SPIL. Sandsynligheder og Strategier

Transkript

1 SPIL Sadsylighede og Stategie Ole Witt-Hase Køge Gymasium 2006

2 INDHOLD Kap. Sadsylighede ved spil.... Lotto... øvelse Poke Ruisadsylighede ved Roulette mv....5 Kap 2. Stategie ved spil...9. Foskellige spil...9. Madags-chace "Skæbe" Idbudstyves pesiospoblem Tædstikspillet Casio Optimale Stategie De optimale Sell-stategi Idbudstyves pesiospoblem "Skæbe" "Madagschace" Casio Tædstikspillet...7 Ideks...23

3 Sadsylighede ved spil Kap. Sadsylighede ved spil. Lotto Ved lottospil, gå det som bekedt ud på at gætte 7 tal ud af 36 mulige. Foude de 7 lotto tal blive de også udtukket tillægstal. Ma opå pæmie på følgede måde:. pæmie ved at gætte alle 7 igtige. 2. pæmie fo at gætte 6 igtige plus et tillægstal. 3. pæmie fo, at gætte 6 igtige. 4. pæmie fo, at gætte 5 igtige. 5. pæmie fo, at gætte 4 igtige. Vi vil idlede med at udege sadsylighedee fo at få, hve af disse pæmie, å ma udfylde é ække. Vi skal he mide om defiitioe af sadsylighede fo e hædelse i et Symmetisk Sadsylighedsfelt P( H ) ( H ) ( U ) Atal elemete i H Atal elemete i U Gustige Mulige Atallet af foskellige måde, hvo ma ka udvælge e delmægde på q elemete af e mægde beteges K(,q).! K(, q) q!( q)! De mulige måde at udvælge 7 tal ud af 36 e 36! K ( 36,7) 7!(36 7)! Følgelig e sadsylighede fo 7 igtige P(7) K (36,7) p7, Nå vi skal udege sadsylighede fo 6 igtige tal plus et tillægstal, æsoee vi på følgede måde: De 6 igtige ka vælges ud af 7 på K(7,6) = 7 foskellige måde, og tillægstallet ka vælges på måde. Da vi både skal have 6 igtige og et tillægstal igtigt, skal de to atal mulighede multiplicees fo at fide atal gustige udfald. P(6 igtige + tt) = K(7,6) /K(36,7)=7/K(36,7)=7 p 7 = 8,

4 2 Sadsylighede ved spil På samme måde ka vi fide sadsylighede fo 6 igtige, idet atal gustige e K(7,6) gage med atal måde det fokete tal ka vælges på =27 måde, idet det fokete tal hveke må væe et af de 7 igtige elle et tillægstal. P(6 igtige) =K(7,6) 27/K(36,7) = 89 p 7 = 2, Sadsylighede fo 5 igtige tal fides som atallet af måde at udtage 5 igtige ud af 7 lig med K(7,5), gage atallet af mulighede fo de to sidste tal, som ka vælges bladt 36-7 =29 tal. Dette atal e K(29,2). P(5 igtige) = K(7,5) K(29,2)/K(36,7) = 8526 p 7 =, =,02 / På helt samme måde opskive vi sadsylighede fo 4 igtige, idet de gustige e K(7,4) K(29,3), emlig 4 igtige udvalgt bladt 7, gage 3 fokete udvalgt bladt 29. P(4 igtige) = K(7,4) K(29,3)/K(36,7) = p 7 = 0,053 =,53% Af oveståede femgå, at chace fo at få mee ed 4 igtige e uhye ige. Til gegæld e de e imelig chace fo at få 4 igtige. Dette e gjot helt bevidst fo dem, de ha plalagt spillet. Efaige vise emlig, at hvis ma aldig vide, holde ma op med at spille efte e vis tid. Lad os atage at ma udfylde e kupo med 0 ække hve uge. Føst udege vi chace fo at få 4 igtige på midst é af kupoee. Hædelse "4 igtige" e biomialfodelt, med atalspaametee =0. Fo at fide dee sadsylighed, udege vi føst sadsylighede fo de komplemetæe hædelse "Ikke 4 igtige på oge af kupoee" P(Ikke 4 igtige på oge af kupoee) = (-p 4 ) 0 = 0, =0,8557 P(4 igtige på midst é af kupoee) = - P(Ikke 4 igtige på oge af kupoee) = 0,443 Ma ha altså kap 5% chace fo at få 4 igtige på midst e af de 0 ække. Atage vi u, at ma spille 0 ække i 5 uge, vil vi udege sadsylighede fo, at ma ikke få 4 igtige på oge af de 5 uge. P(ikke 4 igtige i 5 uge)= 0, = 0,4487 De e således godt 50% chace fo at ma få 4 igtige midst e gag på 5 uge. Det e fomodetlig det, som holde spillet i gag. Vide ma, få ma udbetalt ca. 40 k., som ka sammeliges med udgifte 5 30 =50 k. Ma ka selvfølgelig udege middelvædie af geviste, hvis ma kede pæmiestøelsee. Dette e imidletid ikke sælig iteessat, idet 45% af det idbetalte beløb altid gå til pæmie. Middelgeviste e defo altid 0,55 3,00 k. = -,65 k.

5 Sadsylighede ved spil 3 øvelse. Udeg hvo mage uge ma skal spille 0 ække fo, at de e mee ed 50% chace fo at vide 4. pæmie (5 igtige). Opgave skal løses med logaitme. 2. Fosøg at udege samme som ovefo, blot med e. pæmie. 3. E udfyldt ække på 7 tal, "dække" åbebat ove K(7,4) K(29,2) foskellige ække med 4 igtige. Hvo mage ække skal ma midst udfylde fo at væe sikke på at få 4 igtige. 2. Poke Vi atage at Poke spilles med et almideligt spil kot ude joke, og at hve spille få 5 kot fa begydelse. Vi vil ikke beskæftige os med at købe ye kot, da det e alt fo kompliceet, me ku udege sadsylighedee fo de foskellige kombiatioe af kot, de ka slå hiade. Flush betyde i Poke sammehæg 5 kot i samme fave og Staight betyde 5 kot i ækkefølge. Ragfølge af kotfavee e i øvigt de samme som i Bidge: Spa, Hjete, Rude, Klø. Ragfølge af kotkombiatioe i Poke e følgede: Royal Flush: Staight Flush: Fie es: Full House: Flush: Staight: Te es: To pa: Et pa: Højeste kot: De 5 højeste kot i samme fave. F.eks. Rude es, Rude koge, Rude dame, Rude kægt, Rude 0. 5 kot i ækkefølge i samme fave. 4 es kot. (5. kot udeodet) 3 es + 2 es (et pa) 5 kot i samme fave. 5 kot i ækkefølge. te es kot. 2 es + 2 es. 2 es Sadsylighedee fo hve af disse kotkombiatioee ka udeges, idet de mulige kombiatioe af 5 kot udtaget af 52 e = De e 4 foskellige Royal Flush e i hve fave. P(Royal flush) = 4 6, De ka i hve af de 4 kotfave laves 9 foskellige Staight Flush. E af dem e Royal. 4(9 ) P(Staight Flush) = K 32 (32,5) = 4, De e 3 foskellige mulighede fo 4 es. Det femte kot ka fo hve vælges på 52-4 = 48 måde.

6 4 Sadsylighede ved spil P(4 es) = 2, Full House: De e 3 foskellige mulighede fo 3 es. De 3 ka udtages på K(4,3) foskellige måde. De to es må ødvedigvis have e ade talvædi, hvoaf esultatet følge. 3 K(4,3) 2 K(4,2) P(Full House: 3 es + 2 es) = K 3744 (52,5), kot i samme fave ka udtages på K(3,5) måde. De e 4 kotfave. Vi må subtahee Staight Flush'e fa. P(Flush: 5 i samme fave) = 4 K(3,5) ,967 0 Staight: De e 3-4 =9 foskellige ækkefølge. Hve af de 5 kotvædie ka vælges bladt 4 fave. Vi skal fa tække Staight Flush. P(Staight: 5 i ækkefølge) = ,530 3 es: De e 3 kotvædie, og de skal udvælges 3. De sidste to kot ka udvælges bladt 52-4 = 48 kot (ikke 49, da det kue give 4 es). Vi må dog fatække de 2 K(4,2) pa, de ka daes og som ville give Full House. 3 K(4,3) ( K(48,2) 2 K(4,2)) 5492 P(3 es) = 2,30 Føst udeges atallet af mulighede fo de to pa. Faktoe ½ skyldes, at ma ved dee optællig tælle de mulige kombiatioe. Et pa f.eks. (spa dame, hjete dame), vil både væe at fide bladt de 3 K(4,2) og de 2 K(4,2) mulighede. Det sidste kot ka vælges bladt 52 de 8 som dae de to pa. P(2 pa) = 3 2 K(4,2) 2 K(4,2)(52 8) ,750 De føste 3 faktoe i tællee e atallet af måde at få et pa på. Vi blive ødt til at subtahee mulighedee fo 2 pa og Full House. 3 K(4,2) K(48,3) P( pa) = 0, 470 Hemed ha vi afsluttet voes geemgag af sadsylighedee i Poke. Bemæk, at sadsylighedee følge age af e Pokehåd. 2 2

7 Ruisadsylighede 5 3. Ruisadsylighede ved Roulette mv. Beegige af "uisadsylighede" e oget som e helt afgøede fo fosikigsviksomhed, hvis dee skal dives foetigsmæssigt. Sammehæge mellem uisadsylighede og beegig af pæmiestøelsee e et kompliceet matematisk teoi, som beteges som fosikigsmatematik. På uivesitetee fides e sælig uddaelse, som kaldes aktua studiet, som ha dette som speciale. Fosikigsmatematik ka illustees ved at betagte oulettespil på et Casio. E oulette ha 37 felte, ummeeet Hvis ma vide på et felt få ma udbetalt 36 gage idsatse. Da ma ha lagt e idsats e geviste 35 idsatse. Hvis X e de stokastiske vaiabel, som betege e spilles gevist, så atage X vædiee +35 med sadsylighed /37 og med sadsylighed 36/37. P(X=35) = /37 og P(X=-) = 36/37. Middelgeviste, å ma spille på et felt, e følgelig: 36 E ( X ) X ( u) P( u) 35 ( ) uu Hvis spillee i stedet vælge at spille på m felte, e atage geviste X, vædiee 36-m med sadsylighed m/37 og m med sadsylighede (37-m)/37 = - m/37. Middelgeviste blive heefte: m m m E( X ) X ( u) P( u) (36 m) ( m)( ) uu Middelgeviste p. idsats e således uafhægig af, hvo mage felte ma spille på. Hemed e det slået fast: De fides itet system, de ka bige é i stad til at vide på e oulette på lægee sigt. Dette e e simpel matematisk kedsgeig, som mage ha måttet ekede på e betydelig mee smetelig måde. Specielt, hvis ma spille på m=8 felte e geviste 36-8=8 med sadsylighed 8/37 og 8 med sadsylighed 9/37. Selvom e spille ikke ka vide i det lage løb, ha spillee på gud af tilfældighede (som spillee foetække at kalde held) mulighed fo at vide betagtelig stoe beløb. Vi vil u lave ogle betagtige ove, hvo sto sadsylighed e spille ha fo at "spæge bake", dvs. uiee Casio. E såda beeget sadsylighed kaldes fo ui sadsylighede. Vi atage at Bake åde ove -ehede (idsatse). Vi øske at vudee sadsylighede fo at e uedelig ig spille, de gø de samme idsats i hvet spil, vide u elle flee ehede, å de ikke e oge begæsig på atallet af spil. 37

8 6 Ruisadsylighede Ruisadsylighede fo bake betege vi. Hvis X, X 2, X 3,.. betege Casioets gevist ved de ekelte spil e: G k = X + X 2 +X X k geviste efte k-spil. Ruisadsylighede ka defo fomulees. = P( G 0 fo et elle adet k) (De e ige umiddelba sammehæg mellem og k.) k De gælde ekusiosfomle: + =, som udtykke, at sadsylighede fo at blive uieet med + ehede e lig sadsylighede fo at blive uieet med ehede gage sadsylighede fo at blive uieet med é ehed. Dette, fodi vi atage at hvet spil e uafhægigt af de øvige. Heaf følge umiddelbat: 2 = + = = 2. 3 = 2+ = 2 = 3, og følgelig: = Fo at beege e uisadsylighed, se vi føst på tilfældet, hvo e spille sætte si idsats på 8 felte p. spil. He e Casioets gevist +8 elle 8 p spil. Fo emheds skyld, sætte vi de 8 idsatse til at væe e ehed =. Vi opstille da følgede ekusiosligig, som tage udgagspukt i det føste spil. Sadsylighede fo at bake blive uieet med ehede e lig med: Sadsylighede fo at bake vide det føste spil (hvo de vide e ehed) gage sadsylighede fo at bake blive uieet med + ehede, plus sadsylighede fo at bake tabe det føste spil (hvo de miste e ehed) gage sadsylighede fo at bake blive uieet med - ehede. Sadsylighedee fo at bake vide og tabe e 9/37 og 8/37. Vi ka da opstille ligige Fo at opå det sidste udtyk, ha vi avedt esultatet af ekusiosligige: = Det e elativt emt at bestemme ud fa dee ligig. Ved divisio af ligige med - få ma: De sidste 2.gadsligig ka løses på omal vis, idet d = =, så Vi e ku iteesseet i løsige = 8/9. 8 Ifølge oveståede e ( ). 9 Vi vil heefte besvae spøgsmålet: Hvo mage ehede skal bake have, fo at de e mide ed % chace fo ui. Dette e esbetydede med at løse ligige: 8 l(0,0) ( ) l( ) 9

9 Ruisadsylighede 7 Huske vi, at e ehed svaede til 8 idsatse, give dette beskede 533 idsatse. Hvis e spille deimod spille på sædvalig vis med ku at placee e idsats på ét felt, e dette - lidt oveaskede betydelig mee isikabelt fo bake. Vi opstille ige e ekusiosligig, med udgagspukt i det føste spil: Sadsylighede fo at bake blive uieet med ehede e lig med: Sadsylighede fo at bake vide det føste spil (hvo de vide e ehed) gage sadsylighede fo at bake blive uieet med + ehede, plus sadsylighede fo at bake tabe det føste spil (hvo de miste 35 ehed) gage sadsylighede fo at bake blive uieet med -35 ehede. Sadsylighedee fo at bake vide og tabe e 36/37 og /37. Vi ka da opstille ligige Ved divisio med ( ) -35 og omodig af leddee og ved at sætte = x få ma ligige: 36x 36 37x 35 + = 0 Dee ligig ka ku løses ved umeiske metode, og ma fide løsige x = 0,9984. Hvis vi ige stille spøgsmålet: Hvo mage idsatse skal bake åde ove, fo at de e mide ed % chace fo ui, skal vi løse ligige: l(0,0) ( 0,9974) 0, l(0,9984) Altså e betydelig støe beholdig, ed hvis spillee spille på 8 felte. Fosøge vi at udege uisadsylighede fo e spille, de ha ehede og lægge si idsats på ét felt, komme vi efte helt det samme æsoemet fem til følgede ekusiosligig som føe til ligige x 36 37x +36 = 0. Dee ligig ha ku løsige x=. Diffeetiees emlig f(x) =x 36 37x +36 fide ma: f '(x) =36x Ligige f '(x) =0 ha 37 løsige: x 35. Da f '(x) < 0 fo x <, ha de ige ødde mide ed. 36 Rui-sadsylighede fo e spille, de gå på et Casio, (de ha e uedelig sto beholdig) e. Så vi ka edu egag fastslå, at hvis ma fotsætte med at spille på et Casio, vil ma altid blive uieet. Ma kue oveveje uisadsylighedee, hvis Casio ha beholdige og e spille ha beholdige m, ( > m elle omvedt), me svaet vil afhæge af og m, og de idgåede to ulieæe ligige med to ubekedte med meget høje ekspoete e ikke så emme at løse umeisk selv på e Compute. Hvis >> m, vil svaet stot set væe det samme.

10

11 Stategie ved spil 9 Kap 2. Stategie ved spil. Foskellige spil Efte at have udeget videsadsylighede i fobidelse med spil, skal vi u se på oget adet, som også e kyttet samme med sadsylighedsegige, emlig poblemet med at fastlægge de bedste stategi, å ma spille et "spil". He skal spil imidletid fostås i e meget videe betydig, det væe sig kig, bøsspekulatio, jagt elle fiskei på e bestemt dyeat. Sidstævte e dog alt fo kompliceede til at kue behadles elemetæt. Fælles e det dog, at ma skal kue beege sadsylighede fo e bestemt kosekves af et givet tæk. Vi vil begyde med at give ogle meget simple eksemple på "spil", hvo det e meigsfuldt at tale om optimal stategi. Vedige "de optimale stategi" idebæe, at spillet afvikles i et edeligt atal ti, og at de fo hvet ti i spillet e mulighed fo at fobede si gevist og mulighed fo at miste si gevist helt elle delvis. Ma skal edvidee have mulighed fo at stadse spillet ved ethvet ti og ikassee si gevist.. Madags-chace I dette spil, som ha væet laceet af TV2, ha ma e ække tildækkede felte med beløb (0,0,25,25,50,50,00,00,250) kk (kilo k). Ma ha maximalt 3 fosøg. Ma få beløbet på det sidst afdækkede felt. Det e ok klat, at hvis ma afdække 0 i. elle 2. fosøg skal ma fotsætte, elle hvis ma afdække 250 i. elle 2. fosøg skal ma stadse. Me hvad hvis ma afdække 50 i. elle 2. fosøg? Det vil vi fosøge at afgøe ved ogle mee matematiske betagtige..2 "Skæbe" Et spil, som vist ok komme fa oiete. Det spilles med to teige. Føst slåes et slag med de to teige, og summe af dees øjetal beteges skæbe. Ma må u slå, lige så mage gage ma vil (max 00). Hvis øjetallee ikke e lig skæbe, så addees dette til es poittal, me hvis ma slå skæbe miste ma alt. Nå spillet e stadset, fodele ma idsatse i fohold til spillees opåede poittal. Det gælde defo om at få de støste gevist. Poblemet e, hvoå det e optimalt at stadse, å ma kede si skæbe..3 Idbudstyves pesiospoblem. Dette e e vaiat af mage foskellige optimeigspobleme. Athu e idbudstyv. Hve tyvetugt give i sit K k. Chace fo at Athu blive suppet e p. Hvis ha blive taget, miste ha alt fa sie tidligee tyvetugte. Hvo mage idbud skal Athu lave, fø ha stadse si kaiee og leve af si "opspaig"?

12 0 Stategie ved spil.4 Tædstikspillet Dette spil falde lidt ude fo ammee, af de øvige spil, fodi ma ikke ka stadse spillet, og fodi ma aldig ka miste oget af si gevist. Det ka defo ikke umiddelbat behadles på samme måde som de hidtil ævte spil. Alligevel e det et spil, de udpæget hadle om de bedste stategi. Spillet gå ud på, at ma på 0 tædstikke fave de ee side. Kastes tædstikke op e sadsylighede fo at de favede side vede opad p=0,25. Hve spille ha fa state tallee..0. Hvet tal må ku buges. gag. Ma skiftes til at kaste de 0 tædstikke og otee atallet af favede tædstikke. Dette atal skal så gages med et af de esteede tal..0. De som efte 0 spil ha de højeste sum ha vudet. Det ka oplyses, og let veificees, at de maximale gevist e 550, Middelgeviste, hvo ma vælge tilfældig e 37,5 og de optimale middelgevist e ca Casio Roulette spil falde også lidt ude fo ammee af "optimale stategie", af de meget simple gud, at odds e svagt imod é. Det gælde dog ikke fo Blackjack, hvo ma ka udvikle e stategi, som give e svag fodel. Hvis odds'ee e imod é, vil ma imidletid altid tabe i det lage løb. Som tidligee fastslået e de eeste mulighed - i det lage løb - fo at udgå ui i oulettespil, at de ikke e oge øve gæse fo idsatse, og at ma ha flee pege ed Casioet. Ehve fouftig matematisk spil-teoi, vil defo som esultat have, at ma skal stadse fø det føste spil. Det vil sige: Ma skal lade væe med at gå på Casio. Dee kedsgeig udelukke dog ikke, at ma ka gøe sig ovevejelse ove hvoda ma ka spille, hvis ma ikke udelukkede e iteesseet i at foæe sie pege til et Casio ude kamp. 2. Optimale Stategie Hvis ma skal fomulee e stategi fo de 3 føste spil ævt ovefo, så kue ma f.eks. vælge é af 3 følgede stategie:. Ma beslutte på fohåd, hvo sto es gevist (elle tab) skal væe, fø ma stoppe. Dette e faktisk e meget "almidelig" stategi, me de e bestemt ikke optimal. 2. Ma fotsætte, så læge ma i middel ha mulighed fo at foøge si gevist i æste spil. Ma skal huske på, at middelvædie af "geviste" også omfatte tab, så middelvædie (i matematisk fostad) skal væe positiv. Dee umiddelbat fouftige stategi, kaldet de kotsigtede elle myope stategi, e i mage tilfælde også de optimale stategi, (dog ikke i madagschace). 3. Ma fotsætte, så læge ma i middel ha mulighed fo at foøge si gevist i et af de eftefølgede spil. Dee stategi kaldes de lagsigtede stategi. Både de kotsigtede og de lagsigtede stategi, se ydest imelige ud og de vil også væe optimale fo lagt de fleste spil. Hvis de e foskel på de lagsigtede og de kotsigtede stategi, skal ma avede de lagsigtede - atuligvis.

13 Stategie ved spil De fides imidletid visse fome fo "spil", hvo ige af stategiee e optimale. Det gælde f.eks. fo bøsspekulate, de ha e beholdig aktie, som de vil sælge og kusee stige. Dette fotsætte som bekedt aldig i det uedelige. På et vist tidspukt stadse stigige, og kusee begyde at falde som egel hutigee ed de steg. Hvoå skal ma sælge fo at opå de støste gevist? Det vise sig - me det e sædeles kompliceet at edegøe fo - at ige af stategiee 2. og 3. i alle tilfælde e optimale. De vil begge to i gove tæk, som esultat have, at ma ete skal sælge staks elle vete til ma e uieet! Vi vil u give e beskivelse af "de optimale stategi", som e udviklet af Sell. Vi vil ovehovedet ikke æme os et bevis fo, at det e de optimale stategi (beviset e et "tekisk"), me udestege, at det ka bevises! I matematisk fostad. Ulempee ved Sell-stategie e, at de fo selv simple pobleme ka føe til et uoveskuelige egige. 2. De optimale Sell-stategi Sell-stategie e på e måde de samme som de kotsigtede stategi, me hvo ma i dee stategi hele tide ege sig et skidt fem, tage Sell-stategie udgagspukt i spillets slutig og abejde sig baglæs. Vi idføe da ogle betegelse. Vi atage at "spillet" ha ti. S k e e stokastisk vaiabel, de agive de faktiske samlede gevist ma ha opået ved det k'te spil. S k ka atage e elle flee vædie med tilhøede sadsylighede. Det ye ved Sell-stategie e, at ma defiee edu e stokastisk vaiabel G k ved ligige. G k = max{s k, E(G k+ S..S k )} G k e de støste af vædiee S k (geviste efte det k'te spil) og E(G k+ S..S k )), som e middelvædie af de maximale fovetede gevist i det k+'te spil, å det e givet at ma ha spillet spillee..k. Dette opstilles i et skema. G = S Geviste ved spillets afslutig G - = max{s -, E(G S..S - )}.. G k = max{s k, E(G k+ S..S k )}. G = max{s, E(G 2 S )} Sell stategie sige u, at ma skal stadse spillet de føste. gag S k (geviste efte det k'te spil) ovestige middelvædie af de maksimale fovetede gevist i det k+'te spil. Dette kaldes fo stopbetigelse. Stopbetigelse e altså: S k E(G k+ S..S k )

14 2 Stategie ved spil Ma skal altså stadse spillet, å de opåede gevist e støe elle lig med betigede fovetig af de maximale gevist i det æste spil. Det kue lyde som de kotsigtede stategi, me foskelle e de, at i de kotsigtede stategi e G k+ estattet af S k+. At kue geemskue kosekvesee af dette, e deimod ikke så emt. Det vise sig, at i mage tilfælde e Sell-Stategie idetisk med de kotsigtede stategi, som kæve, at ma stoppe, å S k E(S k+ S..S k ) Sell stategie e ikke umiddelbat let geemskuelig, og udegige af de betigede middelvædie E(G k+ S..S k ) e ofte meget "tekisk". Vi vil u behadle de fø ævte eksemple, og begyde med 2. Idbudstyves pesiospoblem Lad os atage, at Athu's geemsitlige gevist ved hvet tyvetogt e K=6.000,- k. og at chace e at ha blive taget e 5%. Lad os atage at has hidtidige "gevist" efte k - tyvetugte e S k, som blive kofiskeet - og som ha deved miste, hvis ha blive suppet. I dette tilfælde ka ma - som vist edefo - se, at de kotsigtede stategi e de optimale stategi. Det hæge samme med at alle "ti i spillet" e idetiske. Geviste ved hvet tyvetogt e de samme uafhægigt af de foegåede tyvetugte - botset fa, at de samlede gevist vokse med hvet vellykket tyvetogt. X k betege de stokastiske vaiabel, som e Athu's gevist ved ét tyvetugt. Hemed e S k =X + X 2 + X 3 + X k X k+ ka atage vædie K, med sadsylighed -p s = -P("Suppet") (altså, hvis det æste tyvetugt lykkes) og vædie S k (ha miste hele si "opspaig"), med sadsylighed p s = P("Suppet"). Vi opskive u Sell-stategie (De kotsigtede stategi) fo et ti i has kaiee: G k = max{ S k, E(S k+..k) } (S k e has "gevist" efte k tyvetugte, og E(S k+..k) e has fovetede gevist efte k+ tyvetugte) E(S k+..k) ka beeges som de hidtidige "gevist" plus de fovetede gevist ved æste tyvetugt i alt lig med S k + E(X k+ ). E(X k+ ) e uafhægig af de føste k - tyvetugte, defo blive stopbetigelse: S k > S k + E(X k+ ) E(X k+ ) < 0 Middelvædie E(X k+ ) ka defo udeges efte de sædvalige defiitio, idet X k+ atage vædiee K (geviste ved et tyvetugt) og - S k (miste hele si "opspaig") med sadsylighedee -p s og p s heholdsvis. E(X k+ ) = K (- p s ) - S k p s Ha skal stadse, å E(X k+ ) < 0 K (- p s ) < S k p s, som med taleksemplet give

15 Stategie ved spil ,95 < S k 0.05 S k > 4.000,- k. svaede til 4.00/6.000 = 0.95/0.05 = 9 tyvetugte (Det gø ha u ok ikke, og e defo hevist til at leve af folkepesioe efte ogle å i skygge) Ma kue godt to, at dette eksempel kue avedes på ade (ligeså uetiske) poblemstillige. F.eks. hvo mage gage det e optimalt at køe gatis i S-tog. Det ka det imidletid ikke helt. Sage e jo de, at ma få e fast bøde, hvis ma blive suppet, me ma komme ikke til at betale fo de gage ma ha køt gatis. Med ade od, vudeige om, hvovidt det e fodelagtigt at køe ude billet, afhæge ku af middelgeviste ved det æste fosøg. Hvis de e positiv, e detfodelagtigt at fotsætte, hvis de e egativ, e det fodelagtigt at løse billet. (Det e i øvigt uetisk at syde atuligvis). Tage vi et eksempel: billetpise e k. 50,- Bøde e k Sadsylighede fo at blive suppet e P s = 0,. Hvis X e geviste ved at køe ude billet, e E(X) = 50 (-P s )-500 P s = = -5,0 Det e således (med dee sadsylighed fo at blive suppet) ikke fodelagtigt at køe ude billet i S-tog. Da e matematikbog atuligvis ikke må tilskyde til uetiske hadlige, udlade vi at foetage beegige med P s = "Skæbe" Vi betagte kast med to teige. X betege summe af øjetallee ved ét kast. Sadsylighedsfodelige fo X e velkedt. F.eks. e P(X=5) = 4/36. Sadsylighede fo at teigee vise j øje ka skives som: P( X 6 7 j) 36 j Lad os atage at spillees "skæbe" e q. Hvis ma slå dette øjetal e alt tabt. Elles addees øjetallee fo hvet kast. Hvis ikke ma ha slået si "skæbe", så e de samlede gevist efte spil: Og middelvædie af S e S = X + X 2 + X X. E(S ) = E(X )+ E(X 2 )+E(X 3 )+. +E(X ) = E(X X q). E(X X q) e de betigede middelvædi af øjetallee, givet at ma ikke slå si skæbe. E(X X q) = 2 P(2) +3 P(3)+ (q-) P(q-) + (q+) P(q+)+ +2 P(2) De kotsigtede stategi (og Sell stategie) fastslå, at ma skal stadse, å middelvædie af

16 4 Stategie ved spil de fovetede gevist ved æste kast e egativ: Agumetet fo dette ka ovetages æste odet fa "idbudstyves pesiospoblem". E(S k+ S.. S k ) ka beeges som de hidtidige gevist S k plus de fovetede gevist ved det æste kast i alt lig med S k + E(X k+ S.. S k ). Stopbetigelse e defo: S k > S k + E(X k+ S.. S k ) E(X k+ S.. S k ) < 0 E(X X q) S P(q) < 0 S > E(X X q) / P(q) Det e ikke sælig svæt at udege stopbetigelse f.eks. fo q = 2 og q = 6. Øvelse gø dette! Nedefo e vist udskifte fa et pogam, som foetage beegige fo q = 2..2 Fovetet gevist i æste kast, å skæbe e q q: Stop å di gevist S > EX(q)/P(q), å skæbe e q q: Som det femgå, e de edog meget sto foskel på stoptidee afhægig af es "skæbe 2.3 "Madagschace" Dette spil e lidt mee iteessat, fodi det ikke e helt så ekelt at geemskue. I dette tilfælde ka ma ikke fovete, at de kotsigtede stategi vil føe til de optimale stategi. At de faktisk gø det skyldes talvædiee. Dette skal fostås således, at hvis ma ædede på pæmiestøelsee ville Sell-stategie afvige fa de kotsigtede stategi. Vi vil aalysee spillet ved Sell-stategie. Som ævt, ha ma i spillet 9 tildækkede felte (0,0,25,25,50,50,00,00,250). Ma ka afdække højest 3 felte. Ma få beløbet i 000 k., som det sidste felt vise. Hvis X e de stokastiske vaiabel, som agive vædie af et felt, så vil de fleste ude så lage ovevejelse vel fotsætte, hvis X<50 og stadse, hvis X00. Det kitiske e, hvis ma afdække 50 (X=50). Vi bemæke føst at summe af alle feltee e S=620 og at E(X) =620/9=68,9 Vi opskive føst Sell-stategie fuldstædig fo dette spil. G 3 =X 3 De Stokastiske vaiabel G 3 = Geviste = X 3 = vædie af det sidst afdækkede felt. G 2 = max{ X 2, E(G 3 X,X 2 )} De støste af vædiee X 2 (= vædie af det afdækkede felt) og de betigede middelvædi af G 3 = X 3.

17 Stategie ved spil 5 G = max { X, E(G 2 X ) } Som ovefo. Kiteiet fo de optimale stategi e som tidligee: Stop, hvis på oget ti: X k > E(G k+ X.. X k ) Det e elativ emt, at opstille e fomel fo E(G 3 X,X 2 ). Nå X og X 2 e afdækket e summe de esteede felte S - X - X 2. Da alle felte ha samme sadsylighed e middelvædie simpelthe middeltallet af feltee E(G 3 X,X 2 ) = ( S - X - X 2 )/(9-2) Det e oget mee tekisk at opstille e fomel fo E(G 2 X ) og også lidt tekisk at foetage beegige. Vi vil øjes med at skitsee beegige fo e vædi af X og i øvigt hevise til esultatet af et Computepogam, som ka ses edefo. Lad os atage, at X = 25. Vi lade u X 2 geemløbe alle de mulige vædie (alle vædie skal tælles med det atal gage, de e felte med dee vædi). Fo hve vædi af X 2, (f.eks. 50), skal vi vælge max af X 2 og E(G 3 X,X 2 ) = ( S - X - X 2 ) /(9-2) (= ( )/7 = 77,8 i dette tilfælde), og addee det til e sum S 2. E(G 2 X ) e da lig med S 2 /(9-) (da de e 9- felte X 2 ) X2[]= 0.00 E(G3)= 85.7 G2= 85.7 X2[2]= E(G3)= G2= X2[3]= E(G3)= G2= X2[4]= E(G3)= G2= X2[5]= E(G3)= 5.43 G2= X[]= 0.00 E(G[2])= X2[]= 0.00 E(G3)= G2= X2[2]= E(G3)= 8.43 G2= 8.43 X2[3]= E(G3)= G2= X2[4]= E(G3)= 70.7 G2= X2[5]= E(G3)= G2= X[2]= E(G[2])= X2[]= 0.00 E(G3)= G2= X2[2]= E(G3)= G2= X2[3]= E(G3)= G2= X2[4]= E(G3)= 67.4 G2= X2[5]= E(G3)= 45.7 G2= X[3]= E(G[2])= X2[]= 0.00 E(G3)= G2= X2[2]= E(G3)= 70.7 G2= 70.7 X2[3]= E(G3)= 67.4 G2= 67.4 X2[4]= E(G3)= G2= X2[5]= E(G3)= G2= X[4]= E(G[2])= X2[]= 0.00 E(G3)= 5.43 G2= 5.43 X2[2]= E(G3)= G2= X2[3]= E(G3)= 45.7 G2= X2[4]= E(G3)= G2= X[5]= E(G[2])= 62.68

18 6 Stategie ved spil Se ma esultatee igeem, ka de udmøtes i e simpel egel. Fotsæt på 50 elle deude. Stop på 00 elle deove. Det e måske lidt oveaskede, at ma også skal fosætte på , hvis ma ku ha et fosøg tilbage ma kue jo ede med og det e så bae ægeligt og det e vist ok de fleste, som stadse ved ,- me det e ikke de bedste stategi. 2.4 Casio Som ævt i idledige til dette afsit, fides de ige stategi, som ka bige e i stad til at vide på et Casio i det lage løb. Vil ma gøe Casio-spil til e levevej, vil det altid med matematisk sikkehed ede med ui. Det betyde imidletid ikke, at ma ikke ka vide ved at gå på Casio, me hvis ma tæke på at spæge bake, så skal to kav i hvet fald væe opfyldt fo, at de skal væe e ikke fosvidede sadsylighed fo, at det ka lade sig gøe. Ma skal have flee pege ed Casio. 2. De må ikke væe loft ove idsatsee. Begge betigelse e som bekedt aldig opfyldt. Ma ka som sagt godt vide på et Casio, me hvis ma satse på at vide mee (alle de gage ma e på Casio i sit liv) ed det beløb ma medbige ved hvet besøg, så vil chacee fo at tabe det hele væe støst. He e de tale om sadsylighede og middelvædie om odds. Selvfølgelig e de muligt at tabe hele si fomue ved føste besøg elle vide det tedobbelte ved det adet. De ha i tides løb væet laceet flee eksemple på videstategie, som lyde uhye besæede. De mest kedte e Matigale-systemet. Ma spille ku på sot og ød, hvo få ma få fodoblet si idsats, hvis ma vide. Spillet e således helt lige, botset fa, at idsatsee blive liggede å zeo komme ud, og ma ku få si idsats e gag, hvis ma vide i æste spil (zeo ha ige fave). Spille ma efte Matigale-systemet, skal ma ikassee si gevist, hvis ma vide. Hvis ma deimod tabe, skal ma fodoble si idsats. Vi sætte gudidsatse til. Ha ma spillet gage, og demed doblet op - gage, ha ma lagt e idsats S = = 2. q Udeget af kvotietækkefomle S a0 fo ække: S = a 0 + a 0 q+ a 0 q a 0 q - q Vide ma det 'te spil få ma udbetalt = 2, så es gevist e 2 - (2 - ) = De gælde åbebat de simple kedsgeig, at blive ma bae ved med at fodoble, så ha ma altid vudet é idsats!

19 Stategie ved spil 7 Fø ma fosøge sig med dette, skal ma dog ok gøe sig klat, hvo mage gage ma ka tabe, fø ma e uieet. Sadsylighede fo at ma tabe 5 spil e (½) 5 = /32. Ma ha da tabt 2 5 gage vædie af e jeto (i Damak 50 k.) dvs..550, k. Vil ma sike sig bede, f.eks. ved at kue doble op 9 gage, (sadsylighede fo at tabe 0 spil e /024) så skal ma komme med k. 5.50,-, me det ka ma ikke egag geemføe, da højeste idsats i Damak e ,- Ma kue imidletid stille det spøgsmål: Hvis ma ha -jetoe, hvad e så sadsylighede fo at vide q-jetoe, hvis ma spille efte Matigale-systemet. Dette ka ma faktisk godt udege diekte, me egigee e et omfattede. Deimod e esultatet simpelt. Vi vil ikke lave e diekte udegig, me avede de samme metode, som vi ha avedt fo de bedste stategi. Vi tage udgagspukt i det faktum, at sot, ød Casio spil e et lige spil, så middelvædie af geviste e 0 ligegyldigt, hvoda ma spille. Middelvædie (som e ul ) af e gevist på q-jetoe e lig med q gage sadsylighede P(q) fo at vide q jetoe mius es kapital ( jeto'e) gage med sadsylighede fo at ma tabe det sidste spil som e P(q). q P(q) ( P(q)) = 0 P( q) q Ha ma f.eks. = 3 jetoe (.550,- k.) e sadsylighede fo at vide q=0 (500 k.) lig med 0,756 E imelig sto sadsylighed, me altså stadig 25% chace fo ui. Øske ma deimod at blive igtig ig og vide 0.000,- k., dvs. q=200, e P(200) = 0,34. Koklusioe e de, at satse ma på at vide mee ed ma medbige, så e sadsylighede mide ed ½, me ka ma øjes med mide, så e sadsylighede støe ed ½. Me bemæk dette gælde fa føste gag ma gå id på et Casio til ma beslutte at holde op. 2.5 Tædstikspillet Som beskevet ovefo gå spillet ud på at fave de ee af sidee ød på 0 tædstikke. Nå tædstikke kaste op i lufte e sadsylighede fo at de øde side vede opad, å de amme bodet lig med p=0,25. Ma kaste på skift 0 sådae tædstikke 0 gage. Fo hvet kast skal ma multiplicee atallet af øde med et af tallee..0. Hve tal må ku buges é gag. De de få de støste sum ha vudet. Det e klat at e god stategi i det lage løb vil give e højee sum. Vi mide om at atallet af X øde tædstikke e biomialfodelt, med pimæsadsylighed p og atalspaamete =0.

20 8 Stategie ved spil P( X 0 j) j 4 j j j 0,,2..,0 Edvidee vil vi avede de kumuleede sadsylighede P(X j) og P(X j). Nedefo e vist esultatet af e Computesimulatio af spillet. Pimæ sadsylighede fo := 0 og p= P(X=j) j: Baglæs kumuleede sadsylighede P(X>=q) j: kast. Atal = 2. Vælg mellem {, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,0,} Fakto= 4 2. kast. Atal = 4. Vælg mellem {, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9,0,} Fakto=0 3. kast. Atal = 2. Vælg mellem {, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9,} Fakto= 5 4. kast. Atal = 2. Vælg mellem {, 2, 3, 6, 7, 8, 9,} Fakto= 3 5. kast. Atal = 3. Vælg mellem {, 2, 6, 7, 8, 9,} Fakto= 8 6. kast. Atal = 2. Vælg mellem {, 2, 6, 7, 9,} Fakto= 6 7. kast. Atal = 6. Vælg mellem {, 2, 7, 9,} Fakto=9 8. kast. Atal = 3. Vælg mellem {, 2, 7,} Fakto= 2 9. kast. Atal = 2. Vælg mellem {, 7,} Fakto= 7 0. kast. Atal = 2. Vælg mellem {,} Fakto= Di scoe e 76 Valget af tallee..0 e gjot ud fa de "optimale stategi", som vi vil omtale om et øjeblik. Fø vi aalysee de optimale stategi fo dette spil, vil vi fosøge os med e "ituitiv bedste stategi". Vi belyse dee stategi med et koket eksempel. Lad os f.eks. atage at vi slå 4 øde i de 3. kast (3. fosøg). De tal vi ha tilbage kalde vi (y 8, y 7, y 6, y 5, y 4, y 3, y 2, y ). Spøgsmålet om vi skal gage med det støste y 8 elle det æststøste y 7 osv. Vi æsoee da som følge: Hvis sadsylighede fo at slå mee ed 4 øde i de esteede 7 kast e støe ed ½, så skal vi vælge det æststøste.. Vi skæpe dette: Hvis sadsylighede fo at slå midst 5 øde, midst e gag i de esteede 7 kast e støe ed ½, så skal vi vælge det æststøste. Tilsvaede: hvis sadsylighede fo at slå midst 5 øde midst 2 gage i de esteede 7 kast skal vi vælge det 3. støste og såda femdeles. Stategie vike umiddelbat meget plausibel. Sadsylighedee ka diekte fås af biomialfodelige: Føst sadsylighede fo at få midst q- øde i et kast. Dette e

21 Stategie ved spil 9 P(X q) = P ( X j), hvo P(X = j) e agivet ovefo jq Sadsylighede fo at dette ske midst gage i - k kast e også e biomialfodelig og ka skives: P(X q; midst gage i - k kast ) = k k j k j P( X q) ( P( X q)) j j Beegige af disse (0) sadsylighede gøes lettest på e compute. Fo at lave e stategi-tabel, gø ma det, at fo hvet kast, og hvet atal mulige øde, vælge ma føst det støste af de esteede tal. Deæst beege ma sadsylighede fo at få midst ød mee i et af de følgede kast. Hvis dee sadsylighed e støe ed ½, se ma på det æststøste af de esteede tal. Ma beege så sadsylighede fo at få midst ød mee i midst to af de esteede kast. Hvis dee sadsylighed e støe ed ½, så vælge ma det tedjestøste af de esteede tal og såda femdeles. Det bemækes, at beegige skal iitialisees med, at ma altid vælge det midste, hvis ma slå 0 øde og altid vælge det støste, hvis ma slå 0 øde. Nedefo e vist e computebeegig af e stategi-tabel. Edvidee e også lavet e "Mote- Calo" simulatio. Dette betyde, at ma ha ladet maskie spille f.eks spil og spillet efte stategi-tabelle. Nedest e vist hyppighedee fo es scoe og edelig fodeligsfuktioe fo obsevatioee. (De kumuleede fekves). P(X=j) fo := 0 og p= P(X>=j) kast scoe Geemsitlig gevist ms = 64.37

22 20 Stategie ved spil h( 75)= h( 80)= 7 h( 85)= 3 h( 90)= 5 h( 95)= 6 h(00)= 34 h(05)= 38 h(0)= 82 h(5)= 68 h(20)=6 h(25)=46 h(30)=320 h(35)=280 h(40)=534 h(45)=425 h(50)=752 h(55)=577 h(60)=878 h(65)=645 h(70)=956 h(75)=65 h(80)=863 h(85)=527 h(90)=609 h(95)=35 h(200)=389 h(205)=80 h(20)=203 h(25)= 93 h(220)= 86 h(225)= 47 h(230)= 32 h(235)= 2 h(240)= 3 h(245)= 8 h(250)= 3 h(255)= 0 h(260)= 4 h(265)= h(270)= h(275)= 0 h(280)= 0 F( 80)= F( 85)=0.00 F( 90)=0.006 F( 95)= F(00)= F(05)= F(0)=0.076 F(5)= F(20)= F(25)=0.055 F(30)=0.087 F(35)=0.5 F(40)=0.685 F(45)=0.20 F(50)= F(55)= F(60)=0.437 F(65)= F(70)=0.598 F(75)= F(80)= F(85)= F(90)= F(95)=0.899 F(200)= F(205)= F(20)=0.969 F(25)= F(220)= F(225)=0.997 F(230)= F(235)= F(240)= F(245)=0.999 F(250)= F(255)= F(260)= F(265)= F(270)=.0000 F(275)=.0000 Som det femgå af tabelle fo P(X>=j) e de ku 7,8% chace fo at slå 5 øde elle deove, så gø ma det, skal ma altid vælge det støste af de esteede tal. Fo 3, 4 og 5 øde e situatioe lagt mee ulde, og ku e beegig ka give afgøelse. Pøv at studee stategi-tabelle og udesøg om de ideholde "oveaskelse". Vi pøve u at fide de optimale stategi, elle Sell-stategie. Hvad agå spøgsmålet om hvovidt vi skal vælge de støste elle æststøste, så lade det sig paktisk gøe, at beege Sellstategie på e compute. De følgede tilfælde blive deimod fo kompliceede, og de avede vi e svagt fobedet vesio af voe ituitive stategi. Fobedige bestå i følgede, idet vi illustee det med et eksempel. Lad os sige vi ha slået 3 øde og vi oveveje om vi vil gage det med 7 elle 6. Gage vi med 6, e det fodi vi fovete at slå midst 4 øde midst e gag i de esteede kast. Voes scoe vil væe 7 3 og 7 4 heholdsvis, og scoe vil blive fobedet med e fakto 4/3, hvis vi gage med 6 ude fovetig af at slå 4 øde. Voes fobedig af stategie gå da ud på, at vi vælge det æststøste 6, hvis sadsylighede fo at slå 4 øde gage de elative fobedig 4/3 e støe ed ½. Vi ekapitulee deæst Sell-stategie: G 0 = X 0 G 9 = max{ X 9, E(G 0 ) } X 0 Stokastisk vaiabel = atallet af øde i det 0 kast E(G 0 ) = E(X 0 ) = p=0 0,25 = 2,5 ; X 9 = 0,, 0. G k = max{ X k, E(G k+ ) } E(G k ) kæve e lægee udegig, me de udeges som e almidelig middelvædi altså som max af de to vædie gage P(X=X k- ) G = max{ X, E(G 2 ) } Som eksempel udege vi E(G 9 ). Da E(G 0 )=2,5, skal vi fo X 9 = 0,,2 avede E(G 0 )=2,5 i udegige. E(G 9 ) = 2,5 (P(X=0)+P(X=)+P(X=2))+ 3 P(X=3)+ +0 P(X=0) =3,06

23 Stategie ved spil 2 Vædiee fo E(G k ) e alle udeget og vist i computebeegige edefo. Bemæk isæ at de vokse fa 2,5 til 4,25 å k aftage fa 0 til 2 Stategie e u følgede: Vælg det støste af de esteede tal hvis X k > E(G k+ ) (altså det atal ma ha slået e e støe ed det fovetede støste atal) elles vælg det æststøste. Ved afgøelse am de 3. støste, 4. støste osv. avede vi de hidtidige stategi, med de modifikatio, at vi multiplicee sadsylighede med de fomodede elative fobedig E(G 0-kast )/atal øde. E computebeegig, helt svaede til de foegåede, me med de ædede stategi e vist edefo. Ma bemæke fo det føste de små ædige, de e i stategie. De ye stategi e lidt mide fosigtig, me de give altså også pote i fom af e fobedig af geemsittet på ca. 2,75 Pimæ sadsylighede P(X=j) fo := 0 og p= Baglæs Kumuleede sadsylighede: P(X>=j) E(G[0])= 2.50 E(G[9])= 3.06 E(G[8])= 3.37 E(G[7])= 3.62 E(G[6])= 3.80 E(G[5])= 3.95 E(G[4])= 4.06 E(G[3])= 4.6 E(G[2])= 4.25 kast scoe Geemsitlig gevist ms = h( 75)= h( 80)= h( 85)= 0 h( 90)= 3 h( 95)= 2 h(00)= 5 h(05)= 4 h(0)= 9 h(5)= 2 h(20)= 2 h(25)= 7 h(30)= 22 h(35)= 28 h(40)= 39 h(45)= 24 h(50)= 49 h(55)= 54 h(60)= 74 h(65)= 63 h(70)=7 h(75)= 63 h(80)= 9 h(85)= 57 h(90)= 72 h(95)= 39 h(200)= 36 h(205)= 35 h(20)= 29 h(25)= 4 h(220)= 2 h(225)= h(230)= 5 h(235)= h(240)= 0 h(245)= 0 h(250)= 0 h(255)= 0 h(260)= 0 h(265)= 0 h(270)= 0 h(275)= 0 h(280)= 0 F( 80)= F( 85)= F( 90)= F( 95)= F(00)=0.020 F(05)=0.060 F(0)= F(5)= F(20)= F(25)= F(30)= F(35)=0.60 F(40)=0.550 F(45)=0.790 F(50)= F(55)= F(60)= F(65)=0.490 F(70)= F(75)= F(80)= F(85)= F(90)=0.890 F(95)= F(200)=0.8940

24 22 Stategie ved spil F(205)= F(20)= F(25)= F(220)= F(225)= F(230)= F(235)=.0000 F(240)=.0000 F(245)=.0000 F(250)=.0000 F(255)=.0000 F(260)=.0000 F(265)=.0000 F(270)=.0000 F(275)=.0000 Måske e det ikke e sælig impoeede fobedig fa de føste stategi, me det e e teoetisk milepæl, at ma e i stad til at agive de bedste stategi fo bestemte type af spil. Som omtalt ha vi ikke fosøgt at bevise, at Sell-stategie e de optimale Stategi, me det ka bevises. Det e vigtigt, at otee sig, at i alle de omtalte "spil", ha udfaldee væe stokastiske vaiable, dvs. ufoudsigelige, me med bestemte sadsylighede, og at disse sadsylighede ikke blive ædet af de stategi ma følge. I mage af de "spil", hvo ma ofte møde begebet stategi: f.eks. skak, kig, fiasmaked og makedsføig e dette lagt fa tilfældet. Hvis f.eks. alle bøsspekulate fulgte de samme "optimale stategi" med bøskuse som stokastisk vaiabel, ville det ok vise sig at det va de dåligste stategi af alle. Teoie fo dyamiske stategie, hvo de stokastiske vaiable e fuktioe af tide, og af de valgte stategi e teoetisk æste ufemkommelige. Øvelse: Idteg de kumuleede fekves på omalfodeligspapi, og kostate at scoe i tædstikspillet e omalfodelt. Aflæs spedige.

25 Ideks Casio;5;6 Computesimulatio;7 defiitioe af sadsylighed; De optimale Sell-stategi; fosikigsmatematik;5 Idbudstyves pesiospoblem;9;2 kotsigtede stategi;0 kumuleede fekves;9 lagsigtede stategi;0 lotto; Madagschace;4 Madags-chace;9 Matigale-systemet;6 Optimale Stategie;0 Poke;3 ekusiosligig;6 oulette;5;7 Roulette spil;0 oulettespille;7 uisadsylighede;5 Skæbe;9;3 Sell-stategie; Stopbetigelse; stategi;9 Tædstikspillet;0;7 Stategie ved spil Ideks 23