Filosofien og matematikken bag Google

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Filosofien og matematikken bag Google"

Transkript

1 40 Baggrundsartikel Filosofien og matematikken bag Google Med fokus på PageRank Jakob Lindblad Blaavand, Oxford University Indledning En internetsøgemaskine er god, hvis den først og fremmest kan søge blandt al information på internettet. Derudover skal den være hurtig til at finde resultaterne, og måske vigtigst af alt skal den vise de mest relevante resultater først. Sat lidt på spidsen er de to første krav blot et spørgsmål om nok computerkraft. Ordningen af søgeresultaterne er mere subtil og var det, der gjorde Google så speciel i forhold til andre søgemaskiner, da Sergey Brin og Lawrence Page lancerede Google tilbage i Hvis jeg på Google søger på matematik og København, får jeg resultater, og de kommer svimlende hurtigt efter kun 0.23 sekunder. Når jeg søger på disse to ord, vil jeg naturligvis have fat i Institut for Matematiske Fag på Københavns Universitets hjemmeside. Google giver mig også denne hjemmeside som det første søgeresultat. Men hvordan kan Google gætte det fra blot matematik og København? Dette mindre mysterium skal vi undersøge i denne artikel. Søgeresultaterne skal sorteres efter relevans men hvilke parametre ligger til grund for dette kriterie, og hvordan implementeres de? Det ville være mest demokratisk, hvis man kunne sætte en stor gruppe mennesker til at bestemme, hvilke hjemmesider der er de mest troværdige og vigtigste. Man kunne så sortere søgeresultaterne efter deres placering på denne universelle liste. Der er mange problemer med denne fremgangsmåde. Først og fremmest vil listen naturligvis være afhængig af gruppens sammensætning. Derudover er det en uoverskuelig tidshorisont. Hvis mennesker skal tage stilling til vigtigheden og troværdigheden af 255 millio-

2 Jakob Lindblad Blaavand, Oxford University 41 ner websites, er en sådan liste altså underlagt en subjektiv vurdering, som er uhensigtsmæssig. Løsningen er at få internettet til selv at ordne siderne efter vigtighed. Størstedelen af denne artikel er en forklaring af filosofien bag Google, krydret med en smule matematik. Vi vil kun se på den afgørende ide, der fik Google til at være så meget bedre end sine daværende konkurrenter, og ikke diskutere de mange andre tiltag Google i dag bruger til at ordne søgeresultater. I afsnittet Matematiske beviser ser vi på den konkrete matematik. Her bliver alle påstande fra artiklen bevist. Beviserne er alene baseret på lineær algebra, og den eneste forudsætning for at kunne forstå beviserne er at kende til egenværdier og egenvektorer for en matrix. Hovedteksten er stærkt inspireret af [1], mens det matematiske afsnit er baseret på [2]. Hvis du vil vide mere om lineær algebra, er [3] et godt udgangspunkt. Hvilke sider er vigtigst? Hvis du har lavet en hjemmeside, så har du også lavet links til andre hjemmesider. Det har du gjort, fordi du synes de hjemmesider, du linker til, indeholder vigtig information af den ene eller den anden karakter. Når du derfor laver et link til en hjemmeside, siger du samtidig, at du mener, siden er vigtig. Hvis vi kan kortlægge hele internettets linkstruktur, så kan vi få alle hjemmesideforfatteres mening om, hvilke sider der er vigtige. På den måde kan vi forfølge vores første demokratiske tanke om, at en stor gruppe mennesker skal være med til at bestemme, hvad der er vigtigt: Hjemmesidens placering på vigtighedslisten er bestemt af hvor mange og hvilke hjemmesider, der linker til den. Hvis listen også skal afspejle en form for troværdighed, er det også nødvendigt at tage i betragtning, hvilke sider der linker til hvilke. F.eks. er det 21. årgang, nr. 4

3 42 Filosofien og matematikken bag Google meget mere troværdigt for en hjemmeside, at en stor hjemmeside som jp.dk linker til den, end, at jeg som privatperson linker til hjemmesiden. Altså, hvis vi har en side P, lader vi et tal, sidens PageRank, I(P ), være en samlet beskrivelse af sidens troværdighed og vigtighed. Når søgeresultaterne i en søgning skal vises, bliver hjemmesiderne sorteret efter denne PageRank. Men hvordan skal vi bestemme PageRank fra de ovenstående betragtninger? Antag, at siden P j har l j links. Hvis et af disse links peger på siden P i, så overfører P j en 1/l j te del af dens PageRank til P i. Så PageRanken af P i, I(P i ), er summen af bidrag fra alle siderne, der linker til P i. Altså, hvis mængden af sider, der linker til P i, betegnes B i, er PageRanken givet ved I(P i ) = I(P j ). (1) l P j B j i Har vi ikke et problem? En sides PageRank bestemmes af andre siders PageRank. Men hvis vi nu har to sider, der linker til hinanden - hvordan får vi så bestemt hver deres PageRank? Er PageRank virkelig veldefineret? Det er som spørgsmålet om, hvad der kom først: hønen eller ægget? Skal vi så til at skrotte vores håb om at lave en vægtning af sider efter alle internettets links? Vi har endnu ikke brugt noget matematik på vores situation, og hvis vi gør det, så har vi heldigvis en løsning. Hyperlinkmatricen Vi definerer nu en matrix H = (H ij ), som kaldes hyperlinkmatricen. Hver række og søjle repræsenterer en webside. Hvis den i te række er websiden P i så er den i te søjle det også. Altså er

4 Jakob Lindblad Blaavand, Oxford University 43 H en kvadratisk matrix. I den ij te indgang står der 1/l j hvis P j B i og 0 ellers. Dvs. hvis P j linker til P i står der 1/l j i den ij te indgang og 0 hvis P j ikke linker til P i. Hvis man ser på den j te søjle, så viser denne vektor, hvilke sider der linkes til fra P j. Hvis man derimod ser på den j te række kan man aflæse hvilke sider, der linker til P j. Det skal bemærkes, at hvis en hjemmeside ikke linker til nogen andre hjemmesider, så er alle indgange i den tilhørende søjle 0. Hyperlinkmatricen er altså helt speciel i den forstand, at alle indgangene er større end eller lig nul, og summen af alle indgangene i en søjle er 1, medmindre den side søjlen repræsenterer ikke har nogen links. Vi kan nu lave vektoren I = [I(P i )], hvis indgange er Page- Ranks. Husker vi tilbage på definition (1) af en sides PageRank, så har vi, at vores PageRank-vektor opfylder følgende ligning: I = HI, og vi kan tage dette som værende definitionen på I. I virkeligheden har vi her n ligninger med n ubekendte, hvor n er antallet af websider på nettet. Altså rigtig mange ligninger, der skal løses for at finde alle websiders PageRank. Per definition er I en egenvektor for H med egenværdi 1, og den slags vektorer er helt specielle. Der findes teknikker til at finde dem, og forhåbentlig bliver det overskueligt at løse ligningerne. Miniatureweb Lad os se på et eksempel, hvor vi har otte websider, der linker til hinanden og udgør et internet i legetøjsstørrelse. Links er repræsenteret ved pile. 21. årgang, nr. 4

5 44 Filosofien og matematikken bag Google Den tilhørende matrix og egenvektor er /3 0 1/2 0 1/2 1/ / H = /2 1/ / /3 1/ / / / /3 1 1/ og I = Da side 1 linker til side 2 og 3 står der 1 2 på plads 2 og 3 i første søjle og 0 er på resten af pladserne. Side 2 linker kun til side 4, og derfor står der 1 på plads 4 i anden søjle og 0 er på resten af pladserne, osv. I dette tilfælde viser PageRank-vektoren, I, at side 8 er den vigtigste, fordi det største tal står på plads 8. Det kan til dels forklares med, at der er tre sider, der linker til side 8. Der bliver

6 Jakob Lindblad Blaavand, Oxford University 45 også linket til side 2, 5 og 6 tre gange, men 8 er den vigtigste, fordi de websider, der peger på 8, selv har mange sider, der peger på dem. Her er det altså igen troværdigheden af siderne, der er med til afgøre PageRanken, og ikke alene antallet af links. Beregning af I Der findes mange måder at finde egenvektorer til kvadratiske matricer på. Men når vi i dette tilfælde har en hyperlinkmatrix med 50 milliarder rækker og 50 milliarder søjler, virker alle beregningsmetoder håbløse og tidskrævende. 10 Dog er vi så heldige, at der i gennemsnit kun er 10 links per side, så langt størstedelen af indgangene i H er nul. Derfor bruger man det, der hedder potensmetoden, til at finde egenvektoren I til egenværdien 1. For at bruge potensmetoden skal man vælge sig en vektor I 0, som man mener kunne være en kandidat til I, og så laver man følgen af vektorer I k givet ved I k+1 = HI k = H k I 0. Hvis H er en særlig pæn matrix, vil I k vektorerne nærme sig egenvektoren I, når k bliver stor. Selv for Googles store matrix skal man kun op på ca. k = 60 for at få en god approksimation til I. I eksemplet er de første elementer i følgen beregnet for k = 60 og k = Det tidligere tal 255 millioner er antallet af websites, mens de 50 milliarder er det totale antal, hvor undersider tælles med. 21. årgang, nr. 4

7 46 Filosofien og matematikken bag Google I 0 I 1 I 2 I 3 I 4 I 60 I Vigtige spørgsmål Nu har vi altså fundet en relativt effektiv måde at beregne I på. Med denne måde vælger vi os et startpunkt for en følge, der så tilnærmer sig egenvektoren. Men på dette tidspunkt skal vi stille os selv tre centrale spørgsmål: Vil følgen I k altid konvergere? Er grænsevektoren af I k uafhængig af startvektoren I 0? Indeholder I rent faktisk den informationen, vi vil have? Svaret på alle tre ovenstående spørgsmål er desværre nej. Men det, der redder os, er, at svaret på tredje spørgsmål er nej. Vi har nemlig ikke helt fundet frem til den information, som vi satte os for at finde men vi er meget tæt på. Googlematricen Tidligere har vi opfattet PageRank som et mål for, hvor vigtig en side er, beregnet ud fra vigtigheden af de sider, der peger på den. Det var et forsøg på at bruge internettets linkstruktur til på demokratisk vis at afgøre hvilke sider, der er de vigtigste og

