Opsamling. Lidt om det hele..!

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Opsamling. Lidt om det hele..!"

Transkript

1 Opsamlig Lidt om det hele..!

2 Kursus oversigt Hvad har vi været igeem: Deskriptiv statistik Sadsyligheder Stokastiske variable diskrete og kotiuerte Fordeliger Estimatio Test Iferes Sammeligig af middelværdier (variasaalyse) Hvad magler I: Lieær regressio simpel og multipel Logistisk regressio Ikke parametriske metoder og Chi i ade test

3 Deskriptiv versus iferetial Deskriptiv statistik: Metoder til at orgaisere og præsetere data på e iformativ måde. 4 3 KARAKTER Iferetial statistik Metoder til at kokludere oget ud fra data. Eksempel: Hvad er middel lægde af e hugorm? Er de større e 5? Frequecy KARAKTER

4 Nogle defiitioer Populatio: Mægde af alle idivider vi er iteresserede i. Parameter: Et deskriptivt mål for populatioe (for eksempel middelværdi og varias). Sample/stikprøve: Mægde af data taget fra e delmægde af populatioe. Statistik: Et deskriptivt mål for stikprøve.

5 Data hieraki Iterval Alle beregier ka udføres. Ka også behadles som ordiale eller omiale data. Ordial Beregiger baseret på ordee ka udføres. Ka opfattes som omiale data. Nomial Ku beregiger baseret på atal obs. i hver katagori må udføres. Ka ikke opfattes som ordede eller iterval data.

6 Cetral lokatio Geemsit: Iterval data x x i i Media: De midterste observatio Iterval og ordial Mode: De observatio, der forekommer med størst frekves Iterval, ordial og omial

7 Variatio (iterval data) Rage: største midste observatio Stikprøve varias Stadard afvigelse s s / ) ( x x x x s i i i i i i

8 Populatios parametre Populatioes størrelse: N Populatios middelværdi: Populatios varias: Populatios spredig: σ i σ N x i μ N ( x μ) i N σ i

9 Sadsyligheder E sadsylighed er et kvatitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrke af vores tro på forekomste af e usikker begivehed Ex: Sadsylighede for reg i morge er,5 Ex: Sadsylighede for at få 7 rigtige i lotto er, Regler for sadsyligheder Simulta sadsylighed (fælles mægde) P(A B) Margial sadsylighed (sum ud over ade variabel) P(A) Additiosregle (foreigs mægde) P(A U B) P(A) + P(B) P(A B) Betiget sadsylighed P(A B) P(A B)/P(B) Uafhægighed P(A B)P(A)P(B)

10 Uafhægighed To hædelser er uafhægige hvis: P(A B) P(A) og P(B A) P(B) Ligeledes P(AI B) P(A)P(B) Lige meget hvilke kombiatio af hædelser vi vælger, skal uafhægighede gælde. Hvis bare e kombiatioer viser afhægighed, er hædelsere afhægige.

11 Stokastisk variabel E stokastisk variabel X er e fuktio defieret på S (udfaldsrummet), der atager værdier på R (reelle tal) X: S R I eksperimeter kyttes e talværdi til hvert udfald: S o X X(o) R Stokastiske variable ka ete være diskrete eller kotiuerte. Diskrete: Atager et edeligt(tælleligt) atal værdier Kotiuerte: Atager værdier i e mægde af reelle tal

12 Biomial fordelig Geerelt:. Sadsylighede for e give sekves af x succes er ud af forsøg med sadsylighed for succes p og sadsylighed for fiasko q er lig med: p x q (-x). Atallet af forskellige sekveser af forsøg, der resulterer i x succes er er lig med atallet af valg af x elemeter ud af elemeter: Cx x! x!( x)! Biomial sadsyligheds fordelig: Px () x pq! x!( x)! pq x ( x) x ( x) hvor : p er sadsylighede for succes i et ekelt forsøg, q -p, er atallet af forsøg, og x er atallet af succes er.

13 De egative biomial fordelig bruges til at bestemme sadsylighede for atallet af forsøg X, der skal til for at opå et øsket atal af succes er s i e række af Beroulli forsøg med sadsylighed for succes lig p. ) ( ) ( ) ( s x p s p s x x X P NegativBiomialfordelig: ) ( Variase er: Middelværdie er: p p s p s σ μ Negativ Biomial fordelig

14 De hypergeometriske fordelig bruges til at bestemme sadsylighede for et atal af hædelser ude tilbagelægig. De tæller atallet af succes er x i udvælgelser, ude tilbagelægig, fra e populatio på N elemeter, hvor S af dem er succes er og (N-S) er fiaskos. N x S N x S x P ) ( Hypergeometrisk fordelig: pq N N N S p p er givet som: Variase hvor, Middelværdie er givet som: σ μ Hypergeometrisk fordelig

15 Poisso fordelig Poisso fordelige bruges til at bestemme sadsylighede for atallet af hædelser i et givet iterval, for eksempel et tidsiterval. De ka også bruges til at approksimere biomial sadsyligheder, år sadsylighede for succes er lille (p.5) og atallet af forsøg er stor ( ). Poisso fordelig : P( x) x μ e x! μ for x,,3,... hvor μ er middelværdie af fordelige OG variase. (Husk at e ).

16 Uiform fordelig uiform [a,b] tæthed: f(x) { /(a b) for a X b ellers E(X) (a + b)/; V(X) (b a) / Uiform [a, b] fordelig Hele arealet uder f(x) /(b a) * (b a). f(x) Arealet uder f(x) fra a til b P(a X b) (b a)/(b a) a a x b b

17 Ekspoetial fordelig De ekspoetielle stokastiske variabel, måler tide mellem to hædelser, der er Poisso fordelt. Ekspoetial fordelig : Tæthedsfu ktio er givet som : Ekspoetial fordelig : λ f ( x) λe λx for x, λ > f(x) Middelværdie og stadard afvigelse begge lig med. λ De kumulative fordeligsfuktio er givet som : er Tid 3 F( x) e λx for x.

18 Normal fordelige Normal fordelige er e vigtig fordelig, bladt adet fordi mage adre fordeliger, ka approksimeres med de. Desude er mage teststørrelser ormal fordelte Bladt adre Carl F. Gauss ( ) fadt frem til de, derfor kaldes de også de Gaussiske fordelig.

19 Stadard ormal fordelige Stadard ormal fordelige, er ormalfordelige med middelværdi og stadard afvigelse, Z~N(,²).4 Stadard Normal fordelig f(z).3. σ { μ Z 3 4 5

20 Fid P( < Z <.56) Stadard Normal Probabilities f(z) Stadard Normal Distributio Z { Kig i række med.5 og søjle med.6 P( z.56) z

21 Fid: P( < Z < z).4 Fid Z, så P( Z z).4:. Fid e sadsylighed så tæt på.4. som muligt.. Bestem herefter værdie af z fra de pågældede række og søjle. P( Z.8).4 Desude, da P(Z ).5 Areal til vestre for.5 P(z ).5 z f(z) Stadard Normal Distributio Areal.4 (.3997) P(Z.8) Z Z.8

22 Statistik Statistisk Iferes: Prediktere og forekaste værdier af populatios parametre Teste hypoteser om værdier af populatios parametre Tage beslutiger på basis af stikprøver Lave geeralisatioer om karakteristikker af e populatio... På basis af observatioer i e stikprøve, e del af populatioe

23 Estimatorer E stikprøve statistik er et umerisk mål for e opsummerede karakteristik af stikprøve. E populatios parameter er et umerisk mål for e opsummerede karakteristik af populatioe. Stikprøve geemsittet X er de mest almidelige estimator af populatios middelværdie, μ. Stikprøve variase, s², er de mest almidelige estimator af populatios variase, σ². Stikprøve stadard afvigelse, s, er de mest almidelige estimator af populatios stadard afvigelse, σ. pˆ Stikprøve adele,,er de mest almidelige estimator af populatios adele, p.

24 Stikprøve fordelig De forvetede værdi af stikprøve middelværdie er lig med populatios middelværdie E( X) μ μ Variase af stikprøve middelværdie er lig med populatios variase divideret med stikprøve størrelse X X V ( X ) σ X σ X Hvis X ormal fordelt, så er X ormalfordelt. σx X ~ N( μx, )

25 Eksempler Normal Uiform Skewed Geeral Populatio 3 μ X μ X μ X μ X

26 Studet s t fordelig Hvis populatios stadard afvigelse, σ, er ukedt, erstat σ med stikprøve stadard afvigelse, s. Hvis populatioe er ormal, så er: X μ t s / t fordelt med ( - ) frihedsgrader (degrees of freedom). t fordelige er klokkeformet og symmetrisk og defieret ved atal frihedsgrader (df). Middelværdie er altid lig. Variase af t er større ed, me går mod, år atallet af frihedsgrader vokser. t fordelige er fladere og har tykkere haler e stadard ormal fordelige. t fordelige går mod stadard ormal fordelige å atallet af frihedsgrader vokser. μ Stadard ormal t, df t, df

27 Kofidesitervaller (-α)% kofides iterval for: Populatios middelværdi μ, år X er ormal fordelt (eller stikprøve er stor) og σ er kedt: σ x ± z Populatios middelværdi μ, år X er ormal fordelt og σ er ukedt: For populatios adele p: x ± t α α s pˆ ± z α pq ˆ ˆ

28 Kofidesiterval og stikprøvestørrelse (-α)% kofides iterval for: Populatios variase σ²: Beregig af stikprøve størrelse: ( ) s, ( ) s χ χ α α Midste stikprøve størrelse, år μ estimeres : z α σ B hvor B er de maksimale græse for, hvor lagt estimatet må ligge fra de sade middelværdi (med kofides iveau α). For populatios adele er de givet ved : z α pq B Hvis p ukedt bruges p.5, da det giver de største stikprøve størrelse (og er altså et koservativt gæt).

29 Hypoteser og hypotesetest. E hypotese er et udsag om ogle karakteristika af e variabel eller mægde af variable, for eksempel: Middelværdie af de 3.semesters HA studeredes vægt lig med 7 kilo? I e hypotesetest (sigifikastest) testes værdier, der er opstillet i e hypotese, ved at sammelige med værdier bereget fra data. For eksempel ka geemsittet af e stikprøve af jeres vægte bereges til 68 kilo. Er det (sigifikat) forskellig fra 7? Det er forskellig fra 7, me ka vi derfra kokludere, at det ikke bare skyldes tilfældig variatio, afhæger af eksempelvis stikprøvestørrelse. E hypotesetest består af 5 elemeter: atagelser, hypoteser, test størrelse, p- værdi og beslutig/koklusio.

