(studienummer) (underskrift) (bord nr)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "(studienummer) (underskrift) (bord nr)"

Transkript

1 Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 20 sider. Skriftlig prøve: 26. maj 2011 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer) (underskrift) (bord nr) Opgavesættet består af 30 spørgsmål af multiple choice typen fordelt på 11 opgaver. Besvarelserne af multiple choice spørgsmålene anføres ved at udfylde skemaet på forsiden (denne side), med numrene på de svarmuligheder, du mener er de korrekte. Et forkert svar kan rettes ved at sværte det forkerte svar over og anføre det rigtige i stedet. Er der tvivl om meningen med en rettelse, eller er der anført flere end ét nummer ved et spørgsmål, betragtes spørgsmålet som ubesvaret. Kladde, mellemregninger eller andet tillægges ingen betydning, kun svarene i tabellen tæller. Der gives 5 point for et korrekt multiple choice svar og 1 for et ukorrekt svar. Ubesvarede spørgsmål eller et 6-tal (svarende til ved ikke ) giver 0 point. Det antal point, der kræves for, at et sæt anses for tilfredstillende besvaret, afgøres endeligt ved censureringen af sættene. Den endelige besvarelse af opgaverne gøres ved at udfylde nedenstående skema. Aflever KUN skemaet! Opgave I.1 I.2 I.3 I.4 II.1 II.2 II.3 II.4 II.5 III.1 Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar Opgave III.2 III.3 IV.1 IV.2 V.1 V.2 VI.1 VI.2 VII.1 VIII.1 Spørgsmål (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) Svar Opgave VIII.2 IX.1 IX.2 X.1 X.2 X.3 X.4 XI.1 XI.2 XI.3 Spørgsmål (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) Svar Husk at forsyne opgavesættet med dit nummer. Sættets sidste side er nr 20; blad lige om og se, at den er der. Fortsæt på side 2 1

2 Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder er meningsfulde. Opgave I For oliedyser antages det, at dysekapaciteten ved et givet forstøvningstryk kan skrives som: P 2 Q 2 = Q 1, P 1 hvor Q 1 er referencekapaciteten ved trykket P 1, og Q 2 er kapaciteten ved trykket P 2. For at verificere formlen udføres der et forsøg, hvor kapaciteten ved 14 bar findes som en funktion af kapaciteten ved 10 bar (referencetrykket). Følgende værdier er fundet: Kapaciteten Q 1 (kg/h) ved trykket 10 bar Kapaciteten Q 2 (kg/h) ved trykket 14 bar Følgende beregningsstørrelser kan bruges: (x = Q 1 og y = Q 2 ) Følgende R-kode blev kørt: x = 2.635, ȳ = 3.115, S xx = , S yy = , S xy = Q1=c(1.46,1.66,1.87,2.11,2.37,2.67,2.94,3.31,3.72,4.24) Q2=c(1.76,1.96,2.24,2.46,2.80,3.11,3.46,3.95,4.42,4.99) summary(lm(q2~q1)) Det gav følgende output: Call: lm(formula = Q2 ~ Q1) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) Q e-14 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 8 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: 1.074e+04 on 1 and 8 DF, p-value: 8.403e-14 Fortsæt på side 3 2

3 Spørgsmål I.1 (1): Hvad er forklaringsgraden og den estimerede (residual)spredning (s e )? 1 Forklaringsgrad= og spredning= Forklaringsgrad= og spredning= Forklaringsgrad= og spredning= Forklaringsgrad= og spredning= Forklaringsgrad= og spredning= Spørgsmål I.2 (2): Stemmer data med hypotesen om, at hældningen iht. ovenstående antagelse bør være 14/10 = ? (Både svar og argument skal være i orden) 1 Ja, idet 95%-konfidensintervallet for hældningen indeholder Ja, idet den relevante P-værdi er Nej, idet den relevante P-værdi er Ja, idet den relevante P-værdi er Nej, idet 95%-konfidensintervallet for afskæringen ikke indeholder Spørgsmål I.3 (3): For en tilfældig dyse med kapaciteten 4.45 kg/h ved 10 bar, måles kapaciteten ved 14 bar. Inden for hvilke grænser må denne måling formodes at ligge med 99% sikkerhed: ± s e 1 + 1/10 + ( ) ± s e 1/10 + ( ) ± s e 1 + 1/10 + ( ) ± s e 1/10 + ( ) ± s e 1/10 + ( ) Fortsæt på side 4 3

4 Spørgsmål I.4 (4): Antag at P 1 = 10 bar har en målefejl på σ 1 = 0.01 og at P 2 = 14 bar har en målefejl på σ 2 = Hvad er da omtrentlig σ P2 /P 1, målefejlen på P 2 /P 1 = 1.4? (Som hjælp kan evt. bruges at den afledte af funktionen 1/x er 1/x 2 ) / /10000 = ( )/2 = ( )/2 = ( )/24 = / /100 = Fortsæt på side 5 4

5 Opgave II I en forbrugerundersøgelse foretaget af en avis, blev der indkøbt 20 forskellige dagligvarer i en butik. Man fandt uoverensstemmelse mellem prisen på kassebonen og prisen på hylden for 6 af de indkøbte varer. Spørgsmål II.1 (5): På samme tidspunkt køber en kunde 3 tilfældige (forskellige) varer inden for gruppen på de 20 varer, i den aktuelle butik. Sandsynligheden for, at der ingen uoverensstemmelser er på denne kundens kassebon er: Spørgsmål II.2 (6): Lad X beskrive antal uoverensstemmelser ved køb af 3 tilfældige (forskellige) varer inden for gruppen på de 20 varer, i butikken. Hvad er middelværdi og varians for X? 1 µ X = 0.56 og σx 2 = µ X = 0.90 og σx 2 = µ X = 2.10 og σx 2 = µ X = 0.56 og σx 2 = µ X = 0.90 og σx 2 = 0.56 Fortsæt på side 6 5

6 Spørgsmål II.3 (7): En forbruger postulerer, at der generelt er uoverensstemmelser på 25% af priserne ved indkøb i den pågældende butik. Hvis forbrugerens postulat holder, er sandsynligheden for, at der ved indkøb af 20 forskellige varer er uoverensstemmelser på netop 6 varer: Fortsæt på side 7 6

7 Spørgsmål II.4 (8): Butikskædens ledelse beklager de mange fejl i den aktuelle butik og angiver, at kædens kvalitetsmål er, at der højst må være 5% af varerne, hvor der er problemer med uoverensstemmelser. I en ny undersøgelse, i den aktuelle butik findes der 25 uoverensstemmelser mellem kassebon og pris på hylden, i alt 400 forskellige varer indgår i undersøgelsen. For disse data udføres følgende test: H 0 : p = 0.05 H 1 : p > 0.05 På et 5% signifikansniveau bliver resultatet af denne undersøgelse: argument skal være i orden) (Både konklusion og 1 Butikskædens målsætning kan ikke påvises uopfyldt, idet P-værdien = P (X 25) = Butikskædens målsætning kan ikke påvises uopfyldt, idet P-værdien = P (X < 25) = Butikskædens målsætning er ikke opfyldt, idet P-værdien = P (X 25) = Butikskædens målsætning kan ikke påvises uopfyldt, idet P-værdien = P (X > 25) = Butikskædens målsætning er ikke opfyldt, idet P-værdien= P (X 25) = 0.04 Spørgsmål II.5 (9): Der planlægges en undersøgelse i en anden butik. Man forventer, at niveauet for uoverenstemmelser ligger på omtrent 5%, men man vil gerne kende denne andel præcist, eller i hvert fald så præcist, at et 95%-konfidensinterval for andelen vil være omkring ±1%. Hvor mange varer skal man undersøge for at opnå en præcision på dette niveau? 1 Omtrent 0.25 (1.96/0.05) 2 = Omtrent (1.96/0.01) 2 = Omtrent (1.96/0.05) 2 = Omtrent ( /0.05) 2 = Omtrent ( /0.01) 2 = Fortsæt på side 8 7

8 Opgave III For et apparat til hjemmemåling af blodtryk ønskes nøjagtigheden undersøgt. Derfor foretages gentagne målinger af blodtrykket på en forsøgsperson, med et tidsinterval på 5 min, og under så ens omstændigheder som muligt. Følgende data er målt: Måling nr Systolisk tryk i mmhg Diastolisk tryk i mmhg Data antages normalfordelt, og parameterestimaterne for de to blodtryksmålinger bliver: ( x S ; s S ) = (139.21; 4.58) ( x D ; s D ) = (91.43; 3.61) I brugermanualen er det angivet at spredningen på en blodtryksmåling er 3 mmhg, hvorfor følgende test ønskes udført: H 0 : σ 2 = 3 2 H 1 : σ 2 > 3 2 Spørgsmål III.1 (10): Hvad bliver den relevante teststørrelse, her kaldet Q, ved målingen af det systoliske blodtryk? 1 Q = = Q = = 33 3 Q = = 30 4 Q = = Q = = 8.4 Fortsæt på side 9 8

9 Spørgsmål bliver: III.2 (11): Et 95% konfidensinterval for variansen på det diastoliske blodtryk 1 [ ] ; [ ] ; [ ] ; [ ] ; [ ] ; Spørgsmål III.3 (12): Følgende bootstrap-procedure blev udført i R for målingerne af det systoliske blodtyk: x=c(143,134,138,138,135,131,135,139,141,143,142,141,149,140) k=10000 mybootstrapsamples=replicate(k,sample(x,replace=true)) mybootstrapmeans=apply(mysamples,2,mean) Og otte forskellige fraktiler for bootstrapfordelingen blev: >quantile(mybootstrapmeans,c(0.005,0.01,0.025,0.05,0.95,0.975,0.99,0.995)) 0.5% 1% 2.5% 5% 95% 97.5% 99% 99.5% Et 99% konfidensinterval for middelværdien af det systoliske blodtryk bliver: (baseret på den viste bootstrapfordeling) 1 [ ; ] 2 [ ; ] 3 [ ; ] 4 [ ; ] 5 [ ; ] Fortsæt på side 10 9

10 Opgave IV Et firma, der udvikler elektroniske komponenter, skal anvende nogle batterier til de færdige apparater. For at vælge de korrekte batterier indkøbes forskellige batterier med den ønskede spænding. For at få et overblik udføres en grov test hvor batteriernes levetid (opdelt i fire klasser) opstilles i relation til prisen (opdelt i tre klasser). Følgende data er fundet: Pris Lav Middel Høj 150 timer <Levetid 6.7% 4% 13.3% 125 timer<levetid 150 timer 8% 9.3% 13.3% 100 timer <Levetid 125 timer 9.3% 8% 4% Levetid 100 timer 9.3% 12% 2.7% I alt 75 batterier indgik i overstående undersøgelse (og procenterne i tabellen summer i princippet til kun afrunding gør at det ikke helt er tilfældet). Firmaet ønsker at undersøge om der er uafhængighed mellem levetid og pris. Til belysning af spørgsmålet anvendes en antalstabel og en χ 2 analyse. Spørgsmål IV.1 (13): For at foretage analysen skal det forventede antal pr. celle beregnes. For Levetid >150 timer og pris Høj fås: 1 e 13 = = e 13 = = e 13 = = 8 4 e 13 = = 6 5 e 13 = = 16 Spørgsmål IV.2 (14): Med signifikansniveau 5% fås den kritiske værdi for hypotesen om uafhængighed (ingen relation mellem levetid og pris) som: 1 χ (5) = χ (6) = χ (6) = χ (3) = F 0.05 (2, 3) = 9.55 Fortsæt på side 11 10

11 Opgave V Levetiden for batterier indkøbt hos to forskellige producenter ønskes undersøgt. Levetiden for et antal batterier fra hver producent registreres og følgende data fås: Producent A: n A = 15 ( x A, s A ) = (122.4; 30.5) Producent B: n B = 10 ( x B, s B ) = (145.9; 22.3) Data antages at følge en normalfordeling i hver gruppe. Spørgsmål V.1 (15): Det undersøges først, om variansen for de to grupper kan antages ens. Der anvendes et F-test på 10% signifikansniveau og følgende kan konkluderes: (Både konklusion og argument skal være i orden) 1 Acceptere H 0, idet = 1.87 < F 0.05 (15, 10) 2 Acceptere H 0, idet = 1.87 < F 0.05 (14, 9) 3 Acceptere H 0, idet = 1.37 < F 0.05(15, 10) 4 Forkaste H 0, idet = 1.37 > F 0.025(14, 9) 5 Forkaste H 0, idet = 1.87 > F 0.05 (9, 14) Spørgsmål V.2 (16): Hvis man antager, at de to producenter har samme varians, hvad bliver da teststørrelse og konklusion på hypotesen µ A = µ B : (Både t-værdi og konklusion skal være i orden) 1 t = 2.22, H 0 forkastes på et 5% signifikansniveau 2 t = 2.09, H 0 forkastes på et 5% signifikansniveau 3 t = 2.09, H 0 forkastes på et 1% signifikansniveau 4 t = 2.22, H 0 accepteres på et 1% signifikansniveau 5 t = 2.22, H 0 accepteres på et 5% signifikansniveau Fortsæt på side 12 11

12 Opgave VI Levetiden for batterier fra 4 forskellige producenter ønskes sammenlignet. Der udføres et forsøg, hvor 25 batterier fra hver af 4 forskellige producenter testes. Levetiden for hvert enkelt batteri er bestemt, og følgende sum data er fundet: Antal Gennemsnits levetid Spredning s i i batterier ȳ i i timer i timer 25 j=1 (y ij ȳ i ) 2 Producent A Producent B Producent C Producent D I nedenstående tabel for en sædvanlig envejs variansanalyse er nogle af de fundne resultater anført: (og vi antager således at data følger en normalfordeling inden for hver gruppe) DF SS MS F Producenter 3 A C 5.5 Fejl 96 B Total Spørgsmål VI.1 (17): De omtrentlige værdier for A,B og C bliver: 1 A = , B = 18300, C = A = 19300, B = , C = A = 18300, B = , C = A = 19300, B = , C = A = 18300, B = , C = 6100 Spørgsmål VI.2 (18): Resultatet af hypotesetestet for om der er samme middellevetid for de 4 producenters batterier bliver: (Både konklusion og begrundelse skal være i orden) 1 H 0 forkastes på et 5% signifikansniveau, idet 5.5 < F 0.05 (96,3) = H 0 forkastes på et 0.1% signifikansniveau, idet 5.5 < F (3,96) = H 0 forkastes på et 5% signifikansniveau, idet 5.5 > F 0.05 (3,96) = H 0 accepteres på et 5% signifikansniveau, idet 5.5 < F 0.05 (96,3) = H 0 accepteres på et 5% signifikansniveau, idet 5.5 > F 0.05 (3,96) = 2.70 Fortsæt på side 13 12

13 Opgave VII En PC-bruger har registreret, at sandsynligheden for at der ikke kommer nogen spam mails et givet døgn er 5%. (P (X = 0) = 0.05, hvor X beskriver antal spam mails pr. døgn). Antallet af spam mails pr. døgn antages poisson fordelt. Spørgsmål VII.1 (19): Det forventede antal spam mails pr. døgn, samt sandsynligheden for at der et givet døgn kommer mere end 5 spam mails er: 1 µ = 3.0 og P (X > 5) = µ = 5.4 og P (X > 5) = µ = 3.0 og P (X > 5) = µ = 3.0 og P (X > 5) = µ = 5.4 og P (X > 5) = Fortsæt på side 14 13

14 Opgave VIII Lad X 1 beskrive vægten af en tilfældig fyldt colaflaske med 0.25 l. Lad X 2 beskrive vægten af en tilfældig tom colaflaske. Det antages, at disse variable er normalfordelt og uafhængige med middelværdi og varians som angivet: X 1 : (µ X1 ; σ 2 X 1 ) = (626.9g; g 2 ) og X 2 : (µ X2 ; σ 2 X 2 ) = (364.7g; g 2 ) Spørgsmål VIII.1 (20): Sandsynligheden for at vægten af en tilfældig fyldt flaske cola overstiger vægten af en tilfældig tom flaske med mere end 265 g er: 1 P ((X 1 X 2 ) > 265) = P ((X 1 X 2 ) > 265) = P ((X 1 X 2 ) > 265) = P ((X 1 X 2 ) > 265) = P ((X 1 X 2 ) > 265) = Spørgsmål VIII.2 (21): Colaerne sælges i kasser med 24 styk. Det antages at kassens vægt er 1500 g og der ses bort fra variationen på denne vægt. Sandsynligheden for at vægten af en tilfældig kasse med fyldte colaer er under g bliver: Fortsæt på side 15 14

15 Opgave IX Data i nedenstående tabel stammer fra en undersøgelse hvor 14 patienters systoliske blodtryk blev målt (i mmhg) før behandling med et præparat, og 1 måned efter behandlingens start. Patient nr Blodtryk før behandling Blodtryk efter behandling Spørgsmål IX.1 (22): Et 95% konfidensinterval for ændringen i blodtryk bliver: ± = [3.20; 11.80] ± = [2.99; 12.01] ± = [2.76; 12.24] ± = [ 3.99; 18.99] ± = [ 3.45; 18.45] Spørgsmål IX.2 (23): Der planlægges en undersøgelse for at bestemme middelblodtrykket for denne type patienter før de modtager behandling. Man ønsker et 95%-konfidensinterval med en bredde på omkring 2 mmhg. Det kan antages at σ = 16 mmhg. Hvor mange patienter skal indgå i undersøgelsen for at opnå en præcision af denne størrelse? 1 Omtrent Omtrent Omtrent Omtrent Omtrent Fortsæt på side 16 15

16 Opgave X I en nydesignet ventil er materialets elasticitetsmodul af betydning for funktionen. For at sammenligne elasticitetsmodulet for 3 forskellige messinglegeringer, indkøbes prøveemner fra hver legering hos 5 forskellige producenter. Måleresultaterne i nedenstående tabel, angiver det målte elasticitetsmodul i GPa: Messinglegering Rækkesum M1 M2 M3 Producent A Producent B Producent C Producent D Producent E Søjlesum Den beregnede ANOVA-tabel er angivet nedenfor, idet nogle af de beregnede værdier dog er erstattet af bogstaver: Df SS MS F P-værdi Messinglegering A Producent B D E Fejl C Spørgsmål X.1 (24): Hvad er A, B og C? 1 A=3, B=5 og C=6 2 A=2, B=3 og C=14 3 A=2, B=4 og C=14 4 A=2, B=4 og C=8 5 A=3, B=5 og C=8 Fortsæt på side 17 16

17 Spørgsmål X.2 (25): Hvad er de omtrentlige værdier for D og E? 1 D=727.8 og E= D=727.8 og E= D=727.8 og E= D=323.3 og E= D=323.3 og E=161.7 Spørgsmål X.3 (26): Konklusionen på analysen bliver: 1 På et 5% signifikansniveau har valg af messinglegering betydning, mens valg af producent er uden betydning 2 På et 5% signifikansniveau er valg af messinglegering uden betydning, mens valg af producent har betydning 3 På et 1% signifikansniveau er både valg af messinglegering og valg af producent uden betydning 4 På et 1% signifikansniveau er valg af messinglegering uden betydning, mens valg af producent har betydning 5 På et 1% signifikansniveau har valg af messinglegering betydning, mens valg af producent er uden betydning Spørgsmål X.4 (27): Betragt kun tallene for messinglegering M1. Median og øvre kvartil for disse bliver: 1 Median = 82.5 og øvre kvartil= Median = 83.1 og øvre kvartil= Median = og øvre kvartil= Median = og øvre kvartil= Median = 82.5 og øvre kvartil=95.2 Fortsæt på side 18 17

18 Opgave XI En fast-food kæde bruger til indpakning af deres burgere et biologisk nedbrydeligt materiale. Varmeledningsevnen for materialet er en væsentlig egenskab. Data i nedenstående tabel stammer fra et forsøg, hvor varmeledningsevnen er målt som en funktion af materialets densitet. Det antages, at sammenhængen kan beskrives ved en simpel lineær model. Følgende værdier er målt: Produktets densitet (g/cm 3 ) Varmeledningsevne (W/mK) Følgende R-kode blev kørt: x=c(.175,.220,.225,.226,.250,.277) y=c(.0480,.0525,.0540,.0535,.0570,.0610) summary(lm(y~x)) Det gav følgende output: Call: lm(formula = y ~ x) Residuals: e e e e e e-04 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) *** x e-05 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 4 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: 290 on 1 and 4 DF, p-value: 6.973e-05 Spørgsmål XI.1 (28): Hvad er korrelationen mellem densitet og varmeledningsevne? Fortsæt på side 19 18

19 Spørgsmål XI.2 (29): Hvilket udsagn er det eneste korrekte herunder? 1 Residualspredningen er signifikant mindre end nul 2 Hældningen kan ikke accepteres til at være 0, mens afskæringen godt kan 3 Hældningen kan godt accepteres til at være 0, mens afskæringen ikke kan 4 Hverken hældningen eller afskæringen med y-aksen er signifikant forskellige fra 0 5 Både hældningen og afskæringen med y-aksen er signifikant forskellige fra 0 Fortsæt på side 20 19

20 Spørgsmål XI.3 (30): Densiteten måltes for fem andre materialeprøver, og man fik følgende målinger (g/cm 3 ): 0.179, 0.181, 0.201, 0.280, Man ønsker at teste hypotesen om middelværdien for disse prøver er den samme som middelværdien af densiteten for de oprindelige 6 prøver. Til det formål kørtes følgende R-kode: x1=c(0.175,0.220,0.225,0.226,0.250,0.277) x2=c(0.179,0.181,0.201,0.280,0.282) k=10000 x1samples=replicate(k,sample(x1,replace=true)) x2samples=replicate(k,sample(x2,replace=true)) mymeandifs=apply(x1samples,2,mean)-apply(x2samples,2,mean) hist(mymeandifs) og histogrammet for de bootstrapudfald af middelforskelle blev: Histogram for mymeandifs Frekvens mymeandifs Hvad kan man konkludere? (Både konklusion og argument skal være korrekt) 1 At der er signifikant forskel på de to gennemsnit, idet der falder værdier til venstre for i bootstrapfordelingen 2 At der ikke er signifikant forskel på de to gennemsnit, idet der falder værdier til højre for 0.05 i bootstrapfordelingen 3 At der er klar signifikant forskel på de to gennemsnit, idet 0 tydeligvis ligger stort set midt i bootstrapfordelingen 4 At der ikke er signifikant forskel på de to gennemsnit, idet 0 tydeligvis ligger stort set midt i bootstrapfordelingen 5 At data stammer fra to forskellige normalfordelinger 20

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 20 sider. Skriftlig prøve: 1. december 2011 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 20 sider. Skriftlig prøve: 15. december 2012 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 21 sider. Skriftlig prøve: 27. maj 2010 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 20 sider. Skriftlig prøve: 15. december 2008 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve: 14. december 2013 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Side 1 af 17 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 25. maj 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402

Side 1 af 17 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 25. maj 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve: 25. maj 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (navn) (underskrift)

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve: 14. december 2009 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Side 1 af 19 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402

Side 1 af 19 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 22 sider. Skriftlig prøve: 13. december 2010 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 20 sider. Skriftlig prøve: 23. maj 2012 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Opgave I II III IV V VI Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar 5 4 4 2 3 1 1 5 4 1

Opgave I II III IV V VI Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar 5 4 4 2 3 1 1 5 4 1 Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve: 1. juni 2005 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle sædvanlige Dette sæt er besvaret af (navn)

Læs mere

Løsning til eksamen d.27 Maj 2010

Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 DTU informatic 02402 Introduktion til Statistik Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th edition]. Opgave I.1

Læs mere

Opgave I.1 II.1 II.2 II.3 III.1 IV.1 IV.2 IV.3 V.1 VI.1 Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar

Opgave I.1 II.1 II.2 II.3 III.1 IV.1 IV.2 IV.3 V.1 VI.1 Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve: 30. maj 2006 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (navn) (underskrift)

Læs mere

Opgave I.1 I.2 II.1 II.2 III.1 III.2 IV.1 V.1 VI.1 VI.2 Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar

Opgave I.1 I.2 II.1 II.2 III.1 III.2 IV.1 V.1 VI.1 VI.2 Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve: 15. december 2006 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (navn) (underskrift)

Læs mere

Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse

Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Den endelige besvarelse af opgaverne gøres ved at udfylde nedenstående skema. Aflever KUN skemaet!

Den endelige besvarelse af opgaverne gøres ved at udfylde nedenstående skema. Aflever KUN skemaet! Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve: 2. juni 2008 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Oversigt 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt 2 Korrelation 3 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse

Læs mere

Appendiks Økonometrisk teori... II

Appendiks Økonometrisk teori... II Appendiks Økonometrisk teori... II De klassiske SLR-antagelser... II Hypotesetest... VII Regressioner... VIII Inflation:... VIII Test for SLR antagelser... IX Reset-test... IX Plots... X Breusch-Pagan

Læs mere

Ovenstående figur viser et (lidt formindsket billede) af 25 svampekolonier på en petriskål i et afgrænset felt på 10x10 cm.

Ovenstående figur viser et (lidt formindsket billede) af 25 svampekolonier på en petriskål i et afgrænset felt på 10x10 cm. Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder

Læs mere

men nu er Z N((µ 1 µ 0 ) n/σ, 1)!! Forkaster hvis X 191 eller X 209 eller

men nu er Z N((µ 1 µ 0 ) n/σ, 1)!! Forkaster hvis X 191 eller X 209 eller Type I og type II fejl Type I fejl: forkast når hypotese sand. α = signifikansniveau= P(type I fejl) Program (8.15-10): Hvis vi forkaster når Z < 2.58 eller Z > 2.58 er α = P(Z < 2.58) + P(Z > 2.58) =

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 20 sider. Skriftlig prøve: 27. maj 2014 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

Løsning eksamen d. 15. december 2008

Løsning eksamen d. 15. december 2008 Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th

Læs mere

Side 1 af 21 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 15. december 2003. Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402

Side 1 af 21 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 15. december 2003. Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 21 sider Skriftlig prøve: 15. december 2003 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle sædvanlige Dette sæt er besvaret af

Læs mere

Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 12: Variansanalyse. Per Bruun Brockhoff

Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 12: Variansanalyse. Per Bruun Brockhoff Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 12: Variansanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:

Læs mere

Konfidensintervaller og Hypotesetest

Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller

Læs mere

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009 DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,

Læs mere

Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok

Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok 2 2007. Vejledende besvarelse 22-01-2007, Niels Richard Hansen Bemærkning: Flere steder er der givet en argumentation (f.eks. baseret på konfidensintervaller)

Læs mere

2 0.9245. Multiple choice opgaver

2 0.9245. Multiple choice opgaver Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: XY. december 200Z Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: XY. december 200Z Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: XY. december 200Z Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)

Læs mere

Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10)

Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Ensidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese

Ensidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet

Læs mere

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik. Eksempel: Systolisk blodtryk

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik. Eksempel: Systolisk blodtryk Eksempel: Systolisk blodtryk Udgangspunkt: Vi ønsker at prædiktere det systoliske blodtryk hos en gruppe af personer. Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik.

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2010 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2010 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider Skriftlig prøve, den: 16. december 2010 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)

Læs mere

Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31

Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Statistisk model: Vi antager at sammenhængen

Læs mere

Normalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ

Normalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ Normalfordelingen Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2 2πσ 2 σ 2 Frekvensen af observationer i intervallet

Læs mere

Reeksamen i Statistik for Biokemikere 6. april 2009

Reeksamen i Statistik for Biokemikere 6. april 2009 Københavns Universitet Det Naturvidenskabelige Fakultet Reeksamen i Statistik for Biokemikere 6. april 2009 Alle hjælpemidler er tilladt, og besvarelsen må gerne skrives med blyant. Opgavesættet er på

Læs mere

02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset

02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset 02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset Vejledende løsning SPL3.3.1 Der er tale om en binomialfordeling med n =10ogp=0.6, og den angivne sandsynlighed er P (X =4) som i bogen også

Læs mere

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Regressionsanalyse

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Regressionsanalyse Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression Regressionsanalyse Regressionsanalyser

Læs mere

12. september Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 4 Uge 3, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Regressionsanalyse

12. september Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 4 Uge 3, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Regressionsanalyse . september 5 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning Uge, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression

Læs mere

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller

Læs mere

Reminder: Hypotesetest for én parameter. Økonometri: Lektion 4. F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater. En god model

Reminder: Hypotesetest for én parameter. Økonometri: Lektion 4. F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater. En god model Reminder: Hypotesetest for én parameter Antag vi har model Økonometri: Lektion 4 F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi ønsker at teste hypotesen H

Læs mere

β 2 : forskel i skæring polymer 1 og 2. β 3 forskel i skæring polymer 1 og 3.

β 2 : forskel i skæring polymer 1 og 2. β 3 forskel i skæring polymer 1 og 3. Program suspended 200 250 300 350 400 1 2 3 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 1. kategoriske variable - kodning som indikator variable. 2. model selektion, R 2, F-test samt eksempler. ph Model: forskellig skæring

Læs mere

Lineær regression. Simpel regression. Model. ofte bruges følgende notation:

Lineær regression. Simpel regression. Model. ofte bruges følgende notation: Lineær regression Simpel regression Model Y i X i i ofte bruges følgende notation: Y i 0 1 X 1i i n i 1 i 0 Findes der en linie, der passer bedst? Metode - Generel! least squares (mindste kvadrater) til

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Program. 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. 1/12

Program. 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. 1/12 Program 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. 1/12 Ensidet variansanalyse: analyse af grupperede data Nedbrydningsrate for tre typer af opløsningsmidler (opgave 13.8 side 523) Sorption

Læs mere

2 X 2 = gennemsnitligt indhold af aktivt stof i én tablet fra et glas med 200 tabletter

2 X 2 = gennemsnitligt indhold af aktivt stof i én tablet fra et glas med 200 tabletter Opgave I I mange statistiske undersøgelser benytter man binomialfordelingen til at beskrive den tilfældige variation. Spørgsmål I.1 (1): For hvilken af følgende 5 stokastiske variable kunne binomialfordelingen

Læs mere

1 Hb SS Hb Sβ Hb SC = , (s = )

1 Hb SS Hb Sβ Hb SC = , (s = ) PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 6, onsdag den 11. oktober 2006 Eksempel 9.1: Hæmoglobin-niveau og seglcellesygdom Data: Hæmoglobin-niveau (g/dl) for 41 patienter med en af tre typer seglcellesygdom.

Læs mere

Normalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Normalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen T-test Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige

Læs mere

Program. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data

Program. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data Faculty of Life Sciences Program t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Resumé og hængepartier fra sidst. Eksempel: effekt af foder på hormonkoncentration

Læs mere

3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.

3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven. PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve

Læs mere

Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat θˆmed en tilhørende se

Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat θˆmed en tilhørende se Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag 5. februar 00 Morten Frydenberg, Institut for Biostatistik. Type og type fejl Statistisk styrke Nogle speciale metoder: Normalfordelte data : t-test eksakte sikkerhedsintervaller

Læs mere

Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19

Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 For test med signifikansniveau α: p < α forkast H 0 2/19 p-værdi Betragt tilfældet med test for H 0 : µ = µ 0 (σ kendt). Idé: jo større

Læs mere

Kapitel 12 Variansanalyse

Kapitel 12 Variansanalyse Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 / 43 Indledning Sammenligning af middelværdien i to grupper indenfor en stikprøve kan

Læs mere

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression

Anvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression Anvendt Statistik Lektion 8 Multipel Lineær Regression 1 Simpel Lineær Regression (SLR) y Sammenhængen mellem den afhængige variabel (y) og den forklarende variabel (x) beskrives vha. en SLR: ligger ikke

Læs mere

Klasseøvelser dag 2 Opgave 1

Klasseøvelser dag 2 Opgave 1 Klasseøvelser dag 2 Opgave 1 1.1. Vi sætter først working directory og data indlæses: library( foreign ) d

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge

Statistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge 1 Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange

Læs mere

Model. (m separate analyser). I vores eksempel er m = 2, n 1 = 13 (13 journalister) og

Model. (m separate analyser). I vores eksempel er m = 2, n 1 = 13 (13 journalister) og Model M 0 : X hi N(α h + β h t hi,σ 2 h ), h = 1,...,m, i = 1,...,n h. m separate regressionslinjer. Behandles som i afsnit 3.3. (m separate analyser). I vores eksempel er m = 2, n 1 = 13 (13 journalister)

Læs mere

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 30. maj 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 30. maj 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 0. maj 206 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret

Læs mere

Kapitel 12 Variansanalyse

Kapitel 12 Variansanalyse Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 Indledning 2 Ensidet variansanalyse 3 Blokforsøg 4 Vekselvirkning 1 Indledning 2 Ensidet

Læs mere

Normalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Normalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige fejl på

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test]

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination af

Læs mere

Opgave 10.1, side 282 (for 6. og 7. ed. af lærerbogen se/løs opgave 9.1)

Opgave 10.1, side 282 (for 6. og 7. ed. af lærerbogen se/løs opgave 9.1) Kursus 02402: Besvarelser til øvelsesopgaver i uge 9 Opgave 10.1, side 282 (for 6. og 7. ed. af lærerbogen se/løs opgave 9.1) Som model benyttes en binomialfordeling, som beskriver antallet, X, blandt

Læs mere

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i

Læs mere

Et firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen

Et firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen STATISTIK Skriftlig evaluering, 3. semester, mandag den 6. januar 004 kl. 9.00-13.00. Alle hjælpemidler er tilladt. Opgaveløsningen forsynes med navn og CPR-nr. OPGAVE 1 Et firma tuner biler. Antallet

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Hvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05

Hvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05 Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ

Læs mere

Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater

Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater Økonometri: Lektion 4 Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater 1 / 35 Hypotesetest for én parameter Antag vi har model y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN Side?? af?? sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2004 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

CIVILINGENIØREKSAMEN Side?? af?? sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2004 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) CIVILINGENIØREKSAMEN Side?? af?? sider Skriftlig prøve, den: 6. december 2004 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)

Læs mere

Modelkontrol i Faktor Modeller

Modelkontrol i Faktor Modeller Modelkontrol i Faktor Modeller Julie Lyng Forman Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Statistik for Biokemikere 2003 For at konklusionerne på en ensidet, flersidet eller hierarkisk

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 29 sider. Skriftlig prøve, den: 14. december 1999 Kursus nr : 04041. (navn) (underskrift) (bord nr)

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 29 sider. Skriftlig prøve, den: 14. december 1999 Kursus nr : 04041. (navn) (underskrift) (bord nr) CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 29 sider Skriftlig prøve, den: 14. december 1999 Kursus nr : 04041 Kursus navn: Statistik 1 Tilladte hjælpemidler: Alle sædvanlige Dettesæterbesvaretaf: (navn) (underskrift)

Læs mere

Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff

Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks

Læs mere

2 X 2 = Antal mygstik på enpersoniløbetaf1minut

2 X 2 = Antal mygstik på enpersoniløbetaf1minut Opgave I I mange statistiske undersøgelser bygger man analysen på anvendelse af normalfordelingen til (eventuelt tilnærmelsesvist) at beskrive den tilfældige variation. Spørgsmål I.1 (1): Forén af følgende

Læs mere

To-sidet varians analyse

To-sidet varians analyse To-sidet varians analyse Repetition En-sidet ANOVA Parvise sammenligninger, Tukey s test Model begrebet To-sidet ANOVA Tre-sidet ANOVA Blok design SPSS ANOVA - definition ANOVA (ANalysis Of VAriance),

Læs mere

Test nr. 6 af centrale elementer 02402

Test nr. 6 af centrale elementer 02402 QuizComposer 2001- Olaf Kayser & Gunnar Mohr Contact: admin@quizcomposer.dk Main site: www.quizcomposer.dk Test nr. 6 af centrale elementer 02402 Denne quiz angår forståelse af centrale elementer i kursus

Læs mere

Nanostatistik: Opgavebesvarelser

Nanostatistik: Opgavebesvarelser Nanostatistik: Opgavebesvarelser JLJ Nanostatistik: Opgavebesvarelser p. 1/16 Pakkemaskine En producent hævder at poserne indeholder i gennemsnit 16 ounces sukker. Data: 10 pakker sukker: 16.1, 15.8, 15.8,

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression

Anvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression Anvendt Statistik Lektion 7 Simpel Lineær Regression 1 Er der en sammenhæng? Plot af mordraten () mod fattigdomsraten (): Scatterplot Afhænger mordraten af fattigdomsraten? 2 Scatterplot Et scatterplot

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 27. maj 2011 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 27. maj 2011 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) CIVILINGENIØREKSAMEN Side af 6 sider Skriftlig prøve, den: 27. maj 20 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift) (bord

Læs mere

Model. k = 3 grupper: hvor ǫ ij uafhængige og normalfordelte med middelværdi nul og varians σi 2, i = 1,2,3.

Model. k = 3 grupper: hvor ǫ ij uafhængige og normalfordelte med middelværdi nul og varians σi 2, i = 1,2,3. Model Program (8.15-10): 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. Bruger nu to indices: i = 1,...,k for gruppenr. og j = 1,...,n i for observation indenfor gruppe. k = 3 grupper: µ 1

Læs mere

2 Gennemsnitligt indhold af aktivt stof i en tablet fra et glas med 200 tabletter

2 Gennemsnitligt indhold af aktivt stof i en tablet fra et glas med 200 tabletter Ekstraopgaver uge 2-02402 Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de

Læs mere

S4-S5 statistik Facitliste til opgaver

S4-S5 statistik Facitliste til opgaver S4-S5 statistik Facitliste til opgaver Opgave 1 Middelværdien angiver det bedste bud på serummets sande værdi, mens spredningen angiver analyseusikkerheden. 95%-Konfidensinterval = Ja Standardafvigelsen

Læs mere

Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik (02323, og 02593) (studienummer) (underskrift) (bord nr)

Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik (02323, og 02593) (studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 26 sider. Skriftlig prøve: 16. august 2015 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik (02323, 02402 og 02593) Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 25 sider. Skriftlig prøve: 13. december 2016 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik (02323 og 02402) Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 28. maj 2010 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 28. maj 2010 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) CIVILINGENIØREKSAMEN Side af 6 sider Skriftlig prøve, den: 8. maj 00 Kursus nr : 005 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: navn underskrift bord nr Der

Læs mere

5.11 Middelværdi og varians Kugler Ydelse for byg [Obligatorisk opgave 2, 2005]... 14

5.11 Middelværdi og varians Kugler Ydelse for byg [Obligatorisk opgave 2, 2005]... 14 Module 5: Exercises 5.1 ph i blod.......................... 1 5.2 Medikamenters effektivitet............... 2 5.3 Reaktionstid........................ 3 5.4 Alkohol i blodet...................... 3 5.5

Læs mere

Ikke-parametriske metoder. Repetition Wilcoxon Signed-Rank Test Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test

Ikke-parametriske metoder. Repetition Wilcoxon Signed-Rank Test Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test Ikkeparametriske metoder Repetition Wilcoxon SignedRank Test KruskalWallis Test Friedman Test Chiianden Test Run Test Er sekvensen opstået tilfældigt? PPPKKKPPPKKKPPKKKPPP Et run er en sekvens af ens elementer,

Læs mere

Module 4: Ensidig variansanalyse

Module 4: Ensidig variansanalyse Module 4: Ensidig variansanalyse 4.1 Analyse af én stikprøve................. 1 4.1.1 Estimation.................... 3 4.1.2 Modelkontrol................... 4 4.1.3 Hypotesetest................... 6 4.2

Læs mere

Lineær regression: lidt mere tekniske betragtninger om R 2 og et godt alternativ

Lineær regression: lidt mere tekniske betragtninger om R 2 og et godt alternativ Lineær regression: lidt mere tekniske betragtninger om R 2 og et godt alternativ Per Bruun Brockhoff, DTU Compute, Claus Thorn Ekstrøm, KU Biostatistik, Ernst Hansen, KU Matematik January 17, 2017 Abstract

Læs mere

Skriftlig eksamen Science statistik- ST501

Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 SYDDANSK UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 Torsdag den 21. januar Opgavesættet består af 5 opgaver, med i alt 13 delspørgsmål, som vægtes ligeligt.

Læs mere

Epidemiologi og Biostatistik

Epidemiologi og Biostatistik Kapitel 1, Kliniske målinger Epidemiologi og Biostatistik Introduktion til skilder (varianskomponenter) måleusikkerhed sammenligning af målemetoder Mogens Erlandsen, Institut for Biostatistik Uge, torsdag

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,

Læs mere

Økonometri: Lektion 5. Multipel Lineær Regression: Interaktion, log-transformerede data, kategoriske forklarende variable, modelkontrol

Økonometri: Lektion 5. Multipel Lineær Regression: Interaktion, log-transformerede data, kategoriske forklarende variable, modelkontrol Økonometri: Lektion 5 Multipel Lineær Regression: Interaktion, log-transformerede data, kategoriske forklarende variable, modelkontrol 1 / 35 Veksekvirkning: Motivation Vi har set på modeller som Price

Læs mere

En Introduktion til SAS. Kapitel 5.

En Introduktion til SAS. Kapitel 5. En Introduktion til SAS. Kapitel 5. Inge Henningsen Afdeling for Statistik og Operationsanalyse Københavns Universitet Marts 2005 6. udgave Kapitel 5 T-test og PROC UNIVARIATE 5.1 Indledning Dette kapitel

Læs mere

Statistik Lektion 20 Ikke-parametriske metoder. Repetition Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test

Statistik Lektion 20 Ikke-parametriske metoder. Repetition Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test Statistik Lektion 0 Ikkeparametriske metoder Repetition KruskalWallis Test Friedman Test Chiianden Test Run Test Er sekvensen opstået tilfældigt? PPPKKKPPPKKKPPKKKPPP Et run er en sekvens af ens elementer,

Læs mere

Test nr. 5 af centrale elementer 02402

Test nr. 5 af centrale elementer 02402 QuizComposer 2001- Olaf Kayser & Gunnar Mohr Contact: admin@quizcomposer.dk Main site: www.quizcomposer.dk Test nr. 5 af centrale elementer 02402 Denne quiz angår forståelse af centrale elementer i kursus

Læs mere

Følgende tabel (fra Fisher) giver forøgelsen af sovetiden i timer fra et eksperiment med 10 patienter vedrørende 2 sovemidler A og B.

Følgende tabel (fra Fisher) giver forøgelsen af sovetiden i timer fra et eksperiment med 10 patienter vedrørende 2 sovemidler A og B. Modul 7: Exercises 7.1 Sovemidler......................... 1 7.2 Egetræer.......................... 2 7.3 Stofs trækstyrke..................... 3 7.4 Laboranters titreringsusikkerhed............ 5 7.5

Læs mere

Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6

Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220

Læs mere

Hypoteser om mere end to stikprøver ANOVA. k stikprøver: (ikke ordinale eller højere) gælder også for k 2! : i j

Hypoteser om mere end to stikprøver ANOVA. k stikprøver: (ikke ordinale eller højere) gælder også for k 2! : i j Hypoteser om mere end to stikprøver ANOVA k stikprøver: (ikke ordinale eller højere) H 0 : 1 2... k gælder også for k 2! H 0ij : i j H 0ij : i j simpelt forslag: k k 1 2 t-tests: i j DUER IKKE! Bonferroni!!

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14 Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14 Opgave 1 a) Det første trin i opstillingen af en hypotesetest er at formulere to hypoteser, hvoraf den ene støtter den teori vi vil teste, mens den anden

Læs mere