Titel: Analyse af cellulært materiale Divinycell H. Tema: Analyse og design af bærende konstruktioner

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Titel: Analyse af cellulært materiale Divinycell H. Tema: Analyse og design af bærende konstruktioner"

Transkript

1

2

3 Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige Fakultet Institut for Byggeri og Anlæg Sohngårdsholmsvej Aalborg Titel: Analyse af cellulært materiale Divinycell H Tema: Analyse og design af bærende konstruktioner Projektperiode: 1. semester af Kandidatuddannelsen i Bygge- og Anlægskonstruktion Synopsis: Projektgruppe: B217 Deltagere: Kristian T. Brødbæk Morten Christiansen Gitte L. Grønbech Jannie J. Nielsen Rikke Poulsen SørenP.H.Sørensen Formålet med dette projekt er at bestemme stivhedsegenskaberne for det cellulære materiale Divinycell H. Stivhedsparametrene bestemmes dels ved trækforsøg og dels ved at modellere mikrostrukturen med forskellige analytiske og numeriske modeller. Mikrostrukturen modelleres med bjælkemodeller af åbne kvadratiske og heksagonale prismer samt skivemodeller med cirkulære huller og skrå gitre, hvilket sammen med trækforsøget udmunder i fastlæggelsen af materialets stivhedsparametre. De fundne parametre bruges i opbygningen af analytiske og numeriske modeller til bestemmelse af udbøjningen og spændingerne i en bjælke udsat for trepunktsbøjning. Udbøjningen beregnes med både Bernoulli- Euler- og Timoschenko-bjælketeori og med lineær elementmetode for plane skiver. Der udføres desuden et bøjningsforsøg, og det sammenlignes i hvor høj grad, bjælkemodellerne passer med forsøgsdata. Vejleder: Christian Frier Oplagstal: 8 Sidetal: 146 Afsluttet: 18. december 2007 Appendiks og bilagscd er vedlagt.

4

5 Forord Denne rapport er udarbejdet af gruppe B217 på 1. semester af uddannelsen til Kandidat i Bygge- og Anlægskonstruktion, hjemmehørende under B-sektoren ved Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige Fakultet på Aalborg Universitet. Det overordnede tema for projektperioden er Analyse og design af bærende konstruktioner, hvormaterialetdivinycell H er blevet analyseret. Projektet består af en rapport med tilhørende appendiks. Rapporten er inddelt i to hovedområder hhv. bestemmelse af stivhedsparametre for materialet og analyse af en bjælke i det pågældende materiale. Bagerst i appendiks er vedlagt en programliste og bilagscd. I programlisten kan navn samt en beskrivelse af de anvendte programmer findes. På bilagscd en findes de anvendte beregningsprogrammer, forsøgsdata samt rapporten i pdf-format. I rapporten henvises der til kilder på følgende måde: [ Forfatterens efternavn udgivelsesår ] Supplerende oplysninger om kilderne findes i litteraturlisten. 1

6 2

7 Indhold 1 Indledning Problemstillinger Løsningsstrategi... 9 I Bestemmelse af effektive stivhedsparametre 11 2 Forudsætninger 13 3 Gibson og Ashby-metoden Elasticitetsmodul Poissonsforhold Numerisk analyse af Gibson og Ashby-enhedscelle Elasticitetsmodul Forskydningsmodul Numerisk analyse af heksagonal enhedscelle Elasticitetsmodulforenkeltcelle Elasticitetsmodulforcellestruktur Cellestrukturudsatforenaksettøjning Dilute- og selfconsistent-estimater 41 7 Numerisk beregning af enhedscelle med cirkulært hul Enaksettøjning Renforskydningstøjning Konvergensanalyse Numerisk analyse af skråt gitter Enaksettøjning Voigt- og Reuss-estimater Voigt-estimat Reuss-estimat

8 4 INDHOLD 10 Trækforsøg Forsøgsopstilling Resultater Opsamling og vurdering Elasticitetsmodul Poissonsforhold Forskydningsmodul Stivhedsparametre II Analyse af bjælke Forudsætninger Beregning af udbøjning med bjælketeori Udbøjningafbjælkeakse Forskydningsareal Udbøjning af vilkårligt punkt Sandwichbjælke Transformeretinertimoment Forskydningsareal Bestemmelseafudbøjninger Bestemmelseafspændinger Resultater Udbøjninger Spændinger Numerisk analyse af bjælke Konvergensanalyse Modificeret understøtning Sammenligningogvurdering Resultater Udbøjninger Spændinger Numerisk analyse med superelementer Superelement Bjælke inddelt i superelementer Konvergensanalyse Resultater Bøjningsforsøg Forsøgsbeskrivelse Resultater...128

9 INDHOLD 5 17 Opsamling og vurdering Udbøjning Spændinger Konklusion Bestemmelseafeffektivestivhedsparametre Analyseafbjælke Litteratur 145

10 6 INDHOLD

11 Kapitel 1 Indledning I dette projekt tages der udgangspunkt i materialet Divinycell H, der er et cellulært materiale bestående af polyurethan, som fremstilles i forskellige porøsiteter. Polyurethan er et kemisk fremstillet materiale hørende under plastgruppen. Materialet har en lav densitet, gode isolerings- og dæmpningsegenskaber samt en høj trækstyrke i forhold til dets densitet. Grundet materialestrukturen, der er inhomogen, kan det cellulære materiales egenskaber set i forhold til det solide materiales egenskaber ikke bestemmes eksakt ved analytiske modeller, hvorfor der i stedet kan anvendes approksimative numeriske og analytiske modeller. Alternativt kan laboratorieforsøg til bestemmelse af dets egenskaber udarbejdes. Materialestrukturen kan ses på figur 1.1. Figur 1.1: Materialestrukturen for Divinycell H. Inhomogeniteten bevirker, at der i forbindelse med materialeanalysen gøres nogle antagelser. Udtages et volumenelement, der er repræsentativt for strukturen, kan materialet betragtes som homogent med effektive stivhedsparametre. Det repræsentative volumenelement (RVE) skal vælges i en sådan 7

12 8 KAPITEL 1. INDLEDNING størrelse, at analysen er overkommelig kombineret med, at elementet er stort nok til at sikre korrekte stivhedsparametre. I forbindelse med projektet er der fire forskellige typer af materialet Divinycell H til rådighed, hvor densiteten og dermed porøsiteten og stivhedsparametrene er forskellige. De fra producenten opgivne materialedata kan ses i tabel 1.1. Materialetype Densitet Elasticitetsmodul, træk Trækstyrke [kg/m 3 ] [MPa] [MPa] H ,4 H ,5 H ,8 H ,1 Tabel 1.1: Udvalgte nominelle materialedata opgivet af producenten. Elasticitetsmodul og trækstyrke er målt vinkelret på planet. [DIAB International AB 2007] Materialet leveres i plader med en tykkelse på 50 mm. Der er fra producenten kun opgivet styrker vinkelret på pladen, hvorfor det ikke på forhånd vides, om parametrene parallelt med pladen har samme værdi. Parametrene er også angivet for tryk, hvor værdierne er lidt mindre end for træk. Materialet kan derfor ikke forventes at være fuldstændigt isotropt. Betragtes figur 1.2, der er et tværsnit af de fire typer plader, kan det specielt for H80, H130 og H200 ses, at materialet ved kanterne er forskelligt fra det resterende materiale, der herefter benævnes kernen. Derfor betragtes materialet i kanterne og kernen enkeltvist og benævnes i rapporten hver for sig som værende homogene på trods af, at der ikke er belæg for dette grundet den cellulære struktur. Figur 1.2: Tværsnit af de fire materialetyper.

13 1.1. PROBLEMSTILLINGER Problemstillinger Det ønskes i projektet at bestemme stivhedsegenskaberne for det cellulære materiale Divinycell H. Via forsøg ønskes det at klarlægge, om den visuelle forskel på kant- og kernematerialet dækker over en forskel i stivheden. I så fald ønskes det at finde stivhedsegenskaberne for både kant- og kernematerialet for de fire typer af materialet, og det ønskes undersøgt, om der er en direkte sammenhæng mellem porøsiteten og stivhedsparametrene. Det ønskes desuden at undersøge, om der kan opnås tilsvarende resultater ved at modellere mikrostrukturen, og herudfra beregne relative stivhedsparametre med analytiske og numeriske beregninger. Med de fundne stivhedsparametre ønskes det at undersøge, hvorvidt analytiske og numeriske bøjningsmodeller giver tilsvarende resultater som ved forsøg. I den forbindelse ønskes det at klarlægge, om det er rimeligt at betragte delmaterialerne som værende homogene og isotrope med effektive materialeparametre Løsningsstrategi Ovenstående problemstillinger belyses gennem projektets to dele. I første del bestemmes stivhedsparametrene for det cellulære materiale som funktion af den relative densitet, dels ved enaksede trækforsøg og dels ved forskellige analytiske og numeriske metoder, hvor stivhedsparametrene bestemmes ud fra forskellige opbygninger af en enhedscelle. Første del ender med en opsamling og vurdering af hvilke materialeparametre, der er gældende for en given porøsitet. Anden del omhandler bøjning af materialet, idet der laves forsøg med trepunktsbøjning. Resultatet sammenlignes med en analytisk beregning med hhv. Bernoulli-Euler- og Timoschenko-bjælketeori og med numeriske elementmetodeberegninger med forskellige elementtyper.

14 10 KAPITEL 1. INDLEDNING

15 Del I Bestemmelse af effektive stivhedsparametre 11

16

17 Kapitel 2 Forudsætninger Det ønskes at finde hhv. elasticitetsmodulet, E, Poissons forhold, ν, og forskydningsmodulet, G, for det cellulære materiale. Stivhedsparametrene findes dels ved at lave enaksede trækforsøg med materialet, og dels ved at betragte et repræsentativt volumen element (RVE), også kaldet enhedscelle, svarende til det mindste volumen, som giver tilnærmelsesvis præcise resultater. Da den eksakte cellestruktur ikke kendes, tilnærmes den med fire forskellige strukturer, der kan ses på figur 2.1. På figur 2.1a ses en cellestruktur med kvadrater opbygget af bjælker, som der laves analytiske beregninger af vha. Gibson og Ashbys-metode og numeriske beregninger med elementmetoden for bjælker. Strukturen på figur 2.1b er ligeledes en bjælkemodel, men her er strukturen tilnærmet med heksagonale prismer. For denne struktur udføres kun en numerisk beregning. På figur 2.1c ses en struktur med cirkulære huller, hvorpå der laves analytiske beregninger med dilute- og selfconsistent-estimaterne og numeriske beregninger med elementmetoden for plane konstruktioner. Den sidste cellestruktur på figur 2.1d er et skråt gitter, som der laves numerisk beregning på med elementmetoden for plane konstruktioner. Endelig beregnes materialeparametrene vha. Voigt- og Reuss-estimaterne, der er uafhængige af materialestrukturen, da alene porøsiteten af enhedscellen er af betydning. Til beregning af de effektive stivhedsparametre for enhedscellen skal stivhederne for det solide materiale kendes. Hertil anvendes parametrene for PVC, da dette materiale og polyurethan skønnes at have tilnærmelsesvis ens egenskaber. PVC s stivhedsparametre kan ses i tabel

18 14 KAPITEL 2. FORUDSÆTNINGER (a) Kvadratiske prismer. (b) Heksagonale prismer. (c) Cirkulære huller. (d) Skråt gitter. Figur 2.1: Forskellige opbygninger af cellestrukturen. Stivhedsparametre for PVC Elasticitetsmodul, E s 3000 MPa Poissons forhold, ν s 0,33 Forskydningsmodul, G s 1128 MPa Tabel 2.1: Stivhedsparametre for PVC, der antages at være repræsentative for det solide materiale i enhedscellen, polyurethan. [Gibson & Ashby 1988, s. 44] [Roscoe Moss Company 2007]

19 15 Densiteten af det solide polyurethan, ρ s, sættes til 1050 kg/m 3. [Engineringtalk 2000] Idet det solide materiales egenskaber skønnes, vil der som en konsekvens heraf være en stor usikkerhed forbundet med resultaterne, hvor det solide materiales egenskaber indgår. Materialet antages at kunne regnes som værende lineært elastisk, hvorfor Hookes lov er gældende. Materialestrukturen forventes ikke at kunne regnes som værende homogen og isotrop, hvilket dog er en forudsætning for nogle af metoderne, som angivet under de enkelte afsnit.

20 16 KAPITEL 2. FORUDSÆTNINGER

21 Kapitel 3 Gibson og Ashby-metoden Gibson og Ashby-metoden er en metode, hvor cellerne tilnærmes med et bjælke-søjle system, hvorpå Bernoulli-Euler-bjælketeori benyttes. En tilnærmelse af den betragtede enhedscelle som bjælke-søjle system kan ses på figur 3.1. Metoden er velegnet til cellulære materialer med lav porøsitet, hvor t L. Afsnittet er baseret på Cellular Solids [Gibson & Ashby 1988, s ]. Figur 3.1: Enhedscelle for Gibson og Ashby-metoden. 3.1 Elasticitetsmodul Med kendskab til densiteten, ρ s, og elasticitetsmodulet, E s, for det solide materiale, jf. tabel 2.1, ønskes det at finde det effektive elasticitetsmodul ρ for det porøse materiale ud fra den relative densitet, ρ s, der sammenholder 17

22 18 KAPITEL 3. GIBSON OG ASHBY-METODEN densiteten af det cellulære materiale, ρ, i forhold til densiteten af det solide materiale, ρ s. I de følgende udregninger antages det, at stængerne, der overfører belastning mellem cellerne, er meget mindre end den enkelte celle. Densiteten beregnes derfor med den tilnærmelse, at cellerne ligger helt tæt. Densiteten af det solide materiale, ρ s,ergivetved: ρ s = m m = V s L t 2 (3.1) c 1 hvor m er massen af enhedscellen, V s er volumenet af det solide materiale, L og t er hhv. dimensionen af enhedscellen og tykkelsen af bjælkerne/søjlerne, jf. figur 3.1, og c 1 er en konstant, der ved store porøsiteter kan sættes til antallet af bjælker og søjler i enhedscellen. Densiteten af hele enhedscellen, ρ, er givet ved: ρ = m V = m L 3 (3.2) Den relative densitet, ρ ρ s, kan hermed bestemmes ved: ( ) ρ t 2 = c 1 (3.3) ρ s L Udsættes cellen for en enkeltkraft, som illustreret på figur 3.2, er den effektive spænding, σ, og den effektive tøjning, ε, i cellen givet ved følgende formler: σ = P L 2 (3.4) ε = 2 δ (3.5) L hvor δ angiver udbøjningen af bjælkerne. Ved formel 3.5 forudsættes det, at belastningen alene giver anledning til bøjning i bjælkerne. Ved Bernoulli-Euler-bjælketeori kan forholdet mellem kraften, P,ognedbøjningen, δ, findes ved: P 2 = c δ E s I 2 L 3 (3.6) hvor E s er elasticitetsmodulet for det solide materiale, c 2 er en konstant, der afhænger af understøtningsforholdene, og I er inertimomentet for bjælken i cellen, der grundet et kvadratisk tværsnit er givet ved: I = t4 12 (3.7)

23 3.1. ELASTICITETSMODUL 19 Figur 3.2: Deformation af enhedscellen ved belastning af enkelkræfter. Ved sammensætning af formel kan spændingerne findes ved: σ = c 2 E s t 4 12 L 4 ε (3.8) Af formel 3.8 ses det, at elasticitetsmodulet for Gibson og Ashby-metoden, E G-A, ved brug af Hookes lov kan skrives som: t 4 E G-A = c 2 12 L 4 E s (3.9) Ved anvendelse af formel 3.3 kan elasticitetsmodulet for det cellulære materiale findes som en funktion af den relative densitet og elasticitetsmodulet for det solide materiale: E G-A E s hvor c = c 2. I tilfælde af at den relative densitet, 12 c 2 1 ( ) ρ 2 = c (3.10) ρ s ρ ρ s,er1,videsdet,at det relative elasticitetsmodul, E E s, ligeledes er 1, hvormed konstanten c kan sættes til 1. I formel 3.6 er sammenhængen mellem kraft og deformation angivet jf. en bjælkemodel, hvorfor metoden kun giver gode resultater ved lave værdier af den relative densitet. Derfor er det ikke nødvendigvis rimeligt at benytte en randbetingelse ved en relativ densitet på 1. Konstanten c kan i stedet bestemmes ved anvendelse af konstanterne c 1 og c 2.Konstantenc 1 kan for lave værdier af den relative densitet sættes til 12, svarende til antallet af bjælker og søjler i enhedscellen. Konstanten c 2,der

24 20 KAPITEL 3. GIBSON OG ASHBY-METODEN afhænger af understøtningsforholdene, varierer mellem 48 og 192 svarende til, at bjælkerne udsat for bøjning er hhv. simpelt understøttet og fast indspændt. Indsættes disse værdier, skal konstanten c variere mellem 1 36 og 1 9. På figur 3.3 er det relative elasticitetsmodul optegnet som funktion af den relative densitet for de tre værdier af konstanten c. Relativ Elasticitetsmodul E/E s [ ] c=1 c=1/9 c=1/ Relativ densitet ρ/ρ s [ ] Figur 3.3: Det relative elasticitetsmodul som funktion af den relative densitet for tre værdier af konstanten c. Af figuren fremgår det, at det relative elasticitetsmodul er stærkt forskelligt metoderne imellem. En af grundene til at konstanterne afviger så meget fra hinanden er, at belastningen i modellen påføres det værst tænkelige sted. Da det ved forsøg med cellulære materialer har vist sig, at en konstant c =1 er mest præcis, vælges estimatet herfra som sammenligningsgrundlag [Gibson & Ashby 1988, s ]. 3.2 Poissons forhold Gibson og Ashby-metoden kan også bruges til bestemmelse af forskydningsmodulet, G, og Poissons forhold, ν, hvis det forudsættes, at materialet er isotropt og homogent. På figur 3.4 kan deformationen af cellen udsat for forskydning ses, idet det antages, at forskydningen kun giver anledning til en bøjning af de tværgående bjælker. Herudover vil der ske en forskydningsdeformation af søjlerne, men idet der ses bort fra dette, vil der derfor gælde samme relation mellem udbøjningen, δ, og kraften, P, som i tilfældet ved trykpåvirkning af cellen, der er udtrykt ved formel 3.6.

25 3.2. POISSONS FORHOLD 21 Figur 3.4: Den antagne deformation af enhedscellen ved udsættelse for forskydning. For forskydningsspændingen, τ, og forskydningstøjningen, γ, gælder der under forudsætning om små deformationer: τ = P L 2 (3.11) γ = 2δ (3.12) L hvor δ er deformationen, der kan ses på figur 3.4. Da forskydningsmodulet, G, er givet som forskydningsspændingen divideret med forskydningstøjningen, kan forskydningsmodulet ved anvendelse af formel 3.6, 3.11 og 3.12 beregnes til: G = τ γ = k 1 E s I L 4 (3.13) hvor k 1 er en konstant, der er lig c 2, når der ses bort fra deformationen af søjlerne. Ved indsættelse af formel 3.3 og 3.7 kan forskydningsmodulet formuleres som funktion af den relative densitet, ρ ρ s : ( ) G ρ 2 = k (3.14) E s ρ s hvor k er en konstant, hvor understøtningsforholdene samt antallet af bjælker og søjler i enhedscellen indgår. Når der ses bort fra deformationen af søjlerne findes, at k = c. For et lineært elastisk, homogent og isotropt materiale er sammenhængen mellem Poisson forhold, forskydnings- og elasticitetsmodulet givet ved: G = E 2(1 + ν) (3.15)

26 22 KAPITEL 3. GIBSON OG ASHBY-METODEN Ved at isolere forskydningsmodulet i formel 3.14 og elasticitetsmodulet i formel 3.10 og indsætte dem i formel 3.15, kan Poissons forhold for Gibson og Ashby-metoden, ν G-A, findes ved: ν G-A = c 2 k 1 (3.16) hvormed Poissons forhold bliver lig en konstant, idet c og k er konstanter. Når der ses bort fra forskydning af søjlerne, er k = c, hvormed Poissons forhold bliver ν G-A = 0,5. Dette er ikke en sandsynlig værdi, da Poissons forhold normalt ligger mellem 0 og 0,5. Det vurderes, at værdien skyldes den tvivlsomme antagelse om homogenitet og isotropi samt forudsætningen om, at der ikke forekommer forskydning af søjlerne. Hvis der tages højde for forskydning af søjlerne, er k c. Dac og k er konstanter, er Poissons forhold uafhængig af den relative densitet. Bruges randbetingelsen ved en relativ densitet på 1, bliver Poissons forhold for det cellulære materiale lig det solide materiales. Idet der tages udgangspunkt i materialeparametrene for PVC, kan Poissons forhold sættes til 0,33, jf. tabel 2.1. Her er det stadig forudsat, at materialet er homogent og isotropt. Hvis dette ikke er tilfældet, er det muligt, at Poissons forhold afhænger af den relative densitet.

27 Kapitel 4 Numerisk analyse af Gibson og Ashby-enhedscelle I det følgende ønskes det at bestemme de effektive stivhedsparametre af Gibson og Ashby-enhedscellen gennem en numerisk analyse ved elementmetoden. Enhedscellen opbygges som en tredimensional bjælkemodel med indspændte samlinger. Elementmetoden for et skiveproblem er beskrevet i appendiks B, men i dette tilfælde anvendes i stedet teorien for et lineært bjælkeproblem, der er beskrevet i Introduction to the finite element method [Ottosen & Petersson 1992, s ]. Enhedscellen kan ses på figur 4.1. I udregningen af materialets elasticitetsmodul kan enhedscellen grundet symmetri samt belastningens placering betragtes som et plant bjælkeproblem, svarende til det skraverede felt på figur 4.1. Det er ikke den eksakte størrelse af enhedscellen, der har betydning for resultatet, men derimod kun den relative densitet. Belastningens størrelse har heller ingen betydning som følge af lineariteten. Ved både beregningen af elasticitetsmodulet og forskydningsmodulet sættes bjælkernes længde, L, til 2 mm, mens den effektive normalspænding, σ, og den effektive forskydningsspænding, τ, begge sættes til 1 MPa. Den antagne cellestruktur for enhedscellen kan ses på figur 4.2 i hhv. udeformeret og deformeret tilstand. Det antages, at cellerne kan deformere sig frit til de sider, der er ortogonale på belastningen, og at afstanden mellem enhedscellerne er meget mindre end enhedscellernes længde. 23

28 24 KAPITEL 4. NUMERISK ANALYSE AF GIBSON OG ASHBY-ENHEDSCELLE Figur 4.1: Gibson og Ashby-enhedscelle ved den antagne cellestruktur. (a) Udeformeret cellestruktur for kvadratisk enhedscelle. (b) Deformeret cellestruktur for kvadratisk enhedscelle. Figur 4.2: Cellestruktur for enhedscellerne.

29 4.1. ELASTICITETSMODUL Elasticitetsmodul Elementopdelingen samt understøtningerne ved den kvadratiske enhedscelle kan ses på figur 4.3. Enhedscellen er derudover understøttet i knude 1, 3, 5 og 7 således, at den ikke kan deformere sig ud af planet. Udover knuderne på figuren er der anvendt hjælpeknuder for at definere elementernes orientering. Hjælpeknuderne gør det muligt at definere bøjningsstivhederne for den enkelte bjælke. Figur 4.3: Elementopbygning af kvadratisk enhedscelle udsat for konstant enakset tryk. I modellen kan tykkelsen, t, af bjælkerne varieres imellem 0,05 og 2,00 mm således, at der kan bestemmes deformationer for forskellige relative densiteter. Den relative densitet, ρ ρ s, bestemmes ud fra det samlede volumen, V,af enhedscellen og det samlede volumen, V s, af cellevæggene ved: ρ =1 V V s ρ s V (4.1) hvor volumenerne er fundet eksakt ved betragtning af figur 4.1. Bøjningsinertimomenterne om bjælkernes lokale y- ogz-akser, I y og I z, kan grundet kvadratiske tværsnit bestemmes ved: I y = I z = t4 (4.2) 12 Vridningsinertimomentet, I x, er uden betydning, da enhedscellen ved den påførte belastning ikke udsættes for vridning. Den effektive trykspænding, der holdes konstant for de forskellige relative densiteter, fordeles ud som en kraft, P, hvilket kan ses på figur 4.1. Dette

30 26 KAPITEL 4. NUMERISK ANALYSE AF GIBSON OG ASHBY-ENHEDSCELLE svarer til, at knude 4 og 8 i modellen belastes. Den effektive spænding virker over et areal på: A =(L + t) 2 (4.3) hvor L er længden af centerlinien, og t er tykkelsen af bjælkerne og søjlerne, jf. figur 4.1. Hermed findes kraften, P, til: P = σ A (4.4) 2 Som følge af kraftpåvirkningen sker der en deformation af cellen, der svarer til en udbøjning af bjælkerne og søjlerne, som vist på figur 4.2b. Den samlede deformation, δ, kan findes ved addition af deformationerne ved knude 4 og 8. Deformationerne bestemmes i elementmetodeprogrammet i programmappe 1, og de effektive normaltøjninger i enhedscellen kan herefter findes ved: ε = δ (4.5) L + t Ved formel 4.5 antages det, at normaltøjningen på bjælkernes korte led er negligeabel. Dette er en god antagelse for små værdier af den relative densitet, da deformationen stammende fra bøjning af bjælkerne er dominerende. Det effektive elasticitetsmodul, E, for enhedscellen bestemmes ved Hookes lov, idet de fundne effektive normaltøjninger, ε, og den konstante, effektive trykspænding, σ, indsættes: E = σ (4.6) ε Det effektive elasticitetsmodul, E, omregnes herefter til et relativt elasticitetsmodul, E E s, idet der divideres med cellevæggenes elasticitetsmodul, E s. E På figur 4.4 kan det relative elasticitetsmodul, E s, ses som funktion af den relative densitet, ρ ρ s. På figur 4.4 kan det ses, at det relative elasticitetsmodul bliver større end det solide materiales elasticitetsmodul ved en høj relativ densitet. Dette tydeliggør, at bjælkemodellen er upræcis for høje værdier af den relative densitet. Dette skyldes, at der i hjørnerne af modellen sker en overlapning af bjælkerne, som det kan ses på figur 4.5, hvormed de virkelige understøtningsforhold vil afvige fra de antagne i bjælkemodellen. Herudover ses det på figur 4.4, at den numeriske beregning af enhedscellen for værdier af den relative densitet mellem 0 og 0,3 giver et elasticitetsmodul svarende til den analytiske løsning med konstanten c =1/9, hvilket svarer til en fast indspænding af bjælkerne imellem. Dette er dog ikke tilfældet ved store relative densiteter, hvilket bl.a. skyldes, at der er anvendt forskellige antagelser ved beregning af kraften, P, ρ og den relative densitet, ρ s. Spændingen blev ved den analytiske metode fordelt over et areal på enhedscellens længde kvadreret uden hensyntagen til cellevæggenes tykkelse, hvilket der gøres ved den numeriske model, hvorfor

31 4.1. ELASTICITETSMODUL 27 Relativ elasticitetsmodul E/E s [ ] Numerisk c=1 c=1/9 c=1/ Relativ densitet ρ/ρ s [ ] Figur 4.4: Det relative elasticitetsmodul som funktion af den relative densitet for en kvadratisk enhedscelle. den påførte kraft varierer. Den relative densitet udregnes forskelligt de to metoder imellem, idet der ved den analytiske model blot tages tværsnitsarealet af de enkelte cellevægge multipliceret med antallet, hvilket der ved høje relative densiteter giver en stor usikkerhed. Ved den numeriske model udregnes den relative densitet derimod eksakt. Figur 4.5: Fejl ved bjælkemodellen, hvor det dobbeltskraverede område markerer overlapningen af bjælkerne, og den blå linie viser bjælkernes centerlinie. Ved Gibson og Ashby-enhedscellen påføres belastningen på midten af overliggerne, hvormed disse udsættes for bøjning, hvilket giver anledning til store deformationer. I tilfælde af at belastningen i stedet påføres direkte til søjlerne, vil enhedscellens samlede deformation alene udgøres af søjlerne. Idet det antages, at disse ikke udsættes for søjlevirkning, kan deformationen findes ved anvendelse af Hookes lov. Ved en relativ densitet på 9 % kan det findes, at elasticitetsmodulet bliver 64 gange større i tilfælde af, at belastningen overføres direkte til søjlerne. Dette viser, at der er store usikkerheder forbundet med valget af cellestruktur og påføring af belastning.

32 28 KAPITEL 4. NUMERISK ANALYSE AF GIBSON OG ASHBY-ENHEDSCELLE 4.2 Forskydningsmodul For at tage højde for søjlernes deformation ved bestemmelse af forskydningsmodulet, G, laves en numerisk bjælkemodel af dette. Ved bestemmelse af forskydningsmodulet påføres belastningen som vist på figur 4.6. Ved denne belastning af enhedscellen er det nødvendigt at betragte enhedscellen i tre dimensioner. Figur 4.6: Enhedscelle påvirket af forskydning. Elementopbygningen kan ses på figur 4.7, hvor belastningen ligeledes er påsat. Knuderne 3 og 5 fastholdes i alle retninger, mens knude 1, 7, 17, 19, 21 og 23 alle fastholdes mod flytninger i y-aksens retning for at sikre en forskydningsdeformation svarende til ren forskydning. Herudover er der anvendt hjælpeknuder til angivelse af elementernes orientering. Figur 4.7: Elementopdeling af enhedscelle ved forskydningspåvirkning. Ved beregning af forskydningsmodulet varieres tykkelsen, t, hvorved den relative densitet, ρ ρ s, bjælkernes inertimomenter, I y og I z, og arealet af enhedscellens overside, A, kan beregnes af hhv. formel 4.1, 4.2 og 4.3. Ligesom

33 4.2. FORSKYDNINGSMODUL 29 ved beregning af elasticitetsmodulet bliver bjælkerne ikke udsat for vridning, hvormed vridningsinertimomentet, I x, er irrelevant. Da forskydningsspændingen, τ, påføres som en kraft to steder på både over- og undersiden af enhedscellen, kan denne kraft, P, findes til: P = τ A (4.7) 2 Som følge af belastningen vil enhedscellen deformere sig som vist på figur 4.8. Den samlede deformation, δ, findes ved addition af deformationen i knude 4 og 8. Figur 4.8: Deformation af enhedscelle ved forskydningspåvirkning. Forskydningstøjningen, γ, kan for små deformationer bestemmes ved: γ = δ L + t mens det effektive forskydningsmodul, G, kan bestemmes ved: G = τ γ (4.8) (4.9) Det relative forskydningsmodul findes herefter ved at dividere med det solide materiales forskydningsmodul. Det relative forskydningsmodul er på figur 4.9 optegnet som funktion af den relative densitet, hvor også resultaterne fra den analytiske model er optegnet ved brug af formel Af figur 4.9 ses det, at det relative forskydningsmodul overstiger 1 ved en relativ densitet på 1 ved den numeriske model. Dette tydeliggør, at modellen er upræcis ved store værdier af den relative densitet. Af kurverne kan det findes, at den numeriske model og den analytiske model for k =1/9 ligger tæt

34 30 KAPITEL 4. NUMERISK ANALYSE AF GIBSON OG ASHBY-ENHEDSCELLE Relativ forskydningsmodul G/G s [ ] Numerisk k=0,38 k=1/9 k=1/ Relativ densitet ρ/ρ s [ ] Figur 4.9: Det relative forskydningsmodul som funktion af den relative densitet. ved relative densiteter mellem 0 og 0,3. Forskydningsmodulet fundet med konstanterne k = 1/36 og k = 1/9 forventes at underestimere forskydningsmodulet, hvorfor disse undlades fra den videre sammenligning. Poissons forhold, ν, bestemmes ved anvendelse af formel 4.10, der gælder for homogene og isotrope materialer: ν = E 2G 1 (4.10) Poissons forhold er på figur 4.10 optegnet som funktion af den relative densitet. Af figuren ses det, at Poissons forhold er større end 0,5 ved lave værdier af den relative densitet, hvilket ikke er fysisk muligt [Jensen 2007c, lektion 2]. Desuden ses det, at Poissons forhold er negativt ved store værdier af den relative densitet, hvilket teoretisk set er muligt, men ikke ses i praksis. De dårlige resultater for Poissons forhold skyldes, at enhedscellen ikke kan betragtes som værende isotrop. Af figuren ses det desuden, at der er stor forskel på den analytiske og den numeriske beregning af Poissons forhold. Da den numeriske analyse overskrider grænserne for Poissons forhold, antages det, at den analytiske beregning giver de mest præcise resultater.

