Makroøkonomiske Faktorer og Forventet Afkast

Transkript

1 Makroøkonomiske Faktorer og Forventet Afkast Mads An Chan Song Tobias Winther Troelsen Maj 2014 Vejleder: Jonas Nygaard Eriksen Aarhus University, Business and Social Sciences Department of Economics and Business Fuglesangs Allé 4, 8210 Aarhus V, Denmark Antal anslag (uden mellemrum): Student ID: MS94137 Student ID: TT93502

2 Abstract This thesis examines the use of macroeconomic risk factors in asset pricing models. Starting from the three asset pricing models, Capital Asset Pricing Model, Fama French s Three Factor model and Carhart s Four Factor model, the thesis tries to explain the cross section of expected returns on the American Stock Market. The period being examined spanns from 1964 : 02 until 2011 : 12. Estimation of the macroeconomic risk factors are conducted by the use of static principal component analysis. With this method, a panel of 131 macroeconomic and financial variables is reduced to 10 common factors, explaining more than 50% of the variation in the original panel of time series. Using these estimated factors, the three mentioned models are expanded to investigate the composition of expected returns, and whether the macroeconomic factors can explain expected returns. The estimated factors are found to have explanatory power on the excess returns consisting of 25 portfolios formed on size and book-to-market value. The factors are also found to explain excess return on 17 industry portfolios. By engaging in model selection, a range of models are found to explain the excess returns on the two sets of porfolios. Among these models two are further analyzed and interpreted. One of these models is estimated on the size and book-to-market sorted portfolios. The macroeconomic factors priced in are significant as well as contributing positively to the explanation of the cross section of expected returns. Furthermore the factors reduce the pricing errors compared to the benchmark models, indicating the model is well-specified. Another model is estimated on the industry portfolios. This model provides smaller explanatory power compared to the models estimaed on size/value portfolios. Although consisting of insignificant risk premias, the amount of variation in the portfolios explained is well above the benchmark models. In the chosen models, specifically one macroeconomic variable is priced in both. This is the 5th estimated factor, accounting for most of the variation in the original panel when the four first factors have been taken into account. This factor is found to covary with business cycles in the US, indicating a common component of the expected stock returns. However, the shortcomings of this finding is the economic interpretation of the factor, which is due to the fact that the factors are estimated to be orthogonal to each other in principal component analysis. When testing the performance of the models it is evident, that this performance somewhat restricted to the sample of portfolios in which they are estimated. As a result of the analysis, this thesis concludes that macroeconomic factors estimated by principal component analysis can be used to augment existing asset pricing models, and hence contribute through higher explanatory power. As an extention to this thesis, further research could elaborate on the factor interpretation, and test whether the results are valid ex ante.

3 Indhold 1 Indledning Problemformulering Afgrænsning Metodologi Struktur Litteratur gennemgang 5 3 Lineære faktormodeller Capital Asset Pricing Model Mean variance porteføljeteori Modellen Arbitrage Pricing Theory Modellen Forudsætninger for APT Valg af faktorer Fama French 3-faktor model Carharts 4-faktor model Kritik af faktormodellerne Estimation Tidsserie og Cross-Section regressioner Fama-MacBeth Errors in Variables Generalized Method of Moments Newey-Wests og Cochranes estimatorer for S Test af modellerne Test på i Cross-Section regressionerne Test på pricing error ( ) i Cross-Section regressionerne Goodness-of-fit Principal Component Analysis Intuition Modellen Begrænsninger ved PCA Estimation af faktorstrukturen Valg af antallet af faktorer Fortolkning af faktorløsningen Data Makroøkonomiske faktorer Informationskriteriet

4 6.1.2 Økonomisk fortolkning Markedet og den risikofrie rente Porteføljer Deskriptiv Statistik Small-Minus-Big, High-Minus-Low og Momentum Empiri Præstation for benchmark modeller Overodnet præstation Præstation for CAPM Præstation for Fama og Frenchs tre faktor model Præstation for Carharts fire faktormodel Makroøkonomiske faktorer og size/value porteføljer Goodness-of-fit og t-statistikker Makroøkonomiske faktorer og industriporteføljer Goodness-of-fit og t-statistikker Business cycles og det forventede afkast Sammenligninger Porteføljernes faktorstruktur Opsummering Konklusion 54 Litteratur 56 A Makroøkonomiske variable 60 B Industriporteføljer 64 C Tidsserieplots af F 6, F 8 & F 9 65

5 Figurer 1.1 Afhandlingens struktur First og second pass regressions Marginale R 2 for F 1, F 2, F 3 & F Marginale R 2 for F 5,F 6,F 7 & F Marginale R 2 for F 9 og F Præstation for CAPM Præstation for FF3F Model Præstation for C4F model Tidsserieplots af F 2 og F Tidsserieplot af F Model 7 (Size/Value) Model 6 (Industri) Præstation på Size/Value samt industriporteføljerne C.1 Tidsserieplot af F C.2 Tidsserieplot af F C.3 Tidsserieplot af F Tabeller 6.1 Statistik for ˆF k Beskrivende statistik for industriporteføljerne (1) Beskrivende statistik for industriporteføljerne (2) Beskrivende statistik for size/value porteføljerne Korrelationsmatrice for RM, SMB, HML, MOM og de 10 makroøkonomiske faktorer Benchmark modeller (size/value porteføljer) Benchmark modeller (industriporteføljer) Modelvalg Size/Value Modelvalg Industri Size/Value og Industriporteføljer A.1 Gruppe 1: Output og Indkomst A.2 Gruppe 2: Arbejdsmarkedet A.3 Gruppe 3: Husholdninger A.4 Gruppe 4: Forbrug, Ordrer og Lagrer A.5 Gruppe 5: Penge og Kredit A.6 Gruppe 6: Obligationer og Kurser A.7 Gruppe 7: Priser A.8 Gruppe 8: Aktiemarkedet

6 Nomenklatur APT C4F Arbitrage Pricing Theory Carhart Fire Faktor Model CAPM Capital Asset Pricing Model CCAPM Consumption Capital Asset Pricing Modellen EIV FF3F Errors in variables Fama French Tre Faktor Model GMM Generalized Method of Moments ICAPM Intertemporal Capital Asset Pricing Model MV OLS PCA Mean Variance Ordinary Least Squares Principal Component Analysis

7 1 Indledning Et centralt emne i finansieringsverdenen er at forstå prisdannelsen på aktiver. Der er enighed om, at dag til dag volatiliteten i aktiekurser skyldes den konstante tilgang af information. Det bliver mere problematisk, når man ønsker, at forklare hvorfor forskellige aktiver giver forskellige forventede afkast. Under givne forudsætninger om investorerne forsøger man at forklare forventet afkast ved hjælp af asset pricing modeller. Der er i dag stadig ikke nogen af de, i litteraturen, beskrevne asset pricing modeller, som i tilstrækkelig grad har kunne forklare det forventede afkast, eller entydigt har kunne pege på hvilke økonomiske sammenhænge, der ligger til grund for den proces, som genererer det forventede afkast. De eksisterende asset pricing modeller er grundlæggende enige om, at investorer belønnes for at påtage sig systematisk risiko. Der er dog ikke enighed blandt modellerne, om hvordan denne systematiske risiko bedst defineres. Der findes modeller, som har en stærk økonomisk fortolkning, men empirisk har vist sig at præsteret dårligt. Modsat er der andre modeller, der empirisk har præsteret relativt godt, men som ikke har haft en stærk økonomisk fortolkning. Den mest anvendte asset pricing model er Capital Asset Pricing Modellen (CAPM) af Lintner (1965) og Sharpe (1964). Modellen er intuitivt appellerende men har empirisk svært ved at forklare det forventede afkast (Fama og French, 2004). Fama og French (1996) påviser, at CAPM ikke kan forklare aktier fordelt på size og book-to-market forhold; de såkaldte size og value anomaliteter. Udvidelser af CAPM til multifaktor modeller, såsom Fama French tre faktor (FF3F) model og Carharts fire faktor (C4F) model, har givet bedre forklaringsevne, men modellerne er oftest svage i den økonomisk intuition. Litteraturen har en bred vifte af forslag til hvilke variable og faktorer, som kan indgå i en multifaktormodel. Mange af disse er baseret på virksomhedsspecifikke karakteristika, hvor et eksempel er size og book-to-market forholdene. Indenfor nyere tid er der flere forfattere, som undersøger makroøkonomiske variables evne til at forklare forventet afkast. Hensigten med at bruge makroøkonomiske variable er at forklare det forventede afkast ud fra den økonomiske situation. Man prøver dermed at finde forventede afkasts samvariation med økonomiske fluktuationer, de såkaldte business cycles. I litteraturen er der blandt andet foreslået variable som surplus consumption ratioen af Campbell og Cochrane (1999) og consumption-to-wealth ratioen af Lettau og Ludvigson (2001). Et interessant perspektiv som Ludvigson og Ng (2009) undersøger er, at samle informationen fra et panel af makroøkonomiske variable i et mindre antal estimerede faktorer, som herefter benyttes til at forudsige risikopræmien på obligationer. 1

8 1.1 Problemformulering Af de nævnte problemer med eksisterende modeller, ligger udfordringen for nye modeller i at finde den gyldne mellemvej, mellem at have høj forklaringsevne og en klar økonomisk intuition. Den interessante problemstilling er dermed, hvordan denne gyldne mellemvej findes. Løsningen til problemstillingen afhænger af hvilken tilgang man har til asset pricing modellerne. Man kan som nævnt anvende virksomhedsspecifikke karakteristika eller makroøkonomiske variable. Indenfor disse to hovedgrupper er der et stort antal variable, som kan bidrage til forklaringen af det forventede afkast og indgå som risikofaktorer. Denne afhandling vil anvende en anderledes tilgang inspireret af Ludvigson og Ng (2009), hvor et panel af markoøkonomiske variable reduceres til få faktorer og heraf indgår som risikofaktorer i en lineær asset pricing model. Motivationen for denne metode er, at økonomiske intuition tilsiger en sammenhæng imellem det forventede afkast på aktiemarkedet og den økonomiske udvikling. Den overordnede problemstilling for afhandlingen formuleres derfor som: Kan makroøkonomiske faktorer bidrage til forklaring af det forventede afkast på det amerikanske aktiemarked i forlængelse af eksisterende lineære faktormodeller? Der vil herunder blive undersøgt, hvordan de makroøkonomiske faktorer kan supplere de nævnte modeller, og hvordan de i givet fald bliver prissat. Analysen vil endvidere fokusere på at give en økonomisk fortolkning af faktorerne som viser sig signifikante i modellerne. 1.2 Afgrænsning Asset pricing modellerne kan, som nævnt, konstrueres og testes på utallige måder. Det er derfor ikke muligt at dække alle aspekter fyldestgørende. Denne afhandling vil derfor afgrænse sig til specifikke dele af asset pricing litteraturens aspekter. Som omtalt i problemformuleringen vil makroøkonomiske faktorer anvendes i sammenhæng med CAPM, FF3F og C4F modellerne på det amerikanske aktiemarked i perioden 1964 til Der fokuseres på modellernes evne til at forklare den udvalgte periode. Der er således tale om en ex post betragtning af modellerne, og der vil ikke blive foretaget analyser af modellernes evne til at præstere ex ante. Endvidere afgrænses der fra anvendelsen af betingende asset pricing modeller. Iforholdtilstatistiskbearbejdningafdemakroøkonomiskevariableogestimationaf modellerne, afgrænses der til at anvende statisk Principal Component Analysis (PCA) i faktorkonstruktionen, hvor alternativet er dynamisk PCA. Ordinary Least Squares (OLS) regressioner anvendes i forbindelse med modelestimation, Generalized Method of Moments (GMM) frameworket vil blive anvendt til at beregne korrekte standard errors, men vil i øvrigt ikke anvendes til at estimere parametre. Der vil således ikke inddrages andre estimationsmetoder end de nævnte. Asset pricing modeller kan anvendes på alle finansielle aktiver. Afhandlingen vil som 2

9 beskrevet kun tage udgangspunkt i aktier. En nærmere beskrivelse af hvorfor aktier er tilstrækkelige, og evt. problemer heraf, omtales i afsnittet om det valgte datamateriale. En anden kendt metode til at forklare forventet afkast er ved hjælp af Stochastic Discount Factor, denne metode vil ikke blive behandlet i denne afhandling, ligeledes undersøges kun lineære faktormodeller. 1.3 Metodologi Afhandlingen er primært af empirisk karakter, hvor det ønskes at belyse anvendeligheden af multifaktormodeller i sammenhæng med makroøkonomiske faktorer. Der er tale om en positivistisk tankegang, hvor videnskabelig erkendelse opnås ved indsamling af empirisk data, og teorier afledt af det empiriske data vil være videnskabelige. Der eksisterer flere forskellige måder, at anse og sammensætte asset pricing modeller på. Disse kan karakteriseres under forskellige paradigmer. Helt specifikt definerer Subrahmanyam (2010) et af disse paradigmer som Risk Return paradigmet. Under dette paradigme tilhører CAPM og APT funderede multifaktormodeller. Det er således dette paradigmesyn som afhandlingen benytter. I besvarelsen af afhandlingens problemformulering anvendes PCA med det formål, at reducere et panel af makroøkonomiske- og finansielle variable til et mindre antal faktorer. Dette gøres for at samle så meget økonomisk information i så få faktorer som muligt, og derigennem søge at finde generelle sammenhænge mellem det forventede aktieafkast og faktorerne. Faktorerne vil indgå som selvstændige risikofaktorer i modellerne, der estimeres ved hjælp af Fama og MacBeths (1973) regressionsmetode. Der lægges betydelig vægt på at de estimerede koefficienter under Fama-MacBeth testes korrekt. Derfor anvendes GMM frameworket til at udregne de korrekte t-statistikker. Metoden kræver blot at momenterne er opfyldt, og anlægger således ikke yderligere forudsætninger, som Fama-MacBeth implicit gør. 3

10 1.4 Struktur Figur 1.1: Afhandlingens struktur Makroøkonomiske variable Principal Component Analysis CAPM FF3F C4F Makroøkonomiske faktormodeller Benchmarkmodeller Sammenligning Konklusion Strukturen i afhandlingen er afbilledet i figur (1.1). Afhandlingen indledes i afsnit 2 med en gennemgang af kendt litteratur indenfor asset pricing modeller. I afsnit 3 præsenteres teorien bag CAPM, FF3F og C4F modellerne, der igennem afhandlingen benyttes som benchmark for de makroøkonomiske faktormodeller. Afsnit 4 beskriver de benyttede metoder i estimation- og test af de lineære faktormodeller. I afsnit 5 behandles den statiske PCA, som benyttes i dimensionsreduktionen af de makroøkonomiske variable. Det benyttede datamateriale diskuteres og analyseres i afsnit 6. Afsnit 7 anvender det teoretiske fundament og søger at besvare problemformuleringen. I afsnittet indgår estimation og test af benchmark modellerne. Ved hjælp af de estimerede faktorer undersøges den faktorstruktur der genererer det forventede afkast. Afslutningvis konkluderes afhandlingen i afsnit 8. 4

11 2 Litteratur gennemgang Ifinansielteorierderbredenighedom,atinvestorerbelønnesfordenrisiko,depåtager sig. Når markedet er perfekt, kompenseres investoren kun for systematisk risiko, som er risiko, der ikke kan diversificeres. Indenfor finansiel litteratur er der flere forskellige modeller, som forsøger at beskrive risiko og hvordan disse prissættes. Igennem tiderne er der kommet mange bud på sådanne modeller. Et kendt eksempel på en af disse er CAPM beskrevet af Lintner (1965) og Sharpe (1964). Subrahmanyam (2010) har i litteraturen kunne dokumentere mere end 50 variable, som enten enkeltvis eller i kombination med hinanden har forsøgt at forklare aktieafkast. En gruppe af de 50 variable er relateret til friktioner i markedet. Eksempler på friktioner er likviditet i markedet og muligheder for at gå kort. Den generelle tilgang til illikvidide markeder er, at investorer kræver højere afkast for disse markeder (Amihud og Mendelson, 1986). Som et mål for illikviditet foreslår Amihud (2002) at anvende forholdet mellem det absolutte afkast og handelsvolumen i dollars som proxy, dette forhold kalder han for ILLIQ, hvor han finder frem til at ILLIQ er positiv og signifikant. Forholdet kan ifølge Amihud fortolkes som reaktionen på prisen, og er dermed et groft mål for prisfølsomhed. Brennan et al. (2012) undersøger bid-ask spread som en forklaring på forventede afkast. De argumenterer for, at illikviditet i markedet kommer til udtryk fra sælgernes side. Når investorer sælger ud, er det et udtryk for, at de er illikvide. Adfærdsmæssige bias er relateret til en anden gruppe af variable. Lakonishok et al. (1994) beskriver ekstrapolering af historisk performance på historisk indtjening som et eksempel på adfærdsmæssige bias. Prisen for growth stocks bliver dermed for høje, mens prisen for value stocks bliver for lave. Doukas et al. (2002) kan ikke påvise ekstrapoleringens effekten, men de finder derimod frem til, at aktieanalytikere er mere optimistiske for value stocks, hvilket går imod resultaterne fra Lakonishok et al. (1994). Titman et al. (2004) finder en sammenhæng mellem kapitalinvesteringer og negativt forventet afkast, hvilket angiveligt skyldes virksomhedsledernes tilbøjelighed til at opbygge imperier. Hvidkjær (2008) og senere Barber et al. (2009) undersøger forventet afkast i forhold til handlernes størrelse. Her finder de, at aktier der købes af mange små investorer har dårligere performance i op til 3 år efter købene. Aktier der i høj grad sælges af mange små investorer performer bedre end forventet i op til et år efter salget. Det tyder dermed på, at små investorer er irrationelle i forhold til deres forventninger af det forventede afkast. Subrahmanyam (2010) beskriver en tredje gruppe af variable, der er relateret til såkaldt uformel Wall Street visdom. Det er variable, der er opdaget ved tilfældigheder blandt børsmæglerne på Wall Street. Der er tale om variable som for eksempel price/earnings (P/E), size- og momentum effekten. Basu (1977) beskriver at aktier med lav P/E forhold giver højere afkast end aktier med høj P/E. Banz (1981) finder frem til, at virksomheder med lav værdi outperformer virksomheder med høj værdi, som kaldes for value effekten. Brennan (1970) forklarer value effekten, ved at dividender beskattes anderledes end kapitalindkomst. 5

12 Jegadeesh og Titman (1993) finder frem til, at man vil opnå et signifikant højere afkast ved at købe vindere og sælge tabere baseret på de seneste 6 måneders performance. Denne effekt kaldes for momentum effekten. Stein et al. (2000) påviser at momentum effekten aftager for store virksomheder, samt at effekten er aftagende, jo større dækning der er fra analytikere. Nogle af de beskrevne variable ligger blandt andet til grund for Fama og French (1993) tre faktor model og Carhart (1997) fire faktor model, som blandt andet er de faktormodeller denne afhandling vil undersøge og forsøge at udvide. Modellerne forsøger at fastsætte fakturstrukturen, der prissætter aktiver, i ligevægt og under antagelse af at der ingen arbitrage er på markedet. Denne måde at beskrive afkast på kategoriserer Subrahmanyam (2010) som Risk Return paradigmet. CAPM af Lintner (1965) og Sharpe (1964) prissætter et aktiv ud fra dens markedsrisiko. Sagt med andre ord prissættes aktiver ved deres kovarians med markedsporteføljen. CAPM bygger på Markowiz (1952) teori om, at porteføljer er mean-variance efficiente. Ross (1976) introducerer Arbitrage Pricing theory (APT) og argumenterer for at forventet afkast kan beskrives som lineære sammenhænge mellem faktorer og afkast, når der ikke er arbitrage. Ross viser, at CAPM er et specialtilfælde af Arbitrage Pricing Theory, hvor afkastet forklares af én faktor. Connor (1984) omformulerer Ross (1976) og udleder i stedet modellen med ligevægtsargumenter. CAPM er siden blevet udvidet med flere faktorer ved hjælp af APT, og er derfor forklaringen på at Subrahmanyam (2010) samlet definerer disse under Risk Return paradigmet. Goyal (2012) inddeler valget af faktorer i tre grupper. Den første gruppe af faktorer vælges på baggrund af intuition, og er modeller som for eksempel Mertons(1973) Intertemporal Capital Asset Pricing Model (ICAPM), der udvider CAPM til en multiperiode model. Chen et al. (1986) udvider CAPM modellen med makroøkonomiske variable, mens (Breeden, 1979) beskriver Consumption Capital Asset Pricing Modellen (CCAPM), som forklarer afkast ud fra marginal nytte af forbrug. Den anden gruppe af faktorer er funderet i firma specifikke karakteristika. Eksempler på disse er size og value beskrevet i FF3F modellen, samt en udvidelse af denne med en momentum faktor, som beskrevet i C4F modellen. Den sidste gruppe af faktorer udvælges efter statistiske metoder. Lehmann og Modest (1988) benytter faktor analyse til at undersøge den underliggende fælles komponent af afkastet. Connor og Korajczyk (1986) benytter Principal Component Analyse (PCA) til at afdække afkast for små størrelser af tidsperioder. Ludvigson og Ng (2009, 2007) anvender et kompromis mellem Chen et al. (1986) og Connor og Korajczyk (1986). De udvælger makroøkonomiske faktorer ved hjælp af PCA til at beskrive risikopræmier på obligationer. Metoden anvendes til at beskrive fluktuationer i business cycle, og kan afdække forventet afkast Cochrane (2005). 6

13 3 Lineære faktormodeller Dette kapitel ønsker at behandle de, i dag mest anvendte prissætningsmodeller af aktiver, og vil ligge fundamentet for afhandlingens emne. Strukturen i kapitlet vil følge den historiske udvikling af modellerne. Indledningsvis vil CAPM behandles, hvorefter der tages fat i APT og modeller bygget på baggrund af dens teori i form af FF3F- og C4F model. Disse modeller er blandt de mest anvendte, og vil derfor fungere som benchmarkmodeller i afhandlingen. 3.1 Capital Asset Pricing Model CAPM i sin oprindelige form krediteres, uafhængigt af hinanden, til Sharpe (1964) og Lintner (1965). Modellen søger at beskrive forventet afkast, med udgangspunkt i mean-variance teorien beskrevet af Markowitz (1952). Modellen forbinder de individuelle aktivers forventede afkast, E(R i ), lineært med markedsporteføljen. Med andre ord forklares et aktivs afkast ud fra dens korrelation med markedsafkastet Mean variance porteføljeteori Markowitz (1952) Mean Variance (MV) teori beskriver, hvorledes den optimale portefølje af risikofyldte aktiver er bestemt ved den den sammensætning, som maksimerer porteføljens Sharpe Ratio (Sharpe, 1966) givet den efficiente rand. Sharpe s Ratio er et mål for prisen per risikoenhed en investor modtager, og er defineret ved E(R P ) r f,hvore(r p ) er det forventede afkast på portefølje P, r f er den risikofri rente og P er standardafvigelsen for portefølje P. Porteføljen der maksimerer Sharpe s Ratio vil være optimal for alle rationelle investorer. Ifølge Separation Theorem (Lintner, 1965) er fastlæggelsen af den optimale portefølje blot det første skridt i en investeringsbeslutning. Det næste skridt baseres på expected utility theorem og foreskriver, at den optimale kombination mellem P og r f afhænger af den individuelle investors risikoaversion. Sammensætningen udtrykkes i (3.1): E(RP ) E(R Y )=r f + P r f P Y (3.1) Hvor Y er en portefølje bestående af P og r f, og defineres som Capital Market Line. Linjen tangerer den efficiente rand, og der eksisterer således ingen kombinationer af de risikofyldte aktiver med samme og større E(R). Tangent punktet er også det punkt,hvor Sharpes Ratioen maksimeres. Dette er hvad der fører videre til CAPM, som herefter beskriver hvordan hver enkelt aktivs forventede afkast, E(R i ), fastsættes i ligevægt i markedet Modellen CAPM beskriver den lineære sammenhæng mellem et aktivs forventede afkast, E(R i ),og det forventede markedsafkast E(R M ),somerdefineretved: E[R i ]=r f + i (E[R M ] r), i = Cov(R i,r M ),i=1,...,n (3.2) Var(R M ) 7

14 I (3.2) defineres sammenhængen mellem det forventede afkast på markedsporteføljen, som er den optimale portefølje, og det enkelte aktiv, igennem proportionalitetsfaktoren i. Koefficienten, i, udtrykker effekten af en ændring i markedsporteføljen på afkastet for aktiv i. i defineres som Cov(Ri,R M ) Var(R M ) og viser, at den kan tolkes som sensitiviteten af et aktivs afkast overfor ændringer i markedet. CAPM beskriver det forventede afkast på aktiv i som en kombination af det risikofri aktiv, r f,samtdetrealiseredeafkastpåmarkedsporteføljen.ethøjereafkastpåmarkedsporteføljen i periode t vil for i > 0 medfører et større forventet afkast på aktiv i isammeperiode. CAPM kan omskrives så den udtrykkes i excess returns, hvor Z i R i r f : E[Z i ]= i E[Z M ], i = Cov(R i,r M ),i=1,...,n (3.3) Var(R M ) Omskrivningen af (3.2) til (3.3) viser sig at være anvendelig når modellerne skal testes. I afhandlingen defineres afkast efterfølgende som månedsbaseret excess return. I (3.3) er det tydeligt, at r f,somkunvarierermedt udgår, men at koefficienten for markeds-risikopræmien, E[Z M ], er uændret. Fordelen ved denne repræsentation af CAPM er, at restriktionen r f i (3.2) udgår, hvilket gør det muligt at teste, om der eksisterer en konstant i (3.3). Denne konstant kaldes også for Jensens Alpha (Jensen, 1968). For at ligevægtsbetingelsen i CAPM holder, opstiller Sharpe (1964) en række forudsætninger, som antages at være opfyldt. Modellen bygger således på følgende grundbetingelser: 1. Porteføljerne er MV optimale 2. Homogene forventninger 3. Ubegrænsede muligheder for at låne til den risikofrie rente, r f. 4. Perfekt konkurrence, ingen skatter- og transaktionsomkostninger Som beskrevet i starten af dette afsnit skal porteføljerne være MV efficiente. Dette foreskriver at investorer foretrækker høje forventede afkast, men samtidig ønsker at minimere risiko. Enhver investor skal dermed være risikoavers. Investeringsbeslutninger skal træffes udelukkende ud fra det forventede afkast og standardafvigelsen på aktivet. Yderligere skal alle investorer have samme opfattelse af forventet afkast, risiko og korrelation af alle aktiverne på markedet. Dette er forudsætningen om homogene forventninger. Disse homogene forventninger er et krav for, at assymetrisk information ikke leder til uligevægt på markedet. Sharpe (1964) forudsætter ligeledes, at der eksisterer en fælles risikofri rente, r f,tilhvilken der kan lånes ubegrænset. Derudover forudsættes det, at der eksisterer perfekt konkurrence på markedet samt ingen skatter og- transaktionsomkostninger. Ved transaktionsomkostninger skal afkastet af ethvert aktiv vurderes ud fra, om investoren holder aktivet inden beslutningsperioden starter. En implikation som komplicerer modellen yderligere, og derfor ikke inddrages på baggrund af 8