8 Jakob Lindblad Blaavand, Oxford University 47 mest troværdige. Vi har dog kun taget højde for hjemmesidernes fprfattere. Hvis vi skulle være helt demokratiske, skulle vi også have brugerne af internettet med altså surferne. Selvfølgelig er der et stort overlap mellem forfattere og brugere, men selvom man synes, at en bestemt hjemmeside er vigtig, er det jo ikke sikkert, man vil linke til den, hvis nu ens hjemmeside har et meget konkret formål. Vi vil nu tage hyperlinkmatricen som udgangspunkt og ændre den en smule, så vi får en matrix, hvor vi kan svare ja på alle spørgsmålene fra ovenstående, og hvor vi altså får indkodet websurfernes stemme i afgørelsen af, hvilke hjemmesider er vigtige. Vores udgangspunkt er, at vi ud fra H vil konstruere en matrix G, og løse ligningssystemet GI = I. Dette I er vores rigtige PageRank-vektor. Vi forestiller os, at vi tager en tilfældig surftur på nettet. Vi starter på siden P j, som har l j links. Vi vælger så et tilfældigt af de l j links. Et af linksene er til siden P i. Dermed er sandsynligheden for at vi rammer P i, når vi står på P j, altså 1/l j. Forfølger vi denne tanke, så kan PageRank I(P j ) ses som sandsynligheden for, at man tilfældigvis surfer forbi siden, hvis man bare klikker rundt på må og få på nettet. Det giver ganske god mening, for hvis du surfer efter noget bestemt information, så vil du uværgeligt ende på de samme sider flere gange. Altså er de sider vigtigere end andre, og disse siders PageRank skal være højere. Dog giver denne fortolkning af PageRank os et problem: Hvis vi på vores surftur støder på en side, der ikke linker til andre websider, hvad gør vi så? For at kunne fortsætte forestiller vi os, at en side uden links til andre sider rent faktisk linker til alle sider på hele nettet. Hvis vi tænker tilbage på vores hyperlinkmatrix, så betyder det, at den søjle, der repræsenterede en side uden links, ville have lutter 0 er. Nu bliver hele denne søjle erstattet 21. årgang, nr. 4

9 48 Filosofien og matematikken bag Google med en vektor med 1/n på hver plads, hvor n er antallet af sider på nettet. Denne nye matrix kalder vi S. Det betyder, at vi kan skrive S som S = H + A, hvor A er en matrix, med lutter 0 er - bortset fra de søjler, der repræsenterer websider uden links, hvor der i stedet står 1/n i hver indgang. Har vi nu fået simuleret, hvordan en websurfer opfører sig på nettet? I det store hele, ja, fordi man følger links på de sider, man besøger, og hvis der ikke er nogen links, så vælges en tilfældig af nettets mange websider. Men på en surftur vælger man ofte en anden side på nettet fremfor bare at vælge en af de sider, der linkes til. Vi kan formulere dette matematisk ved at vælge et tal, α, mellem 0 og 1, som er sandsynligheden for, at websurferen gør, som vi har forudsagt med matricen S: han vælger en af de sider, der linkes til, eller hvis han kommer til en side uden links, så vælges en tilfældig af nettets mange sider. Dermed er der sandsynlighed 1 α for, at websurferen gør noget andet: vælger en tilfældig af nettets websider. Det hele samler vi i Googlematricen: G = αs + (1 α) 1 n 1 hvor 1 er en matrix af samme dimension som S, med lutter 1-taller i alle indgangene. Variablen α er ret vigtig, for den styrer hvor stor indfyldelse, internettets hyperlinkstruktur skal have i Googlematricen. F.eks. vil α = 1 give den oprindelige hyperlinkstruktur, og α = 0 giver en webstruktur helt uden links. Googlematricen giver den hidtil mest realistiske beskrivelse af en websurfers adfærd på nettet. Det er naturligvis afhængigt af, at vi finder en rimelig værdi til α. Google bruger α = 0.85, der betyder, at der er 85% sandsynlighed for, at en websurfer følger et

10 Jakob Lindblad Blaavand, Oxford University 49 link på en hjemmeside, og 15% sandsynlighed for, at han vælger en tilfældig hjemmeside. Beregning af I Så langt så godt. Vi har fået lavet os en matrix G, der kan simulere en websurfers adfærd. Hvis vi nu kan finde egenvektoren I med egenværdien 1, altså finde en vektor så GI = I, så har vi fundet vores PageRank-vektor. I afsnittet Matematiske beviser ser vi, at der findes uendeligt mange løsninger til GI = I. Men hvis vi vil fortolke PageRank som en sandsynlighed for at en hjemmeside bliver besøgt på en tilfældig surftur, så skal PageRank jo være et positivt tal, og hvis vi lægger PageRanks for alle hjemmesider sammen, skal vi have 1. Med disse ekstra antagelser kan vi vise, at der findes præcist en løsning til GI = I, og denne løsning kan findes med potensmetoden. For at potensmetoden virker, skal vi vise, at følgen I k vil konvergere mod vores PageRank-vektor I, der opfylder GI = I og den ekstra antagelse. Derudover skal vi vise, at grænsevektoren for I k ikke afhænger af valget af startvektor. Det vil blive gjort i afsnittet Matematiske beviser. Som sagt vil vi bruge potensmetoden, og husker vi på, at S = H + A, bliver G = αh + αa + 1 α n 1, og dermed er GI k = αhi k + αai k + 1 α n 1Ik. Da de fleste af indgangene i H er nul, skal der i gennemsnit kun summeres 10 tal i hver af indgangene i produktet HI k. Desuden er alle rækker i A ens, så AI k er en vektor med samme tal i hver 21. årgang, nr. 4