35 4.2. FORSKYDNINGSMODUL Numerisk Analytisk Poissons forhold ν [ ] Relativ densitet ρ/ρ s [ ] Figur 4.10: Poissons forhold som funktion af den relative densitet.

36 32 KAPITEL 4. NUMERISK ANALYSE AF GIBSON OG ASHBY-ENHEDSCELLE

37 Kapitel 5 Numerisk analyse af heksagonal enhedscelle I det følgende bestemmes det effektive elasticitetsmodul for en heksagonal enhedscelle gennem en numerisk analyse. Den heksagonale enhedscelle, der kan ses på figur 5.1, vurderes at kunne give et bedre billede af den virkelige cellestruktur, der kan ses på figur 1.1, end den kvadratiske model i kapitel 4. Denne enhedscelle kan ligeledes betragtes som et plant bjælkeproblem grundet symmetri og belastning, hvilket svarer til det skraverede felt på figur 5.1. Figur 5.1: Heksagonal enhedscelle. Den antagne cellestruktur for enhedscellen kan ses på figur 5.2 i hhv. deformeret og udeformeret tilstand. Cellerne antages ligeledes, som ved den 33

38 34 KAPITEL 5. NUMERISK ANALYSE AF HEKSAGONAL ENHEDSCELLE kvadratiske cellestruktur, at kunne deformere sig frit til de sider, der er ortogonale på belastningens retning. (a) Udeformeret cellestruktur for heksagonal enhedscelle. (b) Deformeret cellestruktur for heksagonal enhedscelle. Figur 5.2: Cellestruktur for enhedscellerne. 5.1 Elasticitetsmodul for enkeltcelle Den heksagonale enhedscelle med elementopdeling samt understøtninger kan ses på figur 5.3, mens der henvises til programmappe 1 for beregningerne. Enhedscellen understøttes i knude 1, 3, 5, 7, 9 og 11 mod en deformation ud af planet, da knuderne fastholdes af tværgående bjælker. Da to på hinanden stående bjælker i strukturen antages at være sammenhængende, er bjælkerne ved hhv. knude 1, 11 og 12 samt knude 5, 6 og 7 fastholdt mod bøjning i xy-planet. Det er ikke den eksakte størrelse af enhedscellen, der har betydning for resultatet, men derimod kun den relative densitet. Belastningens størrelse har heller ingen betydning som følge af lineariteten. I modellen varieres tykkelsen, t, af enhedscellens vægge mellem 0,10 og 3,46 mm således, at der kan findes deformationer for forskellige relative densiteter. Længden, L, er2,00 mm, og ρ højden, h, er3,46 mm. De relative densiteter, ρ s, og bøjningsinertimomenterne, I y og I z, bestemmes ved hhv. formel 4.1 og 4.2. Enhedscellen udsættes for en konstant enakset spændingstilstand, σ, på 1,00 MPa. Såfremt den ovenforliggende enhedscelles bjælker ikke er uendeligt stive, antages kræfterne fra den effektive trykspænding at virke i knuderne 1, 5, 7 og 11. Den effektive trykspænding virker over et areal på: A =(L + t) (h + t) (5.1)

39 5.1. ELASTICITETSMODUL FOR ENKELTCELLE 35 Figur 5.3: Elementopbygning af heksagonal enhedscelle udsat for enakset tryk. hvor L svarer til den horisontale længde mellem knude 4 og 8, der er 3,00 mm. Hermed kan kraften, P, findes til: P = σ A (5.2) 4 Kraften medfører en nedbøjning, δ, af enhedscellen i knuderne 5, 6 og 7, der omregnes til en effektiv normaltøjning ved: ε = δ (5.3) h + t Ved formel 5.3 antages det, at normaltøjningen på bjælkernes korte led er negligeabel. Dette er en god antagelse for lave værdier af den relative densitet, da deformationen stammende fra bøjning af bjælkerne er dominerende. Det effektive elasticitetsmodul, E, bestemmes ved Hookes lov, idet den effektive trykspænding, σ, divideres med den effektive normaltøjning. Herefter omregnes dette til et relativt elasticitetsmodul ved at dividere med det solide materiales elasticitetsmodul, E s. E På figur 5.4 kan det relative elasticitetsmodul, E s, ses som funktion af den relative densitet, ρ ρ s. Ved høje relative densiteter kan det ses, at denne model giver et større effektivt elasticitetsmodul end det solide materiale, hvilket tydeliggør, at bjælkemodellen er upræcis ved høje relative densiteter. Idet enhedscellen udsættes for en trækspænding, findes de samme resultater som ved trykspændingen, hvilket er en konsekvens af lineær teori for elementmetodeproblemet. Det kunne have givet anderledes resultater, hvis der blev taget højde for søjlevirkning ved en excentrisk lastpåvirkning.

40 36 KAPITEL 5. NUMERISK ANALYSE AF HEKSAGONAL ENHEDSCELLE 1 Relativ elasticitetsmodul E/E s [ ] Relativ densitet ρ/ρ s [ ] Figur 5.4: Det relative elasticitetsmodul som funktion af den relative densitet for en heksagonal enhedscelle. 5.2 Elasticitetsmodul for cellestruktur For at analysere hvorledes cellestrukturen har indflydelse på den enkelte celles deformationer, betragtes i det følgende cellestrukturen, der kan ses på figur 5.5, bestående af 18 enhedsceller. Hvert element på figur 5.5 indeholder to enhedscellevægge, som det kan ses på figur 5.2. Hermed opstår der en fejl i modellen ved de yderste bjælkeelementer, der i princippet kun består af én bjælke. Fejlen anses dog som negligeabel i forhold til de øvrige usikkerheder ved modellen. Cellestrukturen er ligeledes fastholdt mod flytning ud af xyplanet grundet tværgående bjælker. Som ved den enkelte enhedscelle vil der her være en fejl i modellen grundet de antagne understøtningsforhold, da de yderste bjælker til en vis grad vil være fastholdt af de tilstødende bjælker i strukturen. I modellen varieres ligeledes tykkelsen, t, i intervallet 0,10 3,46 mm, hvormed der findes udbøjninger for varierende relative densiteter. Den effektive trykspænding, σ, på 1,00 MPa fordeles på arealet: hvorefter kraften, P, bestemmes ved: A =(5L + t) (h + t) (5.4) P = σ A (5.5) 20 Udbøjningen, δ, bestemmes for enhedscelle 9, der kan ses på figur 5.5, idet det er målt i de to midterste knuder på de horisontale bjælker. Den effektive

41 5.3. CELLESTRUKTUR UDSAT FOR ENAKSET TØJNING 37 Figur 5.5: Den betragtede cellestruktur. normaltøjning bestemmes ved: ε = δ h (5.6) idet hver enkelt enhedscelle i dette tilfælde har en samlet højde svarende til h. Herefter omregnes den effektive normaltøjning til det relative elasticitetsmodul på tilsvarende vis som i afsnit 5.1. E På figur 5.6 kan det relative elasticitetsmodul, E s, ses som funktion af den ρ relative densitet, ρ s, for enhedscelle 9 i cellestrukturen samt for enhedscellen fra afsnit 5.1. Det kan ses, at denne model giver omtrent de samme resultater for lave relative densiteter i forhold til den enkelte enhedscelle. Derudover giver enhedscellen i cellestrukturen mere realistiske resultater ved høje relative densiteter, idet der for en relativ densitet på 1 fås et effektivt elasticitetsmodul på 105% af det solide materiales elasticitetsmodul i forhold til de tidligere 230%. 5.3 Cellestruktur udsat for enakset tøjning Idet cellestrukturen betragtes som én enhedscelle, udsættes den i det følgende for en enakset tøjningstilstand i stedet for en enakset spænding som i det

42 38 KAPITEL 5. NUMERISK ANALYSE AF HEKSAGONAL ENHEDSCELLE Relativ elasticitetsmodul E/E s [ ] Enhedscelle v. cellestruktur Enkelt enhedscelle Relativ densitet ρ/ρ s [ ] Figur 5.6: Det relative elasticitetsmodul som funktion af den relative densitet for hhv. en heksagonal enhedscelle i en cellestruktur og en enkelt enhedscelle. tidligere. Tøjningstilstanden opnås ved at understøtte cellestrukturen, som det kan ses på figur 5.7, samt at udsætte den øverste rand for en enhedsflytning, d. Enhedsflytningen påføres i de knuder på den øverste rand, der på figur 5.7 er markeret med. Figur 5.7: Understøtningsforhold for cellestrukturen, der udsættes for enakset tøjning. Beregningsgangen er tilsvarende den i afsnit 7.1, hvor de midlede normalspændinger på øverste og højre rand bestemmes. Kræfterne, hvoraf de mid-

43 5.3. CELLESTRUKTUR UDSAT FOR ENAKSET TØJNING 39 lede spændinger findes, bestemmes for den højre og øverste rand i de knuder, der enten har fået en enhedsflytning eller er understøttet. Det effektive areal, hvorover spændingerne virker for hhv. den øverste og højre rand, bestemmes til: A øverste =(5L + t) (h + t) (5.7) A højre =(4h + t) (h + t) (5.8) Det ønskes at bestemme elasticitetsmodulet som funktion af den relative densitet. Derfor varieres tykkelsen, t, af cellevæggene i intervallet 0,10 3,46 mm, mens enhedsflytningen, d, konstant sættes til 1. På figur 5.8 kan det relative elasticitetsmodul ses som funktion af den relative densitet. Relativ elasticitetsmodul E/E s [ ] Enakset tøjning v. cellestruktur Enhedscelle v. cellestruktur Enkelt enhedscelle Relativ densitet ρ/ρ s [ ] Figur 5.8: Det relative elasticitetsmodul som funktion af den relative densitet for de tre betragtede belastningssituationer. Af figuren kan det ses, at for lave værdier af den relative densitet findes tilnærmelsesvis ens resultater for de tre betragtede belastningssituationer. For høje værdier af den relative densitet er forskellen i det relative elasticitetsmodul mere udpræget, idet situationen med den konstante spænding på cellestrukturen vurderes at give de mest realistiske resultater, da det relative elasticitetsmodul får en værdi tæt på 1 ved en relativ densitet på 1. Generelt ved de tre undersøgte strukturer har det vist sig, at Poissons forhold skifter fortegn, når tykkelsen, t, af cellevæggene får en tilpas stor værdi. Dette skyldes, at cellevæggenes stivhed mod bøjning afhænger af t 4,mens stivheden mod deformationen fra normalkraft afhænger af t 2. Derfor vil deformationen fra normalkraften være klart dominerende for store tykkelser, hvilket bevirker, at Poissons forhold skifter fortegn.

44 40 KAPITEL 5. NUMERISK ANALYSE AF HEKSAGONAL ENHEDSCELLE Da beregningen af det effektive elasticitetsmodul, E, for cellestrukturen, der er udsat for enakset tøjning, afhænger af det effektive Poissons forhold, jf. formel 7.7, har fortegnsændringen en indvirkning herpå. Af denne grund antages denne model at være upræcis, hvorfor det vurderes, at situationen med den konstante spænding påført cellestrukturen er den bedste model.

45 Kapitel 6 Dilute- og selfconsistent-estimater I dilute- og selfconsistent-estimaterne tages der udgangspunkt i en enhedscelle indeholdende et cirkulært hul med radius a. Dette element udsættes indledningsvist for en enakset spændingstilstand, jf. figur 6.1. Afsnittet er baseret på Noter i kontinuummekanik [Jensen 2007a, note 9]. Figur 6.1: Enhedscelle med cirkulært hul udsat for en enakset trækspænding, σ 11. Jævnfør appendiks A kan den midlede tøjning, ε ij, beregnes ved: ε ij = ε ij + ε c ij (6.1) hvor ε ij er tøjningen i tilfælde af, at materialet er solidt, og ε c ij er en tillægstøjning grundet hullet. Formel 6.1 er gældende i alle tre dimensioner, men idet problematikken er todimensionel bruges i det følgende græske indices, der kan antage værdierne 1 og 2. 41

46 42 KAPITEL 6. DILUTE- OG SELFCONSISTENT-ESTIMATER Tøjningen for en solid celle kan beregnes ved Hookes lov, der ved plan spændingstilstand for homogene, isotrope og lineært elastiske materialer er givet ved: ε αβ = 1 E s ((1 + ν s )σ αβ ν s δ αβ σ γγ ) (6.2) hvor E s er det solide materiales elasticitetsmodul, ν s er Poissons forhold for det solide materiale, og δ αβ er Kroneckers delta. Tillægstøjningen kan beregnes ved: ε c αβ = 1 2V (u lokal α n β + u lokal S 1 hvor V er enhedscellens volumen, S 1 er hullets overflade, u lokal β n α ) ds (6.3) i er den lokale deformation på hullets overflade, og n er den udadgående normalvektor til hullets overflade, jf. figur 6.1. Normalvektoren, n, ergivetved: n =( cos(θ), sin(θ)) (6.4) hvor θ er vinklen af vektoren i forhold til horisontalt. Da det er antaget, at hullet i enhedscellen er cirkulært, er ds 1 = adθ,hvormed formel 6.3 kan omskrives til: ε c ij = a (u lokal i n j + u lokal j n i ) dθ (6.5) 2V θ Deformationen i polære koordinater omkring et cirkulært hul i en skive, u r og u θ, kan udledes under antagelsen om, at det indre huls radius er strengt mindre end skivens bredde. Ved indføring af en enakset spændingstilstand i x 1 -aksens retning er der i appendiks A fundet følgende deformationer: u r = σ 11 2E o ( (1 + ν o ) (r a4 r 3 ) cos(2θ)+ 4a2 r ) cos(2θ)+(1+ν o) a2 r +(1 ν o)r (6.6) u θ = σ ( ) ) 11 (1 + ν o ) (r + a4 2E o r 3 + 2a2 r (1 ν o) sin(2θ) (6.7) hvor E o og ν o er hhv. elasticitetsmodulet og Poissons forhold for det omgivende materiale. Ved indsættelse af r = a fås deformationen ved hullets overflade: u r (a) = σ 11a (1 + 2 cos(2θ)) (6.8) E o u θ (a) = 2σ 11a sin(2θ) (6.9) E o I formel 6.3 skal deformationen indsættes i kartesiske koordinater, hvormed det er nødvendigt at omregne u r og u θ til dette. Ved betragtning af figur

47 43 6.2, hvor deformationen i polære koordinater, u r og u θ, og deformationen i kartesiske koordinater, u 1 og u 2, er indtegnet, fås følgende relationer: u 1 = cos(θ) u r sin(θ) u θ (6.10) u 2 =sin(θ) u r +cos(θ) u θ (6.11) Figur 6.2: Deformationen i polære og kartesiske koordinater. Ved indsættelse af formel 6.4, 6.10 og 6.11 i formel 6.5 kan tillægstøjningerne, ε c 11, εc 22 og εc 12, findes til: ε c 11 = a2 σ 11 VE o 3π (6.12) ε c 22 = a2 σ 11 π VE o (6.13) ε c 12 =0 (6.14) Volumenet af enhedscellen, V, og volumenet af det cirkulære hul, V 1,ergivet ved, idet tykkelsen ud af planet er sat til 1: Den relative densitet, V = b 2 (6.15) V 1 = a 2 π (6.16) ρ ρ s, kan dermed udregnes som: ρ = V V 1 ρ s V =1 a2 π b 2 (6.17) Ved indsættelse af formel 6.15 og 6.17 i formel 6.12, 6.13 og 6.14 kan tillægstøjningerne omskrives til: ε c 11 =3 σ ) 11 (1 ρρs (6.18) E o ε c 22 = σ ) 11 (1 ρρs (6.19) E o ε c 12 =0 (6.20)

48 44 KAPITEL 6. DILUTE- OG SELFCONSISTENT-ESTIMATER Ovenstående resultater er baseret på en homogen enakset trækspænding i x 1 -retningen. Det ønskes ligeledes at finde tøjningerne ved tilsvarende belastning i x 2 -retningen. Af formel 6.18, 6.19 og 6.20 ses det umiddelbart, at tillægstøjningen ved et enakset træk i x 2 -retningen bliver: ε c 11 = σ ) 22 (1 ρρs (6.21) E o (1 ρρs ) ε c 22 =3 σ 22 E o (6.22) ε c 12 =0 (6.23) Herefter udregnes tillægstøjningerne for en enhedscelle påvirket af ren forskydning, hvor der grundet ligevægt er gældende, at σ 12 = σ 21.Renforskydning svarer til spændingstilstanden på figur 6.3, hvor det kan ses, at koordinatsystemet er drejet 45 i forhold til spændingspåvirkningen. Tøjningen fra figur 6.3 findes ved at superponere tøjningen fra trækket med tøjningen fra trykket. Figur 6.3: Enhedscelle med cirkulært hul udsat for ren forskydning, σ 12. Ved anvendelse af formel 6.5 kan tillægstøjningen, ε c ij, ved anvendelse af samme fremgangsmåde som ved enakset trækpåvirkning, findes til: ε c 11 =0 (6.24) ε c 22 =0 (6.25) ε c 12 =4 σ ) 12 (1 ρρs (6.26) E o Ved den lastsituation, hvor enhedscellen er påvirket af normalspændinger i både x 1 -ogx 2 -retningen samt af forskydning, kan den samlede tøjning findes

49 45 ved at superponere tøjningerne for de tre enkeltstående tilfælde: ε c 11 = σ 11 σ 22 ν s +3 σ ) 11 (1 ρρs σ ) 22 (1 ρρs E s E o E o ε c 22 = σ 22 σ 11 ν s σ ) 11 (1 ρρs +3 σ ) 22 (1 ρρs E s E o E o ε c 12 = 1+ν s σ σ ) 12 (1 ρρs E s E o (6.27) (6.28) (6.29) Det ønskes at opskrive tøjningerne på samme form som i formel 6.2, hvormed der fremkommer et ligningssystem med tre ligninger, og med stivhedsparametrene for det porøse materiale, E og ν, som ubekendte: σ 11 σ 22 ν E σ 22 σ 11 ν E = σ 11 σ 22 ν s +3 σ 11 E s E o = σ 22 σ 11 ν s E s σ 11 1+ν E σ 12 = 1+ν s σ σ 12 E s E o ) (1 ρρs σ ) 22 (1 ρρs E o ) (1 ρρs +3 σ ) 22 (1 ρρs E o E o ) (1 ρρs (6.30) (6.31) (6.32) I dilute-estimatet antages det, at hullets omgivende materiales stivhedsparametre, E o og ν o, er lig med det solide materiales, E s og ν s,hvormedstivhedsparametrene for det porøse materiale, E dilute og ν dilute, kan findes til: E dilute = E s 4 3 ρ ρ s (6.33) ν dilute = ν s +1 ρ ρ s 4 3 ρ ρ s (6.34) Ved resultaterne er det sikret, at de tre ligninger i ligningssystemet er identisk opfyldt. I selfconsistent-estimatet antages det derimod, at det omgivende materiales stivhedsparametre, E o og ν o, er lig det porøse materiales, E og ν, hvormed stivhedsparametrene for det porøse materiale, E self og ν self, bliver: ( E self = E s 3 ρ ) 2 (6.35) ρ s ( ν self = ν s 3 ρ ) 2 +1 ρ (6.36) ρ s ρ s Da ligningssystemet kan løses i begge tilfælde og er identisk opfyldt, kan det porøse materiale ud fra disse estimater antages at være isotropt og homogent med de ovenstående fundne værdier for elasticitetsmodulet og Poissons

50 46 KAPITEL 6. DILUTE- OG SELFCONSISTENT-ESTIMATER E forhold. På figur 6.4 er det relative elasticitetsmodul, E s, og Poissons forhold, ν, optegnet som funktion af den relative densitet, ρ ρ s, for dilute- og selfconsistent-estimatet. Relativ elasticitetsmodul E/E s [ ] Dilute Selfconsistent Relativ densitet ρ/ρ s [ ] (a) Det relative elasticitetsmodul. 0.3 Poissons forhold ν [ ] Dilute Selfconsistent Relativ densitet ρ/ρ s [ ] (b) Poissons forhold. Figur 6.4: Stivhedsparametre som funktion af den relative densitet. Af figuren ses det, at det relative elasticitetsmodul bliver negativt ved lave værdier af den relative densitet ved anvendelse af selfconsistent-estimatet, mens elasticitetsmodulet er større end nul ved en relativ densitet på nul ved dilute-estimatet. Dette tydeliggør, at begge estimater er meget upræcise ved lave værdier af den relative densitet. Dette skyldes, at deformationerne, u r og u θ, er bestemt under den antagelse, at cirklens udbredelse er meget lille i forhold til det omgivende materiales udbredelse.

