INTRODUKTION Maple Funktioner Regression

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "INTRODUKTION Maple Funktioner Regression"

Transkript

1 INTRODUKTION Maple Funktioner Regression x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1

2 Indholdsfortegnelse PAPIR, BLYANT OG COMPUTER... 3 LEKTIELÆSNING FØRSTE MATEMATIKMODULER... 3 KOM I GANG MED MAPLE... 4 Et par vigtige knapper... 5 LINEÆRE FUNKTIONER... 7 EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER POTENSFUNKTIONER (ganget med en konstant) ANVENDELSE AF INDICES Indices i Maple

3 PAPIR, BLYANT OG COMPUTER Når du læser lektier eller har et modul på skolen, er det vigtigt, at du altid både har computer samt blyant og papir til rådighed. Du skal ende med at beherske begge dele. Vi anvender hovedsageligt matematikprogrammet Maple, der er et såkaldt CAS-værktøj (Computer Algebra System), der dækker over matematikprogrammer, der kan arbejde med matematiske udtryk indeholdende bogstaver. Maple kan dog væsentligt mere end det, og det tager tid at blive fortrolig med programmet. Det er derfor vigtigt, at du både hjemme og i skolen - altid selv prøver at indtaste kommandoerne, samt at du udviser en vis nysgerrighed. Problemerne skal opdages i timerne eller i forbindelse med lektierne. Det er skidt først at opdage problemerne, når du sidder til en prøve eller i en anden situation, hvor det er kritisk. Du skal også kunne regne selv, og på nogle punkter er en computer væsentlig langsommere end papir og blyant. Hvis du f.eks. skal skitsere et kompliceret problem og tænke over, hvordan man løser det, eller hvis du skal gennemføre et matematisk bevis, er en computer ikke meget værd. Det er derfor vigtigt, at du altid har en papirblok og skriveredskaber med, og at du i matematik, fysik og kemi tager noter i hånden. LEKTIELÆSNING Vær opmærksom på, at lektielæsning i de naturvidenskabelige fag og matematik foregår i et langsommere tempo, end når du læser en roman. Det er vigtigt, at du får tænkt over sætninger, formler, pointer og tankegange og hele tiden selv regner med i eksemplerne. I matematik læser vi som udgangspunkt bagud. Dvs. vi gennemgår det nye stof på skolen, hvorefter du læser om det hjemme. Det er derfor vigtigt, at du noterer dig, hvis der er noget, du ikke har forstået efter læsningen, så du kan stille spørgsmål til det i det kommende modul. 3 FØRSTE MATEMATIKMODULER De tre første matematikmoduler kommer til at adskille sig markant fra resten af matematikmodulerne. Vi begynder med en kickstart, hvor I kastes lige ud i anvendelsen af Maple samt behandlingen af regression på lineære funktioner, eksponentielle udviklinger og potensfunktioner. I får smidt utrolig mange informationer i hovedet uden nogen grundig introduktion til begreberne, så der bliver meget gør dette, skriv sådan og højreklik på det udtryk. Formålet er at få jer i gang med at anvende Maple og gøre jer i stand til hurtigt at løse en standardopgavetype med funktionstyper, der er vigtige inden for både kemi og fysik. Derefter går vi rigtigt i gang med matematik, hvor det hele bygges op fra bunden, og alt forklares, og i løbet af 1.g når vi også at få behandlet ovennævnte funktionstyper ordentligt. 3

4 KOM I GANG MED MAPLE Når du åbner Maple, kan du vælge mellem New Document og New Worksheet. Vores Mapledokumenter skal se ordentlige ud, så vi arbejder i Document : Det er vigtigt at bemærke, at du IKKE behøver at være computerinteresseret og selv sætte dig ind i Maple. Hvis du altid er med i timerne og arbejder med lektierne, så lærer du alt det, du har brug for. Til venstre i Maple findes paletterne, hvor du kan finde alle de symboler, bogstaver og skrivemåder, du har brug for. Bemærk, at dit område IKKE ligner området yderst til venstre endnu. Det gør det først, når du har været ude i området og højreklikke og valgt Show All Palettes. Og når du efterfølgende åbner paletten Favorites, vil den heller ikke se ud som min Favorites til venstre. Du skal selv vælge dine favoritter ved at højreklikke på dem og vælge Add To Favorites Palette. Prøv allerede nu at finde nogle af de viste symboler under Common Symbols, Calculus, Accents og Expression og tilføj dem til favoritpaletten. 4

5 Væn dig til altid at begynde en opgave med restart og with(gym). Bemærk med det samme, at Maple skelner mellem store og små bogstaver, og bemærk, at mellemrum har afgørende betydning. Som udgangspunkt skal du skrive tingene ud i et. Maple sætter selv nogle mellemrum - f.eks. ved kommaer og det kan snyde, når du læser disse noter: Når man har lært kommandoerne at kende, eller når man skal aflevere en opgave, der jo skal se ordentlig ud, skal man ikke se alt det med blå skrift. Dette gøres med et kolon :. Gå op og tilføj et kolon efter with(gym) og tryk enter: Et par vigtige knapper Der kan af forskellige årsager opstå rod i Maple. I så fald kan du nulstille Maple-serveren og med de tre udråbstegn gennemkøre samtlige kommandoer. 5

6 Du kan altid se, hvad Maple har tænkt sig at behandle, når du trykker enter: Sammenlign ovenstående med nedenstående og bemærk, hvordan man hvis man har kludret i det og sat et tekst-mellemrum ind midt i det hele kan opdage fejlen ved at holde øje med det stiplede område: Hvis du ikke har fået gemt dit dokument løbende og er så uheldig, at Maple pludselig fryser, er det oftest muligt at redde det meste af det mistede, hvis du lukker Maple ned og FØRSTE GANG DU IGEN ÅBNER MAPLE med det samme går ned og vælger Restore Backup : Efter denne introduktion er vi klar til noget matematik. 6

7 LINEÆRE FUNKTIONER En lineær funktion er en funktion med forskriften f x a x b. a og b er såkaldte konstanter, der i konkrete situationer antager bestemte værdier. Så eksempler på lineære funktioner er: f x 2x 1 (her er a 2 og b 1) f x 13x 7 (her er a 13 og b 7) f x 22, 78x 189, 23 (her er a 22, 78 og b 189, 23) f x x (her er a 1 og b 0) 5 5 f x x (her er a 1 og b ) 3 3 f x 7 2 x (her er a 2 og b 7 (Bemærk, leddene er byttet rundt)) x kaldes den uafhængige variabel, og f(x) er funktionsværdien eller den afhængige variabel (angivet som y, hvis det er en ligning). Det skal forstås på den måde, at du selv kan vælge din uafhængige variabel, og værdien af den afhængige variabel afhænger så af dette valg. Eksempel: Vi ser på den lineære funktion f med funktionsforskriften f x 3 x 5. Vi vælger nu uden nogen bestemt grund at vores uafhængige variabel x skal være 4. Vi indsætter dette i forskriften ved alle steder at erstatte x med 4: I Maple foregår dette ved først at definere funktionen, hvilket sker med := i stedet for bare =, og derefter kan man indsætte værdier: 7

8 Eksempel: Man kan (igen med udgangspunkt i f x 3 x 5 Hvilken x-værdi vil give os funktionsværdien 2? Den matematiske opskrivning af dette er: f x 2. ) stille spørgsmålet: Maple kan løse denne opgave (som er en ligning), hvis man opskriver udtrykket, højreklikker på det og vælger solve. Her dukker flere forskellige muligheder op. Prøv bare nogle forskellige. I nedenstående opskrivning er der valgt solve igen: Maple fortæller os altså, at hvis x 1, er funktionsværdien 2, eller skrevet matematisk: f 1 2. Man kan frit vælge x-værdier, og hver gang får man en tilsvarende funktionsværdi. Dette kan afbildes i et koordinatsystem ved at indsætte punkterne x, f x. Der er uendeligt mange af sådanne punkter, da man kan vælge en hvilken som helst værdi for x, og grafen bliver så en ret linje med hældningen a og skæringen b med andenaksen: Sætning: Grafen for den lineære funktion f x a x b er i et almindeligt koordinatsystem en ret 0,b. linje med hældningen a og skæring med andenaksen i punktet Tjek, at du kan forstå tegningen ovenfor. 8

9 Lineære funktioner er vigtige, da de optræder ofte i den virkelige verden. Eksempel 1: Du skal købe mangoer, der koster 12 kr. stykket, og du skal købe en pose til 3 kr. at bære dem i. Lad x være antallet af mangoer, og lad P(x) være prisen målt i kr., du skal betale. Funktionsudtrykket bliver så under forudsætning af at der ikke bliver behov for mere end én pose følgende: 12 x 3 P x. Vi vil gerne vide to ting: a) Hvor meget koster det dig at købe 7 mangoer? b) Hvor mange mangoer kan du købe for 100 kroner? Dette løses i Maple: Eksempel 2: Massefylden af saltvand afhænger af saltkoncentrationen i vandet. Ved 20 C har man målt følgende: Vi regner med, at der er tale om en lineær sammenhæng, men vil gerne undersøge, om det er tilfældet, og hvis det er tilfældet, vil vi gerne have en funktionsforskrift for massefylden som funktion af saltindholdet. I tilfælde, hvor man har mere end 2 sæt sammenhørende værdier, skal man foretage regression. Dette gøres i Maple ved først at definere lister med firkantede parenteser (husk selv at gennemføre alle indtastninger i eksemplerne), hvorefter vi har nogle kommandoer fra Gym-pakken, der foretager udregninger for os (se næste side): 9

10 Bemærk, at punkterne danner en ret linje, og dermed ser vores forventning ud til at holde. Vi kan også aflæse ligningen for den rette linje lige over grafen. Hvis vi ikke behøver at se grafen, men bare vil have en lineær funktionsforskrift, kan vi gøre følgende, hvor vi lader M betegne massefylden målt i g/ml og S saltindholdet målt i g/l: Nu kender Maple forskriften, og du kan bruge den til f.eks. at besvare spørgsmålene: a) Hvor stor vil massefylden være, hvis man opløser 133 g NaCl pr. L opløsning? b) Hvor mange gram NaCl pr. liter opløsning skal opløses, hvis man skal have en massefylde på 2 g/ml? Så her er en meget vigtig pointe, du altid skal holde dig for øje: Der er grænser for modellers rækkevidde. 10

11 EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER En eksponentiel udvikling er en funktion med forskriften f x b a x ; a 0 ; a 1 ; b 0 Igen er a og b konstanter, der dog i dette tilfælde SKAL være positive. Så eksempler på eksponentielle udviklinger er: x f x 5 3 (Her er a 3 og b 5) x f x 0,7 13,7 (Her er a 13,7 og b 0,7) x f x 1,06 (Her er a 1,06 og b 1) Igen vil b angive skæringen med andenaksen, men grafen for en eksponentiel udvikling giver ikke en ret linje i et almindeligt koordinatsystem, så den har ingen hældning. I stedet gælder følgende: b er skæringen med andenaksen, og a kaldes fremskrivningsfaktoren (eller grundtallet), og den fortæller noget om, hvordan grafen buer. Hvis 0 a 1, har man en aftagende funktion med en graf, der buer som tur ned ad en rutsjebane, når man bevæger sig mod højre (se den røde graf nedenfor). Hvis a 1, har man en voksende funktion med en graf, der buer opad, når man bevæger sig mod højre. Jo større a er, jo hurtigere skyder grafen til vejrs (se grøn og blå graf nedenfor): Tjek, at du forstår betydningen af a og b ved at kigge på graferne. Fremskrivningsfaktoren a er knyttet til vækstraten r (også kaldet rentefoden) ved a 1 r. Eksempel: Hvis f x 3,91 1,57 x er a 1,57 og dermed r 0,57 57% Dette betyder, at hver gang x øges med én enhed, så øges f(x) med 57%. Hvis f x 6,48 0,83 x er a 0,83 og dermed r 0,17 17% Dette betyder, at hver gang x øges med én enhed, så falder f(x) med 17%. 11

12 Der gælder følgende vigtige egenskaber for eksponentielle udviklinger, som vi på et senere tidspunkt skal udlede og behandle mere grundigt, men som vi i første omgang blot skal illustrere: x Sætning: Grafen for en eksponentiel udvikling f x b a er en ret linje, når den afbildes i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem. For en aftagende eksponentiel vækst (dvs. 0 a 1) er halveringskonstanten T For en voksende eksponentiel vækst (dvs. a 1) er fordoblingskonstanten T 2 ½ 1 ln 2 ln a a ln 2 ln. Kig igen på de to grafer. Det er på andenakserne, der halveres/fordobles, men det er på førsteakserne, at du kan aflæse halverings- eller fordoblingskonstanterne. 12

13 Vi mangler nu at forklare, hvad et enkeltlogaritmisk koordinatsystem er. Den rigtige forklaring kommer først senere i 1.g, når vi har gennemgået logaritmer, men her illustreres det grafisk i følgende eksempel, hvor vi også samler op på de andre informationer i forbindelse med eksponentielle udviklinger: Eksempel: 99m Tc er en metastabil nuklear isomer af isotopen technetium-99. Den er radioaktiv og er et af de mest anvendte radioaktive stoffer på hospitalerne, hvor dets gammahenfald anvendes til diagnosticering. I vores opgave får en patient indsprøjtet 99m Tc, og man måler tælletallene N (registrerede henfald pr. sekund) til forskellige tider t, hvor t måles i antal timer efter indsprøjtningen. Tid Tælletal Vi ønsker svar på følgende spørgsmål: a) Kan vi benytte en eksponentiel model til at beskrive tælletallet som funktion af tiden? b) Hvad er i så fald funktionsforskriften? c) Hvad er i så fald halveringstiden (det er tydeligvis en aftagende funktion)? d) Hvad var tælletallet ifølge modellen lige efter indsprøjtningen? e) Hvad vil tælletallet ifølge modellen være efter 20 timer? f) Hvornår er tælletallet nede på 1? g) Hvornår er tælletallet 0? Tag spørgsmålene et for et. Prøv først selv at besvare dem ved hjælp af Maple, og læs derefter besvarelsen: Vi har endnu ikke fået svar på vores spørgsmål, for vores koordinatsystem er ikke enkeltlogaritmisk, og vi ser da også, at punkterne bare danner en bue. Bemærk her den meget vigtige pointe: Man kan ikke vurdere buer, dvs. man kan ikke ud fra en bue sige det er tydeligvis en eksponentiel udvikling, for der er uendelig mange andre funktioner, der giver buer. Man kan få en mistanke om det, men denne mistanke skal så bekræftes i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem. Man kan nemlig som det eneste vurdere rette linjer. 13

14 Når vi skal lave et enkeltlogaritmisk koordinatsystem, skal vi gøre vores andenakse logaritmisk (hvis du gør førsteaksen logaritmisk, har du jo godt nok stadig kun en enkelt logaritmisk akse, og i et sådant koordinatsystem vil logaritmefunktioner give rette linjer, men det ligger underforstået dvs. sådan har man nu engang defineret ordet at enkeltlogaritmisk henviser til en logaritmisk andenakse og almindelig førsteakse): Højreklik på diagrammet og vælg Axes og Properties : Du får nu: Da punkterne danner en ret linje i det enkeltlogaritmiske koordinatsystem, er der tale om en eksponentiel udvikling. 14

15 Hvis vi gerne vil se det med tendenslinje, gør vi, som vi gjorde med den lineære funktion, bortset fra at vi nu skal lave eksponentiel regression i stedet for lineær regression: Nu har vi fået vist, at der er tale om en eksponentiel udvikling, og vi skal derfor til at svare på de næste spørgsmål. Her har vi ikke brug for grafen og gør derfor følgende: 15

16 d) Lige efter indsprøjtningen er t 0, dvs. vores begyndelsesværdi på 177 fortæller os, at lige efter indsprøjtningen er tælletallet ifølge modellen

17 Opsamling på eksponentielle udviklinger Nogle af de egenskaber, vi har set på, er karakteristiske for eksponentielle udviklinger. Dvs. de er de eneste funktioner med disse egenskaber. x Karakteristiske egenskaber ved eksponentielle udviklinger: f x b a a) Grafen danner en ret linje i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem. b) Der findes enten en halverings- eller en fordoblingskonstant. c) Når man går én enhed ud af x-aksen, øges funktionsværdien med en fast procentdel r a 1 d) Når man vedbliver med at lægge en fast værdi til x-værdien, vil funktionsværdien vedblive med at øges med en fast procentdel. Egentlig er b), c) og d) tre sider af samme sag. d) er den mest generelle af de tre, og de to andre kan betragtes som specialtilfælde. For hvis man tager udgangspunkt i d og lader 1 være den faste værdi, man vedbliver at lægge til x-værdien, så vil r a 1være den faste procentdel, som funktionsværdien øges med. Og hvis man vender situationen om og tager udgangspunkt i procentdelen og sætter denne til r 50% eller r 100%, så finder man henholdsvis halverings- eller fordoblingskonstanten. Tænk grundigt over betydningen af karakteristiske egenskaber. Hvis du IKKE arbejder med en eksponentiel udvikling, giver det INGEN MENING at snakke om halverings- eller fordoblingskonstanter. 17

18 POTENSFUNKTIONER (ganget med en konstant) Definition: En potensfunktion ganget med en konstant har forskriften: a ; 0 ; 0 ; 0 f x b x b x a Bemærk, at det igen kræves, at b er positiv, men bemærk også forskellen fra eksponentielle udviklinger, nemlig at vi nu kun ser på positive værdier af vores uafhængige variabel, og at a til gengæld nu gerne må være negativ. Da x ikke må være 0, har vi ingen begyndelsesværdi. b må derfor have en anden betydning i dette tilfælde. Vi samler her betydningen af konstanterne og de karakteristiske egenskaber for potensfunktioner (ganget med en konstant): a Sætning: For en funktion af typen f x b x ; b 0 ; x 0 ; a 0 a) Grafen går gennem punktet 1, b. gælder: b) Hvis a 0 har man en aftagende funktion, hvor grafen er en bue og løber ned langs y-aksen og hen langs x-aksen. c) Hvis 0 a 1 har man en voksende funktion med aftagende væksthastighed, hvor grafen buer, som om x-aksen trak mere i den end y-aksen. d) Hvis a 1har man en voksende funktion med voksende væksthastighed, hvor grafen buer, som om y-aksen trak mere i den end x-aksen. Karakteristiske egenskaber: e) Grafen danner en ret linje i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem. f) Når x-værdien ændres med en fast procentdel r x, ændres y-værdien med en fast procentdel r y, og sammenhængen mellem de to procentdele er givet ved: 1 ry 1 rx a Vi ser først på de tre typer af grafer (tilfældene b), c) og d)): 18

19 Vi ser nu på tre eksempler, der dækker hver af tilfældene b), c) og d): Eksempel 1: Vi ser på følgende gamle HF-eksamensopgave: Vi går i gang med at løse opgaven: 19

20 Eksempel 2: Et lod hænges i forskellige sytråde, og for hver sytråd måles først loddets svingningstid og derefter sytrådens længde. Man får følgende måleserie: Svingningstid i sekunder 0,92 1,35 1,79 1,98 2,23 Sytrådens længde i meter 0,21 0,45 0,80 0,98 1,24 Vi går ud fra, at det er potensvækst og vil så finde forskriften: Denne gang er anvendt et almindeligt koordinatsystem, så man kan se, hvordan grafen buer, når vi har en a-værdi over 1. I dette tilfælde er: b 0, 2477 a 2,01 Vi kan så besvare nogle spørgsmål, vi selv stiller: Svingningstid i sekunder 20

21 f x 34,16 x. Eksempel 3: Vi ser på en funktion med forskriften 0,28 Vi ønsker svar på spørgsmålene: a) Hvilken ændring sker der med funktionsværdien, når x værdien øges med 60%? b) På hvilken måde skal x-værdien ændres, hvis y-værdien skal halveres? Inden vi svarer på spørgsmålene, er det vigtigt, at du bemærker, at der IKKE er tale om en halveringskonstant i spørgsmål b. Der findes ingen halveringskonstant, for det er ikke en eksponentiel udvikling. Når vi har løst opgaven, ser vi på, hvorfor det ikke er en halveringskonstant, vi har fundet. Du skal bemærke, at det er fast procentdel, som x skal øges med, og IKKE en fast værdi, når y- værdien skal halveres. Derfor er der ikke tale om en halveringskonstant. 21

22 ANVENDELSE AF INDICES Index er det latinske (anatomiske) navn for pegefingeren. Et index angiver eller udpeger en mere udspecificeret del af et begreb. Indices er meget udbredt inden for naturvidenskaberne og i matematik. De kan placeres forskellige steder i forhold til det symbol, der angiver det overordnede begreb. Vi vil oftest sætte indices nederst til højre. Eksempler: Her følger en række eksempler, der gerne skulle gøre ovenstående forståeligt: Indices er en herlig opfindelse, som du hurtigst muligt skal vænne dig til at bruge. Det er en meget simpel og hurtig måde at forklare tankegangen i en opgave. Sommetider kan du med fordel anvende dobbelte indeks, f.eks. Ekin, start Epot, start Ekin, slut Epot, slut, der er den såkaldte mekaniske energibevarelse, hvor formlen fortæller os, at summen af den kinetiske energi til slut og den potentielle energi til slut er lige så stor som summen af den kinetiske energi fra start og den potentielle energi fra start. Sammenlign teksten og formlen og se, hvad der er mest overskueligt. Det er vigtigt at bemærke, at et indeks IKKE er et regnesymbol eller på anden måde fortæller, at vi skal gøre noget som helst ved det pågældende begreb. Eksempel: Her følger noget, der IKKE er indices. 22

23 Indices i Maple I Maple laver du et indeks ved at holde Shift -knappen (den brede knap med en pil opad) nede, mens du to gange trykker på Underscore -knappen, der nok sidder mellem dit punktum og den ene shift -knap. Afprøv dette ved at først at skrive et symbol og efterfølgende tilføje et indeks. Men der er også en anden skrivemåde, der ser ud på nøjagtig samme måde som et indeks, men betyder noget andet. Det er en skrivemåde, hvor du henviser til en placering i en liste. Dette gør du ved at holde både Shift - og Ctrl -knappen nede og trykke på Underscore-knappen én gang. Afprøv også dette. Begge skrivemåder findes også som symboler i Maple (gå ind under Expression): Bemærk, at det ensfarvede symbol er et indeks, fordi indekset jo sammen med symbolet udgør en enhed. Symbolet med det turkise a og det violette n fortæller, at n ikke hænger direkte sammen med a, men henviser til en placering i listen a. Prøv selv at opskrive ovenstående i Maple (både det på venstre- og højresiden). På venstresiden skal det skrive med indices. På højresiden skal det skrives, så der henvises til en placering i listen. Du laver de trekantede parenteser med tasterne < og >. Venstre side (anvendelse af indeks): Her definerer du en liste b og en variabel b3. Det er to helt forskellige størrelser, der INTET har med hinanden at gøre. Når du bagefter beder Maple om at angive, hvad b1, b2, b3 og b4 er, genkender det kun b 3, som du har defineret til at være 10. I de tre andre tilfælde gentager det bare din indtastning og viser dermed, at din indtastning ikke henviser til noget, det kender. Højre side (anvendelse af henvisning til placering i liste): Her definerer du først en liste b med fire placeringer. Efterfølgende omdefinerer du den tredje placering i listen, dvs. du erstatter 7-tallet med tallet 10. Når du efterfølgende beder Maple om at angive, hvad b1, b2, b3 og b4 er, så giver det dig tallene placeret i listen b. 23

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Indhold Definition:... Eksempel :... Begndelsesværdien b... Fremskrivningsfaktoren a... Eksempel :... Formlerne for a og b... 3 Eksempel 3:... 3 Bevis for formlen

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal.

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal. Eksponentielle funktioner Indhold Definition:... 1 Om a og b... 2 Tegning af graf for en eksponentiel funktion... 3 Enkeltlogaritmisk koordinatsstem... 4 Logaritmisk skala... 5 Fordoblings- og halveringskonstant...

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode

Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode Man kan skifte mellem tekst- og matemamatikmode ved at trykke på F5. I øjeblikket er jeg i tekstmode.. 2. lektion.

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Matematik A og Informationsteknologi B

Matematik A og Informationsteknologi B Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 6. december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Tværfagligt Projekt. Matematik og IT

Tværfagligt Projekt. Matematik og IT Tværfagligt Projekt Matematik og IT Navn: Ugur Kitir Skole: Roskilde - HTX Klasse: 2.4 Vejledere: Karl og Jørn Afleveringsdato: 01/12 2008 Indholdsfortegnelse Opgaveanalyse... 3 Indledning:... 3 Analyse

Læs mere

Eksponentielle funktioner

Eksponentielle funktioner Eksponentielle funktioner http://en.wikipedia.org/wiki/rabbits_in_australia 4. udg. 2011 12-12-2011 Eksponentielle funktioner Vækst Udfyld tabellen ved: at skrive begyndelsesværdien b = f(0) = 30 under

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Kom hurtigt i gang Maplesoft, 2014

Kom hurtigt i gang Maplesoft, 2014 Kom hurtigt i gang Maplesoft, 014 Kom hurtigt i gang med Maple Start Maple. Opstartsbilledet sådan ud Klik på knappen New Document, og du får nyt ark altså et blankt stykke papir, hvor første linje starter

Læs mere

Lommeregnerkursus 2008

Lommeregnerkursus 2008 Mikkel Stouby Petersen Lommeregnerkursus 008 Med gennemregnede eksempler og øvelser Materialet er udarbejdet til et kursus i brug af TI-89 Titanium afholdt på Odder Gymnasium. april 008 1. Ligningsløsning

Læs mere

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Indholdsfortegnelse: Enkelt logaritmisk koordinatsystem side 1 Eksempel på brug af enkelt logaritmisk koordinatsystem ud fra tabel side 2 Dobbelt

Læs mere

Vi har valgt at analysere vores gruppe ud fra belbins 9 grupperoller, vi har følgende roller

Vi har valgt at analysere vores gruppe ud fra belbins 9 grupperoller, vi har følgende roller Forside Indledning Vi har fået tildelt et skema over nogle observationer af gærceller, ideen ligger i at gærceller på bestemt tidspunkt vokser eksponentielt. Der skal nu laves en model over som bevise

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Undersøgelse af funktioner i GeoGebra

Undersøgelse af funktioner i GeoGebra Undersøgelse af funktioner i GeoGebra GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, men det kan også anvendes til undersøgelser og opdagelser omkring funktioner. Eksempel Tegn linjen med ligningen:

Læs mere

Matematik Grundforløbet

Matematik Grundforløbet Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold 2hf Matematik C Thomas Pedersen

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

Eksponentielle modeller

Eksponentielle modeller Eksponentielle modeller Fag: Matematik A og Informationsteknologi B Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Side 1 af 20 Indholdsfortegnelse Introduktion 1.Indledning... 3 2. Formål... 3

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11.

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2010/11 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Zealand Business College Hhx Matematik

Læs mere

Projektopgave Matematik A. Vejleder: Jørn Bendtsen. Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium

Projektopgave Matematik A. Vejleder: Jørn Bendtsen. Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium Projektopgave Matematik A Tema: Eksponentielle modeller Vejleder: Jørn Bendtsen Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 01-01-2008 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 1.

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. af Rasmus Axelsen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. af Rasmus Axelsen Matema10k Matema10k Matematik for hhx C-niveau af Rasmus Axelsen Matema10k. Matematik for hhx C-niveau 1. udgave, 1. oplag, 2013 Forfatteren og Bogforlaget Frydenlund ISBN 978-87-7118-253-8 Redaktion:

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =

Læs mere

Vejledning til WordMat på Mac

Vejledning til WordMat på Mac Installation: WordMat på MAC Vejledning til WordMat på Mac Hent WordMat for MAC på www.eduap.com Installationen er først slut når du har gjort følgende 1. Åben Word 2. I menuen vælges: Word > Indstillinger

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir

Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir 1 Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir OBS: til skriftlig eksamen skal du kun kunne aflæse på en graf, der allerede er indtegnet på dobbeltlogaritmisk papir. Du kan ikke komme ud for at skulle

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Differentialligninger med TI-Interactive!

Differentialligninger med TI-Interactive! Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4

Læs mere

Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005)

Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005) Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (005) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Stamfunktion og integralregning...3 Numerisk integration...3 Areal under

Læs mere

Brugervejledning til Graph (1g, del 1)

Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph (brugervejledning 1g, del 1) side 1/8 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE Formelsamling... side Grundlæggende færdigheder... side 4 a Finde konstanterne a og b i en regneforskrift (og p eller r)... side 4 b

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T

M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

OPGAVER 1. Løsning af ligningssystemer Disse første opgaver er introducerer til løsning af lineære ligningssystemer. De løses alle ved håndregning.

OPGAVER 1. Løsning af ligningssystemer Disse første opgaver er introducerer til løsning af lineære ligningssystemer. De løses alle ved håndregning. OPGAVER 1 Opgaver til Uge 5 Store Dag Opgave 1 Løsning af ligningssystemer Disse første opgaver er introducerer til løsning af lineære ligningssystemer. De løses alle ved håndregning. a) Find den fuldstændige

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 15-16 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF 2-årigt Matematik C

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Eksponentielle modeller

Eksponentielle modeller Eksponentielle modeller Matematik og Informationsteknologi 06-12-2010 HTX; klasse 2.4 Mathias Sørensen, Martin Schmidt, Andreas Mikkelsen Vejleder: Matematik: Jørn Bendtsen Informationsteknologi: Karl

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Susanne Holmelund

Læs mere

FUNKTIONER. Eks. hvis man sætter 3 ind på x s plads bliver værdien 2*3 + 5 = 11. Sætter man 4 ind på x s plads vil værdien blive 2*4 + 5 = 13

FUNKTIONER. Eks. hvis man sætter 3 ind på x s plads bliver værdien 2*3 + 5 = 11. Sætter man 4 ind på x s plads vil værdien blive 2*4 + 5 = 13 En funktion beskriver, hvordan en afhængig variabel afhænger af en uafhængig variabel. Læringsmål Forstå koordinatsystemet Vide hvad 1. og 2. aksen er Vide at x er 1. akse og y er 2. akse Forståelsen for

Læs mere

Funktioner - supplerende eksempler

Funktioner - supplerende eksempler - supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj- juni, 14-15 Horsens HF & VUC HF 2- årigt Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Bodil Krongaard

Læs mere

9 Eksponential- og logaritmefunktioner

9 Eksponential- og logaritmefunktioner 9 Eksponential- og logaritmefunktioner Hayati Balo, AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2 2. Crone og Rosenquist, Matematiske elementer

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2014

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2014 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Algekoncentrationen målt i mio. pr. L betegnes med A. Tiden måles i antal timer fra start og angives med t.

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Matematik B. Anders Jørgensen

Matematik B. Anders Jørgensen Matematik B Anders Jørgensen Løste opgaver: Juni 2015 Dette opgavesæt er givet til FriViden Dette opgavesæt blev lavet til en terminsprøve d. 7. april af Anders Jørgensen, VUC Vestsjælland Syd Karakteren

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Praktiske Maple kommandoer og arbejdsmåde

Praktiske Maple kommandoer og arbejdsmåde Praktiske Maple kommandoer og arbejdsmåde Options: I menuen "Tools" findes "Options". Under fanebladet "Interface" bør man vælge Default format for new worksheets = Worksheet Det bevirker, at man kan skelne

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik C Mikael ARNBJERG

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Kasper Jønsson

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik C Lærer(e) LSP ( Liselotte Strange-Pedersen

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Matematik for hf C-niveau

Matematik for hf C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for hf C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for hf C-niveau

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 200/2010 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C, HF Johnny

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Signe Skovsgaard

Læs mere

Matematik A-niveau Delprøve 1

Matematik A-niveau Delprøve 1 Matematik A-niveau Delprøve 1 Opgave 1 løsning: Andengradsligningen løses: x 2 + 2x 35 = 0 Den løses for diskriminanten. d = b 2 4ac Tallene indsættes. d = 2 2 4 1 ( 35) = 144 Vi regner for x. x = b ±

Læs mere

OPGAVER 1. Approksimerende polynomier. Håndregning

OPGAVER 1. Approksimerende polynomier. Håndregning OPGAVER 1 Opgaver til Uge 4 Store Dag Opgave 1 Approksimerende polynomier. Håndregning a) Find for hver af de følgende funktioner deres approksimerende polynomiumer af første og anden grad med udviklingspunkt

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Mathias Turac 01-12-2008

Mathias Turac 01-12-2008 ROSKILDE TEKNISKE GYMNASIUM Eksponentiel Tværfagligt tema Matematik og informationsteknologi Mathias Turac 01-12-2008 Indhold 1.Opgaveanalyse... 3 1.1.indledning... 3 1.2.De konkrete krav til opgaven...

Læs mere

Vejledning til Excel 2010

Vejledning til Excel 2010 Vejledning til Excel 2010 Indhold Eksempel på problemregning i Excel... 2 Vejledning til skabelon og opstilling... 3 Indskrivning... 5 Tips til problemregninger... 6 Brøker... 6 Når du skal bruge pi...

Læs mere

UENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK

UENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK UENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium INDHOLDSFORTEGNELSE UENDELIGHEDSBEGREBET... 3 1. POTENTIEL OG AKTUEL UENDELIGHED -... 4 2. RÆKKER... 6 3. TÆLLELIGHED...

Læs mere

Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11:

Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11: Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11: Opgave a) Ligningen for tangenten bestemmes. Dog defineres funktionen. Tangent-formlen er pr. definition. (1) Altså

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever.

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever. År Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse HF2-årigt Fag og Matematik C niveau Lærer Søren á Rógvu Hold 1b Oversigt over forløb Forløb 1 Forløb 2 Forløb 3 Forløb 4 Forløb 5 Forløb 6 Forløb

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

Øvelse 1 (mennesker) fælles

Øvelse 1 (mennesker) fælles Øvelse 1 (mennesker) fælles LAV INDDELING AF DISSE ORD Mænd Kvinder Gymnasieelever Teenagere Øvelse 2 (dyr) par LAV INDDELING AF DISSE ORD Hund Pattedyr Krybdyr Menneske Chow chow Kæledyr Øvelse 3 (funktioner)

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns

Læs mere

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er

Læs mere