11 50 Filosofien og matematikken bag Google indgang, og prikproduktet mellem I k og en række i A skal kun beregnes en enkelt gang. Det samme er gældende for 1, der også har ens rækker. Hastigheden af I k s konvergens afhænger af størrelsen af α. Konvergensen er hurtig, hvis α er lille, og langsom, når den er tæt på 1. Med valget af α = 0.85 har Google indgået et kompromis mellem at få så meget som muligt af internettets hyperlinkstruktur med, og hastigheden hvormed I kan beregnes. Det viser sig, at k skal ligge mellem 50 og 100, for at vi kan få tilpas god approksimation til I. Google siger selv, at det tager dem et par dage at beregne I. 11 I og med, at nettet er en dynamisk størrelse, hvor der hele tiden bliver tilføjet og slettet indhold, vil en PageRank vektor være forældet sekundet efter, at beregningen af den er startet. Rygterne vil derfor vide, at Google for nogle år siden beregnede en ny PageRank-vektor en gang i måneden. I dag er det ikke klart, hvordan det fungerer. Matematiske beviser I dette afsnit vil vi bevise påstandene omkring potensmetoden og eksistensen af en PageRank-vektor. Først og fremmest det mest essentielle spørgsmål: Findes der overhovedet en løsning til GI = I, der samtidig opfylder, at n i=1 I(P i ) = 1 og I(P i ) > 0? Dette er et ligningssytem med n + 1 ligninger og n ubekendte. Som udgangspunkt er det ikke sikkert, at vi kan finde en sådan løsning. I tilfælde af, at vi kan finde en løsning, er vi så sikre på, at den 11 Disse oplysninger er nogle år gamle. Det er derfor meget usikkert, hvad de korrekte er i dag, og om det stadig er denne metode, der bruges. Men det er forretningshemmeligheder i dag.

12 Jakob Lindblad Blaavand, Oxford University 51 er entydig? Desuden skal vi se, at potensmetoden virker og er uafhængig af valget af startvektor. I det følgende vil jeg bruge betegnelsen x 1 = n i=1 x i for summen af den numeriske værdi af indgangene i en vektor. x 1 kaldes for 1-længden af x. Proposition 1 Hvis G = (g ij ) er en matrix med g ij > 0 for alle i, j og alle søjler summer til 1, da er 1 en egenværdi for G og ligningen Gx = x har en løsning, hvor alle indgange i x er positive, særligt findes en løsning med x 1 = n i=1 x i = 1. Bevis. Rækkerne i G T summer alle til 1, så vektoren v givet ved (1, 1,..., 1) T er en egenvektor for G T med egenværdien 1, så G T v = v. Dermed er 1 en rod i det(g T λid), og da det(g T λid) = det(g λid) er 1 altså også en egenværdi for G. Helt generelt gælder der, at i y i i y i og hvis y i erne har blandede fortegn er uligheden skarp. Lad x V 1 (G) være en egenvektor i egenrummet tilhørende egenværdien 1 for G. Antag, at der er forskellige fortegn i x s indgange. Da x = Gx er x i = n j=1 g ij x j og da x i erne har blandede fortegn g ij > 0, har g ij x j erne blandede fortegn. Vi har altså en streng ulighed x i < n j=1 g ij x j, og derfor har vi n n n n n n x i < g ij x j = x j g ij = x j, i=1 i=1 j=1 j=1 i=1 j=1 hvilket er en modstrid. Altså har alle indgange i x samme fortegn. Særligt findes en vektor i V 1 (G) med alle indgangene positive, og dermed også en med 1-længde årgang, nr. 4

13 52 Filosofien og matematikken bag Google Ovenstående proposition viser altså eksistensen af en løsning til ligningssystemet GI = I, der opfylder I 1 = 1 og alle indgange i I er positive. Hvis dim V 1 (G) = 1 findes der kun én løsning. Denne løsning er vores PageRank-vektor. For at kunne vise at dim V 1 (G) = 1 skal vi først have vist følgende generelle lemma. Lemma 2 Lad v og w være lineært uafhængige vektorer i R m, m 2. Der findes reelle tal s, t så x = sv + tw har både positive og negative indgange. Bevis. Da v, w er lineært uafhængige er v 0 w. Lad d = v i. Hvis d = 0 indeholder v forskellige fortegn og s = 1 og t = 0 opfylder det ønskede. Hvis d 0 defineres s = i w i d og t = 1. Da v, w er lineært uafhængige er x = sv + tw 0, men det er samtidig klart at i x i = 0, så x i erne må have blandede fortegn. Nu er vi i stand til at bevise entydigheden af PageRank-vektoren. Proposition 3 Hvis G = (g ij ) er en kvadratisk matrix med g ij > 0 og i g ij = 1 for alle j er dim V 1 (G) = 1. Bevis. Antag, at der findes to lineært uafhængige vektorer v, w V 1 (G). Pr. lemma 2 findes s, t så komponenterne af x = sv + tw har blandede fortegn. Men pr. Proposition 1 vil ethvert x V 1 (G) have enten kun positive eller kun negative komponenter, hvilket er en modstrid. Altså vil en basis for V 1 (G) kun bestå af en enkelt vektor, og dim V 1 (G) = 1.

14 Jakob Lindblad Blaavand, Oxford University 53 Vi har nu bevist, at der findes en entydig PageRank-vektor. Spørgsmålet er nu blot, om vi kan finde den med potensmetoden beskrevet ovenfor. Proposition 4 Lad G = (g ij ) være en kvadratisk matrix med g ij > 0 og n i=1 g ij = 1 for alle j, og lad V være underrummet i R n bestående af vektorer v så i v i = 0. Da er G matrixrepræsentationen af en lineær transformation G : V V og der findes et 0 c < 1 så Gv 1 c v 1 for alle v V. Bevis. Lad os først se, at G tager elementer i V til elementer i V. Lad w = Gv, så w i = n j=1 g ij v j og n n n n n n w i = g ij v j = v j g ij = v j = 0. i=1 i=1 j=1 j=1 i=1 j=1 Dermed er w V og G : V V. Nu til vurderingen, som er en smule besværlig at vise. n n n w 1 = e i w i = e i g ij v j, i=1 i=1 j=1 hvor e i = sgn(w i ) og e i erne er ikke alle ens, da i w i = 0, og w V medmindre w = 0, hvor uligheden klart gælder. n n n w 1 = v j e i g ij = a j v j, j=1 i=1 j=1 hvor a j = n i=1 e i g ij. Da e i erne ikke alle er ens, n i=1 g ij = 1 og 0 < g ij < 1, er det klart, at 1 < 1 + min g ij a j 1 min g ij < 1. i i 21. årgang, nr. 4

15 54 Filosofien og matematikken bag Google Vi har altså, at a j 1 min i g ij < 1. Lad derfor c := max j 1 min i g ij for så er a j c < 1 for alle j. Dermed har vi nu, at n n n n w 1 = a j v j = a j v j a j v j c v j = c v 1, j=1 j=1 j=1 j=1 hvormed det ønskede er vist. Vi kan nu afslutte dette matematiske afsnit med en sætning, der indeholder svar på alle spørgsmål stillet under afsnittet Vigtige Spørgsmål. Theorem 5 Enhver kvadratisk matrix G = (g ij ) med 0 < g ij < 1 og n i=1 g ij = 1 for alle j, har en entydig egenvektor I tilhørende egenværdien 1, der yderligere kun har positive indgange og I 1 = 1. Vektoren I kan beregnes ved I = lim k G k x 0, hvor x 0 er en vektor med positive indgange og x 0 1 = 1. Bevis. Vi ved allerede fra de ovenstående propositioner, at G har 1 som egenværdi, og at dim V 1 (G) = 1. Det gav os som ønsket, at I eksisterer og er entydig. Vi mangler blot at bevise, at potensmetoden virker. Det vil sige at følgen G k x 0 konvergerer mod I for et vilkårligt valg af x 0 med ovenstående egenskaber. Lad x 0 R n have positive indgange og x 0 1 = 1. Vi ved som sagt, at I findes, at I i = I(P i ) > 0 og i I(P i) = 1. V er underrummet af R n, hvor indgangene summerer til 0. Definer v = x 0 I. Dermed er v V, da summen af v s indgange er nul, fordi summen af indgangene i både x 0 og i I er 1. Derfor er x 0 = I + v, og G k x 0 = G k I + G k v = I + G k v. altså er G k x 0 I = G k v, og et induktionsargument giver nu, at G k v 1 c k v 1,

16 Jakob Lindblad Blaavand, Oxford University 55 hvor 0 c < 1. Samlet set har vi, at lim k G k v 1 = 0, hvorfor G k x 0 I for k, hvormed det ønskede er vist. Opsamling Da Page og Brin startede Google i 1997, blev internettet forvandlet fra at være en bunke ustrukturerede informationer, som ingen kunne finde rundt i, til at blive en ikke fuldstændig ordnet bunke informationer. Men det var blevet meget lettere at finde relevante informationer hurtigt. Hovedidéen var at få internettet til selv at ordne informationerne efter relevans ved hjælp af dets links. Som det er vist ovenfor er idéen simpel, men meget anvendelig. Resultatet af en søgning bliver bl.a. sorteret efter sidernes PageRank fundet i PageRankvektoren. Google siger selv, at PageRank er et af mere end 200 kriterier, der bliver sorteret efter. De resterende kriterier er forretningshemmeligheder, som Google ikke siger noget om, ganske som Google ikke offentliggør, hvad en hjemmesides PageRank præcist er. I den seneste tid har Google lanceret et af de mest radikale ekstra sorteringskriterier. Ved at gemme din søgehistorik lærer Google dig og dine præferencer at kende. Dermed kan Google sortere søgeresultater så de er specielt tilpasset dig. Det er ganske smart når matematikartikler for mig får højere prioritet. Søger man f.eks. på Hitchin map flat får man som udgangspunkt et kort over byen Hitchin i Hertfordshire i England, og en masse tilbud om ledige lejligheder. Laver man geometri som jeg, håber man dog at få artikler om Higgs bundter og egenskaber af Hitchin afbildningen. Alt har dog en pris, nemlig at Google ved forfærdeligt meget om dig. Du må så gøre op med dig selv, om de bedre 21. årgang, nr. 4

17 56 Filosofien og matematikken bag Google søgeresultater er det værd man kan dog slå overvågningen fra, så man stadig kan bruge Google anonymt heldigvis. I kølvandet på PageRank-algoritmen er der udviklet andre algoritmer, som også bruger internettets hyperlinkstruktur til at vurdere websiders vigtighed. Et eksempel er HITS-algoritmen, som blev lavet af Jon Kleinberg, der ligger til grund for Teoma søgemaskinen, der driver ask.com. Du kan selv vurdere, hvilken der er bedst ved at sammenligne resultater. Litteratur [1] David Austin. How google finds your needle in the web s haystack. feature-column/fcarc-pagerank. [2] Kurt Bryan and Tanya Liese. The linear algebra behind google. googlefinalversionfixed.pdf. [3] John B. Fraleigh and Raymond A. Beauregard. Linear Algebra. Addison Wesley, 3 edition.

God sommer fra Famøs-redaktionen!

God sommer fra Famøs-redaktionen! FAMØS God sommer fra Famøs-redaktionen! I sommerferien har redaktionen planlagt at: hyrde køer, sætte tibetanske bedeflag op, nyde en kold øl, danse til den tidlige morgen, tage til Copenhagen Jazz Festival,

Læs mere

Google Pagerank Hvordan man finder en nål i en høstak

Google Pagerank Hvordan man finder en nål i en høstak Google Pagerank Hvordan man finder en nål i en høstak Georg Mohr, 4. marts 2008 Kim Knudsen kim@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet http://www.math.aau.dk/ kim/georgmohr2008.pdf

Læs mere

Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik 21. årgang, nr. 4, juni 2012

Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik 21. årgang, nr. 4, juni 2012 FAMØS Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik 21. årgang, nr. 4, juni 2012 Banach-Tarski paradox gone wrong! Redaktion Bo Maling Malling Christensen, Frederik Möllerström Lauridsen, Jens Siegstad,

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Forstå brugbarheden af Google Analytics på 10 minutter

Forstå brugbarheden af Google Analytics på 10 minutter Forstå brugbarheden af Google Analytics på 10 minutter Hvad er Google Analytics? Hvem kan bruge det? Hvad kan Google Analytics bruges til? Google Analytics viser dig hvor dine kunder har fundet frem til

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Internet hitlister. En geometrisk præsentation af interesse-afstande Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2006

Internet hitlister. En geometrisk præsentation af interesse-afstande Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2006 Internet hitlister En geometrisk præsentation af interesse-afstande Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2006 1 Formål Formålet med denne projekt-opgave er at finde en geometrisk repræsentation (i 2D eller

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

Her vil jeg gerne være Det er sådan dine kunder skal tænke

Her vil jeg gerne være Det er sådan dine kunder skal tænke Her vil jeg gerne være Det er sådan dine kunder skal tænke I denne gennemgang lægger vi vægt på hjemmesidens opbygning. For at få det optimale udbytte af en hjemmeside skal mange elementer spille sammen.

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Fag- og indholdsplan 9. kl.:

Fag- og indholdsplan 9. kl.: Fag- og indholdsplan 9. kl.: Indholdsområder: Tal og algebra: Tal - regneregler og formler Størrelser måling, beregning og sammenligning. Matematiske udtryk Algebra - teoretiske sammenhænge absolut og

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

TW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik:

TW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik: TW 2011/12 Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag Formål for faget matematik: Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at

Læs mere

10 Vigtigste SEO Ranking Faktorer

10 Vigtigste SEO Ranking Faktorer 10 Vigtigste SEO Ranking Faktorer Indledning 10 Vigtigste Ranking Faktorer Agilitor Der findes en lang række faktorer, der har indflydelse på din websites position i Google på forskellige søgeord. Faktisk

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

MANUAL. Siteloom CMS

MANUAL. Siteloom CMS MANUAL Siteloom CMS www.hjerteforeningen.dk/cms Brugernavn: Password: 3. oktober, 2013 BASIS FUNKTIONER 1. Kalender... 4 1.a. Opret... 5 1.b. Rediger eller slet... 9 2. Sider...12 2.a. Opret side...13

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet D.29/2 2012 Udarbejdet af: Katrine Ahle Warming Nielsen Jannie Jeppesen Schmøde Sara Lorenzen A) Kritik af spørgeskema Set ud fra en kritisk vinkel af spørgeskemaet

Læs mere

MANUAL. Siteloom CMS

MANUAL. Siteloom CMS MANUAL Siteloom CMS www.hjerteforeningen.dk/cms Brugernavn: Password: 13. marts, 2014 BASIS FUNKTIONER 1. Kalender... 4 1.a. Opret... 5 1.b. Rediger eller slet... 9 2. Sider...12 2.a. Opret side...13 2.b.

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk

Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk Øresunds Internationale Skole læseplan for matematik. Formål for faget matematik Formålet med

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad 32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser

Læs mere

Vejledning i udtræk af input-output data fra Statistikbanken

Vejledning i udtræk af input-output data fra Statistikbanken - 1 - Vejledning i udtræk af input-output data fra Statistikbanken Introduktion Input-output tabellerne er konsistente med nationalregnskabet og udarbejdes i tilknytning hertil. De opdateres årligt i december

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

SEO-strategi. Kunde logo

SEO-strategi. Kunde logo SEO-strategi Kunde logo Formålet SEO-strategien skal ved udførsel skabe mere trafik til KUNDE, samt styrke deres branding. SEO-strategien skal være med til at belyse nogle af de problematikker som KUNDEløser

Læs mere

Forbrugerombudsmanden. Carl Jacobsens vej 35. 2500 Valby. Att.: Chefkonsulent Tina Morell Nielsen. Frederiksberg, 19.

Forbrugerombudsmanden. Carl Jacobsens vej 35. 2500 Valby. Att.: Chefkonsulent Tina Morell Nielsen. Frederiksberg, 19. Forbrugerombudsmanden Carl Jacobsens vej 35 2500 Valby Att.: Chefkonsulent Tina Morell Nielsen Frederiksberg, 19. december 2011 Vedrørende standpunkt til markedsføring via sociale medier. Indledende bemærkninger.

Læs mere

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Grundlæggende find selv flere funktioner, fx i GG s indbyggede hjælpefunktion. Vær opmærksom på at grænsefladen i GeoGebra ændrer sig med tiden, da værktøjet

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Kort introduktion til Google.

Kort introduktion til Google. Google Side 1 af 10 Kort introduktion til Google.... 2 Tilpas din søgning... 2 Generelle Tips... 2 Udelukkelse af ord... 2 Brug af *... 3 Sætningssøgninger... 3 Jeg Føler Mig Heldig... 3 Avanceret søgning...

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

SEARCH ENGINE OPTIMIZATION

SEARCH ENGINE OPTIMIZATION SEARCH ENGINE OPTIMIZATION Søgeord og online marketing v. Kristian Stoffregen Tørning, Lektor (MPL) / Maj 2013 Program 1. Hvordan søger brugerne? 2. Hvordan ved søgemaskinen, hvad der er relevant? 3. Praktisk

Læs mere

Vejledning til Google Analytics rapporter

Vejledning til Google Analytics rapporter Vejledning til Google Analytics rapporter Internet statistik kan godt være svært at forstå specielt hvis man ikke er vant til at arbejde med sådanne ting. For at gøre det nemmere for vores kunder at forstå

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Kan anbefalinger af anbefalere anbefales?

Kan anbefalinger af anbefalere anbefales? Kan anbefalinger af anbefalere anbefales? Gå hjem møde ved center for kommunikation December 2003 Timme Bisgaard Munk Formål Hvad er krydssalg? hvordan og hvorfor virker anbefalinger på Internettet til

Læs mere

MANUAL. Siteloom CMS

MANUAL. Siteloom CMS MANUAL Siteloom CMS www.hjerteforeningen.dk/cms Brugernavn: Password: 3. september, 2012 BASIS FUNKTIONER 1. Kalender... 4 1.a. Opret... 5 1.b. Rediger eller slet... 8 2. Sider... 10 2.a Opret side...

Læs mere

Komplekse tal og Kaos

Komplekse tal og Kaos Komplekse tal og Kaos Jon Sporring Datalogisk Institut ved Københavns Universitet Universitetsparken 1, 2100 København Ø August, 2006 1 Forord Denne opgave er tiltænkt gymnasiestuderende med matematik

Læs mere

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33 Indhold Bind 1 del I: Eksperimenterende geometri og måling 1 Eksperimentel geometri 3 Hvorfor eksperimenterende undersøgelse? 4 Eksperimentel undersøgelse: På opdagelse med sømbrættet 6 Geometriske konstruktioner

Læs mere

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter Fag: Matematik Hold: 26 Lærer: Harriet Tipsmark Undervisningsmål 9/10 klasse Læringsmål Faglige aktiviteter 33-35 Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig gode matematiske færdigheder og at

Læs mere

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang.

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Den tekniske platform Af redaktionen Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Teknologisk udvikling går således hånd i hånd med videnskabelig udvikling.

Læs mere

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Oplysning 23 En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Om at skrive BSc-opgave i anvendt statistik. Der findes matematikere (i hvert fald matematikstuderende), der mener, at den rene matematik

Læs mere

Computerstøttet beregning

Computerstøttet beregning CSB 2009 p. 1/16 Computerstøttet beregning Lektion 1. Introduktion Martin Qvist qvist@math.aau.dk Det Ingeniør-, Natur-, og Sundhedsvidenskabelige Basisår, Aalborg Universitet, 3. februar 2009 people.math.aau.dk/

Læs mere

Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com

Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86 Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com 28. august 2002 1 Indledning Matrix algebra er et uundværligt redskab til økonometri, herunder

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Der arbejdes hen mod slutmålene i matematik efter 10. klassetrin. www.uvm.dk => Fælles Mål 2009 => Faghæfter alfabetisk => Matematik => Slutmål for faget

Læs mere

Vin. Search Marketing Rapport

Vin. Search Marketing Rapport Vin Search Marketing Rapport 1 Introduktion Vinmarkedet er et meget konkurrencepræget marked i Danmark. Det domineres af supermarkederne, der sælger omkring 80 % af al vin i Danmark. Men der ud over består

Læs mere

Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej

Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej Supplement til Matematik 1GB Jan Philip Solovej ii c 2001 Jan Philip Solovej, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet. Alle har tilladelse til at reproducere hele eller dele af dette materiale

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer

Læs mere

Forbrug af film- og tv-serier og pirateri i danske husstande 2013

Forbrug af film- og tv-serier og pirateri i danske husstande 2013 Side 1 af 12 YouSee A/S, Presse DATO 17/4-2013 INITIALER BWJ/IKJE Version: FINAL Forbrug af film- og tv-serier og pirateri i danske husstande 2013 Forord Denne analyse er den fjerde i en række, som YouSee

Læs mere

Synkron Via CMS er en ny generation Content Management System

Synkron Via CMS er en ny generation Content Management System Synkron Via CMS er en ny generation Content Management System De sidste par år er internettet gået fra at være endnu en marketingaktivitet for de fleste organisationer til at blive et strategisk og forretningskritisk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Efterår 2014 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK hold t14gymaau1o2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Dynamisk programmering. Flere eksempler

Dynamisk programmering. Flere eksempler Dynamisk programmering Flere eksempler Eksempel 1: Længste fælles delstreng Alfabet = mængde af tegn: {a,b,c,...,z}, {A,C,G,T}, {,1} Streng = sekvens x 1 x 2 x 3... x n af tegn fra et alfabet: helloworld

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Differentialligninger af første orden

Differentialligninger af første orden Differentialligninger af første orden Preben Alsholm Februar 2006 Basale begreber. Eksistens og entydighed. En differentialligning af første orden er en ligning, der sammenknytter differentialkvotienten

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget Fælles Mål II MATEMATIK Formål for faget Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

INDHOLDSFORTEGNELSE. Googles historie... Forord KAPITEL TO... 19. Introduktion til Google AdWords. Opret din AdWords-konto

INDHOLDSFORTEGNELSE. Googles historie... Forord KAPITEL TO... 19. Introduktion til Google AdWords. Opret din AdWords-konto INDHOLDSFORTEGNELSE Googles historie... Forord KAPITEL ET... 9 Introduktion til Google AdWords Hvad er en søgemaskine?... 10 Hvad er Google AdWords?...11 Eksempel på en AdWords-annonce... 12 Googles partnernetværk...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Uddannelsescenter Herning, afd. HHX-Ikast Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Maj 2012. FRBO.com Case Studie. Hvordan E-Intelligence Sikrede Massiv Trafik og Salgs Stigninger For FRBO.com

Maj 2012. FRBO.com Case Studie. Hvordan E-Intelligence Sikrede Massiv Trafik og Salgs Stigninger For FRBO.com Hvordan E-Intelligence Sikrede Massiv Trafik og Salgs Stigninger For FRBO.com Maj 2012 FRBO.com Case Studie Ophavsret eintelligenceweb.com 2013 Kontakt os: eintelligenceweb.com +1 678 500 9078 info@eintelligenceweb.com

Læs mere

Gør hjemmesiden synlig på søgemaskinerne

Gør hjemmesiden synlig på søgemaskinerne Gør hjemmesiden synlig på søgemaskinerne Der er mange måder at gøre jeres hjemmeside synlig i søgemaskinerne på. På dette kursus kommer vi omkring de fleste med fokus på, hvad I selv kan gøre for at komme

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5 Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: 33 Addition og subtraktion Anvendelse af regningsarter 34 Multiplikation og division Anvendelse af regningsarter 35 Multiplikation med decimaltal Anvendelse af

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig

Læs mere

Tavleundervisning og samarbejde 2 og 2. Eleverne arbejder selvstændigt med opgaver. Løbende opsamling ved tavlen.

Tavleundervisning og samarbejde 2 og 2. Eleverne arbejder selvstændigt med opgaver. Løbende opsamling ved tavlen. Fag: Matematik Hold: 21 Lærer: ASH 33-34 35-36 lære at læse og forstå en lønseddel samt vide hvordan deres skat bliver beregnet. Se i øvrigt fælles mål Arbejde med regnehieraki og regneregler. 36-38 Elevere

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

SEO TILBUD KORT FORANALYSE

SEO TILBUD KORT FORANALYSE SEO TILBUD Målet er at skabe mere trafik fra organiske søgninger og dermed flere leads både på kort og lang bane. Det er ikke før der er blevet udarbejdet en søgeordsanalyse muligt at vurdere, hvor meget

Læs mere

INDHOLDSFORTEGNELSE. INDLEDNING... 7 Kristian Langborg-Hansen. KAPITEL ET... 9 I gang med App Inventor. KAPITEL TO...

INDHOLDSFORTEGNELSE. INDLEDNING... 7 Kristian Langborg-Hansen. KAPITEL ET... 9 I gang med App Inventor. KAPITEL TO... INDHOLDSFORTEGNELSE INDLEDNING... 7 Kristian Langborg-Hansen KAPITEL ET... 9 I gang med App Inventor Installation af App Inventor... 10 Trådløs installation... 11 Installation af emulator (Windows)...

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

Dokumenter. Sider. efact CMS manual v. 1.0

Dokumenter. Sider. efact CMS manual v. 1.0 Dokumenter Dokumenter er stedet, hvor du opretter og vedligeholder dit indhold på hjemmesiden. Der kan uploades filer og billeder til brug på hjemmesiden, samt oprettes sider hvis indhold du redigerer

Læs mere

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle 1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet

Læs mere

Sådan kommer du igennem din blogs 5 stadier i opstartsfase

Sådan kommer du igennem din blogs 5 stadier i opstartsfase Sådan kommer du igennem din blogs 5 stadier i opstartsfase Nogle af de absolut skarpeste bloggere tjener over 100.000 i måneden, men det er typisk på den internationale scene, men her i Danmark har vi

Læs mere

Få mere ud af hjemmesiden - med SEO og gode webtekster... 4. Skab overblik... 4. Fokuser på læseren... 6. Skil dig ud fra mængden...

Få mere ud af hjemmesiden - med SEO og gode webtekster... 4. Skab overblik... 4. Fokuser på læseren... 6. Skil dig ud fra mængden... Indholdsfortegnelse Få mere ud af hjemmesiden - med SEO og gode webtekster... 4 Skab overblik... 4 Fokuser på læseren... 6 Skil dig ud fra mængden... 6 Don t tell me show me... 7 Fokuser på, hvad læseren

Læs mere

Maj 2012. Ontasknaturally.com Case Studie. Hvordan E-Intelligence Sikrede Mere end 100% Tilbagebetaling På Investeringen til Ontasknaturally.

Maj 2012. Ontasknaturally.com Case Studie. Hvordan E-Intelligence Sikrede Mere end 100% Tilbagebetaling På Investeringen til Ontasknaturally. Hvordan E-Intelligence Sikrede Mere end 100% Tilbagebetaling På Investeringen til Ontasknaturally.com Maj 2012 Ontasknaturally.com Case Studie Ophavsret eintelligenceweb.com 2013 Kontakt os: eintelligenceweb.com

Læs mere

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber Produktsystemer, substitutions-permutations-net samt lineær og differentiel kryptoanalyse Kryptologi, fredag den 10. februar 2006 Nils Andersen (Stinson 3., afsnit 2.7 3.4 samt side 95) Produkt af kryptosystemer

Læs mere

Hanne Wick, Wick Kommunikation Aps

Hanne Wick, Wick Kommunikation Aps Tekster til web Oplæg af Hanne Wick, Wick Kommunikation Aps Digital Markedsføring 2011 Hanne Wick, Wick Kommunikation Aps Har siden 1983 arbejdet med kommunikation, markedsføring og PR, siden 1999 med

Læs mere

Hvad er fremtiden for internettet?

Hvad er fremtiden for internettet? Hvad er fremtiden for internettet? pcfly.info Den Internettet er blot et par årtier gamle, men i dette korte tidsrum har oplevet væsentlige ændringer. Den voksede ud af et sammensurium af uafhængige netværk

Læs mere

Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC

Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC Komrapporten Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisningen

Læs mere