51 Af figur 6.4b fremgår det, at Poissons forhold tilnærmelsesvis er lig det solide materiales. 47

52 48 KAPITEL 6. DILUTE- OG SELFCONSISTENT-ESTIMATER

53 Kapitel 7 Numerisk beregning af enhedscelle med cirkulært hul I kapitel 6 blev de effektive materialeparametre bestemt for en enhedscelle med et cirkulært hul ved at udsætte den for en kendt spændingstilstand, og beregne de tilhørende tøjninger. Ligeledes kan de effektive materialeparametre bestemmes ved at udsætte enhedscellen for en kendt tøjningstilstand og bestemme de tilhørende spændinger. I dette afsnit udsættes enhedscellen for hhv. enakset tøjning og ren forskydning, idet de tilhørende spændinger beregnes vha. lineær elementmetode for skiveproblemer, der er beskrevet i appendiks B. 7.1 Enakset tøjning Først ønskes det at beregne elasticitetsmodulet, E, og Poissons forhold, ν,for enhedscellen, idet hullets størrelse, og dermed den relative densitet, varieres. Indledningsvis udsættes enhedscellen for en enhedsflytning, d, som vist på figur 7.1, hvormed der opstår en enakset tøjningstilstand i enhedscellen, idet tøjningerne bliver: ε 11 = d R (7.1) ε 22 =0 (7.2) ε 12 =0 (7.3) Da det ønskes at finde de effektive materialeparametre for enhedscellen, skal de resulterende spændinger på randen af enhedscellen findes. På grund af 49

54 50 KAPITEL 7. NUMERISK BEREGNING AF ENHEDSCELLE MED CIRKULÆRT HUL Figur 7.1: Enhedscelle udsat for enakset tøjning. dobbeltsymmetri er forskydningsspændingerne lige store og modsat rettede på hver halvdel af hver rand, hvorfor de midlede forskydningsspændinger på hver rand er nul. Derfor er det kun nødvendigt at medtage normalspændingerne i beregningerne. Da spændings- og tøjningsfordelingen er dobbeltsymmetrisk, er det kun nødvendigt at lave beregningen for den kvarte enhedscelle, der er skraveret på figur 7.1. På figur 7.2 kan det statiske system samt princippet for elementopdelingen ses, idet antallet af elementer kan varieres. Der benyttes isoparametriske 8-knuders elementer, da de bedst kan beskrive forholdene omkring hullet, da siderne for et isoparametrisk 8-knuders element kan antage en parabelform. Elementinddelingen er lavet, så buelængden mellem hver af knuderne ved hullet er ens, mens afstanden mellem knuderne på øverste og højre rand er ens. Afstanden mellem de mellemliggende knuder er ligeledes ens. Til numerisk analyse af enhedscellen er der anvendt programmappe 3, der er opbygget, så antallet af elementer i radiær og tangentiel retning kan vælges frit. Det er ikke den absolutte størrelse, men alene forholdet mellem R og r, der har betydning for de effektive materialeparametre, som modellen giver. I programmet er der brugt R =50mm,mensr kan antage værdier mellem 0 og 50 mm. Tykkelsen, t, ud af planet er sat til 1 mm, mens enhedsflytningen, d, er sat til 0,1 mm. For det solide materiale bruges materialeparametrene, der kan ses i tabel 2.1.

Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet

Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Aalborg Universitet Titel: Virkelighedens teori eller teoriens virkelighed? Tema: Analyse og design af bærende konstruktioner Synopsis: Projektperiode: B7 2. september

Læs mere

Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet

Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Aalborg Universitet Titel: Stivhedsanalyse af aluminium Virkelighedens teori eller teoriens virkelighed? Tema: Analyse og design af bærende konstruktioner Projektperiode:

Læs mere

11/3/2002. Statik og bygningskonstruktion Program lektion Tøjninger og spændinger. Introduktion. Tøjninger og spændinger

11/3/2002. Statik og bygningskonstruktion Program lektion Tøjninger og spændinger. Introduktion. Tøjninger og spændinger Statik og bygningskonstruktion rogram lektion 9 8.30-9.15 Tøjninger og spændinger 9.15 9.30 ause 9.30 10.15 Spændinger i plan bjælke Deformationer i plan bjælke 10.15 10.45 ause 10.45 1.00 Opgaveregning

Læs mere

Introduktion til programmet CoRotate

Introduktion til programmet CoRotate Side 1 Introduktion til programmet CoRotate Programmet CoRotate.exe bestemmer ikke-lineære, tredimensionelle flytninger af en bjælkekonstruktion. Dermed kan store flytninger bestemmes, og fænomener som

Læs mere

Eftervisning af bygningens stabilitet

Eftervisning af bygningens stabilitet Bilag A Eftervisning af bygningens stabilitet I det følgende afsnit eftervises, hvorvidt bygningens bærende konstruktioner har tilstrækkelig stabilitet til at optage de laster, der påvirker bygningen.

Læs mere

Deformation af stålbjælker

Deformation af stålbjælker Deformation af stålbjælker Af Jimmy Lauridsen Indhold 1 Nedbøjning af bjælker... 1 1.1 Elasticitetsmodulet... 2 1.2 Inertimomentet... 4 2 Formelsamling for typiske systemer... 8 1 Nedbøjning af bjælker

Læs mere

Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings- og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks K Analytiske

Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings- og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks K Analytiske 18. december 2009 Spændings- og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks K Analytiske overslagsberegninger Appendiks K Analytiske overslagsberegninger... 3 K-1. Airy s spændingsfunktion

Læs mere

Centralt belastede søjler med konstant tværsnit

Centralt belastede søjler med konstant tværsnit Centralt belastede søjler med konstant tværsnit Af Jimmy Lauridsen Indhold 1 Den kritiske bærevene... 1 1.1 Elasticitetsmodulet... 2 1.2 Inertimomentet... 4 1.3 Søjlelængde... 8 1 Den kritiske bæreevne

Læs mere

Løsning, Bygningskonstruktion og Arkitektur, opgave 6

Løsning, Bygningskonstruktion og Arkitektur, opgave 6 Løsning, Bygningskonstruktion og Arkitektur, opgave 6 For en excentrisk og tværbelastet søjle skal det vises, at normalkraften i søjlen er under den kritiske værdi mht. søjlevirkning og at momentet i søjlen

Læs mere

Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks E Trækforsøg BM7 1 E09

Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks E Trækforsøg BM7 1 E09 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks E Trækforsøg Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks E Trækforsøg... 3 E 1. Teori...

Læs mere

Dimensionering af samling

Dimensionering af samling Bilag A Dimensionering af samling I det efterfølgende afsnit redegøres for dimensioneringen af en lodret støbeskelssamling mellem to betonelementer i tværvæggen. På nedenstående gur ses, hvorledes tværvæggene

Læs mere

Betonkonstruktioner, 4 (Deformationsberegninger og søjler)

Betonkonstruktioner, 4 (Deformationsberegninger og søjler) Christian Frier Aalborg Universitet 006 Betonkonstruktioner, 4 (Deformationsberegninger og søjler) Deformationsberegning af bjælker - Urevnet tværsnit - Revnet tværsnit - Deformationsberegninger i praksis

Læs mere

Styring af revner i beton. Bent Feddersen, Rambøll

Styring af revner i beton. Bent Feddersen, Rambøll Styring af revner i beton Bent Feddersen, Rambøll 1 Årsag Statisk betingede revner dannes pga. ydre last og/eller tvangsdeformationer. Eksempler : Trækkræfter fra ydre last (fx bøjning, forskydning, vridning

Læs mere

Betonkonstruktioner, 5 (Jernbetonplader)

Betonkonstruktioner, 5 (Jernbetonplader) Christian Frier Aalborg Universitet 006 Betonkonstrktioner, 5 (Jernbetonplader) Virkemåde / dformninger / nderstøtninger Enkeltspændte plader Dobbeltspændte plader Deformationsberegninger 1 Christian Frier

Læs mere

Analyse af en glasfiberbjælke

Analyse af en glasfiberbjælke Analyse af en glasfiberbjælke Civilingeniør i Bygge og Anlægskonstruktion Aalborg Universitet 1. semester 19. december 2008 Gruppe B205 De Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige Fakulteter Byggeri

Læs mere

Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks F Strain gauges BM7 1 E09

Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks F Strain gauges BM7 1 E09 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks F Strain gauges Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks F Strain gauges... 3 F

Læs mere

Konstruktion IIIb, gang 13 (Jernbetonplader)

Konstruktion IIIb, gang 13 (Jernbetonplader) Christian Frier Aalborg Universitet 003 Konstrktion IIIb, gang 13 (Jernbetonplader) Virkemåde / dformninger / nderstøtninger Overslagsregler fra Teknisk Ståbi Enkeltspændte plader Dobbeltspændte plader

Læs mere

Betonkonstruktioner, 3 (Dimensionering af bjælker)

Betonkonstruktioner, 3 (Dimensionering af bjælker) Betonkonstruktioner, 3 (Dimensionering af bjælker) Bøjningsdimensionering af bjælker - Statisk bestemte bjælker - Forankrings og stødlængder - Forankring af endearmering - Statisk ubestemte bjælker Forskydningsdimensionering

Læs mere

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING. Input Betondæk Her angives tykkelsen på dækket samt den aktuelle karakteristiske trykstyrke.