30 Test af middelværdi Atagelse: Test af μ, X kvatitativ variabel og >3. Hypoteser: H H a : μ μ : μ μ Stikprøve fordelig af X år H er sad er approksimativ ormal med middelværdi og stadard afvigelse σ μ Teststørrelse: Z μ X μ σ x

31 P-værdi og forkastelse af H Når ul hypotese er falsk, er p-værdie meget lille og år ul hypotese er sad, vil p-værdie være stor (større ed for eksempel.5). Vi accepterer/beviser aldrig, at ul hypotese er sad. Hvis vi ikke ka forkaste ul hypotese, siger vi, at der ikke er ok beviser til at forkaste de. Hvis vi forkaster ul hypotese, ka vi kokludere, at der er beviser ok til at sige, at de alterative hypotese er sad.

32 Sigifikas iveau Sigifikas iveauet α er et tal, således at H forkastes, hvis p-værdie er midre ed α. Koklusio Er ormalvis.5 eller.. Vælges før aalyse foretages. Hvis ma tester på sigifikas iveau.5, svarer det til e z-værdi på.96 i e to-sidet test og.645 i e højresidet test. P-værdi H H P<.5 Forkast Accepter Normal ses dog på p-værdie i stedet, da de i de fleste tilfælde ikke er smart at have e stadard procedure for om ma forkaster eller ej. P>.5 Forkast ikke Accepter ikke

33 Kritiske værdier, to-sidet test, α.5 Eksemplet er for stadard ormal fordelige Tilsvarede kritiske værdier ka fides adre fordeliger, for eksempel t-fordelige.

34 Type og type fejl Type fejl: H forkastes, år de er sad. Type fejl: H forkastes ikke, selvom de er falsk. Sigifikas iveauet α er sadsylighede for at begå e type fejl. Sadsylighede for at begå e type fejl beteges β Sadsylighede for type og type fejl er iverst relaterede, dvs. år de ee stiger, så falder de ade, så ma ka ikke vælge begge to så lavt som muligt. Typisk vælger med at fastsætte sadsylighede for type fejl, så ma ikke begår store fejl. For eksempel hvis H er, at e eller ade medici er skadelig, er det bedre at være sikker på, at ma ikke forkaster H selvom de er sad, ed at være sikker på, at ma ikke forkaster de, selvom de er falsk. I O.J. Simpso sage er der ok sket e type fejl ;-) Beslutig Forkast H Forkast ikke H Sad tilstad af H H sad Type fejl Korrekt beslutig H falsk Korrekt beslutig Type fejl

35 Sammeligig af to middelværdier kedte variaser og store stikprøver eller populatioer ormalfordelte Hypoteser : H H : μ μ ( μ μ ) α Kritiske pukter : : μ μ ( μ μ ) Teststørrelse : z ± z X X Beslutig :, hvor α er sigifikas iveauet. ( μ μ ) σ σ + Bemærk!!Ka også laves som et højresidet test, H vestresidet test, H Desude ka vi selvfølgelig også berege p - værdie som vi plejer, i stedet for at sammelige med de kritiske værdi z α. : μ > μ eller : μ < μ. Forkast H hvis z > z eller hvis z < z α α

36 Kofides iterval Kofides iterval for μ μ : ( X z α X ) ± z α σ σ + vælges ud fra kofides iveauet. Hvis det for eksempel er et 95% kofidesiterval, er z,96. Hvis kofidesitervallet ideholder, svarer det til, at et hypotesetest ikke havde forkastet ul hypotese om at de to middelværdier er es.

37 Ukedt varias, ormalfordelig hvor ), ( : ) ( ) ( : ) ( : : : For og : To situatioer + ± t pukter Kritiske s s s Pooled Varias s x x t Teststørrelse : H H p p ν ν μ μ μ μ σ σ σ σ σ σ α ) ( ) ( ) ( hvor, ) ( : ) ( : : : For + + ± + s s s s t pukter Kritiske s s x x t Teststørrelse : H H ν ν μ μ μ μ σ σ α Hvis store stikprøver, bruges z i stedet for t-fordelige. Boge bruger z, år og er større ed 3. SPSS reger altid med t-fordelige

38 Kofides itervaller

39 Sammeligig af to adele, pp, store stikprøver eller sammelig med de kritiske værdier. værdie er lille, år p -, Forkast H. ˆ hvor, ˆ) ˆ( ˆ ˆ Teststørrelse : ) : (dvs. : ) : (dvs. : x x p p p p p z p p H p p H p p H p p H a a + + +

40 Sammeligig af to adele, p-pd, store stikprøver H H a : : p p p p D D Teststørrelse : z pˆ ( pˆ pˆ ) / pˆ + pˆ D ( pˆ ) / Forkast H, år p - værdie er lille, eller sammelig med de kritiske værdier. Ka også laves som højresidet vestresidet test. test og

41 Kofides iterval for differece mellem to adele Kofides iterval for p ( pˆ pˆ ) ± z pˆ ( pˆ ) + ( z vælges ige ud fra kofides iveauet. For eksempel for et 95% kofidesiterval, er z,96. p pˆ : pˆ ) Og ligesom før, hvis kofidesitervallet ideholder, svarer det til, at et hypotesetest ikke havde forkastet ul hypotese om at de to middelværdier er es.

42 Parrede observatioer Lav differecer: Nike Super Nike Origial Super-Origial Bereg x D og s D ud fra differecere. Kofidesiterval: H H a : μ : μ D D μd μ x Teststørrelse : t s D Er t fordelt med D μ frihedsgrader, hvis differecere er ormalfordelte. D D D, x D ± t α Bereg selv eksemplet til opgaveregige! s D

43 Test for es varias Teststørrelse for test for es populatios ormalfordelte populatioer : varias af to F (, ) s s I: Tosidet test: σ σ H : σ σ H : σ σ II:Esidet test σ σ H : σ σ H : σ >σ

44 ANOVA - defiitio ANOVA (ANalysis Of VAriace), også kaldet variasaalyse er e statistisk metode til at bestemme, om der er forskel på middelværdiere i flere (ed to) populatioer. Grude til at det hedder variasaalyse, er at ma aalysere forskellige variaser for at bestemme om, der er forskel på middelværdiere. SÅ HUSK - variasaalyse faktisk hadler om at fide forskelle mellem middelværdier og det gør ma ved at aalysere variasere! Hypotesere er givet som: H : μ μ μ 3 μ r H : Ikke alle middelværdier er es Simpel stikprøve fra hver af de r populatioer. Stikprøvestørrelse er givet som: r

45 Atagelser for at bruge ANOVA Vi atager uafhægige stikprøver fra hver af de r populatioer Vi atager, at de r populatios: er ormal fordelte, med middelværdier μ i som er es eller forskellige, me med es variaser, σ i. σ μ μ μ 3 Populatio Populatio Populatio 3

46 Idee i ANOVA Total variatio variatioe idefor gruppere + variatioe mellem gruppere Variatioe idefor gruppere: Variatioe af observatioere i hver gruppe omkrig gruppes geemsit (dvs. variase i e gruppe, som vi jo har ataget er es for alle gruppere!) Variatioe mellem gruppere: Variatioe af grupperes geemsit omkrig det totale geemsit Hvis variatioe idefor gruppere er lille i forhold til variatioe mellem gruppere, så er middelværdiere i de forskellige grupper ikke es.

47 Sum of Squares SSTR :Sum of Squares for Treatmet SSTR r i ( x i i x) r i t i i ( SSE :Sum of Squares for Error SSE ) s r i i j + ( ( x ij ) s x i ) r i + L+ ( r e ij ) s r SST SST :Sum of Squares total r i i j ( x ij x) r i i j Tot ij

48 The Sum-of-Squares pricip Total variatio Variatio mellem grupper + Variatio idefor grupper SSTR SSE SST SST SSTR + SSE r i ( x i i x) + r i i j ( x ij x i )

49 Mea squares Lad : MSTR SSTR r - og MSE SSE - r Ma ka vise, at : E(MSE) σ i( μi μ) i E(MSTR) σ + r - Når H er sad, er μ μ L μ og dermed er MSE og MSTR to cetrale estimatorer af σ. Hvis H ikke er sad, vil MSTR være større ed MSE på grud af det ekstra positive led i E(MSTR). r

50 ANOVA MSTR Uder H følger e F - fordelig, F(r -, - r). MSE MSTR Uder H vil være tæt på og år H ikke er sad, MSE vil de være større ed. Derfor et "højre - halet" test. ANOVA tabel: Variatios kilde Sum of Squares Frihedsgrader Mea Square F Ratio Behadlig SSTR (r - ) MSTR Fejl SSE ( - r) MSE Total SST ( -) MST MSTR/MSE

51 SÅ alt i alt H H : μ μ L μ : Ikke alle μ'ere er es r Sigifikasiveau : Teststørrelse : Kritisk værdi : Beslutigsregel : α MSTR F MSE F (r -, - r) α Forkast H F > F α (r hvis -, - r)

52 Tjek af modelatagelser - ormalfordelig Normalfordelig: Teg histogrammer over data idefor hver gruppe skal lige e ormalfordelig.

53 Tjek af modelatagelser es varias Test for es varias i de forskellige populatioer. SPSS bruger e test størrelse, der hedder Levee s test. I skal bare kue vurdere, om der er es varias eller ej. Hvis p-værdie er midre ed.5, er variasere forskellige, og ANOVA ka altså ikke bruges. I fly-eksemplet er p-værdie.67 og dermed er variasere es.

54 Videre aalyse Data ANOVA Forkast ikke H Stop Forkast H Stikrøve middelværdiere er cetrale estimatorer af populatios middelværdiere. MSE er e cetral estimator af de fælles populatios varias. ANOVA Diagram Videre Aalyse Kofides itervaller for Populatios Middelværdier Tukey s Parvise Sammeligigs Test

55 Kofides itervaller for populatios middelværdier Et (-α)% kofidesiterval for μ, middelværdie i i populatio i : hvor t α er α/ fraktile i x i ± t α MSE i t - fordelige med ( - r) frihedsgrader. Hvis kofides itervallere overlapper, er middelværdiere es og hvis de ikke overlapper, er de forskellige. Bruges dog ikke i praksis som e test, da det ikke er et simultat test og der derfor er problemer med hvilket sigifikasiveau ma tester på.

56 Tukey s test for parvise sammeligiger E måde at sammelige populatios middelværdier på simultat, på et givet sigifikasiveau, er Tukey s test. 3 : H 3 : H : H 3 : H 3 : H : H 3: hvis For eksempel, middelværdier at sammelige. populatios par af )!!(! r Der er μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ r r r

57 Tukey s test for parvise sammeligiger Test størrelse er de absolutte differece Vi har at : T x i hvor q α x j q α ( r, r) MSE i x ( r, r) er de "studetiserede rage" fordelig med frihedsgrader r og - r, på sigifikasiveau α. x i j : Kritiske værdier er, år de absolutte differece bliver for stor, så et højre - halet test. det er Hvis der ikke er lige mage observatioer i hver gruppe, vælges midste af de r forskellige stikprøve størrelser. i til de

58 Modelbegrebet E statistisk model er e mægde af ligiger og atagelser, der beskriver e situatio i de virkelige verde. E-sidet ANOVA ka vi skrive på modelform som: x ij μ i + ε ij μ + α i + ε ij hvor ε ij er fejle for det j te datapukt i de i te populatio. Fejl leddee atages at være ormalfordelte med middelværdi og varias σ.

59 To-sidet ANOVA Model x ijk μ + α i + β j + (αβ) ij + ε ijk α i er effekte af iveau i(i,...,a) af faktor A; hvor μ er de overordede middelværdi; β j er effekte af iveau j(j,...,b) af faktor B; (αβ) ij er iteraktios effekte af iveau i og j; ε ijk er fejle associeret med det k te data pukt fra iveau i af faktor A og iveau j af faktor B. ε ijk atages at følge e ormalfordelig med middelværdi ul og varias σ for alle i, j, og k.

60 Hypotesere i to-sidet ANOVA Faktor A hoved effekter: H : α i for alle i,,...,a H : Ikke alle α i er Faktor B hoved effekter: H : β j for alle j,,...,b H : Ikke alle β j er Test for (AB) iteraktioer: H : (αβ) ij for alle i,,...,a og j,,...,b H : Ikke alle (αβ) ij er

61 I ord ;-) I e to-sidet varias aalyse ka vi teste effekte af to faktorer samtidig. Ma ka teste Hver faktor alee kaldes hoved effekter (mai effects) De to faktorer samme kaldes iteraktio Dvs. vi har 3 spørgsmål: Er der faktor A hovedeffekter? Er der faktor B hovedeffekter? Er der e iteraktio mellem faktor A og faktor B? Atagelser Fordelige af respose er ormal Variase for hver behadlig er es Stikprøvere er uafhægige

62 ANOVA tabelle Variatios kilde Sum of Squares Faktor A SSA a- Faktor B SSB b- Iteraktio SS(AB) (a-)(b-) Error SSE ab(-) Total SST ab- Frihedsgrader Mea Square F Ratio MSA MSB SSA a SSB b MS( AB) MSE SS( AB) ( a )( b ) SSE ab( ) F F F MSA MSE MSB MSE MS( AB) MSE A Hoved effekt Test: F (a-,ab(-)) B Hoved effekt Test: F (b-,ab(-)) (AB) Iteraktios Effekt Test: F ((a-)(b-),ab(-))

63 Eksempel 9-4 Koster kust i geemsit det samme i Lodo, New York og Tokyo? Koster kustværker af Picasso, Chagall og Dali i geemsit det samme? Er der e iteraktioseffekt, således at eksempelvis Picasso geemsitlig set sælges dyrere i New York ed i Lodo og Tokyo? Picasso Chagall Dali

64 Udvidelse af ANOVA til tre faktorer Variatios kilde Sum of Squares Faktor A SSA a- Faktor B SSB b- Faktor C SSC c- Iteraktio (AB) Iteraktio (AC) Iteraktio (BC) SS(AB) SS(AC) SS(BC) (a-)(b-) (a-)(c-) (b-)(c-) Iteraktio SS(ABC) (a-)(b-)(c-) (ABC) Error SSE abc(-) Total SST abc- Frihedsgrader Mea Square F Ratio MSA SSA a F MSB SSB b MSC SSC c SS( AB) MS( AB) ( a )( b ) SS( AC) MS( AC) ( a )( c ) SS( BC) MS( BC) ( b )( c ) SS( ABC) MS( ABC) ( a )( b )( c ) MSE SSE abc( ) MSA MSE MSB F MSE MSC F MSE MS( AB) F MSE F F F MS( AC) MSE MS( BC) MSE MS( ABC) MSE

65 Fixed-effects vs. Radom-effects E fixed-effekt model, er e model, hvor iveauere af faktorere er valgt på forhåd. Iferes i modelle gælder ku for disse iveauer. Eksempel: Vi har valgt at sammelige fly af prototype A, B og C. Dvs. vi ka ikke sige oget om differecer mellem middelværdier af adre ed disse flytyper. E radom-effekt model er e model, hvor iveauere af faktorere er valgt tilfældigt. Iferes i modelle gælder derfor for hele populatioe. Eksempel: Hvis prototype A, B og C havde været valgt tilfældig mellem alle flytyper, havde vi på baggrud af resultater for disse 3 typer, kuet sige oget om alle flytyper.

66 Desig af forsøg Fuldstædig radomiseret desig: Ethvert elemet i forsøget tildeles tilfældigt e behadlig Radomiseret blok desig: Gruppér elemetere i blokke, så elemetere liger hiade og radomiser behadligere idefor blokke. Gøres for at reducere variatio fra adre faktorer, der ikke er med i forsøget, for eksempel alder. Repeated measuremet desig: Det samme elemet bruges i alle behadliger (ala parret t-test). Aalyseres på samme måde som blok desig.

67 Model for blok desig x ij μ + α i + β j + ε ij hvor μ er de overordede middelværdi; α i er effekte af iveau i(i,...,a) af faktor A; β j er blok effekte j(j,...,b); ε ij er fejle, der hører til x ij ε ij atages at følge e ormalfordelig med middelværdi og varias σ for alle i og j. Og det var så hvad jeg havde at fortælle

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og

Læs mere

Sammenligning af to grupper

Sammenligning af to grupper Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er

Læs mere

To-sidet varians analyse

To-sidet varians analyse To-sidet varians analyse Repetition En-sidet ANOVA Parvise sammenligninger, Tukey s test Model begrebet To-sidet ANOVA Tre-sidet ANOVA Blok design SPSS ANOVA - definition ANOVA (ANalysis Of VAriance),

Læs mere

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller Stikprøvefordeliger og kofidesitervaller Stikprøvefordelige for middelværdi De Cetrale Græseværdi Sætig Egeskaber Ved Estimatore Kofidesitervaller t-fordelige Estimator og estimat E stikprøve statistik

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Konfidens intervaller

Konfidens intervaller Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af

Læs mere

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ ) 3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers

Læs mere

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software

Læs mere

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. 30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable

Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable Idholdsfortegelse Geerelt:...3 Stokastisk variabel:...3 Tæthedsfuktio/sadsylighedsfuktio for stokastisk variabel:...3 Fordeligsfuktio/sumfuktio for stokastisk variabel:...3 Middelværdi:...4 Geemsit:...4

Læs mere

Løsninger til kapitel 7

Løsninger til kapitel 7 Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed

Læs mere

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion Statistik 8. gag 1 KONIDENSINTERVALLER Kofidesitervaller: kapitel 11 Valg og test af fordeligsfuktio Statistik 8. gag 11. KONIDENS INTERVALLER Et kofides iterval udtrykker itervallet hvori de rigtige værdi

Læs mere

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle

Læs mere

Hypotesetest. Hypotesetest og kritiske værdier Type 1 og Type 2 fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer

Hypotesetest. Hypotesetest og kritiske værdier Type 1 og Type 2 fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer Hypoteetet Hypoteetet og kritike værdier Type og Type fejl Styrke af e tet Sammeligig af to populatioer Kofideiterval for σ tore tikprøver. Hvi X følger e χ -fordelig med frihedgrader, dv. X~χ (), gælder

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Program. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger

Program. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger Faculty of Life Scieces Program Esidet variasaalyse Normalfordelige Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Esidet variasaalyse (oe-way ANOVA) Hvilke type data? Hvad er problemstillige? Variatio mellem

Læs mere

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside : Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:

Læs mere

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi

Læs mere

Oversigt. Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff

Oversigt. Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff Kursus 02402/02323 Itroducerede Statistik Forelæsig 12: Iferes for adele Klaus K. Aderse og Per Bruu Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataaalyse Damarks Tekiske Uiversitet 2800 Lygby Damark e-mail:

Læs mere

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse Forskigsehede for Statistik ST01: Elemetær Statistik Bet Jørgese Modul 14: Goodess-of-fit test og krydstabelaalyse 14.1 Idledig....................................... 1 14.2 χ 2 -test i e r c krydstabel.............................

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15 Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry

Læs mere

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1 Økoometri 1 Iferes i de lieære regressiosmodel 9. september 006 Økoometri 1: F7 1 Dages program Opsamlig af hemmeopgave om Mote Carlo eksperimeter Mere om hypotesetest: Ekelt lieær restriktio på koefficieter

Læs mere

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006 Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af

Læs mere

Program. Populationer og stikprøver. Praktiske oplysninger. Eksempel vaccine mod miltbrand hos får. Praktiske oplysninger

Program. Populationer og stikprøver. Praktiske oplysninger. Eksempel vaccine mod miltbrand hos får. Praktiske oplysninger Faculty of Life Scieces Program Populatioer og stikprøver Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Praktiske oplysiger Populatioer og stikprøver Data Datatyper Visualiserig Cetrum og spredig af e fordelig

Læs mere

Program. 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. 1/12

Program. 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. 1/12 Program 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. 1/12 Ensidet variansanalyse: analyse af grupperede data Nedbrydningsrate for tre typer af opløsningsmidler (opgave 13.8 side 523) Sorption

Læs mere

Konfidensintervaller og Hypotesetest

Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller

Læs mere

Uge 40 I Teoretisk Statistik, 30. september 2003

Uge 40 I Teoretisk Statistik, 30. september 2003 Uge 40 Teoretis tatisti, 30. september 003 Esidet variasaalyse Model, otatio, hypotese og hælpehypotese Test af hælpehypotese Opdaterig af variasestimat Test af hypotese om es middelværdier Variasaalysesema

Læs mere

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit Faculty of Life Sciece Program Statitik ifere E ekelt tikprøve og lieær regreio Stat. modeller, etimatio og kofideitervaller Clau Ektrøm E-mail: ektrom@life.ku.dk Fordelig af geemit Statitik ifere for

Læs mere

Skitse til notat om hvor de forskellige sandsynlighedsfordelinger kan tænkes at komme fra

Skitse til notat om hvor de forskellige sandsynlighedsfordelinger kan tænkes at komme fra E6 efterår 1999 Notat 8 Jørge Larse 12. oktober 1999 Skitse til otat om hvor de forskellige sadsylighedsfordeliger ka tækes at komme fra I statistik opererer ma i vid udstrækig med et lille atal»stadardfordeliger«.

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA) Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:

Læs mere

Morten Frydenberg version dato:

Morten Frydenberg version dato: Morte Frdeberg versio dato: 4--4 Itroduktio til kurset Statistik Forelæsig Morte Frdeberg, Sektio for Biostatistik af Biostatistik dele af. semester kurset. Statistiske modeller Biomialfordelige Normalfordelige

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA) Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

Introduktion til Statistik

Introduktion til Statistik Itroduktio til Statistik 4. udgave Susae Ditlevse og Helle Sørese Susae Ditlevse, susae@math.ku.dk Helle Sørese, helle@math.ku.dk Istitut for Matematiske Fag Købehavs Uiversitet Uiversitetsparke 5 2100

Læs mere

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen

Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +

Læs mere

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark Matematisk Modellerig Hjælpeark Kaare B. Mikkelse 2005090 3. september 2007 Idhold Formler 2 2 Aalyse af k ormalfordelte prøver 2 2. Modelcheck............................................ 2 2.2 Test af

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 17. udgave 016 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de

Læs mere

Supplement til Kreyszig

Supplement til Kreyszig Supplemet til Kreyszig Forelæsigsoter til Matematik F Idholdsfortegelse side 1. Numerisk itegratio. Fejlvurderig af trapez og Simpso algoritmere 1. Dekompoerig af brøker (Laplace trasformatio) 3. Permutatioer

Læs mere

Statistik Lektion 8. Test for ens varians

Statistik Lektion 8. Test for ens varians Statitik Lektio 8 Tet for e varia ra tidligere Hvi populatioe er ormalfordelt med varia, å gælder ( ) S ~ χ hvor er tikprøve tørrele og S er tikprøvevariae. χ -fordelig med - frihedgrader χ Tet af Variae

Læs mere

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Kapitel 0 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Torbe Obel Soeborg Hydrologisk afdelig, GEUS Nøglebegreber: Kalibrerigsprotokol, observatiosdata, kalibrerigskriterier, idetificerbarhed, etydighed, parameterestimatio,

Læs mere

Kapitel 12 Variansanalyse

Kapitel 12 Variansanalyse Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 Indledning 2 Ensidet variansanalyse 3 Blokforsøg 4 Vekselvirkning 1 Indledning 2 Ensidet

Læs mere

Logistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression

Logistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logistisk Regression Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logisitks Regression: Repetition Y {0,} binær afhængig variabel X skala forklarende variabel π P( Y X x) Odds(Y X x) π /(-π

Læs mere

Program. 1. Flersidet variansanalyse 1/11

Program. 1. Flersidet variansanalyse 1/11 Program 1. Flersidet variansanalyse 1/11 To-sidet variansanalyse Eksempel: (opgave 14.2 side 587) vitamin indhold i frossen juice målt for ialt 9 kombinationer af mærke (Rich food, Sealed-sweet, Minute

Læs mere

Eksempel 10.1 En autoregressiv proces af orden 1 (ofte blot kaldet en AR(1)- proces) pårhar et opdateringsskema (10.1) med funktionen. for y R.

Eksempel 10.1 En autoregressiv proces af orden 1 (ofte blot kaldet en AR(1)- proces) pårhar et opdateringsskema (10.1) med funktionen. for y R. Kapitel 0 Markovkæder Vi vil i det følgede studere processer Y 0, Y, Y 2,... med værdier irgivet på forme Y = f (Y +ǫ for =, 2,... (0. Her erǫ,ǫ 2,... e følge af iid støjvariable med middelværdi 0, alle

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

Kapitel 12 Variansanalyse

Kapitel 12 Variansanalyse Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 / 43 Indledning Sammenligning af middelværdien i to grupper indenfor en stikprøve kan

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

IMFUFA TEKST NR TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER. Jørgen Larsen

IMFUFA TEKST NR TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER. Jørgen Larsen TEKST NR 435 2004 Basisstatistik 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING

Læs mere

Logistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression

Logistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logistisk Regression Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logistisk Regression: Definitioner For en binær (0/) variabel Y antager vi P(Y)p P(Y0)-p Eksempel: Bil til arbejde vs alder

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 14 udgave 014 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation. De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning Baggrudsote til sadsylighedsregig Kombiatorik. Multiplikatiospricippet E mægde beståede af forskellige elemeter kaldes her e -mægde. Elemetere i e m-mægde og elemetere i e -mægde ka parres på i alt m forskellige

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

To-sidet variansanalyse

To-sidet variansanalyse Program 1. To-sidet variansanalyse 2. Hierarkisk princip 3. Tre (og flere) sidet variansanalyse 4. Variansanalyse med blocking 5. Flersidet variansanalyse med tilfældige faktorer 6. En oversigtsslide til

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Module 4: Ensidig variansanalyse

Module 4: Ensidig variansanalyse Module 4: Ensidig variansanalyse 4.1 Analyse af én stikprøve................. 1 4.1.1 Estimation.................... 3 4.1.2 Modelkontrol................... 4 4.1.3 Hypotesetest................... 6 4.2

Læs mere

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA TEKST NR 435 2004 Basisstatisti 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Teoretisk Statistik, 18. november Stikprøveteori: hvor er vi, og hvor skal vi hen? Proportional allokering Optimal allokering

Teoretisk Statistik, 18. november Stikprøveteori: hvor er vi, og hvor skal vi hen? Proportional allokering Optimal allokering Uge 47 I Teoretisk Statistik, 8. oveber 003 Stikprøveteori: hvor er vi, og hvor skal vi he? Proportioal allokerig Optial allokerig Heruder: Saeligig af variaser og ødvedige stikprøvestørrelser for de forskellige

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test]

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination af

Læs mere

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller

Læs mere

Statistik. Introduktion Deskriptiv statistik Sandsynslighedregning

Statistik. Introduktion Deskriptiv statistik Sandsynslighedregning Statistik Introduktion Deskriptiv statistik Sandsynslighedregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Institut f. Mat. Fag 8 Kursusgange Individuel mundtlig eksamen (7-skala) Udgangspunkt i opgaver Software:

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistisk

Sandsynlighedsregning og statistisk Sadsylighedsregig og statistisk J. C. F. Gauss 777 855) Peter Haremoës Niels Brock 2. april 23 Idledig Dette hæfte er lavet som supplemet til 2. udgave af boge Mat B. Der er lagt vægt på at give e bedre

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 5. Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele

Anvendt Statistik Lektion 5. Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele Anvendt Statistik Lektion 5 Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele Motiverende eksempel Antal minutter brugt på rengøring/madlavning: Rengøring/Madlavning

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression

Anvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression Anvendt Statistik Lektion 8 Multipel Lineær Regression 1 Simpel Lineær Regression (SLR) y Sammenhængen mellem den afhængige variabel (y) og den forklarende variabel (x) beskrives vha. en SLR: ligger ikke

Læs mere

Statistik Lektion 14 Simpel Lineær Regression. Simpel lineær regression Mindste kvadraters metode Kovarians og Korrelation

Statistik Lektion 14 Simpel Lineær Regression. Simpel lineær regression Mindste kvadraters metode Kovarians og Korrelation Statstk Lekto 4 Smpel Leær Regresso Smpel leær regresso Mdste kvadraters metode Kovaras og Korrelato Scatterplot Scatterplot kf Advertsg Epedtures ( ad Sales ( Et scatterplot vser par (, af observatoer.

Læs mere

Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011)

Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011) Formelsamlig til statistik-el af metoekursus, 4. semester, lægevieskab Versio 3 (6/9-011) Kære læser Dee formelsamlig er lavet me ugagspukt i Meical Statistics, seco eitio af Betty R. Kirkwoo og A. C.

Læs mere

Modul 11: Simpel lineær regression

Modul 11: Simpel lineær regression Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 11: Simpel lineær regression 11.1 Regression uden gentagelser............................. 1 11.1.1 Oversigt....................................

Læs mere

Module 12: Mere om variansanalyse

Module 12: Mere om variansanalyse Module 12: Mere om variansanalyse 12.1 Parreded observationer.................. 1 12.2 Faktor med 2 niveauer (0-1 variabel)......... 3 12.3 Tosidig variansanalyse med tilfældig virkning..... 9 12.3.1 Uafhængighedsbetragtninger..........

Læs mere

Statistik Lektion 4. Kovarians og korrelation Mere om normalfordelingen Den centrale grænseværdi sætning Stikprøvefordelingen

Statistik Lektion 4. Kovarians og korrelation Mere om normalfordelingen Den centrale grænseværdi sætning Stikprøvefordelingen Sttistik Lektio 4 Kovris og korreltio Mere om ormlfordelige De cetrle græseværdi sætig Stikprøvefordelige Repetitio: Kotiuerte stokstiske vrible f (x) er e sdsylighedstæthedsfuktio, hvis f ( x) 0 for lle

Læs mere

STATISTISK MODELLERING OG ANALYSE 19. DECEMBER 2008 ET MAT3-PROJEKT I BAYESIANSK INFERENS VEJLEDER: JAKOB G. RASMUSSEN GRUPPE: G4-115

STATISTISK MODELLERING OG ANALYSE 19. DECEMBER 2008 ET MAT3-PROJEKT I BAYESIANSK INFERENS VEJLEDER: JAKOB G. RASMUSSEN GRUPPE: G4-115 STATISTISK MODELLERING OG ANALYSE ET MAT3-PROJEKT I BAYESIANSK INFERENS 19. DECEMBER 2008 θ x VEJLEDER: JAKOB G. RASMUSSEN GRUPPE: G4-115 INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG Istitut for Matematiske Fag Fredrik

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Dansk. Oversigt. 1 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 2 Konfidensintervallet for µ Eksempel. 3 Den statistiske sprogbrug og formelle ramme

Dansk. Oversigt. 1 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 2 Konfidensintervallet for µ Eksempel. 3 Den statistiske sprogbrug og formelle ramme Itroduktio til Statistik enote 3: Kofidesitervaller for é gruppe/stikprøve Egelsk Forelæsig 4: Kofidesiterval for middelværdi (og spredig) Peder Bacher DTU Compute, Dyamiske Systemer Bygig 303B, Rum 009

Læs mere

Ikke-parametriske metoder. Repetition Wilcoxon Signed-Rank Test Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test

Ikke-parametriske metoder. Repetition Wilcoxon Signed-Rank Test Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test Ikkeparametriske metoder Repetition Wilcoxon SignedRank Test KruskalWallis Test Friedman Test Chiianden Test Run Test Er sekvensen opstået tilfældigt? PPPKKKPPPKKKPPKKKPPP Et run er en sekvens af ens elementer,

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

Repetition. Forårets højdepunkter

Repetition. Forårets højdepunkter Repetto Forårets højdepukter Forårets højdepukter Smpel Leær Regresso Smpel leær regresso: Mdste kvadraters metode Kovaras og Korrelato Scatterplot Scatterplot kf Advertsg Epedtures (X ad Sales (Y Et scatterplot

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere