Fysik 12. Sebastian B. Simonsen. June 13, 2004

Transkript

1 Fysik 12 Sebastian B. Simonsen June 13, 2004 Contents 1 Vigtige formler til Fysik Relativitets teori Einsteins postulater Fomler Konstanter Termodynamik Termodynamikens hovedsætninger Udtryk Formler Konstanter Disposition Relativitets teori Det specielle relativitetsprincip, lorentz-transformation og dens følger.(side 1-29) Relativistisk kinematik og Doppler effekten(side 36-52) Rumtiden og fire-vektorer(side 61-73) Etablering af den relativistiske mekanink (side 74-82) Relativistisk energi og impuls og anvendelse (side 78-91) Fire-kraften, tre-kraften og den relativistiske bevægelsesligning (side 91-96) Termodynamik Varme, arbejde og energi Termodynamikkens første hovedsætning Carnot processer og absolut temperatur Termodynamikkens anden hovedsætning

2 Entropiens egenskaber Termodynamisk ligevægt Entropi og anden hovedsætning i den statistiske mekanik Eksempler pa beregning af entropi i den statistiske mekanik Det kanoniske ensemble Termodynamiske størrelser og termodynamisk ligevægt i den statistiske mekanik

3 1 Vigtige formler til Fysik Relativitets teori Einsteins postulater 1. Alle inertialsystemer er ligeværdige for udførelse af alle fysiske eksperimenter. 2. I det tomme rum udbreder lys sig retlinet med hastigheden c i enhver retning og i ethvert inertialsystem Fomler GT LT og den omvendte LT hvor γ = 1 1 v2 c 2 x = x vt y = y z = z t = t x = γ(x vt) y = y z = z t = γ(t vx c 2 ) x = γ(x + vt ) y = y z = z t = γ(t + vx c 2 ) 3

4 Længdeforkortelse Tidsforlængelse L = L 0 γ T = T 0 γ Doppler-effekten For klassisk: ν kl ν 0 = 1 v c 1+ w c 1 u2 c 2 1+ u c For rela: ν rel ν 0 = Denne fremkommer vha. af det klassiske udtryk for doppler-effekten og tidsforlængelsen. Afstanden fra origo til et et punkt i den fire-dim rumtid. Transformation af fire-vektore ds 2 c 2 dt t dx 2 dy 2 dz 2 A 0 = γ(a 0 βa 1 ) A 1 = γ(a 1 βa 0 ) A 2 = A 2 A 3 = A 3 Egentiden Fire-impulsen er givet ved dτ 2 ds2 c 2 og dt dτ = γ P = mu den relativistiske impuls p = γ(u)mu Energien er givet ved E = γmc 2 Den kinetiske energi er givet ved T = E E 0, hvor E 0 = mc 2 4

5 Fire-kraften F d dτ P f dp dt de = f u dt F = γ(u) ( ) f u c, f Den relativistiske bevarelsesligning Konstanter 1.2 Termodynamik f = γm du dt + f u c u 2 1eV = 1, J m e = 0, 511 MeV c Termodynamikens hovedsætninger 0. Hvis to systemer A og B er ad skilt. Hvis A er i ligevægt med et andet system C, og hvis B er i ligevægt med C, så er A og B også i ligevægt. (Det princippet bag et termometer) 1. Energien er altid bevaret, hvis man tager varmen med i betragtning. U = U efter U før = W + Q, hvor W er arbejdet og Q varmen 2. Der er en del udgaver af den anden hovedsætning Planck: Det er umuligt for en maskine, at have en cyklus, hvor der bliver taget varme fra et enkelt reservoir, producer en lige mængde arbejde og ikke have anden effekt. Clausius: Det er umuligt for en maskine, at have en cyklus, hvor der bliver taget varme fra en kloder legeme til et varmer. sæt.: Entropien vokser i et isoleret system. 3. Hvis entropien til ethvert stof i dets stabile form ved T = 0 er nul, så må ethvert stof have en positiv entropi for T > 0. 5

6 1.2.2 Udtryk Tilstands funktion: Funktionen afhænger ikke af systemets historie. Varme: Man kan se på varme på to måder, mikroskopisk og makroskopisk. På det mikroskopiske plan er varme et udtryk for hvor stor bevægelse der er molekylerne er i. På det makroskopiske plan er det et mål for hvor stor energien er i den enkelte system. Arbejde: En måde at tilføre energi til et system. Tryk: Et udtryk for tætheden af partikler i et rum. (En impuls overførelse fra partiklerne til vægen) Reversible: Er en proces som kan modvirkes ved at gøre det nøjagtigt modsatte. Dvs. at dens vej i et (P,V)-diagram er kan gå både fra A til B og omvendt. Irreversible: Er det modsatte af en reversible proces, denne proces kan kun gå en vej i (P,V)-diagrammet. Det er heller ikke muligt at følge processen igennem vejen, denne proces hopper fra et punkt til et andet i diagrammet. Adiabatisk: Er en ændring af et system, hvor der ikke kommer noget varme ind i systemet når dets tyk og volumen ændres. Ekstensive variable: Størrelser det er med systemets antal af partikler, F.eks. U C = U A + U B og entorpien. Alle disse størrelser forekommer lineært i ligninger. Intensive variable: Er kort og godt, størrelser der ikke er ekstensive, F.eks. terperaturen. Mikrotilstande: Den mest detaljeret beskrivelse af et system på et givet tidspunkt. De ændre sig under tiden, pga. indre dynamik eller vekselvirkning med omgivelserne. Makrotilstande: Systemer bestående af meget store antal partikler. Makroskopiske størrelser er oftest en beskrivelse af summer eller gennemsnit af størrelser. Ensemble: Samling af system kopier, hvis antallet er M og der er m i systemer i mikrotilstanden i er sandsynligheden p i = m i M 6

7 1.2.3 Formler Tilstandsfunktioner: En tilstandsfunktion kan skrives som G = g(x, y) En lille ændring i G må være givet ved ( ) ( ) g(x, y) g(x, y) dg = dx + dy x y y x det kan skrives på formen dg = A(x, y)dx + B(x, y)dy Af regler for anden ordens diff. ved vi at ( ( ) ) g(x, y) = ( ) g(x, y) x y y x x y y x dvs. ( ) B = x y ( ) A y x Hermed er det er total differentiale. Nu skal vi vise at den ikke er vejafhæning. Vi bruger Stokes therem ( B G(x, y) = Adx + Bdy = C A x A ) y Temperaturen for en ideal gas er θ G = P V nr Indre energi: U = U 0 + U, hvor U = U efter U før = W + Q Ved en reversibel ændring af massen af stemplet i en cylinder, kan det vises at dw = (m + δm)gdz = (m+δm)g ( Adz) = (m+δm)gdv = A A P dv gælder kun for reversible processer. Enthalpi, Hvis vi ændre volumen reversibelt men fastholdt tryk. du = dq rev P dv dq rev = d(u + P V ), dermed bliver enthalpien def. som H = U + P V og H er en tilstandsfunktion. Varmekapacitet: dq = Cdθ For konstant V: C V = ( ) U θ V For konstant P: dq P = dh C P = ( ) H = ( U θ P θ 7 ) + ( (P V ) P θ ) P

8 Energien af en ideal gas U = 3 2 nrθ G, pga. en ideal gas s frihedsgrader. Varmekapaciteten for ideal gas C P = ( ) H θ P = ( ) (U + P V ) θ C V = 3 2 nr Adiabatisk proces i en ideal gas Dvs. at der er ingen varme tilførsel P og ( ) (P V ) = C V + = C V +R C P = 5 θ 2 R P V = Rθ P dv + V dp = Rdθ Det medføre vha.du = 3 2 Rdθ = C V dθ = R C V du og så ved du = P dv da der ikke er nogle varme tilførsel. = R C V P dv (1 + R CV ) P dv + V dp = 0 ( CV + R C V ) P dv + V dp = 0 C P C V P dv + V dp = 0 P dv + C V C P V dp = 0 dv V + C V dp C P P = ln(v ) + C V C P ln(p ) = 0 ln(p V C P C V ) = 0 P V γ = konstant θv γ 1 = konstant 8

9 Effektiviteten η W Q 1, hvor W = Q 1 Q 2 det medføer at η = 1 Q 2 Q 1. For virkelige maskiner er η < 1 det er kun reversible maskiner der har en η = 1 Den absolutte temperatur. Da Q 1 Q 2 er en funktion af θ, må Q 1 Q 2 = Φ(θ 1) Φ(θ 2 ) og vi definer Φ(θ) til at være den absolutte temperatur T Q 1 Q 2 = T 1 T 2. Det kan så vises at θ G = T Entropi for en ideal gas. du = 3nRdT og P = nrt 2 V Def. Af entropi S = dq rev T Da ds = dqrev T må du = T ds P dv Måling af entropi Ved konstant tryg er dq rev = C p dt S = C P ln ( ) T efter T før Helmholtz frie energi F = U T S Det giver os nu mulighed for af sige noget om Gibbs frie energi S = ( ) F T V og ( ) F P = V G = H T S dg = SdT + V dp Entropiens vækst kan vises udfra effektiviteten. Boltzmann s hypotese S = k B ln(w ) Sterlings approksimation ln(m!) = M ln(m) M T 9

10 Gummibånd W er, ved en forlængelse af gummibåndet på dl, F dl. Derved bliver du = T ds + F dl som medføre at F = k ) T b Det kanoniske ensemble ( ln(w ) l v Boltzmann fordelingen, E i e k b T Z Z = i Entropi S = k b p i ln(p i ) Konstanter Avogadro s tal N A = mol 1 i p i = e Ei k b T Z Boltzmann s konstant k B = J K Gas konstant R = J K mol elektronladning e = C 2 Disposition 2.1 Relativitets teori Det specielle relativitetsprincip, lorentz-transformation og dens følger.(side 1-29) Galilei-transformation Lige snakke hurtigt om den gamle form for transformation mellem to inetialsystemer. Einsteins to postulater. samtidighed, længde og varighed. 10

11 udledning af lorentz-transformationen. vi kræver at der er en lineær transformation,og vi siger at y = y og z = z. At den skal være lineær må betyde at x = γx ρt og t = κx + σt hvor konstanterne afhænger af tiden. x = 0 v = ρ/γ og x = 0 σ = γ hvis vi nu sætter κ = γαv fås transformationen. for at finde γ skal vi bruge sfæriske koordinater i de to systemer i forhold til et lys glimt. Og de mærket koordinater sættes ind. c som max rumtids diagram. Transformationen giver hyperbolske baner Relativistisk kinematik og Doppler effekten(side 36-52) Snak om Einstein og LT husk også det omvendte trans def. af samtidighed og længde Længdeforkortelse. Stang i hvile i S og ved samtidighed ( t = 0) bliver L = L 0 γ Tidsforlængelse. på samme måde som med længden men denne gang er det bare med et lysglimt og ( x = 0), bliver T = γt 0 Hastigheds transformation. Ved LT transformeres u x = dx dt udtryk i u x. om til et Doppler: Det tre tilfælde for den klassiske doppler effekt, 1) ν 0 = 1/T 0, 2) T = (1 + w/c) og 3) T = T 0. Hvor man derefter bruger bruger 1 v/c tilsforlængelsen til at finde det relativistiske tilfælde. Tilsidst siger man at tilfælde 2 og 3 skal det være det samme for rela pga. Einsteins første postulat Rumtiden og fire-vektorer(side 61-73) Intro til rumtiden (t, x, y, z) og dens geometri ds = c 2 dt 2 dr 2 Lyskeglen 11

12 Fire-vektoren, her under transformation af en fire-vektor Egentiden. Da tiden ikke længer er en invariant størrelse vil vi gerne have en ny invariant størrelse dτ 2 ds2 c 2, når vi arbejder i origo er dr = 0 dvs. dτ 2 dt 2 = 1 u2 c dt 2 dτ = 1 1 u2 c 2 = γ(u) Fire-hastigheden U dx dτ så ved brug af kædereglen og egentiden kan den skrives om til U = γ(u)(c, u) Fire-Acc. A d2 X dτ Etablering af den relativistiske mekanink (side 74-82) Krav til den relativistiske mekanik Fire-impulsen. P = mu Vi kan regne lidt vidre på dette udtryk U = γ(u)(c, u) P = mu } P = (γ(u)mc, p) hvor p = γ(u)mu og denne kaldes den relativistiske impuls. vi kan genfinde den klassiske impuls ved at sætte γ = 1 Fire-impuls bevarelse Energi. ved at rækkeudvikle størrelsen γ(u)m = m + mu giver at enhver 2c 2 energiform må bidrage på samme måde til γm Det føre til E 0 mc 2 og energien E = γmc 2. Den kinetiske energi bliver dermed til T E E 0 og ved rækkeudvikling kan vi genfinde det klassiske udtryk. Udfra definitionen på energi kan vi finde et nyt udtryk for P = ( E, p) c 12

13 Sammenhængen mellem energi og impuls. } P 2 = E2 p 2 c 2 P 2 = m 2 c 2, ved p = 0ogE = mc 2 E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 Denne beregning kan lade sig gøre da P 2 er en invariant størrelse Relativistisk energi og impuls og anvendelse (side 78-91) Energi. ved at rækkeudvikle størrelsen γ(u)m = m + mu giver at enhver 2c 2 energiform må bidrage på samme måde til γm Det føre til E 0 mc 2 og energien E = γmc 2. Den kinetiske energi bliver dermed til T E E 0 og ved rækkeudvikling kan vi genfinde det klassiske udtryk. Udfra definitionen på energi kan vi finde et nyt udtryk for P = ( E, p) c Sammenhængen mellem energi og impuls. } P 2 = E2 p 2 c 2 P 2 = m 2 c 2, ved p = 0ogE = mc 2 E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 Denne beregning kan lade sig gøre da P 2 er en invariant størrelse Masseløse partikler. E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 E = pc, det giver partiklerne en impuls P = (1, n), hvor n er en retningsvektor. E c udfra vores viden om frie-impulsen er det også muligt at regne os frem til det relativistiske udtryk for doppler. Men vi skal lige låne lidt fra kvantemekanikken E = hν og så ser vi på en på P = E (1, 1, 0, 0). Hvis c vi kun ser på energien og transformer den fås 1 β E = γ(e βe) = E 1 + β, da E ν giver det stød-processer ν 1 β ν = 1 + β Tærskel-energien Bindings energi Reaktions energi 13

14 Fire-kraften, tre-kraften og den relativistiske bevægelsesligning (side 91-96) Definition af Fire-kraften. F d dτ P = d (mu) = ma dτ, det skal lige nævnes at der må ikke ske en ændring af massen for partiklen dvs. dm = 0 dτ Der kan regnes videre på dette ved frie-impulsen F = d dτ (E c, p) = γ(u) d dt (E c, p) = γ(u)(1 de c dt, f) hvor vi definere f dp dt kaldes for tre-kraften. Udfra prik-produkterne kan man finde = d (γ(u)mu) og det er denne størrelse der dt F = γ(u) ( f u c, f Transformation af krafterne vi tager udgangspunkt i F = γ(u) ( f u c, f ), i S systemet er u = 0 og det giver F = (0, f x, f y, f z), men udfra tranfomationen af 4-vektore finer vi F 1 = γ(v)f x, F 2 = f y og F 3 = f z. Nu kan vi bruge den vi tog udgangs punkt i og finder f x = f x, f y = f y/γ og f z = f z/γ Den relativistiske bevægelsesligning. den er bare tre-kraften der en diff. f = γm du dt + mudγ dt = γmdu dt + u de c 2 dt = γma + f u c u Termodynamik Varme, arbejde og energi Hvad er varme, mikroskopisk og makroskopisk. Temperatur. Hvad er arbejde. Tryk og volumen. Mekanisk ligevægt. Tilstandsfunktion. Energibevarelse. ) Varme på de to planer, Temperatur (her under 0.hovedsætning), Arbejde, Tryk, volumen og mekanisk ligevægt Tilstandsfunktionen Energibeverelse og første hovedsætning 14

15 Termodynamikkens første hovedsætning Indre energi. Reversible og irreversible processer. Entalpi. Varmekapacitet. Adiabatisk proces i en idealgas. Indre energi Tale om joules forsøg der føre til hvordan energien må være bevaret, som føre til første hovedsætning U = W + Q Reversible og irreversible processer Ved en reversibel ændring af massen af stemplet i en cylinder, kan det vises at dw = (m + δm)gdz = (m+δm)g ( Adz) = (m+δm)gdv = A A P dv gælder kun for reversible processer. dvs. at første hovedsætning, kan skrives som du = dq rev pdv enthalpi Hvis volumet indres reversiblet med konstant P. Kan enthalpien defineres som H U + P V det medføre at dq rev = dh Da den består af tilstandsfunktioner er den også selv en tilstandsfunktion. Varmekapacitet er den mængde varme der skal til for at et legeme stiger en grad. dq = Cdθ Man ser så på to tilfælde, konstant tryg go ved konstant volume Adiabatisk proces i en ideal gas Dvs. at der er ingen varme tilførsel P V = Rθ P dv + V dp = Rdθ Det medføre vha.du = 3 2 Rdθ = C V dθ = R C V du 15

16 og så ved du = P dv da der ikke er nogle varme tilførsel. = R C V P dv (1 + R CV ) P dv + V dp = 0 ( CV + R C V ) P dv + V dp = 0 C P C V P dv + V dp = 0 P dv + C V C P V dp = 0 dv V + C V dp C P P = ln(v ) + C V C P ln(p ) = 0 ln(p V C P C V ) = 0 P V γ = konstant θv γ 1 = konstant Carnot processer og absolut temperatur Den basale Carnot-cyklus. Cylinder med stempel. Effektivitet af reversible og irreversible maskiner. Gastemperatur og absolut temperatur. Carnot-cyklus Den er lavet af fire reversible trin, og arealet under den er arbejdet. } U = 0 = Q W W = Q Q = Q 1 Q 1 Q 2 2 Forklar hele processen med et stempel Effektiviteten η W Q 1 = 1 Q 2 Q 1 Ved at sætte en irrev og en rev maskine til at køre sammen imellem to temperature, kan det vises at at η irrev < η rev, da men ikke kan føre varm fra et koldt til et varmt. Det kan også vises på sammen måde at to rev har samme η 16

17 Absolut temp. Ved at sætte to reversible maskiner serie mellem tre temperature. Der må så gælde at Q 1 = Q 1 Q 2 Q 3 Q 2 Q 3 da Q 1 Q 2 = f(θ 1, θ 2 ) og f(θ 2, θ 2 ) = φ(θ 1) φ(θ 2 ) absolut temperatur T = φ(θ) Dette for kelvin til at forslå en Sammenhængen mellem T og θ G Q 1 = B A P dv = nrθ 1 ( ) V B VA og Q1 = C D P dv = nrθ 1 ( ) V C VD Vha. kan det vises at θ 1 V (γ 1) B = θ 2 V (γ 1) C T 1 T 2 = θ 1 θ Termodynamikkens anden hovedsætning Entropi i en idealgas. Totalt differentiale. Formuleringer af anden hovedsaetning. Skal beregne et udtryk for entropien i en idealgas Vi bruger første hovedsætning, men da dq rev er et ineksakt differentiale, skal vi finde en funktion der skal ligges til for at vi kan kalde det et eksakt differentiale. Vi ved at du = 3nRdT og P = nrt for en 2 V idealgas. Ved indsættelse i første hovedsætning får vi dq rev = du + P dv = 3nRdT 2 + nrt dv V for at kunne integrere skal vi lige dividere med T i hele beregningen. Nu kan vi integrere efter før dq rev T = Vi kalder dq rev T efter før dq rev T 3nRdT 2T = 3nRdT 2T + nrdv V efter nrdv + før V for entropien S, det giver S = 3nR 2 ln ( ) Te T f 17 + nr ln = 3nR 2 ln ( ) Ve V f + S 0 ( ) Te T f +nr ln ( ) Ve V f +K

18 Tale om Total differentiale (Det samme som tilstandsfunktioner man skal bare ikke tale om at en er vej uafhængig) Formuleringer af første hovedsætning Entropiens egenskaber Definition af entropi. Maling af entropi. Entropiens væskst. Eksempler herpå. Definition af entropi Vi siger Q 2 Q 1 = T 2 T 1 Dette medføre at vi kan skrive Q 1 T 1 + Q 2 T 2 = 0 for en carnot-cyklus. En enhver reversibel cyklus kan laves ved at sammensætte en masse små cykler, og hver må bidrage med dq, det bliver så T tiol dq i dq i T = 0 T i i Hvis vi så tager to vej fra A til B må de være det samme da det er et lukket integral. Derved kan kan vi def. S som en tilstandsfunktion. Vi kan også skrive første hovedsætning som du = T ds P dv Og udfra def. af entropien kan vi også tale om varmekapaciteten. Måling af entropi Man skal holde trykket konstant, dvs. dq rev = C P dt S(T efter ) = S(T før ) + C P (T ) ln ( ) Tefter T før Det siger bare ikke noget om entropien for fase overgange. I sådanne sitautioner er entropien S = Q P T nu = H T nu da der er konstant tryk entropiens vækst Man bruger at η R > η I Q 2 Q 1 > T 2 T 1 18

19 dvs. dqirrev < 0 T og da man altid kan finde en reversible vej til bage er b a dq irrev T < dq rev T og ved meget små er δq irrev = 0 0 < δs Eksempel på entropiens vækst Termodynamisk ligevægt Mekanisk ligevægt. Termisk ligevægt. Ekstensive og intensive variable for et sammensat system. Tilnærmelse til ligevægt. Mekanisk ligevægt, snakke om cylender og stempel Termisk ligevægt Bruge de to foregående eksempler til at tale om både Ekstensive (U, S, V ) og intensive variable (T, P ) Tilnærmet ligevægt Energi: Vi ser på to systemer A og B, og vi sætter en termisk leder ind mellem dem for at få energien til at flyde fra den ene til den anden. Det betyder at der kan opstå en termisk ligevægt mellem de to. U total dt Systemet af de to systemer er isoleret fra omverden så = du A dt = 0 du B dt Vi kædereglen er S(U A ) = S A (U A ) + S B (U T U A ) ds dt = du A S A + du B S B dt U A dt U B da U total dt = 0 du B dt = du A dt er ds dt = du { A SA S B dt U A U B } = { 1 1 } 0 T A T B 19

20 Volumen: Partikler: ds dt = dv { A SA S } { B PB = P } B 0 dt V A V B T A T B ds dt = dn { A SA S } B dt N A N B Man definere det kemiske potentiale til µ T ( S N { ds dt = dn A µa µ } B 0 dt T A T B ) det giver Entropi og anden hovedsætning i den statistiske mekanik Mikrotilstande og makrotilstande Boltzmann s hypotese. Eksempel med ikke-vekselvirkende molekyler. Energifluktuationer. Varme og arbejde udtrykt ved mikrotilstandenes energier. Mikrotilstande og makrotilstande Boltzmann s hypotese siger S(U, V, N) = φ(w (U, V, N)) Hvis vi ser på S, Som jo som bekendt er en ekstensiv størrelse. Vi ser på to systemer A og B med entropien S A = φ(w A ) og S B = φ(w B ). Det samlet system mellem A og B har entropien S AB = S A + S B det giver en funktion i φ φ(w AB ) = φ(w A W B ) = φ(w A ) + φ(w B ) Den eneste funktion der kan opfylde dette er den logaritmiske funktion, dvs. φ(w ) = k B ln(w ) S = k B ln(w ) ikke-vekselvirkende molekyler Hvis vi har et volumen V med en inddeling δv, et molekyle kan fordeles dvs. at W for N molekyler er på V δv W = ( ) V 2 ( ) V S = Nk B ln V V 20

21 Det giver P = T ( ) S V U P = Nk BT V Energifluktuationer. Fra Boltzmann s hypotese har vi at W = e fracsk B hvis max. entropien af et system A er nåt U A = UA og vi så taylor udvikler ( ) S S(U A ) = S(UA) + (U A UA) For max. vi det ( ) S U A U A =UA udtrykket for W, som bliver U A ( = 0 og U A =U A + (U A U A) 2 2 ) 2 S UA 2 U A =UA W (U A ) = e S(U A )/k B e (U A U A )S /k B ( 2 ) S U 2 A U A =U A < 0 det sættes ind i Dette er den gauss iske fordeling af U A er standart afvigelsen U A = k B S da S < 0 For sammensatte systemer det giver p(ua) = W (U A) i W (U i ) p(u A ) p(u A) = W (U A) W (U A) = e (U A U A )2 /2 U 2 A lad os se på S og huske S = S A + S B ( ) S = 1 U A V T A 1 ( ) T B S = 2 S UA 2 1 T 2 A ( ) V TA U A 1 T 2 B ( S = ( ) ( ) TB U B = 1 1 T 2 C A + 1 C B og hvis C A << C B U 2 A = k B T 2 C A ) ( T 1 A U A + T 1 B U B ) = Eksempler pa beregning af entropi i den statistiske mekanik Spin-kæde. Krystalvakancer. Gummibandsmodel. 21

22 Beregning af W Ved Striling fås W = N! n 1!n 2! = N! n 1!(N n 1 )! S = ln(w ) k B = ln(n!) ln(n 1!) ln((n n 1 )!) N ln(n) N n 1 ln(n 1 ) + n 1 (N n 1 ) ln((n n 1 ) + N n 1!) = {( ) ( ) ( n1 n1 N ln + 1 n ) ( 1 ln 1 n )} 1 N N N N Gummibånd Led i et gummibånd kan enten have en værdi på z (n 2 ) eller z (n 1 ). Hvis det bliver forlænget dl er abejder F dl dvs. at første hovedsætning er du = T ds + F dl Som vist i det forgående er W = N! n 1!(N n 1 )! Længden af båndet må være l = (n 1 n 2 )d = (n 1 (N n 2 ))d = (2n 1 N)d, hvor d er længden af hvert led. Hvis vi sætter x = l = ( 2n 1 Nd N 1) {( ) ( ) ( 1 + x 1 + x ln(w ) = N ln x ) ( ln 1 1 x )} Hvis vi nu ser på første hovedsætning og fastholder U ( ) F ln(w ) T = k dx B x dl Det giver hvis man sætter dx dl = 1 Nd Det kanoniske ensemble F k BT l Nd 2 System i varmebad. Entropi i del kanoniske ensemble. Partitionsfunktion og Helmholtz fri energi. 22 U

23 Termodynamiske størrelser og termodynamisk ligevægt i den statistiske mekanik Termisk ligevægt. Mikrotilstandenes energier og sandsynlighed. Termodynamiske størrelser fra partitionsfunktionen. To-niveau systemer. 23