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING. Input Betondæk Her angives tykkelsen på dækket samt den aktuelle karakteristiske trykstyrke. pdc/jnk/sol TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING Indledning Teknologisk Institut, byggeri har for Plastindustrien i Danmark udført dette projekt vedrørende bestemmelse af bæreevne for tunge

Læs mere

STÅLSØJLER Mads Bech Olesen

STÅLSØJLER Mads Bech Olesen STÅLSØJLER Mads Bech Olesen 30.03.5 Centralt belastede søjler Ved aksial trykbelastning af et slankt konstruktionselement er der en tendens til at elementet slår ud til siden. Denne form for instabilitet

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende

Læs mere

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER pdc/sol TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER Indledning Teknologisk Institut, byggeri har for EPS sektionen under Plastindustrien udført dette projekt vedrørende anvendelse af trykfast

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

NOTAT BEREGNING AF JORDTRYK VHA EC6DESIGN.COM. ÆKVIVALENT ENSFORDELT LAST

NOTAT BEREGNING AF JORDTRYK VHA EC6DESIGN.COM. ÆKVIVALENT ENSFORDELT LAST pdc/sol NOTAT BEREGNING AF JORDTRYK VHA EC6DESIGN.COM. ÆKVIVALENT ENSFORDELT LAST Teknologiparken Kongsvang Allé 29 8000 Aarhus C 72 20 20 00 info@teknologisk.dk www.teknologisk.dk Indledning I dette notat

Læs mere

Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden

Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden Lars Damkilde Institut for Bærende Konstruktioner og Materialer Danmarks Tekniske Universitet DK-2800 Lyngby September 1998 Resumé Rapporten omhandler beregning

Læs mere

A Calfem-kommandoer... 3. B Forsøg... 9. B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok... 9. B.1.1 Formål... 9. B.1.2 Forsøgsbeskrivelse... 10

A Calfem-kommandoer... 3. B Forsøg... 9. B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok... 9. B.1.1 Formål... 9. B.1.2 Forsøgsbeskrivelse... 10 Indhold A Calfem-kommandoer... 3 B Forsøg... 9 B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok... 9 B.1.1 Formål... 9 B.1.2 Forsøgsbeskrivelse... 10 B.1.3 Forsøgsresultater... 14 B.1.4 Resultatbehandling... 16 B.1.5

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen

Læs mere

Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985

Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985 Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985 Opgaverne er udregnet i samarbejde med Thomas Salling, s110579 og Mikkel Seibæk, s112987. 11/12-2012

Læs mere

MURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC 01.10.06 DOKUMENTATION Side 1

MURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC 01.10.06 DOKUMENTATION Side 1 DOKUMENTATION Side 1 Beregning af murbuer Indledning. Dette notat beskriver den numeriske model til beregning af stik og skjulte buer. Indhold Forkortelser Definitioner Forudsætninger Beregningsforløb

Læs mere

Athena DIMENSION Tværsnit 2

Athena DIMENSION Tværsnit 2 Athena DIMENSION Tværsnit 2 Januar 2002 Indhold 1 Introduktion.................................. 2 2 Programmets opbygning........................... 2 2.1 Menuer og værktøjslinier............................

Læs mere

Forspændt bjælke. A.1 Anvendelsesgrænsetilstanden. Bilag A. 14. april 2004 Gr.A-104 A. Forspændt bjælke

Forspændt bjælke. A.1 Anvendelsesgrænsetilstanden. Bilag A. 14. april 2004 Gr.A-104 A. Forspændt bjælke Bilag A Forspændt bjælke I dette afsnit vil bjælken placeret under facadevæggen (modullinie D) blive dimensioneret, se gur A.1. Figur A.1 Placering af bjælkei kælder. Bjælken dimensioneres ud fra, at den

Læs mere

Bøjning i brudgrænsetilstanden. Per Goltermann

Bøjning i brudgrænsetilstanden. Per Goltermann Bøjning i brudgrænsetilstanden Per Goltermann Lektionens indhold 1. De grundlæggende antagelser/regler 2. Materialernes arbejdskurver 3. Bøjning: De forskellige stadier 4. Ren bøjning i simpelt tværsnit

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

10.3 E-modul. Af Jens Ole Frederiksen og Gitte Normann Munch-Petersen. Betonhåndbogen, 10 Hærdnende og hærdnet beton

10.3 E-modul. Af Jens Ole Frederiksen og Gitte Normann Munch-Petersen. Betonhåndbogen, 10 Hærdnende og hærdnet beton 10.3 E-modul Af Jens Ole Frederiksen og Gitte Normann Munch-Petersen Forskellige materialer har forskellige E-moduler. Hvis man fx placerer 15 ton (svarende til 10 typiske mellemklassebiler) oven på en

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

2008 Deformationsanalyse af kompositbjælke. P7 projekt

2008 Deformationsanalyse af kompositbjælke. P7 projekt 8 Deformationsanalyse af kompositbjælke P7 projekt Mustafa Gökce Søren Heide Lambertsen Kim Madsen Aalborg Universitet Esbjerg 8--8 Titelblad Titel: Analyse af bærende konstruktioner Projektperiode: -9-8

Læs mere

Lodret belastet muret væg efter EC6

Lodret belastet muret væg efter EC6 Notat Lodret belastet muret væg efter EC6 EC6 er den europæiske murværksnorm også benævnt DS/EN 1996-1-1:006 Programmodulet "Lodret belastet muret væg efter EC6" kan beregne en bærende væg som enten kan

Læs mere

Dimensionering af statisk belastede svejste samlinger efter EUROCODE No. 9

Dimensionering af statisk belastede svejste samlinger efter EUROCODE No. 9 Dokument: SASAK-RAP-DE-AKS-FI-0003-01 Dimensionering af statisk belastede svejste samlinger efter EUROCODE No. 9 SASAK Projekt 1 - Designregler Lars Tofte Johansen FORCE Instituttet, september 2001 Dimensionering

Læs mere

Bygningskonstruktion og arkitektur

Bygningskonstruktion og arkitektur Bygningskonstruktion og arkitektur Program lektion 9 8.30-9.15 Bæreevnebestemmelse af centralt, ekscentrisk og tværbelastet stålsøjle. 9.15 9.30 Pause 9.30 10.15 Bæreevnebestemmelse af centralt, ekscentrisk

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Bilag A. Tegninger af vægge V1-V5 og NØ

Bilag A. Tegninger af vægge V1-V5 og NØ SCC-Konsortiet P33 Formfyldning i DR Byen Bilag A Tegninger af vægge V1-V5 og NØ SCC-Konsortiet P33 Formfyldning i DR Byen Bilag B Støbeforløb for V1-V5 og NØ Figur B-1 viser et eksempel på temperaturudviklingen

Læs mere

Deformationsmetoden. for rammekonstruktioner

Deformationsmetoden. for rammekonstruktioner Deformationsmetoden for rammekonstruktioner Lars Damkilde og Peter Noe Poulsen BYG DTU Januar 2002 Resumé Rapporten omhandler anvendelse af deformationsmetoden til beregning af statisk ubestemte rammer.

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

INDHOLDSFORTEGNELSE DEL I FORSØG... 3 DEL II ANALYTISKE MODELLER...31 DEL III NUMERISKE MODELLER...43

INDHOLDSFORTEGNELSE DEL I FORSØG... 3 DEL II ANALYTISKE MODELLER...31 DEL III NUMERISKE MODELLER...43 Indholdsfortegnelse INDHOLDSFOREGNELSE DEL I FORSØG... 3 A Elastiske konstanter...5 A. Dataopsamling...5 A. Brudstyrkemåling på massivt aluminiumsemne...5 A.3 Elasticitetsmodul og Poissons forhold for

Læs mere

DS/EN 15512 DK NA:2011

DS/EN 15512 DK NA:2011 DS/EN 15512 DK NA:2011 Nationalt anneks til Stationære opbevaringssystemer af stål Justerbare pallereolsystemer Principper for dimensionering. Forord Dette nationale anneks (NA) er det første danske NA

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Kursusgang 9: Introduktion til elementmetodeprogrammet Abaqus første del

Kursusgang 9: Introduktion til elementmetodeprogrammet Abaqus første del 1 elementmetodeprogrammet Abaqus første del Kursus: Statik IV Uddannelse: 5. semester, bachelor/diplomingeniøruddannelsen i konstruktion Forelæser: Johan Clausen Institut for Byggeri og Anlæg Efterår,

Læs mere

Beregningsopgave om bærende konstruktioner

Beregningsopgave om bærende konstruktioner OPGAVEEKSEMPEL Indledning: Beregningsopgave om bærende konstruktioner Et mindre advokatfirma, Juhl & Partner, ønsker at gennemføre ændringer i de bærende konstruktioner i forbindelse med indretningen af

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Bilag I. ~ i ~ Oversigt BILAG II MATEMATISK APPENDIKS. The Prisoner s Dilemma THE PRISONER S DILEMMA INTRODUKTION I RELATION TIL SAMORDNET PRAKSIS

Bilag I. ~ i ~ Oversigt BILAG II MATEMATISK APPENDIKS. The Prisoner s Dilemma THE PRISONER S DILEMMA INTRODUKTION I RELATION TIL SAMORDNET PRAKSIS Oversigt BILAG I I THE PRISONER S DILEMMA INTRODUKTION I RELATION TIL SAMORDNET PRAKSIS I I II BILAG II III GENNEMSIGTIGHEDENS BETYDNING III MATEMATISK APPENDIKS V GENERELT TILBAGEDISKONTERINGSFAKTOREN

Læs mere

Dobbeltspændte plader Øvreværdiløsning Brudlinieteori

Dobbeltspændte plader Øvreværdiløsning Brudlinieteori Dobbeltspændte plader Øvreværdiløsning Brudlinieteori Per Goltermann 1 Lektionens indhold 1. Hvad er en øvreværdiløsning? 2. Bjælker og enkeltspændte dæk eller plader 3. Bjælkers bæreevne beregnet med

Læs mere

K.I.I Forudsætning for kvasistatisk respons

K.I.I Forudsætning for kvasistatisk respons Kontrol af forudsætning for kvasistatisk vindlast K.I Kontrol af forudsætning for kvasistatisk vindlast I det følgende er det eftervist, at forudsætningen, om at regne med kvasistatisk vindlast på bygningen,

Læs mere

Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012

Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012 Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 212 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt

Læs mere

Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30.

Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30. Opgaver Polære koordinater Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 15, 70, 60, 0. Opgave Bestem sin π Opgave. Et punkt p i xy-planen er givet ved de kartesiske koordinater,. Bestem p s polære

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

PRAKTISK PROJEKTERING EKSEMPEL

PRAKTISK PROJEKTERING EKSEMPEL PRAKTISK PROJEKTERING EKSEMPEL FORUDSÆTNINGER Dette eksempel er tilrettet fra et kursus afholdt i 2014: Fra arkitekten fås: Plantegning, opstalt, snit (og detaljer). Tegninger fra HusCompagniet anvendes

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

DS/EN DK NA:2011

DS/EN DK NA:2011 DS/EN 1992-1-2 DK NA:2011 Nationalt anneks til Eurocode 2: Betonkonstruktioner Del 1-2: Generelle regler Brandteknisk dimensionering Forord Dette nationale anneks (NA) er en revision af og erstatter EN

Læs mere

Betonkonstruktioner - Lektion 3 - opgave 1

Betonkonstruktioner - Lektion 3 - opgave 1 Betonkonstruktioner - Lektion 3 - opgave Data: bredde flange b 50mm Højde 400mm Rumvægt ρ 4 kn m 3 Længde L 4m q 0 kn R 0kN m q egen ρb.44 kn m M Ed 8 q egen q L 4 RL 4.88 kn m Linjelast for egen vægten

Læs mere

Rumfang af væske i beholder

Rumfang af væske i beholder Matematikprojekt Rumfang af væske i beholder Maila Walmod, 1.3 HTX Roskilde Afleveringsdato: Fredag d. 7. december 2007 1 Fru Hansen skal have en væskebeholder, hvor rumfanget af væsken skal kunne aflæses

Læs mere

Eksamen i fysik 2016

Eksamen i fysik 2016 Eksamen i fysik 2016 NB: Jeg gør brug af DATABOG fysik kemi, 11. udgave, 4. oplag & Fysik i overblik, 1. oplag. Opgave 1 Proptrækker Vi kender vinens volumen og masse. Enheden liter omregnes til kubikmeter.

Læs mere

Bjælker på elastisk underlag

Bjælker på elastisk underlag Bjælker på elastisk underlag Lars Damkilde Institut for Bærende Konstruktioner og Materialer Danmarks Tekniske Universitet DK-2800 Lyngby Februar 1998 Resumé Rapporten omhandler beregning af bjælker på

Læs mere

BEREGNING AF O-TVÆRSNIT SOM ET KOMPLEKST TVÆRSNIT

BEREGNING AF O-TVÆRSNIT SOM ET KOMPLEKST TVÆRSNIT Indledning BEREGNING AF O-TVÆRSNIT SOM ET KOMPLEKST TVÆRSNIT Teknologiparken Kongsvang Allé 29 8000 Aarhus C 72 20 20 00 info@teknologisk.dk www.teknologisk.dk I dette notat gennemregnes som eksempel et

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Bygningskonstruktion og arkitektur

Bygningskonstruktion og arkitektur Bygningskonstruktion og arkitektur Program lektion 1 8.30-9.15 Rep. Partialkoefficientmetoden, Sikkerhedsklasser. Laster og lastkombinationer. Stålmateriale. 9.15 9.30 Pause 9.30 10.15 Tværsnitsklasser.

Læs mere

4 HOVEDSTABILITET 1. 4.1 Generelt 2

4 HOVEDSTABILITET 1. 4.1 Generelt 2 4 HOVEDSTABILITET 4 HOVEDSTABILITET 1 4.1 Generelt 2 4.2 Vandret lastfordeling 4 4.2.1.1 Eksempel - Hal efter kassesystemet 7 4.2.2 Lokale vindkræfter 10 4.2.2.1 Eksempel Hal efter skeletsystemet 11 4.2.2.2

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Eksempel Boltet bjælke-søjlesamling

Eksempel Boltet bjælke-søjlesamling Eksempel Boltet bjælke-søjlesamling Dette eksemplet bygger på beregningsvejledningerne i afsnit 6 om bærende samlinger i H- eller I-profiler. En momentpåvirket samling mellem en HEB-søjle og en IPE-bjælke

Læs mere

Matematik for økonomer 3. semester

Matematik for økonomer 3. semester Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben

Læs mere

Athena DIMENSION Plan ramme 3, Eksempler

Athena DIMENSION Plan ramme 3, Eksempler Athena DIMENSION Plan ramme 3, Eksempler November 2007 Indhold 1 Eksempel 1: Stålramme i halkonstruktion... 3 1.1 Introduktion... 3 1.2 Opsætning... 3 1.3 Knuder og stænger... 5 1.4 Understøtninger...

Læs mere

Beton- konstruktioner. Beton- konstruktioner. efter DS/EN 1992-1-1. efter DS/EN 1992-1-1. Bjarne Chr. Jensen. 2. udgave. Nyt Teknisk Forlag

Beton- konstruktioner. Beton- konstruktioner. efter DS/EN 1992-1-1. efter DS/EN 1992-1-1. Bjarne Chr. Jensen. 2. udgave. Nyt Teknisk Forlag 2. UDGAVE ISBN 978-87-571-2766-9 9 788757 127669 varenr. 84016-1 konstruktioner efter DS/EN 1992-1-1 Betonkonstruktioner efter DS/EN 1992-1-1 behandler beregninger af betonkonstruktioner efter den nye

Læs mere

Statistisk 3-D ber egning af sandsynligheden for at finde en jordforurening

Statistisk 3-D ber egning af sandsynligheden for at finde en jordforurening M iljøpr ojekt nr. 449 1999 Statistisk 3-D ber egning af sandsynligheden for at finde en jordforurening Lektor, cand.scient., lic.tech. Helle Holst IMM, Institut for Matematisk Modellering DTU, Danmarks

Læs mere

11/3/2002. Statik og bygningskonstruktion Program lektion Understøtninger og reaktioner. Kræfter og ligevægt.

11/3/2002. Statik og bygningskonstruktion Program lektion Understøtninger og reaktioner. Kræfter og ligevægt. Statik og bygningskonstruktion Program lektion 6 8.30-9.15 Understøtninger og reaktioner. Kræfter og ligevægt 9.15 9.30 Pause 9.30 10.15. 10.15 10.45 Pause 10.45 12.00 Opgaveregning Kursusholder Poul Henning

Læs mere

Betonkonstruktioner, 1 (Formgivning af trykpåvirkede betonkonstruktioner) Hvad er beton?, kemiske og mekaniske egenskaber

Betonkonstruktioner, 1 (Formgivning af trykpåvirkede betonkonstruktioner) Hvad er beton?, kemiske og mekaniske egenskaber Betonkonstruktioner, 1 (Formgivning af trykpåvirkede betonkonstruktioner) Hvad er beton?, kemiske og mekaniske egenskaber Materialeparametre ved dimensionering Lidt historie Jernbeton (kort introduktion)

Læs mere

Jordskælvs svingninger i bygninger.

Jordskælvs svingninger i bygninger. Jordsælvssvingninger side 1 Institut for Matemati, DTU: Gymnasieopgave Jordsælvs svingninger i bygninger. Jordsælv. Figur 1. Forlaring på de tetonise bevægelser. Jordsælv udløses når de tetonise plader

Læs mere

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013 Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme

Læs mere

GRUNDLÆGGENDE MATERIALELÆRE OG FORARBEJDNING 4. kursusgang

GRUNDLÆGGENDE MATERIALELÆRE OG FORARBEJDNING 4. kursusgang GRUNDLÆGGENDE MATERIALELÆRE OG FORARBEJDNING 4. kursusgang GRUNDLÆGGENDE MATERIALELÆRE OG FORARBEJDNING Dagens emner: Repetition fra 3. kursusgang Teoretisk styrke Mikrostrukturelle påvirkninger Punktfejl

Læs mere

Konstruktion IIIb, gang 9 (Formgivning af trykpåvirkede betonkonstruktioner)

Konstruktion IIIb, gang 9 (Formgivning af trykpåvirkede betonkonstruktioner) Konstruktion IIIb, gang 9 (Formgivning af trykpåvirkede betonkonstruktioner) Hvad er beton?, kemiske og mekaniske egenskaber Materialeparametre ved dimensionering Lidt historie Jernbeton (kort introduktion)

Læs mere

I den gældende udgave af EN (6.17) angives det, at søjlevirkning kan optræde

I den gældende udgave af EN (6.17) angives det, at søjlevirkning kan optræde Lodret belastet muret væg Indledning Modulet anvender beregningsmodellen angivet i EN 1996-1-1, anneks G. Modulet anvendes, når der i et vægfelt er mulighed for (risiko for) 2. ordens effekter (dvs. søjlevirkning).

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Vridning hvælving og kipning. april 2014, LC

Vridning hvælving og kipning. april 2014, LC Vridning hvælving og kipning april, LC L B L P B Indhold Hvælvingsinertimoment.. Teoretisk udledning for et U-profil.. Taelværdier.3 Eksempel med et H-profil.. Eksempel med et Z-profil. Fri vridning. Massive

Læs mere

Modellering af stoftransport med GMS MT3DMS

Modellering af stoftransport med GMS MT3DMS Modellering af stoftransport med GMS MT3DMS Formål Formålet med modellering af stoftransport i GMS MT3DMS er, at undersøge modellens evne til at beskrive den målte stoftransport gennem sandkassen ved anvendelse

Læs mere

Bestemmelse af hydraulisk ledningsevne

Bestemmelse af hydraulisk ledningsevne Bestemmelse af hydraulisk ledningsevne Med henblik på at bestemme den hydrauliske ledningsevne for de benyttede sandtyper er der udført en række forsøg til bestemmelse af disse. Formål Den hydrauliske

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Peter Orthmann Nielsen og Jørgen Franck. Dansk Amatør Raket Klub

Peter Orthmann Nielsen og Jørgen Franck. Dansk Amatør Raket Klub Beregning af areal, volumen, massemidtpunkt og inertimomenter for en klasse af omdrejningslegemer med cirkelbuegeometri af Peter Orthmann Nielsen og Jørgen Franck Dansk Amatør Raket Klub Introduktion Denne

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

10.2 Betons trækstyrke

10.2 Betons trækstyrke 10.2 Betons trækstyrke Af Claus Vestergaard Nielsen Beton har en lav trækstyrke. Modsat fx stål, hvor træk- og trykstyrken er stort set ens, er betons trækstyrke typisk 10-20 gange mindre end trykstyrken.

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Fuldskala belastnings- og bæreevneforsøg med AKR skadet 3-fags bro

Fuldskala belastnings- og bæreevneforsøg med AKR skadet 3-fags bro Fuldskala belastnings- og bæreevneforsøg med AKR skadet 3-fags bro Christian von Scholten 2011 Brodag 2011 1 Indlæggets indhold Indledning, baggrund og formål Forsøgets gennemførelse Resultater Konklusioner

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere