden. Det blev kimen til en afgørende ændring af forståelsen af forholdet mellem empirisk videnskab og filosofisk refleksion,

Læs mere

Jorden placeres i centrum

Jorden placeres i centrum Arkimedes vægtstangsprincip. undgik konsekvent at anvende begreber om det uendeligt lille eller uendeligt store, og han udviklede en teori om proportioner, som overvandt forskellige problemer med de irrationale

Læs mere

Verdensbilleder i oldtiden

Verdensbilleder i oldtiden Verdensbilleder Teksten består af to dele. Den første del er uddrag fra Stenomuseets skoletjeneste(http://www.stenomuseet.dk/skoletj/), dog er spørgsmål og billeder udeladt. Teksten fortæller om hvordan

Læs mere

Keplers Love. Om Kinematik og Dynamik i Renæssancens Astronomi. Folkeuniversitetet 9. oktober 2007

Keplers Love. Om Kinematik og Dynamik i Renæssancens Astronomi. Folkeuniversitetet 9. oktober 2007 Keplers Love Om Kinematik og Dynamik i Renæssancens Astronomi Folkeuniversitetet 9. oktober 2007 Poul Hjorth Institut for Matematik Danmarke Tekniske Universitet Middelalderens astronomi var en fortsættelse

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Almen studieforberedelse. 3.g

Almen studieforberedelse. 3.g Almen studieforberedelse 3.g. - 2012 Videnskabsteori De tre forskellige fakulteter Humaniora Samfundsfag Naturvidenskabelige fag Fysik Kemi Naturgeografi Biologi Naturvidenskabsmetoden Definer spørgsmålet

Læs mere

Naturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv

Naturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab defineres som menneskelige aktiviteter, hvor

Læs mere

Verdensbilleder Side 1 af 7

Verdensbilleder Side 1 af 7 Verdensbilleder ide 1 af 7 Verdensbilleder A. elvstændigt arbejde som forberedelse: 1. Følgende tekster læses grundigt forud, og der tages notater om personer, årstal, betydningsfulde opdagelser, samt

Læs mere

Verdensbilleder. Oldtidskundskab C og Fysik B Jens Jensen 3x Rungsted Gymnasium

Verdensbilleder. Oldtidskundskab C og Fysik B Jens Jensen 3x Rungsted Gymnasium Verdensbilleder Oldtidskundskab C og Fysik B Jens Jensen 3x Rungsted Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse Indhold Problemformulering... 3 Underspørgsmål... 3 Materialer, metoder og teorier... 3 Delkonklusioner...

Læs mere

Boganmeldelser. Einsteins univers

Boganmeldelser. Einsteins univers Boganmeldelser Einsteins univers Einsteins univers - en fysikers tanker om natur og erkendelse Helge Kragh 154 sider Aarhus Universitetsforlag, 2008 198 kr Som fysiker skilte Albert Einstein (1879-1955)

Læs mere

Tro og viden om universet gennem 5000 år

Tro og viden om universet gennem 5000 år Tro og viden om universet gennem 5000 år Niels Bohr Institutet, København Indhold: Universet, vi ved nu: 14 milliarder år gammelt Dante s univers, for 700 år siden: Den Guddommelige Komedie Videnskab,

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru. 1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable

Læs mere

Redaktionelt forord Kapitel 1. John Lockes værk og dets kontekst Kapitel 2. De fire temaer i Lockes værk... 17

Redaktionelt forord Kapitel 1. John Lockes værk og dets kontekst Kapitel 2. De fire temaer i Lockes værk... 17 Indholdsfortegnelse Statskundskabens klassikere John Locke Redaktionelt forord... 7 Kapitel 1. John Lockes værk og dets kontekst... 9 Kapitel 2. De fire temaer i Lockes værk... 17 Kapitel 3. Det første

Læs mere

Månedens astronom februar 2006 side 1. 1: kosmologiens fødsel og problemer

Månedens astronom februar 2006 side 1. 1: kosmologiens fødsel og problemer Månedens astronom februar 2006 side 1 Verdensbilleder * Det geocentriske * Det geo-heliocentriske * Det heliocentriske 1: kosmologiens fødsel og problemer Astronomien er den ældste af alle videnskaber

Læs mere

Cresta Asah Fysik rapport 16 oktober 2005. Einsteins relativitetsteori

Cresta Asah Fysik rapport 16 oktober 2005. Einsteins relativitetsteori Einsteins relativitetsteori 1 Formål Formålet med denne rapport er at få større kendskab til Einstein og hans indflydelse og bidrag til fysikken. Dette indebærer at forstå den specielle relativitetsteori

Læs mere

Figur 2: Forsiden af Dialogue fra 1632.

Figur 2: Forsiden af Dialogue fra 1632. Indledning Når man hører fortællinger om fysikkens historie, virker det ofte som om, der sker en lineær, kontinuert udvikling af naturvidenskaben. En ny og bedre teori afløser straks ved sin fremkomst

Læs mere

Astrologi & Einsteins relativitetsteori

Astrologi & Einsteins relativitetsteori 1 Astrologi & Einsteins relativitetsteori Samuel Grebstein www.visdomsnettet.dk 2 Astrologi & Einsteins relativitetsteori Af Samuel Grebstein Fra The Beacon (Oversættelse Ebba Larsen) Astrologi er den

Læs mere

Knud Erik Sørensen HAF

Knud Erik Sørensen HAF Planeten Opdaget 23. september 1846 af Urban Le Verrier, John Couch Adams og Gottfried Galle Tsid = 164 år 323 dage, 21 t 41 min 11 s. Dvs. første fulde omløb den 12. juli 2011 1 Planetdata Data for og

Læs mere

Naturlove som norm. n 1 n 2. Normalen

Naturlove som norm. n 1 n 2. Normalen Normalen u n 1 n 2 v Descartes lov, også kaldet Snels lov (efter den hollandske matematiker Willebrord Snel (1580-1636), som fandt den uafhængigt af Descartes), bruges til at beregne refraktionsindekset

Læs mere

Keplers love og Epicykler

Keplers love og Epicykler Keplers love og Epicykler Jacob Nielsen Keplers love Johannes Kepler (57-60) blev i år 600 elev hos Tyge Brahe (546-60) i Pragh, og ved sidstnævntes død i 60 kejserlig astronom. Kepler stiftede således

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Falsifikation og paradigmer

Falsifikation og paradigmer Her ses det indre af en partikelaccelerator fra Lawrence Radiation Laboratory i 1957. dende med en grundlæggende forandring af videnskaben: fra et være et sæt af individuelle erkendelsesprojekter blev

Læs mere

Einsteins store idé. Pædagogisk vejledning http://filmogtv.mitcfu.dk. Tema: Energi Fag: Fysik/kemi Målgruppe: 9.-10. klasse

Einsteins store idé. Pædagogisk vejledning http://filmogtv.mitcfu.dk. Tema: Energi Fag: Fysik/kemi Målgruppe: 9.-10. klasse Tema: Energi Fag: Fysik/kemi Målgruppe: 9.-10. klasse Viasat History, 2010, 119 minutter. Denne dramatiserede fortælling om udviklingen i naturvidenskabelig erkendelse, der førte frem til Einsteins berømte

Læs mere

Aristoteles og de athenske akademier

Aristoteles og de athenske akademier lige geometriske genstande, som var evige og foranderlige størrelser i en abstrakt verden. Erkendelse var således ikke erkendelse af sansernes verden, men af en anden verden, kun tilgængelig for ånden.

Læs mere

Verdens alder ifølge de højeste autoriteter

Verdens alder ifølge de højeste autoriteter Verdens alder 1 Erik Høg 11. januar 2007 Verdens alder ifølge de højeste autoriteter Alle religioner har beretninger om verdens skabelse og udvikling, der er meget forskellige og udsprunget af spekulation.

Læs mere

1. Disposition: Formalia. Hvad er filosofi? Filosofiens discipliner. Filosofiens metoder. Erkendelsesteori

1. Disposition: Formalia. Hvad er filosofi? Filosofiens discipliner. Filosofiens metoder. Erkendelsesteori 1. Disposition: Formalia Hvad er filosofi? Filosofiens discipliner Filosofiens metoder Erkendelsesteori 2. Hvad er filosofi? Ostensiv definition: det filosoffer gør En radikal spørgen og en systematisk

Læs mere

Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed

Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed I de syditalienske byer Kroton og Elea opstod omkring 500 f.v.t. to filosofiske retninger, som fik stor betydning for senere tænkning og forskning. Den ene

Læs mere

Projekt 3.8. Månens bjerge

Projekt 3.8. Månens bjerge Projekt 3.8. Månens bjerge Introduktion til hvordan man kan arbejde med dette projekt. Det følgende kan integreres i et projekt om verdensbilleder, hvor man både kommer ind på diskussioner om at opnå erkendelse,

Læs mere

Om sandhed, tro og viden

Om sandhed, tro og viden Om sandhed, tro og viden Flemming Topsøe Institut for Matematiske Fag Københavns Universitet http://www.math.ku.dk/ topsoe med mange manuskripter se specielt http://www.math.ku.dk/ topsoe/sandhednatfest09.pdf

Læs mere

Verdens alder ifølge de højeste autoriteter

Verdens alder ifølge de højeste autoriteter Verdens alder ifølge de højeste autoriteter Alle religioner har beretninger om verdens skabelse og udvikling, der er meget forskellige og udsprunget af spekulation. Her fortælles om nogle få videnskabelige

Læs mere

Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Fibonacci følgen og Det gyldne snit Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...

Læs mere

Det samfund der møder den nye globale verden stærkest, er det samfund, der frisætter den enkelte borgers skabende potentiale bedst muligt.

Det samfund der møder den nye globale verden stærkest, er det samfund, der frisætter den enkelte borgers skabende potentiale bedst muligt. 1 Mine Damer og Herrer Jeg skal med det samme takke universitetet for den ære det er for et i akademisk forstand helt og aldeles udannet mennesket, at tale fra denne stol, nu skal i ikke forvente en smuk

Læs mere

Danske bidrag til økonomiens revolutioner

Danske bidrag til økonomiens revolutioner Danske bidrag til økonomiens revolutioner Finn Olesen Danske bidrag til økonomiens revolutioner Syddansk Universitetsforlag 2014 University of Southern Denmark Studies in History and Social Sciences vol.

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2013. Institution Teknisk Gymnasium Skive Tekniske Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Idehistorie

Læs mere

Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet

Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet En af de mest opsigtsvækkende opdagelser inden for astronomien er, at Universet udvider sig. Det var den

Læs mere

Doryphorie (spydbærere) i den græske astrologi

Doryphorie (spydbærere) i den græske astrologi Doryphorie (spydbærere) i den græske astrologi - en tabt dimension i tydningen Susanne Denningsmann har skrevet en vigtig doktorgrad med titlen: Die astrologische Lehre der Doryphorie : eine soziomorphe

Læs mere

Hvad er socialkonstruktivisme?

Hvad er socialkonstruktivisme? Hvad er socialkonstruktivisme? Af: Niels Ebdrup, Journalist 26. oktober 2011 kl. 15:42 Det multikulturelle samfund, køn og naturvidenskaben. Konstruktivisme er en videnskabsteori, som har enorm indflydelse

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Kortlægningen af den ydre og indre verden

Kortlægningen af den ydre og indre verden en start på. Derefter sker det ved udviklingen af et vidensproducerende system, hvor forskningsinstitutioner, læreanstalter, eksperter, industrilaboratorier osv. indgår som helt centrale elementer. den

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Almanak, Bonde -Practica og Big-Bang

Almanak, Bonde -Practica og Big-Bang http://www.per-olof.dk mailto:mail@per-olof.dk Blog: http://perolofdk.wordpress.com/ Per-Olof Johansson: Almanak, Bonde -Practica og Big-Bang Indlæg på blog om Bonde-Practica 13.januar 2014 Københavns

Læs mere

en fysikers tanker om natur og erkendelse

en fysikers tanker om natur og erkendelse Einsteins univers en fysikers tanker om natur og erkendelse Helge Kragh Einsteins univers en fysikers tanker om natur og erkendelse Einsteins univers en fysikers tanker om natur og erkendelse Helge Kragh

Læs mere

Fagmodul i Filosofi og Videnskabsteori

Fagmodul i Filosofi og Videnskabsteori ROSKILDE UNIVERSITET Studienævnet for Filosofi og Videnskabsteori Fagmodul i Filosofi og Videnskabsteori DATO/REFERENCE JOURNALNUMMER 1. september 2013 2012-906 Bestemmelserne i denne fagmodulbeskrivelse

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Verdensbilleder og moderne naturvidenskab. Peter Øhrstrøm Aalborg Universitet

Verdensbilleder og moderne naturvidenskab. Peter Øhrstrøm Aalborg Universitet Verdensbilleder og moderne naturvidenskab Peter Øhrstrøm Aalborg Universitet 1 2 Teisme Deisme Naturalismen Nihilismen Eksistentialismen Panteisme New Age 3 Fokus på Kaj Munks rolle 1920ernes danske åndskamp

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Quaternioner blev første gang beskrevet

Quaternioner blev første gang beskrevet vise sig indirekte, i forandret form, som f.eks. neurotiske symptomer eller fejlhandlinger. Det ubevidste er imidlertid ikke bare en art skjult bevidsthed, men er knyttet til træk ved mennesket, der er

Læs mere

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011 Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n Slide 1/26

u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n Slide 1/26 Slide 1/26 Faculty of Science Om Sandhed, Tro og Viden i Naturvidenskaberne Flemming Topsøe, topsoe@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet Foredrag under Forskningens Døgn, 23-24

Læs mere

Renæssancen i Norditalien

Renæssancen i Norditalien Kulturspillets weekendkurser 2014 Renæssancen i Norditalien Tid: Lørdag den 1. feb. 2014 Sted: Århus, nærmere adresse følger Norditalien blev arnested for den historiske epoke, der trak Europa ud af Middelalderens

Læs mere

Om tidernes morgen og hvad derpå fulgte

Om tidernes morgen og hvad derpå fulgte Sep. 2008 : 7: Faste billeder fra foredraget, men selve PowerPoint versionen benytter mange animationer, fx af universets udvidelse Om tidernes morgen og hvad derpå fulgte Universet siden Big Bang og videnskaben

Læs mere

Metoder og erkendelsesteori

Metoder og erkendelsesteori Metoder og erkendelsesteori Af Ole Bjerg Inden for folkesundhedsvidenskabelig forskning finder vi to forskellige metodiske tilgange: det kvantitative og det kvalitative. Ser vi på disse, kan vi konstatere

Læs mere

AT og elementær videnskabsteori

AT og elementær videnskabsteori AT og elementær videnskabsteori Hvilke metoder og teorier bruger du, når du søger ny viden? 7 begrebspar til at karakterisere viden og måden, du søger viden på! Indholdsoversigt s. 1: Faglige mål for AT

Læs mere

Metoder og struktur ved skriftligt arbejde i idræt.

Metoder og struktur ved skriftligt arbejde i idræt. Metoder og struktur ved skriftligt arbejde i idræt. Kort gennemgang omkring opgaver: Som udgangspunkt skal du når du skriver opgaver i idræt bygge den op med udgangspunkt i de taksonomiske niveauer. Dvs.

Læs mere

Noter om primtal. Erik Olsen

Noter om primtal. Erik Olsen Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et

Læs mere

July 23, 2012. FysikA Kvantefysik.notebook

July 23, 2012. FysikA Kvantefysik.notebook Klassisk fysik I slutningen af 1800 tallet blev den klassiske fysik (mekanik og elektromagnetisme) betragtet som en model til udtømmende beskrivelse af den fysiske verden. Den klassiske fysik siges at

Læs mere

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat6 Noter: Kompetencemål efter 6. klassetrin Eleven kan anvende reelle tal og algebraiske udtryk i matematiske undersøgelser Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker

Læs mere

Universet. Fra superstrenge til stjerner

Universet. Fra superstrenge til stjerner Universet Fra superstrenge til stjerner Universet Fra superstrenge til stjerner Af Steen Hannestad unıvers Universet Fra superstrenge til stjerner er sat med Adobe Garamond og Stone Sans og trykt på Arctic

Læs mere

Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag:

Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag: Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag: Fag: Matematik/Historie Emne: Det gyldne snit og Fibonaccitallene Du skal give en matematisk behandling af det gyldne snit. Du skal

Læs mere

Spørgsmål reflektion og fordybelse

Spørgsmål reflektion og fordybelse I dag kender stort set alle Grækenland for den dybe økonomiske krise, som landet nu befinder sig i. Mange har også viden om Grækenland fra ferierejser. Grækenland er et forholdsvis nyt land. Grækenland

Læs mere

Liberalisme...1 Socialismen...1 Konservatisme...2 Nationalisme...4 Socialliberalisme...5

Liberalisme...1 Socialismen...1 Konservatisme...2 Nationalisme...4 Socialliberalisme...5 Ideologier Indhold Liberalisme...1 Socialismen...1 Konservatisme...2 Nationalisme...4 Socialliberalisme...5 Liberalisme I slutningen af 1600-tallet formulerede englænderen John Locke de idéer, som senere

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Kom ikke her med dit hændelser, der følges ad, er ikke altid kausalt forbundne! Det er dit!

Kom ikke her med dit hændelser, der følges ad, er ikke altid kausalt forbundne! Det er dit! Måling tvang altså kemikerne til at overveje situationen, og da ideen om stof med negativ masse var yderst uplausibel, måtte man revidere phlogistonteorien. Lavoisier var den første, der fremførte den

Læs mere

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5 Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel - Projektet er delt i to små projekter, der kan laves uafhængigt af hinanden. Der afsættes fx - timer til vejledning med efterfølgende

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre:

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: 2 Indholdsfortegnelse: Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: Side 4: Side 5: Side 9: Side 10: Side 12: Side 14: Side 15: Side 16: Side 19: Side 20: Side 21: Side 23: Problemformulering. En nem tilgang

Læs mere

Uendelige rækker og Taylor-rækker

Uendelige rækker og Taylor-rækker Uendelige rækker og Taylor-rækker Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 200 Thomas Bolander, FUKBH 0 s. /24 Forhold mellem endelighed

Læs mere

1 Indledning. Erkendelsesteori er spørgsmålet om, hvor sikker menneskelig viden er.

1 Indledning. Erkendelsesteori er spørgsmålet om, hvor sikker menneskelig viden er. Indhold Forord 7 1. Indledning 9 2. Filosofi og kristendom 13 3. Før-sokratikerne og Sokrates 18 4. Platon 21 5. Aristoteles 24 6. Augustin 26 7. Thomas Aquinas 30 8. Martin Luther 32 9. 30-årskrigen 34

Læs mere

Naturvidenskabelig metode

Naturvidenskabelig metode Naturvidenskabelig metode Introduktion til naturvidenskab Naturvidenskab er en betegnelse for de videnskaber der studerer naturen gennem observationer. Blandt sådanne videnskaber kan nævnes astronomi,

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

SPØRGSMÅL MELLEM IDENTITET OG DIFFERENS

SPØRGSMÅL MELLEM IDENTITET OG DIFFERENS PIA LAURITZEN SPØRGSMÅL MELLEM IDENTITET OG DIFFERENS Aarhus Universitetsforlag Spørgsmål mellem identitet og differens Spørgsmål mellem identitet og differens Af Pia Lauritzen aarhus universitetsforlag

Læs mere

Sygdomsbegreb og videnskabelig tænkning Nødvendig afhængighed Tilstrækkelig betingelse Både nødvendig og tilstrækkelig

Sygdomsbegreb og videnskabelig tænkning Nødvendig afhængighed Tilstrækkelig betingelse Både nødvendig og tilstrækkelig Videnskabelighed og videnskabelig begrundelse Kausalitetsproblemet Klinisk Kontrollerede undersøgelser? Kausale slutninger Kausale tolkninger Evidens hvad er det for noget? Er evidens det samme som sandhed?

Læs mere

Lidt biologisk historik

Lidt biologisk historik Lidt biologisk historik Som indledning til AT-forløbet om Tro og viden forsøger jeg mig med en oversigt over vigtige begivenheder inden for biologien sit i historisk lys det følger nedenfor Men først lidt

Læs mere

Fra elev til student 2010

Fra elev til student 2010 Fra elev til student 2010 Optagelse Når du har afsluttet 9. eller 10. klasse, har du krav på at blive optaget i gymnasiet, hvis du l har udarbejdet en uddannelsesplan l har søgt om optagelse i umiddelbar

Læs mere

Vikar-Guide. SCNWTN Isaac Newton LBRTNSTN Albert Einstein. 2. Efter fælles gennemgang: Ret opgaverne med eleverne.

Vikar-Guide. SCNWTN Isaac Newton LBRTNSTN Albert Einstein. 2. Efter fælles gennemgang: Ret opgaverne med eleverne. Vikar-Guide Fag: Klasse: OpgaveSæt: Matematik 9. - 10. klasse Matematik med Newton 1. Fælles gennemgang: Eleverne skal bruge lommeregnere til denne opgave. Har de ikke lommeregnere, må de bruge deres mobiltelefoner.

Læs mere

Matematik, der afgør spil

Matematik, der afgør spil Artikeltype 47 Matematik, der afgør spil Sandsynlighedsregning vinder ofte. Kombinatorisk spilteori sejrer hver gang Mads Thrane Hvis du er træt af at tabe opvasketjansen i Sten Saks Papir eller Terning,

Læs mere

Videnskabsteori. Hvad er Naturvidenskab (Science)? - Fire synspunkter. To synspunkter på verdens mangfoldighed: Darwinisme Kreationisme

Videnskabsteori. Hvad er Naturvidenskab (Science)? - Fire synspunkter. To synspunkter på verdens mangfoldighed: Darwinisme Kreationisme Videnskabsteori Hvad er Naturvidenskab (Science)? - Fire synspunkter To synspunkter på verdens mangfoldighed: Darwinisme Kreationisme Hvorfor videnskabsteori? Bedre forståelse af egen praksis (aktivitet)

Læs mere

Fra logiske undersøgelser til fænomenologi

Fra logiske undersøgelser til fænomenologi HUSSERL Fra logiske undersøgelser til fænomenologi For den kontinentale filosofi skete der et afgørende nybrud omkring århundredeskiftet. Her lagde tyskeren EDMUND HUSSERL (189-1938) med værket Logische

Læs mere

Lars Hjemmeopgave, uge36-05

Lars Hjemmeopgave, uge36-05 Lars Hjemmeopgave, uge36-05 Da vi var sammen på Handelsskolen i Roskilde tirsdags d. 6. sep. 2005, blev jeg kraftigt opfordret til at påtage mig hjemmeopgaven: At dokumentere den oversigts-figur over Luhmann

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING

F I N N H. K R I S T I A N S E N TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING F I N N H. K R I S T I A N S E N RÆSONNEMENT & 1BEVIS 4 2 TES REGNING MED REGNEARK KUGLE G Y L D E N D A L 5 LANDMÅLING SIMULATIONER Faglige mål: Gennemføre simple matematiske ræsonnementer. Håndtere simple

Læs mere

Prædikenens uforudsigelighed eller om hvordan en tale virker. Om Marianne Gaarden, Prædikenen som det tredje rum (Anis 2015), 161 sider

Prædikenens uforudsigelighed eller om hvordan en tale virker. Om Marianne Gaarden, Prædikenen som det tredje rum (Anis 2015), 161 sider Georg Græsholt sognepræst, cand.theol: Prædikenens uforudsigelighed eller om hvordan en tale virker. Om Marianne Gaarden, Prædikenen som det tredje rum (Anis 2015), 161 sider Tidsskriftet Fønix Årgang

Læs mere

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang.

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Den tekniske platform Af redaktionen Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Teknologisk udvikling går således hånd i hånd med videnskabelig udvikling.

Læs mere

STUDIERETNINGER PÅ RIBE KATEDRALSKOLE

STUDIERETNINGER PÅ RIBE KATEDRALSKOLE STUDIERETNINGER PÅ RIBE KATEDRALSKOLE På Ribe Katedralskole er grundforløbet tilrettelagt ens for alle elever, så eleverne uden problemer kan ændre deres foreløbige ønske om studieretning, når der til

Læs mere

Verdens fattige flytter til byen

Verdens fattige flytter til byen Verdens fattige flytter til byen Af Henrik Valeur, 2010 Om 20 år vil der være to milliarder flere byboere end i dag. Den udviklingsbistand, verden har brug for, er derfor byudviklingsbistand. FN forventer,

Læs mere

Kvantefysik. Objektivitetens sammenbrud efter 1900

Kvantefysik. Objektivitetens sammenbrud efter 1900 Kvantefysik Objektivitetens sammenbrud efter 1900 Indhold 1. Formål med foredraget 2. Den klassiske fysik og determinismen 3. Hvad er lys? 4. Resultater fra atomfysikken 5. Kvantefysikken og dens konsekvenser

Læs mere

10.klasse. Naturfaglige fag: Matematik, Fysik/kemi. Matematik. Formål for faget matematik

10.klasse. Naturfaglige fag: Matematik, Fysik/kemi. Matematik. Formål for faget matematik 10.klasse Naturfaglige fag: Matematik, Fysik/kemi Matematik Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at

Læs mere

Statskundskab. Studieleder: Lektor, Ph.D. Uffe Jakobsen

Statskundskab. Studieleder: Lektor, Ph.D. Uffe Jakobsen Statskundskab Studieleder: Lektor, Ph.D. Uffe Jakobsen På spørgsmålet: Hvad er "politologi"? kan der meget kort svares, at politologi er "læren om politik" eller det videnskabelige studium af politik.

Læs mere

AT UNDERVISE I MATEMATIK PÅ ET FREMMESPROG 1

AT UNDERVISE I MATEMATIK PÅ ET FREMMESPROG 1 AT UNDERVISE I MATEMATIK PÅ ET FREMMESPROG 1 Indledende bemærkninger Dette arbejdsdokument har til hensigt at simplificere refleksionerne over undervisning i matematik på et fremmesprog, især inden for

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Lærervejledning 7.-9. klasse

Lærervejledning 7.-9. klasse Lærervejledning 7.-9. klasse Kære lærere, Vi er glade for at I har lyst til at komme på besøg med jeres klasse! Denne vejledning er tænkt som et tilbud for dem der godt kunne tænke sig at arbejde mere

Læs mere

4. Bio A, Mat B, Psykologi C

4. Bio A, Mat B, Psykologi C Studieretningsbeskrivelse for 4. Bio A, Mat B, Psykologi C I studieretningerne sætter de tre fag præg på undervisningen i klassens øvrige fag. Det sker gennem et samarbejde mellem to eller flere fag om

Læs mere

14 U l r i c h B e c k

14 U l r i c h B e c k En eftermiddag, da Ulrich Beck som ung førsteårs jurastuderende gik rundt i den sydtyske universitetsby Freiburg og tænkte over virkelighedens beskaffenhed, slog det ham pludselig, at det egentlig ikke

Læs mere

To be (in government) or not to be?

To be (in government) or not to be? To be (in government) or not to be? Undersøgelse af Dansk Folkepartis ageren under VK-regeringen i 00 erne Statvetenskapeliga Institutionen Statsvetenskap STVA 22: Hur stater styrs - uppsats Vejleder:

Læs mere