(studienummer) (underskrift) (bord nr)

Transkript

1 Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 20 sider. Skriftlig prøve: 26. maj 2011 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer) (underskrift) (bord nr) Opgavesættet består af 30 spørgsmål af multiple choice typen fordelt på 11 opgaver. Besvarelserne af multiple choice spørgsmålene anføres ved at udfylde skemaet på forsiden (denne side), med numrene på de svarmuligheder, du mener er de korrekte. Et forkert svar kan rettes ved at sværte det forkerte svar over og anføre det rigtige i stedet. Er der tvivl om meningen med en rettelse, eller er der anført flere end ét nummer ved et spørgsmål, betragtes spørgsmålet som ubesvaret. Kladde, mellemregninger eller andet tillægges ingen betydning, kun svarene i tabellen tæller. Der gives 5 point for et korrekt multiple choice svar og 1 for et ukorrekt svar. Ubesvarede spørgsmål eller et 6-tal (svarende til ved ikke ) giver 0 point. Det antal point, der kræves for, at et sæt anses for tilfredstillende besvaret, afgøres endeligt ved censureringen af sættene. Den endelige besvarelse af opgaverne gøres ved at udfylde nedenstående skema. Aflever KUN skemaet! Opgave I.1 I.2 I.3 I.4 II.1 II.2 II.3 II.4 II.5 III.1 Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar Opgave III.2 III.3 IV.1 IV.2 V.1 V.2 VI.1 VI.2 VII.1 VIII.1 Spørgsmål (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) Svar Opgave VIII.2 IX.1 IX.2 X.1 X.2 X.3 X.4 XI.1 XI.2 XI.3 Spørgsmål (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) Svar Husk at forsyne opgavesættet med dit nummer. Sættets sidste side er nr 20; blad lige om og se, at den er der. Fortsæt på side 2 1

2 Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder er meningsfulde. Opgave I For oliedyser antages det, at dysekapaciteten ved et givet forstøvningstryk kan skrives som: P 2 Q 2 = Q 1, P 1 hvor Q 1 er referencekapaciteten ved trykket P 1, og Q 2 er kapaciteten ved trykket P 2. For at verificere formlen udføres der et forsøg, hvor kapaciteten ved 14 bar findes som en funktion af kapaciteten ved 10 bar (referencetrykket). Følgende værdier er fundet: Kapaciteten Q 1 (kg/h) ved trykket 10 bar Kapaciteten Q 2 (kg/h) ved trykket 14 bar Følgende beregningsstørrelser kan bruges: (x = Q 1 og y = Q 2 ) Følgende R-kode blev kørt: x = 2.635, ȳ = 3.115, S xx = , S yy = , S xy = Q1=c(1.46,1.66,1.87,2.11,2.37,2.67,2.94,3.31,3.72,4.24) Q2=c(1.76,1.96,2.24,2.46,2.80,3.11,3.46,3.95,4.42,4.99) summary(lm(q2~q1)) Det gav følgende output: Call: lm(formula = Q2 ~ Q1) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) Q e-14 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 8 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: 1.074e+04 on 1 and 8 DF, p-value: 8.403e-14 Fortsæt på side 3 2

3 Spørgsmål I.1 (1): Hvad er forklaringsgraden og den estimerede (residual)spredning (s e )? 1 Forklaringsgrad= og spredning= Forklaringsgrad= og spredning= Forklaringsgrad= og spredning= Forklaringsgrad= og spredning= Forklaringsgrad= og spredning= Spørgsmål I.2 (2): Stemmer data med hypotesen om, at hældningen iht. ovenstående antagelse bør være 14/10 = ? (Både svar og argument skal være i orden) 1 Ja, idet 95%-konfidensintervallet for hældningen indeholder Ja, idet den relevante P-værdi er Nej, idet den relevante P-værdi er Ja, idet den relevante P-værdi er Nej, idet 95%-konfidensintervallet for afskæringen ikke indeholder Spørgsmål I.3 (3): For en tilfældig dyse med kapaciteten 4.45 kg/h ved 10 bar, måles kapaciteten ved 14 bar. Inden for hvilke grænser må denne måling formodes at ligge med 99% sikkerhed: ± s e 1 + 1/10 + ( ) ± s e 1/10 + ( ) ± s e 1 + 1/10 + ( ) ± s e 1/10 + ( ) ± s e 1/10 + ( ) Fortsæt på side 4 3

4 Spørgsmål I.4 (4): Antag at P 1 = 10 bar har en målefejl på σ 1 = 0.01 og at P 2 = 14 bar har en målefejl på σ 2 = Hvad er da omtrentlig σ P2 /P 1, målefejlen på P 2 /P 1 = 1.4? (Som hjælp kan evt. bruges at den afledte af funktionen 1/x er 1/x 2 ) / /10000 = ( )/2 = ( )/2 = ( )/24 = / /100 = Fortsæt på side 5 4

5 Opgave II I en forbrugerundersøgelse foretaget af en avis, blev der indkøbt 20 forskellige dagligvarer i en butik. Man fandt uoverensstemmelse mellem prisen på kassebonen og prisen på hylden for 6 af de indkøbte varer. Spørgsmål II.1 (5): På samme tidspunkt køber en kunde 3 tilfældige (forskellige) varer inden for gruppen på de 20 varer, i den aktuelle butik. Sandsynligheden for, at der ingen uoverensstemmelser er på denne kundens kassebon er: Spørgsmål II.2 (6): Lad X beskrive antal uoverensstemmelser ved køb af 3 tilfældige (forskellige) varer inden for gruppen på de 20 varer, i butikken. Hvad er middelværdi og varians for X? 1 µ X = 0.56 og σx 2 = µ X = 0.90 og σx 2 = µ X = 2.10 og σx 2 = µ X = 0.56 og σx 2 = µ X = 0.90 og σx 2 = 0.56 Fortsæt på side 6 5

6 Spørgsmål II.3 (7): En forbruger postulerer, at der generelt er uoverensstemmelser på 25% af priserne ved indkøb i den pågældende butik. Hvis forbrugerens postulat holder, er sandsynligheden for, at der ved indkøb af 20 forskellige varer er uoverensstemmelser på netop 6 varer: Fortsæt på side 7 6

7 Spørgsmål II.4 (8): Butikskædens ledelse beklager de mange fejl i den aktuelle butik og angiver, at kædens kvalitetsmål er, at der højst må være 5% af varerne, hvor der er problemer med uoverensstemmelser. I en ny undersøgelse, i den aktuelle butik findes der 25 uoverensstemmelser mellem kassebon og pris på hylden, i alt 400 forskellige varer indgår i undersøgelsen. For disse data udføres følgende test: H 0 : p = 0.05 H 1 : p > 0.05 På et 5% signifikansniveau bliver resultatet af denne undersøgelse: argument skal være i orden) (Både konklusion og 1 Butikskædens målsætning kan ikke påvises uopfyldt, idet P-værdien = P (X 25) = Butikskædens målsætning kan ikke påvises uopfyldt, idet P-værdien = P (X < 25) = Butikskædens målsætning er ikke opfyldt, idet P-værdien = P (X 25) = Butikskædens målsætning kan ikke påvises uopfyldt, idet P-værdien = P (X > 25) = Butikskædens målsætning er ikke opfyldt, idet P-værdien= P (X 25) = 0.04 Spørgsmål II.5 (9): Der planlægges en undersøgelse i en anden butik. Man forventer, at niveauet for uoverenstemmelser ligger på omtrent 5%, men man vil gerne kende denne andel præcist, eller i hvert fald så præcist, at et 95%-konfidensinterval for andelen vil være omkring ±1%. Hvor mange varer skal man undersøge for at opnå en præcision på dette niveau? 1 Omtrent 0.25 (1.96/0.05) 2 = Omtrent (1.96/0.01) 2 = Omtrent (1.96/0.05) 2 = Omtrent ( /0.05) 2 = Omtrent ( /0.01) 2 = Fortsæt på side 8 7

8 Opgave III For et apparat til hjemmemåling af blodtryk ønskes nøjagtigheden undersøgt. Derfor foretages gentagne målinger af blodtrykket på en forsøgsperson, med et tidsinterval på 5 min, og under så ens omstændigheder som muligt. Følgende data er målt: Måling nr Systolisk tryk i mmhg Diastolisk tryk i mmhg Data antages normalfordelt, og parameterestimaterne for de to blodtryksmålinger bliver: ( x S ; s S ) = (139.21; 4.58) ( x D ; s D ) = (91.43; 3.61) I brugermanualen er det angivet at spredningen på en blodtryksmåling er 3 mmhg, hvorfor følgende test ønskes udført: H 0 : σ 2 = 3 2 H 1 : σ 2 > 3 2 Spørgsmål III.1 (10): Hvad bliver den relevante teststørrelse, her kaldet Q, ved målingen af det systoliske blodtryk? 1 Q = = Q = = 33 3 Q = = 30 4 Q = = Q = = 8.4 Fortsæt på side 9 8

9 Spørgsmål bliver: III.2 (11): Et 95% konfidensinterval for variansen på det diastoliske blodtryk 1 [ ] ; [ ] ; [ ] ; [ ] ; [ ] ; Spørgsmål III.3 (12): Følgende bootstrap-procedure blev udført i R for målingerne af det systoliske blodtyk: x=c(143,134,138,138,135,131,135,139,141,143,142,141,149,140) k=10000 mybootstrapsamples=replicate(k,sample(x,replace=true)) mybootstrapmeans=apply(mysamples,2,mean) Og otte forskellige fraktiler for bootstrapfordelingen blev: >quantile(mybootstrapmeans,c(0.005,0.01,0.025,0.05,0.95,0.975,0.99,0.995)) 0.5% 1% 2.5% 5% 95% 97.5% 99% 99.5% Et 99% konfidensinterval for middelværdien af det systoliske blodtryk bliver: (baseret på den viste bootstrapfordeling) 1 [ ; ] 2 [ ; ] 3 [ ; ] 4 [ ; ] 5 [ ; ] Fortsæt på side 10 9

10 Opgave IV Et firma, der udvikler elektroniske komponenter, skal anvende nogle batterier til de færdige apparater. For at vælge de korrekte batterier indkøbes forskellige batterier med den ønskede spænding. For at få et overblik udføres en grov test hvor batteriernes levetid (opdelt i fire klasser) opstilles i relation til prisen (opdelt i tre klasser). Følgende data er fundet: Pris Lav Middel Høj 150 timer <Levetid 6.7% 4% 13.3% 125 timer<levetid 150 timer 8% 9.3% 13.3% 100 timer <Levetid 125 timer 9.3% 8% 4% Levetid 100 timer 9.3% 12% 2.7% I alt 75 batterier indgik i overstående undersøgelse (og procenterne i tabellen summer i princippet til kun afrunding gør at det ikke helt er tilfældet). Firmaet ønsker at undersøge om der er uafhængighed mellem levetid og pris. Til belysning af spørgsmålet anvendes en antalstabel og en χ 2 analyse. Spørgsmål IV.1 (13): For at foretage analysen skal det forventede antal pr. celle beregnes. For Levetid >150 timer og pris Høj fås: 1 e 13 = = e 13 = = e 13 = = 8 4 e 13 = = 6 5 e 13 = = 16 Spørgsmål IV.2 (14): Med signifikansniveau 5% fås den kritiske værdi for hypotesen om uafhængighed (ingen relation mellem levetid og pris) som: 1 χ (5) = χ (6) = χ (6) = χ (3) = F 0.05 (2, 3) = 9.55 Fortsæt på side 11 10

11 Opgave V Levetiden for batterier indkøbt hos to forskellige producenter ønskes undersøgt. Levetiden for et antal batterier fra hver producent registreres og følgende data fås: Producent A: n A = 15 ( x A, s A ) = (122.4; 30.5) Producent B: n B = 10 ( x B, s B ) = (145.9; 22.3) Data antages at følge en normalfordeling i hver gruppe. Spørgsmål V.1 (15): Det undersøges først, om variansen for de to grupper kan antages ens. Der anvendes et F-test på 10% signifikansniveau og følgende kan konkluderes: (Både konklusion og argument skal være i orden) 1 Acceptere H 0, idet = 1.87 < F 0.05 (15, 10) 2 Acceptere H 0, idet = 1.87 < F 0.05 (14, 9) 3 Acceptere H 0, idet = 1.37 < F 0.05(15, 10) 4 Forkaste H 0, idet = 1.37 > F 0.025(14, 9) 5 Forkaste H 0, idet = 1.87 > F 0.05 (9, 14) Spørgsmål V.2 (16): Hvis man antager, at de to producenter har samme varians, hvad bliver da teststørrelse og konklusion på hypotesen µ A = µ B : (Både t-værdi og konklusion skal være i orden) 1 t = 2.22, H 0 forkastes på et 5% signifikansniveau 2 t = 2.09, H 0 forkastes på et 5% signifikansniveau 3 t = 2.09, H 0 forkastes på et 1% signifikansniveau 4 t = 2.22, H 0 accepteres på et 1% signifikansniveau 5 t = 2.22, H 0 accepteres på et 5% signifikansniveau Fortsæt på side 12 11

12 Opgave VI Levetiden for batterier fra 4 forskellige producenter ønskes sammenlignet. Der udføres et forsøg, hvor 25 batterier fra hver af 4 forskellige producenter testes. Levetiden for hvert enkelt batteri er bestemt, og følgende sum data er fundet: Antal Gennemsnits levetid Spredning s i i batterier ȳ i i timer i timer 25 j=1 (y ij ȳ i ) 2 Producent A Producent B Producent C Producent D I nedenstående tabel for en sædvanlig envejs variansanalyse er nogle af de fundne resultater anført: (og vi antager således at data følger en normalfordeling inden for hver gruppe) DF SS MS F Producenter 3 A C 5.5 Fejl 96 B Total Spørgsmål VI.1 (17): De omtrentlige værdier for A,B og C bliver: 1 A = , B = 18300, C = A = 19300, B = , C = A = 18300, B = , C = A = 19300, B = , C = A = 18300, B = , C = 6100 Spørgsmål VI.2 (18): Resultatet af hypotesetestet for om der er samme middellevetid for de 4 producenters batterier bliver: (Både konklusion og begrundelse skal være i orden) 1 H 0 forkastes på et 5% signifikansniveau, idet 5.5 < F 0.05 (96,3) = H 0 forkastes på et 0.1% signifikansniveau, idet 5.5 < F (3,96) = H 0 forkastes på et 5% signifikansniveau, idet 5.5 > F 0.05 (3,96) = H 0 accepteres på et 5% signifikansniveau, idet 5.5 < F 0.05 (96,3) = H 0 accepteres på et 5% signifikansniveau, idet 5.5 > F 0.05 (3,96) = 2.70 Fortsæt på side 13 12

13 Opgave VII En PC-bruger har registreret, at sandsynligheden for at der ikke kommer nogen spam mails et givet døgn er 5%. (P (X = 0) = 0.05, hvor X beskriver antal spam mails pr. døgn). Antallet af spam mails pr. døgn antages poisson fordelt. Spørgsmål VII.1 (19): Det forventede antal spam mails pr. døgn, samt sandsynligheden for at der et givet døgn kommer mere end 5 spam mails er: 1 µ = 3.0 og P (X > 5) = µ = 5.4 og P (X > 5) = µ = 3.0 og P (X > 5) = µ = 3.0 og P (X > 5) = µ = 5.4 og P (X > 5) = Fortsæt på side 14 13

14 Opgave VIII Lad X 1 beskrive vægten af en tilfældig fyldt colaflaske med 0.25 l. Lad X 2 beskrive vægten af en tilfældig tom colaflaske. Det antages, at disse variable er normalfordelt og uafhængige med middelværdi og varians som angivet: X 1 : (µ X1 ; σ 2 X 1 ) = (626.9g; g 2 ) og X 2 : (µ X2 ; σ 2 X 2 ) = (364.7g; g 2 ) Spørgsmål VIII.1 (20): Sandsynligheden for at vægten af en tilfældig fyldt flaske cola overstiger vægten af en tilfældig tom flaske med mere end 265 g er: 1 P ((X 1 X 2 ) > 265) = P ((X 1 X 2 ) > 265) = P ((X 1 X 2 ) > 265) = P ((X 1 X 2 ) > 265) = P ((X 1 X 2 ) > 265) = Spørgsmål VIII.2 (21): Colaerne sælges i kasser med 24 styk. Det antages at kassens vægt er 1500 g og der ses bort fra variationen på denne vægt. Sandsynligheden for at vægten af en tilfældig kasse med fyldte colaer er under g bliver: Fortsæt på side 15 14

15 Opgave IX Data i nedenstående tabel stammer fra en undersøgelse hvor 14 patienters systoliske blodtryk blev målt (i mmhg) før behandling med et præparat, og 1 måned efter behandlingens start. Patient nr Blodtryk før behandling Blodtryk efter behandling Spørgsmål IX.1 (22): Et 95% konfidensinterval for ændringen i blodtryk bliver: ± = [3.20; 11.80] ± = [2.99; 12.01] ± = [2.76; 12.24] ± = [ 3.99; 18.99] ± = [ 3.45; 18.45] Spørgsmål IX.2 (23): Der planlægges en undersøgelse for at bestemme middelblodtrykket for denne type patienter før de modtager behandling. Man ønsker et 95%-konfidensinterval med en bredde på omkring 2 mmhg. Det kan antages at σ = 16 mmhg. Hvor mange patienter skal indgå i undersøgelsen for at opnå en præcision af denne størrelse? 1 Omtrent Omtrent Omtrent Omtrent Omtrent Fortsæt på side 16 15

16 Opgave X I en nydesignet ventil er materialets elasticitetsmodul af betydning for funktionen. For at sammenligne elasticitetsmodulet for 3 forskellige messinglegeringer, indkøbes prøveemner fra hver legering hos 5 forskellige producenter. Måleresultaterne i nedenstående tabel, angiver det målte elasticitetsmodul i GPa: Messinglegering Rækkesum M1 M2 M3 Producent A Producent B Producent C Producent D Producent E Søjlesum Den beregnede ANOVA-tabel er angivet nedenfor, idet nogle af de beregnede værdier dog er erstattet af bogstaver: Df SS MS F P-værdi Messinglegering A Producent B D E Fejl C Spørgsmål X.1 (24): Hvad er A, B og C? 1 A=3, B=5 og C=6 2 A=2, B=3 og C=14 3 A=2, B=4 og C=14 4 A=2, B=4 og C=8 5 A=3, B=5 og C=8 Fortsæt på side 17 16

17 Spørgsmål X.2 (25): Hvad er de omtrentlige værdier for D og E? 1 D=727.8 og E= D=727.8 og E= D=727.8 og E= D=323.3 og E= D=323.3 og E=161.7 Spørgsmål X.3 (26): Konklusionen på analysen bliver: 1 På et 5% signifikansniveau har valg af messinglegering betydning, mens valg af producent er uden betydning 2 På et 5% signifikansniveau er valg af messinglegering uden betydning, mens valg af producent har betydning 3 På et 1% signifikansniveau er både valg af messinglegering og valg af producent uden betydning 4 På et 1% signifikansniveau er valg af messinglegering uden betydning, mens valg af producent har betydning 5 På et 1% signifikansniveau har valg af messinglegering betydning, mens valg af producent er uden betydning Spørgsmål X.4 (27): Betragt kun tallene for messinglegering M1. Median og øvre kvartil for disse bliver: 1 Median = 82.5 og øvre kvartil= Median = 83.1 og øvre kvartil= Median = og øvre kvartil= Median = og øvre kvartil= Median = 82.5 og øvre kvartil=95.2 Fortsæt på side 18 17

18 Opgave XI En fast-food kæde bruger til indpakning af deres burgere et biologisk nedbrydeligt materiale. Varmeledningsevnen for materialet er en væsentlig egenskab. Data i nedenstående tabel stammer fra et forsøg, hvor varmeledningsevnen er målt som en funktion af materialets densitet. Det antages, at sammenhængen kan beskrives ved en simpel lineær model. Følgende værdier er målt: Produktets densitet (g/cm 3 ) Varmeledningsevne (W/mK) Følgende R-kode blev kørt: x=c(.175,.220,.225,.226,.250,.277) y=c(.0480,.0525,.0540,.0535,.0570,.0610) summary(lm(y~x)) Det gav følgende output: Call: lm(formula = y ~ x) Residuals: e e e e e e-04 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) *** x e-05 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 4 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: 290 on 1 and 4 DF, p-value: 6.973e-05 Spørgsmål XI.1 (28): Hvad er korrelationen mellem densitet og varmeledningsevne? Fortsæt på side 19 18

19 Spørgsmål XI.2 (29): Hvilket udsagn er det eneste korrekte herunder? 1 Residualspredningen er signifikant mindre end nul 2 Hældningen kan ikke accepteres til at være 0, mens afskæringen godt kan 3 Hældningen kan godt accepteres til at være 0, mens afskæringen ikke kan 4 Hverken hældningen eller afskæringen med y-aksen er signifikant forskellige fra 0 5 Både hældningen og afskæringen med y-aksen er signifikant forskellige fra 0 Fortsæt på side 20 19

20 Spørgsmål XI.3 (30): Densiteten måltes for fem andre materialeprøver, og man fik følgende målinger (g/cm 3 ): 0.179, 0.181, 0.201, 0.280, Man ønsker at teste hypotesen om middelværdien for disse prøver er den samme som middelværdien af densiteten for de oprindelige 6 prøver. Til det formål kørtes følgende R-kode: x1=c(0.175,0.220,0.225,0.226,0.250,0.277) x2=c(0.179,0.181,0.201,0.280,0.282) k=10000 x1samples=replicate(k,sample(x1,replace=true)) x2samples=replicate(k,sample(x2,replace=true)) mymeandifs=apply(x1samples,2,mean)-apply(x2samples,2,mean) hist(mymeandifs) og histogrammet for de bootstrapudfald af middelforskelle blev: Histogram for mymeandifs Frekvens mymeandifs Hvad kan man konkludere? (Både konklusion og argument skal være korrekt) 1 At der er signifikant forskel på de to gennemsnit, idet der falder værdier til venstre for i bootstrapfordelingen 2 At der ikke er signifikant forskel på de to gennemsnit, idet der falder værdier til højre for 0.05 i bootstrapfordelingen 3 At der er klar signifikant forskel på de to gennemsnit, idet 0 tydeligvis ligger stort set midt i bootstrapfordelingen 4 At der ikke er signifikant forskel på de to gennemsnit, idet 0 tydeligvis ligger stort set midt i bootstrapfordelingen 5 At data stammer fra to forskellige normalfordelinger 20