Filosofien og matematikken bag Google

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Filosofien og matematikken bag Google"

Transkript

1 40 Baggrundsartikel Filosofien og matematikken bag Google Med fokus på PageRank Jakob Lindblad Blaavand, Oxford University Indledning En internetsøgemaskine er god, hvis den først og fremmest kan søge blandt al information på internettet. Derudover skal den være hurtig til at finde resultaterne, og måske vigtigst af alt skal den vise de mest relevante resultater først. Sat lidt på spidsen er de to første krav blot et spørgsmål om nok computerkraft. Ordningen af søgeresultaterne er mere subtil og var det, der gjorde Google så speciel i forhold til andre søgemaskiner, da Sergey Brin og Lawrence Page lancerede Google tilbage i Hvis jeg på Google søger på matematik og København, får jeg resultater, og de kommer svimlende hurtigt efter kun 0.23 sekunder. Når jeg søger på disse to ord, vil jeg naturligvis have fat i Institut for Matematiske Fag på Københavns Universitets hjemmeside. Google giver mig også denne hjemmeside som det første søgeresultat. Men hvordan kan Google gætte det fra blot matematik og København? Dette mindre mysterium skal vi undersøge i denne artikel. Søgeresultaterne skal sorteres efter relevans men hvilke parametre ligger til grund for dette kriterie, og hvordan implementeres de? Det ville være mest demokratisk, hvis man kunne sætte en stor gruppe mennesker til at bestemme, hvilke hjemmesider der er de mest troværdige og vigtigste. Man kunne så sortere søgeresultaterne efter deres placering på denne universelle liste. Der er mange problemer med denne fremgangsmåde. Først og fremmest vil listen naturligvis være afhængig af gruppens sammensætning. Derudover er det en uoverskuelig tidshorisont. Hvis mennesker skal tage stilling til vigtigheden og troværdigheden af 255 millio-

2 Jakob Lindblad Blaavand, Oxford University 41 ner websites, er en sådan liste altså underlagt en subjektiv vurdering, som er uhensigtsmæssig. Løsningen er at få internettet til selv at ordne siderne efter vigtighed. Størstedelen af denne artikel er en forklaring af filosofien bag Google, krydret med en smule matematik. Vi vil kun se på den afgørende ide, der fik Google til at være så meget bedre end sine daværende konkurrenter, og ikke diskutere de mange andre tiltag Google i dag bruger til at ordne søgeresultater. I afsnittet Matematiske beviser ser vi på den konkrete matematik. Her bliver alle påstande fra artiklen bevist. Beviserne er alene baseret på lineær algebra, og den eneste forudsætning for at kunne forstå beviserne er at kende til egenværdier og egenvektorer for en matrix. Hovedteksten er stærkt inspireret af [1], mens det matematiske afsnit er baseret på [2]. Hvis du vil vide mere om lineær algebra, er [3] et godt udgangspunkt. Hvilke sider er vigtigst? Hvis du har lavet en hjemmeside, så har du også lavet links til andre hjemmesider. Det har du gjort, fordi du synes de hjemmesider, du linker til, indeholder vigtig information af den ene eller den anden karakter. Når du derfor laver et link til en hjemmeside, siger du samtidig, at du mener, siden er vigtig. Hvis vi kan kortlægge hele internettets linkstruktur, så kan vi få alle hjemmesideforfatteres mening om, hvilke sider der er vigtige. På den måde kan vi forfølge vores første demokratiske tanke om, at en stor gruppe mennesker skal være med til at bestemme, hvad der er vigtigt: Hjemmesidens placering på vigtighedslisten er bestemt af hvor mange og hvilke hjemmesider, der linker til den. Hvis listen også skal afspejle en form for troværdighed, er det også nødvendigt at tage i betragtning, hvilke sider der linker til hvilke. F.eks. er det 21. årgang, nr. 4

3 42 Filosofien og matematikken bag Google meget mere troværdigt for en hjemmeside, at en stor hjemmeside som jp.dk linker til den, end, at jeg som privatperson linker til hjemmesiden. Altså, hvis vi har en side P, lader vi et tal, sidens PageRank, I(P ), være en samlet beskrivelse af sidens troværdighed og vigtighed. Når søgeresultaterne i en søgning skal vises, bliver hjemmesiderne sorteret efter denne PageRank. Men hvordan skal vi bestemme PageRank fra de ovenstående betragtninger? Antag, at siden P j har l j links. Hvis et af disse links peger på siden P i, så overfører P j en 1/l j te del af dens PageRank til P i. Så PageRanken af P i, I(P i ), er summen af bidrag fra alle siderne, der linker til P i. Altså, hvis mængden af sider, der linker til P i, betegnes B i, er PageRanken givet ved I(P i ) = I(P j ). (1) l P j B j i Har vi ikke et problem? En sides PageRank bestemmes af andre siders PageRank. Men hvis vi nu har to sider, der linker til hinanden - hvordan får vi så bestemt hver deres PageRank? Er PageRank virkelig veldefineret? Det er som spørgsmålet om, hvad der kom først: hønen eller ægget? Skal vi så til at skrotte vores håb om at lave en vægtning af sider efter alle internettets links? Vi har endnu ikke brugt noget matematik på vores situation, og hvis vi gør det, så har vi heldigvis en løsning. Hyperlinkmatricen Vi definerer nu en matrix H = (H ij ), som kaldes hyperlinkmatricen. Hver række og søjle repræsenterer en webside. Hvis den i te række er websiden P i så er den i te søjle det også. Altså er

4 Jakob Lindblad Blaavand, Oxford University 43 H en kvadratisk matrix. I den ij te indgang står der 1/l j hvis P j B i og 0 ellers. Dvs. hvis P j linker til P i står der 1/l j i den ij te indgang og 0 hvis P j ikke linker til P i. Hvis man ser på den j te søjle, så viser denne vektor, hvilke sider der linkes til fra P j. Hvis man derimod ser på den j te række kan man aflæse hvilke sider, der linker til P j. Det skal bemærkes, at hvis en hjemmeside ikke linker til nogen andre hjemmesider, så er alle indgange i den tilhørende søjle 0. Hyperlinkmatricen er altså helt speciel i den forstand, at alle indgangene er større end eller lig nul, og summen af alle indgangene i en søjle er 1, medmindre den side søjlen repræsenterer ikke har nogen links. Vi kan nu lave vektoren I = [I(P i )], hvis indgange er Page- Ranks. Husker vi tilbage på definition (1) af en sides PageRank, så har vi, at vores PageRank-vektor opfylder følgende ligning: I = HI, og vi kan tage dette som værende definitionen på I. I virkeligheden har vi her n ligninger med n ubekendte, hvor n er antallet af websider på nettet. Altså rigtig mange ligninger, der skal løses for at finde alle websiders PageRank. Per definition er I en egenvektor for H med egenværdi 1, og den slags vektorer er helt specielle. Der findes teknikker til at finde dem, og forhåbentlig bliver det overskueligt at løse ligningerne. Miniatureweb Lad os se på et eksempel, hvor vi har otte websider, der linker til hinanden og udgør et internet i legetøjsstørrelse. Links er repræsenteret ved pile. 21. årgang, nr. 4

5 44 Filosofien og matematikken bag Google Den tilhørende matrix og egenvektor er /3 0 1/2 0 1/2 1/ / H = /2 1/ / /3 1/ / / / /3 1 1/ og I = Da side 1 linker til side 2 og 3 står der 1 2 på plads 2 og 3 i første søjle og 0 er på resten af pladserne. Side 2 linker kun til side 4, og derfor står der 1 på plads 4 i anden søjle og 0 er på resten af pladserne, osv. I dette tilfælde viser PageRank-vektoren, I, at side 8 er den vigtigste, fordi det største tal står på plads 8. Det kan til dels forklares med, at der er tre sider, der linker til side 8. Der bliver

6 Jakob Lindblad Blaavand, Oxford University 45 også linket til side 2, 5 og 6 tre gange, men 8 er den vigtigste, fordi de websider, der peger på 8, selv har mange sider, der peger på dem. Her er det altså igen troværdigheden af siderne, der er med til afgøre PageRanken, og ikke alene antallet af links. Beregning af I Der findes mange måder at finde egenvektorer til kvadratiske matricer på. Men når vi i dette tilfælde har en hyperlinkmatrix med 50 milliarder rækker og 50 milliarder søjler, virker alle beregningsmetoder håbløse og tidskrævende. 10 Dog er vi så heldige, at der i gennemsnit kun er 10 links per side, så langt størstedelen af indgangene i H er nul. Derfor bruger man det, der hedder potensmetoden, til at finde egenvektoren I til egenværdien 1. For at bruge potensmetoden skal man vælge sig en vektor I 0, som man mener kunne være en kandidat til I, og så laver man følgen af vektorer I k givet ved I k+1 = HI k = H k I 0. Hvis H er en særlig pæn matrix, vil I k vektorerne nærme sig egenvektoren I, når k bliver stor. Selv for Googles store matrix skal man kun op på ca. k = 60 for at få en god approksimation til I. I eksemplet er de første elementer i følgen beregnet for k = 60 og k = Det tidligere tal 255 millioner er antallet af websites, mens de 50 milliarder er det totale antal, hvor undersider tælles med. 21. årgang, nr. 4

7 46 Filosofien og matematikken bag Google I 0 I 1 I 2 I 3 I 4 I 60 I Vigtige spørgsmål Nu har vi altså fundet en relativt effektiv måde at beregne I på. Med denne måde vælger vi os et startpunkt for en følge, der så tilnærmer sig egenvektoren. Men på dette tidspunkt skal vi stille os selv tre centrale spørgsmål: Vil følgen I k altid konvergere? Er grænsevektoren af I k uafhængig af startvektoren I 0? Indeholder I rent faktisk den informationen, vi vil have? Svaret på alle tre ovenstående spørgsmål er desværre nej. Men det, der redder os, er, at svaret på tredje spørgsmål er nej. Vi har nemlig ikke helt fundet frem til den information, som vi satte os for at finde men vi er meget tæt på. Googlematricen Tidligere har vi opfattet PageRank som et mål for, hvor vigtig en side er, beregnet ud fra vigtigheden af de sider, der peger på den. Det var et forsøg på at bruge internettets linkstruktur til på demokratisk vis at afgøre hvilke sider, der er de vigtigste og

8 Jakob Lindblad Blaavand, Oxford University 47 mest troværdige. Vi har dog kun taget højde for hjemmesidernes fprfattere. Hvis vi skulle være helt demokratiske, skulle vi også have brugerne af internettet med altså surferne. Selvfølgelig er der et stort overlap mellem forfattere og brugere, men selvom man synes, at en bestemt hjemmeside er vigtig, er det jo ikke sikkert, man vil linke til den, hvis nu ens hjemmeside har et meget konkret formål. Vi vil nu tage hyperlinkmatricen som udgangspunkt og ændre den en smule, så vi får en matrix, hvor vi kan svare ja på alle spørgsmålene fra ovenstående, og hvor vi altså får indkodet websurfernes stemme i afgørelsen af, hvilke hjemmesider er vigtige. Vores udgangspunkt er, at vi ud fra H vil konstruere en matrix G, og løse ligningssystemet GI = I. Dette I er vores rigtige PageRank-vektor. Vi forestiller os, at vi tager en tilfældig surftur på nettet. Vi starter på siden P j, som har l j links. Vi vælger så et tilfældigt af de l j links. Et af linksene er til siden P i. Dermed er sandsynligheden for at vi rammer P i, når vi står på P j, altså 1/l j. Forfølger vi denne tanke, så kan PageRank I(P j ) ses som sandsynligheden for, at man tilfældigvis surfer forbi siden, hvis man bare klikker rundt på må og få på nettet. Det giver ganske god mening, for hvis du surfer efter noget bestemt information, så vil du uværgeligt ende på de samme sider flere gange. Altså er de sider vigtigere end andre, og disse siders PageRank skal være højere. Dog giver denne fortolkning af PageRank os et problem: Hvis vi på vores surftur støder på en side, der ikke linker til andre websider, hvad gør vi så? For at kunne fortsætte forestiller vi os, at en side uden links til andre sider rent faktisk linker til alle sider på hele nettet. Hvis vi tænker tilbage på vores hyperlinkmatrix, så betyder det, at den søjle, der repræsenterede en side uden links, ville have lutter 0 er. Nu bliver hele denne søjle erstattet 21. årgang, nr. 4

9 48 Filosofien og matematikken bag Google med en vektor med 1/n på hver plads, hvor n er antallet af sider på nettet. Denne nye matrix kalder vi S. Det betyder, at vi kan skrive S som S = H + A, hvor A er en matrix, med lutter 0 er - bortset fra de søjler, der repræsenterer websider uden links, hvor der i stedet står 1/n i hver indgang. Har vi nu fået simuleret, hvordan en websurfer opfører sig på nettet? I det store hele, ja, fordi man følger links på de sider, man besøger, og hvis der ikke er nogen links, så vælges en tilfældig af nettets mange websider. Men på en surftur vælger man ofte en anden side på nettet fremfor bare at vælge en af de sider, der linkes til. Vi kan formulere dette matematisk ved at vælge et tal, α, mellem 0 og 1, som er sandsynligheden for, at websurferen gør, som vi har forudsagt med matricen S: han vælger en af de sider, der linkes til, eller hvis han kommer til en side uden links, så vælges en tilfældig af nettets mange sider. Dermed er der sandsynlighed 1 α for, at websurferen gør noget andet: vælger en tilfældig af nettets websider. Det hele samler vi i Googlematricen: G = αs + (1 α) 1 n 1 hvor 1 er en matrix af samme dimension som S, med lutter 1-taller i alle indgangene. Variablen α er ret vigtig, for den styrer hvor stor indfyldelse, internettets hyperlinkstruktur skal have i Googlematricen. F.eks. vil α = 1 give den oprindelige hyperlinkstruktur, og α = 0 giver en webstruktur helt uden links. Googlematricen giver den hidtil mest realistiske beskrivelse af en websurfers adfærd på nettet. Det er naturligvis afhængigt af, at vi finder en rimelig værdi til α. Google bruger α = 0.85, der betyder, at der er 85% sandsynlighed for, at en websurfer følger et

10 Jakob Lindblad Blaavand, Oxford University 49 link på en hjemmeside, og 15% sandsynlighed for, at han vælger en tilfældig hjemmeside. Beregning af I Så langt så godt. Vi har fået lavet os en matrix G, der kan simulere en websurfers adfærd. Hvis vi nu kan finde egenvektoren I med egenværdien 1, altså finde en vektor så GI = I, så har vi fundet vores PageRank-vektor. I afsnittet Matematiske beviser ser vi, at der findes uendeligt mange løsninger til GI = I. Men hvis vi vil fortolke PageRank som en sandsynlighed for at en hjemmeside bliver besøgt på en tilfældig surftur, så skal PageRank jo være et positivt tal, og hvis vi lægger PageRanks for alle hjemmesider sammen, skal vi have 1. Med disse ekstra antagelser kan vi vise, at der findes præcist en løsning til GI = I, og denne løsning kan findes med potensmetoden. For at potensmetoden virker, skal vi vise, at følgen I k vil konvergere mod vores PageRank-vektor I, der opfylder GI = I og den ekstra antagelse. Derudover skal vi vise, at grænsevektoren for I k ikke afhænger af valget af startvektor. Det vil blive gjort i afsnittet Matematiske beviser. Som sagt vil vi bruge potensmetoden, og husker vi på, at S = H + A, bliver G = αh + αa + 1 α n 1, og dermed er GI k = αhi k + αai k + 1 α n 1Ik. Da de fleste af indgangene i H er nul, skal der i gennemsnit kun summeres 10 tal i hver af indgangene i produktet HI k. Desuden er alle rækker i A ens, så AI k er en vektor med samme tal i hver 21. årgang, nr. 4

11 50 Filosofien og matematikken bag Google indgang, og prikproduktet mellem I k og en række i A skal kun beregnes en enkelt gang. Det samme er gældende for 1, der også har ens rækker. Hastigheden af I k s konvergens afhænger af størrelsen af α. Konvergensen er hurtig, hvis α er lille, og langsom, når den er tæt på 1. Med valget af α = 0.85 har Google indgået et kompromis mellem at få så meget som muligt af internettets hyperlinkstruktur med, og hastigheden hvormed I kan beregnes. Det viser sig, at k skal ligge mellem 50 og 100, for at vi kan få tilpas god approksimation til I. Google siger selv, at det tager dem et par dage at beregne I. 11 I og med, at nettet er en dynamisk størrelse, hvor der hele tiden bliver tilføjet og slettet indhold, vil en PageRank vektor være forældet sekundet efter, at beregningen af den er startet. Rygterne vil derfor vide, at Google for nogle år siden beregnede en ny PageRank-vektor en gang i måneden. I dag er det ikke klart, hvordan det fungerer. Matematiske beviser I dette afsnit vil vi bevise påstandene omkring potensmetoden og eksistensen af en PageRank-vektor. Først og fremmest det mest essentielle spørgsmål: Findes der overhovedet en løsning til GI = I, der samtidig opfylder, at n i=1 I(P i ) = 1 og I(P i ) > 0? Dette er et ligningssytem med n + 1 ligninger og n ubekendte. Som udgangspunkt er det ikke sikkert, at vi kan finde en sådan løsning. I tilfælde af, at vi kan finde en løsning, er vi så sikre på, at den 11 Disse oplysninger er nogle år gamle. Det er derfor meget usikkert, hvad de korrekte er i dag, og om det stadig er denne metode, der bruges. Men det er forretningshemmeligheder i dag.

12 Jakob Lindblad Blaavand, Oxford University 51 er entydig? Desuden skal vi se, at potensmetoden virker og er uafhængig af valget af startvektor. I det følgende vil jeg bruge betegnelsen x 1 = n i=1 x i for summen af den numeriske værdi af indgangene i en vektor. x 1 kaldes for 1-længden af x. Proposition 1 Hvis G = (g ij ) er en matrix med g ij > 0 for alle i, j og alle søjler summer til 1, da er 1 en egenværdi for G og ligningen Gx = x har en løsning, hvor alle indgange i x er positive, særligt findes en løsning med x 1 = n i=1 x i = 1. Bevis. Rækkerne i G T summer alle til 1, så vektoren v givet ved (1, 1,..., 1) T er en egenvektor for G T med egenværdien 1, så G T v = v. Dermed er 1 en rod i det(g T λid), og da det(g T λid) = det(g λid) er 1 altså også en egenværdi for G. Helt generelt gælder der, at i y i i y i og hvis y i erne har blandede fortegn er uligheden skarp. Lad x V 1 (G) være en egenvektor i egenrummet tilhørende egenværdien 1 for G. Antag, at der er forskellige fortegn i x s indgange. Da x = Gx er x i = n j=1 g ij x j og da x i erne har blandede fortegn g ij > 0, har g ij x j erne blandede fortegn. Vi har altså en streng ulighed x i < n j=1 g ij x j, og derfor har vi n n n n n n x i < g ij x j = x j g ij = x j, i=1 i=1 j=1 j=1 i=1 j=1 hvilket er en modstrid. Altså har alle indgange i x samme fortegn. Særligt findes en vektor i V 1 (G) med alle indgangene positive, og dermed også en med 1-længde årgang, nr. 4

13 52 Filosofien og matematikken bag Google Ovenstående proposition viser altså eksistensen af en løsning til ligningssystemet GI = I, der opfylder I 1 = 1 og alle indgange i I er positive. Hvis dim V 1 (G) = 1 findes der kun én løsning. Denne løsning er vores PageRank-vektor. For at kunne vise at dim V 1 (G) = 1 skal vi først have vist følgende generelle lemma. Lemma 2 Lad v og w være lineært uafhængige vektorer i R m, m 2. Der findes reelle tal s, t så x = sv + tw har både positive og negative indgange. Bevis. Da v, w er lineært uafhængige er v 0 w. Lad d = v i. Hvis d = 0 indeholder v forskellige fortegn og s = 1 og t = 0 opfylder det ønskede. Hvis d 0 defineres s = i w i d og t = 1. Da v, w er lineært uafhængige er x = sv + tw 0, men det er samtidig klart at i x i = 0, så x i erne må have blandede fortegn. Nu er vi i stand til at bevise entydigheden af PageRank-vektoren. Proposition 3 Hvis G = (g ij ) er en kvadratisk matrix med g ij > 0 og i g ij = 1 for alle j er dim V 1 (G) = 1. Bevis. Antag, at der findes to lineært uafhængige vektorer v, w V 1 (G). Pr. lemma 2 findes s, t så komponenterne af x = sv + tw har blandede fortegn. Men pr. Proposition 1 vil ethvert x V 1 (G) have enten kun positive eller kun negative komponenter, hvilket er en modstrid. Altså vil en basis for V 1 (G) kun bestå af en enkelt vektor, og dim V 1 (G) = 1.

14 Jakob Lindblad Blaavand, Oxford University 53 Vi har nu bevist, at der findes en entydig PageRank-vektor. Spørgsmålet er nu blot, om vi kan finde den med potensmetoden beskrevet ovenfor. Proposition 4 Lad G = (g ij ) være en kvadratisk matrix med g ij > 0 og n i=1 g ij = 1 for alle j, og lad V være underrummet i R n bestående af vektorer v så i v i = 0. Da er G matrixrepræsentationen af en lineær transformation G : V V og der findes et 0 c < 1 så Gv 1 c v 1 for alle v V. Bevis. Lad os først se, at G tager elementer i V til elementer i V. Lad w = Gv, så w i = n j=1 g ij v j og n n n n n n w i = g ij v j = v j g ij = v j = 0. i=1 i=1 j=1 j=1 i=1 j=1 Dermed er w V og G : V V. Nu til vurderingen, som er en smule besværlig at vise. n n n w 1 = e i w i = e i g ij v j, i=1 i=1 j=1 hvor e i = sgn(w i ) og e i erne er ikke alle ens, da i w i = 0, og w V medmindre w = 0, hvor uligheden klart gælder. n n n w 1 = v j e i g ij = a j v j, j=1 i=1 j=1 hvor a j = n i=1 e i g ij. Da e i erne ikke alle er ens, n i=1 g ij = 1 og 0 < g ij < 1, er det klart, at 1 < 1 + min g ij a j 1 min g ij < 1. i i 21. årgang, nr. 4

15 54 Filosofien og matematikken bag Google Vi har altså, at a j 1 min i g ij < 1. Lad derfor c := max j 1 min i g ij for så er a j c < 1 for alle j. Dermed har vi nu, at n n n n w 1 = a j v j = a j v j a j v j c v j = c v 1, j=1 j=1 j=1 j=1 hvormed det ønskede er vist. Vi kan nu afslutte dette matematiske afsnit med en sætning, der indeholder svar på alle spørgsmål stillet under afsnittet Vigtige Spørgsmål. Theorem 5 Enhver kvadratisk matrix G = (g ij ) med 0 < g ij < 1 og n i=1 g ij = 1 for alle j, har en entydig egenvektor I tilhørende egenværdien 1, der yderligere kun har positive indgange og I 1 = 1. Vektoren I kan beregnes ved I = lim k G k x 0, hvor x 0 er en vektor med positive indgange og x 0 1 = 1. Bevis. Vi ved allerede fra de ovenstående propositioner, at G har 1 som egenværdi, og at dim V 1 (G) = 1. Det gav os som ønsket, at I eksisterer og er entydig. Vi mangler blot at bevise, at potensmetoden virker. Det vil sige at følgen G k x 0 konvergerer mod I for et vilkårligt valg af x 0 med ovenstående egenskaber. Lad x 0 R n have positive indgange og x 0 1 = 1. Vi ved som sagt, at I findes, at I i = I(P i ) > 0 og i I(P i) = 1. V er underrummet af R n, hvor indgangene summerer til 0. Definer v = x 0 I. Dermed er v V, da summen af v s indgange er nul, fordi summen af indgangene i både x 0 og i I er 1. Derfor er x 0 = I + v, og G k x 0 = G k I + G k v = I + G k v. altså er G k x 0 I = G k v, og et induktionsargument giver nu, at G k v 1 c k v 1,

16 Jakob Lindblad Blaavand, Oxford University 55 hvor 0 c < 1. Samlet set har vi, at lim k G k v 1 = 0, hvorfor G k x 0 I for k, hvormed det ønskede er vist. Opsamling Da Page og Brin startede Google i 1997, blev internettet forvandlet fra at være en bunke ustrukturerede informationer, som ingen kunne finde rundt i, til at blive en ikke fuldstændig ordnet bunke informationer. Men det var blevet meget lettere at finde relevante informationer hurtigt. Hovedidéen var at få internettet til selv at ordne informationerne efter relevans ved hjælp af dets links. Som det er vist ovenfor er idéen simpel, men meget anvendelig. Resultatet af en søgning bliver bl.a. sorteret efter sidernes PageRank fundet i PageRankvektoren. Google siger selv, at PageRank er et af mere end 200 kriterier, der bliver sorteret efter. De resterende kriterier er forretningshemmeligheder, som Google ikke siger noget om, ganske som Google ikke offentliggør, hvad en hjemmesides PageRank præcist er. I den seneste tid har Google lanceret et af de mest radikale ekstra sorteringskriterier. Ved at gemme din søgehistorik lærer Google dig og dine præferencer at kende. Dermed kan Google sortere søgeresultater så de er specielt tilpasset dig. Det er ganske smart når matematikartikler for mig får højere prioritet. Søger man f.eks. på Hitchin map flat får man som udgangspunkt et kort over byen Hitchin i Hertfordshire i England, og en masse tilbud om ledige lejligheder. Laver man geometri som jeg, håber man dog at få artikler om Higgs bundter og egenskaber af Hitchin afbildningen. Alt har dog en pris, nemlig at Google ved forfærdeligt meget om dig. Du må så gøre op med dig selv, om de bedre 21. årgang, nr. 4

17 56 Filosofien og matematikken bag Google søgeresultater er det værd man kan dog slå overvågningen fra, så man stadig kan bruge Google anonymt heldigvis. I kølvandet på PageRank-algoritmen er der udviklet andre algoritmer, som også bruger internettets hyperlinkstruktur til at vurdere websiders vigtighed. Et eksempel er HITS-algoritmen, som blev lavet af Jon Kleinberg, der ligger til grund for Teoma søgemaskinen, der driver ask.com. Du kan selv vurdere, hvilken der er bedst ved at sammenligne resultater. Litteratur [1] David Austin. How google finds your needle in the web s haystack. feature-column/fcarc-pagerank. [2] Kurt Bryan and Tanya Liese. The linear algebra behind google. googlefinalversionfixed.pdf. [3] John B. Fraleigh and Raymond A. Beauregard. Linear Algebra. Addison Wesley, 3 edition.

13.1 Matrixpotenser og den spektrale radius

13.1 Matrixpotenser og den spektrale radius SEKTION 3 MATRIXPOTENSER OG DEN SPEKTRALE RADIUS 3 Matrixpotenser og den spektrale radius Cayley-Hamilton-sætningen kan anvendes til at beregne matrixpotenser: Proposition 3 (Lasalles algoritme) Lad A

Læs mere

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en

Læs mere

God sommer fra Famøs-redaktionen!

God sommer fra Famøs-redaktionen! FAMØS God sommer fra Famøs-redaktionen! I sommerferien har redaktionen planlagt at: hyrde køer, sætte tibetanske bedeflag op, nyde en kold øl, danse til den tidlige morgen, tage til Copenhagen Jazz Festival,

Læs mere

Google Pagerank Hvordan man finder en nål i en høstak

Google Pagerank Hvordan man finder en nål i en høstak Google Pagerank Hvordan man finder en nål i en høstak Georg Mohr, 4. marts 2008 Kim Knudsen kim@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet http://www.math.aau.dk/ kim/georgmohr2008.pdf

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme

Læs mere

dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer

dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer Øvelse 1 dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer (Øvelserne 4 og 6 er afleveringsopgaver) a) Hver gruppe får en terning af instruktoren. Udfør 100 skridt af nedenstående RandomWalk på grafen, som også

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

Nummeriske Metoder. 1 Indledning. 2 Davidson metoden. Bo Thomsen, juni 2009

Nummeriske Metoder. 1 Indledning. 2 Davidson metoden. Bo Thomsen, juni 2009 Nummeriske Metoder Bo Thomsen, 20050885 25. juni 2009 1 Indledning I denne opgave søges løsninger på et relativt stort egenværdiproblem. I mit tilfælde er dette fremkommet ved at konstruere hamilton matricen

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over

Læs mere

Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik 21. årgang, nr. 4, juni 2012

Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik 21. årgang, nr. 4, juni 2012 FAMØS Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik 21. årgang, nr. 4, juni 2012 Banach-Tarski paradox gone wrong! Redaktion Bo Maling Malling Christensen, Frederik Möllerström Lauridsen, Jens Siegstad,

Læs mere

Matroider Majbritt Felleki

Matroider Majbritt Felleki 18 Rejselegatsformidlingsaktivitet Matroider Majbritt Felleki Den amerikanske matematiker Hassler Whitney fandt i 1935 sammenhænge mellem sætninger i grafteori og sætninger i lineær algebra. Dette førte

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

Om hvordan Google ordner websider

Om hvordan Google ordner websider Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed

Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a 1,..., a p R n. En vektor v = c 1 a 1

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Ekstremum for funktion af flere variable

Ekstremum for funktion af flere variable Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable

Læs mere

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001.

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001. Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni og Juni. Preben Alsholm 9. november 9 Juni Opgave 3 f : P (R) R 3 er givet ved f (P (x)) P () a + P () b, hvor a (,, ) og b (, 3, ). Vi viser,

Læs mere

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum)

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum) Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Forelæsningsnote 8 NB: Noten er ikke en del af pensum Eksempel på brug af egenværdier og egenvektorer Måske er det stadig

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Ugeseddel 12(10.12 14.12)

Ugeseddel 12(10.12 14.12) Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen

Læs mere

Kirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino

Kirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino 12 Formidlingsaktivitet Kirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino I denne artikel fremføres to sætninger af henholdsvis den østrigske matematiker Eduard Helly og den tyske matematiker

Læs mere

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet D.29/2 2012 Udarbejdet af: Katrine Ahle Warming Nielsen Jannie Jeppesen Schmøde Sara Lorenzen A) Kritik af spørgeskema Set ud fra en kritisk vinkel af spørgeskemaet

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den. januar,. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

De fire elementers kostbare spejl

De fire elementers kostbare spejl Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af

Læs mere

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

6.1 Reelle Indre Produkter

6.1 Reelle Indre Produkter SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II

Læs mere

Flere ligninger med flere ukendte

Flere ligninger med flere ukendte Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum: Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning

Læs mere

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

Biologisk model: Epidemi

Biologisk model: Epidemi C1.2 C.7 Se forklaring i Appendiks A 1, si. 9 Biologisk model: Epidemi af John V. Petersen 1. Biologisk model: Epidemi... si. 1 A. Appendiks A 1. Ligninger si. 1, forklaring... si. 9 A 2. Egenvektorer

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Viètes formel Jens Siegstad

Viètes formel Jens Siegstad 6 Viètes formel Jens Siegstad Vi skal i denne artikel vise Viètes formel. Theorem 1 (Viètes formel) π = = a k + + hvor a n = + a n 1 for n > 1 og a 1 =. +... Ovenstående formel blev vist i 1593 af Francois

Læs mere

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g

Læs mere

2. gang. Det bliver den 18. februar, idet jeg er på ferie den 11/2. Med venlig hilsen Jon Johnsen

2. gang. Det bliver den 18. februar, idet jeg er på ferie den 11/2. Med venlig hilsen Jon Johnsen LINEÆR ALGEBRA 31. januar 2003 Oversigt nr. 1 I kurset i skal vi bruge D. C. Lay: Linear algebra and its applications, 3. udgave Addison Wesley 2003. Udtrykt meget groft gennemgås kapitel 1 3. Som regel

Læs mere

Noter om primtal. Erik Olsen

Noter om primtal. Erik Olsen Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål)

Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Jeg gider ikke håndregne i de simple spørgsmål! Her

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 8 januar, Kl 9- Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider

Læs mere

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 1 MS kapitel 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Definition 3.2.1 Lad X 1, X 2,..., X n være uafhængige

Læs mere

Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005

Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005 Lineær algebra modulo n og kryptologi Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Introduktion Kryptologi er en ældgammel disciplin, som går flere tusinde år tilbage i tiden. Idag omfatter disciplinen mange

Læs mere

Her vil jeg gerne være Det er sådan dine kunder skal tænke

Her vil jeg gerne være Det er sådan dine kunder skal tænke Her vil jeg gerne være Det er sådan dine kunder skal tænke I denne gennemgang lægger vi vægt på hjemmesidens opbygning. For at få det optimale udbytte af en hjemmeside skal mange elementer spille sammen.

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad 32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).

Læs mere

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget MATEMATIK Formål for faget Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

4.1 Lineære Transformationer

4.1 Lineære Transformationer SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere