TALTEORI Ligninger og det der ligner.
|
|
- Christian Mogensen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter Trosborgs noter om talteori. Noterne vil primært introducere forskellige opgaveteknikker især med fokus på ligninger og det der ligner. Når man skal løse ligninger med heltallige løsninger, er det en stor fordel hvis det er muligt at skrive dem på en form hvor et produkt af faktorer hvor de ubekendte indgår, er lig med et helt tal. Det hele tal kan man primfaktoropløse, og på denne måde får man overblik over de mulige værdier af faktorerne. 0.1 Eksempel Hvis vi for eksempel skal finde samtlige heltallige løsninger til ligningen n = m, er det en god ide at omskrive til 389 = m n = (m + n)(m n). Da 389 er et primtal, er det nemt at se at faktorerne m + n og m n er ±389 og ±1. Løsningerne er derfor (m, n) = (±195, ±194). Hvis 389 ikke var et primtal, fik vi lidt flere muligheder, men stadig kun endeligt mange. 1 Omskrivninger ved kvadratsætningerne Først skal vi se på ligninger og opgaver der ligner, som kan løses ved at omskrive vha. kvadratsætningerne ligesom i eksemplet ovenfor. 1.1 Eksempel Hvis vi fx ønsker at bestemme alle primtal p og q som opfylder p q = 1, kan vi omskrive og få (p + 1)(p 1) = q. Da højresiden er lige, må p være ulige. Dermed vil 4 gå op i venstresiden, og dette giver at q er lige, dvs. q =. Her af ses at p = Opgave Bestem alle par (x, y) af naturlige tal som opfylder x 6 = y Opgave I en retvinklet trekant, hvori alle sidelængder er hele tal, har den ene katete længde Bestem længden af hypotenusen. (Georg Mohr-Konkurrencen 1994) 1.4 Opgave Vis at hvis der for to hele tal a og b gælder at a + b + 9ab er delelig med 11, da er også a b delelig med 11. (Georg Mohr-Konkurrencen 004) Omskrivning vha. af kvadratsætninger kan også bruges i andre talteoretiske sammenhænge end ligninger fx hvis man skal vise at tal på en bestemt form har bestemte egenskaber.
2 Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1.5 Eksempel Hvis vi ønsker at vise at a 4 +a +1, hvor a er et naturligt tal større end 1, er et sammensat tal, kan vi omskrive på følgende måde. a 4 + a + 1 = (a + 1) a = (a a)(a + 1 a). Heraf fremgår det klart at a 4 + a + 1 er et sammensat tal når a > Opgave Lad n og m være to hele tal som kan skrives som sum af to kvadrattal. Vis at da kan også mn skrives som sum af to kvadrattal. 1.7 Opgave For hvilke naturlige tal n er m = n et primtal? Andre typer omskrivninger Det er ikke altid at man kan omskrive vha. kvadratsætninger, nogle gange skal der andre omskrivninger til..1 Eksempel Hvis vi fx vil bestemme samtlige par af naturlige tal x og y som er løsning til ligningen kan vi omskrive på følgende måde x + 5y = 11(xy 11), (x y)(5y x) = 11. Pointen er som tidligere at vi nu har et produkt hvor de ubekendte indgår, på den ene side af lighedstegnet og et tal på den anden. Det er ikke altid helt let at finde en omskrivning, men i dette eksempel kan man se at hvis det skal lykkes, skal produktet være på formen (ax y)(by x), og herefter er det ikke så svært at finde a og b. Når vi først har omskrevet, kan vi løse ligningen således. Hvis begge faktorer er negative, er x < y < 1 5x, hvilket er en modstrid. Dermed er begge faktorer positive. Det er nu nemt at tjekke mulighederne igennem, og man får at den eneste løsning er x = 14 og y = 7. (Baltic Way 1998). Opgave Bestem alle par af hele tal (x, y) som opfylder ligningen.3 Opgave y (x + 1) + x (y + 16) = 448. Bestem samtlige par af naturlige tal (x, y) som opfylder ligningen (Georg Mohr-Konkurrencen 1997) x + x xy 3y = 1997.
3 Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 3.4 Opgave Vis at hvis a n 1 er et primtal for hele tal a og n med n > 1, da er a = og n er et primtal. 3 Restklasseregning og kvadratiske rester Mange ligninger kan løses ved restklasseregning i stedet for omskrivninger. Det svære er som regel at gennemskue hvilket tal det kan betale sig at regne modulo. Først ser vi på kvadratiske rester 3.1 Definition En restklasse a modulo n er en kvadratisk rest hvis ligningen har en heltallig løsning. 3. Eksempel x a mod n De kvadratiske rester modulo 8 er netop resterne 0, 1 og 4, mens fx 5 ikke er kvadratisk rest modulo 8 da ligningen x 5 mod 8 ikke har nogen løsninger. 3.3 Eksempel Det er ofte en god ide at få reduceret problemstillingen til en ligning af typen x a mod n, da ikke alle rester er kvadratiske rester modulo n. Hvis vi ønsker at bestemme samtlige heltallige løsninger til ligningen 15x 7y = 9, er det mest oplagt at forsøge at regne modulo 3, 5 eller 7. Først prøver vi at regne modulo 3. Dette giver at y er delelig med 3, og vi kan sætte y = 3y 1. Nu er 15x 63y1 = 9 hvilket reduceres til 5x 1y1 = 3. Dette giver på samme måde 45x 1 1y 1 = 3 som reduceres til 15x 1 7y 1 = 1. Regner vi nu modulo 3, skal y1 1 (mod 3), men 1 er ikke kvadratisk rest modulo 3. Ligningen har derfor ingen heltallige løsninger. Hvis vi i stedet regner modulo 5, får vi 3y 4 (mod 5). Ganger vi med på begge sider, giver dette y 3 (mod 5), men 3 er ikke kvadratisk rest modulo 5. I dette tilfælde kan man altså både regne modulo 3 og modulo 5, men det er langt det hurtigste at regne modulo 5. I praksis må man forsøge sig lidt frem. 3.4 Opgave Bestem alle par (x, y) af naturlige tal som opfylder x 3y = Opgave Bestem alle par (x, y) af naturlige tal som opfylder 6(x! + 3) = y + 5.
4 Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde Opgave Findes der fire forskellige positive heltal med den egenskab at produktet af vilkårlige to lagt til 006, giver et kvadrattal? (Baltic Way 006) 3.7 Opgave Antag at n er et naturligt tal, og at d 1 < d < d 3 < d 4 er de fire mindste naturlige tal som går op i n. Bestem samtlige hele tal n som opfylder at n = d 1 + d + d 3 + d 4. Det er ikke altid at der indgår kvadrater så man kan benytte kvadratiske rester, men moduloregning er stadig et stærkt redskab. 3.8 Eksempel I denne opgave vil vi bestemme samtlige par af naturlige tal n og m for hvilke n = m. Da der står en potens af på den ene side af lighedstegnet, regner vi først modulo 8. Hvis n er lige, er 3 n 1 (mod 8), og hvis n er ulige, er 3 n 3 (mod 8). Blot ved at se på ligningen modulo 8 kan man altså konstatere at der ikke findes løsninger når m >. Det ses nu let at den eneste løsning er n = 1 og m =. 3.9 Opgave To naturlige tal har summen 00. Kan 00 gå op i de to tals produkt? (Georg Mohr-Konkurrencen 00) 3.10 Opgave I 1001-nats eventyr fortæller sultanen sin kone at hun skal hænges med mindre hun kan finde et naturligt tal n så n 1001 er delelig med n +. Overlever hun? 3.11 Opgave Bestem det mindste naturlige tal k således at k = 19 n 5 m for naturlige tal n og m. (Baltic Way 1999) 3.1 Opgave Bestem samtlige heltallige løsninger til ligningen x + y + z = xyz.
5 Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 5 4 Løsninger Opgave 1. Vi har at x 6 y = (x 3 + y)(x 3 y) = 53. Da 53 er et primtal, må x 3 + y = 53 og x 3 y = 1. Dermed er x = 3 og y = 6. Opgave 1.3 Kald den ukendte katete a og hypotenusen c. Da er 997 = 1994 = c a = (c + a)(c a). Da c + a og c a har samme paritet, må de begge være lige. Vi har derfor 997 = c + a c a, hvor 997 er et primtal. Heraf ses at a+c = 997 og a c = 1. Dette giver c = = Opgave 1.4 Da a + b + 9ab = (a b) + 11ab, er a b delelig med 11 da 11 er et primtal. Dermed er også a b = (a + b)(a b) delelig med 11. Opgave 1.6 Lad n = a + b og m = c + d. Vi skal nu vise at også nm er en sum af to kvadrater, og det gør vi ved at regne og omskrive vha. af kvadratsætninger. nm = a c + a d + b c + b d = (ac + bd) abcd + (ad bc) + abcd. Heraf ses at også nm kan skrives som sum af to kvadrater. Opgave 1.7 m = n = (n + ) (n) = (n + n + )(n n + ). For alle n > 1 er m derfor ikke et primtal, og for n = 1 er m = 5. (Bemærk at der generelt gælder at n 4 + 4m 4 = (n + nm + m )(n nm + m ).) Opgave. Først omskriver vi således: y (x + 1) + x (y + 16) = 448 x y + 16x + y = 448 x (y + 8) + y + 8 = 456 (x + 1)(y + 8) = Da x + 1 er ulige, må x + 1 være lig med 1, 3, 19 eller 57. Af dette ser man at x = 0, ±1, ±3. Ved at efterprøve disse muligheder får man følgende otte løsninger (±1, ±1) og (±3, ±4). Opgave.3 Da xy + 3y = y(x + 3) og x + x = (x + 3)(x 1) + 3, kan ligningen omskrives til 1994 = (x + 3)(x 1) y(x + 3) = (x + 3)(x 1 y). De eneste faktoriseringer af tallet 1994 er og 997, og da x + 3 er den største af faktorerne, får vi derfor løsningerne (x, y) = (1991, 1989) og (x, y) = (994, 991).
6 Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 6 Opgave.4 Antag at a n 1 er et primtal. Vi udnytter at a n 1 = (a 1)(a n 1 + a n a + 1), til at indse at a =. Hvis n er et sammensat tal n = uv, u, v > 1, da er n 1 = ( u ) v 1 = ( u 1)(( u ) v 1 + ( u ) v u + 1). Dermed må n være et primtal, hvis n 1 er et primtal. Opgave 3.4 Da 1 ikke er kvadratisk rest modulo 3, har ligningen ingen løsninger. Opgave 3.5 Bemærk først at y må være ulige, dvs. y 1 (mod 8). For x 4 er 6(x! + 3) 6 3 (mod 8), og y (mod 8), dvs. der ingen løsninger er. Hermed ses det let at (, 5) og (3, 7) er de eneste løsninger. Opgave 3.6 Produktet af to lige tal er altid deleligt med 4, dvs. produktet af to lige tal lagt til 006 har rest modulo 4, men er ikke kvadratisk rest modulo 4. Hvis der findes fire tal med den ønskede egenskab, må tre af disse derfor være ulige. Blandt tre ulige tal findes to som har samme rest modulo 4. Produktet af disse to har rest 1 modulo 4, og dermed har produktet lagt til 006 rest 3 modulo 4, men 3 er ikke kvadratisk rest modulo 4. Derfor findes der ikke fire tal med den ønskede egenskab. Opgave 3.7 Antag at n = d 1 + d + d 3 + d 4. Hvis n er ulige, vil d 1 + d + d 3 + d = 0 (mod 4), hvilket er umuligt. Hvis n er lige, vil d 1 = 1 og d =, og dermed n = d 3 + d 4 0 (mod 4), dvs. at 4 ikke går op i n. Samlet ser vi at d 3 = p, og at d 4 = p eller d 4 = q hvor p og q er ulige primtal. Hvis d 4 = q, vil n 3 (mod 4), hvilket er umuligt. Dermed er n = 1+4+p +4p = 5p +5 = 5(p +1). Af dette ses at p = 5, dvs. at n = 5(5 +1) = 130 er det eneste tal der opfylder det ønskede. Opgave 3.9 Svaret er nej, og dette bevises indirekte. Antag at a + b = 00, og at ab er delelig med 00. Da er 0 ab = a(00 a) a (mod 00), dvs. at a er delelig med 00. Desuden er 00 = kvadratfrit, dvs. at a er er delelig med 00, hvilket er en modstrid da 0 < a < 00. Opgave 3.10 Nej, hun overlever ikke. Regner vi modulo n+, er i (n+ i) (mod n + ). Hvis n er ulige, giver ligningen n (mod n + ). Hvis n er lige, giver ligningen ( n + ) n (mod n + ). Vi ved at ( n+ ) (mod n + ) eller ( n+ der ikke noget n med den ønskede egenskab. )1001 n+ (mod n + ). Dermed findes
7 Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 7 Opgave 3.11 For n = m = 1 er k = 14. Antag at k < 14. Hvis n er ulige, er sidste ciffer i k 4, dvs. k = 4. Men 19 n 5 m har aldrig rest 1 modulo 3. Hvis n er lige, er sidste ciffer i k 6, dvs. k = 6. Hvis vi regner modulo 3, får vi at 0 19 n 5 m 1 m (mod 3), dvs. at også m er lige. Sæt nu n = n 1 og m = m 1. Da er 6 = (19 n 1 ) (5 m 1 ) = (19 n 1 5 m 1 )(19 n m 1 ), men denne ligning har ingen løsninger. Dermed er k = 14. Opgave 3.1 Hvis x + y + z = xyz, skal enten et eller tre af tallene x, y og z være lige. Antag at kun et af tallene er lige, fx x = x 1. Da vil y + z = 4x 1 yz 4x 1 0 (mod 4), hvilket er en modstrid. Dermed er alle tre tal lige. Ved at sætte x = x 1, y = y 1 og z = z 1 får vi x 1 + y 1 + z 1 = 4x 1y 1 z 1. Ved samme argumentation følger nu at x 1, y 1, z 1 er lige, og da dette kan gentages vil x, y, z være delelige med n for alle naturlige tal n. Dermed er den eneste løsning x = y = z = 0.
TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereTALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.
Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereTALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.
Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?
Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereTalteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007
Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Talteori. Georg Mohr-Konkurrencen
Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal går op i et andet helt tal. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori,
Læs meret a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36
Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion
Læs mereDiskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011
Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereLigninger med reelle løsninger
Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs merePolynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.
Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter
Læs mereer et helt tal. n 2 AB CD AC BD (b) Vis, at tangenterne fra C til de omskrevne cirkler for trekanterne ACD og BCD står vinkelret på hinanden.
Opgave Heltalligt Bestem alle hele tal, n >, for hvilke n + n er et helt tal. Opgave Trekantet I en spidsvinklet trekant ABC skærer vinkelhalveringslinien fra A siden BC i punktet L og den omskrevne cirkel
Læs mereLigninger med reelle løsninger
Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger
Læs mereKvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereParadokser og Opgaver
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på
Læs mereAlgebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering
Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................
Læs mereAlgebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk
matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende
Læs mereBaltic Way opgavesæt Sorø 2005 Løsninger
Baltic Way opgavesæt Sorø 005 Løsninger 1. Lad r > 1 være et reelt tal og lad a n være givet ved a n = 1 ( r n 1 ) n r n for n 1. Bevis at a n+1 > a n for alle n 1. Løsning: Vi har følgende serie af biimplikationer:
Læs mereTransformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion
Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling
Læs mereRettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde
Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen 2006 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en opgave, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne oplysninger til
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereInvarianter. 1 Paritet. Indhold
Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mere10. Nogle diofantiske ligninger.
Diofantiske ligninger 10.1 10. Nogle diofantiske ligninger. (10.1). I dette kapitel betragtes nogle diofantiske ligninger, specielt nogle af de ligninger, der kan behandles via kvadratiske talringe. Ligningerne
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2008 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereIntroduktion til uligheder
Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis
Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11
Læs mereGeometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:
Geometrinoter, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler sætninger om trekanter, trekantens ydre røringscirkler, to cirklers radikalakse samt Simson- og Eulerlinjen i en trekant.
Læs mereMatematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri
Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11
Læs mereElementær Matematik. Tal og Algebra
Elementær Matematik Tal og Algebra Ole Witt-Hansen 0 Indhold Indhold.... De naturlige tal.... Regneregler for naturlige tal.... Kvadratsætningerne..... Regningsarternes hierarki...4. Primtal...4 4. Nul
Læs mereSvar på opgave 336 (Januar 2017)
Svar på opgave 6 (Januar 07) Opgave: De komplekse tal a, b og c opfylder ligningssystemet Vis, at a, b og c er reelle. (a + b)(a + c) = b (b + c)(b + a) = c (c + a)(c + b) = a. Besvarelse:. metode Lad
Læs mereDivisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så
Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =
Læs mereMatematisk induktion
Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag
Læs mereRegning. Mike Vandal Auerbach ( 7) 4x 2 y 2xy 5. 2x + 4 = 3. (x + 3)(2x 1) = 0. (a + b)(a b) a 2 + b 2 2ab.
Mike Vandal Auerbach Regning + 6 ( 7) (x + )(x 1) = 0 x + = 7 + x y xy 5 7 + 5 (a + (a a + b ab www.mathematicus.dk Regning 1. udgave, 018 Disse noter er en opsamling på generelle regne- og algebraiske
Læs mereCosinusrelationen. Frank Nasser. 11. juli 2011
Cosinusrelationen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereTREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)
Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale
Læs mereAnalytisk plangeometri 1
1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt
Læs mereGrundlæggende regneteknik
Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 14. oktober 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3 1.2
Læs mere1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.
Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt
Læs mereVinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik.
Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1 1 Paritet Diskret matematik. I mange matematikopgaver er det en god ide at se på paritet dvs. hvornår en bestemt størrelse er henholdsvis lige
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereOversigt [LA] 3, 4, 5
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereRinge og Primfaktorisering
Ringe og Primfaktorisering Michael Knudsen 16. marts 2005 1 Ringe Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1,0,1,2,...}. På Z har to regneoperationer, + (plus) og (gange), der til to hele tal
Læs mereGrundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel
Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes
Læs mereOpgaver. Kapitel 1 fra Bogen. Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007
Opgaver Kapitel 1 fra Bogen Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007 Dette kapitel indeholder opgaver af ret varierende sværhedsgrad. De letteste ligger i forlængelse af, hvad der
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereGeometri, (E-opgaver 9d)
Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereFacitliste til elevbog
Facitliste til elevbog Algebra a 8x 4 b 6x c 7x 8 d 0 5x e x 54 f 8x 6 x a x 7x + 4 b 48a 4 + 8a c 56x + x d 6a 4 5a e 4x 80x f 6a 4 4a a 8(x + ) b 5x(4x 7) c 4( a) d 9a ( a) e 4( + 7a ) f 6(x + y) 4 a
Læs mereTALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.
Følger og den knesske restklassesætnng, december 2006, Krsten Rosenklde 1 TALTEORI Følger og den knesske restklassesætnng Dsse noter forudsætter et grundlæggende kendskab tl talteor som man kan få Maranne
Læs mereFrank Villa. 15. juni 2012
2 er irrationel Frank Villa 15. juni 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som aonnerer på MatBog.dk. Se yderligere etingelser for rug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mere6. december. Motivation. Internettet: Login til DIKU (med password) Handel med dankort Fortrolig besked Digital signatur
6. december Talteoretiske algoritmer, RSA kryptosystemet, Primtalstest Motivation Definitioner Euclids algoritme Udvidet Euclid RSA kryptosystemet Randominserede algoritmer Rabin-Miller primtalstest Svært
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 20 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereLøsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse
1 Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien
Læs mere4x + 3y + k 4(x + 3y + k) 2(y + x) + 2(xy + k) 7(2y + 3x) 2(k + 2(y + x))
A.0 A Algebradans x + y + k (x + y + k) (y + x) + (xy + k) (y + x) (k + (y + x)) k + k + k + (y +xy + k) (y + x) + k x + x + x + x + x + k (xy + (y + x) xy + xy + k (k + y + k) (xy + x) + y 6(x + xy) k
Læs mereGrundlæggende regneteknik
Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3
Læs mereSpilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Spilstrategier
Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1 1 Spilstrategier Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereAlgebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:
INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mereParadokser og Opgaver
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på bagsiden).
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2009 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereSpilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4
Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende
Læs mereArealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig
Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereLøsning til aflevering - uge 12
Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store
Læs mereSpilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde
Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der
Læs mereGEORG MOHR OPGAVER OG LØSNINGER 1991-2010 GEORG MOHR-KONKURRENCEN OPGAVER OG LØSNINGER 1991-2010. Kirsten Rosenkilde. Marianne Terp.
GEORG MOHR-KONKURRENCEN OPGAVER OG LØSNINGER 1991-2010 GEORG MOHR K O N K U R R E N C E N OPGAVER OG LØSNINGER 1991-2010 Kirsten Rosenkilde. Marianne Terp. Rasmus Villemoes Georg Mohr-Konkurrencen Opgaver
Læs mereDefinition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereNøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
Læs mereParadokser og Opgaver
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen og Katrine Rude Laub Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post
Læs mere2. Gruppen af primiske restklasser.
Primiske restklasser 2.1 2. Gruppen af primiske restklasser. (2.1) Setup. I det følgende betegner n et naturligt tal større end 1. Den additive gruppe af restklasser modulo n betegnes Z/n, og den multiplikative
Læs mereNoter om primtal. Erik Olsen
Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereMatematik på 9. og 10. klassetrin
Matematik på 9. og 10. klassetrin Hayati Balo, AAMS, Forår 2013 Baseret på 9. klasse og 10. klasse udvidet kursus (Sigma), 1. udg. 8. oplæg 1986 og 1. udg. 6. oplæg 1986, af Henry Schultz, Johan Jacobsen,
Læs mereJeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som
Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Læs mere