15 den relative lille andel transaktionsomkostningerne udgør i en investeringsbeslutning. Fraværet af skatter sikrer indifferens i forhold til modtagelse af kapitalafkast kontra dividender. (Elton og Gruber, 1995) Et af kritikpunkterne af CAPM, og som Sharpe (1964) selv nævner, er at forudsætningerne er for restriktive og dermed urealistiske. Det afgørende spørgsmål er dog i hvor høj grad forudsætningerne forvrænger det billede, modellen giver af virkeligheden. Ud fra kritikken om at disse forudsætninger er for restriktive i forhold til virkligheden er Arbitrage Pricing Theory udviklet, som gennemgås i det følgende afsnit. 3.2 Arbitrage Pricing Theory Arbitrage Pricing Theory (APT) af Ross (1976) funderes på statistiske tankegange om, at bevægelsen på aktiemarkedet kan dekomponeres i mindre dele. I dette afsnit vil APT blive karakteriseret. Definitionen af APT leder naturligt videre til FF3F- og C4F modellen Den første del som APT dekomponerer markedsbevægelserne i, er den fælles markedsdel. Når markedet stiger gør de fleste individuelle aktier også. Dernæst er der delkomponenter, som gør, at grupper af aktier bevæger sig sammen, men som ikke påvirker hele markedet. Den sidste tilbageværende risiko er den usystematiske. Denne er karakteriseret ved at være virksomhedsspecifik, og en bevægelse i en sådan usystematisk risiko påvirker således kun enkeltaktier. I prisfastsættelsen af et aktiv, og derved det forventede afkast, foreskriver APT, at det kun er den systematiske risiko, der skal prisfastsættes. Den usystematiske del kan diversificeres væk af investorer og skal derfor ikke have tilknyttet en risikopræmie (Cochrane, 2001). Med andre ord skal risikopræmien på en aktie eller portefølje kun være afhængig af aktivets kovarians med de fælles faktorer Modellen APT foreskriver, at afkastet på en række aktiver, i, er bestemt af den lineære faktormodel: R i = a i + if 0 + " i,i=1,...,n (3.4) I(3.4)er i og f begge vektorer, defineret som: i =[ i1 i2... ik] 0, f =[f 1 f 2... f K ] 0. K er antallet af faktorer i modellen. Her ses sammenhængen imellem CAPM og APT ligeledes. CAPM er et tilfælde af APT, hvor den eneste faktor i f er markedsporteføljen. Afkastet R i kan ifølge APT beskrives ud fra en konstant, a i,envektoraffaktorer, f, sompåvirkerafkastetforaktivi igennem den såkaldte faktor loading ( i ). Idet i er identificeret for hvert aktiv, er effekten af ændringer i f forskellig på tværs af aktiver. " i er den usystematiske (og dermed diversificerbare) risiko, som er specifik for aktiv i. Ifølge APT eksisterer en sådan vektor f, som er fælles for alle aktiver. Eksponeringen for en af disse risikofaktorer indeholdt i f kommer derved til udtryk igennem.(ross,1976) Udtrykket i (3.4) kan simplificeres ved at demeane faktorene 1 samt antage at E(" i )=0. 1 Ved demeaning trækkes gennemsnittet fra faktorerne, så de alle får en forventet værdi på 0. 9

16 Dette giver følgende relation: R i = E(R i )+ i 0 f + " i,i=1,...,n, f f E(f) (3.5) Som det fremgår er konstanten i ligningen nu udtrykt ved E(R i ).Detteafkastudrykker nul-beta afkastet, og er fælles for alle aktiver. Faktorerne indeholdt i f skal fastsættes så den systematiske risiko i afkastet forklares. Det er her, at PCA analysen benyttes, idet faktorstrukturen i (3.5) ikke er kendt på forhånd. Det er nu klart at hver af disse faktorer udgør en risikoeksponering som bestemmer variationerne i aktiverne på markedet. Efter modellen er specificeret skal hver faktor, som ikke er virksomhedsspecifik, prissættes. Denne prissættelse er således fælles for alle aktiver, og udtrykkes ved risikopræmien. I ligevægt kan afkastet for et aktiv derved udtrykkes som: E(R i )= i,i=1,...,n (3.6) Formlen i (3.6) viser at det forventede afkast for aktiv i forklares af en konstant, 0, samt summen af koefficienterne fra (3.5) gange med vektoren. er således en repræsentation af prisen på faktorerne uden den risikoneutrale pris - denne ligger i konstanten fra regressionen i(3.5). Udformningen af APT er udgangspunktet for modellerne opbygget senere i afhandlingen. Økonometrien samt betydningen bag formlerne (3.5) og (3.6) vil således blive uddybet yderligere Forudsætninger for APT APT er baseret på teorien om the law of one price. Teorien foreskriver at to aktiver, som er ens, ikke kan sælges til forskellige priser. I situationer hvor to ens aktiver ikke sælges til samme pris kan en investor tilskære en portefølje, som giver positivt eller nul i afkast i alle perioder: et arbitrage. (Elton og Gruber, 1995) APT er i modsætning til CAPM ikke funderet i nytte-teorien(ross, 1971). Det er dog stadig et krav, at investorerne har homogene forventninger, og afkastene på markedet kan beskrives ud fra (3.5). Tankegangen bag APT er derfor, at der i (3.5) skal tilføjes faktorer indtil den uforklarede del, " i,harfølgendeegenskaber: E(" i " j )=0, for i6=j E(" i e f)=0 Fejlleddet skal med andre ord være ukorreleret over aktiver og tid samt ukorreleret med de demeanede faktorer. Den første betingelse sikrer, at al kovariation imellem aktiverne kan beskrives fra de fælles faktorer i f.denandenbetingelsesikrer,atderikkeopstårendogenitet imodellen.dettevilmedføre,atmodellenikkekompletbeskriverdetforventedeafkastudfra faktorerne specificeret i f. Ligeledes vil et brud på denne forudsætning give metodemæssige problemer ved estimation(verbeek, 2008). 10

17 3.2.3 Valg af faktorer APT bidrager til den underliggende økonomiske teori for multifaktor modeller, som beskriver aktivers afkast på markedet. Teorien er dog mindre konkret i forhold til at identificere disse faktorer. Egenskaberne ved faktorerne er diskuteret i det foregående afsnit. Det empiriske problem er herefter at finde den kombination af faktorer, som opfylder disse. Som beskrevet i afsnit 2 inddeles identificering af faktorerne i økonomiske og statistiske metoder. De økonomiske tilgange identificerer blandt andet makroøkonomiske og finansielle variable, som fanger den systematiske risiko i økonomien. Yderligere foreskriver de økonomiske tilgange, at specifikke karakteristika ved virksomheder kan forklare forskellen i forventet afkast. Her konstrueres faktorerne ved at danne porteføljer af aktier baseret på disse karakteristika. De statistiske metoder benytter faktor analyse eller PCA til at estimere faktorerne på baggrund af et sæt af variable. Disse faktorer er i empirien ofte konstrueret på afkast for en række aktiver på markedet (Lai og Xing, 2008). I forbindelse med konstruktionen af faktorer benytter denne afhandling i stedet et panel af makroøkonomiske variable. De to efterfølgende afsnit gennemgår FF3F model samt C4F model. Begge modeller benytter faktorer, konstrueret af afkastet på porteføljer dannet på specifikke karakteristika. 3.3 Fama French 3-faktor model Hvor CAPM er en enkelt-faktor model udvider APT med muligheden for multifaktor modeller. Det er herunder hensigten at fastlægge den underliggende struktur, som beskriver afkastet og de anormaliteter, som er fundet i empirien. Fama og French (1992) udvider CAPM med to ekstra faktorer. FF3F modellen følger APT tankegangen om, at afkastet beskrives igennem faktorstrukturen. Deres teori hviler på de fundne resultater beskrevet i afsnit 2, af Banz (1981) og Basu (1977). De argumenterer således for, at size og book-to-market equity begge er proxier for uidentificerede faktorer, som ikke fanges af markedsfaktoren i CAPM. Således inddrages effekten af size og bookto-market equity faktorerne som supplement til fra markeds risikofaktoren. Deres model defineres som: R i r f = a i + i (R M r f )+s i SMB + h i HML + " i,i=1,...,n (3.7) I(3.7)udtrykkesexcessreturnpåaktivi, somenfunktionafikkeblotmarkedsporteføljens excess return, men også af de to faktorer SMB og HML. SMB og HML konstrueres ved hjælp af det gennemsnitlige afkast for 6 porteføljer sorteret på størrelse og book-to-market equity. Aktierne splittes op i to grupper baseret på deres størrelser. De samme aktier opdeles yderligere i tre grupper i forhold til book-to-market equity. Aktier i den største size gruppe defineres ved big, B, og i det mindste ved small, S. Ligeledes defineres de tre book-to-market grupper som high, H, medium, M, og low, L. Ud fra de to opdelinger inddeles aktierne i de 6 porteføljer: S/L, S/M, S/H, B/L, B/M og B/H. Afkastet på porteføljerne registreres for det næste år, hvorefter aktiernes inddeling 11

18 foretages på ny 2 (Fama og French, 1992). SMB og HML udregnes nu som: SMB =1/3 (S/L + S/M + S/H) 1/3 (B/L + B/M + B/H) (3.8) HML =1/2 (S/H + B/H) 1/2 (S/L + B/L) (3.9) Heraf fremgår det, at SMB udregnes som forskellen imellem det gennemsnitlige afkast på de tre small-size og de tre big-size porteføljer. HML udregnes som forskellen imellem det gennemsnitlige afkast på de to high book-to-market og de to low book-to-market porteføljer. Det fremgår tydeligt af disse to mål for small-minus-big effekten og high-minus-low, at de er konstrueret for at minimere effekten i SMB fra book-to-market og i HML for size. (3.7) kan også repræsenteres i forventet afkast-beta repræsentation: E(R i )=E(R 0 )+ i r + s i s + h i h,i=1,...,n (3.10) Hvor E(R 0 ) er det forventede afkast på en zero-beta portefølje, i, s i og h i er koefficienterne fra tidsserieregressionen i (3.7). i udtrykker igen prisen på disse faktorer analogt med repræsentationen i APT. Således fremgår det, at SMB og HML udtrykker markedsstørrelsen af size og value effekten. 3.4 Carharts 4-faktor model Carhart (1997) udvider FF3F modellen med momentum (MOM) faktoren. R i r f = i + i (R M r f )+s i SMB + h i HML + p i MOM + " i,i=1,...,n (3.11) Denne faktor er inddraget for at tage højde for den uforklarede variation i forventet afkast på porteføljer inddelt efter short-term momentum. Faktoren udregnes som forskellen imellem to porteføljers gennemsnitlige månedlige afkast. Porteføljerne dannes på basis af det sidste års performance. Der tages udgangspunkt i de 30% bedste- og dårligst præsterende aktiver over en 11 måneders periode, som er lagget en måned. Forskellen i afkast for disse to porteføljer i den forrige måned udgør således MOM faktoren. Variationer i faktoren udtrykker perioder hvor short-term momentum i højere hhv. lavere grad skaber variationer iafkastet.momentumudregnessåledessom: MOM = 1/2(S/H + B/H) 1/2(S/L + B/L) (3.12) Hvor S stadig står får small market equity og B for big market equity. H står for high prior return og L for low prior return, og er således porteføljer af virksomheder, der i t 2 til t 12 har placeret sig blandt de øverste 30% og nederste 30% vurderet på afkast. Ligesom SMB og HML viser MOM således størrelse af Momentum effekten på markedet. år. 2 For at tage højde for survivor bias, inddrages kun aktier, der har været inkluderet i COMPUSTAT i to 12

19 3.5 Kritik af faktormodellerne APT frameworkets klare fordel er, at kunne tilføje faktorer til markedsporteføljen og give en bedre forklaring af det forventede afkast. Høj in-sample forklaringsgrad er ikke det eneste succeskriterie for en faktormodel. Modellens faktorstruktur skal kunne forklare den bagvedliggende økonomiske intuition, og være i stand til at performe lige så godt out of sample som in-sample. Fama (1991) diskuterer problematikken omkring multifaktormodellerne. Han påpeger at variable som modellerne bygger på, ex post, beskriver cross section afkast, det er dermed ikke overraskende at modellerne giver en god forklaring af eget data. Dette understreger dermed vigtigheden for en god model, at den bagvedliggende økonomiske intuition af faktorerne, er god. Tre faktor modellen af Fama og French (1993) kritiseres netop for den manglende økonomisk intuition bag deres faktorer. De argumenterer selv for at faktorerne er såkaldte mimicking portfolios, som imiterer de underliggende makroøkonomiske strukturer. Det faktum at faktorerne imiterer makroøkonomiske strukturer, taler for modeller som FF3F modellen, da imiterende porteføljer består af variable som er målt mere korrekt og har højere frekvens af data i forhold til makroøkonomiske variable (Cochrane, 2005). Fordelen ved imiterende modeller leder dermed fokus på de makroøkonomiske variable, og de faktorer der bliver estimeret af disse. De makroøkonomiske faktorer kan have det problem, at de er målt med fejl og kan ikke konstrueres efter stikprøven, som SMB og HML gør. Sammenligninger på baggrund af forklaringsgrader på modeller med makroøkonomiske faktorer og imiterende porteføljer skal dermed tages med forbehold. Cochrane (2005) mener dog, at de makroøkonomiske faktorer skal medtages for at afdække de egentlige underliggende sammenhænge, som HML og SMB dækker over. 13

20 4 Estimation IdenempiriskedelafafhandlingenbenyttesFama-MacBethtwo-stageregressionstilat estimere CAPM, FF3F, C4F samt modellerne baseret på makroøkonomiske faktorer. Denne estimationsmetode beskrives af Fama og MacBeth (1973), og baseres på henholdsvis first og second pass regressioner 3.Metodendifferentierersigikkefraalmindeligetidsserieog cross section regressioner i den forstand, at den giver anderledes estimater på parametrerne. Fama-MacBeth giver derimod mere korrekte standard errors, som tager højde for den korrelation, der eksisterer cross-section mellem afkastene. I det følgende gennemgås teorien bag Fama-MacBeth regressionerne. Yderligere gennemgås GMM-frameworket, som i afhandlingen benyttes til at regne standard errors. Ved GMM korrigeres der for de simplificerende forudsætninger, som implicit anlægges ved Fama-MacBeth. 4.1 Tidsserie og Cross-Section regressioner Itidsserieregressionerneregresseresexcessreturnforhverporteføljepåenkonstant,a, og faktorerne ved ordinary least squares (OLS) (Cochrane, 2001). R it = a i + if 0 t + " it (4.1) Disse estimationer kaldes first-pass regressions og beskrives af Black et al. (1972). Regressionerne estimerer effekterne af ændringer i faktorerne på hver observerede portefølje. Således ville fortolkningen i CAPM tilfældet være, at ændringer i risikopræmien på markedsporteføljen rammer excess return på portefølje i igennem. Forudsætningerne der skal være opfyldt, for at OLS giver en god approksimation til den ukendte populationsvektor summeres af Gauss-Markov. Disse indebærer blandt andet at " N(0, 2 I N ).Medandre ord skal " it være i.i.d. 4 og normalfordelte. Disse forudsætninger er krævet for efficiens af estimatoren, men er ikke et krav for en unbiased estimator. Implikationerne af brud på denne forudsætning er tab af efficiens, hvilket betyder, at de udregnede standard errors ikke er korrekte (Verbeek, 2008). a i er en firma- eller portefølje-specifik nul- konstant. Denne konstant udtrykker det forventede afkast for en portefølje, der ikke samvarierer med faktorerne i modellen. I CAPM tilfældet er forventningen til modellen E(R i )= i E(f). Detteudtrykker, at det forventede afkast er lineært i betaerne. Yderligere fremgår det at forventingen E(a i )=0. Altså skal den forventede værdi af konstanterne være lig med 0, hvilket svarer til, at der ikke eksisterer pricing errors i tidsserie regressionerne. Efter at have estimeret tidsserie regressionerne foreslår Black et al. (1972) at udregne risikopræmien for faktoren som E(f). Enstor for en specifik faktors indikerer, at det forventede afkast for aktiver eller porteføljer med store er er højt. Omvendt, hvis en faktor er prissat lavt, udtrykt ved en lav,hardetmindrebetydningforenporteføljes afkast, om eksponeringen overfor den pågældende faktor er høj eller lav. erne udtrykker således en porteføljes eksponering overfor faktorerne, og udtrykker markedsprisen for disse faktorer. 3 First og second pass regressioner kaldes også for tidsserie- og cross section regressioner. 4 Uafhængige og identisk fordelte. 14

21 Denne metode kan benyttes, såfremt faktorerne er tradede porteføljer. I dette tilfælde forventes det at a i =0,svarendetilpricingerrorsitidsserieregressionen.Nårfaktorerneikke er tradede porteføljer, kan cross-section regressionerne benyttes. Her ændres fortolkningen af a i i tidsserie regressionen sig dog. I tilfældet hvor faktorerne ikke er tradede porteføljer, som ved benyttelsen af makroøkonomiske variable, skal pricing errors findes i cross-section regressionen: R i = 0 ˆi + i (4.2) I(4.2)erpricingerrorsligmedresidualet i,hvilketsvarertiltidsseriegennemsnittet af de sande residualer. Tilføjes der en konstant i regressionen, udtrykker den nul-beta afkastet over den risikofri rente (Goyal, 2012). Porteføljer eller aktiver som ikke kovarierer med faktorerne får således dette afkast i tillæg til den risikofrie rente. Sammenhængen imellem tidsserie regressionen og cross section regressionerne er illustreret i figur 4.1. Figur 4.1: First og second pass regressions (a) Tidsserie regression (b) Cross Section regression Ri Ri R M i Her fremgår det hvorledes hver faktor i first pass regressionen regresseres på excess return af hver portefølje. Konstanten i denne regression skal være 0, hvorfor regressionslinjen skærer i origo. Hældningen på linjen er for den specifikke faktor, som samles i en vektor med 0 erne fra de andre porteføljer. Herefter regresseres disse 0 er på det gennemsnitlige excess return for hver portefølje eller aktiv. Koefficienten for disse estimerede 0 er er,som illustreres i figur 4.1b. Antagelsen at linjen skal skære i origo holder ligeledes for cross section regressionen. En konstant forskellig fra 0 implicerer, at der er mulighed for arbitrage, ved at konstruere en portefølje af et kort risikofrit aktiv og et langt nul-beta aktiv. I CAPM sammenhæng er tolkningen af denne konstant, at den udgør den risikofri rente over den risikofri rente. Med andre ord vil et aktiv med en beta på 0, såfremt 0 > 0, være risikofri i porteføljen, samtidig med at den bidrager til et højere forventet afkast. 15

22 4.1.1 Fama-MacBeth Fama-MacBeth regressionerne (Fama og MacBeth, 1973) blev blandt andet benyttet af Fama og French (1992) til at estimere deres tre faktor model, såvel som CAPM. Metoden bygger videre på tidsserie og cross-section regressionerne fra foregående afsnit, men er udviklet for at imødekomme cross section korrelation, som bryder med Gauss-Markov forudsætningen om, at " skal være i.i.d. Først estimeres N tidsserieregressioner; én for hver cross-section enhed. Dernæst estimeres T Cross-section regressioner; en for hvert aktiv/portefølje. Afkastet for hver portefølje på tidspunkt t regresseres altså på de estimerede ˆ er. Herefter foreslår Fama og MacBeth (1973) at estimere og i som gennemsnittet af estimaterne fra cross section regressionen: ˆ = 1 T TX ˆt, t=1 ˆ i = 1 T TX t=1 ˆ it Estimatet på koefficienterne er de samme som under almindelig cross-section regression, men standard errors vil derimod være biased, hvis der eksisterer cross section korrelation. Hver cross section regression er en regression af de estimerede 0 er fra (4.1) på cross sectionen af afkastet på tidspunkt t. Dekvadreredestandarderrorsudregnessom: 2 (ˆ) = 1 T 2 TX (ˆt t=1 ˆ), 2 (ˆ i )= 1 T 2 TX (ˆ it ˆ i ) t=1 Disse udregnede standard errors tager højde for korrelationen imellem de forskellige cross sections. Vi står dog stadig tilbage med forudsætningen fra Gauss-Markov; nemlig at residualerne skal være i.i.d. og normalfordelte (Goyal, 2012). For at standard errors og t-statistikkerne under Fama-MacBeth regressionen er valide, skal restriktionerne for cross section regressionen være opfyldt. Det betyder med andre ord, at asset pricing modellen er korrekt specificeret (Jagannathan et al., 2010) Errors in Variables I(4.2)regresseres R på ˆ erne som i sig selv er estimater fra (4.1). Med andre ord er ˆ estimater på de sande er, og er derfor målt med fejl. Ved at benytte disse i cross section regressionen opstår et errors-in-variables (EIV) problem, hvilket kan have betydning for estimaterne af, selv asymptotisk (Cochrane, 2001). Det der afgør, hvorvidt EIV skaber endogenitetsproblemer i cross section regressionerne ligger i egenskaberne af de sande er og den fejl som ˆ estimeres med. ˆ estimeres som ˆi = i + u i,hvoru i udtrykker den fejl estimeres med. Når E( u i )=0eksistererdetsåkaldte Classical Errors in Variables problem, hvilket giver biased estimater samt forkerte standard errors. Ved det modsatte tilfælde, hvor E( ˆ u i )=0vil estimaterne være konsistente men inefficiente. I tilfælde af positiv korrelation vil standardfejlene oftest være biased nedad (Cochrane, 2001; Verbeek, 2008). Blume (1970) viser at EIV problemet forbundet med disse regressioner kan være langt mindre ved test på porteføljer frem for enkelte aktiver. Derfor benyttes porteføljer frem for enkelt aktiver i denne afhandling. 16

23 4.2 Generalized Method of Moments Metoderne der er beskrevet indtil videre kræver som beskrevet, at fejlleddene er i.i.d. over tid samt over aktiver. Problemer med dette udtrykkes ved heteroskedasticitet og seriekorrelation, og kan give biased estimater af fejlleddene. Konklusionerne vedrørende signifikans af koefficienterne vil således ikke være valide. Shanken (1992) præsenterer en metode til at justere standard errors for det faktum, at ˆ måles med fejl. Derudover viser Jagannathan og Wang (1998) en korrektion af kovariansmatricen under heteroskedasticitet. Cochrane (2001) anvender GMM frameworket, beskrevet af Hansen (1982), til at estimere standard errors. Andre forfattere såsom Shanken og Zhou (2007) og Goyal (2012), beskriver også anvendelsen af GMM i forbindelse med udledning af standard errors, og bygger videre på arbejdet af Cochrane (2001). GMM estimerer parameterne ved at minimerer stikprøveanalogerne af momenterne, så MacBeth, estimerer og simultant, hvorfor man undgår problemer med EIV ved two pass regressionen. På denne måde opnås mere korrekte standard errors. Estimatoren kræver ikke at fejlleddene er i.i.d., som det er tilfældet ved anvendelse af OLS. GMM estimatoren er endvidere robust i forhold til heteroskedasticitet og seriekorrelation i både residualerne og faktorerne. Der er således ikke behov for stærke fordelingsmæssige forudsætninger ved anvendelse af GMM (Cochrane, 2001; Goyal, 2012; Shanken og Zhou, 2007). Momentbetingelserne til cross section estimation af lineære faktomodeller er: R t a f t E(" g T ( ) =E 6 4 (R t a f t ) ft = t ) E(" t ft) = N NK (4.3) E( ) R t 0 N 1 de kommer så tæt på nul som muligt. Ved at gøre dette udleder GMM metoden en fordeling for estimaterne. Fordelen ved GMM, er at den i modsætning til for eksempel Fama- Idetoførstemomentbetingelsererderligemangeubekendteparametresommomentbetingelser. Systemet siges derfor at være eksakt identificeret. a og er estimaterne fra tidsserie regressionen i (4.1). Den sidste momentbetingelse er pricing errors fra (4.2). Det er generelt denne momentbetingelse, som giver en overidentificeret model, da der opstår N ekstra momenter i form af E ( ) =0,mensderkunskalestimeresK parametre. De to første momenter udtrykker, at den forventede værdi af fejlleddet i tidsserieregressionen skal være 0 samt ukorrelleret med faktorerne. Det sidste moment stammer fra cross section regressionen og fortæller, at forventningen til pricing errors ligeledes skal være 0. Parameter vektoren som angiver de ubekendte parametrer er defineret som: 0 =[a ] (4.4) Dette er koefficienterne, der estimeres i tidsserie og cross section regressionerne. a og er henholdsvis konstanten og koefficienterne fra (4.1). er risikopræmien fra (4.2). 17